Плоские нелинейные задачи безотрывного, кавитационного и волнового обтекания препятствий однородными и двухслойными потоками тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РГБ ОД

/ * СЕН 1995

На правах рукописи

МАКЛАКОВ Дмитрии Владимирович

ПЛОСКИЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ БЕЗОТРЫВНОГО, КАВИТАЦИОННОГО И ВОЛНОВОГО ОБТЕКАНИЯ ПРЕПЯТСТВИЙ ОДНОРОДНЫМИ И ДВУХСЛОЙНЫМИ ПОТОКАМИ

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1995

Работа выполнена в НИИ математики и механики им. Н.Г. Чебо тарева при Казанском государственном университете.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор

В.П. Житников

доктор физ.-мат. наук, профессор, засл. деятель науки РТ О.М. Киселев

доктор физ.-мат. наук, профессор, засл. деятель науки РФ, ахад. АН ЧР А.Г. Терентьев

Ведущая организация: Институт механики МГУ,

г. Москва

Защита диссертации состоится __" г.

в 14 час. 30 мин. в ауд. физ.2 на заседании диссертационного сов та Д 053.29.01 по защите диссертаций на соискание ученой степе! доктора физико-математических наук по механике при Казанскс государственном университете по адресу: 420008, Казань, ул. Лен: на, 18, КГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КГ!

Автореферат разослан " -Я^Ц^&ЕЙ_____1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук

А.И. Головане

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена дальнейшему развитию теория плоских потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости. В работе затронуты традиционные для этой теории области исследования: струйные и кавитационные течения, течения около крыловых профилей, обтекание препятствий вблизи свободной поверхности с образованием волн вниз по потоку. В каждой из них решены либо новые задачи, либо задачи, постановки которых давно известны, однако полное решение стало возможным благодаря разработанным в диссертации методам. Все рассмотренные задачи исследованы в точной нелинейной постановке.

Актуальность темы. Теория плоско -параллельных течений идеальной несжимаемой жидкости - наиболее развитый раздел современной гидромеханики Объясняется это двумя обстоятельствами. Во-первых, данная теория имеет целый ряд важных практических приложений и дает вполне приемлемые результаты в тех областях исследования, где вязкостью жидкости можно пренебречь. Сюда относятся струйные и кавитационные течения, поверхностные волны на воде, течения около крыловых профилей. Во-вторых, при исследовании плоских задач можно с успехом использовать глубоко развитый аппарат,теории функций комплексного переменного, что позволяет во многих случаях получить точное аналитическое решение задачи, а затем всесторонне проанализировать его. Такой анализ подразумевает нахождение областей изменения исходных определяющих параметров задачи и исследование в этих областях поведения основных гидродинамических характеристик (параметрический анализ); определение предельных режимов обтекания, для которых значения определяющих параметров приближаются к границе области своего определения; оптимизацию изучаемых гидродинамических форм на ослопе имеющихся аналитических представлений.

Современное состояние теории плоских задач гидромеханики идеальной жидкости изложено во многих учебниках и монографиях.

Следует отметить, что большинство задач гидродинамики существенно нелинейно и точное аналитическое решение является скорее исключением, чем правилом. Поэтому важное значение имеют вопросы существования и единственности решения соответствующих краевых задач. При исследовании плоско-параллельных течений здесь

достигнуты впечатляющие успехи благодаря применению методов теории функций и функционального анализа,.

Результаты, представленные в диссертационной работе, группируются вокруг двух основных направлений исследования-. Первое из них - это отыскание оптимальных гидродинамических форм и второе - разработка эффективных методов решения прямых задач, позволяющих проводить всесторонний параметрический.анализ на основе численных экспериментов. Численные методы, развиваемые в диссертации, содержат в себе большую предварительную работу, связанную с выделением асимптотик в особых точках и представлением искомых функций в таком виде, что большая часть граничных условий удовлетворяется по построению.

Теоретическое значение и научная новизна р'аботы определяются следующим:

- получены точные аналитические решения для серии новых задач теории струйных и навигационных течений по определению формы препятствий, имеющих максимальное сопротивление в потоке; доказано, что найденные решения реализуют.глобальный максимум, и тем самым получены точные оценки сверху на коэффициент сопротивления; ■ *

- создана теория кавитационных диаграмм для гидропрофилей и на ее основе разработан новый аналитический метод проектирований профилей по заданной кавитациойной диаграмме;

- доказаны теорему сравнения для кавитационных диаграмм и с их помощью получены точные-нижние оценки кавитационных диаграмм для симметричных профилей;

- доказана разрешимость задачи о докритическом обтекании вихря; , . ;

- создан численно-аналитический метод расчета докритических течений, позволяющий производить расчёты генерируемых препятствием волн практически любой длины и крутизны и рассчитывать режимы обтекания, близкие к1 предельным;

• - обнаружен ряд новых нелинейных эффектов, присущих докри-тическим течениям: вырождение волнового нуга в "цуг уединенных - волн", периодическое исчезновение волн с ростом параметра возму щения, существование сверхкритических волновых режимов обтека ния.

- доказана конструктивная теорема существования для задачи <

безотрцвном обтекании профиля произвольной формы вблизи границы раздела сред и на ее основе разработан метод расчета обтекания профиля вблизи границы раздела, допускающий обобщение на случай кавитационного обтекания.

Обоснованность и достоверность полученных результатов в рамках принятой модели идеальной несжимаемой жидкости обеспечиваются: применением строгих математических методов при построении аналитических решений и доказательстве теорем существования, применением численных методов; основанных на этих теоремах, комплексом мер по проведению внутренних проверок точности вычислений, сравнением с результатами других авторов.

Практическая значимость. Полученные в диссертации результаты способствуют лучшему пониманию значения нелинейных эффектов при исследовании задач теории крыла, кавитации и волн и расширяют возможности численного моделирования. Эти результаты были использованы при выполнении хоздоговорных работ с ЦНИИ им. А.Н. Крылова (Ленинград, 1988-1993 г.г.) по проектированию подводных крыльев, Казанским авиационным институтом (Казанским государственным техническим университетом) (Казань, 1992-1995 г.г) про проектировании крыльев экранонланов.

Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения докладывались: на I-V Всесоюзных школах по гидродияамике больших скоростей (Чебоксары, 1980, 1984, 1989, 1992; Красноярск, 1987), на Всесоюзных научно-технических конференциях по повышению ходкости и мореходности судов (Крыловские чтения, Ленинград, 1981, 1985, 1993), па семинарах проф. Я.М. Котляра (Москва, МАИ, 1983, 1985), на Всесоюзной конференции "Проектирование и эксплуатация ппевмог идравлических систем и пневмогпдропривода в машиностроении" (Киев, 1985), на VI и VII Всесоюзных съездах по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986; Москва, 1991), на II Республиканской конференции "Механика машиностроения" (Наб. Челны, 1987), на Научно-технической конференции, посвященной 125-летию со дня рождения академика А.Н. Крылова (Ленинград, 1988), на региональной научно-технической конференции "Динамические задачи механики сплошной среды" (Краснодар, 198S), на семинара академика РАН Л.В. Овсянникова (Новосибирск, Институт Математики СО РАН, 1988), на семинаре проф. А.Г. Те-рентьева (Чебоксары, ЧГУ, 1992), на Всесоюзных совещаниях по

