Бореловские поля локально компактных сепарабельных групп и их свойства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ6 о

2 1 ПАР Ш2* Харк1вський деркавшй ун!верситет

БОРШБСШ ПОЛЯ ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНИХ СЕПАРАБЕЛЬНИХ ГРУП ТА ШП Ш1АСТИВОСТ1

Спец1альн1сть 01.01.01. - "математичний анал1з"

Автореферат

дисертацИ на здобуття наукового ступеня кандидата ф1зико-математичних наук

На правах рукошсу

К0ЛИШК1НА 1нна Валентин1вна

А

Харк1в - 1994

Дисертащя е рукописом.

Робота виконана в Харкгвськсму пол1техН1Чиому тнститутх.

Науковий кертвник - доктор фхзико-математичних наук, црофесор Кадець Михайло Йосипович.

0ф1щйн1 опоненти: доктор фхзико-математичних нау:

Фельдаан Геннадгй Михайлович кандидат фхзико-математичних наук Гефтер Серггй Леонгдович

Провхдна организация 1нститут математики АН Украши

м.Кшв.

Захист в1дбудеться "У " ¡¿'В ¡Ти Я 19^'р. о 15.00 на засгданн1 спецхалхзовано)? вчено'1 ради К 053.06.02 в Харк1вськшу державному ушверситет!, за адресок: 310077, Харкхв, площа,Свобода,4, ауд.6/48.

3 дисертахцею можна ознайомитися у бхблхотещ Харк1вського деряавного ущверситету

Автореферат розхсланий " ~ Ъ ".ЛфТРГР 199 ^ р.

Вчений секретар / ,

спещал1зовано! вчено! ради Соххн А.С.

- 3 -

2АГАЛША ХАРАКТЕРИСТИКА. РОБОТИ

Актуадьн1стъ теми. Борел1всы^ поля польоьких груп

£ , де ^, е стандартним борел!вським про-

стором, були введен! в розгляд К.Сазерлендом / С. ^¿А^а-^лло/, &оге1 РоСиЬ / //РнЩ,

Ку^о - 1985. ~оо1 21. - р. 1067-1086/. Нагадаемо.що

поле польоьких груп буде борел1ВСЕКим, якщо множи-

на У- V допускае ставдартну борел1вську структуру, яка совпадав з борелгвсьною структурою на ^ 1 для кожного 2 € сумхсна. з борел1вською структурою на Кр1м того, необ-Х1дне 1снування злгченного числа борел1вських перер131в

• Д0 £ к Сг) С , причому/^ Щ1ЛЬН0

в £а як1 визначають борелгвську структуру на У

/дав. нижче короткий зм1ст роботи/.

Под1бН1 об"екти виникають при вивченнг локально компактных сепарабельних груп /л.к.е./ груа автоморфгзшв алгебр фон Неймана I в ергодичн1й теоргх. Наприклад, якщо л.к.с. група Сгг по-борел1вськи д!б на стандартному борел!вському простор! % , залишаючи м!ру уи на X квазПнвар1антного,то пгдгрупа стаб1Л1затор1В 0-К = {у ¿0- утво-

рюють таке борелгвекке поле.

Зазначимо, що борелхвськ1 поля гхльбертових просторов розглядалася рангше при побудов1 творгI прямих 1нтеграл1в ггльбертовах простор1в. Значения цге1 теоргх в анал131 добре

В1ЦОМО.

Борел1вськ1 ноля л.к.с. 1руп знаадшь рвнианггне застосу-вання. Так, К.Сазерленд г М.Такесакг /1965/ використали 1х

I *

для класиф!кац1'1 груп автоморф!зм1в алгебр фон Неймана. Пода-

- 4 -

лыпе застосування борел!воьк1 поля знайшли в роботах С.З.Бе-зуглого, В.Я.Голодця I С.Д.Синелыдикова по вивченню коцикл!в ергодичних динам! чнюс систем /див., наприклад, У. I.

оо£ аи е.-ъ.д.оо£1с.

^ * ПР«и. ЯТМ£ К^Щ*

1991. - уоС 27. - р. 577-625/.

