Рассеяние изгибно-гравитационных волн на сосредоточенных препятствиях в плавающей пластине тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи жучкова Марина Геннадьевна

Рассеяние изгибно-гравитационных волн

на сосредоточенных препятствиях в плавающей пластине

01.02.04 - «Механика деформируемого твердого тела»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

3 О СЕН ?010

Санкт-Петербург 2010

004609315

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном морском техническом университете на кафедре прикладной математики и математического моделирования.

Научный руководитель:

д.ф.-м.н., профессор Коузов Даниил Петрович Официальные оппоненты:

д.ф.-м.н., профессор Киселев Алексей Прохорович д.ф.-м.н., доцент Мотыгин Олег Валерьевич

Ведущая организация:

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН

Защита состоится « ' ^ » аст^тгХ 2010 г. в // часов на заседании диссертационного совета Д 002.075.01 в Институте проблем машиноведения РАН по адресу: 199178, Санкт-Петербург, В.О., Большой пр., 61.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем машиноведения РАН.

Автореферат разослан «

Ученый секретарь диссертационного совета

2010 г.

>В. Дубаренко

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Тема диссертации, прежде всего, связана с задачами проектирования и эксплуатации гигантских плавучих сооружений, таких как морские платформы различного назначения, искусственные острова на плавающем основании, плавучие взлетно-посадочные полосы. Традиционной моделью гигантского плавучего сооружения (понтонного типа) является плавающая, тонкая упругая пластина или система соединенных пластин. Значительная поперечная деформация, обусловленная внешним воздействием волн на конструкцию, может затруднить или даже сделает невозможным ее эксплуатацию. Уменьшить амплитуды прогибов призваны опоры и подкрепления конструкции. Они также могут выполнять функцию удерживающей якорной системы. В этой связи, математическое моделирование волновых процессов, развивающихся в подкрепленных плавающих упругих пластинах, представляется весьма актуальной задачей.

Другое, естественное и традиционное приложение задач о колебаниях плавающей на поверхности жидкости пластины - это изучение волновых процессов в ледовых полях. На протяжении уже многих десятков лет ученые и инженеры используют плавающую, тонкую упругую пластину для моделирования ледового покрова морей и океанов. Как известно, ледовый покров водных бассейнов сильно неоднороден в горизонтальных направлениях. Характерными примерами неоднород-ностей являются трещины и гряды торосов. Поэтому значительный практический интерес представляет анализ влияния неоднородностей на колебания ледового покрова.

Количество работ, посвященных рассмотрению волновых процессов в упругих пластинах, плавающих на поверхности несжимаемой жидкости, исключительно велико. Первые рассмотрения принадлежат, по-видимому, В.Н. Красильникову. Он изучал отражательные способности различных прямолинейных неоднородностей в ледовых полях (трещин, спаев, мест налегания льдин одна на другую и др.). Был выделен новый класс краевых задач математической физики - гранично-контактных. В дальнейшем подход, предложенный В.Н. Красильниковым, (обычно в сочетании с процедурой Винера-Хопфа) неоднократно использовался другими авторами. Например, работы по получению и исследованию точных аналитических решений гранично-контактных задач гидродинамики принадлежат В.В. Варламову, С.А. Габову, А.Г. Свешникову, А.К. Шатову, Д.П. Коузову, Р.В. Гольдштейну, A.B. Марченко и др. В диссертации также используется данный подход, основанный на сведении рассматриваемых задач к гранично-контактным.

В настоящее время ведущим российским научным центром по изучению гидроупругого поведения плавающих пластин является институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (г. Новосибирск). Исследования проводятся в лаборатории гидроаэроупругости учеными A.A. Коробкиным, И.В. Стуровой, Л.А. Ткачевой и Т.И. Хабахпаше-вой. Круг рассмотренных ими задач очень широкий. Например, были предложены способы уменьшения прогибов упругих колебаний плавающей пластины. Один из них заключается в присоединении к основной пластине дополнительной жесткой пластины меньшего размера, выполняющей роль вибропоглотителя. Другой метод состоит в упругом соединении кромок пластины с дном при помощи связующих пружин. Было показано, что подбором жесткости пружин можно добиться существенного снижения амплитуд колебаний основной части пластины. Также рассматривалась задача о гидроупругих колебаниях пластины с прямолинейной трещиной. Трещина моделировалась линейной пружиной соответствующей жесткости, зависящей от упругих параметров пластины и глубины трещины.

Среди многочисленных исследований зарубежных авторов, посвященных данной тематике, следует выделить работы D.V. Evans, R. Porter и М.Н. Meylan. D.V. Evans и R. Porter получили точное аналитическое решение задачи о рассеянии наклонной изгибно-гравитационной волны на одной и нескольких параллельных прямолинейных трещинах в упругой безграничной пластине. Они же изучали дифракцию изгибно-гравитационной волны на нескольких трещинах, имеющих конечную длину. D.V. Evans и М.Н. Meylan исследовали рассеяние изгиб-но-гравитационной волны на нескольких точечных закреплениях плавающей пластины.

Постановка научной задачи. Диссертация посвящена исследованию периодических волновых процессов в тонкой упругой пластине, плавающей на поверхности несжимаемой жидкости. Пластина целиком покрывает свободную поверхность жидкости и совершает изгибные колебания, сопутствующие гравитационным волнам. Режим свободных колебаний пластины нарушен вдоль некоторой прямой или набора параллельных прямых. В качестве сосредоточенного нарушения режима колебаний можно рассматривать как наличие всевозможных внешних элементов конструкции (опор, подкреплений), так и дефект механических свойств самой пластины (трещина, шарнирное соединение двух пластин с идентичными свойствами).

Предполагается, что подводная часть опор и подкреплений не оказывает существенного влияния на движение жидкости. Подобные конструкции можно представить себе, например, в виде жестких реше-

ток, шаг и толщина которых достаточно малы, чтобы с одной стороны представлять их в виде закреплений вдоль некоторой линии, а с другой стороны не вносить существенных изменений в движение протекающей через решетку жидкости.

Жидкость считается однородной, идеальной и несжимаемой, ее глубина - конечной. Помимо основной ситуации с заданной конечной глубиной водоема рассматриваются также предельные возможности: бесконечно глубокий водоем и случай малой глубины водоема, когда применим некоторый приближенный подход «теории мелкой воды».

В жидкости рассматриваются поверхностные гравитационные волны малой амплитуды. Такие волны характеризуются тем, что их высоты значительно меньше их длины. Это предположение удовлетворительно согласуется, в частности, с натурными наблюдениями ветровых волн в море. Отношение высоты таких волн к их длине для широкого спектра ветровых нагрузок приблизительно располагается в интервале от ^ до

Используется модель тонкой упругой пластины. Основные предположения, при которых она применима, состоят в малости амплитуды волны по сравнению с ее длиной, в малости толщины пластины по сравнению с радиусом кривизны при ее деформации, в малости вязких, релаксационных и пластических свойств материала пластины. Все эти приближения выполняются и соответствуют типичным параметрам поверхностных волн в морях и свойствам как природных (ледовый покров), так и техногенных (гигантские плавучие сооружения) моделей такого рода.

Цель работы состоит в изучении прохождения и отражения из-гибно-гравитационной волны, набегающей под прямым углом на неоднородности, сосредоточенные вдоль одной прямой или набора параллельных прямых, в плавающей тонкой упругой пластине. Научные задачи диссертации

1. Нахождение точных аналитических представлений волновых полей в пластине и в жидкости.

2. Определение коэффициентов прохождения и отражения набегающей изгибно-гравитационной волны.

3. Нахождение точных аналитических решений в приближениях мелкой и бесконечно глубокой воды.

4. Создание пакета программ, позволяющих по полученным точным формулам проводить численное исследование волновых процессов в жидкости и в пластине, численно оценивать прохождение и отражение набегающей изгибно-гравитационной волны.

5. Оценка степени пригодности найденных приближений на основании численного сравнения с точным решением, полученным для конечной глубины водоема, в случае одного и двух прямолинейных препятствий.

В большинстве работ, упомянутых выше и посвященных данному кругу задач, их авторы разрабатывали численные и приближенные методы решения. Если же удавалось получать точные решения, то путь их нахождения зачастую оказывался излишне сложным и опирался на частные свойства задачи. Однако возможен другой, более общий подход, приводящий к точному аналитическому решению с помощью простой стандартной процедуры. Этот подход используется в данном диссертационном исследовании.

Методика исследования. Метод нахождения точного решения был разработан научным руководителем автора диссертации Д.П. Ко-узовым в 1963-1964 годах для решения задач акустики. Впервые подход был изложен Д.П. Коузовым в публикации1, посвященной точному решению плоской задачи об акустическом и вибрационном поле бесконечной пластины, упругие свойства которой нарушены вдоль некоторого набора параллельных прямых.

Суть метода состоит в следующем. Сосредоточенный дефект пластины задается с помощью граничного равенства, в правой части которого содержится линейная комбинация ¿-функции и ее производных. Оно аналогично граничному равенству, которое имело бы место при наличии активного сосредоточенного источника, приложенного к бесконечной однородной пластине. Таким образом, сосредоточенный дефект пластины выступает в качестве «пассивного источника» дифракционного поля. «Пассивность» означает, что данный объект не генерирует энергию, но является причиной переизлучения падающего поля.

Наивысший возможный порядок производной ¿-функции в граничном условии ограничен известным в теории дифракции условием Май-кснера. Оно обеспечивает единственность решения, устраняя возможность появления фиктивного источника поля в среде, в точках различных нарушений свойств границы (угловых точках границы, точках скачка импеданса границы и т.п.). Д.П. Коузовым было показано, что при использовании традиционного уравнения изгибных колебаний тонкой пластины наивысший возможный порядок производной ¿-функции равен трем.

Константы, входящие в линейную комбинацию, заранее неизвестны. Они определяются на основании гранично-контактных условий,

'Коузов Д.П. О явлении резонанса при дифракции гидроакустической волны на системе трещин в упругой пластине // Прикладная математика и механика. 1964. Т. 28. № 3. С. 409-417.

задающих механический режим на кромках пластин, в местах их стыковки друг с другом или скрепления с опорными или другими конструктивными элементами. Этим условиям должно удовлетворять искомое полное поле, представляющее собой сумму поверхностной волны, набегающей на сосредоточенный дефект, и рассеянного поля. Удовлетворение гранично-контактным условиям порождает неоднородную систему уравнений для нахождения неизвестных констант. Коэффициенты этой системы могут содержать расходящиеся интегралы или ряды, регуляризация которых представляет характерный этап решения задачи.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Точное аналитическое решение двумерной гранично-контактной задачи о рассеянии изгибно-гравитационных волн на одиночном препятствии, сосредоточенном вдоль некоторой прямой в плавающей упругой пластине.

2. Точное аналитическое решение двумерной гранично-контактной задачи о рассеянии изгибно-гравитационных волн на нескольких препятствиях, сосредоточенных вдоль ш параллельных прямых в плавающей упругой пластине.

3. Аналитические представления для изгибного поля в пластине и волнового ноля в жидкости.

4. Аналитические выражения для коэффициентов прохождения и отражения набегающей изгибно-гравитационной волны.

5. Точные аналитические решения в приближениях мелкой и бесконечно глубокой воды.

Все результаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми.

Достоверность результатов обеспечивается

- корректным использованием уравнений механики деформируемого твердого тела и гидродинамики,

- использованием строгого математического аппарата для решения поставленной гранично-контактной задачи,

- корректностью аналитических выкладок, проверенных с помощью программных средств для символьных вычислений,

- применением отлаженных, хорошо зарекомендовавшим себя численных методов при изучении полученного точного решения,

- тестированием численных результатов с помощью контрольного тождества в виде баланса потоков энергии в системе, вытекающего из закона сохранения энергии.

