Гидродинамика несущих систем с учетом кавитации и свободных границ потока на основе метода сращиваемых асимптотических разложений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Н;РПзах ЗДГСИ

- ^ яи«

ФРИДМАН Григорий Морицович

ГИДРОДИНАМИКА НЕСУЩИХ СИСТЕМ С УЧЕТОМ КАВИТАЦИИ И СВОБОДНЫХ ГРАНИЦ ПОТОКА НА ОСНОВЕ МЕТОДА СРАЩИВАЕМЫХ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ

Специальность 01.02.05 -Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Санкт-Петербург 2000

Работа выполнена на кафедре Прикладной математики и математического моделирования Санкт-Петербургского государственного морского технического университета.

Научный консультант: засл. деятель иауки РФ,

доктор технических наук, профессор К.В. Рождественский

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор А.Н. Иванов

доктор физико-математических наук, профессор Д.В. Маклаков

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Н.Г. Кузнецов

Ведущая организация: Государственный научно-исследовательский

центр НАГИ им. проф. Н.Е. Жуковского

Защита состоится декабря 2000 г. в ^^ часов на заседа-

нии диссертационного совета Л.053.23.01 при Санкт-Петербургском государственном морском техническом университете по адресу 190008, Санкт-Петербург, Лоцманская ул., 3, актовый зал.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного морского технического университета.

Автореферат разослан ' ^ ноября 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат технических наук, доцент '¡Ф-у С.Г. Кадыров

0455,^ -Ои/сА'О МЛ р..410

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена изучению задач гидродинамики каптирующих, глиссирующих и подводных крыльев, в которых присутствуют области концентрации сильных нелинейных эффектов, с позиций асимптотических методов.

Методика исследований. В настоящей работе асимптотические методы, главным образом метод, сращиваемых асимптотических разложений1 (САР) использован как основной инструмент исследования, каркас, вокруг которого "наращиваются" и на котором держатся решения различных потенциальных задач гидродинамики несущих систем с учетом кавитации и свободных границ потока. В настоящей работе на базе метода САР предложена и реализована методология математического конструктора, дающего возможность выбирать и комбинировать подходящие для конкретной задачи внешние (дальнее поле) и внутренние (ближнее поле) асимптотические решения и создавать из них составное равномерно пригодное.

Аналитическая и численная реализация "математического конструктора" предполагает

★ построение внешнего решения, пригодного вне областей особых возмущений, где сконцентрированы сильные нелинейные эффекты либо факторы, не учтенные в дальнем поле и, затем, определение двучленных внутренних разложений этого внешнего решения для каждой зоны особых возмущений. Поведение внешнего решения качественно диктуется локальными задачами, а коэффициенты в его асимптотическом разложении определяются численно;

* для гладкого соединения внешнего решения с нелинейными внутренними, также определяются двучленные внешние разложения всех внутренних разложений. При этом особое значение имеет со здание набор а приемлемых внутренних нелинейных решений, моделирующих различные схемы течения в ближнем поле. Приемлемость внутренних решений заключается в наличии у них обязательной общей внешней асимптотики (асимптотической структуры) в дальнем поле течения. Примером

'Рождественский К.В. Метод сращиваемых асимптотических разложений в гидродинамике крыла. Л.: Судостроение, 1979, 208 стр.

таких приемлемых внутренних решений служат локальные задачи, описывающие течение около интерцептора со щелью, с застойной зоной, произвольно изогнутого интерцептора и т.п.;

■к благодаря использованию двучленных разложений, численно-аналитическое сращивание представляет собой достаточно про-. стую, быструю и прозрачную процедуру обмена информацией между ближним и дальним полем, замыкающую общее решение задачи за счет формирования дополнительных условий для определения неизвестных величин;

* как следствие, появляется возможность собирать, конструировать составное всюду равномерно пригодное асимптотическое решение из "хорошо подогнанных" друг к другу частей: одного общего внешнего решения (линеаризованного либо нелинейного) и набора взаимозаменяемых нелинейных локальных задач.

В процессе построения внешних асимптотических разложений работа опирается на ряд методов:

© теория потенциала ускорений в сочетании с методом коллокаций использована для решения пространственной стационарной задачи глиссирования;

в метод искусственных вариационных задач (ИВЗ), предложенный А.Ш. Ачкинадзе2 и развитый автором совместно с А.Ш. Ачкинадзе в работах [9, 10, 11, 12], применен для решения линейных пространственных задач обтекания кавитирующих крыльев;

• линейная теория кавитации3 и глиссирования4, базирующаяся на теории функций комплексного переменного использовала для двумерных задач. При этом важно, что для учета влияния интерцептора на задней кромке крыла все внешние линейные решения построены в новом классе оо — оо;

• теория несущей линии в асимптотической интерпретации работы5 была применена для определения внешнего решения задачи о крыле

2 Ачкинадзе А.Ш. Применение методов математического программирования в линейной теории кавитационных течений. Дохладн 12-ой сессии НМ-СГС, Варна, 19S3, тон 2, стр. 32/1-22

3Tulin М.Р. Supercavitating flows - small perturbation theory, J. Ship Research, vol. 7, No. 3,1964, pp. 37-43

4Седов Jl.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1980, 448 стр.

'Van Dyke M. Lifting line theory as a singular perturbation problem. Journal of Applied Mathematics & Mechanics, vol. 28,1964, pp. 90-101.

и тандеме крыльев большого удлинения вблизи свободной поверх-

^ кости;

' Основанные на теории функций комплексного переменного методы теории струй идеальной жидкости6 и, прежде всего, метод особых точек Чаплыгина, значительно развитый А.Г. Терентьевым использованы при построении точных аналитических решений нелинейных плоских внутренних задач.

Тот же метод особых точек Чаплыгина, а также модификация метода Леви-Чивиты применены для нахождения точных аналитических решений плоских нелинейных задач обтекания профилей в безотрывном, кавитационном и глиссирующем режиме, используемых для верификации полученных асимптотических результатов.

Обоснованность и достоверность полученных результатов и вытекающих из них выводов обеспечены удовлетворительным согласованием числовых результатов с экспериментальными данными, полученными в 11АГИ им. проф. Н.Е. Жуковского7 и ЦНИИ им- акад. А.Н. Крылова, а также с расчетами и экспериментами, приведенными в ряде научных статей. Математическое моделирование основано на известных моделях механики жидкости в теории крыла и физических предпосылках, отражающих реальный характер исследуемых процессов; все составные асимптотические решения получены в рамках методологии метода САР, при этом в дальнем поле в ряде задач проведена корректная процедура линеаризации граничных условий; все плоские нелинейные задачи в работе решены с применением строгих аналитических методов теории функции комплексного переменного.

Практическая значимость и актуальность исследования целиком и полностью связаны с самим предметом и целью исследования: разработкой с единых асимптотических позиций эффективных методов решения потенциальных задач обтекания несущих крыльев и их систем в присутствии свободных поверхностей. К ним, в частности, относятся задачи о подводных крыльях, о кавитирующих кры-^ льях и лопастях гребных винтов с интерцепторами, о глиссирующих поверхностях с интерцепторами и комплексах (тандемах) крыльев,

6Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости, М.: Наука, 1979, 536стр.

^Банников Ю.М., Лукашевский В.А. Экспериментальное исследование под-ьемной силы и сопротивления глиссирующих пластин, Ученые записки ЛАГИ, т. 7, N0. 1, 1976

состоящих из элементов, каждый из которых работает в одном из перечисленных выше режимов обтекания. Все эти объекты активно используются в современных скоростных судах на подводных крыльях, глиссерах, екранопланах и других подобных аппаратах.

Созданная асимптотическая методика позволила проводить поверочный и проектировочный расчет квитирующих профилей и крыльев с интерцепторами в ударном и безударном режимах обтекания, рассчитывать ГДХ и форму свободный поверхностей для глиссирующих, кавитирующих и подводных крыльев и тандемов крыльев большого удлинения и т.п. Полученные результаты решения оптимизационных задач для суперкавитирующих профилей дали верхние оценки по гидродинамическому качеству, которые следует учитывать при проектировании. При помощи численно-асимптотических методов спроектирован кавитирующий профиль с интерцептором и контролируемой толщиной передней кромки, работающий в безударном режиме и обладающий рядом преимуществ по сравнению с обычным. Проведено исследование влияния интер-цепторов и малых закрылков на характеристики крыльев и найдены оптимальные с точки зрения прироста подъемной силы крыла параметры их установки (угол наклона, размер щели и т.д.)

Научная новизна и основные результаты. Диссертация является самостоятельным оригинальным научным исследованием, значительно развивающим метод сращиваемых асимптотических разложений, на базе которого решен ряд важных практических задач гидродинамики крыльев со свободными поверхностями. Основные результаты, выносимые автором на защиту, и их научная новизна заключаются в следующем:

» разработана и реализована методология "математического конструктора", основанная на методе сращиваемых асимптотических разложений и предназначенная для эффективного построения равномерно пригодного решения рассматриваемой задачи из линейного либо нелинейного внешнего и нелинейных внутренних решений;

о сформулирован в общем виде и численно реализован для трехмерной задачи о к авизирующем крыле с интерцептором по открытой схеме замыкания каверны метод искусственных вариационных задач (ЕВЗ), основанный на вариационном подходе и

предназначенный для поверочного и проектировочного расчета кавитируюхцих профилей, крыльев и лопастей гребных винтов;

• предложена и численно реализована нелинейная асимптотически методика уточнения смоченной поверхности плоскокилева-того глиссирующего крыла с шгтерцелтором, рассчитанной в рамках линейной модели8

• сформулирован в общем виде и численно реализован для трех режимов обтекания профиля с интерцепгором или закрылком нелинейный асимптотический подход, основанный на методологии метода САР и позволяющий сращивать нелинейные внешние решения с нелинейными внутренними в тех задачах, где этого не проводилось ранее;

в построено точное аналитическое решение и получены числовые результаты для нелинейной плоской задачи обтекания глиссирующего произвольно изогнутого контура с заданным направлением возвратной струйки на бесконечности без учета влияния силы тяжести, при этом использована модификация метода Л еви-Чивиты;

в предложен и численно реализован общий подход к аналитическому решению локальных нелинейных задач для крыльев большого удлинения вблизи свободной поверхности, который дал возможность алгоритмизировать процесс сращивания с решением в дальнем поле по теории несущей линии;

» в рамках методологии "математического конструктора" решены задачи проектирования и оптимизащт суперкавнтпрующих профилей: найдены теоретические верхние оценки по гидродинамическому качеству для оптимальных суперкавитиругощих профилей с интерцепторами при произвольном числе кавитации, которые не могут быть превзойдены в процессе реального проектирования; спроектирован оптимальный суперкавитиру-ющий профиль нового типа с заданным углом заострения передней кромки и 2% интерцептором на задней, обтекаемый в

8 Щеглова М.Г. Расчет смоченной длины пластинки конечного размаха при глиссировании с постоянной скоростью: Сб. работ по гидродинамике. ВИН ЦАГИ, 1959

безударном режиме, когда критическая точка совпадает с вершиной смоченной с двух сторон передней кромки, при этом использовано обобщенное условие однолистности течения;

о найдено всюду равномерно пригодное асимптотическое решение задачи о глиссировании произвольного профиля с интерцептором по поверхности весомой жидкости для произвольного числа Фру-.да, при этом в дальнем поле использован метод Л.И. Седова;

• в рамках методологии "математического конструктора" с единых позиций найдены асимптотические решения для подводного, глиссирующего и безударною квитирующего крыла и тандема крыльев большого удлинения около свободной поверхности, позволяющие определить ГДХ и форму свободных границ потока;

« получено около 20-ти точных аналитических решений и соответствующих числовых результатов для новых нелинейных локальных задач обтекания входящих и выходящих кромок крыльев в режиме кавитации (с малыми и развитыми кавернами), глиссирования и безотрывном, при этом все решения найдены методами теории струй идеальной жидкости.

Апробация работы. Результаты диссертации по мере получения были доложены на городском семинаре по гидромеханике (С.Петербург, 1993 и 1994 гг.); на семинарах научно-технического общества им. акад. А.Н. Крылова (С.-Петербург, 1993); на Всесоюзной школе-конференции "Гидродинамика больших скоростей" (Чебоксары, 1988, 1996); на научно-технической конференции "Кры-ловские чтения" (С.-Петербург, 1997); на конференции, посвящен-но 300-летию Российского флота (С.-Петербург, 1997); на научно-методической конференции "Герценовские чтения" (С.-Петербург, 1998); в цикле выступлений, сделанных автором в институтах Сеула, Тэджона и Пусана (Seoul National University, Korean Research Institute of Ships and Ocean Engineering, Pusan National University, Republic of Korea, 1997); на международных конференциях IV International Symposium on PRADS'89 (Varna, Bulgaria, 1989); "Асимптотические методы в механике - Asymptotics in Mechanics (AiM)" (С.-Петербург, 1994 и 1996); 25-th k 27-th Israel Conference on Mechanical Engineering (Haifa, Israel, 1994 и 1998); The Twentieth ONR Symposium on Naval

Hydrodynamics (Santa Barbara, U.S.A., 1994); Second International Symposium on Cavitation (Tokyo, Japan, 1994); PROPCAV'95 Symposium (Newcastle, UK, 1995); The NSN Conference (St.Petersburg, Russia, 1996); Third International Symposium on Cavitation (Grenoble, France, 1998); The Seventh International Conference on Numerical Ship Hydrodynamics -NSH'7 (Nantes, France, 1999); The International Conference on Propeller Cavitation (Newcastle, United Kingdom, 2000).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в работах [1]—[23]. Ряд работ выполнен в соавторстве. Из совместных публикаций в диссертацию включены результаты, полученные автором.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, объединяющих 21 параграф, заключения, списка цитированной литературы, включающего 260 наименований, и приложения. Объем работы - 315 страниц текста, 136 рисунков и графиков и 3 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отмечены цели, методика и характер исследований, обсуждена обоснованность и достоверность, актуальность и практическая значимость полученных результатов, апробация работы на различных научных конференциях и семинарах. Кратко обсуждена особая роль асимптотических методов в научных исследованиях, их соотношение с аналитическими и численными методами, указано на перспективность разумного сочетания численных и аналитических подходов, преимущества которого становятся еще более выпуклыми именно в задачах с зонами особых (сингулярных) возмущений, где эффективные численные расчеты часто недостижимы. Проанализирована методология метода САР для крыльевых задач, сформулирован численно-асимптотический подход к построению равномерно пригодного решения, который назван "математическим конструктором". Отмечено, что склеивание локальных аналитических решений и численных внешних повышает точность результатов. Подчеркнута важная роль современных компьютерных пакетов символической математики, в особенности Mathematics 4.СР, для аналитического и

9Wolfram S. The Mathematica Book. (Mathematica Version 4), Wolfram Media, Cambridge University Press, Fourth Edition, 1999, 1415 p.

асимптотического анализа плоских нелинейных задач потенциального обтекания профилей. Во введении также дан обзор работ, в которых получены основные результаты для потенциальных задач обтекания крыльев идеальной несжимаемой жидкостью со свободной поверхностью, а также- обзор исследований, посвященных использованию асимптотических методов для их решения. В настоящее время такие задачи активно разрабатываются в ГосНИЦ НАГИ им. Н.Е. Жуковского, ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова, СПбГМ-ТУ и других организациях. Отмечен большой вклад отечественных специалистов С.А. Чаплыгина, Л.И. Седова, Н.Е. Кочина, Л.А. Эп-штейна, Г.В. Логвиновича, М.И. Гуревича, С.М. Белоцерковского, М.И. Ништа, К.В. Рождественского, А.Н. Иванова, Д.В. Маклако-ва, Н.Г. Кузнецова,А.Г. Терентьева, Э.Л. Амромина, А.Ш. Ачкина-дзе, A.B. Кузнецова, М.А. Васина, Р.Г. Баранцева, И.И. Ефремова, В.А. Лукашевского и Ю.М. Банникова, М.Г. Щегловой, A.B. Лото-ва, C.B. Соловья и многих других. Среди зарубежных исследований выделены работы М. Тулина, М. Ван-Дайка, Дж. Герста, С. Кинна-са, X. Вагнера, Ф. Огилви, X. Като, П. Лихи, А. Грина, О. Фуруйи, Дж. Улмана и др. Аннотированы основные результаты работы, выносимые на защиту. Описана структура работы.

1. Первая глава посвящена анализу локальных течений в зонах особых возмущений задач гидродинамики крыльев в идеальной несжимаемой жидкости. Общие свойства таких внутренних задач, а также критерии, по которым следует определять подобные зоны, обсуждены в параграфе 1.1. Подчеркнуто, что внутренние решения могут быть корректно упрощены за счет подходящего растяжения локальных координат. При этом внутренняя задача часто "теряет" пространственность и становится двумерной, даже если общая задача рассматривается в трех измерениях; локальное число Фруда Fr*, образованное с помощью локальной, т.е. малой, характерной длины оказывается достаточно большим, чтобы влиянием силы тяжести во внутренней области можно было пренебречь; факторы, связанные с нестацконарностью внешнего описания общей задачи, могут оказывать пренебрежимо малое влияние на локальную область и т.п.

