Численное моделирование газодинамических процессов при высоких плотностях энергии модифицированным методом индивидуальных частиц тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.17 ВАК РФ

На правах рукописи «к/

Ким Вадим Валерьевич

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ВЫСОКИХ ПЛОТНОСТЯХ ЭНЕРГИИ МОДИФИЦИРОВАННЫМ МЕТОДОМ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЧАСТИЦ

01 04.17 — химическая физика, в том числе физика горения и взрыва

Автореферат

к

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

\

Черноголовка — 2005

Работа выполнена в Институте проблем химической физики РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Ломоносов И.В.

Научный консультант; доктор физико-математических наук

Берзигияров П К.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Хол панов Л.П.

кандидат физико-математических наук, Базаров СБ.

Ведущая организация: Институт теплофизики экстремальных состояний Объединенного института высоких температур РАН

Защита состоится " 2005 в fü ч. ^ мин. на заседа-

нии Диссертационного совета Д 002.082.01 при Институте проблем химической физики РАН по адресу' 142432, г. Черноголовка, Московская область, пр Академика H.H. Семенова, д. 1, Институт проблем химической физики РАН, корпус 1/2, актовый зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПХФ РАН. Автореферат разослан " $ " _2005.

Учёный секретарь Диссертационного совету] ( / кандидат физико-математических Юданов A.A.

© Ким ВВ, 2006

© Институт проблем шымчссю! физика RAH, 2005

"тяг '

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Исследования физических процессов и свойств вещества при высоких плотностях энергии имеют ряд особенностей. Автомодельные решения существуют для ограниченного числа теплофизических процессов и газодинамических течений, как, например, для случаев изэнтро-лического сжатия и расширения, одномерного сжатия стационарной ударной волной и тд В задачах мощного импульсного энерговыделения (менее Ю-5 с) газодинамическое течение, как правило, неодномерно и нестационарно, и анализ получаемой в таких условиях информации требует привлечения аппарата численного моделирования Использование при компьютерном моделировании современных эффективных разностных схем совместно с моделями реальных свойств веществ позволяет описать результаты лабораторного эксперимента с высокой степенью точности и достоверности Отметим в этой связи, что большое число практически важных задач, как, например, разработка противометеоритной защиты космических аппаратов [1], недоступно для изучения в лабораторных условиях. Появившиеся в последнее время новые экспериментальные методы физики экстремальных состояний, в частности, использование интенсивных пучков тяжелых ионов для нагрева вещества [2], и полученные с их помощью результаты требуют тщательного теоретического исследования. В такой ситуации численное моделирование с помощью кодов, ранее проверенных при решении тестовых задач лабораторного эксперимента, является единственно доступным инструментом исследования Вышеперечисленные обстоятельства определяют актуальность настоящей работы.

Целью работы является развитие численных алгоритмов решения системы уравнений газовой динамики в трехмерной постановке с учетом специфики параллельных вычислений, реализация разработанных алгоритмов для современных многопроцессорных вычислительных систем, численное моделирование процессов при высоких плотностях энергии, таких как высокоскоростное пробивание и воздействие интенсивных пучков тяжелых ионов на вещество.

Научная новизна состоит в следующем' на основе двумерного метода индивидуальных частиц разработан численный алгоритм для решения трехмерных задач газовой динамики в многокомпонентных сисгемах который

(кн. национальная библиотека

.1

реализован для режима параллельных вычислений С его помощью изучено влияние моделей уравнений состояния вещества на результаты математического моделирования высокоскоростного пробивания и выполнено численное моделирование экспериментов по исследованию свойств металлов, нагреваемых интенсивными пучками тяжелых ионов

Практическая ценность Разработанные в работе модели, методы, алгоритмы и газодинамические программные коды являются современным и эффективным инструментом для исследования практически важных задач физики высоких плотностей энергии Практическая ценность работы определяется использованием полученных результатов для решения прикладных задач в ИПХФ РАН, ИТЭС ОИВТ РАН, Институте тяжелых ионов {GSI, Германия).

