Итерационные методы трехмерной томографии газовых и плазменных неоднородностей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РГ0 ОД

" О ОПТ 1323

на правах рукописи

Лихачев Алексей Валерьевич

Итерационные методы трехмерной томографии газовых и плазменных

неоднородностей

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата, физико-математических наук

Новосибирск - 1996

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной механики Сибирского Отделения РАН

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук с.н.с. Пикалов В.В.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук

Бойко В'.М., кандидат физико-математических наук

доцент

Казанцев И.Г.

Ведущая организация:

Институт теплофизики СО РАН (г.Новосибирск).

Защита состоится »2Л» 1996 г. в часов па

заседании диссертационного совета К.003.22.01 по присуждению ученой степени кандидата наук в Институте теоретической и прикладной механики СО PA1I но адресу: 630090, Новосибирск 90, ул. Институтская 4/1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТПМ СО РАН

Автореферат разослан " 49 " С^^т.^С'ТСХ 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н. Jvy?7Co* '__В.И.Корнилов

Общая характеристика работы.

Актуальность темы.

Во многих экспериментальных исследованиях требуется с большой точностью определять пространственное распределение параметров, характеризующих газовые потоки или плазменные образования, таких как температура, плотность, скорость. Поставленная задача может быть решена при помощи томографической обработки экспериментальных данных.

В настоящее время томографические методы широко используются в диагностике плазмы. Здесь наиболее часто решается задача о восстановлении распределения локальных коэффициентов эмиссии по интегральной интенсивности излучения. Кроме того, известны экспериментальные постановки, позволяющие при помощи томографии получать функцию распределения ионов по скоростям, исходя из интенсивности флюоресценции. При исследованиях газовых потоков методы томографии применяются знаг чительно реже, несмотря на то, что в этой области они обладают большими потенциальными возможностями. В первую очередь, это восстановление распределения коэффициента преломления по интерферометрическим измерениям, а также определение поля плотности по результатам зондирования электронным пучком.

В основном в приложениях применяются методы двумерной томографии. Однако реальные изучаемые объекты, как правило, трехмерны, а если учитывать их нестационарность - то и четырехмерны. В случае, когда необходимо получить трехмерное распределение интересующего параметра, обычно реконструируют его двумерные распределения в некоторых сечениях, затем производят интерполяцию на весь рассматриваемый объем. При этом имеется ряд недостатков. В условиях реального эксперимента "сечение" всегда имеет некоторую толщину, поэтому при восстановлении получаются значения, усредненные, вообще говоря, по неизвестной области. Кроме того, интерполяция при произвольном расположении сечений является весьма сложной и может привести к существенным ошибкам. Наконец, иногда указанный подход бывает вовсе неприменим из-за особенностей системы сбора данных.

Переход от двумерной томографии к трехмерной в большинстве случаев помогает разрешить возникающие проблемы. На протяжение последних лет трехмерная томография переживает свое бурное развитие. Об этом свидетельствует ряд проведенных недавно симпозиумов и конференций, по-священпых исключительно проблемам трехмерной томографии, а также появление большого количества статей на эту тему. Достаточно основательно разработан соответствующий математический аппарат. С другой стороны, современное оборудование и методика эксперимента позволяют

производить сбор данных, необходимых для решения задач томографии в трехмерной постановке.

Тем не менее, применение трехмерной томографии в экспериментальных исследованиях газодинамических и плазменных объектов остается до с.их пор редким. Причина этого, по-видимому, в том, что возникающие здесь задачи обладают специфическими чертами, которым до сих пор не уделялось должного внимания. Среди них можно выделить следующие:

а) малоракурсяость и связанный с этим малый объем экспериментальных данных;

б) относительно большая величина шумов измерений;

в) требуемое высокое разрешение;

г) потеря части проекционных данных из-за присутствия непрозрачного тела, в частности, эта проблема возникает при изучение обтекапия тел;

д) в ряде случаев, нестациопарность исследуемых процессов. В связи с вышесказанным определяется пель диссертации.

Цель работы.

Целью предлагаемой диссертационной работы является разработка и практическое применение регуляризующих итерационных методов томографии, ориентированных па реконструкцию трехмерных распределений скалярных параметров по значениям их интегралов вдоль прямых или плоскостей, полученным в аэрофизических и плазменных экспериментах.

Научная новизна.

Научная новизна работы состоит в следующем.

• Разработаны новые итерационные регуляризующие методы томографической реконструкции трехмерных газодинамических и плазменных объектов, предложены методы определения параметров регуляризации, не требующие информации об уровне экспериментальных шумов, создан комбинированный алгоритм, сочетающий свойства алгебраических методов и методов Фурье.

