Кавитационное обтекание профилей произвольной формы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Наборова Марина Владимировна ?

^ /

Кавитационное обтекание профилей произвольной формы

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 1997

Работа выполнена в НИИ математики и механики им. Н.Г. Чеботарева ггри Казанском государственном университете.

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор

Д.В. Маклаков

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор

Р.Б. Салимов

доктор физ.-мат. наук, профессор. A.B. Поташев

Ведущая организация: Уфимский государствен-

ный авиационно-технический университет, г. Уфа

Защита диссертации состоится г.

в 14 час. 30 мин. в ауд. физ.2 на заседании диссертационного совета Д 053.29.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по механике при Казанском государственном университете по адресу: 420008. Казань, ул. Ленина. 18. КГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КГУ.

Автореферат разослан '^fll 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук

A.A. Саченков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Необходимость теоретического и экспериментального изучения режимов кавитационного обтекания тела обусловлено широким распространением кавитирующих механизмов и двигателей в различных областях техники. При исследовании гидродинамических характеристик крыльев и винтов, а также при проектировании, в связи с тем, что проведение натурных экспериментов и модельных испытаний в кавитациоппых трубах и бассейнах требует больших затрат, значительная роль отводится теоретическим методам и численным экспериментам. Теоретическое исследование обтекания кавитирующего крыла приводит к сложной нелинейной краевой задаче с неизвестными границами. Это объясняет значительный интерес, проявляемый к проблеме кавитации со стороны ученых - механиков и математиков. Исследование кавитационного режима обтекания реального гидропрофиля проводится, как правило, при упрощающих предположениях линейной теории. Методы, основанные на точном удовлетворении граничных условий развиты недостаточно.

Цель диссертационной работы.

Решение в точной нелинейной постановке задач кавитационного и отрывного обтекания профилей произвольной формы потоком идеальной жидкости, построение алгоритмов расчета гидродинамических характеристик течения.

Научная новизна результатов.

Впервые разработан метод, позволяющий решать в точпой нелинейной постановке задачу о кавитационном обтекании гидропрофиля реальной формы, проведены систематические расчеты обтекания профиля Жуковского с интерцептором и без него, исследовано влияние положения точки отрыва каверны и длины интерцептора на геометрические и гидродинамические характеристики течения.

Обоснованность и достоверность, полученных результатов в рамках принятой модели идеальной несжимаемой жидкости обеспечиваются: применением строгих математических методов при построении решений, комплексом мер по проведению внутренних проверок точности вычислений, сравнением с результатами других авторов.

Практическая ценность.

Разработанный в диссертации метод и полученные результаты могут быть использованы для расчета геометрических и гидродинами-

ческих характеристик кавитирующих профилей при их проектировании.

Апробация работы.

Результаты диссертации по мере их получения докладывались: на международной школе "Модели механики сплошной среды" (Казань, 1993), на научно-технической конференции "Проблемы совершенствования комплексных методов прогнозирования мореходных качеств судов и средств освоения океана" (Крыловские чтения, Санкт-Петербург, 1993), на международной научно-технической конференции "Механика Машиностроения" (Набережные Челны, 1995), на научной конференции "Динамика сплошных сред со свободными границами", посвященной 60-летию заслуженного деятеля науки Чувашской республики А.Г. Терентьева (Чебоксары, 1996), на VI Всероссийской научной школе "Гидродинамика больших скоростей" (Чебоксары, 1996), на II республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов (Казань, 1996), на итоговых научных конференциях Казанского университета и семинарах НИИММ им.Н.Г. Чеботарева (1992-1996).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1], [2], [3], [7], тезисах и аннотациях докладов [4], [5], [6]. Ряд работ выполнен в соавторстве с Д.В. Маклаковым. При написании совместных работ автор диссертации принимал непосредственное участие во всех этапах их выполнения. Содержание главы 2 включено в монографию Д.В. Маклакова "Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами". Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Главы диссертации разбиты на параграфы, общее число которых - двенадцать. Диссертация изложена на 116 страницах текста, набранного в издательской системе ЬаТех. Формат набора в точности соответствует формату данного автореферата.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы и на основе анализа близких по тематике публикаций показано место данной работы в общем ряду исследований, посвященных отрывному и кавитационному обтеканию препятствий; изложено содержание работы и сформулированы основпые результаты, выносимые на защиту:

1. Численно-аналитический метод расчета струйного и кавитаци-онного обтекания профилей произвольной формы.

