Блочные элементы в моделях горных массивов сейсмоактивных территорий

Шишкин, Алексей Александрович

Блочные элементы в моделях горных массивов сейсмоактивных территорий тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Шишкин, Алексей Александрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Краснодар МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Блочные элементы в моделях горных массивов сейсмоактивных территорий»

Автореферат диссертации на тему "Блочные элементы в моделях горных массивов сейсмоактивных территорий"

На правах рукописи

ЯШ

{иич^и^

Шишкин Алексей Александрович

БЛОЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ В МОДЕЛЯХ ГОРНЫХ МАССИВОВ СЕЙСМОАКТИВНЫХ ТЕРРИТОРИЙ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

12 ДЕК 2013

Краснодар 2013

005543857

Работа выполнена на кафедре математического моделирования ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет»

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Бабешко Владимир Андреевич,

академик РАН, доктор физико-математических наук, профессор

Суворова Татьяна Виссарионовна,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Высшая математика - 1», ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный университет путей сообщения» (г. Ростов-на-Дону)

Дунаев Владислав Игоревич,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры производства строительных конструкций и строительной механики, ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный технологический университет» (г. Краснодар)

Южный научный центр РАН (г. Ростов-на-Дону)

Защита состоится «24» декабря 2013 г. в 18.00 часов на заседании диссертационного совета Д212.101.07 при ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет» по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, КубГУ, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет» по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149.

Автореферат разослан «£_/_» ноября 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета ^хт** / Зарецкая Марина Валерьевна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Проблема оценки сейсмичности в сейсмоопасных районах не решена и по сей день. Постоянно с некоторой нефиксированной периодичностью в различных районах Земли происходят сильные землетрясения, уносящие человеческие жизни и наносящие большой материальный ущерб. В Кубанском государственном университете для анализа напряженно-деформированного состояния блочных структур, какими являются кора Земли и литосферные плиты, разработан новый, удобный для анализа подобных задач метод блочного элемента. Он основан на топологических и факторизационных методах, что позволяет анализировать блочные структуры любых форм и размеров - от ограниченных до неограниченных. Вклад в развитие этого метода внесли ученые Кубанского государственного университета и Южного научного центра Российской академии наук.

В России к районам повышенной сейсмичности относятся восточное побережье страны, Прибайкалье, Алтай, Черноморское побережье, где исторически случались землетрясения силой 9 и более баллов. Последний регион особенно важен для оценки сейсмичности, так как более 6 миллионов граждан страны в течение года посещают эту территорию, там пройдут зимние Олимпийские игры 2014 г. Наряду с традиционным подходом оценки сейсмичности, применяемым Геофизической службой= РАН, в Кубанском госуниверситете развивается метод оценки сейсмичности, опирающийся на определение напряженно-деформированного состояния среды и концентрацию напряжений в литосферных плитах.

Исследованиями в области прочности и разрушения материалов, оценки их напряженно-деформированного состояния в разных направлениях занимались В.М. Александров, Б.Д. Аннин, Н.Х. Арутюнян, В.А. Бабешко, В.Г. Баженов, A.B. Белоконь, А.К. Беляев, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Б.М. Глинский, Е.В. Глушков, И.В. Глушкова, Р.В. Гольдштейн,

A.Г. Горшков, И.Г. Горячева, А.Н. Гузь, В.И. Дунаев,

B.И. Ерофеев, М.В. Зарецкая, JI.M. Зубов, JI.A. Игумнов,

М.А. Ильгамов, Д.А. Индейцев, В.В. Калинчук, Д.М. Климов, В.И. Колесников, Л.Ю. Коссович, A.M. Кривцов, В.А. Крысько, Е.В. Ломакин, С.А. Лурье, A.B. Манжиров, Н.Ф. Морозов, В.И. Моссаковский, С.М. Мхитарян, A.B. Наседкин,

A.B. Павлова, В.В. Панасюк, В.Е. Панин, Ю.В. Петров, Б.Е. Победря, А.Д. Полянин, О.Д. Пряхина, А.Ф. Резчиков,

B.C. Саркисян, М.В. Сильников, A.B. Смирнова, Т.В. Суворова, Д.В. Тарлаковский, Ю.А. Устинов, Л.А. Филыптинский, М.И. Чебаков, Ю.К. Чернов, Е.И. Шемякин, Ю.Г. Яновский, J. Achenbach, В. Baker, F. Bazi, Т. Blacker, В. Brickstad, P. Challande, L. Charles, W. Chen, Y. Cheung, L. Gray, W. Koiter, R. Low, M. Lowengrub, E. Smith, C. Wang и др.

Несмотря на большой объем исследований в этой области, остается ещё много нерешенных задач. Поскольку практически все сейсмоопасные территории расположены в зоне молодых гор, где тектонические подвижки продолжаются, требует решения проблема моделирования горных массивов блочной структурой. Важно, чтобы она адекватно, с некоторым приближением, не только описывала горный массив, но и позволяла адаптировать подход к моделированию горным рельефам в любой сейсмоопасной зоне мира. Для решения некоторых задач, связанных с оценкой сейсмичности в зонах с горным рельефом, выполнен ряд исследований.

Целью диссертационного исследования является:

- проведение моделирования горных массивов блочной структурой для последующей оценки их напряженно-деформированного состояния;

- выбор модели рельефа достаточно, адекватно описывающего структуру горных массивов параллелепипедами и применимой для расчетов;

- построение некоторых моделей распространения акустических волн в однородных средах.

Задачи, решаемые для достижения поставленной цели:

- разработка метода достаточно точного описания сложных геометрических объектов горных массивов в виде комбинации блочных элементов, применимого в любой сейсмоопасной зоне с горным рельефом;

- разработка способа оценки напряженно-деформированного состояния блочной структуры, сформированной блочными элементами, моделирующей горные массивы;

- моделирование прохождения сигналов в акустической среде.