Апробация работы Результаты исследований докладывались и обсуждались на Всероссийской научной конференции «Высокопроизводительные вычисления и их приложения» (Черноголовка, 2000), Международной конференции «Математическое моделирование» (Самара, 2001), третьей Всероссийской молодежной школе «Суперкомпьютерные вычислительно-информационные технологии в физических и химических исследованиях» (Черноголовка, 2001), Международной конференции «Уравнения состояния вещества» (Приэльбрусье, 2002 и 2004), Международной конференции «Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество» (Приэльбрусье, 2003 и 2005), Международной конференции «Parallel Computational Fluid Dynamics 2003» (Москва, 2003), Научно-координационном совещании-симпозиуме «Проблемы физики ультракоротких процессов в сильнонеравновесных средах» (Новый Афон. 2003 и 2004), Международном семинаре «Супервычисления и математическое моделирование» (Саров, 2004), а также на научных семинарах Межведомственного суперкомпьютерного центра, ИПХФ РАН, ИММ РАН и ИТЭС ОИВТ РАН.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения с основными результатами и списка литературы Объем диссертации составляет 129 страниц, в том числе 39 рисунков и библиография из 125 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулированы цель и задачи диссертационной работы, перечислены полученные в диссертации новые результаты, их практическая ценность, представлены положения, выносимые на защиту и описана структура диссертации

Первая глава содержит обзор современных численных методов решения многомерных задач нестационарной газовой динамики в многокомпонентных системах, применимых для моделирования задач физики высоких плотностей энергии Обзор ограничивается лишь теми методами, на основе которых разработаны не просто программы для решения той или иной задачи, а были созданы пакеты прикладных программ, позволяющие проводить расчет широкого круга задач, с возможностью быстрого перехода от задачи к задаче.

Вторая глава содержит подробное описание модифицированного метода индивидуальных частиц для расчета газодинамических многокомпонентных нестационарных течений с большими деформациями в трехмерной постановке.

В данном методе сплошная среда представляется в виде ансамбля дискретных подвижных частиц [3] — индивидуальных объемов, которые хранят и переносят полную информацию о параметрах течения в данной точке расчетного поля маркер, целочисленный идентификатор принадлежности частицы к тому или иному телу гё, координаты центра масс частицы (х;у\г), линейные размеры частицы вдоль координатных направлений {¿х\ёу\Лг), компоненты вектора скорости частицы (и; г»; щ); плотность р\ удельная (на единицу массы) полная энергия е Для каждой частицы интегрируется система уравнений сохранения в лагранжевых координатах Для определения давления р и изентропической скорости звука с, в частицах решаемая система уравнений замыкается уравнением состояния вещества (УРС)

Неизвестные в частице значения пространственных производных давления и компонент скорости рассчитываются с использованием процедуры интерполяции с неподвижной в пространстве прямоугольной регулярной эйлеровой сетки Совокупность центров частиц, в которых определены их параметры, представляют собой подвижную нерегулярную лагранжеву сетку По УРС и известным значениям плотности и энергии для каждой частицы рас-

считыеается давление Затем давление, как и компоненты вектора скорости, интерполируется в узлы эйлеровой сетки, на которой происходит вычисление необходимых пространственных производных с использованием регулярного конечно-разностного шаблона. Далее осуществляется обратная интерполяция значений производных с эйлеровой на лагранжееу сетку. По известным в узлах лагранжевой сетки (т е в центрах частиц) параметрам течения и полученным пространственным производным с помощью конечно-разностных аналогов исходной системы уравнений — неразрывности, сохранения импульса и энергии — происходит расчет параметров частиц на новом временном слое

После вычисления нового положения и размеров частиц может возникнуть такая ситуация, когда в одной эйлеровой ячейке окажутся центры нескольких частиц с одинаковыми идентификаторами (т е частицы одного и того же сорта), и информация о течении в данной ячейке будет избыточной В областях сильного расширения вещества из-за значительного увеличения объема и линейных размеров частиц некоторые ячейки могут оказаться пустыми (те в них не будет содержаться ни один центр ни одной из частиц) Во избежание этих ситуаций, а также с целью увеличения степени однородности данных хранящихся в памяти ЭВМ, вводится этап дробления и объединения частиц После того как вычислены значения координат центров частиц и их геометрических размеров происходит дробление частиц по границам-плоскостям эйлеровых ячеек Их параметры равны параметрам исходной частицы, за исключением координат центров и геометрических размеров, определяемых из очевидных геометрических соотношений Последующее объединение частиц с одинаковыми идентификаторами, центры которых расположены в одной ячейке, производится попарно с удовлетворением условий сохранения «центра объемов», объема, массы, импульса и полной энергии.

В главе подробно рассматривается расчетная схема, алгоритмы нахождения и определения ориентации внутренних границ раздела сред, с дальнейшей постановкой на них особых граничных условий Приводятся результаты тестовых расчетов.

