Численно-аналитическое решение задачи построения профиля крыла с элероном в безотрывном и отрывном потоках тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Плотникова Людмила Геннадьевна

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПОСТРОЕНИЯ ПРОФИЛЯ КРЫЛА С ЭЛЕРОНОМ В БЕЗОТРЫВНОМ И ОТРЫВНОМ ПОТОКАХ

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАН Ь-2006

Работа выполнена в Отделе краевых задач Научно-исследовательского института математики и механики им Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета им. В.И. Ульянова-Ленина.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный деятель науки России и Татарстана Ильинский Николай Борисович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Маклаков Дмитрий Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор

Якимов Николай Дмитриевич

Ведущая организация:

Самарский государственный аэрокосмический университет, г. Самара.

Защита состоится 26 октября 2006г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д212.081.11 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлевская, 18.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского государственного университета.

Автореферат разослан '^^"сентября 2006г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент Л A.A. Саченков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. При решении задач проектирования крыловых профилей в ряде случаев эффективными оказываются методы обратных краевых задач аэрогидродинамики (ОКЗА). При этом решение строится по заданному распределению скорости или давления по контуру профиля и основные аэродинамические характеристики профиля можно вычислить до решения задачи. В последнее время большое количество работ посвящено расширению класса решаемых ОКЗА: проектированию многокомпонентных крыловых профилей, профилей при наличии в потоке особенностей, профилей с устройствами активного управления потоком. Последние задачи представляют особый интерес, так как введение таких устройств позволяет улучшить аэродинамические характеристики крылового профиля: увеличить подъемную силу, уменьшить профильное сопротивление. К числу устройств активного управления потоком, в частности, относится, элерон - подвижная задняя часть крыла. Отклонение элерона может привести к отрыву потока на профиле и изменению аэродинамических характеристик. Поэтому учет отрыва имеет большое значение для получения достоверных результатов.

Целью настоящей диссертации является разработка численно-аналитических методов проектирования профилей крыла с отклоненным элероном в безотрывном и отрывном потоках; поиск оптимальных по аэродинамическим характеристикам параметров профиля и элерона; составление на основе разработанных методов вычислительных алгоритмов и их программная реализация; анализ влияния отрыва потока на аэродинамические характеристики крыловых профилей.

Научная новизна. В диссертации детально исследована задача безотрывного обтекания плоской пластинки с отклоненным щитком. Найдены наибольшие значения коэффициента подъемной силы в зависимости от длины щитка и угла его отклонения. Решена задача проектирования профиля крыла с элероном, обтекаемого безотрывным потоком, с использованием метода решения обратных краевых задач аэрогидродинамики. Показано, что для профиля крыла с элероном зависимость коэффициента подъемной силы от длины элерона и угла его отклонения качественно схожа с аналогичной зависимостью для пластинки со щитком. Исследована задача обтекания плоской пластинки с отклоненным щитком при отрыве потока за щитком и наличии изобарической области вблизи стыка пластинки со щитком. Исследование проведено двумя методами: путем сведения к смешанной краевой задаче и с использованием области годографа скорости. Выведена формула для расчета подсасывающей силы, возникающей на передней кромке пластинки. Построены зависимости аэродинамических характеристик и параметров изобарической области от длины щитка и угла отклонения щитка. Решена

задача проектирования профиля крыла с элероном, обтекаемого с отрывом потока за элероном и образованием изобарической области на нижней поверхности профиля. Выведены формулы для расчета аэродинамических сил. Построены зависимости аэродинамических характеристик от длины щитка и угла его отклонения. Решена задача проектирования профиля крыла с интер-цептором, обтекаемого с отрывом потока за интерцептором и образованием изобарической области на нижней поверхности профиля. Решение построено сведением к смешанной краевой задаче с заданным распределением скорости на поверхности профиля и значением угла отклонения интерцептора, причем распределение скорости на верхней поверхности подбиралось так, чтобы контур профиля получился замкнутым. Разработаны алгоритмы численной реализации решений задач.

Достоверность полученных результатов обеспечивается обоснованностью применяемых моделей и строгостью используемого математического аппарата, а также совпадением результатов, полученных разными методами решения.

Практическая ценность. Разработанные в диссертации методы, найденные решения задач, алгоритмы численной реализации и построенные профили могут быть использованы при проектировании крыльев самолетов дозвуковой авиации. Результаты диссертации могут войти в учебную программу спецкурса для студентов механико-математического факультета Казанского университета.

Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения были доложены на семинарах Отдела краевых задач (руководитель - Н.Б. Ильинский); на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета (секция аэрогидромеханики) за 2002-2005гг.; Итоговой конференции Республиканского конкурса научных работ среди студентов и аспирантов на соискание премии имени Н.И. Лобачевского (Казань, 2002); VIII Че-таевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 2002); Международной летней научной школе "Гидродинамика больших скоростей" (Чебоксары, 2002, 2004); Международной школе по моделям механики сплошной среды (Казань, 2002, 2004); II Международной научно-технической конференции молодых ученых и специалистов "Современные проблемы аэрокосмической науки и техники" (ЦАГИ, Жуковский, 2002); Научно-практической конференции молодых ученых и специалистов "Исследования и перспективные разработки в авиационной промышленности" ("ОКБ Сухого", Москва, 2002, 2004); Совместном российско-немецком семинаре НИИММ КГУ и IAG (Казань, 2003), Двенадцатой международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Владимир, 2003); Четвертой

Международной школе-семинаре "Модели и методы аэродинамики" (Евпатория, 2004).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 4 стаг тьях и 6 тезисах. Список основных публикаций приведен в конце автореферата.

Содержание, структура и объем работы- Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, содержащих десять параграфов, заключения и списка литературы. Содержит 100 страниц, 13 таблиц, 42 рисунка. Библиографический список состоит из 61 наименования источников отечественных и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении кратко анализируется развитие методов проектирования крыловых профилей, основанных на теории ОКЗА. Также особое внимание уделено теории струй.

История развития ОКЗА насчитывает более 70 лет. Первые постановки и решения таких задач для модели идеальной несжимаемой жидкости были даны в 30-40 годах прошлого столетия в работах F. Weinig'a, С. Schmiden'a, A. Betz'a, W. Mangler'a, JI.А. Симонова, Г.Г. Тумашева, M.J. Lighthill'a.

Следующая группа работ (40-60 годы) включала исследования по учету сжимаемости по. модели газа Чаплыгина, из которых следует отметить работы Г.Г. Тумашева, L.C. Woods'a, Г.Ю. Степанова. Позже появились результаты, связанные с учетом вязкости в ОКЗА по модели пограничного слоя (ПС) (работы Г.Ю. Степанова, Л.Л. Лебедева, J.L. Van Ingen'a).

В настоящее время исследования по ОКЗА также активно развиваются, в частности, в решении задач проектирования профилей с устройствами активного управления потоком, к числу которых относятся щиток, интерцеп-тор, элерон (подвижная задняя часть крыла). Введение таких устройств позволяет значительно улучшить аэродинамические характеристики крылового профиля: увеличить коэффициент подъемной силы, уменьшить профильное сопротивление. Эти вопросы изучались подробно В.В. Голубевым и С.А. Чаплыгиным совместно с Н.С. Аржаниковым.

Отклонение элерона может привести к отрыву потока на самом профиле и к изменению аэродинамических характеристик. Поэтому учет отрыва имеет большое значение для получения достоверных результатов. Вопросу отрывных течений посвящены работы П. Чжена, Г.Ю. Степанова. Одним из путей исследования отрывных течений является применение струйных и вихревых моделей невязкой жидкости с использованием дополнительных гипотез. Теория струй, кроме того, позволяет определить одну из важнейших характеристик профиля - силу сопротивления, что не удается сделать при безотрывном обтекании.

Одна из первых схем отрывного обтекания — струйная схема Кирхгофа, в которой за телом постулируется бесконечная "¡застойная" область с давлением р = р0о, ограниченная вихревыми линиями разрыва скорости и расширяющаяся по закону у ~ у/х. Позже было предложено множество более общих схем отрывного обтекания применительно к задачам кавитационных течений жидкости с заданным в паровой или газовой каверне числом кавитации; наиболее известные из них можно найти, например, в работах М.И. Гуревича, Л.В. Гогиша, Г.Ю. Степанова. В этих схемах отрывная область имеет конечные размеры, след отсутствует, но сила сопротивления по поверхности тела (с постоянным давлением за точками отрыва) имеет вполне определенную величину.

