Численное исследование трехмерной задачи магнитотеллургического зондирования тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

а / оц 3

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Л1. В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи УДК 5)9.6

П Л Е Ш К О Владимир Юрьевич

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ ЗАДАЧИ МАГНИТОТЕЛЛУРИЧЕСКОГО ЗОНДИРОВАНИЯ

01.01.07 — вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физпко-иатематнческнх наук

МОСКВА — 1991

Работа выполнена на кафедре математической физики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор В. И. Дмитриев.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук А. Б. Самохин, доктор физико-математических наук Е. Е. Тыртышнико'в.

Ведущая организация — Институт Физики Земли АН СССР.

Адрес: Москва, В-234, Ленинские горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики н кибернетики МГУ.

им. М. В. Ломоносова ъЛФ ча-ег*6

Автореферат разослан

1991 года.

Ученый секретарь специализированного совета Д.053.05.37 при МГУ им. М. В. Ломоносова профессор

Е. И. МОИСЕЕВ

' J I ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

"'ЧДиссертация посвящена разработке эффективных численных ме-,'íqpqа решения трехмерных задач кагиитотеллурического зондирования с использованием метода интегральных уравнений.

Актуальность темы.В настоящее время одной из главных пройдем в применении преклоненного А.НЛихоиобым54 метода магнитотел-лурического зондирования (МГЗ). основанного на использовании естественного электромагнитного поля Земли, является проблема интерпретации данных измерений, т.е. создание математических моделей, адекватных исследуемым существенно трекерным структурам.

Использование одно- и двухмерных моделей,при всей полезности такого подхода, было' вкнуздешшм вследствие больших катема-гических и вычислительных трудностей реализации трехмерных моделей и зачастую не позволяло получать правильные результаты.

Это привело к появлении в нашей стране и за рубежом работ, посвященных исследованию трэх»:ернвх моделей.

При изучении трехмерных моделей в основном используются метод дифференциальных уравнений (ДУ) и метод интегральных уравнений (НУ). Математическая постановка при первом подходе проще, при дискретизации он приводит к системам линейных интегральных уравнений (СЛАУ) с большими ленточными матрицами. Вследствие того, что Земля должна моделироваться достаточно большой областью, метод ДУ предпочтительнее для моделирования сложных геологических структур. Этот метод применялся с использованием конечно-разностной аппроксимации в работах Джоунса и Паскоэ, Лайнса и Джо-унса, Жданова М.С., Спичака Б.В., Юдина М.Н. и др.

Метод конечных элементов (КЭ) использовался при решении ДУ в рамках первого подхода б работах Редди, Рэнкина и Филипса, а также Придмура.

Подход с использованием метода ИУ более труден математически, но его преимущество в том, что значения неизвестннх полей необходимо определить только в аномальной области, что приводит к резкому сокращению размеров СЛАУ.

Таким образом, применение метода ЬУ более оправдано для расчета искажений электромагнитного поля одним или несколькими небольшими телами. ¡Метод ИУ для исследования трехмерных моделей

к - Тихонов А.Н. Об определении электрических характеристик глубоких слоев земной коры //ДАН CCCP.-lS50.-T.7o. -.».2.-С.255-297.

применяли РадЬсе, Байдельт, Хоман, Дас и Берма, Дмитриев В.И. и Фарзан Р.Х. и другие аьторы.

Подводя итоги обсуждению, можно сказать следующее. К недостаткам метода ДУ относятся:

- большие размеры СЛАУ,

- некорректность задачи численного дифференцирования полученного решения,

- необходимость решения альтернатами "минимальные размеры области моделирования - максимально точные граничные условия"1 разумный компромисс приводит к значительному превышению размеров области моделирования над размерами включения.

Это требует больших расходов ресурсов ЭВМ по памяти и необходимости построения специальных методик даш уменьшения погрешности вычисления граничных условии.

От рассмотренных недостатков свободен метод ЙУ. Однако, немногие существующие до настоящего времени реализации метода ¡¡У для решения трехмерных задач зондирования требуют значительных затрат машинного времени.

