Численное исследование высокоскоростного взаимодействия капли жидкости с преградой тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Чижов Антон Вадимович

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ¡ЫСОКОСКОРОСТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КАПЛИ ЖИДКОСТИ С ПРЕГРАДОЙ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

(

Санкт-Петероург 1998

Работа выполнена в секторе численного .моделировании Физ1 ко - технического института им. А.Ф.Иоффе Российской Академи наук. Санкт-Петербург.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

кандидат физико-математических наук

доцент А.А.Шмидт.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук.

профессор В.Н.Усков,

кандидат физико-математических наук доцент С.Б.Колешко.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Институт проблем механики РАН.

Защита состоится "....." ..................1998 г. в..... часов на заседа

нии диссертационного совета Д.003.38.15 в Санкт - Петербургско: государственном техническом университете по адресу: 195251 Санкт-Петербург. Политехническая ул.. "29.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной бк блиотеке СПбГТУ.

Автореферат разослан "....." ..................1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук ,

доцент / Д.К.Зайцев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации.

Кандидатская диссертация посвящена численному исследова-гаю высокоскоростного взаимодействия капли жидкости с твердой феградой. Такое исследование представляет интерес для развития теории волновых процессов в конденсированных средах, т.к. явле-сие удара капли включает в себя такие процессь^как распростра-[ение и взаимодействие ударных волн и волн разрежения друг с фугом и со свободными поверхностями, возникновение и развитие умулятивных струй, образование и схлопывание кавитационных [узырей, развитие неустойчивостей поверхностей раздела жидко-ти и газа.

Теория удара жидкости имеет широкий диапазон практических риложений при решении таких вопросов как эрозионное воздей-твие газокапельных потоков (в частности, поверхностей летатель-:ых аппаратов и лопаток паровых турбин); высокоскоростное столкновение твердых тел; нанесение покрытий: резка твердых матери-лов с помощью высокоскоростных струй и капель; очистка поверх-остей; получение новых материалов с помощью ударного воздей-твия; столкновение метеоритов, взаимодействие комет с планетой, орьба с оледенением частей летательных аппаратов и т.д.

Развитие вычислительной техники открывает возможности для сследования все более сложных гидродинамических процессов ме-одом математического моделирования. Численный алгоритм, по-гроснный в работе, позволяет эффективно моделировать широкий ласс плоских и осесимметричных течений в рамках лагранжевого одхода. Он опробован на задачах о течении баротропной жидко-ги со свободными поверхностями и с образованием областей ка-итации. а также при расчете деформации металлов под действиях ударных и взрывных нагрузок в рамках приближения холодного ■катия.

Цели работы.

Основной целью работы является детальный анализ процессов, происходящих внутри капли жидкости при ударе о твердую поверхность.

Этой целью продиктована необходимость построения численного алгоритма, способного разрешать многомасштабные нестационарные ударно-волновые течения баротропной вязкой жидкости в рамках лагранжевого описания. Разработка алгоритма включает в себя выбор монотонной численной схемы высокого порядка точности и метода дискретизации (метода конечных элементов, в данном случае), разработку подходов к их совместному применению при лагранжевом описании движения, составление алгоритма построения адаптивной неструктурированной расчетной сетки.

В рамках исследования удара капли необходимо было смоделировать взаимодействие ударных волн, волн разрежения со свободными и твердыми поверхностями в разные моменты времени, а также: описать механизмы развития и разрушения кумулятивной струи, механизм образования кавитационных каверн: определить роль таких характеристик среды,как вязкость, поверхностное натяжение: оценить взаимодействие с окружающим газом; получить данные о нагрузках, испытываемых поверхностью соударения; выявить различие плоского и осесимметричного ударов, что представляет особый интерес в экспериментальных исследованиях: определить влияние свойств поверхности соударения на структуру течения внутри капли: объяснить разброс экспериментальных данных и их отличие от аналитических оценок.

Научная новизна работы.

1. Создан эффективный алгоритм расчета течений баротропной жидкости со свободными поверхностями. Он позволяет использовать численную схему с ограниченной вариацией повышенного порядка точности и метод конечных элементов Галеркина в рамках ла-гранжева описания движения и использует алгоритмы построения неструктурированной адаптивной расчетной сетки и оригинальный

алгоритм применения вложенной адаптивной сетки.