• Впервые произведена томографическая реконструкция распределения локальных коэффициентов эмиссии плазмы микропинча трехмерным модифицированным алгоритмом Гершберга-Папули са.

• Созданы и исследованы в численном моделировании алгоритмы томографии высокого пространственного разрешения.

• Разработан новый алгоритм для решения трехмерной задачи томографии с непрозрачным телом, основанный на методе "просветления" непрозрачного тела.

» По данным электронно-пучкового зондирования гиперзвукового потока, обтекающего затупленный конус, впервые произведено восстановление

асимметричного локального распределения плотности газа с учетом выпуклого непрозрачного тела.

• Предложен и реализован метод определения распределения плотности тока в сечении электронного пучка вблизи модели по результатам частичного поглощения пучка ею.

• Получено точное уравнение для электроыпо-пучковой томографии с учетом конечной апертуры детектора.

• Разработана и исследована в вычислительном эксперименте новая постановка задачи хронотомографии, позволяющая свести четырехмерную задачу восстановления распределения локальных коэффициентов эмиссии в нестационарном объекте к решению набора трехмерных.

Научная и практическая ценность.

• Разработаны методы трехмерной малоракурсной томографии, ориентированные на обработку далных аэрофизических и плазменных экспериментов. На основе численного моделирования и обработки данных реального физического эксперимента сделаны выводы о возможностях этих методов, в частности, о точпости, устойчивости к ошибкам в построении проецирующего оператора и шумам в проекционных данных. Также рассмотрены вопросы, связанные с повышением пространственного разрешения томограмм.

• Развиты методы томографирования потока, обтекающего непрозрачную модель. При этом детально исследованы возможности томографической реконструкции плотности потока по данным электронно-пучкового зондирования, в частности, получены условия применения приближения лучевой томографии. Также предложены способы улучшения качества реконструкции, учитывающие конечные размеры электронного пучка, при этом разработан и реализован метод определения распределения плотности тока в сечении пучка по результатам частичного поглощения его моделью.

• Предложена экспериментальная методика, позволяющая восстанавливать нестационарное распределение локальных коэффициентов эмиссии как функцию пространственных координат и времени. Это дает возможность получать более детальные знания о быстропротекающих процессах в плазме, пламенах и им подобных образованиях.

Основные положения, выносимые на защиту.

• Анализ характерных артефактов, возникающих в томограмме, реконструированной по экспериментальным данным в приближении лучевой эмиссионной томографии.

• Обобщенный алгебраический метод с элементами регуляризации и учета априорной информации для трехмерного томографического восстановления газодинамических и плазменных объектов по малому числу ракурсов наблюдения.

• Реконструкцию трехмерного распределения локальных коэффициентос эмиссии плазмы микропинча по результатам регистрации ее излучения.

• Алгоритм для восстановления с высоким пространственным разрешением распределения локальных коэффициентов эмиссии по объему барие вого облака.

• Методы томографии при наличии непрозрачного тела, а именно, мо дификация алгебраических алгоритмов и создание алгоритмов, основании: на "просветлении" непрозрачного тела.

• Реконструкцию распределения плотности газа при гиперзвуковом об текании модели по результатам зондирования электронным пучком. Пр] этом: вывод уравнения, связывающего плотность газа с регистрируемы! током пучка при учете конечного размера диафрагмы коллектора, и рекон струкцию распределения плотности тока в пучке по изменению его тока результате частичного перекрытия моделью.

• Методику томографического восстановления распределения локальны коэффициентов эмиссии в сечении нестационарного объекта как функци двух пространственных переменных и времени. ' •

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались на сему наре "Теоретическая и прикладная механика" ИТПМ СО РАН (руковс дитель чл.-хорр. РАН Фомин В.М.), на семинаре отдела физики плазм) ИТФ СО РАН (руководитель академик РАН Жуков М.Ф.), на семинар в Институте математики СО РАН, на семинаре в Вычислительном Це1 тре СО РАН, на Х1-ой Всесоюзной конференции по генераторам низкотеь пературной плазмы (Новосибирск, 1989), на Международном симпозиум "Плазменные струи в развитии технологий новых материалов" (Фрунз 1990), на Международном симпозиуме по томографии полярных сияни (Кируна, Швеция, 1993), на VI Международном симпозиуме по компьх терной томографии (Новосибирск, 1993), на X Международной конфере] ции по использованию синхротронного излучения (Новосибирск, 1994), I 1-ой Международной конференции по прикладной и индустриальной мат матике (Новосибирск, 1994), па Международной конференции по метода аэрофизических исследований (Новосибирск, 1994), ва,Ш-ей Междунаро, ной конференции по трехмерной томографической реконструкции в ради логии и ядерной медицине (Экс-ли-Бэн, Франция, 1995), на Международпс конференции по дистанционному зондированию (Париж 1995), на XI Ме> дународной конференции по использованию синхротронного излучения (Н восибирск, 1996).