численным методам в задачах волновой гидродинамики (Ростов-на-Дону, 1990; Новосибирск, 1992), на международной конференции "Complex Analysis and Free Boundary Problems", посвященной 95-летию П.Я. Полубариповой-Кочиной (Санкт-Петербург, Международный Математический Институт Эйлера, 1994), на международной конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева (Казань, 1994), на итоговых научных конференциях Казанского университета и семинарах НИИММ им. Н.Г. Чеботарева (1981-1995).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1-12], тезисах и аннотациях докладов [13-23]. Ряд работ выполнен в соавторстве с Ф.Г. Авхадиевым, М.В. Лотфуллиным и А.Н. Угловым. При написании совместных работ автор диссертации принимал непосредственное участие во всех этапах их зыполнеяся. Всем своим соавторам автор диссертации выражает свою искреннюю благодарность.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Главы диссертации разбиты на параграфы, общее число которых - двенадцать. Диссертация изло-жбНсь на 231 странице текста, набранного в издательской системе LaTex. Формат набора в точности соответствует формату данного автореферата.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы и па основе анализа близких по тематике публикаций показано место данной работы в общем ряду исследований, посвященных плоским потенциальным течениям; изложено содержание работы i сформулированы основные результаты, выносимые на защиту:

1. Постановки и методы решения новых экстремальных задач тео рии струй, имеющих точное аналитическое решение. Построение ре шений для задачи о дуге максимального сопротивления, обтекаемо! по схеме Кирхгофа, для задачи о дуге максимального сопротпвле ния: обтекаемой по схеме Жуковского-Рошко-Эпплера, и для задач] о дефлекторе наилучшей формы. Доказательства того, что найден ные решения реализуют глобальный экстремум.

2. Постановка и аналитическое решение новой задачи об определе

нии формы профиля по заданной кавитационной диаграмме. Исследование свойств кавитационных диаграмм. Необходимые и достаточные условия того, чтобы произвольно заданная функция могла быть реализована в качестве кавитационной диаграммы для некоторого замкнутого профиля.

3. Теоремы сравнения для кавитационных диаграмм.

4. Точные нижние оценки кавитационных диаграмм для симметричных профилей.

5. Доказательство разрешимости задачи о докритическом обтекании вихря: построение функционального пространства, в котором отыскивается решение, запись исследуемого уравнения в корректной замкнутой форме, теорема существования и асимптотические свойства волнового цуга.

6. Численно -аналитический метод расчета докрнтических течений, основанный на выделении асимптотики поведения волнового цуга. Вывод замкнутой системы нелинейных интегральных уравне-гай, которая в явном виде содержит три параметра, определяющих 1лину, амплитуду к фазу волн на бесконечности.

7. Числовые расчеты в задачах о докритическом обтекании вихря, ггупени и в задаче о течении, индуцированном точечным источни-сом с образованием волн вниз по потоку. Определение предельных >ежимов обтекания.

8. Выявление ряда качественных нелинейных эффектоз, прису-цих докритическим течениям: стремление длины волны у волно-юго цуга к бесконечности с увеличением параметра возмущения в тред елейном диапазоне чисел Фруда (вырождение волнового цуга п цуг уединенных волн"), периодическое исчезновение волн с ростом [араметра возмущения, существование сверхкритических волновых сжимов обтекания.

9. Метод исследования нелинейных задач обтекания препятствий близи границы раздела сред, применимый для любых задач, имею-щх точное аналитическое решение в однородной жидкости.

10. Конструктивное доказательство теоремы существования ре-1ения задачи об обтекании профиля произвольной формы вблизи раницы раздела сред.

11. Численно-аналитический метод расчета обтекания профиля близи границы раздела сред. Числовые расчеты ряда конкретных рофилей.

12. Метод решения задачи о навигационном обтекания пластины ьблизи границы раздела сред. Числовые расчеты и их анализ.

Первая глава (§1-§3) посвящена исследованию экстремальных задач теории струйных и кавитационных течений. Для трех различных схем обтекания найдены точные оценки сверху коэффициента сопротивления, отнесенного к длине омываемой части симметричного препятствия. Следует отметить, что ранее в теории струй для коэффициента сопротивления были известны только точные оценки снизу, полученные М.А. Лаврентьевым (1838) и J. Serrin'oM (1953) с помощью теорем сравнения.

В §1 исследозана задача об определении формы симметричной дуги заданной длины 2L, имеющей наибольшее сопротивление при отрывном обтекании по схеме Кирхгофа. Задача решена при естественном ограничении, что верхняя и нижняя струи не пересекаются. Ищется конформное отображение на стандартную каноническую область г полукруг в верхней полуплоскости t. В качестве управляющей функции выбрана функция v(a) = Rew(ei,r), 0 < а < л72, где u>(t) — In ^ф- = In -f iO - функция Н.Е. Жуковского. Задача сведена к максимизации нелинейного функционала

2

-1.00

J[u} =

т/2

J v(a)sm(c)dcr

.1 .о *А

Риг. 1. Нижняя половина препятствия наибольшего сопротивления при обтекании по схеме Кирхгофа.

*/2

J sin 2ada о

(1)

который связан с силой сопротивления 2Х простой формулой:

2 pVj

X =

-LJ[v).

(2)

Из требования непересечения струй вытекает, что коэффициент Р параболы, к которой стремятся струи на бесконечности, должен быть положителен. Это приводит к дополнительному ограничению

на функцию v:

*/i

j v[p)dcr > ¡D.

С помощью неравенства Йенсена показано, что единственный глобальный максимум функционала (1) при ограничении .(3) достигается на функции v{o) = 1 — In cos (Т, 0 < а < 7г/2.

Бели ввесги отнесенный к длине 2 L коэффициент сопротивления Сх криволинейной дуги, то нз-(2) яайдем

2Х 8 Сх -5- < — = 0.93679737..., PVqL ire

(4)

где е ~ основание натуральных логарифмов.

Формула (4) дает искомую сценку. Форма нижней половины дуги максимального сопротивления показана па рис. 1. Эту форму можно трактовать хак форму идеального непроницаемого парашюта.

В §2 задача, исследованная в §1, обобщена на случай' обтекаяяя дуги с образованием следа конечной ширины. В качестве схемы обте--кавия'со следом использована схема Жуковского-Рошко-Эшшера. Данную схему можно рассматривать и как модель кавитационного обтекания.

Верхняя половила течения и соответствующая ей каноническая область показаны на рис. 2.

Гс D

в\

V«, \ h

D А X

Рис. 2. (а) Физическая область течения в плоскости г = х + гу. (Ь) Параметрическая плоскость I.

Схема Жуковского-Рошко-Эпплера весьма удобна для определения плохо обтекаемой формы, так как сопротивление 2Х. в ней вычисляется по простой формуле:

2 Х =

где С? - коэффициент донного давления (число кавитации):

п - 2(Р°о ~ Ро) _ I? _ , 4 ~ ^рУ1 " Г2 '

г ' ОО 'оо

при ограничении

с/ /

h - половина расстояния между пластинами.

В предположении, что коэффициент донного давления Q положителен и фиксирован, определяется дуга максимального сопротивления. Длина дуги 2L задана.

В качестве управляющей функции выбрана функция

v{a) = Reu(ei<7), 0 < а < 6,

где íü(t) - функция Н.Б.Жуковского, е'6 - точкд, соответствующая концу криволинейной дуги в параметрической плоскости /, Задача сведена к определению функции и (а) и параметра 0 < <5 < тг, доставляющих максимум функционалу

б

í i'(<т) eos oda

-ц (5)

J sin creada o

¿ 7Г ■ . '

v(a)da =:~hi(l + Q) = k. -(6)

o 2

Коэффициент сопротивления 2X связан с параметром 6 и функцией и(а) следующим соотношением:

X = ^LQjT+QJ(y,S).