В результате модификации взятого за основу метода индивидуальных частиц для двумерных плоских и осесимметричных задач, был разработан

трехмерный численный метод первого порядка точности по пространству и по времени, обладающий свойством консервативности по массе и полной энергии, в отличие от оригинального метода индивидуальных частиц, при условии отсутствия свободных и контактных границ. Процедуры дробления/объединения частиц, используемые для вычисления конвективных членов в уравнениях, обобщены на трехмерный случай Решена проблема искусственного изменения формы тел, обусловленная использованием данных процедур

Также во второй главе рассматриваются некоторые аспекты высокопроизводительных вычислений на многопроцессорных ЭВМ Описываются основные проблемы возникающие при параллельной реализации предлагаемого алгоритма для многопроцессорных систем с распределенной памятью и возможные пути их решения.

Результаты профилирования времени выполнения трехмерной реализации метода в параллельном режиме на кластере из 16 рабочих станций P-tll 667 MHz приведены на рисунке 1 Расчет производился по следующей схеме (решается задача о распаде произвольного разрыва в идеальном газе) на каждый расчетный узел приходится трехмерная подобласть размером 100x100x100 трехмерных ячеек с полным заполнением частицами; таким образом при увеличении числа используемых процессоров производится пропорциональное увеличение расчетной области Для каждой конфигурации производилось измерение процессорного времени, затраченного на выполнение определенного числа шагов интегрирования по времени Увеличение времени выполнения программы в параллельном режиме связано, в первую очередь, с временными накладными расходами на межпроцессорные коммуникации Из рисунка 1 видно, что при увеличении числа используемых процессоров время увеличивается незначительно Систематического увеличения времени затраченного на выполенине процедур MPI с ростом числа процессоров не наблюдается.

Эффективность используемого подхода продемонстрирована на рисунке 2, где показаны результаты тестирования ускорения работы расчетной программы в параллельном режиме на системе МВСЮООМ При использовании 512 процессоров коэффициент ускорения равен 312 Для большей расчетной области размером 1040x1040x1040 ячеек (более одного миллиар-

■ ■ I ■ I ^^^ I ■ I '"1 ■ I ' I1 ■ I ^^^

О 1 2 3 4 5 6 7 S 9 10 11 iZ 13 14 15 16

N-Procs

Рис 1. Профилирование времени выполнения программы • параллельном режиме Покпача зависимость времени выполнения расчета от числа исполмуемых процессоре«; отдельно показана доля времени затраченная на расчет (Ole) и на коммуникации (MPI)

да трехмерных расчетных ячеек) на 512 процессорах программа ускорилась в 308 раз Приведенные результаты позволяют прогнозировать эффективное использование программы и на большем числе процессоров.

Третья глава посвящена результатам многомерного численного моделирования процесса высокоскоростного удара.

Высокоскоростной удар и пробивание является одной из наиболее трудных задач для многомерного газодинамического моделирования Сложная динамично развивающаяся структура течения, наличие ударных волн высокой интенсивности, внутренних контактных и свободных границ, положение которых заранее не известно и также подлежит определению, высокие градиенты давления, плотности и других параметров и большие деформации среды делают, зачастую, использование таких расчетных схем как, например, метод конечных элементов, проблематичным Практическая важность теоретических исследований в этой области, в частности, обусловлена необходимостью разработки и оценки эффективности конструкционных средств про-тивометеоритной защиты космических летательных аппаратов [1] Так как интересный для исследования диапазон скоростей соударения 10-15 км/с и более практически-не реализуем в натурных экспериментах, математическое

»0 300 250 а, МО

100 »

100 200 300 400 S00 600 Number of Processors

Рис 2. Ускорение расчетной программы на МВС1000М

моделирование остается единственно возможным методом изучения данного явления

В двух- и трехмерной постановках моделируется взаимодействие свинцового сферического ударника (диаметр 1 5 см, масса 20 г) со свинцовой пластиной (толщина 0 63 см) при нормальной скорости соударения 6 6 км/с Схема эксперимента показана на рисунке 3, расчет проводился вплоть до момента времени 30 мкс Данная задача представляет интерес по многим причинам На момент времени 30 мкс методом теневой рентгеновской съемки зафиксировано пространственное распределение плотности вещества ударника и преграды [4], что дает возможность провести непосредственное сравнение результатов расчета и эксперимента Высокая скорость удара приводит к плавлению ударника и преграды с последующим испарением при расширении Следует также отметить, что при двумерном численном моделировании данной задачи [5] был получен парадоксальный результат наилучшее описание экспериментально полученного распределения плотности достигалось с использованием наиболее простого по физической модели уравнения состояния свинца

