Отрывное обтекание тел двумерным стационарным потоком несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

РГ6 ОД - 5 ИЮН 1995

на правах рукописи

ЧЕРНЫШЕНКО Сергей Иванович

ОТРЫВНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ДВУМЕРНЫМ СТАЦИОНАРНЫМ ПОТОКОМ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА

01.02.05 — Механика жидкости, газа н плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА - 1995

Работа выполнена в Институте механики МГУ им. М.В.Ломоносова

Официальные оппоненты

Ведущая организация:

Бармпн А. А., йрофессор, д. ф.-м. н. Сычев Вик. В., с. н. е., д. ф.-м. и. Терентьев Е. Д., с.н. е., д. ф.-м.н.

Математический институт нм. В. А. Стеклова РАН

Защита состоится 1995 г. в/^-часов на заседании

Диссертационного совета Д.053.05.02 при МГУ им. М. В. Ломоносова, в ауд._/£т.44

Адрес: 119899, Москва, Ленинские горы, главное здание МГУ

С диссертацией молено ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ

Автореферат разослан "1995 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета профессор

В. П. Карликов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Основная, п наиболее сложная из задач, рассмотренных в этой работе, состоит в следующем. Стационарные уравнения Навье-Стокса с соответствующими граничными условиями

где S - поверхность тела, определяют решение й — u(~i*,Re), р = р(~~х , Re). Требуется найти асимптотику этого решения при стремлении числа Рейнольдса Re к бесконечности.

Ясно, что характер поведения решения как функции числа Рейнольдса зависит от формы тела. В некоторых частных случаях, когда не происходит отрыва потока, решение этой задачи дается теорией пограничного слоя, развитой еще в начале века JI. Прандтлем. Однако теория пограничного слоя не позволяет получить асимптотическое описание решения для плохообтекаемых тел, таких например, как круговой цилиндр или пластинка, установленная поперек потока. Первые шаги к решению этой задачи для плохообтекаемых тел сделал сам Прандтль, давший в своей знаменитой работе (Prandtl L. Uber Flüssigkeitsbewegung beu sehr kleiner Reibung, Vehr. d. III. Intern. Math.-Kongr.. Heidelberg, 1904. Leipzig: Teubner, 1905, S. 484-491) не только основы теории пограничного слоя, но и формулировку теоремы, известной теперь под названием теоремы Прандтля-Бэтчелора. Решение этой-задачи потребовало длительных усилий многих ученых во всем мире, в том числе и таких известных, как А. Акривос. М. А. Гольдштик, С. Гольдштейн, М. А. Лаврентьев, П. А. Лагерстрои. А. Ф. Месснтер, В. Я. Ней-ланд, Д.Х. Перегрин, Ф.Т. Смит, К. Стюартсон, В. В. Сычев.

ЙУЙ = -Ур+ —У2и,

1

^ Re divu = О,

(1)

причем, как видно нз этого по необходимости короткого перечисления, значительный вклад был внесен п учеными нашей страны. Полное решение, опубликованное в 1988 году, составляет основной результат диссертационной работы.

Хорошо известно, что реальные течения с увеличением числа Рейнольдса теряют устойчивость и становятся турбулентными. Это в полной мере относится п к отрывным течениям. Тем не менее, красота и трудность сформулированной выше задачи не являются единственными причинами, по которым ее решение представляет значительный интерес для гидродинамики. Источники этого интереса следующие.

1. Для понимания свойств течений жидкости важно изучить возможно больший набор базовых ситуаций, чтобы уметь вскрывать физические механизмы, присущие не только идеализированным, но л вполне реальным отрывным течениям.

2. Асимптотическую теорию ламинарного течения можно использовать как прообраз для описания реальных течений, что хорошо иллюстрируется теорией турбулентного пограничного слоя. Такой подход использовался и для турбулентных отрывных течений, в том числе и для описания их полной картины.

3. Развитая в диссертации асимптотическая теория оказывается удобным, а иногда, может быть, и незаменимым инструментом исследования многих вопросов о механизме влияния каких-либо факторов на отрывное течение. В частности, подтверждением этому служат изложенные в четвертой главе диссертации результаты для плоских стратифицированных по плотности течений п, в некоторой степени, результаты пятой главы для осесимметрпчных течений.

4. Получаемые результаты способствуют значительному продвижению в развитии методов решения широкого круга задач сходного характера.

5. Количественные результаты дают возможность проверять эффективность и надежность численных методов, предназначенных для расчета реальных отрывных течений при больших числах Рейнольдса.

6. Мощный прием отыскания новых режимов течения (для возможного использования затем ыа практике) состоит в отыскании стационарных решений с помощью методов, не чувствительных к их неустойчивости, и последующем отдельном анализе их устойчивости п возможностей стабилизации. В частности, результаты шестой главы можно рассматривать как попытку, еще далекую от совершенства, перебросить мостпк между идеализированными схемами стационарных течений, рассматриваемыми во второй половине третьей главы, и практикой.

Целями настоящей работы являются:

— построение асимптотической теории стационарного отрывного обтекания тел прп больших числах Рейнольдса,

— создание метода исследования физических механизмов влияния различных факторов на отрывные течения,

— разработка численных методов расчета невязкпх вихрепотенци-альных течений,

— исследование возможности стабилизации отрывных течений путем внесения в поток искусственных колебаний.