2. Результаты числовых расчетов для различных профилей по схемам Кирхгофа и Тулина-Терентьева.

3. Результаты числовых расчетов по исследованию влияния ин-терцептора на гидродинамические характеристики кавитирующего профиля. ,

4. Численный анализ экстремальных свойств течений, удовлетворяющих условиям гладкого отрыва.

К настоящему времени кроме большого числа публикаций в периодических изданиях вышло в свет несколько монографий, освещающих различные аспекты кавитации. Среди них могут быть названы монографии Г. Биркгофа и Э. Сарантонелло, Д. Гилбарга, М.И. Гу-ревича, О.М. Киселева и Л.М. Котляра, А.Д. Перника, Л.И. Седова, А.Н. Иванова, А.Г. Терентьева, В.В. Рождественского.

Наибольшие успехи были достигнуты в разработке теории плоских развитых кавитационных течений. Большинство исследований в этой области опирается на результаты и методы классической теории струй, основы которой были заложены Гельмгольцем, Кирхгофом, Вагнером, Н.Е. Жуковским, С.А. Чаплыгиным, М.А. Лаврентьевым, Л.И. Седовым и др.

Изложение предложенной Тулиным линейной теории кавитацион-ного обтекания можно найти в монографиях М.И. Гуревича, А.Г. Терентьева, И.И. Ефремова. Заметим, что методы липейной теории позволяют производить расчеты пространственных задач. Успехи нелинейной теории значительно скромнее. Здесь систематические численные результаты получепы только для плоских задач и лишь для тел простейшей формы - пластин, клиньев, дужек окружности, эллипса и так далее. Эффективные методы расчета кавитационного обтекания тел, близких по форме к реальным конструкциям, вследствие больших математических трудностей в полной мере не разработаны.

В данной диссертации предлагается численно-аналитический ме-

тод расчета кавитациошгого обтекания профиля произвольной формы.

Первая глава (§1-§3) диссертации посвящена исследованию задачи обтекания профиля произвольной формы по схеме Кирхгофа плоским стационарным неограниченным потоком идеальной несжимаемой жидкости (рис. 1).

Рис. 1. Физическая область течения и плоскость параметрического переменного

В §1 описана постановка задачи и получено нелинейное интегральное уравнение. Предполагается, что острая выходная кромка профиля совпадает с точкой отрыва В, вторая точка отрыва А либо фиксирована (посредством задания длины дуги I омываемой части профиля), либо определяется из условия отрыва Бриллуэна. Форма контура задается естественным уравнением а = ^(в), где а - угол наклона касательной в рассматриваемой точке контура к оси х, в -дуговая абсцисса, отсчитываемая от точки В.

Области изменения комплексного потенциала \¥ и функции Жуковского = {\ъ((Ш/(1г) — ¿1пУо конформно отображаются на верхний полукруг единичного радиуса в плоскости вспомогательного переменного t (рис. 1). Комплексный потенциал определяется методом С.А. Чаплыгина

где а - действительная постоянная.

Аналогично методу Леви-Чивиты, функция Жуковского представляется в виде суммы = + где

- функция Жуковского для пластины, обтекаемой по схеме Кирхгофа, П(<) - аналитическая в полукруге и непрерывная вплоть до границы функция.

(1)

ио = ао - л + Ип

£ — ехр(г<т»)

= 190 + г>о, <*о = Г(0) (2)

1—1 ехр(гст,)

Основу метода, развиваемого в данной диссертации, составляет интегральное представление функции П(е,<г) = А(сг) +

Х(а)ёст

(3)

1 - ггсоэсг + г2

С помощью формул (1)-(3) гидродинамическая задача сводится к отысканию функции А(ст) и параметров к = я2/И) и ст*.