^^ Мш>с

Сферический ударник (РЬ, масса 20 г, диметр тлен)

Пластин*

(РЬ, топщмк» 0.63 см) Рис. 3. Схема эксперимента

В настоящей работе использовались широкодиапазонное УРС типа Ми-Грюнайзена в калорической форме [6], не содержащее информации о положении фазовых границ плавления и кипения и описывающее в обобщенной форме свойства метастабильной жидкости в области растяжения, и полуэмпирическое многофазное УРС в табличной форме [7] Качество термодинамического описания с помощью калорического и многофазного УРС в области параметров, соответствующих процессам высокоскоростного удара и последующего расширения, иллюстрируется рисунком 4, на котором на Р— ¿/-диаграмме свинца совместно с данными экспериментов (черные и белые фигурные точки) показаны ударные адиабаты и изэнтропы разгрузки, рассчитанные с использованием калорического широкодиалазонного и табличного многофазного УРС На изэнтропах горизонтальными стрелками показан момент входа в двухфазную область «жидкость—пар> Как следует из рисунка, данные уравнения состояния с хорошей точностью описывают имеющуюся совокупность экспериментальных данных по ударному сжатию и изэнтропическому расширению свинца Учет эффекта испарения в многофазном УРС для области параметров, соответствующих эксперименту [4] приводит к более высокой конечной скорости расширения (до 15%) по сравнению с калорическим УРС.

На рисунках 5 показаны распределения плотности в осевом сечении на разные моменты времени для вариантов с калорическим широкодиапаэон-ным и табличным многофазным уравнение состояния свинца Аналогичные распределения для давления приведены на рисунках б.

Характер распределения плотности в обоих вариантах расчета оказывается достаточно близким для времен менее 20 мке Расчет по многофазно-

Рис 4. Р~и (слем) и Р—V (елрай) диаграммы минца.

му уравнению состояния показывает, что разрушенный материал преграды и ударника на краях облака разлета имеет невысокую плотность, обусловленную существенным испарением свинца Моделирование с калорическим уравнением состояния дает более узкие края в облаке разлетающегося ударника и преграды и состояния с более высокой плотностью Наибольшие различия в распределении плотности заметны на рисунке 5д

Картина распределения давления, в отличие от плотности, показывает существенные отличия расчетов с разными УРС на более ранних стадиях процесса Как видно из рисунка 66, в варианте расчета с калорическим УРС область отрицательных давлений присутствует в преграде вследствие распространения волн боковой разгрузки и в расширяющемся облаке фрагментов разрушенного материала преграды и ударника В случае же многофазного УРС область отрицательных давлений присутствует только в материале преграды и связана с прохождением в нем волн боковой разгрузки Анализ показал, что материал преграды вдали от области удара находится в твердом состоянии На последующие моменты времени различие между вариантами еще более усиливается Отрицательные давления на краях облака в случае калорического УРС приводят к нарушении сплошности, с последующим разрушением, см рисунок бг, д

а) б)

в) г)

Рис 5. Рас пределен и« плотности ■ осевом сечении для вариантов расчета с использованием цалорического (верхняя часть рисунков) и табличного широкодиэпаэонного (нижняя часть рисунков) УРС в моменты времени & (а). 1(1 (6), 20 (в) и 30 мкс (г)

а)

б)

в) г)

Рис 6. Распределение давления в осевом сечении для вариантов расчета с использованием калорического (верхняя часть рисунков) и табличного широкодиапазонного (нижняя часть рисунков) УРС « моменты времени 5 (а), 10 (б). 20 (в) и 30 мкс (г)

Данные расчетные эффекты находят физическое объяснение, если рассмотреть динамику процесса с учетом траектории расширения свинца .по фазовой Р—К-диаграмме, см правую часть рисунка 4 Показаны рассчитанные по калорическому и многофазному УРС ударные адиабаты, аналогичные изэнтропы разгрузки соответствуют скорости удара 6 6 км/с Согласно расчету по многофазному УРС [7], в данном случае свинец после удара полностью находится в жидком состоянии с энтропией практически равной значению энтропии в критической точке, и при расширении происходит значительное испарение вещества при сохранении величины давления положительной Калорическое УРС [б], не учитывающее границ фазовых превращений, в области пониженных плотностей не обеспечивает корректного описания эффекта испарения Более того, при сильном расширении до значений К=0 1 г/см3 и выше, соответствующих на Р—V-диаграмме двухфазной области «жидкость—пар», использование калорического УРС приводит к появлению отрицательных давлений