Научная новизна результатов диссертации состоит в следующем:

— на основе метода сращиваемых асимптотических разложений дано самосогласованное асимптотическое описание плоскопараллельного стационарного отрывного обтекания затупленных тел при больших числах Рейнольдса,

— построена асимптотика обтекания решетки затупленных тел при болынпх числах Рейнольдса и большом шаге решетки.

— проведен расчет стратифицированного по плотности течения Садовского в канате, рассмотрена асимптотика этого течения при большой длине области замкнутых линий тока,

— в рамках приближения Буссинеска построена асимптотика обтекания решетки тел стратифицированным по плотности потоком жидкости при числах Ричардсона, меньших 7Г2, то есть для случая, когда скорость распространения волн меньше скорости течения на бесконечности; на основе этой теории объяснен физический механизм снижения сопротивления и изменения размеров отрывной зоны в стратифицированных течениях по сравнению с нестрати-фицпр ов анными,

— исследована асимптотика при больших числах Рейнольдса осе-симметрпчного отрывного обтекания затупленного тела; показано, что в отличие от плоского случая в осесимметричных течениях неизбежно возникновение вторичного отрыва и объяснен механизм этого явления,

— развит высокоэффективный численный метод расчета формы каверны в крыловом профиле и соответствующего вихрепотен-цнального течения при заданных форме профиля и линии тока, разделяющей вихревое течение в каверне и потенциальное течении вне ее,

— в рамках простой модели показана возможность стабилизации уловленных вихрей путем периодического вдува/отсоса с поверхности тела.

Научная и практическая значимость работы состоит в следующем. Асимптотическая теория обтекания затупленного тела, построенная в работе, представляет собой решение одной из наиболее трудных задач классической гидродинамики. Эта задача в течении нескольких десятков лет но поддавалась решению, несмотря на усилия многих крупных ученых во всей мире. Для теоретической гидродинамики ее решение, буду411 асимптотикой при Ке —» ос

может играть роль, подобную роли теории Стокса, являющейся асимптотикой при Re —+ 0.

Математическая задача является трудной, если она не поддается решению известными методами. Поэтому решение трудной задачи обычно означает появление нового метода. Действительно, используя подход, развитый во второй главе, можпо решать многочисленные подобные задачи, вводя, например, в рассмотрение (по крайней мере как слабые эффекты) сжимаемость, трехмерность, силы Кориолиса, влияние других тел и т. д. В частности, две такого рода задачи рассмотрены в четвертой и пятой главах. Результаты этих глав, и в особенности четвертой, продемонстрировали, что развитый метод позволяет вскрывать физические механизмы, действующие в реальных, в том числе и турбулентных, отрывных течениях и качественно объяснять наблюдаемые в них эффекты.

Таким образом, значение полученных в диссертации результатов состоит в создании метода, пригодного для асимптотического описания полной структуры большого класса отрывных течении и для отыскания физических механизмов, действующих в реальных отрывных течениях.

Апробация работы. Основные положения и результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались и получили положительную оценку на семинарах под руководством Г.Г. Черного в Институте механики МГУ, под руководством В.Я. Нейланда в ЦАГИ, под руководством О.С. Рыжова в ВЦ АН, под руководством Д.В. Мура (D.W. Moore) в Imperial College, London, а также конференциях и съездах: на Ш Всесоюзной школе-семинаре 'Современные проблемы аэрогидродинамики' , Севастополь. 5-13 окт. 1984 г.; на \'Т Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике, Ташкент, 24-30 сент. 1986 г.; на симпозиуме IUTAM 'Separated Flows and Jets', Новосибирск, 9-13 июля 1990 г.; на VU Всесоюзном съезде по теоретической"п прикладной механике, Москва, 15-21 авг. 1991 г.:

на Международной конференции по аналитическим методам в гидродинамике,. Миедзиздрое, Польша, 12-14 июля 1993 г.; на Международной конференции 'Asymptotics in Mechanics' (AiM-94), С.-Петербург, 14-17 авг. 1994 г.; на Международной конференции 'Nonlinear Oscillations, Waves and Vortices in Fluids' , С.-Петербург, 5-12 июня 1994 г.; на Международном симпозиуме EuroMech-94, Варшава, 23-27 сент. 1994 г.

Работы автора по теме диссертации были отмечены премией имени Н.Е.Жуковского за 1988 год (совместно с В.В.Сычевым, А.И.Рубаном, Вик.В.Сычевым и Г.Л.Королевым) и (в числе соавторов) Премией Высшей школы за 1989 год.

Структура и объем работы. Диссертация состоит пз введения, шести глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации — 244 страницы, включая 40 рисунков и список литературы из 159 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика диссертации, обоснована актуальность ее темы, приведена аннотация работы. Введение содержит также краткое изложение истории вопроса, включающее обзор литературы, п предварительную сводку основных результатов, полученных в диссертации.

Первая глава содержит описание свойств циклических пограничных слоев и методов нх расчета. В параграфе 1.1 дана постановка задачи о циклическом пограничном слое на границе области замкнутых линий тока, приведены примеры и рассмотрены вопросы существования п единственности. Параграф 1.2 посвящен приближенным и численным методам расчета циклических пограничных слоев.

• Отличительной особенностью циклических пограничных слоев является то, что условие существования решения задачи о таком слое накладывает ограничение на внешние по отношению к нему

характеристики течения: профиль скорости в набегающем на отрывную зону пограничном слое и распределение давлений во внешнем невязком потоке. Физический смысл этого ограничения состоит в требованпи баланса между потоком завихренности, сходящей с тела, и величиной завихренности в отрывной зоне. Для важного частного случая, в котором уравнения пограничного слоя могут быть сведены к уравнению теплопроводности, получена явная математическая формулировка этого ограничения.