Теория струй, изложенная М.И. Гуревичем, рассматривает течения, ограниченные частично твердыми стенками и частично свободными поверхностями, на которых давление постоянно., В ней приняты следующие предположения: жидкость невесома, идеальна, несжимаема. Вихри отсутствуют, течение установившееся, задача плоская. Струйные течения дают удовлетворительные результаты по силе сопротивления и общему виду течения. Одной из таким схем является, например, схема By. Для этой схемы течение считается бесциркуляционным, границы каверны переходят в некоторые конгруэнтные линии тока.

В схеме отрывного обтекания полигональных препятствий точки отрыва фиксированы на острых кромках обтекаемого контура. При отрыве от гладкого контура положение каждой точки отрыва является дополнительным неизвестным параметром задачи. В теории кавитационных течений невязкой жидкости эти точки определяются условием Бриллуэна-Вилла о конечной кривизне струй в точке отрыва или задаются по экспериментальным данным.

Используя теорию струй, можно избавляться от критических точек на контуре и в потоке. С.А.Чаплыгиным была исследована задача обтекания плоской пластинки с застойной зоной вблизи критической точки. В дальнейшем его идея о замене критических точек застойными областями использовалась в ряде работ. Так, например, Д.В. Маклаковым и Г.М. Фридманом получено точное аналитическое решение задачи струйного обтекания плоской пластины с интерцептором при наличии застойной зоны вблизи интерцептора.

В первой главе настоящей диссертации рассмотрена задача проектирования профиля крыла с элероном в безотрывном потоке идеальной несжимаемой жидкости по заданному на искомом профиле модифицированному распределению скорости, снятому с пластинки со щитком.

В §1 детально рассмотрена задача обтекания безотрывным потоком пластинки с отклоненным щитком (фиг. 1, а). В качестве исходных данных зада-

ны длины пластинки li и щитка ¿2» угол Sir отклонения щитка от пластинки, скорость Voo = VooGta набегающего потока.

Требуется найти распределение скорости по контуру Lz и коэффициент подъемной силы Суа этого контура.

Решение построено, следуя работе1. Найдено распределение скорости по поверхности пластинки со щитком (фиг. 2). Скорость принимает бесконечные значения в передней кромке А пластинки и в угловой точке В, нулевое значение в точке О разветвления потока и в угловой точке Р. С использованием теоремы Жуковского получена формула для коэффициента подъемной силы

^ -9 А 5т(тг6 + Ъ-^д + а) Ча~гЖ1 + Х (sin£)2-í(sin »

где Л = /г/^i) и показана зависимость коэффициента подъемной силы от длины щитка и угла отклонения щитка (фиг. 3). При больших значениях а в зависимости Суа{8) наблюдается максимум. Аналогичный характер поведения виден и в зависимости Суа(\).

В §2 дана постановка и найдено решение обратной краевой задачи для профиля крыла с элероном, обтекаемого без отрыва потока. Заданы скорость Voo

1 Голубее В. В. Теория крыла аэроплана в плоскопараллелыюм потоке. - M.-JI. :Гос.техтеоретиздат, -1938. - 260 с.

Фиг. 3.

набегающего потока, распределение скорости и(7),7 € [0,2тс), на искомом контуре (фиг. 4, б), где 7 — дуговая координата во вспомогательной плоскости.

Распределение скорости задается следующим образом. Модифицируется распределение скорости по контуру Ьг из §1 (см., напр., фиг. 2): бесконечные значения скорости в точках А и В ограничиваются конечными значениями, нулевое значение в точке Р заменяется ненулевым значением. В результате получается распределение скорости с участками постоянного значения, т.е. так называемое полочное распределение скорости. Функция и (7) обращается в нуль в точке разветвления потока.

Требуется определить контур Ьг профиля крыла с элероном и найти коэффициент подъемной силы Суа.

Задача решена с использованием метода решения ОКЗА и квазирешения для выполнения условий разрешимости2.

В расчетах приведены три примера построения профилей. Первый пример показывает, как влияют ограничения скорости в точках А, В и Р при модификации скорости на контур полученного профиля. Для этого было модифицировано распределение скорости V(7) с фиг. 2, т.е. ограничены бесконечные скорости в точках А к В постоянными значениями скорости, не превышаю-

* Елизаров А. М., Ильинский Н. Б., Поташев А. В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики. -М.: Наука, - 1994. - 440 с.

Фиг. 4.

Фиг. 5.

щими (2.5 -т- З)«,», а в окрестности точки Р, где скорость обращалась в нуль, распределение скорости заменено полочным с конечным ненулевым значением. Постоянные значения в точках Р, А, В брались разными: в первом случае |ир| = 0.30, va = 2.00, vb = 1.80, во втором |vp| = 0.50, va = 1.70, vb = 1.50 (данные выбирались произвольно). В результате построены замкнутые контуры профилей и соответствующие им распределения скоростей после квазирешения (фиг. 5); в первом случае - сплошная линия, во втором - штриховая.

Видно, что значения скоростей |ир|, vai г>ь влияют на форму профиля. Значительные ограничения скорости в точках В и Р приводят к плавному отклонению элерона (штриховая линия). В другом случае выделяется четкий угол отклонения элерона (сплошная линия), близкий к углу отклонения щитка от пластинки. В результате для двух случаев получились разные углы ó отклонения элерона. Значительное ограничение скорости в точке А (то есть уменьшение значения г?в) приводит к увеличению толщины профиля (штриховая линия). Расчеты показали, что для построенных профилей значение ó меньше, а значение Суа больше, чем у исходной пластинки с отклоненным щитком.

Во втором примере приведены результаты построения профилей с разными углами наклона элерона. Третий пример иллюстрирует построение профилей с элеронами разной длины. Изучение зависимости Суа от угла наклона

элерона и его длины показало, что характер поведения Суа(5) для контура Ь2 схож с Суа(6) для контура Ьг (фиг. 3). То же самое можно отметить в зависимости Суа{А).

В §3 находится наибольшее значение Су для пластинки со щитком и для профиля крыла с элероном, так как из результатов предыдущих двух параграфов видно, что зависимости Суа(5) и Суа(\) имеют точки максимума. Поэтому определяются такие параметры 5 и Л контура Ьг (обозначим их 5т и Ат для Ьг и 5тр и Атр для Ьг) для разных углов атаки набегающего потока а, при которых коэффициент подъемной силы Суа принимает наибольшее значение Суат. Для параметров А, 6 задается область определения: 0 < А < 0.5, 1 < 6 < 1.5. Эти ограничения выбраны из тех соображений, что обычно щиток отклоняется на небольшие углы и имеет меньшую длину, чем длина самой пластинки.

Решение построено численно. В результате установлено, что значение Суат для каждого фиксированного а достигается при Ат = 0.5 - наибольшей длине щитка (фиг. 3). При этом значение 8т изменяется в обратной зависимости от величины а: чем больше а, тем меньше 5т. Отметим два предельных случая. При а = 0 значение Суат достигается при щитке, расположенным ортогонально набегающему потоку, Суат — 4.93. При ос — 0.57Г значение Суат достигается при неотклоненном щитке и не зависит от его длины, СуаVI = 6.28. Для крылового профиля также наибольшее значение Суат для фиксированных углов а достигается при Атр = 0.5, а угол отклонения 5тр немного больше 6т: 6тр > 6т. Значения 5, при которых достигается Суат для контура Ь2, не являются оптимальными для достижения Суат контура Ьг.

В §4 представлены дополнительные результаты расчетов для проектирования безотрывно обтекаемых профилей крыла с элероном. В заключение сказано, что для проектирования профилей крыла с элероном можно использовать распределение скорости по пластинке с отклоненным щитком.

Вторая глава посвящена решению задачи проектирования профиля крыла с элероном, обтекаемого идеальной несжимаемой жидкостью с отрывом потока. Для этого вначале решается задача обтекания отрывным потоком пластинки с отклоненным щитком. В качестве математической модели такого обтекания используется схема Ву с некоторым дополнением, а именно: кроме изобарической области за щитком вводится также застойная зона на нижней поверхности пластинки, следуя идее С.А. Чаплыгина о замене критических точек застойными областями.

