Численное исследование плоской фильтрационной конвекции тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение

1 Математические модели плоской фильтрационной конвекции

1.1 Уравнения, описывающие плоскую фильтрационную конвекцию

1.2 Свойства задачи плоской фильтрационной конвекции в прямоугольном контейнере

1.3 Абстрактная модель конвекции Дарси

2 Численные методы и алгоритмы

2.1 Вычисление однопараметрического семейства равновесий систем косимметричных обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.1.1 Применение метода для анализа равновесий системы общего вида.

2.2 Алгоритм анализа бассейнов равновесий однопараметрического семейства.

2.3 Применение средств компьютерной алгебры при анализе плоской фильтрационной конвекции.

3 Исследование конечномерных моделей фильтрационной конвекции

3.1 Модель фильтрационной конвекции в Я?

3.1.1 Предельный цикл - его рождение и гибель. Численный анализ бифуркаций.

3.1.2 Селекция устойчивых стационарных режимов семейства

3.1.3 Структура бассейнов стационарных режимов семейства

3.2 Модель конвекции Дарси в R4.

3.2.1 Стационарные режимы и их устойчивость

3.2.2 Численный анализ бифуркаций.

3.2.3 Селекция устойчивых стационарных режимов семейства

3.3 Модель конвекции Дарси в R5.

4 Численное исследование семейств стационарных режимов и их бифуркаций в задаче плоской фильтрационной конвекции в прямоугольном контейнере

4.1 Схема численного исследования.

4.2 Рождение и развитие устойчивого семейства. Возникновение на нем неустойчивости.

4.2.1 Случай узкого контейнера.

4.2.2 Случай широкого контейнера.

4.3 Неустойчивые семейства стационарных режимов

4.3.1 Случай узкого контейнера.

4.3.2 Случай широкого контейнера.

4.4 Бифуркации однопараметрических семейств стационарных режимов.

4.4.1 Возникновение семейства равновесий на уже существующем семействе.

4.4.2 Возникновение семейства равновесий 'из воздуха'

4.4.3 Пересечение семейств равновесий

4.4.4 Дробление семейства равновесий.

4.5 Анализ периодических режимов.

4.6 Исследование динамики жидкой частицы.

4.6.1 Случай узкого контейнера.

4.6.2 Случай широкого контейнера.

В данной работе проведено численное исследование задачи плоской фильтрационной конвекции. Рассмотрены как математические модели малой размерности, так и аппроксимации большого порядка исходных уравнений в частных производных. Предложены методы вычисления, которые позволяют анализировать системы с косимметриями и системы, в которых стационарные режимы неизолированны. Изучена проблема второго перехода в задаче плоской конвекции Дарси в прямоугольном контейнере. Численно проанализированы однопараметри-ческие семейства стационарных режимов и их бифуркации в рассматриваемой задаче, обнаружены периодические и хаотические режимы, исследована динамика жидкой частицы.

Конвекция в наполняющей пористую среду и подогреваемой снизу жидкости уже много лет является предметом активного исследования. Внимание к этой задаче обусловлено многочисленными приложениями задачи фильтрационной конвекции в геофизике и других связанных с энергетикой областях (распространение воды и нефти в земных недрах). Кроме того, эта задача представляет значительный интерес благодаря ряду новых явлений, не встречавшихся ранее в задачах математической физики. В связи с этим в последние годы наблюдается возрастание интереса многих исследователей к анализу задач фильтрационной конвекции.

С использованием аналитических и численных методов рассматривалось возникновение конвекции [80, 91, 55, 32, 97, 86, 46, 103, 100], изучалась устойчивость различных режимов [46, 104], исследовались бифуркации решений [108, 105, 106] и пути перехода к хаотической динамике [58, 87], влияние внешних сил [104,83,107,49, 50] и неоднородности среды [56, 97]. В работах [96, 97] рассматривались возникающие течения жидкости, а в [102] перенос тепла. При численном исследовании применялись маломодовые галеркинские аппроксимации

57], метод конечных элементов [102, 59], псевдоспектральный метод

58] и др.