Вторая глава посвящена описанию асимптотической структуры плоскопараллельного обтекания тела н решетки тел при больших числах Рейнольдса. Прежде чем перечислить содержание отдельных параграфов этой главы, представляется целесообразным кратко и на возможно более простом уровне изложить основные идеи теории, структуру полученного решения и соответствующие ей физические механизмы, не привлекая в полном объеме необходимый математический аппарат. Ниже это сделано в самом простом случае обтекания одного тела неограниченным потоком вязкой жидкости.

Согласно построенной в работе теории обтекания одиночного-тела, при Ле —> оо длина и ширпна отрьгвшш зоны растут пропорционально Ке. В результате в масштабе отрывной зоны тело стягивается в точку. В соответствующем пределе вязкие члены выпадают из уравнений Навье-Стокса, и получающееся течение должно быть решением уравнений движения идеальной жидкости, описывающим течение с зоной возвратного течения, но в отсутствие тела. Такое течение —' известное вихрепотенциаль-ное течение Садовского, причем скачок постоянной Бернулли на границе отрывной зоны следует полагать равным нулю. В таком течении имеются две симметричные области замкнутых линий тока, внутри каждой из которых, в соответствии с теоремой Прандтля-Бэтчслора, завихренность одинакова по модулю и постоянна. Вне зон замкнутых линий тока течение потенциально.

Все такие течения подобны и отличаются лишь масштабами длины и скорости (Садовский B.C., Область постоянной завихренности в плоском потенциальном потоке, Уч. зап. ЦАГИ, 1970, т. 1, N. 4, 1-9). Обеэразмерим все величины, используя скорость на бесконечности, характерный масштаб тела и (для давления) плотность. Тогда безразмерная скорость на бесконечности будет равна 1, а течение Садовского однозначным образом определяться длиной отрывной зоны L. Завихренность внутри отрывной зоны и>оо связана с L 'формулой

UJoaL = С\. (2)

Из расчетов Садовского константа С\ ~ 13.

Согласно известной теореме Бобылева-Форсайта, скорость диссипации энергии в вязком течении пропорциональна интегралу от квадрата завихренности по всей области течения. Так как в течении Садовского завихренность вне отрывной зоны равна нулю, скорость диссипации энергип пропорциональна ui^Lr. Сила сопротивления, помноженная на скорость потока на бесконечности, как раз равна скорости диссипации энергии, что очевидно в системе отсчета, движущейся со скоростью потока на бесконечности. Поскольку вклад в скорость диссипации энергии, даваемый областями с меньшими характерными размерами, чем размер отрывной зоны, пренебрежимо мал (что строго доказывает более детальный анализ), то для коэффициента сопротивления тела справедлива формула

c¿ = consto^ Lr/Re = constC^/Re = С/Re. (3)

Численные расчеты течения Садовского позволяют определить -Изо +со 9

константу С = J / иг dx dy ~ 74, (здесь и - завихренность в

—оо —со

течении Садовского). При обтекании решеткп тел в в стратифицированном потоке константы С\ и С принимают другие значения,

которые, однако, тоже былп вычислены из расчетов невязкого течения в масштабе отрывной зоны. Эту же формулу можно получить и другим путем, рассмотрев течение в дальнем следе и использовав выражение для сопротивления через параметры дальнего следа. Именно такой подход, более строгий, хотя и более сложный, использовал в диссертация.

Рассмотрим теперь баланс завихренности в этом течении'. В результате действия вязкости происходит диффузия завихренности из отрывной зоны. Завихренность вне отрывной зоны сносится затем потоком вниз по течению в след. Кроме того, в самой отрывной зоне на линии симметрии завихренность равна нулю. Соответственно, завихренность диффундирует также к оси симметрии. Потери завихренности в отрывной зоне восполняются за счет завихренности, непрерывно сходящей с поверхности тела. Конечно, ввиду симметрии полный поток завихренности со всего тела равен нулю, так что речь здесь идет о течении по одну сторону от плоскости симметрии. Оценим поток завихренности, который должен сходить с тела, чтобы компенсировать потери завихренности в отрывной зоне за счет вязкой диффузии. Число Рейнольдса, подсчитанное по длине отрывной зоны, равно ЬКе. Соответственно, характерная толщина пограничного слоя на границе отрывной зоны равна Цу/Щк = у/Ь/Ке. По порядку величины завихренность в пограничном слое на границе отрывной зоны такая же, кале и внутри нее, потому что в рассматриваемом течении Садовского скачок скорости на границе отрывной зоны равен нулю. Помножив градиент завихренности поперек пограничного слоя на коэффициент вязкости (то есть, в безразмерных переменных, на 1 /Ке) и на длину слоя, имеющую порядок Ь, получим, что поток завихренности, уносимой в след, имеет порядок -'-х: у/А/Пе. Легко проверить, что поток завихренности к линии симметрии в отрывной зоне имеет такой же порядок. Следовательно, сохранение

завихренности требует, чтобы с поверхности тела сходил поток завихренности F, равный

Г = Сги^Ь/Кс. • (4)

Константу С3 уже нельзя найти только из расчетов невязкого течения. Для ее определения требуется подробный анализ вязких циклических пограничных слоев на границе отрывной зоны.