2. Получены подробные картины течения внутри капли жидкости при ударе о твердые преграды различных форм и о слой жидкости.

3. Впервые объяснены и проиллюстрированы эффект локализации растекания вблизи твердой поверхности при нерегулярном взаимодействии ударной волны со свободной поверхностью; эффект задержки высокоскоростной кумулятивной струи, появляющейся при ударе капли о твердую преграду; эффект кумуляции струи при ударе о слой жидкости.

4. Обоснован вариант известной аналитической оценки сверху скорости кумулятивной струи, а также предложен новый вариант эценки, основанный на предположении существенной нестационар-яоети процесса. Впервые построена упрощенная полуаналитическая модель распространения ударной волны конечной интенсивности в капле на начальном этапе удара.

Практическая значимость работы.

- Разработанный алгоритм позволяет получить детальную структуру гидродинамических полей в капле и может быть эффективно использован для решения ряда других практических задач о течении баротропной жидкости со свободными поверхностями.

- Комбинация численных и экспериментальных данных составляют полную картину процессов, происходящих в капле и в окру-кающем газе при ударе.

- Полученные данные об ударе капли (нагрузка на поверхность :оударения, скорость и толщина кумулятивной струи, времена по-тления струи, расположение областей кавитации) необходимы при >ассмотрении проблем эрозии, при разработке технологий, ис пользующих высокоскоростные струи и др.

Построенная компьютерная программа используется для из-'чения взрывного и ударного воздействия на металлические конструкции.

Основные положения, выносимые на защиту.

Аналитические оценки роли физических эффектов в процессе удара капли: оценки времени появления и скорости кумулятивной струи: оценки наибольшего давления.

- Математическая модель взаимодействия капли с преградой со скоростью, при которой существенна сжимаемость среды капли, описывающая процесс кавитации.

- Численный метод, использующий метод конечных элементов Галеркина и технологию ТУБ-схем для решения уравнений движения баротропного газа в рамках лагранжевого описания.

- Процедура построения адаптивной неструктурированной треугольной расчетной сетки.

- Распределения полей газодинамических величин в капле воды при ударе о твердую поверхность при различных скоростях взаимодействия и различных формах твердой поверхности. Трактовка деталей экспериментальных наблюдений удара капли, в частности, объяснение природы "задержанного взаимодействия", процесса формирования струи.

Апробация работы.

Результаты включенных в диссертацию исследований докладывались на Десятой и Одиннадцатой российских конференциях по теоретическим основам и конструированию численных алгоритмов математической физики (КрасновидовоД994, Пущино,1996), Международной конференции по оптимизации конечно-элементных аппроксимаций (Санкт-Петербург, 1995), Девятой международной конференции по конечным элементам в жидкостях (Венеция, 1995). а также на семинарах сектора численного моделирования ФТИ им. А.Ф.Иоффе.

Публикации.

Основные результаты диссертации изложены в 0 печатных работах.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из шести глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на страницах, содержит рисунков, штературную ссылку.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе 1 обосновывается актуальность темы диссертации, про-юдится анализ современного состояния проблемы, формулируются >сновные цели и задачи исследования и кратко излагается содер-кание отдельных глав работы. Описана схема удара сферической :апли по плоской поверхности, составленная на основе совокупно-:ти известных данных.

Глава 2 посвящена исследованию факторов, влияющих на тече-[ие жидкости при ударе капли, а также аналитическому рассмотре-[ию некоторых процессов.

В п.2.1 описаны характеристики среды, обсуждается уравнение остояния конденсированной жидкости, состояние среды при кави-ации. Для большинства жидкостей справедливо соотношение ме-хду давлением и плотностью, называемое уравнением состояния в юрме Тэйта. Благодаря баротропности, система уравнений, опре-[еляющая движение жидкости, не включает уравнение для энергии. )бсуждаются порог растягивающих напряжений, претерпеваемых шдкостью, процесс фазового перехода.

