Двухслойные течения жидкостей с полубесконечной пластиной на границе раздела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. УЛЬЯНОВ А-ЛЕНИНА

На правах рукописи

СЕРЖАНТОВА Надежда Владимировна

УДК 532.595

ДВУХСЛОЙНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ С ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНОЙ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА

(01.02.05 — механика жидкостей, газа и плазмы)

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: доктор физико-математических наук, профессор А. В. Кузнецов

Казань - 1999

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ......................................................................................3

ГЛАВА 1. ОБТЕКАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ОСОБЕННОСТЕЙ

ПОТОКОМ НЕВЕСОМОЙ ЖИДКОСТИ..............................13

§1.Стационарное обтекание гидродинамических особенностей двухслойным потоком невесомых жидкостей с полубесконечной

пластиной на линии раздела...............................................13

§2.Нелинейная задача об обтекании вихря вблизи свободной

поверхности, частично прикрытой плоской стенкой................29

ГЛАВА 2. СТАЦИОНАРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ПОТОКОВ ТЯЖЁЛЫХ ЖИДКОСТЕЙ С РАЗНЫМИ ПОЛНЫМИ

ДАВЛЕНИЯМИ.............................................................40

§3.Обтекание вихря вблизи поверхности раздела тяжёлых жидкостей, имеющих различные плотности и скорости

набегающего потока........................................................40

§4.Обтекание полубесконечной деформированной пластины

двухслойным потоком тяжёлых жидкостей...........................51

§5.Обтекание вихря двухслойным потоком тяжелых жидкостей с

полубесконечной пластиной на линии раздела.......................66

ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................................................................82

ЛИТЕРАТУРА.................................................................................83

ВВЕДЕНИЕ

Предметом исследования диссертационной работы являются некоторые новые задачи о взаимодействии двух потоков несжимаемых невязких жидкостей с разными полными давлениями, граница раздела которых от г = -со до г = 0 прикрыта твёрдой пластиной, а оставшаяся часть от г = 0 до г = со является свободной границей раздела.

Подобные задачи представляют большой интерес в теоретическом отношении и имеют важное прикладное значение. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании ряда задач, в том числе, при моделировании силовой установки (двигателя) [1], для построения решения задачи об обтекании профиля вблизи границы раздела сред, состоящей из твёрдой и жидкой границ [2], в теоретической задаче об исследовании вихревой модели плоского периодического отрывного обтекания тела [5]. Также следует отметить связь исследуемых задач с теорией поверхностных и внутренних волн в жидкости.

Такая обширная область приложения свидетельствует об актуальности проблемы и диктует необходимость разработки математически обоснованных методов её решения.

Основная трудность при решении подобных задач состоит в том, что поток здесь является двухслойным и константы Бернулли в каждом из слоев отличаются друг от друга. Взаимодействие потоков происходит вдоль некоторой заранее неизвестной линии раздела, которая является линией тангенциального разрыва скорости и определяется из условий непротекания и непрерывности давления. Кроме того, существенное влияние на характер течения оказывает то, что граница раздела состоит из двух частей — твёрдой и жидкой.

До недавнего времени исследовались лишь частные случаи рассматриваемых течений: двухслойные течения с жидкой границей раздела и их частный случай — течения со свободной поверхностью, — или течения однородной жидкости со свободной границей, состоящей из твёрдой стенки и свободной поверхности. Задачи решались как для случая невесомых жидкостей, так и с учётом влияния силы тяжести.

Так, в монографии [1] в линейной постановке приводятся решения следующих задач о струйных течениях невесомых жидкостей, полученные с помощью метода отражений: диполь у границы раздела жидкостей с различными плотностями и

скоростями поступательного течения, цилиндр под поверхностью раздела и в струе, пластинка вблизи границы двух потоков, обдув профиля свободной струёй.

