Численное исследование трехмерной задачи магнитотеллурического зондирования тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На прапах рукописи УДК 519.6

П Л Е Ш К О Владимир Юрьевич

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ ЗАДАЧИ МАГНИТОТЕЛЛУРИЧЕСКОГО ЗОНДИРОВАНИЯ

01.01.07 — вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

МОСКВА — 1991

/ ) < >»

Работа выполнена на кафедре математической физики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор В. И. Дмитриев.

О ф и ц п а л ь и ы е оппоненты — доктор физико-математических наук А. Б. Самохин, доктор физико-математических наук Е. Е. Тыртышнико'в.

Ведущая организация — Институт Физики Земли АН СССР. .

Защита диссертации состоится МЮ/и^_1991 г.

на заседании специализированного совета Д.053.05.37 по математике МГУ в Московском гасударст^едшэм университете им. М. В. Ломоносова в 7 5 чах?, в а уд.

Адрес: Москва, В-234, Ленинские горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат разослан « —-1991 года.

Ученый секретарь специализированного совета Д 053.05.37 при МГУ им. М. В. Ломоносова профессор

Е. И. МОИСЕЕВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена разработке элективных численных методов решения трехмерных задач магнитотеллурического зондирования с использованием метода интегральных уравнений.

Актуальность темы.З настоящее время одной из главных проблем в применении предложенного А.Н.Тихоновым* метода магнитотел-лурического зондирования (МТ31. основанного на использовании естественного электромагнитного поля Земли, является проблема интерпретации данных измерений, т.е. создание математических моделей, адекватных исследуемым существенно трехмерным. структура;.!.

Использование одно- и двухмерных моделей,при Есей полезности такого подхода, было вынужденным вследствие больших математических и вычислительных трудностей реализации трехмерных моделей и зачастую не позволяло получать правильные результаты.

Это привело к появлении в нашей стране и за рубежом работ, посвященных исследованию трехмерных моделей.

При изучении трехмерных моделей в основном используются метод дифференциальных уравнений (ДУ) и метод интегральных уравнений (1!У). Математическая постановка при первом подходе проще, при дискретизации сн приводит к системам лшейкых интегральных уравнений (СЛАУ) с большими ленточными матрицами. Вследствие того, что Земля должна моделироваться достаточно большой областью, метод ДУ предпочтительнее для моделирования сложных геологических структур. Этот метод применялся с использованием конечно-разностной аппроксимации в работах Джоунса и Паокоэ, Лайнса я Джо-унса, Жданова М.С., Спичана В.В., Юдина М.Н. и др.

Метод конечных элементов (КУ) использовался при решении ДУ в рамках первого подхода в работах Редци, Рэшскна и Филипса, а также Придмура.

Подход с использованием метода ИУ более труден математически, но его преимущество в том, что значения неизвестных полей необходимо определить только в аномальной области, что приводит к резкому сокращению размеров СЛАУ.

Таким образом, применение метода № более оправдано для расчета искажений электромагнитного поля одним или несколькими небольшими телами. Метод ИУ для исследоЕашш трехмерных моделей

а- - Тихонов А.Н. Об определении электрических характеристик глубоких слоев земной корн //ДАН СССР.-1050.-Т.73. -.',2.-С.¿95-257.

применяли Райхе, Байдельт, Хоман, Дас и Берма, Дмитриев В.И. и Фарзан Р.Х. и другие аьторы.

Подводя итоги обсуждению, можно сказать следующее. К недостаткам метода ДУ относятся:

- большие размера СЛАУ,

- некорректность задачи численного дифференцирования полученного решения,

- необходимость решения альтернативы "минимальные размеры области моделирования - максимально точные граничные условия" | разумный компромисс приводит к значительному превышению размеров области моделирования над размерами включения.

Это требует больших расходов ресурсов ЭВМ по памяти и необходимости построения специальных методик для уменьшения погрешности вычисления граничных условий.

От рассмотренных недостатков свободен метод ИУ. Однако, немногие существующие до настоящего времени реализации метода '/¡У для решения трехмерных задач зондирования требуют значительных затрат машинного времени.

