Численное моделирование эффекта весеннего термобара в глубоком озере

Цыденов, Баир Олегович

Численное моделирование эффекта весеннего термобара в глубоком озере тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Цыденов, Баир Олегович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Томск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Численное моделирование эффекта весеннего термобара в глубоком озере»

Автореферат диссертации на тему "Численное моделирование эффекта весеннего термобара в глубоком озере"

На правах рукописи

Цыденов Баир Олегович

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭФФЕКТА ВЕСЕННЕГО ТЕРМОБАРА В ГЛУБОКОМ ОЗЕРЕ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Томск-2014

005550900

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», на кафедре вычислительной математики и компьютерного моделирования.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Старченко Александр Васильевич

Официальные оппоненты:

Шлычков Вячеслав Александрович, доктор физико-математических наук, федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт водных и экологических проблем Сибирского отделения Российской академии наук, Новосибирский филиал, главный научный сотрудник

Брендаков Владимир Николаевич, кандидат физико-математических наук, доцент, федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», Северский технологический институт, кафедра высшей математики и информационных технологий, заведующий кафедрой

Ведущая организация: федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск

Защита диссертации состоится 16 мая 2014 г. в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.267.13, созданного на базе федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», по адресу: 634050, г. Томск, пр, Ленина, 36 (корпус № 10, ауд. 239).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке и на сайте федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет» www.tsu.ru.

Материалы по защите диссертации размещены на официальном сайте ТГУ: http://www.tsu.ru/content/news/announcement_of_the_dissertations_in_the_tsu.php

Автореферат разослан « 9> 1» марта 2014 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, доктор технических наук

Христенко Юрий Федорович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одна из важнейших проблем, которые ставит перед человечеством научно-технический прогресс, — проблема «чистой воды». По оценкам учёных через несколько десятилетий чистая пресная вода станет важнейшим ресурсом, поскольку она незаменима в отличие от других природных богатств Земли. Согласно прогнозам директора Института водных проблем РАН В. И. Данилова-Данильяна1 глобальный водный кризис ожидается в интервале от 2025 до 2035-2040 гг.

К истощению водных ресурсов ведёт не рост расходуемой воды, а её загрязнение. Огромное количество пресной воды хранится в озёрах. Только в озере Байкал сосредоточено около 20% мировых запасов пресной воды и более 80% запасов России. Понимание природных механизмов озёрной гидродинамики необходимо для правильного выбора стратегии предотвращения загрязнения воды. Прогнозирование и мониторинг состояния экосистемы озера позволят оценить возможные масштабы загрязнения водоёма.

К числу явлений, которое может оказать существенное влияние на процессы распространения загрязнения в водоёме, относится термобар. Под термобаром понимается узкая зона в глубоком озере умеренных широт, в которой происходит погружение имеющей наибольшую плотность воды от поверхности до дна. С физической точки зрения, причиной формирования термобара является так называемый эффект уплотнения при смешении вод, т. е. аномальное изменение плотности воды.

Ограниченность натурных данных, отсутствие математических моделей высокого порядка точности, адекватно отражающих процессы гидродинамики озера с учётом гидрометеорологических условий, — вот современное состояние знаний о термобаре в глубоком озере.

Исследования механизмов естественной конвекции, участвующих в гидродинамических процессах экосистемы водоёмов, вызывают постоянно растущий научный и практический интерес. Особое внимание уделяется данной тематике в последние годы в связи с проблемой взаимодействия человечества с окружающей средой. Ввиду сложности постановки натурных экспериментов в реальных условиях наиболее естественным к изучению и оценке влияния деятельности людей на гидросферу является подход создания математических моделей, позволяющих с помощью численных экспериментов на высокопроизводительных ЭВМ оценить возмущения основных параметров, характеризующих состояние и режим водоёма.

' Данилов-Данильян В. И. Водные ресурсы — стратегический фактор долгосрочного развития экономики России// Вестник РАН. - 2009. - Т. 79, № 9. - С. 789-798.

явление, дает возможность идеализировать процесс за счёт отключения некоторых факторов. Однако математическое моделирование, в конце концов, изучает не сам рассматриваемый процесс, а лишь его модель, которая представляет собой систему дифференциальных уравнений, выражающих законы сохранения. Поэтому важно, чтобы математическая модель, по возможности, адекватно представляла основные свойства изучаемого явления или процесса.

Исследование и прогнозирование возможного распространения загрязнения в озере в силу уникальности объекта можно проводить исключительно с использованием методов математического моделирования.

Объектом исследования выступают термогидродинамические процессы в озёрах.

Предметом исследования является математическая модель термобара в глубоком озере. Предмет исследования диссертационной работы соответствует специальности 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы по области исследования «Гидродинамические модели природных процессов и экосистем» (п. 19 паспорта специальности).

Целью диссертационной работы является разработка комплексной математической модели и эффективного численного метода для воспроизведения и исследования особенностей гидродинамических процессов, сопровождающих весенний термобар в глубоком озере.

Для достижения цели поставлены следующие задачи:

■ построение комплексной негидростатической модели в приближении Буссинеска для воспроизведения гидродинамических процессов в озере;

■ разработка эффективного метода решения уравнений негидростатической модели, опирающегося на использование неявных разностных схем второго порядка аппроксимации для решения уравнений движения и переноса;

■ апробация численного алгоритма негидростатической модели на имеющихся экспериментальных данных, анализ полученных результатов и сравнение их с результатами других авторов и описаниями натурных наблюдений;

■ проведение параметрических расчётов для реальных условий южного бассейна озера Байкал для исследования формирования и развития речного термобара в период весеннего прогревания;

■ анализ влияния вращения Земли, а также переменного потока тепла и ветрового трения на характер развития селенгинского термобара;

■ моделирование сценария распространения загрязняющих веществ под действием механизмов естественной конвекции, порождаемых речным термобаром.

Методы исследования. Моделирование нестационарного течения проводится путём численного решения системы уравнений тепловой конвекции в приближении Буссинеска, замыкание которой осуществляется с помощью известной двухпараметрической к-ко модели Уилкокса или же алгебраических соотношений для коэффициентов турбулентной диффузии. Решение

конвективно-диффузионных уравнений основано на методе конечных объёмов, обеспечивающем выполнение интегральных законов сохранения.

Научная новизна полученных автором результатов заключается в следующем:

■ разработана новая негидростатическая модель в приближении Буссинеска для исследования закономерностей гидродинамических процессов в крупном озере, учитывающая влияние силы Кориолиса, метеорологических и гидрохимических условий, а также нестационарную и пространственную динамику турбулентной структуры; при моделировании термобара впервые применена двухпараметрическая дифференциальная k-м модель Уилкокса для расчёта значений коэффициентов турбулентной диффузии и использованы граничные условия радиационного типа на открытой границе вычислительной области;

■ для согласования рассчитываемых полей скорости и давления предложена новая эффективная процедура (названная SIMPLED) для течений с плавучестью, представляющая собой модификацию известного алгоритма SIMPLE Патанкара и Сполдинга;

■ с помощью разработанной математической модели впервые воспроизведены гидродинамические сценарии в озере Камлупс для случаев «зима», «ранняя весна», «середина весны» и «поздняя весна», полностью соответствующие описаниям натурных наблюдений;

■ получены результаты численных расчётов весеннего речного термобара и связанных с ним распространения концентрации загрязняющих веществ в озере Байкал с учётом реальных морфометрических, метеорологических, гидрохимических условий исследуемого региона.

