Численное исследование лазерных пучков с фазовой сингулярностью, сформированных с помощью дифракционных оптических элементов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

АЛМАЗОВ Антон Александрович

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЛАЗЕРНЫХ ПУЧКОВ С ФАЗОВОЙ СИНГУЛЯРНОСТЬЮ, СФОРМИРОВАННЫХ С ПОМОЩЬЮ ДИФРАКЦИОННЫХ ОПТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ

Специальность 01.04.05 - Оптика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара 2005

Работа выполнена в Самарском государственном аэрокосмическом университете имени академика С.П. Королева

Научный руководитель доктор физико-математических наук, доцент

С.Н. Хоняна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, вне

B.Г. Волостников

кандидат физико-математических наук, доцент

C.Е. Курушнна

Ведущая организация: Самарский государственный университет.

Защита состоится « 16 » декабря 2005 г. в ¿3.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.215.01 в Самарском государственном аэрокосмическом университете имени академика С.П. Королева, по адресу: 443086, г. Самара, Московское шоссе, д. 34.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королева.

Автореферат разослан « 11» ноября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

профессор ЩЛЯ&Щ^ В.Г.Шахов

2006 ¿22 41

'¿ЦПУ*

3

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена численному исследованию свойств лазерных пучков с фазовой сингулярностью, формируемых с помощью дифракционных оптических элементов (ДОЭ), согласованных с базисом угловых гармоник Угловыми гармониками (УГ) будем называть поля вида ехр(тф), где i - мнимая единица, т - порядок винтовой особенности (m€Z), <р -азимутальный угол в полярных координатах. Рассматриваются преимущества базиса угловых гармоник в задачах передачи информации на расстояние в сравнении с базисом мод Га-ycca-JJareppa. Проводится сравнительный анализ устойчивости суперпозиций УГ и мод Гаусса- Лагерра к различным типовым искажениям, таким как эллиптичность, несоосность оптической схемы, попадание различных препятствий в световой пучок.

Актуальность исследования. Объекта с вихревой структурой существуют в самых разнообразных сферах материального мира, в макромире (спиральная форма галактик и туманностей), в микромире (элементарные частицы, световые поля) и в нашей повседневной жизни (циклоны и антициклоны, торнадо и тайфуны). Их структуры и поведение до сих пор еще исчерпывающе не изучены и представляют собой обширное поле для исследований. Так, в последнее время происходит выделение в отдельный раздел («сингулярная оптика») отрасли оптики, занимающейся исследованием световых пучков с винтовыми фазовыми особенностями.

Лазерным пучкам с фазовой сингулярностью посвящены многочисленные исследования и публикации, как российских ученых-оптиков, так и их зарубежных коллег. В настоящее время активно изучаются свойства подобных пучков на основе мод Бесселя и Гаусса-Лагерра (ГЛ).

Угловые гармоники, которыми описываются винтовые сингулярности фазы (или винтовые дислокации волнового фронта), были впервые рассмотрены в 1974 г. (Nye J F., Berry M.V.). В 1992 г. (Khonina S.N., Kotlyar V.V., Sbinkaryev M.V., Soifer V.A., Uspleniev G.V.) получена формула для описания дифракции Френеля неограниченной плоской волны с фазовой сингулярностью первого порядка (лг=1) В работах (Bazhenov V.Yu., Soskin M.S., VasneCsov M.V., 1992, Ba-sistiy 1 V, Bazhenov V.Yu., Soskin M.S., Vasnetsov M.V, 1993) анализируется дифракция моды Гаусса-Лагерра порядка (0,/я), при этом соответствующие многочлены Лагерра принимают вид. LmAx)r=Lod,x)= 1. Интеграл Френеля от моды ГЛ (0,т) вычисляется через гипергеометрическую функцию (lndebetouw G., 1993). В работе (Soskin M.S., Gorshkov V.N., Vasnetsov M.V., 1997) теоретически и экспериментально исследуется дифракция и интерференция двух мод ГЛ (0,0) (гауссов пучок) и (0,/я) Выражение для дифракции Френеля гауссового пучка с фазовой сингулярностью впервые получено в 1997 (Rozas D., Law С.Т., Swartzlander G.A.). Далее, (Sacks Z. S., Rozas D., Swartzlander G.A., 1998) это выражение исправлено и исследуется численно. Выражение, для дифракции гауссового пучка, который прошел через спиральную пластину не в перетяжке получено в 2003 (Peele A. G., Nugent К А ). В работе (Khonina S.N., Kotlyar V.V., Soifer V.A., Je-fimovs К., Tintinen У, 2004) рассматривается интерференция двух гауссовых пучков с фазовыми сингулярностями разных порядков.

Заметим, что аналитические выражения, полученные в последних четырех упомянутых работах, исследовались только численно. В данной работе проводится аналитическое исследование дифракции плоской волны на ДОЭ с фазовой сингулярностью целого порядка.

Световые поля, сформированные с помощью дифракционных оптических элементов, находят разнообразное, подчас неожиданное, применение в самых различных отраслях науки и техники: в связи, медицине, микроэлектронике, микробиологии. Этот список постоянно растёт. Весь разнообразный спектр их применения можно подразделить на три основные категории* манипуляция микрочастицами, уплотнение каналов оптоволоконной связи, обработка материалов пучками высоких энергий, сфокусированными в заданные области.

Манипулирование микрообъектами с помощью лазерных пучков - весьма бурно развивающееся направление. Впервые возможность использования лазерного излучения для манипулирования микрочастицами была продемонстрирована в 1970 г. (Ashkm А ). При этом использовался гауссов пучок (фундаментальная мода лазерного излучения) С тех пор идея бесконтактного управления процессами микро- и нано- масштаба была успешно использована в различных областях: для торможения, ■nf»1!1^1 'ми. птгпи.щнют и лтгпптпцпи атомов

(Chu S., Bjoikholm J.E., Ashkin A , Gordon J.P., Cable A., 1986), для захвата и разделение различных типов бактерий, клеток, вирусов (Visscher К, BrakenhofF G.J., Krol J.J ,1993), для изоляции генов в хромосомах, спайки клеток удалением обшей стенки при помощи «оптического скальпеля» (Liang H., Wright WH., He W., Berns M.W., 1993), в нанотехнологиях и управлении элементами микромеханики (Dufresne E R., Grier D.G., 1998).

Оптические телекоммуникации сегодня прочно вошли в нашу жизнь и находят всё новые сферы применения - от построения высокоскоростных магистралей передачи информации до использования их локально в рамках одного устройства в таких областях как компьютерные технологии, микроэлектроника, микробиология, медицина и т.д. Существующие системы, в основном, базируются на оптоволоконных кабелях, состоящих из большого количества тонких од-номодовых волокон, каждое из которых является независимым каналом передачи информации. Такой способ передачи информации имеет свои преимущества и недостатки. Например, можно легко разделить один кабель на большое (вплоть до числа жил-одномодов) количество независимых пользователей, что, несомненно, является большим преимуществом. К числу недостатков следует отнести то, что каждое из волокон-одномодов нуждается в собственной защитной оболочке, значительно увеличивающий его диаметр, в теории составляющий величину порядка нескольких микрон. Альтернативой кабелям из тонких одномодовых волокон могут служить мно-гомодовые волокна большего диаметра (порядка 25 - 50 мкм), по которому может распространяться от нескольких десятков до нескольких сотен независимых мод Разумеется, этот вариант тоже не свободен от некоторых недостатков, таких, как разрушение картины входного светового поля внутри волокна ввиду существования скоростной дисперсии мод, а также неизбежного включения различных неоднородностей и изгибов в реальном волокне.

Можно значительно увеличить количество передаваемой по многомодовому волокну информации в сравнении с одномодовым волокном, за счёт использования несущих сигнал световых полей на основе линейных суперпозиций угловых гармоник. В данной работе показано, что УГ достаточно устойчивы к типичным искажениям оптических систем - сдвигу (несоосности оптических элементов), эллиптичности (наклону элементов), повороту вокруг оси, включению различных препятствий, а также нечувствительны к выбору плоскости детектирования.

В работе (Gibson G., Courtial J., Padgett M., Vasnetsov M., Pas'ko V., Bamett S, Franke-Arnold S, 2004) предлагается использовать угловые гармоники для кодирования информации при передаче в свободном пространстве В ней экспериментально показана возможность передачи информации с помощью оптической схемы, состоящей из двух телескопических систем (передающей и принимающей) в комбинации с ДОЭ, осуществляющих генерацию и анализ светового пучка Используется набор из 8-ми фазовых сингулярностей При этом обеспечивается конфиденциальность передаваемой информации, поскольку прямое ее прочтение без соответствующих систем и ДОЭ, установленных в определенных позициях, становится невозможным

Целью диссертационной работы является расчет ДОЭ для формирования лазерных пучков с фазовыми сингулярностями, а также исследование распространения сформированных пучков в свободном пространстве, их взаимодействия с препятствиями и устойчивости к искажениям

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации-

1 Численно исследовать свойства световых пучков, сформированных с помощью ДОЭ с фазовыми сингулярностями на основе угловых гармоник и их суперпозиций.

