Колебания жидкости внутри прямоугольного двигающегося сосуда с упругой вставкой на стенке тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

1 Функционал задачи. Вывод дифференциальных уравнений

2 Поступательное движение сосуда

3 Линейное приближение

4 Нелинейное приближение

5 Решение нелинейной задачи асимптотическим методом

5.1 Нерезонансный случай

5.2 Главный резонанс.

6 Учет сил внутреннего трения в материале упругой вставки

В работе исследуется задача о движении жидкости в сосуде, который совершает заданное движение.

Г. Стоке, по-видимому, одним из первых обратил внимание (18421847) на проблему движения твердого тела, имеющего полости, целиком заполненные жидкостью [88]. Этой проблемой занимались Г. Гельмгольц, Г. Ламб, Ф. Нейман и другие. Первое обстоятельное изучение динамики твердого тела, имеющего полости полностью заполненные однородной несжимаемой жидкостью, в общей постановке было проведено Н.Е. Жуковским (1885, см. [19]).

Наряду с изучением движения тел с полостями, полностью заполненными жидкостью, была поставлена и получила большое развитие задача о движении твердого тела с полостями не полностью наполненными жидкостью. Так, проблеме стоячих волн в ограниченном объеме жидкости со свободной поверхностью внутри неподвижного бассейна одной из первых посвящена работа М.В. Остроградского [52], представленная им Парижской Академии наук в 1826 г.

Развитие теории колебаний жидкости внутри неподвижных и двигающихся как твердых, так и упругих тел стимулировалось появлением разнообразных задач прикладного характера. Сюда относятся и задачи динамики ракет и летательных аппаратов (например, [1, 24, 25, 36, 50, 57, 67, 89, 96]), содержащих жидкое наполнение, и задачи прочностных расчетов резервуаров и емкостей, подвергающихся действию сейсмических нагрузок [76]. Целый ряд подобных задач опубликован в связи с проблемами гидростроительства и теории корабля (например, [35, 42, 43, 44, 60, 61, 78]). При транспортировке жидкостных грузов жидкость может оказывать большое влияние на динамические характеристики несущей конструкции (цистерны, отсека судна) (например, [15, 16, 20, 32, 92, 94]). Наличие жидкости в некоторых случаях может послужить причиной возникновения в системе параметрических колебаний и динамической неустойчивости, вплоть до повреждения конструкции [79]. Таким образом, в разных странах мира появилось много исследований, посвященных различным аспектам динамики тела с жидкостью.

Задачам динамики твердых тел с полостями, содержащими идеальную или вязкую жидкость, посвящено большое число публикаций, основополагающими из которых можно считать работы Н.Е. Жуковского [19] (1885), И.А. Луковского [33] (1990), Г.Н. Микишева и Б.И. Рабиновича [37] (1968), H.H. Моисеева и A.A. Петрова [46] (1966), H.H. Моисеева и В.В. Румянцева [47] (1965), Г.С. Нариманова [48, 49] (1956, 1957), Д.Е. Охоцимского [53] (1956), В.П. Шмакова [68] (1964), Ф.Л. Черноусько [71] (1969).

Задачи колебаний упругих тел и оболочек, частично заполненных несжимаемой и сжимаемой жидкостью, содержатся в работах А.Г. Горшкова, В.И. Морозова, А.Т. Пономарева, Ф.Н. Шклярчук [15] (2000), М.А. Ильгамова [21] (1969), Г.Н. Микишева и Б.И. Рабиновича [38] (1971), А.Л. Попова [54] (1992), И.М. Рапопорт [58, 59] (1966, 1967). Подобные задачи формулируются в виде дифференциальных уравнений или в виде вариационных принципов.

По данной тематике среди англоязычных авторов отметим работы следующих исследователей: T.J. Bridges [75] (1985), M. Chiba [76] (1996), G.H. Keulegan [82] (1959), J.W. Miles [84] (1967), R. Ohayon [85] (2001), F. Solaas [87] (1995), O.M. Faltinsen, O.F. Rognebakke [93, 94, 95] (1999, 2000), H.N. Abramson [96] (1966).