Практическая и теоретическая ценность. Практическую ценность представляют результаты исследования пропускных способностей различных прямолинейных препятствий в плавающих пластинах. Полученные результаты могут быть полезными, например, при проектировании гигантских плавучих сооружений. Созданный в ходе работы пакет прикладных программ позволяет численно (по полученным точным формулам) исследовать прохождение набегающей изгибно-грави-тационной волны через произвольное количество прямолинейных препятствий различных типов. С его помощью можно рассчитать коэффициенты прохождения и отражения падающей волны, прогиб пластины, внутренние усилия, развиваемые в каждом закреплении пластины. С теоретической точки зрения ценность представляют найденные точные аналитические решения. Теоретическую и'практическую ценность представляют также оценки степени пригодности приближенных теорий мелкой воды и бесконечно глубокого бассейна.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на XXVII летней школе «Nonlinear Oscillations in Mechanical Systems» (С.-Петербург, Институт проблем машиноведения РАН, 1999 г.); на XXIX летней школе «Advanced problems in mechanics» (С.-Петербург, Институт проблем машиноведения РАН, 2001 г.); на международной конференции по морским интеллектуальным технологиям «Моринтех» (С.-Петербург, 2001 г.); на международной конференции «SubSeaTECH-2009» (С.-Петербург, Государственный морской технический университет, 2009 г.); на городском семинаре по вычислительной и теоретической акустике (руководитель проф. Д.П. Ко-узов) и городском семинаре по механике (руководитель чл.-корр. РАН Д.А. Индейцев) в Институте проблем машиноведения РАН (С.-Петербург, 1999, 2001, 2009 гг.).

Работа выполнялась при финансовой поддержке Российского конкурсного центра фундаментального естествознания (грант «Гранично-контактные задачи гидродинамики» № 97-0-4.1-159).

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано пять статей, из которых одна в журнале, входящем в перечень ВАК. Все публикации написаны в соавторстве с Д.П. Коузовым, научным руководителем автора диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из четырех разделов и заключения. Разделы разбиты на пункты. Нумерация формул и рисунков ведется по разделам. Объем работы - 122 страницы, в том числе 48 рисунков и одна таблица. Список литературы включает 79 наименований.

Содержание работы

Первый раздел имеет вводный характер. В нем обосновывается актуальность темы исследования, приводится обзор литературы, указываются научная задача и цель диссертации, кратко излагается содержание составных частей диссертации, указываются положения, выносимые на защиту, приводятся сведения о публикации основных результатов.

Во втором разделе приводятся некоторые предварительные сведения, необходимые для изложения дальнейшего материала диссертации. Раздел посвящен изучению поверхностной изгибно-гравитацион-ной волны в системе «пластина-жидкость» (рис. 1). Вопросы, затронутые в этом разделе, рассматривались также и другими авторами. Поэтому хотя трудно высказываться категорически о новизне представленных здесь материалов, однако систематического изложения интересующих нас вопросов в других источниках найти не удалось.

^ 1/1 { ' ' ' ' ' '

/ / / / / /

- - - о -

Н

7—7—7—7—7~7~7~7—Г—7—7—7—7—7—7-

Рис. 1

Всюду в диссертации ограничиваемся рассмотрением гармонических процессов, при этом множитель е~шт (и> - круговая частота, с-1; т - время, с), задающий зависимость процессов от времени, опускается.

Искомый потенциал скорости Ф(я, г) должен удовлетворять во всем объеме жидкости уравнению Лапласа

дЩх,г) д2Ф(х,г) п п

+ дг2 = ' <*<+<*>, (1)

а также граничным условиям на нижней поверхности пластины Я5ф Яф Яф

и на дне (которое предполагается жестким)

~дГ~ -0> 2 - _я- (3)

9

Введены следующие обозначения: h - глубина погружения пластины (осадка), м; H - расстояние между ее нижней поверхностью и дном, м; р - плотность жидкости, кг/м3; D - цилиндрическая жесткость пластины, Н-м.

Вертикальное смещение пластины ((х) ищем в виде бегущей волны С(х) = Cbe,Al. Соответственно этому решение уравнения Лапласа (1) с учетом граничного условия на дне (3) берем в виде

Ф(х,г) = CeiXxch\(z + H).

Условие, при котором потенциал скорости Ф(:г, z) удовлетворяет граничному условию (2) на поверхности жидкости, покрытой пластиной, имеет вид

А (А) = A (A 4D + р (g-hw2)) sh (А Я) - pJ1 ch (A H) = 0. (4)

Уравнение (4) называется дисперсионным. Показано, что оно имеет два одинаковых по величине и противоположных по знаку вещественных корня, счетное множество мнимых корней и две пары комплексно-сопряженных корней. Таким образом, в системе «пластина на воде» при отсутствии потерь имеются две прогрессивные незатухающие волны. Они соответствуют положительному +Ао и отрицательному —Ао вещественным волновым числам дисперсионного уравнения, распространяются вдоль оси х в противоположных направлениях и в данном разделе представляют основной интерес.

Для прогрессивных волн получено отношение средних по времени потоков энергии в пластине Пр и в воде Пш. Оно имеет вид

np 4DAq sh2(A0ff)

nw~ pw2 ^ш + Хон'

Все численные эксперименты в работе проводились при жесткости пластины D = 1.96 • 10йH • м, осадке пластины h = 5м и плотности жидкости (воды) р = 1025 кг/м3. Значения жесткости и осадки пластины взяты из работы2, посвященной численному решению трехмерной задачи дифракции гравитационной волны на упругой прямоугольной пластине ограниченных размеров, плавающей на поверхности жидкости малой глубины.

На рис. 2 представлены зависимости относительного потока энергии в воде Е = (1 + Пр/Пш)-1 от периода волны t для разных глубин

2Ertekin R.C., Kim J.W. Hydroelastic response of a floating mat-type structure in oblique, shallow-water waves // Journal of ship research. 1999. Vol. 43. № 4. P. 241-254.

водоема Н\ {II\ = Н К). При увеличении периода волны относительный поток энергии в воде возрастает. Это можно объяснить следующим образом. С увеличением периода уменьшается механическое сопротивление пластины. Относительная доля потока энергии, переносимой волной изгиба в пластине, сокращается. Основную роль в переносе энергии начинает играть вода. Для малых периодов, напротив, отношение П7,/Пш возрастает и относительный поток энергии в воде уменьшается.

Рис. 2

Графики на рис. 3 иллюстрируют зависимости относительного потока энергии в воде от глубины водоема для разных периодов волны. Штриховые линии отвечают случаю бесконечно глубокой воды. Видно, что относительный поток энергии в воде меняется с ростом глубины немонотонно. При некоторой глубине наблюдается максимум. Глубина водоема, соответствующая этому максимуму, с возрастанием периода увеличивается. Наличие максимума можно объяснить таким образом. При увеличении глубины водоема сначала происходит расширение «жидкостного» канала передачи энергии, вследствие чего поток энергии в воде возрастает. При этом влияние дна сводится к усилению горизонтальных смещений жидких частиц. При больших глубинах водоема эта роль дна ослабевает, поток энергии в воде уменьшается.

Рассмотрено распространение волны в водоеме неограниченной глубины и на мелководье. В случае предельно малой глубины жидкости

ь,с = 21/

19

15

9

3

о 100 200 н1,ш

Рис. 3

вместо уравнения Лапласа и граничных условий на дне водоема и на поверхности воды используется одно уравнение (5), которое является основным для этой приближенной теории.

- ^-аИ + рэ-Ьг1 + Р~нф{х>0) = (5)

Идеей приближения является устранение переменной, связанной с глубиной водоема, так что задача рассматривается только на горизонтальной плоскости 2 = 0. Таким образом, выражение для потенциала скорости имеет вид

Ф(х) — С е'Ат.

Алгебраическое уравнение шестой степени относительно А

является дисперсионным для приближения мелкой воды.

В случае бесконечно глубокого бассейна вместо условия на поверхности дна (3) используется условие, требующее, чтобы жидкость на большой глубине находилась в состоянии покоя. А именно:

Ф(х, г) -> 0, г -оо.

Рис. 4

Поэтому волновой потенциал в этом случае ищем в виде затухающей вглубь жидкости поверхностной волны

Ф{х,г) — Се{Ахе'А'г. Дисперсионное уравнение при этом имеет вид

Д(А) = ]А| (А4Р + р(д- кшг)) - ри2 = 0.

По точности расчета волнового числа исследованы границы применимости приближенных теорий бесконечно глубокой и мелкой воды. В случае водоема, покрытого пластиной, во всем рассмотренном диапазоне круговых частот (от 0 до 1 с""1) погрешность теории мелкой воды не превосходит 15%. В водоеме со свободной поверхностью ошибка значительно больше. Например, при частоте из = 0.5 с"1 она составляет приблизительно 37%. При увеличении частоты погрешность растет и достигает почти 68% при частоте из — 1 с~х. Погрешность приближения бесконечно глубокой воды в обоих случаях примерно одинаковая. Так, при частоте ш > 0.5 с-1 она не превышает 5%.

Таким образом для водоема, покрытого пластиной, теория мелкой воды дает более точные результаты, чем в случае свободной поверхности. Условия применимости приближения бесконечно глубокой воды не меняются.

Результаты, приводимые в последующих разделах и относящиеся к точным аналитическим решениям гранично-контактных задач, являются новыми и получены автором впервые.

В третьем разделе построено точное аналитическое решение задачи о совместных колебаниях слоя жидкости и плавающей на его поверхности бесконечной пластины, режим свободных колебаний которой нарушен вдоль прямой х = 0 (рис. 4). В качестве источника колебаний рассмотрена изгибно-гравитационная волна, набегающая на эту прямую под прямым углом.

Граничное условие на нижней поверхности пластины принимает вид

95Ф о<9Ф дФ

DWd-Z ~ + Р91Гг - ^ Ф = (Лг(Х) + В<5'+ (6)

+а6"(х) + Ь6"'(х))> 2 = 0.

Потенциал скорости будем искать в виде суммы поверхностной волны, набегающей на опору и совокупности волн Ф (a:,z), рассеянных на опоре,

Ф{х,г) = С eiX°x ch А0 (z + Н) + Ф (х, z), (7)

где С - амплитуда набегающей волны, м; Ао (Ао>0) - ее волновое число, м-1. Каждое из слагаемых в правой части равенства (7) должно удовлетворять уравнениям (1) и (3). Для первого слагаемого имеет место однородное граничное условие (2), для второго - неоднородное (6). Согласно условию на бесконечности, искомое поле Ф (х, z) должно состоять из волн, уходящих на бесконечность и затухающих на бесконечности.

Решение ищется в два этапа. Сначала находится общее решение, т. е. решение, удовлетворяющее всем требованиям задачи, кроме гранично-контактных условий. Это решение содержит четыре произвольные постоянные. Затем удовлетворяются гранично-контактные условия, что приводит к линейной системе для их'отыскания. В процессе решения проводится регуляризация расходящихся интегралов и рядов.

После последовательного применения прямого и обратного преобразований Фурье к уравнениям (1), (3) и (6), записанным для функции Ф (х, z), и соответствующих вычислений имеем следующее интегральное представление для рассеянного поля:

т, Л iu> г ch (X(z + H)) (A+ iBX-aX2-ibX3)eiXx /oN -00

Интегрирование в (8) проводится вдоль вещественной оси с обходом положительного корня знаменателя подынтегральной функции +Ао снизу, а отрицательного корня —Ао сверху (принцип предельного поглощения).

Используя теорему о вычетах и учитывая четность функции Д (А), получим выражение для Ф (х, z) в виде ряда

т . . ^ ch A n(z + H) {A- aXl + i(B - ЬХ2п) А„ sign х) eiA»W

Е--ДТЩ-'

71=0 V

где An (n>0) - корни функции А (А), расположенные в верхней комплексной полуплоскости; А' (А) = ch (АЯ) (DA4 + р(д — hui2)) АЯ + + sh (АЯ) (5£>А4 + р (д - (Я + h)и2)).

При этом из интегрального представления (8) при х = 0 имеем

h л м

Изгибное поле в пластине найдем, пользуясь кинематическим условием

Получим решение в интегральной форме С (х) = —С е'Л°хАо sh (А0Я) +

ш

1 7 Ash (АЯ) (А + iBX - а\2 - ibX3) eiAl (9)

+ A(Xj dX■

-00 v '

Затем, используя теорему о вычетах, находим разложение в ряд С (х) = —С eiAoIAo sh (АоЯ) +

UJ

.^ sh(АПЯ) An (А- аХ2п + i{B- ЬХ2п)Хпsignx) (10)

n=0

A'(A„)

При i = 0 ряд (10), равно как и интеграл (9), расходится. Это связано с тем, что вдоль прямой х — 0 режим колебаний пластины нарушен. Поэтому предельный переход на разные стороны этой прямой будет давать различные результаты. Поскольку предельные значения поля при х ±0 важны нам в дальнейшем, необходимо провести регуляризацию этих объектов. Проводимая регуляризация представляет собой разновидность естественной регуляризации расходящихся интегралов и рядов Фурье, известной в теории обобщенных функций.

