Волновые процессы в активных средах, насыщенных жидкостью тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Клочков Борис Николаевич

ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В АКТИВНЫХ СРЕДАХ, НАСЫЩЕННЫХ ЖИДКОСТЬЮ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы 01.04.06-акустика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Нижний Новгород - 2008

003464282

Работа выполнена в Институте прикладной физики РАН, г. Нижний Новгород.

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Потапов А. И. (ННГТУ им. Р. Е. Алексеева, Н. Новгород)

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Дерендяев Н. В.

(ННГУ им. Н. И. Лобачевского, Н. Новгород)

доктор физико-математических наук

Абрашкин А. А.

(ИПФ РАН, Н. Новгород)

доктор технических наук Дьяченко А. И.

(ИОФ РАН им. А. М. Прохорова, Москва) Ведущая организация: Институт прикладной механики РАН, Москва

Защита состоится 25 марта 2009 г. в 15:00 часов на заседании диссертационного совета Д212.165.10 при Нижегородском государственном техническом университете им. Р. Е. Алексеева (ННГТУ) по адресу: 603950 г. Н. Новгород, ул. Минина, дом 24, корп. 1, ауд. 1258.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ННГТУ.

»

Автореферат разослан 20 февраля 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к. ф.-м. н.

-

' ' Катаева Л. Ю.

Общая характеристика работы

Работа посвящена исследованию волновых и автоволновых процессов в водонасыщенных активных биологических тканях, мышце, сосудах.

Актуальность темы. Исследование волновых и механохимических свойств сложных реагирующих сред, биотканей с учетом кровоснабжения в зависимости от внешних и внутренних условий, обладающих упрочнением или размягчением при вибромеханическом воздействии актуально. Теоретическое и экспериментальное исследование биотканей поверхностными волнами позволяет получить новые знания о физических свойствах тканей: о слоистой структуре, о распределении по поверхности и по глубине линейных и нелинейных акустоупругих параметров, о неоднородности, о механохимических процессах, о кровоснабжении, о лимфообращении.

В ходе исследований биотканей все большее внимание уделяется не только линейным и нелинейным эффектам на объемных волнах, но и эффектам на сдвиговых и поверхностных волнах, как наиболее чувствительных к структурным и функциональным изменениям состояния тканей (например, расслабленное, напряженное, при различном уровне кровоснабжения) и в ряде случаев более удобных с точки зрения возбуждения и приема. Не полно исследованы волновые процессы в биотканях с учетом механохимических реакций. В данной области недостаточно надежных методов и приборов детального исследования биоткани с учетом ее физико-физиологического состояния. Недостаточно полно разработаны математические модели и их решения отдельных элементов системы кровообращения, лимфосистемы и др., не описаны связи между ними, не рассмотрены процессы самоорганизации в системе кровообращения. В связи с проблемой влияния вибраций важны исследования естественных и вынужденных колебаний в тканях живого организма и их взаимосвязи, движения сосудов внутри нее, распространения возбуждаемых внешним источником низкочастотных волн по поверхностным и внутренним мягким тканям, виброакустических эффектов при сокращении мышц.

К настоящему времени получила большое развитие ультразвуковая диагностическая техника, а также более низкочастотные методы, при помощи которых можно измерять параметры биотканей в различных состояниях, включая мышцы и мышечные органы. Появились тонкие методы изучения системы циркуляции крови на микроуровне. При этом возрастает необходимость и важность теоретического описания колебательных и автоволновых процессов, протекающих в живых тканях, для углубленного понимания физических механизмов, лежащих в основе этих процессов, и возможности управления ими, а также для получения связи механохимических параметров с измеряемыми величинами. Необходимость определения линейных и нелинейных параметров слоистых биотканей является стимулом для изучения распространения и искажения упругих волн на их границах. Необходимо исследовать возможность создания томографического анализа акустомеханических свойств и

слоистой структуры биоткани при помощи волн на поверхности. Это представляет собой как самостоятельный научный интерес, так и возможность оценки свойств динамического состояния ткани.

Представляют существенный интерес теоретические и экспериментальные линейные и нелинейные исследования виброакустических и автоволновых свойств слоистых биотканей, в частности, исследования низкочастотных ближних упругих волновых полей, возбуждаемых силовым вибрационным источником на поверхности, для определения характерного диапазона частот, влияния слоисто-структурных (например, толщины слоя) и вязкоупругих параметров на скорость распространения упругих волн на поверхности, их декремент затухания и другие характеристики в зависимости от частоты и с учетом пространственного распределения волнового поля. Данные параметры могут служить объективной диагностике состояния ткани. Существен случай сильно отличающихся по жесткости слоев (костного и мягкого мышечного), что важно для моделирования различных сочетаний слоев в живом организме и возможности диагностики состояния слоя через другой слой с помощью поверхностных волн.

Кроме этого для диагностики важно понимание, как изменяются эмиссионные спектры излучения под влиянием различных биохимических и физических процессов. Источниками виброакустической эмиссии могут служить целые органы, клетки, интерполимерные комплексы, отдельные макромолекулы. Со времени открытия системы кровообращения физические представления и методы всегда использовались для исследования и описания ее работы (уравнения гидродинамики и механики деформируемого твердого тела, акустические подходы, теория колебаний и др.) При этом, несмотря на разнообразие процессов, существенными являются нелинейные динамические явления в них. Представляют большой интерес исследования самоорганизационных и автоволновых процессов кровоснабжения с учетом авторегуляции кровотока и активных, механохимических эффектов.

Целью работы является изучение волновых процессов в активных средах, насыщенных жидкостью:

- Построение и исследование моделей элементов сосудистой системы кровообращения и лимфообращения. Рассмотрение автоволнсгвых движений в активных микрососудах, учитывающих различные механизмы локальной регуляции кровотока и эффекты транспорта биологических жидкостей. Исследование изгиба кровеносного сосуда с потоком крови.

- Создание нелинейных распределенных моделей с учетом фильтрации и их исследование аналитическими и численными методами, описывающих нелинейную динамику и механизмы неоднородного пространственного распределения кровоснабжения мягких биотканей.

- Проведение исследований линейных акустомеханических характеристик и параметров распространения низкочастотных упругих поверхностных

волн на слоистых биотканях, возбуждаемых внешним источником. Изучение ближнего поля поверхностного виброисточника. Исследование взаимодействия электрической волны возбуждения мышцы и механической волны ее сокращения.

- Исследование нелинейных динамических эффектов на поверхности активной биоткани и в ее объеме для различных функциональных ее состояний с учетом структуры, уровня кровоснабжения, мышечного сокращения, вибровоздействия.

- Разработка математических моделей и исследование характерных автоволновых режимов спонтанных сокращений в мышечных клетках с учетом активного взаимодействия белковых структур.

Методы исследования. Исследование волновых процессов в биотканях проведено на основе сочетания теоретических и экспериментальных методов и подходов. При этом важными являются методы механики сплошных сред, механики гетерогенных сред, термодинамики неравновесных процессов, автоволновых процессов и методы измерения на живом объекте. Использовался метод поверхностных волн для исследования биотканей, а также спектральный и корреляционный анализы. По сравнению с известными данный метод исследования обладает следующими преимуществами: благодаря своей низ-кочастотности он чувствителен к глубоко залегающим слоям ткани, позволяет регистрировать нелинейные характеристики ткани сдвиговой природы и измерять влияние различных факторов и воздействий на состояние ткани. Для расчета ближних упругих полей на поверхности ткани и в ее глубине использован метод интегральных представлений. Применялись методы построения математических моделей течения биологических жидкостей по сосудистой системе с учетом авторегуляции, моделей автоволнового типа на микроуровне с проявлением активности, моделей кровоснабжения ткани с учетом фильтрации. Использованы континуальные представления о биотканях и представления о сосудистой сети как транспортной системе с активной фильтрацией. Применялись технические средства, пакеты программ по расчету акустических и автоволновых процессов, аналитические и численные методы, вычислительные алгоритмы. При численных решениях нелинейных уравнений автоволнового типа и численных расчетах сложных интегральных представлений использовался графический метод вывода решения в виде двумерного и трехмерного простого или яркостного рисунка. Для экспериментальных исследований использовались комплексы виброзадающей, виброизмерительной и виброанализирующей аппаратуры фирмы Bruel & Kjer (Дания), Robotron (Германия), контактные акселерометрические и бесконтактные ультразвуковые измерители естественных и вынужденных вибраций поверхности.

Научная новизна. Построены и исследованы математические модели отдельных звеньев сосудистой системы с учетом различного типа механизмов

механохимической регуляции, кровотока, изгиба и гравитации. Получены локальные и нелокальные изменения формы просвета сосуда.

Построена новая математическая нелинейная модель неоднородного распределения кровоснабжения ткани, используя приближение двухфазной среды. При помощи аналитического и численного исследования модели получены диссипативные структуры (сложные пятна), определяющие распределение объемного содержания крови при различных условиях.

Впервые исследованы волны на поверхности биоткани в различных состояниях с учетом слоистой структуры и нелинейности в непрерывном и импульсном режимах. Показано, что для их моделирования часто встречающиеся типы ткани живого организма допустимо представлять вязкоупругим водо-подобным слоем, жестко связанным с твердым упругим слоем. Показано существенное влияние толщины мягкого слоя на различные рассчитанные характеристики распространяющихся упругих волн на ткани в зависимости от частоты. На основе разработанной модели активной биоткани найдено аналитическое выражение для нелинейного акустического параметра.

Измерены параметры нелинейных эффектов - уровни гармоник силы и ускорения при действии гармонического источника на поверхность ткани в ее различных состояниях. Показано, что изменение состояния сопровождается изменением уровней гармоник, причем наибольший уровень нелинейности ткани связан с ее расслабленным состоянием. При мышечном напряжении уровень гармоник существенно падает, ткань "автолинеаризуется". Обнаружен параметрический эффект возникновения субгармоник, как проявление виброрефлекса при вибровоздействии.

Впервые исследовано взаимодействие электрической волны возбуждения мышцы и акустической волны ее деформации, как следствие зависимости параметров распространения электрического сигнала от деформации волокна. Получены дисперсионные характеристики электромеханических волн при различных значениях параметров связи. Зарегистрирован активный ответ в виде медленной псевдоволны при ударе.

Предложена новая нелинейная модель с протяженными дискретно распределенными источниками, описывающая спонтанные распределенные микросокращения мышечной клетки и изменения концентрации ионов кальция внутри нее. Аналитически и численно получены характерные режимы автоволновой активности: простой (волновой) и сложный с постепенной расфази-ровкой колебаний отдельных участков клетки, первоначально однородно возбужденной.

Научное и практическое значение работы. Полученные результаты важны для развития фундаментальных научных исследований биотканей и оценки свойств динамического состояния ткани как сложной реагирующей среды. Разработанные подходы и полученные результаты могут быть использованы для углубленного и детального построения теоретических моделей

физиологически и патологически функционирующих биотканей, для анализа многочисленных экспериментов на мышцах и других мягких тканях, кровеносных и лимфатических сосудах, сердце и др. Установление закономерностей распространения акустических волн в биотканях, в частности в мышечной ткани, естественных и вынужденных вибраций в живом организме и их взаимосвязи, а также нелинейных движений в микрососудах является стимулом для постановки новых экспериментов.

Полученные результаты работы могут быть использованы при разработке методов прогнозирования акустомеханической активности физиологических систем, для решения задач объективной виброакустической диагностики состояния биотканей, в качестве базовых при проведении исследований структуры и функции живой ткани, а также разнообразных взаимодействий внешних вибраций с реакцией живой ткани. В частности, по характеристикам поперечной и продольной компонент ближнего волнового поля (обратная задача) на различных типах слоистой ткани можно определить структурные (например, толщину слоя), вязкоупругие, нелинейные параметры мягких и твердых слоев, оценить тонус ткани, наличие отеков, перенапряжении, дистрофий и другие особенности при нервно-мышечной патологии, в травматологии, в профилактической и спортивной медицине. Результаты можно использовать для создания линейных и нелинейных томографических методов исследования биоткани при помощи акустических волн на ее поверхности. Большое значение имеет возможность оценки периферического сопротивления сосудистой системы по пульсовой волне при действии сосудорасширяющих препаратов и гравитационных воздействиях с использованием построенных математических моделей, включающих эффекты авторегуляции кровотока и др. Получен патент на изобретение.

Апробация результатов. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Всероссийских и Международных научных форумах: 7-ом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва, 1991), Всесоюзных семинарах Биомеханика - 91, 93 (Ленинград), Всесоюзной конференции "Волновые и вибрационные процессы в машиностроении" (Горький, 1989), 6-ом национальном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Варна, 1989), International symposium "Mechanisms of Acoustical Bioef-fects" (Pushchino, USSR, 1990), Всесоюзной конференции "Проблемы экологии и мягкие оболочки" (Севастополь, 1990), 2-nd East european conférence on biomédical engineering (Praga, 1991), ICB seminars "Biomechanics" (Warsaw, 1992, 1996), 5-ой научная сессии Совета РАН по нелинейной динамике (Москва, 1994), 2-ой Международной научной школе-семинаре "Динамические и стохастические волновые явления" (Н. Новгород, 1994), 1-ой н- 4-ой Всероссийской конференции по биомеханике (Н. Новгород, 1992, 1994, 1996, 1998), 2 and 3 World Congress of Biomechanics (The Netherlands, Amsterdam, 1994; Japan, Sapporo, 1998), XV-th Congress of the International Society of Biomechanics

(Finland, 1995), Международной школе по нелинейным явлениям "Нелинейные волны. Синхронизация и структуры" (Н. Новгород, 1995), VIII сессия Российского акустического общества (Н. Новгород, 1998), Российская конференция по биомеханике (Пермь, 1999), II Съезд биофизиков России (Москва, 1999), 4-й Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 2000), XI сессия Российского акустического общества (Москва, 2001), 5-th International Conference on Vibration Problems (Moscow, 2001), 16-th International Symposium on Nonlinear Acoustics (Moscow, 2002), а также заслушивались на семинарах Института механики МГУ, Института прикладной физики РАН, Нижегородского филиала Института машиноведения РАН.

Публикации. Содержание диссертации опубликовано в 45-ти работах, в том числе в 19-ти статьях в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК.

Личный вклад автора. Все приведенные в диссертации материалы получены либо лично автором, либо при его непосредственном участии. Работы, опубликованные в соавторстве, выполнены на паритетных началах. Часть результатов получена совместно с исполнителями научных тем под руководством автора диссертации. В части работ автору принадлежат постановки задач, выбор направлений и методов исследований. Все представленные результаты получены лично автором.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и содержит двести пятьдесят пять страниц машинописного текста, уравнений, формул, рисунков, таблиц.

Работы, составившие основу диссертации, выполнялись в соответствии с планом основных научных работ ИПФ РАН, а также при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №№ 93-02-15946а, 94-02-06075а, 97-02-18612а), Международного научного фонда, Федеральных целевых программ "Интеграция", Минобразования РФ (грант КЦФЕ № 97-8.1-79), Минпромнауки и технологий РФ (проект по госконтракту № 40.020.1.1.1168).

Краткое содержание работы

Введение дает краткую характеристику рассматриваемого в работе исследования волновых процессов в биотканях и особенностей течения биожидкости в сосудистой системе.

В главе 1 исследованы волновые процессы в пассивных и активных сосудах с потоком биожидкости.

В 1.1 исследованы волновые процессы в крупных сосудах и эффекты скорости кровотока. В экспериментах на моделирующих кровеносные сосуды мягких упругих трубках, через которые прокачивалась жидкость, при превышении скоростью потока некоторого критического значения наблюдались осцилляции трубки. Фактически целью предыдущих работ являлся линейный анализ модели трубки. Существуют единичные работы, посвященные анализу

нелинейной стадии развития неустойчивости, ведущей к флаттеру, в частности, учет члена третьей степени геометрической нелинейности приводит к ограничению роста радиуса и выходу амплитуды его колебаний на постоянное значение (Педли, 1983; Вольмир, 1979; Катц и др., 1971; Carpenter etc., 1986; Grotberg etc., 1984; Волобуев, 1995).

В качестве уравнений движения стенки трубки выберем уравнения тонкостенной оболочки. Материал стенки считаем несжимаемым. Пренебрегаем продольными и угловыми смещениями элемента оболочки по сравнению с радиальными. Линеаризованное уравнение движения элемента стенки с учетом неосесимметричных деформаций имеет вид:

Eh3 d4R | 2 d4R | / d4R ^EhR-R^ 9 дх4 + R02 дх2дв2 + Д/ дв*)+ 3 R02

dR „d2R T d2R ,d2R

+ --5—=---г—г- = р- п.-рИ- , .

" дх дх2 ^ 8в2 ° д12

Здесь ( - время; х - продольная, в - азимутальная координаты; Е - модуль упругости материала стенки; 5 - продольное, Т - окружное постоянные натяжения; А - толщина стенки; R - текущий, Я0 - недеформированный радиусы; р - текущее, р0 - постоянное во времени внутренние давления; р -плотность материала стенки; Лк - затухание в нем.

Выражение для разности р- р„ следует из анализа гидродинамических уравнений с использованием граничного условия непроницаемости на внутренней поверхности стенка - несжимаемая жидкость:

/

Р-Ро =-Рокоф

(a2 R d2R ,82R} +2U^-+U2

gt2 dtdx dx2

\

dR r,SR — + U— dt dx

р0 - плотность жидкости; и - ее постоянная составляющая скорости; -

линейный фактор вязких потерь Дарси, Ф - геометрический коэффициент. Получим дисперсионное уравнение для малых отклонений от состояния

R = R0,p = p0, связывающее безразмерные частоту С, = Ш?0/с, волновое число а - кЯ0 и номер азимутальной моды и: Безразмерные пара-

метры и функция есть (1п - модифицированные функции Бесселя):

_ И2 „ и Ш 3 Т 3 5 , ЯД,

5 =-т, и = —, с = , — , у=--, В=--, й - ,

12^ с \3р 4 ЕЙ' И 4 Ек' срк

К = вяМФ, ф =_21<-(а>

с Р Ь а(1„_!(а) + 1„+1(а))

Вызванная потоком неустойчивость имеет место в некотором диапазоне волновых чисел а< а <аг при и > и, , где критическая скорость потока

равна и, = с-^ (1 + £•)[/? + 25 п2 + 2^3(1 + уп2 +<5л4)] / в для случая

й = 0, к = 0 (без диссипации). Величина I/, монотонно растет с ростом безразмерного продольного натяжения Р, модуля Юнга Е и номера п угловой

моды. При и-и, имеем а, = ^1 + уп2 + <5и4)/<?]1,4, = ей" а, /(1 + е). Представлены дисперсионные кривые: ¿¡(а) = <^'(а) + ¡^"(а) . Если затухание в материале стенки существенно превышает затухание, связанное с вязкостью жидкости, т.е. <1 / к »1, то область неустойчивости для нижней ветви расширяется. Граница неустойчивой области = 0 при й! к» 1 соответствует условию С\а) ~ 0 > т-е- при достижении скоростью потока критического значения комплексная частота обращается в ноль (статический режим). При небольшом превышении скорости потока над порогом образуется медленная бегущая волна.

В случае, когда затухания в материале стенки и в жидкости близки, т.е. к » <1, дисперсионная зависимость близка к бездиссипативному случаю. При этом критические скорость потока и волновое число определяются теми же выражениями, что и для с!-0, к = 0, реализуется режим флаттера.

Сделаем некоторые оценки для крупных кровеносных сосудов. В нормальных условиях скорость крови даже в самых крупных артериях не превышает 1 м/с, что меньше критической скорости. Однако при некоторых патологиях средняя скорость течения в них может достигать 4-10 м/с, что уже превышает и, при малых р. Максимальная скорость крови в крупных венах составляет 0,1-0,4 м/с, что близко (У, для вен при малых р даже в норме. Критическая скорость в артериях может, кроме того, достигаться при заболеваниях, связанных с уменьшением модуля Юнга материала стенки сосуда. Критическое волновое число а, для артерий соответствует характерной длине возмущения А® Я0, для вен - А» 0,6Лд. Можно оценить, что <1/к ~ 0,1 + 6. Характерная частота колебаний при й»к равна: для артерий / ~570-П100 Гц, для вен /~230 ч- 550 Гц, что соответствует измеряемым значениям. Проведенные оценки показывают возможность возникновения неустойчивости в виде квазистатического режима и флаттера.

Рассмотрим нелинейную стадию развития неустойчивости. В качестве

простейшей модели будем учитывать комбинацию квадратичной ~ (Л - Л0)2 и кубичной ~(Я-Яй)} физической нелинейности как следствие зависимости

модуля упругости материала стенки сосуда от окружной деформации. Подобная зависимость характерна для стенок кровеносных сосудов и дыхательных путей. Исследуем для простоты осесимметричный случай при с/ = 0, /с = 0. Предполагая, что превышение потоком критической скорости мало, воспользуемся методом медленно меняющихся амплитуд. Для простоты рассматриваются только эффекты самовоздействия, т.е. пренебрегается взаимодействием осесимметричной моды с более высокими модами, которые становятся неустойчивыми при больших по сравнению с осесимметричной модой скоростях. Переходя в систему координат, движущуюся с групповой скоростью, и предполагая, что характерный пространственный масштаб Ь медленной амплитуды удовлетворяет условию Ьа» 1, получим укороченное уравнение с малым параметром нелинейности х ■ В случае х> 0 решение будет зависеть от х как от параметра, в результате происходит локальное схлопывание или расширение трубки. В случае х< 0 уравнение имеет устойчивое однородное решение и устойчивое решение в виде стационарной перепадной волны. Таким образом, возможны нелинейные режимы колебаний сосуда в зависимости от коэффициентов перед нелинейными членами: локальные схлопывание или расширение, а также распределенные колебания ограниченной амплитуды.

При этом, поскольку инкремент -и: , то будет мягкое возбуждение

колебаний при превышении скоростью порога.

Проведены численные расчеты изменения формы сосуда на основе исходного неукороченного нелинейного уравнения с учетом рассмотренной выше физической, а также геометрической нелинейностей, включающей члены второй и третьей степени, и с учетом неосесимметричных деформаций (зависимость от азимутальной координаты в). Скорость потока превышала критическую, при которой становилась неустойчивой изгибная мода (п = 1), поэтому режимы, полученные при численном исследовании, являются неосе-симметричными. Наблюдались четыре различных режима изменения формы сосуда: локальные изгиб, расширение, схлопывание и колебания ограниченной амплитуды. Изгиб образуется из малого неосесимметричного начального условия, амплитуда его растет, и, вместе с тем, он сносится вниз по течению. Получена форма сосуда в случае неосесимметричного расширения, которое развивается из малого осесимметричного возмущения, расположенного в начальный момент в точке Ы 2.

Форма сосуда в случае неосесимметричного локального схлопывания приведена на рис. 1.1-1 в безразмерном виде (5 = 0,001; у = 0,05;

А = е(и0)2 -0 = 0,8) С = 2еи° = 1,3; нелинейности: в = -0,4 ; Г = 0,1). Из численного расчета следует, что скорость сноса растущего возмущения в случае изгиба, расширения и схлопывания равна V, ~ (0,4 0,6)с, что близко

групповой скорости Уе = е1//(I + е) ~{0,2 * 0,5)с (для артерий). Изгиб, расширение и схлопывание соответствуют случаю %> 0 . Для случая ^<0 автоколебания в виде гофрировки расползаются по всей длине сосуда, оставаясь ограниченными по амплитуде.

x/r0

Рис. 1.1-1. Форма сосуда в случае иеосесимметричного схлопывания

В L2 исследованы активные волновые процессы в схлопывающихся сосудах. Существуют различные по регуляции сосуды с активным напряжением у гладкомышечных слоев и волокон в стенке, зависящим от внутрисосудисто-го давления р, радиуса сосуда R, касательного напряжения на стенке т. Характерные квазистатические кривые соответствуют сосудам S-типа (у=у(р)) и N-типа (у=у(Ä)) в переменных (р, R), немонотонными и имеющими падающие участки, а также a-типа (т=у(т)) в переменных (R, т), монотонной без падающего участка. Гладкая мышца входит в состав не только артериальных сосудов. В лимфатических сосудах скорость распространения зоны перепада просвета составляла 4-5 мм/с, наблюдались спонтанные сокращения частотой 3-4 мин"1, имеются указания на статическую A-характеристику (Ohhashi, Azuma etc., 1980). ÍV-кривые возможны у вен и лимфососудов радиусом 1002000 мкм. Математическое описание N-, 5-, а- сосудов предложено в работах Регирера, Руткевича, 1975; Регирера, Шадриной, 2002.

Математическая модель состоит из уравнений для стенки и жидкости. Гидродинамическая часть модели сводится к закону Пуазейля с учетом силы тяжести (типичные числа Рейнольдса меньше единицы и течение считается чисто вязким). Материал стенки сосуда - вязкоупругий с нелинейно активными гладкомышечными волокнами, напряжение которых зависит от деформации. Стенка и жидкость несжимаемы, задача осесимметричная: 5R , pgR2 cos в 5R 1 д Ír4 dp) _0 dt + 4t] дх ¡6rjR дх 1 ах Г '

d^L Р~Р< - 4H(r-Rq) , 4И, dB d3R

h dt + h ~ R¡ ' R¡ dt + R И dx2 **' dtdx2 ' Здесь p(x,t) - текущее внутрисосудистое, а pe - заданное вне сосуда давления; R(x,t) - текущий внутренний, a Rfí - недеформированный радиусы; h - толщина

12

стенки; ц - модуль сдвига, а Ц| - динамический коэффициент вязкости материала стенки, Л - характерное время ее релаксации по напряжению; г| - динамическая вязкость жидкости, а р - ее плотность, g - ускорение свободного падения, 0 - угол между направлением силы тяжести и продольной осью х сосуда, t - время. Слагаемое учитывает сдвиговые деформации. Член у/R аппроксимируется полиномом 3-ей степени PjfR).

Линеаризуем систему уравнений относительно состояния равновесия R=Rcm , Р~Рст=Ре+Ро > где Р0 - равновесное трансмуральное давление. Подставляя (р-рст , R-Rcm) ~ ехР(Ш-ikx), получим комплексное дисперсионное уравнение в безразмерном виде: Q=0(a)+/7(a), связывающее частоту й=ш/со0 (ю0=1/Л) с волновым числом а=Ш0 и описывающее колебательные процессы. При этом параметры (пассивные: вязкие, упругий и структурный; активный; гравитационный) равны к=\6г]ао/Р0, mf=\i)ßohl(PoRo), m=[ih/(PoRo), &=Rcm/Ro, Q(Rcm)=(Roh/PQ)(dP3/dR)-, G=4pgRocosd/P0. Представлено семейство кривых неустойчивой ветви 0.(а), /.(а) в зависимости от параметров Q и 5 (остальные равны к=0.001, G=0.01, т=0Л, тгОЛ): 1 - Q=-0.2, 5=1.9; 2 - £>=-0.5, 5=2; 3 -Q=-0.8, 5=2.2. Если Q+4m<0 за счет достаточно сильной активности, стационарный радиус лежит на падающем участке статической характеристики, то всегда существует длинноволновый инкремент неустойчивости. Если параметр активности увеличивается, то область инкремента может расширяться. Изменение параметра силы тяжести G не изменяет область неустойчивости по а.

