Численные исследования обтекания системы произвольных профилей методом граничных элементов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

\ ^ МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова

УДК 532.5

На правах рукописи

Картузова Татьяна Вячеславовна

ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ОБТЕКАНИЯ СИСТЕМЫ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПРОФИЛЕЙ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ

ЭЛЕМЕНТОВ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Чебоксары -1997

Работа выполнена на кафедре прикладной и дискретной математики Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова

Научный руководитель -Заслуженный деятель науки ЧР, доктор физико-математических наук, академик НАНИ ЧР А.Г. Терептьев

Официальные оппоненты :

доктор физико-математических наук, профессор Д.В. Маклаков, кандидат физико-математических наук, доцент В.К. Краснов

Ведущая организация -Казанский государственный технический университет им. А.Н.Туполева

Защита состоится \9$£т. в часов

на заседании диссертационного совета К 064.15.02 в Чувашском государственном университете им. И.Н. Ульянова по адресу: 428015, г. Чебоксары, ул. Университетская, д. 38

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Чувашского государственного университета.

Автореферат разослан ¡997 г

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук

В.В.Никитин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена численному исследованию задачи циркуляционного обтекания системы произвольных профилей безграничным потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости. В качестве численного метода использован метод граничных элементов (МГЭ).

Актуальность темы. В последние десятилетия интенсивно развивается метод граничных элементов, который широко применяется в различных задачах механики сплошной среды (гидродинамике, теории упругости и др.). Простота реализации и достаточно высокая точность позволяют считать МГЭ одним из эффективных численных методов. В основе МГЭ заложены интегральные соотношения Грина, которые получены для однозначных и непрерывных вместе со своими производными до второго порядка функций, эбласть при этом считается ограниченной. В теории крыла область течения жидкости может быть и неограниченной, а искомые функции иметь эсобенности как во внутренних точках, так и на бесконечности. Поэтому 1вляется актуальной разработка численных алгоритмов расчета крыловых профилей на основе МГЭ.

Цель диссертационной работы. Разработка численного алгоритма эешения задачи циркуляционного обтекания произвольной системы профилей 1а основе метода граничных элементов и его применение к расчету обтекания :истемы профилей вблизи экрана и к расчету обтекания диффузора.

Научная новизна. Интегральная формула Грина обобщена на функции : особыми точками типа кратный полюс как внутри области, так и на 5есконечности. Впервые метод граничных элементов применен к ^следованию обтекания системы произвольных профилей безграничным ютоком жидкости и вблизи экрана. Применен новый подход к числешюму ¡асчету обтекания диффузора.

Достоверность. Достоверность полученных численных результатов юдтверждается сравнением с аналитическим решением тестовых задач.

Практическая ценность. Результаты диссертационной работы позволяют рассчитать основные гидродинамические характеристики течений, возникающих при обтекании системы произвольных профилей. Полученные результаты могут быть использованы при проектировании крыльев сложной конфигурации с выбором предпочтительных характеристик их обтекания.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении" в г. Казани в 1995г., на VI Всероссийской научной школе "Гидродинамика больших скоростей" в г. Чебоксары в 1996 г., на Итоговых научных конференциях преподавателей Чувашского государственного университета им. И.Н.Ульянова в 1992-1994, 1997 г., на научном семинаре "Взаимодействие сплошных сред" под руководством профессора А.Г. Терентьева (г. Чебоксары).

Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре работы, три из них выполнены совместно с научным руководителем А.Г.Терентьевым.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы - 106 страниц. Количество рисунков - 31. Таблиц - 7. Список литературы насчитывает 76 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во ввсдсннн обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи работы, дан обзор литературы по затронутым вопросам и кратко изложены основные результаты.

В первой главе рассматривается известное аналитическое решение задачи об обтекании произвольного профиля. Эта задача используется в дальнейшем как тестовая при построении алгоритма численных расчетов обтекания системы произвольных профилей с помощью МГЭ.

