Аналитические методы расчета взаимодействия жидкости с упругими стенками резервуаров тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

§0.1. Тема и общая характеристика работы

§ 0.2. Обзор литературы, посвященной задачам исследования колебательных процессов в акустических волноводах и резонаторах с упругими стенками

§ 0.3. Цели и основное содержание работы

§ 0.4. Положения, выносимые на защиту

§ 0.5. Система обозначений

Глава 1. Применение метода Винера-Хопфа к определению полей свободных колебаний кусочно-однородных резонаторов.

§1.1. О матрице рассеяния в плоском волноводе с упругими стенками.

§ 1.2. О собственных волнах плоского волновода с упругими стенками.

§ 1.3. О собственных частотах прямоугольного акустического резонатора с жесткими стенками, частично перекрытого упругой перегородкой

Глава 2. Свободные колебания прямоугольных резонаторов

§2.1. О собственных частотах резонатора с двумя жесткими и двумя упругими стенками

§ 2.2. Альтернативный способ поиска собственных частот.

§ 2.3. Учет влияния продольных колебаний упругой стенки.

§ 2.4. Учет влияния сдвига и инерции вращения

§ 2.5. Об эффекте понижения собственной частоты при сближении упругих стенок акустического резонатора

§ 2.6. О собственных частотах прямоугольного акустического резонатора с кусочно-однородной упругой стенкой

§ 2.7. О собственных колебаниях прямоугольного акустического резонатора, в стенке которого размещен клапан

§ 2.8. О собственных колебаниях прямоугольного резонатора, разделенного упругой перегородкой и заполненного различными средами

§ 2.9. О собственных волнах упругой полосы, покрывающей волноведущий акустический канал прямоугольного сечения

Глава 3. Свободные колебания цилиндрических резонаторов.

§3.1. О колебаниях цилиндрического резонатора с жесткой цилиндрической и упругими торцевыми стенками

§ 3.2. О свободных колебаниях кольцевого акустического резонатора с упругими торцевыми стенками

§ 3.3. О собственных частотах цилиндрического акустического резонатора с упругой цилиндрической и жесткими торцевыми стенками

§ 3.4. О частотах свободных акустических колебаний в жидкости, разделяющей жесткую и упругую цилиндрические стенки конечной длины

Глава 4. Свободные колебания резонаторов в форме кругового сектора.

§ 4.1. О собственных частотах акустического резонатора секториальной формы с упругой круговой стенкой

§ 4.2. Об эффекте понижения частоты свободных колебаний акустического резонатора, имеющего форму усеченного сектора, при сближении его круговых стенок

Глава 5. Свободные колебания резонаторов, ограниченных сферическими и коническими стенками

§ 5.1. Свободные колебания шарового сектора, покрытого тонкой упругой сферической оболочкой

§ 5.2. Свободные колебания усеченного шарового сектора, покрытого тонкой упругой сферической оболочкой

§ 5.3. Свободные колебания шарового сектора, разграниченного двумя упругими сферическими оболочками

§ 5.4. Свободные колебания акустического резонатора, имеющего форму кольца с упругими сферическими стенками

Глава 6. Гравитационные колебания жидкости, поверхность которой покрыта упругой пластиной

§ 6.1. О свободных гравитационных колебаниях жидкости, заполняющей прямоугольный контейнер с жесткими стенками и упругой крышкой.

§ 6.2. О свободных гравитационных колебаниях жидкости, заполняющей цилиндрический контейнер с жесткими стенками и упругой крышкой

§ 6.3. О частотах свободных гравитационных колебаний жидкости, заполняющей прямоугольный контейнер с кусочно-однородной упругой крышкой

Глава 7. О звукоизоляционных свойствах упругих перегородок

§ 7.1. О прохождении звука через тонкую упругую перегородку, нагруженную точечными массами

§ 7.2. Влияние акустических мостиков на прохождение звука через

4 двойную упругую перегородку в прямоугольном волноводе

§ 0.1 Тема и общая характеристика работы

Тема диссертационного исследования, „Аналитические методы расчета взаимодействия жидкости с упругими стенками резервуаров", с одной стороны, входит в зону научных интересов автора, с другой стороны, отвечает запросам научно-технической деятельности Петербургского университета путей сообщения, в котором автор работает.

Тематика работы. Диссертация посвящена проблеме теоретического исследования стационарных гармонических волновых процессов в конструкции, заполненной жидкой средой и ограниченной частично упругими, частично жесткими (мягкими) стенками. Объектами поиска являются точные аналитические и асимптотические представления акустических и вибрационных полей для ряда важных с технической точки зрения конфигураций типа „упругая стенка-жидкость", а также соответствующие расчетные алгоритмы. Рассматриваются линейные модели колебаний как для жидкости, так и для упругих границ. Конечной целью поиска является получение новых и уточнение известных физических представлений об изучаемых явлениях.

Работа является продолжением диссертации автора на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук „О колебаниях волноводов и резонаторов с упругими стенками", руководитель которой, доктор физико-математических наук, профессор Д.П.Коузов, является научным консультантом диссертации.

Работа поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований, грант РФФИ 95-02-04346 „Теоретическое исследование структурных и акустических полей упругих конструкций", Конкурсным Центром Фундаментального Естествознания, грант КЦФЕ 97-0-4.1-159 „Гранично-контактные задачи гидродинамики", а также Министерством

Путей Сообщения РФ, докторский грант МПС 2001 г.

Актуальность темы. Потребность в точном теоретическом изучении колебательных процессов в системе „упругая стенка-жидкость" возникает, в частности, при проектировании транспортных средств. Задачи определения полей давлений в жидкости и вибрационных полей в стенках важны для предсказания, подавления, предотвращения вредных колебаний (вибраций), которые могут отрицательно влиять на комфортность перевозки пассажиров, на сохранность грузов, на устойчивость транспортного средства при движении, на прочность, надежность и долговечность его узлов и агрегатов. Значение затронутых проблем для практики весьма велико, поскольку с ростом скоростей передвижения транспортных средств, с увеличением мощности силовых установок растет и ответственность проектировщика за надежность разработанной конструкции, повышается и цена допущенных ошибок и промахов.

При расчете взаимодействия упругих конструкций с воздухом (к примеру, при оценке звукоизолирующих свойств упругих перегородок) за основу модели системы можно брать модель колебаний упругой конструкции в вакууме, собственные формы которых использовать при разложении поля акустических колебаний в воздушной среде. Более простым с вычислительной точки зрения является применение механизма „присоединенной массы" акустической среды. Учет влияния среды при таких подходах зачастую приводит к бесконечной алгебраической системе, решаемой методом редукции. Кроме названных приемов нередко используется метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод Бубнова-Галеркина, метод коллокаций и прочие численные методы. Каждый из упомянутых способов изучения совместных колебаний стенок и среды требует трудоемкого построения и тестирования вычислительных алгоритмов, а затем и длительной вычислительной работы с большими массивами данных, требующих для своего храпения значительных ресурсов памяти компьютера. Объемом этих ресурсов чаще всего и определяется погрешность получаемого численного решения.

Плотная жидкость, заполняющая контейнеры с упругими границами, оказывает настолько существенное влияние на картину колебательных процессов в стенках, что далеко не всегда оправдано применение механизма „присоединенной массы" или „присоединенной инертности" жидкой среды. Для получения достаточно полной и верной информации о волновых процессах в конкретной системе есть смысл строить аналитическое решение задачи о совместных колебаниях стенок и среды.

