Теоретическое исследование плоского и осесимметричного кавитационного обтекания препятствий с криволинейными границами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

Чувашский государственный университет имени И. Н. Ульянова УДК 532.5 ■ ■ -

На правах рукописи ДИМИТРИЕВА Надежда Аркадьевна

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКОГО

И ОСЕСИММЕТРИЧНОГО КАВИТАЦИОННОГО ОБТЕКАНИЯ ПРЕПЯТСТВИЙ С КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ГРАНИЦАМИ

01.02.05 Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степенн кандидата физико-математических наук

Чебоксары 19 9 5

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Чувашского государственнного университета им. И. Н. Ульянова.

Научный руководитель — Заслуженный деятель науки ЧР, доктор физико-математических наук, академик НАНИ ЧР А. Г. Тсрснтьев

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Н. Д. Якимов, кандидат физико-математических наук, доцент В. Н. Васильев

Ведущая организация — Уфимский государственный авиационный технический университет

Защита состоится . ¿2. • _1П 5 Г г н ^О часов

на заседании специализированного совета К064.15.02 в Чувашском государственном университете им. И. Н. Ульянова по адресу: 428015, г. Чебоксары, ул. Университетская, д. 38.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Чувашского государственного университета.

Автореферат разослан „ _' Я_________НХ'Г) г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических паук /

А. В. Галашш

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена теоретическому исследованию плоских и осесимметрпчных задач кавптацпонного обтекания тел с криволпнеп-ншш образующими безграничным потенциальным потоком идеальной невесомой: несжимаемой жидкости.

Актуальность темы. Задачи кавптацпонного обтекания тел: жидкостью возникают при изучении движения с большими скоростями. Появление каверны за телом значительно изменяет его гидродинамические характеристики. Исследование их в реальных условиях сопряжено с большими трудностями, поэтому важное значение приобретает теоретический анализ кавитационного обтекания различных модельных препятствий идеальной жидкостью и выработка рекомендаций к практическому использованию его результатов.

Цель работы. Целью работы является решение плоских и осесимметрпчных задач казптацпошого обтекания препятствий с кртзолн- , нейиыми образующими и выявление зависимости основных гидроди-намнческих и геометрических характеристик течения от числа кавитаций и размеров обтекаемого тела.

Научная новизна. Научная Еовизна работы состоит:

1) в использовании схемы ТУлина-Терептъева для решения плоских: И осесимметрпчных задач о кавитацпонном обтекашш препятствий с грМолйнепзньши образующими методом' Левп-Чшзпты;

2) в решении задачи о казптационпем обтекашш криволинейной Дуги Заданных размеров и подробных числовых расчетах для дуг окружности;

3) а решешзз задачи о хавптадпоЕцем обтекании криволинейной ЙУгй новым методой, осноланзым' на конформном отображении фи-ЗйЧёской области течения на внешность окружности единичного радиуса;

4) в применении нового метода решения осесташетричной задачи кавитационного обтекания крщюлшкйных препятствий, основанного на методах теории р-анатггичеенлх функций комплексного переменного;

5) в численном решении задачи о кавптацпонном обтекашш сферических сег&ейт1 ов для всего диапазона изменения их размера.

Две^ааарйость. Достоверность полученных результатов подтверждайся строгим решением поставленных краевых задач, сравнением полученных числовых результатов с расчетами других авторов.

Практическая ценность. Результаты диссертационной работы позволяют выявить основные закономерности казитацнонных течений, возникающих за телами цилиндрической и сферической форм. Полученные результаты могут применяться при обработке экспериментальных данных для оценки влияния числа кавитации п положения линии отрыва потока на основные характеристики течения.

Апробацпя работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались Еа Татарской Республиканской конференции молодых ученых в г. Нижнекамске; в 1976 г.; на Итоговых научных конференциях преподавателей и сотрудников Чувашского государственного университета им.' И.Н.Ульянова в 13S2, 1984, 19S5 г.г.; на Всесоюзных школах но гидродинамике больших скоростей з г. Чебоксары в 19S9 г. и в 1993 г.; па научной конференции "Молодые ученые - науке" в Чувашском государственном университете им. И.Н.Ульяноза з 1993 г.; на научном семинаре, посвященном 80-летпю со дня рождения профессора С.Ф.Сайкппав Чувашском государственном университете ни. И.Н.Ульянова в 1994 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано три работы, а также часть результатов включена' во второе издание монографии Л.И.Гуревича "Теория струй идеальной нсидкости", 1979 г. (§17 и §25 написаны г.втером (H.A.Гладковой) совместно с А.Г.Терентьевым)

Стрз-тстура а объем работы. Дпссертаиня состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы — 143 страницы. Количество рисункоз — 40. Таблиц — 11. Список

литературы насчитывает 95 наименований. * j

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи работы, дал обзор литературы по затронутым вопросам и кратко изложены основные результаты.