Наконец, еще одно важное соотношение можно найти, рассмотрев течение в масштабе тела. Согласно теории, течение в этом масштабе есть течение Кирхгофа со свободными линиями тока. Завихренность уносится от тела в слое смешения около свободной линии тока. В приближении пограничного слоя поток завихренности можно выразить как ¡иийп = J — «^¿п = (и! — и\)/2. Здесь гг_ и — значения скорости на границах слоя смешения, а интеграл взят поперек этого слоя. Следовательно, поток завихренности, сходящей с тела, равен взятому с обратным знаком скачку постоянной Бернулли на свободной линии тока. Соответственно, скорость на свободной лпнии тока равна — \f-2F. Это дает возможность вычислить коэффициент сопротивления

Ч = = (5)

В этом выражении кд — коэффициент сопротивления в течении Кирхгофа со скоростью на свободной линии тока, равной единице. Система четырех уравнений (2-5) содержит четыре неизвестные Ь, ы^, с,; и К Ее легко решить и получить основные характеристики течения. В частности, оказывается, что Ь ~ 11е, ~ 1/Г1е.

Обтекание одиночного тела представляет собой предельный случай обтекания решетки тел. Точные окончательные формулы для основных характеристик течения около решетки тел без выноса

с полушагом Н (то есть решение указанной системы уравнений с точно вычисленными коэффициентами) имеют вид

сЛ = О/Яе,

Ыоофе=2 С£>§(Ь), Ь/(к*Щ = 1/(2^(6)^).

НЦк^Ке) = Н/(2Ю1(Ь)^^С).

где а = 5/Ь2, Б — общая площадь обеих половин отрывной зоны,

Ь = ¿(я) = JU(s)ds, II (в) — скорость на границе

О

отрывной зоны как функция расстояния вдоль этой границы, А н В — передняя и задняя критические точки в теченпп в масштабе отрывной зоны. Все эти величины (а, 5, Ь), как и коэффициент скорости диссипации энергии С, вычисляются по характеристикам течения в этом масштабе и потому зависят только от Н/Ь. Расчет, течения в этом масштабе, то есть течения Садовского, описал в третьей главе, в которой приведены п таблицы величин а, 8, Ь. Далее, 2?д(£>) = 0(6,0), а таблица функции получающаяся

из решения задачи о циклическом пограничном слое, приведена в первой главе. Таким образом, выписанные формулы дают в параметрической форме зависимость длины отрывной зоны, завихренности в ней и коэффициента сопротивления от числа Рейнольдса и полушага решетки. Уточним, что коэффициент сопротивления здесь определен как (сила соп-ротивленил)/ри^Я, где Л — тот же характерный размер, который используется при определении числа Рейнольдса.

Подчеркнем, что полученные формулы справедливы при достаточно больших числе Рейнольдса и шаге решетки.

В случае обтекання одиночного тела Н/Ь = оо. В этом случае о = 0.433, Ь = 0:542, С = = 74.9, IV/£ = 0.300 (!Г - полуширина отрывной зоны). Точность этих данных около 2%. При этом £>0(0.542) = 0.235 с точностью около 1%. Указанные значения не

зависят от формы тела, которая влияет на асимптотику только через значение kj. Для кругового цилиндра в течении, удовлетворяющем условию Бриллюэна-Внлля, kj = 0.50. Следовательно, при обтекании одиночного кругового цилиндра

cd = 74.911e,-1, L = 0.393Re, = ЗЗ.Ше,"1, И7 = 0.118Re. На рис. 1 дано сравнение теоретических результатов для длины отрывной зоны с численными решениями полных уравнений Навье-Стокса для задач обтекания решетки цилиндров (Fornberg В., J.. Fluid Mech., 1991, v. 225, 655-671) и решетки пластин (Natarajan R., Fornberg В., Acrivos А., Ргос. Royal Soc. Lond., 1992, v. А441, 211-235). Теоретические результаты изображены в виде кривой. Результаты для решетки цилиндров помечены буквой F, а для пластинок ■— буквой N. Числа около букв — полушаг решетки, отнесенный к характерному размеру (радиусу цилиндра или полуширине пластины). Числа Рейнольдса в работе Натараяна с. соавторами изменялись от 50 до 350 с шагом 50, а в расчетах обтекания решетки цилиндров — с тем же шагом от 50 до 400, кроме случая Я =500, в котором Re=50-350. Темные символы соответствуют меньшим числам Рейнольдса. На рис. 2 п 3 показано такое же сравнение для отношения полуширины отрывной зоны к ее длине и для коэффициента сопротивления. Данные для решетки пластинок не нанесены потому, что они перекрываются с данными для решетки цилиндров при меньших шагах решетки, кроме того, уже из рис. 1 вндно, что шаг решетки в этих расчетах был слишком мал. На рис. 4 приведено сравнение для завихренности в отрывной зоне. Расчетных точек на этом рисунке меньше, так как при малых числах Рейнольдса в отрывной зоне не было плато завихренности. В целом видно, что с увеличением числа Рейнольдса н шага решетки численные результаты приближаются к асимптотическим, тем самым подтверждая теорию.

Параграфы 1-6 второй главы посвящены детальному описанию течения в основных характерных масштабах и их сращиванию, то

1.65

L/(kâRe)

1.40 1.15 O.SO 0.65

0.40

20

N 15

œe»*-. N 10

N 5 ;

_J—' ' _I_' '"Mil_' I imul *_1 I 1 nu.