Существуют сосуды с реакцией на кровоток. В этом случае давление внутри сосуда может быть постоянным. Данный тип регуляции характерен для мышечных артерий диаметром 0,1-1,5 мм. В модели активное напряжение зависит от сдвигового напряжения о на стенке сосуда: у=т(ст). Анализ показывает, что наличие такого рода регуляции может приводить к стабилизации, устойчивости малых возмущений. При увеличении модуля \q\ безразмерного параметра активного сдвигового напряжения q=(h/2R^){dylda) (q<0) величина длинноволнового инкремента уменьшается.

Рассмотрим нелинейный режим неустойчивости. Введем безразмерные переменные x=x/R0, r^R/Rg, р = р/Р0, ре = ре/Р0, Т = t/A = t0o, а также параметры кубического полинома ai (i= 1,2,3,4). Сделаем оценки параметров задачи: р~103 кг/м3, Äo~10'3 м, Г|~(4-5)'103 кг/(м-с), ^/ц-Л-0.1-0.5 с. Для вен Р1Г2-Ю3 Н/м2, модуль упругости£=Зц~4-104 Н/м2, A/Rp~0-02-0.04, тогда имеем к-4-10"4 (коэффициент перед дг/д7), G~2-1O"2-cos0, m~mr0A-03. Для лимфатических сосудов ЛгЮ3 Н/м2, £~(0.4-2)-104 Н/м2, й/Rg-O.l, тогда к~10"3, G~4-1O"2-cos0, m-mpO. 1-0.7. Решение задачи на отрезке [0;1] будем искать в виде ряда по степеням малого параметра к:

r(xj) = rm(x,7) + кг11)(х,7) + к2г12)(х,Т) +...

Справедлив аналогичный ряд для р(х, t ) и граничные условия в виде: р(0,7) = Р(Х,7) = ре + \; Г(0,7) = р,; r(Lj) = р3, где р1<р2<рз - действительные корни нелинейной характеристики при р = ре +1; Рь Рз - устойчивые, р2 - неустойчивый стационарные радиусы.

Положим G=0. Ограничимся первыми членами в разложении, пренебрегаем релаксационными процессами, которые существенны на временах 7 ~ к, ищем установившееся решение на 7 »к . Подставляя ряды в уравнения, интегрируя, удовлетворяя граничным условиям, имеем р(0> = ре+1 и

три устойчивых решения; r(0)-pi, ¿0)=Рз, неоднородное в виде стационарной волны с автомодельной переменной. Аналитическое выражение для скорости распространения а и формы перепада радиуса г с пространственным масштабом / активной перистальтической автоволны сжатия или расширения сосуда на интервале - со < Зс < со имеет вид:

г'0)={р, + р3 -(р3 - pl)th[(x-a7 )/1]}/2,

I = ±2рт/а4 /(р3-р,),а = 1а4(р} - р,)(р3 + р, -2р2)/16т,.

Если длина сосуда L много больше характерной ширины фронта /, то в нем может осуществляться режим, близкий к стацволне. Для оценки скорости а и ширины I волны воспользуемся модельной кубичной характеристикой

р-ре = 0.8(г-1 >3.872 + 6.384F-2.423r2 + 0.242F5, для которой при р = ре +1

имеем значения pi=1.25, р2=3.75, р3=5 (йо=0.4 мм, Рд= 10 см. водн. ст., шо=ТО с"1). Для т=0.2, m/=0.1 получим |/|~0.7, |а|~0.5, что соответствует оценке скорости 2 мм/с и ширине волны 0.3 мм. Если L~1 см, то условие L »1 выполняется. Данные стацволны перепадного типа экспериментально наблюдались на лимфатических сосудах с близкими а и /. Оценка перепада давления П=0,02 см. водн.ст. на ширине / полученной квазиударной автоволны мала: П«Ро- т.к. в лимфососудер0= 0,1-30 см.водн.ст.

Подсчитаем производительность g„ такого активного перистальтического насоса. Расход жидкости через сосуд, вызванный распространяющейся волной сжатия сосуда, вычисляется при помощи интегрирования осредненного по сечению уравнения неразрывности. Оценка характерной величины

gH = ап(р3 - р, ) = 0,02 мл/с , причем объем сосуда равен 0,1-0,5 мл. Т.о. автоволна может осуществлять значительную прокачку.

Проведены численные расчеты формы сосуда на основе полных уравнений. Использовались характеристика (р-ре)(г) и параметры: к=0.001,

GM), m=0.2, nir0.1, 1=50. Начальные условия задавались в виде: г(х,0) = р1 + (p3-p,)x/L , р(х,0) = ре + 1, а граничные равны:

дг(0,7)/дх = дг(Ь,7)/дх = 0, р(0,7) = р(Ь,7) = ре + 1. Для согласования с граничным условием начальное условие для радиуса задавалось сглаженным на концах. Результаты приведены на рис. 1.2-1 в переменных Л = Л0г, р - ре = Р0(р - ре), х = Я0х . Графики получены на временах £

0.05 с; 0.1 с; 3 с. На г~Л~0.1с решение выходит на режим, близкий к стацвол-не со скоростью ~2 мм/с. По достижении фронтом границы х~Ь отражения волны не происходило. Увеличение /й/ или уменьшение тп увеличивает время выхода на режим стацволны и уменьшает ее скорость.

Учтем силу тяжести. В 1-м случае ее направление совпадало с направлением движения волны (0=0.02, к=0.001, »¡=0.2, т/=0.1, Ь = 50 ). Начальное и граничные условия для радиуса те же, что и прежде, а для давления имели вид: р(х, 0) = ре + 1+0.2х/Ь , р(0,7) = ре+1, р(Ъ, 1) ~ ре +1.2. Скорость волны уменьшалась в три раза и составляла ~0.7 мм/с. Во 2-ом случае направление силы тяжести противоположно движению волны, б=-0.02, параметры те же. Начальное и граничные условия для радиуса не менялись, для давления равны: р(х,0) = ре + 1.2- 0.2х/Ь , р(0,7) = ре + 1.2, р(Ь,7) = ре+1. Тогда волна распространялась со скоростью ~2 мм/с. В обоих случаях также не возникало отраженной волны. В отличие от 5-сосуда отражение не происходит и при других граничных условиях, например, при фиксированных значениях радиуса на концах.

Рис. 1.2-1. Распространение перепадной автоволны просвета в Мсосуде (слева направо)

В 1.3 исследованы автоволновые процессы в мелких сосудах и эффекты автопрокачки биожидкости. Активность гладких мышц стенки мелких артериальных сосудов считается причиной вазомоций (колебаний просвета), структур, авторегуляции, автотечения через сосуд. Приведено значение скорости распространения расширения сосуда, равное 10 см/с - восходящая волна вазодилатации. Она наблюдалась и в артериолах со скоростью 0,2-0,4 мм/с. Зарегистрировано увеличение скорости спонтанных сокращений с частотой: от 0,5 мм/с при 0,5 мин"1 и до 1,2 мм/с при 12 мин"1, причем средний диаметр сосуда возрастает от 4 до 100 мкм (Hilton, 1959; Duling, Berne, 1970; Burrows, Johnson, 1983; Colantuoni, Bertuglia, 1984; Регуляция кровообращения, 1986).

Существует немного работ, где рассматриваются математические модели сосудов с мышечной стенкой. Распределенная модель, описывающая колебания кровотока и радиуса активного сосуда, представлена в статьях Регирера, Руткевича, 1975. Справедливы уравнения движения несжимаемой жидкости с вязкостью ц в вязкоупругой активной трубке радиусом R(x,t) и средним по сечению давлением p(x,t), х - продольная координата, t - время

dp 8R öR 1

— + Кр,Д) = Л—, R— = —— dt dt dt 16// дх

где \\i(p,R)=0 - статистическая ^-образная характеристика, имеющая падающий участок на плоскости р, R (в частности, можно положить, что \y(p,R)=OLR+a[p+a-2p2+a3p3+cto, причем а, аь а2, а3, а0 - упругие постоянные); A=const - мгновенный упругий коэффициент. Численные расчеты для S-сосуда приведены в статьях Скобелевой, 1980, 1985; Беляева, Скобелевой, 1988 и получены сложные колебательные режимы.

Заданы граничные условия для сосуда конечной длины L в общем виде р+-р(0, t) =z+g(0, t), p(L, t)-p. =z.g(L, t), рър. - концевые давления, z+, z. - гидравлические сопротивления, g - расход.

Рассмотрим поведение малых отклонений от стационарного состояния Ро=Ро(х), R0=Ro(x), определяемого при 8/dt=0. Перейдем к переменным Ър=р-р0, §R=R.-R[j и учитываем нелинейности до 3-й степени включительно. Пусть Po.Ro лежит на падающем участке кривой \\j(p0,Ro)=0- Для получения решения уравнений в области неустойчивости вблизи границы бифуркации воспользуемся следующей процедурой теории бифуркации Хопфа. Перейдем к безразмерному времени %=<ät, где о - частота колебаний. Ищем 2л-периодическое по т решение в виде рядов по малому параметру е, определяемому величиной отклонения от границы бифуркации

и=еи,+г2и2/2+гъиз/6+..., v=svI+e2v2/2+g3v3/6+..., С0-ю,=ею1+г.2о^/2+Е3о3/6+..., g=go+sgj+E2g2/2+elg3/6+..., причем ю. - частота на границе бифуркации, и = \pp\SR\.

Подставляя ряды в уравнения и приравнивая выражения при одинаковых степенях е, получим уравнения для различных приближений щ. Параметры е, v;, со; находятся из специальных условий совместности. В 1-м приближении имеем линейные однородные уравнения. Поскольку и} действительно, то представим h/=Z+Z , где черта сверху - комплексное сопряжение. Считая Z=Zeexp[/(x-foc)], Zff=const, имеем дисперсионные уравнения: к12 = к0±Ак.

Используя граничные условия при z+=z.=0, получим кубическое уравнение для нахождения собственного значения ст=/ю»: Ak-L-кп (и=±1,±2,...). На границе бифуркации по критерию Рауса-Гурвица справедливо

(и0 = -[Rl /(<SM)¥P0 /dx = g0 /{nRl)):

а, = 1 /(Л0), я-Ул03ДЛ/(16/^2) = I (при и; /(т]Ю.) «1), где -Л/е = ду//дИ, -1/А = дц//др, 7 = Л03ЛЛ/(16/л9); М>Л>0.

2 2 3 2

Система устойчива, если п п К0 АА > . Отсюда следует, что бифуркационным параметром V можно выбрать Лг-^о*, Л-Л., |>ц., Ь-Ь. или их комбинацию; Я0>, Л., ц., Ь> удовлетворяют условию на границе бифуркации. При переходе из устойчивого состояния в неустойчивое первой возникает бифуркация для п=1. В этом случае решение уравнений первого приближения имеет вид

[р,/#,} = ае"(1 + к0тх - 1кмх ^тС ях / ¿){/; ¡а.в/ Л}+г,

Кт = кывб). > ки = ~Мриов0, /(А^).

Во втором и последующих приближениях получаем неоднородные линейные уравнения, для разрешимости которых необходимо и достаточно выполнение условий совместности - ортогональности правых частей уравнений решению сопряженной задачи. Коэффициенты при нечетных степенях е в рядах уг=у3=...=0, Ю1=(йз=...=0. Параметры ю2 и у2 определяются из уравнений третьего приближения. Принимая при достаточно большой кубиче-

ской нелинейности а3 получим у2=9Хц.а3а2/2>0 и приближенно с точностью до членов четвертого порядка имеем выражение для квадрата амплитуды распределенных автоколебаний в случае мо=0:

(аБ)2=4(ц-ц.)/(9^ц.а3), а3 = (1/6)д3у/др3 >0.

Рис. 1.3-1. Автоволны в 5-сосуде: (а) локальное расширение, (б) - сжатие; и автострукгуры

Увеличение вязкости жидкости приводит к неустойчивости. Формально это аналогично волнам отрицательной энергии. Получим поправку к частоте ш=ш.-(ц-|и.)<й»/(2|а.), со, ~ 0,05-2 Гц. При дальнейшем увеличении V решение выходит на режим квазистационарных локализованных автоволн сжатия и расширения сосуда, а по давлению - перепадных (рис. 1.3-1). Расход локализован в пределах автоволны, эффект автоподкачки небольшой. При устойчивости возможны стоячие диссипативные структуры просвета.

Если система устойчива, то авторегуляция расхода через сосуд заключается в его квазипостоянстве при изменении перфузии за счет падающего участка на статической кривой. При неустойчивости возникает прокачивающий эффект <7л т.е. дополнительный к g0 вклад в расход g за период автоколеба-

ний (нелинейный транспорт жидкости в сосуде). При этом, поскольку в входят лишь линейные члены, то усреднение за период <£/>=0. Первый отличный от нуля вклад связан с С2 = е2%212 . Для вычисления С2 > воспользуемся граничными условиями для р2 с учетом г+=г.=0 и усредненными по периоду уравнениями второго приближения для и2:

= 2лви0(2а21М0-1)£2а2 /(АЛ2), а2 = (1 / 2)д2у / др2.

При 2а2^А/?о>1 имеется прокачивающий эффект (необходимое условие а2>0), а при 2а2АЛЯг,<1 - запирающий. Если ио=0, отсутствуют стационарные поток и градиент радиуса, то какого-либо насосного эффекта нет.

Для общих граничных условий г± =¡¿0, р± исследуем возможность бесклапанного насосного эффекта при иа=с1Яо/с1х=0. Имеем трансцендентность

/(к) = -+ ¿¡_)/(к2 -СС) = 0, £±= 8 ц. /(хЯ402±).

Переходя на комплексную плоскость и пользуясь принципом аргумента, показано, что число нулей /(к) совпадает с числом действительных нулей. Следовательно, это уравнение имеет лишь действительные корни:

к2 = 16 ц, /(ЛЛВ} ),'&. = .

Выражение для частоты со, довольно универсально - оно не за-

висит от и0 (при малых щ) и от г± (при ыр=0). Поскольку между Я, и др11дх при ио=0 сдвиг по фазе равен 90°, то <Я,8р1/дх>=0 и получаем при любых г±, никакого насоса нет.

Описанные явления могут быть использованы для оценки механических параметров сосуда и кровотока, в качестве тестирования уровня функционирования сосудистой периферии и других полых органов цилиндрического типа с течением биожидкости, например, мочеточника.

В главе 2 исследована самоорганизация кровоснабжения ткани.

Развиты теоретические подходы к моделированию кровоснабжения биотканей в работах Регирера, 1980; Регирера, Шадриной и др., 1986; Антонца В. и М. и др., 1981,1992; Федотова, Мархасина, 1990.

В 2.1 построена континуальная модель пространственно неоднородного распределения кровозаполнения тканей. Справедливы уравнения неразрывности обеих фаз (кровь и активный упругий тканевой каркас) и их движения. Учитывается фильтрационный закон Дарси. Предполагается, что фазы и среда в целом несжимаемы, плотности фаз равны. Межфазный переток отсутствует. Пренебрежем инерционными слагаемыми, процессы достаточно медленные. Имеется сильно разветвленная сеть кровеносных микрососудов с мышечными волокнами разного калибра, переплетенных так, что в среднем по малому объему среды скорость фазы крови близка скорости твердой фазы, хотя вдоль любого сосуда скорость тока крови существенно отлична от скорости окружающей ткани. Изотропное активное напряжение ткани у связано с гладко-

мышечными клетками стенки сосудов и со скелетной нервно-мышечной управляемой системой. Возможны разные случаи нелинейной активной функции у в зависимости от: деформации каркаса е, давления жидкости р, сдвигового напряжения и др.

Рассмотрим случай у=у(е). В результате получим нелинейное уравнение относительно пористости ср (объемного содержания крови ср~е). Рассмотрим одномерный случай

°<Р _ 8 \ 0д(Р

дх дх\ дх) т] Ц

где фоновое состояние (0) предполагается ненапряженным, г| - вязкость жидкости, к - эффективная проницаемость ткани по отношению к крови; к, ц - коэффициенты Ламе упругости твердой фазы, у - параметр активности. При этом можно принять аппроксимацию финитной колоколообразной зависимости у(ф) кусочно-параболической или кусочно-линейной функциями.

Рассмотрим линейную задачу, которая сводится к уравнению диффузионного типа. Характерное решение имеет вид ср ~ ехр[/(ш/ - /а)]. Для граничной задачи, моделирующей распространение волны от монохроматического источника, со - действительно, получим к, 2 -±(-1 + / 2В . При этом в

зависимости от знака и величины у* коэффициент £) может быть как положительным, так и отрицательным. Последний случай (1X0) имеет место, если уровень активности среды достаточно высок и рабочая точка находится на падающем участке кривой у(е). Если £»0, то имеем затухающую волну. При £><0 величина к2-(1+0[«>/(2-|£)|)]0'5, и по мере распространения волна объемного содержания жидкой фазы ср будет нарастать с пространственным инкрементом [ю/(2-|£>|)]0,5. Для задачи с начальными условиями к - действительно, ю=£>к2г, при £К0 имеем экспоненциальное нарастание во времени начального распределения ср с инкрементом |£>|-к2.

Проведем анализ уравнения в нелинейной задаче. Можно показать прямым интегрированием его по всей оси х от -со до +ао, что справедливы инварианты по времени ; для достаточно общих финитных зависимостей ср(х,0 и

+0С

у(ф): \<рсЬс=Со=соШ (площадь под кривой ср(х) сохраняется в любой момент

-00

-кп

времени), \xcpdx =С/=сот1 (центр тяжести ср(х) сохраняется, несмещение

-ас

-КО

кривой). Однако, | х2<рскх^С&сог^ (отклонение от центра тяжести не сохра-

—00

няется). Моменты более высокого порядка, вообще, отличны от константы. В стационарных условиях (З/ЭН)) после однократного интегрирования уравнения в классе финитных функций ср(х) (срх[±со=0) имеем: Х)(ф)-ф1=0. Тогда в ус-

19

тановившемся распределении ср,=0 (ф=сопз1) кроме может быть точек, определяемых £)(ф)=0.

Ограничимся некоторыми соображениями о характере решения нелинейного уравнения в случае, когда нелинейная функция у(ф) представима в виде кусочно-линейной аппроксимации. Задача свелась к уравнению диффузионного типа, причем О = -1 £> | = -£>у<0 при 0<ф<ф. и /)>0 при (р>ф», ф<0. На интервале 0<ф<ф. это уравнение может решаться с помощью интеграла Фурье-

+оо 2

Стильтьеса: <р(х,1) = \ ср(к)е°1К 1'1кхйк, где ф(к) - пространственный спектр

-со

ф(х,0). Если начальные условия (/=0) заданы в виде синусоидального распределения (на всей оси х): ф(дг,0)=фа-ехр(-г'кх), фа<ф», то в любой момент времени (/>0) получим ф(х,0=фа-ехр(£>;к2;)-ехр(-;)сс). Время достижения ф. равно ?«=(1п(ф./фа))/(£)/к2). Резкие "пятна" как бы вырастают антидиффузионно из начальных условий (режимы с обострением).

Справедлив и случай у=у(р). Получим основное нелинейное уравнение относительно давления жидкости р в виде

<Р

■7Р +

1-(р°

др (А + 2р)к<р° д2р

й П дх

где функция у'р=ду/Эр<0, если нет эффекта Бейлисса и у'р>0, если он есть (имеется падающий участок на статической кривой давление-деформация).

В 2.2 рассмотрены динамические диссипативные автоструктуры распределения кровотока в ткани с помощью численных расчетов.

Пусть у=у(е) зависит от деформации (пористости ф). Тогда справедливо нелинейное уравнение относительно объемного содержания крови ф в ткани. Коэффициент нелинейной диффузии £> может менять знак при достаточной величине у, если уровень активности гладкомышечных или скелетномышеч-ных элементов среды высок и рабочая точка находится на падающем участке кривой у(ф). Численные решения уравнения дают процесс изменения распределения ф при различных условиях (см. рис. 2.2-1-^2.2-3). Использована зависимость Дф) в виде непрерывной функции. Кривые на рисунках - безразмерные, идут снизу вверх.

Получены динамические структуры пространственного кровотока в ткани. При определенных условиях реализовалась характерная динамика. Получена зависимость ширины от начальной амплитуды: чем больше амплитуда начального распределения, тем больше длительность итогого импульса. Имеют место эффекты обострения импульса, а при определенных условиях - уплощения с прогибом в середине, а также мелкомасштабность. Может происходить удвоение импульса. Реализуется эффект локализации в середине (пропадание концевых импульсов, рис. 2.2-1) или выпадение пика (пропадание промежуточных импульсов, рис. 2.2-2). Возможны реализации острых им-

пульсов (постепенное обострение без выпадения и без локализации) или тупых импульсов (постепенное уплощение, рис. 2.2-3). Предложенное модельное описание соответствует наблюдениям на ткани и может быть использовано для исследования функционирования сосудистой периферии кровоснаб-

жающейся ткани. А Л Ч л л

1 Л 10 (V л г^ И

1 1 к Г^ ^ <~Л

А а (\ к 1\

^ А П Л А Г~"\ Г"\

Л К л / Г\ гл

Д Ц . - ^ . . Л Г—\ 1~Л Г-А

Л л л * Л Л

а А А л п Л л Л л ^ ^ г-л.

г о Л л А Л Л. Г-. Ц - М 1 - н

г

__^ ___

___ ____

О * Рис. 2.2-1. Локализация 3 о и : о к 5ис. 2.2-2. Выпадение пиков Рис. 2.2-3. Уплощение

В главе 3 исследуются поверхностные упругие волны на слоистых активных биотканях с учетом ее структуры.

В 3.1 изучены волны на поверхности биоткани. В них как и в большинстве сплошных сред распространяются различные типы волн. На особенность различия объемных и сдвиговых волн в мягких тканях (в частности, по их скорости) в связи с возможностью выявления структуры ткани обратил внимание Сарвазян, 1975, 1983; Пашовкин, Сарвазян, 1989.

Приведем результаты численных расчетов ближнего акустического волнового поля смещений, возбужденного низкочастотным силовым виброисточником на поверхности вязкоупругой слоистой биоткани, в рамках задачи лэмбовского типа. Биоткань представим в виде двухслойной среды с сильно различающимися модулями сдвига. Ближнее поле возбуждается поверхностным источником, расположенном на мягком наружном слое (вязкая водопо-добная ткань), сцепленном с жестким (слабодиссипативный упругий материал), часто встречающийся случай эндоскелета, кость внутри. Использовался метод, применяемый в сейсмике.

Возбуждение упругих волн производилось штампом нормально к поверхности (слоистое полупространство занимает область г>0, ось г направлена вдоль поверхности ткани от штампа). При этом считалось, что компонента тензора напряжений 0е'°" (а0 - амплитуда перпендикулярной к поверхности компоненты, ш - частота) равномерно распределена по круглой площадке источника радиуса а, вне нее а:.=0; 0^=0 на всей поверхности 2=0. По обе

стороны от поверхности контакта слоя и полупространства г=А в силу условия полного механического сцепления равны нормальные и касательные компоненты IV и ТУ1 вектора смещений, а также равны нормальные и касательные компоненты тензора напряжений аы и а;г. Применим обычные линейные уравнения теории упругости Ламе в цилиндрических координатах г, г с учетом диссипации в мягкой среде в рамках модели Кельвина-Фойгта. Основными параметрами двухслойной ткани являются: К„, ц„ и р„ - упругие коэффициенты Ламе и плотность; значение индекса п=1 соответствует параметрам мягкой среды, причем Ц1 является оператором: => ¡д^ц^-д/о/, где ц\ - коэффициент вязкости; п-2 соответствует жесткой среде. С помощью введения скалярного и векторного потенциалов и преобразования Ханкеля в уравнениях и граничных условиях получаем систему 6-ти алгебраических уравнений относительно неизвестных А, В, С, Д Е, Г. После ее решения имеем выражения в виде интегралов по тангенциальным волновым числам к, представляющие собой обратные преобразования Ханкеля нулевого и первого порядка. Для мягкого слоя получим

IV" (г, г) = Ду1(Яе1'1г - Ле~ + к2 (Се' у'г + Ос^)]Ы0(кг)с1к,

о

00

= +В^г +у;(£>еУ'2-Се' ,(кг)йк,

о

где Уп=^к2-к2рп, у'п =4к2-к1, £ =©2Л/<4. + 2Мп), к1=<о2рп1Ип,к

- "волновое" число по г, Зт - функция Бесселя ш порядка.

Значения параметров слоев биологической ткани выбраны следующими: А.1=2.67-Ю10 да/см2, Ц1=5-104 дн/см2, рг=1.05 г/см3, Ц]'=25 дн-с/см2 (мягкий слой); Х2=5.1-Ю10 дн/см2, ц2=6.4-Ю10 дн/см2, р2=1.6г/см3 (жесткое полупространство). Радиус источника а=0.5 см, а величина а0=1 дн/см2. Варьировалась толщина мягкого слоя: к = 0.3; 0.6; 0.85; 1; 1.05; 1.1; 1.5; 2; 3; 4 см и оо см (полупространство). На различных расстояниях от центра источника вдоль поверхности определены комплексные амплитуды компонент смещений как функции частоты/ Результаты численных расчетов приведены на рис. 3.1-1. Наиболее четко выраженными и достаточно простыми являются амплитудо-частотные и фазочастотные характеристики нормального волнового поля в самой точке 0 (ао=0, г=0) под штампом (рис. 3.1-1а). На амгоилудочастотной зависимости для каждой толщины слоя А видны характерные резонансные максимумы, проявляющиеся и на фазочастотной зависимости. Для полупространства максимум упирается в вертикальную ось /=0. Рассчитаны дисперсионные зависимости скорости распространения волн на поверхности биоткани от частоты, близкие измеряемым (разд. 3.2).

Существенное отличие от нормальных смещений наблюдается для тангенциальных смещений в точке 1 г¡=2.5 см (в точке 0 под штампом они равны

нулю), связанное с резонансными максимумами и минимумами на разных частотах в зависимости от толщины А (рис. 3.1-16).

Проведены расчеты пространственного распределения ближнего поля вдоль поверхности слоистой ткани (по г при г=0) и в ее глубине (по 2, г>0) доя частот/= 60 и 70 Гц. Амплитуды нормальных компонент смещений достаточно быстро убывают с расстоянием г от колеблющегося штампа. Амплитуды тангенциальных компонент вблизи источника существенно меньше по величине нормальных и ведут себя немонотонно с расстоянием г. Амплитуды нормальных смещений при г=г0 в глубину ткани убывают, за исключением лишь очень узкой области вблизи источника для й= 2 и 3 см, где имеется небольшой максимум. Амплитуды касательных компонент смещений при г=г] от глубины 2 для разных А ведут себя немонотонно.