Б первой главе решена плоская задача о казитационном обтекании по схеме Тулпна-Терентьеьа криволинейного контура безграничным потенциальным потоком идеальной невесомой несжимаемой ясид-костп. Струйное и кавитационное обтекание криволинейных контуров^ в основном, окружности с гладким отрывом струй, по рэллнздым схе-

мам рассматривала Леви-Чпвита, Бриллюэн, Впллаг А.И.Некрасов, Я.И.Секерж-Зенькович, П.П.Куфарев, М.И.ГУревич, Эпплер, Г.Н.Пых-теев, В.А.Штанько, П.А.Прохоровпч, П.Д.Карпенко и др. Схема Тули-на-ТереЕтьева раньше в таких задачах не исследовалась.

В §1 дана постановка задачи, сформулированы граничные условия. Пусть криволинейный контур задал уравнением

П*,У) = 0, (!)

где Г(х,у)-функция декартовых прямоугольных координат х и у, непрерывная и обладающая непрерывными производными до второго порядка включительно. Кроме того, ¥{х,у) = Р(х, —у), т.е. контур симметричен относительно действительной оси Ох (начало координат совладает с критической точкой на теле).

Пусть поток, движущийся на бесконечности со скоростью , направлен параллельно оси Ох. Считается известным число кавитации

'

где г»о-скорость жидкости на границе каверны.

При сделанных пр едлоложеииях выполняются следующие краевые условия:

йа смачиваемой части твердого тела и границе каверны (условие ЙеймаЕа)-нормаяьная компонента скорости

»« = 0, .. (3)

на границе каверны (динамическое условпе)-скорость жидкости

V -щ. (4)

Вео ограничения общности решения задачи полагается, что ь0 = 1.

Вместо непосредственного отыскания комплексного потенциала ы(г) рассматривается функция Жуковского:

= (5) '

где 0-угоя наклона вектора скорости к оси Ох, которая в конце каверны шеет особенность вида

и ~ (ш - •ше)-'112,у} -* гис, (6)

где гие- комплексный потенциал в точке замыкания каверны. Известно [Терентьев А.Г. К нелинейной теории кавитацповного обтекания пре-мтстзай// Пев. АН СССР. МЖГ. 1976. N1. С. 158-161), что такой

класс функций определяет кавитационное течение, неразрывное на бесконечности, т.е. можно провести замкнутую кривую Ь, охватывающую тело п каверну, такую, что

к

„/--=»■ (7)

При кавптацпонном обтекании гладкого криволинейного контура неизвестны точкп отрыва потока от твердой границы. Для их определения вводится дополнительное условие о гладком сходе потока с контура. В этом случае выполняется равенство кривизны твердого тела п границы каверны в точке отрыва (условие Брпллюэна-Вилла)

/От — к*. (8]

Если же рассматривается криволинейная дуга, то точками отрыва струй следует считать концы дуг, т.е. в этом случае точки отрывг известны, но условие {8) не выполняется, поскольку оо.

Ввиду того, что течение за произвольным криволинейным контурок может оказаться неоднолистным, так как теоретически срывающиеся струп могут пересечь поверхность тела, то обтекание таких препятствий требует дополнительного анализа на глобальную однолистность В диссертационной работе рассмотрено кавптацпонное обтекание крн волинейного клина с углом прп вершине, равным 2тги (рис. 1,а), дш которого такой анализ не требуется.

В§2 приводится общее решение поставленной задачи методом Леви Чшшты. Для решения задачи (3), (4) физическая область и облает! изменения комплексного потенциала конформно отображаются на вер хнпй полукруг единичного радиуса .параметрической плоскости < = = £+гт]. При этом смоченной жидкостью части контура соответствуем дуга окружности 1 = е11Т(0 < <т < тг), а границам каверны-ее дпамет] t = £(—1 < £ < 1). Бесконечно удаленная точка.переходпт в точку t — ь (О < й < 1) на мнимой осп, где ¿-некоторое неизвестное число (рис 1,6,в). '

Тогда гидродинамическая задача сводится к нахождению компнек сного потенциала ли{{) и функции Отображающая функция г{1 определяется из уравнения

Производная комплексного потенциала найдена по нулям и особенно

ГЯМГ , / .. Ч

¿Ю _ (<4 - 1)*

Л + ¿2)2(^2 + 1)2'

;е а - действительная постоянная.