В [32] при исследовании конвективных движений в подогреваемой снизу пористой среде, заполняющей горизонтальный цилиндр с произвольной формой поперечного сечения, было обнаружено, что в результате первого бифуркационного перехода возникает однопараме-трическое семейство устойчивых стационарных решений. Этот факт был доказан В.И. Юдовичем в статье [46], где было показано, что причиной возникновения этого семейства является существование у соответствующего дифференциального уравнения нетривиальной косимме-трии. Таким образом, в задаче о фильтрационной конвекции проявляются особенности, изучаемые теорией косимметрии, что и приводит к специфическим явлениям перехода от механического равновесия к сложным семействам стационарных режимов.

Определение косимметрии впервые было дано в работе [46], там же сформулирован первый вариант косимметричной версии теоремы о неявной функции, и рассмотрена бифуркация рождения однопара-метрического семейства некосимметричных равновесий из изолированного косимметричного равновесия, в частности и для плоской задачи Дарси с краевыми условиями первого рода. Согласно [46], ко-симметрией векторного поля Ру в Яп, и соответственно уравнения у' — Гу, называется векторное поле Ьу, ортогональное Г у в каждой точке: (¥у, Ьу) = 0. Если при этом равновесие уо некосимметрично, т.е. Гуо = 0, Ьуо 0, то оно принадлежит однопараметрическому семейству равновесий. При этом у каждого равновесия этого семейства будет свой спектр устойчивости.

Теория косимметрии была развита в ряде последующих работ [114, 115, 52, 53, 90,48,28, 47, 51]. В частности, в работах [114, 48] было показано, что если у системы дифференциальных уравнений существует семейство равновесий, и спектр устойчивости меняется вдоль семейства, то это семейство не может быть орбитой действия группы симметрии, а в статьях [115, 52] дан полный вариант косимметричной версии теоремы о неявной функции. Вопрос об обращении теоремы о неявной функции для динамических систем с косимметрией изучался в [28].

Наличие у системы дифференциальных уравнений косимметрии ведет к возникновению специфических бифуркаций. В статье [53] была рассмотрена бифуркация Андронова-Хопфа в косимметричных системах и показано, что рождение периодического режима в таких системах не обязательно связано с первой потерей устойчивости на семействе равновесий, а имеет место эффект затягивания этой бифуркации по параметру. Подробно бифуркация рождения периодических режимов в тг-параметрическом семействе косимметричных динамических систем рассмотрена в статье [90].

Аналитическое исследование однопараметрического семейства стационарных режимов в задаче плоской конвекции Дарси, проведенное в работе [46], позволяет получить асимптотику равновесного цикла и изучить его устойчивость вблизи бифуркации рождения. В настоящее время наиболее актуальным вопросом при изучении этой задачи является проблема второго перехода - возникновение автоколебательных режимов и третичных стационарных режимов, ответвляющихся от циклов вторичных стационарных течений при увеличении числа Релея (интенсивности подогрева). В данной работе проведено численное исследование этих переходов в задаче плоской фильтрационной конвекции в прямоугольном контейнере.

Изучение полных уравнений гидродинамики или полученных в результате их дискретизации конечномерных моделей большой размерности сопряжено с большими трудностями в силу их сложности. Однако, многие явления, присущие исходной задаче, могут быть поняты на основе анализа моделей малой размерности. Такими моделями являются маломодовые галеркинские системы (см. [66, 45, 13, 65]) или более общие абстрактные модели, которые сохраняют основные свойства исходной задачи (см., например, [99]). Ряд конечномерных моделей конвекции Дарси малых размерностей численно исследовался в работах [57, 9] и [71]. В статье [71] рассмотрен вопрос о сценарии первой потери устойчивости на семействе равновесий в трехмерной абстрактной модели и проведен анализ бифуркаций равновесных множеств в системе пятого порядка, а в работе [57] исследуется восьми-модовая галеркинская аппроксимация.