Проводились исследования и о влиянии упругих радиальных перегородок или кольцевых и радиальных ребер внутри двигающихся цилиндрических полостей, содержащих идеальную или вязкую жидкость [3, 34, 62, 63]. Утверждается, что влияние упругих перегородок сводится к уменьшению резонансного пика колебаний жидкости и подобные демпферы являются эффективным средством ограничения подвижности жидкости.

Работа автора посвящена изучению волнового безвихревого движения идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью внутри подвижного жесткого прямоугольного сосуда, одна из стенок которого содержит упругую вставку. В ней показано, что упругая

часть одной из стенок сосуда будет уменьшать максимальную амплитуду свободной поверхности жидкости. Проведены расчеты для случая сосуда с жесткими стенками и для сосуда, одна стенка которого имеет упругую вставку для разных частот вынужденных колебаний сосуда, в том числе, когда частота вынужденных колебаний сосуда находится вблизи первой собственной частоты колебаний жидкости.

Как отмечается в [11] исследование колебаний жидкости со свободной поверхностью в подвижном или неподвижном жестком сосуде на основе нелинейных уравнений представляет сложную задачу математической физики. Основная сложность состоит в том, что граничные условия задаются на неизвестной изменяющейся свободной поверхности жидкости. Постановка задачи для сосуда с упругой вставкой такова, что возникают две свободные границы — свободная поверхность жидкости и прогиб упругой вставки.

Цель работы состоит в решении плоской задачи о колебаниях идеальной несжимаемой жидкости внутри двигающегося прямоугольного сосуда с упругой вставкой на стенке и сравнение с колебаниями жидкости внутри сосуда без вставки. Рассматривались следующие задачи а), определить кинематические характеристики свободной поверхности жидкости, находящейся внутри двигающегося прямоугольного сосуда с упругой вставкой; б), определить для двигающегося сосуда взаимное влияние кинематических характеристик упругой вставки и свободной поверхности; в), сравнить результаты, полученные в линейной и нелинейной математических моделях для сосуда с упругой вставкой при его поступательном прямолинейном, колебательном движении; г), показать результативность асимптотического метода применительно к нелинейной модели; д). исследовать влияние внутреннего трения в материале упругой вставки.

В первой главе диссертации приведен функционал для задачи о движении идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью внутри прямоугольного сосуда с упругой вставкой, совершающего заданное поступательное движение. Данный функционал является расширением функционала Бейтмана-Льюка, используемого в работах [20, 33, 74, 83, 95]. Далее в результате варьирования функционала получены дифференциальные нелинейные уравнения задачи, включая кинематические и динамические условия на свободной поверхности жидкости и на упругой вставке.

Во второй главе рассматриваются дифференциальные уравнения задачи для поступательного движения сосуда. Введен малый параметр е. Кинематические и динамические условия на свободной поверхности жидкости и упругой поверхности вставки снесены на недефор-мированные начальные поверхности. Приведены уравнения линейного приближения и нелинейного приближения с точностью до г2.

Третья глава посвящена разбору линейной задачи, которая записывается в безразмерном виде. Применяется метод Бубнова-Галеркина. Определены координатные функции задачи. Предложен метод для нахождения волновых чисел, численные значения которых приведены для конкретных параметров сосуда и жидкости. При решении задачи используется первая форма колебаний системы. Кинематическое условие на упругой вставке и условие сохранения объема жидкости в сосуде — условия связи, наложенные на систему. Введены множители Лагранжа. Выписано решение для нулевых начальных условий. Даны аналитические выражения для определения свободной поверхности жидкости, потенциала скоростей и прогиба упругой вставки.

