Численно-аналитические методы решения двумерных задач типа Стефана в криомедицине тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

11а правах рукописи

ВУЗДОВ Беслан Каральбиевич

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ

ТИПА СТЕФАНА В КРЙОМЕДИЦИНЕ

01.01.03 — математическая физшгл

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата фионхо-математйчесшх нпуж

Киео в 1995

Диссертация есть рукопись

Работа выполнена на математическом факультете Кабардино-Балкарского Государственного Университет« (г.Нальчик)

Научные руководители! д-р физ.-мат.наук, профессор БКРЕЗОВСКИИ A.A., д-р физ.-мат,наук, профессор 1ШШШС0В М.Х.

Официальные оппоненты: л-р фнэ.-ыат. наук, профессор СЕЛЕЗОВ И.Т., канд. физ.-ыат наук, доцент КГУ горданскии л.д.

Гудущая С(1эни-.^цня: Институт кибернетики HAH Украины

Яо;1б<Хй до.гг.йртвция состоится " Ö Ц 1995г. в гь иле» на :эас<?.цэ»ши 'шециалиэированного совьта Д 01.66.02 при Институте мате- ' т.спчш АН Украины по адресу!. 2526Ш ,Киав 4 ГСП.ул.Тервденковская.З

С ллссертацней можно ознакомиться в библиотеке института. Арт;>реф«рат разослан "Üb о£ IBB5 Г,

Учвкий секретарь •!кчч(»ли5й!ро80нисго совета

МЩ АЛ).

Обцая характеристика работы

Актуальность теиы. Одним из актуальных направлений современной математической физики является исследование математических моделей,в основе которых лэкат велпнэйнгю дкКерезпдеальнш» уравнения. линейный подход дает возможность окватить тон'зга, наиболее вазк-ые черты явлений, ускользающие при лгаш>.ной трактов!:«. окмкэ, в ма-ммалгеес-ком плане его реализация усложняется серьезными за^рудн&нш-ми как в фундаментальных исследованиях кэлинейных краевых задач,тек к кои доведении ото: исследований до практически реализуемых алгоритмов.

Диссертациснквя работа посвящена исследовании зумерюк краевых задач типа Стогна,возникающих гри математическом млдолировмш:л проблем криохирургии, включая вопроса качественного ш-ччиза и разработку конструктивных методов ршения с доведением до б.лгорцтмоз и программ численных рэсчетоз на ЭВМ.

Многочисленные научные публткации, экспериментальнпе и клюшче-екке исследования свидетельствую: о бурпом развитии криохирургии в настоящее врем я., показывают ее перспектииность как маническогэ метода лечения сш разнообразных заболеваний. Криохирургия считается точным и управляемым процессом,») знакомство о литературой показывает, что в ее использовании.много неясного и неизученного. До настоящего времени не получено Полное решение мэдако-Сиологических,.биофизических я инзянвршх аспектов криохирургии. Четко р?' сформулированы показания и противопоказания, отсутствуют методики применения при разливай пвтогогпи, н-э изучены общие и локальные ревкции организма. Недостаточно оценена' отдельные результаты. Все это приводит к тому, что криохирургические операции проводятся эмпирически, врач не знает каким 'будет, объем образующейся деструкция в зависимости.от выбора той или иной экспозиции, температуры криоинструмэнта, геометрии ого аппликатора.

Для ряда теоретических и поставленная клиникой практических задач необходимо выяснить целый ряд вопросов. Наиболее важтам является определение динамики температурного поля в охлаждаемых и заморзггяа-ешх биотканях, позволяющее рассчитывать экспэзгашт- и время дос.гг*?-ния стационарного состояния, изотермические поверхности криолог«*-нил и замораживания, по конфигурации которых, находятся обгеик нарушаемой и ззморакклаекой области, т.е. устанавливается все т>{ V»-»?-СК| несЯхешая дя расчета, пропюзз ¡г опижзациг прсиессэ.

Математический модели вволвдш температурного поля в замораживаемых и.охлаждаемых биотканях представлены наиболее сложными задачами математической физики - задачами типа Стефана со свободной границей и о источниками, зависящими от искомых полей. Для таких задач остаются актуальными вопросы существования, единственности решения, а также разработка эффективных, аналитических и приближенных численно-аналитических методов решения, с доведением до алгоритмов и программ числэнных расчетов на ЭВМ.

Целью работы является исследование двумерных краевых задач типа Стефана,возникащих при математическом моделировании тепловых аспектов 1гриомедицины,вклкчающ9е построение моделей,рассмотрение вопросов - листве иго с ти решений, разработку аффективных конструктивных мето-гов исследования, детальный анализ и решение конкретных задач,типичных к особенно важных' для практической медицины.

