Влияние инерционных полей на гидродинамическую устойчивость неоднородных систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Седельников Григорий Александрович

ВЛИЯНИЕ ИНЕРЦИОННЫХ ПОЛЕЙ НА ГИДРОДИНАМИЧЕСКУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕОДНОРОДНЫХ

СИСТЕМ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь - 2006

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Пермского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физ.-мат, наук, профессор

Любимов Дмитрий Викторович

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор

Тарунин Евгений Леонидович

кандидат физ.-мат. наук, старший научный сотрудник

Мызникова Бэла Исаковна Ведущая организация: Челябинский государственный университет

Защита состоится "_" __2006 г. в 1515 часов на заседании

диссертационного совета Д 212.189.06 в Пермском государственном университете по адресу: 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета.

Автореферат разослан1

2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доцент

Г.И. Субботин

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Конвекция во вращающихся системах в последнее время привлекает повышенное внимание из-за своих необычных свойств. Известно, что порог возникновения конвекции во вращающемся относительно вертикальной оси горизонтальном бесконечном слое, подогреваемом снизу, соответствует большим числам Релея, чем в случае горизонтального слоя с боковыми границами. Данный факт не характерен для случая свободной конвекции, где добавление боковых стенок обычно только повышает устойчивость системы. Тем не менее, влияние вращения на конвекцию в кубической полости до сих пор изучено не было. Более того, имеющиеся в литературе данные о структуре надкритических движений даже в отсутствие вращения противоречивы.

В рамках проекта Европейского космического агентства "Diffusion and Soret Coefficient Measurements for Improvement of Oil Recovery" для изучения влияния вибрационных воздействий на процессы диффузии, планируется провести серию экспериментов под названием "IV1DIL". При этом предполагается проведение численных расчетов, наземных и космических экспериментов. Точные измерения коэффициентов диффузии и Соре требуют максимального возможного подавления макроскопических течений в смесях. В наземных условиях подобные условия создать трудно. Однако, и условия микрогравитации, доступные во время космического полета, также не свободны от таких факторов, которые могут вести к макроскопическим течениям. Существенное влияние на процесс массопереноса, и, следовательно, на искажение результатов измерения кинетических коэффициентов, могут, оказать случайные вибрации экспериментальной ячейки, способные вызывать как средние, так и пульсационные течения. Данный факт делает чрезвычайно важным выполнение, совместно с экспериментами, теоретических и численных исследований, направленных на изучение влияния вибраций на распределение температуры и концентрации в бинарных смесях в условиях космического полета.

Задача о моделировании движения фронта вытеснения при фильтрации двухфазной несмешивающейся жидкости является одной из самых актуальных, задач в исследовании процессов добычи углеводородного сырья. Нефтяные компании проявляют большой интерес к повышению нефтеотдачи за счет переменных (акустических, вибрационных, сейсмических и т.д.) воздействий на нефтяные пласты. В связи с этим результаты, полу-

ченные при решении задачи о влиянии вибрационного воздействия на устойчивость фронта вытеснения, интересны с точки зрения изучения процессов, характерных при добыче нефти.

Цели работы

• Изучение структуры надкритических движений, возникающих в кубической полости при подогреве снизу и исследование их устойчивости.

• Исследование влияния вращения относительно вертикальной оси на устойчивость механического равновесия в кубической полости, подогреваемой снизу.

• Изучение нелинейных режимов конвекции во вращающейся кубической полости, подогреваемой снизу.

• Исследование влияния вибрационного воздействия на процесс тепло-массопереноса в бинарных смесях с учетом эффекта Соре.

• Моделирование планируемых космических экспериментов, на основе реальных свойств жидкости и значений управляющих параметров.

• Изучение влияния линейно поляризованных вибраций на устойчивость плоского фронта вытеснения в пористой среде.

Научная новизна результатов

• Впервые численно исследовано влияние вращения на устойчивость механического равновесия в кубической полости.

• Обнаружен переход от колебательных режимов конвекции к стационарным через гстероклинические колебания при увеличении числа Релея.

• Проведено численное трехмерное моделирование планируемых космических экспериментов.

• Впервые изучено влияние линейно поляризованных вибраций на устойчивость плоского фронта вытеснения в пористой среде.

Автором представляются к защите:

• Результаты трехмерных исследований нелинейных режимов конвекции в кубической полости, подогреваемой снизу.

• Результаты исследования влияния вращения на устойчивость механического равновесия в кубической полости и возникающие надкритические режимы.

• Результаты тестовых задач для трехмерных уравнений Навье-Стокса, теплопроводности и концентрации и их сравнение с результатами, полученными другими научными группами.

• Результаты численного трехмерного моделирования будущих экспериментов в космосе.

• Результаты изучения влияния линейно поляризованных вибраций на устойчивость плоского фронта вытеснения в пористой среде.

Достоверность результатов. Достоверность полученных результатов подтверждается сравнением с известными ранее работами и согласием результатов, полученных разными методами и с использованием разных подходов.

Например, в задаче о конвекции в кубической полости проведено сравнение результатов, полученных для различных режимов конвекции, с результатами других авторов. Во всех задачах, в которых использовался метод сеток (1-3 главы), проведено исследование сходимости результатов при уменьшении шага сетки и сделана оценка наиболее оптимального размера сетки. Для тестирования алгоритмов программы и согласования получаемых результатов при моделировании космических экспериментов по исследованию процесса тепломассопереноса в бинарных смесях с учетом эффекта Соре при наличии вибрационного воздействия, три научные группы независимо провели серию тестовых численных экспериментов. В задаче устойчивости плоского фронта вытеснения в пористой среде, в предельном случае отсутствии вибраций, полученные данные согласуются с классическими результатами. Результаты, полученные в высокочастотном пределе, в области своей применимости, хорошо согласуются с результатами численных расчетов для случая конечно-частотных вибраций.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Н. Новгород 2006); конференции "Актуальные проблемы механики" (Санкт-Петербург 2006); Всероссийской научной конференции студентов физиков (Новосибирск, 2006); конференции "Актуальные проблемы механики сплошных сред" (Пермь, 2005); 14-ой зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 2005); конференции молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах" (Пермь, 2005, 2004, 2002); конференции "Актуальные проблемы тепловой конвекции" (Пермь, 2003); международной конферен-

ции по параллельным вычислениям в механике жидкости (Москва, 2003); XI Всероссийской студенческой конференции "Математическое моделирование в естественных науках" (Пермь, 2002). Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-13],

Личный вклад автора, В работах [1, 2, 4-12] автор проводил вычисления и аналитические выкладки, участвовал в выборе теоретической модели, метода решения и обсуждении результатов.

Практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы для разработки методов точного измерения коэффициентов диффузии и Соре в условиях микрогравитации. Результаты, полученные при решении задачи устойчивости фронта вытеснения, интересны с точки зрения изучения процессов, имеющих место при добыче углеводородного сырья.

Содержание и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Общий объем диссертации составляет 128 страниц, В работу включено 36 рисунков и 22 таблицы. Список литературы содержит 121 наименование.

Общее содержание работы

Введение. Во введении представлен обзор литературы, содержание и основные цели диссертационной работы.

Литературный обзор состоит из четырех частей. Первая часть посвящена изучению естественной конвекции в замкнутых областях. В большинстве рассмотренных работ исследуется порог возникновения конвекции в кубической полости и соответствующие нелинейные режимы. Влияние вращения на конвективную устойчивость и возникающие нелинейные режимы исследуются в работах, которые приведены во второй части обзора. В третьей части рассмотрен ряд работ, в которых изучается процесс теп-ломассоперепоса в бинарных смесях. Задачам устойчивости фронта вытеснения в пористой среде посвящена четвертая часть обзора. Из литературного обзора делается вывод об актуальности темы диссертации и новизне решаемых задач.

Первая глава. Численно изучаются трехмерные нелинейные режимы конвекции в кубической полости, подогреваемой снизу. Рассматриваются умеренные числа Релея и три основные числа Прандтля: Рг = 0.71 (воз-

дух), Рг — 1 (вода) и Рг = 250 (трансформаторное масло). Изучаются два вида граничных условий: 1) все границы твердые, боковые грани теплоизолированные, а горизонтальные изотермические; 2) все границы твердые и идеально теплопроводные. Изучается структура различных надкритических движений и исследуется их устойчивость.

Основной уровень неустойчивости равновесия жидкости в подогреваемой снизу кубической полости двукратно вырожден, что является следствием высокой симметрии задачи. В отличии от задачи конвективной устойчивости в сфере, обладающей симметрией С», где вырождение сохраняется и в нелинейной задаче, для конвекции в кубической полости, характеризующейся симметрией С4, учет нелинейных слагаемых должен снять вырождение. Это делает нетривиальным вопрос о структуре конвективных движений при малых надкритичностях.

Исследования надкритических движений в воздухе, воде, этиловом спирте, трансформаторном масле и глицерине, проведенные в работе Д.В. Любимова и Г.Ф. Путина1, показали, что в глицерине стационарное конвективное движение, возникающее за порогом устойчивости равновесия, имеет структуру с осью вала, параллельной одной из горизонтальных диагоналей куба (режим Б2). В жидкости с меньшими значениями числа Прандтля при малых надкритичностях наблюдалось движение с валом, параллельным одной из граней (режим Б1). Проведенный слабонелинейный анализ устойчивости конвективных движений показал, что в случае теплоизолированных боковых граней для всех чисел Прандтля устойчив режим Б!. В случае теплопроводных границ задача решалась приближенно методом Галеркина с двумя базисными функциями, причем рассматривались лишь пределы нулевых и бесконечно больших чисел Прандтля. Оказалось, что при Рг - 0 реализуется движение с валом, параллельным одной из граней, а при Рг = со - режим 52.

В настоящей работе система уравнений с граничными условиями решается численно, методом конечных разностей в естественных переменных. Уравнение Пуассона, определяющее поле давления, решается методом последовательной верхней релаксации, с граничными условиями, получаемыми путем проектирования уравнения Навье-Стокса на нормаль. Для организации вычислений на многопроцессорных компьютерах используются

1 Д.В. Любимов, Г.Ф. Пути». "Надкритические движения в кубической полости", Сб. "Гидродинамика", вып X, ПермьД977.

параллельные алгоритмы, с применением развитой системы параллельного программирования MPI.

Для теплоизолированных и идеально теплопроводных боковых границ обнаружено соответственно шесть и семь различных типов движения, определены критические числа Релея и области устойчивости этих течений. Построены зависимости числа Нуссельта от числа Релея для различных значений числа Прандтля и различных режимов течения. Зависимость чисел Нуссельта от числа Релея для Рг = 0.71 и 7, в случае теплоизолированных боковых границ представлена на рис. 1.