В четвертой главе представлен анализ нелинейной задачи первого приближения. Приведены уравнения для обобщенных координат системы. С помощью множителей Лагранжа введены условия связи — нелинейные кинематическое условие на упругой поверхности и условие сохранения объема жидкости в сосуде. Полученная система решена численно. Приведены графики свободной поверхности жидкости.

Пятая глава посвящена решению нелинейной задачи асимптотическим методом. В первой части главы рассматривается нерезонансный случай. Решение проведено в двух вариантах: с линейными условиями связи (Ъ2з = 0) и с нелинейной связью (62з ф 0). Во второй части пятой главы приведено исследование главного резонанса системы асимптотическим методом. Разобраны также два варианта Ьгз = 0 и Ь2з Ф 0.

В шестой главе вводится внутреннее трение в материале упругой вставки. Рассматриваются линейный и нелинейный варианты задачи. Нелинейный случай исследуется при резонансе асимптотическим методом. Получено периодическое решение, которое сравнивается с численным решением.

В заключении приведены основные результаты работы.

Результаты, выносимые на защиту

• Для задачи о колебаниях идеальной несжимаемой жидкости в двигающемся сосуде определен функционал, который является расширением функционала Бейтмана-Льюка.

• Получена система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая задачу с двумя свободными границами (возвышением свободной поверхности жидкости и прогибом упругой вставки). Для этой задачи введены координатные функции.

• Для линейного и нелинейного приближений определены кинематические характеристики свободных поверхностей. В нелинейном случае использованы асимптотический и численный методы для нерезонансной области частот и вблизи главного резонанса системы.

• Представленный в работе функционал был применен для получения решения прямым методом Л. В. Канторовича.

• Исследована математическая модель, в которой учитывается внутреннее трение в материале упругой вставки на стенке.

Заключение

В заключении сформулируем основные результаты работы.

• В работе предложен функционал для задачи о колебаниях идеальной несжимаемой жидкости в двигающемся прямоугольном сосуде с упругой вставкой на стенке. Предложенный функционал является расширением функционала Бейтмана-Льюка [33, 74, 83, 95]. Функционал Бейтмана-Льюка обслуживает задачу о колебаниях идеальной несжимаемой жидкости в твердом сосуде, в то время как введенный функционал расширяет область изучаемых объектов на сосуды с упругой вставкой на стенке.

• В результате варьирования введенного функционала, получена система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно возвышения свободной поверхности, потенциала скоростей жидкости, прогиба упругой вставки. В этих уравнениях положение свободной поверхности жидкости и положение поверхности упругой вставки неизвестны (задача с двумя свободными границами).

• Введен малый параметр е. Нелинейные условия на неизвестных свободных поверхностях снесены на недеформируемые начальные поверхности. Приведены системы дифференциальных уравнений в частных производных задачи о прямоугольном сосуде двигающемся поступательно и по периодическому закону в линейной постановке и нелинейной постановке с точностью до е2.

• Исследован линейный вариант задачи. Определены координатные функции в задаче с двумя свободными границами. Показано, что выбранные таким способом координатные функции ортогональны.

• Предложен метод определения волновых чисел, численные значения которых приведены для конкретных данных сосуда и жидкости.

Получены уравнения относительно обобщенных координат, для нахождения которых применяется процедура метода Бубнова-Га-леркина.

Рассмотрен случай первой формы колебаний системы "прямоугольный сосуд-жидкость", когда у свободной поверхности, у потенциала скоростей, у прогиба упругой вставки берется первая координатная форма. Кинематическое условие на упругой вставке и условие сохранения объема жидкости в сосуде — условия связи, наложенные на систему. Введены множители Лагранжа. Полученная система записана в матричном виде. Ранг матрицы системы четырех дифференциальных упавнений равен двум. Выписано решение для нулевых начальных условий. Даны аналитические выражения для определения свободной поверхности жидкости, потенциала скоростей и прогиба упругой вставки.

