Исследование задач определения оптимальной формы суперкавитирующего профиля с интерцептором тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

004606705

На правах рукописи

Зо Вин

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФОРМЫ СУПЕРКАВИТИРУЮЩЕГО ПРОФИЛЯ С ИНТЕРЦЕПТОРОМ

Специальность 01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 2010

004606705

Работа выполнена на кафедре Прикладной математики и математического моделирования ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет».

Научный руководитель: доктор технических наук,

доцент Г.М. Фридман

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

доцент А.Ю. Яковлев

кандидат технических наук, доцент Д.В. Никущенко

Ведущая организаций: Институт проблем машиноведения РАН

Защита состоится Ю июня 2010 г. в часов на заседании диссертаци-

онного совета Д 212.228.02 при Санкт-Петербургском государственном морском техническом университете по адресу 190008, Санкт-Петербург, Лоцманская ул., 3, актовый зал.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного морского технического университета.

Автореферат разослан Л мая 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена изучению с позиций асимптотических, аналитических и численных методов задач определения оптимальной формы обтекаемых потоком невязкой, либо вязкой жидкости суперкавитирую-щих (СК) профилей с интерцептором, установленным на задней кромке.

Методика исследований. В настоящей работе для решения поставленных задач по оптимизации формы суперкавитирующих профилей с интерцепторами используется сочетание различных методов:

• метод сращиваемых асимптотических разложений (САР)1, на котором «держатся» решения различных потенциальных задач гидродинамики несущих систем с учетом кавитации и свободных границ потока;

• базирующаяся на теории функций комплексного переменного линеаризованная теория кавитационного обтекания профилей и крыльев2, которая позволяет получать решения, пригодные во всей области течения, кроме зон вблизи передней и задней кромок гидропрофиля;

• аналитические методы нелинейной теории струй идеальной жидкости3, дающие возможность исследовать как кавитационные течения с произвольными наборами исходных геометрических и гидродинамических параметров в точной постановке, так и задачи в локальных областях сосредоточения нелинейных эффектов (т.е. как раз вблизи кромок, где внешнее линейное решение становится некорректным);

• современные методы вычислительной гидродинамики, применяемые для исследования обтекания кавитирующих профилей потоком вязкой жидкости;

• методы оптимизации, прежде всего методы линейного программирования, которые эффективно приводят к наилучшему решению

'Рождественский К.В. Метод сращиваемых асимптотических разложений з гидродинамике крыла. Л.: Судостроение, 1979, 208 стр.

2Tulin M.P. Supercavitating flows - small perturbation theory, 1. Ship Research, vol 7, No. 3, 1964, pp. 37-43

3Гуревич M.И. Теория струй идеальной жидкости, М.: Наука, 1979, 536 с-р.

(форме кавитирующего профиля), обеспечивающему максимальное качество при выполнении заданных ограничений.

Обоснованность и достоверность. Обоснованность и достоверность полученных результатов и вытекающих из них выводов обеспечены рядом факторов:

• математическое моделирование базируется на известных моделях механики жидкости в теории крыла и физических предпосылках, в основном отражающих реальный характер исследуемых процессов;

• решения всех приведенных в работе двумерных нелинейных задач получены в рамках строгих аналитических методов теории функции комплексного переменного;

• все составные асимптотические решения найдены с использованием методологии метода сращиваемых асимптотических разложений, при этом в дальнем поле в ряде задач проведена корректная процедура линеаризации граничных условий, а в областях сосредоточения нелинейных эффектов найдено аналитическое решение;

• для ряда задач проведена давшая хорошие результаты численная и аналитическая верификация составных асимптотических разложений путем сравнения с точными нелинейными решениями;

• установлено согласование приведенных в работе результатов расчетов для некоторых частных задач с числовыми данными в других отечественных и зарубежных научных исследованиях.

Практическая значимость и актуальность исследования. Практическая значимость и актуальность работы целиком и полностью связаны с самим предметом исследования: разработкой эффективных математических методов решения задач построения такой формы суперкавити-рующих профилей с интерцептором на задней кромке, которая обеспечивает максимальной гидродинамическое качество при выполнении всех наложенных ограничений, связанных с требованиями о физично-сти (однолистности) потока, о прочности гидропрофиля, о недопущении возникновения каверн на нагнетающей стороне и т.д. Оптимальные СК профили и лопасти СК гребных винтов с ннтерцепторами активно используются в современных скоростных судах на подводных крыльях, глиссерах и других подобных аппаратах.

Предложенная методика позволила проводить проектировочный расчет кавитирующих профилей с ннтерцепторами в ударном и безударном

режимах обтекания, рассчитывать гидродинамические характеристики (ГДХ) и форму свободных поверхностей и т.п. Полученные результаты решения оптимизационных задач для СК профилей дали верхние оценки по гидродинамическому качеству, которые следует учитывать при проектировании. При помощи численно-асимптотических методов спроектирован кавитируюший профиль с контролируемой толщиной передней кромки и интерцептором, работающий в безударном режиме и обладающий рядом преимуществ по сравнению с обычным.

Научная новизна и основные результаты. Основные результаты, выносимые автором на защиту, и их научная новизна заключаются в следующем:

• построены точные аналитические решения и получены числовые результаты для нелинейной плоской задачи обтекания в безударном режиме суперкавитирующего профиля с застойной зоной в области под интерцептором, при этом использованы схемы Тулина-Терентьева и Эфроса замыкания каверны;

• найдено всюду равномерно пригодное асимптотическое решение задачи об обтекании в безударном режиме суперкавитирующего профиля с интерцептором. при этом использована открытая схема Ву-Фабулы замыкания каверны;

• в рамках построенного равномерно пригодного асимптотического решения, сформулирована и решена задача линейного программирования для определения оптимальной формы СК профиля с интерцептором, обеспечивающей максимальное гидродинамическое качество для заданного коэффициента вязкостного трения при условии выполнения ограничений по прочности СК профиля и однолистности потока;

• предложен надежный алгоритм вычисления начальной точки для решения системы нелинейных уравнений, к которым сводятся нелинейные задачи обтекания безударного СК профиля с интерцептором;

• разработан численный алгоритм, дающий возможность исследовать влияние вязкости потока на эффективность интерцептора, установленного на задней кромке суперкавитирующего профиля.

Этот алгоритм предполагает использование результатов проектировочного расчета СК профиля в рамках невязкой жидкости для пересчета обтекания тела профиль-каверна-след в вязком потоке.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались по мере получения на X Международной научной школе «Гидродинамика больших скоростей» (Чебоксары, Россия, 2008) и на международных конференциях «Гидродинамика. Механика. Энергетические установки» (Чебоксары, Россия, 2008), International Conference on subsea technologies - "SubSeaTECH2009" (Санкт-Петербург, Россия, 2009), MAST Americas 2010 Conference (Maritime Systems and technology, Washington DC, USA, 2010) и опубликованы в журнале «Морской Вестник», рекомендованном ВАК и в журнале The International Journal of Maritime Engineering.

Публикации. По материалам диссертации опубликованы 4 статьи. В изданиях, рекомендованных Перечнем ВАК РФ, опубликована 1 статья без соавторов, доля авторства в остальных 50-70%.

Структура и объем работы. Диссертация cqctoht из введения, трех глав, объединяющих 9 параграфов, заключения и списка цитированной литературы. Работа содержит 158 страниц печатного текста, 85 рисунков и графиков и 3 таблицы. Список использованной литературы включает 132 ссылки.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отмечены цели, методика и характер исследований, обсуждена обоснованность и достоверность, актуальность и практическая значимость полученных результатов, апробация работы на различных научных конференциях и семинарах.

Кратко обсуждены сложности, возникающие при проектировании супер-кавитирующих гидропрофилей, названы наиболее часто применяемые способы решения соответствующих математических задач гидродинамики, указано на перспективность метода, предполагающего разумное сочетание численных и аналитических подходов, преимущества которого становятся еще более выпуклыми именно в задачах с зонами особых (сингулярных) возмущений, где эффективные численные расчеты часто невозможны.