Однак багато принцип! альних питань в теор!1 борелхвських пол1в польських труп залшпаються в!дкритими. Так, наприклад, для створення борел!вських пол1в польських труп К.Сазерленд добудував борелгвсьну параметризацию польських груп I довгв, що мнокини всIX л.к.е., компактних сепарабельних I дискретних груп в!даов1дно утворююгь борелхвську пхданожину вхднооно Ц1-е! парамвтризаЦ11. Проте виникае питания, чи е множина ВС1Х груп Лг /зв"язних груп Лл/ борелгвського пгдмножиною в!дносно ц!в¥ параметризац! I. Вир!шення даного питания дозволить роз-глядати борел1ВОЬК1 поля груп Лг.

Вщповхдь на це питания дана в шй дисертац11. Доведения спираетьоя на наступну теорему Монтгомер1 I Ципп1на: л л;.с. група Сг тод1 I лише Г0Д1 е грудою Л1, коли !снуе окхл , одиниц1 (х гакий^що -И не мгетить жодно! замкнено'1 П1Д-група О- , кргм одиниц!.

Друге коло питань, розглянутих у дисертацП, полягае ось у чому. Якщо Кг - борел1вське поле компактних груп, а

- мгра Хаара для * , то виникае питания про 1сну-

вання борел1вського поля м1р г?-^/^ . А саме, нехай У Д1Йсна борел!вська $ункц!я на _У= . Поле М1р г А/5

природно назвати борелхвським, якщо фушоця г (у)

е борел!вською.

- 5 -

В дангй дисертацП доведено, що для кокного борелхвсь-кого поля 2-*>/Гг компактах сепарабельних груп 1снуе боре-лхзське поле ьар Хаара. Доведения е узагальненням вщомого доведения фон Неймана про 1снування М1ри Хаара для компактно'! групп.

Мета роботи. I/ Довеота, що множина ВС1Х труп № /зв"я-зних труп Л!/ е борелхвською п1дмножиною вгдносно борелгвсь-ко'1 параметризацН ВС1Х польських труп.

Зв1дси виходить 1снування борелхвських ПОЛ1В груд Л!.

2/ Довести, що кола г - борел1вське поле польсь-

ких груа, а - поле 1хн1х центров, то

- борел{вське подоле Сг^ .

3/ Довести, що коли ^^-Сг^ - борел!вське поле л.к.с. труп, а - зв"язна компонента Сгг, го борелгв-

ське пхдполе Сг^ .

4/ Довести, що для будь-якого борелхвсьного поля В-у- Аг компактних труп 1снуе борел!вське поле 2 У^в мхр Хаара.

Методика доелЖжения. Використанг методи функШонально-го анализу георЛ множин, теорП м!ри, теорЛ тополог1чних груа г труп II.

Наукова новизна. ВС1 основнх результата дисертацЛ е новями, акуратно доведеними за допомогов математичних методов.

У дисертацЛ вперше доведено, що множина ВС1Х груп II, а такоя множани ВС1Х зв"язнах л.к.с. груп б борел^вською П1диножиною В1Дносно борел1воьно1 параметризащI вс!х польських груп.

К.Сазерленд у свохй робот1 до часла важких в1дносить так1 задачЬ

- 6 -

У дисертацП також доведено, що для ножного борелхв-ського поля 2-** Кг компактнах сепарабельних труп 1снуе борел1Вське поле м1р 2-5», де- шра Хаара на Кг , причалур1 (кг)=4 .

В робот! К.Сазерленда наведено аргумента на користь того, що вир1шення цхе1 задач1 дозволить довести, що для всякого поля сепарабельних абелевих компактних труп г -V Аг 1снуе борел1вське поле в-* дуальнах за Понт-РЯГ1НШ груп.

Практична щннхсть роботи. Результата робота можуть знайта застосування пра вивчешп л.к.с. груп автоморф!зм1в алгебр фон Неймана та в ергодичшй теорН, а такок прй ви-вченн1 непрандаповах вшхрнах групох'дхв.

Мояна спод1ватися, що результата робота дозволять про-сунутися дал1 пра вивченн1 борелхвських пол!в груп Лл х для побудова теори зображень таких об"ект1В.