Теоретическая значимость диссертации заключается в развитии теории численных методов решения задач, связанных с моделированием гидродинамики глубокого водоёма, а именно в построении численного метода второго порядка и описании усовершенствованной процедуры согласования полей скорости и давления для течений с плавучестью.

Практическая значимость работы определяется тем, что предложенная модель и созданный алгоритм решения нестационарных уравнений переноса позволяют рассчитывать гидротермодинамические картины движения водных масс в период существования речного термобара и предсказывать возможные сценарии распространения загрязняющих веществ под действием сил естественной конвекции. Воспроизведение всех особенностей термобара позволит оценить его масштабы, что является важным с точки зрения прогнозирования экологического состояния воды в озере. Сведения, касающиеся районов расположения термобара, важны для решения задач рационального природопользования, например, для определения оптимальных сроков вылова рыбы рыбопромысловыми организациями.

Основные положения, выносимые на защиту:

■ комплексная негидростатическая модель речного термобара в приближении Буссинеска, учитывающая влияние силы Кориолиса, атмосферных и

гидрохимических процессов, а также динамику турбулентной структуры;

■ численный метод решения уравнений негидростатической модели;

■ результаты сценарных расчётов, соответствующих случаям «зима», «ранняя весна», «середина весны» и «поздняя весна» на примере озера Камлупс;

■ результаты численного исследования селенгинского весеннего термобара и его экологических последствий в озере Байкал.

Достоверность и обоснованность научных положений и выводов, сделанных в диссертации, следует из адекватности физических и математических моделей, используемых в работе, что подтверждается сравнением с описаниями натурных наблюдений и известными результатами численного моделирования других авторов, а также расчётами, полученными с помощью лицензированного программного пакета FLUENT.

Личный вклад автора. Цыденов Б. О. под руководством профессора Старченко А. В. построил комплексную численную модель расчёта термобара в глубоководном озере, осуществил верификацию численного метода, получил основные результаты диссертационной работы и провёл их обоснование.

Апробация работы. Обсуждение результатов диссертационного исследования проводилось на 18 международных, всероссийских и региональных конференциях, в том числе 4 доклада были отмечены экспертами секций на XVIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «ЛОМОНОСОВ» (МГУ им. Ломоносова, г. Москва, 2011 г., грамота за лучший докладу, Международной школе-конференции «Фундаментальная математика и её приложения в естествознании» (г. Уфа, 2010 г., диплом I степени)', Ш Всероссийской молодёжной научной конференции «Современные проблемы математики и механики» (г. Томск, 2012 г., диплом III степени)-, Международной экологической студенческой конференции «Экология России и сопредельных территорий» (г. Новосибирск, 2010 г., благодарность).

Текущие результаты докладывались и обсуждались в Лимнологическом институте СО РАН (г. Иркутск, 2012), на факультете математических наук Университета Лафборо (г. Лафборо, Великобритания, 2012).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 23 научные работы, в том числе 3 статьи в научных журналах, которые включены в перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертаций; 2 - в сборниках трудов победителей и лауреатов Всероссийского конкурса научно-исследовательских работ; 18 — в материалах российских и международных конференций, симпозиумов и школ. Общий объём публикаций - 5.64 п.л., личный вклад автора - 3.97 п.л.

Объём и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы из 149 наименований; общий объём работы - 145 страниц.

Исследование выполнено при финансовой поддержке стипендии Президента РФ для молодых учёных и аспирантов, осуществляющих

перспективные научные исследования и разработки по приоритетным направлениям модернизации российской экономики (СП-71.2012.5), Программы развития деятельности студенческих объединений Национального исследовательского Томского государственного университета «Инновации и творчество на 2012-2013гг.», ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013» (соглашение .NM4.B37.21.0667), Министерства образования и науки РФ (задание №8.4859.2011).

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследования, отражены научная новизна и практическая значимость, перечислены выносимые на защиту положения, изложено краткое содержание работы.

В первой главе рассмотрены результаты теоретических и экспериментальных исследований явления термобара в глубоководном озере, изложены особенности существующих подходов исследования термабара методами численного моделирования и отмечены их преимущества и недостатки. Приведены описания натурных наблюдений, включающих в себя тепловой, гидрохимический режимы озера Байкал в период весенне-летнего прогревания, а также сведения о влиянии волнения ветра, притока солнечной радиации и других внешних воздействий, способствующих формированию и развитию термобара. Также обозначены проблемные аспекты существующих на сегодняшний день моделей расчёта термобара и сформулированы основные требования, которым должна удовлетворять современная математическая модель для исследования гидродинамических процессов в глубоком озере.

Вторая глава представляет математическую формулировку задачи расчёта термобара в глубоком озере, поставленную на основании проведенного обзора литературы с обоснованием предпочтительности того или того подхода.

Негидростатическая математическая модель для воспроизведения гидродинамических процессов в глубоком озере, учитывающая влияние силы Кориолиса, связанной с вращением Земли, и записанная в приближении Буссинеска включает в себя следующие уравнения:

а) уравнения количества движения

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

дну ¿5>су д („ ¿НЛ 8 (Т.

— +-+-= — — +— К.

Ы дх дг дх\ дх) д2\ '

+ 20хп- - 20.М

+ 2СЪ'-2П>лп

(2)

^ + 2П}.и - 2<Лгс; (3)

б) уравнение неразрывности

дх дг

в) уравнение энергии

дт | дит ^ &ут =д(п ату д(в агЛ [ 1 ен1о1,

Ы + дх + дг х дх)+дгУ 2 дг ) р0ср дг ' (5)

г) уравнения баланса солёности и концентрации загрязняющих веществ в озере (Ф=8, С)

дФ | диФ | д\уФ = ^ С двЛ | д (п аоЛ д1+ дх + дг ~ дх\ х дх) дг{ 2 дг)' ( '

где и, V — горизонтальные компоненты скорости; \е - вертикальная компонента скорости; Ох, Оу и Ог - компоненты вектора угловой скорости вращения Земли; g - ускорение свободного падения; ср - удельная теплоёмкость; Г -температура; $ - солёность; С - концентрация примеси; р - давление; ро -плотность воды при стандартном атмосферном давлении, температуре 71 и солёности $1 (Г£ и Л'/. - характерная температура и солёность озера соответственно). Поглощение коротковолновой радиации Н!0/ рассчитывается по закону Бугера-Ламберта-Бэра :

где да 0.2 - коэффициент отражения воды, еаЬз ~ 0.3м' - коэффициент поглощения солнечной радиации в воде. Приток солнечной радиации на поверхность озера Н$ю10 определяется следующим соотношением3:

[0, если соб^йО,

здесь 5(^1367 Вт/лС - солнечная постоянная, С - зенитный угол Солнца,

Я?=0.485 + 0.515-(1.014-0.16/7собС), а„ = 0.039-{гк1 (г» -

содержание водяного пара в атмосфере, кг/м2).