Выделены задачи проектирования суперкавитирующих гидропрофилей с интерцепторами, установленными на задних кромках, отмечено, что метод сращиваемых асимптотических разложений является основным подходом к учету влияния интерцептора на гидродинамические характеристики и форму каверны, и, тем самым, на оптимальную форму самого проектируемого профиля.

Подчеркнута важная роль современных компьютерных пакетов символической математики, в особенности ЛШйетаЬ'са версии 7, для аналитического и асимптотического анализа плоских нелинейных задач потенциального обтекания профилей. Во введении также дан обзор работ, в которых получены основные результаты для обратных (проектировочных) задач обтекания кавитирующих профилей идеальной и вязкой жидкостью, а также краткий обзор исследований, посвященных использованию численных, аналитических и асимптотических методов в таких задачах. В настоящее время соответствующие исследования проводятся в ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова, ЦАГИ им. проф. Н.Е. Жуковского, СПбГМТУ, НИИММ КГУ им. Н.Г. Чеботарева и других организациях. Отмечен большой вклад отечественных специалистов М.И. Гуреви-ча, А.Г. Терентьева, А.Н. Иванова, К.В. Александрова, А.Ш. Ачкинад-зе, К.В. Рождественского, Н.Б. Ильинского, Д.В. Маклакова и многих других. Среди зарубежных исследований выделены работы М. Тулина, С. Киннаса, Б. Пирса, X. Като и др. Аннотированы основные результаты работы, выносимые на защиту. Описана структура работы. В работе жидкость всюду рассматривается идеальной несжимаемой и невесомой, а течение - стационарным. Предложены способы, которыми можно в ряде задач косвенно описать влияние вязкости жидкости за счет учета застойных зон в потоке (разделы 1.2 и 1.3). 1. В первой главе представлены решения ряда нелинейных задач, связанных с проектированием оптимальных суперкавитирующих профилей с интерцептором, обтекаемых в так называемом безударном режиме потоком идеальной несжимаемой жидкости, когда передняя критическая точка потока (точка разделения нулевой линии тока) совпадает с вершиной заостренной передней кромки профиля. Существенной особенностью течения представленных в главе задач является наличие застойной зоны около задней кромки с установленным на ней интерцептором. Так же, как и в каверне за телом, давление в застойной зоне предполагается постоянным, однако большим, чем атмосферное р-х., и, следовательно, скорость на границе застойной зоны будет меньше, чем скорость набегающего потока.

В параграфе 1.1 рассмотрена нелинейная задача обтекания суперкави-тирующего профиля с интерцептором в безударном режиме по схеме Тулина-Терентьева с образованием односпиральных вихрей. Получено точное аналитическое решение, выписаны условия, позволяющие сформировать систему нелинейных уравнений для определения всех неизвестных параметров в задаче, а также найдены формулы для вычисления гидродинамических коэффициентов и формы каверны. Подчеркнуто, что сформулирована именно проектировочная задача, когда су-перкавитируюший гидропрофиль с интерцептором обтекается только в безударном режиме, что требует вполне определенной его формы. Проведен асимптотический анализ точного решения и установлено, что оно, в предположении, что профиль с каверной вносит малые возмущения в поток, совпадает с асимптотическим равномерно пригодным решением.

Рис. 1: Гидродинамическое качество К = С ¡/¡(Си + С/) в зависимости от угла атаки а для плоского суперкавитируюшего профиля вида fix) = —ах с интерцептором при трех значениях длины 1к/1.

Представлены результаты систематических расчетов для гидродинамических коэффициентов в зависимости от геометрических характеристик течения и числа кавитации. Установлено, что угол заострения передней кромки 7 оказывает существенное влияние и на гидродинамическое качество К, а также на коэффициенты подъемной силы Cl и сопротивления Со- Показано, что для каждого фиксированного значения длины заостренной передней кромки lw/l и коэффициента вязкостного сопро-

тивления С/ существует угол атаки а, при которым суперкавитирующий профиль имеет наибольшее гидродинамическое качество. Соответствующие числовые результаты изображены на рис. 1 для угла заострения передней кромки 7 = 30°, числа кавитации а = 0.3, Cf = 0.003, длины интерцептора г = 0.02 и угле наклона интерцептора к хорде /3 = 90°.

Рис. 2: Оптимальный по качеству безударный СК профиль с интерцептором.

Получены картины обтекания таких профилей и, естественно их геометрия. На рис. 2 изображен оптимальный по качеству СК профиль вида /(х) — —ах с интерцептором, а также верхняя и нижняя границы каверны, где а = 4.68°, а = 0.3, е = 0.009504, 0 = тг/2 и 1и,/1 = 0.05. Параграф 1.2 содержит решение ранее не рассматривавшейся, гораздо более сложной задачи теории струй - нелинейной задачи обтекания в безударном режиме сулеркавитирующего профиля с интерцептором по схеме Тулина-Терентьева, причем вблизи интерцептора предполагается наличие застойной зоны, см. рис. 3. Граница зоны является свободной поверхностью, которая начинается в некоторой неизвестной точке на нагнетающей стороне профиля и заканчивается также в неизвестной точке на интерцепторе.

Рис. 3: Обтекание в безударном режиме суперкавиткрующего профиля с интерцептором по схеме Тулина-Терентьева.

Параграф состоит из трех разделов: в первом выписано точное аналитическое решение задачи в виде двух производных комплексного потенциала и сформулированы общие условия для определения неизвестных параметров конформного преобразования, координат точки схода застой-

ной зоны (условие гладкого отрыва Бриллюэна-Вилла) и проектируемой величины Во втором разделе обсуждена процедура численного решения системы нелинейных уравнений и предложен эффективный способ построения начальной точки для проведения итерационного алгоритма метода Ньютона. Без удачного выбора этой начальной точки сходимость итераций оказывается весьма медленной, либо отсутствует вовсе. Третий раздел содержит результаты числовых расчетов.

0.85

0.75

0.65

0. 0.2 0.4 0.6 0.1

Рис. 4: Коэффициенты подъёмной силы Сь и сопротивления Со в зависимости от положения, точки схода застойной зоны Z£ при а = 5°, е/1 = 0.05, 7 = 40°, <т = 0.5 и д = 90°.

Рис. 5: Картина течения для безударного СК профиля без застойной зоны и с образованием застойной зоны (гладкий сход) около интерцептора; схема Тулина-Терентьева.

Обнаружено, что в случае, когда отрыв застойной зоны от пластины гладкий, т.е. выполняется условие гладкого отрыва Бриллюэна-Вилла,

коэффициенты сопротивления и подъёмной силы достигают экстремума (минимума) для любого набора параметров течения, см. рис. 4. Построены годографы скорости для различных длин застойной зоны, которые показывают, что только при гладком сходе отсутствуют присущие другому случаю физические противоречия. Выявлено большое влияние застойной зоны на гидродинамические коэффициенты и, особенно, на форму каверны (рис. 5). Получены зависимости, дающие возможность проектировать оптимальные безударные суперкавитирующие профили с интерцепторами для широкого круга исходных параметров течения. В параграфе 1.3 дано решение той же, что в 1.2 задачи (с застойной зоной), однако при этом использована схема Эфроса замыкания каверны с возвратной струйкой. Выполнено построение общих формул для производных комплексного потенциала, сформирована система нелинейных уравнений для определения неизвестных и приведены разнообразные числовые результаты, позволяющие определять геометрические характеристики заостренного профиля, обеспечивающие оптимальное гидродинамическое качество, рис. б. Численно подтверждено, что для схемы Эфроса, как и для схемы Тулина-Терентьева, гладкий сход застойной зоны обеспечивает экстремальные значения гидродинамических коэффициентов.