В §5 поставлена и решена задача отрывного обтекания пластинки с отклоненным щитком (фиг. 6) путем сведения к смешанной краевой задаче. Заданы пластинка АВ длины с отклоненным щитком ВР длины ¿2, угол (3 отклонения щитка от пластинки, скорость г>оо набегающего потока и угол атаки а.

2/f

Л

В x с_Я

О Н

Фиг. 6.

Линии BCD, FED - линии схода потока. Область EFBC - изобарическая. Линия HG - граница изобарической области GHB. На линиях ВС и FE давление постоянно и скорость v = vq. На линии HG скорость v — i>i также постоянна. Значения vq и v\ заданы.

Требуется найти распределение скорости на поверхности пластинки со щитком и построить линии схода потока, на которых v = vq и v = vi, рассчитать аэродинамические характеристики.

Для решения введена внешность единичного круга, которая далее конформно отображена на верхнюю полуплоскость 1ш t > 0. Далее рассмотрена функция Леви-Чивиты

нахождение которой в области Се = {1т Ь > 0} свелось к решению смешанной краевой задачи, причем эта функция имеет особенности в точках О и Л. Для устранения особенностей у вводится функция Хо(0» которая имеет в точках О и Л те же особенности. Функция X = X ~ Хо Уже не имеет на границе особенностей, а Хо(£) и х(£) определяются по формуле Синьори-ки. Определяемыми параметрами функции х(£) являются но в области и /, д, Ь, а, Ь, лежащие на действительной оси полуплоскости £. Для определения пяти параметров составлено пять нелинейных уравнений, которые решаются методом Ньютона.

Зная х(0 и йт/сИ, находится функция

позволяющая строить неизвестные границы области С?2.

Так как в окрестности передней кромки скорость принимает бесконечное значение, то в точке Л возникает подсасывающая сила, которая направлена вдоль пластинки и определена из формулы Чаплыгина для сил давления

а

разложением в окрестности точки А:

Л/ и Л ^

„ Ариетта? 4(Ь - а)(а -/) Ла _------------

а силы

(1 + а2)2 |а(Ь + /) - 2/6 + 2у/(Ь- а)(а -/)у/=]Ъ Яхр = ^ ¡Ыу, Лу = У

е

направленные по осям а: и у, находятся интегрированием сил давления по контуру £ — ЛБРС?ВЛ в плоскости г, Ср = 1 — {у/ь^)2 - коэффициент давления. Силы Дс = /?1р + и /?у могут быть также определены по формуле

Ях + ту = 2ри0ь^тт ~ X7«)

если обратиться к работе3 (стр. 116-118)

Далее определяются сила сопротивления Пха и подъемная сила Нуа, наг правленные по потоку и ортогонально ему, а коэффициенты Сха и Суа будут:

(-, _ 2Дда _ 2Дуа

ха~ ^ооУх + ЬУ ^-роЦЬ + ЬУ Так как из решения §5 трудно сказать, будет ли выполняться гладкий отрыв в точке Ну в §6 предыдущая задача решена с использованием области годографа скорости и выполнением условия Бриллуэна-Вилла гладкого отрыва в точке Я. Скорость г^ на границе Я(7 требуется найти.

Для решения также вводится функция Леви-Чивиты х(£) и строится область С7Х в плоскости х (фиг. 7, о) . Функция х имеет особенности в точке О разветвления потока (V = 0, а в терпит скачок, равный — 7г); и в точке А -передней кромке пластинки (и принимает бесконечное значение, а 9 терпит скачок, равный я). Для выполнения условия гладкого отрыва Бриллуэна-Вилла в точке Я исключены возможные разрезы в окрестности этой точки в плоскости Х-

Плоскость комплексного потенциала из — (р + при условии нулевой циркуляции имеет вид, показанный на фиг. 7, б, где <р\ - параметр, определяемый в процессе решения. Функцией Ь — у/и>/ (^1 — и>) конформно отобразим область Сц, на верхнюю полуплоскость 1т £ > 0.

Для представления х (0> отображающей полуплоскость 1т£ > 0 на область Сх, воспользуемся формулой Кристоффеля-Шварца

с

(0 = А> I

(« - к) у/ь-к

г (г-а) -/)(«- д) {ь - ъ)

®Г$/ре<»ич М. И. Теория струй идеальной жидкости. - М.: Наука, - 1979. - 536 с.

-р

р в

н

А

СЕ

К

5/

О

(X)

Фиг. 7.

б V <7. (и-)

СЕ

О

ф.

где Ао - действительная постоянная.

Зная функции х (О и (0>запишем

*

»о ] |

■Л.

(1 + *2Г

а

В полученное аналитическое решение входит девять неизвестных параметров: к, /, Л, а, Ь в плоскости £; у?! в плоскости го; постоянная Ао и скорость VI. Для их определения составлено девять нелинейных уравнений, го которых четыре параметра находятся в явном виде; остальные пять нелинейных уравнений решены методом Ньютона.

Подсасывающая сила Хд, возникающая на передней кромке пластинки и направленная вдоль пластинки определяется по формуле

А) — уДГ-ТЪ

ХА =

рщаюо7Г (1 4- а2)2

(Ь — а) • ехр

/(

Ш -/)((- я) (ь - О

"О Г8"

Формулы для Ях и Ну, приведенные в §5, можно записать также в иной форме. Следуя работе4 и проведя рассуждения, аналогичные работе3 (стр. 116-118), получено

Я* + Ш» = т^х ^оотг АА/ ^~2~е<Т ~ е'а,

где

М

1 + /12

(1 + /2) (1 + ^(1+ 6»)'

4Л/аклакое Д.В., Фридман Г.М. Струйное обтекание пластины с ннтерцептором при наличии застойной

зоны // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2005. - Л* 4. - С. 26-44.

Фиг. 8.

Т = —7Г + ап^ к — агс^ а + - (аг<^ к — arctg / — ахс^ д — агс^ Ь).

£

В §7 приведены результаты расчетов, которые получены сначала методом с использованием области годографа скорости. Пример пластинки со щитком и застойной зоной и соответствующее ему распределение скорости показаны на фиг. 8, где а = 2°, 12 = 0.3 и 0 = 30° (»« = 1, ь0 = 1.1, Ь = 1).

На фиг. 9 представлены зависимости различных физических величин от длины щитка Iг при разных углах отклонения щитка (3 для угла атаки а = 5°. Сплошные кривые 1 построены для (3 = 30°, штриховые 2 - для ¡3 — 60°, штрих-пунктирные 3 - для ¡3 — 90°.

Из анализа приведенных зависимостей видно, что увеличение длины щитка приводит к монотонному возрастанию коэффициента Сха, причем это возрастание заметно больше при углах отклонения щитка ¡3 = 60° и (3 = 90°, чем при (3 = 30°. В зависимостях коэффициента подъемной силы Суа (Ь) имеются максимумы, положение которых с увеличением угла отклонения /3 смещается в сторону меньших длин щитка. С увеличением длины щитка значение на границе застойной зоны #<7 монотонно убывает, и чем больше угол тем меньше г^. В зависимостях длины 1нв застойной зоны наблюдаются максимумы, положение которых с увеличением (3 смещается в сторону меньших длин щитка 1%.

Теперь обратимся к первому методу решения задачи путем сведения к смешанной краевой задаче. Как уже было отмечено, для этой задачи значение скорости на границе НЮ дополнительной изобарической области задается. Задавая исходные данные как и во втором методе (включая значение скорости в результате решения получается такой же контур с такими же аэродинамическими характеристиками, как и во втором случае. Это совпадение подтверждает правильность аналитических решений и числовых расчетов обоих методов.

В §8 поставлена и решена задача проектирования профиля крыла с элероном, обтекаемого с отрывом потока, модифицируя распределение скорости с контура пластинки со щитком. Искомый профиль крыла с элероном обтекается отрывным потоком (фиг. 10, а). Отрыв происходит на верхней поверхности (точка В\) и на нижней (точка Н\) с дальнейшим присоединением (точка Сп) на элероне. Контур профиля считается замкнутым. Задано распределение скорости г»(7), 7 6 [0,2п], (фиг. 10, б), которое выбирается так: модифицируется распределение скорости по контуру Ьг из §6, именно, бесконечное значение скорости в точке А ограничивается конечным значением. Функция г>(7) обращается в нуль в точке разветвления потока.