Результаты решения линейной задачи иллюстрируются графиками свободной поверхности жидкости, прогиба упругой вставки в разные моменты времени, а также в фиксированной точке с течением времени. Аналогичным в работе способом получено также решение для твердого сосуда. Проведено сравнение. Отмечается, что амплитуда свободной поверхности в задаче о сосуде с упругой вставкой меньше, чем у твердого сосуда. Неподвижная точка на свободной поверхности в задаче о сосуде с упругой вставкой смещена от положения неподвижной точки для твердого сосуда в сторону упругой вставки.

Исследована нелинейная задача с точностью до е2. Выписаны дифференциальные уравнения в безразмерном виде. Приведены уравнения для обобщенных координат. С помощью множителей Лагранжа введены условия связи — нелинейные кинематическое условие на упругой поверхности и условие сохранения объема жидкости в сосуде. Полученная система решена численно.

Проведено решение нелинейной задачи асимптотическим методом в нерезонансном случае. Решение дано в двух вариантах. Первый вариант нелинейной задачи связан с голономными условиями связи (условие Ь2з = 0). Второй вариант соответствует условию

23 Ф 0. Даны аналитические выражения для определения свободной поверхности жидкости, потенциала скоростей и прогиба упругой вставки.

• При определении дифференциальных уравнений для обобщенных координат использован прямой метод Л.В. Канторовича. Полученное решение сравнивалось с решением задачи о сосуде с твердыми стенками, приведенное в работе [95]. Указывается, что частоты колебаний свободной поверхности у сосуда с упругой вставкой и у твердого сосуда визуально одинаковы, возникают характерные биения, максимальная амплитуда колебаний свободной поверхности жидкости в сосуде с твердыми стенками больше, чем в сосуде с упругой вставкой с заданными параметрами.

• Отдельно учитывается внутреннее трение в материале упругой вставки на стенке. Разбираются линейный и нелинейный варианты задачи. Для линейного варианта получены классические дифференциальные уравнения с учетом сопротивления. Нелинейный вариант разобран, когда система находится в частотной области вблизи главного резонанса. Применяется асимптотический и численный методы. Полученное решение сравнивается с решением без учета внутреннего трения. Решение, полученное асимптотическим методом с учетом внутреннего трения дает амплитуду меньшую, чем решение, полученное без учета трения.

1. Абгарян К.А., Рапопорт И.М. Динамика ракет. М. 1969. 378 с.

2. Алешков Ю.З. Течение и волны в океане, С. Петербург, Изд. С. Петерб. унив. 1996. 228 с.

3. Аминов В.Р., Мельникова И.М. Демпфирование колебаний жидкости в цилиндрической полости упругими радиальными перегородками. Сборник докладов III симпозиума "Колебания упругих конструкций с жидкостью", 1976.

4. Асимптотические методы в примерах и задачах. С. Петербург, Изд. С. Петерб. унив. 1997. 275 с.

5. Бабаков И.М. Теория колебаний. М. 1958, 628 с.

6. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М. 1983. 447 с.

7. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.Л. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., 1958. 408 с.

8. Богоряд И.Б., Дружинин И.А., Дружинина Г.З., Либин Э.Е. Введение в динамику сосудов с жидкостью. Томск. 1977. 144 с.

9. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М. 1981.

10. Вариационные методы в задачах о колебании жидкости и тела с жидкостью. Сборник статей. М. 1962. 247 с.

11. Вибрации в технике: справочник. Т. 2. М. 1979.

12. Вибрации в технике: справочник. Т. 6. Защита от вибрации и ударов. М. 1981. 456 с.

13. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М. 1967. 575 с.

14. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарная аэрогидроупругость тел сферической формы. М. 1990. 264 с.

15. Горшков А.Г., Морозов В.И., Пономарев А.Т., Шклярчук Ф.Н. Аэрогидроупругость конструкций. М. 2000. 591 с.

16. Горьков П.Н. Динамическое действие колеблющейся жидкости на цистерны при неполном наливе // Изв. АН СССР, ОТН, N 2, 1954. с. 19-24

17. Ершов Б.А. Переходные процессы в связанных задачах гидроаэроупругости. 2000. 164 с.