2. Во второй главе двумерные проектировочные задачи кавитационного обтекания гидропрофилей рассматриваются в рамках асимптотического подхода, как задачи теории особых (сингулярных) возмущений, то есть задачи, в которых присутствуют области сосредоточения сильных нелинейных эффектов. Этими областями являются зоны в непосредственной близости от передней и задней кромок кавитирующегос профиля с ин-терцептором.

Используя приемы "математического конструктора" для компоновки численных или асимптотических решений, полученных во внешней и внутренних областях4 и следуя методологии метода сращиваемых асимптотических разложений (САР), в этой главе строятся составные равномерно-пригодные во всей области течения асимптотические решения. В ряде случаев, когда это оказывается возможным, составные асимптотические решения сопоставляются с точными нелинейными решениями изучаемых задач, которые были найдены в Главе 1.

"Фридман Г.М. Гидродинамика несущих систем с учетом кавитации и свободных границ потока на основе метода сращиваемых асимптотических разложений. Дисс. на соискание ученой степени д-ра техн. наук. СПбГМТУ, 1999, 322 стр.

Рис. 6: Гидродинамическое качество безударного СК профиля в зависимости от длины интерцептора с при различных числах кавитации. Выполнено условие гладкого схода застойной зоны, использована схема Эфроса замыкания каверны.

В параграфе 2.1 получено составное решение для произвольного кави-тирующего профиля с интерцептором и фиксированным углом заострения передней кромки, равномерно пригодное во всей области течения, включая зону замыкания каверны. В качестве модели замыкания каверны использован линейный аналог открытой схемы Ву (так называемая модель Ву-Фабулы), а также замкнутая модель (линейный аналог моделей Тулина-Терентьева, Эфроса и др.), рис. 7.

Во внешнем поле получено бесквадратурное решение, справедливое вне областей вблизи кромок для достаточно широкого класса функций

/(х) = ~ах + 4кх(1-х)+х{1-х) ^акхк, (1)

описывающих форму нагнетающей поверхности гидропрофиля вида, где

Рис. 7: Квитирующий профиль с иктерцептором в ударном и безударном режимах. Открытая схема замыкания каверны (модель Ву-Фабулы).

а - угол атаки:

*°(С) - 1 + - 1в(г[0) +

\/С(С + о)

где в^) = /'(г), г = ЬС2/'(1 + <2). Неизвестные коэффициенты Л, В, С, Т)к, £к и длина каверны Ь в (2) определены из условий

(3)

Цт{(х°(С)-1КС-»)*}=<> для & = 1,..., т + 1 , (4)

Представлены нелинейные локальные задачи обтекания передней (в ударном и безударном режимах) и задней кромки профиля с интерцеп-тором, с помощью методов теории струй идеальной жидкости найдены

асимптотические решения (внутренние разложения) и проведена процедура сращивания для получения составного решения. Главной особенностью полученного равномерно пригодного решения является возможность выбора режима обтекания профиля: либо классического режима, либо безударного режима обтекания, когда критическая точка совпадает с вершиной смоченной с обеих сторон передней кромки профиля. Это обеспечивается соответствующим выбором локальной модели обтекания вблизи передней кромки.

Приведены результаты систематических расчетов, характеризующих зависимости длины прямолинейной верхней части заостренной передней кромки, а также коэффициентов подъемной силы и сопротивления и, следовательно, гидродинамического качества от длины интерцептора. Численно определено, см. на рис. 8 зависимость обратного качества от подъемной силы, что область более высокого качества смещается на большие значения С/.. В рамках составного асимптотического решения выполнены расчеты, иллюстрирующие картину обтекания суперкавити-рующего профиля (границы каверны) для разной его геометрии, рис. 9.

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.

Рис. 8: Обратное гидродинамическое качество суперкавитирующего профиля вида f(x) — 4кх(1 - х) — ах с интерцептором.

Базируясь на полученных асимптотических результатах предыдущего раздела, в параграфе 2.2 рассмотрена задача проектирования оптимальных СК профилей в ударном и безударном режимах, удовлетворяющих,

а = 10°, а = 0.1, h = -0.05, г = 0.05, ß = тг/2

Рис. 9: Картина течения около CK профиля вида f(x) = 4hx(\ — х) - ах. При угле заострения, передней кромки у = 60° величины lw/l = 0.07798 и L = 9.0872, при у = 45° - = 0.2170 к L = 9.0872.

в частности, обобщенному условию однолистности течения, подразумевающего достаточную толщину каверны.

В параграфе сформулирована и решена задача проектирования оптимального суперкавитирующего профиля с интерцептором как задача линейного программирования. Как и в предыдущем параграфе, предполагается, что профиль обтекается по линеаризованной открытой схеме замыкания каверны. В качестве функции цели использовано обратное гидродинамическое качество. Неизвестными параметрами являются геометрические характеристики профиля, а именно, угол атаки а, стрелка прогиба Ii, длина интерцептора г и коэффициенты аь k — 1,...,т из выражения (1) для /(х).

Параграф состоит из трех разделов: в первом проектировочная задача обтекания суперкавитирующего гидропрофиля с интерцептором сформулирована как задача линейного программирования. В качестве минимизируемой функции цели использовано обратное гидродинамическое качество при известном коэффициенте вязкостного сопротивления. Заданными величинами также считаются число кавитации <т, длина кавер-

ны L, коэффициент подъемной силы Сь. закон распределения толщины профиля по хорде и максимальная толщина профиля 5, а также угол наклона интерцептора 0 относительно хорды профиля. Для обеспечения условия однолистности течения, а также условий по прочности (прежде всего в области вблизи передней кромки), вводятся дополнительные ограничения по наименьшей толщине профиля, по ординате верхней поверхности каверны, по коэффициенту распределения давления на всей хорде и т.п. Все эти ограничения получены в виде линейных форм от неизвестных. Основополагающее значение при этом имеет тот факт, что функция комплексно-сопряженной скорости во внешнем асимптотическом разложении (2) представляет собой линейную функцию относительно всех геометрических параметров суперкавитирующего профиля a, h, а*, к — 0,1, -.., m и квадратного корня относительной длины вы-двига интерцептора у/ё:

т

Х°(0 = ЛоК) + Аа(О а + Ah(О h + ЛИС) Ve + МО ^. (5)

1

где величины Л0(С), >4„(С), -4/,(С), и к= 1 .....т зависят

от числа кавитации <х, длины каверны L и угла 3. Во втором разделе параграфа 2.2 алгоритм проектирования оптимальных профилей с интерцепторами обтекаемых потоком невязкой жидкости по открытой схеме Ву-Фабулы в рамках внешнего асимптотического решения в классе оо — ос численно реализован в компьютерной математической среде Mathematica версии 7 в виде созданного автором программного комплекса с графическим интерфейсом пользователя (graphical user interface, GUI). Данный графический интерфейс пользователя дает возможность вводить текущие значения задаваемых величин (L, Cl, Cf, сг, 6, /3), выбирать закон распределения толщины профиля, количество узлов и тип сетки, где должны быть удовлетворены сформулированные условия, а также ряд дополнительных ограничений, связанных с условиями по прочности, прежде всего в области вблизи передней кромки.

Результатом работы программного комплекса являются значения геометрических параметров оптимального суперкавитирующего профиля с интерцептором и максимальное гидродинамическое качество, которое он обеспечивает при заранее заданном коэффициенте вязкостного сопротивления С/. Графический интерфейс пользователя в двух окнах отображает спроектированную расчетную форму оптимального профиля и верхнюю и нижнюю границы каверны, а также выводит график

УШ(ж) = -о х + 4/г х (1 - х) + х (1 - х) (ох х + а2 а:2); 5 = 0.05 а = 0.005532, /г = -0.06473, ё = 0.006306, а, = 0.7971, а2 = -0.4931

Рис. 10: Оптимальный СК профиль при т = 2 и длине каверны X, = 1.15, числе кавитации а = 0.15, коэффициенте подъемной силы Сь — 0.3; = 0.003 и ,в = 90°. Гидродинамическое качество К — 20.3281.