В настоящее время большинство прикладных задач, посвященных генерации волн различными возмущениями, решены в линейной постановке, т. е. в предположении, что амплитуда волновых движений мала по сравнению с длиной волны. Относительная простота решения линейных уравнений по сравнению с полной нелинейной задачей, современное развитие соответствующего математического аппарата и вычислительной техники позволяют ответить на многие запросы практики.

Обширный обзор литературы, посвященной линейной теории генерации поверхностных и внутренних волн, содержится в работе [36], где описаны различные способы генерации волн, рассмотрены плоские и пространственные волновые движения, обсуждаются стационарные, периодические и нестационарные течения. Для каждого типа задач изложение ведётся по степени усложнения распределения плотности: от наиболее простого случая однородной жидкости к общему случаю произвольного (устойчивого) распределения плотности.

Из последних работ отметим работы С.И. Горлова [6, 7]. В [7] предложен метод решения линейных задач о равномерном движении вихреисточника в многослойной жидкости, имеющей произвольное конечное число слоёв. В качестве примера решена задача о движении вихреисточника заданной интенсивности в трёхслойной жидкости, получены формулы для комплексных скоростей и гидродинамических реакций. В [6] для задачи о равномерном движении вихреисточника в трёхслойной жидкости представлены результаты исследования по оценке влияния поверхностных и внутренних волн на гидродинамические характеристики. Изучено поведение подъёмной силы и волнового сопротивления вблизи критического числа Фруда. Приведены некоторые результаты численного эксперимента

Большой обзор задач о взаимодействии потоков с разными полными давлениями и о течениях слоя весомой жидкости над дном, имеющим горизонтальные асимптоты слева и справа на бесконечности, решённых в нелинейной постановке, приведён в монографии Д.В. Маклакова [24]. Для исследования задач об обтекании крыловых профилей двухслойным потоком невесомых жидкостей в точной постановке предложен численно-аналитический метод, основанный на конформном отображении всей области течения на внешность круга единичного радиуса. Поскольку задача о движении тела вблизи поверхности раздела сред как частный случай содержит в себе задачи о движении тела вблизи прямолинейного экрана и свободной поверхности, то

предлагаемый метод позволяет производить расчёт этих важных частных случаев по единому алгоритму.

Известны решения линейных задач нестационарного взаимодействия потоков с равными поступательными скоростями основного течения [1, 2]. В этом случае потенциалы скоростей возмущений на свободных границах L раздела потоков представляют собой бегущие волны, сохраняющие свою форму.

Более трудными оказываются задачи нестационарных течений, в которых граница раздела потоков частично прикрыта непроницаемой стенкой, а поступательные скорости стационарных потоков различные. Задача о взаимодействии полубезграничных потоков невесомых жидкостей с такими условиями на границе раздела рассмотрена в работе A.B. и С.А. Кузнецовых [19]. Определение комплексных потенциалов течений сведено к решению начально-краевой задачи теории аналитических функций по известным граничным значениям её мнимой части на пластине и условиям сопряжения на границе L, являющимся следствием динамического и кинематического условий взаимодействия потоков на свободной границе раздела.

Аналогичная задача для потоков невязких невесомых жидкостей, заключённых в канале с неподвижными твёрдыми стенками и разделённых полубесконечной деформирующейся пластиной, решена в [20].

Задачи о волнах на свободной поверхности жидкости, когда её поверхность покрыта от z = -оо до z = 0 твёрдой пластиной, можно рассматривать как частный случай задачи о волнах на поверхности водоёма, дно которого составляет произвольный угол с горизонтом.

Для углов наклона, являющихся целой частью от 90°, задачу впервые исследовали J. Stoker [44] и Н. Lewy [40]. В [40] решение было получено для углов а = п p/lq, где р и q — два взаимно простых числа, причём р —• нечётное число, меньшее чем 2q.