Публикации.

Основное содержание работы отражено в 12-и научных публикациях.

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введепия, четырех глав и заключения. Список литературы содержит 82 наименования. Объем работы - 150 страниц, количество рисунков - 53, количество таблиц - 11.

Краткое содержание диссертации.

Глава 1. Физические и математические основы трехмерной томографии.

Эта глава носит обзорный характер. В первая ее части (разделы 1.1, 1.2) очерчен круг задач диагностики газовых потоков и плазмы, которые могут быть разрешены при помоши томографических методов. С целью иллюстрации возможностей томографии описываются несколько экспериментов. Во второй части главы 1 (разделы 1.3 - 1.5) даются математические основы трехмерной томографии. А именно, приводятся некоторые сведения из интегральной геометрии, функционального анализа и теории пекорректных задал, которые впоследствии используются в диссертации.

Глава 2. Методы трехмерной малоракурсной томографии в экспериментальных исследованиях.

В главе 2 собраны результаты, полученные автором, по малоракурсной томографии, в основном в связи с ее применением в диагностике плазмы.

Объектом рассмотрения является задача трехмерной эмиссионной томографии в следующей постановке. Исследуется трехмерное светящееся образование, - плазма или пламя. Излучение фиксируется при помощи плоских двумерных детекторов, имеющих различную ориентацию по отношению к исследуемому объекту. Плоским детектором может служить, лапример, фотопластинка. Регистрация производится таким образом, что в каждую точку детектора попадает излучение, собранное вдоль одной прямой, проходящей через эту точку. Математической моделью, описывающей распределение интенсивности излучения на детекторе, служит двумерная проекция. Значение проекции в каждой точке равно интегралу вдоль соответствующей ей прямой от распределения локальных коэффициентов эмиссии плазмы, усредненных по времени и, возможно, по частоте. Рис.1 иллюстрирует понятие проекции. На рисунке изображены параллельная - а) и коническая - б) проекции.

При паличии небольшого числа проекций для восстановления распределения локальных коэффициентов эмиссии часто производится предварительная дискретизация задачи, которая приводит к системе линейных алгебраических уравнений:

/ = Ag. (1)

В (1) з £ RJ - вектор, соответствующий искомому распределению коэффициента эмиссии, J - число вокселей (объемных элементов), па которое

a) b)

1 - исследуемый объект, 2 - проекция.

Рис. 1: а) - параллельная проекция, Ь) - коническая проекция.

разбита область реконструкции; f £ R1 - вектор проекционных данных, I - полное число отсчетов на всех проекциях. Проецирующая матрица А порядка I X J является дискретным аналогом оператора переноса излучения. Система (1) решается итерационными алгебраическими алгоритмами. В диссертации рассмотрены три из них ART, MART, SIRT.

В разделе 2.1 проведен анализ, показавший, что традиционные методы дискретизации оператора переноса излучения в предположении оптической прозрачности плазмы вносят значительные ошибки в реконструированное распределения локальных коэффициентов эмиссии. В раде случаев это является основным источником погрешностей при томографическом восстановлении методами, сводящими томографическую задачу к решению системь линейных алгебраических уравнений. Таким образом получено, что точность реконструкции зависит не только от количества и качества имеющихся проекционных данных, по и от способа построения проецирующе* матрицы, связанной с конкретной задачей.

Исходя из анализа причин ошибок, в разделе 2.2 предложено обобщение алгебраических алгоритмов, в которое включены элементы регуляризацш и учета априорной информации. Обозначая итерацию алгебраического ал горитма через А-1, обобщенный алгоритм можно записать в виде

5(в>(х,у,г) = Ф.МБ^ ("W^), п = 1,2,...:.

= #/B)F3A-lg^\x,y,z), п — 1,2,..... (2

5<0)(*,У,*) 6 Я3.

В уравнениях (3) F3 и F3 1 - операторы прямого и обратного трехмерной

Нв 5(х,,»„!/,) = { а "У'+ZÎ + 'v'i >*i-j <3>

преобразования Фурье; и Ф^, операторы, действующие па ?г-ой итерации в пространственной и частотной областях, соответственно, которые отвечают за использование априорной информации.

Структура оператора Ф,'"^ продиктована естественными физическими соображениями о гладкости и ограниченности рекопструируемых функций. В Ф/п) могут входить операторы ограничения по амплитуде, как сверху, так и снизу, операторы ограничения области определения, а также различные процедуры сглаживапия.

В качестве оператора Фу берется один из частотных фильтров IIд, Нп, Hg, либо их комбинация.