Апробацхя робота. По результатах дисертацГх зроблено пов1Домлення на сам1нар! проф. МЛ.Кадеця з теор11 банахо-вих простор1Б, на семхнарх д-ра фгз.-мат. наук В.Я.Голод-ця - з ергодачно1 теорх1 та операторних алгебр при Харкхв-ському ун1верситег1, на сем1нар1 д-ра фхз.-мат. наук Ю.С. Самойленка - з теорИ операторхв пра 1нстигут1 математики АН Укра1на.

Публ1кацгх. Результата дисертацгх опублгкозанг в робо-. ?ах[1] - [з] . У СП1ЛЬН1Й прац! [2] В.Я.Голодцю належить постановка задач! та хдея доведения геореми 2. Осташй результата належать дисертантов1. У спхлыпй прац! [з] да-сертантовх належать §§ 1-3, § 4, виконаний за участю В.Я. Голодця.

- 7 -

Структура та обсяг роботи. Дисертац1я м!стить у co6i вступ, три розд1ЛИ i список л!терагура. Короткий зм{ст робота

У вступ! наведено короткий огляд po6iT з тематики ди-сертацП, обумовлено актуальность поставлених завдань i коротко викладенг ооновнх результата дисертац1Йно1 роботи.

У першому роздШ наведено деяк1 результата основопо-лонноХ роботи К.Сазерленда, як! вакористовуються в дисерта-

Ц11.

Введеыо по значения i сформулюшо деяк! результати, ваведенх в першому роздШ.

Нохай РСг - множина пар (jv, J) € А [О- 4]

як} задовольнягать такг умови:

(h)j4 - грулова операц1я на ЛИ;

(B)d - метрика на/W ;

(C) - тополог1чна трупа з л1во1нвар1ант-ною метрикою eJt , тобто яицо^М- едане вархтення р!внян-няJ*(k,h)=- О , то - неперервно; 2/j^-of - не-перэрвно; 3/ с4(и,р)= oiifi (м, и),у (м, р)), tMtii,p ¿AV.

В1дносно тихоновськох топологи

AVav'av х [0;nAV'AV

е польським простором, а п!дмножина Р(х bcíx пар

(Г) cl)€AVxAV* [o.JJ ( зад0В0ЛЬНШГЬ

умова (А) , (В) i (С) , також утворюе стандартний боре-лгвський npocTip.

Розглянемо вг^дображення {ЛУ}ja}d) в /о, ij :

У^'*0 0) . » у, ¿"^И».

а

У*

_Покладаао Ф О4'®^ и .е , а через

позначны о р1вноы!рнв замиданна ^ у простор!

обмекених функций на/IV . Тод1 - польська трупа з

параметрами • Розглянемо просг!р

Р У = (/И, е Рвг к [о.Д ЛУ; /

Тод1, як показав Сазерденд,

- стандартний борел!вський

проот!р, що мае властивост1:

I/ проекц}я Ж: РЗ-^РСг - борел!вське воображения;

2/ борел!всъка структура на

СП1В-

падаб 1з структурою, породаеною тополог!ею;

3/ в1добраЕення (р,с/, У,/*, № £ * &^

(уи^^(^)) I (у*,У,е О*/^

^ в борел!вськша, де && * {(^ У) ь &

4/ 1снуе злгченна шношт^ф^^ о борелгвських вгдо-бражень з

причому О-

1 £ Фк щ!льна п1дгрупа в Сг (у, , а Фс -

одиниця групп О- (/и,

Нехай ^^ позначае одну з наступних властивостей: дискретн1сть, абелев1сть, компактнгсть, локальна комдакт-. н1сть, тод1 множина

£(р, €. Р О- ; С[- с!) мае власгявхсть (*)£

- борелгвська пгданогина ?Сг . У дясертацг'1, зокреиа, доведено, що мнояина

{(у1,<А) £ Сг(р,4- Ш™ И j

- борел1вська.

Прост1р в огандартнш прикладом борвлгвського по-

ля польських груп. Зокрема, з додереднього результата !сну-вання нетрив!альних борел!вськях пол!в дискретних, компактних 1 локально сепарабельних компактних груп.

Загальне борел£всьнв поле польських груп з-^ вводиться за допомогою наступного означения.