Функпия ш(^) удовлетворяет следующим краевым условиям:

=0 на границе каверны, (11)

1тш(£) = -¿¡(г) на смоченной части границы тела, (12)

це /3(4)- угол наклона касательной к контуру с осью Ох, эта функция епзвестна.

В соответствии с методом Левп-Чпвпты, функция ш(1:) отыскпва-гся в виде суммы

шф = <4)(<)+П(*), (13)

1е функция о>о(*) учитывает особенность ш({) в критической точке

иоф^ьЬ! (14)-

функция П(£), согласно (6), является мероморфвой в круге < 1 с ростым полюсом в начале координат и представляется в виде ряда орана

оо

т = Е С2„-г«3»"1 (15)

п=0

неизвестными действительными коэффициентами С2„_1 ,п = 0,1,2,... Формулы (10), (13) и уравнение (9) представляют параметрическое гшенпе задачи.

Для определения содержащихся в общем решении параметров пользуются соотношения, выражающие условие неразрывности тече-хх на бесконечности, условие для комплексной скорости при г —» со, тематическое условие (3). Кроме того, для определения точки от-ыва удовлетворяется условие (8),либо эта точка фиксируется, тогда ¿есто соотношения (8) используется уравнение, задающее ее положе-1е.

В §3 рассматриваются геометрические и гидродинамические харак-грисТйки течения. Форма каверны определяется интегрированием (9) э Действительному диаметру параметрической области. Длина ка->рны определяется как расстояние от точки отрыва до топ точки на шерне, гДе касательная параллельна осп Оу; ширина-как расстояние Г осй Ох до найвысшей точки каверны.

Результирующая сила, действующая на весь контур, определяется соотношением (ГУревпч М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука. 1979. 536 е.):

Х + гУ = -^и / ¿г- /

" \ ВгАВ ВИ, где В] АВ-смачпваемая часть контура. • Коэффициент сопротивления

где /-характерный линейный размер.

Для определения сопротивления применяется также формула А.Г. Терентьева (Математические вопросы кавитации. Учеб. пособие/ Чебоксары: Чуваш, ун-т. 1981. 131 е.): А" = ри^Ус* > гДе Ус+~ ордината центра спирали, которой заканчивается верхняя струя каверны. Тогда коэффициент сопротивления Сх — (К

В §4 описаны два метода определения ьепзвестных коэффициентов с2п_1," = 1,2,...: метод коллокации и метод итераций.

Метод коллокации. Ограничивая число членов ряда (15) некоторой величиной ТУ, полагают тем самым, что с2„_ 1 = 0 при п > N. Для определения неизвестных С2П-ъп — Ц вместо кинематического условия (3) в отдельных точках (точках коллокации) на дуге окружности параметрической области удовлетворяют уравнение, выражающее равенство кривизн линии тока п контура на смачиваемой его части:

а /Сц — Кл.т.- (^0

Это приводит к системе N нелинейных уравнении.

Метод итераций. Для построения итерационного процесса используется равенство

§ = 0<<т < я/2. (18)

После умножения обеих частей этого равенства на 5т(2п - 1)сг и интегрирования в пределах от 0 до 7г/2, получены соотношения

, * /»/2 7 .

¿г

3(Г

яп и ¿а, (19)

С2п"1 = ЩяЬт) 1Т |а? (2п - 1)а**>" = 2'3* ■ • •' (20)

которые прп заданных <1 а, й определяют итерационный процесс для

нахождения неизвестных коэффициентов с2„-ь п = 1.2.....

Ход решения задачи прп этом несколько различается для случаев эбтеканпя с гладким отрывом II заданной точкой схода струп.

Итерационный процесс считается завершенным, если мала относительная погрешность определения параметров и коэффициентов

1 =1,2..... При этом сохраняются только первые ЛГ коэффициентов,

соторые удовлетворяют неравенству:

!С2.У+1|>£(|С1|4-|С3| + ...|С2Л._1|). (21)

1а каждом шаге итераций требуется решать систему только из трех 1е.игнейных уравнений, определяющих параметры а,<1 п С\.