а = 0.15

Сх =0.3, С0 = 0.01176, С/ А" = 20.3281

0.003

Рис. 11: Коэффициент распределения давления С'Р(х) по хорде оптимального СК профиля.

коэффициента распределения давления Ср по хорде и значения коэффициентов подъемной силы Сь и сопротивления Со, а также гидродинамическое качество К.

Приведены многочисленные результаты проектировочных расчетов, дающие оптимальную форму профиля при заданных исходных величинах. Установлено, что длина интерцептора во всех случаях, кроме расчета для 711 = 0, когда г ~ 0.015, оказывается чрезвычайно малой, менее 0.7% от хорда профиля. При этом показано, что даже интерцептор очень малой длины выдвига существенно влияет как на гидродинамические характеристики, так и на форму каверны. Установлено, что с увеличением степени полинома, описывающего форму нагнетающей поверхности, оптимальное качество несколько увеличивается, см., например, Табл. 1.

т 0 1 2 3 4 5

£ 0.01521 0.005497 0.0063062 0.005535 0.005557 0.005575

К 18.9823 20.0139 20.3281 20.4878 20.5102 20.5145

Таблица 1: Качество К и длина выдвига интерцептора е оптимального СК профиля с интерцептором с увеличением степени т при Ь = 1.15, сг = 0.15, Сь = 0.3, С/ = 0.003 и р = 90°.

Тем не менее, увеличение качества оказалось незначительным по сравнению со сложностями, которые возникают при изготовлении профилей с нагнетающей стороной, представляющей собой полином более высокого порядка. Таким образом, был сделан вывод, что при проектировании оптимального суперкавитирующего профиля с интерцептором представляется достаточным ограничиться значениями т = 1 или т = 2. На рис. 10 и 11 показан спроектированный оптимальный СК профиль при т = 2, Ь = 1.15, ст = 0.15, Сь = 0.3, С/ = 0.003 и 3 = 90° и коэффициент давления по хорде. Полученное гидродинамическое качество составило К = 20.3281.

Третья часть параграфа 2.2 содержит постановку и численное решение вспомогательной проектировочной оптимизационной задачи для угла атаки. Такая задача возникает при проектировании лопастей СКГВ с интерцептором, когда представляется полезным иметь возможность при изменении числа кавитации менять установочный угол атаки СК секции, для которой были найдены геометрические параметры, обеспечивающие в рамках задачи линейного программирования наибольшее

У{иц{х) = -ах + Акх (1 - х) + х (1 - х) {аг х + аг г2); <5 = 0.05 а: = 0.007946, /г = -0.06473, ё = 0.006306, а\ = 0.7971, а2 = -0.4931

Рис. 12: Оптимальный СК профиль при т = 2 и числе кавитации а = 0.2. Оптимальный угол атаки а = 0.007946, вычисленная длина каверны Ь ~ 1.0611. Гидродинамическое качество К = 21.9543.

Рис. 13: Коэффициент распределения давления С",,(ж) по хорде оптимального СК профиля.

качество. Удалось поставить и решить вспомогательную нелинейную оптимизационную задачу об определении угла атаки а, под которым СК профиль с интерцептором будет иметь максимальное гидродинамическое качество в предположении, что задано некоторое значение а, а L и Ci становятся неизвестными величинами. Для разных значений степени тп полинома f(x) получены аналитические соотношения между неизвестными а и L вида

а - -lmC! {L) (im Cb(L)+ImCh(L) h+ïmCe(L) afc),

которые сводят задачу к задаче одномерной нелинейной оптимизации. Для численного решения вспомогательной нелинейной оптимизационной задачи была создана программа в компьютерной математической среде Mathematica версии 7. Аргументами этой программы являются все, кроме угла атаки, геометрические характеристики профиля с интерцептором, т.е. /¿, ак, к — 0,1,..., m и а также значение числа кавитации а. На «выходе» пользователь получает угол атаки а, под которым следует установить профиль данной геометрии при данном числе кавитации, чтобы достичь максимально возможного качества. При расчете также определяется соответствующая длина каверны, коэффициент подъемной силы и форма каверны. В параграфе приведены результаты числовых расчетов, полученные с помощью созданной автором программы, см. рис. 12 и 13.

3. Третья глава посвящена учету влияния вязкости потока на эффективность интерцептора, установленного на задней кромке суперкавити-рующего профиля.

Параграф 3.1 содержит краткий обзор работ по решениям уравнений движения вязкой жидкости и их формальную классификацию по виду-поля скорости.

Обзор основных теоретических методов моделирования турбулентных потоков приведен в параграфе 3.2 Выделено три категории: метод прямого численного моделирования турбулентности (Direct Numerical Simulation, DNS), метод крупных вихрей (Large Eddy Simulation, LES) и Рейнольдсов подход, который является наиболее распространенным методом моделирования турбулентных течений в судостроении. В параграфе 3.2 также обсуждены дифференциальные модели турбулентности, в частности, модель Спаларта-Аллмараса (Spalart-Allmaras), рассмотрены основные подходы к моделированию течения в пристеночной области.

В параграфе 3.3 отмечено, что в реальных условиях обтекания профиля (крыла) перед интерцептором наблюдается так называемая «застойная зона», обусловленная отрывом пограничного слоя, при этом экспериментальные исследования показали, что давление в этой зоне практически мало изменяется при углах наклона интерцептора, близких к прямому. В результате интерцептор погружается в пограничный слой, что приводит к уменьшению его эффективности, т.е. к снижению степени его влияния на гидродинамические характеристики профиля по сравнению с данными, полученными на базе аналитических или численных решений соответствующей задачи обтекания в невязкой жидкости. Кроме того, за счет вязкости (толщины вытеснения) меняется форма нагнетающей поверхности тела.

Условие непротекания и отсутствия трения

Рис. 14: «Тело», образованное границами смоченной поверхности профиля с интерцептором, каверной и полубесконечным следом.

В параграфе 3.3 предложен алгоритм, позволяющий учесть влияние вязкости потока, обтекающего суперкавитирующий профиль с интерцептором, на эффективность самого интерцептора. Этот алгоритм предполагает

• поверочный расчет обтекания суперкавитирующего профиля с интерцептором на задней кромке потоком невязкой несжимаемой жидкости в рамках открытой модели замыкания каверны с полубесконечным следом (схема Ву-Фабулы),

• формирование «тела», ограниченного смоченной поверхностью профиля с интерцептором, а также каверной и полубесконечным следом,

• и, наконец, расчет обтекания построенного «тела» потоком вязкой жидкости, с выполнением условия непротекания на всей его

поверхности и условия отсутствия трения на части, соответствующей каверне и следу, см. рис. 14.

Задаваясь некоторым числом Рейнольдса, следует добиваться получения того же коэффициента подъемной силы, что и в поверочном расчете для невязкой жидкости за счет изменения только длины интерцептора. За показатель влияния вязкости принято отношение длин интерцептора в вязкой и невязкой жидкости, обеспечивающих одинаковую подъемную силу при всех прочих совпадающих параметрах течения.

Рис. 15: Коэффициент давления Ср на поверхности составного «тела», обтекаемого вязким потоком (сплошная линия) и на образующей это «тело» каверне и смоченной поверхности СК профиля в потоке невязкой жидкости (пунктирная линия) Исходное число кавитации а = 0.35, угол атаки о = 3°, угол наклона интерцептора к хорде 0 — 90°. Относительная длина выдвига интерцептора для СК профиля ё = 0.01, а для «тела» £ = 0.019.