Актуальными поэтому являются разработка и реализация специфичных по структуре слоистой среды и геометрическим характеристикам включения алгоритмов. Б этом случав геометрия задачи позво-^яет~реду№1ровать-1-1У-кХД^_с_1латридей специального вида, что дает возможность сэкономить падать ЭВМ и применить для решения СЛАУ более экономичный по времени алгоритм, чем известные алгоритмы, испольгуемые для решения систем с матрицами общего вида.

Другим способом экономки ресурсов ЭВМ может оказаться использование хорошо изученных двумерных моделей, в случае решения вопроса о границах их применимости при моделировании трехмерных задач. Тем самым, безусловно актуальной является задача разработки общего подхода к исследованию широкого класса трехмерных за-^ дач электромагнитного эовдярования о помощью унифицированных алгоритмов и программного обеспечения, учитывающих рассмотренные выше аспекты.

Вышеизложенное определяет актуальность теш диссертации. Целью диссертационной работы является разработка и реализация экономичных по расходам ресурсов ЭШ методов исследования искажений электромагнитного поля, вызванных существенно трехмерными вглпчсш'Лшзд в слоисто!! среде, а также применение этих методов для численного обоснования границ применимости доумерных мо-

делей и обнаружения новых эффектов при дистанционном изучении параметров трехмерных включений.

Новизна работа заключается в том, что впервые:

1. Разработан и реализован достаточно общий алгоритм решения трехмерных задач электромагнитного зондирования в слоистых средах,

2. Доказана возможность сведения при некоторых ограничениях выведенного ранее, но неудобного для численной реализации интегро-дифференциального уравнения к алгоритмически более удобного сингулярному интегральному уравнению.

3. В широком диапазоне параметров рассчитаны профильные кривые компонент электромагнитного поля и импеданса для различных моделей включающих сред.

4. Численно обоснованы границы применимости двумерных моделей для описания существенно трехмерных включений.

Практическая ценность диссертационной работы состоит в том, что в ней обоснована возможность решения практически важных трехмерных задач электромагнитного зондирования в строгой электродинамической постановке. На основе метода Ш разработаны эффективные алгоритм и созданы пакета программ, охватывающие разнообразные модели сред. Это позволяет провести численное моделирование искажающего влияния различных геоэлектрических структур на нормальное электромагнитное поле,' определить границы применимости двумерных моделей для некоторых электрических и геометрических параметров модели, что имеет важное значение для развития электромагнитных методов поиска полезных ископаемых и изучения глубинного строения Земли.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах кафедры вычислительной математики факультета ВМяК ¡ЛГУ (1980 г.), отдела математической физики РБЦ MHO MCCP (1981 г.), на школе молодых ученых ВМС МГУ (1983 г.), на научной конференции молодых ученых ¡ЛГУ (IS34 г.), на научном семинаре кафедры математической физики факультета В.МС МГУ под руководством академика Тихонова А.Н. (IS90 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 печатных работ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и трех приложений, содержит 1?в страниц машинописного текста, включая 59 рисунков, 0 таблиц, библиографию из 85 названии.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулирована цель работы, проведен обзор работ, лри.шкающих по тематике к вопросам, рассматриваемым б диссертации, обоснована актуальность диссертации и кратко изложено содержание глав диссертации.

Глава 1 посвящена обоснованию применения метода ИУ по объему включения для задач электромагнитного зондирования в слоистых средах. В этой главе проводится еывод интегральных представлений напрякзнностеи электрического и магнитного полей по объему включения, вычисляются компоненты фундаментальной матрицы электрического поля для трехслойной модели Земли.

В параграфе 1.1 формулируется, задача электромагнитного' зондирования неоднородных сред и выводятся интегральные представления электрического к магнитного полей. В качестве модели среда выбрана И -слопная модель с плоско-параллельннми границами раздела, при этом по слоям варьируется мощность и удельная проводимость & Тело конечных размеров V находится внутри некото-~1гагсГ^лояг^^споль8ование-Еекторно10_11отенциала Я позволяет выразить Е и /7 -напряженности' череа аномальные чошр"внутря'тела:-

т * нн(м)+

где„ ^с) _ тензорная функция Грина слоистой среды, а 5 и Н (М) -напряженности электрического и магнитного полей в слоистой среде при отсутствии включения,

В параграфе 1.2 из представления (I) выводится ингегро-диф-ферекикалыюе уравнение:

(ъ мТШ и«. +

где ^(м)* (6т(М) - аномальный ток внутри телаУ.

