Численное исследование теплообмена при обтекании трехмерных прямоугольных каверн тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ МГУ им. М.В. Ломоносова

904609318

На правах рукописи

КРАСНОПОЛЬСКИЙ Борис Иосифович

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ОБТЕКАНИИ ТРЕХМЕРНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КАВЕРН

Специальность 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

3 О СЕН 70Ю

Москва - 2010

004609318

Работа выполнена в лаборатории общей аэродинамики Научно исследовательского института механики МГУ им. М.В. Ломоносова.

доктор физико-математических наук Н.В. Никитин

доктор физико-математических наук, профессор В.И. Полежаев доктор физико-математических наук A.B. Сетуха

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Южный федеральный университет", г. Ростов-на-Дону

Защита состоится 15 октября 2010 года в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.89 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, Главное здание МГУ, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан " % " сентября 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

А.Н. Осипцов

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы. Актуальность вопросов интенсификации тепломассообмена при обтекании различных выемок и каверн обусловлена широким спектром применения таких конструктивных решений в различных теплообменных устройствах и химических аппаратах. Например, одно из активно развивающихся направлений - использование жидкостного охлаждения вычислительных серверов и других электронных устройств, где использование более компактных и эффективных элементов пассивного охлаждения в условиях ограниченности размеров и высокой плотности упаковки оборудования может приводить к значительному уменьшению общих размеров конструкций и повышению их эксплуатационных свойств.

Цели работы:

• Разработка эффективного вычислительного алгоритма для моделирования гидродинамических течений на неравномерных прямоугольных сетках, ориентированного на использование на многопроцессорной вычислительной технике.

• Анализ структуры течения в кавернах, обтекаемых набегающим потоком.

• Изучение зависимости теплообмена на дне каверны от толщины пограничного слоя и частоты крупномасштабных пульсаций в набегающем потоке.

• Исследование особенностей теплообмена с каверной, ориентированной под углом относительного направления потока: определение зависимости потока тепла от угла поворота каверны и исследование вклада пульсаций в основном потоке на теплообмен в повернутой каверне.

Научная новизна:

• Проведен численный анализ обтекания каверны невозмущенным потоком, получена зависимость интегрального потока тепла на дне подогреваемой каверны от толщины пограничного слоя набегающего потока. Описана вихревая картина течения в каверне и отражены отличительные особенности течения в сравнении с течением в каверне

с движущейся крышкой.

• Исследовано влияние крупномасштабных пульсаций в набегающем потоке на теплообмен с каверной. Показано, что имеется выделенный диапазон частот, в котором наблюдается значительный рост потока тепла. Установлено, что этот диапазон совпадает с диапазоном частот нарастания возмущений в слое смешения между основным потоком и каверной, а рост потока тепла обусловлен увеличением массообмена.

• Определены характеристики течения и теплообмена в каверне, ориентированной под углом к набегающему потоку.

• Предложена новая модификация итерационного метода градиентного типа (BiCGStab) для решения систем линейных алгебраических уравнений с сильно разреженной матрицей, ориентированная на эффективную параллельную реализацию на многопроцессорной вычислительной технике.

Достоверность результатов обусловлена использованием современных апробированных численных методов, хорошо зарекомендовавших себя в расчетах ламинарных нестационарных течений. Точность разработанного вычислительного алгоритма и его программной реализации подтверждена большим количеством тестовых и методических расчетов, результаты которых были сопоставлены как с результатами расчетов других авторов, так и с экспериментальными данными.

Практическая значимость. Разработанный алгоритм и набор программ моделирования гидродинамических течений позволяет варьировать граничные условия и геометрию расчетной области и может быть использован для решения широкого круга задач. Результаты исследования теплообмена с каверной могут быть использованы для выработки рекомендаций при проектировании различных теплообменных устройств. Предложенная модификация итерационного метода и его программная реализация могут быть использованы для решения любых систем линейных алгебраических уравнений на многопроцессорной вычислительной технике.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались на 14 международных и российских научных конференциях: на

научной сессии МИФИ-2007 (Москва, 2007); на научной конференции Ломоносовские чтения (Москва, 2007, 2008, 2010); на конференции молодых ученых Института механики МГУ им. М.В. Ломоносова, (Москва, 2007, 2008, 2009); на международной школе-семинаре "НеЗаТеГиУс" (Звенигород, 2008, 2010) (работы отмечены грамотами конкурса молодых ученых в 2008 и 2010 годах); на международной конференции молодых ученых "Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей", (Новосибирск, 2008); на региональной научно-технической конференции "Применение многопроцессорных суперкомпьютеров в исследованиях, наукоемких технологиях и учебной работе" (Иваново, 2008); на X всероссийской школе-конференции молодых ученых "Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики", (Новосибирск, 2008) (работа отмечена дипломом третьей степени); на 3-й Европейской конференции по гидродинамике для аспирантов и молодых ученых (EPFDC-2009, Nottingham, UK, 2009); на международной конференции по вычислительным наукам (ICCS-2010, Amsterdam, The Netherlands, 2010).

Результаты работы обсуждались на семинаре "Гидромеханическая неустойчивость и турбулентность" НИИ механики МГУ (2007, руководитель д.ф.-м.н. С.Я. Герценштейн); на семинаре по газовой динамике НИИ механики МГУ (2007, руководитель акад. Г.Г. Черный); на семинаре по механике многофазных сред НИИ механики МГУ (2009, руководитель д.ф.-м.н. А.Н. Осипцов).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 2 статьях в реферируемых журналах из перечня ВАК [1,2], в 5 сборниках и статьях конференций [3-7] и 8 тезисах конференций [8-15].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. В работе содержится 52 рисунка, 10 таблиц и 109 библиографических ссылок. Общий объем диссертации составляет 105 страниц.

2. Содержание работы

Введение

Во введении представлен обзор имеющихся работ по тематике исследования, приведена аннотация работы и сформулирована ее цель.

Первая глава

Первая глава посвящена описанию постановки задачи. Рассматривается течение вязкой теплопроводной жидкости при обтекании плоской пластины, в которой имеется трехмерная прямоугольная каверна. На дне каверны поддерживается постоянной температура или поток тепла. В приближении Буссинеска рассматриваемое течение описывается системой уравнений Навье-Стокса, неразрывности и энергии:

дщ д^щ dp __ 1 д2щ Ra .

= 0, (2)

axj

89 + ди£ _ 1 d29 dt dxj RePrdxjdxj

Здесь щ - компоненты вектора скорости, p - давление, 9 - температура, t - время, efl - орт вектора силы тяжести, Re = UD/v - число Рейнольд-са, Рт ~ pCpv/к - число Прандтля, Ra = pCpgßöTD3/i/к - число Рэлея, р, v, ß, Ср и к - постоянные плотность, кинематическая вязкость, коэффициент сжимаемости, удельная теплоемкость и теплопроводность жидкости. Все величины приведены к безразмерному виду, в качестве масштаба длины и скорости использованы соответственно глубина каверны D и скорость набегающего потока U.

На твердых стенках каверны и на пластине ставятся условия прилипания, а на входе в расчетную область, х = 0 задаются три компоненты скорости как функции времени t и поперечных координат ¡/иг: щ = fi(y,z,t). На входе температура потока считается постоянной, 9 = 0; на дне каверны задается либо постоянная температура 9 = 1, либо постоянный поток тепла q = —дв/дп = 1. Все остальные стенки считаются теплоизолированными 89/дп = 0.

Рис. 1. Геометрия расчетной области задачи.

Для численного решения задачи выделяется расчетная область над пластиной с каверной (рис. 1). Верхняя и боковые границы расчетной области считаются непроницаемыми и свободными от касательных напряжений un = 0, дит/дп = 0. На выходе из расчетной области задается распределение давления р = const и условие Неймана на тангенциальные компоненты скорости дит/дп = 0. С физической точки зрения, данное граничное условие можно трактовать как "вытекание потока в атмосферу". Для температуры на выходе также используется условие Неймана дв/дп = 0, то есть предполагается, что убыль энергии происходит только за счет конвективного выноса нагретой жидкости через заднюю стенку расчетной области. Размеры расчетной области определены по результатам методических расчетов исходя из того, чтобы используемые в расчете граничные условия не оказывали существенного влияния на основные характеристики течения и теплообмен в каверне.

В качестве начальных условий использовались либо распределения скоростей над каверной, соответствующие скорости на входе, и линейное распределение температуры по высоте каверны, либо распределения скорости и температуры, полученные в предшествующих расчетах с близкими значениями определяющих параметров.

В большинстве случаев, расчеты были проведены для кубической ка-

верны при Reo = 5000, Pr = 0.7 и Ra = 0. В качестве распределения продольной компоненты скорости на входе задавался профиль скорости Блазиуса. Отдельные результаты по обтеканию прямоугольных некубических каверн и учету вклада сил плавучести были опубликованы в работах [1,3,4,6,9], однако они не были в полной мере систематизированы и в текст диссертации не вошли.