2 Численно исследовать свойства световых пучков, сформированных с помощью фазовых ДОЭ с сингулярностями на основе мод Гаусса-Лагерра и их суперпозиций.

3 Рассчитать ДОЭ для генерации и детектирования мод ГЛ и световых пучков, согласованных с угловыми гармониками.

4 Провести сравнительный анализ пучков, согласованных с УГ и модами ГЛ Исследовать их устойчивость к различным оптическим искажениям

Научная новизна работы.

Впервые получены следующие основные результаты 1 Аналитически показано, что распределение интенсивности в зоне дифракции Френеля плоской волны на спиральной фазовой пластине с номером сингулярности m имеет коль-

цевой характер; радиус первого светлого кольца пропорционален квадратному корню от длины волны излучения, номера т и пройденного расстояния г, численно показано, что основной вклад (около 70%) в комплексную амплитуду Фурье-образа светового поля, формируемого спиральной фазовой пластиной, освещаемой плоской волной, ограниченной круглой апертурой радиуса R вносит мода Гаусса-Лагерра (0,т) с соответствующим радиусом гауссова пучка а.

2 Предложен инвариантный к повороту пучка вокруг своей оси метод для определения наличия угловых гармоник в анализируемом световом пучке в произвольной плоскости наблюдения с помощью многопорядкового фазового дифракционного оптического элемента, согласованного с конечным числом угловых гармоник При этом интенсивность в /-м дифракционном порядке будет пропорциональна квадрату модуля интеграла от /-ой радиальной функции получающейся при разложении комплексной амплитуды пучка по базису УГ

3 При численной реализации предложенного метода определения наличия УГ оказалось, что нарушение структуры светового пучка из-за эллиптичности ДОЭ (соответствующей углу наклона до 40°), поперечного сдвига ДОЭ с оси освещающего пучка (до 4% от диаметра пучка) приводит к уменьшению соотношения сигнал/шум до 2 При этом сохраняется возможность качественного определения наличия УГ в пучке При включении в световой пучок препятствий общей площадью до 15% площади поперечного сечения пучка искажения распределения нормированных значений интенсивности в центрах дифракционных порядков не превышают 1%, при условии равномерного распределения препятствий по сечению пучка Полученные результаты позволяют говорить о хорошей устойчивости базиса УГ к типичным искажениям.

Практическая ценность работы.

Практическая значимость работы состоит в том, что разработанный метод определения наличия угловых гармоник в анализируемом световом пучке в произвольной плоскости наблюдения может лечь в основу системы связи с уплотнением каналов передачи информации по базису угловых гармоник. В работе показана устойчивость пучков на основе УГ к типичным оптическим искажениям, что позволяет использовать их в системах телекоммуникации, а также для манипулирования микрочастицами.

На защиту выносятся.

1 Формула для расчета радиуса первого светлого кольца распределения интенсивности в зоне дифракции Френеля плоской волны на спиральной фазовой пластине с номером сингулярности т

2 Инвариантный к повороту пучка вокруг своей оси метод для определения наличия угловых гармоник в анализируемом световом пучке в произвольной плоскости наблюдения с помощью многопорядкового фазового ДОЭ, согласованного с конечным числом УГ

3 Результаты исследования устойчивости винтовых сингулярных полей к таким оптическим искажениям как несоосность оптической системы и наклон ei элементов, а также включениям препятствий на пути

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах международная школа для молодых ученых и студентов по оптике, лазерной физике и биофизике (г Саратов, 2001, 2002, 2004), международная научно-техническая конференция «Фундаментальные проблемы огл-ики» (г Санкт-Петербург, 2004, 2005), научно-практическая конференция «Голография в России и за рубежом. Наука и практика» (г. Москва, 2004)

Личный вклад автора. Решение всех задач, сформулированных в диссертации, получение и интерпретация результатов компьютерного моделирования выполнены автором лично Постановка задач и разработка методик моделирования выполнены совместно с научным руководителем Натурные эксперименты выполнены научным руководителем.

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 19 печатных работ, из них 6 - в центральных реферируемых журналах.

Объем и структур» диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы (90 наименований) и одного приложения Работа изложена на 163 страницах и содержит 90 рисунков.

Краткое содержание работы Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы ее цель и задачи, дан краткий обзор научных работ по рассматриваемым вопросам, показана научная новизна полученных результатов

В первой главе определяется класс рассматриваемых световых полей - это световые поля на основе угловых гармоник и их аналогов с винтовой фазовой частью, таких как моды ГЛ и винтовые моды Бесселя Да&гся определение УГ, как полей вида

/*(?»)= ехр(»и0>), (1)

где 1 - мнимая единица, т - порядок закрутки (т£Т), <р - азимутальный угол в полярных координатах Угловые гармоники представляют собой ортогональный базис по координате Ч>. Для генерации УГ предлагается использовать фазовые ДОЭ с функцией комплексного пропускания (ФКП), повторяющей требуемую конфигурацию светового поля - ехр(юнр) Данные ДОЭ освещаются гауссовым лазерным пучком - световым полем вида С(г)=ехр(-либо плоской волной, ограниченной апертурой радиуса Я. Это является одним из наиболее простых и функциональных решений. Далее исследуется дифрация плоского и гауссового световых пучков на ДОЭ, представляющим собой спиральную фазовую пластину т-го порядка с функцией комплексного пропускания, описываемой формулой (I) Преобразование Френеля светового поля (1) описывается выражением

= + (2)

где к = - волновое число света, г - координата вдоль оптической оси, (р в) - поперечные

полярные координаты в поперечной плоскости на расстоянии г, ■/,„(*) - функция Бесселя первого рода т-го порядка.

Интеграл, входящий в выражение (2), можно взять аналитически, и вместо (2) получим

(3)

Тогда выражение для распределения интенсивности будет-

Для радиуса первого светлого кольца вблизи ДОЭ (при г-уО) можно записать следующую оценку (т> 0):

(5)

Здесь интересен вид зависимости радиуса от расстояния и длины волны Радиус пропорционален корню от их произведения, в отличие, например, от мод Гаусса-Лагерра

Для конкретных порядков сингулярности т-1,2 можно получить оценки радиуса «световой воронки» при любом г. При от=1 « 0.94\Дг , т=2 р, »1 .1 ЗлДг Воспользовавшись асимптотикой функций Бесселя при /т-х»

■^КС) г~'(1/+|)' (6)

где Г(*) - гамма-функция, для интенсивности на периферии получим

2 ля:

2| (т - 1)/г cos х---—

(m + 1)л- я

что хорошо иллюстрируется на рис

А

1.58

1.0

р, ля

z-IOmm

р, mm

0.5 б

1.0

Рисунок I Распределение интенсивности плоской волны с сингулярностью первого (а) и второго (6) порядков на расстоянии 10 мм от плоскости ;=0. Для спирального ДОЭ, освещаемого гауссовым пучком, в дальней зоне будем иметь

EJp,0,z -+сс)

.(-»)"" V5Y г,

ш

exp(/m#)exp

lywj

(8)

Здесь происходит изменение струкуры поля в процессе распространения световой волны. В дальней зоне формируется чёткое световое кольцо (см. рис. 2):

Л

I/,

1.46

. z=10 mm

z=65 mm

Рисунок 2 Распределение интенсивности гауссового пучка с сингулярностью второго порядка на расстоянии 10 мм, 65 мм и 150 мм, о=0,391 мм, Х=650 нм. Радиус максимальной интенсивности на световом кольце определяется выражением-

„ -Jm +1 (/Ь

Рт ■■

(9)

яЛ У.*

Для согласования размеров различных освещающих ДОЭ пучков, радиус перетяжки гауссового пучка и радиус круглой апертуры могут быть подобраны исходя из условия равенства первого момента (по координате-радиусу) распределения интенсивности, !(г,<р):

\]1{г,<рУйг6<р I jl(r,<p)rdrdtp

Найдя первые моменты по формуле (10) и приравнивая соответствующие выражения, получим соотношения, связывающие радиус гауссового пучка, ся, радиус апертуры Я, и радиус перетяжки пучка Гаусса-Лагерра (0,т), а

рж о

(И)

р-О

(12)

На рис. 3 показаны результаты сравнения дифракции на фазовой спиральной пластинке порядка м=2 различных освещающих пучков. Численное моделирование дифракции проводилось с помощью преобразования Френеля. Были выбраны следующие параметры освещающих пучков: для мод Гаусса-Лагерра о°0 391 мм; для гауссового пучка <71=0.7234 мм; для круглой апертуры Л-0.9775 мм.