Точные выражения для вибрационных полей собственных и вынужденных колебаний полых упругих резервуаров простых геометрических форм известны. Известны и моды колебаний давления в жидкости, заполняющей резервуары, имеющие такие же внешние формы, но идеально жесткие (мягкие) стенки. Разложение искомых полей совместных колебаний систем „упругие стенки-жидкость" рациональнее вести, где это возможно, по собственным модам колебаний жидкости. Это не означает, что „жидкостные" формы претерпевают слабые изменения при возникновении механического контакта среды с упругой границей. Однако, опыт ведущих исследователей доказал, что процедура построения точного решения с применением таких форм эффективна и наглядна. Для более сложных задач бывает неизбежным и разложение полей по ранее уже найденным из более простых задач модам совместных колебаний систем „упругие стенки-жидкость".

В последнее время в практике проектировщика растет роль высокоэффективных коммерческих компьютерных программных продуктов, нацеленных на решение широкого спектра инженерных задач. Препятствием ко всеобщему использованию этих программ может служить и их высокая стоимость, и сложность „привязки" к конкретной задаче, и, порой, ошибочность получаемых результатов. Добросовестный исследователь должен внимательно следить, не окажутся ли внешне правдоподобные выходные данные лишенными физического смысла. В коммерческие программы заложены методы и алгоритмы, изучение и проверка верности которых рядовым пользователем не только технически затруднены (если не сказать невозможны), но и незаконны. Исправление авторами коммерческих программ тех ошибок, что выявлены пользователями, может занимать долгие месяцы и сдерживать процесс инженерного труда.

При построении решения многих инженерных задач, аналитическое решение которых не найдено, нет альтернативы численным методам. Последние, алгоритмизированы ли они самим инженером, затребованы ли из коммерческой программы, требуют тестирования. Стандартным способом тестирования является настройка численного алгоритма на тот частный случай поставленной задачи, который имеет точное аналитическое решение.

Известно, что точное формульное описание удается получить пока только для колебательных процессов, протекающих в системах относительно простой конфигурации. "Усложнение этой конфигурации далеко не всегда означает принципиальную невозможность вывода точного решения. Речь может идти как о „лавинообразном" нарастании сложности и громоздкости выкладок, так и о росте вероятности ошибок. Порог непреодолимой сложности аналитических выкладок всегда будет существовать. Однако, все дальше отодвигать этот порог помогает динамично развивающаяся вычислительная техника и все более совершенное программное обеспечение, создаваемое для символьных преобразований1.

Исследователь сложных реальных колебательных систем, как правило, выделяет в ней те отдельные элементы, для описания процессов в

Wolfram S. Mathcmatica: a system for doing mathematics by computer. Redwood, С A: Addison Wesley. Second edition. которых формульное представление известно. Нередко это дает возможность с достаточной для практики точностью на качественном уровне описать процессы, протекающие в составной модели. Если наблюдаются существенные отклонения построенного описания от натурных наблюдений, возникает стимул к изучению связки нескольких из элементов системы и, возможно, к попыткам найти точное решение задачи о колебаниях такой композиционной связки. При этом целесообразно обращаться либо к результатам работ специалистов соответствующего профиля, либо к услугам этих специалистов. Таким образом, все важнее становится роль „банка" задач, решаемых точно, и необходимость его регулярного пополнения.

Сказанное подтверждает актуальность проводимой в данной диссертации работы по построению и изучению точных аналитических решений задач определения вибрационного поля упругих стенок резервуара и волнового поля в жидкости, заполняющей резервуар.

Методика исследования. В работе изучаются стационарные процессы в колебательных системах, которые с равным правом можно называть контейнерами либо резервуарами с жидкостью, а также резонаторами.

Ряд исследователей при изучении совместных колебательных процессов в системе „резервуар-жидкость" сводит задачу к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Чаще всего такая система решается приближенно, методом редукции. Известны работы (например, [214, 215, 216]), авторы которых, при использовании специальных свойств матрицы системы, обращали матрицу в явном виде. Такой способ решения задачи трудоемок и трудно переносйм на родственные задачи. Существуют и иные, так называемые прямые методы решения задач, разработке, совершенствованию и рациональному использованию которых посвящена данная диссертация.

В основе подхода, использованного в диссертации, лежит понятие гранично-контактной задачи математической физики. Особенность постановки этого частного случая краевой задачи математической физики состоит в формулировании не только дифференциального уравнения либо системы уравнений относительно искомых полей в некоторой области интегрирования (плоской либо пространственной), не только краевых условий на границе области, но и так называемых гранично-контактных условий на подмногообразии границы. Механический смысл этих условий состоит в способе фиксации краев упругих пластин либо оболочек, составляющих часть границы области.

В настоящей работе основное внимание уделено решению и исследованию гранично-контактных задач акустики. Термин „гранично-контактная задача акустики" был введен В.Н.Красильниковым (1961 г.) с целью выделения этого специфичного раздела гранично-контактных задач математической физики. В дальнейшем этот термин (равно как и „контактно-граничная задача") широко применялся в литературе, что позволяет использовать его и в данной диссертации.

Гранично-контактная задача акустики - это задача о совместных движениях тонкого упругого тела (в настоящей работе - пластин либо оболочек) и состоящей в контакте с ним акустической среды. Для нужд проектирования транспортных средств наиболее естественна ситуация „вода-металл" либо „горюче-смазочный материал-металл". При разработке систем защиты от шума и вибраций рассматриваются ситуации взаимодействия воздуха с тонким листовым упругим материалом, в качестве которого может использоваться металл, дерево, пластик, стекло.

Решение рассматриваемых задач строится по характерной для работы с гранично-контактными задачами акустики схеме. Сначала находится решение задачи, удовлетворяющее всем постановочным условиям, кроме гранично-контактных. Решение это, называемое общим и представляемое в виде рядов либо интегралов, содержит ряд произвольных констант, количество которых совпадает с количеством гранично-контактных условий. Наложение этих условий порождает линейную систему алгебраических уравнений невысокого порядка относительно искомых констант. Коэффициенты этой системы могут содержать расходящиеся ряды либо интегралы, регуляризация которых составляет особенный этап решения задачи.

Одна из глав диссертации посвящена решению гранично-контактных задач гидродинамики. В данном случае рассматриваются стационарные процессы в жидкости, совершающей гравитационные колебания в контакте с упругой пластиной. Пластина расположена на поверхности жидкости. В выбранной постановке задачи решаются, по сути, теми же способами, что и задачи акустики.

Научная новизна работы. Автором

1. Построены точные решения ряда задач определения частот и форм свободных колебаний заполненных жидкостью резервуаров с упругими стенками.

2. Разработан метод построения на основе точного решения простых и удобных для инженера-проектировщика формул, позволяющих приближенно оценить низшие собственные частоты резервуаров.

3. Объяснены механизмы совместных колебаний систем „пластина-жидкость", „оболочка-жидкость", попеременно приводящиеся в действие при изменении геометрических параметров резервуаров.

4. Выявлен, объяснен, сопровожден приближенными формулами аномальный эффект понижения собственных частот заполненного жидкостью резервуара при сближении его противоположных упругих стенок.

5. Разработаны методы аналитической оценки звукоизоляционных свойств упругих перегородок специальной конструкции.

Все эти результаты получены автором впервые и являются новыми.

Научная и практическая ценность работы. Практическую ценность представляют результаты анализа колебательных процессов в резервуарах, являющихся элементами конструкций транспортных средств. Выводы работы могут быть полезными при построении инженером-конструктором оптимального варианта проекта.

Выявленный факт существования аномально низких собственных частот при малом расстоянии между противоположными упругими стенками позволяет учитывать в процессе конструирования резонансы, которым не уделялось внимания при применении выводов иных авторов. С одной стороны, эти резонансы, если их не учесть, могут отрицательно сказаться на вибропрочности конструкций. С другой стороны, эти же резонансы можно целенаправленно применить для гашения нежелательных колебаний.

Выработанные рекомендации по повышению звукоизоляционных свойств упругих перегородок, в том числе и заполненных жидкостью, позволят вести эффективную борьбу с шумом в помещениях зданий и салонах транспортных средств.