Для аппроксимации исходных дифференциальных уравнений в частных производных в данной работе применяется метод Галеркина (о методе см. [30, 41]). Универсальность этого метода делает его удобным инструментом как для прямого расчета течений жидкости [14, 45, 13, 60, 15], так и для исследования задач гидродинамической устойчивости [14, 45, 37, 34, 69].

При использовании метода Галеркина всегда должно выполняться требование, чтобы полученные результаты сохранялись при увеличении порядка системы: вычисления заканчиваются, когда очередное расширение системы приводит лишь к незначительному изменению количественных характеристик приближенного решения при сохранении его качественных особенностей. Стратегия численного исследования бифуркаций уравнений в частных производных должна состоять из нескольких стадий [94]. В качестве первого этапа исследования предлагается быстрое исследование маломодовых аппроксимаций, целью которого является предварительный анализ возможных бифуркаций. Следующим этапом является уточнение бифуркационной структуры путем систематического медленного изменения параметра. При этом необходимо изменять размерности аппроксимирующих систем и только истинные бифуркации сохраняются при уменьшении погрешности. Применение такого подхода к анализу задач конвекции хорошо известно (см. например [112, 109, 67, 60, 38]).

Возможности чисто аналитического исследования нелинейных динамических систем ограничены, поэтому с развитием вычислительной техники все чаще аналитическое исследование дополняется численным, под которым понимается не прямое решение задачи Коши, а качественный анализ. Основными направлениями здесь являются бифуркационный анализ [110, 89,43, 76], поиск инвариантных объектов (циклы, торы, гомоклинные и гетероклинные траектории) [62, 95, 64, 63], символическая динамика [98], построение неустойчивых и устойчивых многообразий [113, 84] и близкая задача вычисления бассейнов аттракторов [54, 93]. Большинство этих методов предназначено для исследования систем общего положения и не всегда применимы в особых случаях, например таких, как существование у динамической системы косимметрии.

Исследование косимметричных систем выдвигает целый ряд требований к численным методам и соответствующим программам для компьютера. Приходится работать в условиях, когда исследуемые на устойчивость равновесия и стационарные режимы сильно вырождены, и классические методы в их обычной форме отказывают. Для численного анализа таких систем была разработана и реализована в стандартном программном обеспечении серия методов, позволяющих анализировать системы с косимметриями, симметриями и вообще системы, в которых стационарные режимы неизолированны (см. [74, 22, 19, 20] и главу 2). Лишь специальные методы, применяемые в данной работе, позволили численно проанализировать сложные косимметрические бифуркации, результаты которых представлены в диссертации.

Диссертация состоит из введения и четырех глав.

1. Андронов A.A., Понтрягин J1.C. Грубые системы, ДАН СССР 14, N5 (1937).

2. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967.

3. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений // М.: Наука, 1978.

4. Арнольд В.К, Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. Совр. пробл. мат. Фундаментальные направления. Т.З. // М.: ВИНИТИ АН СССР. Итоги науки и техники, 1985.

5. Арнольд В.И. Динамические системы Совр. пробл. мат. Фундаментальные направления. Т.5. // М.: ВИНИТИ АН СССР. Итоги науки и техники, 1985.

6. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на фортране.- М.; МГУ, 1990.

7. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967.

8. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.; Наука,1987.

9. Брацун Д.А. Динамические свойства тепловой конвекции в двухфазной среде. Автореферат диссертации на звание к.ф.м.н. Пермь, 1997.

10. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений // М.: Наука, 1969, 527 стр.И. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. // М.: Наука,1988, 549 стр.

11. Ворович НИ., Зипалова В.Ф. К решению нелинейных краевых задач теории упругости методом перехода к задаче Коши. // Прикл. матем. и механ. 1965. Т. 29. Вып. 5. сс. 894-901.

12. Герценштейн С.Я., Шмидт В.М. Нелинейное взаимодействие конвективных волновых движений и возникновение турбулентности во вращающемся горизонтальном слое. // Изв. АН СССР, МЖГ, 1977, N 2, с. 9-15.

13. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости.// М.:Наука, 1972.

14. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. Под редакцией X. Суинни, Дж. Голлаба. // М.:Мир, 1984.

15. Говорухин В. Н. Руководство по работе с пакетом исследования динамических систем DESIR. // УПЛ РГУ, Ростов-на-Дону, 1995, стр. 1-35.

16. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple. Математический пакет для всех. М.: Мир, 1997, 208 с.

17. Говорухин В.Н. Численное исследование семейств стационарных режимов в задаче плоской конвекции Дарси в прямоугольном контейнере. Часть I. Случай узкого контейнера. // Деп. ВИНИТИ № 3785-В97, 1997, 34 с.

18. Говорухин В. Н„ Цибулин В.Г. Численно-аналитическое исследование бассейнов равновесий косимметричной динамической системы. // Деп. ВИНИТИ, N 3658-В97, 1997, 40 с.

19. Говорухин В. Н. Численное исследование потери устойчивости вторичными стационарными режимами в задаче плоской конвекции Дарси. // Доклады Академии Наук, т. 363, N 4-6, 1998, с. 806-808.

20. Говорухин В. Н. Анализ семейств вторичных стационарных режимов в задаче плоской фильтрационной конвекции в прямоугольном контейнере. // Известия Российской Академии Наук, МЖГ, N5, 1999, стр. 53-62.

21. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. // М.:Мир, 1981.

22. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. // М:Наука, 1988.

23. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников A.A. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. // М:Наука, 1991, 240 стр.

24. Кузнецов Е. Б., Шалашилин В.И. Задача Коши как задача продолжения решения по параметру. // ЖВМиМФ, 1993, Т.ЗЗ, №12, сс.1792-1805.

25. Кузнецов Е. Б., Шалашилин В.И. Наилучший параметр продолжения решения. // Доклады академии наук, т. 334, N 5, (1994), стр. 566-568.

26. Куракин Л.Г. Критические случаи устойчивости. Обращение теоремы о неявной функции для динамических систем с косимметрией. // Мат. Заметки, т.63, вып. 4, 1998, стр. 572-578.

27. Лаврентьев М.А., Шабат Б.Н. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987 , 688 с.

28. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. // М.: Наука, 1970, 288 стр.

29. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. // М.: Мир, 1972, 587 стр.

30. Любимов Д. В. О конвективных движениях в пористой среде, подогреваемой снизу. // ПМТФ, 1975, №2, сс.131-137.

31. Малкин И.П. Теория устойчивости, М., Наука, 1966.

32. Медведев В.А. О применении метода Бубнова-Галеркина в теории гидродинамической устойчивости. // ПММ, 1964, т.28, вып.4.

33. Моргулис А.Б., Говорухин В.Н. Переходная динамика сжимаемых спиральных полей // Деп. ВИНИТИ № , 1995.

34. Неймарк Ю.И., Шильников Л.П. Об одном случае рождения периодических движений. // ДАН СССР, т. 160, N6, (1965).

35. Петров Г. И. Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости. // ПММ, 1940, т.4, вып.З, с. 3-12.

36. Петровская Н.В. О применении метода Галеркина к исследованию переходов в задаче рэлеевской конвекции. // Изв. АН СССР, МЖГ, 1984, N 2, с. 22-27.

37. Рикс Е. Применение метода Ньютона к задаче упругой устойчивости // Прикл. механ. 1972. N 4. стр. 204-210.

38. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. // М.: Мир, 1981, 408 стр.

39. Флетчер Численные методы на основе метода Галеркина. М:Мир, 1985.

40. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математичесих вычислений. М.; Мир, 1980.

41. Холодниок М, Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных математических моделей. М: Мир, 1991.

42. Шильников Л.П. О некоторых случаях рождения периодических движений из особых траекторий // Матем. сб. 61(104), (1963), 443-466.

43. Шкадов В.Я. Численное исследование устойчивости гидродинамических течений и нелинейного взаимодействия возмущений. // Численные методы механики сплошной среды (Новосибирск), 1981, т. 12, N 4, с. 148-155.