Оздачення. Нехай для кожного е с- "ЭГ , де - стандарт-ний борел!вський прост1р, а ¿г? - польська група. Тод! поле г бг? назаваеться бор9л1вськиы, яйцо гснуе борелгвсь-ке воображения

/; Р Сг 1 воображения

так:, що : ^¿'¿т^Цв !зомор$!змом польських груп для кожного ? € £ .

Сазерленд показав, що вхдобракення -г 13 стан-

дартного борелгвського простору & у мнокину польських груп е борелхвським тодх 1 т1лька Т0Д1, коли

припускав стандартну борел1вську структуру таку, що:

I/ проекД1Я Ж: У*-^ 2Г в борелгвським воображениям; 2/ вОносиа борел1вська структура на (г)

совпадав з борелхвською структурою, що породжена тополог!ею;

3/ воображения (у, у ') 6 У*У= У* У '

Ж^')} <= .У I у е боре-

Л1вськими;

г

4/ 1онуе зл1ченна к1льк1сть борел!вськшс в!дображень ^ % $ -г У таких, цо £ для вогх

■з- & , I метрик с/г на груд! , оумхсних !з тополог! ею таких, цо:

а/ /а - щ!льна в иножина для

войгб £ ;

> б/ воображения <£ У-> (Ж/Я) е

борел1вським для вс1х /Се-1У.

Прадустимо, щог-5- 0гг - борел1вське доле цольських

груд; I що 1онують борел!всьне доле метрик ' на г

зл1ченна с1ы"я борел1вських В1добраяень о. '» О Сгг

г* * «а"

таких, що:

а/ с^' Л1в01нвар1антна \ сум!сна з тополог!ею на ; б/ Съ): >с & №} е пыльною п!дгрупою в Стг

для вс1х н € ; в/ функцП ¿? -

у1 € (?)> (г)) 6 борел1вськими для

вс1х к /V.

Тод1 гснуе едина борелхвоька структура б на^^. ^г ,

для яко"1 воображения е борел1воькши, I В , ,

, да задовольняють наведен! ьище умови 1/-4У.

Другий розд!л дасертацГх присвячений вивченню борелгв-ськнх яолхв локально комдантнах груд ! груд ЭИ.

Нехай ^ - стандартний борел!всысий простгр, а У =

1Л - борел1Всьне доле локально компактних груд 0-г . Розглянемо для кожного а € зв"язну компоненту ГРУЛИ . а також центр С ( груди ¿т* .

- II -

Дал: розглянеыо поле Оyprs , де [гё -

Ц1Лком незв"язна трупа 7 i поле С/^ , де

^ 2Г С

зв"язна трупа , як! е пгдмножиною борел1вського поля локально компактних сепарабельних труп О (тг .

и

Виникае питания: чи будуть поля труп

гг?

(7 £ ^¿rj борелхвськши?

ге* г

У дершому параграф: розд1лу П отриман! важлив1 дономi-KHi результата про !снування борел1всысих nepepi3iB для спец!альних пол1в г борелхвськах п!даножан борел1в-

ського поля, як! застосовуготься при доведешп ,

б!лыаост1 ценгральних тверджень наступних параграфов. . Основнсша результатами § I е:

Теорема 1.6. Нехай ъ Gr* - борел1ВСьке поле польсь-ких труп, а - борел1вськ1 поля вгдкритих П1дано-

жин труп ¿rg , що мають такг власгивост!:

а/ V/ ^

6/ £3 - Q Х^* е замкиенов П1ДМНожияою групи для Bcix 26

Тод1 гонуе злгченна множина бор.елхвських nepepi3iB ■tfi : Y} » таких, що Сг) С. i мно-

жина £ (г)^.09 е щхльною в Ег для во ix г е ¿zf.

Теорема 1.7. Нехай &-*> - борелхвське поле польсь-ких труп i г -¿С г - борелхвське поле В1дкритих п1дмио-жин труп , для яик виконан1 настуnHi умови:

I/ ^ и** при вс ix г б

2/ £г = •

- 12 -

Тодх поле я -> £г е 6орел!воьким 5 хснуе злхченна множина борел!вськях перер!з1Э <£ : Зт-*' У ? ¿. = 4,2,... таких, що ^ € I множана сильна

в £3 дая вс!х 2 &

У другому параграф! роздхлу П розглядаються властивостг пол}в зв"язншс компонент борел!вського поля локально компактних сепарабельних труп.