Обсужден процесс построения расчетной сетки, задания свойств используемых материалов, установка граничных условий и выбор модели потока. Для числовых расчетов обтекания СК профиля с интерцепто-ром была применена модель турбулентности Спаларта-Аллмараса. На рис. 15 показаны результаты расчетов по коэффициенту давления СР на поверхности составного «тела», обтекаемого вязким потоком (сплошная

линия) и на образующей это «тело» каверне и смоченной поверхности СК профиля в потоке невязкой жидкости (пунктирная линия). Исходное число кавитации а = 0.35, угол атаки о: = 3°, угол наклона интерцеп-тора к хорде в = 90°. Для СК профиля относительная длина выдвига интерцептора равна в — 0.01. Чтобы обеспечить совпадающий по величине коэффициент подъемной силы при неизменных остальных характеристиках течения эту величину пришлось увеличить до 0.019, т.е. почти в два раза. Рисунок показывает хорошее согласование коэффициента давления на части тела, соответствующей смоченной поверхности СК профиля всюду, кроме областей непосредственно вблизи передней и задней кромок, а для части тела, соответствующей каверне, относительная погрешность не превосходит 0.1%.

Рис. 16: Длина интерцептора, коэффициент подъемной силы и отношение длин интерцептора в зависимости от угла атаки а для СК-профиля в потоке вязкой и невязкой жидкости при числе Рейнольдса Яе = 2.4 х 107 для е = 0.01 (слева) и е = 0.02 (справа).

Проведено также исследование показателя влияния вязкости на эффективность интерцептора в зависимости от угла атаки для нескольких значений числа Рейнольдса и нескольких относительных исходных длин интерцептора для невязкого потока, см. рис. 16. Числовые данные позво-

ляют утверждать, что эффективность интерцептора в вязкой жидкости для числа Рейнольдса Ее = 2.4 х 10' падает в 1.5 2 раза по сравнению с невязкой жидкостью, причем для меньших длин интерцептора это падение эффективности более заметно.

Выполнены расчеты для формы каверны за СК профилем с интерцеп-тором в потоке вязкой жидкости, при этом длина интерцептора выбиралась равной той, которая соответствовала коэффициенту подъемной силы для расчета в невязкой жидкости. На рис. 17 показана картина течения около СК профиля с интерцептором в потоке вязкой жидкости при числе Рейнольдса Не = 2.4 х 10' для а = 3° и ё = 0.019.

жидкости при числе Рейнольдса Re = 2.4 х 10' для. а = 3° и е = 0.019.

Эксперимент Расчеты

a CL cD cL Cd

1.604 0.599 0.0449 0.5957 0.0410

0.657 0.811 0.0501 0.8136 0.0498

Таблица 2: Сравнительные данные для расчета и эксперимента по коэффициентам подъемной силы и сопротивления для чисел кавитации ег = 1.604 и (у = 0.657.

В параграфе 3.4 в целях верификации результатов расчетов для су-перкавитирующих профилей с интерцептора.ми, выполненых в параграфе 3.3, было проведено сравнение экспериментальных данных по обтеканию кавитирующего профиля5 с расчетами в программном комплексе

sWaid R.L., Lmdberg Z.M. Expérimenta' and theoretical investigation of a supercavita'ing hydrofoil, Engineering Division California Institute of Technology, 1957, Report No. 47-8

FLUENT©. Получено хорошее согласование как по форме каверны, так и по интегральным числовым гидродинамическим характеристикам -коэффициентам подъемной силы Cl и сопротивления Со, см. Табл. 2.

В Заключении отмечено, что в диссертации с позиций аналитических, численных и асимптотических методов рассмотрен широкий круг задач по определению оптимальной формы суперкавитирующего профиля с интерцептором, которая обеспечивает наибольшее возможное при наложенных ограничениях гидродинамическое качество для заданного коэффициента вязкостного трения. Получены точные решения нескольких новых нелинейных обратных задач обтекания профиля в так называемом безударном кавитационном режиме, при этом был выполнен учет влияния застойной зоны под интерцептором на геометрию течения и характеристики профиля. На основе методики «математического конструктора» построены всюду равномерно пригодные асимптотические решения двумерной задачи обтекания кавитирующего профиля с интерцептором в рамках открытой схемы Ву-Фабулы для ударного и безударного режимов течения. Найдена оптимальная форма кавитиру-ющих профилей с интерцептором, удовлетворяющая дополнительным условиям прочности профиля вблизи передней кромки и однолистности течения. Предложен и численно реализован алгоритм вязко-невязкого расчета, на базе которого решена задача об учете влияния вязкости потока на эффективность интерцептора, установленного на задней кромке суперкавитирующего профиля.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

а) в изданиях, рекомендованных Перечнем ВАК РФ:

1. Исследование влияния вязкости на эффективность интерцептора, установленного на задней кромке суперкавитирующего профиля. / Зо Вин. // Морской Вестник, No. 3 (31), 2009, стр. 90-92 (автор -100%).

б) прочие публикации:

2. Теоретический метод определения оптимальной формы лопасти суперкавитирующего винта с интерцептором, установленным на ее задней кромке (Theoretical method of the optimum design of a

supercavitating propeller blade with spoiler mounted on the trailing edge). / Zaw Win, G.M. Fridman, A.S. Achkinadze // Trans RINA, Vol. 152, Part Al, The International Journal oi Maritime Engineering, Jan-Mar 2010, pp. A-29- A-40 (автор - 50%).

3. Влияние застойной зоын на параметры течения вокруг суперкави-тирующего профиля с интерцептором в безударном режиме (The influence of stagnation zone upon the flow parameters for shock-free supercavitating hydrofoil with spoiler). / G.M. Fridman, Zaw Win. // Сборник трудов X Международной научной школы «Гидродинамика больших скоростей» и Международной научной конференции «Гидродинамика. Механика. Энергетические установки» (к 145-летию со дня рождения академика А.Н. Крылова). Чебоксары: ЧПИ МГОУ, 2008, pp. 253-258 (автор - 70%).

4. Учет влияния вязкости жидкости на эффективность интерцептора, установленного на задней кромке суперкавитирующего профиля (The study of viscous effect on spoiler mounted on the trialing edge of the supercavitating hydrofoil). / Zaw Win, G.M. Fridman. // International Conference on subsea technology SubseaTech 2009, June 2009, St. Petersburg, Russia, pp. 307-310 (автор - 70%).

Издательство СПбГМТУ, Лоцманская, 10 Подписано в печать 26.04.2010. Зак. 3979. Тир.70. 1,3 печ. л.

Введение 1

1 Профиль с интерцептором в безударном кавитационном режиме 20

1.1 Безударный кавитирующий профиль: нелинейная задача.21

1.1.1 Формулировка нелинейной задачи и ее точное аналитическое решение и асимптотический анализ.21

1.1.2 Числовые результаты. Проектирование оптимального профиля в безударном кавитационном режиме.30

1.2 Безударный профиль с застойной зоной, схема Тулина-Терентьева 38

1.2.1 Формулировка нелинейной задачи и ее точное аналитическое решение.38

1.2.2 Численное решение задачи, процедура поиска начальной точки.41

1.2.3 Числовые результаты.45

1.3 Безударный кавитирующий профиль с застойной зоной, схема Эфроса .53

1.3.1 Точное аналитическое решение и поиск начальной точки . 53

1.3.2 Числовые результаты.56

2 Оптимальный суперкавитирующий профиль с интерцептором 60

2.1 Кавитирующий профиль с интерцептором: асимптотический подход 61

2.1.1 Формулировка задачи.62

2.1.2 Внешнее решение.63

2.1.3 Локальные задачи вблизи кромок профиля.68

2.1.4 Сращивание и построение составного решения .73

2.1.5 Числовые результаты.75

2.2 Оптимальный суперкавитирующий профиль с интерцептором . . 84

2.2.1 Формулировка задачи линейного программирования . 84

2.2.2 Проектировочный расчет оптимального суперкавитирую-щего профиля с интерцептором: числовые результаты . . 90

2.2.3 Вспомогательная оптимизационная задача для угла атаки 100

3 Влияние вязкости потока на эффективность интерцептора 106

3.1 Уравнения Навье-Стокса динамики ньютоновской несжимаемой среды.107

3.2 Методы моделирования турбулентных течений.111

3.2.1 Уравнение движения турбулентных течений.114

3.2.2 Дифференциальные модели турбулентности.116

3.2.3 Моделирование течения в пристеночной области .119

3.2.4 Метод конечных объемов.123

3.3 Алгоритм учета влияния вязкости на эффективность интерцептора 130

3.4 Верификация CFD кода для суперкавитирующего профиля . 137

3.4.1 Описание эксперимента.137

3.4.2 Числовые результаты (CFD).139

Заключение

В диссертационной работе в диссертации с позиций аналитических, численных и асимптотических методов рассмотрен широкий круг проектировочных задач по определению оптимальной формы суперкавитирующего профиля с интер-цептором, которая обеспечивает наибольшее гидродинамическое качество для заданного коэффициента вязкостного трения возможное при наложенных ограничениях.