1 0 ф ф ф Ш о

А I • ф ф ■ Ш • о ф II

И ш ф О

г=10 мм 2=50 мм 2=100 мм г=500 мм 2=1000 мм 2=2000 мм Рисунок 3 Поперечное распределение интенсивности пучков с фазовой сингулярностью т=2 на различных расстояниях от входной плоскости, размер изображений 3.5x3.5 мм2.

Оператор распространения УГ в произвольной осесимметричной оптической среде будет иметь вид:

т1Ш)=Ф (13)

т.е азимутальный сомножитель функции комплексной амплитуды остается неизменным Следовательно, ортогональность базиса УГ в процессе распространения сохраняется. Кроме того, базис УГ на произвольном расстоянии 2=2о сохраняет ортогональность с исходным базисом 2=0. Это позволяет использовать для детектирования УГ на любом расстоянии от исходной плоскости те же ДОЭ, что и для их генерации.

Во второй главе расматриваются моды Гаусса-Лагерра - еще один вид полей с винтовой фазовой сингулярностью вида ехр(опр) Исследуются возможности их генерации и детектирования с помощью оптических схем, на базе одно- и многопорядковых ДОЭ. Рассматриваются вопросы обработки данных натурных экспериментов.

Моды Гаусса-Лагерра - давно известный и хорошо исследованный тип полей с винтовыми фазовыми сингулярностями. Для формирования мод ГЛ могут быть использованы фазовые ДОЭ вида (1). При этом получются пучки с высоким содержанием мод ГЛ вида (0,т). (См. рис. 4).

Энергетический вклад моды У^р.в) в пучке с комплексной амплитудой фор-

мируемом с помощью ДОЭ с сингулярностью га, может быть определен по формуле'

7™ = \Сш\г

(14)

Численные результаты, отражённые на диаграммах рис.4, приведены в таблице 1.

8 ■5

_ 1 " | - 1 -- 1

______7 " "1

г.:

ш=1 т=7 т=12

Рисунок 4 Диаграмма распределения значений коэффициентов разложения С„т для винтовых ДОЭ, порядка, т=1,7,12, освещаемых плоской волной и гауссовым пучком

Таблица 1 Модовый состав световых пучков, сформированных с помощью винтовых фазовых ДОЭ, освещаемых плоской волной к круглой апертурой и гауссовым пучком

№ моды ГЛ (0,ш) Плоска* волна Гауссов пучок

1 2 3 5 7 12 1 2 3 5 7 12

Содержание моды (0,от) в поле ДОЭ 0.87 0,86 0,84 0,80 0 76 0,68 0,63 0,56 0,52 0,45 0,38 0,29

Содержание мод (п,т), 1<от<24 0,10 0,11 0,13 0,16 0,19 0Д5 0,37 0,44 0,47 0,53 0,57 0,63

Содержание мод (п/п). т>24 0,03 0,03 0,03 0,04 0,05 0,07 0,01 0,05 0,01 0,02 0,05 0,08

Таким образом, оптические вихри, т е световые пучки, формируемые с помощью винтовых фазовых ДОЭ содержат до 87 процентов мод ГЛ вида (0,/я), где т - порядок сингулярности ДОЭ, причём наибольшее содержание достигается для ДОЭ с круглой апертурой. Следовательно, оптические вихри будут обладать свойствами, схожими с нулевыми модами ГЛ соответствующего порядка сингулярности

Отдельные моды ГЛ и их линейные суперпозиции можно формировать с помощью фазовых ДОЭ, расчитанных по методу Лезема. Они освещаются плоской волной с круглой апертурой, либо гауссовым пучком Функция комплексного пропускания таких ДОЭ имеет вид

^ - гМ

(15)

РМ

Т«пЛГ<

где Т(г,/р) - идеальное распределение комплексной амплитуды, соответствующее нужной моде или суперпозиции мод

Вышеописанные фазовые ДОЭ позволяют генерировать световые пучки, подобные модам ГЛ и их суперпозициям с среднеквадратичным отклонением распределения интенсивности порядка 20-35% (для ДОЭ с порядком сингулярности | т | <12) (рис. 5).

Несмотря на довольно большие среднеквадратичные отклонения, визуально мы наблюдаем явное сходство формируемых световых пучков. Если ввести пространственную (геометрическую) погрешность изображений как среднеквадратичное отклонение распределения координат характерных точек (максимумов и минимумов интенсивности) по выбранным сечениям, то она не превышают 5-7%.

1а 16 2а 26 За 36

Рисунок 5 Распределение фазы светового пучка в плоскости 2=0 (а) и интенсивности в

Фурье-плоскости (б) для суперпозиции мод ГЛ (3,5)+(6,-3) + (9,1). 1а, 16- идеальное распределение, 2а, 26- сформированное с помощью фазового ДОЭ с круглой апертурой, освещаемого плоской волной, За, 36 - сформированное с помощью фазового ДОЭ,

освещаемого гауссовым пучкам. Для одновременной генерации нескольких мод ГЛ (или пучков, согласованных с УГ) в различных порядках дифракции можно использовать многопорядковые ДОЭ с функцией комплексного пропускания 7\х,у) в виде линейной комбинации конечного числа базисных функций ¥п^х,у) с различными несущими пространственными частотами:

ЛвОмеО

где ат рпт - несущие пространственные частоты, Упя(х,у) - ортогональные базисные функции разложения, детектирование которых мы осуществляем.

ДОЭ (16) имеет амплитудно-фазовую функцию пропускания. Можно рассчитать фазовые ДОЭ по методу Лезема, которые будут освещаться плоской волной или гауссовым пучком аналогично (15).

Пример работы фазового ДОЭ, согласованного с модами ГЛ (0,-4) (1,-2) (1,2) (2,-3) (2,1) (3,-4) (3,-1) (3,3) (4,1) представлен на рис. 6. Погрешности генерации мод приведены в табл. 2.

t

ил (131 РА

<

■Л4

-йЙ

т о*

а б в

Рисунок 6 Пример одновременной генерации 9 мод ГЛ с помощью 9-канального фазового фияыпра, освещенного плоской волной с круглой апертурой- о) фаза ДОЭ, б) распределение интенсивности в Фурье-плоскости, в) распределение фазы в Фурье-плоскости.

ДОЭ вида (16) и соответствующие ему фазовые ДОЭ могут быть использованы для определения содержания мод ГЛ в анализируемом световом пучке. Действительно, если мы имеем полную оргонормированную систему функций Уят(х,у), то, дополнив такой ДОЭ сфе-

рической линзой и осветив его анализируемой волной а>(х,у), на выходе мы получим корреляционные пики в заданных точках фокальной плоскости линзы, соответствующих частотам тех функций Уят(х,у), которые были закодированы в ДОЭ.

Таблица 2 среднеквадратичная (5) и пространственная (5^ погрешности генерации мод ГЛ с помощью фазового ДОЭ, приведённого на рис. 6а

№ моды ГЛ (0,-4) (1,-2) (1,2) (2,-3) (3,-4) (3.-1) (33) (4,1)

В (%) 42,86 42,06 34,55 47,79 32,34 33,43 30,25 32,87 26,80

0 0 0 7,76 0 8,87 15,24 31,93 28,79

Интенсивность в точках корреляционных пиков будет пропорциональна квадрату модуля коэффициентов разложения С„„ амплитуды светового поля ю(х,у) по базису {У,Лх,у)}.

Ст = ]]т{х,у^'{Х,у^. (17)

На рис 7 представлены результаты детектирования мод ГЛ с помощью фазового ДОЭ с круглой апертурной функцией, приведённого на рис. ба.

Ишммл о.

ИЛ п я гм

т {г-»

1«) О

_

>5 г***.

а-» вя

Я.Ч вя

№ ОД ЛЙЬ >'42

' • V ■ё

ц* т рш

щ г* V #

т т

а 6 в

Рисунок 7 Распределение интенсивности в Фурье-плоскости при анализе с помощью 9-каналъного фазового ДОЭ световых пучков, представляющих собой суперпозиции мод ГЛ:

а) I *(0,0) +1*(1.2)+1*в.-1):

б) 1 *(5, -5) +1 *(7, -3) + 1*(1.-2> + 1 *(4, -2)+1 *(8,-1)+1 *(0,0)+1 *(0,1)+1*Г2.1)+1*(8,2)+1 *(5,3);

в) 1*(0-4)+2 *(0,0)++3*(0,1)+3*(0,4)+1*(1,-2)+4*(1,0)+2 *(2,4) + 1*(4,-2)+2*(5,2)~1 *(5,4).