Вторая глава

Во второй главе изложена методика решения задачи. В разделах 2.1 и 2.2 приведено краткое описание реализованных алгоритмов интегрирования по времени и разностных схем аппроксимации уравнений Навье-Стокса и энергии. Для решения задачи используются сеточные методы. Пространственная аппроксимация уравнений (1)-(3) выполняется с помощью метода контрольных объемов. Для интегрирования по времени системы уравнений Навье-Стокса, неразрывности и энергии используются две схемы: неявная схема первого порядка точности и полу-неявная схема третьего порядка точности с выбором оптимального шага интегрирования1. Использование первой схемы целесообразно для расчетов стационарного решения, когда не требуется аккуратное моделирование процесса эволюции течения. Вторая схема применяется для проведения эволюционных расчетов когда исследуются течения с нестационарными возмущениями в набегающем потоке, либо в самом течении наблюдается развитие неустойчивости.

В разделе 2.3 обсуждается выбор методов решения систем линейных алгебраических уравнений, а также особенности их эффективной реализации на многопроцессорных вычислительных системах с распределенной памятью. Для решения уравнения Пуассона был выбран итерационный стабилизированный метод би-сопряженных градиентов (BiCGStab)2 с алгебраическим многосеточным предобуславливателем для ускорения сходимости. В настоящей работе предложена модификация этого метода, которая позволяет избежать потерь времени на коммуникации при вычислении ска-

'Nikitin N. Third-order-accurate seml-impllcit Runge-Kutta scheme for incompressible Navier-Stokes équations // International Journal [or Numerical Methods in Fluids, 2006. Vol. 51, Pp. 221-233.

2Van der Vorsl H.A. Bl-CGSTAB: a fast smoothly converging variant of BI-CG for the solution of non-symmetric linear systems // SIAM I.Sci. Stat. Comput., 1992. Vol. 13, No. 2, Pp. 631-644.

лярных произведений векторов, возникающих при распараллеливании исходного варианта метода. Последовательность вычислений в этом методе организована таким образом, что во время ожидания данных для вычисления скалярных произведений векторов могут выполняться вычисления предобуславливания, которое, зачастую, является самой вычислительно-трудоемкой операцией на итерации. На тестовых задачах это позволило добиться ускорения решения системы линейных алгебраических уравнений более, чем на три порядка при использовании нескольких тысяч вычислительных ядер.

Третья глава

В третьей главе представлены результаты тестовых и методических расчетов, определены оптимальные параметры расчетных сеток, размеры расчетной области.

В разделе 3.1 обсуждаются результаты тестовых расчетов двумерной и трехмерной задач о течении в каверне с движущейся крышкой, а также задачи о естественной конвекции в трехмерной кубической каверне. По всем параметрам сравнения результатов расчетов с опубликованными в литературе данными наблюдается расхождение не более 1-2%. По итогам этих расчетов, выбраны наиболее подходящие схемы аппроксимации конвективных членов уравнений (1) и (3).

В разделе 3.2 и 3.3 определены размеры расчетной области и параметры расчетных сеток для адекватного разрешения основных особенностей течения и теплообмена при обтекании кубической каверны.

В разделе 3.4 приводится сопоставление результатов расчетов с известными экспериментальными данными. Проведен ряд исследований по определению зависимости интегрального числа Нуссельта от скорости набегающего потока3 (числа Рейнольдса). В качестве экспериментальных данных использован эмпирический закон4 Nul ~ Де0,596 для ламинарного набега-

3На дне каверны в соответствии с экспериментом задавался постоянный поток тепла.

4Yamamoto И., Seki N.. Fukusako S. Forced convection heat transfer on a heated bottom surface of cavity with different wall-height // Journal of Heat and Mass Transfer, 1983. Vol. 17, No. 2. Pp 73-83.

Рис. 2. Зависимость числа Нуссельта Nui, определенного по длине каверны, от числа Рейнольдса: 1 - расчет, 2 - эксперимент

ющего потока и диапазона чисел Рейнольдса 3 • 103 < Re < 104. Здесь

Nul — т f m qW„ dx,

L J Tw — Ты

L

qw и Tw - поток тепла и локальная температура на дне каверны, -температура набегающего потока. Показано хорошее согласие между экспериментальными и расчетными данными (рис. 2).

Четвертая глава

В четвертой главе приводятся и обсуждаются результаты проведенных расчетов. Раздел 4.1 посвящен исследованию особенностей течения и теплообмена при стационарном профиле Блазиуса на входе. Обнаружено, что толщина пограничного слоя 6 существенным образом влияет на течение. Так, для 5 = 0.10 0.25 во всей области реализуется стационарное течение, в то время как при более тонком пограничном слое 6 = 0.05 возникает периодический режим.

В параграфе 4.1.1 исследуется взаимосвязь колебаний в потоке с развитием неустойчивости в слое смешения, возникающим между каверной и основным потоком. Для периодического режима (5 = 0.05) определены

частота и> и длина волны Л возникающих колебаний: ш = 6.17 и Л = 0.62. Показано, что нарастание возмущений происходит экспоненциально, определен коэффициент нарастания возмущений по пространству кх и 5.

Полученные значения частоты и коэффициента нарастания амплитуды колебаний по пространству сопоставлены с соответствующими параметрами развития неустойчивости в слое смешения. По линейной теории получены оценки частоты и коэффициента нарастания возмущений в слое смешения вида5 и(у) = 1ап1г(у). Коэффициент нарастания возмущений по пространству для слоя смешения составил кх « 2.6, а частота возмущений ш ~ 5.5.

Несмотря на всю схематичность и грубость проведенных оценок, близость полученных частот позволяет предполагать, что возникновение колебаний для тонкого профиля скорости на входе вызвано развитием неустойчивости в слое смешения между каверной и основным потоком. Наблюдаемая стационарность течения для профилей скорости <5 > 0.10, по-видимому, обусловлена стабилизирующим воздействием на слой смешения стенок каверны.

В параграфе 4.1.2 приведено подробное описание структуры течения в каверне, расположение вихревых зон, представлены картины растекания жидкости у стенок.

В случае стационарного течения (6 = 0.10 0.25) в каверне образуется три зоны вихревого течения. Основной вихрь располагается в центре и занимает большую часть объема каверны (рис. 3). Ось этого вихря ориентирована вдоль оси г и смещена вниз по потоку относительно центра каверны. В этом вихре возникает поперечное течение. Около оси вихря формируется перенос жидкости от боковых стенок к центру каверны, тогда как по периферии вихря образуется обратный поток от плоскости симметрии к боковым стенкам.

Две зоны вторичных вихревых течений образуются в донной области в окрестности передней и задней стенок каверны. В этих зонах также возникает дополнительный поперечный перенос жидкости из центральной части к боковым стенкам, однако интенсивность основного и поперечного течений оказывается значительно ниже.

5Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. - М.: Мир, 1971, 392 с.

Рис. 3. Распределение кинетической энергии жидкости в каверне.

1.5

1.1

0.9

0,7

0,51 1.2 1.Д 1.6 1.8 г

X

Рис. 4. Положение области затекания жидкости из основного потока в каверну для 5 = 0.25.

Приведены сопоставления с течением в кубической каверне с движущейся крышкой, отражены основные отличия, главным из которых является наличие массообмена между каверной и основным потоком при обтекании открытой каверны. Исследовано расположение зон затекания жидкости в каверну: на верхней грани каверны эта область формируется вдоль боковых стенок и в углах у задней стенки каверны (рис. 4). Положение зон затекания практически не зависит от толщины профиля скорости набегающего потока. Баланс массы в каверне сохраняется за счет выноса

Рис. 5. Зависимость интегрального потока тепла ц со дна каверны от толщины пограничного слоя набегающего потока.

жидкости у задней стенки каверны, преимущественно в центральной ее части.

В параграфе 4.1.3 обсуждаются особенности теплообмена с каверной. Показано, что уменьшение толщины пограничного слоя набегающего потока способствует росту потока тепла на дне каверны (рис. 5). Двукратное уменьшение толщины пограничного слоя, в среднем, сопровождается 30-40%-ным ростом интегрального потока тепла. Наблюдаемый рост теплообмена на дне каверны обусловлен влиянием нескольких факторов: ростом массообмена между каверной и набегающим потоком и увеличением скорости вращения основного вихря. Показано, что изменение толщины профиля скорости с 5 = 0.25 до 5 = 0.10 сопровождается ростом массообмена на 10%. Распределение скорости в каверне также существенным образом зависит от толщины пограничного слоя (рис. 6). При уменьшении толщины с 5 = 0.25 до 5 — 0.10 вдвое возрастает скорость течения в основном вихре, что приводит к увеличению градиента скорости на дне каверны.

Локальное распределение потоков тепла на дне каверны также заметно видоизменяется при уменьшении 5 (рис. 7). Для <5 = 0.10 -т- 0.25 качественное распределение потоков тепла оказывается схожим и существенно трехмерным: наблюдаются две области экстремальных потоков тепла на расстоянии примерно 1/4 от боковых стенок, которые во многом повторя-

0.2

0.1

0.0

-0.1

-0.2

-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2

Рис. 6. Распределения продольной компоненты скорости по высоте и вертикальной компоненты скорости по длине в плоскости симметрии вдоль линий, проходящих через центр каверны: 1-4 - 5 = 0.05, 0.10, 0.20 и 0.25 соответственно.

ют картину растекания жидкости у дна каверны.