Стандартными приемами выводится нелинейное интегральное уравнение для определения функции А(сг):

Для определения параметров к, и* используются два дополнительных соотношения. В зависимости от варианта постановки при решении либо требуется выполнение условия Бриллуэпа в верхней точке отрыва потока А, либо ее положепие задается фиксированием длины дуги I омываемой части профиля в уравнении для в {а). Второе дополнительное соотношение получается из условия задания направления скорости на бесконечности.

Таким образом, получается замкнутая система соотношений для определения функции А(сг) и двух неизвестных параметров к и ст* при заданных ^(в) и I. Последний параметр I не входит в число определяющих, если используется условие отрыва Бриллуэна.

Решение полученной системы уравнений классическим методом Леви-Чивиты сопряжено со значительными вычислительными трудностями, связанными с наличием на профиле участка большой кривизны вблизи носика. Это приводит к необходимости отыскивать большое количество коэффициентов плохо сходящихся рядов Фурье. В §2 данной диссертации для решения системы уравнений проводится их дискретизация на фиксированной сетке; входящие в систему

А(*) = Г[в(<г)]-а0

в((7) = 2А/А(7) [з(7)ехр(-СА)]й7

о

д(-у) = БШ7(1 - соб(7 + сг»)), к = ~, 0<7<тг

сх=Ь /(А(т) -д(а)) Н (иг) - **

линейные операторы аппроксимируются матрицами с фиксированными квадратурными коэффициентами, зависящими только от положения узлов сетки. Полученная дискретная система решается методом Ньютона. Якобиан системы на каждом шаге итераций вычисляется аналитически, что является основным ресурсом экономии машинного времени. Таким образом, процесс суммирования рядов Фурье заменен более алгоритмичным процессом умножения матриц на га-мерный вектор, компоненты которого определяют значения искомой функции в точках коллокаций. Такой способ решения системы нелинейных интегральных уравнений применялся ранее Д.В. Мак-лаковым при решении задач теории волн. Метод может служить альтернативой известному методу Леви-Чивиты при исследовании кавитационных течений за криволинейными препятствиями.

Представленные в §3 числовые расчеты для гидропрофилей различной формы показали высокую скорость сходимости и быстродействие метода. Для проверки работоспособности метода был выполнен тестовый расчет обтекания кругового цилиндра. Для сравнения были выбраны результаты расчетов H.A. Гладковой и А.Г. Терен-тьева симметричного обтекания кругового цилиндра с определением точек отрыва из условия Бриллуэна. Коэффициенты сопротивления совпали с данными H.A. Гладковой и А.Г. Терентьева с относительной точностью Ю-4.

С целью определения влияния отрыва на подъемную силу был проведен расчет коэффициента Су при различных углах атаки Qg. Установлено, что при отрывном обтекании линейный характер зависимостей Су (ао) сохраняется, однако падение подъемной силы по сравнению с безотрывным обтеканием весьма значительно, причем с увеличением углов атаки это падение усиливается.

Основное внимание было уделено анализу зависимостей коэффициентов сопротивления и подъемной силы от положения точки отрыва. Численно обнаружен устойчивый эффект: течения, для которых в точке отрыва потока выполняется условие Бриллуэна, обладают экстремальными гидродинамическими характеристиками. (См., например, рис.2)

Этот факт наблюдался и ранее при расчетах отрывного обтекания кругового цилиндра. Проведенные систематические числовые расчеты показали, что этот факт справедлив для профилей произвольной формы. Во всяком случае, не обнаружено ни одного исключения из этого правила.