Анализ результатов расчета свидетельствует, что в случае калорического УРС при расширении образуются значительные области отрицательных давлений при растяжении, которые приводят к разрушению Лри использовании многофазного УРС происходит разрушение в твердой фазе и, при дальнейшем расширении от более высоких давлений — испарение вещества Расчетные временные профили плотности в случае многофазного УРС более корректно согласуются с экспериментальной рентгенограммой

В эксперименте [4] производилась регистрация процесса на фотопленку с использованием обратной подсветки рентгеновским излучением. Экспериментальная рентгенограмма процесса на момент времени 30 мкс приведена на рисунке 7 слева Для получения аналогичной расчетной картины было произведено интегрирование трехмерного поля плотности вдоль одной из осей поперечных направлению удара, см рисунок 7 справа

Форма и размеры облака хорошо согласуются с экспериментальными данными. Расчетный диаметр облака составил 14 3 см, положение фронтальной точки облака — 18 4 см (в эксперименте: 15 см и 19 см соответственно) К сожалению, судить о структуре и составе облака разлета осколков по экспериментальной рентгенограмме затруднительно В расчете получено качественное соответствие в самой широкой части облака присутствует обо-

Рис 7. Экспериментальная (слева) и восстановленная расчетная (справа) рентгенограммы про цесса на момент времени 30 мкс

док из более плотного материала, также видны уплотнения е голове облака Меньший изгиб боковых стенок облака разлета вблизи пластины полученный в расчете, ло видимому, обусловлен разделением потоков при расширении в двухфазной области «жидкость-пар» на жидкостную и газовую компоненты и необходимостью учета в расчетах неравновесности процесса испарения

Таким образом, при высоких скоростях удара, когда вещество при изэн-тропическом расширении попадает в двухфазную область, становится важным учет жидкой фазы и эффекта испарения При одинаковом качестве расчета исходных ударно-волновых экспериментов при высоких давлениях, несущих информацию о калорических свойствах вещества, многофазное УРС обеспечивает более корректное с физической точки зрения описание эксперимента по высокоскоростному удару '

Четвертая глава посвящена проблеме численного моделирования трехмерных газодинамических процессов, возникающих при воздействии на вещество интенсивных пучков тяжелых быстрых ионов

Экспериментальные исследования свойств вещества в экстремальных условиях представляют фундаментальный интерес для современных теплофизики, физики плазмы, астрофизики, геофизики, решения актуальных проблем инерциального термоядерного синтеза, разработки новых мощных энергетических установок и тд Воздействие интенсивных пучков тяжелых ионов позволяет реализовать в веществе состояния с высокой удельной энтропией и экспериментально исследовать свойства плотной горячей жид-

кости, неидезльной плазмы и двухфазной области жидкость-пар с критической точкой [2. 8] В настоящее время уровень энергии, вкладываемой в металлические мишени синхротронным ускорителем тяжелых ионов SIS 18 Института тяжелых ионов GSI (г Дармштадт, Германия), составляет около 1 кДж/г за времена порядка 250 не, проектируемый ускоритель SIS 100 [9] поднимет уровень вкладываемых энергий до сотен кДж/г за меньшие време на 50-100 не В отличие от традиционной постановки исследований в физике высоких динамических давлений, основанной на использовании автомодельных решений в виде ударной волны либо центрированной волны разрежения Римэна, для анализа результатов опытов с пучками тяжелых ионов необходимо применять численное моделирование Специфика экспериментов с ионными пучками заключается в том что вещество мишени в процессе нагрева до экстремальных состояний вовлекается в гидродинамическое движение и совместно с динамикой энерговклада ионов е нагреваемой среде необходимо учитывать динамику расширения вещества. Кроме того, ионы внутри пучка имеют неоднородное распределение в фазовом пространстве, что не позволяет использовать одномерную и двумерную осесимметричную постановки

В экспериментах по изучению высоких плотностей энергии в веществе измеряются следующие характеристики ионного пучка интенсивность лучка (те полное число ионов в пучке), временной профиль импульса положение фокуез и огибающую пучка размер фокального пятна и поперечное распределение интенсивности пучка в районе мишени, энергия налетающих ионов

В предлагаемом алгоритме расчета энерговклада ионов делаются следующие предположения Ионный пучок представляется набором прямолинейных траекторий-лучей, заданных в трехмерном пространстве координатами начальной точки и направляющим вектором, вдоль которых движутся ионы Взаимодействие частиц внутри пучка отсутствует Ионы имеют нормальное распределение в фазовом пространстве, параметры которого берутся из ионно-оптических расчетов реальной системы финальной фокусировки Таким образом, учитываются особенности трехмерной геометрии ионного пучка Использование при численном моделировании экспериментальных записей вышеперечисленных параметров пучка позволяет детально описать постановку каждого отдельного эксперимента