44. Юдович В. И. Косимметрия, вырождение решений операторных уравнений, возникновение фильтрационной конвекции. // Мат. заметки, т.49, в.5, 1991.

45. Юдович В. И. Конечномерные модели плоской конвекции Дарси и косимметрия. Часть 1 // Деп. ВИНИТИ, N 2871-В93, 1993, 27 с.

46. Юдович В. И. О несуществовании статической группы симметрии для косим-метричных динамических систем // Деп. ВИНИТИ, N 929-В93, 1993, 37 с.

47. Юдович В. И. Косимметрия и конвекция в многокомпонентной жидкости. // Деп. ВИНИТИ № 1523-В93, 1993.

48. Юдович В. И. Косимметрия и фильтрационная конвекция с источниками тепла. // Деп. ВИНИТИ № 2057-В93, 1993.

49. Юдович В. И. Конечномерные модели плоской конвекции Дарси и косимметрия. Часть 2 // Деп. ВИНИТИ, N 1995.

50. Юдович В.И. Теорема о неявной функции для косимметричных уравнений. // Мат. Заметки, т.60, вып. 2, 1996, стр. 313-317.

51. Юдович В.И. О бифуркации рождения цикла из семейства равновесий динамической системы и ее затягивании. // ПММ, т. 62, вып 1, 1997, стр. 22-44.

52. Battelino, P., Grebogi, С., Yorke, J.A., Ott Е., Yorke, E.D. Multiple Coexisting Attractors, Basin Boundaries and Basic Sets // Physica D, V 32, p. 296-305, (1988).

53. Beck J.L. Convection in a box of porous material saturated with fluid. // Physics Fluids 15, 1972, pp. 1377-1383.

54. Bratsun D.A., Lyubimov D.V., Roux B. Co-symmetry breakdown in problems of thermal convection in porous medium. // Physica D, 1995, v. 82, pp. 398-417.

55. Caltagirone J.P., Fabrie P. Natural convection in a porous medium at high Rayleign numbers. Part I. Darcy's model. // Eur.J.Mech., B/Fluids, 8, № 3, 1989, pp.207-227.

56. Chou S. H. and Li Q. Characteristic-Galerkin and Mixed Finite Element Approximation of Contamination by Compressible Nuclear Waste-Disposal in Porous Media. // Numer. Methods Partial Differential Equations 12 (1996), No. 3, 315-332.

57. Curry J.H., Herring J.R., Loncaric J., Orszag S.A. Order and disorder in two- and three-dimensional Benard convection. // J. Fluid Mech., 1984, v. 147, p.1-38.

58. Darcy H.P.G. Les fontaines publiques de la ville de Dijon. // Paris, 1856.

59. Died L., Lorenz J. Computation of invariant tori by the method of characteristics. // SIAM J. Numer. Anal., Vol. 32, No 5, 1995, pp. 1436-1474,

60. DoedelE.J., Friedman M.J., Monteiro A.C. On locating connecting orbits. // J. Appl. Math. Comput. 65, No.1-3, p. 231-239, 1994.

61. Doedel E. Nonlinear numerics. // Int. J. Bifurcation Chaos Appl. Sci. Eng. 7, No.9, p. 2127-2143, 1997.

62. Feudel F„ Seehafer N., Schmidtmann O. Nonlinear Galerkin methods for 3D magnetohydrodynamic equations. // Int. J. Bifurcation Chaos Appl. Sci. Eng. 7, No.7, p. 1497-1507, 1997.

63. Franceschini V, Zanasi R. Three-dimensional Navier-Stokes equations truncated on a torus. // Nonlinearity 4, 1992, pp. 189-209.

64. Frick H., Muller U. Oscillatory Hele-Shaw convection. // J. Fluid Mech., 1983, v.126, p.521-532.

65. Gelfgat A.Yu., Bar-Yoseph P.Z. and Solan A. Study of stability, bifurcations and slightly supercritical states of confined flows using global Galerkin and finite volume methods. // Proc. EUROMECH colloquium 383, 1998, p. 7.