Получено двумерное распределение (по г,г) упругого поля в виде поверхности и линий уровня для /=70 Гц и Л=3 см. Для нормальной компоненты смещения имеется характерный пик в месте виброисточника с немонотонным поведением по г и по 2, а для касательной - в точке источника оно нулевое, а при удалении от него имеется несколько экстремумов.

Рис. 3.1-1. Амплитуды (см) нормальных (а) и касательных (б) смещений от частоты (Гц)

В 3.2 представлены измерения линейных параметров поверхностных волн и дисперсионных характеристик биоткани в низкочастотном диапазоне (скорость и коэффициент затухания волны от частоты). Используются методы возбуждения и измерения параметров волн на поверхностях биообъектов, включающие измерительный комплекс виброакустической аппаратуры фирм Брюль и Къер, Роботрон, отечественную аппаратуру, разработки ИПФ РАН. Вибрации задавались вибростендом в диапазоне частот 3-400 Гц. В мягкую ткань предплечья с внутренней стороны перпендикулярно ей на 3 мм внедрялся жесткий, круглый, плоский в плане индентор диаметром ¿=10 мм, который жестко соединялся с платформой вибростенда через опорный акселерометр. Возбуждение волн осуществлялось белым шумом или гармоническим сигналом, гаи механическим ударом. Для измерений применялось контактное

средство регистрации колебаний поверхности на различных расстояниях от места возбуждения - приемный тонкий акселерометрический щуп. Для исключения влияния на параметры ткани измерительного устройства использовался бесконтактный способ - локационный ультразвуковой фазовый измеритель перемещений с диафрагмой для увеличения пространственного разрешения.

Осуществлена визуализация волны на поверхности тела человека при освещении стробоскопом. При увеличении частоты его вспышек с минимальной можно наблюдать, что до 40-50 Гц волновая картина на руке или животе не характерна, начиная с 50-60 Гц можно заметить распространение волны, причем амплитуда колебаний индентора А0 в ткани должна быть не менее 1-2 мм. Волны являются сильно затухающими (на расстоянии 1-3 длин волн реализуется лишь ближняя зона, можно оценить X. При настройке частоты вспышек на гармоники 2- и 3-ю, они фотографировались.

Исследованы линейные свойства. Проведены измерения распределения колебаний поверхности ткани (их фазы и амплитуды). В частности, измерены скорость и декремент распространяющихся волн в зависимости от частоты (дисперсионные характеристики). Эти параметры волн измерялись при помощи двухканального анализатора 2034 В&К на основе использования частотной характеристики H¡ (ее фазы и амплитуды) с накоплением сигнала в режиме "выравнивания". Вибратор возбуждался случайным шумом. Измерения проводили в двух точках. Измерялась разность фаз между ними и отношение амплитуд сигналов в них. Измерения проводились на руке в ее обычном естественном "ненапряженном" состоянии.

Проведены бесконтактные измерения с помощью ультразвукового виброметра. Получены разности фаз Дф(/) и декремента к(/) на руке испытуемого. Первое измерение проводилось на расстоянии х?=45 мм от центра штампа и записывалось в память анализатора, второе - на х,=25 мм. Каждое измерение проводилось с усреднением реализаций. Особенностью Аф(/) является наличие локального максимума (резонанса) на fm= 160-170 Гц: до этой частоты разность фаз растет, после нее - падает, затем снова идет слабый рост после 200 Гц. Такое немонотонное поведение связано с многослойностью и неоднородностью ткани, с геометрией и ограниченностью в пространстве руки, а также со структурой ближнего поля виброисточника.

с, к,

W I

5 i .1,|||!$ т

\ ...............,|1' • , Л ¡II i

о и iоо гм ?оо «а за> ¿л» о so кю iso гоа iso wfn,

Рис. 3.2-1. Скорость волны и декремент от частоты со среднеквадратичными отклонениями

24

Получены средние значения скорости распространения поверхностной волны С и декремента к по 10 измерениям для одного испытуемого: рука перед каждым измерением вынималась из ложа установки и возвращалась на место. Эти средние кривые представлены на рис. 3.2-1 точками, а разброс данных - вертикальными линиями. На кривой скорости С(/) на более низких частотах видны небольшие резонансы и постепенное уменьшение скорости при росте / до примерно 150 Гц. После/> 150 Гц скорость C(J) значительно увеличивается. В области частот 100-200 Гц излучаемые колеблющимся штампом поверхностные волны имеют скорость распространения около 2 м/с и, соответственно, длину волны примерно 1-2 см. Высшие гармоники - еще более короткие. Толщина слоя мягких тканей в исследуемой области сравнима по величине с длиной волны, но размеры слоя в продольном направлении существенно больше длины волны. Излучаемые сдвиговые волны существенно затухают уже на длине волны и приходится использовать для измерений удаления от источника того же порядка 1-4 см.

Проведены измерения С и к при помощи данной методики на 10 испытуемых. Результаты измерений попадают в определенную область. Получены частотные характеристики ткани на различных расстояниях от вибратора (28 см). Кривые при некоторых частотах могут пересекаться. Кривые, измеренные бесконтактно или контактно соответствуют друг другу.

Рассмотрена взаимосвязь вынужденных и собственных виброакустиче-скмх процессов в мышечной ткани. Изучено ее состояние по регистрации виброшумов («звуков») мышцы. Показано, что увеличение уровня эмиссии от мышцы руки при ее напряжении в диапазоне 20-50 Гц на 10-15 дБ увеличивает скорость распространения волны на ткани в 1.6-2.5 раза на частотах 120200 Гц и коррелирует с уменьшением декремента. При мышечном напряжении зависимости разности фаз и декремента от частоты на поверхности становятся более гладкими и монотонными, что связано с изменением толщины слоев и их вязкоупругих и механохимических параметров.

В 3.3 проведены исследования распространения волн на поверхности препарата легких. Амплитуда колебаний вибратора составляет 0,1 мм. Контактная площадка вибратора с тканью выполнена в виде металлического круглого штампа диаметром 1 см с закругленными краями. Расстояние между центрами штампа и диафрагмы бесконтактного датчика - 2,5 см. Измерения проводились при давлении воздуха в легких 0,04 кПа и 0,6 кПа. Результаты исследований показывают, что C(J) и к(/) - в основном возрастающие функции, причем в области частот 10-150 Гц скорость лежит в пределах C(f)= 0,5-5-1,5 м/с, а декремент к(/)= 80ч-200 1/м. Подсчитаем динамическое разрушающее напряжение а^ в легочной ткани при ее поражении во время ударной травмы. Учтем, что для легких трансмуральное давление приближенно равно напряжению в паренхиме. Поскольку в волне a=pCv, то при плотности р=0,4-103 кг/м3, скорости волны С-2 м/с и критической скорости удара

25

v=5 м/с находим 0^=4 кПа, что удовлетворительно согласуется с параметрами статического предела прочности и предела текучести легких. По декременту оценим расстояние, на котором амплитуда волны убывает в е раз: 0,4-1,7 см, что близко характерному размеру поверхностных легочных кровоизлияний, определяемых при патоморфологии после баротравмы.

В 3.4 исследовано распространение упругого импульса на поверхности мягкой биоткани. Возбуждение поверхностной волны производилось одиночным механическим ударом по ткани длительностью 0,1 с и глубиной внедрения в ткань ~ 5 мм. При этом по ткани вдоль руки распространялся механический импульс. Колебания смещения А поверхности на расстоянии 30 и 90 мм от места удара измерялись бесконтактно с помощью двух ультразвуковых измерителей виброперемещений. Сигналы с них регистрировались двухканаль-ным анализатором. Измерение скорости импульса с„ проводилось на четверых испытуемых. Получены характерные осциллограммы колебаний мягкой поверхности, действительная часть К их нормированной взаимной корреляционной функции. Спектр сигнала возбуждаемых частот находится в области от 0 до 50 Гц с максимальным значением гармонических составляющих 1232 Гц, т.е. имеем низкочастотный характер удара и импульса. Некоторого увеличения амплитуд высокочастотных составляющих можно добиться, совершая удар по мягкой ткани через жесткую проставку. Спектральный состав импульса при его распространении на выбранной базе d=6 см мало изменяется. После удара на поверхности ткани возбуждается квазигармоническая затухающая волна. Скорость импульса определялась по задержке максимального значения сигнала Atm , пересечения нулевого уровня после него At0 и по максимальному значению действительной части взаимной корреляционной функции сигналов на базе At.K . Результаты измерений скорости импульса си приведены для двух состояний ткани: расслабленной (Р) и напряженной (Н). Скорость распространения возбуждаемого импульса (для Р) составляет 35 м/с. Напряжение вызывалось жимом кисти с силой 25 кГ, и скорость значительно возрастала (в 3-6 раз), что может свидетельствовать о значительном превалировании активных составляющих над пассивными в эффективном модуле упругости. При изменении состояния ткани (при напряжении, отеке) изменяются соотношения длины волны и характерных размеров слоев тканей руки. Результаты измерения скорости по каждому из выбранных критериев достаточно близки. Характер зависимостей от человека к человеку сохраняется, изменяются лишь их временные параметры.

В 3.5 зарегистрирована активная псевдоволна на мышце, возбуждаемая механическим ударом и связанная с синхронизацией клеток при распространении возбуждения. Для возбуждения мышцы ноги человека (бедро вблизи колена) по ней наносили резкий удар резиновым молотком. Регистрация параметров удара осуществлялась при помощи вмонтированного в молоток пье-зоакселерометра ПАМТ-1. На расстоянии d=б см от места удара смещение

поверхности мышцы (вместе с кожным слоем) измерялось бесконтактно при помощи ультразвукового фазового измерителя перемещений. После удара на поверхности бедра возбуждаются две волны смещения. Первая - короткая и быстрая (длительностью около 30 мс и скоростью 2-3 м/с), являющаяся обычной («пассивной») поверхностной волной (1-2 периода колебаний). Вторая -существенно более медленная активная волна (псевдоволна) сокращения поверхности мышцы нейрогенной природы (длительностью 150-190 мс и скоростью 0.5-0.6 м/с). Исследовалось возбуждение мышцы при одиночном (рис. 3.5-1), двойном (рис. 3.5-2), тройном ударах, их различной скважности и силе. На рис. 3.5-1а изображено ускорение а в точке удара, на рис. 3.5-16 -перемещение W на расстоянии d от места удара. Видно, что сначала регистрируется пришедшая пассивная волна, а затем активная, наблюдается эффект насыщения (перевозбуждения мышцы) из-за достаточно сильного удара. На рис. 3.5-2а изображены ускорения от двух ударов, на рис. 3.5-26 -соответствующие им перемещения на d, не приводящие к перевозбуждению мышцы. При этом амплитуда псевдоволны будет зависеть от степени восстановления мышцы.

Рис. 3.5-1,2. Эгаоры ускорений (а) и перемещений (б) при одиночном и двойном ударах

В 3.6 изложены экспериментальные результаты изучения собственных виброакустических процессов активности в мышце. Так называемые «звуки мышц» были измерены и исследованы в работах С^ег, 1айе, 1980; Валу, 1987; Антонец, Грибков, Шестернин, 2000 и др. Звуковые и инфразвуковые колебания возникают при мышечном сокращении в различных способах её нагружения и управления в живом организме. Развитие напряжения обусловлено структурными перестройками белков актомиозиновых комплексов. Это может служить источником виброакустических колебаний. Вопрос о сопоставлении мышечного сокращения и генерации звуков впервые был поставлен в работах А. А. Вазиной с соавторами по рентгеновской и синхротронной ди-фрактометрии.

А

О

О

Г 200

Рис. 3.6-1. Спектр эмиссии ускорения А/Ам Рис.4.1-1. Нелинейность от объема тв.фазы

На рис. 3.6-1 приведены результаты измерений виброакустической эмиссии (шумов) от мышечных слоев предплечья, причем измерения осуществлялись одновременно акселерометром и микрофоном, расстояние между которыми составляло 1,2 см. Верхние кривые соответствуют напряженному состоянию ткани 5 кГ, нижние - расслабленному, частота/- в Гц. Частоты ft соответствуют тремору, a fm - звукам мышц. Проведены измерения параметров колебаний скелетных мышечных препаратов при их стимуляции электрическими прямоугольными импульсами, следовавшими с частотой 14-170 Гц. С помощью пьезоприемника ПАМТ зарегистрированы механические колебания в диапазоне частот до 320 Гц, причем до 60 Гц сигналы регистрировались и тензометрическим датчиком силы. При стимуляции электрическими импульсами утомленной мышцы уровень звуков падал до уровня шумов аппаратуры. Специально мышцу стимулировали случайным электрическим шумом, равномерным в полосе 0-1.6 кГц, наблюдали подъем низкочастотных звуков на фоне шумов аппаратуры. Препарированную мышцу облучали внешним высокочастотным тональным звуком 2.25-3.5 кГц га акустической колонки интенсивностью до 108 дБ в течение нескольких десятков минут, наблюдался эффект изменения механического напряжения мышцы. Облучение акустическим шумом с полосой 20 Гц - 12.8 кГц с максимальным уровнем дало отклик - сокращение мышцы - типа Насонова (акустическая контрактура). Кроме этого мышцу "озвучивали" при помощи пьезоакселерометра ПАМТ, прикрепленного к ее концу на частотах: 100 Гц, 500 Гц, 2.5 кГц, 3 кГц, - эффект изменения механического напряжения мышцы был сильнее выражен, чем в предыдущих опытах. При помощи дифракции лазерного луча на мышце контролировали изменение её структуры (сокращение-расслабление) под действием вибрации.

В главе 4 исследованы нелинейные эффекты и свойства биологических тканей в их различных состояниях.

В 4.1 изучены нелинейные акустические объемные свойства биоткани. Построена акустическая модель, выведено волновое уравнение и получено аналитическое выражение для нелинейного акустического параметра В/А по-

роупругой биоткани. Для большинства мягких тканей В/А=1±%, кроме жира, для которого £/Л= 11 (Law W.K., Frizzell L.A., Dunn F., 1981; Bjorno L., 1986). Пусть среда представлена в виде двух фаз. Под фазой/(жидкой) будем понимать кровь, свободную тканевую жидкость, а под фазой т (твердой) - активный белковый скелет, мышцу, соединительную ткань. Объемное содержание жидкой фазы - <pf, твердой - фш (9m+9f =1)- Напряжение в среде - сумма напряжений в фазах с учетом их объемного содержания. Фазу т считаем транс-версально изотропной, / - изотропной. Активация мышцы изменяет ее структуру и свойства. Скорости перемещения фаз равны, биологическая деформация равна упругой. Для построения нелинейной модели удобно использовать начальную прямоугольную декартову лагранжеву систему координат и тензор напряжений Пиола-Кирхгофа Щ

П..=ю

IJ тп

ГЪ\¥ 3IV Л

—г+- "

dWf

+ (pflT~ ij

= /«4 у елеиеи + Ве^

причем 1Уу - обычный пассивный упругий потенциал; X, ц - коэффициенты Ламе; А, В, С - модули третьего порядка пятиконстантной теории упругости; 1Уа определяет активные мышечные напряжения аналогично 1¥у с учетом анизотропии (\'а, /)уа); р0 - давление в жидкости при 8у=0, Г - степенной показатель; и- вектор перемещения фаз и среды в целом.

Уравнение движения двухфазной среды имеет вид рди, = П1кЛ, причем

плотность р0 среды в недеформированном состоянии выражается через соответствующие плотности фаз р0 = <р„рт0 + <Р/Р/0 ■ Рассматриваем продольные плоские волны, обусловленные сжимаемостью среды, получим

р0и = рас2и^ + Ыили.а,

Рас2 = (рт(К + 2рт + Ла + 2ра + у>а) + <ргГр0, К = срт[3(Хт +2рт) + 2Ат +6Вт +2Ст + 3(Ла+2Ма+уа) + + 2Аа+6Ва+2Са+6Оуа]-<ргГ(Г + 1)р0

где с - скорость распространения продольных волн.

Нелинейный параметр среды равен В/А=п-1. Выражение для п имеет вид: П — —1- N /(р()с2), причем обычно 2А+6В+2С<0. Определим влияние структуры и активности на уровень 2-й гармоники. В случае чистой жидкости (фш=0) получаем п=Г= 6+8. Для пассивной «сухой» ткани ((я)=0 и фгО) имеем

п = пт =1 + 12. По-видимому, при активации ((а)*0) линейный коэффициент

упругости увеличивается (рос2 растет по крайней мере вдоль волокон, Ро=соп50, нелинейный коэффициент 2-\Ат+ЗВт+Ст+Аа+ЗВа+Са+ЗП1„\ уменьшается (ткань делается более жесткой), следовательно, нелинейный параметр падает. На рис. 4.1-1 представлены кривые зависимости нелинейного параметра от объемного содержания твердой фазы для разных уровней активности среды. Кривая 1 соответствует пассивной ткани, кривая 2 - линейно активной (прирост скорости 1 %), 3 - нелинейно активной (изменение нелинейности 10 %), кривая 4 определяет суммарно активную ткань.

В 4.2 изучены нелинейные эффекты при колебании жесткого штампа на поверхности мягкой пассивной биоткани. Рассмотрены закономерности распространения по ткани волн сдвиговой природы, излучаемых колеблющимся штампом, как наиболее чувствительных к ее структурным изменениям. Необходимо разделять нелинейные искажения, возникающие под колеблющимся штампом из-за нелинейной характеристики ткани "напряжение-деформация", от искажений, появляющихся по мере распространения волны вдоль поверхности. В качестве объекта использовалась ткань внутренней поверхности предплечья руки человека, причем штамп диаметром ^10 мм вдавливался на глубину к=Ъ мм. Измерялись основная гармоника силы давления штампа на ткань .Р/дБ/Н) и высшие гармоники р211(пБ1¥[). Контролировались гармоники ускорения штампа £/'гз(дБ/С//), которые оставались на уровне менее 5 %. При помощи контактного щупа в различных точках измерялись основная гармоника ускорения поверхности ткани С//(дБ/В) и гармоники {/¿¿(дБ/С//). Приведены средние значения величин и их разброс. Получены зависимости уровня основной гармоники (/=130 Гц) ускорения и1 на трех расстояниях от края штампа (£> = 12, 16, 21 мм) от амплитуды колебаний силы штампа практически линейный рост С// с накачкой и ее затухание по мере удаления от штампа.

Показано, что относительные уровни вторых гармоник силы Р2 и ускоре-ня и2 растут при увеличении уровня накачки Г;. Получены зависимости уровня гармоник ускорения поверхности ткани от расстояния О до штампа вдоль различных направлений. При этом уровни гармоник силы давления штампа на ткань Т7/, Г2,з остаются примерно постоянными (^=0.1Н, -р2^-20дБ, ^=-30дБ). Уровень С/, во всех случаях монотонно убывает по мере удаления. Гармоника и2 монотонно спадает вдоль предплечья и вдоль луча 45°. Важно отметить, что ее уровень на небольших расстояниях (до 15+20 мм) достоверно выше Р2. Это, по-видимому, является следствием роста и2 по мере распространения поверхностной волны за счет нелинейных эффектов. На б'ольших расстояниях V2 спадает ниже уровня Т7^ по-видимому, за счет превышения затухания над нелинейными эффектами. Поведение и2 поперек предплечья существенно отличается: на небольших расстояниях ее уровень ниже, чем Т7?, а по мере

удаления этот уровень U2 растет и превышает F2, что однозначно свидетельствует о превышении нелинейных эффектов над затуханием в этом направлении.

Уровень Uз измерялся поперек предплечья и по лучу 45° (вдоль предплечья U} мало). В обоих случаях он имеет тенденцию снижения по мере удаления от штампа, но в первом случае он всегда остается достоверно выше F3, а во втором случае он превышает этот уровень на небольших расстояниях (до 14 мм) и падает ниже него на больших расстояниях. Проведены исследования нелинейных эффектов в зависимости от частоты задаваемых колебаний. Частотные зависимости сняты в точке, расположенной вдоль предплечья на расстоянии £>=14 мм от края штампа при постоянном уровне смещения W3=0,1 мм. Здесь, как и в соответствии с предыдущими измерениями, U2 превышает F2. Частотная зависимость U2(f) имеет максимум в области f~ 180 Гц на фоне почти монотонного изменения U1, Fh F2.

Теоретические волновые оценки показывают, что объяснение достаточно высоких уровней гармоник на мягкой ткани, по-видимому, связано с относительно большими значениями чисел Маха М=о)и/с=0,02-1,2, поскольку в диапазоне частот 100-200 Гц амплитуда смещения штампа может составлять и=0,1-2 мм, а скорость сдвиговой волны на поверхности с=2-3 м/с. Для нелинейного параметра ткани /¡=8-9 показано, что характерные нелинейные эффекты проявляются на расстояниях нескольких длин волн.

В 4.3 исследованы нелинейные виброакустические эффекты на поверхности активной биоткани с учетом влияния ее состояния.

Использовался сейсмический метод возбуждения волн на поверхности ткани (см. разд. 4.2). Была выбрана /=130 Гц. В точке источника колебаний измерялись ускорение и сила (а также их уровни гармоник) воздействия на ткань в трех состояниях ткани (расслабленном, отеке, напряженном). Одновременно вдоль продольной оси руки на ее внутренней поверхности предплечья на расстоянии х от края штампа, равном 1, 2, 3 и 4 см, акселерометриче-ским щупом измерялось ускорение на частоте/и ее гармониках 2If, 3/ Фиксированное внедрение штампа в ткань составляло й=3 мм, диаметр штампа с/=15 мм. Уровень ускорения штампа не зависел от состояния ткани, причем его гармоники были пренебрежимо малы в отличие от гармоник силы. Внедрение измерительного щупа составляло 2 мм. Каждое измерение повторялось, вычислялись среднее значение и разброс. Расслабленное состояние ткани - это обычное естественное состояние ткани предплечья. Оно изменялось и переходило в напряженное состояние при помощи развития рукой активного напряжения (5 кГ). Состояние искусственного отека (увеличенное кровенаполнение ткани) задавалось при помощи изменения кровоснабжения ткани предплечья пережатием руки манжеткой.

Измерены уровни 1-ой (основной) гармоники. В расслабленном состоянии на штампе сила /^(дБ/Н)=-36,5, а на шупе ускорение (У/дБ/В) монотонно

падает с расстоянием: на 29 дБ с х= 10 мм до х=40 мм (достаточно сильное затухание). В напряженном состоянии на штампе сила Р]~33,5, а на щупе уровень и) падает более медленно, чем в расслабленном состоянии: на 30 мм перепад составляет 9 дБ (довольно слабое затухание волны). В состоянии отека на штампе ^=-29, а на щупе - близкое к напряженному состоянию медленное монотонное падение С/у с перепадом на 10 дБ.

шшгашшпрвдм

Мина»

шдаммсш предплечье Ссшнтотм

типшитледгеш

Калрмтюошмера^

ЛкпмшгищяМ РкаомвгипМ

Рис. 4.3-1. Гармонию! ускорения (распределение) и силы. Штриховые линии - разброс данных

Поведение 2-ых гармоник во всех трех состояниях немонотонно с расстоянием (рис. 4.3-1). Самым нелинейным оказалось расслабленное состояние: по мере удаления от источника, начиная с х-21 мм, относительный уровень 2-ой гармоники ускорения на щупе начинает превышать уровень 2-ой гармоники силы в месте возбуждения (уровень 2-ой гармоники ускорения на штампе всегда мал) и достигает С/2(дБ/Л//)=-20 при /?ХдБ//?/)= -29. В напряженном состоянии ткань становится более линейной и уровень гармоник на щупе всегда падает ниже уровня гармоник на штампе (на 5-ь11 дБ). Состояние отека занимает некое промежуточное положение, уровень 2-ой гармоники на щупе немного превышает (на 2+5 дБ) уровень гармоник на штампе везде, кроме области вблизи *=20 мм, где, наоборот, он ниже уровня гармоник на штампе на 2 дБ. Третьи гармоники ведут себя аналогично.

В 4.4 исследованы низкочастотные нелинейные и параметрические акустические процессы при вибровоздействии на внутреннюю поверхность реагирующей ткани предплечья человека одного или двух вибраторов с разными частотами. Метод аналогичен разд. 4.2, 4.3. Акселерометром измерялась и контролировалась собственная активная акустовибрация (эмиссия) от напряженных мышечных слоев (разд. 3.6). В случае воздействия на поверхность двух вибраторов на базе 8 см с различными частотами, в частности,/>=61 Гц и ^=133 Гц нелинейные акустические эффекты проявлялись в существовании суммарной/;+/=194 Гц, разностной^-//=72 Гц и других комбинационных и

кратных частот ускорения Аг. В низкочастотной области спектра до 50 Гц существует мышечный тремор (/¡=9-12 Гц) и собственно "звуки мышц" Остера-Гримальди (/т=21-25 Гц).

На определенных частотах, в частности, /о= 124 Гц и при достаточно больших уровнях воздействия на поверхность ткани на расстоянии х=40 мм от места возбуждения были зарегистрированы субгармоники ускорения А/. 3>/о/2, 5/о/2 и др. (рис. 4.4-1), причем уровень субгармоники /д/2 мог быть достаточно высоким - ниже уровня возбуждения на выбранной частоте/0 на 1315 дБ. На штампе возникают субгармоники силы К Причиной этого явления может быть нервно-мышечный виброрефлекс. Возникновение субгармоник носит пороговый характер и может быть ограничено во времени, как проявление активных свойств мышечных слоев ткани.

Рис. 4.4-1. Спектр ускорения при возбуждении с амплитудой 48,5g, As - в дБ от 1 В,/- в Гц

В 4.5 изучено неоднородное распределение эритроцитов в слое суспензии в вибрационном поле. Впервые о феномене образования виброструктур {ВС) эритроцитов было доложено В. А. Левтовым с соавторами на Всесоюзном семинаре "Биомеханика-90". Регистрация изменений структуры вибрационного группирования производилась микрофотографическим способом. Для этого суспензия помещалась в специальную микрокювету, расположенную горизонтально, которая представляла собой плоскопараллельную герметизируемую камеру с рабочим объемом 0,005 мл. Одна из стенок кюветы способна совершать механические колебания и жестко соединена с пьезопреобразователем, возбуждаемым генератором на резонасной частоте 13 кГц с амплитудой 0,2 мкм. Вибровоздействие в ряде случаев осуществлялось помещением кюветы на вибростенд. Для обработки первичных данных изображения структур с негативных фотопленок вводились в покадровом режиме в специализированную ЭВМ через телевизионный канал ввода данных. Изображения фрагментов подвергались двумерному Фурье преобразованию с достаточной разрешающей способностью, а также цифровому контрастированию. Исследовались суспензии эритроцитов крови различных животных, имеющих размеры эритроцитов от 5 до 20 мкм, а также молоко, жировые шарики которого существенно различаются по размерам (от 2 до 100 мкм). Изучалась взаимо-

связь процессов образования ВС и обратимой агрегации эритроцитов (ОАЭ), имеющих различную интенсивность агрегации, а также, когда ОАЭ специально подавлялась.