В диссертации с помощью неравенства Йенсена доказано, что при Q > 0 глобальный максимум функционала (5) при ограничении (6) достигается на функции '

г>((т) = 1+lntan(6/2)-lntan(cr/2),. * . (7) где 6 - корень трансцендентного уравнения

J sm<7 - . •

Числовые расчеты показали, что форма дуги максимального соНро тивления слабо зависит от Q в диапазоне 0 < Q < 2, и, следователь но, оптимальную форму, найденную в §1 (Q = 0), можно считать уни версальной для любых 0 < Q < 2. Для вычисления максимальнок сопротивления получены простые аппроксимационные формулы:

С1гааг«—(1 + <>), . (8

7ге

зГ1

} (9)

Установлено, что формула (8) дает значение сопротивления, несколько меньшее максимально возможного. Погрешность формулы (8) не превосходит 1% в диапазоне 0 < < 2. Формула (9) дает значение Сх, которое немного превосходит максимально возможное. Погрешность формулы (9) не превышает 0.1% при 0 < С? < 2.

В §3 главы 1 определена наилучшая форма криволинейного дефлектора. Эта задача связана с моделированием течений в реверсивных устройствах ковшового типа. Реверсивные устройства турбореактивных двигателей предназначены для разворота вытекающей из сопла двигателя струи с целью получения обратной тяги. Для этого за соплом при торможении самолета помещается поворотный ковш. Чем больше сопротивление ковша, тем эффективней торможение и меньше длина тормозного пути.

В §3 найдена форма симметричной криволинейной дуги заданной длины 2Ь, разделяющей и отклоняющей струю ширины 2Н на наибольший угол. Такая дуга будет обладать и наибольшим сопротивлением. Задача решена при ограничении, что после разделения струи дефлектором на верхнюю и нижнюю последние не пересекаются. Это ограничение является естественным, так как в противном случае течение будет неоднолистным. Соответствие точек между физической областью г и параметрической плоскостью t видно из рис. 3 и рис. 4. Сила сопротивления 2Х связана с углом отклонения струн соотношением

2Х = 2рУ£Щ1-соз0х). (10) В классе течений с непересекающимися струями величина угла

<?/1 + <Э Иг

|1п(1+ (?) + :

е

Рис. 3. Физическая область течения в плоскости г = х + гу.

Рис. 4. Параметрическая плоскость I —

0со удовлетворяет неравенствам

О < в«, < я. (11)

Из формул (10) и (11) следует, что в классе течений с непересекающимися струями задачи максимизации X и в^ являются эквивалентными.

Как и в §1 и §2, введена управляющая функция и (а) — Ле ^(е"7), где 0 < сг < 7г.

Угол 0оо отклонения струи и отношение к = Ь/Н выражены через V и а в виде

воо(и,а) = -1т[^(о)] =

4 а(а2 + 1)

(-

и(а) вт ас[(т

4 + 1 — 2а2сое 2а'

к[

к~ Н~ У

2 »/2

8Ш2<7

а4 + 1 - 2а2 соэ 2а

¿а.

(12)

(13)

Таким образом, при заданных Ь и Н задача максимизации угла вое отклонения струи сводится к следующей задаче: определить максимум функционала (12) при ограничениях 0 < а < 1, (11) и (13).

-.4

-.6 -.7 -.8 -.9 -1.0

-г -а

-.7 -.6 -Л -.4 -.3 -2 -.1 .0 хД

9

В в ■У ■ J

и/2 В 1. С

■Е А А (о) С

•4°

Рис. 6. Область изменения функции •5. Формы оптимальных дефлекторов Жуковского ш(1) для течений около

Рис

при различных к.

оптимальных дефлекторов.

Показано, что при L/H < к* и 6.40585 задача имеет единственное решение, и при этом глобальный максимум угла отклонения струи находится в пределах 0 < втах < п п достигается на функции 1>{о) — 1 —lncosa, (0 < a < 7г/2) ii при значении параметра а, являющемся корнем уравнения '

е 4а , 14- а

Iii --= к.

ж а2 + 1 1 — а

При построении решения снова, существенно использовано неравенство Йенсена. ЕслиЬ/Н > к*, то максимальный угол отклонения струи равен тг и решение задачи неединствешю. Получены аналитические формулы для определения оптимальных дефлекторов и с помощью этих формул построена серия оптимальных дефлекторов для различных к = Ь/Н (см. рис. 5).

Таким образом, в главе 1 получены аналитические решения трех, вообще говоря, различных "задач оптимизации гидромеханической формы при обтекании с отрывом струй. Интересно отметить, что для всех задач получена одЬгу II та же зависимость угла наклона вектора схорости от модуля скорости вдоль экстремальных кривых. Эта Зависимость Имеет вид (для верхней полдвипы кривой)

тг . 1, 1+е£ VI .„ _ V

2 х • 1 - err Vn Vn

'Vo

где

О ОО j-yin+l |

\ 'W-lS^rnF-^»-4«-*»

00 q", _ -If

a Li2{ot) = ~ дилогарифм Эйлера. ■

п=0 п , , . 1

Как следствие, области изменения годографа скорости для-течений около экстремальных дуг получается одинаковыми и для всех трех задач имеют вид, показанный на рйс. 6. Это удивительное обстоятельство, видимо s должно иметь некое рациональное объяснение, которое пока не найдено. . " ,

Экстремальные дуги для всех рассмотренных задач имеют на концах "микроскопические" спиралеобразные завитки. Асимптотически эти завитки являются логарифмическими спиралями и задаются уравнениями вида г = const e~xip (для верхней половины), где г - расстояние от конца экстремальной дуги до лежащих на ней точек, <р - полярный угол. Спиралеобразный характер экстремальных кривых невозможно обнаружить при графическом построении в равно-

мерных масштабах, поскольку каждые пол оборота радиус-вектора г уменьшают его длину ве* « 2 • 104 раз. Первопричиной образования

завитков является разрыв модуля вектора скорости при переходе с криволинейной дуги на струи. На конце экстремальной дуги имеем У/Уд = е-1, на струях У/Уа = 1. Числовой расчет, проведенный для дуги, обтекаемой по схеме Кирхгофа, показал, что завитки могут быть отрезаны без существенных потерь в коэффициенте сопротивления.

Вторая глава диссертации посвящена разработке теории кави-тационных диаграмм для гидропрофилей и нового аналитического метода проектироваййя профилей.

В теории гидропрофилей под кавитационной диаграммой понимают функцию

где СртЫ - коэффициент минимального давления Ртт на поверхности профиля, а - угол атаки; и К» - давление на бесконечности, плотность жидкости и скорость на бесконечности соответственно. Функция Г(а) - одна из важнейших характеристик гидропрофилей, позволяющая определить диапазон углов атаки, в котором будет отсутствовать кавитация. Построение кавитационной диаграммы, таким образом, - необходимый элемент проектирования, так как для гидропрофиля кавитация является крайне нежелательным явлением, ведущим к серьезным изменениям гидродинамических характеристик и возможным повреждениям поверхности профиля. Классическое условие бескавитационного обтекания состоит в том, что давление р всюду в потоке должно быть больше давления насыщенного пара ру. Через функцию ^(а) условие бескавитационности обтекания записывается так:

где ф - число кавитации.