Шаровой фильтр Ид определяется уравнением

v\ + v\ + v* <

4k + tfi + > "o

где vо - частоты отсечки. Действие фильтра Н^ дается формулой

Нп д\Ух, vy, и,) = ——^т-г • 4)

В (4) а - параметр регуляризации, Q.{yx,vy,vz) - положительный полином, определенный в частотной области. Величины ^о и а вычисляются либо по невязке проекций и псевдопроекции, либо по невязке на проекционных плоскостях (см. ниже).

Фильтр На основан на центральной проекционной теореме, которая имеет место в случае параллельной схемы регистрации данных. Для экспериментальной схемы, изображенной на Рис.1,а, центральная проекционная теорема связывает Фурье-образ искомого распределения на некоторых плоскостях в Фурье-нространстве, с Фурье-образами параллельных проекций. -Эти плоскости в диссертации называются проекционными плоскостмми. Фильтр Hg заменяет значения Фурье-образа реконструированной функции на проекционных плоскостях соответствующими значениями Фурье-образов проекций.

Алгоритм (4) был опробован в численном моделировании, в процессе которого было показано, что он по точности реконструкции превосходит традиционные алгебраические алгоритмы и может успешно применяться в условиях обработки данных реального физического эксперимента.

В разделе 2.3 приводятся результаты обработки данных эксперимента по исследованию плазмы микропинча в вакууме. Эксперимент проводился в Физическом Институте РАН имени П.Н.Лебедева (г.Москва). Рентгеновское излучение плазмы фиксировалось при помощи трех камер-обскур, оси которых лежали в одной плоскости. Физическая модель разряда и геометрические параметры устаповки позволяли считать, в каждой камере регистрируется двумерная параллельная проекция. Аксонометрия одной из

проекций изображена на Рис.2,а. По этим данным была произведена томографическая реконструкция трехмерного распределения коэффициента эмиссии внутри плазмы. Для этого был использован алгоритм ЗБСР, разработанный при участии автора, обобщающий метод Гершберга-Папу лиса на ■ трехмерный случал. Алгоритм ЗОСР может быть получен из общих уравнений (3), путем приравнивания в них оператора А-1 единичному. Обработка данных эксперимента по исследованию плазмы таким методом была произведена впервые.

Рис. 2: а) Проекция, перпендикулярная оси х, полученная в эксперименте по исследованию плазмы микропинча. 6) Реконструкция трехмерного распределения усредненного по времени коэффициента эмиссии рентгеновского излучения из плазмы микропияча сечение плоскостью х=0.

На Рис.2,б показана аксонометрия сечения плоскостью х=0 результата реконструкции (в выбранной системе координат, оси камер-обскур лежали в плоскости г=0, а электроды располагались вдоль оси и). Диаметр области реконструкции - 240 мкм. По восстановленному распределению видно, что плазма образуется в одном канале, хотя, вообще говоря, было бы возможно ее образование в нескольких каналах. Четко прослеживается ориентация плазмы вдоль оси г, т.е. в направлении электрического поля.

В разделе 2.4 производится исследование проблем трехмерной томографии высокого пространственного разрешения, которые возникли в связи с обработкой экспериментальных данных, полученных при регистрации излучения от светящихся плазменных образований в верхних слоях атмосферы и стратосфере (искусственные бариевые облака, полярные сияния).

Для томографии высокого разрешения разработана концепция алгоритма, согласно которой в оперативной памяти компьютера размещается только один "слой" (т.е. воксели, центры которых лежат в одной плоскости,

перпендикулярной оси х) реконструируемой функции. В соответствии с этим измепецы алгебраические алгоритмы ART и MART. Также предложено два метода быстрого вычисления элементов проецирующей матрицы А, см. уравнение (1).

Метод 1. На всех лучах задается сетка с одинаковым шагом hp. Если в j—ый воксель попадает г узлов с г—ого луча, то элементу а^ приписывается значение rhp.

Метод 2. Как и в методе 1 на всех лучах задается сетка. Шаг сетки h'p постоянен на каждом из лучей, по меняется от луча к лучу. Величина элементов a,j вычисляется также, как и в предыдущем методе. Для г—ого луча шаг сетки h'p определяется следующим образом: расстояние между точками пересечения луча с границей области реконструкции делится на число вокселей, которые пересекает луч.

Проведен вычислительный эксперимент по реконструкции трехмерной функции, моделирующей распределение локальных коэффициентов эмиссии по объему бариевого облака. По его результатам получено: 1) алгоритмы высокого пространственного разрешения не уступают по точности реконструкции тем алгебраическим алгоритмам, модификациями которых они являются; 2) методы быстрого вычисления проецирующей матрицы дают выигрыш в скорости счета в 1.8 - 3.5 раза, при этом точность восстановления падает незначительно. Также получен ряд других результатов, в частности, зависимость качества реконструкции от числа узлов сетки и от величины параметров релаксации. С целью исследования возможностей алгоритмов высокого разрешения было произведено восстановление модельной томограммы па сетке 257 х 257 х 257.