Методы исследования. Задачи, поставленные в работе,

решались на основе исследований по теории блочного элемента с применением топологических методов, методов математического моделирования, проведение компьютерных расчетов.

Достоверность и обоснованность научных положений, результатов и выводов диссертационной работы обеспечивались корректностью физической и математической постановок задач, применением развитой теории блочного элемента, топологических методов, методов факторизации. Исследования проводились с использованием методов строгого математического анализа и опирались на уже апробированные методы изучения напряженно-деформированного состояния тел, описывающих их граничные задачи.

Научная новизна работы

1. Развит метод моделирования блочными элементами сложных трехмерных объектов реально существующих горных массивов, описываемых ГИС-картой.

2. Разработан способ исследования методом блочного элемента напряженно-деформированного состояния сложных трехмерных объектов, основанный на применении собственных векторных функций и топологических методов, метода блочного элемента.

3. Найден способ изучения крутильной компоненты напряженно-деформированного состояния блочной структуры, опирающийся на описание этой компоненты акустическим уравнением.

4. Построено описание прохождения акустического сигнала в блочной структуре крутильной компоненты напряженно-деформированного состояния среды.

5. Дано описание способа получения основных параметров напряженно-деформированного состояния трехмерной блочной структуры.

Практическая ценность и реализация результатов.

Методов исследования уровня сейсмичности территорий, имеющих горные массивы, практически нет. В то же время большинство сейсмоопасных территорий располагается в регионах, имеющих молодые горы. Результаты диссертационного исследования могут быть применимы при решении проблемы оценки уровня сейсмичности таких территорий, к числу которых относится Черноморское побережье Краснодарского края.

Предлагаемый автором метод оценки сейсмической обстановки использовался при строительстве олимпийских объектов в г. Сочи и пос. Красная Поляна. Он также послужит решению более сложной задачи оценки напряженно-деформированного состояния литосферных плит с горными рельефами. Данный метод апробировался при выполнении научного проекта «Развитие новых наукоемких методов мониторинга и прогноза состояния территорий в сейсмоопасных и оползнеопасных зонах» по Соглашению между Минобрнаукой и КубГУ № 14.В37.21.0646 от 20 августа 2012 г. Отдельные этапы научного исследования проходили при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 1008-00289, 11-08-96506_р-юг-а, 12-01-00332_а, 13-01-00132_а, 13-01-96504_р-юг-а), Совета по грантам Президента РФ по поддержке научных школ (проекты НШ-3765.2010.1, НШ-914.2012.1).

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Модели горного рельефа территории олимпийского строительства г. Сочи и пос. Красная Поляна как блочной структуры, описываемой разнотипными блоками и правильно в этом приближении отражающими качественные и количественные ее параметры с представлением на ГИС-карте.

2. Способ оценки напряженно-деформированного состояния горного трехмерного рельефа, основанный на методе блочного элемента и свойствах собственных векторных функций для уравнений Ламе.

3. Результаты исследования блочных элементов для крутильной составляющей напряженно-деформированного состояния, действующей на границы блока.

4. Результаты изучения прохождения акустического сигнала в блочной структуре.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались на IV Международной научно-практической конференции «Современные информационные технологии и ИТ-образование» (Москва, 2009 г.), на УП ежегодной научной конференции студентов и аспирантов базовых кафедр Южного научного центра РАН (Ростов-на-Дону, 2011 г.), на семинарах кафедры математического моделирования КубГУ.

Публикации. Основное содержание и результаты исследования опубликованы в 7 работах, из них в 5 в рецензируемых журналах из перечня ВАК РФ, рекомендованных для опубликования основных научных результатов диссертационных исследований на соискание ученой степени кандидата наук. Получено 2 свидетельства о государственной регистрации программ. В указанных публикациях основные идеи постановок задач и методы их исследования разрабатывались совместно с научным руководителем В.А. Бабешко и соавторами.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка использованной литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В данной работе проблема моделирования горных массивов блочной структурой исследуется в рамках метода оценки сейсмичности, развиваемого в Кубанском государственном университете.

Во введении рассматривается актуальность темы диссертации, дается обзор работ, посвященных исследованиям в области прочности и разрушения материалов, оценки их напряженно-деформированного состояния. Формулируется цель диссертационной работы и задачи, решаемые для достижения поставленной цели.

Ранее доказано [1-3], что блочные элементы представляют собой топологические многообразия с краем и могут иметь

произвольную форму. В то же время проведенные в других работах1 исследования показали, что усложнение формы блочных элементов приводит к усложнению описывающих их соотношений, таких как псевдодифференциальные уравнения, внешние формы, участвующие в операциях интегральные преобразования. В связи с этим для описания трехмерных и двумерных объектов автором предпринята попытка применения блочных элементов простейшей формы. К ним относятся прямоугольные параллелепипеды в трехмерном случае и прямоугольники - в двумерном. Таким образом, одна из задач при проведении исследований состоит в разработке метода достаточно точного описания сложных геометрических объектов в виде комбинации указанных блочных элементов и интерпретации этого представления на ГИС-карте. Последнее позволит использовать подход в любой сейсмоопасной зоне с горным рельефом при наличии соответствующих ГИС-слоев.