Уравнение (2) неудобно для численного решения, поэтому его целесообразно свести к интегральному. Основной результат сформулирован, в виде теоремы.

Теорема. Предположи, что локальное тело V целиком находится внутри одного слоя и что аномальный ток непрерывен внутри тела вместе с первыми производными. Тогда уравнение (2) можно привести к виду:

4 ffjßnctdiv +(6, -

где ßjpdf - интеграл в смысле главного значения,

Б параграфе 1.3 приводится вычисление компонент фундаментальной матрицы электрического поля В (М, Мо) для трехслойной модели Зетя. При помощи интеграла Зоммерфельда сформулировано и доказано, ватсное предложение - аналог теоремы взаимности для компонент £ -поля, возбуждаемого единичным диполем. Использование этого предложения позволяет вдвое сократить объем вычислений при расчете матрицы СЛАУ.

Во второй главе изложены алгоритмические особенности решения ИУ на ЭВМ,- Б параграфе 2.1 описана редукция векторного Ш к СЛАУ с нлеточно-теплицевой матрицей; Данная редукция, естественно, возможна лише при дополнительных предположениях о .геометрических параметрах' вклю^нкя. Таким предположением является допущение, что в качестве тела рассматривается цилиндр, образующая которого параллельна одной из горизонтальных осей системы координат. Данное условие Не приводит к сильному ограничению класса моделируемых систем.

В параграфе 2.2 приведен используемый далее алгоритм решения' СЛАУ с клеточно-теплицевой матрицей на основе рекуррентного вычисления- первого и последнего столбцов матрицы, а также сформулированы услоЕйя' применимости алгоритма.

Параграф 2.3 рассматривает вопроси структуризации пакета программ, достигающих компромисса менду универсальностью и спе-цифичнгстью nö средам, содержащим включение. В частности, следующие задачи; включаются в пакет как специализированные: локальное

тело в однородном пространстве при отсутствии (комплекс программы в РА СЕ ) ЩЩ наличии бесконечной идеально проводящей плоскости ({¡РАСЕ2); локальное тело в однородном полупространстве локальное тело в среднем слое трехслойной модели Земли (вРАСЕЗу, Эффективность использования памяти ЭВМ и .увеличение размеров обсчитываемого включения достигается за счет оверлейное«! пакета и накопления промежуточных результатов в файлах прямого и последовательного доступа. Конструктивно решены проблемы вычисления несобственных интегралов к использование симметрии исходной задачи.

В главе 3 изложены результаты численного исследования трехмерно!: задачи электромагнитного зондирования и на этой база изучены границы применимости двумерных моделей.

В параграфе 3.1 решается методически важная модельная задача о падении плоской электромагнитной волны на трехмерное тело в однородном пространстве. Приведены фундаментальные матрицы электрического и магнитного полей для данной модели. Численно исследована сходимость метода при различных дискретизациях объема включения к различных длинах волн. Проведено сравнение численных результатов для трехмерных моделей с численными же результатами 7^ля^д110мер1й!х-и-дву?^ернцх-м1зделе.й,_а_такае с аналитическим решением задачи о дифракции плоской электромагнитной еолны на шаре конечной проводимости, расположенном в безграничной проводящей среде. Возможности алгоритма прошшшстрироЕаш расчетами для моделей о двумя неоднородностями, а также расчетами, выполненными с помощью программ $РАС£2 для модели, представляющей собой тело, расположенное в однородной среде над бесконечной идеально проводящей плоскость».

Параграф, 3.2 посвящен рассмотрению численных результатов расчета, искажений электромагнитного поля локальным телом, помещенным в слоистую среду. Земля моделируется как однородным полупространством, так и трехслойной средой, включающей слой наносов, кристаллическое основание и мантию. Для первой модели при помощи комплекса программ ЬРАСЕА проведено численное исследование сходимости и точности метода в диапазоне частот с различной степенью дискретизации.

Проведено сравнение с результатами других авторов, в частности, Дя.Хомана, полученными методом ИУ, и В.В.Спичака,полученными методом ДУ, подтвердившие адекватность разработанного алгоритма. Расчеты в рамках второй модели проводились при помощи

комплекса программ SPACES Приведены результаты тестовых расчетов работы донного комплекса программ с соответствующими результатами расчетов при использовании комплексов программ SPACE2 и SPACE 2.