Для представления поля смещений в виде ряда получено выражение

С(х) = -CeiX°xXQsh(X0H)+

UJ

, ^ ри2хп (А - аХ2п + i{B - ЬХ2)Хп signх) e<A«'x' 15

где ДХ(А) - X2(DX4 + р(д - hu2))2H + pw2(5£>A4 + р(д - (Н + h)w2)). Данный ряд имеет при п со оценку 0(А~6) и быстро сходится. Это обстоятельство важно нам для численных расчетов.

Для нахождения предельных значений £(±0) использовалось интегральное представление (9). Регуляризация расходящегося при х = 0 интеграла

—оо 4 '

приводит к результату

Отсюда видно, что постоянная Ь равна

b = D(C(+О)-С(-О))

и определяет скачок вертикального смещения пластины при переходе от правой стороны закрепления к левой.

Последовательно дифференцируя (9), получим интегральные представления для производных £'(±0), С"(±0) и ('"(±0). Они содержат расходящиеся интегралы вида

4(±0) = J A4+fcsh f f] е±'Л° dX, it = 1,2,3, (11)

—оо

допускающие регуляризацию. По аналогии с вышеизложенным, можно показать, что постоянная а определяет разницу между направлениями краев пластины при х = ±0

а = Я(С'(+0)-С'(-0)),

а коэффициенты В и А равны соответственно

B = D(C"(+0)-C"(-0)), А = D (С"'(+0) — С"'(—0))

и с точностью до знака представляют собой перерезывающую силу и изгибающий момент в опоре.

Фиксация механического режима в начале координат осуществляется с помощью гранично-контактных условий. В качестве примеров

в работе рассмотрены жесткое, скользящее закрепления пластины и трещина.

Жесткий задел пластины вдоль прямой х = 0:

С(±0) = 0, С'(±0) = 0.

Первое уравнение означает запрет вертикального смещения пластины. Второе — равенство нулю угла поворота.

Скользящий задел пластины вдоль прямой х — 0:

С(+о) = с(-о), С' (±о) = о, с"'(+о) = С"'(-о).

Первое уравнение определяет непрерывность вертикального смещения пластины в опоре. Второе, как и в предыдущем случае, означает, что угол поворота равен нулю. Третье выражает тот факт, что силовая реакция в опоре отсутствует.

Бесконечно тонкая трещина пластины вдоль прямой х = 0:

С"(±0) = 0, с"'(±о) = о.

Эти уравнения определяют, что на свободных краях пластины должны отсутствовать момент сил и сила.

Удовлетворение гранично-контактным условиям приводит к линейной системе для нахождения неизвестных констант. Среди коэффициентов системы — расходящиеся интегралы (11). Осуществляется их регуляризация.

В работе мы ограничиваемся тремя названными случаями. Случаи наличия других сосредоточенных на прямой нарушений упругих свойств пластины или подкрепляющих элементов могли бы быть изучены аналогично рассмотренным, поскольку излагаемый аналитический аппарат имеет достаточную общность.

Аналитически найдены амплитудные коэффициенты прохождения Ст и отражения Сц падающей волны

_1 , и;(А-а\1 + 1(В-Ь\1)\0) Т С Д'(Ао)

_ и(А-аХ20-г(В-ЬХ1) Ар) Я С Д'(Ао)

На рис. 5 показаны результаты расчета энергетического коэффициента прохождения Т = \Ст\г изгибно-гравитационной волны через жесткий задел. По оси абсцисс отложен период I волны. Расчет проведен для нескольких значений глубин водоема. Коэффициент Т имеет

смысл относительной доли энергии прошедшей волны (результат деления энергии прошедшей волны на энергию падающей). Он задает относительную виброизоляцию, создаваемую опорой.

Рис. 5

Из рисунка видно, что коэффициент прохождения монотонно возрастает при увеличении периода волны. Сравнивая полученные результаты с графиками на рис. 2, приходим к выводу о том, что зависимости Т(£) и Е{С] качественно совпадают. Однако количественно они различаются. Жесткая опора, запрещающая вертикальные смещения пластины, одновременно препятствует и вертикальному движению жидких частиц, которые под опорой смещаются в основном в горизонтальном направлении. Такая трансформация движения приводит к дополнительному отражению волны. Таким образом, коэффициент отражения от опоры существенно больше, чем этого следовало ожидать на основании простого сопоставления интенсивности обоих каналов передачи энергии.

На рис. 6 приведены зависимости энергетического коэффициента прохождения через жесткий задел от глубины водоема. Значения периода волны изменялись от 3 до 21 с. Штриховыми линиями показаны результаты расчета в предельном случае бесконечно глубокого водоема. Результаты на рисунке подтверждают сделанный выше вывод. При увеличении глубины водоема энергетический коэффициент прохождения меняется в соответствии с изменением относительного потока энер-

^ с=21 19

15

3

О 100 200 Н1,т

Рис. 6

гии в воде (рис. 3).

Показано, что коэффициент прохождения через скользящее закрепление пластины значительно больше, чем через жесткое. Этот результат объясняется тем, что при скользящем закреплении имеются два канала передачи энергии — вода и пластина, а при жестком только один — вода.

Определены внутренние усилия, развиваемые в жестком и скользящем закреплениях. Аналитически показано, что изгибающие моменты в них одинаковы.

Численно показано, что при больших значениях периода коэффициент прохождения через трещину значительно превосходит коэффициенты прохождения через жесткий и скользящий заделы. Трещина перестает препятствовать прохождению волны. При малых периодах -ситуация обратная. Коэффициент прохождения через трещину минимальный. Волна почти полностью отражается от трещины. Описанные результаты, по-видимому, объясняются так. На низких частотах, как это было показано во втором разделе, волна носит гравитационный характер (ее волновое число, фазовая скорость, длина такие же, как у гравитационной волны). Эффекты, обусловленные присутствием на поверхности слоя жидкости тонкой упругой пластины, не существенны. Поэтому трещина в пластине практически не влияет на распространение волны и, как следствие, не препятствует ее прохождению. На

высоких частотах влияние гравитационных сил мало. Основная часть энергии переносится волной изгиба по пластине. Трещина в пластине становится препятствием для волны, и наблюдается ее сильное отражение.

1 1 1 1 1- 3......

7\ \'/Р V Шт 1 \ 1 7\ У Л/СУ гулглУ 1 1 »

'----

/

-2А -А О А х,т

Рис. 7

На рис. 7 представлено распределение нормированных амплитуд колебаний в пластине. По оси абсцисс отложена координата х, по оси ординат — амплитуда прогиба пластины, нормированная на амплитуду колебаний в набегающей волне. Изгибно-гравитационная волна набегает на неоднородность в пластине, сосредоточенцую в начале координат, из области отрицательных значений координаты х. Сплошной линией показаны результаты для случая жесткого задела, длинным пунктиром — для скользящего задела, коротким пунктиром — для трещины. Период волны t = 13.3 с, длина волны А = 386.7 м. Глубина водоема II\ = 50 м. Энергетические коэффициенты прохождения равны: 1 - 0.29; 2 - 0.79; 3 - 0.79. Нормализованная перерезывающая сила в жестком заделе равна 6.79, нормализованный изгибающий момент в жестком и скользящем заделах равен 3.1.

Из графиков видно, что в области отрицательных значений х максимумы амплитуды чередуются минимумами. Расстояние между соседними максимумами (минимумами) равно половине длины падающей волны. В случае почти полного отражения волны максимумы примерно равны двум, а минимумы чуть больше нуля. Немонотонность распределения амплитуд прогиба пластины объясняется наложением двух встречных незатухающих прогрессивных волн, одна из которых набегает на неоднородность в пластине, а вторая — отражается от нее. Если отражение набегающей волны почти полное, то волновое движение представляет собой стоячую волну, максимальная амплитуда в которой равна удвоенной амплитуде в падающей волне. При увеличении

прохождения волны возрастает та часть энергии,.которую переносит прошедшая волна в область положительных значений х. При этом отраженная волна ослабляется, и максимальная амплитуда колебаний в пластине уменьшается. В предельном случае полного прохождения отраженная волна отсутствует, и амплитуда колебаний такая же, как в падающей волне. Из графиков видно также, что максимум амплитуды достигается на краях трещины.

Также получены аналитические представления для полей в предельных случаях мелкой и бесконечно глубокой воды. Степень их пригодности оценивалась по точности расчета энергетического коэффициента прохождения изгибно-гравитационной волны.

В случае скользящего задела ошибка приближенной теории мелкой воды не превышает 15% во всем данном диапазоне круговых частот (от О до 1 с-1). Примерно такие же погрешности были получены во втором разделе при расчете волнового числа изгибно-гравитационной волны. Для трещины процент погрешности значительно больше. До частоты 0.4 с-1 ошибка менее 5%. Однако при дальнейшем увеличении частоты она сильно возрастает и уже равна почти 30% при частоте 0.5 с-1. В случае жесткого задела погрешность еще больше. Она составляет приблизительно 30% при частоте 0.4 с-1. При частоте 0.5 с-1 она достигает 40%. Таким образом, использовать приближенную теорию мелкой воды следует с осторожностью. Видимо, только в случае скользящего задела она дает приемлемые результаты.

Погрешность в предельном случае бесконечно глубокого бассейна при наличии жесткого задела очень большая, в данном диапазоне частот изменяется от 23 до 43%. В двух других случаях (скользящий задел и трещина) ошибки всюду не более 5%. Таким образом, жесткий задел увеличивает глубину локализации поверхностной волны, и применение данной приближенной теории приводит к значительным погрешностям. В случае скользящего задела и трещины погрешность небольшая.

В четвертом разделе результаты, полученные в третьем разделе, обобщены на случай нескольких нарушений режима свободных колебаний пластины вдоль параллельных прямых х = а* {к = 1, т). Схема модели показана на рис. 8.

В данном случае в правой части граничного условия на нижней поверхности пластины (при г = 0) стоит сумма линейных комбинаций ¿-функции и ее трех первых производных, сосредоточенных в точках

г

ht' H

О

Г / nv

al -

a2

a3 -

a4 - x

/ /

"У—7—7—7—Г

Рис. 8

-7—7—7-

—/ /

x — ak (k = 1, m).

_ а5Ф , 2дФ дФ 2лч .. D-^nr- ~ phu'+ pg— - рш*Ф = -tu 2^(AkS(x - ak)+

z r 1

+5*5'(« - + afc5"(x - оц) + bkô'"{x - ад)).

Находятся точные аналитические представления для поля изгиба в пластине и волнового поля в жидкости при любом числе препятствий произвольного характера.

Например, для изгибного поля в пластине при х ф щ (/ = 1, т) получено выражение

Ç (х) = —С е,Л°хАо sh (Aq# ) +

и)

рш2\п{Ак - акХ2п + i{Bk - Ьк\2п)\п sign(:r - ак)) МХп)

к=1 п=0

При х = сц оно приобретает вид

с (a, ± 0) = ±С е!Л°а'Ао sh (А0Я) + i £ ±

2 D

+iEE

t=1 n=0

M'

п=0 Д^п)

puj2Xn(Ak - akX2n + i(Bk - bkXpAnsign(a, - afc)) ea"<a'-°*l

Ai (A„)

Аналитически найдены амплитудные коэффициенты прохождения и отражения падающей волны.

Ст = 1 + сЕ ЩХо)

-«А ОСИ:

afcAg -i{Bk - bkXl)X0 j

iXodk

A'(A0) 22

Проведено исследование прохождения набегающей волны через два прямолинейных параллельных препятствия. На рис. 9-11 сплошной линией показаны результаты для случая двух жестких заделов, длинным пунктиром — двух скользящих заделов, коротким пунктиром — жесткого и скользящего заделов (рис. 9 и 10) и двух трещин (рис. 11). Глубина водоема Н\ = 50 м.

1 1 /1 / ^ ' 1— 2-- 3---- — __ --- ----

< ■ • 7

0.5 5.5 10.5 15.5 20.5 Рис. 9

На рис. 9 представлена зависимость энергетического коэффициента прохождения Т = \Ст\2 в зависимости от периода волны Ь, с. Расстояние между заделами пластины было зафиксировано и равнялось й = 100 м. Как видно из рисунков, имеются минимумы и максимумы коэффициентов прохождения. В случае одинаковых типов закреплений максимумы достигают единицы, и имеет место полное прохождение волны. При рассмотрении закреплений разных типов резонансные пики также наблюдаются, однако полного прохождения нет.

Из принципа взаимности вытекает, что коэффициент прохождения не зависит от порядка следования препятствий. Полученные нами в ходе численного эксперимента результаты были успешно проверены на выполнение этого равенства.