В п.2.2 для параметров экспериментов, проведенных на балли-тической трассе ФТИ, на основе одномерной теории проводятся цепки гидродинамических параметров газа вокруг капли при уда->е. Показывается, что давление окружающего газа не успевает существенно деформировать каплю перед началом взаимодействия ее твердым телом, вклад массообмена около поверхности жидкости акже несуществен.

В п.2.3 приводятся некоторые геометрические соотношения для 'дара сферической капли: подробно описываются начальная ста- 7 -

Рис.1.

дия уда])а. процесс распространения ударной волны. Рассматривается аналитическое решение в окрестности взаимодействия волны с твердой и свободной поверхностями, приводится вывод критического момента отхода ударной волны от твердой поверхности, соответствующего началу растекания "идеальной" капли, т.е. в пренебрежении эффектами вязкости и поверхностного натяжения.

В п.2.4 показывается, что задача обладает существенно различающимися масштабами для течения в окрестности струи и г остальной области капли. Исследуется действие сил вязкости и поверхностного натяжения; показывается их несущественность в областях, не примыкающих к истоку радиальной струи. Аналитически Выводится временная зависимость расстояния отхода ударной волны от твердой поверхности /г в начальные моменты времени, которая оказывается квадратичной. Записывается оценка толщинь нестационарного пограничного слоя на стенке 6. С помощью анализа временных зависимостей отхода ударной волны и толщинь пограничного слоя предполагается механизм задержки кумулятивной струи силами вязкости, который подтверждается результата ми моделирования (рис.1). На его основе определяются наименьшие характерные временной и пространственный масштабы тече ния в области истока струи. На течение внутри капли и на течение в струе, характеризуемое полученным пространственным масшта бом, силы поверхностного натяжения не оказывают существенной влияния.

В п.2.5 на основе полученных масштабов и известных данных ( скорости струи проверяются условия возникновения неустойчиво

ти движения струи п воздухе, сопоставляются времена образования струи и ]>азвития неустойчивости. Обнаруживается, что дсй-твие сил поверхностного натяжения и сил сопротивления окружа-ощего газа приводит к разрушению струи уже на раннем этапе ее >аспространения. При-разрушении реализуется механизм непре->ывной обдирки поверхностного слоя струи, что можно наблюдать la теневых фотографиях, полученных на баллистической трассе.

В п.2.С оцениваются перепады температур внутри капли как на ichobc эмпирических данных о потери кинетической энергии при толкновении частиц с твердой поверхностью, так и с помощью оце-:ок изменения температуры на ударной волне. Из малости перепа-[а температур (AT « 15Л") следует заключение о независимости араметров движения жидкости от температуры и справедливости редположения о баротропности. Оценивается толщина слоя про-рева жидкости около границы с окружающим нагретым газом, ко-орая оказывается пренебрежимо малой.

В п.2.7 приводятся два варианта аналитической оценки скоро-ти струи в "идеальной" капле. Первый основан на рассмотрении незапного растекания жидкости в вакуум и ее ускорении в гор-овине струи, образованной стенкой и отошедшей ударной волной. !торой вариант оценки основан на подобии течения в капле автомо-ельному растеканию жидкого клина. Для автомодельного течения ыводится аналог интеграла Бернулли и с его помощью получает-я формула, совпадающая с оценкой J.Brunton'a, J.J.Camus, которые олагали течение установившимся в системе координат, движущей-я с точкой растекания, и применяли уравнение Бернулли. Анало-ично выводится оценка для наибольшего давления. Оба варианта ценки скорости струи дают близкие значения при высоких скоро-гях удара.

Далее, проводится сравнение численных и аналитических дан-ых по скорости растекания жидкого клина, подтверждающее спра-?дливость аналитической зависимости.

В п.2.8 суммируются результаты главы 2.

Глава 3 посвящена формулировке математической модели вы-

сокоскоростного удара капли. В п.3.1 приводится основная система уравнений, состоящая из уравнения неразрывности и уравнения сохранения импульса, записанная для осесимметричного течения вязкой баротропной жидкости в лагранжевых координатах. Далее обсуждаются три варианта модели кавитации, приводится сравнение форм свободной поверхности в различные моменты удара, рассчитанные по трем вариантам. Ставятся граничные; условия для задачи удара.