0.01

0.1 1 10

2 .

100

H/(kâRe) Рис. 1.

t I I I Mill I till nil .....till I_i ......

0.01 0.1 1 10 100 H/(kàRe)

Рис. 3.

cjkdRe

i , io

H/(käRe)

есть обоснованию самосогласованностп теории и получению количественных результатов. В параграфе 7 рассмотрены вторичная асимптотика при шаге решетки, много меньшем числа Рейнольдса и показано, что область применимости теории включает все Г?е н Н, много большие единицы, независимо от соотношения между ними. В параграфе 8 рассматривается вопрос о структуре течения при конечном шаге решетки. В параграфах 9 и 10 проводится сравнение с результатами численных расчетов. И наконец, параграф 11 содержит обсуждение методического вопроса о связи условия совпадения силы сопротивления, вычисленной по параметрам течения в разных характерных пределах, с возможностью построения следующих членов разложения.

Третья глава посвящена расчету вихрепотенциальных течений. Невязким вихрепотенциальным течением по модели Прандтля-Бэтчелора называют плоское течение невязкой несжимаемой жидкости, в котором имеется область замкнутых линий тока, причем завихренность внутри этой области постоянна, а снаружи течение потенциально. Граница вихревого и потенциального течений является линией тока. На ней может иметь место скачок скорости, но давление непрерывно. Если в области течения при этом нет тела, то такие течения суть течения Садовского. В параграфах 1-3 дан анализ и описан численный расчет стратифицированных по плотности течений Садовского в канале. Тем самым получены необходимые количественные результаты для построения асимптотической теории во второй и четвертой главах.

В параграфах 4-6 рассматривается невязкое вихрепотенцп-альное течение около крылового профиля с уловленным вихрем. Результаты этих параграфов получены автором совместно с А. В. Бунякиным и Г. Ю. Степановым. В них описан общий метод, позволяющей строить невязкпе впхрепотенциальные течения, отличающийся тем, что форма тела частично определяется в результате решения задачи. Конкретные требования к форме тела могут

быть различны для задачи отыскания предела вязкого течения при стремлении числа Рейнольдса к бесконечности н для задачи стабилизации уловленного вихря (рассмотренной в главе 6). Идея метода восходит к работе A.A. Абрашкина и Е.И. Якубовича (ЖПМТФ, 1988, т. 5, 81-84, также препринт N 128, ИПФ АН СССР, 1986). Пример результатов расчета развитым методом представлен на рис. 5.

Пусть W — W(z) представляет собой комплексный потенциал невязкого обтекания некоторого тела. Предположим, что часть поверхности тела между некоторыми точками А а В совпадает с частью образа действительной оси в плоскости вспомогательного комплексного переменного s при подходящим образом выбралном конформном отображении z — f(s), причем /(s) описано явным выражением. Здесь г — х + iy, х, у — декартовы координаты. Иными словами, рассматриваемая часть поверхности тела может быть задана в параметрическом виде х — g(s), у = h(s), где g(s) и h(s) — аналитические функции, принимающие действительные значения при действительном s и выражающимися явными формулами, a f(s) = g(s) -f ih(s). Точная математическая формулировка задачи состоит в следующем: отыскать такую форму каверны, которую можно было бы сделать в поверхности тела, чтобы были выполнены следующие условия:

1) вихрепотенцпальное течение с областью замкнутых линий тока, расположенной в каверне, вне каверны совпадает с течением, описываемым заданным потенциалом W;

2) разделяющая свободная лпнпя тока описывается уравнением 2 = f(s) между точками А и В, то есть совпадает с ранее выделенной частью поверхности тела;

3) завихренность в каверне и скачок постоянной Бернуллп (то есть половина скачка квадрата скорости) на ее границе равны заданным значениям ш и Д соответственно.

Рис. 5.

Рис. 6

Для случая Д = 0 ц \\г (г), заданного явно, решение этой задачи было получено Абрашкнным и Якубовичем.

Сформулированная задача сводится к задаче аналитического продолжения, и поэтому является некорректной в том смысле, что сколь угодно малые изменения формы разделяющей линии тока могут приводить к конечным изменениям формы каверны. Именно по этой причине функция /(в) должна быть задана в явном виде.

Решение этой задачи дает выражение комплексно-сопряженной скорости вихревого течения внутри каверны

и-1У = -1) + 4(г)\Аш2-2 длоош.

где £ = в(г) есть функция, обратная к /($)■ Зная распределение скоростей внутри каверны, можно интегрированием получить форму линий тока, а следовательно, и форму каверны.

Весьма важно, что для использования полученного результата не требуется явное представление потенциала IV. Причина этого в том, что при выводе формулы для скорости для аналитического продолжения И7 через границу каверны удалось использовать принцип симметрии, подставпв (ё) вместо IV1 (я). Таким образом, достаточно рассчитать потенциал течения вне каверны численно, что составляет важное преимущество по сравнению с решением Абрашкпна и Якубовича.