Для турбулентного замыкания системы уравнений (1)-(8) используются двухпараметрическая к-со модель турбулентности Уилкокса4, состоящая из уравнений для кинетической энергии (к) и частоты турбулентных пульсаций (со), и алгебраические соотношения5 для определения турбулентной диффузии:

2 Application of k-e turbulence models to enclosed basin: The role of internal seiches / G.-H. Goudsmit [et. al] //J. Geophys. Res. - 2002. - Vol. 107, № C12. - P. 23-1-23-13.

3 Гидротермодинамическое взаимодействие озера с атмосферой / С. С. Зилитинкевич [и др.]. -Л.: Наука, 1990.-140с.

4 Wilcox D. С. Reassessment of the scale-determining equation for advanced turbulence models // AIAA Journal. - 1988. - Vol. 26, № 11. - P. 1299-1310.

5 Holland P. R. Numerical modelling of the thermal bar and its ecological consequences in a riverdominated lake / P. R. Holland, A. Kay, V. Botte // J. Mar. Syst. - 2003. - Vol. 43, № 1 -2. - P. 6181.

Кх=2.5м2/с, K2=vT+v, (9)

Ar= К„ D, = К.,

где vT=k/a> — турбулентная кинематическая вязкость; v - молекулярная кинематическая вязкость воды.

В качестве уравнения состояния р = p(T,S,p) выбрано уравнение Чена-Миллеро6, принятое UNESCO. Данное уравнение состояния связывает плотность воды с температурой, солёностью, давлением и справедливо в диапазоне 0 < Т < 30°С, 0 < S < 0.6 г/кг, 0 <р < 180 бар.

В начальный момент времени система находится в состоянии покоя и удовлетворяет заданным полям температуры и солёности

f = 0: и = 0; v = 0; w=0; T = TL; S = SL; C = 0; A: = 0; co = (%. Граничные условия имеют следующий вид: а) на поверхности

Виг^ w = 0; f = f = 0; f = 0;

dz p0 dz pg dz Pq ■ с p dz dz

8k _ da 4k

& & с°мф + г0У

где Нпе1 - тепловой поток, состоящий из длинноволновой радиации и скрытого и чувствительного тепла, Вт/м2; к = 0.41 - константа фон Кармана; г„=0.5 м -высота шероховатости. Сдвиговое напряжение ветра на поверхности озера описывается законом

С// =С10РауН)+и10 -и10'

V _ Г~2 2~~ гл/г/ - с\0Ра\Г10 + "Ю ' У10>

здесь ра - плотность воздуха у поверхности воды; и10, \',0 — составляющие

скорости ветра на высоте 10 м над поверхностью озера с учётом угла сечения

относительно восточного направления; с10 =1.3х10~3;

б) на твёрдых границах (на дне)

п п п-пдТ Н&о.дБ дС дк да 4к

И = 0;У = 0;м' = 0;£)2 —=--; — = 0; — = 0; —= 0, —= -——-;т>

дп р0ср дп дп дп дп С/>-(г + г0)

где 11ке„ - геотермальное тепло; п - направление внешней нормали к области; го=0.05 м\

в) на границе втекания реки (на левой границе)

и = ия; у = >г=0; Т = ТК\ Б-Б^;, С = 1; к = кк;са = а)1{, где ия - скорость речного притока, ТК и - температура и солёность реки соответственно.

6 Chen C. T. Precise thermodynamic properties for natural waters covering only limnologies range / C. T. Chen, F. G. Millero // Limnol. Oceanogr. - 1986. - Vol. 31, № 3. - P. 651-662.

г) на открытой граниг/е задаются условия радиационного типа7

дф , дф . ,, гр „ „ч 6w . дк дсо .

здесь фазовая скорость Сф рассчитывается из пространственных и временных тенденций внутри области:

= _8ф/дф ф 8ti 8х'

Начальное поле давления определяется из решения уравнений состояния и гидростатики с граничным условием на поверхности р — ра (ра - атмосферное давление) методом Рунге — Кутты четвёртого порядка точности. Уравнение гидростатики выводится из уравнения движения для вертикальной компоненты скорости (при условии w=0 и отсутствии силы Кориолиса) и имеет вид:

В третьей главе описана численная методика решения задачи, которая основана на методе конечного объёма, обеспечивающем выполнение интегральных законов сохранения. Осуществлена дискретизация исходной дифференциальной задачи и получен её конечно-разностный аналог. Согласно методу конечного объёма скалярные величины (температура, солёность и т.д.) определяются в центре сеточной ячейки, в то время как компоненты вектора скорости - в средних точках на границах ячеек. В целях приближения расчётной области к прибрежному профилю озера применяется метод блокировки фиктивных областей8: приравниваются нулю компоненты скорости в выключенной зоне за счёт использования больших значений коэффициентов вязкости в этой зоне.

Численный алгоритм нахождения поля течения и температуры опирается на разностную схему Кранка - Николсон. Конвективные слагаемые в уравнениях аппроксимируются по одной из трёх противопотоковых схем: Upwind8, MLU9, QUICK1®.

Для согласования рассчитываемых полей скорости и давления разработана процедура SIMPLED для течений с плавучестью, представляющая собой модификацию метода SIMPLE Патанкара8 и Сполдинга. Алгоритм

' Orlanski L A simple boundary condition for unbounded hyperbolic flows II J. Computational Phys. - 1976. - Vol. 21, № 3. - P. 251-269.

8 Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости : пер. с англ. / С. Патанкар ; под ред. В. Д. Виоленского. - М. : Энергоатомиздат, 1984. - 124 с.

* Van Leer В. Towards the ultimate conservative differencing scheme. Part II. Monotonicity and conservation combined in a second order scheme // J. Comput. Phys. - 1974. - Vol. 14. - P. 361370.

10 Leonard B. A Stable and Accurate Convective Modeling Procedure Based on Quadratic Upstream Interpolation // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1979. -Vol. 19,№ 1. -P. 59-98.

Б1МРЬЕО основан на циклической последовательности операций «предположение-коррекция»:

1. Задание приближенного поля давленияр*, температуры Т* и солёности 5*.

2. Решение уравнений количества движения для получения приближенных значений компонент скорости и* и и'* из уравнений вида (здесь и ниже используются обозначения, принятые в [8])

а"и'е = Т.а"пьКь +Ь" + (Р*р ~Ре)К'>

пЬ

пЬ р{)

где 2 означает суммирование по всем соседним узлам конечного объёма

пЬ

IV, Е, 5 и Л^; Ихи /;2 - шаги сетки в соответствующем направлении.

3. Решение уравнений энергии (для получения 7) и солёности (для получения 5) и расчёт р' = р(р*,Т,Б)-р(р*,Т*,8*).

4. Решение уравнения для поправки давления //из уравнений

аРр'Р =аЕр'Е +амр'м +а3р'5+Ь,

где аР=с1еИ2, = ам=с1пИх, а3=с1)\х, ар=аЕ+а1Г+ам+а3,

Ь = (К-и*е)К + (<-^к + — {СПР'п ~СА)К-

к ' 4 ' Ро

5. Расчётр путём добавления р' к р *.