Наиболее полное численно-аналитическое развитие имеет теория крыла. В плоском случае найдены эффективные формулы для расчета гидродинамических характеристик произвольного одиночного профиля, такие исследования можно найти у Н.Е.Жуковского, С.А.Чаплыгина, В.В.Голубева

4

и др. Предложены также различные численные методы, основанные на распределении вдоль границы профиля особенностей (С.Д.Ермоленко, В.А.Рягузов, З.Х.Нугманов, В.А.Овчинников и др.). Успешно решены многие обратные задачи аэродинамики. Такой подход, основанный на методе квазирешений используется Н.Б.Ильинским, А.М.Епизаровым, А.В.Поташевым, Г.Г.Тумашевым, М.Т.Нужиным и др. Д.В.Маклаковым и М.В.Наборовой в точной нелинейной постановке решены задачи кавитационного и отрывного обтекания профилей произвольной формы потоком идеальной жидкости.

В § 1 дана гидродинамическая постановка задачи, сформулированы граничные условия.

Пусть гладкий замкнутый кошур С обтекается плоскопараллельным потенциальным потоком идеальной невесомой несжимаемой жидкости. Скорость потока на бесконечности Ул и угол атаки а считаются заданными (рис. 1а). Течение жидкости предполагается установившимся.

Математическая задача об обтекании профилей представляет собой внешнюю краевую задачу Неймана для потенциала скорости (р или задачу Дирихле для функции тока и сводится к решению уравнения Лапласа. Обе эти функции объединяются в одну аналитическую функцию (комплексный потенциал) W = <р + / у/ от комплексной переменной z-x + iy. Характерным в теории крыла является то, что функция W(z) на бесконечности ведет себя как

W(z) = V„e-iaz + — lnz, (z-»oo) (1)

2т

где Vme~'a - вектор скорости набегающего потока, Г - циркуляция скорости вдоль контура С. Условие безотрывного обтекания требует, чтобы обтекаемый контур был одной из линий тока:

Y(x,y)\c = const. (2)

Для заданного контура циркуляция скорости заранее неизвестна: Поэтому необходимо использовать дополнительное условие о поведении скорости вблизи точки отрыва (постулат Жуковского - Чаплыгина). При численных расчетах постулат Жуковского - Чаплыгина записывается в виде:

где I —I и | — I значения касательной скорости на верхней и нижней \ds) \ds)

сторонах профиля, 8 - малое расстояние от задней кромки.

Аналитическое решение задачи об обтекании произвольного изолированного профиля получено путем конформного отображения внешней области в физической плоскости z на некоторую каноническую область вспомогательной плоскости. Наиболее простое решение для изолированного профиля получается при конформном отображении на внешность окружности единичного радиуса параметрической плоскости Если функция конформно отображает область течения на внешность окружности, причем бесконечно удаленная точка (г = те) переходит в бесконечно удаленную точку (£" = со), а задняя кромка профиля переходит в точку (£" = 1), то потенциал fF(£(z)) = W(Q имеет вид:

ЩО + ^Г-Цг) + + const, (4)

Q-e р 2т

где Vs=V„-\k\, к = е-* =

(<ЬЛ

, р = а + у.

Циркуляция скорости Г определяется из постулата Жуковского -Чаплыгина

Г = -4яУ.|фш(а + г). (5)

Основная трудность в решении задачи об обтекании профилей заключается в нахождении отображающей функции . В общем случае она может быть найдена численно. Если для изолированного профиля имеются достаточно простые и эффективные приемы численного конформного отображения, то для системы профилей трудности при численных расчетах возникают как при построении конформного отображения, так и при решении задачи в параметрической плоскости.

В работе как тестовая задача рассматривается задача об обтекании профиля Жуковского. Конформное отображение на параметрическую плоскость (рис. 16) получено в виде:

Нормирующий множитель Я равен радиусу внешней окружности и в

общем случае может принимать вид 7? = л/1 + Л2 + (1 + с, где параметр Л характеризует искривленность профиля, <1 - толщину, с - закругленность задней кромки.