В четвертой главе асимптотическая теория, развитая в предшествующих главах, используется для изучения влияния устойчивой стратификации на отрывное обтекание тел. При этом распространение теории на этот более общий случай является не целью, а скорее лишь средством исследования. Реальные течения становятся нестационарными при сравнительно низких числах Рейнольдса. Поэтому асимптотическое исследование стационарных

течений имеет тот недостаток, что его количественные результаты едва-ли можно использовать на практике. Тем не менее, такое исследование позволяет вскрыть и попять физические механизмы, которые, как показано в этой главе, имеют прямое отношение к реальным течениям и, в частности, проливают некоторый свет на остававшийся долгое время открытым вопрос о том, объясняется ли наблюдаемое в экспериментах уменьшение сопротивления с увеличением стратификации перестройкой структуры осредненного течения или подавлением турбулентных пульсаций.

Рассматриваемую задачу можно сформулировать следующим образом. Тяжелая устойчиво стратифицированная (то есть более тяжелая снизу) жидкость обтекает затупленное тело в канале. Течение полагается плоскопараллельным и стационарным. Тело имеет плоскость симметрии, совпадающую с плоскостью симметрии канала. Для простоты яа обеих стенках канала накладывается условие нулевого касательного напряжения. Соответственно, верхнюю стенку можно рассматривать как свободную поверхность, деформации которой, вызванные течением, пренебрежимо малы. На нижней стенке благодаря этому условию не возникает пограничный слой. Эти условия не вполне соответствуют экспериментам в бассейне, в котором тело буксируют на полуглубине канала. В действительности в большинстве таких экспериментов, и в частности тех, в которых моделируется обтекание местности, тело буксируют вдоль свободной поверхности (или дна), которая тогда соответствует плоскости симметрии течения в данной выше формулировке. В этом случае скорость на другой границе равна скорости набегающего потока, а касательное напряжение может быть отлично от нуля. Однако, так как отрыва от этой другой поверхности все равно не происходит, при достаточно больших числах Рейнольдса указанной разницей можно пренебречь. Предполагается, что далеко вверх по потоку плотность

линейно убывает по вертикальной ^координате, причем ее изменение настолько мало, что можно воспользоваться приближением Буссинсска. Решение этой задачи зависит от числа Рейнольдса Не, обезразмереняой полуглубпны канала Н и числа Ричардсона Ш = — \{дН*~/Р* ¡У*\ • Градиент плотности в этой формуле вычисляется далеко вверх по потоку, Н* — половина глубины канала, а д — ускорение силы тяжести. В работе найдена самосогласованная асимптотика решения этой задачи при Ие —> оо, Н —» оо и Ш < 7г2, проведены все необходимые численные расчеты, получены количественные результаты и проведено сравнение с численными расчетами соответствующих ламинарных и экспериментальными исследованиями турбулентных течений.

С точки зрения развития собственно асимптотических методов решения задач механики жидкости и газа результаты этой главы мало что добавляют к ранее полученным. Однако они показывают, что развитые в предыдущих главах методы хотя и не дают точных количественных результатов, приложимых на практике, но зато могут служить эффективным инструментом для вскрытия физических механизмов сложных отрывных течений. Действительно, основываясь на полученной асимптотической теории стратифицированных отрывных течений, удается качественно описать влияние стратификации на отрывное течение, не прибегая к собственно асимптотическим, формальным методам изложения, как это и сделано ниже. Предполагается, что свойства безотрывных стратифицированных течений уже известны читателю.

1. Жидкость, набегающая на отрывную зону, поднимается над ней, и в силу стратификации скорость течения над отрывной зоной оказывается неравномерной: у верхней стенки больше, а вблизи отрывной зоны меньше, чем в нейтральном течении. В результате градиенты скорости сглаживаются, скорость диссипации энергии снижается, а следовательно, снижается и сопротивление.

2. Когда глубина канала много меньше длины отрывной зоны, то величина завихренности в ней определяется чисто невязким механизмом присоединения потока, причем величину этой завихренности легко найти из закона сохранения количества движения. С увеличением стратификации величина этой завихренности уменьшается. Это возможно только если поток сходящей с тела завихренности тоже уменьшается. Поток завихренности с тела уменьшается еше и потому, что вне отрывной зоны за счет стратификации возникает завихренность того же знака, что и в отрывной зоне. Ее диффузия обеспечивает часть притока завихренности в отрывную зону, который в отсутствие этого эффекта должен был бы приходить с тела. Падение потока завихренности с тела соответствует значительному спижению сопротивления, что возможно за счет сокращения длины отрывной зоны, то есть размера области, в которой происходит диссипация энергии.

3. Когда глубина канала много больше длины отрывной зоны, влияние стратификации в сверхкритпческом режиме мало. Однако механизм снижения сопротивления действует п в этом случае. Соответственно, падает и поток завихренности с тела (пропорциональный сопротивлению потому, что течение в непосредственной близости тела всегда подобно течеппю Кирхгофа). Падение потока завихренности с тела влечет за собой уменьшение завихренности в отрывной зопе. Наконец, произведение завихренности и размера отрывной зоны приблизительно постоянно, так как в масштабе отрывной зоны течение подобно нестратпфицированному течению в неограниченной области. Соответственно, длина отрьшнсй зоны возрастает.

Хотя эти выводы сделаны на основе асимптотической теории стационарного течения при большом числе Рейнольдса, пх прпрода такова, что описываемые механизмы вполне могут действовать ы в реальных течениях. Это подтверждается проведенным сравненном

с численными расчетами ламинарных течении и экспериментальными результатами по турбулентным течениям.

Отметим, что выводы подобного рода нельзя было бы получить ни на основе численных расчетов, ни на основе экспериментальных исследовании.