Рис. 10

На рис. 10 приведены зависимости энергетического коэффициента прохождения Т от расстояния <1, м между закреплениями, выраженного в долях длины Л набегающей волны. Период волны выбран равным £ = 5 с. Длина волны А и 250.5 м. Как показывают рисунки, максимумы коэффициента прохождения сменяются минимумами через четверть длины набегающей волны. В случае чередования двух закреплений разного типа экстремумы коэффициента прохождения расположены между соответствующими экстремумами для двух одинаковых закреплений, и равноудалены от них.

Рис. 11

На рис. И показано распределение нормированных амплитуд колебаний в пластине. По оси абсцисс отложена, координата х, по оси ординат - амплитуда прогиба пластины, нормированная на амплитуду колебаний в падающей волне. Изгибно-гравитационная волна набегает на неоднородности в пластине, сосредоточенные вдоль двух прямых х — и х = аг (с*1 < аг), из области отрицательных значений координаты х. Расстояние между ними д. = с*2 — а\ « 335.61 м. Период волны 5 с, длина волны А и 250.5 м. Энергетические коэффициенты прохождения равны: 1 - 0.01; 2 - 1.0; 3 - 0.09.

Из графиков видно, что амплитуды прогиба пластины распределены немонотонным образом. При х < 02 максимумы амплитуды чередуются минимумами. Расстояние между соседними максимумами (минимумами) равно половине длины набегающей волны. В случае почти полного отражения максимумы при х < а\ примерно равны двум, а минимумы чуть больше нуля. При полном прохождении волны при х < а\ и х > аг амплитуды равны единице, а при ах < х < а2 имеют экстремумы. Немонотонный характер распределения амплитуд прогиба пластины является результатом наложения отраженной волны на набегающую и возникновением стоячих волн. Показано, что амплитуда вертикального смещения пластины достигает своего наибольшего значения на краях трещины.

По точности расчета энергетического коэффициента прохождения в случаях одинаковых нарушений упругих свойств плавающей пластины исследовались границы применимости приближенных теорий бесконечно глубокой и мелкой воды. Как показали результаты расчетов, теория мелкой воды дает приемлемые результаты только в случае двух скользящих заделов. В этом случае на частотах, меньших 1 с~1, ошибка не превышает 10%. Немного большие погрешности (<15%) были получены нами в третьем разделе при расчете энергетического коэффициента прохождения через один скользящий задел. Для двух трещин и двух жестких заделов погрешности значительные (примерно такие же, как для одной трещины и одного жесткого задела).

Теория бесконечно глубокого бассейна хорошо описывает прохождение волны через два скользящих задела и две трещины. В этих случаях погрешности во всем рассмотренном нами диапазоне частот составили не более 10% и 5% соответственно. Погрешности для двух скользящих заделов немного больше, чем для одного скользящего задела, а для двух трещин приблизительно такие же, как для одной трещины. В случае двух жестких заделов применение данной приближенной теории приводит к значительным погрешностям. В диапазоне частот от

0.3.до 2 с-1 погрешность изменяется от 30 до 56%, что еще больше, чем для одного жесткого задела.

В заключении приводятся основные результаты диссертации.

Основные результаты диссертации

1. Получены точные аналитические решения двумерных гранично-контактных задач о рассеянии изгибно-гравитационных волн на сосредоточенных прямолинейных препятствиях в бесконечной плавающей упругой пластине.

2. Найдены выражения для изгибного поля в пластине и волнового поля в жидкости.

3. Аналитически найдены коэффициенты прохождения и отражения набегающей волны.

4. Создан пакет прикладных программ для численного исследования прохождения набегающей изгибно-гравитационной волны через произвольное количество прямолинейных препятствий различных типов. Пакет программ позволяет рассчитывать коэффициенты прохождения и отражения набегающей волны, прогиб пластины, внутренние усилия в каждом закреплении пластины. С использованием данного пакета получены все численные результаты, приведенные в диссертации.

5. Получены аналитические представления полей в двух предельных случаях мелкой и бесконечно глубокой воды.

6. Показано, что оба приближения хорошо описывают прохождение волны через одно и два скользящих закрепления пластины. Кроме того, приближение бесконечно глубокой воды также хорошо работает в случае прохождения через одну и две трещины в пластине. Однако применение приближенных теорий в случаях одного и двух жестких закреплений пластины приводит к значительным погрешностям.

Все перечисленные результаты диссертации получены впервые и являются новыми.

Публикации автора по теме диссертации

1. Жучкова, М. Г. Прохождение изгибно-гравитационной волны через жесткую опору пластины, расположенной на поверхности жидкости / М. Г. Жучкова, Д. П. Коузов // Труды XXVII летней школы «Анализ и синтез нелинейных механических систем» / ИПМаш РАН. - 2000. - С. 389-399. - Библиогр.: с. 395.

2. Жучкова, М. Г. Об одной из проблем моделирования волновых движений плавучих аэродромов / М. Г. Жучкова, Д. П. Коузов // Материалы 4-й международной конференций по морским интеллектуальным технологиям «Моринтех -2001». - СПб., 2001. - Т. 2. -С. 120-123. - Библиогр.: с. 123.

3. Жучкова, М. Г. Прохождение изгибно-гравитационной волны через жесткий задел в плавающей пластине / М. Г. Жучкова, Д. П. Коузов // Прикладная математика и механика. - 2002. -Т. 66. Вып. 3. -С. 457-464. - Библиогр.: с. 463-464.

4. Zhuchkova, М. G. Bending gravitational wave's transmission through a set of rigid clamps in a floating plate / M. G. Zhuchkova, D. P. Kou-zov // Advanced problems in mechanics / IPME RAS. - 2002. - P.376-381. - Bibliography: p. 381.

5. Zhuchkova, M. G. Hydro-elastic behavior of a floating supported plate in water waves / M. G. Zhuchkova, D. P. Kouzov // In: CD-ROM Proc. of intern, conf. on subsea technologies «SubSeaTECH2009» / State Marine Technical Univ. of St. Petersburg. - St. Petersburg, Russia, 2009. 4 p. - Bibliography: p. 4.

ИЦ СПбГМТУ, Лоцманская, 10 Подписано в печать 09.08.2010. Зак. 4023. Тир. 100. 1,3 печ. л.

1. Введение

1.1. Актуальность темы исследования

Уже не первый десяток лет ученые разных стран мира занимаются изучением гигантских плавучих сооружений. К таким сооружениям относятся мор- ские платформы различного назначения, искусственные острова на плавающем основании, плавучие взлетно-посадочные полосы. Необходимость в создании подобных конструкций очевидна: рост численности населения, ускоренное развитие промышленности и, как следствие, нехватка и дороговизна земли. Многие густонаселенные, развитые страны мира (Япония, Нидерланды, Израиль и др.) для расширения своих сухопутных территорий активно используют свободное морское пространство. За пределы суши выносят различные объекты промышленности, производственной и социальной инфраструктуры. Это позволяет рационально использовать земельные ресурсы, пригодные для сельского хозяйства и городских построек, помогает в решении экологических проблем. Однако традиционное строительство на акватории искусственных насыпных (намывных) островов имеет серьезные недостатки, главными из которых являются высокая стоимость проводимых работ и вредное воздействие на окружающую среду. Альтернативой насыпным островам служат гигантские плавучие сооружения. Такие сооружения - в несколько раз дешевле насыпных островов, не подвержены размыву и не наносят большой ущерб экосистеме морей и океанов. В отличие от насыпных островов их можно строить не только на мелководье, но и в районах с,большой глубиной. Гигантские плавучие сооружения могут быть использованы в качестве пристаней, доков, мостов, волнорезов, спасательных и военных баз, аэропортов, стартовых площадок для запуска искусственных спутников Земли, нефтехранилищ, для размещения на них промышленных и складских сооружений, солнечных и ветряных электростанций, развлекательных центров, парков отдыха, для освоения континентального шельфа, добычи и переработки полезных ископаемых и для жилых комплексов. Выделяют ([52]) два типа гигантских плавучих сооружений: полупо-. груженный и понтонный.

Полупогруженное плавучее сооружение включает надводную горизонтальную платформу и вертикальные цилиндрические пустотельные колонны с понтонами. Понтоны заглублены под воду с целью снижения волновых воздействий, а платформа поднята на колоннах выше гребней самых высоких волн. Полупогруженные плавучие сооружения обычно используют для добычи нефти и газа, а также для других целей.

Плавучее сооружение понтонного типа располагается (плавает) на поверхности воды и представляют собой модульную конструкцию, которая состоит из огромных понтонов, скрепленных друг с другом специальными приспособлениями. Понтонные секции изготавливаются из стали, бетона, железобетона, обеспечивая всему сооружению прочность и надежность. Они устойчивы и безопасны, обладают высокой допустимой нагрузкой. С помощью модульных понтонов гигантская плавучая конструкция может быть легко собрана и быстро введена в эксплуатацию. Ее можно легко переместить на новое место для швартовки, расширить, адаптировать к новому назначению, перестроить или разобрать. Важным преимуществом гигантских плавучих конструкций понтонного типа является постоянная высота их возвышения относительно уровня воды.

Рис. 1.1. Плавучий аэродром „Мега-флот"

По-видимому, одним из самых крупных гигантских плавучих сооружений является (ныне разобранный) японский плавучий аэродром „Мега-флот"(рис. 1.1). Длина его взлетно-посадочной полосы - 1000 м, ширина - до 121 м, площадь свободной поверхности - 84000 м2. Массивная конструкция состояла из шести соединенных друг с другом стальных понтонов толщиной 3 м. Наибольшая понтонная секция имела размеры 383 мхбО м. Испытания аэродрома проводились летом 2000 года в Токийском заливе, в 4 км от прибрежной полосы ([77]). В разных погодных условиях с него взлетали и на него приземлялись легкие самолеты и вертолеты. Результаты тестов показали, что аэродром ведет себя достаточно устойчиво при воздействии на него волн и при взлете и посадке самолетов, его поперечная деформация незначительна. Длину взлетно-посадочной полосы при необходимости можно было наращивать для того, чтобы аэродром смог принимать самые большие самолеты. „Мега-ф л от" предполагалось использовать как дополнительный аэродром или как передвижной спасательный комплекс в случае крупных катастроф на воде.

В Нидерландах был спроектирован и построен экспериментальный поселок, состоящий из плавучих домов. В отличие от обычных, в плавучих домах подвал не составляет единое целое с основанием, и представляет собой бетонную платформу, в которую вмонтирован поплавок. Для того, чтобы плавучий дом не уплыл, он прикреплен к двум толстым стальным колоннам, по которым, как по направляющим, он скользит вверх-вниз вместе с уровнем воды. Колонны глубоко вделаны в твердое основание и достаточно прочно противостоят даже самым сильным течениям. Наводнения этим домам не страшны. Голландские архитекторы и инженеры, вдохновленные успехом плавучих домов, разрабатывают теперь проекты городов на воде.

Недавно в Санкт-Петербурге была построена и установлена на акватории Невы плавучая вертолетная площадка ([27]). Она расположена недалеко от Медного всадника и предназначена для обеспечения доставки пассажиров в центр города. Вертолетная площадка представляет собой понтонное двухэтажное сооружение, на первом этаже которого - зал ожидания, а на втором - сама площадка для взлета и посадки вертолета. Регулировка взлетно-посадочных операций проводится дистанционно диспетчерами Санкт-Петербургского аэропорта. Вертолетная площадка является необитаемым объектом. Люди на ней появляются только при взлете и посадке вертолета. Охрана осуществляется комплексом средств автоматики.

Другими примерами плавучих конструкций являются ([52]) японские плавучие нефтехранилища (Нагасаки и Китакюсю), спасательные базы (Иокогама, Осака, Нагоя), развлекательные центры (Ономичи, Хиросима), сооруженные во многих странах мира понтонные и наплавные мосты (Австрия, Франция, Индия, Нидерланды, Япония, США, Россия, Узбекистан, Туркменистан), канадский плавучий вертолетодром (Ванкувер) и т.д.

Посвященные гигантским плавучим конструкциям многочисленные публикации в трудах международных научных конференций (International Workshop on Water Waves and Floating Bodies, International Offshore and Polar Engineering Conference, International Conference 011 hydroelasticity in Marine Technology, International Conference on Subsea Technologies, Annual Summer School „Advanced problems in mechanics") и научных журналах (Engineering Structures, Journal of Engineering Mathematics, Journal of Hydrodynamics, Journal of Fluid Mechanics, Journal of Fluids and Structures, Journal of Offshore and Polar Engineering, Marine Structures, Ocean Engineering, Wave Motion), статьи в научно-популярных журналах, газетах, интернете, а также телевизионные репортажи указывают на то, что во всем мире повышен интерес к данной теме.