Метод коллоканпп традиционно использовался при решении задач :авитаттонного обтекания криволинейных препятствий, применение ке .метода итерации в этих задачах нам неизвестно.

В качестве предельных случаев в §5 рассмотрено обтеканпе по схе-им Кпрхгофа п Чаплыгина-Кольшера. Показано, что непрерывный федельнып переход от схемы Тулина-Терентьева к схеме Кирхгофа юзможен лпшь прп ус.товпи С\ > -4и. В этом случае решение задачи >б обтекании криволинейного контура по схеме Кирхгофа определяйся нз соотношении (9), (10), (13) при К — в, — с\ = 0. При К — 0. но ! = 0.С] Ф 0 приходим к течению с конечной каверной.

Схема Чаплыгпна-Кольшера, которой соответствуют замкнутая ха-:ерна с точкой возврата и числа кавитации —1 < К < 0, получена гз обшего решения задачи при с_1 = 0,сх < -4гл Прп числе кавнта-щн К — 0 в этом случае получается каверна с удаленной в бесконеч-юсть точкой возврата. Отмечено также, что значения параметров ■ г- 0, сц 0, С] < -4у отвечают хавитаппонному обтеканию по схеме улива-Терентьева при отрицательных числах кавитацпи -1 < К < 0.

Примеры реализации алгоритма, оппсанпого в §2-5, приведены в сле-ующпх двух параграфах. В §6 рассмотрено кавптацнонное обтекание ругового цилиндра с гладким отрывом струи, т.е. удовлетворяющим словпю (8). Общее решение задачи получено по формулам (9^. (НУ), 13) при V — 1/2. Угол отрыва каверны с цилиндра (цептралып.га угол, тсчитываемый от критической точки) определен пз соотношения:

7 = £-<Ятг). {22'

де в( -) - угол наклона касательной к контуру в точке отрыва каверны. Гредстагглены числовые расчеты для широкого диапазона пзмонепшг

числа кавитации -1 < К < 3,2. Для определения коэффициентов ряда (15) использовались оба метода, описанные в§4. Приведены также расчеты обтекания кругового цилиндра по схемам Кирхгофа и Чаплыгина-Кольшера. По полученным результатам можно сделать следующие выводы:

1) для чисел кавитации 0 < К < 3,2 существуют два значения угла 7, удовлетворяющие условию Брцллюэна-Вилла, однако, лишь одно из них (первое решенпе - 71) соответствует навигационному обтеканию кругового цилиндра, другое значение (второе решение - 72) отвечает кавитацпонному обтекашио дуги окружности с гладким сходом струй с нее, поскольку срывающиеся струп пересекли бы цилиндр;

2) течениям при отрппательных числах кавитации -1 < А' < 0 по схеме ТУлпна-Терентьева отвечают углы отрыва 7 > 7* = 152,45°, где 7* соответствует обтеканию по этой схеме с нулевым числом кави-тацип; при каждом значении К в этом случае имеется единственное значение 7;

3) сравнение полученных значений коэффициента сопротивления кругового цнлпндра (первое решенпе) с известными расчетами других авторов показало,что з'довлетворптсльное согласование результатов расчетов по различным схемам наблюдается лишь для малых чисел кавитации;

4) оба метода определения.коэффициентов С2П-ъп = 1 ■ Л* дали согласованные результаты; значения абсолютных величин этих коэффициентов для второго решения убывают медленнее, чем для первого, поэтому при решении задачи о кавптацпонном обтекании дугп окружности с гладким отрывом струй в методе коллокацли следует сохранять большее их число.

Кавптационнос обтекание дугп окружности с произвольным отрывом струп с. нее рассмотрено в§7. Общее решение задачи в этом случае находилось также по формулам (9), (10),(13) при v — 1/2, но з системе уравнений для определения неизвестных параметров и коэффициентов c2n_i, п — 1,2,... вместо условия Бриллюэна-Вилла использовалось уравнение (22),которым фиксировался отрыв каверны с концов дуге. Привезены результаты числовых расчетов для чисел ъазиташш К — = - 0,5: 0; 0,2; 0,5 и 1,0 и всего диапазона изменения утла 7 : 0° < 7 < < 180°. Для определения коэффициентов 'cp„_i,n = 1,9 попользован метод коялокашш. Рассмотрело таоке о бтепанпе дут окружности по схеме

ю

Кирхгофа. Числовые расчеты показали, что:

1) зависимость коэффициента сопротивления дуги окружности от ее размера для неотрицательных чисел кавитации имеет два максимума и минимум; размер дуг, для которых достигаются максимальные значения Сх , совпадают с 71 и 72;