Несколько отличная ситуация наблюдается для тонкого пограничного слоя на входе 8 = 0.05. Развивающаяся неустойчивость в слое смешения существенным образом влияет на качественные и количественные параметры течения. Значительно возрастает скорость вращения вихря (рис. 6), причем также и качественно меняется распределение профилей скорости в каверне: наблюдается смещение наиболее высокоскоростной части вихря ближе к стенкам каверны, что приводит к дополнительному увеличению градиента скорости на стенках. В сравнении с массообменом за счет затягивания холодного потока из основного канала у боковых стенок каверны, доминирующую роль в увеличении теплообмена на дне каверны (рис. 7, на 60% в сравнении с 5 — 0.10) играет другой механизм, который рассмотрен в разделах 4.2 и 4.3.

В разделе 4.2 исследуется влияние крупномасштабных пульсаций в набегающем потоке на теплообмен на дне каверны. На входе в расчетах

11 1 '-'''' ........ ■ ...... ¿Г"" : II/ ■

■ 1 а/ а 1

....... : 1/ '"Чч \'.У/г.

... 1 ■Л. / :' ■ IV /;

¿С

.•••'" \ \\ ■'•' ■ V \\ ........ чЧ-> .........1 . . . .......................

задавался профиль скорости Блазиуса с периодическими возмущениями по толщине пограничного слоя:

где: 6 - толщина пограничного слоя; 1/в1(у, 3) - профиль скорости Блазиуса; Т - период возмущений; г](у) - единичная функция Хевисайда. Суммарный расход, обеспечиваемый пульсационной составляющей скорости, обращается в нуль, что сохраняет постоянным расход жидкости, протекающей через расчетную область в единицу времени.

Проведенные расчеты показали, что осредненный интегральный поток тепла на дне каверны существенным образом зависит от частоты возмущений в набегающем потоке. В зависимости от толщины пограничного слоя имеется выделенная частота, при которой наблюдается наиболее интенсивный теплообмен с каверной (рис. 8). Вместе с тем, максимальные значения потока тепла для рассмотренных пограничных слоев оказываются близкими и разброс не превышает 10%.

Было выдвинуто предположение, что определяющую роль в рассматриваемых течениях в каверне и теплообмене играют колебания, возникающие в слое смешения между каверной и основным потоком. В рамках линейной теории была рассмотрена устойчивость слоя смешения, образующегося при обтекании каверны невозмущенным потоком (стационарное течение). Для этого численно решена задача на собственные значения для уравнения Орра-Зоммерфельда. В качестве профиля скорости плоскопараллельного течения было использовано распределение я-компоненты скорости щ, взятое в плоскости симметрии каверны на расстоянии х = 0.11 от передней стенки каверны. Как показали проведенные методические расчеты, расстояние до передней стенки каверны при выборе профиля скорости не оказывает существенного влияния на результаты. Полученные зависимости коэффициентов нарастания от частоты возмущений и толщины профиля скорости пограничного слоя на входе в расчетную область приведены на рис. 9. Сравнение графиков на рис. 8 и 9 свидетельствует об имеющейся корреляции между потоком тепла на дне каверны и коэффициентом нарастания возмущений в слое смешения между каверной и основным потоком. Так, например, для 5 = 0.20 максимальный поток тепла (д > 20) на дне ка-

Щ (0, у, 2, {) = иВ1 (у, 8) + 0.117 (<* - У) ^п

Рис. 8. Зависимость осреднеиного потока тепла q на дне каверны, от частоты возмущений и для различных <5 = 0.10,0.20,0.25.

со

Рис. 9. Зависимость коэффициента нарастания от частоты возмущений ш для различных 5 = 0.10,0.20,0.25.

(а)

(в)

(б)

(г)

Рис. 10. Эволюция распределения пассивного скаляра в каверне, вид в плоскости симметрии каверны.

верны достигается при частотах пульсаций и> ~ 2.0 -г 3.6, а максимальным значениям коэффициента нарастания возмущений соответствуют частоты и ~ 2.2-г 3.5 (ас; > 0.95(ас^)тох). При сдвиге в область высокочастотных возмущений наблюдается достаточно быстрое уменьшение выносимого потока тепла. Отклик на пульсации в набегающем потоке в виде увеличения потока тепла со дна каверны для высокочастотных возмущений практически исчезает начиная с ш ~ 5, что соответствует частоте, при которой коэффициент нарастания возмущений обращается в ноль. Аналогичным образом происходит уменьшение потока тепла и для низкочастотных возмущений в потоке. При ш —> 0 поток тепла уменьшается до значений невозмущенного обтекания, что также соответствует стремлению к нулю коэффициента нарастания возмущений. Приведено описание трансформации вихревых картин и распределений осредненных потоков тепла на дне каверны по мере изменения частоты возмущений.

Обнаруженная закономерность позволяет, при наличии стационарного решения для обтекания каверны невозмущенным потоком, по линейной теории устойчивости получить оценки диапазона частот в потоке, приводящих к наиболее интенсивному теплообмену с каверной. Зависимость течения и теплообмена в каверне от частот возмущений в потоке объясняет наблюдаемую интенсификацию для невозмущенного тонкого профиля скорости на входе. В этом случае система за счет развития неустойчивости в слое смешения сама порождает в потоке возмущения с частотой наиболее быстрорастущей амплитуды, что и приводит к перестроению течения в каверне и росту теплообмена.

В главе 4.3 приведено описание схемы процесса конвективного выноса нагретой жидкости из каверны при обтекании возмущенным потоком. Для визуализации процесса конвективного выноса тепла проведен отдельный демонстрационный расчет. В качестве начальных данных для этого расчета было задано мгновенное поле скоростей в развитом течении при обтекании каверны возмущенным потоком с частотой возмущений и> = 8я"/9 (для 6 — 0.20 эта частота соответствует режиму наиболее интенсивного теплообмена на дне каверны). Уравнение теплопроводности путем зануления коэффициента при вязком члене сведено у трехмерному уравнению переноса пассивного скаляра. В качестве начальных данных для этой переменной

задано нулевое распределение в = 0 в потоке над пластиной и каверной, и равномерное распределение в = 1 в каверне.

На рис. 10 представлена эволюция распределения пассивного скаляра, которая демонстрирует схему процесса массообмена между каверной и основным потоком. По мере развития неустойчивости в слое смешения (рис. 10, (а)-(б)), наблюдается рост амплитуды волны возмущения. При приближении к задней кромке каверны, за счет большей продольной скорости движения гребня волны, увеличивается угол наклона переднего фронта волны (в), и происходит ее обрушение на заднюю кромку каверны (г). Часть жидкости из основного потока, находившегося перед фронтом этой волны, отсекается верхним гребнем волны и захватывается в рециркуляционный вихрь каверны (д)-(е). В свою очередь, часть жидкости из верхнего гребня волны при натекании на заднюю кромку каверны перехлестывается через преграду и уносится вместе с основным потоком в след за каверной. Развитие этого процесса за следующий период возмущений в набегающем потоке показано на рис.10, (ж)-(к).

Глава 4.4 посвящена исследованию теплообмена при обтекании каверны, ориентированной под углом к набегающему потоку. Поворот каверны в расчете задавался за счет изменения направления натекания потока. Для формирования согласованных граничных условий на входе, соответствующих распространяющимся волнам возмущений в потоке, параллельно с основным расчетом проводился еще один вспомогательный расчет. В двумерной постановке рассчитывалось поле скорости для потока над пластиной, которое в дальнейшем проецировалось на боковые стенки расчетной области в качестве входных условий для исходной задачи. Это позволило без существенных искажений воспроизвести развитие волны возмущений в потоке, что дало возможность исследовать роль пульсаций набегающего потока на теплообмен в повернутой каверне.

Графики зависимости потока тепла на дне от угла поворота каверны для обтекания невозмущенным потоком для 5 = 0.20 приведены на рис. 11. Наблюдается монотонный рост интегрального потока тепла при увеличении угла поворота каверны, что связано с интенсификацией массообмена через угловые зоны каверны. Максимальные значения достигаются при угле поворота у = 45° и превышают значения потока тепла для обтекания под

<р

Рис. 11. Зависимость интегрального потока тепла со дна каверны от угла поворота относительно направления набегающего потока.

нулевым углом на 20%.

Рассмотрено влияние частот возмущений в потоке на теплообмен на дне каверны. Графики зависимости потока тепла от частоты пульсаций в набегающем потоке для различных углов поворота каверны приведены на рис. 12. Как и в случае обтекания под нулевым углом, наблюдается эффект значительного роста теплообмена, причем как максимальные значения потоков тепла, так и диапазоны частот возмущений, при которых наблюдается это увеличение потока, оказываются близкими для всего рассмотренного диапазона углов поворота каверны.

Заключение

В заключении подведены итоги и сформулированы основные результаты работы.

Приложение

В приложении приведено описание технических характеристик вычислительных систем СКИФ МГУ "Чебышев" и "Ломоносов", использованных для проведения исследований.

♦ Ф=0 -»■Ф=45

12-

8

4-

О

1

2

3

4

СО

5

Рис. 12. Зависимость осредненного потока тепла от частоты возмущений и) при различных углах поворота каверны.