Требуется определить контур профиля крыла с элероном и найти его аэродинамические характеристики.

Для решения этой задачи воспользуемся также методом, изложенным в §2. Построенный в результате контур является контуром профиля и границей изобарических областей, прилегающих к нему. Так линии В\С\ и Е\Е\ схода потока образуют изобарическую область Е\Е\пВ\С\, а линия Н&х является границей изобарической области Н\тС\. При этом линии В\пЕ\ и Н\тО\ контура_можно провести произвольно. Таким образом, строится замкнутый контур Ь\ = АхВхпЕхСхтНхАх профиля крыла с элероном.

Сила сопротивления и подъемная сила находятся интегрированием сил

а

б

Фиг. 10.

давления по контуру L\ = A\B\nFiG\mH\A\ в плоскости z: Яха = ^ Jcpdy, Rya = Jcpdx.

L\ íx

Этим формулам целесообразно придать другой вид, указанный Д.В. Максаковым. Пусть Q = vlfvlc — 1 - коэффициент донного давления в области ExFinBiCi. Тогда силы Rxa и Rya Для любого тела, обтекаемого по схеме Ву, определяются так:

В-ха — f-^2- Q Rya = -Z&(Q + 2)T¡pxE¡CÍ,

где вектор Е\С\ - вектор, соединяющий точки Е\ и С\ концов линий F\E\ и В\С\ схода потока. Видно, что уже направление вектора Е\С\ характеризует значение коэффициента Q донного давления в области E\F\nB\C\. Далее определяются коэффициенты Сха = 2Rxa/(pvl0l) и Суа = 2Rya/(pv%0l), где I - хорда профиля.

За хорду I профиля принята длина A\F\, считая элерон неотклоненным, где Ai - наиболее удаленная точка, угол атаки а - угол между хордой и направлением набегающего потока. Под углом наклона ¡3 элерона принят угол между касательными, проведенными через точки G\ и Н\. Значение |г>0| -величина ограничения скорости в точке А контура Lz.

Для примера в качестве исходного распределения скорости было выбрано распределение с фиг. 8, заданы значения |va| = 2 -f 5. Примеры контуров профилей с изобарическими областями показаны на фиг. 11. Штриховой линией изображена граница контура профиля, которую можно провести произвольно. Полученные профили обладают характеристиками, приведенными в табл. 1.

Заметим, что поведение Cya(h) и Сжа(^) у профиля с элероном аналогично пластинке со щитком: Сха для профиля также возрастает, но значения Сха для профиля заметно больше; у Суа также наблюдается максимум, но его положение смещается к меньшей длине элерона.

Фиг. 11.

Таблица 1.

ы а Р Суа Сха

5 3.65° 28.40° 0.885 0.057

2 6.29° 27.11° 0.891 0.091

В §9 дана постановка и решение задачи проектирования профиля крыла с интерцептором, обтекаемого с отрывом потока (фиг. 12, о). В предыдущем параграфе была решена обратная краевая задача для профиля крыла с элероном, который может иметь прямолинейные участки, но не является полностью прямолинейным. Чтобы элерон был прямолинейным (в этом случае его можно назвать щитком или интерцептором), нужно поставить условие прямолинейности более жестким. В этом случае на искомом контуре профиля В1Н1А1В1 задается распределение скорости ь(у),'у € [0,2п], (фиг. 12, б), а на интерцепторе Bi.Fi известным считается угол /3 его отклонения. Отрыв потока происходит с верхней поверхности профиля (точка В у) и на нижней поверхности (точка Н{) перед интерцептором с дальнейшим присоединением (точка Сп^ на нем. Контур профиля считается замкнутым. Циркуляцию по контуру Ьг считаем нулевой. Для исследования этой задачи воспользуемся решением задачи обтекания пластинки с отклоненным щитком (§5). Для этого модифицируется распределение скорости по контуру Ьг пластинки со щитком из §5: бесконечное значение скорости в точке А ограничивается конечным значением, что соответствует участку (71,72); на участке (7ь, 71) падения скорости распределение 1^(7) задается по некоторому закону, обеспечивающему безотрывное обтекание; а на участке (72,7*) скорость возрастает по линейному закону. Функция V (7) является кусочно-гладкой и обращается в нуль в точке 0\ разветвления потока.

Требуется определить контур профиля крыла с интерцептором и найти его аэродинамические характеристики.

Решение этой задачи построено сведением к смешанной краевой задаче.

Фиг. 12.

Сила сопротивления и подъемная сила найдены по формулам §8 через вектор, соединяющий точки Е\ и С\ концов линий F\E\ и В\С\ схода потока.

Для примера в качестве исходного распределения скорости было выбрано модифицированное распределение скорости с пластинки, обтекаемой под углом атаки а = 5° со щитком длины h — 0.2, отклоненным под углом /? = 90° ( Voo = 1, vo = 1.1, /1 = 1). Скорость модифицировалась на верхней и на нижней поверхностях пластинки до точки разветвления потока (фиг. 13): на участке (71,72) выбрано |и0[ = 2; на (72,7*) скорость возрастала по линейному закону, а на (75,71) я; (7) задано по закону, обеспечивающему безотрывное обтекание. Закон убывания скорости выбран в виде

г;(7) = v* [1 + D{C0S7 — cos71),]-0'25

где 7i - абсцисса точки, в которой начинается участок падения скорости, а v* - скорость в этой точке. Значение параметра D определяется по эмпирическим постоянным и обеспечивает безотрывность обтекания на этом участке. Длины участков (75,71) и (7ь7г) подбирались таким образом, чтобы точка В\ профиля совпала с точкой пересечения касательных к точкам Ях и G\ профиля. Касательные (штриховая линия) к этим точкам можно принять соответственно за границу нижней поверхности профиля и за интерцептор.

Таким образом, построен профиль B\H\A\Bi с отклоненным интерцепто-ром B\F\ и границы изобарических областей G\H\Bi и E\F\BiC\. Его характеристики приведены в табл. 2.

Фиг. 13.

Таблица 2.

м Q 0 Суп Сха

2 13.04° 73, 34° 1.563 0.103

В §10 проведены дополнительные расчеты отрывного обтекания профилей, анализ полученных результатов и сделаны выводы.

В заключение сказано, что для построения профиля крыла с элероном или с интерцептором, обтекаемых с отрывом потока, можно использовать решение задачи отрывного обтекания пластинки с отклоненным щитком. Разная модификация скорости дает в результате два разных контура профиля (фиг. 13 и 14).

Их аэродинамические характеристики приведены в таблице 3. Как видно, наличие интерцептора позволяет увеличить подъемную силу с незначительным увеличением силы сопротивления.

Таблица 3.

а Р Суа Сю

пластинка со щитком 5° 90° 1.302 0.078

профиль с элероном 12.84° 83.38° 1.321 0.211

профиль с интерцептором 13.04° 73.34° 1.563 0.103

Сравнение полученных результатов с результатами безотрывно обтекаемого профиля, рассмотренного в §4, приводят к выводу: в обоих случаях после построения профиля уменьшается угол отклонения элерона и увеличивается угол атаки по сравнению с контуром исходной пластинки со щитком, что объясняется модификацией распределения скорости. Существенное отличие наблюдается при этом в аэродинамических характеристиках.

В заключении кратко подведены итоги выполненной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Метод проектирования профиля крыла с элероном, обтекаемого безотрывным потоком.

2. Результаты нахождения наибольшего значения коэффициента подъемной силы для пластинки со щитком и для профиля крыла с элероном.

3. Метод решения задачи отрывного обтекания пластинки с отклоненным щитком сведением к смешанной краевой задаче и с использованием области годографа скорости.

4. Решение задачи проектирования профиля крыла с элероном и профиля крыла с интерцептором, обтекаемых с отрывом потока при наличии изобарической области за элероном и на нижней поверхности профиля перед элероном.

5. Алгоритмы численной реализации, результаты числовых расчетов и сделанные на их основе выводы.

Следует отметить финансовую поддержку Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №№ 99-01-00365,01-01-04004,02-01-00061,05-08-01153-а) и Министерства образования России (шифр гранта АОЗ-2.10-736), позволившую ускорить выполнение и написание диссертации.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Плотникова Л. Г. Об одном подходе к аэродинамическому проектированию крылового профиля с отклоненным закрылком // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т.12. Лобачевские чтения - 2001: Материалы международной молодежной научной школы-конференции - Казань: Изд-во "ДАС", - 2001. - С. 110-111.