При наложении на микроюовету вибрации с фиксированной частотой (или шумовой) при химическом выключении агрегации или при использовании крови со слабой агрегацией и в случае малых показателей гематокрита Н обнаружены ВС двух видов: группировки шириной 0,1-0,5 мм ("барханы") с явственно выраженной квазипериодичностью, позволяющей выделить их характерный масштаб, и стабильные зоны ("дюны") шириной около 3 мм, включающие в себя "барханы". Появлению "барханов" обычно предшествует формирование коротких цепочек, лежащих рядом эритроцитов. Существует пороговое значение амплитуды вибрации, ниже которой ВС не возникают. Скорость формирования ВС зависит от амплитуды вибрации: чем больше амплитуда, тем выше скорость. По мере продолжения вибровоздействия группировки эритроцитов укрупняются, что отражается на спектрах Фурье - их пространственная частота уменьшается. При выключении вибрации характерное время распада ВС типа "барханы" - десятки секунд, типа "дюны" - десятки минут. Для изучения зависимости вида ВС от концентрации (Н) исследовались суспензии с объемным содержанием клеток 0,1; 1; 10; 20 и 40%. При повышении Н и агрегируемости появляются фрагменты с нарушениями упорядоченности, появляются "дефекты". При дальнейшем увеличении Я их количество нарастает и образуются многомасштабные структуры с самоподобием - "пятна".

В главе 5 предложены и исследованы модельные представления активных процессов в мышечных тканях, клетках, на микроуровне.

В 5.1 рассматривается механика биологических сред. При помощи теории сплошных сред построена математическая механохимическая модель мышечной ткани, учитывающая ее сжимаемость, нелинейные (конечные) деформации, жидкость. Модели биотканей предложены в работах Никитина Л., 1971; Усика, 1973; Регирера, 1980; Никитина Н., 1980; Цатуряна, 1982; Реги-рера, Цатуряна, 1983; Кондаурова, Никитина Л., 1987.

Мышечная ткань представляется в виде двухфазной пороупругой многокомпонентной сплошной среды, насыщенной биожидкостью. Под пассивной жидкой фазой /подразумевается кровь, свободная тканевая жидкость, под активной фазой т - собственно сократительный аппарат, миофибриллы, твердый белковый скелет, соединительнотканные структуры. Объемные содержания фаз равны <р/и <рт (<р^-(рт=\). Напряжение в среде постулируется как сумма напряжений в фазах: &=<рт<7^+<%а/.

Введем р,°, р/ - истинные плотности; рт , pf- приведенные плотности, причем РпГРтфт, РгР?<Р/ ■ Величины рт°, р/ лош!, рт*р/, причем внутренние энергии фаз ит , Цг могут зависеть соответственно от р„, /?/. Предполагается, что каждая фаза состоит из п компонент с концентрациями Сот > С с?; в

34

твердой фазе т происходят г химических реакций. Фаза f - питательная среда, через нее происходит обмен веществом с фазой т. Скорости фаз равны: Ут = = V, температуры Т одинаковы. Твердая фаза вязкоупруга, причем

- вязкая деформация, щ - упругая, щ + Л^ = е~ - полная (л - обозначает

лагранжеву сопутствующую систему координат). Используя неравновесную термодинамику и необходимые законы сохранения, получим балансовое уравнение энтропии среды 5 я;- энтропии фаз):

р((15/Ж) + <ИгЗ = Я/Т, где р=рт+р^ плотность среды, а поток энтропии 3 выражается как ¿¡V У = сИу(д / Т) - Ду[(<ртрт + (ргрг Ж/Т] + £ ,

где ц - вектор потока тепла, <2£ - внешние источники вещества.

Выражение для диссипативной функции энтропии Я получаем в виде

* = <И ^ + (Рт ~Р})—-■~УкЧк(<ртрт + 9,р,) +

Р{ Рт

где ат и=рпШ„/(?г1к1 - напряжение в твердой фазе; рт=(рт°)2<Я/п/фт°, - «давления» в фазах; рат=сЮт1сХ^ат , «химиче-

ские» потенциалы; 1Х - скорость %-п химической реакции, Ах - ее сродство;

п

(2сфп - интенсивность перетока а компоненты из т в/ (¿^ = £ •

Реология фаз (связь напряжения и деформации), вообще, нелинейна. Существует нелинейная связь компонент тензора деформаций и перемещений, физическая нелинейность, нелинейная зависимость активных напряжений от деформаций и напряжений. Твердую фазу считаем анизотропной, жидкость -изотропной. Активация мышцы приводит к изменению ее структуры и вязко-упругих параметров. В частности, из Я следует механохимический реологический закон (связь между напряжениями и деформациями как термодинамическими потоками и силами с учетом перекрестных эффектов)

<72 = 1У(й£н /Л) + ^ , о) = -Р^ ,

где И'1' - определяется средствами химических реакций, - феноменологические вязкие коэффициенты. У мышц помимо вязкоупругих напряжений существуют активные УУ7: развиваемые в результате биохимических реакций плюс МЕ'' за счет упругих деформаций образовавшихся микросвязей-мостиков. При этом = + у2Ъ4' > активное напряжение у2, развиваемое вдоль волокон, с учетом постоянства числа волокон при деформировании

равно у2 =у(13)-{я33/[(g33 + 2е33)13]},/2,13 ~ величина перекрытия взаимодействующих активных центров, 13 - 3-й инвариант еу . Компоненты анизотропного тензора Ь^ в лагранжевой системе координат «вморожены» в среду (не меняются при ее деформировании), § & -метрического тензора, у/ - активное давление, № учитывает наличие активных напряжений в отсутствие деформаций, колоколообразную финитную зависимость от перекрытия белковых нитей, кинетику мостиков.

В 5.2 предложен теоретический подход к описанию нервно-мышечных автоволновых взаимодействий в ткани. Мышечная ткань пронизана разветвленной сетью нервных волокон. В ней могут распространяться и взаимодействовать между собой волны акустомеханической и электрической (потенциал действия, ионные концентрации) природы с близкими по величине скоростями 1-100 м/с. Существуют определенные факты, показывающие взаимодействие этих волновых процессов (мышечная дрожь, судороги, перенапряжения). Сокращение мышцы можно вызвать механическим воздействием (см. пред. разд. 3.5), акустическим облучением.

Мышцу считаем одномерной однородной средой. Связь между продольной деформацией г и напряжением ст имеет вид: а=Ее+АГ(е,ф), Лг(Е,ф)=у(ф)-Де), где Е - модуль упругости Юнга, ф - потенциал возбуждения, у=у(ф)=у0ф - активация (функция возбуждения), Р(г) - структурная финитная колоколообразная функция перекрытия активных элементов (зона взаимодействия белков). Не только возбуждение ф влияет на деформацию е мышцы, существует и обратное влияние - деформация мышцы меняет ее электрические свойства. Волновое уравнение, описывающее распространение деформации е в мышце во времени I и в пространстве х, имеет вид:

дге з д2е 1 д\уР)

Т~с ~т +--Г-'

дх р дх

где с = л[е[р - скорость пассивной упругой волны, р - плотность мышцы.

Распространение локального возбуждения ф по мышце описывается уравнениями автоволнового типа

д<р дг(р дп

— = П(е)— + /{<р,п,е), — = я(р,п,£). д1 дх -Ы

Здесь ф - быстрая, а п - медленная переменные (и - проводимость мембраны для ионов калия). Диффузия £)(е)>0 определяется электрическими параметрами. При этом нелинейная немонотонная функция/определяет ионный ток, а g - монотонная функция, скорость изменения проводимости.

Линеаризуем систему уравнений вблизи стационарного состояния при малых отклонениях. Она будет описывать линейное взаимодействие волн.

Решение ищем в виде гармонических волн (со и к - частота и волновое число). Получим дисперсионное биквадратное уравнение в виде:

(к2-к;)(к2 -а-;)-м2 = о,

к; = \-p5x + Вр2 + В а2 + ш{-р2 - аг + Л)] /{В(Р2 + а2)], к2 = со2 /с2, ц = А[-а{р2 + т2) + гт{/3-ш)У[Ос2{р2 +ю2)], где А^Г(,Р/Р>0, т = -/,'>0. 8 = £9>0, Р = -§'„>0, 5 = /;, « = /;, г = /и - параметр взаимовлияния волн. При отсутствии взаимосвязи (А=а=г=0) система распадается на две независимые части,- к2 =к'е(со) , к2 = к2(со) (рис. 5.2-1, слева). Для волны возбуждения характерна дисперсия

и затухание, а для волны деформации - нет. Учтем взаимное влияние возбуждения и деформации (Аф0, а*0, г^О). При любой связи и следуют аналитические выражения для различных ветвей к(а>). На рис. 5.2-1 (справа) представлены безразмерные дисперсионные характеристики взаимодействующих, связанных волн возбуждения и деформации (Ш = а/ Р, к ~кс/ /?). Кривые построены при безразмерных величинах В=В/р=5, ё. - 5т/р2 = 5 ,

0 = Вр/с2 =0.3 , т, =аА/ор' 18

&

£

О и Ю В и 1П

Рис. 5,2-1. Дисперсионные кривые электромеханических волн в мышечной ткани

Фазовые скорости несвязанных электрической и механической волн равны при частоте ю=а. электромеханического резонанса (рис. 5,2-1). При наличии связи дисперсионные кривые искажаются вблизи ю»; реальные дисперсионные характеристики становятся непересекающимися, а увеличение связи ц приводит к их постепенному расхождению. При изменении параметров зада-

чи эффект их расхождения сохраняется, а мнимые кривые могут касаться друг друга или их пересечение может быть однократным. В низкочастотной области наличие связи приводит к уменьшению фазовой скорости активной волны, что соответствует наблюдениям (разд. 3.5).

В 5.3 представлено математическое моделирование автоволновой активности мышечной клетки. В различных клетках (например, кардиомиоците) могут происходить спонтанные без внешней стимуляции медленные волнообразные микросокращения в виде одной (нескольких) бегущей уединенной волны со скоростью Ге=30-300 мкм/с или в виде сложных распределенных колебаний формы, проявляющихся в изменении концентрации ионов кальция внутри клетки. Для сердечной клетки длина равна 100-150 мкм, поперечный размер - 10-30 мкм, ширина механической волны составляет 10-20 мкм, степень укорочения - 10-15 %, частота повторения сокращений - 0,1-20 Гц. Наблюдения и теоретический подход для данного явления изложены в статьях Регирера, Цатуряна, Чёрной и др., 1986,1992.

Построение адекватной модели проведем на основе автоволновой природы изменения концентрации ионов кальция внутри клетки и на учете ее внутренней структуры. При этом основным механизмом является кальций индуцированное освобождение кальция из дискретно распределенных в пространстве протяженных источников (специальных депо, являющихся источниками свободных ионов кальция внутри клетки). Этот механизм моделируем нелинейной немонотонной А^-образной кривой. Сокращение участка клетки происходит за счет активации миофибрилл ионами кальция. На баланс свободных ионов кальция в миофибриллярном пространстве влияют ионы кальция, находящиеся в депо, а также другие ионы, например ионы калия и натрия. Рефляция концентрации кальция внутри клетки осуществляется с помощью механизмов обмена, ионных насосов, каналов через клеточную мембрану и мембрану депо. Уравнения баланса, описывающие изменение концентрации С свободных ионов кальция в клетке и изменение характерного параметра N (проницаемость мембраны депо для всасывания ионов кальция), справедливы в безразмерном виде:

дС д2С дЫ

д( дх Ы

Нелинейная немонотонная функция К2=К2(С) задает механизм кальций индуцированного освобождения кальция из депо, а = Я3(С) = уАС + Т} является нагрузочной функцией. Функция К, - Я,(С) = -1(С -С0) описывает отсос ионов кальция обратно в депо. Функция Г = Т(х) = ят2(тех/1) определяет распределение протяженных источников ионов кальция с периодом X (активные зоны). До стимуляции концентрация кальция внутри клетки составляет 10~7 моль/л, а через 20 мс после стимуляции достигает 10"5 моль/л. Различ-

ные режимы автоволнового распространения концентрации ионов кальция представлены графически в яркостном виде. В непрерывной модельной системе решение получено аналитически.______

а И б 1 г

в г 1 д

Рис. 5.3-1. Динамика внутриклеточного кальция (численный расчет на плоскости х, /)

Автоколебательное распространение волны. Имеются два характерных режима: волновой (распространяющиеся импульсы концентрации С кальция) и квазихаотический (сложные распределенные автоколебания типа биений). Различные режимы поведения системы уравнений реализуются в зависимости от уровня отсоса кальция I. Безразмерные кинетические параметры равнялись />=0.25, у=0.001, <у=0.5, С,г4. Функция 11>(С) представлена кусочно линейно: Яг=6 при 0<С<4, Л т=0. НС-10) при 4<С<60, К2=0 при 060. Система (активные области) находится в автоколебательном состоянии (Т3=-5, у4=0.5). Пространственный период расположения источников Х=25. Варьируемый параметр отсоса /= 0; 0.03; 0.09; 0.1; 0.2 (рис. 5.3-1а, б, в, г, д). При волновом режиме вначале система возбуждается одновременно во всех своих активных участках как целое, затем, начиная с концов мышечной клетки, возникает импульсный режим распространения концентрации ионов кальция: квазинепрерывный /~0 или дискретный /=0.03 (рис. 5.3-1а, б). Может возникать циклический двухимпульсный режим с их рождением, распространением, слиянием и исчезновением. При разных условиях на концах начальное возбуждение может постепенно переходить в регулярное дискретное распространение одного импульса. При увеличении уровня отсоса / происходит постепенная расфази-ровка (разбаланс, режим "эхо") колебаний соседних активных зон (рис. 5.3-1 в, г, д), первоначально синфазных распределенных колебаний. Регулярные волновые режимы переходят в нерегулярные. При /=0.09 - квазихаотическое по-

ведение, /=0.1 - кластерный режим, /=0.2 - биения. На фоне нерегулярной динамики можно выделить фрагменты пространства и времени с регулярным локализованным распространением импульса. При определенных условиях наблюдался сильный разбаланс соседних элементов с последующим выходом на режим, когда порядок возбуждения элементов соответствовал шахматному.

Ждущее распространение волны. Проведены численные расчеты распространения локализованной волны концентрации кальция, возбуждаемой с одного конца (х=0) разовым спонтанным импульсным увеличением концентрации С(х=0)=30-60 в системе уравнений, причем отсос Л/=-у{Г1 при Г/==2. Другие параметры Д v, д, а также нелинейная функция теже. Период расположения источников возбуждения А=10. Параметры выбраны такими, что в активной области \-Т(х) реализован ждущий режим. Численные расчеты проведены при 7}=-3, у4=0.5 и различных, постепенно увеличивающихся, уровнях поглощения 0; 0,1; 0,105; 0,106; 0,107; 0,11. В плоскости х, ( представлены последовательные по у[ фрагменты решений: от непрерывного (к=°о, У1=0) до декрементного распространения волны концентрации ионов кальция. С увеличением у! эффективная скорость волны падает, причем скорость распространения внутри активного участка ниже, чем вне его, происходят быстрые перескоки между активными участками.

Представленное нестационарное волнообразное поведение концентрации ионов кальция в миоплазме мышечной клетки может вызывать механический ответ - волну ее сокращения и изменения ее формы, причем сглаженное из-за латентности и релаксационное™.

В 5.4 развиты теоретические представления о микроавтоволновых процессах в активных реагирующих биотканях, основанные на механохимиче-ских свойствах ткани, белках-осцилляторах, развивающих активное напряжение, когда их движение регулируется возникающим в вязкоупругой среде напряжением. Функциональная работа мышечных структур (сокращение и развитие активного напряжения) сопровождается генерацией виброакустических колебаний. Низкочастотные колебания на фоне развития напряжения после рывков наблюдались с помощью высокочувствительных датчиков. Используем общепринятые биофизические представлен™ о микро- и макроструктуре мышцы. Поведение мостиков описываем моделью осциллятора. Учет континуальности позволяет получить автоволновую модель ткани как активной сплошной среды, включающей белки-осцилляторы, развивающие напряжение и взаимодействующие со средой

Р

д2^ да д1г дх

ад

е = — дх

Здесь р - плотность среды, Ь - ее вязкость; - смещение, о - полное напряжение; К, ц - упругие коэффициенты Ламе, Ще) - активное напряжение (его линейная переменная часть Лг(е) = Г ■ е), е - активная внутренняя деформация, А - внутреннее смещение мостикового осциллятора, ш0 - его собственная частота, 8 - его затухание; х - коэффициент взаимодействия осциллятора и среды. В линейном случае система уравнений имеет вид

Дш + 5К, + ®оД« = ^«а + С2^ + С2®0 Д» + ^тх + + у5Лсах+уа2Лах+ГХЛха, где с2 =(к+2ц)/р, у=Ыр. Если Г=0, то среда и мостики будут совершать затухающие колебания. Пусть подставляя А~ехр[/(а><-Аэс)], получим дисперсионное уравнение 4-й степени:

^ + + + (1 +д2 + пйд2 + ¡8д)Б2 + (с1 + п)д2Б + д2 = 0,

где безразмерные функции имеют вид: 5 = г'й> / а0 - частота, д=ск/со0 - волновое число; а безразмерные параметры равны: й=8/ ю0 - вязкость осциллятора, п-о)0у/с2 - вязкость среды, £=Тх/(щ}с) - активная связь.

Численное решение алгебраического уравнения 5=Б(д), причем представлено при й=1, п=0.1, §=1 (при <1=0, п=0, g=0 имеем асимптотические прямые). Существенно наличие характерного длинноволнового инкремента неустойчивости (Ле£>0) как следствие автоволновой природы явления. Максимальное значение для кривых Яе5(д) равно: iteS.sO.25 при д«=2я/х.=1.6, причем Пространственному масштабу с наибольшим

инкрементом соответствует частота, которая может характеризовать колебательные эффекты, сопровождающие сокращение мышцы.

Основные результаты

1. Исследовано влияние потока крови на неустойчивость пассивного крупного сосуда с учетом нелинейности и продольного натяжения стенки, не-осесимметричных деформаций. Показана возможность расширения области неустойчивости при определенном соотношении вязких параметров модели. По оценкам для вен критический кровоток, выше которого возникает неустойчивость, может достигаться в обычных условиях, а для артерий - при патологии. Получены характерные решения системы уравнений: локальные расширение, сужение, изгиб и нелокальное гофрированное изменения формы сосуда, а также режимы флаттера и квазистатической волновой дивергенции.

2. Исследована нелинейная модель распределения кровотока или лимфо-тока в малом активном схлопывающимся сосуде, описывающая перепадную автоволну его просвета с учетом гравитации. Найдены аналитические выражения для скорости распространения сжатия (расширения) радиуса сосуда и его формы, оценки которых близки измеряемым в экспериментах, причем со-

ответствующие изменения давления малы, отраженной волны не возникает в отличие от миогенно активного сосуда. Получены насосные эффекты перистальтического транспорта биожидкости с существенной прокачкой для вен и лимфососудов.

3. Аналитически найдены решения нелинейных уравнений, моделирующих течение крови в механогенно активном микрососуде, и нелинейная автоподкачка. Получено выражение для частоты распределенных автоколебаний, независимое от общих граничных условий. При увеличении бифуркационного параметра от границы неустойчивости решение выходит на режим квазистационарных автоволн локального изменения радиуса и расхода, но перепадно-го давления.

4. В приближении двухфазной среды (кровь и нелинейно активный упругий каркас) построена континуальная модель пространственно неоднородного распределения крови в ткани, включая механизмы гладкомышечной регуляции. С учетом фильтрации получено нелинейное уравнение относительно объемного содержания крови (пористости) и найдены интегралы сохранения. Аналитически и численно выявлено существование диссипативных автоструктур самоорганизации кровоснабжения (сложные пятна на ткани) и описана динамика процесса эволюции начальных возмущений.

5. Исследованы дисперсионные характеристики низкочастотных упругих волн на поверхности биоткани, распределения колебаний вдоль поверхности и под ней. Показано, что волны существуют в ближней зоне и сильно затухают на нескольких длинах. Осуществлена визуализация волн. Численным расчетом показано, что продольные и поперечные смещения (амплитуды и фазы) ближнего волнового поля от поверхностного силового виброисточника и их пространственные распределения существенно зависят от толщины мягкого слоя двухслойной среды. Показано, что для нормальных смещений имеется характерный пик в точке возбуждения и немонотонное падение при удалении вдоль поверхности и в глубину, на амплитудно-частотной кривой имеется резонанс. Амплитуда касательных смещений значительно меньше и имеет более сложное распределение.

6. Изучено распространение механического импульса по биоткани в ее различных состояниях, возбужденного ударом по ее поверхности. Показан низкочастотный характер удара и импульса в виде квазигармонической затухающей волны. Активное напряжение мышцы вызывало существенное увеличение скорости импульса. Показано, что при ударном воздействии на нервно-мышечную ткань могут возникать две волны: обычная пассивная и существенно более медленная длинная активная псевдоволна возбуждения и сокращения нейрогенной природы.

7. Выведено нелинейное волновое уравнение для биоткани с учетом ее структуры, анизотропии, активности, жидкой фазы. Получено аналитическое выражение для нелинейного акустического параметра биоткани. Показано,

что нелинейный параметр растет с увеличением объемного содержания твердой фазы, а активность может его уменьшить.

8. Изучены нелинейные эффекты (уровни гармоник силы и ускорения) на биоткани. Получены более высокие уровни второй и третьей гармоник ускорения поверхности по сравнению с виброисточником в зависимости от расстояния до него по различным направлениям, а также от частоты. Показано наличие анизотропии нелинейных и вязких свойств. Найдено, что изменение состояния ткани сопровождается изменением уровней гармоник и субгармоник при вибровоздействии. Наибольшая нелинейность связана с расслабленной тканью. При напряжении уровень гармоник падает, реагирующая ткань "автолинеаризуется". Состояние избыточной кровонаполненности (отек) -промежуточное.

9. Исследовано взаимодействие электрической волны возбуждения мышцы и волны ее деформации, параметры которых изменяются при наличии связи. Получены дисперсионные характеристики электро-механических волн, причем на низких частотах фазовая скорость распространения активной волны уменьшается.

10. Предложена нелинейная математическая модель с протяженными дискретными источниками, описывающая спонтанные распределенные изменения концентрации ионов кальция внутри мышечной клетки (ее микросокращения). Аналитически и численно получены характерные режимы автоволновой активности: простой импульсный и сложный с постепенной расфа-зировкой колебаний отдельных участков клетки.

Список основных публикаций по теме работы

1. Клочков Б. Н„ Кузнецова Е. А. Нелинейные режимы изменения формы упругой трубки с потоком жидкости в ней // Известия АН. Механика жидкости и газа. 2000. № 4. С. 46-55.

2. Киреева Е. Е., Клочков Б. Н. Волновые движения жидкости в активной вязкоупругой трубке вблизи границы неустойчивости // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1986. № 3. С. 17-24.

3. Клочков Б. Н., Рейман А. М., Степанянц Ю. А. Нестационарные течения жидкости в трубках из вязкоупругого активного материала // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1985. № 3. С. 94-102.

4. Клочков Б. Н. Упругие волны в материале с механо-химическими реакциями // Прикладная математика и механика. 1986. Т. 50, в. 3. С. 451-460.

5. Кчочков Б. Н. Нелинейный акустический параметр активной биологической ткани // Акустический журнал. 1994. Т. 40, № 3. С. 450-451.

6. Клочков Б. Н. Нелинейные виброакустические процессы на поверхности биоткани // Акустический журнал. 2000. Т. 46, № 5. С. 707-709.

7. Клочков Б. Н. Ближнее поле силового низкочастотного источника на слоистой биоткани // Акустический журнал. 2002. Т. 48, № 1. С. 70-76.

8. Клочков Б. Н., Соколов А. В. Волны в поверхностном слое мягкой биоткани на полупространстве из твердой биоткани // Акустический журнал. 1994. Т. 40, №2. С. 270-274.

9. Клочков Б. Н., Соколов А. В. Характеристики упругого ближнего поля вибрационного источника на границе неоднородного полупространства // Акустический журнал. 1995. Т. 41, № 3. С. 512-514.

10. Клочков Б. Н„ Тиманин Е. М. Нелинейные эффекты при колебании штампа на поверхности мягкой ткани // Акустический журнал. 1994. Т. 40, № 6. С. 953-956.

11. Киреева Е. Е., Клочков Б. Н. Нелинейная модель сосудистого тонуса // Механика композитных материалов. 1982. № 5. С. 887-894.

12. Клочков Б. Н. Анализ акустических свойств мышечной ткани // Механика композитных материалов. 1985. № 1. С. 132-137.

13. Клочков Б. #., Кузнецова Е. А. Активные волновые процессы в схло-пывающихся сосудах и эффекты транспорта // Известия ВУЗов. Радиофизика. 2000. Т. 43, № 9. С. 793-800.

14. Антонец В. А., Клочков Б. Н., Шуваева В. Н. и др. Неоднородное распределение эритроцитов в слое суспензии при действии вибрации // Известия ВУЗов. Радиофизика. 1995. Т. 38, № 3-4. С. 349-356.

15. Антонец В. А., Клочков Б. Н., Ковалева Э. П. Вибро-акустические процессы и структурные перестройки в мышечной ткани // Известия ВУЗов. Радиофизика. 1995. Т. 38, № 3-4. С. 357-367.

16. Казаков В. В., Клочков Б. Н. О низкочастотных механических свойствах мягкой ткани руки человека // Биофизика. 1989. Т. 34, в. 4. С. 688-692.

17. Антонец В.А, Клочков Б.Н. Механохимическая сократительная система как термодинамическая машина // Биофизика 1977. Т.22, в.1. С.70-74

18. Клочков Б. Н. Математическое моделирование активных волновых процессов в ткани // Вестник Нижегородского университета. Математическое моделирование и оптимальное управление. 1997. Т. 17. С. 81-93.

19. Клочков Б. Н., Кузнецова Е. А. Акустические эффекты на поверхности ткани // Российский журнал биомеханики. 1999. № 2. С. 63-64.

20. Парашин В. Б., Клочков Б. Н., Тиманин Е. М. и др. Биомеханика ударной травмы легких // Механика легких, дыхания и речеобразования / Современные проблемы биомеханики. М.: Наука, 1991. Вып.8. С. 3-11.

21. Левтов В. А., Тухватулин Р. Т., Клочков Б. Н. и др. Неоднородное распределение эритроцитов в суспензии, помещенной в вибрационное поле // Реология крови и микроциркуляция / Современные проблемы биомеханики. М.: Научн. совет РАН по пробл. биомех., 1994. Вып. 9. С. 71-84.

22. Антонец В. А., Клочков Б. Н., Тиманин Е. М. Энергозатраты сердечной мышцы // Структурные основы и регуляция биологической подвижности. М.: Наука, 1980. С. 309-313.

23. Паршиков В. В., Киреева Н. Б., Клочков Б. Н. Способ прогнозирования рецидива пузырно-мочеточникового рефлюкса у детей. Патент на изобретение № 2244508. Зарегистрировано в Гос. реестре 20 января 2005.