Общие метода исследования. В работе применяются метода квазили-неариз&Ции, сглЕгсгзания коэффициентов, локально-одномерный метод, а •гшй», для доказательства единственности решения, метод априорных

Научная новизна и практическая вдняость. В диссертационной ра-

-получены новые по постановке двумерные трехфазные задачи типа Стэфйн'з для нелинейных, нестационарных.эволюционных уравнений, мэгёдарущпе процессы распространения тепла в биоткани при проведении криохирургических операций;

- разработаны , новые и адаптированы ранее известные конструктивные метода исследования таких задач: метод сглаживания,позволивший рассматривать задачи во всей области без явного выделения границы раздела фаз, метод квазилинеаризации, при помощи, которого была оценена скорость сходимости итерационного процесса, .локально-одномерный метод, метод априорных оценок;

-предложен новый способ нахождения неизвестного граничного условия на части граница областг; '

- построены локально-одномерные разностные схемы для задач с достаточно протяженными криохирургическими инструментами,имеющею плоскую и цилиндрическую форма; для указанных задач получены чис.-кеш'? результаты на ЭЕМ; 1

- доказана единственность решений линеаризованных по температуре упомянутых выше задач, а также соответствующей задачи с с нелокальным краевым условием.

Полученные в диссертации результаты могут быть применены к расчету режимов низкотемпературном воздействия на биоткань .определении значения параметров процесса замораживания, а гага» при конструировании и совершенствовании криокнструмэнтов,

Ашробация работы. По материалам диссертации: сделаны доклады на школе-семинаре "Нелинейные краевые задачи математической физики и га приложения" ( Нальчик, 1994 г.), на объединенном сшпгаре ос- математической физике и вычислительной математике МФ Крг.7.

Публикации. Основные результаты выполненных исследований опуб ликованы в 4 работах.

Структура а объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, двух приложений, списка литературы (86 назв.) ■ и содержит 103 страницы машинописного текста.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность и практическое значение темы, сформулирована цель работы,дан краткий обзор существующей по втой тематике литературы, изложена структура к содержание диссертации.

Первая глава диссертации состоит из трех параграфов. В ней дается краткая общая характеристика задач типа Стефана и вопросов связанных с их решением; рассматриваются вопроса сходимости'метода ква-нвазйлияеаризацйи для следующих нелинейнюс краевых вадач :

Ни = - д(и)и « /(и,). 0<тлЬ ^

и{0) а и(Ь> = 0, ш;>о(>0, ч(х)Ю; кроме.задачи (1) рассмотрена задаче :

~ = и(1,а) « 0, и<0,П = и(1,Г) С1, (2)

аг З.Г

Задача (2) решается в области I) = <(:с,П: 0<х<1, 0<£<Г).

Согласно методу квэзилинеариэации для обеих задач строится ит«-• рационный процесс, который сходится при достаточно малых Г. Прг. этом показывается, что скорость сходимости итерационного процесса является квадратичной.

Задачи гадкбни«, ((), (2;, возникайт ори.решении двумерных задач криохирургии, • чтй ва-звало необходимость та рассмотрения.

Основное пшмогс!9 в первой главе уда лоно следующей начально-краевой задаче шойкояараллзлыюй криодвструкции биоткани:

- е'и)(= -'i'(u) - Р -

u(í,0) » u = corwt, аг>0, A.(tt)gj - coi = д>о, t>0;

Un uí.r.t) = 0, t>0,

u(;rn(í),í) = u¡,, u(x*(t),t)u\ 4)

X*.'!)=0, í«íf,, iTü<t)=0, . t^VV

Здесь: c=c(u), p=p(u) - коэффициент теплопроводности,

Р..:ДЧ0С1И, юллог.шзиь и плотность 6ИОТКВ1П15 jt=ff(u) - источники тепла; .т*> и .?„« .rn(t) - координаты изотерма замораживания u=u* и гсют*рме кркипор&дания и=ип; Р «'р^А^; Аь - скрытая теплота кристал-.шзсш пеги-, р*» рв - массивы внеалеточпой и внутреклаточйой вода в 6 гроши? o6v:*\a Экологической ткани, 0(х)- делиа-фуакдия Дирака, П -и !ча,1ьнйя i «мпература, <* - коэффициент теплообмена, ^»u^t) - там-п? ротура й/лаждаедей поверхности плоского ¡'.рюянотрумскга; v,» t., мсшоети /дамэщ.при которых поверхность биоткайй :£--о оглаздаетсн со-з' spicm-iiao до текпаратуры звмораетвтшя u(C,tfи криспорпжйпя

Определению подлежат функции u{x,t), x*(t)t ¿^(í).