Рис. I. Зависимости числа Нуссельта от числа Релея в случае теплоизолированных боковых границ; Рг~ 1 (а), 0.71 (б); сплошными и штриховыми линиями изображены соответственно устойчивые и неустойчивые режимы конвекции

В виду большого количества противоречий в ранее опубликованных результатах относительно существования и устойчивости режима 52, данному режиму уделялось особое внимание. Результаты вычислений показали, что в случае теплоизолированных границ режим Б2 неустойчив вблизи порога возникновения конвекции и становится устойчивым при На — 70000. Для теплопроводных боковых границ данный режим устойчив вблизи точки кризиса механического равновесия, и при повышении числа Релея теряет устойчивость.

Вторая глава. Рассматриваются трехмерные нелинейные режимы конвекции в кубической полости, подогреваемой снизу и вращающейся относительно вертикальной оси. Все границы области предполагаются твердыми, боковые грани теплоизолированными, а горизонтальные — изотермическими.

Конвекция во вращающихся системах в последнее время привлекает повышенное внимание из-за своих необычных свойств. Известно1, что порог возникновения конвекции во вращающемся относительно вертикальной оси горизонтальном слое, подогреваемом снизу, соответствует большим числам Релея, чем в случае горизонтального слоя с боковыми границами. Данный факт не характерен для случая свободной конвекции, где добавление боковых стенок обычно только повышает устойчивость системы.

Исследован порог возникновения конвекции для умеренных значений чисел Релея и параметра Кориолиса, для трех значений числа Прандтля, Рг — 0.1,0.71 и 7. Обнаружено, что возникновению конвекции всегда соответствуют колебательные моды с волнами, распространяющимися вдоль боковых стенок в направлении, противоположном направлению вращения.

Найдены три различных типа конвективных течений, при этом оказалось, что в зависимости от значения параметра Кориолиса, кризису механического равновесия соответствуют различные режимы движений. Характерной особенностью поведения частоты колебаний является ее уменьшение по мере увеличения надкритичности. При Рг - 0.1 и 0.71 обнаружен переход через гетероклинические колебания от колебательных режимов конвекции к стационарным. Построены зависимости критических чисел Релея и частот колебаний от параметра Кориолиса для различных значений числа Прандтля и различных режимов течения.

Рис. 2. Зависимость критического числа Релея от параметра Кориолиса для Рг =7(а) и Рг =0.1(6)

Диаграммы устойчивости на плоскости число Релея — параметр Кориолиса, для Рг = 7 и Рг = 0.1, представлены на рис. 2. Областям существования стационарных режимов соответствуют области выше штриховой линии.

1 Goldstein, H.F., Knobloch, Е„ Mercader, I. & Net, M. 1993 Convection in a rotating cylinder. Part I. Linear theory for moderate Prandll numbers J. Fluid Mech. 248,583.

9

Третья глава. Изучается процесс тепломассопереноса в бинарных смесях с учетом эффекта Соре при наличии вибрационного воздействия. На основе трехмерных уравнений Навье-Стокса, теплопроводности и концентрации рассмотрены тестовые задачи и проведено моделирование будущих экспериментов в космосе, используя реальные свойства жидкости и значения управляющих параметров. Полученные результаты тестовых задач сравниваются с результатами других научных групп.

Рассматривается термодиффузионная и вибрационная конвекция в однородной бинарной смеси, заполняющей кубическую полость при подогреве сбоку. Направление вибрационного воздействия совпадает с направлением силы тяжести. На двух противоположных боковых стенках поддерживаются постоянные температуры и Тс {Ти > Тс), все остальные грани являются идеально теплоизолированными. Предполагается, что полость имеет твердые непроницаемые для вещества границы.

Система уравнений с граничными условиями решается численно, методом конечных разностей в естественных переменных. Исследование проводилось как в рамках неосредненного подхода (прямого моделирования), так и с использованием метода осреднения. Осредненный подход применялся в случае, когда частота вибраций настолько высока, что толщина характерных пограничных слоев (динамического, диффузионного и теплового) является малой по сравнению с размером полости.

Совместно с другими научными группами выполнена серия тестовых задач. Рассмотрены четыре задачи для различных комбинаций постоянной и переменной компонент силы тяжести и при различных значениях частот вибраций. Изучено влияние вибрационного воздействия с двумя различными частотами: ф-0.2 Гц (период колебаний меньше любого диссипа-тивного времени) и ф = 0.01 Гц (период колебаний сравним с характерным вязким временем).

Проведено моделирования будущих экспериментов в космосе, на основе реальных свойств жидкости и значений управляющих параметров. Эксперименты направлены на изучение влияния вибраций на распределение температуры и концентрации в бинарных смесях в условиях космического полета и создание методов точного измерения коэффициентов диффузии и Соре. Эксперименты предполагается проводить с бинарной смесью, состоящей из 90% воды и 10% изопропанола.

до

Значение постоянной компоненты силы тяжести предполагается в сто раз меньшей, чем переменной =10"4 g0, gos = 10'2#о, где g0 - ускорение свободного падения. На рис. 3 представлены зависимости коэффициента

разделения Соре £Л = (^ - ^СЛхЛ: ^ ^ V 5С от времени; 5С —максимально возможное разделение компонент. Для каждого набора параметров предполагается проведение эксперимента длительностью 18 часов 27

Первый этап (нестационарный процесс сегрегации вследствие эффекта Соре под действием наложенного температурного градиента) эксперимента длится 12 часов 30 минут, второму этапу о-!-^п-.—Ц^—I-[—-,-,17—-'! (диффузия в изотермиче-

0 4 8 12 10 го ч

ских внешних условиях) от-

Рис. 3. Зависимость коэффициента разделения Соре от времени; 1-а1 0.1 Гц; 2 - <у = 0.2 /V; водится 5 часов 57 минут.

3 - со = I Гц ; 4 - о = 3 Гц ; 7ь - Гс=10 К

Длина ребра экспериментальной кубической полости составляет один сантиметр Л = 0.01 м.

Четвертая глава. Рассматривается задача о движении фронта вытеснения двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей, насыщающих пористую среду. Граница раздела жидкостей в основном состоянии движется со скоростью £/, система находится в поле поступательных линейно поляризованных вибраций с частотой со и амплитудой а. Для описания фильтрации каждой из жидкостей используются уравнения Дарси.

Одной из актуальных задач в исследовании процессов добычи углеводородного сырья является моделирование движения фронта вытеснения при фильтрации несмешивающихся жидкостей. В силу различных причин фронт вытеснения может терять устойчивость, что проявляется в образовании так называемых «пальцев»1. В литературе имеется достаточно большое число работ, посвященных вязкому пальцеобразованию, обуслов-

1 Баренблатт Г.И., Елтов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М.; Недра, 1972.288 с,

ленному значительным отличием вязкостей вытесняющей и вытесняемой жидкостей. Однако действие переменных условий на формирование и развитие неустойчивости фронта вытеснения исследовано недостаточно.

В настоящей работе изучается влияние линейно поляризованных вибраций на устойчивость плоского фронта вытеснения в пористой среде. Построена теоретическая модель, позволяющая описать поведение системы двух жидкостей, насыщающих пористую среду, в поле вибраций. Показано, что динамика плоского фронта вытеснения под воздействием вибраций описывается уравнением Матье с диссипативным слагаемым. Для случая высокочастотных вибраций, используя стандартный метод осреднения, исследована задача устойчивости; показано, что в зависимости от параметров задачи возможна как стабилизация, так и дестабилизация плоского фронта вытеснения.

Получено, что инкременты возмущений описывается выражением:

, _ УЪ-Ъь___Аг

£ 772 +7, £(*71 + Ъ)[(А + А)2 + еЧт+Щ)2 К'2Ф2]

где р - плотность; е - коэффициент пористости; К - проницаемость; т} ~ динамическая вязкость жидкости, к — волновое число; индексу 1 и 2 соответствуют вытесняющая и вытесняемая жидкости. Первое слагаемое в выражении описывает инкременты возмущений плоского фронта вытеснения в отсутствие вибраций. При этом устойчивость фронта определяется только знаком разности динамических вязкостей (устойчивость, если более вязкая жидкость вытесняет менее вязкую, й неустойчивость, если менее вязкая вытесняет более вязкую), что является хорошо известным фактом. Второе слагаемое, определяющее влияние вибраций на устойчивость фронта, является знакоопределенным и отрицательным. Таким образом, вибрации повышают устойчивость фронта.

Используя метод численного построения фундаментальной системы, проведены расчеты для случая конечно-частотных вибраций. Найдены области параметрической неустойчивости. Обнаружено, что в зависимости от параметров задачи возможна как стабилизация, так и дестабилизация плоского фронта вытеснения. При вычислениях использовались следующие безразмерные параметры:

ХЪ+Ъ^ л_а(о\рх-рг)К Щ^-ц^к ЛЧа + р^ш' и(ъ-чг) ' К(р,+р2)а>2

На рис. 4 представлена зависимость инкремента возмущений от параметра Результаты, полученные в высокочастотном пределе и для случая конечных частот вибраций, совпадают при малых значениях \У, т.е. в той области, где применим метод осреднения. Во всем диапазоне использованных параметров наблюдалось согласие в значениях критических волновых чисел и характерных времен роста возмущений, полученных различными методами.

Основные результаты

1. Изучена структура и устойчивость различных надкритических движений, возникающих в кубической полости при подогреве снизу, для трех основных значений чисел Прандтля: Рг ~ 0.71 (воздух), 7 (вода) и 250 (трансформаторное масло).

2. Для теплоизолированных и идеально теплопроводных боковых границ, обнаружено соответственно шесть и семь различных типов движения, определены критические числа Релея и области устойчивости этих течений.

3. Построена зависимость чисел Нуссельта от числа Релея для различных значений числа Прандтля и различных режимов течения. В случае теплоизолированных боковых границ время нарастания возмущений оказывается достаточно велико, что дает возможность характеризовать часть неустойчивых режимов.

4. Исследовано влияние вращения относительно вертикальной оси на устойчивость механического равновесия в кубической полости, подогреваемой снизу. Все границы области предполагались твердыми, боковые грани теплоизолированными, а горизонтальные изотермическими. Для числа Прандтля, равного семи, найдены три различных

13

Рис. 4. Зависимость А от XV, для А = 947.5, <т= 0.7 (система вода-нефть, насыщающей глинистый грунт). 1 - конечные частоты, 2 - высокочастотный предел, 3 - отсутствие вибрационного воздействия

вида устойчивых надкритических режимов течения, а для Рг = 0.1 и 0.71 - два. Для всего диапазона рассмотренных параметров критическому числу Релея соответствует колебательные режимы.