24. Klochkov В. N., Pelinovsky Е. N. Nonlinear models of blood flow in tissues // Lecture notes ICB seminars. Biomech. Warsaw. 1992. V.15. P.70-81.

25. Antonets V. A., Klochkov B. N., Kovaleva E. P. Mechanisms of vibrational and acoustical activity of muscular tissue // Lecture notes of the ICB seminars. Biomechanics. Man Under Vibration. Warsaw, 1997. V.29. P.152-161.

26. Клочков Б. H. Автоволновые процессы в кровеносных сосудах мышечного типа // Автоволновые процессы в системах с диффузией / ИПФ АН СССР. Горький, 1981. С. 233-242.

27. Казаков В. В., Клочков Б. Я. Волны активности на мышце человека // Коллективная динамика возбуждений и структурообразование в биологических тканях / ИПФ АН СССР. Горький, 1988. С. 52-55.

28. Клочков Б. Я О моделях течения жидкости в микрососудах // Коллективная динамика возбуждений и структурообразование в биологических тканях / ИПФ АН СССР. Горький, 1988. С. 156-164.

29. Казаков В. В., Клочков Б. Я, Чичагов П. К. Исследование дисперсионных характеристик волны на поверхности тела человека // Методы вибрационной диагностики реологических характеристик мягких материалов и биологических тканей / ИПФ АН СССР. Горький, 1989. С. 35-54.

30. Клочков Б. Я, Пелиновский Е. Я Модели неоднородного распределения кровотока в ткани // Биоритмические и самоорганизационные процессы в сердечно-сосудистой системе. Теоретические аспекты и практическое значение / ИПФ РАН. Н. Новгород, 1992. С. 33-42.

31. Клочков Б. Я, Кузнецов С. О., Толков В. Я. Математическое моделирование ритма волновой активности кардиомиоцита // Биоритмические и самоорганизационные процессы в сердечно-сосудистой системе. Теоретич. аспекты и практич. значение / ИПФ РАН. Н. Новгород, 1992. С. 43-57.

32. Вазина А. А., Сергиенко П. М., Клочков Б. Я. и др. Структурная перестройка белков сокращающейся мышцы как источник акустических колебаний // Биоритмические и самоорганизационные процессы в сердечнососудистой системе / ИПФ РАН. Н. Новгород, 1992. С. 58-65.

33. Клочков Б. Я, Яхно В. Г. Математическое описание спонтанных волновых сокращений мышечной клетки: Препринт ИПФ АН СССР № 137. Горький, 1986. 26 с.

34. Клочков Б. Я, Кузнецова Е. А. Неосесимметричные нелинейные колебания вязкоупругого тонкостенного сосуда под действием потока жидкости: Препринт ИПФ РАН № 484. Н. Новгород, 1999. 24 с.

35. Клочков Б. Я, Соколов А. В. Акустическое ближнее поле силового вибрационного источника на поверхности слоистой ткани: Препринт ИПФ РАН № 445. Н. Новгород, 1997. 27 с.

36. Клочков Б. Н., Рейман А. М. Самоорганизационные процессы кровоснабжения в биологических тканях // Нелинейные волны. Синхронизация и структуры. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1995. Ч. 2. С. 111-118.

37. Klochkov В. N., Pelinovsky Е. N., Reyman А. М. Mathematical nonlinear model of inhomogeneous distribution blood flow in tissue // Proceedings of XV Congress of the Internat. Society of Biomechanics. Finland, 1995. P. 486-487.

38. Казаков В. В., Клочков Б. Н. Нелинейные акустические свойства мягких биологических тканей в звуковом диапазоне частот // Проблемы нелинейной акустики / СО АН СССР. Новосибирск, 1987. Часть И. С. 29-31.

39. Кузнецова Е. А., Клочков Б. Н. Нелинейные изгибные эффекты в сосуде с кровотоком // Труды VIII сессии Российского акустического общества. Н. Новгород: Изд-во общ-ва "Интелсервис", 1998. С. 23-26.

40. Клочков Б. Н., Тиманин Е. М. Нелинейные виброакустические эффекты на поверхности биологической ткани // Нелинейная акустика твердого тела / Труды VIII сессии Российского акустического общества. Н. Новгород: Изд-во общ-ва "Интелсервис", 1998. С. 273-276.

41. Клочков Б. Н. Упругое ближнее поле от силового низкочастотного источника на слоистой биологической ткани // Труды XI сессии Российского акустического общества. М.: ГЕОС, 2001. Т. 3. С. 149-153.

42. Клочков Б. Н. Дисперсионные характеристики акусто-электрических и поверхностных упругих волн в биологических тканях // Труды XIX сессии Российского акустического общества. М.: ГЕОС, 2007. Т. 3. С. 152-155.

43. Клочков Б. Н. Акустические поверхностные волны на биологической ткани // Труды 3-й научной конференции по радиофизике. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1999. С. 234-235.

44. Борисов В. И., Клочков Б. Я, Шидловский А. С. и др. О моделировании формы пульсовой волны и периферического сопротивления с учетом гравитационных воздействий // Труды 3-й Всероссийской конференции по биомеханике. Н. Новгород: НЦИНТ, 1996. Т. I. С. 86-87.

45. Паршиков В. В., Киреева Н. Б., Клочков Б. Н. Математическая модель пузырно-мочеточникового рефлюкса // Нижегородский медицинский журнал. 2004. № 1.С. 70-72.

46. Клочков Б. Н. Взаимодействие акустической и электрической волн в мышечной ткани // Акустический журнал. 2008. Т. 54, № 1. С. 143-146.

Оглавление работы

Введение

1. Волновые процессы в эластичных оболочках, заполненных вязкой жидкостью

1.1. Волновые процессы в крупных кровеносных сосудах. Эффекты кровотока

1.2. Автоволновые процессы в схлопывающихся кровеносных и лимфатических сосудах. Эффекты транспорта

1.3. Автоволновые процессы в мелких кровеносных сосудах. Эффекты подкачки

2. Самоорганизация кровоснабжения ткани

2.1. Континуальная модель кровозаполнения тканей

2.2. Динамические автоструктуры распределения крови в ткани

3. Линейные вязкоупругие волны на поверхности слоистых активных сред, насыщенных жидкостью

3.1. Численные расчеты ближнего акустического поля от силового виброисточника на поверхности биологической ткани

3.2. Акустика поверхностных волн на биотканях

3.3. Волны на поверхности биоткани, насыщенной воздухом

3.4. Распространение упругого импульса на поверхности биоткани

3.5. Активная псевдоволна на мышце

3.6. Собственные виброакустические процессы в мышечной ткани

4. Нелинейные объемные и поверхностные волны в жидконасыщенных пористых средах

4.1. Нелинейные объемные акустические свойства биологической ткани

4.2. Нелинейные эффекты на поверхности мягкой пассивной биоткани

4.3. Нелинейные эффекты на поверхности биоткани. Влияние состояния

4.4. Параметрические эффекты при вибровоздействии на ткань

4.5. Распределение эритроцитов в слое суспензии в вибрационном поле

5. Автоволновые процессы в активных системах с учетом механохими-ческих реакций

5.1. Математическое описание нелинейных механохимических свойств биологических сред

5.2. Нервно-мышечные автоволновые взаимодействия в ткани

5.3. Математическое моделирование автоволновой активности мышечной клетки

5.4. Автоволновые взаимодействия в системе белков в мышце Основные результаты

Литература

Борис Николаевич Клочков

ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В АКТИВНЫХ СРЕДАХ, НАСЫЩЕННЫХ ЖИДКОСТЬЮ

Автореферат

Подписано к печати 3.10.2007 г. Формат 60 х 90 '/16- Бумага офсетная № 1. Усл. печ. л. 3. Тираж 120 экз. Заказ № 130(2007)

Отпечатано в типографии Института прикладной физики РАН, 603950 Нижний Новгород, ГСП-120, ул. Ульянова, 46 klochkov@appI.sei-nnov.ru

ВВЕДЕНИЕ.

Общая характеристика.

Краткое содержание.

1. ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛАСТИЧНЫХ ОБОЛОЧКАХ, ЗАПОЛНЕННЫХ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ.

1.1. Волновые процессы в крупных кровеносных сосудах. Эффекты кровотока

1.2. Автоволновые процессы в схлопывающихся кровеносных и лимфатических сосудах. Эффекты транспорта.

1.3. Автоволновые процессы в мелких кровеносных сосудах. Эффекты подкачки

2. САМООРГАНИЗАЦИЯ КРОВОСНАБЖЕНИЯ ТКАНИ.

2.1. Континуальная модель кровозаполнения тканей.

2.2. Динамические автоструктуры распределения крови в ткани.

3. ЛИНЕЙНЫЕ ВЯЗКОУПРУГИЕ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ СЛОИСТЫХ АКТИВНЫХ СРЕД, НАСЫЩЕННЫХ ЖИДКОСТЬЮ

3.1. Численные расчеты ближнего акустического поля от силового виброисточника на поверхности биологической ткани.

3.2. Акустика поверхностных волн на биотканях.

3.3. Волны на поверхности биоткани, насыщенной воздухом.

3.4. Распространение упругого импульса на поверхности биоткани.

3.5. Активная псевдоволна на мышце.

3.6. Собственные виброакустические процессы в мышечной ткани.

4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОБЪЕМНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ В ЖИДКОНАСЫЩЕННЫХ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ.

4.1. Нелинейные объемные акустические свойства биологической ткани

4.2. Нелинейные эффекты на поверхности мягкой пассивной биоткани

4.3. Нелинейные эффекты на поверхности биоткани. Влияние состояния

4.4. Параметрические эффекты при вибровоздействии на ткань.

4.5. Распределение эритроцитов в слое суспензии в вибрационном поле .163 5. АВТОВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В АКТИВНЫХ СИСТЕМАХ С УЧЕТОМ МЕХАНОХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ.

5.1. Математическое описание нелинейных механохимических свойств биологических сред.

5.2. Нервно-мышечные автоволновые взаимодействия в ткани.

5.3. Математическое моделирование автоволновой активности мышечной клетки.

5.4. Автоволновые взаимодействия в системе белков в мышце.

Общая характеристика

Работа посвящена теоретическому и экспериментальному исследованию волновых процессов в водонасыщенных активных биологических тканях, в частности волнам на ее поверхности, а также исследованию автоволновых процессов в мышечной ткани и сосудистых системах.

Данное исследование волновых и механохимических свойств биологических тканей, сложных реагирующих сред с учетом кровоснабжения в зависимости от внешних и внутренних условий, обладающих упрочнением или размягчением при вибромеханическом воздействии актуально. Теоретическое и экспериментальное исследование биологических тканей поверхностными акустическими волнами позволяет получить новые знания о физических свойствах тканей: о слоистой структуре, о распределении по поверхности и по глубине линейных и нелинейных акустомеханических параметров, о неоднородности, о механохимических процессах, о кровоснабжении, о лимфообращении.

В ходе исследований биологических тканей все большее внимание уделяется не только линейным и нелинейным эффектам на объемных волнах, но и эффектам на сдвиговых и поверхностных волнах, как наиболее чувствительных к структурным и функциональным изменениям состояния тканей (например, расслабленное, напряженное, при различном уровне кровоснабжения) и в ряде случаев более удобных с точки зрения возбуждения и приема. Мало изученными являются исследования волновых процессов в биологических тканях с учетом механохимической активности. В данной области недостаточно надежных методов и приборов детального исследования биологической ткани с учетом ее физико-физиологического состояния. Недостаточно адекватно разработаны математические модели и их решения отдельных элементов системы кровообращения, лимфосистемы и др., не описаны связи между ними, не рассмотрены многие самоорганизационные процессы в системе кровообращения. Важны исследования естественных и вынужденных вибраций в тканях живого организма и их взаимосвязи, движения сосудов внутри нее, распространения возбуждаемых внешним источником низкочастотных акустических волн по поверхностным и внутренним мягким тканям, виброакустических эффектов при сокращении мышц.

К настоящему времени получили большое развитие ультразвуковая диагностическая техника, а также более низкочастотные методы, при помощи которых можно измерять акустические параметры биологических тканей в различных состояниях, включая мышцы и мышечные органы (например, сердце). Появились тонкие методы изучения механики системы микроциркуляции крови. При этом возрастает необходимость и важность теоретического описания акустических и автоволновых процессов, протекающих в живых тканях, для углубленного понимания физических механизмов, лежащих в основе этих процессов, и возможности управления ими, а также для получения связи механохимических параметров ткани с измеряемыми величинами. Необходимость определения линейных и нелинейных параметров слоистых биологических тканей является стимулом для изучения распространения и искажения упругих волн на границе биологической ткани. Необходимо исследовать возможность создания томографического анализа акустомеханических свойств и слоистой структуры биологической ткани при помощи акустических волн на поверхности ткани. Это представляет собой как самостоятельный научный интерес, так и возможность оценки свойств динамического состояния ткани.

Существенны теоретические и экспериментальные линейные и нелинейные исследования виброакустических и автоволновых свойств биологических тканей, в частности, исследования низкочастотных ближних упругих волновых полей, возбуждаемых силовым вибрационным источником на поверхности слоистой ткани, для определения характерного диапазона частот, влияния слоисто-структурных (в частности, толщины слоя) и вязкоупругих параметров на скорость распространения упругих волн на поверхности ткани, их декремент затухания и другие характеристики в зависимости от частоты и с учетом пространственного распределения волнового поля. Данные акустические параметры могут служить объективной диагностике состояния ткани. Интересен случай сильно отличающихся по жесткости слоев (костная и мягкая (мышечная) ткани), что важно для моделирования различных сочетаний слоев ткани в живом организме и возможности диагностики состояния ткани через другой слой с помощью поверхностных волн.

Создаваемое человеком биополе является многокомпонентным. В нем присутствуют и электрическая, и тепловая, и акустическая составляющие. Изменения, происходящие в организме, влекут за собой и изменение спектра излучения. Поэтому для диагностики важно понимание того, как изменяются эмиссионные спектры под влиянием различных биохимических и физических процессов. Источниками акустической эмиссии могут служить целые органы, клетки, интерполимерные комплексы, отдельные макромолекулы.

Следует заметить, что со времени открытия системы кровообращения физические представления и методы всегда использовались для исследования и описания ее работы. Прежде всего речь идет о гидродинамике, механике деформируемого твердого тела, теории электричества, акустике, моле-кулярно-кинетической теории, теории колебаний и др. Успехи применяемых подходов весьма ощутимы и к настоящему времени, по-видимому, моделирование функционирования отдельных фрагментов системы кровообращения позволяет сложить их в некоторую цельную физическую картину. При этом, несмотря на разнообразие физических процессов, обеспечивающих работу сердечно-сосудистой системы, существенными являются нелинейные динамические явления в ней. В определенном смысле теория кровообращения превращается в физическую, подобно тому как это произошло с теорией распространения возбуждений в нервных волокнах. Представляют большой интерес исследования самоорганизационных и автоволновых процессов кровоснабжения с учетом авторегуляции кровотока и активных, механохимиче-ских процессов в ткани.

Целью работы является исследование волновых и автоволновых процессов в мягких биологических тканях, насыщенных жидкостью, в частности:

Построение и исследование математических моделей отдельных элементов сосудистой системы кровообращения и лимфообращения (сосудов и микрососудов), рассмотрение самоорганизационных процессов в них (автоволновые движения в активных одиночных микрососудах, учитывающие различные механизмы локальной регуляции кровотока). Исследование активных волновых процессов в схлопывающихся сосудах с учетом влияния гравитации, эффектов транспорта биологических жидкостей. Исследование изгиба кровеносного сосуда с потоком крови.

Создание нелинейных распределенных математических моделей и их исследование аналитическими и численными методами, описывающих нелинейную динамику и механизмы распределения кровоснабжения мягких биологических тканей (неоднородное пространственное распределение крови в ткани).

Проведение теоретических и экспериментальных исследований линейных акустомеханических характеристик и параметров распространения низкочастотных акустических поверхностных волн (скорость распространения, декремент затухания), распространяющихся по поверхности и внутренним структурам различного типа слоистых биологических тканей, возбуждаемых внешним источником. Изучение ближнего поля вибрационного поверхностного источника для определения линейных параметров среды. Исследование взаимодействия электрической волны возбуждения мышцы и механической волны ее сокращения. Исследование собственных, присущих внутреннему устройству ткани (мышечные слои), акустовибрационных явлений, определяющихся механохимическими процессами в биологических тканях. Исследование нелинейных акустических эффектов на поверхности активной биологической ткани и в ее объеме для различных функциональных состояний ткани с учетом структурных особенностей и изменений, обусловленных уровнем кровоснабжения, отеком, механохимическими процессами (уровнем мышечного сокращения), вибровоздействием.

Разработка математических моделей и с их помощью исследование характерных автоволновых режимов спонтанных сокращений в мышечных клетках, изучение их пространственно-временной динамики и процессов самоорганизации с учетом активного взаимодействия белковых структур. Исследование механизма акустовибрации, порождаемой мышечными белковыми структурами.

Исследование волновых процессов в жидконасыщенных биологических тканях проведено на основе разнообразных теоретических и экспериментальных методов и подходов. При этом важным является сочетание теоретической работы по построению новых нелинейных моделей биологических тканей на основе методов механики сплошных сред, механики гетерогенных сред, теории механохимических и автоволновых процессов и измерениями на живом объекте. Использован метод акустических поверхностных волн для исследования биологических тканей, а также спектральный и корреляционный анализ. По сравнению с известными методами виброакустический метод исследования обладает следующими преимуществами: благодаря своей низкочастотности чувствителен к глубоко залегающим слоям ткани, позволяет регистрировать нелинейные акустические характеристики ткани сдвиговой природы, позволяет объективно измерять влияние различных факторов и воздействий (в том числе и вибрации) на состояние ткани. Использован метод интегральных представлений для расчета ближних упругих полей на поверхности ткани и в ее глубине.

Разработаны методы построения математических моделей течения биологических жидкостей по сосудистой системе с учетом авторегуляции, моделей автоволнового типа на микроуровне с проявлением активности, моделей кровоснабжения ткани с учетом фильтрации. Использованы континуальные представления о биологических тканях и представления о сосудистой сети как транспортной системе с активной фильтрацией. Разработаны технические средства, пакеты программ по расчету акустических и автоволновых процессов, аналитические и численные методы, вычислительные алгоритмы. При численных решениях нелинейных уравнений автоволнового типа и численных расчетах сложных интегральных представлений использовался графический метод вывода решения в виде двумерного и трехмерного простого или яркостного рисунка. Использовался комплекс виброзадающей, виброизмерительной и виброанализирующей аппаратуры фирмы Bruel & Kjer (Дания), Robotron (Германия), персональный компьютер, небольшие вибраторы, контактные акселерометрические и бесконтактные ультразвуковые измерители естественных и вынужденных вибраций поверхности ткани.

В работе получены новые результаты по волновым процессам в жид-конасыщенных биологических тканях, в частности, по упругим волнам на поверхности тела живого организма, а также по математическому моделированию автоволновых самоорганизационных процессов в активных биологических тканях (мышечная ткань, кровеносные и лимфатические сосуды с мышечной стенкой и с потоком, ткань с микрососудами), в клетках.

Впервые теоретически и экспериментально исследованы акустические волны на поверхности биологической ткани в различных состояниях с учетом слоистой структуры и нелинейности. При этом низкочастотные ближних упругие волновые поля, возбуждались силовым вибрационным источником на поверхности ткани. Показано, что для их моделирования часто встречающиеся типы ткани живого организма допустимо представлять вязкоупругим водоподобным слоем, жестко связанным с твердым упругим. Показано существенное влияние толщины мягкого слоя на различные рассчитанные характеристики распространяющихся упругих волн на поверхности ткани в зависимости от частоты. На основе разработанной акустической модели активной биологической ткани найдено аналитическое выражение для нелинейного акустического параметра;

Впервые измерены параметры нелинейных эффектов - уровни гармоник силы и ускорения при действии гармонического источника на поверхность ткани в ее различных состояниях. Измерения проводились одновременно на самом штампе и на различных расстояниях от него. Зарегистрирован более высокий уровень, второй и третьей гармоник по сравнению со штампом. Показано, что изменение состояния ткани сопровождается; изменением уровней гармоник, причем наибольший уровень нелинейности ткани связан с ее расслабленным состоянием. При мышечном напряжении уровень гармоник существенно падает, ткань "автолинеаризуется". Состояние избыточной кровонаполненности (отек) занимает промежуточное положение, близкое к напряженному состоянию. Впервые обнаружен параметрический эффект возникновения субгармоник, как проявление виброрефлекса при вибровоздействии.

Впервые исследовано неоднородное распределение эритроцитов в слое суспензии, находящейся в вибрационном поле. Показано, что при малых концентрациях и агрегируемости образуются квазипериодические структуры с характерным масштабом, а при достаточно больших - возникают многомасштабные структуры с самоподобием.

Впервые удалось построить математическую модель, описывающую колебательные эффекты при развитии активного мышечного напряжения. Данная; модель описывает активную среду, состоящую из белковосцилляторов, развивающих напряжение, когда их движение регулируется возникающим в вязкоупругой среде напряжением. Показано, что в такой системе может существовать характерная длинноволновая неустойчивость, приводящая к распределенным автоколебаниям, виброакустическим эффектам.

Впервые исследовано взаимодействие электрической волны возбуждения мышцы и акустической волны ее деформации, как следствие зависимости параметров распространения электрического сигнала от деформации волокна. Получены дисперсионные характеристики волн возбуждения и деформации (электромеханических волн) при различных значениях параметров связи, увеличение которых приводит к их расхождению.

Предложена новая нелинейная модель с протяженными дискретно распределенными источниками, описывающая спонтанные распределенные микросокращения мышечной клетки и изменения концентрации ионов кальция внутри клетки. Аналитически и численно получены характерные режимы автоволновой активности: простой (волновой) и сложный с постепенной расфазировкой колебаний отдельных участков клетки, первоначально однородно возбужденной.

Построены и исследованы новые математические модели автоволнового типа отдельных звеньев сосудистой системы кровообращения с учетом различного типа механизмов механохимической регуляции, кровотока и гравитации. При этом описана пространственно-временная динамика и процессы самоорганизации в отдельном микрососуде. Изучено влияние потока крови на неустойчивость сосуда и его изгиб, получены новые локальные и нелокальные изменения формы просвета сосуда.

Построена новая математическая нелинейная модель неоднородного распределения кровотока в ткани, содержащей активные кровеносные микрососуды, используя приближение двухфазной среды. При помощи аналитического и численного исследования модели кровоснабжения ткани получены новые диссипативные структуры (сложные пятна на ткани), определяющие распределение объемного содержания крови при различных условиях.

Полученные результаты имеют важное значение для развития фундаментальных научных исследований биологических тканей, насыщенных жидкостью, и оценки свойств динамического состояния ткани как сложной реагирующей среды. Разработанные подходы и полученные результаты могут быть использованы для углубленного и детального построения теоретических моделей физиологически и патологически функционирующих биологических тканей, для анализа многочисленных экспериментов на мышцах и других мягких тканях, кровеносных и лимфатических сосудах, сердце и др. Установление закономерностей распространения акустических волн в биологических тканях, в частности в мышечной ткани, естественных и вынужденных вибраций в живом организме и их взаимосвязь, а также нелинейных движений в микрососудах является стимулом для постановки новых экспериментов.

Результаты работы могут быть использованы при разработке методов прогнозирования акустомеханической активности физиологических систем и для решения задач объективной акустической диагностики состояния биологических тканей. В частности, по характеристикам поперечной и продольной компонент ближнего волнового поля на различных типах слоистой ткани можно определить их структурные (например, толщину слоя) и вязкоупру-гие, нелинейные параметры слоев в ткани, оценить тонус ткани, наличие отеков, перенапряжений, дистрофий и других особенностей при нервно-мышечной патологии, в травматологии, в профилактической и спортивной медицине. Результаты могут быть использованы для создания линейных и нелинейных томографических методов исследования ткани, оценки состояния мягких и твердых слоев, анализа акустомеханических свойств и слоистой структуры биологической ткани при помощи акустических волн на ее поверхности.

Большое значение имеет возможность оценки периферического сопротивления сосудистой системы по пульсовой волне при действии сосудорасширяющих препаратов и гравитационных воздействиях с использованием построенных математических моделей, включающих эффекты авторегуляции кровотока и др.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Всероссийских и Международных научных форумах: семинарах Института механики МГУ, Института прикладной физики РАН, Нижегородского филиала Института машиноведения РАН, Нижегородском городском семинаре "Физика и радиоэлектроника в медицине", а также на Всесоюзных симпозиумах "Биофизические и биохимические основы мышечного сокращения и биологической подвижности" (Киев, 1977; Львов, 1980; Тбилиси, 1983; Пущино, 1987), 2-й и 3-й Всесоюзных конференциях по проблемам биомеханики (Рига, 1979 и 1983), Всесоюзных семинарах "Биомеханика-82, 84" (Москва), Биомеханика-91, 93 (Ленинград), 1-м Всесоюзном биофизическом съезде (Москва, 1982), Всесоюзном симпозиуме с международным участием "Автоволновые процессы в биологии, химии и физике. Синергетика-83" (Пущино), Всесоюзном симпозиуме "Акустические свойства биологических объектов" (Пущино, 1984), 1-м Всесоюзном симпозиуме "Нелинейная теория тонкостенных конструкций и биомеханика" (Кутаиси, 1985), Международной конференции "Достижения биомеханики в медицине" (Рига, 1986), Всесоюзном совещании по самоорганизации в физических, химических и биологических системах. Синергетика-86 (Кишинев, 1986), 11-ом Международном симпозиуме IUPAP-IUTAM по нелинейной акустике (Новосибирск, 1987), Всесоюзном симпозиуме "Применение ультразвука в промышленности и медицине" (Каунас, 1987), Всесоюзной конференции "Волновые и вибрационные процессы в машиностроении" (Горький, 1989), 8-ой и 9-ой Всесоюзной конференции "Измерения в медицине и их метрологическое обеспечение" (Менделеево, Москва, 1986, 1989), 6-ом национальном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Варна, 1989), International symposium "Mechanisms of Acoustical Bioeffects" (Pushchino, USSR, 1990), Всесоюзной конференции "Проблемы экологии и мягкие оболочки" (Севастополь, 1990), 11-ой Всесоюзной акустической конференции (Москва, 1991), 2-nd East european conference on biomedical engineering (Praga, 1991), 7-ом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва, 1991), ICB seminars "Biomechanics" (Warsaw, 1992), 3-ей сессии Российского акустического общества (Москва, 1994), 5-ой научная сессии Совета РАН по нелинейной динамике (Москва, 1994), 2-ой Международной научной школе-семинаре "Динамические и стохастические волновые явления" (Н. Новгород, 1994), 1-ой - 4-ой Всероссийской конференции по биомеханике (Н. Новгород, 1992, 1994, 1996, 1998), 2 and 3 World Congress of Biomechanics (The Netherlands, Amsterdam, 1994; Japan, Sapporo, 1998), Международной конференции "Критерии самоорганизации в физических, химических и биологических системах" (Суздаль, 1995), XV-th Congress of the International Society of Biomechanics (Jyvaskyla, Finland, 1995), Юбилейной научной конференции, посвященной 100-летию Радио и 50-летию Радиофизического факультета ННГУ (Н. Новгород, 1995), Международной школе по нелинейным явлениям "Нелинейные волны. Синхронизация и структуры" (Н. Новгород, 1995), ICB seminars "Biomechanics. Man Under Vibration" (Warsaw, 1996), International Conference on Contemporary Problems in Theory of Dynamical Systems (CPTDS'96) (Nizhny Novgorod, 1996), Научно-практической конференции по биомеханике (Харьков, 1997), VIII сессия Российского акустического общества "Нелинейная акустика твердого тела" (Н. Новгород, 1998), 3-я научная конференция по радиофизике (Н. Новгород, 1999), Российская конференция по биомеханике (Пермь, 1999), II Съезд биофизиков России (Москва, 1999), 4-й Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИН-ПРИМ-2000) (Новосибирск, 2000), XI сессия Российского акустического общества (Москва, 2001), 5-th International Conference on Vibration Problems

Moscow, 2001), 16-th International Symposium on Nonlinear Acoustics (Moscow, 2002).