2. Плотникова Л. Г. Построение крылового профиля с элероном на основе решения задачи оптимизации коэффициента подъемной силы для пластинки со щитком // Современные проблемы аэрокосмической науки и техники. Тезисы докладов II Международной научно-технической конференции. - Жуковский: ЦАГИ: Авиационный печатный двор, - 2002. - С. 156-157.

3. Плотникова Л.Г. Об одном подходе к построению и оптимизации аэродинамических характеристик крылового профиля с элероном // Исследования и перспективные разработки в авиационной промышленности: Авторефераты докладов участников Первой научно-практической конференции. - М.: ОАО "ОКБ Сухого", - 2002. - С. 134-141.

4. Плотникова Л. Г. Об одном подходе к построению профиля крыла с элероном / Ильинский Н.В., Плотникова Л. Г. // Известия вузов. Авиационная техника. - 2003. - № 4. - С. 28-32.

5. Плотникова Л.Г. К задаче аэродинамического расчета отрывного обтекания профиля крыла с элероном // Исследования и перспективные разработки в авиационной промышленности: Статьи и материалы Второй научно-практической конференции - М.: Изд-во МАИ, - 2004. - С. 73.

6. Плотникова Л. Г. Построение профиля крыла с элероном на основе модифицированного решения классической задачи обтекания пластинки со щитком / Ильинский Н.В., Плотникова Л. Г. // Модели и методы аэродинамики. Материалы Четвертой Международной школы-семинара. - М.: МЦНМО, - 2004. - С. 61-62.

7. Плотникова Л. Г. Задача построения профиля крыла с элероном при отрывном обтекании / Ильинский Н.В., Плотникова Л.Г. // Гидродинамика больших скоростей. Тезисы докладов Второй международной летней научной школы. - Чебоксары: Чебоксарский институт Московского государственного открытого университета, - 2004. - С. 77-79.

8. Плотникова Л.Г. Обтекание пластинки со щитком отрывным потоком / Ильинский Н.В., Плотникова Л.Г., Поташев А.В // Модели и методы аэродинамики. Материалы Пятой Международной школы-семинара. -М.: МЦНМО, - 2005. - С. 57-58.

9. Плотникова JI.Г. Задача обтекания отрывным потоком пластинки с отклоненным щитком // Известия вузов. Авиационная техника. - 2006. - № 1.-

с. 61-63.

10. Плотникова Л.Г. Обтекание отрывным потоком пластинки с отклоненным щитком при наличии застойной зоны / Плотникова Л.Г., Пота-шее A.B. // Ученые записки Казанского университета. - 2006. - Т. 148. -Кн. 2.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского центра Казанского государственного университета им.В.И.Ульянова-Ленина Тираж 100 экз. Заказ 9/74

420008, ул. Университетская, 17 тел.: 292-65-60,231-53-59

Используемые аббревиатуры и обозначения.

Введение.

I. Безотрывное обтекание

§1. Задача безотрывного обтекания пластинки с отклоненным щитком.

§2. Обратная краевая задача для профиля крыла с элероном, обтекаемого без отрыва потока.

§3. Нахождение наибольшего значения Су для пластинки со щитком и для профиля крыла с элероном.

§4. Расчеты, анализ, выводы.

И. Отрывное обтекание

§5. Отрывное обтекание пластинки с отклоненным щитком. Способ сведения к смешанной краевой задаче.

§6. Отрывное обтекание пластинки с отклоненным щитком. Способ решения с использованием области годографа скорости.

§7. Результаты числовых расчетов.

§8. Проектирование профиля крыла с элероном, обтекаемого с отрывом потока.

§9. Проектирование профиля крыла с интерцептором, обтекаемого с отрывом потока.

§10. Расчеты, анализ, выводы.

Диссертация посвящена разработке численно-аналитических методов аэродинамического проектирования профилей крыла с отклоненным элероном в безотрывном и отрывном потоках идеальной несжимаемой жидкости. При решении задач используются методы теории обратных краевых задач для аналитических функций.

В настоящее время, несмотря на бурное развитие вычислительной техники и программных средств, позволяющих делать расчет течения вязкого сжимаемого газа, для решения задач проектирования по прежнему широко используется модель идеальной несжимаемой жидкости (ИНЖ), дающая хорошее приближение описания течения маловязких жидкостей, к которым можно отнести воздух и воду. При установившемся движении ИНЖ потенциал скорости (р(х,у) и функция тока ф(х,у) удовлетворяют уравнениям Коши-Римана, то есть являются гармонически сопряженными, поэтому можно ввести в рассмотрение в физической плоскости z = х + гу аналитическую функцию комплексного потенциала потока w(z) — ip(x,y) + 1ф{х,у) (см., например, [15]). В свое время это дало мощный толчок теоретическим исследованиям в гидромеханике, так как аппарат аналитических функций комплексного переменного к тому времени был уже хорошо развит.

Разрабатываемые методы аэродинамического проектирования крыловых профилей можно разделить на две группы: прямые и обратные. Прямые методы позволяют при заданной форме профиля определить его аэродинамические характеристики для различных режимов обтекания. Однако для требуемых аэродинамических характеристик проектировщик вынужден во время проектирования корректировать и подбирать форму профиля, многократно решая задачу. Обратные методы используют для нахождения формы профиля по желаемым аэродинамическим характеристикам. Их эффективность определяется тем, что исследователь, выбрав исходное распределение скорости или давления на профиле с учетом заданных характеристик и требований гидродинамической целесообразности, получает возможность найти профиль с заранее заданными свойствами, так как они в основном определяются указанным распределением.

Теоретическую основу обратных методов аэродинамического проектирования профилей составляют обратные краевые задачи аэрогидродинамики (ОКЗА) (см., напр., [40], [52], [7], [29], [32], [33], [49]), являющиеся частью общей теории обратных краевых задач (ОКЗ). Неизвестная форма крылового профиля отыскивается по заданному на его контуре распределению скорости или давления как функции дуговой абсциссы я, декартовой координаты х или параметра 7 в канонической области и т.п. Аэродинамические характеристики искомого профиля при этом в большинстве случаев можно определить еще до решения задачи. Поэтому методы, основанные на теории ОКЗА для аналитических функций, получили широкое распространение при решения задач построения крыловых профилей.

История развития ОКЗА насчитывает более 70 лет. К настоящему времени общее число публикаций по ОКЗА измеряется многими сотнями. Первые постановки и решения таких задач для модели идеальной несжимаемой жидкости были даны в 30-40 годах прошлого столетия в работах Р. \¥еипё'а [56, 57], С. БсЬпиаеп'а [53], А. Betz'a [46], Мап^ег'а [52], Л.А. Симонова [32, 33], Г.Г. Тумашева [38], М.Л. 1^ЫЫ11'а [49, 50]. Первые результаты показали, что в большинстве случаев эти задачи являются некорректными, то есть произвольным исходным данным соответствует, как правило, физически нереализуемое решение задачи. В итоге контур получаемого профиля может оказаться незамкнутым и самопересекающимся, а заданная скорость набегающего потока может не совпадать с величиной скорости, определяемой в ходе решения задачи. Это объясняется тем, что исходные данные в ОКЗА в значительной степени произвольны и поэтому решение для них существует лишь при выполнении условий физической реализуемости решения, так называемых условий разрешимости: искомый контур должен быть замкнутым, простым, то есть однолистным, и скорость на бесконечности, определяемая в ходе решения задачи, должна совпадать с заданной. Перечисленные условия содержатся в работах A.Betz'a [46] и подробно выведены в статьях W. Mangler'a [52], M.J. Lighthill'a [50], [51] и Г.Г. Тумашева [39].

Один из способов удовлетворения условий разрешимости заключается в использовании в качестве исходных данных многопараметрических семейств распределений скорости. Так поступали, например, J.L. Van Ingen [55], M.J. Lighthill [51], Г.Ю. Степанов [35].

Другой способ состоит в целенаправленной модификации исходного распределения скорости. W. Mangier [52] в случае невыполнения условий разрешимости подбирал значения трех первых коэффициентов ряда Фурье функции S(7) = 1пг>(7),7 <Е [0, 27т], модифицировав тем самым исходное распределение скорости. Аналогичный подход использовал В. Arlinger [45], допускавший изменение исходного распределения не на всем контуре, а на части его нижней поверхности. Однако в обоих работах остался открытым вопрос о минимальности изменений, вносимых в исходные данные.