5. Обнаружено, что вращение повышает устойчивость системы, и критическое число Релея монотонно возрастает по мере увеличения параметра Кориолиса. Построены диаграммы устойчивости на плоскости число Релея - параметр Кориолиса.

6. Найдено, что характерной особенностью поведения частоты колебаний является ее уменьшение по мере увеличения надкритичкости. При /V = 0.1 и 0.71 обнаружен переход через гетероклинический контур от колебательных режимов конвекции к стационарным.

7. Исследовано влияние вибрационного воздействия на процесс тепло-массопереноса в бинарных смесях с учетом эффекта Соре. Рассматривается термодиффузионная и вибрационная конвекция в однородной бинарной смеси в кубической области, на двух противоположных боковых стенках которой поддерживаются постоянные температуры Г* и Тс (Ть > Тс), все остальные грани являются идеально теплоизолированными, предполагается, что полость имеет твердые непроницаемые для вещества границы. Направление вибрационного воздействия совпадает с направлением силы тяжести. Рассмотрены четыре задачи для различных комбинаций постоянной и переменной компонент силы тяжести и при различных значениях частот вибраций. Изучено влияние вибрационного воздействия с двумя различными частотами: со — 0.2 Гц (период колебаний меньше любого дис-сипативного времени) и о = 0.01 Гц (период колебаний сравним с характерным вязким временем).

8. Проведено моделирование будущих экспериментов в космосе на основе реальных свойств жидкости и значений управляющих параметров. Эксперименты направлены на изучение влияния вибраций на распределение температуры и концентрации в бинарных смесях в условиях космических полетов и создание методов для точного измерения коэффициентов диффузии и Соре.

9. Изучено влияние линейно поляризованных вибраций на устойчивость плоского фронта вытеснения в пористой среде. Построена теоретическая модель, позволяющая описать поведение системы двух жидкостей, насыщающих Пористую среду, в поле линейно по-

ляризованных высокочастотных вибраций. Рассмотрена задача устойчивости движения плоского фронта вытеснения, движущегося с постоянной скоростью, при действии высокочастотных вибраций, нормальных к фронту. Направление движения фронта совпадает с осью вибраций. Построена зависимость инкремента возмущений от длины волны. Обнаружено критическое волновое число, такое, что все возмущения с большими волновыми числами затухают со временем. Оценено характерное время роста для наиболее быстро растущих возмущений.

Ю.Проведены численные расчеты для случая конечно-частотных вибраций. Показано, что динамика плоского фронта вытеснения под воздействием вибраций описывается уравнением Матье с диссипа-тивным слагаемым. Найдены области параметрической неустойчивости. Обнаружено, что в зависимости от параметров задачи возможна как стабилизация, так и дестабилизация плоского фронта вытеснения.

Список публикаций

1. Любимов Д.В., Седельников Г.А. Влияние вибраций на устойчивость плоского фронта вытеснения в пористой среде // Изв. РАН, МЖГ, №1, 2006. С. 6-14. Перевод Lyubimov D.V. and Sedel'nikov G. A. Effect of Vibration on the Stability of a Plane Displacement Front in a Porous Medium// Fluid Dynamics, Vol. 41, No. 1,2006, p. 3-U.

2. Любимов Д.В., Седельников Г.А. Численное исследование трехмерных нелинейных режимов конвекции // Гидродинамика, Пермь, 2005, С. 60-74.

3. Седельников Г.А. Конвекция во вращающейся кубической полости. Тезисы IX Всероссийского съезда по теорет. и прикл. механике. Н. Новгород, том II. 2006. С. 154.

4. Sedelnikov G.A., Busse F., Lyubimov D. V. Convection in a rotating cubical cavity // Тезисы АРМ, Санкт-Петербург. 2006. С. 73.

5. Седельников Г.А., Буссе Ф., Любимов Д.В. Конвекция во вращающейся кубической полости // Тезисы ВНКСФ, Новосибирск, 2006. С. 683-684.

6. Lyubimov D.V., Lyubimova Т.Р., Sedelnikov G.A. Numerical investigation of three-dimansional convective flows in horizontal canals // Internais

tional Conference on Parallel Computational Fluid Dynamics, Moscow, Russia, 2003. Book of Abstracts, p. 327-328.

7. Lyubimov D.V., Lyubimova T.P.; Morozov V.A., Scuridin R.V., Sedel-nikov G.A. Stability of advective flows in a horizontal channel of rectangular cross-section // International Conference Advanced Problems in Thermal Convection, Perm, Russia, 2003. Book of Abstracts, p.155-156.

8. Любимов Д.В;, Седельников Г.А. Влияние вибраций на устойчивость плоского фронта вытеснения в пористой среде // Тезисы 14-ой Зимней школы по механике сплошных сред. Пермь, 2005. С. 207.

9. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Седельников Г.А. Численное исследование трехмерных режимов конвекции в горизонтальном канале прямоугольного сечения и в замкнутой полости // Материалы XI Всероссийской студенческой конференции "Матем. моделирование в естественных науках". Пермь, 2002. С. 31-32.

10.Любимов Д-В., Седельников Г.А. Трехмерные режимы конвекции в кубической полости // Актуальные проблемы механики сплошных сред. Пермь, 2005. С. 89-91.

11 Любимов Д.В., Седельников Г.А. Влияние высокочастотных вибраций на устойчивость плоского фронта вытеснения в пористой среде // Конференция молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах". Пермь, 2004. С. 87-88.

12.Любимов Д.В., Седельников Г.А. Нелинейные режимы конвекции в кубической полости // Конференция молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах". Пермь, 2005. С. 63-64

13.Седельников Г.А. Трехмерные режимы конвекции в горизонтальном канале // Конференция молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах". Пермь, 2002. С. 116-117.

Подписано в печать 30.09. 2006 г. Формат 60x84/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0.9. Тираж 100 экз. Заказ № ш Отпечатано на ризографе ООО Учебный центр "Информатика" 614990 г. Пермь, ул. Букирева, 15.

Введение

Обзор литературы

Общая характеристика работы

I. Конвекция в кубической полости

§ 1. Постановка задачи

§2. Обсуждение результатов

Теплоизолированные боковые границы

Теплопроводные боковые границы

Обзор литературы

Конвекция в кубической полости. Устойчивость конвективных течений в кубической полости исследовалась как экспериментально, так и теоретически. Эксперименты [1-2] были выполнены с водой, заполняющей кубическую полость в плексигласовом блоке (отношение теплопроводностей составляет 3.26). Обнаружены различные типы движения, определены критические числа Релея и области существования этих течений. В работе [3] методом Галеркина, для двух предельных случаев граничных условий - бесконечно проводящих и теплоизолированных границ найдены критические числа Релея, соответствующие уровням неустойчивости, наблюдавшимся в [1-2].

Экспериментальное исследование надкритических движений в воздухе в кубической области с медными стенками проведено в [4]. Полученные в работе критические числа Релея для двух нижних уровней спектра неустойчивости оказались близки к значениям, теоретически предсказанным в [3].

В работе [5] проведен линейный анализ устойчивости механического равновесия в полости, имеющей форму параллелепипеда. Границы области предполагались твердыми и идеально теплопроводными. Рассматривались возмущения в виде "одноэтажной" системы конвективных валов, оси которых направлены вдоль одной из горизонтальных граней. Использовался метод Галеркина с аппроксимирующими функциями, построенными на основе полиномов. Обнаружено, что критическое число Релея зависит от геометрических параметров (отношение ширины и длины к высоте), количества конвективных валов и их ориентации, и не зависит от числа Прандтля.

Показано, что во всех случаях наиболее опасными являются возмущения в виде набора валов с осями, параллельными короткому ребру основания параллелепипеда, а число валов существенно зависит от геометрических параметров. Отмечено, что при увеличении относительной ширины и длины области критическое число Релея стремится к значению = 1708, соответствующему порогу возникновения конвекции в бесконечном горизонтальном слое.

В случае кубической полости с идеально теплопроводными боковыми границами при подогреве снизу кризису механического равновесия соответствует число Релея, равное Rac = 6974 [6]. Экспериментально данное значение было получено в работе [7], где проведено исследование естественной конвекции в области, имеющей форму параллелепипеда. В экспериментах использовалась области с отношением длины / к высоте h, изменяющимся в диапазоне 0.25 < l/h < 6. Получено полное согласие с результатами линейной теории [5].

Порог возникновения конвекции в кубической полости с теплоизолированными боковыми гранями изучен в работе [8]. Показано, что при теплоизолированных вертикальных границах критическое число Релея заметно ниже, чем в случае идеально теплопроводных боковых граней, и составляет Rac = 3446. Это теоретическое значение хорошо согласуется с результатами экспериментов, описанных в работе [9].

Основной уровень неустойчивости равновесия жидкости в подогреваемой снизу кубической полости двукратно вырожден, что является следствием высокой симметрии задачи. В отличие от задачи конвективной устойчивости в сфере [10], обладающей симметрией С*,, где вырождение сохраняется и в нелинейной задаче, для конвекции в кубической полости, характеризующейся симметрией С4, учет нелинейных слагаемых должен снять вырождение. Это делает нетривиальным вопрос о структуре конвективных движений при малых надкритичностях.

Надкритические движения в воздухе, воде, этиловом спирте, трансформаторном масле и глицерине исследовались в работе [11]. Найдено, что в глицерине стационарное конвективное движение, возникающее за порогом устойчивости равновесия, имеет структуру вала с осью, параллельной одной из горизонтальных диагоналей куба (режим S2). В жидкостях с меньшими значениями числа Прандтля при малых надкритичностях наблюдалось движение с валом, параллельным одной из граней (режим S1), с возрастанием надкритичности переходящее в движение типа S2. Проведен слабонелинейный анализ устойчивости ч конвективных движений, построена фазовая диаграмма поведения конечных возмущений. Показано, что в случае теплоизолированных боковых граней для всех чисел Прандтля устойчиво движение типа S1. В случае теплопроводных границ задача решалась приближенно методом Галеркина с двумя базисными функциями, причем рассматривались лишь пределы нулевых и бесконечно больших чисел Прандтля. Оказалось, что при Рг = О реализуется движение с валом, параллельным одной из граней, а при Рг -> со - режим S2.