Ляп решения задача (3), (4) вводится Функция теплосодержания s

/í(u) = Jc(Op(Ud£ + PiJ(«-u*} + pnÁb-tj (й-ййi ,

чего применяется ммод сглаживайся Каэф:1ка№?йтоб и уда для ре-ííi^rjí.^t '"tT.^aA'íiHuoí?"* ээд.9411 щаштяччса vhoíc й» ?вляя разностная cx&vs. г'г,;:эж;!В:)шт9 коэффициента теплопроводности . а также функции' тепяосо-лг"улпкяя позволяет избавиться от условий сопряжения на 1иизвйстшх vpammt раздало фчэ и свободной границ* . Последа?* определяются па "сглаженной" задачи как соотБбтстБувциэ изотермы (поверхнос-vpüsrfl). :

В глава 2, содержащей пять параграфов ^¿рассматриваются, двумерные краевые задачи типа Стефана, возникающие в криохирургии, а тзч№ вопросы единственности решении линеаризованных постановок.

В 51 описан локально-одномерный метод, применяемый при'-решета« многомерных задач и используемый в дальнейшем.Он состоит в поэтапное решении по розным •лоостранственшж переменным одномерных уравняй л теплопроводности, при помощи устойчивых неявных схем.

Локально-одномерный метод пригоден для произвольных облеете!! з случае краевых условий 1-го рода, а в случае условий 3-го рода - для областей специального вида.

В 52 рассматривается двумерная начально-краевая задача тупа Стефана, возндаающая в криохирургии в случае достаточно протяненного плоского криоинструмента. Задача решается в прямоугольной области, а соответствующие уравнения выглядят следугчдим образом:

а! + Эу^Р ~ в<«>Р<и>ЭТ =

= ш(и) + р ^ б(и - и*) + Р0 Щ б (и - »у, «(-а,а), у«Ш,Ь), 1:0, и{х,у,0) = й = согга Г,

е.,

- с<и = О01, ¡/=0, Х£1-Г0, Г01, г>0,

Ми)Щ - уи = тис, ¡/-0, а£Г-г0, Г0], Г>0, (у .

и(-а,у,П = а , уеСО.Ь], ?>0, и(а,уД) = 0, уеЮ.Ы, £>0, 11(1,1), {) = й, Хг[~а,а], г>0,

«№,у*( л.',?),*) = и", и(лг,уп(з:1{)^) = Кд.'

Здесь. 2г0 - ширина плоского лриоинструмзнта; 7 - коэффициент теплообмена с окружающей средой; - известные параметры, характеризующиеся тем, что вне рассматриваемого прямоугольника температура биоткани постоянна и равна й. '

Определении подлежат функция температуры и=и(а:,у,<),и пара изотермических поверхностей y*^x,t), уп{х,г), на которых температуре биоткани равна, соответственно, и* п

В §3 главы 2 рассматривается другая'двумерная начально-крэд-вая задача типа Стефана для случая,когда криокнструмэнт тлеет пилки-

дрическую фэрму и достатчно протяжен. В связи со сказанным выше постановку задачи удобней сделать в полярных координатах, а область, в которой шцэтся решение, выбрать в виде полукольца .

Предлагается следующая постановка задачи:

Ь 4 <г + ;Д><г - с(и)р(и)эт - .

■= - W{U) + р Щ б(Ц - и*) + Р0 ^ S(u - Ид), r0<r<R, 0«p<it, t>0, u(r,<p,0) * й в conat, г0<г£Й, ,

Ми)дУ - «и » cat^, r«r0, t>0,

u(r,(p,t) « 2, г=й, t>0.

Mu) ¿ tu = Tfuc, r0<r<R, <p=0, t>0,

p Эф " T1' " 1^0• ro(r<ñ' t>0' u(r,(|>*(r,f ),t) = u*. ti(r,<pn(r,t),í) = u¡j.

Здесь: r - полярный радиус, q> - полярный угол; r0 - радиус цилиндрического криозонда; Л - некоторая известная постоянная,характеризующаяся тем,что вне полукруга радиуса Я температура биоткани постоянна и равна üi (р tr,f), фп(г,Г) - пара изотермических поверхностей, на которых температура биоткани постоянна и раина и* и ц,, соответственно. В остальном обсзначэния те ке.что и ранее. Определения иодпежат функции u(r,<p,í), tp*(r,í) , фп(гд) .

В 94 даной главы рассматриваются следующие задачи.-

т Xfoxtit Qx) х~дхг1 dxj

0<x2<it, 0<t<T,

u(i,ci> a u0(d,-

P^« - ¡W

-K<*tf)¡jjg * psu ~ цг, Xf- R, ■ k(x,t) t," - V °->

- у.(х,П i- ^ = - эр», x , f ^

í?> (в)

и нелокальная краевая задача, когда условие ,;(8) при д', « rQ может быть заменено нелокальным условием: , '

.о

где 9 - некоторое чюло из интервала (г0,Й). Здесь x={xf,x2), з также считается, что W(x,t)>c>0.