В п.3.2 предлагается упрощенная полуаналитическая модель распространения ударной волны конечной интенсивности в капле на этапе удара, предшествующем отходу волны от твердой поверхности. Модель использует аналитическое решение задачи о распространении возмущений в лучевой трубке, составленной из нормалей к фронту ударной волны. После дискретизации фронта проводится численное интегрирование по времени. На рис.2 представлены профили ударной волны и распределения давления по поверхности преграды (рис.2), полученные по предложенной модели (кружки), по известной аналитической модели МХевБег а распространения ударной волны в акустическом приближении (пунктирная линия на левом графике,сплошная-на правом) и с помощью двумерного моделирования (несколько изолиний плотности слева и пунктир справа), Сравнение выявляет влияние нелинейности, а также свидетельствует о преимуществах предлагаемой модели.

В Приложении к главе приведен вывод используемого в п.З./ закона изменения интенсивности ударной волны. Рассматриваете* квазиодномерное течение внутри лучевой трубки переменногс сечения. При этом граничными условиями на фронте волнь являются соотношения Гюгонио.

Глава 4 посвящена построению и обоснованию численного метода. В п.4.1 описаны характерные особенности задачи и требования к методу моделирования, выделены достоинства и недостатки лагранжева подхода, обусловлен выбор численной схемы из семейства ТУБ - схем и для аппроксимации производных метода конеч-

О 10

>

"I

О 00

о оо

О 10

0-20

х/1_

030

0.40

Рис.2.

1ых элементов Галеркина.

В п.4.2 объясняются принципы построения разностной схемы 1а примере одномерного уравнения переноса и уравнений Эйлера. Исходная ТУБ - схема записывается в терминах односторон-шх производных, которые предлагается комбинировать из первой I второй центрально-разностных численных производных. Аналоги юследних на неравномерной сетке получаются с помощью метода ;онечных элементов Галеркина. Система уравнений Эйлера перед дескретизацией преобразуется в уравнения для инвариантов Ри-1ана, направление переноса возмущений для каждого из которых гостоянно, благодаря применению лагранжевых координат.

В п.4.3 приводятся формулы аппроксимации методом конечных >лементов Галеркина, приводится теорема ВагШ'а о выполнении [ринципа максимума для оператора Лапласа на расчетной сетке 1елонэ, а также формулируется численно проверенное утвержде-[ие об устойчивости схемы для уравнения одномерного переноса в (вумерной области в частном случае расчетной сетки при исполь-овании предлагаемого численного метода.

В п.4.4 приводится численная схема для основных уравнений несимметричной задачи, полученная расщеплением системы урав-:ений по пространственным координатам и последующим примене-:ием схемы, составленной в п.4.2.

В п.4.5 описывается метод интегрирования по времени системы сновных уравнений - метод Рунге-Кутта второго порядка точно-ти.

В заключении приводится класс задач, для которых может быть применен построенный численный метод, отмечается, что в настоящее время решается задача о деформации металлов под действием ударных и взрывных нагрузок.

Глава 5 посвящена построению неструктурированной адаптивной лагранжевой треугольной сетки. В п.5.1 обосновывается необходимость построения адаптивной сетки. В п.5.2 описывается алгоритм построения начальной сетки Делонэ. В п.5.3 приведен критерий адаптации внутренних узлов сетки, в который предлагается ввести параметр, отвечающий за смещение области сгущенной сетки относительно центра особенности численного поля плотности; приведены условия адаптации граничных узлов, ставящиеся на углы соседних треугольников; описаны процедуры добавления и удаления узлов, алгоритм сглаживания расположения узлов с помощью "пружинок"; приводятся рассуждения о частоте адаптации; описана процедура интерполяции значений в узлах. В п.5.4 предлагается алгоритм построения вложенной адаптивной сетки, необходимой в окрестностях сильных точечных особенностей течения. Структура вложенной сетки подобна структуре основной сетки, линейный размер минимального элемента которой уменьшен в несколько раз. Во столько же увеличивается количество временных шагов для узлов вложенной сетки.

В главе 6 представлены результаты тестовых расчетов (п.6.1) и результаты двумерного моделирования. Во введении к главе приведены параметры проведенных численных экспериментов.