Вторая задача заключается в возможности наделения этих блочных элементов механическими свойствами линейно деформируемого твердого тела, поскольку исходные моделируемые объекты, например, горные массивы на территории олимпийского строительства г. Сочи и пос. Красная Поляна являются деформируемыми телами. Размеры блочных элементов диктуются масштабами изменения механических и физических свойств среды объектов. В общем случае такая задача является чрезвычайно сложной, для ее реализации необходим большой комплекс отдельных исследований, включая построение -векторных внешних форм, факторизацию матриц-функций нескольких комплексных переменных, анализ систем векторных псевдодифференциальных уравнений. Теория всех указанных построений выполнена в работах [1-3] и других. Однако простая техническая реализация изложенных там построений, в том числе фактор-топологий декартовых произведений топологических пространств, находится в стадии разработки. В связи с этим для определения особенностей

1 Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. О вариациях границ блочных элементов //ДАН. - 2012. - Т. 2, № 2. - С. 380-384.

поведения совокупностей блочных элементов был осуществлен выбор одной из компонент напряженно-деформированного состояния линейно деформируемого тела, выделение которого оказалось возможным в топологическом пространстве в сочетании с применением собственных векторных функций уравнений Ламе.

В работе [4] показано, что если рассматривать граничную задачу для уравнения Ламе в локальных координатах касательного расслоения границы любого гладкого тела, то уравнения для определения компонент собственных векторных функций распадаются на системы двух псевдодифференциальных уравнений и одного отдельного. Физически последнее достигается, если в каждой локальной системе координат касательного расслоения границы задаются крутильные напряжения или перемещения.

Граничная задача для этого случая сводится к волновому уравнению или уравнению Гельмгольца в случае вибрации, что существенно облегчает проведение исследования и изучение этой компоненты напряженно-деформированного состояния в прямоугольном параллелепипеде или прямоугольнике. Как уже отмечалось, для построения полной картины о напряженно-деформированном состоянии блочного элемента необходимо знание еще двух компонент, получаемых из векторного псевдодифференциального уравнения. Однако эта задача не входила в цель настоящего исследования в связи с описанными сложностями. Таким образом, строится модель объекта с заданными свойствами в виде совокупности блочных элементов, описываемая для принятой компоненты волновым уравнением, т. е. акустическим, в среде с заданной плотностью.

Отсюда следует третья задача исследования, предполагающая изучение прохождения сигналов в акустической среде с заданными свойствами, имитирующая вычисление значения компоненты напряженно-деформированного состояния в модели и реальности.

В первой главе описан подход к исследованию проблемы основ факторизационных методов. Их основы изложены в работах [1-3].

Кратко, дифференциальный метод факторизации состоит в следующем. Рассматривается граничная задача для систем дифференциальных уравнений в частных производных вида

М N К Р

к(дх1,дх2,дх3)<р = =

m=ln=lk=lp=l

5 = 1,2, ...,Р,

Asqmnk = COnSt, ф = {<р±, ф2, ... , фр}.

<P = {<Ps), <р(х) = Ф(.хъ х2, л:3), х = {хъ х2, х3], (1)

х е П.

с граничными условиями

M1 N1 Kt р

R(дх1,дх2,дх3)<р = ^ ^ ^Г ^ В5ртпк<рр}™К£<£ = ^ m=ln=lk=lp=l

s = 1, 2, ..., Sg < Р, х е an Mi < М, Л?! < ЛГ, ^ < К. (2)

1. Задача сводится преобразованием Фурье к функциональному уравнению

К(а)Ф = JJ а>,

dil

К(а) = —К(—ta1( —ia2, -ia3) = ||fcnm(a)||. (3)

2. Матрицы-функции K(a) функционального уравнения факторизуются.

3. Функциональные уравнения сводятся к системе псевдодифференциальных уравнений вычислением форм-вычетов Лере.

£ Л сорЯтр(г^) = О, 1,2,..., С_. (4)

Р=1дП

4. Решение после обращения псевдодифференциальных уравнений имеет вид

со

Ф(хг) = ¿гЩ К-Ч^Ж-Ч^. -) II (5)

-оо ап

ху 6 П.

Во второй главе используется метод собственных векторных функций для анализа компонент напряженно-деформированного состояния блочной структуры [4, 5].

Рассматривается отдельный изотропный линейно упругий блок блочной структуры, находящийся в условиях гармонического колебания, представляющий произвольное выпуклое тело, занимающее область Г2 с границей сШ. Его напряженно-деформированное состояние описывается граничной задачей для уравнений Ламе

(Я + 2ц~)дга<1<Иуи — цгоЬгоЬи + к2 и = 0. (6)

и = {иХ1, иХг, иХз}, к2 = ро)2.

Здесь и - вектор перемещений в блоке; р - плотность среды блока; со - частота колебаний. Напомним, что в методе блочного элемента граничные условия, в зависимости от поставленной задачи теории упругости - первого, второго родов или смешанная, можно ставить на этапе псевдодифференциальных уравнений, в этом состоит диалоговое удобство метода.

Вводятся обозначения [5]

5 = е35, 5 = ■^ехр1(а1х1 + а2х2 + а3х3) (7)

еп, п =1,2,3, а2 = а\ + а|.

Здесь е„ - орты исходной декартовой системы координат; ап -параметры преобразования Фурье.

В принятых обозначениях имеют место формулы, описывающие решение граничной задачи в виде [4, 5]

ОО 00 00

и = (.Xi.X2.X3) = ¿2 | | I (ЦМ* + У2Ъ* + Уз^йа^агйаз. (8)

— 00 —СО —00

Результаты исследований показали, что в локальных системах координат касательного расслоения границы блочного элемента задача для уравнений Ламе распадается на отдельное псевдодифференциальное уравнение для крутильных напряжений и перемещений и на систему псевдодифференциальных уравнений диверантного типа.

Дальнейшее исследование посвящено изучению только первой граничной задачи для отдельного псевдодифференциального уравнения и уравнения Гельмгольца, в том числе волнового.