Основное содержание диссертации опубликовано в 45-ти работах, в том числе в 19-ти статьях в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК.

Работы, опубликованные в соавторстве, выполнены на паритетных началах. Часть результатов получена совместно с исполнителями научных тем под руководством автора диссертации. В части работ автору принадлежат постановки задач, выбор направлений и методов исследований. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором или при его непосредственном участии.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и содержит двести пятьдесят пять страниц машинописного текста, уравнений, формул, рисунков, таблиц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Основные результаты

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Получены результаты по волновым процессам в мягких биологических тканях, насыщенных жидкостью: по виброакустике ткани, по математическому моделированию автоволновых процессов в активных тканях. Проведено теоретическое и экспериментальное исследование линейных и нелинейных акустических волновых полей различного типа в тканях и на их поверхности, включая механохимические процессы. Построены математические модели мышечной клетки, сосудов с кровотоком, микрососудов с гладкомышечной стенкой, кровоснабжения ткани.

1. Исследовано влияние потока крови на неустойчивость пассивного крупного сосуда с учетом нелинейности и продольного натяжения стенки, не-осесимметричных деформаций. Показана возможность расширения области неустойчивости при определенном соотношении вязкйх параметров модели. По оценкам для вен критический кровоток, выше которого возникает неустойчивость, может достигаться в обычных условиях, а для артерий - при патологии. Получены характерные решения системы уравнений: локальные расширение, сужение, изгиб и нелокальное гофрированное изменения формы сосуда, а также режимы флаттера и квазистатической волновой дивергенции.

2. Исследована нелинейная модель распределения кровотока или лимфо-тока в малом активном схлопывающимся сосуде, описывающая перепадную автоволну его просвета с учетом гравитации. Найдены аналитические выражения для скорости распространения сжатия (расширения) радиуса сосуда и его формы, оценки которых близки измеряемым в экспериментах, причем соответствующие изменения давления малы, отраженной волны не возникает в отличие от миогенно активного сосуда. Получены насосные эффекты перистальтического транспорта биожидкости с существенной прокачкой для вен и лимфососудов.

3. Аналитически найдены решения нелинейных уравнений, моделирующих течение крови в механогенно активном микрососуде, и нелинейная автоподкачка. Получено выражение для частоты распределенных автоколебаний, независимое от общих граничных условий. При увеличении бифуркационного параметра от границы неустойчивости решение выходит на режим квазистационарных автоволн локального изменения радиуса и расхода, но перепадного давления.

4. В приближении двухфазной среды (кровь и нелинейно активный упругий каркас) построена континуальная модель пространственно неоднородного распределения крови в ткани, включая механизмы гладкомышечной регуляции. С учетом фильтрации получено нелинейное уравнение относительно объемного содержания крови (пористости) и найдены интегралы сохранения. Аналитически и численно выявлено существование диссипативных автоструктур самоорганизации кровоснабжения (сложные пятна на ткани) и описана динамика процесса эволюции начальных возмущений.

5. Исследованы дисперсионные характеристики низкочастотных упругих волн на поверхности биоткани, распределения колебаний вдоль поверхности и под ней. Показано, что волны существуют в ближней зоне и сильно затухают на нескольких длинах. Осуществлена визуализация волн. Численным расчетом показано, что продольные и поперечные смещения (амплитуды и фазы) ближнего волнового поля от поверхностного силового виброисточника и их пространственные распределения существенно зависят от толщины мягкого слоя двухслойной среды. Показано, что для нормальных смещений имеется характерный пик в точке возбуждения и немонотонное падение при удалении вдоль поверхности и в глубину, на амплитудно-частотной кривой имеется резонанс. Амплитуда касательных смещений значительно меньше и имеет более сложное распределение.

6. Изучено распространение механического импульса по биоткани в ее различных состояниях, возбужденного ударом по ее поверхности. Показан низкочастотный характер удара и импульса в виде квазигармонической затухающей волны. Активное напряжение мышцы вызывало существенное увеличение скорости импульса. Показано, что при ударном воздействии на нервно-мышечную ткань могут возникать две волны: обычная пассивная и существенно более медленная длинная активная псевдоволна возбуждения и сокращения нейрогенной природы.

7. Выведено нелинейное волновое уравнение для биоткани с учетом ее структуры, анизотропии, активности, жидкой фазы. Получено аналитическое выражение для нелинейного акустического параметра биоткани. Показано, что нелинейный параметр растет с увеличением объемного содержания твердой фазы, а активность может его уменьшить.

8. Изучены нелинейные эффекты (уровни гармоник силы и ускорения) на биоткани. Получены более высокие уровни второй и третьей гармоник ускорения поверхности по сравнению с виброисточником в зависимости от расстояния до него по различным направлениям, а также от частоты. Показано наличие анизотропии нелинейных и вязких свойств. Найдено, что изменение состояния ткани сопровождается изменением уровней гармоник и субгармоник при вибровоздействии. Наибольшая нелинейность связана с расслабленной тканью. При напряжении уровень гармоник падает, реагирующая ткань "автолинеаризуется". Состояние избыточной кровонаполненности (отек) - промежуточное.

9. Исследовано взаимодействие электрической волны возбуждения мышцы и волны ее деформации, параметры которых изменяются при наличии связи.

Получены дисперсионные характеристики электро-механических волн, причем на низких частотах фазовая скорость распространения активной волны уменьшается.

10. Предложена нелинейная математическая модель с протяженными дискретными источниками, описывающая спонтанные распределенные изменения концентрации ионов кальция внутри мышечной клетки (ее микросокращения). Аналитически и численно получены характерные режимы автоволновой активности: простой импульсный и сложный с постепенной расфазировкой колебаний отдельных участков клетки.

1. Автоволновые процессы в системах с диффузией. Сб. научн. тр. / Под ред. М. Т. Греховой. Горький: ИПФ АН СССР, 1981, 287 с.

2. Аглямов С. Р., Сковорода А. Р. Механические свойства мягких биологических тканей // Биофизика, 2000, т. 45, вып. 6, с. 1137-1145.

3. Аки К., Ричарде П. Количественная сейсмология. М.: Мир, 1983, т. 1 -519 е., т. 2-880 с.

4. Аксенова P. X., Антонец В. А. Измерение локальных поверхностных колебаний биологических тканей массивным вибропреобразователем // Измерения в медицине и их метрологическое обеспечение. 9-я Всесоюзн. конф. (5-9 июня 1989). М.: ВНИИОФИ, 1989, с. 57.

5. Аксенова P. X., Антонец В. А., Клочков Б. Н. Локальная регистрация колебаний мягких тканей контактным способом // Волновые и вибрационные процессы в машиностроении. Тез. докл. Всесоюзн. конф. (7-9 сентября 1989). Горький: ГГУ, 1989, ч. 2, с. 23-24.

6. Аксенова P. X., Антонец В. А., Мансфельд А. Д. Звуки сокращающихся мышц человека // Теорет. и прилож. механика. 6-й Нац. Болгар, конгресс. София, 1990, кн. 4, с. 5-8.

7. Александров В .Я. Реактивность клеток и белки. Л.:Наука, 1985, 318с.

8. Алексеев В. Н., Рыбак С. А. Об уравнениях состояния вязкоупругих биологических сред // Акустический журнал, 2002, т. 48, № 5, с. 581-588.

9. Алиевская Л. Л., Букатина А. Е., Сонькин Б. Я. Ингибирование "ультразвуковой" АТФ-азной активности актина тропомиозином // Биофизика и биохимия мышечного сокращения. Симпоз. (9-11 ноября 1983). Тбилиси: Мецниереба, 1983, с. 27-28.

10. Антонец В. А., Анишкина Н. М. Пьезоакселерометры ПАМТ // Виброакустические поля сложных объектов и их диагностика. Сб. научн. тр. / ИПФ АН СССР. Горький, 1989, с. 191-203.

11. Антонец В. А., Антонец М. А., Кудряшов А. В. О возможности автоволновых явлений в сетях мелких кровеносных сосудов // Автоволновые процессы в системах с диффузией. Сб. научн. тр. / ИПФ АН СССР. Горький, 1981, с. 228-232.

12. Антонец В. А., Антонец М. А., Шерешевский И. А. Механизм перфузии тканей кровью // Биоритмические и самоорганизационные процессы в сердечно-сосудистой системе. Теоретические аспекты и практическое значение. Н. Новгород: ИПФ РАН, 1992, с. 13-32.

13. Антонец В. А., Грибков А. Л., Шестернин М. Е. Исследование акустических шумов напряжённой мышцы // Препринт № 487 / ИПФ РАН. Н. Новгород, 1999, 16 с.

14. Антонец В. А., Грибков А. Л., Шестернин М. Е. Исследование акустических шумов напряжённой мышцы // Биофизика, 2000, т. 45, вып. 6, с. 1125-1130.

15. Антонец В. А., Клочков Б. Н. Механо-химическая сократительная система как термодинамическая машина // Биофизика, 1977, т. 22, вып. 1, с. 70-74.

16. Антонец В. А., Клочков Б. Н., Ковалева Э. П. Вибро-акустические процессы и структурные перестройки в мышечной ткани // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1995, т. 38, № 3-4, с. 357-367.

17. Антонец В. А., Клочков Б. Н., Тиманин Е. М. Энергозатраты сердечной мышцы // Структурные основы и рефляция биологической , подвижности. М: Наука, 1980, с. 309-313.

18. Антонец В. А., Клочков Б. Н., Тиманин Е. М. Эффективность мышечного сокращения и термодинамические оценки параметров // 1 Всесоюз. биофиз. съезд. Тез. докл. стенд, сообщ. М.: ИБФ АН СССР, 1982, т. 2, с. 54.

19. Антонец В. А., Клочков Б. Н., Тухватулин Р. Т., Шуваева В. Н. Неоднородное распределение эритроцитов в слое суспензии при действии вибрации // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1995, т. 38, № 3-4, с. 349-356.

20. Антонец В. А., Ковалева Э. П. Оценка управления статическим напряжением скелетной мышцы по ее микродвижениям // Препринт № 345 / ИПФ РАН. Н. Новгород, 1994, 20 с.

21. Антонец В. А., Ковалева Э. П. Статистическое моделирование непроизвольных микроколебаний конечности // Биофизика, 1996, т. 41, вып. 3, с. 704-710.

22. Антонец В. А., Ковалева Э. П. Оценка управления статическим напряжением скелетной мышцы по ее микродвижениям // Биофизика, 1996, т. 41, вып. 3, с. 711-717.

23. Антонов В. Ф., Черныш А. М., Пасечник В. И., Вознесенский С. А., Козлова Е. К. Биофизика. М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2000, 288 с.

24. Архитектоника кровеносного русла / Отв. ред. В. А. Матюхин. Новосибирск: Наука, 1982, 184 с.

25. Ахундов М. Б., Работнов Ю. Н., Суворова Ю. В. Модель деформируемого тела с реакцией и приложение ее к динамическим задачам биомеханики // Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1985, № 6, с. 96-100.

26. Бабешко В. А., Глушков Е. В., Зинченко Ж. Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989, 343 с.

27. Бабиков Д. Б., Клочков Б. Н., Санин А. Г. Влияние состояния мышечной ткани на ее акустические характеристики // Медицинская биомеханика. Тез. докл. Междунар. конф. «Достижения биомеханики в медицине». Рига: Минздрав. Латв. ССР, 1986, т. 1, с. 50-56.

28. Баландин А. В., Мансфельд А. Д., Шишков А. В. Многоканальный акустический термометр // 11-я Всесоюзн. акустич. конф. Доклады. Секция О. М.: АКИН, 1991, с. 40-43.

29. Бегиашвили В. Т., Меладзе В. Г., Митагвария Н. П. Математическая модель миогенно активного кровеносного сосуда // Механика композит, материалов, 1980, № 2, с. 331-338.

30. Белинцев Б. Н., Баранов М. В. Волны на клеточной поверхности // Биофизика, 1990, т. 35, вып. 2, с. 307-311.

31. Беляев Ю. Н., Скобелева И. М. Неустойчивость течения вязкой жидкости в трубках из "активного" материала // Докл. АН СССР, 1988, т. 303, №2, с. 307-310.

32. Бендицкая Л. М., Кобелев Ю. А., Островский Л. А., Соустова И. А. О влиянии потерь в осцилляторах на эффект "классического лазера" в акустике // Акустический журнал, 1988, т. 34, вып. 4, с. 593-597.

33. Бендолл Д. Мышцы, молекулы и движение. М.: Мир, 1970, 250 с.

34. Березовский В. А., Колотилов Н. Н. Биофизические характеристики тканей человека. Справочник. Киев: Наук, думка, 1990, 224 с.

35. Беспалова С. В., Толпыго К. Б. Динамика растяжения цепочки ак-тиновых глобул под действием сил системы водородных связей // Препринт ДонФТИ-89-37 / АН УССР. Донецк, 1989, 36 с.

36. Беспалова С. В. Толпыго К. Б. Поворот миозиновой головки в модели мышечного сокращения на основе гипотезы о роли возбужденных водородных связей // Биофизика, 1990, т. 35, вып. 5, с. 790-793.

37. Беспалова С. В. Толпыго К. Б. Статистика цепочек актиновых глобул, растянутых водородными связями, и закон Хилла в квантово-механической теории мышечного сокращения // Биофизика, 1996, т. 41, вып. 1, с. 22-32.

38. Биоритмические и самоорганизационные процессы в сердечно сосудистой системе. Теоретические аспекты и практическое значение. Сб. на-учн. тр. / ИПФ РАН. Н.Новгород, 1992, 220 с.

39. Бирюков С. В., Гуляев Ю. В., Крылов В. В., Плесский В. П. Поверхностные акустические волны в неоднородных средах. М.: Наука, 1991, 416 с.

40. Бленд Д. Р. Теория линейной вязкоупругости. М.: Мир, 1965, 200 с.

41. Блехман И. И. Что может вибрация?: О "вибрационной механике" и вибрационной технике. М.: Наука, 1988, 208 с.

42. Болдырев А. А. Биологические мембраны и транспорт ионов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985, 208 с.

43. Борисов В. И. О дозировании мышечных аэробных тренировок переменной мощности на основе анализа ритма сердца в масштабе реального времени // IV Всерос. конф. по биомеханике (1-5 июня 1998). Тез. докл. Н. Новгород, 1998, с. 109.

44. Бранков Г. Основы биомеханики. М.: Мир, 1981, 254 с.

45. Буевич Ю. А., Желамский С. В., Изаков В. Я., Ясников Г. П. О вяз-коупругом поведении пористого биологического материала // Физико-химическая гидродинамика. Сб. научн. тр. Свердловск: УрГУ, 1985, с. 34-41.

46. Буров В. А., Сергеев С. Н., Румянцева О. Д. Акустическая томография в медицине // Биомедицинская радиоэлектроника, 2000, № 3, с. 61-66.

47. Бухман Е. В., Гершман С. Г., Свет В. Д., Соколовский Б. Н., Яко-венко Г. Н. Исследование пространственно временных характеристик низкочастотных акустических колебаний на поверхности тела человека // Акустический журнал, 1994, т. 40, № 2, с. 336.

48. Бэгшоу К. Мышечное сокращение. М.: Мир, 1985, 128 с.

49. Вазина А. А. Жидкие кристаллы сократительных белков и проблема биологической подвижности // Журн. Всесоюзн. химич. общества, 1983, т. 28, № 2, с. 84-89.

50. Вазина А. А. Изучение динамики мышечного сокращения с применением синхротронного рентгеновского излучения // Биофизика и биохимия мышечного сокращения. Симпозиум (9-11 ноября 1983). Тбилиси: Мецние-реба, 1983, с. 5-7.

51. Вазина А. А., Сергиенко П. М., Клочков Б. Н., Антонец В. А. Об "акустической" модели сокращения мышцы // 11-я Всесоюзн. акустич. конф. Аннотац. докл. М.: АКИН, 1991, с.63.

52. Васильев В. А., Романовский Ю. М., Яхно В. Г. Автоволновые процессы в распределенных кинетических системах // Успехи физич. наук, 1979, т. 128, вып. 4, с. 625-666.

53. Васильев В. А., Романовский Ю. М., Яхно В. Г. Автоволновые процессы. М.: Наука, 1987, 240 с.

54. Вибрационная биомеханика / Под ред. К.В. Фролова. М.: Наука, 1989, 143 с.

55. Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. М.: Наука, 1981,288 с.

56. Виноградов Г. В., Малкин А. Я. Реология полимеров. М.: Химия, 1977, 440 с.

57. Волькенштейн М. В. Общая биофизика. М.: Наука, 1978, 592 с.

58. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости. М.: Наука, 1979, 320 с.

59. Воляк К. И., Шуган И. В. Волновое движение жидкости в канале с упругими стенками // Труды Института общей физики РАН. Динамика волн на поверхности жидкости. М.: Наука. Физматлит, 1999, т. 56, с. 153-162.

60. Габуда С. П. Связанная вода. Факты и гипотезы. 1982.

61. Галин JI. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. М.: Наука, 1980, 304 с.

62. Гапонов А. В., Петелин М. И., Юлпатов В. К. Индуцированное излучение возбужденных классических осцилляторов и его использование в высокочастотной электронике // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1967, т. 10, № 910, с. 1414-1453.

63. Гарвей В. Анатомическое исследование о движении сердца и крови у животных. M.-JL: Изд. АН СССР, 1948 (Harvey W. Exercitatio anatomica de motu cordis et sangninis in animalins. Lond., 1628).

64. Гидродинамика кровообращения. Сб. перев. / Под ред. С. А. Реги-рера. М.: Мир, 1971, 272 с.

65. Гласс JL, Мэки М. От часов к хаосу: Ритмы жизни / Пер. с англ. М.: Мир, 1991,248 с.

66. Глушков Е. В., Глушкова Н. В., Тиманин Е. М. Определение импе-дансных и волноводных свойств биоматериалов // Акустический журнал, 1993, т. 39, вып. 6, с. 1043-1049.

67. Годик Э. Э., Гуляев Ю. В. Человек глазами радиофизики // Радиотехника, 1991, № 8, с. 51-62.

68. Головина В. А., Розенштраух JL В., Соловьев Б. С., Ундровинас А. И., Черная Г. Г. Волнообразные спонтанные сокращения изолированных кардиомиоцитов // Биофизика, 1986, т. 31, вып. 2, с. 283-289.

69. Голубева А. Л., Клочков Б. Н. Влияние вибрации на мягкие ткани человека // 2 Всерос. конф. по биомеханике (22-25 ноября 1994). Тез. докл. Н. Новгород: Изд-во Н. Новгород, 1994, т. 2, с. 35-36.

70. Гоффман Б., Крейнфилд П. Электрофизиология сердца. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962, 392 с.

71. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка, 1981, 284 с.

72. Грищенко А. Е., Нагнибида Н. И., Настасиев П. П. Теория функций комплексного переменного. Киев: Вища шк., 1986, 336 с.

73. Гросберг А. Ю., Хохлов А. Р. Статистическая физика макромолекул. М.: Наука, 1989, 344 с.

74. Гросберг А. Ю., Хохлов А. Р. Физика в мире полимеров. М.: Наука, 1989, 208 с.

75. Гулд X., Табочник Я. Компьютерное моделирование в физике. М.: Мир, 1992, 4.1 -351 е., 4.2-400 с.

76. Гурфинкель В. С., Левик Ю. С. Скелетная мышца: структура и функция. М.: Наука, 1985, 144 с.

77. Давыдов А. С. Биология и квантовая механика. Киев: Наук, думка, 1979, 296 с.

78. Давыдов А. С. Солитоны в молекулярных системах. Киев: Наук, думка, 1984, 288 с.

79. Данилов С. Д., Миронов М. А. Коллективное взаимодействие взвеси частиц в звуковом поле // Акустич. журнал, 1992, т. 38, вып. 3, с. 456-462.

80. Дёмин И. Ю., Клочков Б. Н. Нелинейная томография биоакустических сред // 4 Всерос. конф. по биомеханике (1-5 июня 1998). Тез. докл. Н.Новгород, 1998, с.47.

81. Демин И. Ю., Сато Т., Камеяма К., Фуджи К., Като М., Джанк К. Ю., Кабаяши К. Использование низкочастотных акустических волн для диагностики мягких тканей // Акустический журнал, 1995, т. 41, № 3, с. 508.

82. Дещеревский В. И. Математические модели мышечного сокращения. М.: Наука, 1977, 160 с.

83. Джонсон П. Периферическое кровообращение. Пер. с англ. М.: Медицина, 1982, 440 с.

84. Дик И. Г., Поясов И. 3. Моделирование процессов регуляции кровообращения // Физиология кровообращения: Регуляция кровообращения (Руководство по физиологии). Л.: Наука, 1986, с. 546-573.

85. Динариев О. Ю. Фильтрация в ограниченно-пористых сред с фрактальной геометрической структурой // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1990, № 5, с. 66-70.

86. Дьяченко А. И., Любимов Г. А. Распространение звука в легочной паренхиме // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1988, № 5, с. 3-15.

87. Егоров В. А. Возбуждение механических колебаний при сокращении мышцы // 7-й Всесоюзн. съезд по теоретической и прикладной механике (15-21 августа 1991). Аннот. докл. М.: ИМ МГУ, с. 144.

88. Егоров В. А., Москал В. М., Регирер С. А., Шадрина Н. X. Механо-генные реакции сосудов при пульсирующем потоке: теоретические предсказания // Физиол. журнал СССР, 1991, т. 77, № 9, с. 115-122.

89. Еремин Е. В., Тиманин Е. М. Интерпретация механического импеданса слоя, измеренного с помощью твердого круглого штампа // Акуст. журн., 2000, т. 46, № 4, с. 490-495.

90. Журавлев А. И. Спонтанная сверхслабая биохемилюминесценция основа квантовой биологии // Успехи соврем, биологии, 1991, т. 111, вып. 1, с. 144-153.

91. Зарембо JI. К., Красильников В. А. Введение в нелинейную акустику. М.: Наука, 1966, 520 с.

92. Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988, 368 с.

93. Захаров С. И., Богданов К. Ю., Розенштраух JI. В. Связь механического шума папиллярной мышцы крысы с уровнем контрактуры препарата // Бюллетень эксперим. биол. и мед., 1984, т. 97, № 6, с. 643-645.

94. Ивенс И., Скейлак Р. Механика и термодинамика биологических мембран. М.: Мир, 1982, 304 с.

95. Ильин С. Г., Коломиец А. В., Парашин В. Б., Тиманин Е. М., Клочков Б. Н., Розенблюм JI. А. Биомеханика ударной травмы легких // Механика легких, дыхания и речеобразования (Современные проблемы биомеханики). М.: Наука, 1991, вып. 8, с. 3-11.

96. Казаков В. В. Исследование распределения вибрации ультразвуковым методом // Вибрационная техника. Материалы семинара. М.: МДНТП, 1986, с.43.

97. Казаков В. В. Ультразвуковые фазовые измерители виброперемещений // Виброакустические поля сложных объектов и их диагностика. Сб. научн. тр. / ИПФ АН СССР. Горький, 1989, с. 178-190.

98. Казаков В. В., Клочков Б. Н. Использование ультразвукового виброметра для измерения механических свойств биотканей // Тез. Всесоюзн. симпоз.: Применение ультразвука в промышленности и медицине (Вильнюс, 8-10 апреля 1987). Каунас: КПИ, 1987, с. 92-93.

99. Казаков В. В., Клочков Б. Н. Волны активности на мышце человека // Коллективная динамика возбуждений и структурообразование в биологических тканях. Сб. научн. тр. Горький: ИПФ АН СССР, 1988, с. 52-55.

100. Казаков В. В., Клочков Б. Н. Измерение акусто-механических параметров мягких тканей человека // 9-я Всесоюзн. конф.: Измерения в медицине и их метрологическое обеспечение (Москва, 5-9 июня 1989). М.: ВНИИОФИ, 1989, с. 73.

101. Казаков В. В., Клочков Б. Н. О низкочастотных механических свойствах мягкой ткани руки человека // Биофизика, 1989, т. 34, вып. 4, с. 688-692.

102. Каро К., Педли Т., Шротер Р., Сид У. Механика кровообращения. Пер. с англ. под ред. С. А. Регирера и В. М. Хаютина. М.: Мир, 1981, 624 с.

103. Каталог 1989 / 90 г. Электронная аппаратура. Брюль и Къер. Дания, Себорг: К. Ларсен и сын.

104. Катц А. И., Чен Ю., Морено А. Г. Течение в мягкой трубке (экспериментальное исследование и математическая модель) // Гидродинамика кровообращения / Под ред. С. А. Регирера. М.: Мир, 1971, с. 111-130.

105. Кейлис-Борок В. И. Интерференционные поверхностные волны. М.: АН СССР, 1960, 195 с.

106. Кернер Б. С., Кузнецова Е. М., Осипов В. В. О многообразии неоднородных состояний активных распределенных сред // Микроэлектроника, 1984, т. 13, вып. 5, с. 407-426.

107. Кизилова Н. Н. Отражение пульсовых волн и резонансные свойства артериальных русел // Изв. АН. Механика жидкости и газа, 2003, № 5, с. 129-139.

108. Киреева Е. Е., Клочков Б. Н. Нелинейная модель сосудистого тонуса // Механика композитных материалов, 1982, № 5, с. 887-894.

109. Киреева Е. Е., Клочков Б. Н. Нелинейная распределенная теория кровеносных сосудов с мышечной стенкой // Тр. 1 Всесоюзн. симпоз.: Нелинейная теория тонкостенных конструкций и биомеханика. Кутаиси-Ткибули: Изд-во Тбилисск. ун-та, 1985, с. 281-284.

110. Киреева Е. Е., Клочков Б. Н. Волновые движения жидкости в активной вязкоупругой трубке вблизи границы неустойчивости // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1986, № 3, с. 17-24.