Предполагается, что при прохождении ионэ через расчетную эйлерову ячейку с плотностью р,,ц он теряет часть своей энергии, которая полно стью переходит во внутреннюю энергию нагреваемого вещества епц в той же точке Доля энергии, потерянная ионом на отрезке траектории 1пц при прохождении через вещество с плотностью определятся как

где выражение в квадратных скобках — тормозная способность вещества Аппроксимация обширного массива экспериментальных данных по измерению тормозной способности для большого числа веществ осуществляется с помощью программы SRIM [10] Трассировка производится последовательно через все ячейки вдоль траектории и завершается в тот момент, когда ион теряет все свою энергию, либо когда трассер выходит за пределы расчетной области Алгоритмически задача сводится к решению геометрической задачи о нахождении пересечений регулярной прямоугольной сетки и прямой в трехмерном пространстве При расчете энерговклада е «смешанных» ячейках используется предположение о равномерности распределения масс веществ в объеме смешанной ячейки

Большое внимание при реализации было уделено выработке общей с газодинамической расчетной частью стратегии декомпозиции данных в рамках SPMD-модели программирования («Single Program — Multiple Data» — один поток команд при множестве потоков данных) При расчете энерговкла да пучка ионов имеется неупорядоченный набор траекторий вдоль которых производится трассировка, и необходимо знать параметры вещества во всех ячейках вдоль траектории Так как в газодинамической части программы эти данные имеют распределенную структуру, в общем случае, траектория может проходить через несколько подобластей, и тогда нужно обеспечить активный процесс соответствующими данными, расположенными в оперативной памяти соседних процессов Для этого в начале расчета траектории пучка равномерно распределяются по процессам Далее, каждый процесс маркирует ячейки всей области, через которые проходит хотя бы одна из рассчитываемых им траекторий Для отмеченных ячеек, расположенных вне собственной подобласти процесса, те хранящихся в оперативной памяти других процессов, заранее выделяется место в памяти, и в начале каждого шага расчета

Рис 8. Схема эксперимента Сечение в плоскости X-Y (слева) и X — Z (справа) Показано взаимное расположение свинцовой фольги, фокальной плоскости луч«, вольфрамовой диафрагмы и сапфироаых окон На правом рисунке фигурными стрелками сверку и снизу обозначена зона регистрации яркостноЛ температуры в эксперименте

энерговклада ионов их параметры обновляются посредством коммуникационных обменов с соответствующими соседними процессами Затем следует регулярный счет, после которого данные об энерговкладе в <чужих» ячейках рассылаются соответствующим процессам

С использованием параллельной трехмерной реализации вышеописанного метода на основе модифицированного метода индивидуальных частиц было проведено численное моделирование экспериментов по изучению околокритических состояний свинца [8] Пучок ионов урана 238U73+ с общим числом частиц 410* с начальной энергией 342 8 МэВ/нуклон воздействует на тонкую свинцовую фольгу толщиной 0 25 мм Пучок сфокусирован таким образом, что в плоскости передней кромки фольги распределение в пучке имеет эллиптическую форму с полной шириной на полувысоте 0 85 и 1 б мм поперек и вдоль поверхности фольги соответственно Ионы в пучке имеют нормальное распределение по углам вблизи нуля (FWHM{qt)=0 05 рад, FWHM(ay)=0 005 рад) В расчетах использовалось многофазное широкодиапазонное уравнение состояния для свинца и вольфрама [7]

Проведено численное исследование влияния вольфрамовой диафрагмы на геометрию ионного пучка Для этого в упрощенной постановке, когда область за диафрагмой полностью заполнялась гелием при давлении 0 5 атм, исследовалось распределение энерговклада ионов Расчетный пробег ионов урана с начальной энергией 432 МэВ/нуклон в вольфраме составил порядка 2 мм, что хорошо согласуется с расчетом по SRIM Вследствие

Рис Геометрия лучка до (слеш) и после (справа) прохождении через вольфрамовую диафрагму. В трехмерном пространстве показаны расчетные траектории пучка ммое )> плоскостью диафрагмы.