Из (6) следует, что

1) при с * О, А = 0,(1 = 0 в физической плоскости получается эллипс;

2) при с = О, А * 0,(1*0 получается замкнутая кривая с точкой заострения в задней кромке (профиль Жуковского);

3) при с & О, А & 0,(1 0 в физической плоскости получается профиль с закругленной задней кромкой.

В § 2 рассмотрены основные положения метода граничных элементов и его использование для численного решения задач об обтекании тел безграничным потоком жидкости.

Если применить интегральную формулу Грина к гармонической функции <р, удовлетворяющей в области определения уравнению Лапласа, то можно получить следующее интегральное соотношение :

ф) ■ ф) + \(р{*) ■ С„ (7.0А = \<рп (¿) • 0{2,1)сЬ, (7)

с с

где (7 = —1п- - функция Грина, г - расстояние между точкой геО и 2к г

переменной точкой / е С, <рп,Сп - производные по внешней нормали п. Интегралы берутся вдоль кривой С, когда область Б остается слева. Множитель е(г) зависит от расположения точки г и поведения границы С: для внутренней точки е{г) = 1, для точки на гладкой поверхности е(г) = 0.5, для угловой точки в плоском случае е(г) = , где со - величина внутреннего угла односторонних касательных при вершине.

Формула Грина обобщается на функции с особыми точками типа" кратный полюс как внутри области, так и на бесконечности. Пусть главные части комплексного потенциала IV(г) на бесконечности и в окрестности внутренней точки г = а имеют вид:

k.i{z~a) s=o

Тогда в правую часть интегрального соотношения (7) следует добавить функцию /(*,>0 = ReF(z):

£(z) ■ <p{z) + J ф) ■ Gn{z,t)ds = Jp„(i) • G(z,t)ds + ReF(z). (9) с с

Аналогичное интегральное соотношение записывается и для функции тока ^ :

* (z) • ¥{z) + |y/(s) • G„ (z,t)ds = (5) • G(z,t)ds + Im F{z). (10) с с

Введение функции F(z) = f(x,y) + ig(x,y) в интегральное соотношение (7) значительно расширяет возможности МГЭ. В частности, позволяет построить простые алгоритмы расчета безграничных течений жидкости.

В § 3 рассмотрены проблемы численной реализации МГЭ. Использованы постоянные граничные элементы. Известные способы дискретизации позволяют представить интегральное уравнение (7) в виде:

= (И)

1 м

Г Aijyi*j а . ,

где / „ , Aj = \Gnds, В¡j = )Gds, ? = ?>„.

U + = i с, с.

Для вычисления интегралов Ду и Ду получены аналитические формулы.

В § 4 строится алгоритм численного решения задачи об обтекании одиночного произвольного профиля с помощью МГЭ. Для численного анализа рассматриваемых течений жидкости оказывается удобным интегральное . уравнение (10), где

ImF(z) = g(x,y) =Vn(ycosa - xsina). (12)

На границе профиля С функция тока принимает постоянное значение:

y(z) = d, zeC. (13)

Из интегрального соотношения (10) при (у/-const,g = const) вдоль контура С имеем:

Ге^г.олЛ1"^26060. (И)

С учетом граничного условия (13), соотношение (10) примет вид:

\^з)-С{х,1)ск = ё{х,у) + а{2), (15)

с

где а(г) = -с/,7еС и =

Постоянная а на границе С неизвестна. Для ее определения используется дополнительное условие Жуковского-Чаплыгина.

Для численного решения интегрального уравнения (15) использован МГЭ, который позволяет представить его в матричной форме:

В= § + (16)

где элементы матрицы В (Ы х Ы) определяются интегрированием по ломаным линиям профиля и находятся аналитически по формулам из § 3. Элементами векторов V и Ц являются значения скорости г(^) и функции g(x,y) в контрольных точках. Дополнительное условие (3) примет вид:

4+^=0, (17)

где V, и - значения скорости в первой и последней контрольных точках, считая от задней кромки.

Таким образом, приходим к замкнутой системе линейных уравнений

относительно вектора = .....

В •? = ?, (18)

где

(Ьп Ьп • • Ь\Н Г УГ

¿2. ¿22 • • Ь2И 1 У2

В = ... ... . ...