При движении судна число кавитации и изменения углов атаки (последние могут быть вызваны морским волнением или специальными устройствами управления) зависят от скорости движения. В зависимости от требований, предъявляемых к конкретному судну, при проектировании может возникнуть необходимость в различных

= -СртЫ(а) — 2

,Р<х> ~ РЫп{а)

^(а) < £?, Я =

типах кавитационных диаграмм, обеспечивающих бескавитационное обтекание как на крейсерском режиме движения, так и при совершении маневров. _

Согласно уравнению Бернулли, функция /(а) = Vi + F(a) определяет зависимость максимальной скорости па профиле от угла, атаки: /(а) =■■ Функция F (а), таким образом, непосредственно связана с распределением скорости на поверхности профиля.

При проектировании крыловых профилей широко применяется метод обратных краевых задач гидроаэромеханики (ОКЗА). Этот метод позволяет, задав распределение скорости вдоль поверхности профиля хак функцию дуговой абсциссы s или на параметрической окружности, определить затем с помощью явных интегральных представлений уравнение контура профиля и потенциальное течение вокруг этого контура.

При решении ОКЗА в классической постановке W. Mangler'a (1938) и Г.Г. Тумашева (1949) каждому распределению скорости соответствует профиль (возможно незамкнутый), расположенный в потоке вполне определенным образом и, следовательно, под вполне определенным углом атаки. Поэтому классическая постановка неудобна при проектировании профилей с хорошими кавитационными свойствами, так как a priori неизвестно, каким будет распределение скорости при других углах атаки. Однако в теории ОКЗА имеется несколько вариантов постановок, при которых распределение скорости задается на двух и более углах атаки. Такие постановки предложены: M.J. Lightliill'oM (1945), M.B. Glauert'oM (1947), R. Eppler'oM (1957), Н.Ю. Заводовским, C.B. Мелешко и A.A. Русецким (1983), A.M. Елизаровым и Д.А. Фокиным (1990). Недостатком их является тот факт, что функция F(a) заранее не известна и может быть построена только после процедуры проектирования. Поэтому при проектировании гидропрофилей в работах R. Eppler'a и Y.T. Shen'a (1979, 1981) применяемый метод дополнялся специальными итерационными процессами.

Подход, предложенный в диссертации, отличается от существующих и состоит в отыскании такого профиля, кавитационная диаграмма которого в точности совпадает с заранее заданной функцией. В работе даны:

- математическое описание множества всех кавитационных диаграмм (§4);

- аналитический метод проектирования гидропрофилей по заданной кавитационной диаграмме (§4);

- точные нижние оценки кавитационных диаграмм для симметричных гидропрофилей ( §5).

Фундаментальную роль в описании множества кавитационных диаграмм играют так называемые тригонометрически выпуклые функции. В §4 главы 2 сформулированы три свойства, справедливые для любых кавитационных диаграмм, и в первом из них утверждается, что всякая функция f(a) = 4- F(á), построенная для реального профиля, должна быть тригонометрически выпуклой. На гладких участках кавитационной диаграммы свойство тригонометрической выпуклости эквивалентно неравенству f"(a) + f{ct) > 0. Данное неравенство отсекает огромный класс функций, которые не могут быть реализованы в качестве кавитационной диаграммы ни для какого профиля. Например, функция Дог) = a cos а + fcsina является допустимой и F(a) = /2(а) — 1 может быть участком кавитационной диаграммы, так как в этом случае /"(а) + /(а) = 0, в то время как функция /(а) = а cos а + Ь sin а — е не допустима ни нри каком положительном е.

Сформулированные в §4 свойства оказываются необходимыми и достаточными условиями для того/чтобы произвольно заданная функция могла быть реализована в качестве кавитационной диаграммы.

Параграф 5 главы 2 посвящен исследованию профилей, симметричных относительно хорды. Доказаны две теоремы сравнения для четных тригонометрически выпуклых функций и с помощью этих теорем геометрическими и аналитическими построениями выведены точные нижние оценки для кавитационных диаграмм. Эти оценки даются следующей теоремой.

Теорема 2.5. Пусть /о > 1 - фиксированное число. Для каждого профиля, симметричного относительно хорды, с функцией /(а) такой, что /(0) = /о, выполняются при всех 0 < а < -к/2 следующие неравенства:

ft v> ъ Т(гЛ _ Í /сCOSQ; ггри 0<а< а*,

j(a) ;> J- (Q) I [cos a + tan(7*/2) sin а] при a* <■ a < тг/2.

(14)

Здесь числа a* € [0,7г/2] и 7* G [0,7г] являются корнями уравнени{

Л(0 , &*) = 2ж^/о, ^4(7*>а) = 2я"1й/о соответственно, где

ж

Л(7,а) = J(^г-t + 8т0[*ал(«/2) - 1ап(</2 - а)]Л.

У

Огибающая всех функцийТ(а) по параметру /о £ [1, с»] дает оценку, не зависящую от /о:

/1(0, а)

/(а) > Т*(а) = ссяа;ехр:

2тг

при 0 < а < 7г/2. (15)

Построены оптимальные профили, которые точно реализуют значения оценочных функций Т(а) и Т*(а) при определенных значениях а. К сожалению, формы этих профилей содержат особенность типа одинарного вихря в задней кромке профиля, в точности совпадающую с особенностью кавитационной схемы Тулина-'Герентьева.

1.4У 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0

..... - .......... | \

0 0.2 0.4 0 .6 0.8 1.0

0 -0.1

Рис. 7. Профиль В (сплошная линия) и оптимальный псевдо-замкнутый профиль для /(0) = /о = 1.147, а = ат = 1.7" (пунктирная линия).

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Рис. 8. Огибающая скорости для профиля В, почти касающаяся оценочных функций Т(а) и Т'(а).

В работе К. Ерр1ега'а и У.Т. БЬеп'а (1979) па основе гипотез и численной оптимизации была построена серия безотрывных профилей с максимально широким бескавитационным диапазоном углов атаки. На рис. 7 сплошными линиями показан один из профилей этой серии (в работе И. Ерр1ега'а и У.Т. БЬеп а он назван профилем В) и распределения скорости по его поверхности. Для этого профиля /(0) = 1.147,/(«0 = 1.167, где оц = 1.7°. Применив оценки (14), (15)

к профилю В, получим Т(а 1) = 1.1651, Т""^) = 1.1649. Сравнивая /(сц) = 1.167 для профиля В и глобальную оценку Т*(а 1) = 1.1649, делаем вывод, что профиль В практически реализует последнюю. Отсюда следует также, что оценки (14), (15) могут быть почти достижимы реальными профилями. Огибающая скорости для профиля В и оценочные функции Т(а),Т*(а) представлены на рис. 8. Оптимальный псевдо-замкнутый профиль для /о = 1.147, ат — 1.7° и распределения скорости по его поверхности при различных углах атаки показаны на рис. 7 пунктирными линиями.

Третья главс1 диссертации посвящена вопросам волнообразования при обтекании препятствий вблизи поверхностц воды. Этот раздел гидромеханики в настоящее время интенсивно развивается, главным образом, благодаря применению численных методов п мощной вычислительной техники. В диссертации развивается теория стационарных докритических течений.