Актуальными поэтому являются разработка и реализация специфичных по структуре слоистой среда и геометрическим характеристикам включения алгоритмов. В этом случае геометрия задачи позволяет редуцировать № к СЛАУ с матрицей специального вида, что дает возможность- сэкономить память ЭВМ и применить для решения СЛАУ более экономичный по времени алгоритм, чем известные алгоритмы, испольгуемне для решения систем с матрицами общего вида.

Другим способом экономии ресурсов ЭВМ может оказаться использование хорошо изученных двумерных моделей, в случае решения вопроса о границах их применимости при моделировании трехмерных задач. Тем самым, безусловно актуальной является задача разработки общего иодхода к исследованию широкого класса трехмерных задач электромагнитного зондирования с помощью унифицированных алгоритмов и программного обеспечения, учитывающих рассмотренные выше аспекты.

Вышеизложенное определяет актуальность теш диссертации. Целью диссертационной работы является разработка и реализация экономичных по расходам ресурсов Э£М методов исследования искажений электромагнитного поля, вызванных существенно трехмерными вгл'очешиии в слоистой среде, а также применение этих методов для численного обоснования границ применимости двумерных мо-

делей и обнаружения новых эффектов при дистанционном изучении параметров трехмерных включений.

Новизна работы заключается в том, что впервые:

1. Разработан и реализован достаточно общий алгоритм решения трехмерных задач электромагнитного зондирования в слоистых средах.

2. Доказана возможность сведения при некоторых ограничениях выведенного ранее, но неудобного для численной реализации интегро-дифференциального уравнения к алгоритмически более удобного сингулярному интегральному уравнению.

3. В широком диапазоне параметров рассчитаны профильные кривые компонент электромагнитного поля и импеданса для различных моделей включающих сред.

4. Численно обоснованы границы применимости двумерных моделей для описания существенно трехмерных включений.

Практическая ценность диссертационной работы состоит в том, что в ней обоснована возможность решения практически важных трехмерных задач электромагнитного зондирования в строгой электродинамической постановке. На основе метода ИУ разработаны эффективные алгоритмы и созданы пакеты программ, охватывающие разнообразные модели сред. Это позволяет провести численное моделирование искажающего влияния различных геоэлектрических структур на нормальное электромагнитное поле,' определить границы применимости двумерных моделей для некоторых электрических и геометрических параметров модели, что имеет важное значение для развития электромагнитных методов поиска полезных ископаемых и изучения глубинного строения Земли.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах кафедры вычислительной математики факультета ЕМиК МГУ (1980 г.), отдела математической физики РБЦ ШЮ МССР (1981 г.), на школе молодых ученых ВМиК МГУ (1983 г.), на научной конференции молодых ученых МГУ (1934 г.), на научном семинаре кафедры математической физики факультета ВДиК МГУ под руководством академика Тихонова А.Н. (1590 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 печатных работ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и трех приложений, содержит 17<3 страниц машинописного текста, включая 59 рисунков, 8 таблиц, библиографию из 35 названии.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулирована цель работы, проведен обзор работ, яр:г.шкаю:цих по тематике к вопросам, рассматриваемым в диссертации, обоснована актуальность диссертации и кратко изложено содержание глав диссертации.

Глава I посвящена обоснованию применения метода Ш по объему включения для задач электромагнитного зондирования в слоистых средах. Б этой главе проводится еывод интегральных представлений напрякенностей электрического и магнитного полей по объему включения, вычисляется компоненты фундаментальной матрицы электрического поля для трехслойной модели Земли.

Б параграфе 1.1 формулируется задача электромагнитного- зондирования неоднородных сред и выводятся интегральные представления электрического и магнитного полей. В качестве модели среда выбрана П -слойкая модель о плоско-параллельными границами- раздела, при этом по слоям варьируется мощность Ч1 и удельная проводимость б! Тело конечных размеров V находится внутри некоторого слоя. Использование ьекторного потенциала Я позволяет выразить Е и Н -напряженности' через аномальные токивнутри тела:

т^нщ* ЩЬшм-мфт^и,

где ^ СМ'''У - тензорная функция Грина слоистой среда, а и Н (М) -напряженности электрического и магнитного полей в слоистой среде при отсутствии включения,

Б параграфе 1.2 из представления (I) выводится интегро-диф-ферскш:алыюе уравнение:

("> щ'Ш и«.+

+

(вт-в(г))Е"(м),

где У"(м)=(бт- аномальный ток внутри телаV.