Представленные решения важных с практической точки зрения гранично-контактных задач позволяют пополнить „банк" задач, допускающих точное аналитическое решение.

Достоверность результатов работы обеспечивается использованием строгих математических методов решения задач, корректностью аналитических выкладок, проверенных с помощью программных средств для символьных преобразований, применением общепринятых, отлаженных численных методов при изучении полученных решений. Для проверки правильности результатов проводилось их тестирование с помощью контрольных тождеств, в частности, закона сохранения энергии, сверялись асимптотические и численные решения.

В работе решен ряд задач о ходе колебательных процессов в резервуарах различных геометрических форм. Во всех возможных ситуациях для изучаемой формы подыскивался соответствующий ей предельный случай иной геометрической формы, чтобы по сходимости аналитических и численных результатов можно было судить о верности и надежности построенных решений. При этом сопоставлялись как полученные различными способами результаты самого автора диссертационной работы, так и материалы иных авторов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные результаты работы состоят в следующем:

1. Построено точное решение задачи о рассеянии волн на сечении разветвления плоского акустического волновода с упругими стенками.

2. Изучены нормальные волны плоского акустического волновода с упругими стенками. Предложены приближенные формулы для простых и для кратных волновых чисел. Изучены энергетические характеристики двух особенных волн, волновые числа которых являются строго комплексными (не вещественными и не чисто мнимыми).

3. Изучены свободные колебания плоского прямоугольного резонатора с жесткими стенками, заполненного акустической средой, частично перекрытого упругой стенкой.

4. Изучены свободные колебания плоского прямоугольного резонатора с двумя жесткими и двумя упругими стенками. Оценено влияние на собственные частоты сдвига и инерции вращения, продольных колебаний упругих стенок, вязкости акустической среды.

5. Изучены свободные колебания цилиндрических акустических резонаторов с жесткими цилиндрическими и упругими плоскими, либо, напротив, с жесткими плоскими и упругими цилиндрическими стенками.

6. Решены плоские двумерные задачи о свободных колебаниях резонаторов в форме кругового сектора, ограниченных жесткими радиальными и упругими круговыми стенками.

7. Изучены свободные колебания акустических резонаторов, ограниченных жесткими коническими и упругими сферическими стенками.

8. Построены решения задач о свободных гравитационных колебаниях идеальной несжимаемой жидкости, поверхность которой покрыта упругой пластиной, в резервуарах с жесткими стенками.

9. Изучено прохождение звука через упругие перегородки в волноводе прямоугольного сечения, нагруженные точечными массами и скрепленные акустическими мостиками.

10. В решенных в диссертационном исследовании задачах о свободных колебаниях резонаторов выявлен, численно подтвержден, аргументированно объяснен эффект понижения собственных частот при сближении двух противоположных упругих стенок, колеблющихся во встречных направлениях, либо упругой и жесткой противоположных стенок.

11. Построен набор компактных, удобных и полезных для инженерных расчетов приближенных формул, позволяющих оценивать собственные частоты.

12. Разработан и применен для контроля результатов альтернативный способ поиска собственных частот резонаторов с упругими стенками.

1. Акользин А.В., Миронов М.А'. Двухмодовый акустический волновод, образованный жесткой плоскостью и упругой пластинкой // Акустический журнал. 2000. Т. 46. № 6. С. 725-731.

2. Бабайлов Э.П. Осесимметричные колебания цилиндрической оболочки конечной длины с учетом реакции среды внутри нее // Акустический журнал. 1994. Т. 40. № 1. С. 17-23.

3. Барановский Г.К., Кадомцев И.Б. Свободные колебания жесткоза-крепленной прямоугольной пластины // Известия РАН. Механика твердого тела. 2000. № 3. С. 170-170.

4. Белинский Б.П. О собственных колебаниях перемычки в бесконечном волноводе // Акустический журнал. 1984. Т. 30. JY2 1. С. 14-17.

5. Бернблит М.В. Излучение звука тонкой цилиндрической оболочкой с ребрами жесткости // Акустический журнал. 1974. Т. 20. N8 5. С. 680-689.

6. Бернблит М.В. К вопросу об излучении звука цилиндрической оболочкой с ребрами жесткости // Акустический журнал. 1975. Т. 21. № 6. С. 839-844.

7. Бернблит М.В. Излучение звука тонкой цилиндрической оболочкой с жесткими инерционными диафрагмами при возбуждении сосредоточенным усилием // Акустический журнал. 1976. Т. 22. № 1. С. 5-12.

8. Бобровницкий Ю.И. Изгибные колебания шарнирно-опертой полосы // Акустический журнал. 1974. Т. 20. № 4. С. 503-510.

9. Бобровницкий Ю.И., Генкин М.Д. Колебания упругой полосы. Методы виброизоляции машин и присоединенных конструкций. М.: Наука, 1975. С. 12-42.

10. Бреховских J1.M. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 344 с.

11. Вайнштейн JI.A. Теория дифракции и метод факторизации. М.: Советское радио, 1966. 431 с.

12. Вахитов Н.Г. Влияние окружающей жидкости на скорость распространения изгибных волн вдоль упругой ленты конечной ширины // Акустический журнал. 1964. Т. 10. № 4. С. 407-411.

13. Вешев В.А., Клюкин И.И., Коузов Д.П., Лукьянов В.Д. О распространении колебательной энергии в тонкой упругой пластине постоянной ширины // Акустический журнал. 1977. Т. 33. № 2. С. 228-233.

14. Вибрации в технике. Справочник в 6 томах. Т. 1. Колебания линейных систем. Под ред. чл.-корр. АН СССР В.В. Болотина. М.: Машиностроение, 1978. 352 с.

15. Власов В.З. Избранные труды. Т. 1. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 528 с.

16. Волков В.Г. К теории резонансных поглотителей звука с неперфо-рированной упругой стенкой // Журнал технической физики. 1953. Т. 23. № 5. С. 853-864.

17. Галиев Ш.У. Колебания сжимаемой жидкости в упругой цилиндрической оболочке. Труды семинара по теории оболочек. № 1. (КФТИ АН СССР). Казань: 1969. С. 27-36.

18. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

19. Георгиевский В.П., Малютин П.С., Тарасова А.Г. Матрица Грина динамической задачи для цилиндрической оболочки, содержащей сжимаемую среду, при произвольных граничных условиях // Акустический журнал. 1988. Т. 34. № б. С. 1016-1019.

20. Гершунов Е.М. Определение присоединенной массы жидкости при расчете днищ резервуаров // Прикладная механика. 1968. Т. 4. № 6. С. 124-128.

21. Гершунов Е.М. Колебания кольцевой пластины под слоем жидкости // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1975. № 3. С. 180-183.

22. Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М.: Изд-во иностр. литературы, 1952. 476 с.

23. Гольдштейн Р.В., Марченко А.В. Дифракция плоских гравитационных волн на кромке ледяного покрова // Прикладная математика и механика. 1989. Т. 53. № 6. С. 924-930.

24. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. 512 с.

25. Гонткевич B.C. Собственные колебания пластинок и оболочек. Киев: Наукова Думка, 1964. 288 с.

26. Гринченко В.Т., Комиссарова Г.Л. Распространение волн в полом упругом цилиндре с жидкостью // Прикладная механика. 1984. Т. 20. № 1. С. 21-26.

27. Гринченко В.Т., Вовк И.В. Волновые задачи рассеяния звука на упругих оболочках. Киев: Наукова Думка, 1986. 240 с.

28. Гринченко В.Т., Комиссарова Г.Л. Свойства нормальных несимметричных волн в толстостенном цилиндре, заполненном жидкостью // Прикладная механика. 1988. Т. 24. № 10. С. 15-20.

29. Докучаев JI.В. О колебаниях резервуара с жидкостью, на свободной поверхности которой расположена мембрана // Строительная механика и расчет сооружений. 1972. JY2 1 (79). С. 49-54.