Рассмотрим течение слоя весомой жидкости над дном, имеющим горизонтальные асимптоты слева и справа на бесконечности. Предположим, что поток течет слева направо, Н и Ц) - глубина и скорость невозмущенного потока слева на бесконечности, д - ускорение силы тяжести. Безразмерный параметр Рг = называется числом Фруда. Если Гг < 1, поток считается докритическим, если Fг > 1 -сверхкритическим. Сверхкритические течения характеризуются отсутствием волн справа на бесконечности1 и в их исследовании к настоящему времени достигнут существенный прогресс. Имеется ряд глубоких результатов как при доказательстве теорем существования, так и при проведении числовых расчетов.

Что касается теорем существования для докритических течений, то здесь известна только одна работа В.И. Налимова (1982), доказавшего разрешимость задачи об обтекании финитного препятствия на горизонтальном дне. При этом установлено, что справа на бесконечности течение будет обладать периодическим цугом нелинейных волн.

В §6 доказана разрешимость задачи о докритическом обтекании вихря. Путем конформного отображения области течения на полосу задача сведена к нелинейному интегральному уравнению вида

А = РА, (16)

'Единственный пример сверхкритического течения с бесконечным волновым цугом волн внна по потоку построен автором настоящей диссертации в работе [7] (см. также §8 диссертации).

разрешимость которого обоснована с помощью принципа сжатых отображений.

Основным пространством, в котором отыскивается решение, явля-гтся банахово пространство Е функций А(£), определенных на всей действительной оси, и таких, что lim А(£) = 0 и найдется такая но-

(-»-ао

стоянная А, что

|ДА(01 < Ае~а^'\

где ДА(£) = А(£) - А(£ — L), L - период функций из Е на бесконечности; а > О, L - фиксированные числа.

Норму в Е определим гак:

||А||в = 8ир|ДЛ(0е«*Ч.

Нетрудно видеть, что функции, принадлежащие пространству Е, эудут обладать пределом:

АЧ0 = +

Входящие в состав основного интегрального уравнения операторы вида

легко исследуются в Е с использованием свойства AJA = JA А.

Основная трудность при исследовании уравнения (16) в случае до-критического обтекания состоит в том, что помимо уравнения долж-аы выполняться еще три дополнительных функциональных соотношения, обеспечивающих ограниченность оператора Р, причем существует только один свободный параметр для удовлетворения этих соотношений. Для корректной организации итерационного процесса оператор Р заменяется некоторым другим оператором, который всегда ограничен, и для определения свободного параметра привлекается только одно из упомянутых выше функциональных соотношений. Как оказалось, остальные два будут удовлетворяться автоматически в силу симметрии нелинейных прогрессивных волн справа на эесконечности относительно некоторой периодической системы вертикальных осей.

Цуг нелинейных волн за препятствием является главной трудностью и при расчетах докритических течений. В последние годы появилось несколько работ, в которых в точной постановке проводится расчет докритических режимов обтекания. При этом, как

правило, используется мощная вычислительная техника, позволяющая решать "большие системы" нелинейных трансцендентных уравнений, возникающие после дискретизации задачи. Число таких систем иногда доходит до 300. Упомянем здесь статьи С.Н. Kerczek'a и N. Salvesen'a (1976), J.-M. Vanden-Broeck'a (1980), L.K. Forbes'a и L.W. Scbwartz'a (1982), A.C. King'an M.I.G. Bloor'a (1987), H. Mekias'a и J.M. Vanden-broeck'a (1991).

Названные авторы учитывают цуг нелинейных волн, образующийся вниз по потоку, за счет выбора достаточно длинного расчетного участка за обтекаемым телом, на котором должно уместиться 4-5 периодов волн. Однако такой подход приводит к значительным вычислительным трудностям, если генерируемые препятствием волны имеют большую длину, ввиду катастрофического удлинения расчетного интервала.

Интересная попытка создания более рационального алгоритма предпринята Э.Л. Амроминым, H.A. Вальдманом и А.Н. Ивановым (1988) при исследовании обтекания гидродинамических особенностей ьесомой жидкостью бесконечной глубины. На определенном расстоянии от тела цуг нелинейных волн предлагается заменять точечной особенностью (источником), однако в этом случае, видимо, неизбежна потеря точности при расчетах крутых волн.

Целью исследований, проведенных в §7—§9 диссертации, было создание такого численно-аналитического метода расчета докритиче-ских течений, который бы позволял рассчитывать генерацию волнового цуга с волнами практически любой длины и крутизны и гем самым давал возможность проводить достаточно полный параметрический анализ исследуемых задач, включающий расчет течений, близких к предельным. Вообще говоря, итерационный процесс, который использовался при доказательстве теоремы существования в §6, может быть довольно легко реализован численно. Такая попытка была сделана, однако сходимость этого процесса обусловлена не физическими особенностями задачи, а его собственными внутренними свойствами. Поэтому для расчетов предельных конфигураций свободной поверхности он непригоден.

Универсальным методом решения систем нелинейных уравнений является метод Ныотона, который и применялся в §7-§9 после дискретизации полученных систем. Однако при выводе систем уравнений существенно использовались результаты об асимптотическом по-

ведении волнового цуга, доказанные в §6.

Идея предлагаемого метода решения-довольно прозрачна и заключается в следующем. Волновой цуг вниз по потоку представляет собой цуг нелинейных периодических волн. Хорошо известно, что периодические волны над плоским дном образуют, вообще говоря, трехпараметрическое семейство течений. Один параметр отвечает за длину волны, второй - за амплитуду. Третий параметр определяет тривиальный фазовый сдвиг волн в горизонтальном направлении. В предлагаемом методе волны справа на бесконечности рассчитываются отдельно из решения нелинейного интегрального уравнения для периодических волн. Соответствующие члены, учитывающие осцилляции решения справа на бесконечности, аналитически вводятся в искомые функции. В результате полученное уравнение в явном виде содержит три параметра, которые определяют длину, амплитуду и фазу волн на бесконечности.

С помощью асимптотических свойств полнового цуга, доказанных в §6, выведены три дополнительных уравнения для определения свободных параметров. После дискретизации полученная система решается методом Ньютона. При дискретизации все линейные операторы и функционалы, входящие в систему, аппроксимируются операциями умножения матриц. Коэффициенты этих матриц вычисляются заранее, что позволяет на каждом шаге итераций заполнять якобиан системы аналитически. Последний прием является основным ресурсом экономии машинного времени.

Данный метод был применен к задачам об обтекании вихря (§7), ступени (§8), а в §9 - к задаче о плоском фонтане (затопленном источнике).

Введено понятие предельного режима обтекания как режима с максимально возможным значением параметра возмущения, при котором еще существует стационарное течение. На рис. 9 показана схема обтекания вихря (рис. 9а) и схемы течений для трех типов предельных режимов, обнаруженных при расчетах.

Режимы разрушающегося гребня и разрушающегося волнового цуга характеризуются наличием на свободной поверхности критической точки с углом в 120 градусов при вершине. Для режима разрушающегося гребня (рис. 9(1) эта точка образуется над препятствием, а для режима разрушающегося цуга (рис. 9с) - на гребне у волн на бесконечности справа. Предельный режим типа водослива (рис. 9Ь)

не имеет.' волн вниз по потоку и возникает в результате вырождения волнового дуга в цуг солитонов с бесконечной длиной волны.

« / A Li X

Vo > G* X

№

Рис. 9. Схема обтекания вихря и три типа предельных режимов. >^Fr3/2 for curves 1,2

OJ

-0.1

-02

}

VS. v^ \/

Vortex * ^__3

x/H

Рис. 10. Близкие к предельным формы свободной поверхности для задачи о вихре.