В пятой главе рассматривается асимптотика стационарного осесимметричного обтекания затупленного тела при больших числах Рейнольдса. Получающаяся при этом теория во многом сходна с теорией плоскопараллельного обтекания. Однако размеры отрывной зоны хотя и возрастают неограниченно с ростом числа Рейнольдса, но гораздо медленнее, чем в плоском случае. В результате, в отличие от плоского случая, возвратное течение в отрывной зоне достигает тела, не затухая до почти полного покоя. Поэтому течение в масштабе тела не оказывается течением по схеме Кирхгофа: удается показать, что в масштабе тела происходит столкновение двух потенциальных потоков с разными константами Бернулли. Возвратное течение в отрывной зоне характеризуется меньшим значением этой константы. Расчет такого течения представляет собой весьма трудную задачу, однако ясно, что в этом течении, ввиду наличия интенсивного возвратного течения, неизбежно возникновение двух точек отрыва, что обычно описывают как появление вторичного отрыва. Вторичный отрыв наблюдается в расчетах осесимметрнчных течений, в то время как в плоскопараллельных течениях его нет. Объяснение этого различия является одним из основных результатов пятой главы. Проведено также ограниченное сравнение с результатами численных расчетов.

Шестая глава посвящена вопросу о стабилизации уловленных вихрей с помощью периодического отсоса-вдува. Уловленными вихрями называются крупномасштабные вихри, которые,*в отличие

от обычного поведения крупных вихрей, сохраняются неопределенно долго вблизи тела, а не срываются периодически или хаотически в след. Идея использования таких вихрей для увеличения подъемной силы при больших углах атаки пли для других целей возникла уже давно. Однако до сих пор возможность ее практической реализации подвергается сомнению ввиду неустойчивости течений такого типа, то есть течений, содержащих крупные отрывные зоны. Существует, однако, некоторое количество примеров, говорящих в пользу этой идеи. Самый поразительный пример дает так называемое крыло Каспера, эскиз поперечного сечения которого показан на рис. б. Планер с таким крылом летал со скоростью, вдвое меньшей критической скорости срыва в штопор для планеров с обычным крылом, ц при этом скорость потери высоты тоже была вдвое меньше обычной. Это соответствует коэффициенту подъемной силы, равному 3.15. Как п следовало ожидать, визуализация течения показала, что столь высокие аэродинамические характеристики возникают потому, что непосредственно над крылом в полете находился относительно стабильный крупный вихрь, как показано на рпс. 6.

По всей видимости, в полетных экспериментах Каспера течение было турбулентным. Однако мелкомасштабная неустойчивость не оказывает большого влияния на подъемную силу. Гораздо более важен вопрос о поведении крупного вихря, формирующегося над крылом при закритических углах атаки: будет ли этот вихрь все время оставаться вблизи крыла или окажется снесен вниз по потоку. В последнем случае сформируется новый впхрь, и повторения этого процесса приведут в результате к высоким значениям сопротивления п низкой подъемной силе.

Неустойчивость подобного рода течений объясняет относительную немногочисленность и плохую воспроизводимость экспериментов, в которых удалось успешно реализовать идею уловленных вихрей. В частности, при продувке крыла Каспера в

аэродинамической трубе не удалось воспроизвести результаты полетных экспериментов: вместо этого вихри срывались с крыла, а подъемная сила оставалась низкой. Это означает, что в экспериментах в аэродинамической трубе отсутствовал некоторый важный фактор. Основываясь на некоторых других экспериментальных наблюдениях, By с соавторами (Wu J.Z., Vakili A.D., Wu J.M., Review of the physics of enhancing vortex lift by unsteady excitation, Progr. Aerosp. Sei., 1991, v.,28, p.73; из этого обзора взяты приведенные выше сведения) высказали гипотезу, что стабилизирующим фактором в полетных экспериментах могли быть вибрации крыла. Стабилизирующее влияние колебаний на механические системы, в том числе и на гидродинамические, хорошо известно. В шестой главе изучена модельная задача о движении одиночного точечного свободного вихря около кругового цилиндра в потенциальном потоке при наличии периодического отсоса-вдува, моделируемого точечными источниками переменной интенсивности. В отсутствие периодического отсоса-вдува имеется одно стационарное положение вихря. Это положение неустойчиво: отклоненный на сколь угодно малое от него расстояние вихрь покидает окрестность цилиндра. Построена асимптотика при высокой частоте колебаний и проведен численный анализ устойчивости для случая конечных частот, в результате которого удалось получить следующие выводы.

1. Вводя в поток подходящим образом осцилляции, можно стабилизировать уловленный вихрь. Стабилизация происходит потому, что вторичные течения изменяют движение вихря.

2. Амплитуда стабилизирующих колебаний ограничена не только снизу, но и сверху.

3. Число Струхаля для стабилизирующих осцилляцпй в рассмотренном примере может быть порядка 10 или больше.

4. Запуск течения желаемой природы, то есть с уловленным вихрем, может быть трудным, так как область, в которой вихрь остается уловленным, мала.

Таким образом, результаты шестой главы перекидывают еще один мостик между стационарными течениями, рассмотренными в предыдущих главах, и практикой.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе выполненных автором исследований в работе сформулированы и обоснованы теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное достижение в теории отрывных течений.

В диссертация получены следующие основные результаты.