При отрыве по Бриллуэну кривизна профиля в точке отрыва со-

впадает с кривизной свободной поверхности в этой точке. Если далее смещать точку отрыва вниз по потоку, то у свободной поверхности появляется точка перегиба. При этом замечено, что однолистное течение возможно лишь при таких длинах дуг омываемой части /, которые не превышают некоторого критического значения 0 < I < ¿о-При I > ¿о струи за телом пересекутся, течение становится неоднолистным (см. рис. 3). При I = /о струи смыкаются на бесконечности, сопротивление равно нулю, что соответствует принципу Даламбера.

Рис. 2. Зависимость Сх(1) для Рис. 3. Неоднолистное течение при l> lo.

профиля Жуковского.

Во второй главе (§ 4 - § 6) решена задача о кавитационном обтекании произвольного профиля по схеме Тулина-Терентьева. Расчеты обтекания кругового цилиндра и эллипса по этой схеме были выполнены А.Г. Терентьевым и H.A. Гладковой. Расчеты кавитаци-онного обтекания гидропрофилей по схеме Ву методом Леви-Чивиты были выполнены Конхойзером. При этом для исследования обтекания симметричного профиля NACA 0012 удерживалось 64 коэффициента в соответствующем ряде Фурье. Схема Ву, однако, не позволяет определить длину каверны, и, следовательно, расчеты Конхойзера не дают полной картины кавитационного течения около профиля. Некоторые результаты расчетов кавитационного обтекания профилей со скругленными носиками по обобщенной схеме Рябушинского с замыканием каверны на фиктивное тело, расположенное на засасывающей стороне профиля, приводятся в монографии А.Н. Иванова.

В § 4 дается постановка задачи, выводятся нелинейное интегральное уравнение и дополнительные соотношения для определения пяти неизвестных параметров. Число кавитации считается известным: Q — Vq/V^ — 1. Схема течения в физической плоскости z = х + iy и оси координат изображены на рис. 4.

Схема кавитационного обтекания Тулина-Терентьева характеризуется следующими свойствами.

I. Систему тело-каверна можно охватить замкнутым контуром целиком расположенным в области течения.

Рис. 4: Физическая область течения.

II. Все линии тока начинаются в бесконечно удаленной точке и заканчиваются в ней же.

III. У функции Жуковского uj(t) — iln(dW/Vodz), где W - комплексный потенциал течения, допускается минимальная особенность в точке, являющейся образом точки С схода потока.

Из свойств I и II вытекает, что топология течения здесь будет такой же, как и при безотрывном обтекании замкнутого контура. Свойства I и II, таким образом, находятся в противоречии с требованием постоянства скорости на границах каверны, так как у гладкого замкнутого контура при безотрывном обтекании скорость в точке схода потока равна нулю. Введение особенности в хвосте каверны (свойство III), где течение осуществляется на бесконечнолистной ри-мановой поверхности, устраняет это противоречие. В итоге в окрестности точки схода потока имеем сложный неоднолистный характер течения.

Для коэффициентов сопротивления и подъемной силы данная схема дает практически те же результаты, что и схема с возвратной струйкой Эфроса, но обладает тем преимуществом, что содержит на один математический параметр меньше и поэтому не требует искусственных условий для замыкания системы уравнений.

Дополнительные соотношения для определения пяти неизвестных параметров поучаются из следующих условий.

При обтекании профиля с гладким отрывом, в верхней точке отрыва А должно удовлетворяться условие конечности кривизны свободной поверхности (условие Бриллуэна). Зафиксировав длину дуги I омываемой части профиля BDA, и отказавшись, таким образом,

от требования гладкого отрыва, получим так же одно соотношение. В зависимости от вариапта постановки задачи будем использовать первое условие, либо - второе. Задание числа кавитации <3 дает два соотношения. А так же в соответствии с принятой схемой кавита-ционного обтекания необходимо выполнить условие однозначности отображающей функции которое вытекает из свойства I и записывается в виде

где интеграл вычисляется по любому замкнутому контуру, охватывающему в параметрической плоскости образ бесконечно удаленной точки too. После разделения действительной и мнимой частей это уравнение дает два действительных соотношения.