В параграфе 1.2 собраны точные аналитические решения вну-

тренних двумерных задач обтекания входящих кромок крыльев при безотрывном и кавитационном режимах. При этом даны не только сами внутренние нелинейные разложения, но и их асимптотики на локальной бесконечности (имеется в виду поведение внутреннего решения при устремлении растянутой локальной координаты

2 — X 4- \У к бесконечности). Рассмотрены острые и закругленные передние кромки некавитирующих крыльев, а также некавити-рующая кромка произвольной (гладкой) геометрии; острые и закругленные передние кромки с малыми кавернами, размеры которых сравнимы с радиусом закругления кромки, либо квадратом толщины крыла; острые и закругленные передние кромки кавитирующкх крыльев и гребных винтов с развитыми кавернами; локальная задача обтекания передней кромки кавитирующего крыла или лопасти гребного винта с заданным углом заострения, обеспечивающая так называемый безударный кавитационный режим обтекания; передние кромки глиссирующих профилей и крыльев в зоне разворота брыз-говой струи.

Выявлена общая асимптотическая структура внутренних решений для входящих кромок: для локальных задач с развитыми кавернами (каверна простирается вплоть до локальной бесконечности) у функции комплексно сопряженной скорости возникает степенная особенность вида "1/4":

а для локальных задач глиссирования, некавитациоииого обтекания и обтекания с малыми кавернами (вся каверна находится во внутренней области) - степенная особенность вида "1/2":

где - локальный комплексный потенциал скоростей, а А, В -неизвестные коэффициенты, зависящие от параметров течения. Отсюда следует, что по внешней области решение должно содержать аналогичные особенности на передней кромке.

Локальные задачи о течении вблизи интерцептора, установленного на задней кромке кавитирующего или глиссирующего крыла, рассмотрены в параграфе 1.3. Предложены четыре альтернативные модели обтекания интерцептора: известная простейшая схема для прямолинейного интерцептора, задача о произвольно изогнутом ин-терцепторе, модель течения со щелью между крылом и интерцепто-ром и схема с застойной зоной перед мнтерцептором. Установлено, что, независимо от выбранной модели) асимптотическая структура внутреннего решения Содержит коршшум особенность для функ-

(1)

¿Г

Аг + —==■ при X —* ±оо ,

ч/т

(2)

¿г

ции комплексно сопряженной скорости, моделирующую влияние интерцептора, см. формулу (2), что в свою очередь диктует -в дальнем поле (внешняя задача) новый класс линейных решений, а именно оо — оо. Это означает, что особенность во внешнем линейном разложении появляется не только на передней, но и на задней кромке, причем мощность этой корневой особенности на задней кромке заранее неизвестна и определится при сращивании. Проведены расчеты, характеризующие влияние щели и застойной зоны на эффективность интерцептора. Для всея четырех моделей численно выявлен оптимальный с точки зрения прироста подъемной силы угол установки интерцептора по отношению к хорде крыла. Значение этого угла в зависимости от других геометрических параметров колеблется в районе 95° -г 100°.

В параграфе 1.4 проанализированы две нелинейные локальные схемы обтекания малого закрылка: простейшая задача о прямолинейном закрылке и модель с закрылком произвольной геометрии. В отличие от задач для интерцептора, предположено, что закрылок обтекается без срыва струй, поэтому в области течения возникает точка (внешний угол стыковки закрылка и крыла), где скорость будет иметь интегрируемую степенную особенность. Определен угол наклона закрылка, обеспечивающий максимальный прирост подъемной силы. Установлено, что как и для локальных задач с ин-терцептором, закрылок генерирует во внешней области корневую особенность на задней кромке, мощность которой определится при сращивании, см. формулу (2).

В параграфе 1.5 предложена общая схема решения внутренних задач для крыльев и систем крыльев большого удлинения вблизи свободной поверхности, которая затем реализована для трех случат ев, включающих три основных режима обтекания: подводного крыла, глиссирующего тандема и безударного кавитирующего крыла под свободной поверхностью. Показано, что для локальных задач о крыльях большого удлинения, которые адекватно описывают поток на расстояниях порядка хорды крыла, независимо от режима обтекания, свободная поверхность не имеет горизонтальной асимптоты. Ординаты свободной поверхности Угб логарифмически изменяются с удалением от крыла, что делает невозможным задание погружения задней кромки:

= Л + В+ о(1) при Xг в -* +оо ; (3)

Таким образом, известный парадокс Грина, установленный впервые

для глиссирующих пластин и обнаруженный затем в нелинейной задаче о подводной пластинке, реализуется для всех типов подобных плоских нелинейных задач. Преодолеть этот парадокс можно лишь при учете влияния трехмерности потока или весомости жидкости. Все локальные нелинейные задачи в параграфе решены методом особых точек и найдены единые формулы, позволившие по точному аналитическому решению определить коэффициенты в общих асимптотических структурах для потенциала скорости и ординаты свободной поверхности, которые используются при сращивании. Проведены числовые расчеты, в том числе для формы свободной поверхности.

Последний параграф 1.6 первой главы посвящен анализу течения в области вблизи замыкания каверны. Предложены две локальные модели замыкания, соответствующие схеме Эфроса с возвратной струйкой и схеме Рябушинского с замыкателем. Показано, что асимптотическая структура внутреннего решения обеих схем содержит корневую особенность и аналогична формуле (2), что соответствует поведению скорости в точке замыкания каверны во внешнем линейном решении для любой закрытой схемы. Отмечено, что в процессе сращивания определяется толщина возвратной струйки и/или геометрия замыкателя, а также все детали течения во внутренней области, которые трудно достижимы при помощи численных методов.

2. Во второй глазе плоские и пространственные задачи кавита-ционного обтекания профилей и крыльев рассматриваются з рамках единого асимптотического подхода, как задачи теории особых (сингулярных) возмущений, а именно, задачи, в которых присутствуют области сосредоточения сильных нелинейных эффектов, подробно описанные в Главе 1. Этими областями, в данном случае, являются зоны в непосредственной близости от передней и задней кромок кавитирующего профиля либо крыла с интерцептором, а также область замыкания каверны для закрытых схем замыкания.

В параграфе 2.1 получено составное решение для произвольного кавитирующего профиля с интерцептором и фиксированным углом заострения передней кромки, равномерно пригодное во всей области течения, включая зону замыкания каверны. В качестве модели замыкания каверны использована схема Эфроса с возвратной струйкой. Главной особенностью задачи является безударный режим обтекания, когда критическая точка совпадает с вершиной смоченной с обеих сторон передней кромки профиля, см. рис. 1.

Построено точное аналитическое решение нелинейной задачи обтекания кагатирующего клина со щеками разной длины и с ин-терцептором на задней кромке нижней щеки в безударном режиме. Проведен подробный асимптотический анализ нелинейного решения. Числовые результаты для гидродинамических характеристик и картины течения, полученные в рамках асимптотического подхода, сопоставлены с данными точной нелинейной и линейной теории, при этом выявлено хорошее согласование нелинейного и асимптотического подхода в широком диапазоне изменения параметров.

0.25 0

-0.25 -0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

х

0.25 0

-0.25 -0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

х

Рисунок 2:

На рис. 2 показаны картина течения и основные параметры потока для безударного кавитирующего профиля с интерцептором, рассчитанные по нелинейной теории (верхний рисунок) и при помощи асимптотического подхода (нижний рисунок). Точками обозначено положение критических точек, возникающих в области замыкания каверны.

Базируясь на полученных асимптотических результатах предыдущего раздела, в параграфе 2.2 рассмотрена задача проектирования оптимальных суперкавитирующих (СК) профилей в ударном и безударном режимах, удовлетворяющих обобщенному условию однолистности течения, подразумевающего достаточную толщину каверны.

Оптимальным будем считать такой СК-профиль, который при неотрицательной толщине каверны и заданном коэффициенте вязкостного сопротивления С/ обладает максимальным гидродинамическим качеством среди двухпараметрического множества профилей, отличающихся углом атаки а и стрелкой прогиба Н для дуги параболы /(х) = 4Лг(1 — х) — ах или углом наклона /?, и длиной выдвига е интерцептора для пластины с интерцептором.

В параграфе предложен и реализован алгоритм проектирования оптимальной пластины с интерцептором для заданного числа кавитации <т > 0 и показано, что для данного коэффициента подъемной силы Су такая пластина всегда имеет более высокое гидродинамическое качество, чем СК-дуга без интерцептора.

Поскольку для заданного коэффициента Су (трактуемого как параметр задачи) качество обратно пропорционально углу атаки, то оптимальным будет наименьшее возможное значение а, удовлетворяющее условию неотрицательности толщины каверны на задней кромке. При а = О

а>-ЯфЛ где « 0.20184. (4)

7Г Зл/5 - 1ой(1 + \/2) Отсюда для оптимальной СК-пластины с интерцептором при <т = 0 '<^,=3.0885^/0", V/?,; аор1 = -0.1199 , УД ;

, (5)

= 0.59419 ~С„.Р, , где Л = ] 4 (—|) <Ц ;

о

Ш = 0.104870^,+ = 0.64767^

\ / ШШ °Уор»

40

л:

30 20 10

С,-. ■■ 0.003 д^-

/ /

/у д кх-к2 к2

0.1 0.2 Рисунок 3:

0.3

На рис. 3 дано сравнение гидродинамического качества оптимальных СК-дуги (кривая К2) и пластины с интерцептором (кривая К\) в зависимости от данного Су при С/ = 0.003, а также относительный выигрыш по качеству в процентах (кривая Д). Точками показаны оптимальные значения качества.

Интересно отметить, что при оптимальных значениях Су по сравнению с пластиной без интерцептора (СУо|>, = 1.253^Д^, а (1/-К)тт = 1.596\/С}) гидродинамическое качество пластины с интерцептором значительно выше (на 246.4%). Лля С/ = 0.003, гидродинамическое качество при оптимальных значениях Су (0.140; 0.169; 0.069) составило 23.3; 28.2; и 11.44 для дуги, пластины с интерцептором и без интерцептора соответственно.

Верхние теоретические оценки гидродинамического качества для каоитирующих пластин с интерцепторами при ненулевом числе кавитации а > 0 имеют вид

1 у/Ц

с \/Щ <*

_ СуорЬ

<Т ~ М]2 V

V/?.

■\/£орГ

1 т/Й Су0рь

м~2 17 О-

/мп Сит/* Л

где сочетания коэффициентов , и Яг показаны на рис. 4.

4 6 8 10 0 2 4 6

л/е/о-

Рисунок 4:

Кривые качества <тК от коэффициента подъемной силы изображены на рис. 5 для разных значений у/ё¡о при коэффициенте трения С] — 0.003. С ростом числа кавитации качество также растет, а оптимальное значение Суарг смещается вправо, в сторону увеличения. На всех кривых показаны точки оптимума по качеству. Нижняя кривая для \/1/сг — 100 практически совпадает с кривой качества для нулевого числа кавитации на рис. 3.

Верхние оценки гидродинамического качества для СК-пластины с интерцептором (6) и (8) не могут быть превышены при проектировании реальных СК профилей, поскольку толщина каверны для реальных профилей будет больше, чем в рассмотренных задачах.

<гК

у/г/о = т С; = 0.003; р=г/2

I_I_1_

0.1 0.2 Рисунок 5:

0.3

СУ1<Т

В параграфе также предложен и численно реализован алгоритм проектирования профиля с заданным распределением толщины и с интерцептором при ненулевом числе кавитации а. Формулировка задачи проектирования такова: при заданных значениях сг > 0, угла наклона интерцептора /3,, коэффициента вязкостного сопротивления С/, а также любых трех из четырех параметров Су, ё, Ни а (соответственно, коэффициента подъемной силы, относительной длины интерцептора, стрелки прогиба нагнетающей стороны профиля и угла атаки) найти длину Ь и форму каверны, четвертый оставшийся незаданным параметр, а также коэффициент кавитационного сопротивления Сх и гидродинамическое качество К. Существенными в задаче для профиля являются требования по прочности, интерпретированные как условие максимизации характерной толщины 6 СК-профиля при заданном законе распределения толщины по хорде /((к). Толщина каверны уг(х) должна быть не меньше толщины профиля (а?) во всех точках его хорды.

В том случае, если максимальная толщина профиля заранее определена, неизвестными становятся два из четырех указанных выше параметров и задачи можно назвать проектировочными, они включают процесс оптимизации по качеству. При неизвестной 6 задачи являются поверочными и не предполагают процесса выбора наилучшего варианта из множества возможных (процесса оптимизации профиля).

Предполагается, что засасывающая сторона профиля полностью охвачена каверной. При этом и в первом, и во втором случае использованы как линейная открытая схема Ву-Фабулы, так и закры-

тая схема замыкания каверны. Для закрытой схемы замыкания дополнительно накладывается ограничение на длину каверны Ь > 1.3, а для открытой - Ь > 1. Определены области однолистности течения, причем отмечено, что наличие интерцептора приводит к их расширению. На основании полученных асимптотических результатов сделан ряд практических выводов. Асимптотические результаты сопоставлены с точными нелинейными и найдено их хорошее согласование. У

0.03 0.02 0.01 0

-0.01

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

х

Рисунок 6:

На рис. 6 показан результат решения проектировочной задачи (ось абсцисс направлена по хорде) построения оптимального СК-профи-ля с нагнетающей стороной /(х) = АНх{1 — х) — ах и толщиной по хорде /¡(г) = О.ОЗг (клин с максимальной толщиной б = 0.03) при заданных <г = 0.05, С/ — 0.003, 0 = эт/2 и оптимальном коэффициенте подъемной силы Су0р1 — 0.17. Полученные характеристики течения даны в рисунке. Профиль касается верхней поверхности каверны в точке с абсциссой х и 0.6999, при этом толщина каверны на задней кромке профиля у<(1) т 0.031.

Третья часть параграфа 2.2 содержит асимптотический алгоритм проектирования кавитирующего профиля нового типа с контролируемой толщиной передней кромки, с клиновидной полностью смоченной передней частью и интерцептором при выполнении обобщенного условия однолистности. В отличие от двух предыдущих разделов параграфа, для анализа использовано составное равномерно пригодное решение, а не внешнее разложение. Данные, полученные для интерцептора относительной длины 0.02, собраны в таблицы,-позволившие также сделать ряд выводов об эффективности интерцептора. Приведена форма оптимального по качеству безударного профиля с двухпроцентным интерцептором и границы ка-

верны, см. рис. 7. Отмечено, что важным преимуществом безударного профиля является увеличенная и контролируемая толщина входящей кромки на переднем участке хорды с развитой клиновидной формой смоченной части.

г

Рисунок 7:

В параграфе 2.3 изложен и обоснован метод искусственных вариационных задач (ИВЗ) для кавитирующих профилей и крыльев конечного размаха, причем акцент сделан именно на пространственные задачи. Суть метода ИВЗ можно кратко сформулировать следующим образом: вместо классической краевой задачи, описывающей процесс обтекания кавитирующего крыла как систему граничных условий-уравнений, в рассмотрение вводится эквивалентная задача математического программирования (задача нелинейной оптимизации), включающая набор ограничений-равенств, ограничений-неравенств и некоторый искусственный целевой функционал, который достигает своего минимального, нулевого, значения на точном решении исходной краевой задачи. Функционал называется искусствешшм, поскольку он может не быть связан с какими-либо физическими характеристиками профиля или крыла и выбирается достаточно произвольно.

Принято единственное упрощающее предположение о том, что толщины каверн Л малы и поэтому условия на их поверхности 5сау могут быть снесены на на поверхность крыла 5 (точнее, на проекцию ,?сйу на обозначенную через см. рис. 8 для модели замыкания со следом и с пластиной-замыкателем. Особую роль в вариационной постановке играют естественные дополнительные условия замыкания каверны, связанные с ее толщиной Н и давлением рСЛу

Р - Pcav > 0 и h = О на S\Sfev ; h > 0 на Sfav ; (9)

о

Рисунок 8:

Именно интерпретация этих условий позволяет сформулировать метод ИВЗ и справиться с основной сложностью задачи, заключающейся том, что динамическое и кинематическое краевые условия должны выполняться на заранее не известной области. Вариационный подход к задаче заключается в корректном исключении из всех условий неизвестной поверхности Sfav, в частности

Р - Pcav > о и h > 0 на Sj, , (10)

где Sh - базовая поверхность, составленная из поверхностей S И iScav • При этом количество допустимых решений, удовлетворяющих условиям вариационной задачи становится бесконечным из-за появления условий-неравенств. Для выделения нужного решения из множества допустимых введен специальный минимизируемый функционал, так называемый искусственный минимизируемый функционал, который достигает своего минимального значения (глобального минимума) в точке, соответствующей решению традиционной задачи. Такой функционал для закрытой модели замыкания, например, может быть записан как

Т = JJ(P ~ Pcav) hdg-* min . (И)

Установлена эквивалентность традиционной и вариационной постановок задачи, т.е. показано, что если решения обеих задач существуют, то они совпадают. Действительно, из (10) следует, что

минимизируемый функционал принимает только неотрицательные значения Я > 0. Отсюда и из (11) имеем, что минимальное значение функционала ноль, гшп^ = 0. В-третьих, поскольку решение вариационной задачи соответствует равенству

^ = У/(р-1>сау)Л^ = 0, (12)

то поверхность 5л состоит из двух подобластей 5: и 52, где выполняются условия

Р = Рсау; Л > 0 на 51 С 5л ; р > рСау ; Л = 0 на Яг С 5л . (13)

Очевидно, что ¿н = 5сау и ¿>2 = 5\5сау. Таким образом, все условия традиционной задачи выполняются при 7 — 0, т.е., решение вариационной задачи будет и решением задачи в традиционной постановке.