Глава 3. Томография в диагностике газовых потоков при наличии непрозрачного тела.

В данной главе рассматривается томографическое восстановление распределения плотности в трехмерном газовом потоке сложной структуры вблизи поверхности непрозрачного тела. Исследуется влияние наличия непрозрачного тела на результат реконструкции. Приводятся результаты восстановления плотности газа при гиперзвуковом обтекании тел но результатам данных электронно-пучкового зондирования.

В разделе 3.1 дается математическая формулировка задачи, соответствующая некоторым распространенным схемам сбора экспериментальных данных при исследовании обтекания тел. А именно:

- Восстановить функцию д(х, у, z), заданную внутри ограниченной области D С R3 (причем непрозрачное тело не входит в область определения функции </(х, у,г)), по конечному набору функций fm(u,v), т = 1,...,М. Каждая из функций fm(u,v) равна проекции функции g[x,y,z), если тень непрозрачного тела в этой точке равна нулю, и нулю в противном случае.

Под тенью непрозрачного тела понимается функция, строящаяся аналогично проекции, но принимающую два значения: 0 - если соответствующий луч не пересекает тела, 1 - в противном случае.

В разделе 3.2 строятся алгоритмы решения задачи томографии, сформулированной выше. Алгебраические алгоритмы ARTl, MART, SUIT после соответствующего изменения могут применяться и в этом случае. Суть этого изменения такова: для решения задачи томографии с непрозрачным телом алгебраическим алгоритмом обрабатываются только те проекционные данные, для которых тень от непрозрачного тела равна нулю.

Другим рассматриваемым классом алгоритмов явились алгоритмы, основанные на методе "просветления" непрозрачного тела. Их идея состоит в следующем. Проекционные данные в мест ах,где тень от непрозрачного тела не равна нулю, пополняются посредством какой либо интерполяции. По пополненным данным производится томографическая реконструкция, в работе для этой цели использовалась процедура, основанная на интегральной формуле обращения трехмерного Р-преобразования. По результатам реконструкции точкам в области непрозрачного тела приписываются некоторые значения, таким образом производится "просветлепие". В дальнейшем строится итерационный процесс, в котором ищется функция, являющаяся в области непрозрачного тела результатом его просветления и минимизирующая невязку между проекциями и псевдопроекцией, там где первые известны. Реализованный в диссертации итерационный процесс можно символически записать следующим образом

В уравнении (5) Р"1 - оператор обращения трехмерного Р-преобразования, А - проецирующий оператор, Ф - оператор внесения априорной информации (см. выше), I - оператор интерполяции проекционных данных, аигл» -оператор определения среднего значения в области непрозрачного тела, Б - область реконструкции (без непрозрачного тела), Оь - область непрозрачного тела, и - множество, на котором заданы проекционные данные, и -множество, на котором заданы тени тела.

В процессе численного эксперимента было показано, что процесс (5) сходится. Также было установлено, что задача томографии с непрозрачным

9

, х € D, п = 1,2, х G D",

д\х) = avrDi(?-'f\u)), /» - I/(u)

(5)

'-Ч, пеиь, »=2,3, u €U

телом может быть решена как алгебраическими алгоритмами, так и алгоритмами "просветления". В случае наличия относительно большого числа ракурсов наблюдения последние оказываются предпочтительнее.

В разделе 3.3 описывается реконструкция распределения изменения плотности газа при гиперзвуковом обтекании затупленных конусов в сечениях, проходящих через модель, по данным зондирования электронным пучком. Эксперимент производился в Институте теоретической и прикладной механики РАН (г.Новосибирск). Измерения были выполнены в гиперзвуковой аэродинамической трубе Т-327. Параметры потока были следующими: температура торможения Т0 — 1100 К, давление торможения Р0 = 8 МПа, число Маха потока М=21, единичное число Рейнольдса Re\ = 6 * 105 м-1. Использовались две модели: притуплепные круговой конус и полуэллиптический копус,' основание которого представляло собой полуокружность сопряженную с полуэллипсом с отношением главных осей 2:1. Схема эксперимента приведена на Рис.3.

Рис. 3: Схема эксперимента по томографическому исследованию гиперзвукового обтекания модели. 1 - предметный пучок, 2 опорный пучок, 3 - обтекаемая модель, 4, 5 - коллекторы.