Таким образом, получается замкнутая система из шести соотношений для определения функции А(<т) и неизвестных параметров при заданных форме профиля F(s), числе кавитации Q и длине дуги омываемой части профиля. Если используется условие отрыва Бриллуэна, то длина I не входит в число определяющих параметров задачи.

В § 5 подробно описывается численный метод решения системы нелинейных интегральных уравнений, приводятся дискретные аналоги решаемых уравнений, записывается якобиан системы.

В расчетах в качестве начального приближения при малых I и Q было выбрано решение задачи об обтекании слабо наклоненной пластины, полученное А.Г. Терентьевым.

Для исследования эффективности метода был выполнен тестовый расчет задачи о кавитационном обтекании кругового цилиндра с гладким отрывом струй. Сравнение с расчетами H.A. Гладковой и А.Г. Терентьева показало практически полное совпадение. Д. Инг-хэм и X. Вен также исследовали симметричное течение с каверной около кругового цилиндра, но использовали другое условие замыкания системы уравнений: верхняя и нижняя спирали, образующиеся в конце каверны, должны соприкасаться. Сравнение результатов, представленных в диссертации с расчетами Д. Ингхэма и X. Вена показало, что коэффициенты сопротивления совпадают удовлетворительно, а обнаруженную разницу можно объяснить различными способами замыкания каверны.

В § 6 представлены результаты числовых расчетов для профиля Жуковского в широком диапазоне изменения чисел кавитации.

Как и при обтекании профиля по схеме Кирхгофа (глава 1), ли-

нейный характер зависимостей Су (а) сохраняется и при кавитаци-онном обтекании, но падение подъемной силы по сравнению с безотрывным обтеканием весьма значительно, причем с уменьшением чисел кавитации и увеличением углов атаки это падение усиливается. (См. рис. 5).

Рис. 5: Зависимость коэффициента Су от угла атаки для профиля Жуковского.

На рис. 6 представлены зависимости коэффициента сопротивления Сх{1) от длины дуги омываемой части профиля I при угле атаки а = 5°. Кривые 1-5 построены для чисел кавитации С? равных 0; 0,1; 0,15; 0,3; 0,5, соответственно. Точками обозначены значения Сх, соответствующие течениям, при которых отрыв происходит в соответствии с условием Бриллуэна; как видно, такие течения обладают наибольшим сопротивлением. Этот факт, указанный Г.Ю. Степановым, наблюдался при расчетах кавитационного обтекания кругового цилиндра. Расчеты, проведенные для данного профиля при углах атаки, отличных от 5°, а также для других профилей Жуковского, подтвердили, что этот факт имеет место для профилей произвольной формы. При обтекании кругового цилиндра отрыв в соответствии с условием Бриллуэна может происходить в двух точках; отметим, что для кавитационного обтекания профиля вторая точка отрыва, удовлетворяющая условию Бриллуэна, обнаружена не была. Кроме того, замечено, что для течений, при которых отрыв происходит в

соответствии с условием Бриллуэна, подъемная сила минимальна (См. рис. 7).

Рис. 6: Зависимость коэффициента сопротивления Сх от положения точки отрыва для кавитационного обтекания профиля Жуковского.

Рис. 7: Зависимость коэффициента подъемной силы Су от положения точки отрыва для кавитационного обтекания профиля Жуковского при угле атаки 5°.

Численно установлено, что в случае отрыва по Бриллуэну, кавер-

на имеет максимальную длину, а зависимость длины каверны £ от угла атаки а носит монотонно возрастающий характер.

На рис. 8 приведены картины течения (формы профиля и каверн), полученные при С} = 0,15 и длинах дуги омываемой части профиля I, равных 1,03; 1,117; 1,45; 1,55; 1,75. Видно, что пока длина дуги омываемой части профиля меньше той, где происходит отрыв в соответствии с условием Бриллуэна, граница каверны пересекает профиль. Как отмечено выше, течение, удовлетворяющее в точке отрыва условию Бриллуэна, имеет максимальную длину каверны.