Су/а ■.....1..... ■.....1 .......... "1 — "1 ■■" 1 1 " — 1

2.5 о о в • — эксперимент; уух"^ <

— несущая линия; о ;

— — метод ИВЗ;

2 ^^ > А = 2 (клин)

1.5 1 " Л = 6 "1 пластина* 1 ----• 1111 1 1

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 а/а Рисунок 9:

Метод ИВЗ сформулирован для закрытой и открытой схемы замыкания. Показано, что при численной реализации метода процесс сводится к решению задач квадратичного программирования с линейными ограничениями. Выполнена линеаризация общей пространственной задачи, приводящая к задаче линейного программирования, и дано численное решение для открытой схемы замыкания со следом. Для повышения точности расчетов внешнее линейное решение сращено с локальными нелинейными кромочными решениями для интерцептора, малого закрылка и передней кромки. Проведено сравнение числовых данных метода ИВЗ по ГДХ и форме каверны

с другими численными методами и отмечено хорошее согласование. Числовые расчеты показали также, что при некоторых длинах вы-двига интерцептора кавитирующее крыло имеет оптимум по качеству. Рис. 9 содержит данные расчета для прямоугольного в плане кавитирующего клина с раствором 9 = 4.28° и удлинением А = 2 и прямоугольной кавитирующей пластины с А = 6. Расчеты по форме каверны в плане для прямоугольного кавитирующего крыла А = 5.9 при а = 5° и различных а от 1 до 0.2 с шагом 0.2 показаны на рис. 10. Поперечные сечения крыла - профили МАСА-1б, относительная толщина сечений максимальна в корневой хорде (там она равна 5%) и убывает по эллиптическому закону до нуля на боковых кромках.

Рисунок 10:

3. Третья глава посвящена задачам глиссирования крыльев с интерцепторами как задачам теории особых возмущений. При этом во внешней области основным инструментом решения плоских и пространственных задач послужила линейная теория глиссирования, модифицированная для классаоо—оо, аво внутренних областях, как обычно, нелинейный метод особых точек. Общая постановка задачи глиссирования с точки зрения асимптотического подхода сформулирована в параграфе 3.1. Проанализированы причины появления в задаче областей особых (сингулярных) возмущений. Обсуждены основные сложности задачи, связанные с нелинейностью граничных условий, которые, к тому же, должны выполняться на заранее неизвестных поверхностях, а также с неизвестной заранее формой смоченной поверхности. Приведены некоторые асимптотические подходы, позволяющие преодолеть эти сложности.

Параграф 3.2 содержит асимптотическое решение задачи о глис-

сировании произвольного профиля с интерцептором по поверхности жидкости без учета силы тяжести. Получены общие формулы внешнего решения в рамках классического подхода и бесквадратурного подхода в классе оо — оо. В рамках построенного составного разложения проведен учет влияния интерцептора на ГЛХ профиля, на параметры брызговой струи и форму свободной поверхности. Например, составное равномерно пригодное выражение для коэффициента давления глиссирующей пластины с интерцептором, когда возвратная струйка направлена вдоль смоченной поверхности, имеет вид

сда = 1-(и<)2, (н)

где ис(х) — и°+и^ + «з — и'°—и2°, индексы х и 2 обозначают решения вблизи задней (х = —1) и передней (х = 1) кромок, причем

о/ ч ,, /Т+х , Ж [7 1

^ -Т1У = (а+Ш 7ГГТ

Получены точные аналитические решения двух нелинейных задач: о пластине с интерцептором при произвольном направлении возвратной струйки и о произвольно изогнутом глиссирующем контуре, рис. 11, (а) и (Ь) соответственно. Эти решения асимптотически проанализированы и использованы в качестве "эталонных" при верификации асимптотических результатов, а также как внутренние нелинейные описания течения вблизи глиссирующих крыльев большого удлинения. Проведено тщательное сравнение числовых результатов линейной, нелинейной и асимптотической теорий, причем найдено, что две последних хорошо согласуются в широком диапазоне углов атаки. Коэффициент распределения давления Ср по смоченной поверхности для глиссирующей пластины с интерцептором (линейная и нелинейная теория и асимптотический подход) показан на рис. 12. Численно определено, см. на рис. 13 зависимость обратного качества от подъемной силы, что при установке интерцептора область высокого качества смещается на большие значения Су (использована модель течения около интерцептора с застойной зоной).

На рис. 14 представлены расчеты Cv для глиссирующей дуги параболы f(x) = 2Л(1 — х2) + ах по точному и асимптотическому решению. Направление возвратной струйки по отношению к хорде профиля сохранено одинаковым для всех углов атаки и равным 175°. Составное решение по методу САР дает результаты, близкие к нелинейной теории как для коэффициента давления, так и интегральных ГДХ.

Рисунок 12:

Рисунок 13:

Рисунок 14:

Следующий параграф 3.3, основываясь на асимптотическом методе и результатах, полученных в предыдущих разделах, включает в себя более общую (и сложную, естественно) задачу о глиссировании профиля с интерцептором под действием силы тяжести. Во внешней области применена модификация известного линейного подхода, предложенного Л.И. Седовым и численно реализованного Ю.С. Чаплыгиным для контура, глиссирующего по поверхности весомой жидкости. Модификация, кроме разнообразных численных аспектов, связана с появлением нового класса решения оо — оо, соответствующего интерцептору на задней кромке. Показано, что при

растяжении локальных координат в зонах особых возмущений влиянием силы тяжести можно пренебречь, поэтому использованные ранее внутренние решения пригодны и для конечных чисел Фру-да ^г < оо. Проведены расчеты ГЛХ профиля с интерцептором в рамках равномерно пригодного асимптотического решения для различных чисел Фруда. На рис. 15 и 16 показан коэффициент подъемной силы Су соответственно в зависимости от длины выдвига ин-терцептора и от угла атаки, вычисленный в рамках линейной и нелинейной теорий и асимптотического подхода для глиссирующей пластины с интерцептором под действием силы тяжести.

Пространственная стационарная задача глиссирования плоскокиле-

ватого крыла с интерцептором решена в параграфе 3.4 в рамках единого асимптотического подхода. Во внешней области использована аналогия с безотрывным обтеканием крыла, которая сохраняется и в трехмерных задачах. Теория потенциала ускорений в сочетании с методом коллокаций использована как основной инструмент решения в дальнем поле. Как и ранее, класс линейного решения взят оо — оо. Задача определения "линейной" смоченной поверхности решена с помощью последовательных приближений, по методике, предложенной М.Г. Щегловой. Передняя кромка смоченной поверхности, найденная в рамках внешнего разложения, интерпретирована как линия критических точек на глиссирующем крыле, что дало возможность провести сращивание с нелинейной плоской локальной задачей и получить уточненную форму смоченной поверхности.

0.4 0.35 0.3 0.25 Св 0.2 0.15 0.1 0.05 0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Л(

Рисунок 17:

Проведено большое число расчетов для плоских и плоскокиле-ватых пластин с интерцептором и без него. Расчеты сопоставлены с экспериментальными данными, полученными С.Б. Соловьем в ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова и В.А. Лукашевским и Ю.М. Банниковым в ЦАГИ и найдены хорошо согласующимися. На рис.17 и 18 показаны коэффициент динамической нагрузка Св и смоченное удлинение в зависимости от глубины погружения задней кромки /»( для плоскокилеватой пластинки при различных длинах выдвига интерцептора с*, а на рис. 14 даны кривые обратного гидр одинамическое качества 6 в зависимости от длины выдвига ин-

терцептора е* для разных глубин погружения задней кромки Л<.

Лwet

4 3.5 3 2.5 2 1.5 1

0.5 0

1 1 1 'о А -

- а = 6°; а<1 = 15° ; &(«)

— 8 ^^

» /¡и'

......-Г(«) = 0

в в, 1 1 1 --Г (в) = 0.0267 _ 1 |

0.1

0.2 0.3 Рисунок 18:

0.4

0.5 Л<

Численно установлено, что для плоского крыла форма смоченной поверхности близка к прямоугольной, а для плоскокилеватого -к трапециевидной (передние кромки смоченной поверхности почти прямолинейны). Интерцептор сравнительно слабо влияет на форму смоченной поверхности. Отмечено также, что приращения коэффициентов динамической нагрузки Свс и сопротивления Сцс, связанные с влиянием интерцептора, мало зависят от смоченной длины и угла атаки глиссирующего крыла. Этим числовым результатам дано обоснование с точки зрения асимптотического подхода к решению задачи.

0.3

0.25 0.2 0.15 0.1

Т

С/ = 0.002

а = 5°; ас = 15°; /?,(я) = 1г/2

0

0.01

0.02 0.03 Рисунок 19:

0.04

0.05

4. Четвертая глава работы содержит ряд новых задач обтекания крыльев и систем крыльев (тандемов) большого удлинения в присутствии свободной поверхности, исследованных в единой постановке и по единой асимптотической методике "математического конструктора". Во всех задачах во внутренней области использован подход, предложенный в разделе 1.5. В параграфе 4.1 приведено общее решение для изолированного крыла большого удлинения около свободной поверхности, см. рис. 20, которое на расстояниях порядка размаха сжимается в несущую линию, лежащую на свободной поверхности, причем все детали течения вблизи самого крыла становятся неразличимы (внешнее решение).

Процедура сращивания сведена к достаточно простому алгоритму, общему для широкого класса подобных задач. Этот алгоритм оказался эффективным и дал возможность свободно комбинировать внешнее решение теории несущей линии с внутренними нелинейными задачами по единой схеме. Основное внимание в параграфе уделено задаче о подводном крыле. Получен общий вид условий, доставляемых сращиванием, в том числе интегро-дифференциальное уравнение

1 -1

единое для всех режимов обтекания крыла около свободной поверхности, где Л и В - коэффициенты из формулы (3) для сечения с

поперечной координатой а 6 [—1; 1], Л{ - погружение задней кромки крыла, £ - малый параметр задачи.

Определены ГЛХ подводного крыла и форма свободной поверхности. Лаже для удлинений А = 2 -?- 3 числовые результаты для пластины хорошо согласуются с данными, полученными в рамках других численных методов, в частности, метода дискретных вихрей, рис. 21.

dCy da

О

1 I I I I I___I _

ht = --■----1 _______________

----ht = -0.2

- ht =

i i i ht = ht(Q)/c(Q) i i i i

О

1

2

6

где

3 4 Рисунок 21:

Из уравнения относительно толщины брызговой струи 5(s) ht(s) = ai(a)K(s) logn(s) + а2(а)к(5) +

+ с3(а) j /c'(si)sgn (s - si) log2|s - sx |dsi ,

(16)

k(S) =

t(1 — cos a) '

flj(a) = —2аз(а) = — sin a ;

1

а2(а) = тг(соз ос — 1) - зта(1 + к^2) + - зт 2а(2 к^ 2 — 1) ,

получены результаты для глиссирующего плоскокилеватого крыла в предположении, что брызговая струя направлена вдоль смоченной поверхности. Построены формы свободной поверхности для нулевого и ненулевого угла килеватости бд, см. рис. 22, где а = 15°, /»( = —0.08, а 9о — 0 и 0о = 10° соответственно. Выводы о форме смоченной поверхности, сделанные в параграфе 3.4 для глиссирующего крыла конечного размаха, повторно подтверждены числовыми результатами.

1

Рисунок 22:

Обнки постановка задач р тандеме ^ь-ьев^ль^о удя— вблизи свободной поверхности пР-е^ор^й^элементы но, что в дальнем поле, на дае

тавдема с продольным Р^"0С0М ^ГГверхнос^Г а для танде-несущие линии, лежащие на свободаой воверхно , ^

ма е продольным разносом ^^ементов т^дема,

ВИЮ, причем все детали -^^^з^его^рыла, становятся включая режим обтекания л« орда-

—!~ дал°

ната

юи поверяй^.» и нелинейными ре-

^ДПТандем' крыльев большого ПРИ продольном

И размаха, в "Р^^^ру^м или глиссирования), рас-

режиме (некавитирующем кадиру^ ^ ^ асимпто.

смотрен в параграфе 4.3. Показано, ч.о обтеКания елемен-

независимо от ретмма^этек ^

тов тандема. Получено внешнее общей схе-

ний и проведено сращивание с числе два

ме. Найдены условия, поставляемы^а^ва^м

элемент^ Структура.

пределения циркулях»— по р--— -32

этих условий одинакова для любых комбинаций элементов тандема. Приведена компактная система двух интегро-дифференциальных уравнений, к которой сводится решения задачи о глиссирующем тандеме, когда возвратные струйки направлены вдоль смоченных поверхностей элементов. Числовые расчеты проведены для тандема плоскокилеватых глиссирующих пластин с произвольным направлением возвратных струек. Проанализировано влияние продольного разноса элементов, глубин погружения их задних кромок и углов атаки на ГДХ, см. рис. 23 и 24.

Сус 0.62

0.58

0.54

0.5

-0.45 -0.4 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2 Рисунок 23:

Суп 0.65

0.64

0.63

0.62

0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 разнос Рисунок 24:

5. Пятая глава посвящена разработке нелинейного асимптотического подхода к решению задач гидродинамики крыла в потенциальном потоке с источниками сильных нелинейных возмущений. К

1 1 1 1 1 1 а2 = 30°" _

- а2 = 15°; Ли = -0.02; ¿=1 -

- »2 = 15° -

~ 1 1 | I I 1 -

подобным объектам относятся, как уже говорилось, интердепторы, малые закрылки, каверны малой по сравнению с хордой длины, щели и отверстия в несущих поверхностях, области сворачивания вихревой пелены и т.п. В большинстве рассмотренных в работе задач во внешней области, вне зон сильных нелинейных эффектов, проводилась процедура линеаризации граничных условий, основанная на упрощающем предположении о том, что несущая система вносит малые возмущения в набегающий поток. Предложенный нелинейный асимптотический подход дал возможность в ряде важных случаев избежать такой линеаризации в дальнем поле и срастить нелинейное внешнее с нелинейным внутренним решением, в результате чего составное асимптотическое разложение хорошо согласуется с точным нелинейным решением даже для сугубо нелинейных параметров течения.

В параграфе 5.1 обсуждены преимущества нелинейно-нелинейного сращивания по сравнению с линейно-нелинейным. Подчеркнуто, что метод САР не накладывает ограничений на линеаризацию внешней задачи, и нелинейный асимптотический подход соответствует общей методологии сращиваемых разложений. Приведен ряд примеров, иллюстрирующих неявное применение такого подхода в различных численных методах (dence panelling, analytical-numerical matching и т.п.)

Параграф 5.2 содержит подробный асимптотический анализ модельной нелинейной задачи теории струй идеальной жидкости -обтекания кавитирующей пластины с интерцептором при нулевом числе кавитации - в предположении, что относительная длина ин-терцептора ё мала, а все остальные параметры, включая и угол атаки а, суть величины порядка 0(1). Показано, что линейное (прямое) асимптотическое разложение точного нелинейного решения рассматриваемой задачи по I некорректно вблизи задней кромки пластины с интерцептором на расстояниях порядка 0(e). По методу особых точек и методу Леви-Чивиты найдено "точное" аналитическое решение нелинейной внешней задачи при ё —»■ 0:

где В - неизвестный коэффициент, определяемый из сращивания с

¿F 1ф2-сг) du ~ 1 (u2 + I)3 '

(18)

нелинейной локальной задачей, ^ = (р+'ир - комплексный потенциал скоростей, а г и и - физическая и вспомогательная переменные для внешней нелинейной задачи, см. рис. 25.

У«

Ух

" ¥ ©

агЧ О

X

О

©

Рисунок 25:

Это решение содержит экспоненциальную особенность неизвестной мощности для комплексно сопряженной скорости на задней кромке, описывающую влияние интерцептора. При этом во внутреннем разложении внешнего решения возникает корневая особенность при г —* 0 и В —► 0. Отмечено, что аналогичная экспоненциальная особенность генерируется в точках сворачивания односпиральных вихрей в схеме Тулина-Терентьева для замыкания каверны. Проведено сращивание нелинейного внешнего и внутреннего решений и получено составное аддитивное и мультипликативное разложение.

В параграфе 5.3 нелинейный асимптотический подход приложен к нелинейной задаче о глиссировании пластинки с интерцептором для произвольного направления возвратной струйки. Точное нелинейное решение задачи и асимптотический анализ выполнены ранее в разделе 3.2. Также построено "точное" аналитическое внешнее решение, проведено сращивание и определено составное асимптотическое разложение.

Нелинейный асимптотический подход применен в параграфе 5.4 для задачи об обтекании пластины с закрылком в безотрывном режиме. Впервые точное аналитическое решение полностью нелинейной задачи дал С.А. Чаплыгин. По общей схеме получено "точное" решение внешней нелинейной задачи, содержащее на задней кромке экспоненциальную особенность неизвестной мощности. Эта мощность определена в процессе сращивания с нелинейным внутренним

решением о закрылке. Асимптотический анализ точного решения (в иной, чем у Чаплыгина, форме) аналитически подтвердил получен-

Рисунок 26:

Все числовые расчеты для трех основных режимов обтекания профиля, проведенные по формулам из предыдущих трех разделов Главы 5, собраны в параграфе 5.5. Основная цель параграфа - сравнить гидродинамические коэффициенты, рассчитанные в рамках точной нелинейной теории с результатами метода САР для линейно-нелинейного сращивания ("классический" подход) и нелинейно-нелинейного сращивания (нелинейный асимптотический

подход). Во всех случаях рассмотрены сугубо нелинейные параметры течений: угол атаки взят а = 50°, относительная длина ин-терцептора (закрылка) ё = е/1 = 0.2, а угол наклона интерцептора (закрылка) = 40°.