В третьей главе излагаются результаты построения моделей горных массивов с использованием трехмерных блочных элементов. Для исследования динамических и сейсмических процессов в блочных структурах, моделирующих горные массивы, выполнено построение цифровой модели рельефа местности для горных и прибрежных районов территории Краснодарского края. Моделирование рельефа было выполнено посредством применения специальных аппроксимаций, что позволило использовать такую ЦМР не только для визуального анализа, айв специальных численных расчетах. В первом параграфе изложен подход аппроксимации горных массивов блочной структурой, состоящей из блоков - прямоугольных параллелепипедов, рассматриваются приемы оптимизации точности цифровой модели и объема данных, необходимого для

отображения цифровой модели. Работа по оптимизации проводилась в несколько этапов.

Прежде всего, сглаживалась пространственная функция с помощью скользящего шаблона.

Далее строился двумерный пространственный фильтр в частотной области с помощью двумерного преобразования Фурье и применялся к исходным данным. На выходе получалась отфильтрованная функция с ограниченным пространственным спектром в области высоких частот. Показано, что возможен переход к большему шагу дискретизации без угрозы наложения спектров.

Затем аппроксимировалась пространственная функция с помощью прямоугольных параллелепипедов, имеющих как равные, так и различные площади оснований.

Для моделирования поверхности использовались данные, собранные на территории Краснодарского края. При этом модель использует разбиение территории региона на блоки, рельеф местности внутри каждого из которых описывается регулярной матрицей высот в заданной декартовой системе координат. Наибольший интерес представляла территория строительства олимпийских объектов в г. Сочи и пос. Красная Поляна (рис. 1).

Рис. 1. Территория Краснодарского края (район работ выделен красным цветом)

Исходные данные из стандартного формата GIS (ArcView) переводились в формат графического пакета Surfer с помощью

специально написанных программ. После этого производились графические построения в данном пакете сегмента 3505 размером 250x250 элементов (10x10 км) (рис. 2).

Рис. 2. Сегмент 3505 размером 250х250 элементов (10х 10 км), исходная пространственная функция /р (х, у)

В рамках первого подхода была создана программа, реализующая алгоритм усреднения данных в объеме одного сегмента с помощью скользящего шаблона (рис. 3) на базе 20x20 элементов в пространственной области.

Рис. 3. Изображение сегмента 3505 размером 24x24 элемента (9,6x9,6 км), после усреднения скользящим шаблоном

Для реализации второго подхода был построен двумерный пространственный фильтр в частотной области с помощью двумерного преобразования Фурье, применимый к сегменту 3505.

В тех случаях, когда пространственная частота дискретизации изображения достаточна для устранения наложения спектров в дискретизованном изображении, исходное изображение можно

абсолютно точно восстановить путем пространственной фильтрации отсчетов с помощью соответствующего фильтра. Так, например, фильтр, частотная характеристика которого приведена на рис. 4, описывается выражениями (9, а) и (9, б).

Рис. 4. Прямоугольный фильтр для восстановления дискретизованных

изображений

Я{ых,шу) — К — при \шх\ < \шх1\и |а)у | < \шУ11, (9, а) Я{ых, Шу) = 0 - в остальных случаях, (9, б)

где К - масштабная постоянная, которая удовлетворяет условию точного восстановления, если а>у1 > шхс и шуЬ > шус, где (ыхс, а>ус) -верхние граничные частоты спектра изображения; (&>Х5, соух) -частоты дискретизации.

Для решения этой задачи была выполнена следующая последовательность действий:

1) с помощью двумерного преобразования Фурье исходные данные (рис. 2) переводились из пространственной области в частотную (рис. 5);

2) к полученному спектру применялось 20-обратпос преобразование Фурье (рис. 6, а);

3) к полученному спектру применялся пространственный фильтр, а затем выполнялось 20-обратпос преобразование Фурье (рис. 6, б).

Рис. 5. Пространственный спектр Ие[рр(о^х, исходной пространственной функции изображенной на рис. 2

а б

Рис. 6. Результат обратного 20-преобразования Фурье [рр(а>х, о>у)]: а - без фильтрации; б -с пространственной фильтрации после применения 2В-фильтра нижних

частот

Кроме того, был разработан пакет программ, выполняющий пространственную 2ГЗ-фильтрацию в частотной области, который написан на языке С++. Опробование выполнено на модельных и реальных данных. В итоге получен набор представления рельефа после пространственной 20-фильтрации. Полученные результаты могут быть использованы для выбора оптимального шага дискретизации исходных данных.

В рамках третьего подхода исходная пространственная функция аппроксимировалась с помощью шаблонов, имеющих как равные (рис. 7, а и 7, б), так и различные площади основания (рис. 7, в).

Рис. 7. Изображение сегмента 3505 размером 250x250 элементов (10x10 км) после аппроксимации: а — с помощью шаблона размером 25x25 элементов; б- с помощью шаблона размером 10x10 элементов; в - с помощью комбинированного шаблона

Визуальный анализ полученных изображений показал, что они подобны тем изображениям, которые были получены в результате пространственной фильтрации с помощью 2D-фильтра нижних частот. При этом уменьшение размера аппроксимирующего шаблона привело к расширению пространственного спектра в область высоких частот.

Затем осуществлялось построение аппроксимацией рельефа, состоящего из нескольких сегментов.

Для демонстрации возможностей созданного программного обеспечения были подготовлены данные, состоящие из 15x15 сегментов размером 3750x3750 элементов (150x150 км), или 14 062 500 элементов. Визуализация данных выполнялась в пакете Surfer (рис. 8).