6. Корректировка компонент скорости и и п1 из формул вида

ие=ие+с1е(р'р-р'Е)-,

Ро

где а.= — , а„ = с„=——-.

е „ > п у/ ' я и>

Я„

7. Решение уравнений энергии, солёности, количества движения для V и расчёт р = р(АГ,5).

8. Возврат к пункту 2 и повтор расчётов до тех пор, пока не будет достигнута сходимость.

Системы сеточных уравнений на каждом шаге по времени решаются методом нижней релаксации или явным методом Н. И. Булеева11.

В заключительной части третьей главы приведены результаты тестирования численного метода на примере классической задачи о тепловой гравитационной конвекции при изотермических боковых границах в каверне.

11 Булеев Н. И. Метод неполной факторизации для решения двумерных и трехмерных разностных уравнений типа диффузии // Ж>рн. вычисл. матем. и матем. физ. - 1970. - Т. 10, №4.-С. 1042-1044.

Четвёртая глава посвящена исследованию численной модели на примере термобара в озере Камлупс (Канада). Вычислительные эксперименты показали, что физическая картина динамики развития термобара в озере Камлупс достаточно хорошо согласуется с результатами расчётов Холланда П. Р. и др.5 На рис. 1 изображены линии тока и температура максимальной плотности (жирная сплошная линия), которые рассчитаны для тех же моментов времени как в работе [5].

Расстояние от устья р.Томпсон, км

4 3 2 1 0

Рисунок 1 - Линии тока и профиль температуры максимальной плотности (жирная сплошная линия) через 8, 16 и 24 суток (сверху вниз) от начала вычислительного эксперимента.

Пунктиром показано положение температуры максимальной плотности, приведенное в работе Холланда П. Р. и др. [5]

Кроме того, осуществлено моделирование гидродинамических сценариев в озере Камлупс и проведён сравнительный анализ полученных результатов с натурными наблюдениями. Серия экспериментов «зима», «ранняя весна», «середина весны», «поздняя весна» демонстрирует полное соответствие картин взаимодействия систем «река - озеро», описанных Кармаком Э. К. и

др.12 на основе натурных наблюдений в озере Камлупс.

На рис. 2 попарно представлены векторные поля скорости и изотермы, построенные через 8 суток от начала эксперимента для случая «середина весны», связанного с возникновением и развитием термобара. Для моделирования данного вида циркуляции задавались следующие характеристики температуры: начальное распределение температуры в озере составляло 2.4 °С, а начальная температура воды притока имела значение 5°С и повышалась на 0.2°С в сутки. Река Томпсон впадает в озеро со скоростью 0.01 м/с, минерализация воды в озере и в реке составляет 0.1 г/кг. Поток тепла, поступающий на водную гладь, равен 170 Вт/м2.

Глубина, м Глубина, м

Рисунок 2 - Случай «середина весны». Векторное поле скорости (слева) и изотермы (справа)

через 8 суток

Этот эксперимент отличается тем, что температура реки выше температуры максимальной плотности, а озера - ниже. По этой причине, проникающий в озеро речной поток распространяется сначала поверхностной струёй, а затем, смешиваясь с более холодной озёрной водной массой и достигая температуру максимальной плотности, начинает погружаться вниз до дна, образуя термобар (см. рис. 2). Эти опускания происходят вследствие так называемой термобарической неустойчивости столба жидкости. Для инициирования такой неустойчивости необходима внешняя сила, способная преодолеть создаваемый архимедовыми силами потенциальный барьер. Иными словами, аномальный рост сжимаемости воды при приближении её температуры к температуре максимальной плотности приводит к необратимому погружению водных масс до дна. За 8 суток фронт термобара продвигается на расстояние 1.2 - 1.3 км от устья реки Томпсон, формируя по обе стороны циркуляционные ячейки с зоной схождения воды. По мере прогрева озера термобар смещается в центральную часть водоёма (на 16-е сутки достигает 2.7 - 2.8 км) и затем исчезает (24-е сутки).

Также исследован вопрос о влиянии минерализации речного притока на

12 Importance of lake-river interaction on seasonal patterns in the general circulation of Kamloops Lake, British Columbia / E. C. Carmack [et. al ] // Limnol. Oceanogr. - 1979. - Vol. 24, № 4. - P. 634-644.

характер эволюции термобара. Численные эксперименты показали, что высокая минерализация речного притока замедляет распространение термобара в приповерхностной области и способствует его продвижению в глубинную часть озера.

В пятой главе представлены результаты моделирования термобара в озере Байкал, полученные с помощью разработанной комплексной модели воспроизведения гидродинамических процессов с учётом реальных батиметрических, метеорологических, гидрохимических данных.

В качестве исследуемой области выбрано поперечное сечение на границе Южного и Среднего Байкала: протока Средняя (устье р. Селенги) -Бугульдейка. Данные о рельефе дна, соответствующие указанному разрезу, взяты из батиметрической электронной карты озера Байкал1, (см. рис. 3).

Рисунок 3 - Сечение протока Средняя - Бугульдейка: а - схема поперечного разреза озера Байкал; б - рельеф дна для указанного разреза; в - расчётная область

Средняя

Расстояние, м (Ох)

500-

1000-

Предложенная в диссертации комплексная модель позволяет учитывать суточную изменчивость метеорологических факторов, воздействующих на водную поверхность озера. При математическом моделировании термобара в озере Байкал в качестве атмосферных данных выступает информация о температуре воздуха, относительной влажности, атмосферном давлении, облачности, скорости ветра вблизи поверхности из архива погодных условий метеостанции г. Байкальск в период с 01.05.2002 по 30.05.2002 г. (http://meteo. infospace.ru). По имеющимся данным наблюдений рассчитываются значения коротковолновой и длинноволновой радиации, потоков скрытого и чувствительного тепла, а также ветровое воздействие на границе раздела «вода - воздух» (см. рис. 4).

13 Батиметрическая электронная карта озера Байкал / П. П. Шерстянкин [и др.] // ДАН. -2006. - Т. 408, №1. - С. 102-107.

Длинноволновая радиация

Поток чувствительного тепла

Сутки

Рисунок 4 - Компоненты тепловых потоков, рассчитанные на основе атмосферных данных метеорологической станции г. Байкальск в период с 01.05.2002 по 30.05.2002 г. (время иТС)

800600- ^400-ш 2000-

Ч - V Л \ \ > \ 1. - - « г - - ч \ к ч У! -

-200 I ' I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I ' I 1 ) 1 I 1 I 1 I 1 I 1 ! 1 I 1 I ' I ' I 1 I 1 I 1 1 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I ' I 1 I 1 !' I 1 I

0 1 2 3 4 5 6 7 6 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Сутки

Рисунок 5 - Суммарный тепловой поток, рассчитанный на основе атмосферных данных метеорологической станции г. Байкальск в период с 01.05.2002 по 30.05.2002 г. (время иТС)

Из рис. 4 видно, что длинноволновая радиация Н1к принимает как положительное, так и отрицательное значение. В первых двух декадах изменяется от -92 до 20 Вт/м2, в последней декаде месяца наблюдается общая тенденция роста до 47 Вт/м2. Диапазон значений потока скрытого тепла Нь на протяжении всего периода варьируется от -41 до 0 Вт/м2. Во второй и третьей декадах месяца поток чувствительного тепла Н5 преимущественно положителен, что связано с повышением среднесуточной температуры воздуха.