Рисунок 28:

Сх 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0 10 20 30 40 50 град

Рисунок 29:

Для глиссирующей пластины направление возвратной струйки на бесконечности принято 70 принято заданным. Сравнение проведено по коэффициентам распределения давления, подъемной силы и сопротивления, см. рис. 26 и 27 для коэффициента давления Ср по всей хорде и вблизи передней кромки кавитирующей пластины с

интерцептором, а также рис. 28 и 29 для кривых Су и Сх от угла атаки а для глиссирующего профиля с интерцептором и рис. 30 для Су от угла атаки некавитирующей пластины с закрылком. Все расчеты показали хорошее согласование нелинейных асимптотических и точных аналитических результатов даже вблизи кромок и даже для столь больших углов атаки. Линейно-нелинейное сращивание для этих параметров приводит к неадекватным результатам, что подтверждает общие положения, сформулированные в разделе 5.1.

Су

8

6 4 2 0

О 10 20 30 40 50 а. гРаД

Рисунок 30:

В заключении отмечено, что в диссертации с единых позиций методов теории особых возмущений рассмотрен широкий круг задач гидродинамики потенциальных течений вокруг крыльев и их систем с учетом кавитации и свободной поверхности. Получены точные аналитические решения около 20-ти новых нелинейных локальных задач для передних и задних кромок крыльев в различных режимах обтекания, выявлены общие асимптотические структуры во внутренних разложениях, дающие возможность проводить сращивание с внешней задачей по единой схеме. На основе методики "математического конструктора" построены всюду равномерно пригодные асимптотические решения плоских и пространственных задач обтекания кавитирующих (в ударном и безударном режимах) и глиссирующих крыльев с интерцепторами со щелью, застойной зоной, произвольной формы и т.п. Решена задача о тандеме крыльев большого удлинения возле свободной поверхности, когда каждый элемент работает в одном из трех режимов: подводного крыла, ка-витационном, глиссирования. Найдены верхние оценки по гидродинамическому качеству для оптимальных суперкавитирующих про-

филей с интерцепторами. При помощи численно-асимптотических методов спроектирован работающий в безударном режиме кавити-рующий профиль с контролируемой толщиной передней кромки и 2% интерцептором. Нелинейный асимптотический подход, подразумевающий нелинейно-нелинейное сращивание, дал хорошие результаты для модельных задач и может быть эффективно встроен в современные численные схемы расчета крыльевых задач в различных режимах обтекания.

В приложении А с точки зрения асимптотических методов представлены некоторые локальные задачи обтекания крыла на предельно малых расстояниях от экрана, т.е. в зоне сильного экранного эффекта10, в так называемом режиме поддува, когда специальными двигателями на крыло нагнетается струя воздуха, за счет чего значительно повышаются его несущие свойства. Обсуждены три схемы обтекания крыльевой системы у экрана воздушными струями: схема с отходящей струей; с плавным огибанием передней кромки и закрылка; с плавным огибанием передней кромки и дальнейшим сходом струи (в последних двух реализуется эффект Коанда). В соответствии с этими схемами предложен и решен в нелинейной постановке набор внутренних задач для передней и задней кромки крыла с закрылком у экрана (с учетом установки дополнительных средств управления потоком: предкрылков, роторов и т.п.), а также задача о течении в зоне между крылом и экраном. Отмечено, что особенностью задач о крыле с поддувом на предельно малых расстояниях от экрана является то обстоятельство, что общее асимптотическое решение получено как результат сращивания нескольких локальных задач между собой. Неким эквивалентом внешнего асимптотического разложения служит задача о течении в канале под крылом, которая, по сути, является также локальной и обладает соответствующими свойствами: решается в растянутых координатах, и более того, "теряет" при этом одно размерение.

ЛИТЕРАТУРА

Основное содержание диссретации опубликовано в следующих работах автора

[1] Ачкинадзе А.Ш., Фридман Г.М. Сравнение оптимальных су-перкавитирующих дужки и пластинки с интерцептором при ну-

10Rozhdestvem]cy K.V. Aerodynamics of a lifting system in extreme ground effect. Springer^ Verlaj, 2000, 352 p.

левом числе кавитации. Сб. научи, тр. ЛКИ, Проблемы гидромеханики и динамики судна, 1990, стр. 10-14.

[2] Ачкинадзе А.Ш., Фридман Г.М. Оптимальные контуры, обтекаемые по схеме Кирхгофа. Сб. Динамика сплошных сред со свободными границами, Чебоксары, изд-во ЧГУ, 1996, стр. 4247.

[3] Ачкинадзе А.Ш., Фридман Г.М. Оптимальные профили для су-перкавитирующих гребных винтов с интерцепторами и фиксированным углом заострения передней кромки. Прикладная гидромеханика, т. 2, No. 3, 2000, стр. 5-16.

[4] Рождественский К.В., Фридман Г.М. Асимптотическая оценка влияния интерцептора на гидродинамические характеристики суперкавитирующих профилей в присутствии границ раздела. Сб. научи. тр. ЛКИ, Прикладная математика и вычислительные системы в судостроении, 1988, стр. 96-111.

[5] Рождественский К.В., Фридман Г.М. Глиссирование слабо изогнутого контура с интерцептором по поверхности тяжелой жидкости. Гидродинамика больших скоростей, Межвузовский сборник научных трудов, Чебоксары, 1990, стр. 94-99.

[6] Фридман Г.М. Кавитационное обтекание дуги кривой с интерцептором в безграничном потоке. Актуальные задачи гидродинамики, изд-во ЧГУ, Чебоксары, 1989, стр. 121-128.

[7] Фридман Г.М. Асимптотическое равномерно-пригодное решение задачи о пластинке, глиссирующей по поверхности неве-сомй жидкости. Сб. научи, тр. ЛКИ, 1990, стр. 73-79.

[8] Фридман Г.М., Рождественский К.В. Обтекание конечной и бесконечной решеток профилей с интерцепторами. Сб. на-учн. тр. ЛКИ, Средства и методы повышения мореходных качеств судов, 1988, стр. 91-97.

[9] Achkinadze A.S. & Fridman G.M. Artificial variation problems method for three-dimensional lifting cavity flows, Preprints of 20-th Symposium on Naval Hydrodynamics, Santa Barbara, U.S.A., 1994, pp. 212-222.

[10] Achkinadze A.S. & Fridman G.M. On some aspects of design of supercavitating foils and propellers. Variation and asymptotic approach, Proceedings of PROPCAV'95, Newcastle, UK, 1995, pp. 163-174.

[11] Achkinadze A.S. Fridman G.M. Artificial variation problems method for three-dimensional lifting cavity flows, The Twentieth Symposium on Naval Hydrodynamics, National Academy Press, Washington, D.C., 1996, pp. 466-476.

[12] Achkinadze A.S. & Fridman G.M. A new algorithm for numerical investigation of unsteady cavitating screw propeller with use of variational approach. Proceedings of 3-rd International Symposium on Cavitation, Grenoble, France, April 7-10,1998, vol. I, pp. 279-285.

[13] Achkinadze A.S. k. Fridman G.M. Optimal sections for supercavitating propellers with spoiler and preset leading edge angle. Proceedings of the International Conference on Propeller Cavitation - NCT'50, University of Newcastle, Newcastle, United Kingdom, April 3-5, 2000, pp. 263-274.

[14] Amromin E.L, Vasilyev A.V., Fridman G.M. Partially cavitating surfaces of large aspect ratio. Proceedings of the Second International Conference on Asymptotics in Mechanics (AiM'96), St.Petersburg, Russia, October 13-16, 1996, pp. 9-16.

[15] Fridman G.M. Nonlinear local solutions in singularly perturbed planing flows. Proceedings of the 25-th Israel Conference on Mechanical Engineering, Technion, Haifa, Israel, May 25-26, 1994, pp. 310-312.

[16] Fridman G.M. Nonlinear local solutions to the problem of the wing in extreme ground effect, Proceedings of the Second International conference on Asymptotics in Mechanics, October, St.Petersburg, Russia, 1996, pp. 89-96.

[17] Fridman G.M. Matched asymptotics for two-dimensional planing hydrofoils with spoilers, Journal of Fluid Mechanics, vol. 358, pp. 259281, 1998.

[18] Fridman G.M., Kornev N.V., Matched asymptotics for three-dimensional planing problems. Proceedings of the 27-th Israel Conference on Mechanical Engineering, Technion, Haifa, Israel, May, 1998, pp. 668-670.

[19] Fridman G.M., Rozhdestvensky K.V. Hydrodynamics of lifting surfaces with spoilers. Proceedings of IV International Symposium on ' PRADS'89, BSHC, Varna, Bulgaria, 1989, pp. 12-1; 12-7.

[20] Fridman G.M., Rozhdestvensky K.V. Nonlinear local solutions in singularly perturbed three-dimensional lifting cavity flows, Proc. of the Second International Symposium on Cavitation, Tokyo, Japan, April 5-7, 1994, pp. 95-98.

[21] Fridman G.M., Rozhdestvensky K.V. A generalized asymptotic approach to nonlinear problem for the flow past a supercavitating lifting surface of large aspect ratio under free boundary, Proceedings of the Third International Symposium on Cavitation, Grenoble, France, 1998, vol. II, pp. 263-268.

[22] Rozhdestvensky K.V., Fridman G.M. Matched Asymptotics for Free Surface Lifting Flows with Spoilers. Mathematical Approaches in Hydrodynamics, SIAM, Philadelphia, USA, 1991, pp. 499-517.

[23] Rozhdestvensky K.V., Fridman G.M. Asymptotic solution of flow problem for a planing tandem of large aspect ratio. Proceedings of the NSN Conference, CSRI named after akademician Krylov, St .Petersburg, 1996, pp. A2-21-1-A2-21-10.

Введение

Гидродинамика потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости вокруг несущих крыльев и их систем со свободными границами представляет собой сейчас один из самых разработанных разделов механики жидкости. Это связано с рядом очевидных причин, основной из которых является большая практическая значимость возникающих в этой области задач. К ним, в частности, относятся задачи обтекания глиссирующих, кавитирующих и подводных крыльев, кавитирующих и частично погруженных гребных винтов, которые широко используются в современных быстроходных судах и аппаратах, см. рисунок I.

Другой важной причиной значительных успехов проведенных ранее и проводящихся в настоящее время исследований служат мощные и эффективные математические инструменты, применяемые для поиска и анализа решений. В первую очередь это, конечно, относится к плоским потенциальным течениям, в рамках которых на базе аппарата теории функций комплексного переменного часто удается получить точное аналитическое решение нелинейной задачи. Основные методы и результаты теории плоских потенциальных течений можно найти, в частности, в книгах [32, 38, 100, 107, 43, 77]. Активная и успешная разработка задач теории струй ведется в Казанском и Чувашском госуниверситетах (см. Труды семинара по обратным краевым задачам, НИММ КГУ и сборники трудов по Гидродинамике больших скоростей, ЧГУ).

И преимущества, и недостатки этих аналитических подходов совершенно ясны. Точные решения, которые удается построить, не только являются отличным начальным приближением для анализа более сложных и общих задач, но и имеют самостоятельную теоретическую и практическую ценность. Автор полагает, что появление компьютерных пакетов символической математики (вычислительных сред), таких как МаЬЬетаИса 4.0 [251], дает дополнительный толчок развитию аналитических подходов.

Главным инструментом решения потенциальных пространственных кры

Рисунок I. Объекты, на которых появляются развитые каверны: (а) турбонасосы; (Ь) подводные крылья и стойки СПК; (с) и (с!) гребные винты.

Рисунок II. Глиссирующее плоскокилеватое крыло с интерцептором на задней кромке. льевых и винтовых задач с учетом кавитации и свободных поверхностей остаются разнообразные численные методы1, которые развиваются практически с той же скоростью, что и вычислительная техника. Среди таких методов следует отметить разработанный С.М. Белоцерковским метод дискретных вихрей [29, 30], "сверхмодный" сейчас метод граничных элементов (Boundary Element Method, BEM) [33, 144] и метод конечных элементов [79, 52], различные иные модификации панельных методов [182, 186], вариационные подходы [136] и т.п. По численным методам практически ежегодно появляется большое количество обзоров, это, по сути, магистральное направление развития динамики жидкости, да и вообще прикладной науки.

Несмотря на впечатляющие успехи, достигнутые с помощью современных численных методов, их, по мнению автора, не следует считать панацеей от всех "бед", т.е. необходимо ясно понимать их широчайшие возможности и при этом видеть границы, за которыми численные методы встречают большие трудности либо вообще отказывают, как, например, при экстремальных - очень больших или малых - значениях параметров задачи.

Многообещающим представляется разумное сочетание численных и аналитических методов для плоских и пространственных задач. Хорошие результаты в этом направлении получены, в частности, при разработке эффективных численных алгоритмов расчета прямых двумерных потенциальных задач с неизвестными границами на базе точных аналитических решений [77]. При этом на передний план выходят асимптотические методы и, особенно, методы особых (сингулярных) возмущений [81, 82, 149].

Асимптотические методы позволяют так расширить области применимости аналитических подходов и численного моделирования, что они начинают перекрываться и оказывается возможным их совместное применение. Примерами этому служат задачи о крыльях большого и малого удлинения, методология нелинейных кромочных поправок для крыльев конечного размаха и т.п.

Дать общее определение асимптотическим методам оказывается довольно затруднительно, однако в первом приближении можно сказать, что это методы, приспособленные для исследования асимптотических явлений [26]. В гидродинамике крыла это, например, пограничные слои, течения вблизи кромок и изломов крыла, ядро спиральной вихревой пелены [31] и т.п.

Асимптотические методы так или иначе присутствуют во всех без исклюстественно, они активно применяются и для решения двумерных задач чения научных исследованиях, причем именно с них начинается предварительный анализ любой задачи. К достоинствам этих методов следует отнести существенное упрощение решения и одновременное повышение точности представлений в суженной (локальной) области изменения параметров. В формулировке Р.Г. Баранцева [26] "асимптотические методы осуществляют синтез простоты и точности за счет локализации". Они дают возможность единого подхода к различным на первый взгляд задачам, выявляют их единство и общность [7].

Методика исследований. В настоящей работе асимптотические методы, главным образом метод сращиваемых асимптотических разложений (САР) использован как основной инструмент исследования, каркас, вокруг которого "наращиваются" и на котором держатся решения различных потенциальных задач гидродинамики несущих систем с учетом кавитации и свободных границ потока.

Общая методология метода САР в приложении к потенциальным задачам гидродинамики крыльев, как правило, подразумевает следующие этапы решения рассматриваемой задачи: a) определение малых параметров в задаче и разделение всей области течения на дальнее и ближнее поле, т.е. на области соответственно вдали и в непосредственной близости от источника особых возмущений; формулировка задач в этих областях - постановка внешней и внутренней задачи. Основная цель такого разделения состоит в упрощении внешней и внутренней задачи по сравнению с общей за счет линеаризации, корректного исключения некоторых факторов (например, влияния весомости, вязкости, трехмерности) и т.п. Если внешняя задача линеаризуется, то в ближнем поле проводится учет как можно большего числа нелинейных эффектов; b) предварительный, "грубый" асимптотический анализ внешней и внутренней задач с целью определения их класса решения. Например, присутствие интерцептора на задней кромке кавитирующего или глиссирующего крыла, диктует новый класс внешнего решения оо — оо вместо традиционного оо — 0: у комплексно сопряженной скорости на задней кромке возникает корневая особенность [160]; c) решение внешней задачи в области вне окрестностей источников особых возмущений; уже упоминалось, что эта задача включает ряд упрощающих предположений, в результате чего приобретает элемент неопределенности; внешнее решение теряет пригодность во внутренней области; с!) решение внутренней задачи, т.е. построение внутреннего асимптотического разложения, которое адекватно описывает локальное течение и теряет пригодность в дальнем поле; это решение строится в локальных растянутых координатах, причем масштаб растяжения связан с малым параметром/параметрами задачи. Именно вследствие измененного масштаба внутренняя задача также упрощается, например, становится двумерной при пространственной внешней. Такое упрощение дает возможность повысить точность модели за счет использования нелинейных методов, т.е. провести учет нелинейных факторов именно там, где они концентрируются и проявляются наиболее сильно. Из-за влияния внешнего решения внутренняя задача также содержит неопределенные параметры; е) проведение процедуры сращивания (склеивание) внешнего и внутреннего асимптотических разложений; эта процедура позволяет найти неизвестные параметры в дальнем и ближнем поле и построить составное всюду равномерно пригодное асимптотическое решение общей задачи.

Преимущества метода САР как инструмента решения задач теории крыла обсуждены во многих работах, например [247, 149, 81, 82, 213]. Среди них отметим книгу К.В. Рождественского [91], в которой систематизированы наиболее значительные на тот период результаты применения сращивамых разложений к решению задач теории крыла в идеальной несжимаемой жидкости, в том числе разработанные им асимптотическая теория низколетящего крыла (эта теория получила дальнейшее развитие в книге [224]), теория тонкого профиля как объект приложения метода САР и т.д.

В настоящей работе на базе метода САР предложена и реализована методология математического конструктора, дающего возможность выбирать и комбинировать подходящие для конкретной задачи внешние и внутренние асимптотические решения и создавать из них2 составное равномерно пригодное.