111. Киреева Е. Е., Регирер С. А. Волновые движения жидкости в трубках из вязкоупругого материала. Вынужденные колебания // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1984, № 4, с. 94-99.

112. Кисляков Ю. Я. Математическое моделирование кровообращения и газообмена в мозгу. Л.: Наука, 1975, 129 с.

113. Клочков Б. Н. Автоволновые процессы в кровеносных сосудах мышечного типа // Автоволновые процессы в системах с диффузией. Сб-к научн. тр. Горький: Ин-т прикл. физики АН СССР, 1981, с. 233-242.

114. Клочков Б. Н. Континуальная механо-химическая модель мышечной ткани при больших деформациях // Механика композитных материалов, 1983, №6, с. 1125.

115. Клочков Б. Н. Об учете конечных деформаций в модели мышцы // Тезисы докл. 3-ей Всесоюзн. конф. по проблемам биомеханики. Рига: Ин-т механики полимеров Латв. АН, 1983, т. 1, с. 18-20.

116. Клочков Б. Н. Анализ акустических свойств мышечной ткани // Механика композитных материалов, 1985, № 1, с. 132-137.

117. Клочков Б. Н. Упругие волны в материале с механо-химическими реакциями // Прикладная математика и механика, 1986, т. 50, в. 3, с. 451-460.

118. Клочков Б. Н. О моделях течения жидкости в микрососудах // Коллективная динамика возбуждений и структурообразование в биологических тканях. Сб. научн. тр. Горький: ИПФ АН СССР, 1988, с. 156-164.

119. Клочков Б. Н. О течении жидкости в мягкой оболочке под действием силы тяжести // Проблемы экологии и мягкие оболочки. Тез. докл. Всесоюзн. конф. Севастополь: СПИ, 1990, с. 35-36.

120. Клочков Б. Н. О нелинейном акустическом параметре биоткани // Биомеханика на защите жизни и здоровья человека. 1-я Всерос. конф.-ярмарка (9-12 ноября 1992). Тез. докл. Н. Новгород: ИПФ РАН, 1992, т. 1, с. 118-119.

121. Клочков Б. Н. Нелинейный акустический параметр активной биологической ткани // Акустический журнал, 1994, т. 40, № 3, с. 450-451.

122. Клочков Б. Н. Автоструктуры распределения кровотока в сосуде и в ткани // Критерии самоорганизации в физических, химических и биологических системах. Междунар. конф. (12-18 июня 1995). Тез. докл. М.-Суздаль, 1995, с. 48.

123. Клочков Б. Н. Математическое моделирование активных волновых процессов в ткани // Вестник Нижегородского университета. Математическое моделирование и оптимальное управление. Сб. научн. тр. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1997, т. 17, с. 81-93.

124. Клочков Б. Н. Акустические поверхностные волны на биологической ткани // Труды 3-й научной конференции по радиофизике (7 мая 1999). Н. Новгород: ННГУ, 1999, с. 234-235.

125. Клочков Б. Н. Акустические процессы на поверхности биологической ткани // 2-й съезд биофизиков России (23-27 августа 1999, Москва). Тез. докл. М.: ИБК РАН, 1999, т. 1, с. 329-330.

126. Клочков Б. Н. Нелинейные виброакустические процессы на поверхности ткани // Акустический журнал, 2000, т. 46, № 5, с. 707-709.

127. Клочков Б. Н. Упругое ближнее поле от силового низкочастотного источника на слоистой биологической ткани // XI сессия Российского акустического общества (19-23 ноября). Сб-к трудов. М.: ГЕОС, 2001, т. 3, с. 149-153.

128. Клочков Б. Н. Ближнее поле силового низкочастотного источника на слоистой биоткани // Акустический журнал, 2002, т. 48, № 1, с. 70-76.

129. Клочков Б. Н., Кузнецов С. О., Толков В. Н. Математическое моделирование ритма волновой активности кардиомиоцита // Биоритмические и самоорганизационные процессы в сердечно-сосудистой системе. Сб. научи. тр. Н. Новгород: ИПФ РАН, 1992, с. 43-57.

130. Клочков Б. Н., Кузнецова Е. А. Акустические эффекты на поверхности ткани // Российский журнал биомеханики, 1999, № 2, с. 63-64.

131. Клочков Б. Н., Кузнецова Е. А. Неосесимметричные нелинейные колебания вязкоупругого тонкостенного сосуда под действием потока жидкости // Препринт № 484 / ИПФ РАН. Н. Новгород, 1999, 24 с.

132. Клочков Б. Н., Кузнецова Е. А. Активные волновые процессы в схлопывающихся сосудах и эффекты транспорта // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 2000, т. 43, № 9, с. 793-800.

133. Клочков Б. Н., Кузнецова Е. А. Нелинейные режимы изменения формы упругой трубки с потоком жидкости в ней // Изв. АН. Механика жидкости и газа, 2000, № 4, с. 46-55.

134. Клочков Б. Н., Рейман А. М., Степанянц Ю. А. О математическом моделировании волновых явлений в артериолах // Тез. докл. 3-й Всесоюзн. конф. по проблемам биомеханики. Рига: ИМП АН Латв. ССР, 1983, т. 1, с. 220-222.

135. Клочков Б. Н., Рейман А. М., Степанянц Ю. А. Нестационарные течения жидкости в трубках из вязкоупругого активного материала // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1985, № 3, с. 94-102.

136. Клочков Б. Н., Соколов А. В. Акусто-механические свойства биологической ткани // 7-й Всесоюзн. съезд по теоретической и прикладной механике (15-21 августа 1991). Аннотации докладов. М.: ИМ МГУ, 1991, с. 191.

137. Клочков Б. Н., Соколов А. В. Волны в поверхностном слое мягкой биоткани на полупространстве из твердой биоткани // Акустический журнал, 1994, т. 40, №2, с. 270-274.

138. Клочков Б. Н., Соколов А. В. К определению механических и структурных параметров биологической ткани // II Всерос. конф. по биомеханике (22-25 ноября 1994). Тез. докл. (в 2-х томах). Н. Новгород: Изд-во Н. Новгород, 1994, т. 2, с. 63-64.

139. Клочков Б. Н., Соколов А. В. Характеристики упругого ближнего поля вибрационного источника на границе неоднородного полупространства // Акустика и медицина. III сессия РАО. М.: АКИН, 1994, с. 37-39.

140. Клочков Б. Н., Соколов А. В. Упругие ближние поля вибрационного источника на поверхности слоистой мягкой ткани // Юбилейная научн. конф., посвящ. 100-летию Радио и 50-летию Радиофизического факультета ННГУ. Тез. докл. Н. Новгород: ННГУ, 1995, с. 38.

141. Клочков Б. Н., Соколов А. В. Характеристики упругого ближнего поля вибрационного источника на границе неоднородного полупространства // Акустический журнал, 1995, т. 41, № 3, с. 512-514.

142. Клочков Б. Н., Соколов А. В. Акустическое ближнее поле силового вибрационного источника на поверхности слоистой ткани // Препринт № 445 / ИПФ РАН. Н. Новгород, 1997, 27 с.

143. Клочков Б. Н., Соколов А. В. Слоевые эффекты при вибровоздействии на поверхность ткани // IV Всерос. конф. по биомеханике (1-5 июня 1998). Н. Новгород, 1998, с. 60.

144. Клочков Б. Н., Тиманин Е. М. Нелинейные эффекты при колебании жесткого штампа на биоткани // Биомеханика на защите жизни и здоровья человека. I Всерос. конф.-ярмарка (9-12 ноября 1992). Тез. докл. Н. Новгород: ИПФ РАН, 1992, т. 1, с. 122-123.

145. Клочков Б. Н., Тиманин Е. М. Нелинейные эффекты при колебании штампа на поверхности мягкой ткани // Акустический журнал, 1994, т. 40, № 6, с. 953-956.

146. Клочков Б. Н., Тиманин Е. М. Низкочастотные нелинейные эффекты на биоткани в различных состояниях // Ш Всерос. конф. по биомеханике (1-4 октября 1996). Тез. докл. 1996, т. 1, с. 148-149.

147. Клочков Б. Н., Яхно В. Г. Автоволновые структуры в системе микроциркуляции // Тез. докл. Всесоюзн. совещ. по самоорганизации в физических, химических и биологических системах. Синергетика-86 (26-27 мая 1986). Кишинев: Штиинца, 1986, с. 102-104.

148. Клочков Б. Н., Яхно В. Г. Математическое описание спонтанных волновых сокращений мышечной клетки // Препринт № 137 / ИПФ АН СССР. Горький, 1986, 26 с.

149. Кобелев Ю. А., Островский JI. А., Соустова И. А. Автосинхронизация нелинейных осцилляторов в акустике // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1986, т. 29, №9, с. 1129-1136.

150. Козлов М. М., Лерхе Д., Маркин В. С., Майер В. Втягивание мембраны эритроцита в микропипетку: перераспределение мембранного скелета // Биологические мембраны, 1989, т. 6, № 7, с. 754-764.

151. Козлов М. М., Черномордик Л. В., Маркин В. С. Механизм образования безбелковых участков мембраны эритроцита: разрыв мембранного скелета // Биологические мембраны, 1989, т. 6, № 6, с. 597-611.

152. Коллективная динамика возбуждений и структурообразование в биологических тканях / Сб. научн. тр. ИПФ АН СССР. Горький, 1988, 225 с.

153. Коммунальная гигиена / Под ред. К. И. Акулова, К. А. Буштуевой. М.: Медицина, 1986, 608 с.

154. Кондауров В. И., Никитин Л. В. Конечные деформации вязкоупру-гих мышечных тканей // Прикл. матем. и механика, 1987, т.51, в.З, с. 443-452.

155. Косицкий Г. И. Звуковой метод исследования артериального давления. М.: Медгиз, 1959.

156. Котов Н. В., Мирошников В. В., Юдин И. Д. Математическое моделирование механизма движения реснички: внутренний гидродинамический привод // Биофизика, 1992, т. 37, вып. 2, с. 301-305.

157. Красильников В. А., Крылов В. В. Введение в физическую акустику. М.: Наука, 1984, 400 с.

158. Красильников В. А., Крылов В. В. Поверхностные акустические волны. М.: Знание, 1985, 64 с.

159. Ксенофонтов С. Ю., Мансфельд А. Д., Рейман А. М. Реконструктивная акустическая термотомография биологических объектов // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1997, т. XL, № 6, с. 752-760.

160. Кубарев А. М., Борисов В. И. К вопросу о пульсации крови в артериальной системе и ее влияние на электрическое сопротивление тела // Препринт № 341. Н. Новгород: ИПФ РАН, 1993, 18 с.

161. Кудряшов А. В., Розенблюм Л. А., Хурлапова Т. В., Яхно В. Г. Анализ колебательных режимов сосудистой стенки // Механика композитных материалов, 1979, № 6, с. 1067-1075.

162. Кузнецова Е. А., Клочков Б. Н. Нелинейные изгибные эффекты в сосуде с кровотоком // Нелинейная акустика твердого тела. Сб. тр. VIII сессии РАО (8-10 сентября 1998). Н. Новгород: Изд-во об-ва Интелсервис, 1998, с. 23-26.

163. Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Синергетика -новые направления. М.: Знание, 1989, 48 с.

164. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. Пер. с англ. под ред. П. П. Ко-рявова и П. И. Пушкина. М.: Мир, 1981, 600 с.

165. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. М.: Наука, 1973, 208 с.

166. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986,736 с.

167. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. М.: Наука, 1987,248 с.

168. Левашкевич В. Г. Нелинейные эффекты при фильтрации жидкости в пористой среде. Минск: Наука и техника, 1987, 104 с.

169. Левин С. В., Гольфанд К. А., Малев В. В. Волна локального укорочения и удлинения одиночного аксона краба при потенциале действия // Цитология, 1986, т. 28, № 12, с. 1307-1315.

170. Левин С. В., Малев В. В., Трошин А. С., Гольфанд К. А. Волна продольной деформации возбужденного участка аксона краба при потенциале действия // Докл. АН СССР, 1984, т. 275, № 5, с. 1246-1249.

171. Левтов В. А., Регирер С. А., Шадрина Н. X. Реология крови. М.: Медицина, 1982, 272 с.

172. Левшин А. Л. Поверхностные и каналовые сейсмические волны. М.: ИФЗ АН СССР, 1973, 176 с.

173. Лекции по профессиональным болезням. Учебн. пособие. Киев: Выщашк., 1991, 328 с.

174. Лищук В. А. Математическая теория кровообращения. М.: Медицина, 1991,256 с.

175. Лоскутов А. Ю., Михайлов А. С. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990, 272 с.

176. Малев В. В. Волна деформации нервного волокна при возбуждении // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1987, № 4, с. 3-13.

177. Малев В.В., Левин С.В. К анализу деформаций нервного волокна при возбуждении // Биофизика, 1988, т.ЗЗ, вып.З, с. 485-489.

178. Маркин В. С., Чизмаджев Ю. А. О распространении возбуждения в одной модели нервного волокна // Биофизика, 1967, т. 12, в. 5, с. 900-907.

179. Маркушевич А. И., Маркушевич Л. А. Введение в теорию аналитических функций. Учебн. пособие. М.: Просвещение, 1977, 320 с.

180. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука,1989.

181. Методы вибрационной диагностики реологических характеристик мягких материалов и биологических тканей. Сб. научн. тр. Горький: ИПФ АН СССР, 1989, 156 с.

182. Методы математической биологии. Книга 3: Методы синтеза динамических моделей биологических систем. Киев: Вища школа, 1981, 328 с.

183. Моисеева И.Н. Транскапиллярная фильтрация жидкости // Оптимизация биомеханических движений (Современные проблемы биомеханики). Рига: Зинатне, 1986, вып. 3, с. 137-164.

184. Моисеева И. Н., Регирер С. А. Некоторые особенности отражения пульсовых волн в артериях // Изв. АН. Механика жидкости и газа, 1993, № 4, с. 134-139.

185. Молчанов А. М. Нелинейности в биологии. Пущино: Пущинский НЦ РАН, 1992.

186. Мороз И. А., Атауллаханов Ф. И., Кияткин А. Б., Пичугин А. В., Витвицкий В. М. Математическая модель стабилизациии объема эритроцитов // Биологические мембраны, 1989, т. 6, № 4, с. 409-419.

187. Нарбут М. А. Асимптотический анализ волновых полей в биологических тканях с приложениями к медицинской томографии // II Всерос. конф. по биомеханике (22-25 ноября 1994). Тез. докл. (в 2-х томах). Н. Новгород: Изд-во Н. Новгород, 1994, т. 2, с. 74.

188. Насонов Д. Н. Слышимые звуки как прямой раздражитель протоплазмы клеток // Местная реакция протоплазмы и распространяющееся возбуждение. 2-е изд. M.-JL: АН СССР, 1962, с. 28-36.

189. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978,336 с.

190. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, 1987, ч. 1-464 е., ч. II-360 с.

191. Никитин Л. В. Модель биоупругого тела // Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1971, № 3, с. 154-157.

192. Никитин Л. В., Хаютин В. М. Теория измерения гидравлического сопротивления сосудов при воздействии управляющих сигналов // Физиологический журнал СССР, 1962, т. 48, № 8, с. 967-975.

193. Никитин Н. Л. Модель мышечной ткани с переменным числом работающих волокон // Механика композита, материалов, 1980, № 1, с. 113-120.

194. Николаевский В. Н., Басниев К. С., Горбунов А. Т., Зотов Г. А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970, 335 с.

195. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975, 872 с.

196. Орлов Р. С., Борисов А. В., Борисова Р. П. Лимфатические сосуды. Л.: Наука, 1983,254 с.

197. Островский Л. А., Яхно В. Г. Формирование импульсов в возбудимой среде // Биофизика, 1975, т. 20, вып. 3, с. 489-493.

198. Пасечник В. И., Фоменко А. М. Измерение модуля упругости мышц человека методом бегущих волн // Механика композитных материалов, 1982, № 2, с. 363-365.

199. Пасконов В. М. Стандартная программа для решения задач пограничного слоя // Численные методы в газовой динамике. М.: Изд-во МГУ, 1963, вып. 2, с. 110-116.

200. Пастушенко В. Ф., Маркин В. С., Чизмаджев Ю. А. Основы теории возбудимых сред // Итоги науки и техники. Серия: бионика, биокибернетика, биоинженерия. М.: ВИНИТИ, 1977, т. 2, 108 с.

201. Пашовкин Т. Н., Сарвазян А. П. Механические характеристики мягких биологических тканей // Методы вибрационной диагностики реологических характеристик мягких материалов и биологических тканей. Сб. науч. тр. / ИПФ АН СССР. Горький, 1989, с. 105-115.

202. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов. Пер. с англ. под ред. С. А. Регирера. М.: Мир, 1983, 400 с.

203. Пелиновский Е. Н., Фридман В. Е. Взрывная неустойчивость нелинейных волн в средах с отрицательной вязкостью // Прикладная математика и механика, 1974, т. 38, вып. 6, с. 991-995.

204. Петухов С. В. Биомеханика, бионика и симметрия. М.: Наука, 1981,239 с.

205. Пиковский А. С. Хаотические автоволны в возбудимых средах // Биофизика, 1986, т. 31, вып. 3, с. 492-497.

206. Пилипчук В. Н., Проценко И. Г. Об одной модели растяжимой трубки, допускающей локализованные волны // ПМТФ, 1987, № 3, с. 126-131.

207. Проблемы прочности в биомеханике / Под ред. И. Ф. Образцова. М.: Высш. шк., 1988, 312 с.

208. Пуриня Б. А., Касьянов В. А. Биомеханика крупных кровеносных сосудов человека. Рига: Зинатне, 1980, 260 с.

209. Рабинович М. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. М: Наука, 1984, 432 с.

210. Рачев А. Моделиране на периферното кръвообращение. Част I // Биомеханика. София, 1984, кн. 15-16, с. 116-126.

211. Регирер С. А. Лекции по биологической механике. Часть 1. М.: Из-во Моск. ун-та, 1980, 144 с.

212. Регирер С. А. Механические аспекты местной регуляции кровообращения // Регуляция кровообращения в скелетных мышцах. Рига: Зинатне, 1980, с. 113-117.

213. Регирер С. А. Квазиодномерная теория перистальтических течений // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1984, № 5, с. 89-97.

214. Регирер С. А. Биомеханика: известные и малоизвестные постановки задач // VII Всесоюзн. съезд по теоретической и прикладной механике (Москва, 15-21 августа 1991). М.: ИМ МГУ, 1991, с. 299.

215. Регирер С. А. Биомеханика: известные и малоизвестные постановки задач // Изв. АН. Механика жидкости и газа, 1992, № 5, с. 8-19.

216. Регирер С. А., Руткевич И. М. Волновые движения жидкости в трубках из вязкоупругого материала. Волны малой амплитуды // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1975, № 1, с. 45-53.

217. Регирер С. А., Руткевич И. М. Волновые движения жидкости в трубках из вязко-упругого материала. Инерционные эффекты // Некоторые вопросы механики сплошной среды. Сб. статей. М.: МГУ, 1978, с. 244-263.

218. Регирер С. А., Руткевич И. М., Усик П. И. Модель сосудистого тонуса // Механика полимеров, 1975, № 4, с. 585-589.

219. Регирер С. А., Усик П. И., Чернова И. В. Математическое описание свойств мышечной ткани // Механика полимеров, 1975, № 4, с. 579-584.

220. Регирер С. А., Утушкина Н. С., Шадрина Н. X. О течении крови в капиллярной сети мышцы // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1986, № 6, с. 79-88.

221. Регирер С. А., Цатурян А. К. Основные проблемы механики мышечного сокращения // Моделирование биомеханических процессов (Современные проблемы биомеханики). Рига: Зинатне, 1983, вып. 1, с. 17-39.

222. Регирер С. А., Цатурян А. К., Черная Г. Г. Математическая модель распространения волн активации в изолированном кардиомиоците // Биофизика, 1986, т. 31, вып. 4, с. 667-671.

223. Регирер С. А., Черная Г. Г. О неизотонических спонтанных волнах сокращения в изолированных одиночных кардиомиоцитах // Биофизика, 1989, т. 34, вып. 4, с. 660-664.

224. Регирер С. А., Черная Г. Г. Мышечное сокращение и внутриклеточные диффузионные процессы // Биомеханика мышц и структура движений (Современные проблемы биомеханики). Н. Новгород: Научн. совет РАН по пробл. биомеханики, 1992, вып. 7, с. 35-62.

225. Романов С. Н. Биологическое действие механических колебаний. Л.: Наука, 1983, 208 с.

226. Романов С. Н. Биологическое действие вибрации и звука. Л.: Наука, 1991, 160 с.

227. Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чернавский Д. С. Математическая биофизика. М.: Наука, 1984, 304 с.

228. Рубин А. Б. Биофизика. (В 2-х кн.). М.: Высш. шк., 1987, кн. 1 -320 е., кн. 2 304 с.

229. Руденко О. В., Сарвазян А. П. Нелинейная акустика и биомедицинские приложения // Биомедицинская радиоэлектроника, 2000, №3, с.6-19.

230. Руткевич И. М. Волновые движения жидкости в трубках из вязко-упругого материала. Стационарные нелинейные волны // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1975, № 4, с. 86-95. f

231. Рухлис В. Е. Движение крови в терминальном сосудистом русле как фильтрация в пористой среде // Биомеханика кровообращения, дыхания и биологических тканей. Рига, 1981, с. 7-14.

232. Савицкий Н. Н. Биофизические основы кровообращения и клинические методы изучения гемодинамики. 3-е изд. Л.: Медицина, 1974, 311 с.

233. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987, 480 с.

234. Сарвазян А. П. Низкочастотные акустические характеристики биологических тканей // Механика полимеров, 1975, № 4, с. 691-695.

235. Сарвазян А. П. Биофизические основы ультразвуковой медицинской диагностики // Ультразвуковая диагностика. Сб-к научн. тр. Горький: ИПФ АН СССР, 1983, с. 80-94.

236. Седов Л. И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1983, т. I — 528 е., 1984, т. II-560 с.

237. Синяков В. С. Голографическая регистрация деформационных волн в мышечных тканях // Бюллетень экспериментальной биологии и медицины, 1986, т. CII, № 10, с. 495-498.

238. Скобелева И. М. Модель сосудистого тонуса (численный эксперимент) //Механика композитных материалов, 1980, № 1, с. 107-112.

239. Скобелева И. М. О возможных режимах течения ньютоновской жидкости в трубках из активного материала // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1985, № 3, с. 88-93.

240. Сковорода А. Р. Реконструкция упругих свойств мягких биологических тканей по данным об их деформировании при динамическом нагру-жении // Биофизика, 2000, т. 45, вып. 4, с. 723-729.

241. Сковорода А. Р., Аглямов С. Р. О реконструкции упругих свойств мягких биологических тканей при их низкочастотном возмущении // Биофизика, 1995, т. 40, вып. 6, с. 1329-1334.

242. Сковорода А. Р., Аглямов С. Р. Определение механических свойств вязко-упругого слоя на основе импедансных измерений // Математическое моделирование, 1997, т. 9, № 8, с. 119-127.

243. Сковорода А. Р., Аглямов С. Р. Определение механических свойств многослойной вязкоупругой среды по данным измерений импеданса // Биофизика, 1998, т. 43, вып. 2, с. 348-352.

244. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике / Пер. с англ. М.: Сов. радио, 1977, 368 с.

245. Скубишак JI. Объемные напряжения в мышечной клетке с точки зрения ее надмолекулярных структур // Тез. докл. VI-го Болгар, нац. конгр. по теор. и прикл. механике (Варна, 25-30.09.1989), с. V.22.

246. Скубишак JI. Структура и функциональное значение толстой нити //Биофизика, 1996, т. 41, вып. 1, с. 40-57.

247. Смолянинов В. В. Математические модели биологических тканей. М.: Наука, 1980,368 с.

248. Смолянинов В. В. Локомоторная теория относительности // Препринт ИППИ АН СССР. М., 1984, 76 с.

249. Смолянинов В. В. Пространственно-временные задачи локомоторного управления // Успехи физич. наук, 2000, т. 170, № 10, с. 1063-1128.

250. Соколов А. В. Нелинейная волна Рэлея на границе однородного, вязкоупругого полупространства // Препринт № 387. Н. Новгород: ИПФ РАН, 1995, 40 с.

251. Соколов А. В. Поверхностная волна Рэлея на границе нелинейно-слоистого полупространства // Препринт № 449. Н. Новгород: ИПФ РАН, 1997, 44 с.

252. Сонина Р. С., Хаютин В. М. Поведение артериальных микрососудов подчелюстной мышцы лягушки во время ее сокращения // Актуальные вопросы нарушений гемодинамики и регуляции микроциркуляции в клинике и эксперименте. М., 1984, с. 197-198.

253. Тиманин Е. М. Модель формирования импедансных свойств мягких биологических тканей // Методы вибрационной диагностики реологических характеристик мягких материалов и биологических тканей. Горький: ИПФ АН СССР, 1989, с. 75-91.

254. Тиманин Е. М. Поля смещений поверхностного источника колебаний в слоистой биологической ткани // Акуст. журн., 2002, т. 48, № 1, с. 98-104.

255. Тиманин Е. М., Еремин Е. В. Интерпретация механического импеданса биологических тканей в трехслойной модели с силовым источником колебаний // Биофизика, 2003, т. 48, вып. 2, с. 324-331.

256. Ткачук В. А. Введение в молекулярную эндокринологию. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983, 256 с.

257. Токмаков А. А., Васильев В. Ю. Исследование роли активных форм кислорода в индукции люминол зависимой хемилюминесценции макрофагов // Биохимия, 1991, т. 56, вып. 2, с. 250-257.

258. Трошин А. С. Распределение веществ между клеткой и средой. JL: Наука, 1985, 192 с.

259. Тухватулин Р. Т., Шуваева В. Н., Шадрина Н. X., Левтов В. А. // Агрегация эритроцитов в крови, помещенной в макро- и микрокюветы // Физиологический журнал СССР, 1986, т. 72, № 6, с. 775-784.

260. Ультразвук. Маленькая энциклопедия / Под ред. И. П. Голяминой. М.: Сов. энциклопедия, 1979, 400 с.

261. Усик П. И. Континуальная механо-химическая модель мышечной ткани // Прикладная математика и механика, 1973, т. 37, вып. 3, с. 448-458.

262. Усик П. И. Сокращение мышечного волокна при распространении возбуждения //Биофизика, 1986, т. 31, вып. 5, с. 845-849.

263. Уфлянд Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. M.-JL: Изд-во АН СССР, 1963, 363 с.

264. Федотов С. П., Мархасин В. С. Неустойчивость однородного распределения кровотока в системе микроциркуляции // Доклады АН СССР, 1990, т. 313, № 6, с. 1497-1499.

265. Физиология и патофизиология сердца / Под ред. Н. Сперелакиса. М.: Наука, 1988.

266. Физиология кровообращения: Физиология сосудистой системы (Руководство по физиологии). JL: Наука, 1984, 656 с.