В п.6.1 рассмотрены задачи об ударе плоского слоя в одномерной постановке, о распаде разрыва поля давления в трубе, об установлении течения Пуазейля в трубе, об установлении течения в каверне. Теоретический интерес представляют расчетные картины. удара цилиндрической капли торцом и картины автомодельного растекания жидкого полубесконечного клина в режиме малого угла наклона свободной поверхности к стенке и в режиме с углом, при котором образуется струя. Проведенные тесты показали при- 12

Рис.3. Рис.4.

ленимость численного алгоритма для расчета течений с ударными золнами и свободными поверхностями. При этом ошибки, вызванное неконсервативностью схемы, пренебрежимо малы для течений юды с характерными для удара капли скоростями; разрывы тече-шй в численном решении локализуются в 3 - 7 ячейках. Доказана фименимость численного алгоритма для расчета вязких течений.

В п.0.2.1 описаны резз'льтаты расчетов соударений капли воды с шраметрами экспериментов, проведенных на баллистической трас-:е ФТИ И. А.Духовским и П.И.Ковалевым, в идеализированной, неузкой постановке. Приведены графики аналитических зависимо-тей от времени гидродинамических параметров в области присоединения ударной волны к твердой поверхности на начальном этапе 'дара. Представлены распределения плотности в разные моменты ремени, а также их комбинированные картины с теневыми фоторафиями (рис.3), показывающими течение окружающего каплю га-а и мелкодисперсной фракции, образовавшейся из-за разрушения

Рис.5.

струи путем "обдирки". Далее, определяется момент растекания и скорость струи по результатам расчета на последовательности сеток, представлены временные зависимости интегральных по объему капли величин массы и импульса, силы, действующей на стенку. Проводится сравнение профилей давления на стенке с известными данными расчета и эксперимента других авторов.

В п.6.2.2 аналогичными графиками и распределениями плотности представлены результаты моделирования удара цилиндрической капли боковой поверхностью с параметрами экспериментов М.Ьевзег'а и Л^екГа. Расчетные поля градиента давления сравниваются с экспериментальными фотографиями (рис.4). Обнаруживается сходство во внутреннем течении на стадиях удара вплоть до появления обширной области кавитации (кадры 9 и 10).

В п.6.2.3 представлены расчеты при условиях баллистического эксперимента с учетом вязких эффектов на стенке. Подробно описаны процессы внутри капли, приводящие к изменениям силы, действующей на стенку (рис.5). Проводится важное для экспериментальных исследований сравнение осесимметричного и плоского течений при ударе сферической капли и цилиндрической капли, сталкивающейся с преградой боковой поверхностью, что даст возможность увидеть картину течения с торца.

В п.0.2.4 описан .уда]) сферической капли по сферической поверхности, соответствующий удару шара по капле в эксперименте И.Л.Луховского и П.И.Ковалева.

В п.0.2.5 приводятся результаты расчетов соударения капли воды с коническим кратером с критическим углом полураствора. Данная форма твердой поверхности обеспечивает наибольшее сжатие жидкости при заданной скорости соударения благодаря фокусировке присоединенной к стенке тороидальной ударной волны на зеи симметрии в момент, непосредственно перед которым присоединенная волна приобретает наибольшую интенсивность. Волно-зая структура начального этапа взаимодействия характеризуется ¡аличием диска Маха вблизи оси симметрии.

В п.0.2.6 рассматривается удар капли по слою жидкости (рис.0) 1ри соотношении толщины слоя к радиусу капли 1 : 10. Обнаруживается. что в широком диапазоне размеров капли время образо-!ания кумулятивной струи определяется моментом взаимодействия сраженной от стенки ударной волны со свободными поверхностями ;апли и слоя на линии их контакта и зависит только от отношения :олщины слоя к размеру капли и скорости соударения. Угол, под оторьш истекает струя, по отношению к плоскости слоя увеличи-ается со временем.