Аналитическая и численная реализация "математического конструктора" предполагает построение внешнего решения, пригодного вне областей особых возмущений, где сконцентрированы сильные нелинейные эффекты либо факторы, не учтенные в дальнем поле и, затем, определение двучленных

2в некотором (шутливом) смысле этот процесс подобен конструированию дома из составных частей-кубиков внутренних разложений этого внешнего решения для каждой зоны особых возмущений. Поведение внешнего решения качественно диктуется локальными задачами, а коэффициенты в его асимптотическом разложении определяются численно; для гладкого соединения внешнего решения с нелинейными внутренними, также определяются двучленные внешние разложения всех внутренних разложений. При этом особое значение имеет создание большого числа взаимозаменяемых внутренних нелинейных решений, моделирующих различные схемы течения в ближнем поле. Взаимозаменяемость заключается в наличии обязательной общей асимптотической структуры внутренних решений. Ярким примером таких взаимозаменяемых решений служат задачи, собранные в параграфе 1.3 и описывающие течение около интерцептора со щелью, с застойной зоной, произвольно изогнутого интерцептора и т.п.; благодаря использованию двучленных разложений, численно-аналитическое сращивание представляет собой достаточно простую, быструю и прозрачную процедуру обмена информацией между ближним и дальним полем, замыкающую общее решение задачи за счет формирования дополнительных условий для определения неизвестных величин; как следствие, появляется возможность собирать, конструировать составное всюду равномерно пригодное асимптотическое решение из "хорошо подогнанных" друг к другу частей: одного общего внешнего решения (линеаризованного либо нелинейного) и набора взаимозаменяемых нелинейных локальных задач.

В процессе построения внешних асимптотических разложений работа опирается на ряд методов:

• теория потенциала ускорений [88] в сочетании с методом коллокаций [41] использована для решения пространственной стационарной задачи глиссирования;

• метод искусственных вариационных задач (ИВЗ), предложенный А.Ш. Ач-кинадзе в [12, 18] и развитый автором совместно с А.Ш. Ачкинадзе в работах [134, 135, 136, 137], применен для решения линейных пространственных задач обтекания кавитирующих крыльев;

• основным инструментом, используемым для анализа двумерных задач кавитирующих и глиссирующих крыльев во внешней области послужила линейная теория [239, 110, 100, 47, 185], базирующаяся на теории функций комплексного переменного [64]. Внешние линейные решения построены в классе оо - оо [160, 21];

• теория несущей линии (в асимптотической интерпретации работ [247, 229]) была применена для определения внешнего решения задачи о крыле и тандеме крыльев большого удлинения вблизи свободной поверхности;

Основанные на теории функций комплексного переменного методы теории струй идеальной жидкости [38] и, прежде всего, метод особых точек Чаплыгина, значительно развитый А.Г. Терентьевым [110, 112, 233], использованы при построении точных аналитических решений нелинейных плоских внутренних задач.

Тот же метод особых точек Чаплыгина, а также модификация метода Леви-Чивиты [38] применены для нахождения точного решения плоских нелинейных задач обтекания профилей в безотрывном, кавитационном и глиссирующем режиме, используемых для верификации полученных асимптотических результатов.

Обоснованность и достоверность. Обоснованность и достоверность полученных результатов и вытекающих из них выводов обеспечены рядом факторов:

• математическое моделирование основано на известных моделях механики жидкости в теории крыла и физических предпосылках, отражающих реальный характер исследуемых процессов;

• все составные асимптотические решения получены в рамках методологии метода САР, при этом в дальнем поле в ряде задач проведена корректная процедура линеаризации граничных условий;

• все плоские нелинейные задачи в работе решены с применением строгих аналитических методов теории функции комплексного переменного;

• в тех случаях, когда это возможно, проведена численная и аналитическая верификация составных асимптотических разложений путем сравнения с точными нелинейными решениями, давшая хорошие результаты;

• установлено согласование приведенных в работе числовых результатов с экспериментальными данными, полученными в ЦАГИ им. проф. Н.Е. Жуковского и ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова, а также в ряде научных статей.

• установленно согласование приведенных в работе результатов расчетов для некоторых частных задач с числовыми данными в других отечественных и зарубежных научных исследованиях.

Созданная асимптотическая методика позволила проводить поверочный и проектировочный расчет кавитирующих профилей и крыльев с интерцепторами в ударном и безударном режимах обтекания, рассчитывать ГДХ и форму свободный поверхностей для глиссирующих, кавитирующих и подводных крыльев большого удлинения и т.п. Полученные результаты решения оптимизационных задач для суперкавитирующих профилей дали верхние оценки по гидродинамическому качеству, которые следует учитывать при проектировании. При помощи численно-асимптотических методов спроектирован кавитирующий профиль с контролируемой толщиной передней кромки и интерцептором, работающий в безударном режиме и обладающий рядом преимуществ по сравнению с обычным. Проведено тщательное исследование влияния интерцепторов и малых закрылков на характеристики крыльев и найдены оптимальные с точки зрения прироста подъемной силы параметры их установки (угол наклона, размер щели и т.д.)

Обзор исследований. Экспериментальные исследования явления кавитации начались более 100 лет назад, в 1894 г. О. Рейнолдсом (О. Reynolds) [218] и в 1897 г. С. Барнаби [143] на полномасштабных испытания гребного винта эсминца "Daring". Первые теоретические результаты для задач кавитации (точнее, для нелинейных задач струйного обтекания при числе кавитации сг = 0) получены Гельмгольцем [175]. Изучение явления глиссирования началось несколько позже: одни из первых экспериментов были проведены Зотторфом (Sottorf) [230, 231, 232]. Интересно, что первые теоретические результаты в этой области были получены также для нелинейной плоской задачи о глиссирующей пластинке [248, 39].

Линейная теория глиссирования нашла свое развитие в 30-е годы прежде всего в работах Л.И. Седова [97, 98, 100], Н.Е. Кочина [53], Л.М. Сретенского [106], М.Д. Хаскинда [122]. Основополагающие теоретические результаты для пространственного глиссирования были сформулированы в работах Л.И. Седова и X. Вагнера [97, 99, 248]: в рамках линейной модели течение для глиссирующего крыла совпадает (за исключением зоны вблизи передней кромки) с потоком вокруг тонкого крыла той же геометрии. М.Г. Щегловой [126] был предложен способ определения смоченной длины плоскокиле-ватого глиссирующего крыла как линии пересечения свободной поверхности и поверхности крыла.

Важные экспериментальные и теоретические результаты по глиссированию были получены в ЦАГИ Л.А. Эпштейном [128, 129, 131], Г.В. Логви-новичем [66, 68, 69, 70], В.А. Лукашевским и Ю.М. Банниковым [23, 24, 25], В.П. Соколянским [102, 72], А.И. Тихоновым [115, 116, 114], A.B. Лотовым [73], М.Г. Щегловой [127], М.Н. Николаевым [84, 85] Л.Д. Коврижных [50, 51] и другими. В ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова также проведен ряд тщательных исследований по глиссированию, см., в частности, работы С.Б. Соловья [86, 90, 103, 104]. Следует также отметить многих других отечественных и зарубежных авторов [74, 75, 207, 208, 176, 153, 146, 210, 214].

Глубокое математическое исследование вопросов движения тел по поверхности тяжелой жидкости с использованием аналитических и асимптотических методов, в том числе методов теории особых возмущений проведено в работах Н.Г. Кузнецова [58, 59, 60, 61, 195, 196, 197]. В них решен ряд задач о полупогруженных телах и тандемах тел, об их волновом сопротивлении, об однозначной разрешимости задачи Неймана-Кельвина, связанной с движением этих тел, рассмотрено волнообразование на поверхности жидкости под действием быстроосциллирующих воздействий и т.п.

Интерес к задаче глиссирования как задаче особых возмущений связан с несколькими обстоятельствами.

Во-первых, в рамках идеальной невесомой жидкости двумерная задача не имеет единственного решения (парадокс Грина [173]) из-за логарифмического поведения ординат свободной поверхности далеко от крыла. Это означает, что плоское нелинейное (и тем более линеаризованное) решение оказывается пригодным лишь на расстояниях порядка хорды, т.е. является локальным по отношению к некоторому внешнему. В работах [254, 220, 234, 235] внешним разложением служит решение задачи о малых возмущениях свободной поверхности весомой жидкости, вызванных гидродинамической особенностью, находящейся на ее границе (учет влияния силы тяжести на больших расстояниях от профиля). В работах [229, 236] в качестве внешнего решения применяется трехмерная теория глиссирующей несущей линии (учет влияния конечного размаха крыла). Оба этих асимптотических подхода дают возможность преодолеть парадокс Грина и построить всюду пригодное асимптотическое решение.

Во-вторых, при линеаризации граничных условий, в решении появляется корневая особенность для функции распределения давления на передней кромке крыла, что свидетельствует о некорректности линейного решения в этой области, где расположена критическая точка и происходит разворот брызговой струи. Асимптотический анализ показал, что размер этой области имеет порядок 0(ск2), где a - угол атаки.

В третьих, при установке интерцептора малой относительной длины е = о(1) на задней кромке также возникает корневая особенность и линейное решение теряет пригодность на расстояниях е от задней кромки. Задачи об интерцепторе на глиссирующем крыле в силу своей практической значимости исследовались экспериментально [24, 25, 125] и теоретически [86, 71, 90, 103, 104, 22], в том числе и автором [119].

Отметим, что ярким свидетельством в пользу присутствия в крыльевой задаче источников особых (сингулярных) возмущений является малый параметр, образованный отношением двух характерных длин. Такими малыми параметрами в задаче глиссирования служат отношения длины выдвига интерцептора £ к хорде / профиля/крыла, толщины возвратной струйки S к хорде /, хорды I к длине гравитационных волн V^/g, хорды I к размаху В крыла и т.д.

Значительный вклад в развитие нелинейных методов решения плоских задач о кавитйрующих профилях внесли работы А.Г. Терентьева [109, 110, 113], А.Н. Иванова [45, 47], A.B. Кузнецова [54, 55], Д.В. Маклакова [78, 77], О. Фу-руйа (О. Furuya) [165], Б. Ларока и Р. Стрита (В. Larock & R. Street) [198], M. Тулина (M. Tulin) [241] и многих других. Современные численные методы успешно применяются к двумерным кавитационным задачам в работах [215, 257, 258, 27, 151, 185, 186, 137, 201, 187, 188, 243, 244, 204, 179] и т.д.

Отметим предложенную и реализованную А.Н. Ивановым [47] идею решения кавитадионной задачи в точной нелинейной постановке методом последовательных приближений, на каждом шаге которых решается нелинейная прямая задача теории потенциала и затем линейная обратная задача для незамкнутого контура. Форма той части контура, которая рассматривается в качестве границы каверны, при решении обратной задачи на каждой итерации изменяется так, чтобы давление там приблизить к постоянному. Этот подход позволил создать универсальные методы расчета как плоских так и осесимметричных кавитационных течений [1, 2, 4, 6, 141, 142], в том числе, с учетом капиллярности и вязкости жидкости [5, 36], с отрывом и присоединением пограничного слоя [3].

Основы линейной теории кавитационного обтекания профилей были заложены М. Тулиным [237, 239]. Теория получила существенное развитие в работах А.Г. Терентьева [38, ПО, 111], А.Н. Иванова [45, 46, 47], И.И. Ефремова [44], А.Ш. Ачкинадзе [13, 18], М.А. Васина [28], И.Т. Егорова [42], Дж. Гёр-ста (J. Geusrt) [171, 172], А. Акоста (A. Acosta) [140], Т. By (T.Y. Wu) [252], Т. Ханаока (T. Hanaoka) [174], X. Като (H. Kato) [180] и многих других.

В 90-е годы эту тему успешно разрабатывал С. Киннас (S. Kinnas) [183, 184, 185]. За счет так называемых кромочных поправок ему удалось преодолеть существенный недостаток линейной теории, которая предсказывает увеличение объема и длины каверны с ростом толщины профиля, что противоречит экспериментам.

Кавитирующие крылья конечного размаха значительно более сложный объект исследований, чем кавитирующие профили. Тем не менее, и в этой области достигнуты впечатляющие результаты, полученные методом дискретных вихрей [249, 44, 28], различными вариационными методами [133, 12, 136], методом САР [202, 203, 166, 242, 14, 164], методом граничных элементов (ВЕМ) и другими численными подходами [157, 188, 189, 216, 177, 156, 178].

Предпринимаются значительные усилия для прорыва в вопросе учета вязкости [190, 257, 180] и нестационарности течения вокруг кавитирующего крыла [17, 187, 137, 156, 185].

Кавитирующий гребной винт остается наиболее сложным объектом. Полностью расчетный метод его проектирования впервые был разработан Ачкинадзе и Нарвским в работах [139, 83]. Расчет нестационарного течения у кавитирующего винта проведен в [200, 192, 185]. В ряде работ, например [96], в процессе проектировочного расчета толщины каверн задавались по данным выполненного заранее для винтов прототипов эксперимента. Важные результаты по кавитирующим гребным винтам приведены в книгах [94, 9]

С точки зрения асимптотических методов задачи обтекания кавитиру-ющих крыльев весьма привлекательны. Как и для задач глиссирования, основные математические причины этого состоят в появлении в формулировке задач ряда малых параметров, являющихся отношением двух характерных длин.

В линеаризованной постановке на передней кромке кавитирующих профилей и крыльев конечного размаха возникает степенная особенность вида "1/4" для распределения давления [239, 110]. Корневая особенность появляется и на задней кромке каверны, если применена линейная закрытая модель замыкания [110]. Влияние интерцептора на задней кромке кавитирующего крыла также моделируется корневой особенностью. Эти три зоны - области особых возмущений задачи, где линейное решение теряет пригодность. Малые параметры являются соответственно отношением отстояния критической точки от передней кромки, толщины 8е возвратной струйки для схемы Эфроса (или тела-замыкателя для схемы Рябушинского) и длины выдвига интерцептора £ к хорде I профиля или крыла. Пригодное вблизи передней острой или закругленной кромки кавитирующего профиля решение рассматривалось в [217, 167], где в качестве внешнего разложения использовалось линейное двумерное решение. Некоторые вопросы, связанные с влиянием интерцепторов на кавитирующих крыльях, изучены в рамках метода САР в [48, 71, 119].

Решение нелинейной плоской задачи о кавитирующем профиле под свободной поверхностью невесомой жидкости теряет свою пригодность при большом удалении вверх или вниз по потоку (аналог парадокса Грина в глиссировании). Это следствие неучета влияния силы тяжести, которое становится существенным в дальнем поле, либо конечности размаха, т.е. трехмерности течения. Малый параметр в этом случае есть отношение хорды I к длине гравитационных волн У^/д или к размаху крыла. Преодолеть парадокс Грина для кавитирующих профилей можно способом, предложенным в [220], где, как отмечалось, в дальнем поле проводился учет весомости в плоских задачах, либо "выходом" в пространство за счет использования во внешнем решении теории несущей линии [166, 164]. Отметим, что в отсутствие свободной поверхности парадокс Грина, естественно, не реализуется, однако малость отношения хорды к размаху крыла позволяет применить метод САР и в этом случае [202, 203, 166, 242, 14, 141].

Все сказанное дает возможность сделать вывод о том, что методы особых возмущений и, в частности, метод САР, представляют собой эффективные инструменты исследования потенциальных задач гидродинамики крыльев с учетом кавитации и свободных границ. Некоторые такие задачи представлены в настоящей работе.

Научная новизна и основные результаты. Диссертация является самостоятельным оригинальным научным исследованием, значительно развивающим методологию метода сращиваемых асимптотических разложений, на базе которго решен ряд важных практических задач гидродинамики крыльев со свободными поверхностями. Основные результаты, выносимые автором на защиту, и их научная новизна заключаются в следующем:

• разработана и реализована методология "математического конструктораоснованная на методе сращиваемых асимптотических разложений и предназначенная для эффективного построения равномерно пригодного решения рассматриваемой задачи из линейного либо нелинейного внешнего и нелинейных внутренних решений;

• сформулирован в общем виде и численно реализован для трехмерной задачи о кавитирующем крыле с интерцептором по открытой схеме замыкания каверны метод искусственных вариационных задач (ИВЗ), основанный на вариационном подходе и предназначенный для поверочного и проектировочного расчета кавитирующих профилей, крыльев и лопастей гребных винтов;

• предложена и численно реализована нелинейная асимптотическая методика уточнения смоченной поверхности плоскокилеватого глиссирующего крыла с интерцептором, основанная на способе определения смоченной длины в рамках линейной модели, при этом во внешнем поле использована теория потенциала ускорений в сочетании с методом коллокаций;

• сформулирован в общем виде и численно реализован для трех режимов обтекания профиля с интерцептором или закрылком нелинейный асимптотический подход, основанный на методологии метода САР и позволяющий сращивать нелинейные внешние решения с нелинейными внутренними в тех задачах, где этого не проводилось ранее;

• построено точное аналитическое решение и получены числовые результаты для нелинейной плоской задачи обтекания глиссирующего произвольно изогнутого контура с заданным направлением возвратной струйки на бесконечности без учета влияния силы тяжести, при этом использована модификация метода Леви-Чивиты;

• предложен и численно реализован общий подход к аналитическому решению локальных нелинейных задач для крыльев большого удлинения вблизи свободной поверхности, который дал возможность алгоритмизировать процесс сращивания с решением в дальнем поле по теории несущей линии;

• в рамках методологии "математического конструктора" решены задачи проектирования и оптимизации суперкавитирующих профилей: найдены теоретические верхние оценки по гидродинамическому качеству для оптимальных суперкавитирующих профилей с интерцепторами при произвольном числе кавитации, которые не могут быть превзойдены в процессе реального проектирования; спроектирован оптимальный су-перкавитирующий профиль нового типа с заданным углом заострения передней кромки и 2% интерцептором на задней, обтекаемый в безударном режиме, когда критическая точка совпадает с вершиной смоченной с двух сторон передней кромки, при этом использовано обобщенное условие однолистности течения;

• найдено всюду равномерно пригодное асимптотическое решение задачи о глиссировании произвольного профиля с интерцептором по поверхности весомой жидкости для произвольного числа Фруда, при этом в дальнем поле использован метод Л.И. Седова;

• в рамках методологии "математического конструктора" с единых позиций найдены асимптотические решения для подводного, глиссирующего и безударного кавитирующего крыла и тандема крыльев большого удлинения около свободной поверхности, позволяющие определить ГДХ и форму свободных границ потока;

• получено более 15-ти точных аналитических решений и соответствующих числовых результатов для новых нелинейных локальных задач обтекания входящих и выходящих кромок крыльев в режиме кавитации (с малыми и развитыми кавернами), глиссирования и безотрывном, при этом все решения найдены методами теории струй идеальной жидкости.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, объединяющих 21 параграф, заключения, списка рисунков, таблиц, цитированной литературы и приложения.