По результатам численного моделирования экспериментов по детектированию мод ГЛ с помощью многокопорядковых фазовых ДОЭ сделать следующие выводы.

1) С помощью фазовых ДОЭ можно увереннно детектировать наличие/отсутствие мод ГЛ в анализируемом пучке при соотношении! сигнал/шум не ниже 1/10.

2) При соотношении сигнал/шум порядка 1-0,5 погрешность определения весовых коэффициентов составляет не более 10%.

3) При уменьшении соотношения сигнал/шум до 1/10, погрешность определения процентного содержания мод растет, но не превышает 25%.

В третьей главе рассматривается устойчивость отдельных оптических вихрей и их суперпозиций к влиянию различных искажений и возмущений, таких как несоосность и наклон элементов оптической системы, а также включение непрозрачных препятствий-микрочастиц на пути распространения светового пучка.

Вопрос о возможности восстановления структуры пучка после взаимодействия с микрочастицами особенно интересен, поскольку взаимодействие является неотъемлемой частью

процесса оптического манипулирования микрочастицами и построения лазерных «ловушек» и не может быть сведено к минимуму, в отличие от прочих искажений

С помощью численных экспериментов показывается, что молы Гаусса-Лагерра и их суперпозиции обладают свойствами восстановления, но, в отличие от мод Бесселя, на большем расстоянии. Пример восстановления представлен на рис 8.

г = Омм z = 50мм г = 150мм z = 250мм z - 500мм г = 2000 мм Рисунок 8 Восстановление суперпозиции мод ГЛ (п,т) (0,3)+ (0,-3) после прохождения непрозрачного препятствия на различных расстояниях

Аналогично восстановление происходит при взаимодействии лазерного пучка, являющегося суперпозицией мод ГЛ, с прозрачным препятствием.

Для суперпозиции УГ мы наблюдаем похожую картину (рис. 9).

* !* ***

»О*

ш "

***

г "Омм 2 = 50мм г = 150 мм г= 250мм г = 500 мм г = 2000мм Рисунок 9 Восстановление суперпозиции УГ (т=-4, т=4) после прохождения прозрачного препятствия на различных расстояниях.

Численная оценка погрешностей восстановления (график представлен рис 10) подтверждает выводы о схожести поведения суперпозиций УГ и мод ГЛ соответствующих порядков , сделанные на основе визуального анализа изображений (рис 8, 9). Мы имеем схожие графики погрешностей как для случая прозрачных, так и для непрозрачных препятствий На некотором удалениии от плоскости препятствия (порядка 1000 размеров препятствия) наблюдаемая картина распределений интенсивности как для прозрачного и непрозрачного препятствий практически не отличаются от идеального неискаженного распределения, что говорит об устойчивости пучков на основе УГ к искажениям, вносимым препятствиями обоих видов. В реальных оптических системах всегда присутствуют различные искажения и погрешности, ухудшающие качество изображения.

Наиболее распространенными среди них являются несоосность оптической системы (сдвиг оптических элементов относительно оси освещающего пучка), случайное включение мелких частиц и эллиптичность Под эллиптичностью (эллиптическим искажением) будем понимать замену координат

Г*-»У = со5(«)дг [у-* У

где а - угол отклонения ДОЭ от стандартного положения, перпендикулярного оптической оси (см рис. 11),

х - первоначальная поперечная координата, по которой будет происходить искажение, х' - соответствующая координата в искаженном изображении

О 10 50 100 150 200 250 500 1000 2000 «X» ______Расстояиш (мм)

Рисунок 10 Графики значений интеграла перекрытия (А) и С КО (я) для изображения суперпозиции УГ (-4)+(4), искажённой непрозрачным препятствием.

В [ 18] показано, что если фазовый транспарант осветить наклонной плоской волной и рассмотреть распространение излучения вдоль оптической оси с помощью интеграла Кирхгофа (непараксиальное распространение), то получается выражение математически (по форме) эквивалентное выражению, описывающему параксиальное распространение плоской волны, прошедшей тот же транспарант, но в эллиптических координатах.

Это наиболее простой способ моделирования, в котором мы пренебрегаем увеличением оптического пути света внутри ДОЭ (а следовательно, пропорциональным увеличением фазового сдвига проходящего света), а также представляем элемент как плоский фазовый транспарант, находящийся на пути светового потока Однако, он позволяет. получить основные закономерности поведения светового поля после прохождения наклонного ДОЭ

На рис 12 приведены результаты численного эксперимента по детектированию УГ в тестовом световом пучке, сформированном с помощью фазового ДОЭ типа (15), согласовн-нанного с УГ порядка т--2 и т=3

На рис 13 представлены диаграммы распределения коэффициентов Ст для каждого из рассмотренных видов искажений Хотя в целом картины различны, корреляционные пики в соответствующих порядках видны весьма отчетливо.

По результатам численного эксперимента можно заключить, что оптическая схема для разложения изображения по базису УГ чувствительна к искажениям сдвига и эллиптичности, как, впрочем, и все схемы, работающие с осесимметричными базисами Тем не менее, возможность определить факт наличия тех или иных УГ в пучке сохраняется (предполагается, тго исходное изображение - суперпозиция УГ с весами одного порядка) К включению непрозрачных препятствий схема вполне устойчива Учитывая, что значения нормы интеграла перекрытия для присутствующих и отсутствующих в пучке УГ различаются в несколько раз, а в отсутствие искажений - на 4-6 порядков, для детектирования УГ можно использовать бинарный детектор При малых искажениях сдвига и эллиптичности практически отсутствует опасность ошибочного детектирования.

т

1 2

<

1 2

С

Анализируемое световое поле с включением непрозрачных частиц

Рисунок 12 Детектирование УГ на расстоянии 50 мм от плоскости ДОЭ. Искажения и дефекты: 1) несоосность ДОЭ и апертуры (сдвиг на 0,2 мм, 4% стороны изображения), эллиптичность освещающего гауссова пучка (коэффициент по координате х-1,5), включение непрозрачных микрочастиц-дефектов (диаметр 0,2 мм, 4% стороны изображения). Подписи под изображениями соответствуют индексам т анализируемых гармоник.

а б в

Рисунок 13 Диаграмма распределения коэффициентов Ст. полученная в результате численного эксперимента по разложению искажённого изображения, являющегося суперпозицией УГ с одинаковыми весами порядков т--2 и т=3. Рассматриваемые искажения: а) сдвиг, б) эллиптичность, в) включение непрозрачных препятствий.

Таким образом, базис угловых гармоник обладает хорошей устойчивостью к рассмотренным искажениям и дефектам линзовых и волоконных систем. Следовательно, уплотнение каналов передачи информации по базису УГ является перспективным направлением развития для современных оптических систем связи.

Заключение

Основные результаты диссертационной работы. • Аналитически показано, что распределение интенсивности в зоне дифракции Френеля плоской волны на спиральной фазовой пластине с номером сингулярности т имеет кольцевой характер; радиус первого светлого кольца пропорционален квадратному корню от

длины волны излучения, номера m и пройденного расстояния численно показано, что основной вклад (около 70%) в комплексную амплитуду Фурье-образа светового поля, формируемого спиральной фазовой пластиной, освещаемой плоской волной, ограниченной круглой апертурой радиуса R вносит мода Гаусса-Лагерра (0,т) с соответствующим радиусом гауссового пучка о.

• Численно исследовано распространение полей, формируемых с помощью ДОЭ с винтовой фазовой сингулярностью, (оптических вихрей) в свободном пространстве. Показано, что в процессе распространения такие поля сохраняют азимутальную ортогональность в любой поперечной плоскости наблюдения.

• Предложен инвариантный к повороту пучка вокруг своей оси метод для определения наличия угловых гармоник в анализируемом световом пучке в произвольной плоскости наблюдения с помощью многопорядкового фазового дифракционного оптического элемента, согласованного с конечным числом угловых гармоник. При этом интенсивность в /-м дифракционном порядке будет пропорциональна квадрату модуля интеграла от /-ой радиальной функции получающейся при разложении комплексной амплитуды пучка по базису УГ.

• Произведено численное моделирование генерации и селекции мод Гаусса-Лагерра и угловых гармоник с помощью многопорядковых ДОЭ.