В п.6.3.1 проводится сравнение известных предположений об словии растекания с точным решением для момента отхода удар-:ой волны от твердой поверхности в идеальной капле, а также с экспериментальными данными и численными данными по удару, пред-тавленными на графике зависимости угла растекания от скорости заимодействия. Экспериментальные значения являются оценками верху, и наоборот, аналитические - оценками снизу. Сопоставле-ие данных показывает сильное расхождение упрощенных оценок точным решением при больших скоростях, близость расчетных начений к теоретическим предсказаниям, подтверждает предположит: о начале растекания "идеальной" капли сразу после отхода дарной волны от твердой поверхности и выявляет доминирующую оль вязкости в задержке растекания.

I = 0.027 Пи/Уч

I =0.108 Л0/К1

« = 0.216 Лп/Уи

Рис.С.

Кинетическая Плотность энергия

< = 0.С49 Ло/^о

Вертикальная Горизонтальна

проекция проекция

. скорости скорости

Рис.7.

В п.6.3.2 проводится сравнение известных из экспериментов, аналитических оценок и расчетов данных о скорости струи, причем

экспериментальные значения являются оценками снизу, и наоборот, аналитические оценками сверху. Моделирование подтверждает аналитические оценки скорости струи в "идеальной" капле и выявляет доминирующую роль вязкости в том, что скорость струи реальной капли оказывается меньше скорости струи при ударе идеальной капли, т.е. кумулятивный эффект ослабляется вязкими эффектами.

В п.С.3.3 представлены графики изменения плотности во время возникновения растекания при ударах с. малой и с большой скоростью, подтверждающие, что после отхода ударной волны устанавливается режим течения, подобный растеканию жидкого клина. График наибольшей плотности, полученной в расчетах ударов с различными скоростями, показывает, что она может быть оценена снизу, как плотность за ударной волной в момент отхода и снизу, согласно оценке из п.2.7. Таким образом, представленные в п.б.3.1, 3.3.2 и б.3.3 зависимости позволяют оценить момент появления высокоскоростной струи, ее скорость, а также наибольшие давления, зозникающие в капле при ударе ' идеальной" капли и указывают на шачимость эффектов вязкости.

В п.6.4 проанализировано представляющее большой интерес и {аблюдавшееся экспериментально "нерегулярное" взаимодействие ,'дарной волны со свободной поверхностью, приводящее к тому, что юперечное растекание капли локализуется в пристеночной облачи, в то время когда волна сжатия отходит на большое расстояние >т преграды (рис.7).

Проведенное исследование позволило дополнить изложенную | п. 1.2 качественную картин}' высокоскоростного удара капли по вердой поверхности, что отражено в Результатах главы б.

Основные выводы диссертации сформулированы в Заключении.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] A.Y.Chizhov, A. A.Schmidt. Synthesis of the Galeikin FEM and TYD-schemes for simulation of drop-solid surface impact . Proc. of the IX Int., Conf. on Finite Elements in Fluids, Italy, 1995, v.2, p.l019-102S.

[2] A.V.Chizliov, A.A.Sclmiidt. Imi)lementation of a Finite Element Method coupled with a TVD-scheme to study high speed interaction of a drop with a solid surface Abstracts of the Int. Conf. on Opt.iiniztion of Finite Element Approximation, St. - Petersburg State Technical University, 1995, p.47-48.

[3] А.В.Чижов, А.А.Шмидт. Взаимодействие капли жидкости с твердой поверхностью. Письма в ЖТФ, т.22, вып. 3, 1997, стр.57-62.

[4] А.В.Чижов. Использование TVD-схемы в конечно-элементной формулировке для моделирования разрывных жидких течений в лагранжевой постановке. Тезисы докладов XI Всеросс. конф. "Теор.основы и конструирование численных алгоритмов решения задач мат. физики", Пущино, 5-9 октября 1996г., стр.72.

[5] А.В.Чижов, В.О.Чистяков, А.А.Шмидт. Моделирование разрушения железа взрывной волной. Письма в ЖТФ, т.23, вып.9, стр.33-39, 1997.

[6] А.В.Чижов, В.О.Чистяков, А.А.Шмидт. Разрушение железа взрывной волной. Тезисы докладов XI Зимней школы по механике сплошных сред, Пермь, 1997.

Отпечатано в типографии ПИЯФ 188350, Гатчина Ленинградской обл., Орлова роща Зак. 223, тир. 100, уч.-изд. л. 0,9; 16.04.1998г.