Рис. 8. Изображение размером 3750x3750 элементов (150x150 км)

После выбора оптимального размера шаблона, который составил 64x64 элемента, была выполнена аппроксимация рельефа, состоящего из нескольких сегментов размером 2048x2048 элементов (рис. 9).

а б

Рис. 9. Изображение размером 2048x2048 элементов: а - исходное изображение; б - результат аппроксимации прямоугольными параллелепипедами размером 64x64 элемента с равными сторонами основания (район г. Сочи и пос. Красная Поляна)

В клеточной аппроксимации вся модель (слой или блок) покрывается сеткой клеток. В трехмерном случае мы приходим к прямоугольным параллелепипедам. В пределах каждого параллелепипеда свойства среды задаются постоянными значениями.

Во втором параграфе для выяснения особенностей прохождения сигналов в однородных средах, подобных моделируемым блочным элементам, изучалось прохождение

акустического сигнала. Именно акустические волны возникают при воздействии на блочные элементы крутильными напряжениями или перемещениями.

Для анализа проходящего акустического сигнала через блочные структуры исследовалась акустическая задача для двумерного волнового уравнения.

Рассматривалось решение волнового уравнения для самых элементарных моделей горных массивов. В связи с тем, что в рамках данного исследования не было возможности получить и обработать реальные данные, для демонстрации возможностей программного обеспечения было выполнено математическое моделирование. Блочный элемент описывался прямоугольником (20). Скорость сейсмических волн для всего прямоугольника была постоянна. На рис. 10, а представлена модель Земли в виде трех точечных рассеивателей, расположенных на разных глубинах.

В рамках этого подхода был разработан программный комплекс 20-временной сейсмической миграции после суммирования на языке С++.

В основу разработанного программного комплекса были положены современные математические модели и передовые технологии. Этот программный продукт дает возможность реализовывать высокоэффективные и гибкие алгоритмические разработки. В ближайшее время функциональность программного обеспечения может быть повышена за счет следующих опций: обработка суммарных временных разрезов (20) и временных кубов (ЗО), получаемых в результате обработки полевых данных; использование в миграционных преобразованиях более сложных скоростных моделей, которые являются результатом интерполяции по ансамблю данных полученных с постоянной скоростью или других алгоритмических решений. При этом программное обеспечение обладает очень высоким быстродействием, так как выполняется в частотно-волночисловой области и использует для этого быстрое преобразование Фурье.

На основе полученного решения проведено математическое моделирование дифрагированных волн (на рис. 10, б

представлены синтетические сейсмограммы) и последующая их фокусировка (на рис. 10, в приводится результат миграции синтетических сейсмограмм).

Для визуализации результатов, полученных в данном параграфе использовалась программа 8е18ее.

0 х, м о Х..М 0 X, *

200 У; '•■¡•Щ ?.ои .-А''-1 200 ¡111

400 400 Т* * *

600 600 -

800 «00 Яр 300

■ ........... ЩёШй

г. «с г, мс

а б в

Рис. 10. Реакция во времени (б), на импульсы в глубинной области (а) и восстановление этих импульсов (е)

В заключении приводятся основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

1. Создана модель горного рельефа территории строительства олимпийских объектов в г. Сочи и пос. Красная Поляна как блочной структуры, описываемой разнотипными блоками и правильно в этом приближении отражающими качественные и количественные ее параметры. Выполнено исследование, которое позволяет применить этот подход к любой горной территории.

2. Разработан способ оценки напряженно-деформированного состояния горного трехмерного рельефа, основанный на методе блочного элемента и собственных векторных функций для уравнений Ламе.

3. Исследованы блочные элементы для крутильной составляющей, действующей на границы блока, доказано, что она удовлетворяет акустическому уравнению.

4. Изучено прохождение акустического сигнала в блочной структуре, что является представлением способа верификации построенных блочных моделей.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. К проблеме оценки напряженно-деформированного состояния территорий с разломами / В.А. Бабешко, О.В. Евдокимова, О.М. Бабешко, Е.М. Горшкова, Е.В. Катков, A.B. Плужник, А.Г. Федоренко, A.A. Шишкин // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2010. - №3. - С. 5-11.

2. К проблеме построения глобальных моделей / В.А. Бабешко, О.В. Евдокимова, О.М. Бабешко, П.Б. Иванов, B.JI. Шестопалов,

A.A. Шишкин, A.B. Плужник, A.C. Мухин // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2012. - №1. - С. 20-24.

3. Метод блочного элемента для гладких границ /

B.А. Бабешко, М.Н. Колесников, Е.В. Кашков, В.В. Лозовой, И.С. Телятников, B.JI. Шестопалов, A.A. Шишкин // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2012. - №4. - С. 5-9.

4. О поведении и резонансах некоторых блочных структур сейсмологии и материаловедения / В.А. Бабешко, Е.В. Кириллова, М.Н. Колесников, О.В. Евдокимова, О.М. Бабешко, И.С. Телятников, Д.В. Грищенко, В.В. Лозовой, A.B. Плужник, A.A. Шишкин // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2013. - № 1. - С. 6-12.

5. Развитие новых наукоемких методов мониторинга и прогноза состояния территорий в сейсмоопасных и оползнеопасных зонах / В.А. Бабешко, О.В. Евдокимова, И.В. Рядчиков, В.В. Лозовой, М.Н. Колесников, И.С. Телятников, Д.В. Грищенко, A.A. Шишкин, С.Б. Уафа, М.С. Власова, М.В. Смирнова // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2013. - №3. - С. 8-14.