• Для многопорядковых ДОЭ предложен сотовый метод расстановки дифракционных порядков, позволяющий увеличить их плотность на 15% по сравнению с традиционной расстановкой «по квадратам» без потери качества.

• При численной реализации предложенного метода определения наличия УГ оказалось, что нарушение структуры светового пучка из-за эллиптичности ДОЭ (соответствующей углу наклона до 40"), поперечного сдвига ДОЭ с оси освещающего пучка (до 4% от диаметра пучка) приводит к уменьшению соотношения сигнал/шум до 2 При этом сохраняется возможность качественного определения наличия УГ в пучке. При включении в световой пучок препятствий общей площадью до 15% площади поперечного сечения пучка искажения распределения нормированных значений интенсивности в центрах дифракционных порядков не превышают 1%, при условии равномерного распределения препятствий по сечению пучка Полученные результаты позволяют говорить о хорошей устойчивости базиса УГ к типичным искажениям

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1 Алмазов A.A., Хонина С.Н., Дифракционный оптический элемент дня разложения световых полей по базису обобщенных мод Гаусса-Лагерра, Сборник материалов 5-й международной конференции "Распознавание-2001", Курск, 2001,с.86-88.

2 Khonina S.N., Almazov A.A., Design of multi-channel phase spatial filter for selection of Gauss-Laguerre laser modes, Proc. SPIE Int Soc. Opt Eng. 4705, 30-39 (2002) Saratov Fall Meeting 2001 : Coherent Optics of Ordered and Random Media II

3 Алмазов A.A, Хонина C.H, Исследование характеристик многоканального фазового ДОЭ, согласованного с модами Гаусса-Лагерра и оценка экспериментальных данных, Компьютерная оптика, Самара-Москва, 23, 23-32 (2002).

4. Хонина С Н., Алмазов А.А, Формирование гауссовых пучков с помощью винтовых фазовых ДОЭ, Компьютерная оптика, Самара-Москва, 24, 102-109 (2002).

5 Khonina S N., Almazov A A , Generating Gaussian beams using energy-efficient phase DOEs Proc SPIE Int Soc. Opt Eng 5067, 7-13 (2003) Saratov Fall Meeting 2002. Laser Physics and Photonics, Spectroscopy, and Molecular Modeling III; Coherent Optics of Ordered and Random Media HI

6 Алмазов A.A., Хонина С H, Моделирование периодического самовоспроизведения мно-гомодовых лазерных пучков в градиентных оптических волокнах, Естествознание, экономика, менеджмент, № 4,40-46 (2003).

7 Almazov А.А, Khonina S N. Periodic self-reproduction of multi-mode laser beams in graded-mdex optical fibers, Optical Memory and Neural Networks (Allerton Press) 13(1), 63-70 (2004)

»23 922

8. Khonina S. N„ Skidanov R.V, Almazov A.A., Kotlyar V.V.,! 2006~4

for optica] micromanipulation, Proceedings of SPIE: Lasers a-

Petersburg, 23-25 June, pp. 304-311 (2004). 94941

9. Almazov A.A., Khonina S.N., Kotlyar V.V., Multi-vortex las« -L tion by phase diffractive optical elements, Abstracts of Optoii

18-21 October, c.51-52 (2004)

10. Алмазов A.A., Хонина C.H., ДОЭ для одновременного формирования нескольких световых пучков с заданным орбитальным угловым моментом, Официальные материалы научно-практической конференции "Голография в России и за рубежом. Наука и практика", Москва, 19-22 октября, с.56 (2004)

11. Алмазов А.А., Хонина С.Н., Котляр В В. Формирование и селекция лазерных пучков, являющихся суперпозицией произвольного числа угловых гармоник, с помощью фазовых дифракционных оптических элементов, Оптический журнал, том 72, № 5, с.45-54 (2005)

12. Kotlyar V.V., Almazov А.А., Khonina S. N., Soifer V.A., Generation of phase singularity through diffracting a plane or Gaussian beam by a spiral phase plate, J. Opt. Soc. Am A, Vol. 22, No. 5,849-861 (2005)

13. Котляр B.B., Хонина C.H., Алмазов A.A., Сойфер В.А, Оптические чистые вихри и гипергеометрические моды, Компьютерная оптика, Самара-Москва, 27, 21-28 (2005)

14 Котляр В.В., Алмазов А.А., Хонина С.Н., Эллиптический световой пучок Гаусса-Лагерра, Компьютерная оптика, Самара-Москва, 27, 56-71 (2005)

15. Алмазов А А., Хонина С.Н., Восстановление после препятствий лазерных пучков, содержащих угловые гармоники, Компьютерная оптика, Самара-Москва, 27, 72-83 (2005)

16. Almazov А.А., Khonina S.N., Analysis of angular harmonics-containing laser beam regeneration after an obstacle Proc. SPIE Vol. 5772, p. 42-53, Saratov Fall Meeting 2004: Coherent Optics of Ordered and Random Media V; Dmitry A. Zimnyakov; Ed.

17. Almazov A A., Khonina S.N., Analysis of angular harmonics-containing laser beam regeneration after an obstacle Proc. SPIE Vol. 5773, p. 75-86, Saratov Fall Meeting 2004: Laser Physics and Photonics, Spectroscopy, and Molecular Modeling V; Vladimir L. Derbov, Leonid A Mel-nikov, Lev M. Babkov; Eds.

18. VV. Kotlyar, A.A. Almazov, S.N. Khonina, V.A. Soifer, K. Jefimovs, J Turunen Elliptic Gauss-Laguerre beams» J. Opt Soc. Am. A (2005) (in press)

19. Алмазов А. А. «Алгоритмы расчета распространения света в свободном пространстве без использования алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ)» Компьютерная оптика, Самара-Москва -26, стр 115-117 (2005).

Подписано в печать 01.11 OS Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Усл. печ. л 1,0 Тираж 100 экз. Заказ_

Введение.

1. Дифракция плоских и гауссовых пучков на спиральной фазовой пластинке.

1.1. Общий вид и свойства угловых гармоник.

1.2. Генерация УГ.

1.3. Распространение УГ в свободном пространстве.

1.3.1 Плоский пучок с фазовой сингулярностью.

1.3.2 Гауссовый пучок с фазовой сингулярностью.

1.3.3 Численное сравнение дифракции фазовой сингулярности с разными амплитудными составляющими.

1.4. Распространение УГ с модулирующими радиальными амплитудными функциями в осесимметричной среде.

Результаты и выводы.

2. Исследование лазерных пучков, сформированных с помощью ДОЭ, согласованных с модами Гаусса-Лагерра.

2.1. Моды ГЛ.

2.2. Свойства мод ГЛ.

2.2.1 Обобщённые многочлены Лагерра.

2.2.2 Обобщённые функции Лагерра.

2.2.3 Свойства обобщённых функций Лагерра.

2.2.4 Свойства обобщённых мод ГЛ.

2.3. Генерация мод Гаусса-Лагерра.

2.3.1 Способы генерации мод ГЛ.

2.3.2 Описание оптической схемы для генерации мод ГЛ. ц. 2.3.3 Синтез и исследование ДОЭ для генерации мод ГЛ.

2.4. Распространение в свободном пространстве мод ГЛ.

2.4.1 Условие равенства скоростей.

2.5. Распространение в волокне мод ГЛ.

2.5.1 Разложение изображения по модам Г Л.

2.5.2 Моделирование распространения изображения в волокне и его распознавание.

2.5.3 Свойства периодичности изображений в волокне.

2.6. Детектирование мод Г Л.

2.6.1 Детектирование мод ГЛ с помощью ДОЭ.

2.6.2 Описание оптической схемы.

2.6.3 Синтез и исследование 9-канального ДОЭ для генерации и детектирования обобщённых мод ГЛ.

2.6.4 Моделирование экспериментов по детектированию обобщённых мод ГЛ

2.6.5 Обработка экспериментальных данных.

Результаты и выводы.

3. Устойчивость световых полей, согласованных с УГ к искажениям. Детектирование УГ.

3.1. Взаимодействие с препятствиями мод Бесселя с винтовой фазовой у компонентой.

3.2. Взаимодействие с препятствиями мод Гаусса-Лагерра.

3.3. Взаимодействие с препятствиями полей, содержащих УГ.

3.4. Устойчивость к искажениям. Преимущества базиса УГ.

3.5. Влияние искажений в виде сдвига и эллиптичности, а также включений непрозрачных препятствий на детектирование угловых гармоник.

Результаты и выводы.