В работе [6] для кубической полости с адиабатическими боковыми гранями численно получены оба ранее описанных режима конвекции (S1 и S2). Новая конвективная структура, появляющаяся при конечной надкритичности, и характеризующаяся тороидальной формой вала, с течением, опускающимся около всех вертикальных границ и поднимающимся в центре куба (режим S4), численно обнаружена в [12].

Численное исследование конвекции в кубической полости с адиабатическими вертикальными стенками для умеренных чисел Релея и трех различных чисел Прандтля Рг = 0 .71, 10 и 130 проведено в [13]. Для различных значений управляющих параметров были получены семь типов течений. Однако, результаты, представленные в этой работе, имеют большое количество разногласий с другими экспериментальными и теоретическими работами [И, 14 - 16]. В частности, основным недостатком, по-видимому, является стабилизирующий эффект численного пакета 3DINAMIC, и как результат - устойчивость некоторых режимов течений, которые не могут быть устойчивы, исходя из простых физических соображений.

В работе [15] проведено численное исследование устойчивости стационарных конвективных течений, возникающих в воздухе, заполняющем кубическую полость, подогреваемую снизу. В качестве численного метода использовался спектральный метод Галеркина. Используя метод продолжения по параметру, определены области существования различных устойчивых режимов конвекции и построены бифуркационные диаграммы. Число Релея изменялось в диапазоне /?а<1.5П105. Обнаружено, что несколько устойчивых режимов конвекции могут сосуществовать в различных диапазонах значения числа Релея.

Численное исследование трехмерной конвекции в кубической области при нагреве снизу, с использованием методов высокого порядка, предложенных в [16], проведено в [17]. Для числа Прандтля Рг = 0Л (воздух) и Ra = 104, 105 и 106 получены значения скорости, температуры, функции тока, завихренности и числа Нуссельта.

Экспериментальное исследование конвекции в кубической области произвольной ориентации относительно силы тяжести проведено в работах [18, 19]. Для различных углов ориентации области изучена структура течений и измерен теплопоток через границы области в диапазоне чисел Релея 104 <Ra < 3 ПО8. Авторы работы предлагают использовать полученные результаты в качестве тестовой задачи.

Исследование конвекции в замкнутых полостях, подогреваемых сбоку, берет свое начало с работы [20], где экспериментально изучалось влияние вертикальных границ, поддерживаемых при различных температурах, на процесс теплопереноса. Одно из первых численных исследований трехмерной конвекции на основе уравнений Навье-Стокса в прямоугольной области при подогреве сбоку было проведено в работе [21]. На границах предполагалось условие прилипания для скорости, и условие идеальной теплопроводности для температуры. Изучены основные характеристики и структура течения при различных значениях чисел Прандтля и Релея.

Экспериментальное и численное исследование режимов конвекции в кубической полости при подогреве сбоку проведено в [22]. Эксперименты были проведены с использованием 87% раствора глицерина (Рг= 1109) в качестве рабочей жидкости при числе Релея Ra = 1.66 [105 в области 5x5x5 см3. Численные расчеты проводились на основе трехмерных уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска, методом конечных разностей. Отмечается, что результаты, полученные в эксперименте и в ходе численного моделирования, хорошо согласуются.

Результаты численного решения трехмерных уравнений Навье-Стокса в кубической полости, подогреваемой сбоку, для задачи тепловой гравитационной конвекции представлены также в [23]. В работе приводятся описание тестового примера и ряда характеристик (числа Нуссельта, профили компонент скорости и температуры, изолинии температуры в различных плоскостях), а также сравнение их с результатами других авторов.

Конвекция во вращающейся замкнутой полости. Конвекция во вращающемся относительно вертикальной оси бесконечном горизонтальном слое, подогреваемом снизу, впервые была изучена Чандрасекаром (Chandrasekhar) еще в середине прошлого века. Основные результаты его работы представлены в известной книге [24]. В третьей главе монографии исследовано влияние вибраций на линейную устойчивость конвекции Релея-Бенара (Rayleigh-Benard). Был обнаружен интересный факт, что в жидкостях с малыми числами Прандтля, при достаточно сильном вращении, конвекция возникает в виде модифицированных инерционных колебаний с частотой, сопоставимой с частотой вращения слоя. Критическое число Релея, соответствующее возникновению конвекции, возрастает пропорционально (/V т)4/3.

Характерной особенностью конвекции вблизи боковых границ является распространение возмущений в виде бегущей волны. Направление распространения определяется выражением Qхп, где Q - частота вращения, а п - нормаль к грани, направленная внутрь жидкости. Конвективные возмущения распространяются равномерно, как синусоидальная волна вдоль боковых границ.

В работе [25] в рамках линейной теории показано, что порог возникновения конвекции во вращающемся относительно вертикальной оси неограниченном горизонтальном слое, подогреваемом снизу, соответствует большим числам Релея, чем в случае горизонтального слоя с боковыми границами. Это явление не характерно для случая свободной конвекции, где добавление боковых стенок обычно только повышает устойчивость системы. Конвекция с учетом влияния вертикальных границ ранее была численно изучена в [26, 27], но авторы не упоминали о том, что в данном случае кризис механического равновесия нарушается раньше, чем в случае конвекции в бесконечном горизонтальном слое.

Конвекция в горизонтальном слое конечной длины, подогреваемом снизу и вращающемся относительно вертикальной оси, рассмотрена независимо в [28] и [29]. В работе [28] для различных тепловых условий на боковых гранях получены асимптотические выражения для критических чисел Релея в пределе больших значений параметра Кориолиса. Показано, что в случае теплоизолированных боковых границ критическое число Релея, соответствующее порогу возникновения конвекции, пропорционально первой степени параметра Кориолиса т. Идеально теплопроводным границам соответствует возрастание критического числа Релея пропорционально т4/3. Отметим, что в случае бесконечного горизонтального слоя [24] наблюдалась аналогичная зависимость, но с меньшим коэффициентом пропорциональности.

Одна из первых успешных попыток применить метод малых возмущений в задачах, связанных с вращением, была осуществлена при решении задачи устойчивости конвективного равновесия во вращающейся сфере при подогреве снизу [30]. В работе продемонстрирован переход от тепловых режимов к конвекции, связанной с экваториальными модами. Используя эту методику, в работе [31] исследован порог возникновения конвекции в форме инерционных волн во вращающейся сфере с теплоизолированной границей. Найдена аналитическая зависимость между критическим числом Релея и интенсивностью вращения для различных азимутальных мод.

Аналитическое решение также удалось найти в задаче о вращающемся относительно вертикальной оси симметрии узком цилиндрическом кольце, подогреваемом снизу [32]. Получено выражение, связывающее критическое число Релея с азимутальным волновым числом и параметром Кориолиса.

Большое количество работ, посвященных экспериментальному исследованию бегущих волн, возникающих в результате вращения, в задачах Релея-Бенара, опубликовано Робертом Еке (R. Ecke). Работы [33, 34] посвящены изучению бегущих вдоль боковых граней волн в цилиндрической ячейке, заполненной водой {Рг = 6.3). Используя одновременно оптический теневой метод и измерения теплового потока и локальных температур, изучалась устойчивость конвективного равновесия и надкритические режимы. В [33] подробно рассмотрен случай г = 274, показано, что возникающие режимы хорошо описываются одномерным комплексным уравнением Гинзбурга-Ландау, соответствующие коэффициенты которого были определены, используя результаты эксперимента. В [34] изучается динамика бегущих волн, в той же поставке задачи, но уже для целого диапазона безразмерных частот 60<т<420. Полученные экспериментальные результаты хорошо согласуются с предсказаниями линейной теории [25, 28, 29].

В исследовании [35] рассматривалась цилиндрическая ячейка с отношением радиуса к высоте, равным 2.5, заполненная водой, при вариации параметра Кориолиса в диапазоне 150<х<8800. Обнаружено, что переход от конвективного равновесия к надкритическим режимам происходит через бифуркацию Хопфа.

В работе [36] в цилиндрической ячейке для диапазона параметра Кориолиса 140< т <4300, экспериментально изучен переход от конвективного равновесия к азимутально-асимметричным режимам с различным количеством валов. В эксперименте использовалась вода при температуре 23.8°С, радиус ячейки брался равным высоте, и равнялся 5 см. Наблюдались конвективные структуры с различным азимутальным волновым числом (от 3 до 7 конвективных валов), с частотами колебаний, существенным образом зависящими от числа Релея и параметра Кориолиса.

Влияние отношения радиуса цилиндрической ячейки к высоте на порог возникновения конвекции изучено в [37]. Для диапазона изменения параметра Кориолиса 0<т<2150 найдены критические числа Релея и частоты колебаний, соответствующие различным волновым числам.

Целый цикл экспериментальных работ [38-40] посвящен изучению устойчивости равновесия и процессов теплопереноса во вращающейся криогенной жидкости 4Не, заполняющей цилиндрическую ячейку. В первой части цикла [38] исследовалось влияние вращения на порог возникновения конвекции для значений параметров: 0<т<200, 0.49 <Рг< 0.76. Изучению теплового потока при варьировании параметра Кориолиса от нуля до шестисот в надкритических режимах конвекции посвящена вторая часть [39]. Влияние геометрического параметра (отношение радиуса ячейки к высоте) на порог устойчивости механического равновесия рассматривалось в третьей части [40].

Экспериментальное исследование турбулентных режимов конвекции в цилиндрической ячейке, заполненной водой, проведено в [41]. В достаточно широкой области параметров Кориолиса 0<т<5х104 о для числа Релея Ra = 3.2x10 наблюдались поля скорости и температуры. Для описания поведения системы использовалось безразмерное число Россби (Rossby) [42], характеризующее отношение характерного времени, связанного с вращением, к характерному тепловому времени.

Ro 4c~r Jg/JAT/h ° 2х 2Q

Для /?о» 1 наблюдались турбулентные режимы конвекции, аналогичные режимам, существующим в отсутствие вращения. При Ro~ 1 преобладают конвективные структуры с циклонической направленностью, с редкими антициклоническими включениями. С уменьшением числа Россби число антициклонически закрученных структур увеличивается.

В нелинейных режимах, при наличии вращения, пожалуй, самым интересным эффектом является неустойчивость Купера-Лортца (KL, Kiippers-Lortz). Если интенсивность вращения превышает некоторый определенный порог, то течение с семейством параллельных валов становится неустойчивым по отношению к другому набору параллельных валов, но повернутых относительно первых на определенный угол. В тоже время, новое состояние само оказывается неустойчивым по отношению к подобным же возмущениям, что в результате приводит к довольно сложному поведению системы непосредственно за порогом возникновения конвекции. Данный эффект был аналитически обнаружен в 1969 году и исследован в работе [43]. Рассматривался предельный случай жидкости с бесконечным числом Прандтля, заполняющей бесконечный горизонтальный слой со свободными границами, вращающийся относительно вертикальной оси.