В мае месяце среднее значение суммарного теплового потока (см. рис. 5) монотонно растёт в интервале от 225 до 325 Вт/м2.

В расчётах в качестве начального распределения температуры в озере Байкал принято постоянное значение, равное 3°С, в то время как температура воды в р. Селенге составляет 5°С и нагревается на 0.4°С в день, что соответствует реальному температурному режиму в мае месяце. Река впадает в озеро со скоростью 0.015 м/с (это значение отражает среднюю скорость14 стокового течения при среднегодовом расходе воды р. Селенги 1000 м3/с). Минерализация воды в озере составляет 0.096 г/кг, а в реке линейно растёт от 0.140 г/кг до 0.150 г/кг. Переменный поток тепла, поступающий на водную гладь, включает в себя длинноволновую радиацию, а также потоки скрытого и чувствительного тепла (см. рис. 4). На свободной поверхности задаётся напряжение ветра, на дне - геотермальное тепло Нгео=0.1 Вт/м2. Вычислительная область имеет протяженность 18 км и глубину 300 м (см. рис. Зв). Открытый участок речного стока (на левой границе) составляет 15 м от поверхности озера. Расчётная область (см. рис. Зв) покрывается равномерной ортогональной сеткой с шагами Их = 50м и И7=5м. Шаг по времени А1=60 с.

Местоположение температуры максимальной плотности (см. рис. 6а, жёлтым цветом обозначен профиль температуры максимальной плотности) показывает, что на 5-е расчётные сутки фронт термобара продвигается почти на 4 км от устья реки Селенги. Векторное поле скорости (см. рис. 6Ь) и изолинии продольной составляющей скорости (см. рис. 6с) демонстрируют погружение водных масс и образование циркуляции жидкости на месте расположения термобара. Видно, что к фронту термобара подтягиваются более холодные и менее минерализованные поверхностные воды открытой части озера (теплоинертной области). При смешивании тёплого и более минерализованного речного потока с холодной озёрной водой возникает узкая зона с вертикальным перемещением (термобар). Наиболее плотные водные массы, достигнув 50-метрового участка дна, продолжают своё движение по склону в глубоководную часть озера. Распределение изотерм показывает, что за 5 суток речная вода прогревается до 8°С. Наблюдается явление гомотермии (однородности температуры воды по глубине) - изотермы вертикальные с незначительным наклоном. Характер наклона определяется действием силы

14 Иванов В. Г. Формирование и эволюция весеннего термобара за счет стока реки (на примере Селенгинского мелководья озера Байкал) : автореф. дис. ... канд. геогр. наук / В. Г. Иванов. - Иркутск, 2012.-24 с.

Кориолиса.

0.015 0.012 0.009 0.006 0.003

-0.003 -0.006 -0.009

s -50-

го~

I -100-1

о >

- -150 -200

2000

4000

14000

16000

6000 8000 10000 12000

Расстояние, м

Рисунок 6 - Изотермы (а), векторное поле скорости (Ь) и изолинии горизонтальной компоненты скорости (с) на 5-е расчетные сутки

Согласно определению термобар возникает в том месте, где температура воды близка температуре максимальной плотности. Общую динамику распространения термобара наглядно демонстрирует график зависимости положения температуры максимальной плотности от времени на поверхности озера (см. рис. 7). На рис. 7 изображена динамика развития термобара по положению температуры максимальной плотности с применением представленной выше (см. рис. 4) параметризации (линия синего цвета) и заданием постоянного потока тепла15, равного 260 Вт/м2, без ветрового трения (линия зелёнего цвета) на свободной поверхности. Графики зависимости показывают, что переменный тепловой поток и ветровое трение существенно

15 Numerical Modeling of Thermal Bars in Deep Lakes / O. F. Vasiliev [et. al ] // Water Quality in Rivers and Lakes: Parallel Session. -02.09.1998.

влияют на характер развития термобара (см. рис. 7). Сравнивая графики, видим, что граничное условие на свободной поверхности с постоянным потоком тепла упрощает представление о процессе эволюции термобара. Результаты расчётов с учётом суточной изменчивости метеоданных свидетельствуют о том, что в ночное время продвижение термобара замедляется, а на определённых участках ветровое трение служит причиной перемещения термобара в обратном направлении (к берегу). Влияние суточной изменчивости усиливается с ростом расстояния от устья реки Селенги, в то время как на начальном этапе развития термобара основной источник механической энергии (речной поток) нивелирует суточные вариации метеорологических параметров. Также важно отметить, что повышение среднего значения суммарного теплового потока (см. рис. 7) ведёт к усилению общей тенденции продвижения термобара в центральную часть акватории озера. Поэтому при моделировании термобара очень важно учитывать суточное изменение атмосферных характеристик.

Сутки

Рисунок 7 - Динамика горизонтального перемещения температуры максимальной плотности

на поверхности

Основным источником загрязнения озера Байкал считается крупнейший приток озера - река Селенга, дающая более 50% общего речного стока. Вместе с водой Селенга приносит в Байкал 60% общего объёма поступающих в озеро загрязняющих веществ16. В связи с этой проблемой важно оценить качественные показатели распространения загрязнения, поступающего из реки Селенги в озеро Байкал. С этой целью в математическую модель включено уравнение концентрации примеси (6). Будем считать, что загрязняющие вещества, растворённые в воде, не всплывают на поверхность и не выпадают в осадок, т.е. плотность загрязнителей совпадает с плотностью воды.

16 Справка - кто загрязняет Байкал [Электронный ресурс] // Федеральная служба по надзору в сфере природопользования. - Электрон, дан. - 2013. - URL: http://rpn.gov.ru/node/1022 (дата обращения: 06.11.2013).

Общая динамика распространения загрязняющих веществ в районе впадения реки Селенги в озеро Байкал представлена на рис. В.

5 суток

10 суток

20 суток

30 суток

4000

12000 16000 О

4000 8000 12000 16000 Расстояние, м

Рисунок 8 - Распределение концентрации примеси, поступающей из р. Селенги

Из рис. 8 видно, что 90% загрязненной речной воды на 5-е сутки достигает расстояния 2.6 км от устья Селенги, на 10-е сутки - 4 км, на 20-е - 6 км и на 30 - 7.2 км. Заметна тенденция опускания концентрации примеси по склону, связанная с особенностью эволюции термобара.

Кроме того, в пятой главе обсуждается влияние силы Кориолиса на характер развития термобара.

Заключение состоит из основных выводов по результатам диссертационного исследования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Построена новая комплексная негидростатическая модель для исследования явления термобара в глубоком озере. В математической модели учитываются зависимость плотности воды не только от температуры, но и от солёности и давления; нестационарная и пространственная динамика турбулентной структуры; коротковолновая и длинноволновая радиация, потоки скрытого, чувствительного и геотермального тепла; влияние сил ветра и вращения Земли.