3. Основные результаты и выводы

• Разработан вычислительный алгоритм моделирования гидродинамических течений несжимаемой жидкости и процессов тепломассопере-носа (в приближении Буссинеска), ориентированный на использование на многопроцессорной вычислительной технике. При разработке параллельной программы предложена новая модификация итерационного метода градиентного типа (В1С051аЬ), которая позволила добиться высокой эффективности параллельной реализации этого метода.

• Проведен численный анализ обтекания каверны стационарным потоком с профилем скорости Блазиуса для диапазона толщин 5 = 0.05-^0.25. Получена зависимость интегрального потока тепла на дне каверны от толщины пограничного слоя набегающего потока. Обнаружен значительный рост теплообмена при уменьшении толщины профиля скорости набегающего потока (<5 = 0.05). Показано, что этот рост вызван развитием неустойчивости в слое смешения и формированием нестационарного режима течения в каверне. Описана картина течения в каверне и отражены отличительные особенности от тече-

ния в каверне с движущейся крышкой.

• Проведено исследование теплообмена при наличии периодических возмущений в набегающем потоке. Показано, что в определенном диапазоне частот поток тепла может 4-кратно превышать его значения при стационарном набегающем потоке. Установлено, что диапазон частот, при котором наблюдается увеличение теплообмена, определяется неустойчивостью слоя смешения между каверной и основным потоком. Показано, что доминирующую роль при увеличении теплообмена в выделенном диапазоне частот играет возрастающий массо-обмен жидкости между каверной и основным потоком. Определена схема соответствующего процесса массообмена.

• Исследованы характеристики теплообмена при обтекании кубической каверны, ориентированной под углом к набегающему потоку. Установлено, что при невозмущенном обтекании каверны увеличение угла поворота каверны приводит к монотонному росту потока тепла. Максимальные значения достигаются при угле поворота <р = 45° и превышают значения потока тепла для обтекания под нулевым углом на 20%. Задание крупномасштабных пульсаций в потоке также позволяет увеличить теплообмен с каверной, причем как максимальные значения потоков тепла, так и диапазоны частот возмущений, при которых наблюдается это увеличение потока, оказываются близкими для всего рассмотренного диапазона углов поворота каверны.

Публикации по теме диссертации

1. Герценштейн С.Я., Краснопольский Б.И. О пространственной структуре неустойчивости течения в трехмерной каверне // Докл. Росс. Акад. Наук, 2008, Т. 421, № 4, С. 475-477.

2. Герценштейн С.Я., Краснопольский Б.И. О влиянии частоты возмущений и толщины пограничного слоя на теплообмен при обтекании кубической каверны // Изв. РАН. МЖГ, 2010, № 1, С. 32-39.

3. Краснопольский Б.И. О пространственной структуре течения в трехмерной каверне // Труды конференции-конкурса молодых ученых. 1021

12 октября 2007 г. / Под ред. ак. Г.Г. Черного, проф. В.А. Самсонова. — М.: Изд-во Московского университета, 2008, 244 е. — С. 120-125.

4. Краснопольский Б.И. Численное исследование теплообмена в обтекаемой трехмерной каверне // Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей: Докл. Молодежной конф. Вып. XI / Под ред. В.В. Козлова. — Новосибирск: Параллель, 2008, 284 с. — С. 194-197.

5. Краснопольский Б.И. Влияние толщины пограничного слоя на теплообмен при обтекании прямоугольных каверн // Труды конференции-конкурса молодых ученых. 8-10 октября 2008 г. / Под ред. ак. Г.Г. Черного, проф. В.А. Самсонова. — М.: Изд-во Московского университета, 2009, 244 с. - С. 122-130.

6. Герценштейн С.Я., Краснопольский Б.И. Численное моделирование теплообмена в трехмерной прямоугольной каверне, обтекаемой тур-булизующимся потоком // Проблемы современной механики: к 85-летию со дня рождения академика Г.Г. Черного [сборник] / Под ред. A.A. Бармина. — М.: Изд-во Моск. ун-та; изд-во «Омега-л», 2008, 639 е. - С. 94-105.

7. Krasnopolsky B.I. The reordered BiCGStab method for distributed memory computer systems // Procedía Computer Science, 2010, Vol. 1, Pp.213-218.

8. Герценштейн С.Я., Краснопольский Б.И. Исследование гидродинамической устойчивости течения при обтекании двумерной каверны по отношению к трехмерным возмущениям // Научная сессия МИФИ-2007. Сборник научных трудов. В 17 томах. — Т. 7. Астрофизика и космофизика. Проблемы современной математики. Физика пучков и ускорительная техника. — М.: МИФИ, 2007, 232 с. — С. 97-99.

9. Краснопольский Б.И. Трехмерное обтекание выемки // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. 1625 апреля 2007 г., Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, — М.: Изд-во Московского университета, 2007, 167 с. — С. 96-97.

10. Краснопольский Б.И. О пространственной неустойчивости течения в трехмерной каверне // Материалы международной конференции "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность", 24 февраля - 02 марта 2008 г. Моск. обл., пане. "Университетский".— М.: Изд-во Моск. ун-та, 2008, 157 с. — С. 82.

11. Краснопольский Б.И. Теплообмен в обдуваемой трехмерной прямоугольной каверне // Материалы международной конференции "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность", 24 февраля - 02 марта 2008 г. Моск. обл., пане. "Университетский",- М.: Изд-во Моск. ун-та, 2008, 157 с. - С. 83.

12. Краснопольский Б.И. Исследование течения при обдуве подогреваемой трехмерной прямоугольной каверны // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. Апрель 2008, Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова. — М.: Изд-во Московского университета, 2008, 105 е. - С. 105.

13. Краснопольский Б.И. Моделирование гидродинамических процессов на многопроцессорных вычислительных установках // Применение многопроцессорных суперкомпьютеров в исследованиях, наукоемких технологиях и учебной работе [текст]: сборник материалов региональной научно-технической конференции. — Иваново: ИГТА, 2008, 40 с. — С. 15-17.

14. Краснопольский Б.И. Влияние толщины пограничного слоя на теплообмен при обтекании кубической каверны // X Всероссийская школа-конференция молодых ученых "Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики". Тезисы докладов / Под ред. чл.-корр. РАН C.B. Алексеенко. - Новосибирск: ИТ СО РАН, 2008, 168 с. -С. 90-91.

15. Krasnopolsky B.I. Numerical investigation of flow stability and heat transfer past an open cubic cavity // 3-rd European postgraduate fluid dynamics conference / University of Nottingham. — 2009, 22 pp. — Pp. 19-20.

Подписано в печать: 07.09.10

Объем: 1,5 усл.печ.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 529 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г.Москва, пр-т Вернадского, 39 (495) 363-78-90; www.reglet.ru

Введение

1 Постановка задачи.

2 Методика решения.

2.1 Временная аппроксимация системы уравнений.

2.2 Пространственная аппроксимация уравнений.

2.3 Методы решения систем линейных уравнений.

2.3.1 Многосеточные методы.

2.3.2 Переупорядоченный метод BiCGStab

3 Методические расчеты.

3.1 Тестирование вычислительного алгоритма

3.2 Параметры расчетных сеток

3.3 Определение размеров расчетных областей.

3.4 Сопоставление с экспериментом.

4 Результаты

4.1 Влияние толщины пограничного слоя на теплообмен.

4.1.1 Колебания в потоке и неустойчивость слоя смешения

4.1.2 Структура течения в каверне.

4.1.3 Теплообмен при обтекании невозмущенным потоком

4.2 Влияние частоты внешних возмущений на теплообмен

4.3 Массообмен с каверной в возмущенном потоке

4.4 Теплообмен в каверне, ориентированной под углом к потоку

Задача обтекания каверн представляет практический интерес для широкого круга приложений в науке и технике. Каверны могут закладываться в конструкцию как на стадии разработки изделий, так и образовываться в процессе их эксплуатации, например, в результате коррозионных процессов. Эти объекты могут значительным образом влиять на гидродинамические и иные свойства поверхностей, на которых они образуются.

Для задач обтекания каверн различных форм можно выделить несколько основных направлений, связанных с изучением частот генерируемых пульсаций давления и акустических шумов, исследованием теплообмена и распространением загрязнений и примесей.

Первое направление преимущественно находит свое применение в автомобильной и авиационной промышленности и ориентировано на изучение механизмов генерации акустических шумов при обтекании люков в крышах машин, отсеков шасси самолетов, а так же исследование воздействия пульсационных нагрузок потока на прочность конструкций. Активное изучение высокоскоростных течений в кавернах берет свое начало в 40-х -50-х годах XX века и обусловлено становлением и интенсивным развитием авиационной промышленности. Одни из первых экспериментальных результатов по исследованию частот и интенсивности генерируемых шумов для до- и околозвуковых течений приведены в [1]. Автором показана возможность генерации акустических колебаний при обтекании прямоугольных каверн как для ламинарного, так и турбулентного пограничного слоев. Обнаружено, что интенсивность колебаний имеет прямую зависимость от числа Маха основного потока и существенным образом зависит от длины каверны. Результаты схожих исследований для других значений определяющих параметров и характеристик набегающего потока были опубликованы в [2-6]. В [7] выполнен детальный анализ спектров пульсаций давления в окрестности задней стенки на дне каверны для* чисел Маха Moo ~ 1. По результатам измерений были представлены качественные оценки вклада периодической и случайной составляющих для различных соотношений размеров обтекаемой двумерной каверны. Для частот периодической составляющей была предложена эмпирическая формула, достоверность которой в дальнейшем подтверждалась во многих экспериментальных и расчетных работах. В [8] предложена классификация основных осцилляционных режимов в кавернах и представлено объяснение различных физических механизмов, приводящих к развитию таких колебаний в потоке. Генерация колебаний в потоке когда передняя кромка трехмерной прямоугольной каверны расположена под углом к направлению основного потока, а также влияние геометрических параметров каверны на такие течения обсуждается в [9-11].