Диссертация посвящена исследованию свойств лазерных пучков с фазовой сингулярностью, а также линейных суперпозиций угловых гармоник с различными радиальными функциями комплексной амплитуды. Угловыми гармониками будем называть поля вида ехр(ии^), где / - мнимая единица, т - порядок винтовой особенности (т€£), (р - азимутальный угол в полярных координатах. Световые поля А(г)ехр(1тф) (где г - радиус в полярных координатах) с радиальными функциями специального вида (Бесселя, Лагерра) называются соответственно модами Бесселя и модами Гаусса-Лагерра. Эти моды распространяются в оптических волокнах со ступенчатым и градиентным (параболическим) распределением показателя преломления. Рассматриваются преимущества базиса угловых гармоник в задачах передачи информации на расстояние в сравнении с базисами мод Гаусса-Лагерра и Бесселя. Проводится сравнительный анализ устойчивости суперпозиций угловых гармоник, мод Гаусса-Лагерра и Бесселя к различным типовым искажениям, таким как эллиптичность, несоосность оптической схемы, попадание различных препятствий в световой пучок.

Актуальность темы

Объекты с вихревой структурой существуют в самых разнообразных сферах материального мира, в макромире (спиральная форма галактик и туманностей), в микромире (элементарные частицы, световые поля) и в нашей повседневной жизни (циклоны и антициклоны, торнадо и тайфуны). Их структуры и поведение до сих пор ещё исчерпывающе не изучены и представляют собой обширное поле для исследований. Так, в последнее время происходит выделение в отдельный раздел («сингулярная оптика») отрасли оптики, занимающейся исследованием световых пучков с винтовыми фазовыми особенностями.

Лазерным пучкам с фазовой сингулярностью посвящены многочисленные исследования и публикации, как российских учёных-оптиков, так и их зарубежных коллег. В настоящее время активно изучаются свойства подобных пучков на основе мод Бесселя и Гаусса-Лагерра

Угловые гармоники, которые также называются сингулярностями фазы или дислокациями волнового фронта, были впервые рассмотрены в [1]. В [2] получена формула для описания дифракции Френеля неограниченной плоской волны с фазовой сингулярностью первого порядка (т=1). В [3,4] анализируется дифракция моды Гаусса-Лагерра порядка (0,т), при этом соответствующие многочлены Лагерра Ь"т(х) принимают вид 1°т (х) == 1. В [5] вычислен интеграл Френеля от моды ГЛ (0,т) через гипергеометрическую функцию. В [6] теоретически и экспериментально исследуется дифракция и интерференция двух мод ГЛ (0,0) (гауссовый пучок) и (0,м). В [7] впервые получено выражение для дифракции Френеля гауссова пучка с фазовой сингулярностью. Далее, в [8] это выражение исправлено и исследуется численно. В [9] получено выражение, аналогичное тому, что уже было получено в [7], но для гауссова пучка, который прошел через спиральную фазовую пластинку не в перетяжке. В [10] рассматривается интерференция двух одинаковых гауссовых пучков с фазовыми сингулярностями разных порядков.

Заметим, что аналитические выражения, полученные в [7-10] исследовались только численно. В данной работе проводится аналитическое исследование дифракции плоской волны на ДОЭ с фазовой сингулярностью целого порядка (спиральной фазовой пластине).

Световые поля, сформированные с помощью дифракционных оптических элементов, находят разнообразное, подчас неожиданное, применение в самых различных отраслях науки и техники: в связи, медицине, микроэлектронике, микробиологии. Этот список постоянно растёт. Весь разнообразный спектр их применения можно подразделить на три основные категории: манипуляция микрочастицами, уплотнение каналов оптоволоконной связи, обработка материалов пучками высоких энергий, сфокусированными в заданные области.

Манипулирование микрообъектами с помощью лазерных пучков -весьма бурно развивающееся направление. Впервые возможность использования лазерного излучения для манипулирования микрочастицами была продемонстрирована в 1970 [12]. При этом использовался гауссовый пучок (фундаментальная мода лазерного излучения). С тех пор, идея бесконтактного управления процессами микро- и нано- масштаба была успешно использована в различных областях: для торможения, отклонения, охлаждения и локализации атомов [13-16], для захвата и разделение различных типов бактерий, клеток, вирусов [17-18], для изоляции генов в хромосомах, спайки клеток удалением общей стенки при помощи «оптического скальпеля» [19-20], в нанотехнологиях и управлении элементами микромеханики [21-22]. Работы по расчёту ДОЭ - фокусаторов в заданные области успешно ведутся в ИСОИ РАН с 80-х годов [23]. С помощью таких ДОЭ проводится, например, бесконтактная маркировка проводов.

Оптические телекоммуникации сегодня прочно вошли в повседневную жизнь и находят всё новые сферы применения - от построения высокоскоростных магистралей передачи информации до использования их локально в рамках одного устройства в таких областях как компьютерные технологии, манипуляция микрочастицами (микроэлектроника, микробиология), медицина и т.д. Большое количество современных оптических систем немыслимо без применения в их конструкции различных оптических волокон.

Многомодовые оптические волокна с уплотнением каналов передачи информации по модам волокон не получили пока широкого распространения. Существующие системы, в основном, базируются на оптоволоконных кабелях, состоящих из большого количества тонких одномодовых волокон, каждое из которых является независимым каналом передачи информации. Такой способ передачи информации имеет ряд преимуществ и недостатков. Например, можно легко разделить один кабель на большое (вплоть до числа жилодномодов) количество независимых пользователей, что, несомненно, является большим преимуществом. К числу недостатков следует отнести сложность прямой передачи изображения по такому пучку волокон [24,25]. Следовательно, при необходимости решения подобной задачи, необходимо прибегать к громоздким, сложным и дорогим аналого-цифровым и цифро-аналоговым преобразователям, дополнительным оптическим волокнам [26], которые к тому же зачастую не обеспечивают требуемой надёжности системы. Кроме того, каждое из волокон-одномодов нуждается в собственной защитной оболочке, значительно увеличивающий его диаметр, в теории составляющий величину порядка нескольких микрон. Альтернативой кабелям из тонких одномодовых волокон могут служить многомодовые волокна большего диаметра (порядка 25 - 50 мкм), по которым может распространяться от нескольких десятков до нескольких сотен независимых мод. Разумеется, этот вариант тоже не свободен от некоторых недостатков, таких, как разрушение картины входного светового поля внутри волокна ввиду существования скоростной дисперсии мод, а также неизбежного включения различных неоднородностей и изгибов в реальном волокне.

В данной работе показано, что прямая передача изображения по мно-гомодовому градиентному оптическому волокну, согласованному с модами Гаусса-Лагерра, - задача, не имеющая удовлетворительного решения ввиду вышеперечисленных факторов. Очевидно, то же можно сказать и о волокнах квадратного сечения, согласованных с модами Гаусса-Эрмита, а также о круглых волокнах со ступенчатым распределением показателя преломления, согласованных с модами Бесселя. Однако, можно значительно увеличить количество передаваемой по такому волокну информации в сравнении с одно-модовым волокном за счёт использования в качестве несущих сигнала световых полей на основе суперпозиций угловых гармоник или других полей с винтовыми фазовыми особенностями. Пучки, согласованные с угловыми гармониками достаточно устойчивы к типичным искажениям оптических систем - сдвигу (несоосности оптических элементов), эллиптичности (наклону элементов), повороту вокруг оптической оси и включению различных препятствий. Кроме того, можно осуществлять их детектирование в произвольной плоскости наблюдения. Проведён также анализ и численное моделирование распространения угловых гармоник в свободном пространстве.

В работе [77] предлагается использовать угловые гармоники для кодирования информации при передаче в свободном пространстве. В [77] экспериментально показана возможность передачи информации с помощью оптической схемы, состоящей двух телескопических систем (передающей и принимающей) в комбинации с ДОЭ, осуществляющих генерацию и анализ светового пучка. Используется набор из 8 фазовых сингулярностей. При этом обеспечивается конфиденциальность передаваемой информации, поскольку прямое её прочтение без соответствующих систем и ДОЭ, установленных в определённых позициях, становится невозможным.

Целью диссертационной работы является расчет ДОЭ для формирования лазерных пучков с фазовыми сингулярностями, а также исследование распространения сформированных пучков в свободном пространстве, их взаимодействия с препятствиями и устойчивости к искажениям.

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:

1. Численно исследовать свойства световых пучков, сформированных с помощью ДОЭ с фазовыми сингулярностями на основе угловых гармоник и их суперпозиций.

2. Численно исследовать свойства световых пучков, сформированных с помощью фазовых ДОЭ с сингулярностями на основе мод Гаусса-Лагерра и их суперпозиций.

3. Рассчитать ДОЭ для генерации и детектирования мод ГЛ и световых пучков, согласованных с угловыми гармониками.