Рис. 8: Форма профиля и свободных поверхностей для кавитационного обтекания профиля Жуковского при Q = 0.5.

Из приведенных результатов видно, что интегральные гидродинамические характеристики течения: коэффициент сопротивления, коэффициент подъемной силы, длина каверны, рассматриваемые как функции длины омываемой части профиля, имеют экстремумы в точках отрыва по Бриллуэну.

Заметим, .что кавитационную схему Тулина-Терентьева, как и любую кавитационную схему, можно трактовать как модель течения со следом при отрывном обтекании и, в частности, как модель отрывного обтекания крыла летательного аппарата. Таким образом, результаты численных расчетов кавитационных течений, полученные во второй и третьей главах, могут быть использованы при анализе отрывных течений вязкой жидкости за произвольным профилем.

В третьей главе исследованы задачи обтекания профиля произвольной формы с интерцептором по схемам Кирхгофа (§ 7) и Тулина -Терентьева (§ 8). При решении использованы постановки задач, аналогичные изложенным в первой и второй главах, а для определенпя еще одного неизвестного параметра использовано условие того, что задана длина пнтерцептора. Метод решения полученной системы уравнений представлен в предыдущих главах. Нулевое приближение при расчетах берется из решения задач об обтекапии профиля без интерцептора.

Исследовано влияние интерцептора на гидродинамические характеристики течения: длину каверны, коэффициенты сопротивления и подъемной силы, гидродинамическое качество. Результаты расчетов показали, что при увеличении длины интерцептора резко увеличивается длина каверны. Кроме того, при увеличении длины интерцептора происходит рост подъемной силы, но в то же время увеличивается и сопротивление. Однако из графика на рис. 9 видно, что при малых числах кавитации (<2 < 0,3) наличие интерцептора малой длипы (/0 < 0,01) улучшает гидродинамическое качество профиля.

Рис. 9: Зависимости Су /Сх от длины интерцептора 1\ при угле атаки 5° и различных числах кавитации (3 при обтекании профиля по схеме Тулина-Терентьева.

В заключении приведены основные результаты работы.

Публикации по теме диссертации

1. Маклаков Д.В., Наборова М.В. Численно-аналитический метод решения задачи о кавитационном обтекании профиля произвольной формы // Динамика сплошных сред со свободными границами / Чебоксары, 1996. С.167-177.

2. Маклаков Д.В., Наборова М.В. Кавитационное обтекание профиля произвольной формы // Изв. РАН, МЖГ - 1995 - N4.- С.86-90.

3. Маклаков Д.В., Наборова М.В. Задача о кавитационном обтекании профиля произвольной формы с интерцептором // Сборник трудов VI Всероссийской научной школы "Гидродинамика больших скоростей" / Чебоксары, 1996. С.222-226.

4. Маклаков Д.В., Наборова М.В. Кавитационное обтекание профилей произвольной формы // Тезисы докладов международной научно-технической конференции "Механика Машиностроения" (ММ-95), 28-30 марта 1995г.- Набережные Челны, 1995 - С.29-30.

5. Маклаков Д.В., Наборова М.В. Кавитационное обтекание профилей произвольной формы. Об экстремальных свойствах точек отрыва по Бриллуэну // Тезисы докладов н.-т. конференции "Проблемы совершенствования комплексных методов прогнозирования мореходных качеств судов и средств освоения океана". Крыловские чтения 1993г.- Санкт-Петербург, 1993 - С.108-109.

6. Маклаков Д.В., Наборова М.В. Задача о кавитационном обтекании профиля произвольной формы с закрылком // Тезисы докладов II республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов. - Казань, 1996. С.87.

7. Наборова М.В. Отрывное обтекание профиля произвольной формы по схеме Кирхгофа. Об экстремальных свойствах точек отрыва по Брилууэну // Казань: Казан, ун-т, Деп. в ВИНИТИ, 23.05.95. N 1452 В95. 1995.

Часть результатов диссертации получена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты N 94-01-01763 и N 93-01-17552).