Исходя из того, что основной причиной ослабления тока пучка является рассеяние электронов в потоке, было выведено уравпение, связывающее

плотность газа с регистрируемым током пучка при учете конечного размера диафрагмы коллектора:

тЫ2

^ехр|-а7п(/)ДШ . (6)

/ = /о — ехр

В (6) /о - ток источника, / - ток коллектора, - радиус круглой диафрагмы коллектора, а - эффективная величина сечения рассеяния электронов, п{1) плотность газа вдоль оси электронного пучка. В эксперименте фиксировались две величины тока 1\ и /г, отвечающие пучкам, прошедшим через возмущенную и невозмущенную части потока. Для 1\, выполняется уравнение (6) с соответствующим (каждому из них) значением плотности щ (I) и п2{1). Преобразуем эти уравнения и, разделив первое на второе получим

1п(1-£) ( у \

= ехР (-"_/ |'

где Дп(1) = п\(1) — п2(/) изменение плотности газа, обусловленное внесением модели. Разложив в левой части уравнения (7) числитель и знаменатель по степеням 1\/1о и /г//о> соответственно, в случае одновременного выполнения условий 1\/1о 2> (/1//0)2 и /2//о (/2//о)2, получим лучевое приближение

у- = ехр ^-ст / Дп(/)£«|

(8)

Таким образом, при помощи уравнений (6), (7) была установлена область применимости лучевой томографии в исследованиях потоков, основанных на рассеянии двух (предметного и опорного) электронных пучков.

Измеренные в эксперименте токи /о, /], /2 оказались такими, что величины вторых членов разложения левой части уравнения (7) составили 5-7% от величины первых членов, что в среднем примерно соответствует точности самих проведенных измерений. Поэтому для реконструкции было использовано лучевое приближение (8).

В ходе обработки экспериментальных данных оказалось, что на проекциях в областях, которые соответствуют частичному перекрытию электронного пучка моделью, необходимо выделение эффекта, связанного с ее поглощением. Для этой цели проекции, там где они не были равны нулю, изменялись путем введения компенсирующей добавки:

+ 1п

$2

/

(9)

В уравнении (9) 5] - площадь круга радиуса, равного эффективному радиусу сечения электронного пучка в области тела, Ь\ - площадь его сегмента, не

затененного моделью, з{у,г) - распределение плотности тока через сечение пучка.

Для восстаповления г) использовались экспериментальные данные, полученные для симметричной модели в области, где она частично перекрывала пучок. Нетрудно показать, что если непрозрачное тело является цилиндром, с осью, параллельной оси Z, а центр пучка перемещается вдоль оси У, то имеет место уравнение:

¿1 °°

/ З{у,*)*г , (10)

— оо

Уравнепие (10) было использовано для реконструкции распределения в предположении его центральной симметрии. Центральное сечение полученного распределения плотности тока в пучке дано на Рис.4,а, кривая 1. Кривая 2 на этом рисунке - гауссовская функция, аппроксимирующая распределение. Ее параметры были найдены методом наименьших квадратов. Нормированное среднеквадратичное отклонение между кривыми 1 и 2 на Рис.4,а составило 4.7%,

а) ' б)

Рис. 4: а) Кривая 1 - центральное сечение восстановленного раснределения плотности тока, кривая 2 - гауссовская функция, аппроксимирующая распределение. 6) Центральное сечение восстановленного симметричного распределения изменепия плотности газа при обтекании круглого конуса, кривая 1 - реконструкция по сглаженным данным, кривая 2 -реконструкция после дсконволюции, кривая 3- результаты локальных измерений (Vas I.F. and Sierchio J.G., 1974).

Центральное сечение (вернее его половина) восстановленного распределения изменения плотности газа при обтекании осесимметричной модели в плоскости, отстоящей на 6.5 мм от ее носика дано на Рис.4,б, кривая 1. Кривая 3 на этом рисунке соответствует результатам измерений методом электронпо-пучковой флюоресценции, известным из литературы. Кривая 2

соответствует расчету но данным, полученным в результате деконволю-ции проекции с профилем пучка. Декопволюция производилась регуляри-зующим методом согласно формуле:

/» =

иИР + а»'2

(И)

В уравнении (11) значком "тильда" обозначены соответствующие Фурье-образы, V - частота.

Глава 4. Томографическое восстановление нестационарных объектов.

В этой главе предложена и подробно исследована новая постановка задачи хронотомографии, позволяющая восстанавливать распределение коэффициентов эмиссии в сечении трехмерного нестационарного объекта как функцию двух пространственных переменных и времени. При сборе данных в предлагаемой постановке линейка регистрирующих детекторов (или изображение на фотопленке) движется в плоскости сечения. Таким образом получена возможность свести четырехмерную задачу восстановления распределения коэффициента эмиссии в каждой точке трехмерного объекта в каждый момент времени к решению ряда трехмерных задач,

Принципиальная схема эксперимента изображена на Рис.5.