Уравнение (2) неудобно для численного решения, поэтому его целесообразно свести к интегральному. Основной результат сформулирован, в виде теоремы.

Теорема. Предположил, что локальное тело V целиком находится внутри одного слоя и что аномальный ток непрерывен внутри тела вместе с первыми производными. Тогда уравнение (2) мояно привести к виду:

¿/т + (3) >

+ (ЬгШ ¡¡¡дгаНiivG(M,M.)J"(M°W«. -«WЫ

где jFrft - интеграл в смысле главного значения,

В параграфе 1.3 приводится вычисление компонент фундаментальной матрица электрического поля Е(М,Мо) для трехслойной модели Земли. При помощи интеграла Зоммерфельда сформулировано и . доказано^ Еатаое предложение - аналог теоремы взаимности для компонент Е -поля, возбуздаемого единичным диполем. Использование этого предложения позволяет вдвое сократить объем вычислении при расчете' матрицы СЛАУ.

Во второй главе изложены алгоритмические особенности решения ИУ на- ЭН^- Б параграфе 2.1 описана редукция векторного ИУ к СЛАУ с клеточно-теплицевой матрицей. Данная редукция., естествешю, возможна лишь- при дополнительных предположениях о .геометрических параметрах включения. Таким предположением является допущение, что в качестве тела' рассматривается цилиндр, образующая которого параллельна- одной из' горизонтальных осей системы координат. Данное условие не приводит к сильному ограничению класса моделируемых систем.

В параграфе 2.2 приведен используемый далее алгоритм решения' СЛАУ с клеточно-теплицевой матрицей на основе рекуррентного вычисления первого и последнего столбцов матрицы, а также сформулированы услоЕйя применимости алгоритма.

Параграф 2.3 рассматривает вопросы структуризации пакета программ, достигающих компромисса мезду универсальностью и спе-цифичнгстью по средам, содержащим включение. В частности, следующие задачи' включаются в пакет как специализированные: локальное

тело в однородном пространстве при отсутствии (комплекс программы вРАСС ) или наличии бесконечной идеально проводящей плоскости (В РАС ЕВ ); локальное тело в однородном полупространстве (БРДС££) -локальное тело в среднем слое трехслойной модели Земли Эффективность использования памяти ЭВМ и увеличение размеров обсчитываемого включения достигается за счет оверлейности пакета и накопления промежуточных результатов в файлах прямого и последовательного доступа. Конструктивно решены проблемы вычисления несобственных интегралов и использование симметрии исходной задачи.

В главе 3 изложены результаты численного исследования трехмерной задачи электромагнитного зондирования и на этой базе изучены границы применимости двумерных моделей.

В параграфе 3.1 решается методически важная модельная задача о падении плоской электромагнитной волны на трехмерное тело в однородном пространстве. Приведены фундаментальные матрицы электрического и магнитного полей для данной модели. Численно иссле-доЕана сходимость метода при различных дискретизациях объема включения и различных длинах волн. Проведено сравнение численных результатов для трехмерных моделей с численными же результатами для одномерных и двумерных моделей, а также с аналитическим решением задачи о дифракции плоской электромагнитной волны на шаре конечной проводимости, расположенном в безграничной проводящей среде. Возможности алгоритма проиллюстрированы расчетами для моделей с двумя неоднородностями, а такие расчетами, выполненными с помощью программ 5РАСЕ2 для модели, представляющей собой тело, расположенное в однородной среде над бесконечной идеально проводящей плоскостью.

Параграф, 3.2 посвящен рассмотрению численных результатов расчета, искажений электромагнитного поля локальным телом, помещенном в слоистую среду. Земля моделируется как однородным полупространством, так и трехслойной средой, включающей слой наносов, кристаллическое основание и мантию. Для перЕой модели при помощи комплекса программ $РАСЕ2. проведено численное исследование сходимости и точности метода в диапазоне частот с различной степенью дискретизации.

Проведено сравнение с результатами других авторов, в частности, Дк.Хомана, полученными методом ИУ, и В.В.Спичака,полученными методом ДУ, подтвердившие адекватность разработанного алгоритма. Расчеты в рамках второй модели проводились при помощи

комплекса программ SPACES Приведены результаты тестовых расчетов работы данного комплекса программ с соответствующими результатами расчетов при использовании комплексов программ 5РАСЕ2 и spAcez.