Методом априорных оценок доказана единственность решений задач (T)-(tO) и (Г), (9)-((1). ;

В приложении I приведены графики и краткий анализ полученных, результатов численных экспериментов. ' •

8 пршшиении 2 приЕЭде"зы тексты программ на алгоритгдгчеш)« языке TURBO - PASCAL.

Основные результат диссертационной работы мог5т быть сфс.рглу.тированы следующим образом:

- получены новые по постановке двумерные трехфазные зада'щ типа Стефана для нелинейных, нестационарных эволюционных уравнений, моделирущие процессы распространения тепла в биоткани при проведении криохирургических операций;

- разработаны новые и адаптированы ранее известные конструктивные методы исследования таких задач: метод сглаживания, позволивший рассматривать задачи во всей области без явного выделения границы раздела фаз, мэтод квазилшеаризации, при помощи которого была оценена скорость сходимости итерационного процесса, локально-одномерный метод, метод априорных, оценок;

-предложен новый способ нахождения неизвестного граничного условия на части границы области;

-построены локально-одномерные разностные схемы для задач с достаточно протяженными криохирургическими инструментами,ишгаи-?яа плоскую и цилиндрическую формы; для указанных задач получе-;ai численные результаты на ЭВМ;

- доказана единственность решений линеаризованных по температуре упомянутых выше задач, а также соответствующей задачи с нелокальным краевым условием.

Основные положения диссертации опубликованы в следуици! работах; 1. Шхануков М.Х.,Еуздов Б.К. Априорные оценки для решения параболи-лических уравнений, .возникающих в криохирургии'//Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения.- Киев: Институт математики АН Украины, 1993. - С. 214-216. Г. оуздов Б.К. Решение одной задачи криохирургии методом сглаживания : //Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения

- Киев: Институт математика НАН Украины, 1994. -С. 37-39.

3, Еуздов Б.К. Локально-одномерная схема для одной задачи криохирургии //Нелинейные крэевыэ задачи математической физики и их прило-кенил -Киев: Институт математики НАН Украины, 1,994. -С. 39-41. !. Буздов Б.К. 'О сходимости метода квэзилиноаривацни в нелинейных краевых-задачах //Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. - Киев: Институт математики АН Украина, 1993.

- С. 33-35.

Буздов Б,К. Численно-аналитические ыетоды решения дв>иершх задач типе Стефана в криоиадицина

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 - математическая физика, йн-т математики НАК Украины, Киев, 19Э4 г.

Получены новые по шстаноьке двумерные трехфазные задачи типа Стефана для'нелинейных нестационарных уравнений. Разработаны конст^ р1ктивны* метода исследования такта задач, включая построение разностных схем и доведение до алгоритмов и программ расчетов на ЭВМ. До-кагана единстЕ-ейяость решений линеаризованных постановок,а также соответствующей задачи с нелокальным краевым условием. Доказана квадратичная скорость сходимости; итерационного процесса,возникавшего при шслекюм решении указанных задач.

BtLsdov В.К, №-Knericax-".nalfiic meaihods of solving two-measure problems of Stephanie tyje fa 'irlotnedioine.

dissertation presented tor obtaining' th& degree of Sfandidat of sciences £n Fhisios and Mathematics on subject 01.01.03-mathemati-■?al phisics, Institute of Mathematics, Ukrainian National Academy ■jt Sciences, Kiev, 1994.

Vf-г got new on statement two-treasure three-phase problems of Stefan's type for n linear, not-stationary equations. Hew ccnst-rujtiw meathois of >h kini of problem? investigations have fceen •U«sJ-ped, in'jl»iii% se calculation of algorithms and programme to computer. The eoloi 'S3 of solution of linear statement, as »ell "•.¡i appropriate problem with non-lg;al bounder condition has been prov^-i as well.

Ключевые слова:

у&язят&ярязацих* хфострэжзтвенная Локализация, двумерные задачи гйпэ -Стефана, сглаживаштв, априорные оценки, локально-одномерный

метод, разностные схема, скорость сходимости.

Л::п!т. s №4,08 12 SM Формат 60x34/16. Бумага тип . <>фс, печмь '/с-. т?ч, л.. 0,7 . Усл. кр.-огт. 0,7 . Уч. - игл. л. 0,6 .

Tuj'-i* 100 эк?. Зек. 4 it Бесплатно.

/тП?г;Т-ан-.-" р. Ачг'пггут* яэтеиптпш НАН Украины' ———' г — ZW.t-C'i KH'ili 4, ГОП, ул. 1«рви|втдавоквя ,3