Публикации в других изданиях

6. Шишкин, A.A. Применение метода сопряженных градиентов для решения задачи сейсмической томографии на модельных примерах / A.A. Шишкин // Современные информационные технологии и ИТ-образование: тез. докл. IV Междунар. науч.-практ. конф. - М.: Изд-во МГУ, 2009. Электронный ресурс: http://2009.it-edu.ru/pages/Conference-works

7. Шишкин, A.A. Об одном методе применения сейсмической томографии в инженерно-геологических изысканиях / A.A. Шишкин // Тез. докл. УП ежегодной науч. конф. студентов и аспирантов базовых кафедр Южного научного центра РАН. -Ростов н/Д: Изд-во ЮНЦ РАН, 2011. - С. 204-205.

Свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ

8. Евдокимова О. В., Шишкин А. А., Ломакина Л. В. Расчет времени пробега прямой сейсмической волны между источником и приемником в среде, которая задается скоростной функцией: Свидетельство государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010616554. Зарегистрировано 1 октября 2010 г.

9. Евдокимова О. В., Шишкин А. А., Ломакина Л. В. Оценка блочной скоростной функции по временам пробега прямой сейсмической волны между источником и приемником: Свидетельство государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010616553. Зарегистрировано 1 октября 2010 г.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Дифференциальный метод факторизации в блочных структурах и нано структурах // ДАН. - 2007. - Т. 415, № 5. - С. 596-599.

2. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. К теории блочного элемента // ДАН. - 2009. - Т. 427, № 2. - С. 183-186.

3. Дифференциальный метод факторизации для блочной структуры / В.А. Бабешко, О.М. Бабешко, О.В. Евдокимова,

A.B. Павлова, M.B. Зарецкая // ДАН. - 2009. - Т. 424, № 1. -С. 36-39.

4. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Собственные векторные функции в блочных элементах // ДАН. - 2012. -Т. 446, №6. - С. 279-282.

5. Улитко А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости. - Киев: Наукова думка, 1979.-С. 262.

Шишкин Алексей Александрович

БЛОЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ В МОДЕЛЯХ ГОРНЫХ МАССИВОВ СЕЙСМОАКТИВНЫХ ТЕРРИТОРИЙ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 23.10.13. Печать цифровая. Формат 60x84 /16. Бумага тип. №1. Уч.-изд. л. 1,75. Тираж 100 экз. Заказ № 1620.13

Издательско-полиграфический центр Кубанского государственного университета 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149.

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Шишкин, Алексей Александрович, Краснодар

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

профессионального образования «Кубанский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «КубГУ»)

Шишкин Алексей Александрович

БЛОЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ В МОДЕЛЯХ ГОРНЫХ МАССИВОВ СЕЙСМОАКТИВНЫХ ТЕРРИТОРИЙ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого

твердого тела

04231452*12

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -Бабешко Владимир Андреевич, академик РАН, доктор физико-математических наук,

профессор

Краснодар 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.......................................................................................................4

1. МЕТОДЫ ФАКТОРИЗАЦИИ ИССЛЕДОВАНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРОВАННОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

1.1. Факторизационный метод решения некоторых граничных задач.......9

1.2. Метод факторизации в краевых задачах в неограниченных областях 14

1.3. Исследование граничных задач двойной факторизацией..................19

1.4. Применение к блочным структурам.....................................................27

2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ О НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОМ СОСТОЯНИИ СРЕД С ПЕРЕМЕННЫМИ СВОЙСТВАМИ

2.1. Разложение решений задач о напряженно-деформированном состоянии с помощью дивергентной составляющей и составляющей кручения.........33

2.2. Полуограниченный блочный элемент..................................................41

2.3. Построения трехмерного блочного элемента в форме прямоугольного параллелепипеда............................................................................................59

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОРНЫХ МАССИВОВ ,

3.1. Представление различных подходов, используемых при построении цифровых моделей рельефа..........................................................................67

3.1.1. Сглаживание пространственной функции в пространственной области ..........................................................................................................................68

3.1.2. Сглаживание пространственной функции в волночисловой области ..........................................................................................................................69

3.1.3. Аппроксимация пространственных функций с помощью прямоугольных параллелепипедов..........................................................................................76

3.2.1. Решение волнового уравнения. Уравнение Гельмгольца................81

3.2.2. Метод Столта в частотно-волночисловой области в случае 2Б.....84

3.2.3. ЗБ-миграция по алгоритму Столта....................................................90

Заключение.....................................................................................................93

Список используемой литературы...............................................................94

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. Проблема оценки сейсмичности в сейсмоопасных районах не решена и по сей день. Постоянно с некоторой нефиксированной периодичностью в различных районах Земли происходят сильные землетрясения [13, 20, 56, 85, 92, 96, 105], уносящие человеческие жизни и наносящие большой материальный ущерб. В Кубанском государственном университете для анализа напряженно-деформированного состояния блочных структур, какими являются кора Земли и литосферные плиты [3], разработан новый, удобный для анализа подобных задач метод блочного элемента. Он основан на топологических и факторизационных методах, что позволяет анализировать блочные структуры любых форм и размеров - от ограниченных до неограниченных. Вклад в развитие этого метода внесли ученые Кубанского государственного университета и Южного научного центра Российской академии наук.

В России к районам повышенной сейсмичности относятся восточное побережье страны, Прибайкалье, Алтай, Черноморское побережье, где исторически случались землетрясения силой 9 и более баллов. Последний регион особенно важен для оценки сейсмичности, так как более 6 миллионов граждан страны в течение года посещают эту территорию, там пройдут зимние Олимпийские игры 2014 г. Наряду с традиционным подходом оценки сейсмичности, применяемым Геофизической службой РАН, в Кубанском госуниверситете развивается метод оценки сейсмичности, опирающийся на определение напряженно-деформированного состояния среды и концентрацию напряжений в литосферных плитах [19, 25, 59].