Ответ дает метод квазирешений, суть которого заключается в минимальном "подправлении" исходного распределения скорости с тем, чтобы удовлетворить условиям разрешимости. A.M. Елизаровым в [5] введено определение и доказана корректность квазирешения ОКЗ, в [6] совместно с Н.Б. Ильинским метод квазирешения применен при решении основной ОКЗА, а в монографии A.M. Елизарова, Н.Б. Ильинского, A.B. Поташева [7] этот метод обобщен на случай учета вязкости и сжимаемости.

Следующая группа работ (40-60 годы) включала исследования по учету сжимаемости по модели газа Чаплыгина, из которых можно отметить работы Г.Г. Тумашева [37], L.C. Woods'a [58, 59], Г.Ю. Степанова [34]. Позже появились результаты, связанные с учетом вязкости в ОКЗА по модели пограничного слоя (ПС) (см., например, работы Г.Ю. Степанова [35], JI.JI. Лебедева [14] и J.L. Van Ingen'a [55]). Наиболее полный учет вязкости и сжимаемости дает применение уравнений Навье-Стокса (см., напр., [47]). Построение профиля с желаемым распределением давления осуществлено в указанной работе путем коррекции геометрии некоторого исходного профиля, взятого за начальное приближение.

В ряде случаев существенное значение приобретает учет влияния вязкости набегающего потока, позволяющий точнее определить аэродинамические характеристики профиля. Модели ИНЖ недостаточно для учета подобного влияния. Значительно упростить процесс проектирования крыловых профилей можно, учтя, что обычно обтекание крыльев происходит при больших (порядка 105 — 106) числах Рейнольдса. При таком режиме обтекания вязкость будет сказываться лишь в достаточно тонком слое воздуха. Поэтому ее учет можно провести в рамках модели ПС. Согласно этой модели (см., напр., [15], [44]) распределение давления по контуру крылового профиля при обтекании его вязкой жидкостью совпадает с распределением давления при обтекании идеальной жидкостью так называемого полутела вытеснения, получаемого наращиванием на профиль толщины вытеснения. Использование этого факта позволило существенно упростить решение как прямых, так и обратных задач.

Впервые способ учета влияния вязкости по модели ПС при решении ОКЗА предложил Г.Ю. Степанов [35]. Им решена ОКЗА по годографу скорости, причем найденное в потоке ИНЖ полутело вытеснения утоньшено на величину толщины вытеснения, полученную из расчета ПС по заданному распределению скорости и числу Рейнольдса на бесконечности.

В настоящее время исследования по ОКЗА также активно развиваются, большое количество работ посвящено расширению класса решаемых задач: проектированию многокомпонентных крыловых профилей, гидродинамических решеток, профилей при наличии в потоке особенностей, вблизи экрана, профилей с устройствами активного управления потоком. Последние задачи представляют особый интерес, так как введение таких устройств позволяет улучшить аэродинамические характеристики крылового профиля: увеличить подъемную силу, уменьшить профильное сопротивление, бороться с такими нежелательными эффектами как отрыв потока и переход ламинарного течения в ПС в турбулентное.

Трудности расчетного исследования течений вязкой жидкости (существенно возрастающие с ростом числа Рейнольдса и особенно с переходом к турбулентности) вынуждают обращаться к упрощенным моделям, в первую очередь к моделям и схемам плоских течений невязкой (идеальной) жидкости, имеющим прекрасно разработанный аналитический аппарат и множество приложений [31]. Классическая схема сплошного безотрывного потенциального течения успешно используется для расчета потока около хорошо обтекаемых тел, когда отрыв не возникает или его наличием можно пренебречь. Сопротивление таких тел определяется в основном сопротивлением трения, которое при достаточно больших числах Рейнольдса с практически достаточной точностью рассчитывается с помощью пограничного слоя. Однако сопротивление давления в этой схеме отсутствует (парадокс Эйлера-Даламбера).

К числу устройств активного управления потоком относятся щиток, ин-терцептор, элерон (подвижная задняя часть крыла). Отклонением этих устройств можно добиваться увеличения подъемной силы. Эти вопросы изучались подробно В.В. Голубевым [3], С.А. Чаплыгиным совместно с Н.С. Аржаниковым (см., напр., [2], [41]). В.В. Голубев в работе [2] рассмотрел безотрывное обтекание пластинки с отклоненным щитком в потоке идеальной несжимаемой жидкости. В работе [8] также была решена полностью задача безотрывного обтекания пластинки с отклоненным щитком. Сопротивление в этом случае определить не удается, так как рассматривается невязкая жидкость.

Отклонение элерона может привести к отрыву потока на профиле и изменению аэродинамических характеристик. Поэтому учет отрыва имеет большое значение для получения достоверных результатов. К отрывным течениям в широком смысле слова относятся любые течения, в которых имеются замкнутые на тело линии тока или с поверхности тела сходят вихри, образующие границы изолированных свободных областей потока. Вопросу отрывных течений посвящены работы П. Чжена [43], Г.Ю. Степанова [34]. Одним из путей исследования отрывных течений является применение струйных и вихревых моделей невязкой жидкости с использованием дополнительных гипотез. Теория струй, кроме того, позволяет определить одну из важнейших характеристик профиля - силу сопротивления, что не удается сделать при безотрывном обтекании.

Исторически первая схема отрывного обтекания в рамках модели невязкой жидкости - струйная схема Кирхгофа (1869г.), в которой за телом постулируется бесконечная "застойная" область с давлением р = Роо, ограниченная вихревыми линиями разрыва скорости и расширяющаяся по закону у ~ \[х. Сопротивление тела в этой схеме зависит от выбора положения точек отрыва (схода струй), но всегда значительно меньше наблюдаемого. Для кругового цилиндра при выполнении условия Бриллуэна-Вилла о конечной кривизне струи в точке отрыва Сх = С^тах ~ 0.50; в эксприменте же при всех режимах обтекания Сх > 0.50; для поперечно обтекаемой пластинки при сходе струй с ее кромок по Кирхгофу Сх = 27т/(4 + 7г) = 0.8798 вместо Сх > 1.9.

Позже было предложено множество более общих схем отрывного обтекания применительно к задачам кавитационных течений жидкости с заданным в паровой или газовой каверне числом кавитации; наиболее известные из них можно найти, например, в работах М.И. Гуревича [4], Л.В. Гогиша, Г.Ю. Степанова [1],. Такие схемы обтекания, в которых предполагается существование кавитационной области как области минимального давления называют схемами кавитационного обтекания. В этих схемах отрывная область имеет конечные размеры, след отсутствует, но сила сопротивления, интеграл давлений по всей поверхности тела (с постоянным давлением за точками отрыва) имеет вполне определенную величину.

Схемы различаются по виду "замыкания" каверны; все они при нулевом числе кавитации переходят в схему Кирхгофа. По схеме Рябушин-ского каверна заканчивается на некоторой твердой стенке, например, пластинке, установленной ортогонально к оси х. В схеме Жуковского-Рошко эта пластинка предполагается горизонтальной и соответственно бесконечной. В схеме Кузнецова [12] замыкание происходит на прямую стенку бесконечной щели, уходящей на второй лист плоскости течения. В схеме Тулина-Терентьева [36, 54] границы каверны заканчиваются спиралевидными бесконечно-листными завитками вокруг предельных точек. В теории кавитационных течений важна схема Эфроса-Гильбарга с возвратной струйкой, уходящей на второй лист плоскости течения; эта схема удачно моделирует струйку, периодически возникающую в реальных кавитационных течениях.

Большинство кавитационных схем неудовлетворительно в части замыкания каверны. Более реальны схемы, дающие плавное полубесконечное тело вытеснения с непрерывным изменением вдоль его границы 1пг>(5) до 1пг>оо. Первой схемой такого типа была схема Ву [60, 61]. В других подобных схемах изменение скорости на теле вытеснения определялось заданием достаточно простой области в плоскости годографа скорости, допускающей аналитическое решение задачи построения течения. Такова, например, схема Седова-Гуревича [4] с годографом скорости в виде инверсии эллипса.