2) зависимость длины и ширины каверны от размера дуги достигает максимальных значений при у — 71;

3) с увеличением размера дуги сходимость коэффициентов с2п-ь п = = 1,2,... ухудшается и для уточнения результатов следует сохранять большее их число;

4) кавптацпонное обтекание дуг окружности размерами у\ < у < 72 можно рассматривать как кавптацпонное обтекание кругового цилиндра с негладким сходом струй с него, в отличие от этого, при у < у\ п 7 > 72 струи пересекли бы цилиндр;

5) для дуг окружности размерами 7 > 7гнарушается первое условие Брпллюэна: скорость жидкости на дугах становится больше значения скорости жидкости на границе каверны;

6) течепие по схеме Кирхгофа за дугами окружности осуществляется только для дуг размерами у < = 124,21°; ирп 7 > 7кр течение с нулевым числом кавитации соответствует обтеканию с конечной каверной:

7) для дуг размерами у > у0, где 70 для каждого значения числа кавитации соответствует схеме Чаплыгина-Кольшера, возмо:кно течение с отрицательными числами кавитации -1 < К < 0 и незамкнутой каверной, зависимость коэффициента сопротивления от размера дуги в отом случае имеет один максимум, соответствующий гладкому отрыву.

В§8 для параметрического решения задачи, поставленной в §1, применено конформное отображение внешности окружности единичного радиуса с центром в начале координат на физическую область течения и плоскость комплексного потенциала. Конформное отображение осуществлено такпм образом, что границы обтекаемого контура и каверны переходят в окружность. Точкам отрыва каверны в параметрической плоскости соответствуют точки { = е±;сг°, где сг0 неизвестная величина. Бесконечно удаленные точки : = мии, = зо отображаются в бесконечно удаленную точку t — со (рис. 2,а,б).

Производная функшш

¿м Л 1 \

п

В отличие от предыдущего решения, где рассматривалось представление Леви-Чпвиты лля функции Жуковского, здесь отыскивалась непосредственно производная отображающей функции (Ь/(И. Эта функция представлена в виде суммы трех слагаемых

<Н (Н ' (11 + а ' и4)

где функции п dz\|dt содержат те же особенности, что и фун-

кция dz/dt в точке замыкания каверны и в критической точке, а функция ¿Гм/Л как аналитическая представлена в виде ряда Лорана в окрестности бесконечно удаленно!: точки.

Функции (23) и (24) представляют параметрическое решение задачи, с ттх помощью найдены комплексно сопряженная скорость течения и конформно отображающая фупкиня, а затем и все гидродинамические п геометрические характеристики течения. В частности, определены координаты центров спирален, которыми заканчивается каверна.

Для определения неизвестных, входящих в решение задачи, использованы уравнение (1) и динамическое условие (4), которые удовлетворялись в отдельных точках окружности в параметрической области, условие замкнутости (7), условие зля скорости на бесконечности, а также дополнительное условие в точке замыкания каверны г'(1) —0.

В качестве примера реализации предложенного алгоритма рассмотрена задача о кавигацйошюм обтекании дуги окружности. При численном решении сохранялось конечное число членов ряда Лорана. Проведен анализ влияния их количества на точность решения задачи. Результаты расчето'в сопоставлялись с решением этой же задачи в §7, по ним мелено сделать следующие выводы:

]) при достаточном количестве точек коллокашш па границе тела п каверны результаты расчетов размеров каверны и коэффициента сопротивления хорошо согласуются со значениями,полученными в §7;

2) коэффициенты ряда Лорана сходятся медленно, поэтому количество сохраняемых коэффициентов, а значит и число точек коллокащш следует увеличивать с уменьшением числа кавитации и увеличением размера дуги.

Изложенный подход к решению задачи имеет, по сравнению с классическим методом Левп-Чнвпты, более универсальный характер и, что очень важно, может быть использован при исследовании осеспмме-тричного кавптацпонного обтекания. В литературе этот метод ранее не рассматривался.