4. Провести сравнительный анализ пучков, согласованных с УГ и модами ГЛ. Исследовать их устойчивость к различным оптическим искажениям.

Научная новизна работы.

Впервые получены следующие основные результаты:

1. Аналитически показано, что распределение интенсивности в зоне дифракции Френеля плоской волны на спиральной фазовой пластине с номером сингулярности т имеет кольцевой характер; радиус первого светлого кольца пропорционален квадратному корню от длины волны излучения, номера т и пройденного расстояния г; численно показано, что основной вклад (около 70%) в комплексную амплитуду Фурье-образа светового поля, формируемого спиральной фазовой пластиной, освещаемой плоской волной, ограниченной круглой апертурой радиуса К вносит мода Гаусса-Лагерра (0,/и) с соответствующим радиусом гауссова пучка а.

2. Предложен инвариантный к повороту пучка вокруг своей оси метод для определения наличия угловых гармоник в анализируемом световом пучке в произвольной плоскости наблюдения с помощью многопорядкового фазового дифракционного оптического элемента, согласованного с конечным числом угловых гармоник. При этом интенсивность в 1-м дифракционном порядке будет пропорциональна квадрату модуля интеграла от /-ой радиальной функции получающейся при разложении комплексной амплитуды пучка по базису УГ.

3. При численной реализации предложенного метода определения наличия УГ оказалось, что нарушение структуры светового пучка из-за эллиптичности ДОЭ (соответствующей углу наклона до 40°), поперечного сдвига ДОЭ с оси освещающего пучка (до 4% от диаметра пучка) приводит к уменьшению соотношения сигнал/шум до 2. При этом сохраняется возможность качественного определения наличия УГ в пучке. При включении в световой пучок препятствий общей площадью до 15% площади поперечного сечения пучка, искажения распределения нормированных значений интенсивности в центрах дифракционных порядков не превышают 1%, при условии равномерного распределения препятствий по сечению пучка. Полученные результаты позволяют говорить о хорошей устойчивости базиса УГ к типичным искажениям.

Практическая ценность работы.

Практическая значимость работы состоит в том, что разработанный метод определения наличия угловых гармоник в анализируемом световом пучке в произвольной плоскости наблюдения может лечь в основу системы связи с уплотнением каналов передачи информации по базису угловых гармоник. В работе показана устойчивость пучков на основе УГ к типичным оптическим искажениям, что позволяет использовать их в системах телекоммуникации, а также для манипулирования микрочастицами.

На защиту выносятся.

1. Формула для расчёта радиуса первого светлого кольца распределения интенсивности в зоне дифракции Френеля плоской волны на спиральной фазовой пластине с номером сингулярности т.

2. Инвариантный к повороту пучка вокруг своей оси метод для определения наличия угловых гармоник в анализируемом световом пучке в произвольной плоскости наблюдения с помощью многопорядкового фазового ДОЭ, согласованного с конечным числом УГ.

3. Результаты исследования устойчивости винтовых сингулярных полей к таким оптическим искажениям как несоосность оптической системы и наклон её элементов, а также включениям препятствий на пути.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: международная школа для молодых ученых и студентов по оптике, лазерной физике и биофизике (г. Саратов, 2001, 2002, 2004), международная научно-техническая конференция «Фундаментальные проблемы оптики» (г. Санкт-Петербург, 2004, 2005), научно-практическая конференция «Голография в России и за рубежом. Наука и практика» (г. Москва, 2004).

Личный вклад автора. Решение всех задач, сформулированных в диссертации, получение и интерпретация результатов компьютерного моделирования выполнены автором лично. Постановка задач и разработка методик и моделирования выполнены совместно с научным руководителем. Натурные эксперименты выполнены научным руководителем.

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 19 печатных работ, из них 6 - в центральных реферируемых журналах.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы (90 наименований) и одного приложения. Работа изложена на 163 страницах и содержит 90 рисунков.

Заключение

В диссертационной работе впервые получены следующие основные результаты:

• Аналитически показано, что распределение интенсивности в зоне дифракции Френеля плоской волны на спиральной фазовой пластине с номером сингулярности т имеет кольцевой характер; радиус первого светлого кольца пропорционален квадратному корню от длины волны излучения, номера т и пройденного расстояния г; численно показано, что основной вклад (около 70%) в комплексную амплитуду фурье-образа светового поля, формируемого спиральной фазовой пластиной, освещаемой плоской волной, ограниченной круговой апертурой радиуса г вносит мода Гаусса-Лагерра (0,/я) с соответствующим радиусом гауссова пучка а.

• Предложен инвариантный к повороту пучка вокруг своей оси метод для определения наличия угловых гармоник (УГ) в световом пучке с фазовой сингулярностью в произвольной плоскости наблюдения с помощью многопорядкового фазового дифракционного оптического элемента, согласованного с конечным числом УГ. При этом интенсивность в 1-м дифракционном порядке будет пропорциональна квадрату модуля интеграла от /-ой радиальной функции получающейся при разложении комплексной амплитуды пучка по базису УГ.

• При численной реализации предложенного метода определения наличия УГ оказалось, что нарушение структуры светового пучка из-за эллиптичности ДОЭ (соответствующей углу наклона до 40°), поперечного сдвига ДОЭ с оси освещающего пучка (до 4% от диаметра пучка) приводит к уменьшению соотношения сигнал/шум до 2. При этом сохраняется возможность качественного определения наличия УГ в пучке. При включении в световой пучок препятствий общей площадью до 15% площади поперечного сечения пучка искажения распределения нормированных значений интенсивности в центрах дифракционных порядков не превышают 1%, при условии равномерного распределения препятствий по сечению пучка.

1. Nye J.F., Веггу M.V. Dislocations in wave trains // Proc. R. Soc. London Ser. A 336,165-190(1974).

2. Khonina S.N., Kotlyar V.V., Shinkaryev M.V., Soifer V.A., Uspleniev G.V. The phase rotor filter // J. Mod. Opt. 39(5), 1147-1154 (1992).

3. Bazhenov V.Yu., Soskin M.S., Vasnetsov M.V. Screw dislocations in light wavefronts // J. Mod. Opt. 39(5), 985-990 (1992).

4. Basistiy I.V., Bazhenov V.Yu., Soskin M.S., Vasnetsov M.V. Optics of light beams with screw dislocations // Opt. Comm. 103, 422-428 (1993).

5. Indebetouw G. Optical vortices and their propagation // J. Mod. Opt. 40(1), 73-87(1993).

6. Soskin M. S., Gorshkov V. N., Vasnetsov M. V. Topological charge and angular momentum of light beams carrying optical vortices // Phys. Rev. A 56(5), 4064-4075 (1997).

7. Rozas D., Law C.T., Swartzlander G.A. Propagation dynamics of optical vortices // J. Opt. Soc. Am. В 14(11), 3054-3065 (1997).

8. Sacks Z. S., Rozas D., Swartzlander G.A. Holographic formation of optical-vortex filaments // J. Opt. Soc. Am. В 15(8), 2226-2234 (1998).

9. Peele A. G., Nugent K. A. X-ray vortex beams: A theoretical analysis // Opt. Express 11(19), 2315-2322 (2003).

10. Khonina S.N., Kotlyar V.V., Soifer V.A., Jefimovs K., Turunen J. Generation and selection of laser beams represented by a superposition of two angular harmonics // J. Mod. Opt. 51(5), 761-773 (2004).

11. Прудников А. П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции // Москва: Наука, (1983).

12. Ashkin A. Acceleration and trapping of particles by radiation pressure // Phys. Rev. Lett. 24(4), 156-159 (1970)

13. Chu S., Bjorkholm J.E., Ashkin A., Gordon J.P., Cable A. Experimental observation of optically trapped atoms // Phys. Rev. Lett. 57(3), 314-317 (1986)

14. Balykin V.I., Letokhov V.S., Ovchinnikov Yu.B., Sidorov A.I., Shul'ga S.V. Channeling of atoms in standing spherical light wave // Optics Letters 13(11), 958-960(1988)

15. O'Hara K.M., Granade S.R., Gehm M.E., Savard T.A., Bali S., Freed

16. C., Thomas J.E. Ultrastable C02 laser trapping of lithium fermions // Phys. Rev. Lett. 82(21), 4204-4207 (1999)

17. Noh H.-R., Jhe W. Atom optics with hollow optical systems // Physics Reports 372, 269-317 (2002).

18. Visscher K., Brakenhoff G.J., Krol J.J. // Cytometry 14, 105-114 (1993)

19. Huber R., Burggraf S., Mayer T., Barns S.M., Rossnagel P., Stetter K.O. //Nature (London) 376, 57-58 (1995)

20. Liang H., Wright W.H., He W., Berns M.W. // Exp. Cell Res. 204, 110-120(1993)

21. Svoboda K., Block S.M. // Ann. Rev. Biophys. Biomol. Struct. 23, 247285 (1994)

22. Dufresne E.R., Grier D.G. Optical tweezer arrays and optical substrates created with diffractive optical elements // Rev. Sci. Instr. 69(5), 1974-1977(1998)

23. Friese M.E.J., Rubinsztein-Dunlop H., Gold J., Hagberg P., Hanstorp

24. D. Optically driven micromachine elements // Appl. Phys. Let. 78(4), 547-549(2001).

25. Ed. by Soifer V.A. Methods for Computer Design of Diffractive Optical Elements //New York: John Wiley & Sons, Inc., 2002, 765 p.