В заключении параграфа приведены профильные кривые дая некоторых трехслойных моделей Земли.

В параграфе 3.3 исследуются границу применимости двумерных геофизических моделей для случая трехслойной Земли. Расчеты проводились в диапазоне частот для двух различных глубин залегания бесконечно проводящего слоя и для двух значений контрастов про-водимостей тела и включающего его слоя. Расчеты относительных погрешностей приближения двумерной модели трехмерными при различных значениях параметров приводятся в таблицах. Показано, что при контрасте проводимостей тела и вмещающего его слоябгД, = 20 двумерная модель аппроксимирует трехмерную задачу с длиной неоднородности до пяти характерных диаметров включения в диапазоне волн Л =4 f 9о погрешностью 1-1,5$. При увеличении контраста проводимостей и длины падающей волны погрешность существенно возрастает и даумерная модель становится неадекватной трехмерной задаче. Поднятие подстилающего основания в принципе не изменяет общую картину.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

В Заключении перечислены основные результаты работы, которые сводятся к следующему.

1. Разработана методика расчета электромагнитного поля в слоистой среде, содержащей включение конечных размеров, на основе векторного сингулярного интегрального уравнения. Сконструирован экономичный по используемой памяти ЭВМ алгоритм численного решения интегрального уравнения, использующий клеточно-теплицеву структуры матрицы СЛАУ, к которой сводится исходное интегральное уравнение.

2. Проведена реализация разработанного алгоритма. Создан пакет программ, позволяющий проводить численные исследования широкого класса задач электромагнитного зондирования. Пакет написан на подмножестве языка Ф0РТРАН-1У, являющемся» общим для ЕС ЭВМ, СМ ЭВМ и персональных ЭВМ, что дает возможность эксплуатировать разработанное программное обеспечение на достаточно мощных представителях этих классов ЭВМ. Реализованный унифицированный пакет

программ в удобном для пользователя диалоговом режиме позволяет единообразно решать типовые геофизические задачи, такие как: тело в однородном пространстве; тело в однородном пространстве .над идеально проводящей плоскостью; тело в однородном полупространстве; тело в среднем слое трехслойной модели Земли.

3. Проведен большой цикл расчетов и исследована зависимость электромагнитного поля от электрических и геометрических параметров среды. Дано сравнение с моделями меньших размерностей. Численно обоснованы границы применимости двумерных моделей для описания существенно трехмерных включений в зависимости от частоты падающего поля, контраста проводимости тела и вмещающего слоя, глубины залегания подстилающего основания. Выявлены характерные искажения наблюдаемого ¡юля, позволяющие судить о геометрических и электрических характеристиках включения при известных параметрах среды. Обнаружен эадект "оконтуривания", дающий возможность распознавать габариты включения по характерным всплескам электрического поля.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Дмитриев В.И., Плешко В.Ю, К расчету электромагнитного поля в слоистой среде с локальной неоднородностью // Вычисл.методы и программирование, л"..: Изд-во Моск.Ун-та; - 1932. - Вып.36. -С. 27-35.

2. Плеыко B.D. Метод численного исследования электромагнитного поля в слоистой среде с.локальной неоднородностью // Численные методы в электродинамике.М.: Изд-во Моск.Ун-та. - 1983. -

С. 95-104.

3. Плешко В.Ю. Дифракция плоской электромагнитной волны на теле конечных размеров // Численные методы в математической физике. 1.1. : Пзд-во Моск.Ун-та. - IS36. - С. 8-9.

4. Плешко В.Ю. Дифракция плоской электромагнитной волны на теле конечных размеров в однородном пространстве / PiffiU. - Кишинев, 1937. - 26 с. - Бкблиогр. 5 назв. - Деп. в МолдПИШТИ 18.05.87, ГсВЗ.

5. Дмитриев В.П., Плешко В.Ю. Численное исследование электромагнитного поля в слоистой среде с локальной неоднородностью // Вестник Моск.Ук-та. Сер.15, Ьычисл.матем. и кибернетика. - 1989. - Н, - С. 15-22.

1 ьгь