30. Дудник Р.А., Музычук О.В., Фияксель Э.А. Излучение звука цилиндрической оболочкой с локальной массой // Акустический журнал. 1988. Т. 34. К0- 5. С. 834-840.

31. Дудник Р.А., Колпаков А.Б. Излучение звука цилиндрической оболочкой с двумя локальными массами // Акустический журнал. 1992. Т. 38. № 6. С. 1108-1111.

32. Журавлева А.А., Иванов B.C., Кирпичников В.Ю. О корнях дисперсионного уравнения изгибных колебаний пластин // Акустический журнал. 1982. Т. 28. JV« 5. С. 645-647.

33. Жучкова М.Г., Коузов Д.П. Прохождение изгибно-гравитационной волны через жесткий задел в плавающей пластине // Прикладная математика и механика. 2002. Т. 66. № 3. С. 457-464.

34. Завадский В.Ю. Дифракция на упругой полупластинке, расположенной на жидком полупространстве. 1 Симпозиум по дифракции волн. Аннотации докладов. Издательство АН СССР. М.: 1960. С. 11-12.

35. Иванов И.В., Красильников В.Н. Отражение изгибно-гравитаци-онных волн от места спая двух ледовых полей. В кн.: Дифракция и излучение волн. Л.: Изд-во ЛГУ, 1965. Т. 4. С. 125-148.

36. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 496 с.

37. Камалов А.З. Собственные колебания цилиндрической оболочки с жесткими днищами. Некоторые вопросы теории пластин и оболочек. Материалы конференции Казанского физико-технического института; май, 1967. Казань: 1967. С. 38-43.

38. Камалов А.З. Колебания жидкости в жесткой трубе с упругими днищами. Труды семинара по теории оболочек. № 1. (КФТИ АН СССР). Казань: 1969. С. 108-120.

39. Камалов А.З. Собственные колебания сжимаемой жидкости в цилиндрической оболочке с упругими днищами. Колебания упругих конструкций с жидкостью. Новосибирск: НЭТИ, 1973. С. 97-107.

40. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. M.-JT.: Физматгиз, 1962. 708 с.

41. Карпинский И.Д., Устинов Ю.А. О критических частотах и модах и их затухании в пластине, лежащей на поверхности сжимаемой жидкости // Известия РАН. Механика твердого тела. 2000. JV® 3. С. 179-187.

42. Кирпичников В.Ю., Савенко В.В. О взаимодействии изгибных и продольных колебаний в бесконечной однородной пластине через акустическую среду // Акустический журнал. 1984 Т. 30. К0- 1. С. 134-137.

43. Клаусон А.В., Мэтсавээр Я.А. Рассеяние звука на цилиндрической продольно-подкрепленной оболочке // Акустический журнал. 1989. Т. 35. № 1. С. 71-75.

44. Кобычкин B.C., Шмаков В.П. Исследование частот колебаний сферической оболочки, заполненной жидкостью // Строительная механика и расчет сооружений. 1969. № 2. С. 49-54.

45. Ковалев В.А. Сращивание асимптотических приближений в задачах рассеяния акустических волн упругой сферической оболочкой // Прикладная математика и механика. 2002. Т. 66. JV9 4. С. 596-606.

46. Комиссарова Г.Л. К решению задачи о распространении волн в цилиндре с жидкостью // Прикладная механика. 1990. Т. 26. JV9 8. С. 25-29.

47. Комиссарова Г.Л. Распространение нормальных волн в заполненных жидкостью цилиндрах j j Прикладная механика. 2002. Т. 38. Ne 1. С. 124-134.

48. Конненков Ю.К. О нормальных волнах при изгибных колебаниях пластинки // Акустический журнал. 1960. Т. 6. № 1. С. 57-64.

49. Конненков Ю.К. К расчету фазовых скоростей нормальных волн изгибных колебаниях упругой полосы // Акустический журнал. 1962. Т. 8. № 2. С. 241-242.

50. Конненков Ю.К. О волнах в вязкой жидкости // Акустический журнал. 1962. Т. 8. № 3. С. 320-324.

51. Конненков Ю.К., Наумкина Н.И., Тартаковский Б.Д. Исследование вынужденных колебаний упругой полосы // Акустический журнал. 1965. Т. 11. № 3. С. 341-350.

52. Коновалюк И.П. Рассеяние акустических волн на тонкой упругой цилиндрической оболочке с ребром жесткости. В кн.: Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: Изд-во ЛГУ, 1978. Т. 16. С. 246-258.

53. Коровкип А.Н., Плахов Д.Д. Дифракция звука иа экране с упругой пластинкой // Акустический журнал. 1973. Т. 29. № 5. С. 720-726.

54. Коузов Д.П. Дифракция плоской гидроакустической волны на стыке двух пластин // Прикладная математика и механика. 1963. Т. 27. JV? 3. С. 541-546.

55. Коузов Д.П. Дифракция плоской гидроакустической волны на трещине в упругой пластине // Прикладная математика и механика. 1963. Т. 27. JT« 6. С. 1037-1043.

56. Коузов Д.П. О низкочастотных движениях тонкого упругого слоя, разделяющего две жидкости. В кн.: Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: Изд-во ЛГУ, 1966. Т. 6. С. 150-179.

57. Коузов Д.П. Дифракция цилиндрической гидроакустической волны на стыке двух полубесконечных пластин // Прикладная математика и механика. 1969. Т. 33. № 2. С. 240-250.

58. Коузов Д.П., Никитин Г.Л., Пачин В.А. О дифракции акустических волн в волноводе, канал которого перекрыт тонкой упругой пластиной // Акустический журнал. 1975. Т. 21. № 1. С. 139-140.

59. Коузов Д.П., Пачин В.А. О дифракции акустических волн в плоском полубесконечном волноводе с упругими стенками // Прикладная математика и механика. 1976. Т. 40. № 1. С. 104-111.

60. Коузов Д.П. Об акустическом поле точечного источника в прямоугольном объеме, ограниченном тонкими упругими стенками // Прикладная математика и механика. 1979. Т. 43. № 2. С. 305-313.

61. Коузов Д.П., Никитин Г.Л. О прохождении акустических волн сквозь тонкую перегородку в цилиндрическом волноводе // Вестник Ленинградского университета. 1984. Xs 4. С. 24-30.

62. Коузов Д.П., Лавров Ю.А., Лукьянов В.Д. О прохождении звука через упругую перегородку, разделяющую прямоугольное помещение на два отсека. Доклады Международной конференции по борьбе с шумом и вибрацией „NOISE-93". Санкт-Петербург. С. 262-265.

63. Коузов Д.П., Лавров Ю.А., Вешев В.А. Гранично-контактные задачи корабельной акустики. Первая Международная конференция и выставка по морским интеллектуальным технологиям. Материалы конференции МорИнТех-95. Санкт-Петербург: 1995. С. 350-354.

64. Коузов Д.П. Рассеяние гравитационной волны на кромке плавающей пластины. Труды XXV-XXVI летних школ „Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем". Санкт-Петербург: ИПМаш, РАН 1998. С. 356-364.

65. Красильников В.Н. Влияние тонкого упругого слоя на распространение звука в жидком полупространстве // Акустический журнал.1960. Т. 6. № 2. С. 220-228.

66. Красильников В.Н. О решении некоторых гранично-контактных задач линейной гидродинамики // Прикладная математика и механика.1961. Т. 25. №4. С. 764-768.

67. Краснопольская Т.С., Подчасов Н.П. Волны в жидкости между двумя коаксиальными цилиндрическими оболочками, индуцированные вибрациями внутреннего цилиндра // Прикладная механика. 1992. Т. 28. № 3. С. 61-70.

68. Лавров Ю.А., Лукьянов В.Д. О матрице рассеяния в волноводе с упругими стенками // Прикладная математика и механика. 1985. Т. 49. № 5. С. 871-875.