Новый импульс исследования около- и сверхзвуковых течений получили в 90-х годах по мере развития вычислительной техники и совершенствования численных методов. В [12,13] проведен детальный численный анализ ламинарного течения сжимаемого газа при обтекании двумерной каверны. Для каверн различного удлинения L/D — 2,4,20,40 (L и D - длина и глубина каверны) при числах Рейнольдса Rei, ~ 103 и числах Маха М^ ~ 1 исследована вихревая структура течений. В кавернах малого удлинения отмечен одновихревой режим (так называемая, "открытая" каверна [14]), который по мере удлинения каверны эволюционирует в двухвихревой, с вихрями, локализованными у передней и задней стенок каверны ("закрытая" каверна). Для рассчитанных режимов течения приведены распределения давлений и потоков тепла на дне каверны. Схожие результаты для чисел Маха Moo ~ 2 + 5 приведены в [15]. В последующей работе [16] представлены отдельные результаты моделирования теплообмена в трехмерной каверне для Re = 478 и "толстого" пограничного слоя набегающего потока (S/D ~ 0.3).

В [17] в двумерной постановке рассмотрены различные режимы генерации пульсаций давления и акустических шумов. Приведенные расчетные параметры акустических полей и частот колебаний оказались в хорошем согласии с результатами экспериментальных исследований [1,7]. В дальнейших исследованиях этих авторов [18] рассмотрены трехмерные эффекты сжимаемых вязких течений при обтекании прямоугольной каверны и исследована устойчивость двумерного течения относительно трехмерных возмущений. Некоторые другие работы по численному моделированию обтекания трехмерных каверн сжимаемым потоком также обсуждаются в обзоре [19].

Отдельное внимание в расчетных работах уделяется оптимизации обводов задней стенки каверны для уменьшения интенсивности пульсаций. В [20] с применением двухпараметрической q — ш модели турбулентности [21] рассмотрено несколько различных вариантов скругления задней кромки. Для параметров потока М= 1.25, R&l = Ю7 и толщины профиля скорости на входе 5/D = 0.05 предложена форма обводов, более чем на порядок уменьшающая амплитуду пульсаций давления. Схожая задача для несколько другого диапазона определяющих параметров обсуждается в [22].

Другое направление связано с исследованием гидродинамики и теплообмена при обтекании каверн низкоскоростным потоком (Moo 1). Нанесение каверн является одним из способов пассивной интенсификации теплообмена и локального управления интенсивностью теплоотдачи, что обеспечивает широкий круг применения и неизменный интерес к исследованию такого рода течений.

Одними из первых экспериментальных работ по исследованию течений в двумерных прямоугольных кавернах являются работы [23,24]. В [23] рассматривается обтекание турбулентным потоком каверн для широкого диапазона геометрических параметров: отношения глубины к длине каверны D/L от 0.016 до 2.5 при числах Рейнольдса Rei ~ 105. Приведены распределения коэффициентов давления и трения на стенках каверны, исследовано поведение вихревой структуры течения в каверне. Авторами обнаружена зависимость между геометрическими параметрами и структурой течения, где в качестве условия формирования одного устойчивого крупномасштабного вихря по длине каверны предложено условие D/L > 0.87, которое, слабо зависит от параметров натекающего потока. В глубоких кавернах, с соотношением DfL > 1.5, показано формирование вторичных вихрей по высоте каверны, при сохранении доминирующей роли вихря в верхней части каверны. Для квадратной каверны продемонстрирован эффект уменьшения трения в следе за каверной по сравнению с трением на плоской пластине. В [24] для схожего диапазона параметров экспериментальной модели представлены распределения коэффициентов давления, которые хорошо согласуются с приведенными в [23], а также измерены распределения скоростей в потоке над каверной. Предложен несколько отличный критерий формирования устойчивого одновихревого течения в каверне: D/L > 0.7. В работах [25,26] проведены обширные исследования^ по изучению теплообмена при обтекании- двумерных каверн и каверн с разной высотой передней и задней стенок, обтекаемых ламинарным и турбулентным потоком. Рассмотрен широкий диапазон таких параметров, как удлинение каверны (варьировалась глубина каверны), скорость потока и толщина пограничного слоя. Были получены фотографии вихревой картины течения и распределения скоростей в кавернах, а так же распределения коэффициентов статического давления и местного коэффициента теплоотдачи на стенках каверны. Выполнено обобщение полученных экспериментальных данных и предложены функциональные выражения, описывающие зависимость интегральных значений чисел Нуссельта по всей каверне, вида Num = AReaL{D/Lf.

Образование регулярных ячеистых трехмерных структур в коротких кавернах большого размаха для низкоскоростных течений было экспериментально обнаружено в [27]. В [28] показано определяющее значение отношения глубины D и размаха W к длине каверны L при формировании такой структуры течения. Для турбулентного обтекания каверны при соотношении сторон D/L = 0.66, числе Рейнольдса Rez, = 2.5 — 8 • 104 и достаточно толстых пограничных слоев д/D ~ 0.2 авторами показано, что при четных значениях относительной протяженности W/L = 2,4,6,8 в каверне образуется симметричная картина течения и расположения ячеистых структур. Для нечетных значений W/L = 3,5, 7 картина течения в каверне становится несимметричной и наблюдается несколько целых ячеек и одна неполная ячейка меньшего размера.

Гидродинамические характеристики при обтекании трехмерных прямоугольных каверн изучаются в [29]. В работе представлены распределения давлений при обтекании турбулентным потоком при числах Рейнольдса Re = 2.4 ч- 5.1 • 104 для каверны с соотношением длины к ширине 2:1 и варьируемой глубине. Детально исследованы режимы течения, когда каверна ориентирована под углом относительно направления внешнего потока. Изучено влияние асимметрии течения на рост гидравлического сопротивления.

Аналогичные исследования тех же авторов для эллиптических каверн были опубликованы в [30].

Среди современных достижений следует выделить серию экспериментальных работ исследования теплообмена в трехмерных кавернах с прямоугольными и- наклонными стенками при обтекании турбулентным потоком, в которых было рассмотрено влияние различных параметров течения и геометрии каверны на трехмерную структуру течения [31-34]. В [31] детально исследовано влияние ширины и высоты прямоугольной каверны и ширины каверны для случая наклонных стенок, на интенсификацию теплообмена с дном каверны. Приведены распределения локальных коэффициентов теплоотдачи по длине каверны, а также интегральные зависимости чисел Нуссельта от углов наклона боковых стенок. В [32] представлены результаты саже-масляной визуализации и распределения температур в кавернах для различных углов наклона боковых стенок. Изучена трансформация вихревого течения в каверне при изменении углов наклона боковых стенок, а также зависимость угла наклона, при котором достигается интенсификация теплоотдачи, от числа Рейнольдса. В [33,34] получены распределения давлений по миделеву сечению каверны, а также распределения давления и локального коэффициента теплоотдачи по размаху каверны на дне и боковых стенках каверны. Получена зависимость среднего числа Нуссельта от числа Рейнольдса и угла наклона боковых стенок каверны.

Первые расчетные работы по моделированию несжимаемых течений при обтекании двумерных каверн датируются 60-ми годами и были сосредоточены на исследованиях стационарных течений, например [35-37]. В [38] в двумерной стационарной постановке рассмотрены вопросы численного моделирования теплообмена для каверн с различной высотой передней и задней стенок, расположенных на стенке узкого канала. В диапазоне чисел Рейнольдса по высоте канала до 2000 при задаваемом профиле скорости плоского течения Пуазейля на входе получены распределения температуры и линий тока жидкости. Приведены распределения коэффициентов давления и локальных чисел Нуссельта по дну каверны, рассмотрена зависимость этих величин от числа Рейнольдса.

В [39] представлены результаты моделирования теплообмена для двумерных удлиненных каверн с L/D = 6 12 для ламинарного и турбулентного потоков (в расчете турбулентных течений использована к — е модель турбулентности). Рассмотрен диапазон чисел Рейнольдса от 102 до 3-104 и проведен анализ влияния различных параметров, в том числе интенсивности турбулентных пульсаций набегающего потока.