ьт • V 1 Уы

1 1 0 • • 1 0, 1° J

В работе система (18) решалась методом Гаусса с выбором ведущего элемента.

В качестве числового примера рассмотрено обтека!ше профиля Жуковского под углом атаки а. На рис. 2 точками приведены расчеты для распределения скорости на границе профилей Жуковского при с/ = 0.2 и трех

9

значениях И = 0;0.2;0.5, обтекаемых под углом а = 15°, там же сплошными линиями показано аналитическое решение. Получено хорошее согласование между численными и аналитическими решениями для профилей различного вида.

Значения циркуляции скорости Г, вычисленные с помощью аналитической формулы (5) и числешю по следующей формуле:

Г =!>,./,., (19)

1=1

где /,. - длина / -того элемента, также согласуются.

Проведены расчеты коэффициента подъемной силы:

У 2Г

где Ь - длина хорды профиля. Без ограничения общности задачи полагается

Ут=\,р = 1.

Во второй главе численный алгоритм, построенный для решения задачи об обтекании одиночного произвольного профиля применен для расчета циркуляционного обтекания системы произвольных профилей.

Авторами, занимающимися проблемой обтекания двух профилей исследованы следующие случаи: система двух профилей, составленная из отрезков одной прямой (С.А.Чаплыгин), система двух пластин-таидсм (Л.И.Седов), система двух тонких дужек (Н.Ф.Сахарный), система двух тонких профилей (Ю.В.Кузнецов) и др.

В § 5 параграфе описываются основные интегральные соотношения для системы произвольных профилей.

Пусть Ск- контуры М крыловых профилей (1с = 1,М). Тогда справедливы интегральные уравнения, аналогичные уравнению (15):

= >0 + 0(7), (21)

с*

где а(г) = ак,2еСк.

Неизвестные ак для каждого контура Ск принимают постоянные значения. Количество параметров ак равно числу профилей М. Для их определения используется также условие Жуковского-Чаплыгина:

у1(4)+г«=0Л = 1,М. (22)

С помощью МГЭ можно интегральное уравнение (21) заменить системой линейных уравнений, аналогичной системе (16), относительно

__м

значений скорости V, в контрольных точках (X,, , / = 1,N =

м

всех профилей.

Обозначая вектор из неизвестных V, а вектор свободных членов У, приходим к системе линейных уравнений, аналогичной системе (18).

Циркуляция скорости Г системы произвольных профилей равна сумме циркуляций отдельных профилей. Коэффициент подъемной силы определяется аналогично формуле (20), где Г находится по (19), а в качестве характерного линейного размера Ь выбирается хорда основного профиля.

В § 6 подробно описывается алгоритм расчета задачи об обтекании системы произвольных профилей.

Ко1пур каждого из М профилей разбивается на конечное число

элементов Ык с узлами в точках (х^ = 1,Ык,к = 1,М. Общее число м

элементов равно N =

к= 1

Алгоритм численного расчета состоит в следующем:

1) задаются узлы (х-,у*),/ = 1,Ык,к = 1 ,М на каждом профиле;

2) вычисляются координаты контрольных точек X* = 0.5(дг* + ),

у- = 0.5Си* + У1х), где I=Щ,к=ТМ;

3) составляется глобальная последовательность контрольных точек (Хи,Уп),

п = 1,7/, объединяющая последовательно контрольные точки (Х^У?) всех профилей;

4) вычисляются элементы прямоугольных N х Ык матриц ВА = |в*,|;

5) составляется глобальная ИнЫ -квадратная матрица В, составленная из прямоугольных матриц ВА.;

6) составляется N х 1-вектор правой части Я = 1,-^;

7) дополнительно к матрице В добавляется М строк и столбцов для определения неизвестных констант ак;

8) глобальная система решается методом Гаусса с выбором ведущего элемента;

9) находятся значения скорости уп в контрольных точках профилей и неизвестные константы ак для каждого профиля.

В § 7 построенный алгоритм приметается к исследованию задачи об обтекании системы трех профилей (профиль с предкрылком и закрылком). Для такой задачи справедливо интегральное уравнение (21).