В заключении параграфа приведены профильные кривые для некоторых трехслойных моделей Земли.

В параграфе 3.3 исследуется границы применимости двумерных геофизических моделей для случая трехслойной Земли. Расчеты проводились в диапазоне частот для двух различных глубин залегания бесконечно проводящего слоя и для двух значений контрастов про-ведомостей тела и включающего его слоя. Расчеты относительных погрешностей приближения двумерной модели трехмерными при различных значениях параметров приводятся в таблицах. Показано, что при контрасте проводимостей тела и вмещающего его слоябг/б^ = 20 двумерная модель аппроксимирует трехмерную задачу с длиной неоднородности до пяти характерных диаметров включения в диапазоне волн Л = 4 * 9 с погрешность» 1-1,5$. При увеличении контраста проводимостей и длины падающей волны погрешность существенно возрастает и двумерная модель становится неадекватной трехмерной задаче. Поднятие подстилающего основания в принципе не изменяет общую картину.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИЙ

В Заключении перечислены основные результаты работы, которые сводятся к следующему.

1. Разработана методика расчета электромагнитного поля в слоистой среде, содержащей включение конечных размеров, на основе векторного сингулярного интегрального уравнения. Сконструирован экономичный по используемой памяти ЭВМ алгоритм численного решения интегрального уравнения, использующий клеточно-тепяицеву структуры матрицы СДАУ, к которой сводится исходное интегральное уравнение.

2. Проведена реализация разработанного алгоритма. Создан пакет программ, позволяющий проводить численные исследования широкого класса задач электромагнитного зоадировашю. Пакет нагшеан на подмножестве языка Ф0РТРАН-1У, являющемся-общим для ЕС ЭВМ, СМ ЭВМ и персональных ЭВМ, что дает возможность эксплуатировать разработанное программное обеспечение на достаточно мощных представителях этих классов ЭВ;Л. Реализованный унифицированный пакет

программ в удобном для пользователя диалоговом режиме позволяет единообразно решать типовые геофизические задачи, такие как: тело в однородном пространстве; тело в однородном пространстве над идеально проводящей плоскостью; тело в однородном полупространстве; тело в среднем слое трехслойной модели Зешш.

Проведен большой цикл расчетов и исследована зависимость электромагнитного поля от электрических и геометрических параметров среды. Даю сравнение о моделями меньших размерностей. Численно обоснованы границы применимости двумерных моделей для описания существенно"трехмерных включений в зависимости от частоты падающего ноля, контраста проводимости тела и вмещающего слоя, глубины залегания подстилающего основания. Выявлены характерные • искажения наблюдаемого поля, позволяющие судить о геометрических и электрических характеристиках включения при известных параметрах среды. Обнаружен эффект "окснгуривания", дающий возможность распознавать габариты включения по характерным всплескам электрического вода.

По теме диссертации опубликовали следующие работы:

1. Дмитриев В.й., Плешко Е.Ю. К расчету электромагшшйгбТю^ ля б слоистой среде с локальной неоднородностью // Вычясл.метода и программирование. М.: Кзд-во Моск.Ун-та; - 1532. - Бвп.36. -С. £7-35,

2. Плешко Б.Ю, Метод численного исследования электромагнитного поля в слоистой среде с. локальной неоднородностью // Численные методы в электродинамике,М.: Изд-во Моск.Ун-та. - 1983. -

С. 55-104.

3. Пязшко Б.Ю. Дифракция плоской электромагнитной волны на теле конечных размеров // Численные методы в математической: физике. М.: ¡¡зд-во Моск.Ун-та. - 1936. - С. 8-9,

4. Плешко Б.Ю. Дифракция плоской электромагнитной волны на теле конечных размеров в однородном пространстве / РМВЦ. - Кишинев, 1937. - 26 с. - Вкблиогр. 5 назв. - Деп. в МолдИШШ

18.05.87, ива.

5. Дмитриев В.П., Плешко В.Ю. Численное исследование электромагнитного поля в слоистой, с раде с локальной неоднородностью // Вестник Моск.Ун-та. Сер.15, Ьычисл.матем. и кибернетика. - 1989. - д>1, - С. 15-22.

> НЬ