1. Изучена постановка краевой задачи о циклическом пограничном слое на границе отрывной зоны. Показано, что если невязкое течение в отрывной зоне имеет точки торможения, эта краевая задача не нмеет решения, удовлетворяющего всем необходимым условиям сращивания. Разработаны методы расчета циклических пограничных слоев. Для особенно важного случая, в котором уравнения циклического пограничного слоя сводятся к уравнению теплопроводности, найдена и затабулирована функция Грина, позволяющая выразить условие существования удовлетворяющего всем условиям сращивания решения в виде квадратуры от градиента давления и фз'нкшгй, входящих в краевые условия.

2. Построена полная самосогласованная асимптотика стационарного решения уравнений Навье-Стокса для задачи о плоскопараллельном течении около затупленного тела и решетки тел при стремлении числа Рейкольдса к бесконечности.

3. Проведен числелвьга распет стратифнцированног о вихрено-тенцпачьного течения Садовского в канале. Построена асимптотика этого течеппя в случае, когда отношение длины отрывной зоны к ширине канала стремится к бесконечности.

4. Построена полная самосогласованная асимптотика стационарного стратифицированного обтекания тела в канале (или решетки тел) при стремлении числа Репнольдса к бесконечности. С ее помощью выявлены физические механизмы влияния стратификации на отрывные течения и объяснены экспериментально наблюдаемые изменения параметров течения: сопротивления, длины и ширины отрывной зоны. В частности, показано, что снижение сопротивления при увеличении стратификации связано в первую очередь со сглаживанием профиля скорости в силу стратифпциро-ванности течения (для турбулентных течений это означает, что снижение сопротивления происходит в результате влияния стратификации на осредненное поле течения, а не только п не столько на структуру турбулентности). Указан эффект диффузии завихренности, возникающей в силу стратифицированностп течения, внутрь отрывной зоны.

5. Развит метод построения невязких вихрепотенциальных течении в модели Бэтчелора.

6. Проведен анализ асимптотической структуры осесимме-тричного стационарного обтекания затупленного тела и объяснено возникновение вторичного отрыва вблизи тела.

7. В рамках расчетной модели точечного вихря показано, что наложение колебаний может стабилизировать течение с уловленным вихрем.

ПУБЛИКАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ

Общее число работ автора по теме диссертации — около тридцати. Основными публикациями являются: 1. Черньпненко С.И. О приближенном способе определения завихренности в зоне отрыва при вязкости, стремящейся к нулю//Изв. АН СССР, МЖГ, 1982, N. 1, 10-15.

2. Чернышенко С.И. Стационарные течения маловязкпх жидкостей по каналам и трубам периодического профиля//ДАН СССР, 1983, Т. 268, N. 2, 314-316.

3. Чернышенко С.И. Теплообмен в тороидальных трубах при больших числах Прандтля//Вест. МГУ, Сер. 1, мат., мех., 1983, N. 2, 87.-90.

4. Чернышенко С. И. Расчет отрывных течений маловязких жидкостей с помощью модели Вэтчелора//Изв. АН СССР, МЖГ, 1984, N. 2, 40-45.

5. Чернышенко С. И. К асимптотике стационарных решений уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса//ДАН СССР, 1985, Т. 285, N. 6, 1353-1355.

6. Чернышенко С.И. Расчет донного давления при сверхзвуковом турбулентном обтекании полубесконечного кругового цллиндра//В сб. 'Струйные и отрывные течения' , Ч. III. M.: Изд. Моск. ун-та, 1985, 96 с.

7. Чернышенко С.И. Асимптотика стационарного отрывного обтекания тела при больших числах Рейнольдса//ПММ, 1988, Т. 52, (6), 958-966.

8. Чернышенко С.И. Об аналитической структуре зависимости стационарных отрывных течений от числа Рейнольдса//В сб. 'Струйные и отрывные течения' , Ч. IV, М.: Изд. Моск. ун-та, 1989, 88 с.

9. Chemyshenko S.I. Asymptotic theory of the stationary flow around bluff bodies//In: Separated flows and jets. IUTAM-Symposium, Novosibirsk, USSR, July 9-13, 1990, 1990.

10. Чернышенко С.И. Отрывное обтекание уступа, высота которого много больше толщины нижнего подслоя области взаимодействия. //Изв. АН СССР, МЖГ, 1991, N. 4, 25-30.

П. Chernyshenko S. Stratified Sadovskii flow in a channel//.!. Fluid Mech., 1993, T. 250, 423-431.

12. Чернышенко С.И. Асимптотика течения через решетку затупленных тел прп больших числах Рейнольдса//Изв. вые. уч. зав., сер. Физика, 1993, Т. 36, N. 4, 30-52.

13. Чсрнышенко С.И. Стратифицированное по плотности течение Садовского в канале//Изв. РАН, МЖГ, 1993, N. 4, 118-123.

14. Chernyshenko S.I. & Castro I.P. High-Reynolds -number asymptotics of the steady flow through a row of bluff bodies//J. Fluid Mech., 1993, T. 257, 421-449.

15. Chernyshenko S.I., Castro LP. High Reynolds number asymptotics of steady stratified flow past an obstacle//2nd Europian Fluid Mechanics Conference, Sept. 20-24, 1994, Warsaw, Poland. Abstracts of papers.

16. Чернышенко С.II. Асимптотика стационарного осесимметричного обтеканпя затупленного тела несжимаемой жидкостью при больших числах Реинольдса//1'Гзв. РАН, МЖГ, 1995, N. 1, 37-44.

17. Chernyshenko S.I. Stabilization of trapped vortices by alternating blowing-suction// Physics of Fluids, 1995, N. 3.