На рис. 10 и рис. 11 показаны результаты расчетов течений, близких к предельным, для задачи о вихре. Параметром возмущения в этом случае является безразмерная циркуляция вихря 7. На рис. 10 изображены формы свободных поверхностей. Каждая из них была получена путем постепенного увеличения |7|. Предельный режим типа разрушающегося цуга волн (кривая 1 на рис. 10, Fr = 0.572, Л/Я = 0.525,7 = -0.1776) проявляется при 7 < 0, то есть

О

согда подъемная сила вихря положительна. Штриховой линией на >ис. 10 показаны результаты расчетов С.Ц. Kerczek'a и N. Salvesen'a 1976). Таким образом, эти авторы сумели рассчитать течение, близкое к предельному режиму разрушающегося цуга волн. Однако су-цествуют и два других типа предельных конфигураций свободной юверхности.

Предельный режим типа разрушающегося гребня над вихрем име-!Т место при 7 > 0 (отрицательная подъемная сила). Кривая 2 па >ис. 10 - это близкая к предельной форма свободной поверхности [ри Fr = 0.572, h/H = 0.525,7 = 0.335.

Предельный режим типа водослива возникает как при отрица-■ельных, так и при положительных у. Характерная черта этого режима - бесконечная длина волны волнового цуга. Кривая 3 на рис. 10 [анесена для Fr = 0.831, h/H = 0.222,7 = -0.244. Длина волны десь настолько в.елика (Li/H — 15.0), что гребень первой волны юлнового цуга находится вне рис. 10.

12

Y

0.6

О

-аб

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Рис. 11. Графики зависимостей 7(/>) при И/II = 0.5 для режимов обтекания вихря, близких к предельным.

На рис. Г1 показаны графики зависимостей 7(.Рг) для режимов бтекания вихря, близких к предельным. Как видно из рис. 10, в ависимости от числа возрастание ¡7| приводит к предельным реумам различного типа. Точки Л и В на рис. 10 являются точками ерехода от одного предельного режима к другому. Область, огра-иченная графиками на рис. И, является областью чисел Рг и 7, в

которой существуют стационарные докритические течения.

При расчетах обтекания вихря установлено, что при Fr < 0.5 с ростом положительной циркуляции вихря (отрицательной подъемной силы) Наблюдается интересное явление периодического исчезновения волн и волнового сопротивления. В момент исчезнове-1 ния волн над вихрем образуется поверхность типа уединенной волны с одним, двумя и более гребнями. На рис. 12 показан график зависимости коэффициента волнового сопротивления Сх от -7 при Fr = 0.4, h/H = 0.5. Волновое сопротивление здесь исчезает три раза. Соответствующие симметричные формы свободной поверхности показаны на рис. 13.

CxxlO

Fr=0.4; h/H=0.5

3 5

2. у-0.3025 1. у-0.6211 „ 6. ï=0.8675

Fr=0.4; h/H=0.5

J .2 .3-.4 .5 .6 .7

Рис. 12. Зависимости Cx(y\ для, 7 > 0. Имеет, место трехкратное исчезновение волн с ростом -}.

-2.0-1.5 -1.0 -.5 .0 .5 1.0 1-.5 ¿0 х/

Рис. 13 Симметричные безволновые-свободные поверхности с одним, двумя или тремя 1*ребнйми.

0.6

j/H_

Fr=l.l ' 1. d/H=-0.0032 ' "2. d/H=T<3.0216 "3. d/H=-0.0444

4. d/H=-0.0689 .

5. d/H=-0.0689

>-Ymax/H=Fr2/2

-4 -2 0 2" 4 ' 6 8 10 12 Рис. 14. Волновые сверхкритические решения, ответвляющиеся от уединенной волны. Кривая 5 г второе неволновое решение при ¿//» = —0.0639.

При расчетах обтекания стуценп (§8) обнаружено, что волновые >ежимы обтекания могут иметь место и при сверхкритических зна-гениях чисел Фруда, причем эти решения ответвляются не от равномерного потока, а от уединенной-волны; Эти режимы имеют место, согда высота ступени с1 отрицательна, то есть в случае, когда сту-1епь понижает уровень дна. На рис. 14 показаны формы свободных юверхностей при Рг = 1.1 и различных с1/Н < 0. При ¿¡Н = --0.0689 гмеет место режим, близкий к режиму разрушающегося цуга волн. Сривая 5 на рис. 14 - это безволновое решение при с1/Н — —0.0689, 1твётвляющееся от равномерного потока. Таким образом, при Гг > 1 [ й/Н <. 0 могут иметь место два качественно различных решения адачи о ступени: безволновое и волновое.

0 0.1 02 0.3 0.4 0.5

Рис. 15. Стремление длины волны к бесконечности для ступени при ¿/Н > С.

[а рис. 15 показаны графики зависимостей длины волны от с1/II > О ля ступени, иллюстрирующие бесконечное возрастание длины волы при переходе течения в водосливный режим-

В §9 главы 3 исследована задача о плоском фонтане (затопленном сточнике). Рассмотрена схема течения с образованием критической эчки непосредственно над источником. Число Фруда в этом случае пфеделяется так:

у/дИ3'

1в С} - половина расхода источника, Н - высота критической точки ад ним. Установлено, что решение задачи существует в диапазоне ясел Фруда: 0 < Гг < Fr* та 0.5296, причем .Гг = Гг* соответствует жиму обтекания типа водослива, не имеющему волк вниз по по-жу. Неволновое решение данной задачи изучалось ранее в работах

Л.Г. Гузевского (1976) и Н. МеЫаз'а и .Ш. Уашкп-Ьгоеск'а (1989) В этих статьях установлено, что безволновой режим течения может иметь место только при вполне определенном числе Фруда. В работ« Л.Г. Гузевского получено, что Рг = 0.5317, а в работе Н. Ме&ав'г и Х.М. УашЗеп-Ьгоеск'а ~ Рг = 0.5296. Таким образом, наше пре дельное значение полностью совпадает с вычисленным Н. МеИав'о» и Л.М. Уапс1еп-Ьгоеск'ом я незначительно отличается от результат; Л.Г. Гузевского (разница между истинным предельным значением ] значением Рг = 0.5296 будет, видимо, в пятом десятичном знаке).

Любопытно, что при расчетах обтекания вихря проявляются во три типа предельных режимов, при расчетах обтекания ступени только два (режим разрушающегося цуга и водосливный), а при рас четах течения, индуцированного затопленным источником, имеет ме сто только один предельный режим (водосливный). Таким образоы водосливный режим обтекания, получаемый в результате пределыгс го перехода волновых решений в безволновые при стремлении длин! волны волнового цуга к бесконечности, является очень характерны] при исследовании задач докритического обтекания.

Отметим, что все рассмотренные в §7-§9 задачи решались ране« Однако предшественниками был обнаружен только один предел! ный режим - типа разрушающегося цуга волн (см. С.Н. Кегсгек N. ЗаЬгеэеп (1976), Н. МеЫач и Д.М. Уалс1еп-Ъгоеск (1991)) - и н в одной работе не отмечены указанные выше эффекты исчезноы ния волн (либо при переходе течения в водосливный режим, либо образованием симметричных многогорбых свободных новерхносте( и существования сверхкритических волновых течений.