66. Gertsenshtein S.Ya., Rakhmanov A.I. Convection in an oscillating force field and microgravity. Izv. Ross. Akad. Nauk, Mekh. Zhidk. Gaza 1994, No.5, 99-106

67. Govorukhin V.N., Yudovich V.I. Darcy convection finite-dimensional models: cosymmetry and equilibria cycles. // Book of abstract of International conference on applied and industrial mathematics, Linkoping, Sweden, 1994, p.48.

68. Govorukhin V.N. Computer experiments with cosymmetric models. // Z. Angew. Math. Mech. 76, Suppl. 4, 1996, pp. 544-547.

69. Govorukhin V.N. Families of stationary regimes in the Darcy convection: numerical investigation. // Book of abstracts EUROMECH colloquium 383, 1998, p. 17.

70. Govorukhin V.N., Yudovich V.I. Bifurcations and selection of equilibria in a simple cosymmetric model of filtrational convection. // Chaos ,V.9, N 2,1999, pp. 403-412

71. Govorukhin V.N. Calculation of one-parameter families of stationary regimes in a cosymmetric case and analysis of plane filtrational convection problem. // Accepted for Notes of Computational Fluid Dynamics, Vieweg Publisher, 1999.

72. Govorukhin V.N., Morgulis A., Yudovich V.I., Zaslavsky G.M. Chaotic advection in the compressible helical flow. // Accepted for Physics Letter.

73. Guckenheimer J., Worfolk R Dynamical systems: Some computational problems. // Kluwer Academic Publishers. NATO ASI Ser., Ser. C, Math. Phys. Sci. 408, p. 241-277, 1993.

74. Hairer E., Norsett S.R, Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations I. Nonstiff Problems. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1993.

75. Heal K.M., Hansen M.L. and Richard K.M. Maple V. Learning guide. // SpringerVerlag, 1998.

76. Heck A. Introduction to Maple. Springer-Verlag, 1996

77. Horton C.W., Rogers Jr. ET. Convection currents in a porous medium, J. Appl. Phys. 16, 367 (1945).81. http://www.math.rsu.ru/mexmat/kvm/desir.en.html82. http://www.maplesoft.com

78. Impey M.D., Riley D.S., Winters K.H. The effect of sidewall imperfections on pattern formation in Lapwood convection. // Nonlinearity 3, No.l, 197-230 (1990).

79. Johnson, M. E., Jolly, M. S., and Kevrekidis, I. G. Two-dimensional invariant manifolds and global bifurcations: some approximation and visualization studies // Numerical Algorithms Vol. 14, (1997) No. I-III.

80. Jung C., Tel T., Ziemniak E. Application of scattering chaos to particle transport in a hydrodynamical flow. // Chaos ,V.3, N 4, 1993, pp. 555-568.

81. Katto Y., Masuoka T. Criterion for the onset of convective flow in a fluid in a porous medium. -"Intern. J. Heat and Mass Transfer", v. 10, № 3, 1967, p. 291-309.

82. Kimura S., Schubert G., Straus J.M. Route to chaos in porous-medium thermal convection. // J. Fluid Mech. 166, 1986, pp. 305-324.

83. Klemm, M., Beckmann, P.E. The topology of basin boundaries in a class of three-dimensional systems II Internat. J. Bifiir. Chaos Appl. Sei. Engrg 6 (1996), no. 1, 161-167.

84. Kubicek, M., Marek, M. Computational Methods in Bifurcation Theory and Dissipative Structures, New York: Springer, 1983.

85. Kurakin L. G., Yudovich V. I. Bifurcation of the branching of a cycle in n-parameter family of dynamic systems with cosymmetry. // Chaos ,V.7, N 3,1997, pp. 376-386.

86. Lapwood E.R. Convection of a fluid in a porous medium. Proc.Camb.phil.Soc., 44, pp. 508-523.

87. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sei., 1963, V.20, N2, p. 130-141.

88. Mira, C. Rauzy, C. Fractal aggregation of basin islands in two-dimensional quadratic noninvertible maps // Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sei. Engrg 6 (1995), no. 4, 9911019.