267. Физиология кровообращения: Регуляция кровообращения (Руководство по физиологии). Л.: Наука, 1986, 640 с.

268. Физиология человека (в 4-х томах). Пер. с англ. / Под ред. Р. Шмидта и Г. Тевса. М.: Мир, 1985-86, т. 1 272 е., т. 2 - 240 е., т. 3 - 288 е., т.4-312 с.

269. Физиология человека и животных. Регуляция сосудистого тонуса (Итоги науки и техники). М.: ВИНИТИ, 1979, т. 23, 192 с.

270. Физиология человека и животных / Под ред. А. Б. Когана. М.: Высшая школа, 1984.

271. Филиппов А. Т. Многоликий солитон. 2-ое изд. М.: Наука, 1990,288 с.

272. Хилл А. Механика мышечного сокращения. М.: Мир, 1972, 184 с.

273. Ходоров Б. И. Общая физиология возбудимых мембран. Руководство по физиологии. М.: Наука, 1975, 408 с.

274. Цатурян А. К. Молекулярная механика мышц // Биомеханика мышц и структура движений (Современные проблемы биомеханики). Н. Новгород: Научн. совет РАН по пробл. биомеханики. 1993, вып. 7, с. 63-80.

275. Цатурян А. К., Желамский С. В. О взаимосвязи деформации и активации сердечной мышцы // Механика композитных материалов, 1980, № 1, с. 100-106.

276. Цатурян А. К., Изаков В. Я. Математическая модель сопряжения возбуждения с сокращением в сердечной мышце // Биофизика, 1978, т. 23, вып. 5, с. 895-900.

277. Цатурян А. К., Изаков В. Я., Желамский С. В. Механические свойства пассивной сердечной мышцы // Механика биологических тканей (Современные проблемы биомеханики). Рига: Зинатне, 1985, вып. 2, с. 151-178.

278. Черная Г. Г. Диффузионный аналог волны горения в системе с дискретными источниками // Прикладная математика и механика, 1986, т. 50, вып. 6, с. 996-1005.

279. Чичагов П. К. Экспериментальное исследование механических колебаний в венозном русле // Механика композитных материалов, 1979, №4, с. 733-735.

280. Шмидт-Ниельсен К. Физиология животных. Приспособление и среда. В 2-х книгах. М.: Мир, 1982. Кн. 1-416 е., кн. 2 384 с.

281. Эльпинер И. Е. Биофизика ультразвука. М.: Наука, 1973, 384 с.

282. Яхно В. Г. О расчете скорости волн в возбудимой среде // Биофизика, 1976, т. 21, вып. 3, с. 547-550.

283. Abstracts of Papers Presented at the American Microcirculatory Society Meeting. Tucson, Arizona // Microvascular Research, 1985, v. 29, N 2.

284. Allen D. G., Eisner D. A., Orchard С. H. Characterization of oscillations of intracellular calcium concentration in ferret ventricular muscle // J. Physiol., 1984, v. 352, p. 113-128.

285. Allen D. G., Eisner D. A., Orchard С. H. Factors influencing free intracellular calcium concentration in quiescent ferret ventricular muscle // J. Physiol., 1984, v. 350, p. 615-630.

286. Antonets V. A., Klochkov B. N. Blood vessels network as active medium // Second World Congress of Biomechanics (July 10-15, 1994). Abstracts / Ed. L. Blankevoort, J. G. M. Kooloos. Amsterdam, the Netherlands, 1994, v. 1, p. 225.

287. Antonets V. A., Klochkov B. N., Kovaleva E. P. Mechanisms of vibrational and acoustical activity of muscular tissue // Lecture notes of the ICB seminars. Biomechanics. Man Under Vibration (17-20 June, 1996). Warsaw, 1997, v. 29, p. 152-161.

288. Barry D. T. Acoustic signals from frog skeletal muscle // Biophys. J., 1987, v. 51, p. 769-773.

289. Barry D. Т., Cole N. M. Muscle sounds are emitted at the resonant frequencies of skeletal muscle // IEEE Trans. Bio-med. Engng., 1990, v. 37, N 5, p. 525-531.

290. Basar E., Weiss C. Vasculature and circulation. Amsterdam: Elsevier, 1981,272 p.

291. Bjorno L. Characterization of biological media by means of their non-linearity // Ultrasonics, 1986, v. 24, p. 254-259.

292. Borgstrom P., Grande P.-O., Mellander S. A mathematical description of the myogenic response in the microcirculation // Acta Physiol. Scand., 1982, v. 116, N4, p. 363.

293. Brower R. W., Scholten C. Experimental evidence on the mechanism for the instability of flow in collapsible vessels // Med. Biol. Engng., 1975, v. 13, N6, p. 839-845.

294. Brozovich F. V., Pollack G. H. Muscle contration generatesdiscrete sound bursts // Biophys. J., 1983, v. 41, p. 35-40.

295. Burrows M. E., Johnson P. C. Diameter, wall tension and flow in mesenteric arterioles during autoregulation // Amer. J. Physiol., 1981, v. 241, N 6, p. H829-H837.

296. Burrows M. E., Johnson P. C. Arteriolar responses to elevation of venous and arterial pressures in cat mesentery // Amer. J. Physiol., 1983, v. 245, p. 11796.

297. Cancelli C., Pedley T. J. A separated-flow model for collapsible-tube oscillations // J. Fluid. Mech., 1985, v. 157, p. 375-404.

298. Capogrossi M. C., Lakatta E. G. Frequency modulation and synchronization of spontaneous oscilation in cardiac cells // Amer. J. Phyisiol., 1985, v. 248 (17), p. H412-H418.

299. Carpenter P. W., Garrad A. D. The hydrodynamic stability of flow over Kramer-type compliant surfaces. Pt. 1: Tollmien-Schlichting instabilities // J. Fluid Mech., 1985, v. 155, p. 465-510.

300. Carpenter P. W., Garrad A. D. The hydrodynamic stability of flow over Kramer-type compliant surfaces. Pt. 2: Flow-induced surface instabilities // J. Fluid Mech., 1986, v. 170, p. 199-232.

301. Chapman R. A. Control of cardiac contractility at the cellular level // Amer. J. Physiol., 1983, v. 245 (14), N 4, p. H535-H552.

302. Clemedson C. J. An experimental study on air blast injuries // Acta physiol. scand., 1949, v. 18, suppl. 61, p. 244-260.

303. Colantuoni A., Bertuglia S., Intaglietta M. Quantitation of rhythmic diameter changes in arterial microcirculation // Amer. J. Physiol., 1984, v. 246, N4, pt. 2, p. H508-H517.

304. Colantuoni A., Bertuglia S., Intaglietta M. The effects of a- or P~ adrenergic receptor agonists and antagonists and calcium entry blockers on the spontaneous vasomotion // Microvasc. Res., 1984, v. 28, N 2, p. 143-158.

305. Coleman A. W., Coleman J. R., Griffin J. D., Weltman J. K., Chapman К. M. Methylxanthine-Induced Escalation: A Propagated Wave Phenomenon Observed in Skeletal Muscle Developing in Culture // Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1972, v. 69, N3, p. 613-616.

306. Conrad W. A. Pressure-flow relationships in collapsible tubes // IEEE Trans. Bio-med. Engng., 1969, v. 16, N 4, p. 284-295.

307. Demin I. Y., Klochkov B. N. Nonlinear vibroacoustic processes on the biological tissue // 16-th International Symposium on Nonlinear Acoustics (August 19-23). Abstracts. Moscow: MSU, 2002, p. 136.

308. Duling B. R., Berne R. M. Propagated vasodilation in the microcirculation of the hamster cheek pouch // Circulation Research, 1970, v. 26, p. 163-170.

309. Dunn F., Law W. K., Frizzell L. A. Nonlinear ultrasonic wave propagation in biological materials // Ultrasonics symposium. 1981, p. 527-532.

310. Dunn F., Law W. K., Frizzell L. A. Nonlinear ultrasonic propagation in biological media //Br. J. Cancer., 1982, v. 45, suppl. V, p. 55-58.

311. Dunn F., Law W., Frizzell L. The nonlinearity parameter B/A of biological media // Proceedings of the 10-th International Symposium on Nonlinear Acoustics (24-28 July, 1984) / Ed. A. Nakamura. Kobe, Japan, 1984, p. 221-225.

312. Dunn F., Law W. K., Frizzell L. A. The ultrasonic nonlinearity parameter for biological media // Archives of Acoustics, 1984, v.9, N 1-2, p.29-34.

313. Dunn F., Zhang J. Measurements of the nonlinearity parameter B/A in a mammalian organ in vivo and in a cellular model // Проблемы нелинейной акустики. Сб. тр. XI междунар. симп. IUPAP-IUTAM (24-28 августа 1987). Новосибирск, 1987,ч. 1,с. 169-172.

314. Ewing W. М., Jardetzky W. S., Press F. Elastic waves in layered media. New York, Toronto, London: McGraw-Hill Book Company, Inc., 1957, 380 c.

315. Fabiato A. Mechanism of Ca2+ induced release of Ca2+ from the sarcoplasmic reticulum of a skinned cardiac cell from the rat ventricle // J. Physiol., 1985, v. 358, p. 58P.

316. Folkow В., Neil E. Circulation. N. Y., London, Toronto: Oxford University Press, 1971 (Рус. перев.: Фолков Б., Нил Э. Кровообращение. М.: Медицина, 1976, 464 е.).

317. Ford L. E., Huxley A. F., Simmons R. M. The relation between stiffness and filament overlap in stimulated frog muscle fibres // J. Physiol., 1981, v. 311, p. 219-249.

318. Frangioni J. V., Kwan-Gett T. S., Dobrunz L. E., McMahon T. A. The mechanism of low-frequency sound production in muscle // Biophys. J., 1987, v. 51, p. 775-783.

319. Franke E. Mechanical impedance of the surfase of the human body // Journal of Applied Physiology, 1951, v. 3, N 1, p. 582-590.

320. Fung Y. C. Comparison of different models of the heart muscle // J. Biomech., 1971, v. 4, p. 289-295.

321. Fung Y. C. Biomechanics. Mechanical properties of living tissues. New York, Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag, 1981, 434 p.

322. Fung Y. C. Biodynamics. Circulation. New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo: Springer-Verlag, 1984, 404 p.

323. Funk W., Intaglietta M. Spontaneous arteriolar vasomotion // Vasomotion and Quantitative Capillaroscopy. Proc. 2-nd Bodensee Symp. Microcirc. Konstang, Basel e.a., 1983, p. 66-82.

324. Gad-el-Hak M. Boundary layer interactions with compliant coatings: An overview // Appl. Mech. Rev., 1986, v. 39, N 4, p. 511-523.

325. Gao L., Parker K. J., Lerner R. J., Levinson S. F. Imaging of the elastic properties of tissue. A review // Ultrasound in Med. & Biol., 1996, v. 22, N 8, p. 959-977.

326. Gavriely N., Grotberg J. B. Flow limitation and wheezes in a constant flow and volume lung preparation // J. Appl. Physiol., 1988, v. 64, N 1, p. 17-20.

327. Gavriely N., Palti Y., Alroy G., Grotberg J. B. Measurements and theory of wheezing breath sounds // J. Appl. Physiol., 1984, v. 57, N 2, p.481-492.

328. Gavriely N., Shee T. R., Cugell D. W., Grotberg J. B. Flutter in flow-limited collapsible tubes: a mechanism for generation of wheezes // J. Appl. Physiol., 1989, v. 66, N 5, p. 2251-2261.

329. Girard S., Luckhoff A., Lechleiter J., Sneyd J., Clapham D. Two-dimensional model of calcium waves reproduces the patterns observed in Xenopus oocytes // Biophys. J., 1992, v. 61, p. 509-517.

330. Gordon G., Holbourn A. H. S. The sounds from single motor units in a contracting muscle // J. Physiol., 1948, v. 107, p. 456-464.

331. Griffiths D. J. Oscillations in the outflow from a collapsible tube // Med. Biol. Engng. and Comput., 1977, v. 15, N 4, p. 357-362.

332. Griffith Т. M., Edwards D. H. Fractal analysis of role of smooth muscle Ca fluxes m genesis of chaotic arterial pressure oscillations // American Journal of Physiology, 1994, v. 266 (5), Part 2, p. H1801-H1811.

333. Grossberg A. Yu., Nechaev S. K. // J. de Physique, 1988, v. 49, p. 2095-2100.

334. Grotberg J. В., Gavriely N. Flutter in collapsible tubes: a theoretical model of wheezes // J. Appl. Physiol., 1989, v. 66, N 5, p. 2262-2273.

335. Grotberg J. В., Reiss E. L. Subsonic flapping flutter // J. Sound Vibrat., 1984, v. 92, N3, p. 349-361.

336. Grotberg J. В., Shee T. R. Compressible flow channel flutter // J. Fluid Mech., 1985, v. 159, p. 175-193.

337. Hatta I., Sugi H., Tamura Y. Stiffness changes in frog skeletal muscle during contraction recorded using ultrasonic waves // J. Physiology, 1988, v. 403, p. 193-209.

338. Heneson N. How cells get the message // New Scientist, 1987, v. 20, N 8, p. 25.

339. Hilton S. M. A peripheral arterial conducting mechanism underlying dilation of the femoral artery and concerned in functional vasodilation in skeletal muscle // J. Physiol., 1959, v. 149, p. 93-111.

340. Iooss G., Joseph D. D. Elementary stability and bifurcation theory. New York, Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag, 1980 (Рус. пер.: Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. М.: Мир, 1983, 301 е.).

341. Ishide N., Urayama Т., Inoue К.-I., Komary Т., Takishima Т. Propagation and collision characteristics of calcium waves in rat myocytes // Am. J. Physiol., 1990, v. 259, p. H940-H950.

342. Johnson P. C. Autoregulatory responses of cat mesenteric arterioles measured in vivo // Circulat. Res., 1968, v. 22, N 2, p. 199-212.

343. Johnson P. C., Intaglietta M. Contributions of pressure and flow sensitivity to autoregulation in mesenteric arterioles // Amer. J. Physiol, 1976, v. 231, N6, p. 1686-1698.

344. Kameyama K., Inoue Т., Demin I. Yu., Kobayashi K., Cato T. Acoustical Tissue Nonlinearity Characterization Using Bispectral Analysis // Signal Processing, 1996, v. 53, p. 117-131.

345. Klochkov B. N. Wave problems of biomechanics // 2-nd East European Conf. on Biomedical Engineering (August 27-29, 1991). Abstracts. Praga, p. 50.

346. Klochkov B. N. Acoustic waves on surface of biological tissues // School of Fundamental Medicine Journal, 1997, v. 3, N 2, p.77.

347. Klochkov B. N. Acoustic waves in active biological tissues // Third World Congress of Biomechanics. WCB'98. Abstracts. Sapporo, Japan: Press of Hokkaido University, 1998, p. 395.

348. Klochkov В. N. The elastic field from force vibrational source on the layer biological tissue // 5-th International Conference on Vibration Problems (810 October). Abstracts. Moscow: MERI, 2001, p. 44.

349. Klochkov B. N., Pelinovsky E. N. Nonlinear models of blood flow in tissues // Mechanics of blood circulation. Biomechanics (Madralin, October 1991). Lecture notes of the Int. Centre of Biocybernetics (ICB) seminars. Warsaw: ICB, 1992, N15, p. 70-81.

350. Knight E. Y., Hamilton M. F., Il'inskii Y. A., Zabolotskaya E. A. On Rayleigh Wave Nonlinearity, and Analytical Approximation of the Shock Formation Distance // J. Acoust. Soc. Am., 1997, v. 102, N 5, pt. 1, p. 2529-2535.

351. Koch A. R. Some mathematical forms of autoregulatory models // Circulation Research, 1964, v. 14-15, N 2, suppl. 1, p. 1-269.

352. Kort A. A., Lakatta E. G. Calcium dependent mechanical oscillations occur spontaneously in unstimulated mammalian cardiac tissues // Circ. Res., 1984, v. 54, N4, p. 396-404.

353. Kort A. A., Lakatta E. G. Propagation velocity and frequency of spon04taneous microscopic waves in intact rat papillary muscle are Ca dependent // Biophys. J., 1984, v. 45, N 2, part 2, p. 94a.

354. Krogh A. The number and distribution of capillaries in muscles with calculations of the oxygen pressure nead necessary for supplying the tissue // J. Physiol., 1919, v. 52, p. 409-415.

355. Krogh A. The anatomy and physiology of capillaries. N. Y.: Haufer Publishing Co., 1959.

356. Kushmerick M. J., Podolsky R. J. Ionic mobility in muscle cells // Science, 1969, v. 166, N3910, p. 1297-1298.

357. Kuznetsova E. A., Klochkov B. N. Flexion and collapse of vessel with blood flow // Abstracts of the Third World Congress of Biomechanics (2-8 august 1998). Japan, Sapporo: Hokkaido University, 1998, p. 228.

358. Law W. K., Frizzell L. A., Dunn F. Ultrasonic determination of the nonlinearity parameter B/A for biological media // J. Acoust. Soc. Am., 1981, v. 69, N4, p. 1210-1212.

359. Law W. K., Frizzell L. A., Dunn F. Comparison of thermodynamic and finite amplitude methods of B/A measurement in biological materials // J. Acoust. Soc. Am., 1983, v. 74, N 4, p. 1295-1297.

360. Law W. K., Frizzell L. A., Dunn F. Determination of the nonlinearity parameter B/A of biological media // Ultrasound in Med. Biol., 1985, v. 11, N 2, p. 307-318.

361. Lechleiter J., Girard S., Clapham D., Peralta E. Subcellular patterns of calcium release determined by G protein-specific residues of muscarinic receptors // Nature, 1991, v. 350, N 6318, p. 505-508.

362. Lechleiter J., Girard S., Peralta E., Clapham D. Spiral calcium wave propagation and annihilation in Xenopus laevis Oocytes // Science, 1991, v. 252, N5002, p. 123-126.

363. Lee A. W. The effect of geologic structure upon microseismic disturbance // Roy. Astron. Soc. Monthly Notices: Geophys. Suppl., 1932, v. 3, p. 83-105.

364. Madigosky W. M., Lee G. F., Haun J., Borkat F., Kataoka R. Acoustic surface wave measurements on live bottlenose dolphins // J. Acoust. Soc. Amer., 1986, v. 79, N 1, p. 153-159.

365. Mandelbrot В. B. The Fractal Geometry of Nature. N. Y.: W. H. Freeman and Company, 1982.

366. Martin B. J., Park H.-S. Analysis of the Tonic Vibration Reflex: Influence of Vibration Variables on Motor Unit Synchronization and Fatigue // Eur. J. Appl. Physiol., 1997, v. 75, p. 504-511.

367. Mol C. R., Breddels P. A. Ultrasound velocity in muscle // J. Acoust. Soc. Amer, 1982, v. 71, N 2, p. 455-461.

368. Nassiri D. K, Nicholas D, Hill C. R. Attenuation of ultrasound in skeletal muscle // Ultrasonics, 1979, v. 17, N 5, p. 230-232.

369. Nicolis Gi, Prigogine I. Self-organization in nonequilibrium systems. New York: Wiley, 1977, 491 p. (Рус. пер.: Николис Г, Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979, 512 е.).

370. Oestreicher Н. L. Field and impedance of an oscillating sphere in a viscoelastic medium with an application to biophysics // Journal of the Acoustical Society of America, 1951, v. 23, N 6, p. 707-714.

371. Ohhashi Т., Azuma Т., Sakaguchi M. Active and passive mechanical characteristics of bovine mesenteric lymphatics // Amer. J. Physiol., 1980, v. 239, p. H88-H95.

372. O'Rourke M. F, Kelly R. P, Avolio A. P, Hayward C. Effects of Arterial Dilator Agents on Central Aortic Systolic Pressure and on Left Ventricular Hydraulic Load // Am. J. Cardiol, 1989, v. 63, N 19, p. 38 I 441.

373. Oster G. Muscle sounds // Scientific American, 1984, v. 250, N 3 (Рус. перев.: Остер Д. Звуки мышц // В мире науки, 1984, № 5, с. 62-69).

374. Oster G., Jaffe J. S. Low frequency sounds from sustained contraction of human skeletal muscle // Biophys. J., 1980, v. 30, p. 119-128.

375. Pereira J. M., Mansour J. M., Davis B. R. Dynamic measurement of the viscoelastic properties of skin // J. Biomechanics, 1991, v. 24, N 2, p. 157-162.

376. Potts R. O., Chrisman D. A., Buras E. M. The dynamic mechanical properties of human skin in vivo // J. Biomechanics, 1983, v. 16, N 6, p. 365-372.

377. Rhatigan B. A., Mylrea К. C., Lonsdale E., Stern L. Z. Investigation of sounds produced by healthy and diseased human muscular contraction // IEEE Trans. Biomed. Eng., 1986, v. BME-33, N 10, p. 967-971.

378. Rieser G., Sabbadini R., Paolini P., Fry M., Inesi G. Sarcomere motion in isolated cardiac cells // Amer. J. Physiol., 1979, v. 236, N 1, p. C70-C77.

379. Rooney T. A., Renard D. C., Sass E. J, Thomas A. P. Oscillatory cyto-solic calcium waves independent of stimulated inositol 1,4,5-trisphosphate formation in hepatocytes // J. Biol. Chemistry, 1991, v. 266, N 19, p. 12272-12282.

380. Rotenberry J. M. Finite amplitude shear waves in a channel with compliant boundaries // Phys. Fluids A, 1992, v. 4, N 2, p. 270-276.

381. Royston T. J., Mansy H. A., Sandler R. H. Excitation and propagation of surface waves on a viscoelastic half-space with application to medical diagnosis // J. Acoust. Soc. Am., 1999, v. 106, N 6, p. 3678-3686.

382. Sarvazyan A. P. Some new fields and new ideas in biomedical acoustics and medical imaging // 13 International Congress on Acoustics. Belgrade, Sava Centar: Dragan Srnic Press, Sabac, 1989, v. 4, p. 149-152.

383. Sarvazyan A. P., Rudenko О. V., Swanson S. D., Fowlkes J. В., Emelianov S. Y. Shear wave elasticity imaging: A new ultrasonic technology of medical diagnostics // Ultrasound in Med. Biology, 1998, v.24, N 9, p.1419-1435.

384. Sielinski К., Dancewicz R., Kulig A. Ocena zmian morfologicznych w plucach wywolanych dzialaniem powietrznej fali uderzeniowej // Patalogia pol., 1985, v. 34, N 3, s. 273-301.

385. Spaan J. A. E. Coronary blood flow. Dordrocht, The Netherlands: Kluwer Academic Press, 1991.

386. Stern M. D., Capogrossi M. C., Lakatta E. G. Propagated contractile waves in single cardiac myocytes modeled as regenerative calcium induced calcium release from the sarcoplasmic reticulum // Biophys. J., 1984, v. 45, N 2, part 2, p. 94a.

387. Takamatsu Т., Wier W. G. Calcium waves in mammalian heart: quantification of origin, magnitude, waveform and velocity // FASEB Journal, 1990, v. 4, N5, p. 1519-1525.

388. Ur A., Gordon M. Origin of Korotkoff sounds // Amer. J. Physiol., 1970, v. 218, N 2, p. 524-529.

389. Vasomotion and Quant. Capillaroscopy. Proc. 2-nd Bodensee Symp. Microcirc. (1-3 July 1983). Prog. Appl. Microcirc. Konstang, Karger, Basel, 1983, v. 3.

390. Wells P. N. Т. Biomedical Ultrasonics. London, New York, San Francisco: Academic Press, 1977, 635 p.

391. Yamakoshi Y., Sato J., Sato T. Ultrasonic imaging of internal vibration of soft tissue under forced vibration // IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control, 1990, v. 37, N 2, p. 45-53.

392. Zhang J., Dunn F. In vivo B/A determination in a mammalian organ // J. Acoust. Soc. Am, 1987, v. 81, N 5, p. 1635-1637.

393. Паршиков В. В, Киреева Н. Б., Клочков Б. Н. О профилактике рецидива пузырио-мочеточникового рефлюкса у детей // Современные технологии в педиатрии и детской хирургии. Материалы 3-его Российского Конгресса (Москва, 26-28 октября 2004), с. 575-576.

394. Паршиков В. В., Киреева Н. Б., Клочков Б. Н. Способ прогнозирования рецидива пузырно-мочеточникового рефлюкса у детей. Патент на изобретение № 2244508. Заявка № 2003106490. Приоритет 07 марта 2003. Зарегистрировано в Гос. реестре 20 января 2005.

395. Паршиков В. В, Киреева Н. Б, Клочков Б. Н. Математическая модель пузырно-мочеточникового рефлюкса // Нижегородский медицинский журнал. 2004. № 1. С. 70-72.

396. Регирер С. А., Шадрина Н. X. Элементарная модель сосуда со стенкой, чувствительной к механическим стимулам // Биофизика, 2002, т. 47, вып. 5, с. 908-913.

397. Шадрина Н. X. Современные модели реакции сосуда на механические стимулы // Тезисы докладов VIII Всероссийской конференции по биомеханике (22-26 мая 2006 г.). Н. Новгород: ИПФ РАН, 2006, с. 23-25.

398. Волобуев А. Н. Течение жидкости в трубках с эластичными стенками // Успехи физических наук, 1995, т. 165, № 2, с. 177-186.

399. Клочков Б. Н. Дисперсионные характеристики акусто-электрических и поверхностных упругих волн в биологических тканях //

400. Труды XIX сессии Российского акустического общества (Н. Новгород, 24-28 сентября 2007). М.: ГЕОС, 2007, т. 3. с. 152-155.

401. Клочков Б. Н. Взаимодействие акустической и электрической волн в мышечной ткани // Акустический журнал, 2008, т. 54, № 1, с. 143-146.

402. Руденко О. В., Сарвазян А. П. Волновая биомеханика скелетной мышцы // Акустический журнал, 2006, т. 52, № 6, с. 833-846.

403. Зинченко В. П., Бережнов А. В., Клочков Б. Н., Яхно В. Г. Моделирование кальциевых волн в клетках // Цитология, 2007, т. 49, № 9, с. 749.

404. Парашин В.Б., Иткин Г.П. Биомеханика кровообращения: Учеб. пособие / Под ред. С.И. Щукина. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. 224 с.

405. Биомеханика: достижения и перспективы. Сб-к науч. тр., посвящ. памяти С.А. Регирера / Под ред. А.А. Штейна и А.К. Цатуряна / Современные проблемы биомеханики, 2006, вып. 11. М.: Изд-во МГУ имени М.В. Ломоносова. 245 с.

406. Биомеханика-2008. IX Всерос. конф. по биомеханике. Тез. докл. Н. Новгород: ИПФ РАН, 2008. 300 с.

407. Елисеева Ю.Ю., Шилягин П.А., Клочков Б.Н. Исследование локального виброакустического воздействия на поверхность биоткани // Сборник трудов XX сессии Российского акустического общества (РАО). М.: ГЕОС, 2008, т. 3. с. 129-133.