В работе впервые найдены точные аналитические решения нескольких новых нелинейных обратных задач обтекания профиля в так называемом безударном кавитационном режиме когда передняя критическая точка (точка раздвоения нулевой линии тока) совпадает с вершиной клиновидной, смоченной с обеих сторон входящей кромки профиля, имеющей фиксированный угол заострения. Важным преимуществом безударного профиля является увеличенная и контролируемая толщина входящей кромки на переднем участке хорды. Существенной особенностью этих задач является присутствие застойной зоны под интерцеп-тором, которая значительно влияет на геометрию течения и характеристики профиля и позволяет косвенно учесть влияние вязкости.

На основе методики «математического конструктора» построены всюду равномерно пригодные асимптотические решения двумерной задачи обтекания ка-витирующего профиля с интерцептором в рамках открытой схемы Ву-Фабулы замыкания каверны. Общие выражения для этого решения использованы для формирования функции цели (обратное гидродинамическое качество) и ограничений задачи линейного программирования, которая дает оптимальную геометрию суперкавитирующего профиля с интерцептором, удовлетворяющую всем условиям задачи по прочности, однолистности, толщине каверны и т.п.

В компьютерной математической среде МаОютаИса версии 7 создан программный комплекс, реализующий численное решение задачи линейного программирования и обладающий удобным графическим интерфейсом пользователя. С помощью программного комплекса спроектированы несколько профилей оптимальной формы и проанализировано влияние различных параметров течения на качество СК профиля с интерцептором.

Предложен алгоритм вязко-невязкого расчета, на базе которого решена задача об учете влияния вязкости потока на эффективность интерцептора, установленного на суперкавитирующем профиле. Этот алгоритм дает возможность избежать дорогостоящих экспериментов.

В работе сделан ряд основанных на числовых и аналитических результатах выводов относительно степени влияния интерцептора на ГДХ и картину течения, об эффективности в вязком потоке жидкости интерцептора, установленного на кавитирующих крыльях, о практической значимости безударного режима кавитационного обтекания крыльев с фиксированным углом заострения передней кромки и т.д.

1. Авхадиев Ф.Г., Маклаков Д.В. Критерий разрешимости задачи построения профилей по кавитационной диаграмме, Изв. вузов., Матем., 1994, No. 7, стр. 3-12

2. Аксентьев Л.А., Ильинский Н.Б., Нужин М.Т., Салимов Р.Б., Тумашев Г.Г. Теория обратных краевых задач для аналитических функций и ее приложения, Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал., 18, ВИНИТИ, М., 1980, стр. 67—124

3. Александров К.В., Васильев A.B. Влияние циркуляции на параметры кавитационного обтекания профиля (частичная кавитация). Материалы по обмену опытом, Гидродинамик высоких скоростей, НТО им. акад. А.Н.Крылова, вып. 3, 1983, стр. 31-37.

4. Амромин Э.Л., Васильев A.B. Об определении подъемной силы при частичной кавитации. Механика жидкости и газа, No. 5, 1994, стр. 71-74.

5. Апухтин П.А., Войткунский Я.И. Сопротивление воды движению судов. Л.: Машгиз, 1953.

6. Артюшков Л.С., Ачкинадзе А.Ш., Русецкий A.A. Судовые движители. Л.: Судостроение, 1988, 295 стр.

7. Ачкинадзе А.Ш. Оптимальная форма суперкавитирующего профиля заданной толщины при произвольном числе кавитации. Сб. на-учн. тр. ЛКИ, вып. 80, 1972, стр. 13-18.

8. Ачкинадзе А.Ш. Линейная задача о движении суперкавитирующего крыла и задача о его оптимальной форме (вариационный подход). Сб. НТО им. акад. А.Н. Крылова, 1974, вып. 217, стр. 139-164.

9. Ачкинадзе А.Ш. Применение линейной теории струйных течений для проектирования оптимальных сечений суперкаитирующих крыльев и гребных винтов. Дисс. на соискание ученой степени к-та техн. наук. ЛКИ, Ленинград, 1975.

10. Ачкинадзе А.Ш. Принцип минимума кавитационного сопротивления как метод численного решения линейной задачи о движении кавитирующего крыла конечного размаха. Сб. научи, тр. ЛКИ, Гидромеханика и теория корабля, 1979, стр. 86-92.

11. Ачкинадзе А.Ш. Оптимальные суперкавитирующие профили. В кн. Басин М.А., Шадрин В.П. Гидроаэродинамика крыла вблизи границы раздела сред. Л.: Судостроение, 1980. стр. 153-160.

12. Ачкинадзе А.Ш. Применение методов математического программирования в линейной теории кавитационных течений. Доклады 12-ой сессии НМСГС, Варна, 1983, том 2, стр. 32/1-22.

13. Ачкинадзе А.Ш., Темкин А.Б. Аналитическое решение плоской задачи о кавитационном обтекании дуги круга при произвольном числе кавитации с использованием открытой линейной модели. Сб. научн. тр. ЛКИ, Проблемы гидромеханики судна, 1983, стр. 20-26.

14. Ачкинадзе А.Ш., Фридман Г.М. Сравнение оптимальных суперкавитиру-ющих дужки и пластинки с интерцептором при нулевом числе кавитации. Сб. научн. тр. ЛКИ, Проблемы гидромеханики и динамики судна, 1990, стр. 10-14.

15. Ачкинадзе А.Ш., Фридман Г.М. Оптимальные контуры, обтекаемые по схеме Кирхгофа. Сб. Динамика сплошных сред со свободными границами, Чебоксары, изд-во ЧГУ, 1996, стр. 42-47.

16. Ачкинадзе А.Ш., Фридман Г.М. Оптимальные профили для суперкави-тирующих гребных винтов с интерцепторами и фиксированным углом заострения передней кромки. Прикладная гидромеханика, т. 2, N0. 3, 2000, стр. 5-16.

17. Зо Вин. Исследование влияния вязкости на эффективность интерцеп-тора, установленного на задней кромке суперкавитирующего профиля, Морской Вестник, No. 3 (31), 2009, стр. 90-92.

18. Гогиш JI.B., Степанов Г.Ю. Отрывные и кавитационные течения.,- М: Наука, 1990 384 с.

19. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости, М.: Наука, 1979, 536 стр.

20. Гуревич М.И., Янпольский А.П. О движении глиссирующей пластинки. Техника воздушного флота, No. 10, 1933, стр. 52-70.

21. Егоров И.Т., Садовников Ю.М., Исаев И.И., Басин М.А. Искусственная кавитация, J1.: Судостроение, 1971.

22. Елизаров А.М., Касимов А.Р., Маклаков Д.В. Задачи оптимизации формы в аэрогидродинамике, Физматлит, 2008, 480 стр.

23. Елизаров А.М., Ильинский Н.Б., Поташев A.B. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики. М.: Наука, 1994, 436 стр.

24. Ефремов И.И. Линеаризованная теория кавитационного обтекания. Киев: Наукова думка, 1974.

25. Иванов А.Н. Кавитационное обтекание профилей крыльев. Известия АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, No. 6, 1960, стр. 117-119.

26. Иванов А.Н. Гидродинамика развитых кавитационных течений. Л.: СуNдостроение, 1980, 240 стр.

27. Илюшкин В.М., Лотуллин М.В., Маклаков Д.В. Обтекание решетки су-перкавитирующих профилей с интерцепторами. Труды семинара по обратным краевым задачам, Казань, изд-во КГУ, вып. 22, 1985, стр. 95103.