дг

Во второй главе рассматривается осесимметричное кавптацион-ное обтекание безграничным потоком жидкости криволинейных препятствий с заданной линией отрыва каверны с помощью методов те-орпп р-аналитпческих: функций комплексного переменного. В качестве схемы кавптацпонного обтекания использована также схема Тулпна-Терентьева. Нелинейные задачи осеспмметрпчного кавитапионного обтекания различными методами рассматривались в работах В.В.Крылова. Бреннена, В.Н:Шепеленко, П.Р.Гарабедяна, Л.И.Гузевского, Э.Л. Амромпна. А.Н.Иванова. Г.Т.Тодорашко, Л.А.Кожуро, А.В.Бурова, Г.И.Субханкуловн. А.Н.Хомякова. Н.Н.Ясько п др. В качсстае схем кавптацпонного обтекания применялись схемы Рябушинского и Жуков-ского-Рошко. Численные результаты получены, в основном, для диска, и конусов. Методы теории />-аналитических функций к решению таких задач применены О.Г.Гоманом (Гомап O.P. О законе эквивалентности между плоскими и осесимметричными течениями с каверной// III Республиканская конференция по прикладной гидромеханике "Проблемы гидромеханики в освоеппп океана". Тез. докл./Кпев: Ннст-т гидромеханики. 19S4. Ч. IIA. С.181), где рассмотрено казпташюиное обтекание диска при малых числах кавитации.

В §9 приводится постановка задачи. Пусть некоторое тело вращения с криволинейной поверхностью обтекается со срывом струй потенциальным потоком идеальной невесомой несжимаемой жидкости, имеющим на бесконечности скорость vx, направлению вдоль осп симметрии тела. Пусть осью симметрии течения является ось Ох декартовой прямоугольной системы координат, начало которой находится в критической точке. Положение линии отрыва потока с тела считается известным. Пусть граница меридионального сечения тела задана уравнением (11. Известным считается также число хавптаики.

Поскольку течение является безвихревым, то существует потенплал скоростей Ф(х.у), который в области течения удовлетворяет уравнению Лапласа: „

■ 02ф , 52ф 19Ф

T^ôF+y^-0, (2о)

а на границах области течения-условпям:

- = 0 яа поверхности тела и каверне, (26)

j 2 -i- 2 = vi = 1 на границе каверзы, (27)

где г'о - скорость на границе каверны. Кроме того, должно также выполняться условие, выражающее возможность охвата системы тело-каверна в меридиональном селении физической области непрерывной замкнутой кривой Ь:

£¿2=0, (28)

где ¿-комплексная переменная г = х + гу.

Так как задача обладает осевой симметрией, то введена и функция тока'Ф(г,у), которая связана с потенциалом скоростей соотношениями

о® Ш. ^ = (29)

дх у ду' ду у ох к '

Для удобства изложения рассматриваемое течение представлено как

Ф(х,у)=уаах + <р(х,у), (30)

Ф(г,у)=»'00у2/2 + ^(х»у), (31)

где <-р{х,у) и гр(х, у)-потенциал и функция тока возмущенного течения, которые также удовлетворяют уравнениям (29).

Введена в рассмотрение функция ад (г) '¿(х, у) + гф(х,у), которая является р-аналитической с характеристикой р в области течения и для ее определения далее применены методы теориир-аналитических функций комплексного переменного, разработанной Г.Н.Положпм (По-, ложий Г.Н. Теория и применение р-анапитпческпх'и (р, «^-аналитических функций. Киев: Бажова думка. 1973. 424 с.).

Основные интегральные представления р-аналитическнх функций с характеристикой р = у и их производных через обычные аналитические функции, обладающие определенными условиями во внешней области (интегральные представления Положил) получены в работах

0.Г.Гомана, ВЛ.Жптшзкова, А.Г.Терентьева. Некоторые из кпх приведены в §10.

В§11 рассмотрено применение этих интегральных преобразований к решению задачи об осеснмметрлчном кавитацпонном обтекании тела с криволинейной поверхностью, меридиональным сечением которого является криволинейный клин с углом при вершине, равным 2,7и (рис.

1.а). Потенциал скоростей и функция тока представлены в виде:

А

'5(0

и

*(*, у) = vjl + Im /; /СОСС -

а пх производные-

5Ф 104' 1T r--

="» ^f ш ~ * w

гДе ff(0 = V(c _ r)(( - ~)i/(C) — "(i,»?) + n;(f, 77 ^неизвестная анали-ппесш функция, удовлетворяющая условиям Im/(£,0) = 0п |/(C)i = = О (|(Г1_Г), г = const > 0 при £ —» оо. Штрпх означает производную фикции /(С)- У многозначной функции g(Q выбирается одна из однозначных ветвей из условия Img(() > 0 на интервале (0, г).