Традиционной моделью гигантской плавучей конструкции (понтонного типа) является плавающая, тонкая упругая пластина или система соединенных пластин. Действительно, горизонтальные размеры конструкции значительно превышают ее толщину, и следовательно, вся конструкция обладает большой гибкостью. Поэтому именно упругие реакции конструкции на внешние воздействия становятся определяющими. В этой связи, математическое моделирование волновых процессов, развивающихся в плавающих тонких упругих пластинах под действием внутренних сил упругости, силы тяжести, сил гидродинамического давления воды и возмущающих внешних сил, представляется весьма актуальной задачей. В настоящее время накоплен большой теоретический материал в этой области.

Отметим, что на протяжении уже многих десятков лет ученые используют плавающую, тонкую упругую пластину для моделирования ледяного покрова морей и океанов ([50]). Многочисленные полученные результаты этих исследований активно используются при изучении гидроупругого поведения гигантских плавучих конструкций. И наоборот, методы, развитые при изучении гигантских плавучих конструкций, с успехом применяются для анализа поведения ледяных полей. Эти задачи тесно связаны между собой и по своей сути являются родственными. Поэтому приведенный ниже обзор литературы включает работы, посвященные обеим тематикам.

Интересно, что первый плавучий аэродром был сделан изо льда. В разгар Второй Мировой Войны британский инженер и ученый Джеффри Пайк предложил собирать плавучие аэродромы из замороженных ледяных блоков. 'Промышленность союзников, особенно Великобритании, испытывала острую нехватку ресурсов, в первую очередь - стали. Замерзшая вода представлялась дешевым и неограниченным ресурсом. Пайк изобрел материал пикрит (названный учеными в его честь), представлявший собой замороженную смесь воды и древесных опилок. Такой лед был многократно прочнее обычного и в несколько раз медленнее таял. По проекту размеры конструкции должны были равняться 2000 х 300 х 200 футов, водоизмещение должно было составить несколько миллионов тонн. Для строительства требовалось более 280000 блоков льда. Уменьшенная копия аэродрома была построена и установлена летом 1943 года на озере Patricia Lake, в канадской провинции-Альберта. Затраты на строительство аэродрома оказались очень велики. Поэтому от проекта отказались, а испытательную модель оставили в озере, где она примерно через год растаяла.

1.2. Обзор литературы

Российским научным центром по изучению упругих плавучих конструкций является институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (г. Новосибирск). Исследования проводятся в лаборатории гидроаэроупругости учеными A.A. Коробкиным, И.В. Стуровой, JI.A. Ткачевой и Т.И. Хабахпашевой. Приведем краткий обзор их работ, посвященных исследованиям волновых процессов в плавающих упругих пластинах.

Прямой метод нормальных мод был использован A.A. Коробкиным в работе [11] для решения плоской задачи о набегании гравитационной волны малой амплитуды на пластину, плавающую на поверхности жидкости конечной глубины. В рамках этого метода прогиб пластины представляется в виде суперпозиции форм ее свободных колебаний в воздухе. Взаимодействие пластины с жидкостью описывается через присоединенные массы, определяемые отдельно для каждой моды колебаний. Задача была сведена к решению бесконечной системы алгебраических уравнений, элементы матрицы присоединенных масс были вычислены явно. Наряду с численным решением задачи A.A. Коробкин проводит ее асимптотическое исследование и предлагает длинноволновое приближение решения в аналитическом виде.

A.A. Коробкин в работе [63] применяет асимптотический анализ для получения простых приближенных численных решений нестационарной плоской задачи о гидроупругом поведении плавающей пластины под действием внешней нагрузки. В качестве основных параметров для асимптотического анализа выбраны длина пластины и продолжительность внешнего воздействия на пластину. Рассматриваются несколько предельных случаев, в каждом из которых оценивается вклад действия различных сил (гравитации, сил инерции, внутренних сил упругости и силы гидродинамического давления) в волновой процесс.

И.В. Стурова в [30, 68] применяет численный метод декомпозиции (сопряжения) при исследовании косого набегания гравитационных волн на бесконечную по длине упругую полосу постоянной ширины. Глубина жидкости при этом предполагается конечной. Суть метода состоит в следующем. Область, занятая жидкостью, разбивается на три части, две из которых имеют свободную поверхность и расположены по разные стороны от полосы, а третья область покрыта полосой. Искомый потенциал скорости находится отдельно в каждой области в виде разложения по собственным функциям соответствующей краевой задачи. Непрерывность движения жидкости на границах областей обеспечивается выполнением условий согласования, в силу которых давления и горизонтальные скорости на границах областей должны быть равны друг другу. На кромках пластины от решения требуется удовлетворение условиям свободного края.

Также метод декомпозиции (сопряжения) применяется И.В. Стуровой в работах [31, 33]. В [31] пластина состоит из двух разнородных частей. Первый участок имеет постоянную ширину и соединен с основной (бесконечной) частью с помощью шарнира. Поверхностные волны малой амплитуды набегают на пластину из области свободной поверхности жидкости под углом к ее прямолинейной кромке. В [33] исследуются колебания плавающей упругой пластины под действием локализованной, внешней, периодической по времени нагрузки. Решение построено в плоском случае для пластины конечной и полубесконечной длины и в трехмерномkслучае для круглой пластины. Проводится сопоставление решений для мелкой воды и жидкости конечной глубины.

В случае жидкости бесконечной глубины плоская задача о поведении плавающей пластины под действием внешней периодической по времени нагрузки решена совместно A.A. Коробкиным и И.В. Стуровой в работе [12]. Использован численный метод нормальных мод. Исследование проводится с учетом и без учета весомости жидкости. В работе также сравниваются решения для весомой жидкости конечной и бесконечной глубины.

Методом, основанным на граничных интегральных уравнениях, И.В. Сту-рова решает пространственные задачи: о воздействии периодических поверхностных давлений на пластину ([38, 69]) и о рассеянии гравитационных волн плавающей пластиной ([32]). Во всех работах используется линейная теория мелкой воды. Пластина имеет ограниченные размеры и произвольную форму. Задачи сводятся к решению системы граничных интегральных уравнений, дополненных дифференциальными соотношениями свободного края. На примере прямоугольной пластины в [38] излагается численный метод решения этих уравнений. Показывается, что удлиненная прямоугольная пластина подобно упругой полосе ([41]) может проявлять волноводные свойства (при ненулевой осадке). Чем длиннее пластина, тем более выражен данный эффект.

Воздействие нестационарной нагрузки общего вида на плавающую пластину изучено И.В. Стуровой в случае мелководья ([34, 35]) и в предположении бесконечно глубокой жидкости ([37]). В ([34, 37]) решены плоские задачи, а в [35] -пространственная задача для круглой пластины. Всюду использован численный метод нормальных мод. Прогиб балки (или круглой пластины) находится в виде разложения по собственным формам ее колебаний со свободными краями в пустоте и с амплитудами, зависящими от времени. Решение сводится к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений для неизвестных амплитуд.

Работы И.В. Стуровой [36, 39, 69 - 71] посвящены влиянию неровного дна на колебания пластины и свободной поверхности жидкости. В рамках линейной теории мелкой воды решены следующие задачи: о генерации поверхностных волн в жидкости внешним периодическим давлением; о набегании на упругую балочную пластину поверхностной локализованной волны; о нестационарном поведении балки, обусловленном ее начальной деформацией; о воздействии на балку подвижной внешней нагрузки. Нелинейная теория мелкой воды используется в работе [71] при изучении рассеяния уединенной поверхностной волны на упругой балочной пластине. При описании изгиба упругой балки нелинейные эффекты не учитываются. Все задачи решены методом нормальных мод.

Влияние структурной неоднородности плавающей пластины на ее упругие деформации и поверхностные волны в жидкости, генерируемые колебаниями пластины, исследуются И.В. Стуровой в работах [40] и [72]. Пластина имеет кусочно-постоянное распределение коэффициента цилиндрической жесткости и удельной массы. В рамках линейной теории мелкой воды рассмотрены следующие случаи нестационарного поведения пластины: набегание на нее локализованной поверхностной волны и начальная деформация. Задачи решены в плоской постановке, в рамках линейной теории мелкой воды. Решение задачи получено с помощью представления прогиба в виде разложения по собственным функциям колебаний неоднородной (первый способ) и однородной (второй способ) балки со свободными концами в пустоте и амплитудами, зависящими от времени.

Работы A.A. Коробкина и Т.И. Хабахпашевой [13, 49, 59 - 62] посвящены плоским линейным задачам о гидроупругом поведении пластины, плавающей на поверхности жидкости конечной глубины. Периодические по времени колебания пластины вызваны набегающей гравитационной волной малой амплитуды ([49, 59, 61, 62]) или действием внешней нагрузки, распределенной вдоль пластины ([13, 60]). Деформации пластины описываются уравнением балки Эйлера. При помощи последовательного применения прямого и обратного преобразований Фурье гидродинамическая часть задачи сводится к решению интегрального уравнения относительно распределения давления вдоль пластины. От искомого прогиба пластины требуется удовлетворение дифференциальному уравнению Эйлера и граничным условиям на краях пластины.

Основная идея численного метода, предложенного в работах [49, 59, 61, 62] A.A. Коробкиным и Т.П. Хабахпашевой, заключается в использовании разложений гидродинамического давления и прогиба пластины в виде рядов по различным базисным функциям с неизвестными коэффициентами. Давление раскладывается по тригонометрическим функциям, а прогиб пластины - по так называемым „функциям отклика"пластины на заданное (с помощью тригонометрических функций) давление. При этом функции отклика должны удовлетворять граничным условиям на краях пластины. Интегральное уравнение с учетом разложений приводит к бесконечной системе алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов. Кроме свободно плавающей пластины рассмотрены еще четыре случая: передняя кромка пластины упруго соединена с дном; обе кромки пластины соединены с дном при помощи пружин, оснащенных специальными устройствами, преобразующими энергию волн в электроэнергию; к основной пластине шарнирно присоединена дополнительная жесткая пластина меньшего размера, выполняющая роль вибропоглотителя; пластина с прямолинейной трещиной, моделируемой линейной пружиной соответствующей жесткости, зависящей от упругих параметров пластины и глубины трещины.

A.A. Коробкин и Т.И. Хабахпашева в работах [13], [60] разработали обратный метод для построения точных тестовых решений. Согласно этому методу распределение гидродинамического давления вдоль пластины задано, а прогиб пластины и внешняя нагрузка на пластину требуют определения. Искомые и заданные величины меняются ролями. Основное преимущество метода заключается в том, что отсутствует необходимость в решении уравнений, ведь искомые величины зависят от гидродинамического давления явно и вычисляются по точным формулам. Однако гидродинамическое давление не может быть взято произвольным. Оно представляется в виде линейной комбинации трех гладких, четных функций, удовлетворяющих специальным условиям на краях пластины. Кроме того, эти функции выбираются так, чтобы интегралы вычислялись аналитически, и точность вычислений была гарантирована. С помощью обратного метода проводится тестирование численного алгоритма, предложенного авторами в [49, 59, 61, 62]. Специальным образом выбирают гидродинамическое давление на пластину, решают обратную задачу и находят распределение внешней нагрузки вдоль пластины. Далее, по найденной внешней нагрузке решают прямую задачу и сравнивают полученные численные значения с точными, определенными по формулам.

В работах [42 - 44] Л.А. Ткачева методом Винера-Хопфа решает плоскую задачу о дифракции гравитационных волн на упругой полубезграничной пластине. Рассматривается случай нормального падения набегающих волн на кромку пластины в жидкости конечной и бесконечной глубины. Решение краевой задачи сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Л.А. Ткачевой удалось обратить эту систему и найти явное представление для потенциала скоростей в жидкости. В работах получены аналитические формулы для коэффициентов прохождения и отражения. Исследуются смещения и деформации в пластине, а также гидродинамическое давление на пластину в зависимости от безразмерного параметра, характеризующего жесткость пластины и длину набегающей волны. Найдены длинноволновая и коротковолновая асимптотики. В работах Л. А. Ткачевой [45], [75] метод Винера-Хопфа применяется для плавающей упругой пластины в виде полосы конечной ширины, колебания которой вызваны нормальным падением поверхностных волн малой амплитуды. В работе [46] Л.А. Ткачевой методом Винера-Хопфа построено решение задачи для косого набегания поверхностных волн на полубесконечную плавающую пластину. Глубина жидкости конечна.