Рис 10. Свинцовая фольга в момент времени 1 5 мкс

того, что траектории ионов в пучке имеют определенное распределение по углам, части ионов удается пройти диафрагму в узком приповерхностном слое, потратив на это часть своей энергии В результате прохождения через диафрагму интенсивность пучка падает примерно в полтора раза, пучок остается расходящимся (см рисунок 9)

Пространственное распределение плотности фольги в момент времени 1 5 мкс показано на рисунке 10. К этому моменту действие лучка уже завершено, расчетная температура поверхности фольги в области регистрации составляет порядка 3200 К Изолинии температуры в образце на момент

м - '* 1,1 ^ ь ^ А <1 а « ф - г^

) I

л

Рис 11. Распределение температуры на момент времени t=l мкс в Л'У-сечении я* расстоянии 1 мм от переднего края фольги (вверху, изолинии с шагом 300 К) и ■ Л^-евчении вдоль оси пучка (|и«>у, изолинии с шагом 100 К)

времени 1 мкс показаны на рисунке И Видно достаточно гладкое распределение температуры е сечениях, что говорит о равномерности нагрева

Одной из задач, решаемых в ходе выполнения описываемых экспериментов, была отработка методики регистрации термодинамических параметров вещества в экстремальных состояниях В частности, для обеспечения простоты и точности интерпретации экспериментальных результатов нужно было обеспечить как можно более близкую к одномерной постановку Для анализа процесса расширения нагретой ионным пучком фольги были *

построены траектории движения частиц-маркеров, «вмороженных» в нее в начальный момент времени Видно, что расширение фольги (по крайней '

мере в области близи оси пучка, рисунок 12 слева) происходит равномерно, а влияние переднего свободного края фольги перестает сказываться уже с расстояния 0 5 мм (рисунок 12 справа)

Также в эксперименте производилась пирометрическая регистрация яркостной температуры поверхности фольги [8] К моменту времени 620 не измеренная температура достигала 3000 К, что хорошо согласуется с результатами расчетов (3100 К) На рисунке 13 приведены расчетная и измеренная в эксперименте яркостная температуры поверхности фольги, совместно

V, шт

2, тт

Рис. 12. Траектории расширения точек мишени.

с временным профилем пучка Также показаны фазовые состояния фольги в разные моменты времени Видно, что расчетный профиль хорошо повторяет эксперимент на этапе энерговклада, до момента плавления в расчете. Сдвиг максимума температуры (в следствие нагрева пучком) относительно максимума интенсивности пучка связан с тем, что измерение производится на поверхности, которая находится на некотором удалении от оси пучка, и температура на ней изменяется с некоторым запаздыванием Хорошо заметно плато на температурной зависимости, связанное с плавлением свинца, что может быть использовано в эксперименте в качестве реперной точки

В более поздние моменты времени в эксперименте наблюдается спад температуры В [8] было высказано предположение, что вблизи поверхности свинцовой фольги при нагреве формируется структура течения, соответствующая конвективному поверхностному испарению, проблема многократно рассматривавшаяся применительно к .взаимодействию сильного лазерного излучения с веществом [И] Указанный эффект, влияние прозрачности горячих паров свинца, наряду с недостаточным пространственным разрешением сетки, используемой в газодинамическом расчете, могут объяснить отличие расчетных зависимостей от наблюдаемых экспериментально

Рис 13. Сравнение расчетных (Т^) и яркостмой ) температуры фольги измеренной в »ксперименте Также показан временной профиль интенсивности пучка (РСТ), и рассчитанные ло УРС фазовые состояния фольги на различим моменты времени.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1 Разработан численный алгоритм решения трехмерных задач нестационарной газовой динамики в многокомпонентных системах для моделирования процессов физики высоких плотностей энергии, обладающий свойством консервативности по массе и полной энергии (во внутренних областях).

2 Реализована параллельная модификация алгоритма для многопроцессорных ЭВМ с распределенной памятью, в газодинамический код внедрены реалистичные модели свойств вещества, выполнены тестовые расчеты задачи о распаде произвольного разрыва, при тестировании

эффективности реализованной параллельной версии алгоритма получено хорошее ускорение при работе в многопроцессорном режиме.

3 Проведено двух- и трехмерное численное моделирование процесса высокоскоростного удара Исследовано влияние используемого уравнения состояния на результаты расчета и показана необходимость учета жидкой фазы и испарения в волнах разрежения, анализ результатов расчета и экспериментальных рентгеновских снимков показал хорошее согласие

4. Предложен численный алгоритм для расчета энерговклада интенсивных пучков тяжелых быстрых ионов в трехмерных газодинамических процессах с учетом динамики энергетических потерь ионов в веществе, трехмерного пространственного распределения параметров и временной зависимости интенсивности импульса пучка, разработана модель декомпозиции данных Реализована параллельная версия предложенного алгоритма для многопроцессорных ЭВМ с распределенной памятью.