При у — О функция

Ф(г,0) = |и(1,0)+1;С!о1. (34)

После подстановки (33) в уравнения (26), (27) полз^чена система иптегро-дифференциальных уравнений относительно функции /{:)■ В критической точке, согласно (34), зд;озлегворяется условие:

^и'.(0,0)Ч-т;оо = 0. (35)

t

Параметрическое решение задачи приведено в§12. Конформное ото- • сражение меридионального сечения области течения на внешность окружности единичного радиуса вспомогательной плоскости комплексного переменного t = s-f |i| > 1 осуществлено таким образом, что смачиваемая часть телап граница каверны переходят в окружность !£[ = 1, а бесконечно удаленная точка г = сх>- в бесконечно удаленную точку параметрической плоскости i. Точке отрыза каверны соответствует некоторая точка I -- е!гт°, где с0-зеличииа, подлежащая определению. Такой выбор параметрической области позволил применить подзсод, аналогичный тому, который использован в §S и воспользоваться конформно отображающей функцией :(t), построенной при решении соответствующей плоской залачи.

Неизвестная аналитическая фликпдя f(z) представлена в виде ряда Лорана 2 окрестности бесконечно удаленной точки параметрической плоскости.

Для решения системы уравнений (26). (27) совместно с уравнениями (Г), (28), (35) применен метод коллокации и определение неизвестных параметров сведено к решению системы нелинейных уравнений.

В §13 определены гидродинамические и геометрпческпе характеристики течения. Поскольку геометрия меридионального сечения течения совпадает с геометрией области течения при плоском кавптаци-онном обтекании криволинейного клина, то для отыскания геометрических характеристик течения использованы соответствующие соотношения из §8. Сопротивление осеспмметрпчного тела:

_X=vplH°(vt-v*)ydy, (36)

где j/o-радиус сечения тела в плоскости отрыва каверны. Коэффициент сопротивления:

=JiС . (37)

где Я - радиус характерного сечения тела, v2 = (Ц)' -Ь •

Для сопротивления тела при у0 -» 0 получено соотношение:X = = -pv^y^^/'I. где ус+ -ордината-центра сппралп, которой заканчиваете! верхняя струя в меридиональном сечении границы каверны. Коэффициент сопротивления Cs = (К + 1 )(/£•+/#-. -

Применение методов теории ^-аналитических функций к решению задачи безотрывного осеспмметрпчного обтекания тела вращения рассмотрено в §14. В качестве примера решена задача о безотрывном обтекашш сферы единичного радиуса в двух различных постановках, когда на всей границе задано ее уравнение и когда на части границы известно распределение скорости, вид ее определялся из решения задачи. Эти алгоритмы использованы в качестве отладочных тестов при решении задачи о кг.внташюяном обтекании сферы, рассмотренной в последнем параграфе.

В §1Г> решена задача о кавптационном обтекашш сферических поверхностей. Приведены результаты числовых расчетов для значений коэффициента сопротивления, размеров каверны, а также ее формы и распределении скорости на сферической поверхности для чисел кавитации Л'=(),2, 0,5 и 1,0 и всего диапазона изменения размера поверхности, определяемого центральным углом 7 меридионального сечения, отсчитываемого от критической точки: 0° < у < 180°. При расчетах сохранялось конечное число членов рядов Лорана, входящих в решение

it;

задачи. Их количество менялось в зависимости от числа кавитации и размера сферической поверхности. Расположение точек коллокации, общее число которых зависит от количества неизвестных, варьировалось в зависимости от названных параметров.

Основные результаты расчетов показаны на рис. 3,4,5. Там же для сравнения пунктирными линиями нанесены аналогичные результаты расчетов §7, относящиеся к кавитациояному обтеканию дуг окружности, По числовым результатам можно сделать следующие вывозы:

1) зависимость коэффициента, сопротивления сферических поверхностей, вычисленного как отношение сопротивления к площади мпделе-вого сечения соответствующей сферы, от пх размера при фиксированном чпсле карптадпи пмеет, как и з плоском случае, два максимума п минимум, прдчем диапазон изменения размеров сферических поверхностей, КОГЯЯ обтекание их можно рассматривать как обтекание сферы (апачентт-Д 7 между двумя максимумами), меньше аналогичного диапазона изменения размеров дут окружности, когда пх обтекание можно рассматривать как обтекание кругового цшшндра (рис.3);

2) зависимость относительных длиеы п ширины каверны от размера поверхности дм<*ет максимальное значение, соответствующее углу 7, при котором доетя??.ется первый максимум коэффициента сопротивления, причем при фиксированном чпсле кавитации в осесимметрцчном случае каверны короче п уже, чем для плоского течения (рис. 4,5);