Плоская задача о гидроупругом поведении полубесконечной плавающей пластины под действием периодической внешней нагрузки решена Л.А. Ткачевой в работе [47]. Методом Винера-Хопфа построено аналитическое решение для жидкости конечной глубины с учетом осадки пластины. В работе также найдено приближенное решение без учета осадки. Численные расчеты показали, что при малых частотах влияние осадки на волновой процесс незначительно. При больших частотах она оказывает более существенное влияние. Причем большее на амплитуду поверхностных волн в жидкости, чем на амплитуду колебаний пластины. Поэтому, как отмечает автор, приближенное решение (без учета осадки) можно успешно использовать для оценки прогиба пластины. Установлено, что при определенных условиях волны в жидкости не распространяются, а колебания пластины представляют собой стоячие волны, локализованные вблизи области действующей нагрузки. Приведен пример таких колебаний и найдены условия, при которых они реализуются. JI.A. Ткачевой в работах [48], [76] методом Винера-Хопфа решена задача о гидроупругом поведении плавающей упругой пластины в виде полосы под действием периодической поверхностной нагрузки. Глубина жидкости конечная. Показано, что для упругой полосы также существуют локализованные колебания, причем при тех же условиях, что и в случае полубесконечной пластины.

Первые рассмотрения деформации изгибно-гравитационных волн в упругих пластинах, плавающих на поверхности несжимаемой жидкости, принадлежат, по-видимому, В.Н. Красильникову. В работах [10, 18, 19] он изучал отражательные способности различных прямолинейных неоднородностей в ледовых полях (трещин, спаев, мест налегания льдин одна на другую). Способ решения задач был основан на их интерпретации как краевых задач математической физики нового типа - гранично-контактных. На поверхности раздела пластин и жидкости помимо обычного граничного условия ставились дополнительные условия, сформулированные на прямой линии контакта пластин и названные гранично-контактными.

Отражение изгибной волны от шарнирного соединения двух упругих пластин и от трещины в упругой пластине исследовалось В.Н. Красильниковым в работе [18]. Инерцией пластин и гравитацией автор пренебрегал. На кромках пластин в случае трещины гранично-контактные условия совпадали с условиями „свободного края". В случае шарнирного соединения пластин гранично-контактные условия состояли в непрерывности смещений и перерезывающих сил и равенстве нулю изгибающих моментов. С учетом силы тяжести решена задача об отражении изгибно-гравитационной волны от места спая двух ледовых пластин разной толщины ([10]). На линии соединения пластин были сформулированы гранично-контактные условия, отражающие непрерывность смещений и углов наклона, перерезывающих сил и крутящих моментов.

Задача о возбуждении изгибно-гравитационных волн сосредоточенной силой, приложенной к внешней стороне упругой пластины, покрывающей жидкое полупространство, рассматривалась В.Н. Красильниковым в работе [19]. Было показано, что существует критическая частота поверхностных волн, которая разделяет области преобладания упругих и гравитационных сил. Ниже этой частоты поверхностные волны носят гравитационный, а выше - изгибный характер. И только в окрестности критической частоты существенны оба механизма колебания водной поверхности.

В дальнейшем подход, предложенный В.Н. Красильниковым, (обычно в сочетании с процедурой Винера-Хопфа) неоднократно использовался другими авторами. Например, работы по получению и исследованию точных аналитических решений гранично-контактных задач гидродинамики принадлежат В.В. Варламову, С.А. Габову, А.Г. Свешникову, А.К. Шатову, Д.П. Коузову, Р.В. Гольдштейну, A.B. Марченко. В диссертации рассматривается именно этот способ решения.

В.В. Варламов в [2] изучал дифракцию внутренних волн на полубесконечной стенке, погруженной в экспоненциально стратифицированную по плотности жидкость, ограниченную жестким дном. В.В. Варламов, С.А. Габов, А.Г. Свешников в работе [3] рассматривали дифракцию внутренних волн на твердой стенке, находящейся на поверхности бесконечно глубокой экспоненциально стратифицированной жидкости и моделирующей ледовое поле. Рассеяние внутренних волн краем упругой полубесконечной пластины, расположенной на поверхности экспоненциально стратифицированной жидкости, было исследовано В.В. Варламовым в работе [4]. С.А. Габов, А.Г. Свешников, А.К. Шатов в [5] изучали рассеяние внутренней волны, распространяющейся вдоль границы раздела двух жидкостей, на полубесконечном препятствии, плавающем на этой границе и состоящем из невзаимодействующих весомых частиц некоторого вещества.

Р.В. Гольдштейн и A.B. Марченко в работе [6] изучили дифракцию плоских гравитационных волн на кромке тонкой упругой пластины, плавающей на поверхности несжимаемой жидкости бесконечно большой глубины. В качестве источника возмущений рассматривалась волна, приходящая со стороны чистой воды (первый случай), либо со стороны жидкости, находящейся под пластиной (второй случай). Также в работе были определены движения жидкости, возникающие при воздействии на кромку пластины периодических сосредоточенных силы и момента.

Работа A.B. Марченко [21] посвящена исследованию косого падения плоской поверхностной волны на бесконечную прямолинейную трещину в упругой пластине, плавающей на поверхности несжимаемой жидкости конечной глубины. Толщина пластины меняется скачком при переходе через трещину. При постановке гранично-контактных условий в районе трещины автор учитывает взаимодействие между краями пластины при их относительных смещениях и поворотах. Предполагается, что сила трения пропорциональна скорости относительных смещений краев, а моменты пропорциональны углу между краями. Также в работе рассмотрены задачи о дифракции плоских волн на N трещинах, об отражении плоской волны от твердой стенки и о косом набегании плоской волны на кромку плавающей пластины.

Совместные работы A.B. Марченко и А.Ю. Семенова [22], [23] посвящены изучению краевых волн в несжимаемой жидкости под упругой пластиной с прямолинейной бесконечной трещиной. В [22] использовано линейное приближение мелкой воды, в [23] задача решена для конечного слоя жидкости.

В работе A.B. Марченко [24] исследованы собственные колебания гряды торосов в упругом ледяном покрове, плавающем на поверхности несжимаемой жидкости бесконечной глубины. Основными физическими свойствами тороса являются его инерция и упругость при деформациях изгиба и кручения. Поэтому i в качестве модели тороса был выбран тонкий инерционный упругий стержень. В местах стыка ледовой пластины со стержнем ставились гранично-контактные условия. Они определялись непрерывностью смещения краев пластины и предположением, что между стержнем и краями пластины имеется соединение типа упругого шарнира.

Спектральный состав изгибно-гравитационных волн в слое мелкой жидкости под периодически неоднородным ледяным покровом исследован в работе A.B. Марченко [25]. Были рассмотрены два типа неоднородностей. В первом случае предполагалось, что ледяной покров состоит из полос, между которыми плавает мелко битый лед. Во втором случае в сплошном ледяном покрове имелись параллельные гряды торосов. Работа посвящена изучению поверхностных волн, фронт которых параллелен неоднородностям. Поэтому упругие деформации торосов считались равными нулю, и торосы моделировались сосредоточенными массами. В качестве типа соединения тороса с ледяной пластиной, как и в работе [24], был выбран упругий шарнир.

Работа A.B. Марченко [26] посвящена исследованию рассеяния изгибно-гра-витационных волн на прямолинейных трещинах и торосах в упругом ледяном покрове в случае бесконечно глубокой воды. Кроме того, решена задача о дифракции волны на нескольких параллельных неоднородностях в ледяном покрове. Исследована структура частотного спектра волн, распространяющихся под ледяным покровом.

Д.П. Коузов в работе [15], посвященной рассеянию гравитационной волны на кромке плавающей пластины, предложил способ приближенного учета глубины погружения пластины в жидкость. Потенциал скорости находился как решение уравнения Лапласа лишь для слоя жидкости, находящегося в положении равновесия ниже уровня нижней поверхности пластины. Для расположенного выше него ,полубёсконечного слоя жидкости были выведены приближенные уравнения.

В совместной работе [14] Д.П. Коузов и М.Б. Коротяев исследовали из-гибные колебания пластины, плавающей на поверхности тяжелой несжимаемой жидкости бесконечной глубины под действием гармонической силы, равномерно распределенной вдоль некоторой прямой. Для расчета переходного адмитанса пластины в ближней зоне было построено аналитическое выражение, позволяющее избежать трудоемкого численного интегрирования.

Напоследок упомянем работу А.Е. Букатова и Д.Д. Завьялова [1]. В ней численно решена плоская задача о набегании поверхностных волн на прямолинейную кромку сплошного сжатого льда, плавающего на поверхности несжимаемой жидкости конечной глубины. Волновые потенциалы в области открытой жидкости и в области, покрытой льдом, представлялись в виде разложения в ряды по соответствующим собственным функциям. На границе контакта областей были поставлены условия непрерывности потенциалов и горизонтальных скоростей волновых движений, а на кромке льда - условия свободного края. Удовлетворение граничным условиям осуществлялось с помощью минимизации функционала ошибок. Задача минимизации сводилась к решению бесконечной линейной системы уравнений относительно неизвестных коэффициентов, входящих в разложения.

Количество работ зарубежных авторов, посвященных рассмотрению волновых процессов в упругих пластинах, плавающих на поверхности несжимаемой жидкости, исключительно велико. Перечислим лишь некоторые из них.

R.C. Ertekin и J.W. Kim в совместных работах [53, 54] построили численное решение трехмерной задачи дифракции гравитационной волны на упругой прямоугольной пластине ограниченных размеров, плавающей на поверхности жидкости конечной глубины и на мелководье. Использовался метод разложений искомого потенциала скорости по соответствующим собственным функциям в области открытой жидкости и в области, покрытой пластиной. M. Kashiwagi в работе [58] предложил прямой численный метод решения этой же задачи, основанный на применении кубических В-сплайнов. К. Takagi в работах [73, 74] изучал рассеяние гравитационной волны на кромке и на прямом угле плавающей упругой пластины. Задача сводилась к граничному интегральному уравнению относительно волнового потенциала скорости, которое численно решалось в [73] для водоема конечной глубины, а в [74] для случая мелкой воды.

D.V. Evans и R. Porter в работе [55] получили точное аналитическое решение задачи о рассеянии наклонной изгибно-гравитационной волны на тонкой бесконечной прямолинейной трещине в упругой пластине, плавающей на поверхности жидкости конечной глубины. В силу симметрии модели относительно прямой х = 0, вдоль которой расположена трещина, авторы разбили поле на четную и нечетную части относительно координаты х. Задача при этом также разбилась на две независимые части. Для каждой части решения были получены выражения в виде быстро сходящихся рядов, умноженных на константы. Было предложено два способа нахождения этих выражений: с помощью использования функций Грина и разложений по собственным функциям краевой задачи. Неизвестные константы, входящие в решение, находились удовлетворением граничных условий на кромках трещины.

Рассеяние наклонной изгибно-гравитационной волны на нескольких тонких бесконечных параллельных друг другу трещинах в плавающей упругой пластине R. Porter и D.V. Evans исследовали в работе [65]. Авторам удалось получить точное аналитическое решение задачи в явном виде, вводя в рассмотрение для каждой трещины пару функций, задающих трещину как источник возмущений. Однако путь получения решения был достаточно сложным и опирался на частные свойства задачи.

Работы [64, 66] R. Porter и D.V. Evans посвятили изучению дифракции изгибно-гравитационной волны на нескольких трещинах, имеющих конечную длину. В [66] трещины были прямолинейными и параллельными друг другу, в [64] они имели произвольную форму. Решение задач сводилось к системе интегральных уравнений, которая численно решалась методом Галеркина. D.V. Evans и M.H.Meylan в работе [56] изучали рассеяние изгибно-гравитационной волны на нескольких точечных закреплениях плавающей пластины. D.V. Evans и R. Porter в [57] продолжили эти исследования, рассмотрев импедансные условия в точках закреплений.

Из приведенного обзора литературы видно, что количество работ, посвященных рассмотрению волновых процессов в упругих пластинах, плавающих на поверхности несжимаемой жидкости, исключительно велико, при этом круг рассмотренных задач очень широкий.