2. Для численного решения дифференциальных уравнений модели предложен метод конечного объёма с использованием неявных разностных схем второго порядка как по пространству, так и по времени. При численном моделировании термобара впервые применены k-со модель Уилкокса для расчёта значений коэффициентов турбулентной диффузии и граничные условия радиационного типа на открытой границе вычислительной области. Для согласования рассчитываемых полей скорости и давления реализована оригинальная процедура SIMPLED для течений с плавучестью, представляющая собой модификацию известного алгоритма SIMPLE Патанкара

и Сполдинга.

3. Тестирование построенного численного метода на примере классической задачи о тепловой гравитационной конвекции при изотермических боковых границах в каверне показывает качественное и количественное согласование с результатами других авторов и расчётами лицензированного программного пакета FLUENT.

4. На основе вычислительных экспериментов, проведённых для случая озера Камлупс, показана адекватность разработанной модели. Физическая картина динамики развития термобара в озере Камлупс качественно и количественно согласуется с результатами расчётов Холланда П. Р. и др. Серия вычислительных экспериментов «зима», «ранняя весна», «середина весны», «поздняя весна» демонстрирует полное соответствие гидродинамических сценариев взаимодействия систем «река — озеро», описанных Кармаком Э. К. и др. на основе натурных наблюдений в озере Камлупс. Расчёты показали, что высокая минерализация речного притока замедляет распространение термобара в приповерхностной области и способствует его продвижению в глубинную часть озера.

5. С помощью предложенной комплексной модели получены данные по динамике термобара и его влиянию на перенос примеси для озера Байкал с учётом реальных морфометрических, метеорологических, гидрохимических условий южного бассейна озера. Установлено, что переменный тепловой поток и ветровое трение существенно влияют на характер эволюции термобара. Исследование влияния эффекта вращения Земли определило, что сила Кориолиса на начальном этапе препятствует продвижению термобара. Моделирование процессов распространения концентрации примеси, поступающей вместе с водами реки Селенги, показало, что распределение загрязняющих веществ в районе впадения реки Селенги в озеро Байкал напрямую зависит от характера развития термобара.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в журналах, входящих в перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертаций:

1. Цыденов Б. О. Численная модель взаимодействия систем «река - озеро» на примере весеннего термобара в озере Камлупс / Б. О. Цыденов, A.B. Старченко // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2013. - № 5(25). - С. 102-115. - 1,12 / 0,56 п.л.

2. Цыденов Б. О. Численное моделирование механизма образования термобара в озере Байкал в период весенне-летнего прогревания / Б. О. Цыденов, А. В. Старченко // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. -2011. -№ 4, Ч. 2. - С. 551-553. - 0,24 / 0,12 п.л.

3. Цыденов Б. О. Численное моделирование эффекта термобара в озере Байкал в период весенне-летнего прогревания / Б. О. Цыденов, А. В. Старченко II Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. -2011.-№ 1(13).-С. 120-130.-0,8/0,4 п.л.

Работы в других научных изданиях:

4. Цыденов Б. О. Математическое моделирование гидродинамических процессов в озере с целью мониторинга состояния воды // Всерос. конкурс научно-иссл. работ студ. и асп. в обл. техн. наук : материалы работ победителей и лауреатов конкурса. - СПб., 2012. - С. 367 - 369. - 0,12 п.л.

5. Цыденов Б. О. О параметризации тепловых потоков на поверхности воды при математическом моделировании весенне-летнего термобара в озере Байкал // Всерос. молод, конкурс научно-иссл. работ студ. и асп. в обл. физ. наук : сб. тр. / под общ. ред. В. Н. Зимин, В. Н. Наумов, А. Н. Морозов. - М. : МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2012. - С. 234-239. - 0,4 п.л.

6. Цыденов Б. О. Алгоритм SIMPLED согласования полей скорости и давления для численного моделирования термобара в глубоком озере / Б. О. Цыденов, А. В. Старченко // Седьмая Сибирская конференция по параллельным и высокопроизводительным вычислениям : материалы конференции. Томск, 12-14 ноября 2013 г. - Томск, 2013. - С. 57-58. - 0,08 / 0,04 п.л.

7. Цыденов Б. О. Математическое моделирование термобара и его экологических последствий в районе впадения р. Селенги в оз. Байкал // XIV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям : доклады конференции [Электронный ресурс]. Томск, 15-17 октября 2013 г. - Электрон, версия печат. публ.- URL: http://conf.nsc.ru/files/conferences/vm2013/flilltext/174888/177105/ Tsydenov report.pdf (дата обращения: 19.12.2013). - 0,38 пл.

8. Цыденов Б. О. Применение k-ю модели турбулентности для исследования термобара в глубоком озере / Б. О. Цыденов, А. В. Старченко // Всерос. конф. по математике и механике, посвящ. 135-летию ТГУ и 65-летию ММФ : материалы конференции. Томск, 02-04 октября 2013 г. - Томск, 2013. - С. 83. -0,06 / 0,03 п.л.

9. Цыденов Б. О. Численная модель термобара в глубоком озере / Б. О. Цыденов, А. В. Старченко // Материалы Междунар. конф. по вычисл. механике и совр. прикладн. программным системам (ВМСППС). Алушта, 22-31 мая 2013 г. - М.: Изд-во МАИ, 2013. - С. 678-680. - 0,16 / 0,08 пл.

10. Цыденов Б. О. К выбору метода расчета термобара в глубоком озере / Б. О. Цыденов, А. В. Старченко // Современные проблемы математики и механики : материалы III Всерос. молод, научн. конф. - Томск, 2012. - С. 372-377. - 0,28 / 0,14 п.л.

11. Цыденов Б. О. К выбору параметризации тепловых потоков на свободной поверхности при численном исследовании весенне-летнего термобара в озере Байкал / Б. О. Цыденов, А. В. Старченко // Оптика атмосферы и океана. Физика атмосферы : сб. докл. XVIII Междунар. симп. [Электронный ресурс]. Иркутск, 2-6 июля 2012 г. - Томск: Изд-во ИОА СО РАН, 2012. -Электрон, версия печат. публ. - URL: http://svmp.iao.ru/ru/aoo/18/reports (дата обращения: 19.12.2013). - 0,24 / 0,12 пл. - ISBN 978-5-94458-126-6.

12. Цыденов Б. О. Влияние радиационного и турбулентного потоков тепла на математическое моделирование байкальского термобара // Материалы Международного молодежного научного форума "JIOMOHOCOB-2012" [Электронный ресурс]. Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 9-13 апреля 2012 г. - М.: МАКС Пресс, 2012. - Электрон, версия печат. публ. - URL: http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov 2012/1791/14138 3636.pdf (дата обращения: 19.12.2013). - 0,06 пл. - ISBN 978-5-317-04041-3.

13. Старченко А. В. Численное исследование динамики развития термобара в озере Байкал в период весенне-летнего прогревания / А. В. Старченко, Б. О. Цыденов // Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика : тр. Междунар. конф., посвящ. 90-летию со дня рожд. акад. Н. Н. Яненко. - Новосибирск, 2011. - Электрон, версия печат. публ. - URL: http://conf.nsc.ru/files/conferences/niknik-90/fulltext/40267/47238/ Tsvdenov.pdf (дата обращения: 19.12.2013). - 0,36 / 0,18 пл. - ISBN 978-5905569-01-2.