69. Лавров Ю.А., Лукьянов В.Д., Никитин Г.Л. О собственных частотах прямоугольного акустического резонатора с упругими стенками // Акустический журнал. 1989. Т. 35. № 2. С. 302-307.

70. Лавров Ю.А. О собственных волнах волновода с упругими стенками // Акустический журнал. 1990. Т. 36. № 2. С. 308-312.

71. Лавров Ю.А. О собственных волнах упругой полосы, покрывающей волноведущий акустический канал прямоугольного сечения // Акустический журнал. 1990. Т. 36. № 4. С. 691-695.

72. Лавров Ю.А. О собственных частотах прямоугольного акустического резонатора с упругой перегородкой. Проблемы математического моделирования и разработки САПР для судостроения: Сборник научных трудов. Л.: ЛКИ, 1990. С. 50-55.

73. Лавров Ю.А. О собственных частотах цилиндрического акустического резонатора с упругими торцевыми стенками // Прикладная механика. 1991. Т. 27 (37). № 4. С. 53-59.

74. Лавров Ю.А. О собственных частотах цилиндрического акустического резонатора с упругой цилиндрической и жесткими торцевыми стенками // Акустический журнал. 1997. Т. 43. № 3. С. 425-428.

75. Лавров Ю.А. О влиянии продольных колебаний упругой стенки на собственные частоты прямоугольного акустического резонатора // Акустический журнал. 1998. Т. 44. № 4. С. 396-400.

76. Лавров Ю.А. О гравитационных колебаниях жидкости, заполняющей цилиндрический контейнер с упругой крышкой. Труды международной конференции „Численные и аналитические методы расчета конструкций". Самара: СГАСА, 1998. С. 104-108.

77. Лавров Ю.А., Лукьянов В.Д. О собственных частотах акустического резонатора секториальной формы с упругой круговой стенкой. 3-я Международная конференция по морским интеллектуальным технологиям. Сборник докладов, 1999, Т. 2. С. 230-233.

78. Лавров Ю.А. О частотах свободных акустических колебаний в жидкости, разделяющей жесткую и упругую цилиндрические стенки конечной длины // Записки научных семинаров ПОМИ. Математические вопросы теории распространения волн, 31. 2002. Т. 285. С. 117-123.

79. Лавров Ю.А., Лукьянов В.Д. О частотах свободных колебаний усеченного шарового сектора, покрытого тонкой упругой сферической оболочкой // Записки научных семинаров ПОМИ. Математические вопросы теории распространения волн, 31. 2002. Т. 285. С. 124-134.

80. Лавров Ю.А., Лукьянов В.Д. Собственные колебания сосуда с жидкостью в форме шарового сектора // Акустический журнал. 2002. Т. 48. № 6. С. 799-804.

81. Лавров Ю.А. Об эффекте понижения частоты свободных колебаний акустического резонатора, имеющего форму усеченного сектора, присближении его круговых стенок // Вестник Санкт-Петербургского университета. 2002. Серия 1. Вып. 4. № 25. С. 63-67.

82. Лаке П., Филлипс Р. Теория рассеяния. М.: Мир, 1971. 312 с.

83. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: ГИТТЛ, 1953. 784 с.

84. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика (в 9-ти томах). Т. 7. Теория упругости. М.: Наука, 1965. 203 с.

85. Левицкий Л.А. О распространении звуковых волн в плоском волноводе с тонкими упругими стенками, помещенном в жидкую среду // Акустический журнал. 1980. Т. 26. № 1. С. 112-121.

86. Левицкий Л.А. О дифракции звука на сочленении двух волноводов // Акустический журнал. 1987. Т. 33. № 1. С. 66-71.

87. Лейбепзон Л.С. О натуральных периодах колебания плотины, подпирающей реку. Сборник трудов. Т. 1. Теория упругости. М.: Издательство АН СССР, 1951. С. 157-161.

88. Лепендин Л.Ф. Акустика. М.: Высшая школа, 1978. 448 с.

89. Лукьянов В.Д. Об уравнении для собственных частот резонаторов с кусочно-однородными стенками // Журнал технической физики. 1985. Т. 35. № 5. С. 969-972.

90. Лукьянов В.Д., Никитин Г.Л. Рассеяние акустических волн на упругой пластине, разделяющей две различные жидкости в волноводе // Акустический журнал. 1990. Т. 36. № 1. С. 68-75.

91. Лукьянов В.Д., Никитин Г.Л. О резонансном рассеянии нормальных волн мембраной в акустическом волноводе // Акустический журнал. 1996. Т. 42. № 5. С. 653-660.

92. Любимов В.М. Осесимметричные колебания газа в цилиндрической полости с учетом упругости ее торцевой стенки // Инженерный журнал. 1965. Т. 5. № 4. С. 691-696.

93. Лямшев Л.М. Дифракция звука на тонкой ограниченной пластинке в жидкости // Акустический журнал. 1955. Т. 1. № 2. С. 138-143.

94. Лямшев Л.М. Отражение звука тонкими пластинками и оболочками в жидкости. М.: Изд-во АН СССР, 1955. 73 с.

95. Лямшев Л.М. Дифракция звука тонким ограниченным стержнем // Акустический журнал. 1958. Т. 4. К0- 1. С. 51-58.

96. Лямшев Л.М. Дифракция звука на тонкой ограниченной упругой цилиндрической оболочке // Доклады АН СССР. 1957. Т. 115. № 2. С. 271-273.

97. Малюжинец Г.Д. Точное решение задачи о дифракции плоских звуковых волн на полубесконечной упругой пластине. 4 Всесоюзная Акустическая конференция. Рефераты докладов. М.: Издательство АН СССР, 1958. С. 45.

98. Малюжинец Г.Д., Тужилин А.А. Дифракция плоской звуковой волны на тонкой полубесконечпой упругой пластине // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1970. Т. 10. JV2 5. С. 1210-1227.

99. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т. 1. М.: Наука, 1967. 486 с.

100. Марченко А.В. Дифракция поверхностных волн на трещине в ледяном покрове // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1993. № 2. С. 93-102.

101. Марченко А.В. Собственные колебания гряды торосов в упругом ледяном покрове, плавающем на поверхности бесконечно глубокойжидкости // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1995. № 6. С. 99-105.

102. Меркулов Л.Г. Затухание нормальных волн в пластинах, находящихся в жидкости // Акустический журнал. 1964. Т. 10. № 2. С. 206-212.

103. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М.: Мир, 1974. 328 с.

104. Морз Ф. Колебания и звук. М.: Наука, 1973. 496 с.

105. Никифоров А.С. Излучение пластины конечных размеров при произвольных граничных условиях // Акустический журнал. 1964. Т. 10. № 2. С. 218-223.

106. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. М.: Издательство иностранной литературы, 1962. 279 с.

107. Пожалостин А.А., Паншина А.В., Черный Г.П. Свободные осесим-метричные колебания упругих соосных цилиндрических оболочек с жидкостью. М.: МГТУ, 2000. Деп. в ВИНИТИ 31.01.2000. № 229-В00.

108. Ржевкин С.Н. Резонансный звукопоглотитель с податливой стенкой // Журнал технической физики. 1946. Т. 16. К0- 4. С. 381-394.

109. Самойлов Е.А., Павлов B.C. Колебания полусферической оболочки, заполненной жидкостью // Известия ВУЗов. Авиационная техника. 1964. Т. 7. № 3. С. 73-86

110. Сивак В.Ф. Экспериментальное исследование резонансных и дисси-пативных свойств стеклопластиковой цилиндрической оболочки, наполненной жидкостью // Прикладная механика. 1998. Т. 34. N9 2. С. 39-42.

111. Скучик Е. Основы акустики. Т. 2. М.: Мир, 1976. 542 с.