1.3. Постановка научной задачи

Диссертация посвящена исследованию периодических волновых процессов в несжимаемой жидкости, совершающей гравитационные колебания и находящейся в одностороннем контакте с тонкой упругой пластиной. Пластина целиком покрывает свободную поверхность жидкости и совершает изгибные колебания, сопутствующие гравитационным волнам. Режим свободных колебаний пластины нарушен вдоль некоторой прямой или набора параллельных прямых. В качестве сосредоточенного нарушения режима колебаний можно рассматривать как дефект механических свойств самой пластины (трещина, шарнирное соединение двух пластин с идентичными свойствами), так и наличие всевозможных внешних элементов (опор, подкреплений).

Такая постановка, прежде всего, связана с изучением гидроупругого поведения гигантских плавучих конструкций. Опоры и подкрепления призваны уменьшить амплитуды прогибов конструкции, а также могут выполнять функцию удерживающей якорной системы. Другое, традиционное приложение - это расчет плавающих ледовых полей. Как известно, ледовый покров водных бассейнов сильно неоднороден в горизонтальных направлениях. Характерными примерами неодно-родностей являются трещины и гряды торосов. Практическую ценность представляет анализ влияния неоднородностей на колебания ледяного покрова.

Предполагаем, что подводная часть опор и подкреплений не оказывает существенного влияния на движение жидкости. Подобные конструкции можно представить себе, например, в виде жестких решеток, шаг и толщина которых достаточно малы, чтобы с одной стороны представлять их в виде закреплений вдоль некоторой линии, а с другой стороны не вносить существенных изменений в движение протекающей через решетку жидкости.

Жидкость будем считать однородной, идеальной и несжимаемой, ее глубину - конечной. Помимо основной ситуации с заданной конечной глубиной водоема будут рассмотрены также две предельные возможности: бесконечно глубокий водоем и случай малой глубины водоема, когда является возможным некоторый приближенный подход „теории мелкой воды".

Будем рассматривать поверхностные гравитационные волны малой амплитуды. Такие волны характеризуются тем, что их высоты значительно меньше их длины. Как показано в [51], это предположение удовлетворительно согласуется, в частности, с натурными наблюдениями ветровых волн в море. Отношение высоты таких волн к их длине для широкого спектра ветровых нагрузок приблизительно располагается в интервале от ^ до

Используем модель тонкой упругой пластины. Основные предположения, при которых она применима, состоят в малости амплитуды волны по сравнению с ее длиной, в малости толщины пластины по сравнению с радиусом кривизны при ее деформации, в малости вязких, релаксационных и пластических свойств материала пластины. Все эти приближения выполняются и соответствуют типичным параметрам поверхностных волн в морях и свойствам как природных (ледовый покров), так и техногенных (гигантские плавучие сооружения) моделей такого рода.

Цель работы состоит в изучении прохождения и отражения изгибно-гра-витационной волны, набегающей под прямым углом на неоднородности, сосредоточенные вдоль одной прямой или набора параллельных прямых, в плавающей тонкой упругой пластине.

Из проведенного анализа литературы, посвященной данному кругу задач, видно, что в основном авторы разрабатывали численные и приближенные методы. В других случаях авторам удавалось получить точные решения, но путь их нахождения оказывался излишне сложным и (или) опирался на частные свойства задачи. Однако возможен другой, более общий подход, приводящий к точному*аналитическому решению с помощью простой стандартной процедуры. Этот подход используется в данной диссертации. Задачи диссертации:

1. Нахождение точных аналитических представлений волновых полей в пластине и в жидкости.

2. Определение коэффициентов прохождения и отражения набегающей изгибно-гравитационной волны.

3. Создание пакета программ, позволяющих по полученным точным формулам проводить численное исследование волновых процессов в жидкости и в пластине, численно оценивать прохождение и отражение набегающей изгибно-гравитацион-ной волны.

4. Нахождение точных аналитических решений в двух приближениях мелкой и бесконечно глубокой воды.

5. Оценка степени пригодности найденных приближений на основании сравнения с точным решением, полученным для конечной глубины водоема, в случае одного и двух прямолинейных препятствий.

1.4. Методика исследования

Метод нахождения точного решения поставленной задачи был разработан руководителем автора диссертации Д.П. Коузовым в 1963 - 1964 годах для решения задач акустики. Впервые метод был изложен Д.П. Коузовым в публикации [16], посвященной точному решению задачи об акустическом и вибрационном поле бесконечной пластины, упругие свойства которой нарушены вдоль некоторого набора параллельных прямых.

Суть метода состоит в следующем. Сосредоточенный дефект пластины задается с помощью граничного равенства, в правой части которого содержится линейная комбинация ¿-функции и ее производных. Оно аналогично граничному равенству, которое имело бы место при наличии активного сосредоточенного источника, приложенного к бесконечной однородной пластине. Таким образом, сосредоточенный дефект пластины выступает в качестве „пассивного источни-ка"дифракционного поля. „Пассивность"означает, что данный объект является причиной переизлучения падающего поля, но самостоятельно не генерирует энергию. Наивысший возможный порядок производной ¿-функции ограничен известным в теории дифракции условием Майкснера. Оно обеспечивает единственность решения, устраняя возможность появления фиктивного источника поля в среде, в точках различных нарушений свойств границы (угловых точках границы, точках скачка импеданса границы и т.п.). Д.П. Коузовым было показано, что при использовании традиционного уравнения изгибных колебаний тонкой пластины наивысший возможный порядок производной ¿-функции равен трем.

Константы, входящие в линейную комбинацию, заранее неизвестны. Они определяются на основании гранично-контактных условий, задающих механический режим на кромках пластин, в местах их стыковки друг с другом или скрепления с опорными или другими конструктивными элементами. Этим условиям должно удовлетворять искомое полное поле, представляющее собой сумму поверхностной волны, падающей на сосредоточенный дефект, и рассеянного поля. Удовлетворение гранично-контактным условиям порождает неоднородную систему уравнений невысокого порядка для нахождения неизвестных констант. Коэффициенты этой системы могут содержать расходящиеся интегралы или ряды, регуляризация которых представляет характерный этап решения задачи.

1.5. Структура, содержание и новизна диссертации

Диссертация состоит из четырех разделов, заключения и библиографического списка использованной литературы.

Основные результаты диссертации:

1. Получены точные аналитические решения двумерных гранично-контактных задач о рассеянии изгибно-гравитационных волн на сосредоточенных прямолинейных препятствиях в бесконечной плавающей упругой пластине.

2. Найдены выражения для изгибного поля в пластине и волнового поля в жидкости.

3. Аналитически найдены коэффициенты прохождения и отражения набегающей волны.

4. Создан пакет прикладных программ для численного исследования прохождения набегающей изгибно-гравитационной волны через произвольное количество прямолинейных препятствий различных типов. Пакет программ позволяет рассчитывать коэффициенты прохождения и отражения набегающей волны, прогиб пластины, внутренние усилия в каждом закреплении пластины. С использованием данного пакета получены все численные результаты, приведенные в диссертации.

5. Получены аналитические представления полей в двух предельных случаях мелкой и бесконечно глубокой воды.

6. Показано, что оба приближения хорошо описывают прохождение волны через одно и два скользящих закрепления пластины. Кроме того, приближение бесконечно глубокой воды также хорошо работает в случае прохождения через одну и две трещины в пластине. Однако применение приближенных теорий в случаях одного и двух жестких закреплений пластины приводит к значительным погрешностям.

5. Заключение

1. Букатов А. Е., Завьялов Д. Д. Набегание поверхностных волн на кромку сжатого льда // Механика жидкости и газа. — 1995. — №3. — С. 121 — 126.

2. Варламов В. В. Дифракция внутренних волн в стратифицированной жидкости на полубесконечной стенке // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1983. - Т. 23. №1. - С. 127 — 134.

3. Варламов В. В., Габов С. А., Свешников А. Г. О рассеянии внутренних волн кромкой ледового поля. Случай конечной глубины//Дифференциальные уравнения. -1984. Т. XX. №12. - С. 2088 - 2095.

4. Варламов В. В. О рассеянии внутренних волн краем упругой пластины // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1985. — Т. 25. №3. — С. 413 -421.

5. Габов С. А., Свешников А. Г., ШатовА. К. Рассеяние внутренней волны на препятствии, плавающем на границе раздела двух жидкостей // Прикладная математика и механика. — 1989. — Т. 53. Вып. 6. — С. 919 — 923.

6. ГольдштейнР. В., Марченко А. В. Дифракция плоских гравитационных волн на кромке ледяного покрова // Прикладная математика и механика. — 1989. — Т. 53. Вып. 6. С. 924 - 930.

7. ЖучковаМ.Г., КоузовД.П. Прохождение изгибно-гравитационной волны через жесткую опору пластины, расположенной на поверхности жидкости // Труды XXVII летней школы „Анализ и синтез нелинейных механических систем" /РАН ИПМаш. 2000. - С. 389 - 399.

8. ЖучковаМ.Г., КоузовД.П. Об одной из проблем моделирования волновых движений плавучих аэродромов // Материалы 4-й международной конференции по морским интеллектуальным технологиям „Моринтех 2001" /СПб. — 2001. — Т. 2. - С. 120 - 123.

9. ЖучковаМ.Г., КоузовД.П. Прохождение изгибно-гравитационной волны через жесткий задел в плавающей пластине // Прикладная математика и механика. 2002. — Т. 66. Вып. 3. - С. 457 — 464.

10. Иванов И. В., КрасильниковВ. Н. Отражение изгибно-гравитационных волн от места спая ледовых полей // Дифракция и излучение волн /ЛГУ. — 1965. — Вып. 4.- С. 125 148.

11. КоробкинА. А. Численное и асимптотическое исследование плоской задачи о гидроупругом поведении плавающей пластины на волнах // Прикладная механика и техническая физика. — 2000. — Т. 41. №2. — С. 90 — 96.

12. КоробкинА. А., СтуроваИ. В. Плоская задача о воздействии периодической нагрузки на упругую пластину, плавающую на поверхности бесконечно глубокой жидкости // Прикладная механика и техническая физика. — 2005. — Т. 46. № 3. — С. 61 72.

13. КоробкинА. А., ХабахпашеваТ. И. Построение точных решений в задаче о плавающей пластине // Прикладная математика и механика. — 2007. — Т. 71. Вып. 2. -С. 321 -328.

14. КоротяевМ. Б., КоузовД. П. Переходный адмитанс пластины, находящейся в одностороннем контакте с тяжелой несжимаемой жидкостью//Труды XXVII летней школы „Анализ и синтез нелинейных механических систем" /ИПМаш РАН. — 2000. С. 381 - 388.

15. КоузовД.П. Рассеяние гравитационной волны на кромке плавающей пластины // Труды XXV XXVI летней школы „Анализ и синтез нелинейных механических систем" /ИПМаш РАН. - 1998. - Т.2. - С. 356 - 364.

16. КоузовД.П. О явлении резонанса при дифракции гидроакустической волны на системе трещин в упругой пластине // Прикладная математика и механика. — 1964. Т. 28. №3. - С. 409 - 417.

17. КочинН. Е., КибельИ. А., РозеН. В. Теоретическая гидромеханика. Ч. I. —Изд. 5 -е, испр. и доп. — М.:Гос. изд. технико-теоретической лит., 1955. — 560 с.

18. КрасильниковВ.Н. О решении некоторых гранично-контактных задач линейной гидродинамики // Прикладная математика и механика. — 1961. — Т. 26. Вып.4.- С. 764 — 768.

19. Красильников В. Н. О возбуждении изгибно-гравитационных волн // Акустический журнал. 1962. — Т. 8. Вып. 1. — С. 133 - 136.

20. Ландау Л. Д., ЛифшицЕ.М. Теория упругости. — М.: Наука, 1987. —248 с.

21. Марченко А. В. Дифракция поверхностных волн на трещине в ледяном покрове// Механика жидкости и газа. — 1993. — №2. — С. 93 — 102.

22. Марченко А. В., Семенов А. Ю. Краевые волны в мелкой жидкости под упругой пластиной с трещиной//Механика жидкости и газа. — 1994. — №4. — С. 185 — 189.

23. Марченко А. В., Семенов А. Ю. Вычисление определенных интегралов в методе Винера-Хопфа суммированием рядов по вычетам//Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1995. — Т. 35. № 3. — С. 445 — 452.

24. Марченко А. В. Собственные колебания гряды торосов в упругом ледяном покрове, плавающем на поверхности бесконечно глубокой жидкости //Механикажидкости и газа. — 1995. — №6. — С. 99 — 105.