Случай ¿7 = 1, р = 2 впервые рассмотрели К.О. Friedrichs и Н. Lewy [38]. Задача решена с использованием линеаризации теории волн малой амплитуды и с применением преобразования Лапласа. Обсуждается характер волнового движения вблизи кромки пластины, т. е. около линии, вдоль которой встречаются водная поверхность и пластина. Приводятся два решения задачи, одно из которых ограничено в кромке 2 = 0, а другое обладает там логарифмической особенностью. Для указанных

случаев построены графики, представляющие поверхность жидкости около начала координат и распределение давления вдоль пластины.

Впоследствии решение этой же задачи в трёхмерном пространстве для жидкости конечной глубины получил А.Е. Heins [39].

Задачу о волнах на поверхности водоёма, дно которого составляет произвольный угол с горизонтом (от 0° до 180°) исследовали A.S. Petters [43], М. Weitz и J. Keller [45], рассматривая волны на поверхности водоёма в присутствии поля битого льда на поверхности жидкости.

Результаты указанных исследований приводятся в монографии JI.H. Сретенского [35], где рассматривается также более сложная задача о волнах в присутствии пластинки конечной длины, находящейся на поверхности жидкости.

В работе R.C. Ackerberg'a [37] линеаризуется нелинейная задача, в которой рассматривается вдув струи с большой скоростью из отверстия в бесконечной пластине в равномерный поток с меньшим полным напором, когда угол вдува струи мал. Получающаяся линейная задача решается при помощи метода Винера-Хопфа [42]. Получены численные результаты для определения положения линии тока, отделяющей струю жидкости от свободного потока, и вычислено распределение давления вдоль стенки, расположенной вверх по потоку, при различных углах вдува струи.

Задачи об истечении тяжёлой идеальной жидкости из-под полигонального щита рассматривалась в [9], [41] и других работах. Различные приближённые методы, используемые во всех этих работах, не дают возможности учесть волновой характер течения на свободной поверхности.

Этот недостаток устранён в работах JI.M. Котляра [13, 15]. В [13] рассматривается установившийся поток несжимаемой тяжёлой жидкости бесконечной глубины, вытекающий из-под полигонального щита. Граничное условие на свободной поверхности заменяется линейным условием в форме Леви-Чивита, и задача сводится к интегро-дифференциальному уравнению для логарифма скорости, для решения которого используется метод Винера-Хопфа. Решение получено в изображениях по Фурье. Исследовано его асимптотическое поведение. В [15] решена аналогичная задача для случая жидкости конечной глубины.

В работе JIM. Котляра и В.А. Лазарева [18] в линейной постановке исследуется симметричное кавитационное обтекание клина завихренным потоком невесомой жидкости, для которого профиль скоростей на бесконечности вверх по потоку предполагается линейно скошенным. Для определения границ потока получено

интегро-дифференциальное уравнение. Решение этого уравнения методом Винера-Хопфа позволяет установить волновой характер свободной поверхности за клином. Если рассматривать одну половину течения, то поставленную задачу можно интерпретировать как задачу об истечении завихренной жидкости из-под полигонального щита в среду с переменным давлением.

В работе JIM. Котляра и A.B. Кузнецова [16] в линейной постановке исследуется нестационарная задача об истечении жидкости из-под прямолинейного щита, когда в начальный момент времени задаётся импульсивное давление на свободной поверхности, причём жидкость отделяется от области постоянного давления струйной плёнкой. Предполагалось, что струйная плёнка тонкая, импульс течения в струе не изменяется, а угол, образованный струёй в точке схода потока, равен нулю. Задача сводится к интегро-дифференциальному уравнению, решение которого получено методом Винера-Хопфа. Показано, что на бесконечности за точкой, в которой потенциал скорости невозмущённого течения равен v021, образуются волны (здесь vq

— скорость на свободной границе при установившемся течении, t — время). Слева от этой точки волны отсутствуют.

В работе [17] исследуется задача в аналогичной постановке, но на свободной поверхности учитывается сила поверхностного натяжения.