Четвертая глава диссертации посвящена исследованию нелине] ных задач обтекания крыловых профилей вблизи поверхности разд ла двух невесомых идеальных жидкостей. Основная трудность щ решении подобных задач состоит в том, что поток здесь являет« двухслойным и константы Бернулли в каждом из слоев отличают* друг от друга. Взаимодействие потоков происходит вдоль некотор< заранее неизвестной линии раздела, которая является линией та генциального разрыва скорости и определяется из условий непрот кания и непрерывности давления.

При исследовании подобных задач в точной постановке традип онный путь состоит во введении для каждого слоя жидкости а ей области параметрического переменного с последующим вывод

уравнений связи между граничными точками этих областей.

При исследовании задач взаимодействия струй такой способ использовался П.М. Белоцерковским, З.Н. Валидовой и О.М. Киселевым,,C.B. Кузьминым, H.H. Лукерченко, Л.И. Мальцевым, В.М. IUy-рыгиным. Этот способ применялся также О.М. Киселевым при решении , задачи об обтекании ямы, содержащей точечный вихрь, и C.B. Кузьминым для задачи об обтекании точечного источника двухслойным потоком.

Для исследования задач взаимодействия потоков в точной постановке в диссертации предложен численно-аналитический метод, основанный на конформной отображении всей области течения на внешность круга единичного .радиуса. При таком подходе задача в параметрической плоскости сводится к определению функции комплексного потенциала W, которая в отличие от безграничной жидкости будет не аналитической, а кусочно-аналитической функцией комплексного параметрического переменного i. Функцию ^ предлагается отыскивать й таком виде, чтобы граничные условия непротекания поверхности профиля удовлетворялись по построению. В итоге задача сводится к системе нелинейных интегральных уравнений, служаших для опредедения линии скачка в параметрической плоскости. , '

В §10 главы 4 исследуется задача о безотрывном обтекании профиля вблизи границы раздела сред. Схема течения показана на рис. 16.

Рис. 16. Физическая область течения. Рис. 17. Параметрическая плоскость г.

Для фиксации положения профиля по отношению к линии раздела примем, что она проходит через фиксированную точку го- Из условия непрерывности давления при переходе через 7, и интеграла Бернулли найдем, что

V4

v_

V-

-\2

= 7-1,

7 -

рЧУ~)2

(17)

где У+, У~ - граничные значения скорости при подходе к Ь сверху I снизу соответственно, 7 - отношение скоростных напоров в потока? на бесконечности.

Пусть

* = /(«)

является конформным отображением внешности единичного кру га в параметрической области t = £ + щ на внешность профиля причем /(оо) — оо, /'(ос) = .ЙГ > 0 (рис: 17). Линии Ь в цлос кости < будет соответствовать линия проходящая через тоЧк^

— Со + = « областям Сг+ и С?- - области С/" и

соответственно.

Введем функцию связанную с комплексным потенциалов соотношениями

где • , '

М<) = :-¿2-> а°~—2--2'

е'Р, е'?1 - образы критических точек течения г а, г в соответственно Согласно гипотезе Жуковского-Чаплыгина е'^1 = (гу). Значен» /3 должно быть определено в ходе решения задачи.

Функция е~ш°/о(г) является, как нетрудно Заметить, комплексно-сопряженной скоростью для задачи обтекания круга единичного ра диуса безграничным потоком с вектором скорости на бесконечносп еш°, причем критические точки такого течения совпадают с точкам] е'Р, е,/3'. Функция %(<) - кусочно-аналитическая во внешности еди ничного круга с разрывом по линии

Пусть э - длина дуги контура отсчитываемая от точки Ц,в{з - функция угла наклона касательной к в Зависимости от дуюво] абсциссы 5. Тогда контур 1<< определится параметрическим уравне нием

л

и(в) = <0 +

о

Относительно функции х(0 сформулирована краевая задача. Уел вия непротекания для профиля и линии раздела приобретают еле дующий вид:

1тх(«) = 0, * = е(18

1т*+(*) = 1тдс"(0, * е Ьи (19)

«о + 1тХ+(<) = в, ■ * 6 Ц, (20)

9 - угол наклона касательной к к оси

Условие (17) - непрерывности давления при переходе через Ь -ожно представить так:

7 ехр [*+(*) - *-(<)] - ехр[Х-(£) - х+(0] =

2 (21)

!ри постановке задачи предполагается, что скорости потоков на бес-эаечноста параллельны оси х и заданы. Это приводит к следующем ютношениям

11ех(оо) = 0, (22)

= (23)

ипотеза Жуковского-Чаплыгина эквивалентна требованию отравленности функции всюду во внешнрсти единичного круга. Кроме эго, так как Ь проходит через фиксированную точку ¿о> то в нара-етрической плоскости имеем

и = Г1Ы€Ь,., (24)

'аким образом, мы пришли к краевой задаче (18)-(24) для отыска-ия кусочно-аналитической функции контура и параметра

Введем функцию

Л(*) = Х+(з) - х~(*). (25)

В силу условия сопряжения (19) и условия на бесконечности (22) •ункция Л(й) - действительна и Л(±оо) = 0.

Если предположить, что А(в), 0(я) - известны, то функцию ожно восстановить по условиям (18), (22), (25)

Х(0 =$(*)+(26) 1С Ф(<) - интег]);ит1 типа Коши по контуру Ь, с плотностью А:

= г 2хг / и — «

Функция \(*) в виде (26) по построению удовлетворяет условию 18) непротекания для контура профиля, условию сопряжения (19) и

условию на бесконечности (22). Для определения неизвестных А(в), и ,в имеем, таким образом, соотношения (20), (21), (23). Система нелинейных интегральных уравнений для определения А(«), и /? имеет вид:

Л(51) = Г(Т), Г = Ке/5[А,0] + £8ЛА,М]| (непрерывность давления), (27)

(¿1 - линия тока), (28)

= т — /?1 + Э"[А,0] (условие на бесконечности), (29)

где Р(Т) = 1п

1 -7

,2Т

^ 1.1-7 2Гг сг. 1 7 А(з)е'*«<Ь

2

=¿7та^Зэт =-1п/о[иЫЬ - * ^ ■

7Г» У и(з)

—оо

Дано доказательство сходимости процесса прямых итераций для решения системы (27)-(29) при достаточной удаленности профиля от линии раздела. При этом профиль может иметь совершенно произвольную форму. Доказательство основано на принципе сжатых отображений и исследовании поведения сингулярных интегралов с ядром Коши по бесконечным контурам при варьировании пути интегрирования.

В §11 предлагаемый итерационный процесс использован для расчетов конкретных профилей различного вида. Было рассчитано обтекание точечного пихря, кругового цилиндра, плоской пластины, профиля Н.Е. Жуковского и профиля ИАСАШтов,. Установлено, что практическая сходимость наблюдается даже при очень малых отстояниях профиля от линии раздела (порядка сотых долей хорды). Числовые расчеты показали, что если профиль движется в более плотной среде (случай подводного крыла), то линия раздела "отталкивает" его от себя. Поэтому при приближении подводного крыла к свободной поверхности подъемная сила падает. При движении профиля в менее плотной среде (крыло экраноплана) приближение его к линии раздела может вызвать как увеличение, гак и уменьшение подъемной силы и зависимости от угла атаки.

В §12 метод обобщен на случай кавитационного обтекания пластины по схеме Тулина-Терснтьева вблизи поверхности раздела. Проведенные числовые расчеты выявили некоторые интересные качественные закономерности. В частности, установлено, что при приближении пластины к свободной поверхности длина каверны существенно уменьшается, а формы каверны и участка свободной поверхности, расположенного непосредственно над каверной, становятся похожими на две концентрические скрз'жности (см. рис. ] 8).