Нехай г-«» Сг& - борелгвсъке поле локально компактних сеоарабельнах ^груп. Нагадаемо, що для трупа Сг^ 11 зв"яз-на компонента - Цв м:н!мальна зв"язна пгдгрупа <?г.

Центральним результатом § 2 е

Теорема 2.4. Якщо г-? - борел1воьке поле локально компактних сепарабельних груп, то поле г-?- (О-^) зв"язних компонент цих труп такок е борелхвським.

У третьему параграф! роздхлу П розглянут1 властивост1 п!данокини £ = (в б 2 : 6гг - цглкоы незв"язна груда 3" * = : Сгг - зв"язна трупа^ множина .

Основнх результата § 3 представлен! в наступних теоремах:

Теорема 3.1. Нехай ¿-о - борел!вське поле локально компактних сепарабельних груп, 2 -5* - поле хх зв"я-зних компонент. Тод1 множина - ^ £ ^. (Сс^^ ^^ , де -ег - ОДИНВДЯ £г , - £ = ) ¿3 = [г € (Сг^о - В1лкрита пОгрупа &в} е борел!в-ськими птдмножинами 2Г .

Теорема 3.2. Шдмножини зв"яз-

на л.к.с. група I [(у,о!)е £- цглком не-

зв"язна л.к.с. групаJ е борел!вськимп птдмножинами простору .

- 13 -

У § 4 вивчаютьоя поля центр!в борелхвських пол1в польсь-них груп.

Найб!лып важливий результат параграфа - це наступна

Теорема 4.1. Нехай г-»» ¿гг - <5орел1вське поле польсь-ких труп, а С(&г) - центральна Я1дгрупа 0-г для во!х 2 6%. Тод! поля 2 С(I 2 ^ Сгв/С(&г)- боре-л!вськ1.

У п"ягому параграф! роздглу П вивчаються борвлгвоьк! поля груп Л!. Тут огримано дек!лька основних результапв розд!лу П:

Теорема 5.1. Нехай г-"> ¿г3 - борелхвське доле польсь-ких груп, тод! множина [& 6 5Г : ¿г3 - трупа Л! е боре-л!всьною и!данониною •

Теорема 5.2. Множина - трупа

^ в борел!вська п!даножина , тобто множина вс!х груп Л! утворюе борелхвську п!даножину в1ДНосио борел!всь-ко'х параметризац!! вс!х польсьних груя. .

Теорема 5.3. Множина

- зв"язна

трупа ЛIJ е борел!вськои я!дмнокяною простору РСг •

Трет!й розд!л дисергац!!' присвячений вивченнго борел!всь-ких полгв компактних сепарабельних груп. Нехай З' - стан-дартний борелхвський простгр, £-> кг - борелхвське поле компактних сепарабельних груп, тобто множина

припускав'структуру стацдартного борел!вського простору, погодженого з тополог! ею на груп! /Г2 для всхх: 2ё На кожн!й з груп !снуе мхра Хаара !, таким ча-

ном, виникае поле м!р Хаара г->уиг При-

родно, постае питания, чи буде це поле борелхвським у тако-

- 14 -

му розуппннь Нехай У- дов1льна борелгвська д!йсна функц!я на У така, що для конного г £ 3? : €

(к* Т0Д1 розглянемо фуккц1ю ¿>(в) = ^у) (#). Соле мхр г -^у^г прародно назвати борел1вським, янцо функция г борзлхвською для будь-яких $ (г, к) , що ьадовольняють зазначен1 властивост!.

У третьому роздШ доведено', що поле м!р 2 ->■ , У1? (Кг)= е борэл!вським для будь-якого борвлгвського поля г-р- Кг компактних польських труп. Доведения е уза-гальненням вхдомого доведения фон Неймана про гснування м1-ри Хаара на комаактшй труп! /дав. Л.С.Понтрягаи "Непрерывные группы" розд. У/.