25. Марченко А. В. О распространении волн зыби в неоднородном ледяном покрове// Механика жидкости и газа. — 1996. — №5. — С. 162 — 169.

26. Марченко А. В. Дифракция изгибно-гравитационных волн на линейных неод-нородностях в ледяном покрове // Механика жидкости и газа. — 1997. — №4. —• С. 97-112.

27. Плавучий аэродром на Неве // Судостроение. — 2009. — №1. — С. 15.

28. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1970. —304 с.

29. Стокер Д. Д. Волны на воде. — М.:Изд. иностр. лит., 1959. — 617 с.

30. СтуроваИ. В. Косое набегание поверхностных волн на упругую полосу //Прикладная механика и техническая физика. — 1999. — Т. 40. №4. — С. 62 — 68.

31. СтуроваИ.В. Дифракция поверхностных волн на неоднородной упругой пластине //Прикладная механика и техническая физика. — 2000. — Т. 41. №4. — С. 42 48.

32. СтуроваИ. В. Дифракция поверхностных волн на упругой плавающей на мелководье платформе // Прикладная математика и механика. — 2001. — Т. 65. Вып. 1. С. 114 - 122.

33. СтуроваИ. В. Воздействие периодических поверхностных давлений на плавающую упругую платформу //Прикладная математика и механика. — 2002. — Т. 66. Вып. 1. С. 75 -86.

34. СтуроваИ. В. Нестационарное поведение плавающей на мелководье упругой балки под действием внешней нагрузки // Прикладная механика и техническая физика. 2002. - Т. 43. №3. - С. 88 - 98.

35. СтуроваИ. В. Действие нестационарной внешней нагрузки на упругую круглую пластину, плавающую на мелководье // Прикладная математика и механика. — 2003. Т. 67. Вып. 3. - С. 453 - 463.

36. СтуроваИ. В. Поверхностные волны от внешнего периодического давления в жидкости с неровным дном // Прикладная механика и техническая физика. — 2005. Т. 46. № 1. - С. 70 - 77.

37. СтуроваИ. В. Нестационарное поведение упругой балки, плавающей на поверхности бесконечно глубокой жидкости//Прикладная механика и техническая физика. 2006. - Т. 47. № 1. - С. 85 - 94.

38. СтуроваИ. В. Влияние периодического поверхностного давления на прямоугольную упругую пластину, плавающую на мелководье / / Прикладная математика и механика. — 2006. — Т. 70. Вып. 3. — С. 417 — 426.

39. СтуроваИ. В. Влияние топографии дна на нестационарное поведение упругой пластины, плавающей на мелководье // Прикладная математика и механика. — 2008. Т. 72. Вып. 4. - С. 588 - 600.

40. СтуроваИ. В. Нестационарное поведение неоднородной упругой балки, плавающей на мелководье // Прикладная математика и механика. 2008. - Т. 72. Вып. 6. -С. 971 - 984.

41. Ткачева JI. А. Собственные колебания упругой платформы, плавающей на мелководье // Прикладная механика и техническая физика. —2000. — Т. 41. №1. — С. 173 181.

42. Ткачева JI. А. Рассеяние поверхностных волн краем плавающей упругой пластины //Прикладная механика и техническая физика. — 2001. — Т. 42. №4. — С. 88 — 97.

43. Ткачева JI. А. Гидроупругое поведение плавающей пластины на волнах//Прикладная механика и техническая физика. — 2001. Т. 42. №6. — С. 79 — 85.

44. Ткачева JI. А. Дифракция поверхностных волн на плавающей упругой пластине //Механика жидкости и газа. — 2001. — №5. — С. 121 — 134.

45. Ткачева Л. А. Плоская задача о дифракции поверхностных волн на упругой плавающей пластине//Механика жидкости и газа. — 2003. — №3. — С. 131 — 149.

46. Ткачева Л. А. Дифракция поверхностных волн на плавающей упругой пластине при косом набегании//Прикладная математика и механика. 2004. - Т. 68. Вып. 3. - С. 474 - 486.

47. Ткачева Л. А. Плоская задача о колебаниях плавающей упругой пластины под действием периодической внешней нагрузки//Прикладная механика и техническая физика. 2004. - Т. 45. №3. — С. 136 - 145.

48. Ткачева Л. А. Воздействие периодической нагрузки на плавающую упругую пластину//Механика жидкости и газа. — 2005. — №2. — С. 132 — 146.

49. ХабахпашеваТ. И. Связь гидродинамических и упругих параметров при дифракции поверхностных волн на плавающей пластине//Механика жидкости и газа. 2003. — №4. - С. 101 - 110.

50. Хейсин Д. Е. Динамика ледяного покрова. — Л.: Гидрометеоиздат, 1967. — 215 с.

51. ШебаловА. Н. Теория волн и волнового сопротивления(Свободные волны). — Л.: Изд. ЛКИ, 1982. 95 с.

52. AndrianovA. I. Hydroelastic analysis of very large floating structures: Doctorate thesis. Delft univ. of Technology., Delft, The Netherlands, 2005. - 188 p.

53. ErtekinR. C., Kim J. W. An eigenfunction-expansion method for predicting hydro-elastic behavior of a shallow-draft VLFS // Proc. of second intern, conf. on hydroela-sticity in marine technology /Japan, Fukuoka, Kyushu univ. 1998. — P. 47 — 59.

54. ErtekinR. C., KimJ.W. Hydroelastic response of a floating mat-type structure in oblique, shallow-water waves//Journal of ship research. — 1999. — Vol. 43. No. 4. — P. 241 254.

55. Evans D. V., Porter R. Wave scattering by narrow cracks in ice sheets floating on water of finite depth // J. Fluid Mech. — 2003. — Vol. 484. — P. 143 — 165.

56. Evans D. V., MeylanM. H. Scattering of flexural waves by a pinned thin elastic sheet floating on water//Proc. 20th intern, workshop on water waves and floating bodies /Norway, Oslo. 2005. — P. 68 — 71.

57. Evans D. V., Porter R. Wave diffraction by a periodically constrained elastic plate floating on water//Proc. 21st intern, workshop on water waves and floating bodies /UK,1.ughborough. 2006. — P. 53 — 56.

58. KashiwagiM. A new direct method for calculating hydroelastic deflection of a very large floating structure in waves // Proc. 13th intern, workshop on water waves and floating bodies /The Netherlands, Delft. — 1998. — P. 63 — 66.

59. KhabakhpashevaT. I., Korobkin A. A. Reduction of hydroelastic response of floating platform in \vaves//Proc. 16th intern, workshop on water waves and floating bodies /Japan, Hiroshima. — 2001. — P. 73 — 76.

60. KhabakhpashevaT. I., Korobkin A. A. Exact solutions of floating elastic plate problem //Proc. 17th intern, workshop on water waves and floating bodies /UK, Cambridge. 2002. - P. 81 - 84.

61. KhabakhpashevaT. I., Korobkin A. A. Hydroelastic behaviour of compound floating plate in waves // J. eng. math. — 2002. — Vol. 44. No. 1. — P. 21 — 40.

62. KhabakhpashevaT. I., Korobkin A. A. Wave power absorbers at floating platform // Proc. 25th intern, workshop on water waves and floating bodies / Harbin, China. — 2010. P. 73 - 76.

63. Korobkin A. A. Unsteady hydroelasticity of floating plates // Proc. of second intern, conf. on hydroelasticity in marine technology/Japan, Fukuoka, Kyushu univ. 1998. — P. 109 - 117.

64. Porter R., Evans D. V. Flexural-gravity wave diffraction by finite cracks of arbitrary shape in ice sheets //Proc. 19th intern, workshop on water waves and floating bodies / Italy, Cortona.— 2004.

65. Porter R., EvansD. V. Scattering of flexural waves by multiple narrow cracks in ice sheets floating on water // J. Wave Motion. — 2006. — Vol. 43. — P. 425 — 443.

66. Porter R., Evans D.V. Diffraction of flexural waves by finite straight cracks in an elastic sheet over water // J. Fluid Struct. — 2007. — Vol. 23. No. 2. — P. 309 — 327.

67. Squire V. A. Synergies between VLFS hydroelasticity and sea-ice research//Int. j. offshore polar engng. 2008. — 18(4). — P. 241 — 253.

68. Sturoval. V. The oblique incidence of surface waves onto the elastic band//Proc. of second intern, conf. on hydroelasticity in marine technology /Japan, Fukuoka, Kyushu univ. 1998. — P. 239 - 245.

69. Sfcuroval. V. Waveguide properties of the elongated rectangular structures//Proc. 20th intern, workshop on water waves and floating bodies /Norway, Oslo. — 2005. — P. 240 243.

70. Sturoval. V. Time-dependent hydroelastic response of an elastic plate floating on shallow water of variable depth // Proc. 22nd intern, workshop on water waves and floating bodies / Croatia, Plitvice. — 2007. — P. 185 — 188.

71. Sturova I. V. Nonlinear hydroelasticity of a plate floating on shallow water of variable depth // Proc. 24th intern, workshop on water waves and floating bodies /Russia, St. Petersburg. 2009. - P. 177 - 180.

72. Sturoval. V. Time-dependent response of a heterogeneous elastic plate floating on shallow water//Proc. 23rd intern, workshop on water waves and floating bodies /Korea, Seoul. 2008. - P. 156 — 159.

73. Takagi K. Water waves beneath a floating elastic plate // Proc. 13th intern, workshop on water waves and floating bodies /The Netherlands, Delft. — 1998. — P. 143 — 146.

74. Takagi K. Hydroelastic behavior of a very large floating structure in waves //Proc. 14th intern, workshop on water waves and floating bodies /USA, Michigan. — 1999. — P. 137-140.

75. TkachevaL. A. Difraction of surface waves at floating elastic plate//Proc. 17th intern, workshop on water waves and floating bodies /UK, Cambridge. — 2002. — P. 175-178.

76. TkachevaL. A. Forced vibrations of floating elastic plate// Proc. 19th intern, workshop on water waves and floating bodies /Italy, Cortona. — 2004.

77. Tokyo Bay floating airport holds flight tests //Japan Times. -—2000. — July, 6.

78. ZhuchkovaM. G., KouzovD.P. Bending gravitational wave's transmission through a set of rigid clamps in a floating plate // Advanced problems in mechanics /RAS IPME. 2002. - C. 376 - 381.

79. ZhuchkovaM. G., KouzovD. P. Hydro-elastic behavior of a floating supported plate in water waves //In: CD-ROM Proceedings of intern, conf. on subsea technologies, SubSeaTECH2009. — St. Petersburg: SMTU, 2009, — 4 p.7. Содержание1 Введение 2

80. Актуальность темы исследования.212. Обзор литературы.6

81. Постановка научной задачи.1714. Методика исследования.20

82. Структура, содержание и новизна диссертации.21

83. Основные положения, выносимые на защиту.23

84. Сведения о публикации результатов диссертации, апробация работы 24

85. Распространение изгибно-гравитационных волн в воде, покрытой пластиной 2521. Постановка задачи .25

86. Дисперсионное уравнение и его корни .27

87. Распределение энергии в воде и в пластине .30

88. Скорость распространения изгибно-гравитационной волны.33

89. Распространение изгибно-гравитационных волн в водоеме неограниченной глубины и на мелководье.3526. Выводы.38

90. Прохождение изгибно-гравитационной волны через одно прямолинейное нарушение механического режима в плавающей пластины 4531. Постановка задачи.45

91. Построение общего аналитического решения волнового поля . 48

92. Коэффициенты прохождения и отражения.53

93. Прохождение изгибно-гравитационной волны через жесткий задел в пластине .53

94. Прохождение изгибно-гравитационной волны через скользящий задел в пластине.60

95. Прохождение изгибно-гравитационной волны через трещину в пластине .62

96. Распределение амплитуд прогиба в пластине.65

97. Прохождение изгибно-гравитационной волны на мелкой воде . 66

98. Прохождение изгибно-гравитационной волны в бесконечно глубоком бассейне.71310. Выводы.77

99. Прохождение изгибно-гравитационной волны через несколько параллельных нарушений механического режима плавающей пластины 8741. Постановка задачи.87

100. Построение общего аналитического представления волнового поля . 89

101. Использование гранично-контактных условий.91

102. Прохождение изгибно-гравитационной волны на мелкой воде . 95

103. Прохождение изгибно-гравитационной волны в бесконечно глубоком бассейне.98

104. Два параллельных нарушения механического режима плавающей пластины. Результаты численных расчетов.10047. Выводы.1025 Заключение 113I

105. Библиографический список использованной литературы 1147 Содержание 121