Однако, как было показано, в частности, в [34], течение в кавернах имеет трехмерный характер, и распределение тепловых потоков по размаху каверны, оказывается существенно неоднородным. Вместе с тем, количество численных работ по исследованию вязких несжимаемых течений в трехмерных кавернах для низкоскоростных течений незначительно. Достаточно популярным оказался подход, когда рассматривается обтекание трехмерным потоком двумерной бесконечной каверны (в первую очередь, ввиду более экономичной методики расчета таких течений) [19]. Для удлиненной каверны с соотношением L/D = 2 при поперечном размахе расчетной области W/D = 6 и числа Рейнольдса Rep — 3360 выполнены расчеты течений для ламинарного пограничного слоя и развитого турбулентного потока на входе. В обоих случаях исследован спектр пульсаций в потоке и показано хорошее согласие расчетных доминирующих частот со значениями, предсказанными по [8]. Рассмотрен такой вопрос, как влияние типа набегающего потока на скорость выноса примеси из каверны и предложена модель, описывающая экспоненциальное убывание концентрации примеси в каверне. Определены соответствующие показатели экспоненты.

Одна из первых попыток прямого численного моделирования гидродинамических характеристик течения при обтекании трехмерных каверн была предпринята в работах [40,41]. Авторами проведено численное моделирование обтекания каверн с соотношением длины к глубине L/D = 1,2,4 и размахом W/D = 3 при ламинарном набегающем потоке в диапазоне чисел Рейнольдса Reo = 103ч-104. На примере постоянного профиля скорости на входе показано, что на формирование структуры вихревого течения в кавернах большого размаха определяющую роль оказывает взаимодействие продольных вихрей Тейлора-Гертлера и вихрей Кельвина-Гельмгольца в слое смешения между каверной и основным потоком. При фиксированном числе Рейнольдса Reo = 3 • 103 исследована роль толщины пограничного слоя набегающего потока при формировании течения в каверне: уменьшение толщины пограничного слоя приводит к значительному росту амплитуды трансверсальной компоненты скорости. Удлинение каверны сопровождается увеличением длины слоя смешения и развитием возмущений, что вызывает сильную дестабилизацию течения.

Некоторые результаты по обтеканию кубической каверны с подогреваемой передней стенкой изложены в [42]. В качестве входных граничных условий было использовано равномерное распределение продольной компоненты, скорости на входной границе. В работе проведено параметрическое исследование течений для чисел Рейнольдса Re = 102 и 103 и Ричардсона 0.01 < Ri < 10 и 0.001 < Ri < 1 соответственно. Для рассчитанных режимов течения приведены изотермы, линии растекания в каверне и осредненные значения числа Нуссельта в зависимости от числа Ричардсона для указанных чисел Рейнольдса. Отдельные результаты расчетов теплообмена при обтекании лунок и каверн различных форм и конфигураций с применением RANS-моделей турбулентности приведены в [43], однако по крайней мере для прямоугольных каверн в опубликованных результатах наблюдается существенное расхождение с экспериментом.

Приведенный список публикаций далеко не полностью исчерпывает все работы за более чем 60-летний период, особенно касающиеся экспериментального и численного исследования свойств течений в двумерных кавернах. Однако подавляющее большинство работ, не упомянутых в настоящем обзоре, отличается лишь значениями определяющих параметров, как то: размерами каверны, характеристическими числами Рейнольдса, профилем скорости набегающего потока, расположением источников тепла на стенках каверны и рядом других. Для широкого диапазона чисел Рейнольдса и ламинарного и турбулентного набегающих потоков была исследована структура течения и ее эволюция при изменении отношения длины к глубине каверны. Для двумерной и трехмерной каверн получены подробные экспериментальные данные (для двумерной каверны также и расчетные распределения) коэффициентов давления по стенкам каверны. Для широких каверн рассмотрены вопросы устойчивости двумерного течения относительно поперечных возмущений и показана возможность формирования ячеистой структуры течения. Для трехмерных подогреваемых снизу каверн с прямоугольными и наклонными стенками экспериментально получены распределения местных коэффициентов теплоотдачи и зависимости интегрального числа Нуссельта по дну каверны от угла наклона стенок и скорости набегающего потока.

Вместе с тем, результаты расчетов гидродинамических характеристик для трехмерных каверн скудны и зачастую носят чисто технический характер, а достоверные расчетные результаты по исследованию теплообмена в таких кавернах практически полностью отсутствуют. Экспериментальные данные касаются в основном интегральных или осредненных по времени характеристик, полученных на стенках каверны, и зачастую позволяют лишь качественно судить о картине самого течения, что оказывается недостаточным для исследования роли различных механизмов и оценки их вклада при интенсификации теплообмена. Достаточно слабо освещены и не систематизированы результаты по влиянию формы профиля скорости набегающего потока: если эволюция гидродинамической картины течения при изменении толщины пограничного слоя набегающего потока на входе численно получена в [40,41], то соответствующие результаты для теплообмена с каверной до сих пор отсутствуют. В экспериментальных работах изменение толщины пограничного слоя перед каверной сопряжено с изменением и других параметров потока (например, числа Рейнольдса), что не позволяет выделить вклад именно этого фактора. Применительно к трехмерным кавернам не рассмотрен такой вопрос, как влияние крупномасштабных пульсаций в набегающем потоке на теплообмен с дном каверны, хотя как один из способов управления тепломассообменом для цепочки двумерных каверн в узком канале, этот эффект был продемонстрирован в [44,45]. Еще один интересный практический вопрос с точки зрения интенсификации теплообмена, который не затрагивается ни в экспериментальных ни в расчетных работах - зависимость выносимого потока тепла от угла поворота каверны относительно набегающего потока.

Исходя из сформулированных выше вопросов, целью представленной работы являлось: исследование зависимости интегральных потоков тепла со дна каверны от толщины профиля скорости пограничного слоя набегающего потока и частот крупномасштабных пульсаций в основном потоке; определение зависимости теплообмена от угла поворота каверны относительно направления основного потока и вклад пульсаций в основном потоке в интенсификацию теплообмена; выделение различных физических механизмов и особенностей течения, влияющих на теплообмен в каверне.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения.

Основные результаты, представленные в настоящей работе, получены на двух расчетных сетках. Перед началом расчетов были проведены соответствующие методические исследования по определению требуемых параметров расчетной сетки для удовлетворительного разрешения основных характеристик течения.

Заключение

В работе проведен численный анализ процессов тепломассообмена при обтекании открытых трехмерных каверн. Для решения такого класса задач был разработан вычислительный алгоритм моделирования гидродинамических течений несжимаемой жидкости и процессов тепломассопереноса (в приближении Буссинеска), ориентированный на использование на многопроцессорной вычислительной технике. При построении разностных аналогов исходных дифференциальных уравнений использован метод контрольного объема. Для аппроксимации конвективных членов в расчетах была использована TVD-схема SMART, а интегрирование по времени велось по полу-неявной 3-1/3 шаговой схеме 3-го порядка точности.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений использован итерационный метод Крыловского подпространства BiCGStab. При разработке параллельной программы была предложена новая модифицированная формулировка этого метода, которая позволила добиться высокой эффективности параллельной реализации этого метода за счет устранения глобальной синхронизации вычислительных процессов при вычислении скалярных произведений векторов на каждой итерации. Проведено исследование эффективности переупорядоченного метода BiCGStab с алгебраическим многосеточным предобуславливателем на вычислительных установках СКИФ МГУ "Чебышев" и "Ломоносов". Показано преимущество гибридного подхода (MPI+Shared Memory) при реализации параллельной программы. Этот подход вкупе с предложенной алгоритмической модификацией метода позволил на порядки улучшить характеристики масштабируемости решателя и уменьшить время решения задачи. Например, на тестовых матрицах для эллиптических уравнений размером 343 млн. строк ускорение решения задачи на 6144 ядрах относительно времени решения на одном ядре составило более 3 порядков, а время решения задачи не превысило 1.2 секунды.

Численный, анализ обтекания каверны невозмущенным потоком проведен для диапазона толщин пограничного слоя на входе 5 = 0.05 -т- 0.25. Получена зависимость, интегрального потока тепла на дне подогреваемой кавернььот толщины пограничного слоя набегающего потока. Значительный рост теплообмена с дном каверны при уменьшении толщины профиля скорости наблюдается для тонких профилей скорости (5 = 0.05). Показано, что имеющийся рост потока тепла со дна каверны вызван развитием неустойчивости в слое смешения между каверной и основным потоком и формированием пульсационного режима течения в каверне. Описана вихревая картина течения в каверне и отражены отличительные особенности течения в сравнении с течением в каверне с движущейся крышкой.

Исследование зависимости теплообмена от частоты возмущений в потоке с каверной показало, что при заданной амплитуде возмущений е = 0.1 в определенном диапазоне частот возмущений на входе можно получить более, чем 4-кратное увеличение интегрального потока тепла на дне каверны. По линейной теории рассмотрена задача устойчивости слоя смешения, формирующегося между каверной и основным потоком. Установлено, что выделенный диапазон частот, при котором наблюдается увеличение теплообмена с каверной, по крайней мере для пограничных слоев на входе 6 > 0.10, совпадает с диапазоном частот нарастания возмущений, определенным по линейной теории. Таким образом, спектр частот интенсификации теплообмена может быть найден путем исследования по линейной теории устойчивости профиля продольной компоненты скорости над каверной, формирующегося при обтекании невозмущенным потоком. Показано, что доминирующую роль при увеличении теплообмена^ в выделенном диапазоне частот играет возрастающий массообмен жидкости между каверной и основным потоком. Продемонстрирована схема соответствующего процесса массообмена между каверной и основным потоком.