26. Komiyama A. Coupling coefficients and coupled power equations describing the crosstalk in an image fiber // IEICE Trans. Electron. E79-C, 243248, 1996.

27. Wu C.Y., Somervell A.R.D., Barnes T.H. Direct image transmission through a multi-mode square optical fiber // Optics Communications 157, 17-22, 1998.

28. Beckwith P.H., McMichael I., Yeh P. Image distortion in multimode fibers and restoration by polarization-preserving phase conjugation // Optics Letters 12(7), 510-512, 1987

29. Haus H.A. Waves and fields in optoelectronics // Prentice Hall, Inc. Englewood Cliffs, 1984

30. Marcuse D. Light transmission optics // Van Nostrand Reinhold, New York, 1982.

31. Снайдер А., Лав Дж. Теория оптических волноводов // М.: Радио и связь, 1987.

32. Ананьев Ю.А. Оптические резонаторы и лазерные пучки // М.: Наука, 1990.

33. Звелто О. Принципы лазеров // М.: Мир, 1990.

34. Soifer V.A., Golub М.А. Laser beam mode selection by computergenerated holograms // CRC Press, Boca Raton, 1994.

35. Голуб M.A., Павельев B.C., Сойфер B.A. Компьютерная оптика 14-15(2), 1995.

36. Kotlyar V.V, Nikolsky I., Soifer V.A. Optic 98(1) 26, 1994.35. * Khonina S.N., Almazov A.A. Design of multi-channel phase spatial filter for selection of Gauss-Laguerre laser modes // Proceedings of SPIE, Vol .4705, pp30-39, 2002.

37. Хонина C.H. Формирование и передача на расстояние изображений с помощью мод Гаусса-Лагерра // Компьютерная оптика, Самара-Москва, No. 18, с.71-82 (1998).

38. Lesem L.B., Hirsh P.M., Jordan J.A. The kinoform: a new wavefront reconstruction device // IBM J. Res. Develop. 13(3), pp.150-155,1969.

39. Kotlyar V.V., Khonina S.N., Soifer V.A. Light field decomposition in angular harmonics by means of diffractive optics // Journal of Modern Optics 45(7), pp. 1495-1506,1998.

40. Khonina S.N., Kotlyar V.V., Soifer V.A. Diffraction optical elements matched to the Gauss-Laguerre modes // Optics and Spectroscopy 85(4), pp. 636-644, 1998.

41. Адаме М. Введение в теорию оптических волноводов // М.: Мир, 1984.

42. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям // М., Наука, 1979

43. Bolshtyansky М.А., Zel'dovich B.Ya. Transmission of the image signal with the use of multimode fiber // Optics Comm. 123, 629-636, 1996.

44. Под ред. Сойфера В.А. Методы компьютерной оптики, учебное пособие // М.: Физматлит, 2000, 688с.

45. MacDonald R.P., Booth royd S.A., Okamoto Т., Chorostowski J., Syrett B.A. Interboard optical data distribution by Bessel beam shadowing // Optics Communication 122 (1996), 169-177.

46. Soroko L.M. What does the term "light beam" mean? // preprint of JINR, El3-99-226, Dubna, 1999.

47. Arlt J., Garces-Chavez V., Sibbett W., Dholakia K. Optical micromanipulation using Bessel light beams // Opt. Comm., 197, 239-245, 2001.

48. Garces-Chavez V., McGloin D., Melville H., Sibbett W., Dholakia K. Simultaneous micromanipulation in multiple planes using a self-reconstructing light beam//Nature, 419, 145-147, 2002.

49. MacDonald M.P., Paterson L., Volke-Sepulveda K., Arlt J., Sibbett W., Dholakia K. Creation and manipulation of three-dimensional optically trapped structures // Science, 296, 1101-1103, 2002.

50. Khonina S.N., Kotlyar V.V., Skidanov R.V., Soifer V.A., Jefimovs K., Simonen J., Turunen J. Rotation of microparticles with Bessel beams generated by diffractive elements // J. Mod. Opt. 55(14) 2167-2184 (2004).

51. Durnin J., Miceli J.J. // Diffraction-free beams // Phys. Rev. Lett., 58(15), 1499-1501 (1987).

52. Khonina S.N., Kotlyar V.V., Soifer V.A., Paakkonen P., Simonen J., Turunen J. An analysis of the angular momentum of a light field in terms of angular harmonics // J. of Modern optics, 48(10), 1543-1557 (2001).

53. Котляр B.B., Хонина C.H. Сойфер В.А., Ванг Я. Измерение орбитального углового момента светового поля с помощью дифракционного оптического элемента// Автометрия 38(3), 33-44 (2002).

54. Под ред. Абрамовича М. Справочник по специальным функциям //, М., Наука, 1979.

55. Бори М., Вольф Э. Основы оптики // М., Наука, 1973.

56. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике // М., Наука, 1968.

57. Котляр В.В. Оптическая обработка изображений, учебн. пособие // Самара, СГАУ, 1993.

58. Котляр В.В. Френелевские изображения, учебн. пособие // Самара, СГАУ, 1993.

59. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации // М., Мир, 1980.

60. Хонина С.Н., Котляр В.В., Сойфер В.А. Дифракционные оптические элементы, согласованные с модами Гаусса-Лагерра // Компьютерная оптика, Самара-Москва, No. 17, с.25-31 (1997).

61. Adams M.J. An introduction to optical waveguides // J.Wiley & Sons, Chichster, 1981.

62. Bahaa E. A. Saleh, Malvin Carl Teich Fundamentals of photonics // USA, A wiley series in pure and applied optics, 1994.

63. Korn G.A., Korn T.M. Mathematical handbook // McGraw-Hill Book, New York, 1961.

64. Khonina S.N., Kotlyar V.V., Skidanov R.V., Soifer V.A., Laakkonen P., Turunen J. Gauss-Laguerre modes with different indices in prescribed diffraction orders of a diffractive phase element // Optics Comm. 175,i pp.301-308,2000.

65. Khonina S.N., Kotlyar V.V., Skidanov R.V., Soifer V.A., Laakkonen P., Turunen J., Wang Y. Experimental selection of spatial Gauss-Laguerre modes // Optical Memory and Neural Networks 9(1), pp.69-74, 2000.

66. Kotlyar V.V., Khonina S.N., Melekhin A.S., Soifer V.A. Fractional encoding method for spatial filters computation // Asian Journal of Physics 8(3), pp.273-286, 1999.

67. Anderson D.Z., Bolshtyansky M.A., Zel'dovich B.Ya. Stabilization of the speckle pattern of a multimode fiber undergoing bending // Optics Letters 21(11), 785-787, 1996.

68. Bolshtyansky M.A., Zel'dovich B.Ya. Stabilization of transmission function: theory for an ultrathin endoscope of one multimode fiber // Applied Optics 36(16), 3673-3681, 1997.

69. Gibson G., Courtial J., Padgett M., Vasnetsov M., Pas'ko V., Barnett

70. Если реализовывать его для массива-изображения NxJV элементов, применяя традиционный алгоритм, то мы имеем конструкцию из 4-х циклов, алгоритмически которую можно записать примерно так:

71. Цикл по 1 от 1 до N { Цикл по з от 1 до N { и±. [Л =0;

72. Цикл по ш от 1 до N { Цикл по п от 1 до Nи±Ш. = и1. ^] + (к/£)*и(т,п)*вхр(-(1т*к/£)М(±т+^)/Ь2)) ; >и±Ш. = (к/£)*и[±] [з]*Ъ.2;и±. [з] числовой массив комплексной амплитуды исходного изображения,и±. [ з ] массив результирующего изображения,

73. Ь шаг разбиения изображения, Ь=1,/7У, где Ь - размер стороны изображения.

74. Оно может быть представлено через преобразование Фурье:гки(х, у, г) =-ехр (?Аг) ехр2 шк. 2?ехрг