В качестве числового примера рассматривается обтекание потенциальным потоком жидкости системы профилей Жуковского: профиль, закрылок, предкрылок под углами атаки ак. Каждый профиль определяется параметрами: Ик и с!к , которые характеризуют его толщину и искривленность; положением задней кромки {хо,Уо)'< масштабным множителем Як.

Рассмотрены различные случаи взаимного расположения основного профиля, предкрылка и закрылка (Л4 =0.2 (£ = 1,3), <1к =0.05 (к = 1,3)). Масштабный множитель для основного профиля выбран Я = 1, а для предкрылка и закрылка Я = 0.25. Основной профиль располагается таким образом, чтобы его задняя кромка (х0,у0) = (0,0). Количество элементов на каждом профиле выбирается Л^.=30. На рис. За представлен один из рассмотренных случаев. На рис. 36 точками показано распределение скорости на предкрылке; Зв - на контуре основного профиля; Зг - на закрылке. Там же сплошными линиями нанесены точные значения для изолированного профиля.

Величина коэффициента подъемной силы рассчитана для четырех случаев взаимного расположения профиля предкрылка и закрылка (первый случай- закрылок и предкрылок "подняты"; второй-предкрылок "поднят", закрылок "опущен"; третий-предкрылок и закрылок "опущены"; четвертый-предкрылок "опущен", закрылок "поднят"). Замечено, что закрылок оказывает положительное влияние па подъемную силу, если он "поднят". Максимальным коэффициент подъемной силы будет, если предкрылок и закрылок "подняты", минимальным - если они "опущены".

В третьей главе исследуются вопросы, связанные с обтеканием системы профилей в ограниченном потоке жидкости. Алгоритм численного расчета, построенный во второй главе может быть применен и к такому классу задач.

Теоретическому исследованию влияния границ потока на гидродинамические характеристики течения посвящены работы С.А.Чаплыгина, В.В.Голубева, Л.И.Седова, ТотоН'ка Б^шт' и др. Первые расчеты были выполнены В.Проспаком и П.Кухарчиком. Дальнейшее развитие эти исследования получили в работах А.Г.Терентьева, А.В.Галанина, Ю.С.Михайлова и др. С.Д.Ермоленко, Е.А.Рягузов успешно применили метод дискретных вихрей к расчету потенциального обтекания профиля механизированного крыла в присутствии экрана.

В § 8 решается задача о циркуляционном обтекании произвольного профиля вблизи экрана.

Пусть задняя кромка профиля С1 находится на расстоянии Н от экрана. Скорость на бесконечности равна У„ и направлена вдоль экрана. Влияние экрана моделируется с помощью второго профиля С2, расположенного зеркально относительно горизонтальной оси, т.е. исходная задача сводится к задаче об обтекании безграничным потоком жидкости системы двух профилей. Для численного расчета используется алгоритм расчета для произвольной системы профилей, описанный во второй главе. Выберем N элементов на контуре и такое же число N элементов на контуре С2 .тогда вектор V будет иметь размерность 2Ы + 2, в то время как вектор § имеет размерность 2Ы; недостающие два уравнения получаются из условия Жуковского - Чаплыгина на задней кромке. Получаем систему линейных уравнений, аналогичную системе (18), где

в =

Л',1 ¿ЛЧ1.1

1

иЫ, 2 ^N+1,2

О

о

о

К»

-Хдг

1 О

0

1

Ьшля

0

1

1 О

Ухм О О

Коэффициент подъемной силы вычислен по формуле:

(23)

где I = хпохл1(х1 ~хк)2 + СУ/ ~Ук)2 - длина хорды, (хк,ук) - координаты

¿-того узла профиля Си х0 = хК,у0 =у#.

В качестве числового примера рассматривается обтекание профиля Жуковского вблизи экрана. Исследовалось влияние отстояния от экрана Н на величину подъемной силы. Проведены числовые расчеты для тонких профилей с разной степенью искривленности. Установлено, что для слабо изогнутых профилей при приближении к экрану подъемная сила растет, а для профилей с достаточной степенью искривленности наблюдается обратный эффект. Исследовался также профиль с Л = 0. Замечено, что с увеличением толщины профиля подъемная сила растет медленнее.