112. Слабкий JI.И. Собственные колебания замкнутой круговой цилиндрической оболочки со свободными краями // Известия РАН. Механика твердого тела. 1994. № 2. С. 82-86.

113. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 4. Ч. 2. М.: Наука, 1981. 552 с.

114. Стретт Дж. В. (Лорд Релей) Теория звука. Т. 2. М.: ГИТТЛ, 1955. 476 с.

115. Стурова И.В. Дифракция поверхностных волн на упругой плавающей на мелководье платформе // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. № 1. С. 114-128.

116. Тимошенко С.П., Войповский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. 635 с.

117. Троценко В.А. О возмущенном движении тела, содержащего полость с упругой кольцевой пластинкой // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1975. JV2 4. С. 78-88.

118. Троценко В.А. К исследованию колебаний жидкости в сосуде, поверхность которой ограничена пологой мембраной // Прикладная механика. 1978. Т. 14. № 1. С. 102-110.

119. Троценко В.А. О колебаниях жидкости в сосудах, свободная поверхность которых закрыта мембранной оболочкой из гиперупругого материала // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1980. X2 6. С. 166-177.

120. Филиппов А.П. Колебания цилиндрической оболочки // Прикладная математика и механика. 1937. Т. 1. № 2. С. 177-186.

121. Хейсин Д.Е. Динамика ледяного покрова. Л.: Гидрометеоиздат, 1967. 216 с.

122. Хейсин Д.Е. Волноводное распространение колебаний в плавющей твердой пластине и прилегающем слое сжимаемой жидкости // Акустический журнал. 1970. Т. 16. № 4. С. 584-589.

123. Хенл X., Мауэ М., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964. 428 с.

124. Шендеров ЕЛ. Волновые задачи гидроакустики. JL: Судостроение, 1972. 348 с.

125. Шендеров E.J1. О решениях уравнения Гельмгольца, соответствующих кратным корням дисперсионного уравнения для волновода с импедансными стенками // Акустический журнал. 2000. Т. 46. № 3. С. 417-423.

126. Шмаков В.П. Об уравнениях осесимметричных колебаний цилиндрической оболочки с жидким заполнителем // Известия АН СССР. Механика и машиностроение. 1964. JV8 1. С. 170-174.

127. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977. 344 с.

128. Abrahams I.D. Scattering of sound by finite elastic surfaces bounding ducts or cavities near resonance // J. Mech. Appl. Math. 1982. Vol. 35. Pt. 1. P. 91-101.

129. Achong A. Vibrational analysis of mass loaded plates and shallow shells by the receptance method with application to the steeppan // Journal of Sound and Vibration. 1996. Vol. 191. № 2. P. 207-217.

130. Al-Arja O.A., Lavrov Yu.A., Lukyanov V.D. Sound transmission through a thin elastic partition, loaded with mass points, in a rectangular waveguide. International Seminar „Day on Diffraction 2002". Proceedings. Saint-Petersburg, 2002. P. 8-12.

131. Amabili M., Dalpiaz G. Breathing vibrations of a horizontal circular cylindrical tank shell, partially filled with liquid // Transactions of ASME. Journal of Vibration and Acoustics. 1995. Vol. 117. №- 2. P. 187-191.

132. Amabili M. Free vibration of partially filled, horizontal cylindrical shells // Journal of Sound and Vibration. 1996. Vol. 191. № 5. P. 757-780.

133. Amabili M., Frosali G., Kwak M.K. Free vibrations of annular plates coupled with fluids // Journal of Sound and Vibration. 1996. Vol. 191. № 5. P. 825-846.

134. Amabili M. Shell-plate interaction in the free vibrations of circular cylindrical tanks partially filled with a liquid: The artifical spring method // Journal of Sound and Vibration. 1997. Vol. 199. № 3. P. 431-452.

135. Bai M.R., Wu K. Free vibrations of a thin spherical shell containing a compressible fluid // Journal of the Acoustical Society of America. 1994. Vol. 95. № 6. P. 3300-3310.

136. Baker W.E. Axisymmetric modes of vibration of thin spherical shell // Journal of the Acoustical Society of America. 1961. Vol. 33. № 12. P. 1749-1758.

137. Baran M.L., Skalar R. Flree vibrations of fluid-filled cylindrical shell // Journal of the Engineering Mechanics Division. 1962. Vol. 88. К0- EM3. Pt. 1. P. 17-43.

138. Bentwich M. Free and forced vibrations of a membrane in contact with air // Acustica. 1962. Vol. 12. № 3. P. 366-369.

139. Beranek L. Noise and Vibration Control. Mc. Graw Hill, 1971.

140. Berezin V.L., Kossovich L.Yu., Kaplunov J.D. Synthesis of the dispersion curves for a cylindrical shell on the basis of approximate theories // Journal of Sound and Vibration. 1995. Vol. 186. № 1. P. 37-53.

141. Cheng L., Nicolas J. Free vibration analysis of a circular shell circular plate system with general coupling and various boundary conditions // Journal of Sound and Vibration. 1992. Vol. 155. № 2. P. 231-247.

142. Cheng L. Fluid-structural coupling of a plate-ended cylindrical shell: vibration and integral sound field // Journal of Sound and Vibration. 1994. Vol. 174. № 5. P. 641-654.

143. Chiba M. Axisymmetric free hydroelastic vibration of a flexural bottomЩplate in a cylindrical tank supported on an elastic foundation // Journal of Sound and Vibration. 1994. Vol. 169. № 3. P. 387-394.

144. Chu W.-H. Breathing vibrations of a partially filled cylibndrical tank linear theory // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1963. Vol. 30. № 4. P. 532-536.

145. Chu W.-H., Gonzales R. Supplement to breathing vibrations of a partially filled cylibndrical tank linear theory // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1964. Vol. 31. № 4. P. 722-723.

146. Cohen H., Handelman G. On the Vibration of a Circular Membrane with Added Mass // Journal of the Acoustical Society of America. 1957. Vol. 29. № 2. P. 229-233.

147. De S. Vibration of kettledrum // Journal of the Acoustical Society of America. 1972. Vol. 51. 5 7. Pt. 2. P. 1768-1770.

148. Dubbelday P.S., Rudgers A.J. An analysis of effective shear modulus for flexural and extensional waves and its application to reflection of sound by a plate // Journal of the Acoustical Society of America. 1981. Vol. 70. № 2. P. 603-614.

149. Dubbelday P.S. Applications of a new complex root-finding technique to dispersion relations for elastic waves in fluid-loaded plate // SIAM

150. Journal of Applied Mathematics. 1983. Vol. 43. № 5. P. 1127-1139.

151. Dubbelday P.S. Constrained-layer damping analysis for extensional waves in infinite, fluid-loaded plates // Journal of the Acoustical Society of America. 1993. Vol. 93. № 4. P. 1927-1935.

152. Dziado F.J., Hoppmann W.H., II. Flexural vibration of circularly stiffened circular plates with consideration of rotatory inertia // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1967. Vol. 34. № 3. P. 766-768.

153. Engin A.E. Vibrations of fluid-filled spherical shells j j Journal of the Acoustical Society of America. 1969. Vol. 46. № 1. Pt. 2. P. 186-190.

154. Fay R.D. Interaction between a plate and a sound field // Journal of the Acoustical Society of America. 1948. Vol. 20. № 5. P. 620-625.

155. Feit D. Pressure radiated by a point-excited elastic plate // Journal of the Acoustical Society of America. 1966. Vol. 40. № 6. P. 1489-1494.

156. Finney M.J. Reflection of sound from submerged plates j j Journal of the Acoustical Society of America. 1948. Vol. 20. № 5. P. 626-637.

157. Forsberg K. Influence of boundary conditions on the modal characteristics of thin cylindrical shells // American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal. 1964. Vol. 2. № 12. P. 2150-2157.