18. Ершов Б.А., Кутеева Г.А. Применение вариационного принципа конформных отображений в решении одной динамической задачи гидроупругости // Вестн. С-Петербург. ун-та. Сер.1. 1999. Вып.4 (N 22). С.83-88.

19. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородною капельного жидкостью. В книге: Собрание сочинений. Т. II. М.-Л. 1949.

20. Золотенко Г.Ф. К динамике гидроупругой системы "прямоугольный бак — жидкость" // Механика твердого тела. N 5, 1996, С. 155-161

21. Ильгамов М.А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ. М.: Наука, 1969. 184 с.

22. Ильгамов М.А. Введение в нелинейную гидроупругость. М.: Наука, 1991. 195 с.

23. Канторович J1.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. M.-JL 1962. 708 с.

24. Колесников К.С. Жидкостная ракета как объект регулирования. М. 1969. 298 с.

25. Колесников К.С. Продольные колебания ракеты с жидкостным ракетным двигателем. М. 1971. 260 с.

26. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. ч.1, М. 1963, 584 с.

27. Кутеева Г.А. Аналитическое определение свободной поверхности в задаче о сло-шинге // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1. 2001. Вып.З. (N 17). С. 59-64.

28. Кутеева Г.А. Вариационный метод в задаче о слошинге. Тезисы докладов научно-технической конференции. Проблемы мореходных качеств судов и корабельной гидромеханики. XL КРЫЛОВСКИЕ ЧТЕНИЯ. С. Петербург. 2001

29. Кутеева Г.А. Возмущенное движение жидкости в прямоугольном баке с упругой вставкой на стенке // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1. 2002. Вып. 1. (N 1). С. 93-104.

30. Кутеева Г.А. Функционал задачи о прямоугольном двигающемся сосуде с упругой вставкой, частично заполненном идеальной несжимаемой жидкостью // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1. 2002. Вып. 3. (N 17). С. 90 94

31. Кутеева Г. А. Вариационный принцип конформных отображений в задаче гидроупругости // Вестн. С-Петербург. ун-та. Сер.1. 1999. Вып. 2, N 8. С. 65 69

32. Лавров Ю.А. О колебаниях прямоугольного контейнера с упругими стенками, частично заполненными жидкостью // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте: Сб. трудов 4-й Международной конференции. С. Петербург. 1999. С. 170-178.

33. Луковский И.А. Введение в нелинейную динамику твердого тела с полостями, содержащими жидкость. Киев, Наукова думка, 1990. 296 с.

34. Луковский И.А., Троденко В.А. К исследованию колебаний жидкости в круговом цилиндре с упругими кольцевыми ребрами. Сборник трудов симпозиума "Колебания упругих конструкций с жидкостью", Новосибирск, 1973.

35. Мархашов JI.M. Колебания и устойчивость твердой оболочки с идеальной жидкостью на упругих опорах. (К теории карусельного гидроканала) // Ж. прикл. мех. и техн. физ. 1962. N 6. с. 81-84

36. Микишев Г.Н. Экспериментальные методы в динамике космических аппаратов. М. 1978. 248 с.

37. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика твердого тела с полостями частично заполненными жидкостью. М. 1968. 532 с.

38. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика тонкостенных конструкций с отсеками, содержащими жидкость. М. 1971. 563 с.

39. Михлин С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала. М.- JI. 1952. 216 с.

40. Михлин С.Г. Прямые методы в математической физике. М,- JI. 1950.

41. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.- Л. 1957. 476 с.

42. Мнев E.H., Перцев А.К. Гидроупругость оболочек. Л.: Судостроение, 1970. 365 с.

43. Моисеев H.H. Динамика корабля, имеющего жидкие грузы // Изв. АН СССР, ОТН, N 7, 1954.