(а)

0 12

1 1

---г 1 >Л

0 1 2 Рис. 18. Формы каверн при (3 = 0.1,а = 5° пблизи свободной поверхности, (а) /г//= 0.289, (Ь) к/1 - 0.052.

Нетрудно понять, почему это происходит. На свободной поверхности скорость равна и со, на поверхности каверны скорость V — Щ = г'ооутУ, где <3 - число кавитации Таким образом, мы имеем здесь течение между двумя линиями тока, на которых скорости постоянные, но разные, близкое к изображенному на рис. 19. Последнее описывается комплексным потенциалом точечного вихря. Подсчитав расход между двумя линиями тока, нетрудно получить радиусы кривизны Яс и Яь свободной поверхности н поверхности каверны соответственно:

Рис. 19. К выводу приближенных формул (30).

+ау и(30)

Формулы (30) будут справедливы для малых к при любых С}.

Отметим, что задача о движении тела вблизи поверхности раздела сред как частный случай содержит в себе задачи о движении тела вблизи прямолинейного экрана и свободной поверхности. Предлагаемый метод позволяет, таким образом, производить расчет этих важных частных случаев по единому алгоритму.

Публикации по теме диссертации

1. Маклаков Д.В. Об одной задаче взаимодействия потоков с разными константами Бернулли// Тр. семин. по краев, задачам. Казань: Казанский ун-т, 1983. Вып.20, С.159-170.

2. Маклаков Д.В. Нелинейная задача о движении профиля произвольной формы вблизи границы раздела двух сред разной плотности// Труды семинара по краевым задачам. Казань: Казанский ун-т, 1984. Вып.21. С.126-131.

3. Маклаков Д.В. О существовании решения задачи о движении профиля произвольной формы в потоке двухслойной жидкости// Изв. вузов. Математика. 1985. N6. С.30-36.

4. Лотфуллин М.В., Маклаков Д.В. Кавитационное обтекание пластины потоком двухслойной жидкости// Труды семинара по краевым задачам. Казань: Казанск. ун^г, 1987. Вын.23. С.155-163.

5. Маклаков Д.В. О максимуме сопротивления криволинейного препятствия, обтекаемого с отрывом струй// ДАН СССР. 1988. Т.298 N3. С.574-577.

6. Маклаков Д В. Существование решения задачи о докритиче ском обтекании вихря// Некоторые приложения функциональное анализа к задачам математической физики. Институт математик! СО АН СССР, Новосибирск, 1990. С. 89-102.

7. Маклаков Д.В. Нелинейная теория докритических течений Предельные режимы обтекания: Препринт N2 НИИММ. Казань Изд-во Казан, ун-та, 1992. 48с.

8. Маклаков Д.В. Предельные режимы докритического обтека ния препятствия// Вычислительные технологии. Институт вычисли тельных технологий СО РАН, 19ЭЗ. Т.2. N4. С. 55-71.

9. Авхадиев Ф.Г., Маклаков Д.В. Критерий разрешимости зада-ш построения профилей но кавитапионной диаграмме// Изв. вузов. Математика. 1994. N7, С.3-12.

10. Маклаков Д.В. Обтекание препятствия с образованием нели-1ейных волн на свободной поверхности. Предельные режимы// Изв. ЭАН. МЖГ. 1595. N2. С.108-117.

11. Avhadicv F.G., Maklakov D.V. A theory of pressure envelope for lydrofoils// Journal of Ship Technology Research. 1995. V.42. N2. P.81-L02.

12. .Maklakov D.V., Uglov A.N. On the- maximum drag of a curved )late in flow with a wake// Eropean Journal Appl. Math. 1995 (to ippear).

13. Маклаков Д.В. Нелинейная задача о движении профиля продольной формы вблизи поверхности раздела двух сред разной мотности// Тезисы докладов Всес. конференции "Средства и метода улучшения ходкости и мореходности судов". Крыловские чтения 1981г. Л.: Судостроение, 1981 С.П2-114.

14. Лотфуллин М.В., Маклаков Д.В. Нелинейная задача об обте-сании кавитирующей пластины вблизи поверхности раздела сред// Гезисы докладов Всес. конференции "Средства и методы улучше-шя ходкости и мореходности судов". Крыловские чтения 1985г. Л.: Судостроение, 1985. С.86.

15. Лотфуллин М.В., Маклаков Д.В. Нелинейная теория отрывного обтекания вблизи границы раздела сред// В сб. "6-ой всесо-озныЙ съезд по теоретической и прикладной механике"/ Ташкент, 19&6. С.424-425.

16. Маклаков Д.В. Точное решение задачи о движении вихря под :вободной поверхностью весомой жидкости с образованием волн// Гезисы докл. 2-ой республиканской н.-т. конференции "Механика машиностроения", секция МЖГ. Брежнев: Изд-во КАМПИ, 1987. 3.45.

17. Маклаков Д.В. О точном решении задачи о движении вихря под свободной поверхностью весомой жидкости с образованием золн// Динамические задачи механики сплошной среды/ Тезисы докладов региональной конференции. Часть.2. Краснодар, 1988. С.237.

18. Маклаков Д.В. Нелинейная задача об обтекании Бихря под свободной поверхностью весомой жидкости при скоростях, меньших критической// Тезисы докладов 4-ой Всес. н.-т. школы "Гидродина-

мика больших скоростей"/ Чебоксары: Изд-бо ЧГУ, 1989. С.45-46.

19. Маклаков Д.В. Нелинейная теория докритического режима обтекания препятствий// В сб. "7-ой всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике"/ Москва, 1991. С.235.

20. Авхадиев Ф.Г., Маклаков Д.В. Построение профиля по заданной кавитационной диаграмме// Тезисы докладов н.-т. конференции "Проблемы совершенствования комплексных методов прогнозирования мореходных качеств судов и средств освоения океана". Крылов-ские чтения 1993г. Санкт-Петербург. 1993. С.97-99.

21. Маклаков Д.В., Углов А.Н. Точные верхние оценки сопротивления криволинейного препятствия, обтекаемого по схеме Жуков-ского-Рошко// Тезисы докладов международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения К.Г.Чеботарева (5-11 июня 1994 г., Казань). Часть 2. С.81-82.

22. Avkhadiev F.G., Maklakov D.V. Optimal hydrofoil design with a given pressure envelope// Complex Analysis and Free Boundary Problems, International Conference in honour of 95th birthday of P.Ya.Polubarinova-Kochina. Saint-Petersburg. August 14-20, 1994. P.15-16.

23. Maklakoi- D.V., Uglov A.N. On the maximum drag of a curved plate on a flow with a wake// International Conference in honour of 95th birthday of P.Ya.Polubarinova-Kochina, Saint-Petersburg, August 14-20, 1991. Saint-Petersburg. 1994. P.20-21.

Часть результатов диссертации (работы [9]-[12], [20]—[23]) получена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты N 94-01-01763 к N 93-01-17552). Благодаря этой же поддержке стало возможным и оформление работы.

Сдано в набор 26.06.95 г. Подписано в печать 04.07.95 г. Форм.бум. 60 х 84 1/16. Печ.л. 2,25. Тираж 100. Закач 266.

Лаборатория оперативной полиграфии КГУ 420006 Казань, Ленина, 4/5