158. Fox C., Squire V.A. Reflection and transmission characteristics at the edge of shore fast sea ice // Journal of Geophysic Researches. 1990. Vol. 95. № C7. P. 11629-11639.

159. Fuller C.R., Fahy F.J. Characteristics of wave propagation in cylindrical elastic shells filled with fluid // Journal of Sound and Vibration. 1982. Vol. 81. № 1. P. 501-518.

160. Fuller C.R. The input mobility of an infinite circular cylindrical shell filled with fluid // Journal of Sound and Vibration. 1983. Vol. 87. № 1. P. 409-427.

161. Gardner S., Lindenmann O. Resonant frequency of a fluid-loaded circular plate in the second symmetrical mode // Journal of the Acoustical Society of America. 1969. Vol. 46. № 1. Pt. 1. P. 108.

162. Garrett C.J.R. On cross-waves // Journal of Fluid Mechanics. 1970. Vol. 41. № 4. P. 837-849.

163. Gringhton D.G. The free waves on an infinite thin fluid-loaded elastic plate // Journal of the Acoustical Society of America. 1978. Vol. 63. Suppl. 1. P. S9.

164. Gringhton D.G. The free and the forced waves on a fluid-loaded elastic plate // Journal of Sound and Vibration. 1979. Vol. 63. K°- 2. P. 225-235.

165. Gringhton D.G. Approximations to the admittances and free wave numbers of fluid-loaded panels // Journal of Sound and Vibration. 1980. Vol. 68. № 1. P. 15-33.

166. Guo Y.P. Sound scattering from cylindrical shells with internal elastic plates // Journal of the Acoustical Society of America. 1993. Vol. 93. JV2 4. P. 1936-1946.

167. Guo Y.P. Approximate solutions of the dispersion equation for fluid-loaded cylindrical shells // Journal of the Acoustical Society of America. 1994. Vol. 95. № 3. P. 1435-1440.

168. Gupta R.K., Hutchinson G.L. Free vibration analysis of liquid storage tank // Journal of Sound and Vibration. 1988. Vol. 122. № 3. P. 491-506.

169. Gupta R.K. Free vibrations of cylindrical containers // Journal of Sound and Vibration. 1995. Vol. 180. № 3. P. 387-395.

170. Shock and vibration handbook. Edited by Harris C.M., Crede C.E. New-York, Mc. Graw Hill, 1976. 1211 p.

171. Hassan W., Nagy P.B. On the low-frequency oscillation of a fluid layer between two elastic plates // Journal of the Acoustical Society of America. 1997. Vol. 102. P. 3343-3348.

172. Hoff N.J., Brooklyn N.Y. The accuracy of Donnels's equations // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1955. Vol. 22. № 3. P. 329-334.

173. Hutchinson J.R. Axisymmetric flexural vibrations of a thick free circular plate // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1979. Vol. 46. № 1. P. 139-144.

174. Hwang C. Longitudinal sloshing of liquid in a flexible hemispherical tank // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1965. Vol. 32. № 3. P. 665-670.

175. Irie Т., Yamada G., Kitayama M. Vibration and stability of a circular plate of undirectionally varying thickness // Journal of Sound and Vibration. 1983. Vol. 90. № 1. P. 81-91.

176. Koplik В., Yu Y.-Y. Axisymmetric Vibrations of Homogeneous and Sandwich Spherical Caps // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1967. Vol. 34. № 3. P. 667-673.

177. Koplik В., Yu Y.-Y. Approximate Solutions for Frequencies of Axisymmetric Vibrations of Spherical Caps // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1967. Vol. 34. № 3. P. 785-787.

178. Kouzov D.P., Lavrov Yu.A. On effect of natural frequency reduction in acoustical resonator at the approaching closely of its elastic walls. International Conference on Asymptotics in mechanics, AiM '96. Proceedings. Saint-Petersburg, 1996. P. 129-136.

179. Kouzov D.P., Lavrov Yu.A., Veshev V.A. Boundary-contact problems of acoustics. Труды XXIV школы-семинара „Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем". Санкт-Петербург: ИПМаш РАН, 1997. С. 159-184.

180. Kraus Н. Thin Elastic Shells. Wiley. New-York, 1967. P. 59-65.

181. Lamb H. On the vibrations of an elastic plate in contact with water // Proceedings of the Royal Society. London. 1921. Vol. 98. K°- 690. P. 205216.

182. Lamb G.L. Diffraction of a plane sound wave by a semi-infinite thin elastic plate // Journal of the Acoustical Society of America. 1959. Vol. 31. № 7. P. 929-935.

183. Lavrov Y.A., Lukyanov V.D. On natural frequencies of the rectangular acoustic resonator with piecewise-homogeneous elastic wall. International Seminar „Day on Diffraction 2001". Proceedings. Saint-Petersburg, 2001. P. 157-161.

184. Lavrov Yu.A. On free oscillations of an annular acoustical resonator with elastic face walls. International Seminar „Day on Diffraction 2002". Proceedings. Saint-Petersburg, 2002. P. 88-93.

185. Leissa A.W., Narita Y. Natural frequencies of simply supported circular plates // Journal of Sound and Vibration. 1980. Vol. 70. № 1. P. 221-229.

186. Lin T.C., Morgan G.W. A study of axisymmetric vibrations of cylindrical shells as affected by rotatory inertia and transverse shear // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1956. Vol. 23, N2 2. P. 255-261.

187. Lindholm U.S., Kana D.D., H. Abramson H.N. Breathing vibrations of a circular cylindrical shell with an internal liquid // Journal of the Aerospace Sciences. 1962. Vol. 29. K°- 9. P. 1052-1059.ч

188. Liu А.К., Hakkinen S., Peng C.Y. Wave effects in ocean-ice interaction in the marginal ice zones // Journal of Geophysic Researches. 1993. Vol. 98. № Сб. P. 10025-10036.

189. Low Y.K., Su T.C. Free oscillations of submerged spherical shells // Journal of the Acoustical Society of America. 1978. Vol. 63. JV2 5. P. 1402-1408.

190. Low K.H., Chai G.B., Tan G.S. A comparative study of vibrating loadedГplates between the Rayleigh-Ritz and experimental methods // Journal of Sound and Vibration. 1997. Vol. 199. № 2. P. 285-297.

191. Lowenthal S. Etude theoretique et experimental de l'interaction entre une plaque elastique plane et son rayonnement acoustique // Annales de Jladioelictricite. 1964. Vol. 19. P. 183-231.

192. Marchenko A.V. Resonance excitation of waves in the ice channel // Bull. Russ. Acad. Sci. Physics/Supplement. Physics of Vibrations. 1996. Vol. 60. № 1. C. 1-12.

193. Mexiner J. The behavior of electromagnetic fields at edges. Tech. Rpt. EM-72. New-York.: Inst. Math. Sci., New-York University, 1954.

194. Mindlin R.D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1951. Vol. 18. № 1. P. 31-38.

195. Mistry J., Menezes J.C. Vibrations of cylinders partially-filled with1.liquids // Transactions of ASME. Journal of Vibration and Acoustics. 1995. Vol. 117. № 1. P. 87-93.

196. Naghdi P.M., Kalnins A. On vibrations of elastic spherical shells // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1962. Vol. 29. № 1. P. 65-72.

197. Nau R.W., Simmonds J.G. Calculation of the low natural frequencies of clamped cylindrical shells by asymptotic methods // International Journal of Solids and Structures. 1973. Vol. 9. № 4. P. 591-605.

198. Olson C.W. Resonant frequency of a water-loaded circular plate // Journal of the Acoustical Society of America. 1960. Vol. 32. № 3. P. 408.

199. Peake W.H., Thurston E.C. Lowest resonant frequency of a water-loaded circular plate // Journal of the Acoustical Society of America. 1962. Vol. 29. № 2. P. 166-168.