В теоретическом исследовании [43] не было уделено внимание пространственным структурам, возникающим при потере устойчивости конвективного равновесия. Данный пробел был восполнен нелинейным исследованием [44], где изучено влияние числа Прандтля и безразмерной частоты вращения на угол между доменами, устанавливающейся в надкритических режимах. Показано, что в зависимости от управляющих параметров доменный угол может изменяться в диапазоне от 10 Од о 60 □

Впервые экспериментально неустойчивость Купера-Лортца наблюдалась в работе [45]. В качестве рабочей жидкости была использована вода, заполняющая цилиндрическую ячейку. Для визуализации течений применялся теневой метод, рассматривались большие надкритичности е - Ra/Rac — 1 > 0.5 и отношения радиуса ячейки к высоте Г. Обнаружено, что для чисел Релея, существенно превышающих Rac, критическое значение параметра Кориолиса заметно ниже, чем теоретически предсказано в [43]. Заниженное значение критической интенсивности вращения наблюдалась так же и в работе [46] для е = 0.1 и Г= 15, однако было получено хорошее согласие между экспериментальными и теоретическими данными в значениях углов между доменами, образующимися в надкритических режимах.

Экспериментальное исследование неустойчивости Купера-Лортца в углекислом газе, заполняющем вращающуюся цилиндрическую ячейку, проведено в [47]. Рассматривались две ячейки с отношением радиуса к высоте, равным 40 и 23, в которых находился газ С02 под давлением 33.1 бар и 16.6 бар, с числами Прандтля 0.93 и 0.83 соответственно. Параметр Кориолиса изменялся в диапазоне значений от 6 до 20. Обнаружено, что для т < 8 устойчиво течение с плоскопараллельными валами, при 8 < х < 10.5 оно становится неустойчивым относительно KL моды, и на фоне основного течения начинают возникать дислокационные дефекты. При т>10.5 наблюдалось спонтанное возникновение KL доменов во всей ячейке. В работе приведены зависимости частот колебаний, длины корреляции и доменных углов от величины надкритичности и интенсивности вращения.

Переход от состояния конвективного равновесия непосредственно к турбулентным режимам во вращающихся криогенных жидкостях экспериментально изучен в работе [48]. На основе оптических методов и измерения теплового потока изучались турбулентные режимы конвекции, возникающие в результате неустойчивости Купера-Лортца. В работе также представлены результаты влияния интенсивности белого шума на процессы развития неустойчивости.

В работе [49] резюмированы основные результаты, известные на момент написания статьи (1998 год), для конвекции во вращающихся системах. Приведены различные диаграммы устойчивости, элементы слабонелинейного анализа, визуализации полученных в экспериментах течений и фазовые портреты, характеризующие формирование гетероклинических орбит, соответствующих неустойчивости Купера-Лортца.

Численное исследование естественной конвекции во вращающейся кубической полости в центральном поле тяжести проведено в [50]. Изучено влияние силы Кориолиса и центробежной силы, угла наклона области, расстояния до силового центра и частоты вращения на структуру течения и тепловые характеристики режимов.

Влияние вибраций на процесс термодиффузии. Решения феноменологических уравнений термодиффузии получены и детально обсуждены в [51]. В работе для понимания механизмов процесса термодиффузии был сделан ряд предположений, приведших в результате к хорошо известному результату, что в бинарной смеси между холодной и горячей стенками, находящимся на расстоянии L, характерное время перехода к установившемуся распределению концентрации составляет dt=L2/KD, где D - коэффициент диффузии. В связи с тем, что обычно D~ 10"5 см/с, значение St получается достаточно большим. Однако, в экспериментальной работе [52] с помощью оптического метода было обнаружено, что распределение концентрации очень быстро меняется вблизи границ области при появлении неоднородного подогрева. В [53], используя разложение решения в ряд Фурье, было показано, что градиент концентрации вблизи границ области появляется на самых ранних этапах процесса термодиффузии. Получен закон изменения концентрации на начальном этапе, и продемонстрировано, что он существенно отличается от соответствующего закона, описывающего релаксационную стадию.

В работе [54] выведены и обсуждены основные уравнения, описывающие слабые гравитационно-температурные и гравитационно-концентрационные конвективные явления в бинарной смеси. Используются уравнения гидродинамики для бинарной смеси, в которых производятся пренебрежения, допустимые схематизацией, аналогичной принятой в теории слабой гравитационной конвекции. При этом делалось предположение, что параметры системы не сильно отличаются от равновесных значений.

Задача устойчивости равновесия бинарной смеси, заполняющей круглый вертикальный цилиндр, рассмотрена в [55]. Получены уравнения малых возмущений, определен порог возникновения конвекции, при этом рассматривались только монотонные возмущения. В кандидатской диссертации [56] показано, что если характеристики смеси удовлетворяют определенным неравенствам, то колебательные возмущения, в самом деле, отсутствуют, и порог возникновения конвекции определяется только монотонными возмущениями.

Влияние эффекта Соре на порог устойчивости равновесия плоского вертикального слоя бинарной смеси в поле тяжести изучено в [57]. Определены границы возникновения конвекции и характеристики критических возмущений в широком диапазоне определяющих параметров задачи. При исследовании спектра возмущений обнаружено, что в отличие от случая однородной среды [58], возможна неустойчивость как относительно монотонных, так и относительно колебательных возмущений. Показано, что вследствие конкуренции диффузии и теплопроводности при определенных условиях, состояние равновесия, в котором градиент плотности направлен вдоль силы тяжести, может оказаться неустойчивым.

Одной из первых работ, посвященных изучению вибрационных воздействий на процессы диффузии в пределе высоких частот и малых амплитуд, была работа [59], где в рамках осредненного подхода рассмотрена вибрационная конвекция в бинарной смеси, заполняющей плоский горизонтальный слой при продольной ориентации оси вибраций относительно слоя. Обнаружено, что в случае линейных продольных вибраций, термогравитационный и термовибрационный механизмы возбуждения конвекции взаимодействуют между собой, а границы устойчивости существенно зависят от параметра термодиффузии. Нормальный эффект Соре характеризуется сильно выраженной дестабилизацией равновесия, вызываемой монотонными возмущениями, в то время, как при аномальной термодиффузии появляется колебательная неустойчивость и по мере увеличения абсолютной величины коэффициента Соре наблюдается стабилизация. С увеличением интенсивности вибрационного воздействия область устойчивости квазиравновесия уменьшается. Аналогичная задача, но в случае поперечных вибраций рассмотрена в работе [60]. Случай поперечных вибраций отличается тем, что специфический вибрационный механизм конвективной неустойчивости не действует и вибрация играет лишь стабилизирующую роль. Основные результаты работ [59, 60] на русском языке опубликованы совместно в труде [61].

Влияние ориентации высокочастотных и малоамплитудных вибраций на порог устойчивости механического равновесия бинарной смеси, заполняющей бесконечный горизонтальный слой, при наличии вертикального градиента температуры, изучено в работе [62]. Построены диаграммы устойчивости и бифуркационные диаграммы.

Нелинейные режимы термовибрационной конвекции двухкомпонентной смеси с учетом эффекта термодиффузии Соре изучены в [63]. Исследованы вторичные режимы, возникающие в результате неустойчивости механического равновесия в плоском горизонтальном слое, в случае продольных высокочастотных вибраций. Обнаружено, что аномальной термодиффузии соответствует жесткий характер возбуждения колебательной неустойчивости. В надкритической области исследованы структуры установившихся режимов конвекции и определены характеристики теплопереноса для типичных газовых и жидкостных смесей.

В работах [64, 65] показана необходимость учета эффекта термодиффузии при решении задач в области материаловедения, в частности, при изучении процессов кристаллизации. В [64], используя функции Грина, в одномерной постановке задачи, найдены аналитические и численные решения уравнений термодиффузии, позволяющие описать как релаксационную стадию, так и быстрое изменение концентрации на начальном этапе.

Численное исследование влияния осцилляций силы тяжести на распределение примеси расплава в ходе направленной кристаллизации, используя неосредненные уравнения диффузии, проведено в [66]. Показано, что влияние на поведение системы оказывают все три характеристики вибраций (амплитуда, частота и ориентация), при этом основное течение генерируется лишь той компонентой вибраций, которая направлена вдоль градиента плотности.

Численное моделирование процесса измерения коэффициентов диффузии в условиях пониженной силы тяжести в двумерной постановке задачи проведено в [67]. С помощью осредненного подхода изучалась конвекция в бинарной смеси, заполняющей квадратную область с двумя адиабатическими горизонтальными стенками и двумя вертикальными границами, поддерживаемыми при различных, но постоянных температурах. Рассматривалась смесь, состоящая из 20% метана и 80% бутана. Для двух направлений вибраций (параллельно и перпендикулярно градиенту температуры) построены зависимости относительной разности максимального и минимального значения концентрации бутана от времени и изучены изолинии полей концентрации, температуры и функции тока.

Изучение свободной и вибрационной конвекции, возникающей благодаря постоянной и быстро осциллирующей силе тяжести, в типичных условиях для измерения коэффициентов диффузии в бинарных смесях при изотермических условиях проведено в [68]. Безразмерные и осредненные уравнения численно интегрируются для различных интенсивностей вибраций и значений величины постоянной силы тяжести. Приводятся временные зависимости значения концентрации и значения полученных коэффициентов диффузии для различных значений управляющих параметров. Похожая задача рассмотрена в [69], но при решении использовался подход, учитывающий, что в системе есть два характерных времени (two-time-scale analysis), применимый в пределе высокочастотных вибраций.

Первые эксперименты по измерению коэффициентов диффузии, проводимые на борту международной станции МИР с использованием Канадской платформы MIM, подробно описаны в [70]. Показано, что коэффициент диффузии, измеренный в условиях пониженного уровня гравитации, меньше, чем соответствующее значение, полученное в наземных экспериментах. Обнаружено, что в жидких расплавах Pb-(Ag, Au, Sb), Sb-(Ga, In), Bi-(Ag, Au, Sb), Sn-(Au, Sb), Al-(Fe, Ni, Si), и In-Sb, при подавлении вибраций, коэффициент диффузии пропорционален температуре в первой степени, в то время как в присутствии вибраций, он пропорционален квадрату температуры. Более того, при увеличении интенсивности вибраций, измеряемое значение коэффициента диффузии тоже увеличивается.