В работах В.П. Житникова [11, 12] проведено исследование задач о течении капиллярной [12] и тяжёлой [11] жидкостей с ограниченным участком свободной поверхности, допускающих решение типа поверхностных волн. Решение проводится с помощью метода Леви-Чивиты. Для волн с малой амплитудой проведено сравнение с решением линейной задачи [13].

Целью настоящей диссертационной работы является точное аналитическое решение в линейном приближении ряда задач о двухслойных течениях жидкостей с различными плотностями и скоростями набегающего потока, разделённых полубесконечной пластиной, определение гидродинамических характеристик течений, проведение необходимых численных расчётов.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

Глава 1 посвящена решению двух задач об обтекании гидродинамических особенностей потоком невесомой жидкости

В § 1 излагаются результаты решения в линейной постановке плоской задачи об обтекании гидродинамической особенности (вихря или источника), расположенной в

некоторой точке 20 = а +1 к вблизи поверхности раздела невязких невесомых

жидкостей, имеющих различные плотности р± и скорости У* набегающего потока (значки + и - отличают, соответственно, течение в областях под и над линией раздела сред), при наличии на границе раздела сред полубесконечной пластины.

Определение комплексных потенциалов течений сведено к решению краевой задачи теории аналитических функций по известным граничным значениям мнимой части на пластине и условиям сопряжения на границе Ь, являющимся следствием динамического и кинематического условий взаимодействия потоков на свободной границе раздела.

Решение получено для произвольного положения гидродинамической особенности относительно пластины.

Определены вызванные скорости потоков, уравнение линии раздела сред и силы, действующие на пластину и на особенность. Зависимость решения от отношения

¥+ р~ скоростей /? = —з" и отношения плотностей у =— определяется коэффициентами V р

у - В1

к. = -—(изменяется в пределах от -1 до 1) и кг = (1 + к{) (3. у + /3-

Если поток однороден (при этом = 0, к2 = 1), то формулы для вызванных скоростей совпадают друг с другом и переходят в точные, полученные при решении нелинейной задачи в работе [5] в связи с рассмотрением вихревой модели периодического отрывного обтекания тела.

При а —>■ -со, когда вихрь находится над пластиной далеко от кромки (при этом кх = -1, к2 = 0) получаем известные точные формулы, приведённые, например, в [8].

При у—»со (£,=1, £2=0) получаем решение линейной задачи об обтекании особенности потоком невесомой жидкости вблизи свободной поверхности, частично прикрытой плоской стенкой.

По результатам численных расчётов построены графики, представляющие коэффициенты сопротивления и подъёмной силы, линии раздела сред, распределение давления по пластине, в зависимости от положения особенности и коэффициента кх.

В §2 исследуется нелинейная задача об обтекании вихря с циркуляцией Г потоком невесомой жидкости вблизи свободной поверхности, прикрытой полубесконечной плоской стенкой.

Решение получено методом особых точек для произвольного положения вихря относительно пластины. При этом область течения в физической плоскости отображается на верхний полукруг единичного радиуса в параметрической плоскости так, чтобы пластине соответствовал диаметр, а свободной границе — дуга окружности.

Вид функции, осуществляющей отображение, будет различным для следующих трёх вариантов исследуемого течения:

1) одна критическая точка в потоке,

2) две критические точки на пластине,

3) одна критическая точка на пластине.

Задача сводится к системе четырёх нелинейных уравнений, численное решение которой проведено полуобратным методом — определялись безразмерные параметры в физической области по заданным в параметрической.

Случай 3) является предельным для 2) (две критические точки при увеличении циркуляции сливаются в одну). Наличие только трёх действительных неизвестных параметров в случае одной критической точки на пластине вместо четырёх, как в двух других случаях, позволило провести более подробное и полное исследование, по результатам которого были построены графики зависимостей безразмерной циркуляции, коэффициентов сопротивления и подъёмной силы от положения вихря.

В результате �