28. Кузнецов A.B., Лотфуллин М.В., Маклаков Д.В. Методика расчета гидродинамических характеристик кавитационного обтекания пластины с интерцептором, изд-во НИИММ при КГУ, Казань, 1988, 25 стр.

29. Кюнци Г.П., Крелле В. Нелинейное программирование. М.: Советское Радио, 1965.

30. Лаврентьев М.А., Шабад Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973, 736 стр.

31. Логвинович Г.В. Гидродинамика течений со свободными границами. Киев: Наукова думка, 1968.

32. Маклаков Д.Ю. Нелинейная задача о движении профиля произвольной формы вблизи границы раздела двух сред разной плотности. Труды семинара по обратным краевым задачам, Казань, изд-во КГУ, вып. 21, 1984, стр. 126-131.

33. Маклаков Д.Ю. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами. М.: изд-во "Янус-К", 1997, 280 стр.

34. Маклаков Д.Ю., Наборова М.В. Кавитационное обтекания профиля произвольной формы. Известия РАН, МЖГ, No. 5, 1995, стр. 86-90.

35. Найфэ А. Введение в методы возмущений: Пер. с англ. М.: Мир, 1984, 535 стр.

36. Никущенко Д.В. Исследование течений вязкой несжимаемой жидкости на основе расчетного комплекса FLUENT, Учебное пособие, 2006.

37. Поздюнин B.JI. Суперкавитирующие винты, Известия АН СССР. Отдел, технич. наук, 1944, No. 1-2.

38. Поздюнин В.Л. О некоторых задачах гидромеханики отрывного обтекания тел, Известия АН СССР. Отдел, технич. наук, 1946, N0. 2.

39. Рождественский К.В. Метод сращиваемых асимптотических разложений в гидродинамике крыла. Л.: Судостроение, 1979, 208 стр.

40. Рыжов В.А. Гидродинамика пропульсивных и энергосберегающих систем с колеблющимися крыльевыми элементами: Дисс. на соискание ученой степени д-ра техн. наук. С.-Петербург, 1998, 435 стр.

41. Садовников Ю.М. Гидродинамические характеристики гребных винтов с интерцептором. В сб. Вопросы судостроения, вып. 4, 1977.

42. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1980, 448 стр.

43. Смирнов Е.М., Зайцев Д.К. Метод конечных объемов в приложении к задачам гидрогазодинамикии и теплообмена в областях сложной геометрии, Научно Технические Ведомости, N0. 2, 2004.

44. Справочник по малотоннажному судостроению. Составитель Б.Г. Мордвинов. Л., Судостроение, 1987, 576 стр.

45. Терентьев А.Г. Кавитационное обтекание плоской пластинки. Известия ВУЗов, Математика, N0. 6, 1964, стр. 159-167.

46. Терентьев А.Г. Плоские стационарные задачи теории струй и кавитаци-онных течений: Дисс. на соискание ученой степени д-ра физ.-мат. наук. Казань-Чебоксары, 1972, 307 стр.

47. Терентьев А.Г. К решению линейной задачи кавитационнго обтекания дуги. Изв. АН СССР, МЖГ, N0. 1, 1972.

48. Терентьев А.Г. Математические вопросы кавитации. Чебоксары, изд-во ЧГУ, 1981, 131 стр.

49. Терентьев А.Г., Лазарев В.А. Кавитационное обтекание пластины ограниченным потоком. В кн.: Физико-технические проблемы. Чебоксары, изд-во Чувашского госуниверситета, 1969.

50. Уиттекер Е.Т., Ватсон Г.Н. Курс современного анализа. В 2-х томах, М.: Физматгиз, 1963, т. 2, 516 стр.

51. Фридман Г.М. Кавитационное обтекание дуги кривой с интерцептором в безграничном потоке. Актуальные задачи гидродинамики, изд-во ЧГУ, Чебоксары, 1989, стр. 121-128.

52. Фридман Г.М. Асимптотическое исследование гидродинамики несущих поверхностей с интерцепторами: Дисс. на соискание ученой степени к-та техн. наук. ЛКИ, 1990, 191 стр.

53. Фридман Г.М. Гидродинамика несущих систем с учетом кавитации и свободных границ потока на основе метода сращиваемых асимптотических разложений. Дисс. на соискание ученой степени д-ра техн. наук. СПбГМТУ, 1999, 322 стр.

54. Фридман Г.М., Рождественский К.В. Обтекание конечной и бесконечной решеток профилей с интерцепторами. Сб. научн. тр. ЛКИ, Средства и методы повышения мореходных качеств судов, 1988, стр. 91-97.

55. Чаплыгин С.А. 1899 К вопросу о струях в несжимаемой жидкости, Труды отделения физ. наук общества любителей естествознания, Т. X, No. 1, Москва.

56. Чаплыгин С.А. Избранные труды, т. 2, М.-Л.: ОГИЗ, 1948.

57. Что такое транцевый интерцептор? В. Баснин, И. Нагайбеков, М. Бунь-ков, Г. Охрименко, С. Соловей. Катера и яхты, No. 5 (111), 1984, стр. 1215.

58. Эфрос Д.А. Гидродинамическая теория плоскопараллельных кавитацион-ных течений. Доклады АН СССР, т. 51, No. 4, 1946, стр. 263-266.

59. Achkinadze A.S. & Fridman G.M. On some aspects of design of supercavitating foils and propellers. Variation and asymptotic approach, Proceedings of PROPCAV'95, Newcastle, UK, 1995, pp. 163-174.

60. Achkinadze A.S. & Fridman G.M. Artificial variation problems method for three-dimensional lifting cavity flows, The Twentieth Symposium on Naval Hydrodynamics, National Academy Press, Washington, D.C., 1996, pp. 466476.

61. Achkinadze A.S., Narvsky A.S. Supercavitating propeller design equation in lifting surface theory and method of its solution. Proceedings of the 14-th SMSSH, BSHC, Varna, Bulgaria, vol. 1, 1985, pp. 19/1-21.

62. Achkinadze A.S., Narvsky A.S. Calculation of cavitating propellers based on the lifting-surface theory. Proc. 4th Internat, congress IMAEM, BSHC, Varna, Bulgaria, 25-30 May, 1987, vol. 5, pp. 158/1-15.

63. Barnaby, S.W. On the formation of cavities in water by screw propellers at high speed. Transactions of I.N.A., 1897, p. 139.

64. Eyi S., Hager J.O., and Lee K.D. Airfoil Design Optimization Using the Navier-Stokes Equations. Journal of Optimization Theory and Applications, 83(3), December 1994, pp. 447-461

65. Fine N.E., Kinnas S.A. A Boundary Element Method for the analysis of the flow around 3-D cavitating hydrofoils, J. Ship Research, vol. 37, 13, Sept., 1993, pp. 213-224.75. FLUENT user's guide, 2003

66. Fridman G.M. Matched asymptotics for two-dimensional planing hydrofoils with spoilers, Journal of Fluid Mechanics, vol. 358, pp. 259-281, 1998.

67. Fridman G.M., Rozhdestvensky K.V. Hydrodynamics of lifting surfaces with spoilers. Proceedings of IV International Symposium on PRADS'89, BSHC, Varna, Bulgaria, 1989, pp. 12-1; 12-7.

68. Fridman G.M., Rozhdestvensky K.V. Nonlinear local solutions in singularly perturbed three-dimensional lifting cavity flows, Proc. of the Second International Symposium on Cavitation, Tokyo, Japan, April 5-7, 1994, pp. 95-98.

69. G.M. Fridman and A.K. Uryadov Cavitating flat plate with stagnation zone in the spoiler vicinity, Proceedings of The Second International Summer Scientific School "High Speed Hydrodynamics", June 2004, Cheboksary, Russia, pp. 83-90.

70. Geurst J.A. Linearized theory for fully cavitated hydrofoils, International Shipbuilding Progress, vol. 7, No. 65, 1960, pp. 165-182.