Нагадаемо 1дею доведения фон Неймана. Якщо £ Д1йсна неперервна функцгя на компактнгй групг К, А - /, 011 й К} • то розглянемо правг середн1 М (А, £, к)=

= • Аналоггчно вводяться Л1вх середн!

Фон Нейман дов!в, що для Д1йсно1 недерервнох функц11 юнуе Д1ИСН0 число

таке, що для всякого £> О 1с-нуе скхнченна система Л = , що /М (А, £, к)

Р(£)\<£ . Часло р(£) пояснюеться хнтегралом р (£). деуи - М1ра Хаара на К .

У роздШ Ш будуеться математачний апарат, якай дозволяв розповсюдитя доведения фон Неймана для випадку борешв-ських поЛ1в компактних груп /(г .

У першому параграф! роздхлу Ш розглядаються борел1вськ1 поля функцхй £ (г, к) на неперервних за К в /(г для вс!х 2 €

- 15 -

Назвемо борелхвську функщга £ р1вном!рно непе-

рервною, якщо для будь-якого <£^0 10нуе борелхвське поле £ \/33 , г £ 2-*, околхв поля одиниць г-*» , поля груп 2 -р- Кг. тане, що для всхх Кг I е ^

виконано: //(г,^)-/{г,кг) /< •

Нехай _Д= ££ , а Л - множина вс!х

функщй виду Ы,к), г е 2Гг\ , де

оо

¿С/ - довгльне борел1вське розбиття . Зазяачи-мо, що для Но е. ^ : я ? 6 А } .

Назвемо систему борелхвських фуннцхй Сг,«)}*.^ р!вно-

М1рно обмеженою, якщо для борелхвських фуннцгй що приймають К1нцевг значения, О^(г)^ &г (г)>

ие/К.

Основними результатами § I е: Твердження 1.4. Будь-яна борелхвська функц!я на У= О /Гг неперервна при г за н е Кг , буде

(Р

р1вном1рно неперервною.

Теорема 1.8. Нехай - борел1вське поле ком-

пактних труп I _А. - рхвномхрно обмежена I р!вном!рно неперервна система борелхвських функцхй [^(ъ,*)'}^ » за~

даних на У= 1А I неперервних за К & Кг для 2 б .

Тод1 хснуе посл!довн1сть функц1й 13 множинк , яка р!в-номхрно сходиться до борел1Всько1 функцП.

У § 2 розглядаетъся {нтегрування борел}вських пол!в неперервних функщй.

Нехай н Кя - борелхвське поле компактних сепарабельних груп К я , I нехай г - поле в!Дпов1дних

- 16 -

Mip Хаара, причому ja2 Назвемо поле 2->yW3 бо-

релхвським, яйцо для будь-якох борел1всько1 обмеженог фукс-го i У^Л-,) на У функц!я г-' ff (г,к) на ^ е бо-

рел!всьною.

Центральним результатом § 2 е наступна теорема. Теорема 2.2. Нехай борел1всысе поле ком-

пактних сепарабельних груп, f - борел{вська обмежена функ-Ц1Я на у , неперервна за К для boix г б тод! функцхя г Съ)=ff (г, k) oij*2 CK) - борел 1вська.

У § 3 розглядаюгься питания 1снування борел iBCbKoro поля Mip Хаара на fCz - борел1вському пол1 компактних сепарабельних груп /Гг .

Основнам результатом § 3 е наступна теорема: Теорема 3.1. Нехай /¿г,к) - довгльна обмежена борел1В-ська функцгя на ^ » Г0Д* ff ^ ~

борел!вська функцгя вгд г ., де - Mipa Хаара на Л^ .

ПублхкацП по тем} дисертацП

1. Голодец В.Я., Воевода И.В. Борелевскае поля локально компактных групп и мера Хаара // Харьков, 1990. - 16 с.

Препринт / ФТИНТ АН УССР: 18-90 .

2. Голодец В.Я., Воевода И.В. Борелевс-кая параметризация польских групп и групп Ли // Доклады Академии наук СССР.-1990. - т. 314, № 6. - С. 1300-1303.

3. Воевода И.В. Борелевские поля локально компактных сепарабельних групп и их связные компоненты // Теория операторов, субгармонические функциа./ Сб. науч.тр./. - Киев: Наук, думка, 1991. - С. 30-36.