Исследованиями в области прочности и разрушения материалов, оценки их напряженно-деформированного состояния в разных направлениях занимались Б.Д. Аннин, В.М. Александров, В.А. Бабешко, А.О. Ватульян, Н.Х. Е.В. Глушков, Арутюнян, В.Г. Баженов, И.В. Глушкова, A.B. Белоконь, А.К. Беляев, И.И. Ворович, Б.М. Глинский, Р.В. Гольдштейн, А.Г. Горшков, И.Г. Горячева, А.Н. Гузь, В.И. Дунаев, В.И. Ерофеев, М.В. Зарецкая, JI.M. Зубов, JI.A. Игумнов,

M.А. Ильгамов, Д.А. Индейцев, В.В. Калинчук, Д.М. Климов, В.И. Колесников, Л.Ю. Коссович, A.M. Кривцов, В.А. Крысько, Е.В. Ломакин, С.А. Лурье, A.B. Манжиров, Н.Ф. Морозов, В.И. Моссаковский, С.М. Мхитарян, A.B. Наседкин,

A.B. Павлова, В.В. Панасюк, В.Е. Панин, Ю.В. Петров, Б.Е. Победря, »

А.Д. Полянин, О.Д. Пряхина, А.Ф. Резчиков, М.В. Сильников, B.C. Саркисян, Т.В. Суворова, Д.В. Тарлаковский, A.B. Смирнова, Л.А. Филыитинский, Ю.А. Устинов, М.И. Чебаков, Ю.К. Чернов, Е.И. Шемякин, Ю.Г. Яновский, J. Achenbach, В. Baker, F. Bazi, Т. Blacker, В. Brickstad, P. Challande, L. Charles, W. Chen, Y. Cheung, L. Gray, W. Koiter, R. Low, M. Lowengrub, E. Smith, C. Wang и

др.

Несмотря на большой объем исследований в этой области, остается ещё много нерешенных задач. Поскольку практически все сейсмоопасные территории расположены в зоне молодых гор, где тектонические подвижки продолжаются, требует решения проблема моделирования горных массивов блочной структурой. Важно, чтобы она адекватно, с некоторым приближением, не только описывала горный массив, но и позволяла адаптировать подход к моделированию горного рельефа в любой сейсмоопасной зоне мира. Для решения некоторых задач, связанных с оценкой сейсмичности в зонах с горным рельефом, выполнен ряд исследований.

Целью диссертационного исследования является:

- выбор модели рельефа, достаточно адекватно описывающего структуру горных массивов параллелепипедами и применимой для расчетов;

- построение некоторых моделей распространения акустических волн в однородных средах.

Задачи, решаемые для достижения поставленной цели:

- моделирование прохождения сигналов в акустической среде.

Методы исследования. Задачи, поставленные в работе, решались на основе исследований по теории блочного элемента с применением топологических методов, методов математического моделирования, проведение компьютерных расчетов.

Научная новизна работы

Практическая ценность и реализация результатов.

Предлагаемый автором метод оценки сейсмической обстановки использовался при строительстве олимпийских объектов в г. Сочи и пос. Красная Поляна. Он также послужит решению более сложной задачи оценки напряженно-деформированного состояния литосферных плит с горными рельефами. Данный метод апробировался при выполнении научного проекта «Развитие новых наукоемких методов мониторинга и прогноза состояния территорий в сейсмоопасных и оползнеопасных зонах» по Соглашению между Минобрнаукой и КубГУ № 14.В37.21.0646 от 20 августа 2012 г. [53, 55, 58]. Отдельные этапы научного исследования проходили при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 10-08-00289, 11-08-96506_р-юг-а, 12-01-00332_а, 13-01-00132_а, 13-01-96504_р-юг-а), Совета Президента РФ по грантам по поддержке научных школ (проекты НШ-914.2012.1, НШ-3765.2010.1), [80,81,118,119].

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Модели горного рельефа территории олимпийского строительства г. Сочи и пос. Красная Поляна как блочной структуры, описываемой разнотипными

блоками и правильно в этом приближении отражающими качественные и количественные ее параметры с представлением на ГИС-карте.

4. Результаты изучения прохождения акустического сигнала в блочной структуре.

1. МЕТОДЫ ФАКТОРИЗАЦИИ ИССЛЕДОВАНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРОВАННОГО

ТВЕРДОГО ТЕЛА

1.1. Факторизационный метод решения некоторых граничных задач

Существует огромное количество различных методов исследования граничных задач для систем дифференциальных уравнений механики сплошных сред, созданных отечественными и зарубежными учеными [62, 65-68]. Они применимы для анализа материалов, обладающих широким спектром механических и физических свойств, что позволяет использовать их в разных целях. В сейсмологии в связи со сложностью получения информации с больших

глубин традиционно используется модель изотропной теории упругости.

Одним из успешных является подход, основанный на идее факторизации [11, 14, 16, 17, 21, 22, 29, 34, 41-43, 46, 50, 51, 54, 76-78]. Он предполагает исследование граничных задач в соответствии с носителями функций [10,12].

Открывается возможность более наглядно изучать состояние внутренних областей деформируемого тела и включать в рассмотрение неоднородности и включения в литосферные плиты [6,49, 70].

Достоинство метода заключается в унификации представления решения не только для случая, когда имеются односвязные ограниченные области, но и в случае не ограниченных многосвязных областей [10, 12].

К этому типу граничных задач относятся граничные задачи механики сплошных сред для анизотропных предварительно напряженных материалов когда учитывается ряд физических параметров, а также свойств, сопутствующих средам земной коры, задачи экологии [16,24, 98].

Далее рассматривается пространственная задача для выпуклых областей с гладкими границами.