> X

Рис. 5: Схема сбора данных движущейся линейкой.

Введем следующие обозначения: е(х, у, <) - значение коэффициента эмиссии в точке сечения с координатами (х,у) в момент времени *, /((р, р) -

интегральная интенсивность излучения, зарегистрированная детектором, расположенном в точке, имеющей на линейке координату р в момент времени t = 0. Пусть Т - время, в течение которого собирались данные. Линейка детекторов движется параллельно самой себе с постоянной скоростью v (см.Рис 5). Прямая I, определявшаяся в момент времени í = 0 параметрами (р, <р), к моменту окончания регистрации t = Т будет задаваться параметрами (р + vT,<p). В произвольный момент времени t,0 < t < Т, параметры прямой будут (p + vt, (р). Предположим так же, что c(x,y,t) = 0 при t < 0, £ > Т. Учитывая все это, имеем в приближении линейпой эмиссионной томографии:

Jj*oo лсо

' { е(з sin tp + (р + vi) cos <р,--з cos ip + (p + vt) s'm tp, t)ds}dt . (12)

DO JCO

Интегрирование в (12) производится по плоскости (г, n) = d в пространстве {x,y,t), поэтому правая часть (12) представляет собой значение преобразования Радона от функции у, t) в точке (n, d),

( (vTYY* ( (vTfY' .

пг= I :1 + р2 j cos^>, ni = I 1 + ^ 1 sin ip,

= + . + , (13)

jeLV* а. р (,,W

{vTyj • d~pA pl

где po - радиус круга па плоскости, в который вписан исследуемый объект.

При изменении р, <р, v, в пределах [0, ртах], 2тг], [—vmax, vmax], соответственно, можно получить данные для томографической реконструкции функции e(x,y,t). Параметры ртах и vmnx определяются длиной линейки и максимально возможной скоростью ее движения. Наличие ограничения по скорости ведет к тому, что для регистрации оказываются недоступными интегралы по плоскостям, вектора нормалей к которым заметают в пространстве (х, у, £) пересечение единичной сферы с двуполостным конусом с вершиной в начале координат, с осью, совпадающей с осью t, и углом полураскрыва вт,п.

вт1П = arctan (--) , (14)

Vrnaxl

В разделе 4.3 для решения описанной выше задачи, которая с математической точки зрения сводится к восстановлению функции по ее неполному преобразованию Радона, автором разработаны два алгоритма. Итерационный алгоритм 3DGPR, основанный на центральной проекционной теореме (для трехмерного преобразования Радона), который можно рассматривать как одно из обобщений на трехмерный случай метода Гершберга-Палулиса. Второй алгоритм (3DRINV), использует точную формулу обращения трехмерного преобразования Радона.

Результаты численного моделирования задачи восстановления нестационарного распределения локальных коэффициентов эмиссии по данным интегральных измерений даны в разделе 4.4. В частности, приведены зависимости точности восстановления хронотомограмм от величины угла 9,т„,

количества одномерных проекций, наличия на них шумов, вида реконструируемого нестационарного объекта.

Рассматриваемая задача может быть решена иначе, например, ыутеь нескольких последовательных регистраций данных с последующей двумер ной томографической реконструкцией по каждому из наборов. Было проведено специальное моделирование для сравнения результатов, получаемы? различными методами. По проведенным вычислительным эксперимента* было установлено, что предлагаемый в диссертации подход дает лучшие результаты, особенно при малом числе ракурсов наблюдения.

Основные результаты, полученные в диссертации.

• Разработаны новые методы трехмерной малоракурсной томографии позволяющие улучшать качество томографической реконструкции газоны) потоков и плазменных образований. Созданы регуляризуюшие алгоритмы дающие возможность использовать априорную информацию, известную и: физической постановки задачи. Предложены новые методы отыскания параметров регуляризации) для которых не требуется знания о характер« шумов в экспериментальных данных. Алгоритмы исследованы в численном моделировании, и использованы при обработке данных реального физического эксперимента по исследованию плазмы микропинча.

• Созданы и исследованы в вычислительном эксперименте трехмерные алгоритмы томографии высокого пространственного разрешения, а также алгоритм трехмерной томографической реконструкции распределена плотности потока, обтекающего непрозрачное тело.

• Выведепо уравнение, связывающее регистрируемый ток пучка, в каждом сечении которого плотность тока распределена по гауссовскому закону, с плотностью рассеивающего газа прп учете конечной угловой апертуры детектора. На основании этого уравнения показано, при каких условиях лучевое приближение применимо в электронно-пучковой томографии.