Исследованы характеристики теплообмена при обтекании кубической каверны, ориентированной под углом к набегающему потоку. Установлено, что при невозмущенном обтекании каверны увеличение угла поворота каверны приводит к монотонному росту потока тепла. Максимальные значения достигаются при угле поворота ср = 45° и превышают значения потока тепла для обтекания под нулевым углом на 20%. Задание крупномасштабных пульсаций в потоке также позволяет увеличить теплообмен с каверной, причем как максимальные значения потоков тепла, так и диапазоны частот возмущений, при которых наблюдается это увеличение потока, оказываются близкими для всего рассмотренного диапазона углов поворота каверны.

1. Krishnamurty К. Acoustic radiation from two-dimensional rectangular cutouts in aerodynamic surfaces: Tech. Note 3487: NACA, 1955.

2. Plumblee H.E., Gibson J.S., Lassiter L.W. A theoretical and experimental investigation of the scoustic response of cavities in an aerodynamic flow: Tech. Report ARC-24 652: 1963.

3. Tam C.K.W., Block PJ.W. On the tones and pressure oscillations induced by flow over rectangular cavities // Journal of Fluid Mechanics Digital Archive, 1978, Vol. 89, no. 2, Pp. 373-399.

4. Heller H.H., Bliss D.B. The physical mechanism of flow-induced pressure fluctuations in cavities and concepts for their suppression /•/ AIAA Paper 75-491, 1975.

5. Block P.J.W. Noise response of cavities of varying dimensions at subsonic speeds: Tech. Note D-8351: 1976.

6. Ukeiley L., Murray N. Velocity and surface pressure measurements in an open cavity // Experiments in Fluids, 2005, Vol. 38, no. 5, Pp. 656671.

7. Rossiter J.E. Wind-tunnel experiments on the flow over rectangular cavities at subsonic and transonic speeds: Tech. Report ARC/R&M-3438: 1964.

8. Rockwell D., Naudascher E. Self-sustained oscillations of impinging free shear layer // Annu. Rev. Fluid Mech., 1979, Vol. 11, Pp. 67-94.

9. Disimile P.J., Orkwis P.D. Effect of yaw on pressure oscillation frequency within rectangular cavity at Mach 2 // AIAA Journal, 1997, Vol. 35, no. 7, Pp. 1233-1235.

10. Disimile P.J., Orkwis P.D. Sound-pressure-level variations in a supersonic rectangular cavity at yaw // Journal of propulsion and power, 1998, Vol. 14, no. 3, Pp. 392-398.

11. Disimile P.J., Toy N., Savory E. Effect of planform aspect ratio on flow oscillations in rectangular cavities // Journal of Fluids Engineering, 2000, Vol. 122, no. 1, Pp. 32-38.

12. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные разностные схемы для моделирования течений вязкого теплопроводного газа // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1988, Т. 28, № И, С. 1695-1710.

13. Траур И.А., Елизарова Т.Т., Четверушкин Б.Н. Численное моделирование обтекания каверн сверхзвуковым потоком вязкого сжимаемого газа // Инженерно-физический журнал, 1991, Т. 61, № 4, С. 570577.

14. Sinha S.N., Gupta А.К., Oberai М.М. Laminar separating flow over backsteps and cavities. II Cavities // AIAA Journal, 1982, Vol. 20, no. 3, Pp. 370-375.

15. Савельев А.Д. Численное моделирование ламинарного обтекания двумерной каверны сверхзвуковым потоком вязкого газа. // Известия РАН, Механика Жидкости и Газа, 1994, № 6, С. 27-33.

16. Численное моделирование тепломассообмена в трехмерных кавернах / И.А. Траур, Т.Г. Елизарова, JI.B. Косарев, Б.Н. Четверушкин // Математическое моделирование, 1994, Т. 6, № 5, С. 37-54.

17. Rowley C.W., Colonius Т., Basu A.J. On self-sustained oscillations in two-dimensional compressible flow over rectangular cavities // Journal of Fluid Mechanics, 2002, Vol. 455, Pp. 315-346.

18. Bres G.A., Colonius Т. Three-dimensional instabilities in compressible flow over open cavities // Journal of Fluid Mechanics, 2008, Vol. 599, Pp. 309-339.

19. Савельев А.Д. О влиянии задней кромки каверны на интенсивность пульсаций потока // Известия РАН, Механика Жидкости и Газа, 2001, № 3, С. 79-89.

20. Coakley T.J. Turbulence modeling methods for the compressible navier-stokes equations // AIAA paper №83-1693, 1983, P. 14.

21. Zhang X., Rona A., Edwards J.A. The effect of trailing edge geometry on cavity flow oscillation driven by a supersonic shear layer // Aeronautical Journal, 1998, Vol. 102, no. 1013, Pp. 129-136.

22. Roshko A. Some measurements of flow in a rectangular cutout: Tech. Note 3488: NACA, 1955.

23. Tani L, Iuchi M., Komoda H. Experimental investigation of flow separation associated with a step or a groove, pp. 119-136: Report 364: Aeronautical Research Institute, University of Tokyo, 1961.

24. Yamamoto H., Seki N., Fukusako S. Forced convection heat transfer on heated bottom surface of a cavity // Trans. ASME, J. Heat Transfer, 1979, Vol. 101, no. 3, Pp. 112-117.

25. Yamamoto H., Seki N., Fukusako S. Forced convection heat transfer on a heated bottom surface of cavity with different wall-height // Heat and Mass Transfer, 1983, Vol. 17, no. 2, Pp. 73-83.

26. Maull D.J., East L.F. Three-dimensional flow in cavities // Journal of Fluid Mechanics Digital Archive, 1963, Vol. 16, no. 4, Pp. 620-632.

27. Hering Т., Savory E. Flow regimes and drag characteristics of yawed elliptical cavities with varying depth // Journal of Fluids Engineering, 2007, Vol. 129, no. 12, Pp. 1577-1583.

28. Terekhov V.I., Yarygina N.I. Forced-convection heat transfer from the bottom of trenches with rectangular or inclined walls // Experimental Heat Transfer, 1996, Vol. 9, no. 2, Pp. 133-148.

29. Terekhov V.I., Yarygina N.I., D'yachenko A.Yu. Turbulent heat transfer in a crossflow cavity with inclined sidewalls // Proceedings of the Twelfth International Heat Transfer Conference. — Elsevier, 2002. — Pp. 615-619.

30. Терехов В.И., Ярыгина Н.И., Дьяченко А.Ю. Обтекание турбулентным потоком поперечной каверны с наклонными боковыми стенками. Часть 1. Структура потока // Прикладная механика и техническая физика, 2006, Т. 47, № 5, С. 68-76.

31. Burggraf O.R. Analytical and numerical studies of the structure of steady separated flows // Journal of Fluid Mechanics, 1966, Vol. 24, Pp. 113— 151.

32. Weiss R.F., Florsheim B.H. Flow in a cavity at low Reynolds number // Physics of Fluids, 1965, Vol. 8, no. 9, Pp. 1631-1635.

33. Pan F., Acrivos A. Steady flows in rectangular cavities // Journal of Fluid Mechanics, 1967, Vol. 28, no. 4, Pp. 643-655.

34. Yamamoto Hi, Seki N., Fukusako S. A numerical study of laminar heat transfer at; bottom surface of a cavity submerged in separated flow region of duct-.-// Heat and Mass Transfer, 1982; Voh 16; no. 4; Pp; 219-227.

35. Zdanski P.S.B., Ortega M.A., Fico N.G.C.R. Numerical study of the flow over shallow cavities // Computers & Fluids, 2003, Vol. 32; no. 7, Pp. 953-974.

36. YaoH., Cooper R.K., Raghunathan S.R. Incompressible laminar flow over a three-dimensional rectangular cavity // Journal of Thermal Science, 2000, Vol. 9, no. 3, Pp. 199-204.

37. Yao H., Cooper R.K., Raghunathan S.R. Numerical simulation of incompressible laminar flow over three-dimensional;rectangular cavities // Journal of Fluids Engineering, 2004, Vol. 126, no. 6, Pp. 919-927.

38. Stiriba Y. Analysis of the flow and heat transfer characteristics for assisting incompressible laminar flow past an open cavity // International Communications in Heat and Mass. Transfer, 2008, Vol. 35, no. 8, Pp. 901-907.

39. Местные тепловые потоки на поверхности лунок, траншей и каверн / В.Ю. Митяков, А.В. Митяков, С.З. Сапожников, С.А. Исаев // Теплоэнергетика, 2007, № 3, С. 29-33;

40. Numerical investigation of incompressible flow in grooved channels. Part

41. Stability and self-sustained oscillations / N.K. Ghaddar, K.Z. Korczak, B.B. Mikic, A.T. Patera // Journal of Fluid Mechanics Digital Archive, 1986, Vol. 163, Pp. 99-127.

42. Numerical investigation of incompressible flow in grooved channels. Part

43. Герценштейн С.Я., Краснопольский Б.И. О влиянии частоты возмущений и толщины пограничного слоя на теплообмен при обтекании кубической каверны // Изв. РАН. МЖГ, 2010, № 1, С. 32-39.