14. Цыденов Б. О. Математическое моделирование механизма образования весенне-летнего термобара в озере Байкал // Материалы Международного молодежного научного форума "JIOMOHOCOB-2011" [Электронный ресурс]. Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 11-15 апреля 2011 г. - М.: МАКС Пресс, 2011. - Электрон, версия печат. публ. - URL: http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov 2011/1258/14138 caac.pdf (дата обращения: 19.12.2013). - 0,06 пл. - ISBN 978-5-317-03634-8.

15. Цыденов Б. О. Математическое моделирование термобара в озере Байкал в период весенне-летнего прогревания // Материалы XV Междунар. эколог, студ. конф. "Экология России и сопредельных территорий". -Новосибирск, 2010. - С. 161. - 0,06 пл.

16. Цыденов Б. О. Численное моделирование весенне-летнего термобара в озере Байкал // Современные проблемы математики и механики : материалы Всерос. молод, научн. конф. Томск, 13-15 октября 2010 г. - Томск, 2010. - С. 232-235.-0,17 пл.

17. Цыденов Б. О. Математическое моделирование весенне-летнего термобара в озере Байкал // Фундаментальная математика и её приложения в

естествознании : материалы Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых / отв. ред. Р. М. Вахитов. - Уфа, 2010. - С. 164. - 0,06 пл.

18. Цыденов Б. О. Численное моделирование весенне-летнего термобара в озере Байкал // Научн. студ. конф. ММФ : сб. тр. Томск, 19-23 апреля 2010 г. -Томск, 2010. - С. 69-72. - 0,17 п.л.

19. Цыденов Б. О. Численное моделирование явления термического бара в озере Байкал // Материалы Международного молодежного научного форума "ЛОМОНОСОВ-2010" [Электронный ресурс]. Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 12-15 апреля 2010 г. - М.: МАКС Пресс, 2010. - Электрон, версия печат. публ. - URL: http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov 2010/23.htm (подсекция «геофизика») (дата обращения: 19.12.2013). - 0,06 пл. - ISBN 9785-317-03197-8.

20. Цыденов Б. О. Численный метод расчета явления термического бара в озере Байкал // Пятая Сибирская конференция по параллельным и высокопроизводительным вычислениям. Томск, 1-3 декабря 2009 г. / под ред. А. В. Старченко. - Томск, 2010. - С. 116—120. - 0,23 пл.

21. Цыденов Б. О. Численное моделирование конвективных течений в каверне // Перспективы развития фундаментальных наук: тр. VI Междунар. конф. - Томск, 2009. - Т.2. - С. 673-676. - 0,35 пл.

22. Цыденов Б. О. Численный метод расчета конвективных течений в каверне // Научн. студ. конф. ММФ : сб. тр. Томск, 20-25 апреля 2009 г. -Томск, 2009. - С. 55-57. - 0,12 п.л.

23. Цыденов Б. О. Математическое моделирование в проблеме охраны окружающей среды оз. Байкал // Научн. студ. конф., посвящ. 130-летию ТГУ и 60-летию ММФ : сб. материалов. Томск, 21-26 апреля 2008 г. - Томск, 2008. -С. 83.-0,06 пл.

Подписано в печать 12.03.2014 г. Формат А4/2. Ризография Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 1/03-14 Отпечатано в ООО «Позитив-НБ» 634050 г. Томск, пр. Ленина 34а

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Цыденов, Баир Олегович, Томск

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет»

На правах рукописи

04201459364

Цыденов Баир Олегович

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭФФЕКТА ВЕСЕННЕГО ТЕРМОБАРА В ГЛУБОКОМ ОЗЕРЕ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация

на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -доктор физико-математических наук, профессор А. В. Старченко

Томск - 2013

Оглавление

Основные сокращения и обозначения..........................................................................................4

Введение........................................................................................................................................................................6

Глава 1 Обзор численных и натурных исследований явления

термобара........................................................................................................................................................................14

1.1 Термический бар как объект научного исследования..........................................14

1.2 Озеро Байкал..............................................................................................................................................21

1.2.1 Общие сведения........................................................................................................................21

1.2.2 Описания натурных наблюдений..............................................................................23

1.2.3 Математическое моделирование течений в озере Байкал..................31

1.3 Некоторые важные аспекты численного исследования термобара..........39

1.3.1 Уравнение состояния............................................................................................................39

1.3.2 Моделирование турбулентного переноса..........................................................45

1.3.3 Тепловые потоки на свободной поверхности................................................48

Выводы по главе 1..........................................................................................................................................55

Глава 2 Комплексная модель расчёта термобара в глубоком озере............56

2.1 Физическая постановка задачи..................................................................................................56

2.2 Основные уравнения модели......................................................................................................58

2.3 Уравнение состояния Чена-Миллеро..................................................................................59

2.4 Модель турбулентности..................................................................................................................60

2.5 Начальные и граничные условия............................................... 62

2.6 Параметризация тепловых потоков на свободной поверхности..................64

Выводы по главе 2..........................................................................................................................................66

Глава 3 Численный метод решения задачи............................................................................67

3.1 Обобщённая форма записи конвективно-диффузионного уравнения 67

3.2 Дискретизация расчётной области методом конечного объёма..................68

3.3 Схемы аппроксимации конвективных членов............................................................70

3.3.1 Противопотоковая схема Upwind..............................................................................70

3.3.2 Схема MLU....................................................................................................................................71

3.3.3 QUICK-схема................................................................................................................................72

3.4 Аппроксимация конвективно-диффузионного уравнения..............................73

3.5 Аппроксимация нестационарного уравнения конвекции-диффузии 77

3.6 Алгоритм SIMPLED согласования полей скорости и давления..................78

3.7 Решение сеточных уравнений....................................................................................................82

3.8 Тестирование численного метода на примере каверны......................................84

3.8.1 Математическая постановка задачи........................................................................85

3.8.2 Исследование численного метода для случая квадратной

каверны............................................................................................................................................................86

3.8.3 Течения в каверне с наклонным дном..................................................................91

Выводы по главе 3..........................................................................................................................................95

Глава 4 Исследование численной модели термобара на примере озера

Камлупс........................................................................................................................................................................96

4.1 Описание численных экспериментов..................................................................................96

4.2 Применение к-со модели турбулентности........................................................................97

4.3 Сравнительный анализ динамики термобара с расчётами

Холланда П. Р. и др....................................................................................................................................100

4.4 Воспроизведение гидродинамических сценариев и сопоставление их

с натурными наблюдениями..................................................................................................................102

4.5 Влияние солёности притока на характер развития термобара 108 Выводы по главе 4..........................................................................................................................................110

Глава 5 Результаты моделирования термобара в озере Байкал......................111

5.1 Моделирование течений в окрестности мыса Лиственичного......................111

5.1.1 Постановка задачи и описание численных экспериментов................111

5.1.2 Результаты расчётов..............................................................................................................113

5.2 Результаты применения комплексной модели в районе впадения

р. Селенги в оз. Байкал..............................................................................................................................116

5.2.1 Морфометрия исследуемой области и описание численных расчётов..........................................................................................................................................................116

5.2.2 Тепловые потоки и ветровое напряжение на поверхности озера 117

5.2.3 Динамика развития термобара....................................................................................120

5.2.4 Влияние силы Кориолиса..................................................................................................124

5.2.5 Распространение концентрации загрязняющих веществ

в районе впадения р. Селенги в оз. Байкал....................................................................126

Выводы по главе 5..........................................................................................................................................128

Заключение..............................................................................................................................................................129

Список использованной литературы............................................................................................131

Основные сокращения и обозначения

МКО - метод конечных объёмов;

СЛАУ - система линейных алгебраических уравнений;

ТАО - теплоактивная область;

ТИО - теплоинертная область;

ТМП - температура максимальной плотности;

ЯМБ - явный метод Булеева.