Изучение вибрационно-копвективных течений, возникающих в прямоугольной ячейке, заполненной однородной жидкостью (Рг = 20), в условиях, соответствующих космическим экспериментам, проведено в работе [71]. Используя трехмерные уравнения термодиффузионной конвекции, рассмотрено влияние как больших, так и малых частот (10

3 Гц) осцилляции переменной компоненты силы тяжести на характеристики тепломассопереноса, интенсивность и структуру конвективных течений. Особое внимание уделяется траекториям частиц жидкости, анализ которых позволяет отслеживать изменение структуры течения при изменении уровня вибрационного воздействия.

В работах [72, 73] исследовано влияние вибраций на неоднородные среды и разработан теоретический подход для описания поведения поверхностей раздела в поле высокочастотных вибраций.

Устойчивость фронта вытеснения. Впервые задача о конвекции в пористой среде рассмотрена в [74]. В работе рассматривалась задача линейной устойчивости горизонтального слоя жидкости в пористой среде при наличии вертикального градиента температуры. При проведении анализа устойчивости использовалось приближение Буссинеска. Авторами так же была проведена серия экспериментов, которая дала резко отличающиеся от теоретических предсказаний результаты. Позднее в работе [75] было показано, что в большинстве предыдущих работ неверно определялся коэффициент эффективной температуропроводности насыщенной пористой среды. Проведенные опыты показали хорошее согласие с исправленной теорией.

В работе [76] впервые было предложено вместо ньютоновской силы вязкого трения применять силу сопротивления Дарси, пропорциональную первой степени скорости. Используя приближение Буссинеска, получено, что критическое число Релея для непроницаемых изотермических твердых границ составляет Rac = 39.5. В случае, когда верхняя граница свободна и проницаема, а нижняя твердая и непроницаемая, порогу возникновения конвекции соответствует Rac = 27 Л.

Исследование зависимости критерия возникновения конвекции от теплопроводности массива, окружающего пористую среду, проведено в [77]. Рассматривался плоский горизонтальный слой пористой среды, ограниченный сверху и снизу бесконечными однородными массивами. Обнаружено, что при уменьшении теплопроводности граничных массивов устойчивость монотонно понижается, а длина волны критических возмущений растет.

Экспериментальное исследование теплопотока в пористой среде, заполняющей горизонтальный слой с изотермическими границами, подогреваемый снизу, проведено в [78]. При проведении экспериментов использовались стеклянные сферы диаметром 3, 5, 8, 18 мм и шарики из пластика (styropor) 6 мм. Результаты работы подтверждают теоретическое предсказание, что конвекция возникает при критическом числе Релея, равном Rac = 4л. Позднее в работах [79, 80] эксперименты в данной геометрии были продолжены, но при вычислении числа Релея использовался модифицированный коэффициент термодиффузии. В работе [79] использовались два вида кварцевого песка в качестве пористой среды, гептан и этанол как рабочие жидкости. Обнаружено, что в системе гептан/песок первого типа, началу конвекции соответствует критическое число Релея близкое к Rac = 4n. В случае использования этанола и песка второго вида, критическое число составляло уже Rac = 28. В [80] в качестве пористой среды были выбраны стеклянные сферы диаметром 3 мм, заполняющие область с размерами 24 см х 12 см х 4 см. Критическое число Релея, соответствующее возникновению конвекции, определялось по изменению теплопотока через горизонтальные границы. Найдено, что критический перепад температур составляет 15.2НС, что соответствует Rac = 40.07.

Экспериментальное и теоретическое исследование конвективных движений жидкости, насыщающей полость в форме прямоугольного параллелепипеда с размерами 4 см х 4 см х 13 см, заполненную пористой средой, при подогреве снизу, проведено в [81]. Пористой средой служили плотно упакованные полиэтиленовые шарики диаметром 3.5 мм, или цилиндрические кольца, внешний и внутренний диаметры которых составляли 1.8 и 1 мм в одном случае, и 2.5 и 2 мм в другом; длина колец равнялась их внутреннему диаметру. В качестве рабочей жидкости использовалась вода и трансформаторное масло. Определено критическое число Релея, соответствующее основному уровню неустойчивости, которое для различных пористых сред составляет Rac = 40±5. Опыты показали, что процесс изменения состояния системы может быть разделен на два характерных этапа. На первом этапе (1.5-3 часа), в результате относительно быстрого переходного процесса структура и характеристики конвективного движения принимают некоторые квазистационарные значения. В течение второго этапа (15 часов), происходит весьма медленное монотонное изменение (на 3-5%) этих величин.

Изучению конвективных течений в пористой среде, заполняющей горизонтальный цилиндр произвольного сечения при подогреве снизу, посвящена работа [82]. Используя метод малого параметра, получено бесконечно много стационарных режимов, образующих однопараметрическое семейство. Показано, что при малых надкритичностях все эти режимы устойчивы относительно малых возмущений. Обнаружено, что в случае не строго вертикального нагрева, устойчиво лишь одно стационарное течение.

Нестационарная нелинейная задача о конвективной фильтрации несжимаемой жидкости в бесконечном горизонтальном цилиндре при однородном подогреве снизу рассмотрена в [83]. На примере конкретных моделей рассмотрены усложняющиеся по мере увеличения надкритичности режимы конвекции вплоть до появления хаотических. Для систем общего положения подробно изучена бифуркация потери устойчивости однопараметрического семейства, порожденного косимметрией.

Достаточно эффективным и часто применяемым способом добычи углеводородов является вытеснение нефти и газоконденсата при помощи закачивания воды или газа в месторождение. Поэтому задача о моделировании движения фронта вытеснения при фильтрации двухфазной несмешивающейся жидкости, является одной из самых актуальных задач в исследовании процессов добычи углеводородного сырья. Существует большое количество работ, опубликованных по этой теме, захватывающих различные аспекты данной проблемы [84-87].

В силу различных причин фронт вытеснения может терять устойчивость, что проявляется в образовании так называемых "пальцев" и приводит к нежелательному заводнению пластов. В настоящее время имеется достаточно большое количество работ, посвященных вязкому пальцеобразованию [88 - 90], обусловленному отличием вязкостей вытесняющей и вытесняемой жидкостей.

Вероятно, впервые данная проблема теоретически была рассмотрена еще в 40-е - 50-е годы И.А Чарным, однако основные результаты были опубликованы заметно позднее в [91]. Заметный вклад в исследование данного процесса, опубликовав большое количество статей и монографий, внес Г.И. Баренблатт. Им и его соавторами были получены первые качественные результаты, а также проведены численные расчеты [92-94]. В данных работах была исследована устойчивость фронта вытеснения, и получены соответствующие выражения для инкрементов неустойчивости. Показано, что фронт вытеснения устойчив, если вязкость вытесняющей жидкости меньше, чем вязкость вытесняемой жидкости. В этом случае фронт вытеснения эволюционирует медленнее, чем происходит процесс сглаживания фронта за счет перетока в поперечном движению направлению. Если вытеснение происходит снизу вверх, причем плотность вытесняющей жидкости больше, то действие силы тяжести способствует стабилизации фронта.

Теоретические результаты подтверждены многочисленными численными расчетами, моделирующими процессы вытеснения. Описание методики использования при проведении вычислений полностью неявных схем, обеспечивающих устойчивость счета при любых шагах по времени, можно найти в работах [95, 96]. В связи с тем, что задача вытеснения для двух несжимаемых, несмешиваемых жидкостей приводит к гиперболическому уравнению для насыщенностей, целесообразно применять классические явные схемы с коррекцией потоков, позволяющие обеспечить хорошую форму фронтов (high resolution scheme) и не нуждающиеся в итерациях. Для данного класса задач очень неплохо зарекомендовали себя схемы Ю.Б. Радвогина [97]. Численное исследование классической задачи теории фильтрации - задачи об устойчивости фронта вытеснения, проведено в работе [98]. Решается система уравнений, состоящая из гиперболических уравнений для насыщенности компонент и эллиптического уравнения для порового давления. При вычислениях используются TVD схемы [97] для гиперболического уравнения и итерационные методы на основе продольно-поперечной прогонки для решения эллиптической краевой задачи. Подтверждены результаты теоретических исследований относительно зависимости инкрементов неустойчивости от пространственной частоты возмущения.

В работах [99, 100] исследовано влияние высокочастотных поступательных вибраций на возникновение конвекции в плоском горизонтальном слое вязкой несжимаемой жидкости, насыщающей пористую среду. Исследование проводится на основе анализа осредненных уравнений фильтрации, полученных в приближении Обербека - Буссинеска. Показано, что высокочастотные вертикальные вибрации могут оказывать как стабилизирующее, так и дестабилизирующее влияние на порог устойчивости механического равновесия жидкости в пористой среде. В то же время горизонтальные вибрации оказывают лишь дестабилизирующее влияние, вызывая конвекцию в условиях микрогравитации и невесомости.

Общая характеристика работы

Содержание и структура работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и заключения. В ведении представлен обзор литературы, содержание и основные цели работы.

4. Выводы. Построена теоретическая модель, позволяющая описать поведение системы двух жидкостей, насыщающих пористую среду, в поле линейно поляризованных вибраций. Найдено критическое волновое число, такое, что все возмущения с большими волновыми числами затухают со временем. Оценено характерное время роста для наиболее быстро растущих возмущений. Используя метод построения фундаментальной системы, проведены численные расчеты для случая конечно-частотных вибраций. Найдены области параметрической неустойчивости. Вибрациями конечной частоты не удается стабилизировать коротковолновые возмущения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При изучении конвекции в кубической полости, подогреваемой снизу, обнаружено шесть различных типов движения для теплоизолированных боковых границ и восемь для идеально теплопроводных. В виду большого количества противоречий в ранее опубликованных результатах относительно существования и устойчивости режима S2, ему уделялось особое внимание. В случае теплоизолированных боковых граней , для всех чисел Прандтля, при которых проводились вычисления, данный режим неустойчив вблизи порога возникновения конвекции и приобретает устойчивость при Ra- 70000. Для кубической полости с теплопроводными боковыми границами для умеренных и больших чисел Прандтля режим S2 численно устойчив вблизи точки кризиса механического равновесия, и при повышении числа Релея теряет устойчивость, при уменьшении числа Рг область устойчивости уменьшается.