Заключение

В диссертационной работе с единых позиций метода сращиваемых асимптотических разложений (САР) рассмотрен широкий круг задач гидродинамики потенциальных течений вокруг крыльев и их систем с учетом кавитации и свободной поверхности. Предложена и реализована методология "математического конструктора", дающего возможность выбирать и комбинировать подходящие для конкретной задачи внешние и внутренние асимптотические разложения и составлять из них всюду равномерно пригодное асимптотическое решение.

С этой целью получены точные решения большого числа нелинейных локальных задач для входящих и выходящих кромок крыльев в различных режимах обтекания: некавитационном, с развитыми и малыми носовыми кавернами, с образованием возвратной струйки, застойной зоны и т.п. При этом рассмотрены острые и закругленные передние кромки, задние кромки с ин-терцепторами и закрылками. В процессе решения нелинейных локальных задач выявлены общие асимптотические структуры во внутренних разложениях, дающие возможность проводить сращивание с внешней задачей по единой схеме.

Для решения пространственных кавитационных задач обтекания крыла обоснован и в рамках линейной модели численно реализован метод искусственных вариационных задач (ИВЗ), позволивший на базе вариационного подхода определять форму каверны в плане и ее объем, ГДХ крыла.

Разработана и численно реализована асимптотическая методика уточнения формы смоченной поверхности глиссирующего плоскокилеватого крыла за счет кромочных нелинейных поправок в зоне разворота брызговой струи.

На основе методики "математического конструктора" построены всюду равномерно пригодные асимптотические решения плоских и пространственных задач обтекания кавитирующих (в ударном и безударном режимах) и глиссирующих крыльев с интерцепторами произвольной формы, со щелью, застойной зоной и т.п.

Решена задача о тандеме крыльев большого удлинения возле свободной поверхности с продольным разносом элементов на расстояние порядка их хорды и размаха, когда каждый элемент работает в одном из трех режимов: подводного крыла, кавитационном, глиссирования. Проведены расчеты для тандема глиссирующих крыльев.

Из обобщенного условия однолистности течения, которому должно удовлетворять асимптотическое решение, найдены верхние оценки по гидродинамическому качеству для кавитирующих профилей с интерцепторами при произвольном числе кавитации. Эти оценки следует учитывать в процессе проектирования, поскольку они получены в предположении, что в некоторых точках по хорде толщина каверны может быть нулевой и поэтому не могут быть превзойдены для реальных профилей.

При помощи численно-асимптотических методов спроектирован работающий в безударном режиме кавитирующий профиль с контролируемой толщиной передней кромки и 2% интерцептором. Безударный режим подразумевает, что передняя критическая точка совпадает с вершиной клиновидной, смоченной с обеих сторон входящей кромки профиля, имеющей фиксированный угол заострения. Важным преимуществом безударного профиля является увеличенная и контролируемая толщина входящей кромки на переднем участке хорды.

Как эффективный способ совместного использования асимптотических методов и современных численных схем предложен нелинейный асимптотический подход, предполагающий проведение нелинейно-нелинейного сращивания внешнего и внутреннего решений. Он дал хорошие результаты для трех модельных задач, где установлено согласование асимптотических и точных нелинейных результатов даже для сугубо нелинейных параметров обтекания.

В работе сделан ряд основанных на числовых и аналитических результатах выводов относительно формы смоченной поверхности плоского и плоско-килеватого глиссирующего крыла и степени влияния интерцептора на ГДХ и картину течения, об эффективности интерцептора со щелью и застойной зоной, установленного на кавитирующих и глиссирующих крыльях, о практической значимости безударного режима кавитационного обтекания крыльев с фиксированным углом заострения передней кромки и т.д.

1. Александров К.В. Частичная кавитации профиля, в сборнике Вопросы судо- строения, серия "Проектирование судов", вып. 12, 1977. стр. 23-30.

2. Александров К.В., Васильев A.B. Влияние циркуляции на параметры кавитационного обтекания профиля (частичная кавитация). Материалы по обмену опытом, Гидродинамик высоких скоростей, НТО им. акад. А.Н.Крылова, вып. 3, 1983, стр. 31-37.

3. Александров К.В., Амромин Э.Л., Левковский Ю.Л. Определение условий возникновения кавитации на телах, обтекаемых с отрывом и присоединением пограничного слоя. Журнал Прикладной механики и теоретической физики, No. 2, 1986, стр. 34-40.

4. Амромин Э.Л., Васильев A.B. Об определении подъемной силы при частичной кавитации. Механика жидкости и газа, No. 5, 1994, стр. 7174.

5. Амромин Э.Л., Васильев A.B., Иванов А.Н. Решение плоских задач кавитации с учетом капиллярности и вязкости жидкости, в сб. Динамика сплошных сред с границами раздела, 1983.

6. Амромин Э.Л., Иванов А.Н. Осесимметричное обтекание тел в режиме развитой кавитации. Известия АН СССР, МЖГ, No. 3, 1975, стр .37-42.

7. Андрианов И.В., Маневич Л.И. А симпто то л огия: идеи, методы, результаты. изд-во Аслан, М., 1994, 159 стр.

8. Апухтин П.А., Войткунский Я.И. Сопротивление воды движению судов. Л.: Машгиз, 1953.

9. Артюшков Л.С., Ачкинадзе А.Ш., Русецкий A.A. Судовые движители. Л.: Судостроение, 1988, 295 стр.

10. Ачкинадзе А.Ш. Оптимальная форма суперкавитирующего профиля заданной толщины при произвольном числе кавитации. Сб. научн. тр. ЛШ, вып. 80, 1972, стр. 13-18.

11. Ачкинадзе А.Ш. Линейная задача о движении суперкавитирующего крыла и задача о его оптимальной форме (вариационный подход). Сб. НТО им. акад. А.Н. Крылова, 1974, вып. 217, стр. 139-164.

12. Ачкинадзе А.Ш. Принцип минимума кавитационного сопротивления как метод численного решения линейной задачи о движении кавитиру-ющего крыла конечного размаха. Сб. научн. тр. ЛКИ, Гидромеханика и теория корабля, 1979, стр. 86-92.

13. Ачкинадзе А.Ш. Оптимальные суперкавитирующие профили. В кн. Васин М.А., Шадрин В.П. Гидроаэродинамика крыла вблизи границы раздела сред. Л.: Судостроение, 1980. стр. 153-160.

14. Ачкинадзе А.Ш. Применение схемы Фабулы для приближенного расчета коэффициента подъемной силы плоского эллиптического крыла конечного размаха при произвольном числе кавитации. Сб. научн. тр. ЛКИ, Проблемы гидромеханики корабля, 1981, стр. 24-30.

15. Ачкинадзе А.Ш. Применение методов математического программирования в линейной теории кавитационных течений. Доклады 12-ой сессии НМСГС, Варна, 1983, том 2, стр. 32/1-22.

16. Ачкинадзе А.Ш., Нарвский A.C. Симметризованное двойное составное правило Гаусса при вычислении двумерных сингулярных интегралов. Сб. научн. тр. ЛКИ, 1985, стр. 3-7.

17. Ачкинадзе А.Ш., Самсонова И.А. Расчетное исследование нестационарного процесса развития осесимметричной частичной каверны. Труды 3-ей Всесоюзной школы по гидродинамике, Красноярск, 1987, стр. 69-76.

18. Ачкинадзе А.Ш., Темкин A.B. Аналитическое решение плоской задачи о кавитационном обтекании дуги круга при произвольном числе кавитации с использованием открытой линейной модели. Сб. научн. тр. ЛКИ, Проблемы гидромеханики судна, 1983, стр. 20-26.

19. Ачкинадзе А.Ш., Фридман Г.М. Сравнение оптимальных суперкавити-рующих дужки и пластинки с интерцептором при нулевом числе кавитации. Сб. научн. тр. ЛКИ, Проблемы гидромеханики и динамики судна, 1990, стр. 10-14.

20. Ачкинадзе А.Ш., Фридман Г.М. Оптимальные контуры, обтекаемые по схеме Кирхгофа. Сб. Динамика сплошных сред со свободными границами, Чебоксары, изд-во ЧГУ, 1996, стр. 42-47.

21. Ачкинадзе А.Ш., Фридман Г.М. Оптимальные профили для суперкави-тирующих гребных винтов с интерцепторами и фиксированным углом заострения передней кромки. Прикладная гидромеханика, т. 2, N0. 3, 2000, стр. 5-16.

22. Баева М.А., Мизина М.Я., Садовников Ю.М. Гидродинамические характеристики кавитируюгцих профилей с интерцепторами. Материалы по обмену опытом. Сб. НТО им. акад. А.Н.Крылова, вып. 358, 1981, стр. 44-60.

23. Банников Ю.М., Лукашевский В.А. Глиссирующее судно. Авт. свидетельство 407783. Бюллетень изобретений и открытий, N0. 47, 1973.

24. Банников Ю.М., Лукашевский В.А. Экспериментальное исследование подъемной силы и сопротивления глиссирующих пластин, Ученые записки ЦАГИ, т. 7, N0. 1, 1976.

25. Банникова Т.А., Банников Ю.М., Лукашевский В.А., Цейтлин М.Ю. Исследование гидродинамических характеристик глиссирующих поверхностей с интерцепторами на задней кромке, Труды ЦАГИ, вып. 1906, 1978, стр. 1-22.

26. Баранцев Р.Г. Что же такое асимптотические методы? (Попытка определения). В кн. Андрианов И.В., Маневич Л.И. Асимптотология: идеи, методы, результаты, изд-во Аслан, М., 1994.

27. Басин М.А., Зилист Л.П. Теория и расчет гидродинамических характеристик кавитируюгцих крыльев. Материалы по обмену опытом, Гидродинамик высоких скоростей, НТО им. акад. А.Н.Крылова, вып. 3, 1983, стр. 15-30.

28. Басин М.А., Шадрин В.П. Гидроаэродинамика крыла вблизи границы раздела сред. Л.: Судостроение, 1980, 304 стр.

29. Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М.: Наука, 1965.

30. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М.: Наука, 1978.

31. Бетяев С.К., Рябинков Г.М. Асимптотические методы в теории крыла. Труды ЦАГИ, вып. 2256, 1985, стр. 73-80.

32. Биркгоф Г., Сарантонелло Э. Струи, следы и каверны: Пер с англ. М.: Мир, 1964, 466 стр.

33. Бреббиа К., Теллес Ж., Вроубел JI. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987.

34. Бубенцов В.П. Асимптотический метод расчета давления при нестационарном обтекании крыла ограниченным потоком, Сб. научн. тр. ЛКИ, Проблемы гидродинамики судна, 1995, стр. 31-35.

35. Васильев A.B. Разработка методов расчета плоских кавитационных течений и прогнозирования кромочной кавитации натурных гребных винтов. Дисс. на соискание ученой степени к-та техн. наук. ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова, С.-Петербург, 1996, 162 стр.

36. Гуревич М.И. К вопросу о глисирующих пластинках "тандем". Техн. заметки ЦАГИ, No. 48, 1935, стр. 11-25.

37. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости, М.: Наука, 1979, 536 стр.

38. Гуревич М.И., Янпольский А.П. О движении глиссирующей пластинки. Техника воздушного флота, No. 10, 1933, стр. 52-70.

39. Гур-Мильнер С.И. Интерполяционно-квадратурная формула для вычисления сингулярного интеграла, встречающегося в теории несущей поверхности. Сб. научн. тр. ЛКИ, Прикладная математика и вычислительная техника, 1981, стр. 75-82.

40. Гур-Мильнер С.И. Метод определения сил, действующих на крыло произвольной формы в плане, колеблющееся с произвольной частотой в потоке несжимаемой жидкости вблизи земли. Сб. научн. тр. ЛКИ, Ходкость и мореходные качестве судов, 1982, стр. 47-55.

41. Егоров И.Т., Садовников Ю.М., Исаев И.И., Васин М.А. Искусственная кавитация, JL: Судостроение, 1971.

42. Елизаров А.М., Ильинский Н.Б., Поташев A.B. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики. М.: Наука, 1994, 436 стр.

43. Ефремов И.И. Линеаризованная теория кавитационного обтекания. Киев: Наукова думка, 1974.

44. Иванов А.Н. Кавитационное обтекание профилей крыльев. Известия АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, No. 6, 1960, стр. 117-119.

45. Иванов А.Н. Симметричное кавитационное обтекание удлиненного плоского контура. Известия АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, No. 3, 1962, стр. 61-66.

46. Иванов А.Н. Гидродинамика развитых кавитационных течений. Л.: Судостроение, 1980, 240 стр.

47. Илюшкин В.М., Лотуллин М.В., Маклаков Д.В. Обтекание решетки суперкавитирующих профилей с интерцепторами. Труды семинара по обратным краевым задачам, Казань, изд-во КГУ, вып. 22, 1985, стр. 95103.

48. Келдыш М.В. Замечания о некоторых движениях тяжелой жидкости. Техн. заметки НАГИ, вып. 52, 1935.

49. Коврижных Л.Д. Исследование гидродинамических характеристик плоскокилеватых пластин, глиссирующих на режимах без смачивания скул. Труды ЦАРИ, вып. 1861, 1977.

50. Коврижных Л.Д., Тихонов А.И. Глиссирование килеватой пластины на прогрессивной волне. Труды 3-ей Всесоюзной школы-семинара "Гидродинамика больших скоростей", Красноярск, 1987, стр. 212-215.

51. Конкор Д., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. Л.: Судостроение, 1979.

52. Кочин Н.Е. Плоская задача о глиссировании слабо изогнутого контура по поверхности тяжелой несжимаемой жидкости. Труды ЦАГИ, вып. 356, 1938.

53. Кузнецов A.B. Кавитационное обтекание пластины вблизи свободной поверхности невесомой жидкости. Известия ВУЗов, Математика, No. 4, 1961, стр. 39-49.

54. Кузнецов A.B. Об одной схеме кавитационного обтекания. Труды семинара по обратным краевым задачам, Казань, изд-во КГ У, вып. 1, 1964, стр. 60-64.

55. Кузнецов A.B. Обтекание пластинки потоком невесомой жидкости со свободной границей. ПМТФ, No. 6, 1969.

56. Кузнецов A.B., Лотфуллин М.В., Маклаков Д.В. Методика расчета гидродинамических характеристик кавитационного обтекания пластины с интерцептором, изд-во НИИММ при КГУ, Казань, 1988, 25 стр.

57. Кузнецов Н.Г. Волновое сопротивление цилиндра, частично погруженного в жидкость бесконечной глубины. Гидродинамик больших скоростей. Чебоксары, ЧГУ, 1990, стр. 53-60.

58. Кузнецов Н.Г. Волнообразование при движении цилиндра, частично погруженного в жидкость бесконечной глубины. Моделирование в механике, т. 6, No. 4, 1992, стр. 70-84.

59. Кузнецов Н.Г., Мазья В.Г. Об однозначной разрешимости плоской задачи Неймана-Кельвина. Математический сборник, т. 135, No. 4, 1988, стр. 440-462.

60. Кузнецов Н.Г., Мотыгин О.В. О волновом сопротивлении тандема полупогруженных тел. Вычислительные технологии, т. 4, No. 11, 1995, стр. 154-163.

61. Кузнецов Ю.В., Терентьев А.Г. Обтекание пластины под свободной поверхностью невесомой жидкости. Известия АН СССР, МЖГ, No. 1, 1980, стр.158-162.

62. Кюнци Г.П., Крелле В. Нелинейное программирование. М.: Советское Радио, 1965.

63. Лаврентьев М.А., Шабад Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973, 736 стр.

64. Линдерман А.Л. Решение задачи об обтекании крыла конечного размаха, движущегося в режиме частичной кавитации методом сращиваемых асимптотических разложений. Сб. НТО им. акад. А.Н.Крылова, вып. 217, 1974, стр. 123-138.

65. Логвинович Г.В. Погружение тел в жидкость, удар и глиссирование. Труды ЦАГИ, вып. 707, 1958.

66. Логвинович Г.В. Гидродинамика течений со свободными границами. Киев: Наукова думка, 1968.

67. Логвинович Г.В. Некоторые вопросы глиссирования. Труды ЦАГИ, вып. 2052, 1980.

68. Логвинович Г.В. Передний подпор при глиссировании килеватой пластинки. Труды ЦАГИ, вып. 2243, 1984, стр. 3-7.

69. Логвинович Г.В. Проблемы современной гидродинамики. Труды ЦАГИ, вып. 2256, 1985, стр. 6-19.

70. Лордкипанидзе А.Н., Мизина М.Я. Расчет несущих поверхностей с ин-терцепторами с использованием метода H.H. Поляхова. Доклады конференции "Вихревые, волновые и струйные явления в гидродинамике судна", Л.: Судостроение, 1990, стр. 26-35.

71. Лотов A.B., Соколянский В.П. Погружение слабокилеватого симметричного профиля в жидкость. Ученые записки ЦАГИ, т. V, No. 6, 1974.