71. Hanaoka T. Linearized theory of cavity flows past a hydrofoil of arbitrary shape. Journal of the Society of Naval Architects, Japan, vol. 115, June, 1964, pp. 56-74.

72. Helmholtz H. Ueber discontinuirliche Fliissigkeitsbewegungen. Monatsber. Konigl. Akad. Wissenscheften, Berlin, 1868.

73. Hong Son. Performance prediction of cavitating propulsors using viscous/inviscid Interaction method, Ph.D. thesis, 2008.

74. Johnson V.E., Jr. Theoretical and Experimental Investigation of Supercavitating Hydrofoils Operating Near the Free Water Surface. Technical Report TR R-93, NASA, 1961.

75. Kamiirisa H. and Aoki, D. Development of Supercavitating Propeller for Outboard Motors. Proceedings of the Second International Symposium on Cavitation, Tokyo, Japan, April 5-7, 1994.

76. Kato H. Recent advances in cavitating foil research, Proceedings of the International Conference on Hydrodynamics, 1994, pp. 80-89.

77. Kato IT. Cavitation, in Advances in Marine Hydrodynamics, chap. 5, Computational mechanics publication, pp. 233-277.

78. Kerwin J.E., Kinnas S.A., Lee J.T., Shih W.Z. A surface panel method for the hydrodynamic analysis of ducted propellers. Transactions of SNAME, vol. 95, 1987, pp. 93-122.

79. Kikuchi Y., Kato H., Yamaguchi H., and Maeda M. Study on a Supercavitating Foil. Proceedings of the Second International Symposium on Cavitation, Tokyo, Japan, April 5-7 1994, pp. 127-132.

80. Kinnas S.A. Leading-edge corrections to the linear theory of partially cavitating hydrofoils, J. Ship Research, vol. 35, 1, March, 1991, pp. 15-27.

81. Kinnas S.A. Supercavitating 2D hydrofoils: prediction of performance and design, 2002, NATO-RTO Lecture Series 005, pp. 21(1)-21(27).

82. Kinnas S.A., Fine N. Analysis of the flow around supercavitating hydrofoils with midchord and face cavity detachment. J. Ship Research, vol. 35, 3, September, 1991, pp. 198-209.

83. Kinnas S.A. & Fine N. A boundary element method for the analysisof the flow around 3D cavitating hydrofoils, J. Ship Research, vol. 37, No. 3, 1993, pp. 213-224.

84. Kinnas S.A, Mishima S., Brewer W. Nonlinear analysis of viscous flow around cavitating hydrofoils, The Twentieth Symposium on Naval Hydrodynamics, National Academy Press, Washington, D.C., 1996, pp. 446465.

85. Kozhukharov P., Zlatev Z. Cavitating propeller characteristics and their use in propeller design. Proc. High-speed surface craft conference, London, May, 1983.

86. Kuda T., Ukon Y. Calculation of supercavitating propeller performance using a vortex lattice method. Proceedings of the Second International Symposium on Cavitation, Tokyo, Japan, April 5-7, 1994, pp. 403-409.

87. Lee C.-S., Kim Y.-G., Lee J.-T. A potential-based panel method for the analysis of a two-dimensional super- or partially cavitating hydrofoil, /. Ship Research, vol. 36, 2, March, 1992, p. 168-181.

88. Mishima S. Design of cavitating propeller blades in non-uniform flow by numerical optimization, Ph.D. thesis, Massachusetts institute of Technology, September, 1996, 153 p.

89. Mishima S., Kinnas S. A. "A numerical optimization technique to the design of two-dimensional cavitating hydrofoil sections", Journal of ship research, 1996, vol. 40, nol, pp. 28-38

90. Ogilvie T. Singular perturbation problems in ship hydrodynamics, The University of Michigan, Paper No. 096, October, 1970, 198 pp.

91. Reynolds O. Papers on mechanical and physical subjects. Cambridge, vol. II, 1894, p. 578.

92. Riabouchinsky D. On steady fluid motion with free surfaces. Proceedings of the London Mathematical Society, vol. 19, ser. 2, 1920.

93. Rozhdestvensky K.V. Aerodynamics of a lifting system in extreme ground effect. Springer-Verlag, 2000, 352 p.

94. Rozhdestvensky K.V., Fridman G.M. Matched Asymptotics for Free Surface Lifting Flows with Spoilers. Mathematical Approaches in Hydrodynamics, S1AM, Philadelphia, USA, 1991, pp. 499-517.

95. Rozhdestvensky K.V., Fridman G.M. Supercavitating nonlinear flow problems: matched asymptotics. Supercavitating Flows, 2002, NATO-RTO Lecture Series 005, pp. 19(1)-19(30).

96. Rozhdestvensky K.V., Wu C.-K. Numerical analysis of viscous flow past a rounded leading edge of a lifting foil with use of matched asymptotics, Proceedings of the Seventh International Conference on Numerical Ship Hydrodynamics, July, 1999.

97. Terentev A.G., Dimitrieva N.A. Theoretical investigation of cavitating flows, Proceedings of the Third International Symposium on Cavitation, Grenoble, France, 1998, vol. II, pp. 275-280.

98. Tulin M.P. Steady two-dimensional cavity flows about slender bodies. Technical Report 834, DTMB, May, 1953.

99. Tulin M.P. Supercavitatig flows past foils and struts. Proceedings of Symposium on Cavitation in Hydrodynamics, NPL, Tenddington, England, September, 1955.

100. Tulin M.P. Supercavitating flows small perturbation theory, J. Ship Research, vol. 7, No. 3, 1964, pp. 37-43.

101. Tulin M.P. Fifty years of supercavitating flow research in the U.S.: personal recollection. Applied hydromechanics, National Academy of Sciences of Ukraine Institute of Hydromechanics, Vol. 2, No. 3, 2000, pp. 100-107.

102. Tulin M.P, Hsu C.C. New applications of cavity flow theory. Transactions of 13-th Symposium on Naval Hydrodynamics, Tokio, Japan, 1980, pp. 107131.

103. Uhlman J.S. The surface singularity or boundary integral method applied to supercavitating hydrofoils, /. Ship Research, vol. 33, 1, March, 1989, pp. 16-20.

104. Ukon Y. Research on design and application of supercavitating propellers, SRI, vol. 33, No. 3, 1996, p. 151-180.

105. Ulstein T., Faltinsen O.M. Two-dimensional unsteady planing, /. Ship Research, vol. 40, No. 3, Sept., 1996, pp. 200-210.

106. Van Dyke M. Perturbation methods in fluid mechanics. Parabolic Press, Stanford, 1975, 271 pp.

107. Waid R.L., Lindberg Z.M. Experimental and theoretical investigation of a supercavitating hydrofoil, Engineering Division California Institute of Technology, 1957, Report No. 47-8.

108. Zaw Win and Fridman G.M. The study of viscous effect on spoiler mounted on the trialing edge of the supercavitating hydrofoil, International Conference on subsea technology SubseaTech 2009, June 2009, St. Petersburg, Russia.

109. Wolfram S. The Mathematica Book. (Mathematica Version 7), Wolfram Media, Cambridge University Press, Fourth Edition, 2009

110. Wu T.Y. A note on the linear and nonlinear theories for fully cavitated hydrofoils. Technical Report No. 21-22, California Institute of Technology (CalTech), Hydrodynamics Laboratory, August, 1956.

111. Wu T.Y. A wake model for free-streamline flow theory. Journal of Fluid Mechanics, vol. 13, No. 2, 1962.

112. Yim B. Application of Matched Asymptotic expansion for designing a leading edge of super-cavitating section. Journal of Ships and Ocean Engineering, vol. 21, December, 1995, pp. 1-6.

113. Yim B. Nonlinear theory for a supercavitating shock-free flapped foil with the finite cavity length in a cascade. Proceedings of the Third International Symposium on Cavitation, Grenoble, France, 1998, vol. II, pp. 31-38.