200. Piericci M., Graham T.S. Unusual characteristics of free bending waves in thick plates with fluid loading // Journal of the Acoustical Society of America. 1977. Vol. 62. Suppl. 1. P. 84.

201. Piericci M., Graham T.S. A study of bending waves in fluid-loaded thick plates // Journal of the Acoustical Society of America. 1979. Vol. 65. JV2 5. P. 1190-1197.

202. Pierucci M. Additional solution to the free bending waves of a fluid-loaded thick plate // Journal of the Acoustical Society of America. 1981. Vol. 70. № 3. P. 866-869.

203. Pretlove A.J. Free vibrations of a rectangular panel backed by a closed rectangular cavity // Journal of Sound and Vibration. 1965. Vol. 2. JVa 3. P. 197-209.

204. Press F., Ewing M. Propagation of elastic waves in a floating ice sheet // Journal of Transactions of American Geophisical Union. 1951. Vol. 32. № 5. P. 673-678.

205. Rajalingham C., Bhat R.B., Xistris G.D. Natural vibration of a cavity backed rectangular plate using a receptor-rejector system model // Transactions of ASME. Journal of Vibration and Acoustics. 1995. Vol. 117. № 4. P. 416-423.

206. Rand R., DiMaggio F. Vibrations of fluid-filled spherical and spheroidal shells // Journal of the Acoustical Society of America. 1967. Vol. 42. № 6. R 1278-1286.

207. Reismann H. Forced vibrations of a circular plate // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1959. Vol. 26. 4. R 526-527.

208. Rish R.F. The roots of Flugge's cylindrical shell equation // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1968. Vol. 35. № 2. P. 172-173.

209. Romilly N. Transmission of sound through a stretched ideal membrane // Journal of the Acoustical Society of America. 1964. Vol. 36. № 6. P. 1104-1109.

210. Romilly N. Sound transmission through a thin plate under tension // Acustica. 1969/1970. Vol. 22. JV® 3. P. 183-186.

211. Romilly N. Exact solution for guided sound transmission through a double partition // Journal of Sound and Vibration. 1976. Vol. 48. № 2. P. 243-249.

212. Ross E.W., Jr. Natural frequencies and mode shapes for axisymmetric vibration of deep spherical shells // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1965. Vol. 32. № 3. P. 553-561.

213. Russel Easter J., Torvik P.J. Pressure distribution in a fluid layer bounded by elastic plates // Journal of the Acoustical Society of America. 1973. Vol. 54. № 4. P. 1045-1051.

214. Schoch A. Zum Einflufl der seitlichen Begreuzung auf die Schalldurchlassigkeit einfacher wande // Acustica. 1954. Vol. 4. № 1. P. 288-290.

215. Scott J.F.M. The free modes of propagation of an infinite fluid-loaded thin cylindrical shells j j Journal of Sound and Vibration. 1988. Vol. 125. № 2. P. 241-280.

216. Sharma C.B., Johns D.J. Vibration characteristics of a clamped-free and clamped-ring-stiffened circular cylindrical shell // Journal of Sound and Vibration. 1971. Vol. 32. № 3. P. 459-474.

217. Sharma C.B. Calculation of natural frequencies of fixed-free circular cylindrical shells // Journal of Sound and Vibration. 1974. Vol. 35. JV9 1. P. 55-76.

218. Sharma C.B. Vibration characteristics of thin circular cylinders // Journal of Sound and Vibration. 1979. Vol. 63. № 4. P. 581-592.

219. Shayo L.K., Ellen C.H. A simple approximate expression for the natural frequencies of circular cross-section cantilever pipes // Journal of Sound and Vibration. 1978. Vol. 56. № 4. P. 582-585.

220. Silbiger A. Nonaxisymmetric modes of vibrations of thin spherical shells // Journal of the Acoustical Society of America. 1962. Vol. 34. № 5. P. 862-871.

221. Singh A.V., Mirza S. Free axisymmetric vibration of a circular plate elastically supported along two concentric circles // Journal of Sound and Vibration. 1976. Vol. 48. № 3. P. 425-429.

222. Smith B.L, Natural frequencies of clamped cylindrical shells // American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal. 1968. Vol. 6. № 4. P. 720-721.

223. Stepanishen P.R. Influence of rotary inertia and shear deformation on acoustic transmission through a plate // Journal of the Acoustical Society of America. 1975. Vol. 58. № 6. P. 741-745.

224. Strawderman W.A., Ко S -H., Nuttall A.H. The real roots of the fluid-loaded plate // Journal of the Acoustical Society of America. 1979. Vol. 66. № 2. P. 579-585.

225. Stuart A.D. Acoustic radiation from submerged plates. I. Influence of leaky waves // Journal of the Acoustical Society of America. 1976. Vol. 59. № 5. P. 1160-1169.

226. Stuart A.D. Acoustic radiation from submerged plates. II. Radiated power and damping // Journal of the Acoustical Society of America. 1976. Vol. 59. № 5. P. 1170-1174.

227. Stuart A.D. Fluid-loaded plate: three real roots? // Journal of the Acoustical Society of America. 1977. Vol. 62. Suppl. 1. P. S68.

228. Sundara R.I.K.T., Raman P.V. Free vibrations of circular plates of arbitrary thickness // Journal of the Acoustical Society of America. 1978. Vol. 64. № 4. P. 1088-1092.

229. Suzuki S.-I. Axisymmetric vibrations of reinforced annular circular plates under impulsive loads // Journal of Sound and Vibration. 1979. Vol. 65. № 1. P. 51-60.

230. Swamidas A.S.J., Kunukkaseril V.X. Vibration of circular double-plate system // Journal of the Acoustical Society of America. 1978. Vol. 63. № 6. P. 1832-1840.

231. Tomotika S. On the transverse vibration of a square plate with four clamped edges. Report Aeron. Res. Inst. Tokyo Imp. Univ. 1935. Vol. 10. P. 299-328.

232. Utsumi M. Low-gravity sloshing in an axisymmetrical container excited in the axial direction // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 2000. Vol. 67. № 2. P. 344-354.щ

233. Vogel S.M., Skinner D.W. Natural frequencies of transversely vibrating uniform annular plates // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1965. Vol. 32, № 6. P. 926-931.

234. Vronay D.F., Smith B.L. Free vibration of circular cylindrical shells of finite length // American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal. 1970. Vol. 8. № 3. P. 601-603.

235. Warburton G.B., Higgs J. Natural frequencies of thin cantilever cylindrical shells // Journal of Sound and Vibration. 1970. Vol. 42. № 2. P. 335-338.

236. Weisensel G.N. Natural frequency information for circular and annular plates // Journal of Sound and Vibration. 1989. Vol. 133. № 1. P. 129-134.

237. Wilkinson J.P., Kalnins A. On nonsymmetric dynamic problems of elastic spherical shells // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1965. Vol. 32. № 3. P. 525-532.

238. Yoshikawa S. Vibration of two concentric submerged cylindrical shells coupled by the entrained fluid // Journal of the Acoustical Society of Amcrica. 1994. Vol. 95. № 6. P. 3273-3286.

239. Yu Y.-Y. Free vibrations of free cylindrical shells having finite length with freely supported and clamped edges // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1955. Vol. 77, JV« 4. P. 547-552.

240. Yu Y.-Y. Vibrations of free cylindrical shells analyzed by means of Donnel-type equations // Journal of the Aerospace Sciences. 1958. Vol. 25. № 5. P. 699-705.

241. Yuan J., Dickinson S.M. The free vibration of circularly cylindrical shell and plate system // Journal of Sound and Vibration. 1994. Vol. 175. J\"a 2. P. 241-263.

242. Yuji K. Simplified method of axisymmetric fluid-structure coupled vibrations analysis for pressurized tank of rocket // Transactions of Japan Society of Mechanical Engineers. Nihon kikai gakkai ronbunshu. 1999. Vol. 65. № 636. P. 50-57.