72. Лотов А.Б. Глиссирование и быстрый вход тел в воду, изд-во МФТИ, М.: 1984, 107 стр.

73. Майборода А.Н. Модель брызговой струи в линейной пространственной задаче глиссирования. Труды НКИ, No. 126, 1977, стр. 7-12.

74. Майборода А.Н. Математическая модель гидродинамики для тела, пересекающего свободную поверхность идеальной весомой жидкости, Доклады АН Украинской ССР, No. 5, 1991, рр. 50-53.

75. Маклаков Д.Ю. Нелинейная задача о движении профиля произвольной формы вблизи границы раздела двух сред разной плотности. Трудысеминара по обратным краевым задачам, Казань, изд-во КГУ, вып. 21, 1984, стр. 126-131.

76. Маклаков Д.Ю. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами. М.: изд-во "Янус-К", 1997, 280 стр.

77. Маклаков Д.Ю., Наборова М.В. Кавитационное обтекания профиля произвольной формы. Известия РАН, МЖГ, No. 5, 1995, стр. 86-90.

78. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.

79. Мещерский И.В. К вопросу о сопротивлении жидкостей, Журнал русского физико-химического общества, 1886, т. XVIII, стр. 12.

80. Найфэ А. Методы возмущений: Пер. с англ. М.: Мир, 1976, 455 стр.

81. Найфэ А. Введение в методы возмущений: Пер. с англ. М.: Мир, 1984, 535 стр.

82. Нарвский A.C. Профилирование лопастей и определение параметров каверн при проектировании кавитирующего гребного винта на основе теории несущей поверхности. Дисс. на соискание ученой степени к-та техн. наук. ЛКИ, 1985, 189 стр.

83. Николаев М.Н. Форма свободной поверхности тяжелой жидкости при глиссировании плоской пластинки бесконечного размаха. Труды ЦАГИ, вып. 1548, 1974, стр. 3-19.

84. Николаев М.Н. К решению плоской задачи о глиссировании по взволнованной поверхности тяжелой жидкости. ПММ, т. 41, вып. 6, 1977, стр. 985-992.

85. Окунева Л.И., Соловей С.Б. Расчет поля скоростей в окрестности задней кромки ломаной глиссирующей пластины. Материалы по обмену опытом, НТО им. акад. А.Н.Крылова, вып. 9, 1985, стр. 64-78.

86. Панченков A.A. Гидродинамикаподводногокрыла. Киев: Науковадумка, 1965, 552 стр.

87. Панченков A.A. Теория потенциала ускорений. Новосибирск: Наука, 1975, 222 стр.

88. Панченков A.A., Зенович C.B. Глиссирование тел произвольной формы. Межвузовский сборник трудов, Вычислительная гидродинамика, изд-во ГПИ, Горький, 1989, стр. 5-18.

89. Павленко A.C., Соловей С.Б. К расчету сил, действующих на ломаную глиссирующую пластину. Материалы по обмену опытом, НТО им. акад. А.Н.Крылова, вып. 168, 1971, стр. 300-306.

90. Рождественский К.В. Метод сращиваемых асимптотических разложений в гидродинамике крыла. JL: Судостроение, 1979, 208 стр.

91. Рождественский К.В., Фридман Г.М. Глиссирование слабо изогнутого контура с интерцептором по поверхности тяжелой жидкости. Гидродинамика больших скоростей, Межвузовский сборник научных трудов, Чебоксары, 1990, стр. 94-99.

92. Русецкий A.A. Двидители судов с динамическими принципами поддержания. Л.: Судостроение, 1979, 238 стр.

93. Рыжов В.А. Гидродинамика пропульсивных и энергосберегающих систем с колеблющимися крыльевыми элементами: Дисс. на соискание ученой степени д-ра техн. наук. С.-Петербург, 1998, 435 стр.

94. Садовников Ю.М. Гидродинамические характеристики гребных винтов с интерцептором. В сб. Вопросы судостроения, вып. 4, 1977.

95. Седов Л.И. Теория нестационарного глиссирования и движения крыла со сбегающими вихрями. Труды ЦАГИ, вып. 252, 1936.

96. Седов Л.И. Плоская задача о глиссировании по поверхности тяжелой жидкости. Труды конференции по волновому сопротивлению. М.: изд. ЦАГИ, 1937.

97. Седов Л.И. Установившееся глиссирование. Судостроение, No. 2, 1937.

98. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1980, 448 стр.

99. Седов Л.И., Владимиров А.Н. Глиссирование плоскокилеватой пластинки. Доклады АН СССР, т. 33, No. 2, 1941.

100. Соколянский В.П., Малярова Н.Д. Влияние числа Фруда на стационарные характеристики глиссирования плоскокилеватой пластины с углом поперечной килеватости 20тто. Труды ЦАГИ, вып. 1861, 1977.

101. Соловей C.B. Управление ГДХ глиссирующих поверхностей. Материалы по обмену опытом, НТО им. акад. А.Н. Крылова, вып. 217, 1974, стр. 58-80.

102. Соловей C.B. Расчет сопротивления ломаных глиссирующих пластин и корпусов мотолодок с транцевыми плитами Материалы по обмену опытом., НТО им. акад. А.Н.Крылова, вып. 264, 1977, стр. 36-42.

103. Справочник по малотоннажному судостроению. Составитель Б.Г. Мордвинов. Л., Судостроение, 1987, 576 стр.

104. Сретенский Л.М. Теория волновых движений жидксти. М.: Наука, 1977

105. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М.: ФизМатГиз, 1962, 512 стр.

106. Сычев В.В., Рубан А.И. и др. Асимптотическая терия отрывных течений. Под ред. В.В. Сычева. М.: Наука, 1987, 256 стр.

107. Терентьев А.Г. Кавитационное обтекание плоской пластинки. Известия ВУЗов, Математика, No. 6, 1964, стр. 159-167.

108. Терентьев А.Г. Плоские стационарные задачи теории струй и кавита-ционных течений: Дисс. на соискание ученой степени д-ра физ.-мат. наук. Казань-Чебоксары, 1972, 307 стр.

109. Терентьев А.Г. К решению линейной задачи кавитационнго обтекания дуги. Изв. АН СССР, МЖГ, No. 1, 1972.

110. Терентьев А.Г. Математические вопросы кавитации. Чебоксары, изд-во ЧГУ, 1981, 131 стр.

111. Терентьев А.Г., Лазарев В.А. Кавитационное обтекание пластины ограниченным потоком. В кн.: Физико-технические проблемы. Чебоксары, изд-во Чувашского госуниверситета, 1969.

112. Тихонов А.И. Глиссирование килеватых пластин тандем. Т-руды ЦАГИ, вып. 2574, 1994.

113. Тихонов А.И., Малярова Н.Д. Метод расчета формы свободной поверхности за глиссирующей поверхностью. Труды ЦАГИ, вып. 1548, 1974, стр. 20-31.

114. Тихонов А.И., Николаев М.Н. Экспериментальное исследование формы свободной поверхности за глиссирующей плоскокилеватой пластиной. Труды ЦАГИ, вып. 1548, 1974.

115. Уиттекер Е.Т., Ватсон Г.Н. Курс современного анализа. В 2-х томах, М.: Физматгиз, 1963, т. 2, 516 стр.

116. Фридман Г.М. Кавитационное обтекание дуги кривой с интерцепто-ром в безграничном потоке. Актуальные задачи гидродинамики, изд-во ЧГУ, Чебоксары, 1989, стр. 121-128.

117. Фридман Г.М. Асимптотическое исследование гидродинамики несущих поверхностей с интерцепторами: Дисс. на соискание ученой степени к-та техн. наук. ЛКИ, 1990, 191 стр.

118. Фридман Г.М. Асимптотическое равномерно-пригодное решение задачи о пластинке, глиссирующей по поверхности невесомй жикости. Сб. научн. тр. ЛКИ, 1990, стр. 73-79.

119. Фридман Г.М., Рождественский К.В. Обтекание конечной и бесконечной решеток профилей с интерцепторами. Сб. научн. тр. ЛКИ, Средства и методы повышения мореходных качеств судов, 1988, стр. 91-97.

120. Хаскинд М.Д. Плоская задача о глиссировании по поверхности тяжелой жидкости конечной глубины. Изв. АН СССР, ОТН, 1943, No. 1-2.

121. Чаплыгин С.А. Избранные труды, т. 2, М.-Л.: ОГИЗ, 1948.

122. Чаплыгин Ю.С. Глиссирование плоской пластинки бесконечного размаха по поверхности тяжелой жидкости. Труды ЦАГИ, 1940, вып. 508.

123. Что такое транцевый интерцептор? В. Баснин, И. Нагайбеков, М. Буньков, Г. Охрименко, С. Соловей. Катера и яхты, No. 5 (111), 1984, стр. 12-15.

124. Щеглова М.Г. Расчет смоченной длины пластинки конечного размаха при глиссировании с постоянной скоростью: Сб. работ по гидродинамике. В НИ ЦАГИ, 1959.

125. Щеглова М.Г. Теоретическая оценка подъемной силы и распределения нагрузки при глиссировании тела по поверхности возмущенной жидкости. Труды ЦАГИ, вып. 2256, 1985, стр. 68-72.

126. Эпштейн JI.A. Некоторые экспериментальные данные о явлении глиссирования. Доклады АН СССР, т. 26, No. 8, 1940.

127. Эпштейн JI. А. Новые экспериментальные материалы по глиссированию плоских пластинок. Труды ЦАГИ, вып. 508, 1940.

128. Эпштейн JI.A. Движение наклонной пластинки под свободной поверхностью, ПММ, т. 27, вып. 4, 1963, стр. 735-738.

129. Эпштейн JI.A. Методы теории размерностей и подобия. JL: Судостроение, 1970, 207 стр.

130. Эфрос Д.А. Гидродинамическая теория плоскопараллельных кавита-ционных течений. Доклады АН СССР, т. 51, No. 4, 1946, стр. 263-266.

131. Эшли X., Лэндал М. Аэродинамика крыльев и корпусов летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1969, 318 стр.

132. Achkinadze A.S. & Fridman G.M. Artificial variation problems method for three-dimensional lifting cavity flows, Preprints of 20-th Symposium on Naval Hydrodynamics, Santa Barbara, U.S.A., 1994, pp. 212-222.

133. Achkinadze A.S. & Fridman G.M. On some aspects of design of supercavitating foils and propellers. Variation and asymptotic approach, Proceedings of PROPCAV'95, Newcastle, UK, 1995, pp. 163-174.

134. Achkinadze A.S. & Fridman G.M. Artificial variation problems method for three-dimensional lifting cavity flows, The Twentieth Symposium on Naval Hydrodynamics, National Academy Press, Washington, D.C., 1996, pp. 466476.

135. Achkinadze A.S., Narvsky A.S. Supercavitating propeller design equation in lifting surface theory and method of its solution. Proceedings of the 14-th SMSSH, BSHC, Varna, Bulgaria, vol. 1, 1985, pp. 19/1-21.

136. Acosta A. A note on partial cavitation of flat plate hydrofoils. Technical Report No. E-19.9, California Institute of Technology (CalTech), Hydrodynamics Laboratory, October, 1955.

137. Amromin E.L, Vasilyev A.V., Fridman G.M. Partially cavitating surfaces of large aspect ratio. Proceedings of the Second International Conference on Asymptotics in Mechanics (AiM'96), St.Petersburg, Russia, October 13-16, 1996, pp. 9-16.

138. Amromin E.L., Vasilyev A.V., Syrkin E.N. Propeller Blade Cavitation Inception Prediction and Problems of Blade Geometry Optimization: Resent Research at the Krylov Shipbuilding Research Institute, J. Ship Research, 1995, vol. 39, No. 3.

139. Barnaby, S.W. On the formation of cavities in water by screw propellers at high speed. Transactions of I.N.A., 1897, p. 139.

140. Becker A.A. The Boundary Element Method in engineering, a complete cource. Mc Graw-Hill Publ., 1992.

141. Besho M., Komatsu M. Two-dimensional unsteady planing surface, J. Ship Research, vol. 28, No. 1, March, 1984, pp. 18-28.

142. Besho M., Sakuma S. A numerical solution of three-dimensional gliding plates. Proceedings of FAST'93 Symposium, 1993, Japan, pp. 963-974.

143. Bliss D.B., Epstein R.J. Novel approach to aerodynamic analysis using analytical-numerical matching. AIAA Journal, vol. 34, No. 11, 1995, pp. 22252232.

144. Chen C.S., Hsueh T.J. and Fwu J. 1993 The systematic test of wedge on flat plate planing surface. Proceedings of FAST'93 Symposium, Japan, 1993, pp. 397-408.

145. Cole J.D. Perturbation methods in applied mathematics, Blaisdell Publish. Co., Waltham, Massachessets, U.S.A., 1968.

146. Cox B.D., Kimball R.W., Scherer 0. Hydrofoil sections with thick trailing edges. Proceedings of Propeller/Shafting'97 Symposium, SNAME, September 23-24, 1997, pp. 18-1-18-18.

147. Dang Jie, Kuiper G., Re-entrant jet modelling of partial cavity flow on two-dimensional hydrofoils. Proceedings of the Third International Symposium on Cavitation, Grenoble, France, 1998, vol. II, pp. 233-242.

148. Doctors L.J. Representation of planing surfaces by finite pressure elements. Proceedings of the V-th Australian Conf. on Hydraulics and Fluid Mechanics, New Zeland, 1974, vol. 2, pp. 480-488.

149. Epstein R.J., Bliss D.B. Free vortex calculations using analytical-numerical matching with solution pyramiding. AIAA Journal, vol. 33, No. 5, 1995, pp. 894-903.

150. Epstein R.J., Bliss D.B. Aeroacoustic boundary element method using analytical-numerical matching. AIAA Journal, vol. 35, No. 2, 1997, pp. 244254.

151. Boulon 0., Chahine G.L. Numerical simulation of unsteady cavitation on a 3D hydrofoil, Proceedings of the Third International Symposium on Cavitation, Grenoble, France, 1998, vol. II, pp. 249-255.

152. Fine N.E., Kinnas S.A. A Boundary Element Method for the analysis of the flow around 3-D cavitating hydrofoils, J. Ship Research, vol. 37, 13, Sept., 1993, pp. 213-224.

153. Fridman G.M. Nonlinear local solutions in singularly perturbed planing flows. Proceedings of the 25-th Israel Conference on Mechanical Engineering, Technion, Haifa, Israel, May 25-26, 1994, pp. 310-312.

154. Fridman G.M. Nonlinear local solutions to the problem of the wing in extreme ground effect, Proceedings of the Second International conference on Asymptotics in Mechanics, October, St.Petersburg, Russia, 1996, pp. 89-96.

155. Fridman G.M. Matched asymptotics for two-dimensional planing hydrofoils with spoilers, Journal of Fluid Mechanics, vol. 358, pp. 259-281, 1998.

156. Fridman G.M., Kornev N.V., Matched asymptotics for three-dimensional planing problems. Proceedings of the 27-th Israel Conference on Mechanical Engineering, Technion, Haifa, Israel, May, 1998, pp. 668-670.

157. Fridman G.M., Rozhdestvensky K.V. Hydrodynamics of lifting surfaces with spoilers. Proceedings of IV International Symposium on PRADS'89, BSHC, Varna, Bulgaria, 1989, pp. 12-1; 12-7.

158. Fridman G.M., Rozhdestvensky K.V. Nonlinear local solutions in singularly perturbed three-dimensional lifting cavity flows, Proc. of the Second International Symposium on Cavitation, Tokyo, Japan, April 5-7, 1994, pp. 9598.

159. Furuya 0. Nonlinear calculation of arbitrary shaped supercavitating hydrofoils near a free surface. Journal of Fluid Mechanics, vol. 68, 1975, pp. 21-40.

160. Furuya, 0. Three-dimensional theory on supercavitating hydrofoils near a free surface. Journal of Fluid Mechanics, vol. 71, part 2, 1975, pp. 339-359.

161. Furuya 0., Acosta A. A note on the calculation of supercavitating hydrofoils with rounded noses, Journal of Fluids Engineering, Transactions of A.S.M.E., Series D, vol. 95, No. 2, June 1973, pp. 221-228.

162. Gallington R.W., et al. The ram-wing surface effect vehicle: comparison of one-dimensional theory with wind tunnel and free flight results. Hovering craft & hydrofoil, No. 1, vol. 5, February 1972.

163. Gallington R.W. Power augmentation of wing in extreme ground effect. Proceedings of the Intersociety High-Performance Marine Vehicle Conference and Exhibit, HMPV'92, Arlington, VA, June 1992, U.S.A., pp. 9-16.

164. Gerlach H. Einige Bemerkungen über den Widerstand der eine ebene Platte und en Keil von einer gleichförmigströminden Flüssigkeit erfährt. Civilinginieur, vol. XXXI, 1885.

165. Geurst J.A. Linearized theory for partially cavitated hydrofoils, International Shipbuilding Progress, vol. 6, No. 60, 1959, pp. 369-384.

166. Geurst J.A. Linearized theory for fully cavitated hydrofoils, International Shipbuilding Progress, vol. 7, No. 65, 1960, pp. 165-182.

167. Green A.E. Note on the Gliding of a Plate on the Surface of a Stream. Proc. Camb. Phil. Soc., vol. 32, 1936, pp. 248-252.

168. Hanaoka T. Linearized theory of cavity flows past a hydrofoil of arbitrary shape. Journal of the Society of Naval Architects, Japan, vol. 115, June, 1964, pp. 5674.