Дальнейшее уточнение формы тела вытеснения требует учета вязкости жидкости в следе за телом. Такой расчет турбулентных отрывных течений был разработан Г.Ю. Степановым совместно с Л.В. Гогишем [1]. По схеме Гогиша-Степанова за точкой установившегося отрыва турбулентного ПС реализуется изобарическая область, ближний след и дальний след.

Для расчета следа были использованы простейшие интегральные соотношения и формула Прандтля для турбулентного трения, а также (для расчета отрывного обтекания гладких тел) полуэмпирические формулы локальной теории отрыва. Четыре неизвестные функции в следе: логарифм скорости и угол ее наклона в потенциальном потоке на границе тела вытеснения, его толщина 5*(£) и формпараметр т(£) однопараметри-ческого профиля у(г]) в следе находятся из четырех уравнений:

1) формулы Келдыша-Седова [31], связывающей функцию 1п ?;(£), постоянную на границе изобарической области, и угол ее наклона о;(£) в полуплоскости параметрического переменного £ = £ + щ

2) уравнения сильного взаимодействия следа с внешним потоком;

3) уравнения импульсов (Кармана) для следа;

4) диссипативного уравнения (энергии-Лейбензона или движения на оси следа).

Необходимое число постоянных находится из условия сшивки следа с изобарической областью, ограниченной слоями смешения, и условий в бесконечности. В случае фиксированных точек отрыва в теорию отрыва входят две эмпирические постоянные (связанные с турбулентным трением в следе и в слоях смешения), и еще три константы для определения точек отрыва, если их положение не задано. Эта схема позволяет рассчитать распределение скорости на поверхности полутела вытеснения за точкой отрыва, а также найти толщину вытеснения. Многочисленные расчеты отрывных течений показали вполне удовлетворительные результаты и для газа, и для несжимаемой жидкости.

Задача построения контура профиля, обтекаемого потоком жидкости с отрывом турбулентного пограничного слоя по схеме Гогиша-Степанова, была описана А.Н. Ильинским в его диссертации. Был рассмотрен случай симметричного и несимметричного обтекания.

Теория струй, изложенная М.И. Гуревичем в работе [4], рассматривает течения, ограниченные частично твердыми стенками и частично свободными поверхностями, на которых давление постоянно. В ней приняты следующие предположения: жидкость невесома, идеальна, несжимаема. Вихри отсутствуют, течение установившееся, задача плоская. Струйные течения дают удовлетворительные результаты по силе сопротивления и общему виду течения. Одной из таким схем является, например, схема Ву. Для этой схемы течение считается бесциркуляционным, границы каверны переходят в некоторые конгруэнтные линии тока. В схеме Ву не может быть выполнено условие замкнутости. Эта схема была также использована в работе [48], Д.В. Поляков и A.B. Поташев [26] применяли эту схему в обратной краевой задаче для крылового профиля с отклоненным щитком.

Впервые обратная задача для отрывного обтекания с образованием струй была поставлена и решена Г.Н. Пыхтеевым [27] и Г. Г. Тумашевым [40]. В этих работах требовалось определить форму дуги, обтекаемой безграничным потенциальным потоком идеальной жидкости с отрывом струй по схеме Кирхгофа, по заданному на дуге распределению скорости. Авторы рассмотрели случай, когда искомая дуга расположена в потоке идеальной жидкости, ограниченном параллельными стенками [27], [40]. Решению обратной задачи кавитационного обтекания дуги посвящены работы Г.Н. Пыхтеева [28] и Л.И, Мальцева [18].

В схеме отрывного обтекания полигональных препятствий точки отрыва фиксированы на острых кромках обтекаемого контура. При отрыве от гладкого контура положение каждой точки отрыва является дополнительным неизвестным параметром задачи. В теории кавитационных течений невязкой жидкости эти точки определяются условием Бриллуэна-Вилла о конечной кривизне струй в точке отрыва или задаются по экспериментальным данным.

Использую теорию струй, можно избавляться от критических точек на контуре и в потоке. С.А.Чаплыгиным в работе [42] была исследована задача обтекания плоской пластинки с застойной зоной вблизи критической точки. В дальнейшем его идея о замене критических точек застойными областями использовалась в ряде работ. Так, например, Д.В. Маклаковым и Г.М. Фридманом в статье [17] получено точное аналитическое решение задачи струйного обтекания плоской пластины с интерцептором при наличии застойной зоны вблизи интерцептора. Д.В. Маклаковым в работе [16] даны аналитические решения ряда новых экстремальных задач теории струй и кавитации. В работах [24], [25] было найдено аналитическое решение задачи об отрывном обтекании пластинки с отклоненным щитком при наличии застойной зоны вблизи стыка пластинки со щитком. В работе [25] положение точки отрыва определялось из условия гладкого отрыва Бриллуэна-Вилла. Такой подход отрывного обтекания позволяет найти и подъемную силу, и силу сопротивления.

Целью настоящей диссертации является разработка численно-аналитических методов проектирования профилей крыла с отклоненным элероном в безотрывном и отрывном потоках; поиск оптимальных по аэродинамическим характеристикам параметров профиля и элерона; составление на основе разработанных методов вычислительных алгоритмов и их программная реализация; анализ влияния отрыва потока на аэродинамические характеристики крыловых профилей.

Диссертация состоит из введения, двух глав, содержащих десять параграфов, заключения и списка литературы.

Заключение

В диссертации разработаны численно-аналитические методы аэродинамического проектирования профилей крыла с отклоненным элероном в безотрывном и отрывном потоках и профиля крыла с интерцептором в отрывном потоке идеальной несжимаемой жидкости.

Детально исследована задача безотрывного обтекания плоской пластинки с отклоненным щитком. Проведены расчеты нахождения наибольшего значения коэффициента подъемной силы для данного контура и соответствующих ему геометрических параметров пластинки со щитком. Показана зависимость коэффициента подъемной силы от длины щитка и угла отклонения щитка.

Решена задача проектирования профиля крыла с элероном, обтекаемого безотрывным потоком. Решение построено по распределению скорости, полученному по контуру пластинки со щитком, с использованием метода решения обратных краевых задач аэрогидродинамики, опирающегося на квазирешение некорректных задач математической физики. На примерах показано, что величины, ограничивающие скорость в угловых точках, влияют на контур профиля и его аэродинамические характеристики. Для профиля крыла с элероном зависимость коэффициента подъемной силы от длины элерона и угла его отклонения схожа с аналогичной зависимостью для пластинки со щитком.

Исследована задача обтекания плоской пластинки с отклоненным щитком при отрыве потока за щитком и наличии дополнительной изобарической области вблизи стыка пластинки со щитком двумя методами: путем сведения к смешанной краевой задаче и с использованием области годографа скорости. Выведена формула для расчета подсасывающей силы, возникающей на передней кромке пластинки. Построены зависимости аэродинамических характеристик и параметров дополнительной изобарической области от длины щитка и угла отклонения щитка.

Решена задача проектирования профиля крыла с элероном, обтекаемого с отрывом потока за элероном и с образованием дополнительной изобарической области на нижней поверхности профиля. Решение построено по распределению скорости, полученному по контуру пластинки со щитком, обтекаемой с отрывом потока. На примерах показано, что величина, ограничивающая скорость в передней кромке, влияет на контур профиля и его аэродинамические характеристики. Выведены формулы для расчета аэродинамических сил в зависимости от вектора, соединяющего концы линий схода потока за элероном. Построены зависимости аэродинамических характеристик от длины щитка и угла его отклонения, схожие с зависимостями для пластинки со щитком.

Решена задача проектирования профиля крыла с интерцептором, обтекаемого с отрывом потока. Застойная зона образуется за интерцептором, а также дополнительная зона образуется на нижней поверхности профиля. Решение построено сведением к смешанной краевой задаче с заданным распределением скорости на поверхности профиля и значением угла отклонения интерцептора. Распределение скорости на верхней поверхности подбиралось таким образом, чтобы контур профиля получился замкнутым. Для расчета аэродинамических характеристик полученного профиля были использованы формулы в зависимости от вектора, соединяющего концы линий схода потока за интерцептором.

Рассмотрен пример поэтапного проектирования профиля крыла с элероном и профиля крыла с интерцептором от исходного контура пластинки со щитком. Показано, что моделирование отрыва потока позволяет приблизить обтекание данного контура к реальному течению и найти его аэродинамические характеристики.

Все решенные задачи снабжены примерами расчетов, а результаты проиллюстрированы в виде графиков, рисунков и таблиц.