3) сопоставление рассчитанных характеристик течения с результатами друтцх авторов, которые находили пх с учетом условия.Брпллтээ-на-Вдлла, показало, что значения углов гладкого отрыва каверны со сферы, полученные в данной работе, соответствующие первому максимум}' Сх{у),К — const, несколько превосходят значения, полученные дру?тш авторами (на рисунках-о - результаты Бреннева, ъ— JI-А.Кожуро, о-Э.Л.Амрсмпна и А.Н.Иваяова); ' '"

4) коэффаанента рядов Лорана, входящих в решение задачи, имеют медленную схрзямость, поэтому для более точных расчетов следует сохранять большее пх число и использовать более мощные ЭВМ (расчет в работе нроведен pa IBM РС/АТ-386).

В ВйШЮЧеиип сформулированы следующие основные полученные в диссертдггоя результаты:

1. К рещещпо ij.tcсрой, задачи о кавитацпонном обтекании криволинейного препятствия методом Левп-Чпвтггы прпменепанеисследовал-8 ТЗ.ЯШ пааачзх ежма ТУлипа-Тер еятъ ева-

2. На оснОвалии результатов числовых расчетов кавитационного обтекания кругового цилиндра выявлено, что условие Бршшоэна-Вплла не обеспечивает единственность решения задачи. Найдены два решения, удовлетворяющие этому условию. Лишь одно из них отвечает ка-вптационному обтеканию кругового цилиндра, второе - кавитационно-му обтеканию дуги окружности с гладким сходом струй; при этом для последнего течения не выполняется первое условие Бриллюэна.

3. По результатам числовых расчетов кавитационного обтекания дуги окружности заданных размеров выявлено, что зависимость коэффициента сопротивления, вычисленного как отношение сопротивления дуги к ее радиусу, от размера дуги имеет два максимума и минимум. Установлено, что максимальные значения соответствуют обтеканию дугп с гладким сходом струй.

4. Подробно изучено обтекание кругового цилиндра и дуг окружности по схемам Кирхгофа и Чаплыгпна-Кольшера. Получены условия, при которых возможен непрерывный предельный переход от схемы Тулина-Терентьева к схеме Кирхгофа.

5. Разработан метод решения плоской задача о кавйтационном обтекании препятствий с криволинейной границей с фиксированными точками отрыва каверны с помощью отображения фпзйческой области течения на внешность крута единичного радиуса. Установлено, что характеристики кавитационного обтекания дуг окружности, рассчитанные этим методом, удовлетворительно согласуются с результатами применения метода Левп-Чивпты (пункт 3).

6. К решению задач осесимметричного кавитационного обтекания препятствий с криволинейной поверхностью применен подход, основанный на методах теории р-алалитических функций комплексно! о переменного.

7. С помощью этого метода подробно изучено кавятационное обтекание сферических поверхностей по схеме Тулпна-Тсрентьева. Выяйле^' но наличие двух максимумов и минимума в зависимости коэффициента сопротивления сферического сегмента, вычисленного как отношение сопротивления тела к площади миделевого сечешхя соответствующей сферы, от размера сегмента.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Дикитриева Н.А., Филиппов В.И. Численный анализ методов кол-локации и итерации в кавиташюнных задачах//Гидродэтсгьмка, огра-

шпенных потоков/ Чебоксары: Чуваш, ун-т. 1988. С. 40-45.

2. Дпмптриева H.A. Применение р-аналитических функций к решению задач осеспмметричного кавитацпонного обтекания криволинейных препятствий// Молодые ученые-науке. Тезисы докладов парной конференпип/ Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та. 1993. С.8-11.

3. Димптрпева H.A. Применение р-аналптпческих функций к решению задачи осеспмметрпчного кавитацпонного обтекания криволинейных препятствий// Актуальные задачи математики и механпки/ Чебоксары: Чуваш, ун-т. 1995. С. 50-58.

Ряд результатов, относящихся к струйном}- и кавлтапионному обтеканию кругового цилиндра, вошли во второе издание монографии М.И. ГУревпча "Теория струй идеальной жидкости", 1979 г.,§§17,25.

У Ч,

D А <7Г1/ Л v с D

V. О

а)

w

D А В С D

О В,

б)

Рис. 1

-Ф

W

• D А в

С D

-2а В, О

2а

Рис. 2