169. Helmholtz H. Ueber discontinuirliche Flüssigkeitsbewegungen. Monatsber. Königl. Akad. Wissenscheften, Berlin, 1868.

170. Hirano S., Himeno Y. Study on flow characteristics and resistance components of simple planing hull forms. Proceedings of FAST'93 Symposium, Japan, 1993, pp. 547-558.

171. Hirschi R., Dupont P., Avellan F. Partial sheet cavities prediction on a twisted elliptical planform hydrofoil using a fully 3-D approach, Proceedings of the Third International Symposium on Cavitation, Grenoble, France, 1998, vol. I, pp. 245-249.

172. Kai H., Ikehata M. Numerical simulation of cavitation on 3-D wings and marine propeller by a surface vortrex lattice method, Proceedings of the Third International Symposium on Cavitation, Grenoble, France, 1998, vol. II, pp. 281-286.

173. Kato H. Recent advances in cavitating foil research, Proceedings of the International Conference on Hydrodynamics, 1994, pp. 80-89.

174. Kato H. Cavitation, in Advances in Marine Hydrodynamics, chap. 5, Computational mechanics publication, pp. 233-277.

175. Kerney K.P. A theroy of the high aspect ratio jet flap, AIAA Journal, vol. 9, No. 3, 1971, pp. 431-435.

176. Kerwin J.E., Kinnas S.A., Lee J.T., Shih W.Z. A surface panel method for the hydrodynamic analysis of ducted propellers. Transact,ions of SNAME, vol. 95, 1987, pp. 93-122.

177. Kinnas S. A. Leading-edge corrections to the linear theory of partially cavitating hydrofoils, J. Ship Research, vol. 35, 1, March, 1991, pp. 15-27.

178. Kinnas S.A., Fine N. Analysis of the flow around supercavitating hydrofoils with midchord and face cavity detachment. J. Ship Research, vol. 35, 3, September, 1991, pp. 198-209.

179. Kinnas S.A. The prediction of unsteady sheet cavitation, Proceedings of the Third International Symposium on Cavitation, Grenoble, France, 1998, vol. I, pp. 19-36.

180. Kinnas S.A. & Fine N. Nonlinear analysis of the flow around partially of supercavitating hydrofoils by a potential based panel method, Proceedings of the IABEM-90 Symp., Rome, Italy, 1991, pp. 289-300.

181. Kinnas S.A. & Fine N. A nonlinear boundary element method for the analysis of unsteady propeller sheet cavitation, Proc. 19th Symp. on Naval Hydrodynamics, 1992, pp. 717-737.

182. Kinnas S.A. & Fine N. A numerical nonlinear analysis of the flow around two-and three-dimensional partially cavitating hydrofoils, J. Fluid Mech., vol. 254, 1993, pp. 151-181.

183. Kinnas S.A. & Fine N. A boundary element method for the analysisof the flow around 3D cavitating hydrofoils, J. Ship Research, vol. 37, No. 3, 1993, pp. 213-224.

184. Kinnas S.A, Mishima S., Brewer W. Nonlinear analysis of viscous flow around cavitating hydrofoils, The Twentieth Symposium on Naval Hydrodynamics, National Academy Press, Washington, D.C., 1996, pp. 446-465.

185. Krause F.H., Gallington R.W., Rousseau D.J. The current level of power augmented ram-wing technology. Technical Report, 1975.

186. Kuda T., Ukon Y. Calculation of supercavitating propeller performance unsing a vortex lattice method. Proceedings of the Second International Symposium on Cavitation, Tokyo, .Japan, April 5-7, 1994, pp. 403-409.

187. Kuipper, G., Jessup, S.D., A propeller design method form unsteady conditions. Transactions of SNAME, vol. 101, 1993, pp. 247-273.

188. Kuznetsov N.G. On uniqueness and solvability in the linearized two-dimensional problem of a supercritical stream about a surface-piercing body, Proc. Roy. Soc. London, vol. A450, No. 1939, 1995, pp. 233-253.

189. Kuznetsov N.G., Maz'ya, V.G. Asymptotic analysis of surface waves due to high-frequency disturbances, Rend. Mat. Accad. Lincei, ser. 9, vol. 8, No. 1, 1997, pp. 5-29.

190. Kuznetsov N.G., Motygin O.V. The wave resistance of a two-dimensional body moving forward in a two-layer fluid, J. Engng Math., vol. 32, No. 1, 1997, pp. 53-72.

191. Kuznetsov N.G., Motygin O.V. On the resistanceless statement of the two-dimensional Neumann-Kelvin problem for a surface-piercing tandem, IMA J. Appl. Math., vol. 62, 1999, pp. 81-99.

192. Larock, B.E., Street, R.L., Cambered bodies in cavitating flow a nonlinear analysis and design procedure. J. Ship Research, vol. 12, No. 1, 1969, pp. 131— 139.

193. Latorre R. Study of prismatic planing model spray and resistance components. J. Ship Research, vol. 27, 3, 1983, p. 187-198.

194. Lee C.-S. Prediction of the transient cavitation on marine propellers. Proceedings of the 13-th Symposium on Naval Hydrodynamics, 1981, pp. 41-64.

195. Lee C.-S., Kim Y.-G., Lee J.-T. A potential-based panel method for teh analysis of a two-dimensional super- or partially cavitating hydrofoil, J. Ship Research, vol. 36, 2, March, 1992, p. 168-181.

196. Leehey P. Supercavitating hydrofoil of finite span. Proceedings of the IUTAM Symposium on Nonsteady Flow of Water at High Speeds, Leningrad, June 1971. Nauka Publ., Moscow, 1973, pp. 277-299.

197. Leehey P., Stellinger, T.S. Force and moment measurements of supercavitating hydrofoils of finite span with comparison to theory, Transactions of A.S.M.E., ser. S, 1975, pp. 453-464.

198. Lemonnier H., Rowe A. Another approach in modelling cavitating flows, Journal of Fluid Mechanics, vol. 195, 1988, pp. 557-580.

199. Maklakov D.V. A note on the optimum profile of a sprayless planing surface. Journal of Fluid Mechanics, vol. 384, 1999, pp. 281-292.

200. MacPherson D.M., Small propeller cups: a proposed geometry standard and a new performance model. Proceedings of Propeller/Shafting'97 Symposium, SNAME, September 23-24, 1997, pp. 14-1-14-6.

201. Maruo H. Two-dimensional theory of hydroplanes, Proceedings of I-st Japan National Congress on Applied Mechanics, 1951, pp. 409.

202. Maruo H. High and low-aspect ratio approximation of planing surfaces, Schiffstechnik, vol. 14, 1967, pp. 57-64.

203. Maruo H. Hydrodynamics of planing hulls, Mathematical Approaches in Hydrodynamics, SIAM, Philadelphia, U.S.A., 1991, pp. 300-317.

204. Mottard E.J. Investigation of self-exited planing vibration at large wetted aspect ratio. DTMB Report 2017, David Taylor Model Basin, 1965.

205. Nishiyama T. Lifting line theory of supercavitating hydrofoil of finite span. ZAMM, vol. 50, 1970, pp. 645-653.

206. Nishiyama T., Ito J. Lifting-line approximation for partially cavitated hydrofoils of finite span. Tohoku University, Technology Reports, vol. 44, No. 1, 1979, pp. 185-197.

207. Ogilvie T. Singular perturbation problems in ship hydrodynamics, The University of Michigan, Paper No. 096, October, 1970, 198 pp.

208. Payne P.R. Design of high-speed boats. Planing, Fishergate Inc. Publ., 1988, 201 pp.

209. Pellone C., Rowe A. Supercavitating hydrofoils in nonlinear theory. Proceedings of the Third International Confeernce on Numerical Ship Hydrodynamics, Paris, June, 1981.

210. Pellone C., Peallat J. Nonlinear analysis of three-dimensional partially cavitating hydrofoil, Proceedings of PROPCAV'95, Newcastle, UK, 1995, pp. 433-440.

211. Plotkin A.A. Leading-edge correction for the supercavitating flat-plate hydrofoils, Journal of Fluids Engineering, Transactions of A.S.M.E., Series D, vol. 100, No. 3, 1978, pp. 276-280.

212. Reynolds 0. Papers on mechanical and physical subjects. Cambridge, vol. II, 1894, p. 578.

213. Riabouchinsky D. On steady fluid motion with free surfaces. Proceedings of the London Mathematical Society, vol. 19, ser. 2, 1920.

214. Rispin P.P. A singular perturbation method for nonlinear waves past an obstacle, Ph.D. Thesis, 1967, CalTech, Pasadena, California.

215. Rozhdestvensky K.V. Matched asymptotics in aerodynamics of WIG vehicles, Proceedings of HMPV'92, June, 1992, pp. 17-24.

216. Rozhdestvensky K.V. Ekranoplans The GEMs of fast water transport, Transactions of the Institute of Marine Engineers, vol. 109, part 1, 1997, pp. 4774.

217. Rozhdestvensky K.V. Aerodynamics of a lifting system in extreme ground effect. Springer-Verlag, 2000, 352 p.

218. Rozhdestvensky K.V., Fridman G.M. Matched Asymptotics for Free Surface Lifting Flows with Spoilers. Mathematical Approaches in Hydrodynamics, SIAM, Philadelphia, USA, 1991, pp. 499-517.

219. Rozhdestvensky K.V., Fridman G.M. Asymptotic solution of flow problem for a planing tandem of large aspect ratio. Proceedings of the NSN Conference, CSRI named after akademician Krylov, St.Petersburg, 1996, pp. A2-21-1-A2-21-10.

220. Rozhdestvensky K.V., Wu C.-K. Numerical analysis of viscous flow past a rounded leading edge of a lifting foil with use of matched asymptotics, Proceedings of the Seventh International Conference on Numerical Ship Hydrodynamics, July, 1999.

221. Sedov L.I. On the theory of unsteady planing and the motion of a wing with vortex separation, NACA Technical Memorandum, 1940, vol. 942.

222. Shen Y.T., Ogilvie T.F. Nonlinear hydrodynamic theory for finite span planing surfaces, J. Ship Research, 1972, vol. 14, No. 1, pp. 3-20.

223. Sottorf W. Versuche mit Gleitflächnn, Werft-Reederei-Hafen, vol. 21, 1929.

224. Sottorf W. Versuche mit Gleitflächnn, Werft-Reederei-Hafen, vol. 19, 1932.

225. Sottorf W. Experiments with planing surafces, NAC A Technical Memorandum, vol. 739, 1934.

226. Terentev A.G., Dimitrieva N.A. Theoretical investigation of cavitating flows, Proceedings of the Third International Symposium on Cavitation, Grenoble, France, 1998, vol. II, pp. 275-280.

227. Ting L., Keller J.B. Planing of a flat plate at high Froude number, The Physics of Fluids, vol. 17, No. 6, 1974, pp. 1080-1086.

228. Ting L., Keller J.B. Optimal shape of a planing surface at high Froude number, J. Ship Research, vol. 21, No. 1,. 1977, pp. 40-43.

229. Nguen Ngoc Tran, Rojdestvenski K. Hydroplanage d'une Plaque Plane de Grande Envergure sur la Surface d'un Domaine de Fluide de Profondeur Finie, Journal de Mecamque, 1975, vol. 14, No. 5, pp. 794-821.

230. Tulin M.P. Steady two-dimensional cavity flows about slender bodies. Technical Report 834, DTMB, May, 1953.

231. Tulin M.P. Supercavitatig flows past foils and struts. Proceedings of Symposium on Cavitation in Hydrodynamics, NPL, Tenddington, England, September, 1955.

232. Tulin M.P. Supercavitating flows small perturbation theory, J. Ship Research, vol. 7, No. 3, 1964, pp. 37-43.

233. Tulin M.P., Burkhart M.P. Linearized theory for flows about lifting foils at zero cavitation number. Technical Report C-638, DTMB, February, 1955.

234. Tulin M.P, Hsu C.C. New applications of cavity flow theory. Transactions of 13-th Symposium on Naval Hydrodynamics, Tokio, Japan, 1980, pp. 107-131.

235. Uhlman J.S. A partially cavitated hydrofoil of finite span, Journal of Fluids Engineering, Transactions of A.S.M.E., Series D, vol. 100, No. 3, 1978, pp. 353354.

236. Uhlman J.S. The surface singularity method applied to partially cavitating hydrofoils, J. Ship Research, vol. 31, 2, June, 1987, pp. 107-124.

237. Uhlman J.S. The surface singularity or boundary integral method applied to supercavitating hydrofoils, J. Ship Research, vol. 33, 1, March, 1989, pp. 16-20.

238. Ulstein T., Faltinsen O.M. Two-dimensional unsteady planing, J. Ship Research, vol. 40, No. 3, Sept., 1996, pp. 200-210.

239. Van Dyke M. Lifting line theory as a singular perturbation problem. Journal of Applied Mathematics & Mechanics, vol. 28, 1964, pp. 90-101.

240. Van Dyke M. Perturbation methods in fluid mechanics. Parabolic Press, Stanford, 1975, 271 pp.

241. Wagner H. On phenomena of impact and planing on a fluid surface. ZAMM, vol. 12, 1932, pp. 193-215.

242. Widnall S.E. Unsteady loads on supercavitating hydrofoils, J. Ship Research, vol. 10, 1966, pp. 107-118.

243. Widnall S.E., Barrows T.M. An analytic solution for two- and three dimensional wings in ground effect. J. Fluid Mech., vol. 41, pp. 769-792.

244. Wolfram S. The MathematicaBook. (Mathematica Version 4), Wolfram Media, Cambridge University Press, Fourth Edition, 1999, 1415 p.

245. Wu T.Y. A note on the linear and nonlinear theories for fully cavitated hydrofoils. Technical Report No. 21-22, California Institute of Technology (CalTech), Hydrodynamics Laboratory, August, 1956.

246. Wu T.Y. A wake model for free-streamline flow theory. Journal of Fluid Mechanics, vol. 13, No. 2, 1962.

247. Wu T.Y. A singular perturbation theory for nonlinear free surface flow problems, Intl. Shipbuilding Prog., vol. 14, 1967, pp. 88-97.

248. Wu C.-K., Rozhdestvensky K.V. Computation of a viscous two- dimensional flow past a Tandem in ground effect, Proceedings of the IMAM-2000 Congress, Italy, April, 2000.

249. Wu C.-K., Rozhdestvensky K.V. Computation of an unsteady viscous flow past a foil in curved ground effect, Proceedings of the HPMV-2000 Congress, Shanghai, China, April, 2000.1. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 311

250. Yamaguchi Н., Kato Н. On application of nonlinear cavity theory to thick foil sections. Proceedings of the Second International Conference on Cavitation, IMechE, 1983, pp.167-174.

251. Yamaguchi H., Kato H. Non-linear theory for partially cavitating hydrofoils. /. Soc. Naval Arch. Japan, vol. 152, 1983, pp. 117-124.

252. Yim B. Application of Matched Asymptotic expansion for designing a leading edge of super-cavitating section. Journal of Ships and Ocean Engineering, vol. 21, December, 1995, pp. 1-6.

253. Yim B. Nonlinear theory for a supercavitating shock-free flapped foil with the finite cavity length in a cascade. Proceedings of the Third International Symposium on Cavitation, Grenoble, France, 1998, vol. II, pp. 31-38.1. Содержание1. Введение 1

254. Классификация и методы решения локальных нелинейных задач; 30

255. Локальные задачи: общие положения.30

256. Локальные задачи о течении вблизи малого закрылка .6614.1 Простейшая модель течения вблизи малого закрылка . 6714.2 Произвольно изогнутый малый закрылок .68

257. Локальные задачи для зоны замыкания каверны.8316.1 Схема замыкания Рябушинского .8416.2 Схема замыкания Эфроса с возвратной струйкой . 86

258. Сращиваемые асимптотические разложения в задачах обтекания кавитирующих профилей и крыльев 90

259. Сращиваемые асимптотические разложения в задачах обтекания глиссирующих профилей и крыльев 155

260. Глиссирующее крыло с интерцептором асимптотический подход .18834.1 Внешняя пространственная задача линейная теория . . 18934.2 Сращивание и построение составного решения.19634.3 Числовые результаты.198

261. Задачи о системах крыльев большого удлинения со свободнойповерхностью — единый асимптотический подход 207

262. Использование метода САР в задачах об изолированных крыльях большого удлинения со свободной поверхностью .20741.1 Подводное крыло большого удлинения.20841.2 Глиссирующая поверхность.212

263. Общая постановка задач о тандеме крыльев большого удлинения вблизи свободной поверхности .218

264. Тандем крыльев большого удлинения со свободной поверхностью при продольном разносе на расстояние порядка хорды и размаха .22143.1 Внешняя задача для тандема.22143.2 Сращивание и построение составного решения: тандем глиссирующих пластин .225

265. Сращиваемые разложения для сильно возмущенных несущих потоков идеальной жидкости при наличии локальных зон сосредо1. СОДЕРЖАНИЕ315точения нелинейных эффектов 232

266. Общие замечания о нелинейном асимптотическом подходе . . 232

267. Модельная задача: кавитирующая пластина с интерцептором -нелинейный асимптотический подход.23552.1 Анализ точного решения нелинейной задачи .23552.2 "Точное" внешнее решение.23852.3 Внутреннее нелинейное решение и сращивание.241

268. Нелинейный асимптотический подход для задачи глиссирующего профиля с интерцептором.243

269. Нелинейный асимптотический подход для пластины с закрылком в безотрывном режиме обтекания.24654.1 "Точное" внешнее решение .24654.2 Нелинейное внутреннее решение и сращивание.24854.3 Анализ точного нелинейного решения.249

270. Числовые результаты для нелинейного асимптотического подхода .2521. Заключение263