89. Moore D.R., Weiss N.O. Sensitivity of Bifurcations to Discretization. // The Dynamics of Numerics and the Numerics of Dynamics. Edited by D.S. Broomhead and A. Iserles. Oxford, 1992. pp. 107-125.

90. Moore G. Computation and parametrization of periodic and connecting orbits // IMA J. Numerical Analysis (1995) 15, 245-263.

91. Muskat M, The Flow of Homogeneous Fluids Through Porous Media, McGraw-Hill, N.Y., 1937, p. 121.

92. Nilsen T., Storesletten L. An Analytical Study on Natural Convection in Isotropic and Anisotropic Porous Channels. // Journal of Heat Transfer, Vol.112, May 1990, pp.396-401.

93. Osipenko, G., Win, I. Methods of applied symbolic dynamics // Proc. Of Dynamic Systems and Applications 2 (1996) 451-460.

94. Pappas G.J., Sastry S. Towards continuous abstractions of dynamical and control systems. // Hybrid System IV, Lectures Notes in Computer Science, Springer Verlag, 1997.

95. Pop I., Rees D.A.S., Storesletten L. Free convection in a shallow annular cavity filled with a porous medium. // J. of Porous Media, 1 (3), 1998, p. 227-241.

96. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T.,Flannery B.P Numerical Recipes in C. Cambridge University Press, 2nd edition, 1992.

97. Rajamani R., Chippada S., Seetharamu K. N. Finite Element analysis of convective heat transfer in porous media. International Journal for Numerical Methods in Fluids, v.ll, pp.331-339 (1990).

98. Rees D.A.S., Riley D.S. Free convection in a undulating saturated porous layer: resonant wavelength excitation. // J. Fluid Mech. 166, 503-530 (1986).

99. Rees D.A.S. The effect of inertia on the stability of convection in a porous layer heated from below, To appear in J. Theoretical and Applied Fluid Mechanics.

100. Riley D.S., Winters K.H. A numerical bifurcation study of natural convection in a tilted two-dimensional porous cavity, J. Fluid Mech. 215, 309-329 (1990).

101. Riley D.S., Winters К H. Time-periodic convection in porous media: The evolution of Hopf bifurcations with aspect ratio.// J. Fluid Mech. 223, 457-474 (1991).

102. Romero L.A. Forced convection past a slender body in a saturated porous medium. // SIAM J.Appl.Math., No. 4, pp 975-985.

103. Schaeffer D.G. and Golubitsky M. Boundary conditions and mode jumping in the buckling of a rectangulare plate, Comm. Math. Phys. 69 (1979) 209-236.

104. Schubert G., Straus J.M. Transition in time-dependent thermal convection in fluid-saturated porous media. // J. Fluid Mech., 1982, v. 122, p. 123-142.

105. Seydel R. Practical Bifurcation and Stability Analysis // Springer-Verlag, 1994.

106. Wilkinson J.H., Reinsch C. Handbook for Automatic Computation. Linear Algebra. Berlin; Springer-Verlag, 1972 (Есть русский перевод: Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. -М.; Машиностроение, 1976)

107. Yahata Н. Transition to turbulence in the Rayleigh-Benar convection. // Progr. Theor. Phys., 1982, v.68, N4, p. 1070-1081.

108. You, Z„ Kostelich, E„ Yorke, J.A. Calculating stable and unstable manifolds, Int. J. Bifur. Chaos 1 (1991), 605-624.

109. Yudovich VI. Secondary cycle of equilibria in a system with cosymmetry, its creation by bifurcation and impossibility of symmetric treatment of it. // Chaos 5 (2), 1995, pp. 402-411.

110. Yudovich VI., Cosymmetric version of implicit function theorem. // Linear Topological Spaces and Complex Analysis, Ankara, 2 (1995), pp.105-125.

111. Zaslavsky G.M. How Long is the Way from Chaos to Turbulence? // New approaches and Concepts in Turbulence. Birkhauser Verlag. 1991.