Проведено трехмерное численное исследование естественной конвекции в кубической полости, подогреваемой снизу и вращающейся относительно вертикальный оси. Исследован порог возникновения конвекции для умеренных значений чисел Релея и Тейлора, для трех значений числа Прандтля, Рг = 0.1, 0.71 и 7. Обнаружено, что возникновению конвекции всегда соответствуют колебательные моды с волнами, распространяющимися вдоль боковых стенок в направлении, противоположном направлению вращения. Найдены три различных типа конвективных течений, при этом оказалось, что в зависимости от значения числа Тейлора, кризису механического равновесия соответствуют различные режимы движений. При достаточно больших значениях числа Ra наблюдается переход через гетероклинические колебания от колебательных мод к стационарным. Построены зависимости критических чисел Релея и частот колебаний от числа Тейлора для различных значений числа Прандтля и различных режимов течения.

Исследовано влияние вибрационного воздействия на процесс тепломассопереноса в бинарных смесях с учетом эффекта Соре. Рассматривается термодиффузионная и вибрационная конвекция в однородной бинарной смеси в кубической области при подогреве сбоку. Направление вибрационного воздействия совпадает с направлением силы тяжести. Совместно с другими научными группами выполнена серия тестовых задач. Рассмотрены четыре задачи для различных комбинаций постоянной и переменной компонент силы тяжести и при различных значениях частот вибраций. Изучено влияние вибрационного воздействия с двумя различными частотами: со = 0.2 Гц (период колебаний меньше любого диссипативного времени) и со = 0.01 Гц (период колебаний сравним с характерным вязким временем). Проведено моделирование будущих экспериментов в космосе на основе реальные свойств жидкости и значений управляющих параметров. Эксперименты направлены на изучение влияния вибраций на распределение температуры и концентрации в бинарных смесях в условиях космических полетов и создание методов для точного измерения коэффициентов диффузии и Соре.

Построена теоретическая модель, позволяющая описать поведение системы двух жидкостей, насыщающих пористую среду, в поле линейно поляризованных вибраций. Найдено критическое волновое число, такое, что все возмущения с большими волновыми числами затухают со временем. Оценено характерное время роста для наиболее быстро растущих возмущений. Используя метод построения фундаментальной системы, проведены численные расчеты для случая конечно-частотных вибраций. Найдены области параметрической неустойчивости. Вибрациями конечной частоты не удается стабилизировать коротковолновые возмущения.

1. Овчинников А.П. ПМТФ, №3, 1967.

2. Овчинников А.П. Сб. "Гидродинамика" вып I, (Уч. зап. Пермск. унта, №184), Пермь, 1968.

3. Гершупи Г.З., Жуховицкий Е.М., Овчинников А.П. Сб. "Гидродинамика", вып I, (Уч. зап. Пермск. ун-та, N184), Пермь,1968.

4. Зимин В.Д, Кетов А.И. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1974. №5.

5. S. Н. Davis. Convection in a box: linear theory // J. Fluid Mech. 30. 1967. p. 465-478.

6. Ozoe H., Yamamoto K., Churchill S. W. and Sayama H. Three-dimensional, numerical analysis of laminar natural convection in a confined fluid heated from below// J. Heat Transfer 98. 1976. p. 202-207.

7. Stork K. and Mtiller U. Convection in boxes: experiments. // J. Fluid Mech. 54. 1972. p. 599-611.

8. Catton I. The effect of insulating vertical walls on the onset of motion in a fluid heated from below // Int. J. Heat Mass Transfer 15. 1972, p. 665-672.

9. Heitz W. L. and Westwater J. W. Critical Rayleigh numbers for natural convection of water confined in square cells with L/D from 0.5 to 8 // J. Heat Transfer 93. 1971. p. 188-196.

10. Жуховицкий E.M. Об устойчивости неравномерно нагретой жидкости в шаровой полости. // ППМ, 21, №5. 1957. С. 589.

11. Любимов Д.В., Путин Г.Ф. Надкритические движения в кубической полости // Сб. "Гидродинамика", Пермь, вып X. 1977.

12. Hernandez R. and Frederick R. L. Spatial and thermal features of three-dimensional Rayleigh-Benard convection // Int. J. Heat Mass Transfer 37. 1994.p.411-424.

13. Pallares J., Grau F.X., Giralt F. Flow transitions in laminar Rayleigh-Bernard convection in a cubical cavity at moderate Rayleigh numbers // Int. J. Heat Mass Transfer 42. 1999. p. 753-769,

14. Kirchartz K.R., Oertel H. Three dimensional thermal cellular convection in rectangular boxes // J. Fluid Mechanics 192, 1988. p. 249-286.

15. Puigjaner D., Herrero J., Francesc Giralt, Simo C., Stability analysis of the flow in a cubical cavity heated from below // Phys. Fluids, v. 16. № 10. p. 2004. p. 3639-3655.

16. Wakashima S., Saitoh T. S. Benchmark solutions for natural convection in a cubic cavity using the high-order time-space method // Int. J. Heat and Mass Transfer № 47, 2004, p. 853-864.

17. Saitoh T.S., Nakamura M. // High-efficiency numerical method for heat transfer problem including natural convection in a square cavity // in: Proceedings of the 28th National Heat Transfer Symposium in Japan. 1991. p. 145-147.

18. Mamun M.A.H., Leong W.H., Hollands K.G.T., Johnson D.A. Cubical-cavity natural-convection benchmark experiments: an extension // Int. J. Heat and Mass Transfer №46. 2003. p. 3655-3660.

19. Leong W. H., Hollands K. G. Т., Brunger A. P. On a physically realizable benchmark problem in internal natural convection // Int. J. Heat and Mass Transfer №30. 1998. p. 2706-2717.

20. Batchelor G.K., Heat transfer by free convection across a closed cavity between vertical boundaries at different temperatures. // Q. Appl. Math. 12. 1954. p. 209-233.

21. Mallinson, G. D., de Vahl Davis, G. Three-dimensional natural convection in a box A numerical study // Journal of Fluid Mechanics, vol. 83. Nov. I. 1977. p. 1-31.

22. Hiller W.J., Koch St., Kowalewski T.A. Onset of Natural Convection in a Cube // Int. J. Heat Mass Transfer. 13. 1993. p. 3251-3263.

23. Бессонов O.A., Брайловская B.A., Никитин C.A., Полежаев В.И. Тест для численных решений трехмерной задачи о естественной конвекции в кубической полости // Матем. модел. т. 11, №12. 1999. р. 51-58.

24. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability, Oxford: Clarendon Press. 1961.

25. Goldstein, H.F., Knobloch, E., Mercader, I., Net, M. Convection in a rotating cylinder. Part I. Linear theory for moderate Prandtl numbers // J. Fluid Mech. 248.1993. p. 583.

26. Davies-Jones, R.P., & Gilman, P.A. 1971 Convection in a rotating annulus uniformly heated from below, J. Fluid Mech. 46, 65-81.

27. Buell J.C., Catton I., Effect of rotation on the stability of a bounded cylindrical layer of fluid heated from below // Phys. Fluids 26. 1983. p. 892-896.

28. Herrmann J., Busse F.H., Asymptotic theory of wall-attached convection in a rotating fluid layer // J. Fluid Mech, 255. 1993. p. 183-194.

29. Kuo E.Y., Cross M.C. Travel ling-wave wall states in rotating Rayleigh-Benard convection // Phys. Rev. E 47. 1993. p. 2245-2248.

30. Zhang K., Busse F.H., On the onset of convection in rotating spherical shells // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 39. 1987. p. 119-147.

31. Busse F.H., Simitev R. Inertial convection in rotating fluid spheres. // J. Fluid Mech. 498. 2004. p. 23-30.

32. Busse F.H. Convection in a narrow annular channel rotating about its axis of symmetry // J. Fluid Mech. 2005, № 537, p. 145-154.

33. Liu Y., and Ecke R.E., Eckhaus-Benjamin-Feir Instability in Rotating Convcction // Phys. Rev. Lett. 78. 1997. p. 4391.

34. Liu Y., Ecke R.E. Nonlinear traveling waves in rotating Rayleigh-Benard convection: Stability boundaries and phase diffusion // Phys. Rev. E 59. 1999. p. 4091-4105.

35. Ecke R.E., Zhong F., Knobloch E. Hopf bifurcation with broken reflection symmetry in rotating Rayleigh-Benard convection // Europhys. Lett. 19. 1992. p. 177.

36. Zhong F., Ecke R., Steinberg V. Asymmetric modes and the transition to vortex structures in rotating Rayleigh-Benard convection // Phys. Rev. Lett. 67. 1991. p. 2473.

37. Ning L., Ecke R. E. Rotating Rayleigh-Benard convection: Aspect-ratio dependence of the initial bifurcations // Phys. Rev. E 47. 1993. p. 3326.

38. Lucas P.G.J., Pfotenhauer J.M., Donnelly R.J. Stability and heat transfer of rotating cryogens. Part 1. Influence of rotation on the onset of convection in liquid 4He//J. Fluid Mech. 129. 1983. p. 251.

39. Pfotenhauer J.M., Lucas P.G.J., Donnelly R.J. Stability and heat transfer of rotating cryogens. Part 2. Effected of rotation on heat transfer properties of convection in liquid 4He // J. Fluid Mech. 145. 1984. p. 239.

40. Pfotenhauer J.M., Niemela J.J., Donnelly R.J. Stability and heat transfer of rotating cryogens. Part 3. Effects of finite cylindrical geometry and rotation on the onset of convection // J. Fluid Mech. 175. 1987. p. 85.

41. Vorobieff P., Ecke R.E. Turbulent rotating convection: an experimental study //J. Fluid Mech. 458. 2002. p. 191-218.

42. Julien K., Legg S., McWilliams J., Werne J. Rapidly rotating turbulent Rayleigh-Benard convection //J. Fluid Mech. 322. 1997. p. 243-273.

43. Kuppers G., Lortz D. // J. of Fluid Mech. 35. 1969. p. 609.

44. Clever R. M. and Busse F. H., J. Fluid Mech. 94. 1979. p. 609.

45. Busse F.H., Heikes K.E. Convection in a rotating layer: a simply case of turbulens.//Science 208. 1980. p. 173.

46. Zhong F., Ecke R., Steinberg V. Rotating Rayleigh- Benard convection: Kiippers-Lortz transition // Physica D 51. 1991. p. 596.

47. Hu Y., Pesch W., Ahlers G., Ecke R. E. Convection under rotation for Prandtl numbers near 1: Kuppers -Lortz instability // Physical Review E v. 58, №5. 1998. p. 5821-5833.

48. Niemela J.J., Donnelly R.J. Direct transition to turbulence in rotating Benard convection // Physical Review Letters 57. 1986. p. 2524.

49. Knobloch E. Rotating convection: recent developments // International J. of Engineering Science, 36. 1998. p. 1421-1450.