1. Гогиш Л. В., Степанов Г. Ю. Турбулентные отрывные течения. -М.: Наука. ГРФМЛ, - 1979. -368 с.

2. Голубев В. В. Теория крыла аэроплана в плоскопараллельном потоке.- M.-Л.Тостехтеоретиздат, 1938. - 260 с.

3. Голубев В. В. Труды по аэродинамике. М.-Л.:Гостехтеоретиздат, -1957. - 980 с.

4. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, - 1979.- 536 с.

5. Елизаров A.M. О квазирешениях внешней обратной краевой задачи // Известия вузов. Математика. 1984. - № 10. - С. 42-50.

6. Елизаров A.M., Ильинский Н.Б. Метод квазирешений в обратной краевой задаче гидроаэродинамики // Известия Вузов. Математика. -1984. № 10. - С. 50-59.

7. Елизаров А. М., Ильинский И. В., Поташев А. В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики. М.: Наука, - 1994. - 440 с.

8. Ильинский Н.Б., Плотникова Л.Г. Об одном подходе к построению профиля крыла с элероном // Известия вузов. Авиационная техника.- 2003. N 4. - С. 28-32.

9. Ильинский Н.В., Плотникова Л.Г., Поташев А.В Обтекание пластинки со щитком отрывным потоком // Модели и методы аэродинамики. Материалы Пятой Международной школы-семинара. М.: МЦНМО, - 2005. - С. 57-58.

10. Кузнецов A.B. Об одной схеме кавитационного обтекания // Труды семинара по обратным краевым задачам. Казань: Казан, ун-т, - 1964. - Вып. 1. - С. 60-64.

11. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, - 1987. - 688 с.

12. Лебедев Л. Л. Обратная задача теории ламинарного пограничного слоя // Труды семинара по обратным краевым задачам. Казань: Казан, ун-т, - 1983. - Вып. 19. - С. 103-106.

13. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, - 1987. -840 с.

14. Маклаков Д.В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами. -М.: Янус-К, 1997. - 280 с.

15. Маклаков Д.В., Фридман Г.М. Струйное обтекание пластины с ин-терцептором при наличии застойной зоны // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2005. - № 4. - С. 26-44.

16. Мальцев Л.И. Решение одной обратной задачи кавитационного обтекания криволинейной дуги // Журнал прикл.мех. и техн.физ. 1966. -№3.-С. 117-121.

17. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. -М.:Наука. 1968. - 511с.

18. Плотникова Л. Г. Задача обтекания отрывным потоком пластинки с отклоненным щитком // Известия вузов. Авиационная техника. -2006. N 1. - С. 61-63.

19. Плотникова Л.Г., Поташев A.B. Обтекание отрывным потоком пластинки с отклоненным щитком при наличии застойной зоны // Ученые записки Казанского университета. 2006. - Т. 148. - Кн. 2.

20. Пыхтеев Г.Н. К задаче о струйном обтекании криволинейной дуги в ограниченном и безграниченом потоке идеальной несжимаемой жидкости // Прикладная математика и механика. 1955. - Т. 19. - № 4.- С.421-432.

21. Пыхтеев Г.Н. Решение обратной задачи плоского кавитационного обтекания криволинейной дуги // Прикладная математика и механика.- 1956. Т. 20. - № 3. - С.373-381.

22. Салимое Р.В. Определение формы профиля по заданной хордовой £ диаграмме, близкой к диаграмме известного профиля // Ученые записки Казанского университета. 1957. - № 9. - С. 55-59.

23. Салимое Р. Б. Некоторые основные задачи об изменении контуров теории аналитических функций и их приложения в механике жидкости.- Казань: 1970. - 364 с.

24. Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. -М.: Наука, 1980. - 448 с.

25. Симонов Л. А. Построение профилей по годографу скоростей // Прикладная математика и механика. 1940. - Т. 4. - № 4. - С. 97-116.

26. Симонов Л.А. Расчет обтекания крыловых профилей и построение профиля по распределению скоростей на его поверхности // Прикладная математика и механика. 1947. - Т.П. - № 1. - С. 69-84.

27. Степанов Г.Ю. Построение решетки с распределением скорости, заданным на окружности решетки кругов // Прикладная математика и механика. 1953. - № 6. - С. 727-734.

28. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. ~М.: Физмат-гиз, 1962. - 512 с.

29. Терентъев А.Г. К нелинейной теории кавитационного обтекания препятствий // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1976.- № 1. С. 158-161.

30. Тумашев Г.Г. Нахождение формы профиля по заданному распределению скорости с учетом сжимаемости жидкости // Известия Казанского физико-математического общества. 1945. - Т. 13. - Сер. 2.- С. 127-132.

31. Тумашев Г. Г. Построение профилей по заданному распределению скорости // Труды Казанского авиационного института. -1946. Вып. 17.- С. 19-22

32. Тумашев Г. Г. Определение формы границ потока жидкости по заданному распределению скорости или давления // Ученые записки Казанского университета. 1952. - Т. 112. - № 3. - С. 3-41.

33. Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения. Казань: Изд-во Казан, ун-та, - 1965. - 333 с.

34. Чаплыгин С.А. Собрание сочинений. М.: - 1948, - Т. II. - 431 с.

35. Чаплыгин C.A.K вопросу о струях в несжимаемой жидкости //Тр. отд. физ. наук о-ва любителей естествознания. 1899. - Т. 10. - N 1.- С. 35-40.

36. Чжен П. Отрывные течения. М.: Мир, - 1972-1973. - т. 1-3.

37. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, - 1974. - 712 с.

38. Arlinger В. An exact method of two-dimensional airfoil design // Techn. Note SAAB, Linkoping, Sweden. Oct. 1970. - TN-67. - 36 p.

39. Betz A. Änderung der Proiiiform zur Erzielung einer vorgegebenen Anderrung der Druckverteilung // Z. Luftfahrtforschung. 1934. - Bd. 11.- № 6. S. 158-164.

40. Hirose N., Takanashi S., Kawai N. Transonic airfoil design procedure utulizing a Navier-Stokes analysis code // AIAA J. 1987. - V. 25. -№ 3. - P. 353-359.

41. Lighthill M.J. A new method of two-dimensional aerodynamic design // Aeronautical Research Council, London. R&M 2112, 1945. - 53 p.

42. Lighthiü M.J. A mathematical method of cascade design // Aeronautical Research Council, London. R&M 2104, 1945. - 18 p.

43. Lighthill M.J. A theoretical discussion of wings with leading edge suction // Aeronautical Research Council, London. R&M 2162, 1945. -9 p.

44. Mangier W. Die Berechnuhg eines Tragflugelprofiles mit vorgeschriebener Druckverteilung // Jahrb. Deutsch. Luftfahrtforschung. 1938. - Bd. 1.- S. 46-53.

45. Schmiden C. Die Berechnung kavitationssicherer Tragflugelprofile // Z. Angew. Math, und Mech. 1932. - Bd. 12. - № 5. - S. 288-310.

46. Tulin M.P. Supercavitating flows small-perturbation Theory // J. of Ship Research. - 1964. - V. 7. - № 3. - P. 16-37.

47. Van Ingen J.L. On the design of airfoil section utilizing computer graphics // Ingenieur (Nederl.) 1969. - V. 81. - № 43. - P. L 110-L 118.

48. Weinig F. Widerstands und Tragflugelprofile mit vorgeschriebener Gesch-windgkeitsverteilung an der Oberflache // Z. angew Math, und Mech.- 1929. Bd. 9. - № 6. - S. 507-509.

49. Weinig F. Die Strömung un die Schaufeln von Turbomachinen. Leipzig,- 1935. 141 s.

50. Woods L.C. Airfoil design in two-dimentional subsonic compressible flow // Aeronaut. Red. Counc. Repts and Mem. 1952. - № 2845. - 54 p.

51. Woods L.C. The design of two-dimentional firfoil with mixed boundary conditions // Quart. Appl. Math. 1955. - V. 13. - № 2. - P. 139-146.

52. Wu T. Y. A wake model for free-streamline flow theory // Rart I.- J. Fluid Mech. 1962. - V. 13. - № 2. - P. 161-181.

53. Wu T.Y. A wake model for free-streamline flow theory // Part II J. Fluid Mech. - 1964. - V. 18. - № 1. - P. 65-93.