• По данным электронно-пучкового зондирования гиперзвукового потока, обтекающего затупленный конус, произведено восстановление распределения плотности газа. Показано, что томографический метод дает результаты, близкие к результатам локальных измерений. Кроме этого, предложен и реализован метод определения распределения плотности тока ъ сечении электронного пучка вблизи модели. Восстановленное распределение оказалось близким к гауссовскому.

• Предложена и реализована в численном моделировании методика реконструкции двумерного распределения локальных коэффициентов эмиссии в сечении нестационарного объекта независимо от его остальных частей, основанная на движении регистрирующей системы относительно объекта. Это дает возможность свести четырехмерную задачу восстановления распределения коэффициентов эмиссии в каждой точке излучающего трехмерного объекта в каждый момент времени к решению ряда трехмерных задач,

каждая из которых с математической точки зрения сводится к определению фупкции по ее неполному трехмерному преобразованию Радона.

Список основных работ, опубликованных по томе диссертации.

1. Melnikova T.S., Solonenko О.P., Tsibirov A.M., Gulyaev P.Yu., Zavaran V.G., Likhachov A.V. Automated tomograph for studing plasma jets. // Plasmajets in the Development of New Materials Technology.- Utrecht: VSP, 1990,- P.133-148.

2. Баландин АЛ., Лихачев А.В., Панферов H.B., Пикалов В.В., Руиасов А.А., Шиканов А.С. Томографическая диагностика излучающих плазменных объектов,- М.,1991,- 55 е.- (Препринт / ФИАН СССР; N 78).

3. Balandin A.L., Likhachov A.V., Panfcrov N.V., Pickalov V.V., Rupaaov A.A., Shikanov A.S. Emission micro tomography cf plasma. / / Analytical Methods for Optical Tomography: Proc. SPIE - 1992,- Vol.1843.- P.68-82.

4. Alpatov V.V., Pickalov V.V., Likhachov A.V. Informational analysis of auroral tomograph // Auroral Tomography Workshop. March 9-11, 1993, Kiruna, Sweden: IRF Technical Report 213.- 1993,- P.35-4G.

5. Alpatov V.V, Likhachov A.V., Pickalov V.V., Romanovsky Yu.A. Optical tomography oi a natural and artifical optical disturbances in the near terrestrial space. // Computerized Tomography: Proc. Fourth Intern. Sympos., Novosibirsk, Russia, 1993,- Utrecht: VSP, 1995,- P.12-24.

G. Likhachov A.V.,Pickalov V.V. A new approach to the problem of 3D interpolation from arbitrary set of points. // Computerized Tomography:Proc. Fourth Intern.Sympos.,Novosibirsk,Russia, 1993.-Utrecht:VSP,1995.-P.31S-323.

7. Likhachov A.V., Pickalov V.V. A modification of ART method for cone-beam tomography of high space resolution. // Computerized Tomography: Proc. Fourth Intern. Sympos., Novosibirsk, Russia, 1993,- Utrecht: VSP, 1995 -P.309-317.

8. Likhachov A.V., Pickalov V.V. Subpixel resolution in 3D cone-beam microtornography. // Nucl. Instr. Meth. Phys. Res. (A).- 1995,- Vol. 359, N 1-2.- P.370-375.

9. Likhachov A.V., Pickalov V.V. Frequency filtration in the algebraic algorithms of 3D-tomography. // Proc. 1995 Intern. Meet,. Fully Three-Dimensional linage Reconstruction in Radiol. Nucl. Med.- Grenoble: LET I, 1995 - P.103-107.

10. Лихачев А.В., Пикалов В.В. Частотная фильтрация в алгебраических алгоритмах трехмерной томографии. Автометрия,- 1995.- N 4 - C.S3-S9.

11 Лихачев А.В , Пикалов В.В. Об одной постановке задачи хронотомогра-фии. // Оптика и спектроскопия - ]99G - N 4.- С.581-589.

12 Likhachev A.V., Maslov A.A., Mironov S.G., Pickalov V.V. A tomographic investigation of the density field ш hypersonic flows. j j Intern. Confer, on the Methods of Aerophysical Research. Sept. 2-6, 1996, Novosibirsk, Russia, Proc. Part 2,- Novosibirsk: ITAM SD RAS, 1996,- P.169-174.

Ответственный за выпуск

Лихачев А.В.

Подписано к печати 5.07.96

Усл.печ.л. 1.2, Уч.изд.л. 1.3, Тираж 100 экз.

Формат бумаги 60 х 84 / 16 заказ N 39

Отпечатано па ризографе АОЗТ "Интелекс" 630090, Новосибирск 90, ул.Институтская 4/1.