50. Tanner C.C. Trans. Faraday Soc. 23, 75. 1927.

51. Thomaes. Physica 17, 885. 1951.

52. Шапошников И.Г. К теории конвективных явлений в бинарной смеси // ПММ. Т. 17, вып. 5. 1953. С. 604-606.

53. Вертгейм Б.А. Об условиях возникновения конвекции в бинарной смеси//ПММ. Т. 19, вып. 6. 1855.

54. Герасимова С.Б. К теории конвективных явлений в бинарных смесях. Кандидатская диссертация. Пермский университет, 1955г.

55. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О конвективной неустойчивости двухкомпонентной смеси в поле тяжести // ПММ. 1.21, вып. 2. 1963. С.301-308.

56. Сорокин B.C. Вариационный метод в теории конвекции // ПММ, т 17, вып. 1. 1953.

57. Gershuni G.Z., Kolesnikov А.К., Legros J.C., Myznikova B.I. On the vibrational conVective instability of a horizontal, binary-mixture layer with Soret effect // J. Fluid Mech, 330. 1997. p. 251-269.

58. Gershuni, G. Z., Kolesnikov, A. K., Legros, J. C., Myznikova, В. I. On the convective instability of a horizontal binary mixture layer with Soret effect under transversal high frequency vibration // Int. J. Heat and Mass Transf., 42. 1999. p. 547-553.

59. Razi Y.P., Malivan К., Mojtabi М.С., Mojtabi A. Importance of direction of vibration on the onset f Soret-driven convection under gravity or weightlessness//Eur. Phys. J. E, 15. 2004. 335-341.

60. Гершуни Г.З., Колесников A.K., Jlerpo Ж.-К., Мызникова Б.И. Вибрационная конвекция в горизонтальном слое бинарной смеси с эффектом соре // Вибрационные эффекты в гидродинамике, сборник статей. Пермь, вып. 1. 1998. С. 97-108.

61. Vaerenberg S. Van and Legros J.-C. Kinetics of the Soret effect: Transient in the transport process // Phys. Rev. Vol. A41. 1990. p.6727.

62. Vaerenberg S. Van, Coriell S.R., McFadden G.B., Murray B.T. and Legros J.-C. Modification of morphological stability by Soret diffusion // J. Cryst. Growth. Vol.147. 1995. p.207.

63. Alexander J.I.D. Residual gravity jitter effects on fluid processes // Microgravity Sci. Technol., 7. 1994. p. 131-137.

64. Lyubimova Т., Shklyaeva E., Legros J.-C., Shevtsova V., Roux B. Numerical study of high frequency vibration influence on measurement of Soret and diffusion coefficients in low gravity conditions // Advances in space research, 36. 2005. p. 70-74.

65. Savino R., Monti R. Convection induced by residual-g and g-jitters in diffusion experiments // Int. J. Heat Mass Transf., 42. 1999. p. 111-126.

66. Zebib A. Low-gravity sideways double-diffusive instabilities // Phys. Fluids 13. 2001. p. 1829-1832.

67. Shevtsova V.M., Melnikov D.E., Legros J.C. The study of stationary and oscillatory weak flows in space experiments // Microgravity Sci. Technol., Vol. XV-1.2004. p. 49-61.

68. Любимов Д.В., Черепанов A.A. О возникновении стационарного рельефа на поверхности раздела жидкостей в вибрационном ноле // Изв. АН СССР. МЖГ. N 6. 1986. С.8-13.

69. Gershuni G.Z., Lyubimov D.V. Thermal vibrational convection. Wiley, NY et al, 1998.358 р.

70. Horton C.W., Rogers F.T. Convection currents in porous medium // J. Appl.Phys. V16. 1945. p. 367.

71. Katto Y., Masuoka T. Creterion for the onset of convection current in a porous media. J. Heat & Mass Transfer. №10. 1967. p. 297-309.

72. Lapwood E.R. Convection of a Fluid in a Porous Medium // J. Fluid Mech. 1948.

73. Дементьев O.I I., Любимов Д.В. О возникновении конвекции в горизонтальном плоском слое пористой среды // Межвуз. сб. Гидродинамика, вып. 4, Пермь, 1972.

74. Elder J.W. The unstable interface // J. Fluid Mech. 32. 1967. p. 69-96.

75. Kaneko Т., Mohtadi M.F., Aziz K. An experiment study of natural convection in inclined porous media // Int. J. Heat Mass Transfer. 17. 1974. p.485-496.

76. Chen F., Chen C. F. Experimental investigations of convective stability in a superposed fluid and porous layers when heated from below // J. Fluid Mech. 207. 311-321.

77. Глухов А.Ф., Любимов Д.В., Путин Г.Ф. Конвективные движения в пористой среде вблизи порога неустойчивости равновесия // Докл. АН СССР. т. 238, N 3. 1978. С. 549-551.

78. Любимов Д.В. О конвективных движениях в пористой среде, подогреваемой снизу. Журнал Прикладной механики и технической физики, 1975, N2, 131-137.

79. Д.А. Брацун, Д.В. Любимов. Динамические свойства тепловой конвекции в пористой среде // Вестник Пермского университета, Физика, вып.2. 1994. С.53-72.

80. Панфилов М.Б. Прогнозирование разработки газового месторождения в водоносном пласте. М., МИНХ и ГП, 1986. 22 с.

81. Бедриковецкий П.Г. Вытеснение нефти оторочками растворов активных примесей // Докл. АН СССР. Т.264, № 1. 1982. С.60-65

82. Голф-Рахт Т.Д. Основы нефтепромысловой геологии и разработки трещиноватых коллекторов. М., Недра, 1986. с. 607.

83. Бузинов С.Н., Умрихин И.Д. Гидродинамические методы исследования скважин и пластов. М., Недра, 1973. с.243.

84. Азиз X., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем / Пер. с англ. М.: Недра, 1982. с.407.

85. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984. с.211.

86. Мартос В.Н. О возможности заводнения газоконденсатных пластов // Вопросы нелинейной фильтрации и нефтегазоотдачи при разработке нефтяных и газовых месторождений. М., Наука, 1972.

87. Чарный И.А. Подземная гидродинамика. М., Гостонтехиздат, 1963.

88. Баренблатт Г.И. Фильтрация двух несмешивающихся жидкостей в однородной пористой среде // Изв. АН СССР. МЖГ. № 5. 1971. С. 144-151.

89. Баренблатт Г.И., Виниченко А.П. Неравновесная фильтрация несмешивающихся жидкостей // Успехи механики. Т.З, № 3. 1980. С.35-50.

90. Баренблатт Г.И., Ентов В.М. Неравновесные эффекты при фильтрации несмешивающихся жидкостей // Численные методы решения задач фильтрации несжимаемой жидкости: Сб. науч. тр. СО. АН СССР. Вычисл. центр. Новосибирск. 1972. С. 33-43.

91. Ентов В.М., Чен-Син Э. Микромеханика двухфазного течения в пористых средах // Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск, 1987. С. 120-129.

92. Bachmat Y., Bear J. Macroscopic modeling of transport phenomena in porous media. 1. The continuum approach // Transport Porous Media. № 1. 1986. p. 213-240.

93. Radvogin Yu.B., Zaitsev N.A. Multidimensional minimal stencil supported second order accurate upwind schemes for solving hyperbolic and Euler systems // Preprint, Keldysh institute of applied mathematics. Russian Academy of Science. № 22. 1996.

94. Заславский М.Ю. Пергамент A.X. Исследования неустойчивости типа "fingers" в фильтрационных течениях // Препринт ИПМ РАН, №31. Москва. 2002. с. 22.

95. Зеньковская С.М. Действие высокочастотной вибрации на фильтрационную конвекцию. ПМТФ, № 5. 1992. с. 83-88.

96. ЮО.Зеньковская С.М., Роговенко Т.Н. Фильтрационную конвекцию в высокочастотном вибрационном поле. ПМТФ, № 40. 1999. с. 22-29.

97. Ю2.Седельников Г.А. Трехмерные режимы конвекции в горизонтальном канале // Конференция молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах". Пермь, 2002. с. 116-117.

98. Ю5.Любимов Д.В., Седельников Г.А. Влияние высокочастотных вибраций на устойчивость плоского фронта вытеснения в пористой среде // Конференция молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах". Пермь, 2004. с. 87-88.

99. Любимов Д.В., Седельников Г.А. Влияние вибраций на устойчивость плоского фронта вытеснения в пористой среде // Тезисы 14-ой Зимней школы по механике сплошных сред. Пермь, 2005. с. 207.

100. Любимов Д.В., Седельников Г.А. Трехмерные режимы конвекции в кубической полости // Актуальные проблемы механики сплошных сред. Пермь, 2005. с. 89-91.

101. Ю8.Любимов Д.В., Седельников Г.А. Нелинейные режимы конвекции в кубической полости // Конференция молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах". Пермь, 2005. с. 63-64

102. Ю9.Любимов Д.В., Седельников Г.А. Численное исследование трехмерных нелинейных режимов конвекции // Гидродинамика, Пермь, 2005, С. 60-74.

103. Сед ельников Г.А., Буссе Ф., Любимов Д.В. Конвекция во вращающейся кубической полости // Тезисы ВНКСФ, Новосибирск, 2006. с. 683-684.

104. Sedelnikov G.A., Busse F., Lyubimov D. V. Convection in a rotating cubical cavity // Тезисы АРМ, Санкт-Петербург. 2006. с. 73.

105. ПЗ.Седельников Г.А. Конвекция во вращающейся кубической полости. Тезисы IX Всероссийского съезда по теорет. и прикл. механике. Н. Новгород, том II. 2006. с. 154.

106. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М.:Наука, 1989. 320 С.

107. Хакимзянов Г.С., Шокин Ю.И., Барахнин В.Б., Шокина НЛО. Численное моделирование течений жидкости с поверхностными волнами. Новосибирск. Изд-во СО РАН, 2001. 394 С.

108. Belmonte A., Tigner A., Libchaber A. Temperature and velocity boundary layers in turbulent convection // Phys. Rev. E 50. 1994. p. 269-279.

109. Самарский А.А. Теория разностных схем. М. Наука, 1977.

110. Тарунин Е.Л. Численный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск. Изд-во Ирут. Ун-та, 1990.

111. Немшогин С., Стесик О., Параллельное вычисление для многопроцессорных вычислительных систем // СПб.: БХВ-Петербург, 2002. С. 400.

112. Воеводин Вл.В., Курс лекций "Параллельная обработка данных" // http://www.parallel.ru/vvv/index.html.

113. Воеводин В.В. Воеводин Вл.В., Параллельные вычисления. СПб.: БХВ-Петербург, 2002.