В § 9 рассматривается аналитическое решение задачи об обтекании пластины вблизи экрана. Получены аналитические формулы для комплексного потенциала, комплексной скорости, коэффициента подъемной силы и момента результирующих сил давления относительно передней кромки пластины через тэта-функции. Проведены расчеты по полученным аналитическим формулам и с помощью МГЭ, которые дают удовлетворительное совпадение результатов.

В § 10 рассмотрен алгоритм вычисления тэта-функций с помощью их выражения через бесконечные произведения. По предложенным формулам проведены расчеты, дающие неплохую точность результатов.

Расчет обтекания профиля с закрылком вблизи экрана рассмотрен в § 11. Использованный ранее алгоритм в этом случае применяется для системы

четырех произвольных профилей. В качестве числового примера рассматривается система четырех профилей Жуковского. Отстояние от экрана задней кромки основного профиля С] выбрано H - 0.5. Исследовался вопрос влияния угла поворота закрылка (а2 ) на величину коэффициента подъемной силы Су. На рис. 4 представлен общий вид рассмотренной системы профилей. На рис. 5 построен график Су (а2 ). Из полученных результатов видно, что при

малых углах поворота закрылка (0° +5°) подъемная сила уменьшается, а с дальнейшим увеличением угла она начинает возрастать.

В § 12 изучается один из численных подходов к расчету обтекания диффузора. Диффузор рассматривается как область между двумя обтекаемыми симметричными телами (профили Жуковского с круглой задней кромкой). При заданной циркуляции скорости вдоль каждого тела рассчитано распределение скоростей вдоль границ диффузора.

В заключении приведены основные результаты работы:

1. Область применения метода граничных элементов расширена на случай обтекания тел безграничным потоком жидкости.

2. Построен алгоритм численного расчета обтекания системы профилей произвольной формы с помощью метода граничных элементов.

3. Проведены числовые расчеты обтекания профилей с механизацией (профиль с предкрылком и закрылком), позволяющие определить по заданному взаимному расположению профилей друг относительно друга основные гидродинамические характеристики течения.

4. Построено аналитическое решение задачи об обтекания пластины вблизи экрана.

5. Алгоритм расчета обтекания системы профилей применен к обтеканию произвольного профиля вблизи экрана. По результатам числовых расчетов выявлена зависимость величины подъемной силы профиля от его геометрических характеристик при различных отстояниях от экрана.

6. Проведен числовой анализ задачи об обтекании профиля с закрылком вблизи экрана и выявлена зависимость величины подъемной силы от угла поворота закрылка.

7. Предложен новый подход к численному расчету обтекания диффузора.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Терентьев А.Г., Картузова Т.В., Петрова Т.Н. Применение метода граничных элементов к численному конформному отображению и исследованию системы крыловых профилей // Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении. Казань.: Изд-во Казанск. гос. техн. ун-та, 1995. С. 17-19.

2. Терентьев А.Г., Картузова Т.В. Численные исследования системы крыловых профилей методом граничных элементов // Актуальные задачи математики и механики. Чебоксары: Изд-во Чуваш.ун-та, 1995. С. 108-117.

3. Картузова Т.В. Численные исследования крылового профиля с предкрылком и закрылком // Труды VI Всероссийской научной школы "Гидродинамика больших скоростей ". Чуваш, ун-т. Чебоксары, 1996. С.90-96.

4. Терентьев А.Г., Картузова Т.В. Численное исследование обтекания профиля вблизи экрана // Известия АН ЧР, 1996. № 6. С. 94-104.

а) б)

Рис. 1

V 1

о

-1

-2

О 1 2 3 4 g 5 Рис. 2

-I—i—I—I—I—I_I_I_I_I_I_■ ■ . ■ ■ I

-21 -1,8 -1,5 -u -Q9 -QS -Q3 QO ЦЗ Рис.4

Рис. 5