44. Krasnopolsky B.I. The reordered BiCGStab method for distributed memory computer systems // Procedia Computer Science, 2010, Vol. 1, Pp. 213-218.

45. Краснопольский Б.И. Трехмерное обтекание выемки // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной'конференции. Секция механики. 16-25 апреля 2007 г., Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова. — М.: Изд-во Московского университета, 2007, 167 с. — С. 96-97.

46. Krasnopolsky B.I. Numerical investigation of flow stability and heat transfer past an open cubic cavity // 3-rd European postgraduate fluid dynamics conference / University, of Nottingham. — 2009, 22 pp. — Pp. 19-20.

47. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. — Dover Publications, 1981, 704 pp.

48. Colinet P., Legros J.C., Velarde M.G. Nonlinear dynamics of surface-tension-driven instabilities. — Wiley-VCH, 2001, 527 pp.

49. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. — М.: Наука, 1972, 392 с.

50. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье— Стокса / В.И. Полежаев, А.В. Бунэ, Н.А. Верезуб, и др. — М.: Наука, 1987, 271 с.

51. Ландау Л.Д., Лифшиц ЕМ. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. 3-е изд. — М.: Наука, 1986, 736 с.

52. Harlow F.H., Welch E.J. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface // Physics of Fluids, 1965, Vol. 8, no. 12, Pp. 2182-2189.

53. Вабищевич П.Н., Павлов A.H., Чурбанов А.Г. Численные методы решения нестационарных уравнений Навье-Стокса в естественных переменных на частично разнесенных сетках // Математическое моделирование, 1997, Т. 9, № 4, С. 85-114.

54. Rhie С.М., Chow W.L. Numerical study of the turbulent flow past ant

55. Miettinen A. A Study of the Pressure Correction Approach in the Colo-cated Grid Arrangement: Ph.D. thesis / Helsinki University of Technology. — 1997.

56. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. — М.: Энергоатомиздат, 1984, 149 с.

57. Anderson John D. Computational fluid dynamics: the basics with applications. McGraw-Hill, 1995, 547 pp.

58. Nikitin N. Third-order-accurate semi-implicit Runge-Kutta scheme for incompressible Navier-Stokes equations // International Journal for Numerical Methods in Fluids, 2006, Vol. 51, Pp. 221-233.

59. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. — М.: Мир, 1980, 618 с.

60. Zhu J. On the higher-order bounded discretization schemes for finite volume computations of incompressible flows // Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 1992, Vol. 98, no. 3, Pp. 345-360.

61. Gaskell P.H., Lau A.K.C. Curvature-compensated convective transport: SMART, a new boundedness-preserving transport algorithm // International Journal for Numerical Methods in Fluids, 1988, Vol. 8, Pp. 617— 641.

62. Tuminaro R.S., Heroux M.A., Hutchinson 5.Л., Shadid J.N. — Official Aztec Users Guide, Version 2.1. — Sandia National Laboratories, Albuquerque, NM 87185, 1999.

63. Templates for the Solution of Algebraic Eigenvalue Problems: a Practical Guide / Ed. by Zhaojun Bai, James Demmel, Jack Dongarra et al. — SIAM, 2000, 410 pp.

64. Swarztrauber P.N. A direct method for the discrete solution of separable elliptic equations // SIAM Journal on Numerical Analysis, 1974, Vol. 11, no. 6, Pp. 1136-1150.

65. Van der Vorst H.A. BI-CGSTAB: a fast and smoothly converging variant of BI-CG* for the solution of nonsymmetric linear systems // SIAM J. Sci. Stat. Comput., 1992, Vol. 13, no. 2, Pp. 631-644.

66. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. 2:nd edition. — Philadelphia, PA: SIAM, 2003, 528 pp.

67. Trottenberg U., Oosterlee C.W., Schuller A. Multigrid. — New York: Academic Press, 2001", 631 pp.

68. Briggs William L., Henson Van Emden, McCormick Steve F. A Multi-grid Tutorial. 2-nd edition edition. — SIAM, 2000; 193 pp.

69. Arbenz P., Petersen W. Introduction to Parallel Computing A practical guide with examples in C. Oxford Texts in Applied and Engineering Mathematics no. 9. — Oxford University Press, 2004, 259 pp.

70. MPI: A message-passing interface standard.

71. Стивене У. UNIX: взаимодействие процессов. — СПб.: Питер, 2003, 576 с.

72. Hypre: a library of high performance preconditioners. https://computation.llnl.gov/casc/linearsolvers/slshy.

73. Karypis G., Schloegel K., Kumar V. METIS: Serial graph partitioning and fill-reducing matrix ordering, http://glaros.dtc.umn.edu/gkhome/metis/metis/download.

74. Karypis G., Schloegel' K., Kumar V. hMETIS: Hypergraph & circuit partitioning, http://glaros.dtc.итп.edu/gkhome/metis/hmetis/download.

75. Karypis G., Schloegel K., Kumar V. ParMETIS: parallel graph partitioning and sparse matrix ordering library, http://glaros.dtc.итп.edu/gkhome/metis/parmetis/downloa<

76. Pellegrini F., Chevalier C. Scotch library: software package and libraries for graph, mesh and hypergraph partitioning, static mapping, and parallel and sequential sparse matrix block ordering, http://gforge.inria.fr/proj ects/scotch/.

77. Direct numerical simulation of turbulent flow around a wall-mounted cube: spatio-temporal evolution of large-scale vortices / A. Yakhot, T. Anor, H. Liu, N. Nikitin // Journal of Fluid Mechanics, 2006, Vol. 566, Pp. 1-9.

78. Erturk E., Corke T.C., Gokgol C. Numerical solutions of 2-D steady incompressible driven cavity flow at high reynolds numbers // International Journal for Numerical Methods in Fluids, 2005, Vol. 48, no. 7, Pp. 747-774.

79. Albensoeder S., Kuhlmann H.C. Accurate three-dimensional lid-driven cavity flow // /. Comput Phys., 2005, Vol. 206, no. 2, Pp. 536-558.

80. Wakashima S., Saitoh T.S. Benchmark solutions for natural convection in a cubic cavity using the high-order time-space method // International Journal of Heat and Mass Transfer, 2004, Vol. 47, no. 4, Pp. 853-864.

81. Peutrec Y. Le, Lauriat G. Effects of the heat transfer at the side walls on natural convection in cavities // Journal of Heat Transfer (Transactions of the ASME (American Society of Mechanical Engineers), Series C), 1990, Vol. 112, no. 2, Pp. 370-378.

82. Fusegi Т., Hyun J.M., Kuwahara K. A numerical study of 3D natural convection in a cube: effects of the horizontal thermal boundary conditions // Fluid Dynamics Research, 1991, Vol. 8, no. 5-6, Pp. 221-230.

83. Janssen R.J.A., Henkes R.A\W.M.t Hoogendoorn C.J. Transition to time-periodicity of a natural-convection flow in a 3D differentially heated cavity // International Journal of Heat and Mass Transfer, 1993, Vol. 36, no. 11, Pp. 2927-2940.

84. Haldenwang P., Labrosse G. 2-D and 3-D spectral Chebyshev solutions for free convection at high Rayleigh number // Proceedings of the Sixth International Symposium on Finite Element Method in Flow Problems. — 1986,- Pp. 261-266.

85. Тест для численных решений трехмерной задачи о естественной конвекции в кубической полости / О.А.Бессонов, В.А.Брайловская, С.А.Никитин, В.И.Полежаев // Математическое моделирование, 1999, Т. 11, № 12, С. 51-58.

86. Darwish M.S., Moukalled F. TVD schemes for unstructured grids // International Journal of Heat and Mass Transfer, 2003, Vol. 46, no. 4, Pp. 599-611.

87. Бетчов P., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир, 1971, 352 с.

88. Moffatt Н.К. Viscous and resistive eddies near a sharp corner // Journal of Fluid Mechanics Digital Archive, 1964, Vol. 18, no. 01, Pp. 1-18.

89. Erturk E., Corke T.C., Gokgol C. Fine grid numerical solutions of triangular cavity flow // The European Physical Journal Applied Physics, 2007, Vol. 38, Pp. 97-105.

90. Численное моделирование ламинарного циркуляционного течения в кубической каверне с подвижной гранью / С.А. Исаев, А.Г. Судаков, Н.Н. Лучко и др. // Инженерно-физический журнал, 2002, Т. 75, № 1, С. 49-53.

91. Численный анализ струйно-вихревой картины течения в прямоугольной траншее / С.А. Исаев, П.И. Кудинов, Н.А. Кудрявцев, И.А. Пышный // Инженерно-физический журнал, 2003, Т. 76, № 2, С. 24-30.

92. Sheu Т. W. H., Tsai S. F. Flow topology in a steady three-dimensional lid-driven cavity // Computers & Fluids, 2002, Vol. 31, no. 8, Pp. 911 — 934.

93. Шкадов В.Я. Некоторые методы и задачи теории гидродинамической устойчивости // Институт механики. Научные труды №25. — М.: Изд-во Московского университета, 1973, — 192 с.