44. Моисеев H.H. Об одной гидродинамической задаче в теории корабля // Тр. Моск. физ.-техн. ин-та. вып. 3, 1959. с. 3 24

45. Моисеев H.H. К теории нелинейных колебаний ограниченного объема жидкости // ПММ т. XXII, 1958, С. 612 621

46. Моисеев H.H., Петров A.A. Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости. М., 1966. 269 с.

47. Моисеев H.H. и Румянцев В.В. Динамика тела с полостями содержащими жидкость. М. 1965. 439 с.

48. Нариманов Г.С. О движении твердого тела, полость которого частично заполнена жидкостью // Прикладная математика и механика Т. XX, 1956, С. 21-38

49. Нариманов Г.С. О движении сосуда, частично заполненного жидкостью; учет немалости последней // Прикладная математика и механика Т. XXI, 1957, С. 513524

50. Нариманов Г.С., Докучаев Л.В., Луковский И.А. Нелинейная динамика летательного аппарата с жидкостью. М. 1977. 203 с.

51. Ньюмен Дж. Морская гидродинамика. Л.: Судостроение, 1985. 368 с.

52. Остроградский М.В. Мемуар о распространении волн в цилиндрическом бассейне. В книге: Избранные труды. 1958.

53. Охоцимский Д.Е. К теории движения тела с полостями, частично заполненными жидкостью // ПММ 1956. т. XX. вып. 1, с. 3 9.

54. Попов А.Jl. Динамика тонкостенных конструкций, взаимодействующих с жидкостью. Изд. МГТУ, 1992. 116 с.

55. Петров A.A. Вариационная формулировка задачи о движении жидкости в сосуде конечных размеров // ПММ т.28, N 4. 1964. с. 754 758

56. Петров A.A., Попов Ю.П., Пухначев Ю.В. Вычисление собственных колебаний жидкости в неподвижных сосудах вариационным методом // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. т.4, N 5, 1964. с. 880 895.

57. Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов. М. 1975. 416 с.

58. Рапопорт И.М. Динамика упругого тела, частично заполненного жидкостью. М. 1966.

59. Рапопорт И.М. Колебания упругой оболочки, частично заполненной жидкостью. М. 1967. 340 с.

60. Рахманин H.H. Бортовая качка судна, отсеки которого частично заполнены жидкостью. Труды ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова, 1962. вып. 191.

61. Рахманин H.H. Экспериментальное исследование динамических свойств судна, отсеки которого частично заполнены жидкостью. Труды ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова, 1962. вып. 191.

62. Сазанов В.И. К определению характеристик демпферов колебаний жидкости в виде гофрированных кольцевых и радиальных ребер. Сборник научных докладов IV симпозиума "Колебания упругих конструкций с жидкостью". М. 1980. с. 258261

63. Сазанов В.И., Палкин В.В. Особенности динамики тела с жидким наполнением при наличии в полостях упругих кольцевых демпферов. Сборник докладов VI симпозиума " Колебания упругих конструкций с жидкостью". Новосибирск. 1990.

64. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.П. 1984. С.560.

65. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. М.: Госстройиздат. 1960. 131 с.

66. Фещенко С.Ф., Луковский И.А., Рабинович Б.И., Докучаев Л.В. Методы определения присоединенных масс жидкости в подвижных полостях. Киев, 1969. 250 с.

67. Шклярчук Ф.Н. Колебания и аэроупругость летательных аппаратов. М. 1981.

68. Шмаков В.П. Об уравнениях осесимметричных колебаний цилиндрической оболочки с жидким наполнением // Изв. АН СССР. Механ. и машиностр. 1964. N 1. с. 170-174

69. Шмыглевский Ю.Д. Вариационный принцип газовой динамики // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1980. Т. 20. N. 6. с. 1598-1600

70. Шмыглевский Ю.Д. Аналитические исследования динамики газа и жидкости. М. 1999. 231 с.

71. Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость. М. 1969. 230 с.