1. В ограниченной выпуклой области О с границей Г, имеющей гладкую границу, рассматривается граничная задача, описываемая системой

дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами:

О(дх„,дхк)(р = 0, х еП(я3)1 Я(дхк}р = /, х еГ (1.1)

Здесь принято обозначение для <2

(}{дхп,дхк) = \атткдхпдхк + Ътгкдхк + стг ||. Также обозначено

К(а**) = II Кгк дХк + Ртг II' дх = д/дх, кшк = ктгк (Г).

<р = {<р\ г = \,2,...,М, т = 1,2,..., Л/.

п,к = 1,2,3. = &&атткапсск ф 0, \а\ > 0.

Считаем, что граничная задача поставлена корректно.

Граничная задача сводится к псевдодифференциальному оператору (ПДУ), символом которого является матрица

Исследование ведется [62, 63] в пространстве медленно растущих

обобщенных функций Н5 (о) и ПДУ ограничен из нДо) в НЛ_2 (о) для любого

где

—00

\а\2 = а\ +а22 (1а = с1ахс1агс1аъ, с!х = (ЬсхсЬс2(Ьсъ (1*2)

Р<Рг = ]Ц<Рг(хУа-х) ^ <Рг = тЛг ИЫ е-{а'х)с1сс ,,

-00 [¿X) -00

(а, х > = аххх + а2х2 + аъх3 Применим тройное преобразование Фурье к системе дифференциальных уравнений (1.1). Осуществив требуемые преобразования, приходим к соотношениям вида

= 11 N{a,^)ei^dY, г

= (1-3)

Матрицы Т{<Ц,а), в(¿;,а) - известные, учитывающие соотношения между осями выбранной системы координат и нормалями к поверхности; в нашем случае ¿Г — элемент ориентируемой поверхности.

В соотношении (1.3) справа стоят все 2М допустимых граничной задачей операторов на границе. '

Так в случае граничной задачи для уравнения Лапласа здесь имеется и граничный оператор, который встречается в задаче Дирихле, и граничный оператор задачи Неймана.

Отсюда, правая часть соотношения (1.3) содержит граничные операторы, количество которых превышает требуемое, необходимое для корректной постановки граничной задачи. Обратив систему уравнений относительно вектора р(х), имеем

<р(х) = {сс)\\Ща,^{а^с[Гс1а. (1.4)

—00 Г

Подставим в правую часть соотношения (1.4) значения заданных граничных условий, т. е. вектор-функцию f. Остается неопределенным вектор g, порождаемый оставшимися, не задающимися М граничными условиями.

Следовательно, чтобы получить вектор-функцию <р рассматриваемой граничной задачи, требуется найти вектор g.

Соотношения, требуемые для его нахождения, можно получить применением факторизации - выделения класса функций, имеющих общий носитель в О..

Факторизация приводит к получению граничных условий рассматриваемой граничной задачи, причем в случае размерности больше 1 необходимо исследование топологических многообразий.

2. Так как область О взята ограниченной, она является компактифицированной. Введем в ней топологию — покрытие открытыми (не замкнутыми) шарами пространства Евклида щ. Произведя построение карты и

введя систему локальных координат, совокупность их дает атлас. Системы координат, отображающие покрытия на стандартный куб, должны иметь определитель Якоби при переходе от одной системы координат к другой одного знака (1.7, 1.8). В каждой точке, которая попадает на пересечение с шаром, лежащей на границе Г, индуцируются ее покрытие Гя и система координат. Осуществим ее выбор так, чтобы оси были направлены по геодезическим линиям, но одна из осей шла бы по внешней нормали, а вся система должна быть ортогональной. Тогда поверхность Г будет ориентируемой, имеющей открытые покрытия, причем якобиан перехода от локальной системы координат одной области к системе координат другой области будет положительным. -

Можно осуществить представление интегрального соотношения (1.4) с использованием аппарата внешнего исчисления в виде внешней формы

<р(х)= ¿з- ¡\\д-\сс)'Ъ(а)- (1.5)

Здесь Т>(а) - матрица с полиномиальными элементами алгебраических дополнений элементов матрицы <3(аг). Порядок полиномов, являющихся ее элементами, не превышает 2(М-1); а - компактифицированный цикл; б(а)-имеет порядок 2М, и является полиномом трех комплексных переменных ак

Так как порядок элементов матрицы ГЧ(а, £) не более единицы, сделаем вывод, что матрица

В(а)м(а>Й = рт„Ы]\ = Р(«,Й (1.6)

в качестве элементов имеет полиномы параметров ак порядка не выше 2М-\.

Выполним требование, чтобы вектор-функция обращалась бы в ноль вне П, и осуществим ее факторизацию относительно этого носителя.

Это приводит к необходимости исследования следующих из свойств элементов матрицы Р(а,£) интегралов по трем комплексным переменным следующего вида от мероморфных внешних форм:

(р(х) = ^У , х г П. (1.7)

Определение форм-вычетов Лере при Хз>0 порождает ряд выражений, из которых в силу линейной независимости экспонент получаем равенства

\\Аа\гр>аггр><х1гЛаЛ%Уа'*)<1Г-0> -°0<аг1/г'а2/г<0°5 г = \,2,...М (1.8)

В результате возникла совокупность аналитических функций двух комплексных переменных, являющихся интегральными уравнениями граничной задачи.

Для выделения главных операторов систем интегральных уравнений используем разбиение единицы. В итоге получим интегралы типа (1.8) в виде Я {<хЛ%¥а'4)с1Г ~ Е Яе?\а\гр'<Хггр>а-ггр = О

г 1 г,

г = \,2,...,М .

]

Возьмем элемент, который соответствует разбиению ет ив локальной системе координат tm,am, представим последние со