Обозначение Наименование Размерность

С условная концентрация примеси загрязняющих веществ от 0 до 1

удельная теплоёмкость Дж/(кг ■ ° С) Дж/(кг -К)

А, А коэффициенты горизонтальной и вертикальной диффузии м2/с

g ускорение свободного падения 9.81 м/с

HL поток скрытого тепла Вт/м2

Hhv длинноволновая радиация Вт/м2

Hs поток чувствительного тепла Вт/м2

Hsol проникающая в воду коротковолновая радиация Вт/м

Hssol.O приток коротковолновой радиации на поверхность озера Вт/м2

Kx, Kz коэффициенты горизонтальной и вертикальной диффузии для уравнения количества движения м /с

N2 частота Брента - Вяйсяля -2 с

P давление воды бар

Pa нормальное атмосферное давление 1013 гПа (мбар)

s солёность г/кг

SL солёность озёра г/кг

SR солёность реки г/кг

t время с

Т (Тс) температура воды К(°С)

ТА температура воздуха К

Ть температура воды в озере К

ТтЛ температура максимальной плотности воды К

Тк температура воды в реке К

и, v, iv компоненты вектора скорости в направленияхх,уиг соответственно м/с

а коэффициент термического расширения 1/°С

Г адиабатический градиент температуры К/м

V молекулярная кинематическая вязкость м /с

Ух турбулентная кинематическая вязкость м2/с

р плотность воды кг/м

Ро плотность воды при стандартном атмосферном давлении кг/м

Ра плотность воздуха кг/м3

угловая скорость вращения Земли -7.3-10'* с'1

компоненты вектора угловой скорости вращения Земли с'

Подстрочные индексы

Обозначение Наименование

О,.

()».(),. ()., (1, - относящиеся к соответствующим точкам конечного объёма.

(1, (),

Примечание. В тексте диссертации некоторые из вышеприведённых обозначений применяются для других величин, что оговаривается в каждом конкретном случае.

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Одна из важнейших проблем, которые ставит перед человечеством научно-технический прогресс, - проблема «чистой воды». По оценкам учёных через несколько десятилетий чистая пресная вода станет важнейшим ресурсом, поскольку она незаменима в отличие от других природных богатств Земли. Согласно прогнозам директора Института водных проблем РАН Данилова - Данильяна В. И. [23] глобальный водный кризис ожидается в интервале от 2025 до 2035-2040 гг.

Ограниченность натурных данных, отсутствие математических моделей высокого порядка точности, адекватно отражающих процессы гидродинамики озера с учётом гидрометеорологических условий, - вот современное состояние знаний о термобаре в глубоком озере.

тематике в последние годы в связи с проблемой взаимодействия человечества с окружающей средой. Ввиду сложности постановки натурных экспериментов в реальных условиях наиболее естественным к изучению и оценке влияния деятельности людей на гидросферу является подход создания математических моделей, позволяющих с помощью численных экспериментов на высокопроизводительных ЭВМ оценить возмущения основных параметров, характеризующих состояние и режим водоёма.

В настоящее время для исследования процессов, происходящих в окружающей среде, часто применяют методы математического моделирования. По сравнению с проведением измерений этот подход не требует значительных затрат, позволяет детально во всех подробностях воспроизвести изучаемое явление, дает возможность идеализировать процесс за счёт отключения некоторых факторов. Однако математическое моделирование, в конце концов, изучает не сам рассматриваемый процесс, а лишь его модель, которая представляет собой систему дифференциальных уравнений, выражающих законы сохранения. Поэтому важно, чтобы математическая модель, по возможности, адекватно представляла основные свойства изучаемого явления или процесса.

Объектом исследования выступают термогидродинамические процессы в озёрах.

Предметом исследования является математическая модель термобара в глубоком озере.

Для достижения цели поставлены следующие задачи:

■ построение негидростатической квазидвухмерной модели в приближении Буссинеска для воспроизведения гидродинамических процессов в озере;

Методы исследования. Численное моделирование нестационарного течения проводится путём численного решения системы уравнений тепловой конвекции в приближении Буссинеска, замыкание которой осуществляется с помощью известной двухпараметрической к-со модели Уилкокса или же алгебраическими соотношениями для коэффициентов турбулентной диффузии. Решение конвективно-диффузионных уравнений основано на методе конечных объёмов, обеспечивающем выполнение интегральных законов сохранения.

Научная новизна полученных автором результатов заключается в следующем:

■ разработана новая негидростатическая модель в приближении Буссинеска

для исследования закономерностей гидродинамических процессов в

крупном озере, учитывающая влияние силы Кориолиса, метеорологических

и гидрохимических условий, а также нестационарную и пространственную

динамику турбулентной структуры; при моделировании термобара впервые применена двухпараметрическая дифференциальная k-со модель Уилкокса для расчёта значений коэффициентов турбулентной диффузии и использованы граничные условия радиационного типа на открытой границе вычислительной области;

■ получены результаты численных расчётов весеннего речного термобара и связанных с ним распространения концентрации загрязняющих веществ с учётом реальных морфометрических, метеорологических, гидрохимических условий южного бассейна озера Байкал.

Практическая значимость работы определяется тем, что предложенная

модель и созданный алгоритм решения нестационарных уравнений переноса

позволяют рассчитывать гидротермодинамические картины движения водных

масс в период существования речного термобара и предсказывать возможные

сценарии распространения загрязняющих веществ под действием механизмов

естественной конвекции. Воспроизведение всех особенностей термобара

позволит оценить его масштабы, что является важным с точки зрения

прогнозирования экологического состояния воды в озере. Сведения,

касающиеся районов расположения термобара, важны для решения задач рационального природопользования, например, для определения оптимальных сроков вылова рыбы рыбопромысловыми организациями. Основные положения, выносимые на защиту:

■ негидростатическая квазидвухмерная модель речного термобара в приближении Буссинеска, учитывающая влияние силы Кориолиса, атмосферных и гидрохимических процессов, а также динамику турбулентной структуры;

■ численный метод решения уравнений негидростатической модели;

Достоверность и обоснованность научных положений и выводов,

сделанных в диссертации, следует из адекватности физических и

математических моделей, используемых в работе, что подтверждается

сравнением с описаниями натурных наблюдений и известными результатами

численного моделирования других авторов, а также расчётами

лицензированного программного пакета FLUENT.

Личный вклад автора. Цыденов Б. О. под руководством профессора

Старченко А. В. построил математическую модель расчёта термобара в

глубоководн