72. Эльсгольц Л.Э. Вариационное исчисление. M.-JL 1952. 167 с.

73. Юэн Г., Лейк Б. Нелинейная динамика гравитационных волн на глубокой воде. М. Мир, 1987. 178 с. (пер. с англ.)

74. Bateman Н. Partial differential equations of mathematical physics. Dover. 1944.

75. Bridges T.J. On the two-dimensional periodic surface waves occuring in rectangular vessels: theory versus experiment. Mathematics research center university of Winscinsin-Madlson. 1985. 74 c.

76. Chiba M. Nonlinear hydroelastic vibration of a cylindrical tank with an elastic bottom containing liquid // Int. J. of nonlinear mechanics. V.31. N 2. 1996. P. 155-165

77. Dowell E.H., Ilgamov M.A. Studies in nonlinear Aeroelasticity. New York, Berlin, 1988. 550 p.

78. Jensen Jorgen J., Pedersen Preben Т., Hansen Peter F. Hydroelastically induced ship hull vibrations. ICTAM 2000, 20th International Congress of Theoretical and Applied Mechanics, Chicago, 27 Aug. 2 Sept., 2000, Abstr. Book C. 216

79. Hansen H.R. Damage experience, potential damages, current problems involving slosh considerations // Seminar on liquid sloshing. Oslo. 1976. paper N.2, Det norske Veritas

80. Hargneaves R. A pressure-integral as kinetic potential // Phil. Mag. V. 16, 1908. P. 436-444

81. Ito H. Variational principle in hydrodynamics // Progr. Theoret. Phys. V. 9. N. 2 1953. P. 117-131

82. Keulegan G.H. Energy dissipation in standing waves in rectangular basins // J. of fluid mech. Y.6. 1959. P. 33-50

83. Luke J.C. A variational principle for a fluid with a free surface. //J. Fluid Mech. 1967. V. 27. P. 395-397.

84. Miles J.W. Nonlinear surface waves in closed basins //J. Fluid Mech. V. 75, 1967. c. 419-448

85. Ohayon R. Reduced symmetric models for modal analysis of internal structural-acoustic and hydroelastic sloshing system. // Computer methods in allplied mechanics and engeneering. V. 190. 2001. P. 24-25

86. Pawell A. Free surface waves in a wave tank // Int.Series Numer. Math. V. 124. 1998. P. 311-320

87. Solaas F. Analytical and numerical studies of sloshing in tanks. Dr. ing. thesis. Department of marine hydrodynamics. Norwegian institute of technology. 1995.

88. Stokes G. On some cases of fluid motion. Transactions of the Cambridge Phylosophycal Society. T. VIII. 1843

89. Su Tsung Chow. Nonlinear sloshing and the coupled dynamics of liquid propellants and spacecraft. NASA Tech. Rep. AD-A250023. 1992.

90. Szilard R. Theory and analysis of plates. Classical and numerical methods, Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1974

91. Faltinsen O.M. Sea loads on ships and offshore structures. Cambridge University press. 1990. 328 c.

92. Faltinsen O.M., Olsen H.A., Abramson H.N., Bass R.L. Liquid slosh in LNG carries // N.85, Det norske Veritas. Oslo. 1974.

93. Faltinsen O.M., Rognebakke O.F. Sloshing and slamming in tanks // Hydronav'99 -Manouvring'99. Gdansk-Ostrada. Poland. 1999. P. 160-169.

94. Faltinsen O.M., Rognebakke O.F. Sloshing // Proceeding of International Conference on Ship and Shipping Research. Venice. 19-22 Sept. 2000. Itaty.

95. Faltinsen O.M., Rognebakke O.F., Lukovsky I., Timokha A. Multidimensional modal analysis of nonlinear sloshing. // J. Fluid Mech. 2000. V. 407. P. 201-234.

96. The dynamic behavior of liquids in moving containers. NASA. Ed. by H.N. Abramson. 1966. SP-106.