5. Проведено численное моделирование процесса нагрева интенсивным пучком ионов урана тонкой свинцовой фольги в трехмерной постановке Результаты расчета на стадии энерговклада хорошо согласуются с экспериментальными данными. Показана эффективность разработанного численного алгоритма расчета энерговклада для трехмерного численного моделирования воздействия интенсивных пучков ионов на конденсированные мишени.

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях:

1 Кии В.В., Берзигияров П.К., Гинзбург И.Я., Крюков Б.П., Султанов В,Г Параллельная трехмерная реализация метода индивидуальных частиц «СТЕРЕО—MPI» // Труды Международной конференции «Математическое моделирование — 2001» (13-16 июня 2001 г ) — Самара -2001- С. 113-115.

2 Ким В.В, Султанов В.Г. О производительности пакета для газодинамических расчетов «СТЕРЕО—MPI» // В сб «Физика экстремальных

состояний вещества — 2002» (Под ред Фортова В,Е.)~ ИПХФ РАН, Черноголовка —2002 —С 104-105

3 Берзигияров П К., Ким В В., Ломоносов И В., Султанов В.Г., Острт A.B. Метод конечно-размерных частиц в ячейке для численного моделирования высокоэнергетических импульсных воздействий на вещество // В сб. «Физика экстремальных состояний вещества — 2003» (Под ред Фортова BE) — ИПХФ РАН, Черноголовка — 2003 — С. 8&-S2

4 Р,К Berzigiyarov, V V. Kim, IV Lomonosov, А V Ostrik, VG Sultanov Massive Parallel Computations in Gas Dynamics // Parallel Computational Fluid Dynamics - 2003 (May 13-15, 2003, Moscow, Russia) — Янус-К -2003 - С 296-297

5 Ким B.B., Кулиш М.И, Ломоносов И В, и др. Численное моделирование воздействия пучка тяжелых ионов на тонкую свинцовую фольгу в трехмерной постановке // В сб «Физика экстремальных состояний вещества — 2004» (Под ред Фортова BE.) — ИПХФ РАН, Черноголовка.— 2004 — С 151-152

6 Ким В В, Ломоносов И В, Матееичев А В, Острик А В, Султанов В Г, Шутов А В Трехмерное численное моделирование воздействия на вещество интенсивных пучков тяжелых ионов // Международный семинар «Супервычисления и математическое моделирование» (5-8 октября, 2004, Саров) - 2004 - С 51

7 Ким В.В, Ломоносов И В., Острик A.B., Фортов В Е. Метод конечно-размерных частиц в ячейке для численного моделирования высокоэнергетических импульсных воздействий на вещество// Журнал «Математическое моделирование» — 2005, Т.17.

8 Ким В В, Григорьев Д А , Ломоносов И В, Фортов В Е Алгоритм учета энерговклада интенсивных ионных пучков в газодинамических процессах // Журнал «Математическое моделирование» — 2005, Т 17

ЛИТЕРАТУРА

|1] Агурейкин В А , Анисимов С.И., Бушман А В. и др. Теплофизические и газодинамические проблемы противометеоритной защиты космического аппарата «ВЕГА» // Теплофизика высоких температур — Т 22, №5, 1984 - С. 964-983.

[2| Hoffmann D НН„ Fortov V.E., Lomonosov I V, eta/. Unique capabilities of an intense heavy ion beam as a tool for equation-of-state studies // Phys. Plasmas - 2002, 9 - P. 3651-3655

|3j Evans MW, Harlow F.H The partide-rn-cell method for hydrodynamic calculations // Los Alamos Scientific Laboratory Report № LA-2139, 1957

|4| Liquornik D J Results byGW Pomykal. Digitized data for Delco test 4007, lead-on-lead Lawrence Livermore Laboratory Report DDV-86-0010, 1986

[5] Holian K.S Hydrodynamics code calculations of debris clouds produced by ball-plate impacts // Int. J Impact Engng — V 10. 1990 — P 231-239

(6| Бушман А В, Ломоносов И В, Фортов В Е Модели широкодиапазонных уравнений состояния веществ при высоких плотностях энергии. М , 1990 44с (Препринт ИВТ АН СССР, №6-287)

[7| Бушман А В, Ломоносов И В, Форгоа В Е. Уравнения состояния металлов при высоких плотностях энергии — Черноголовка, 1992.

[8] Терновой В Я, Кулиш М.И., Минцев в Б. и др. Экспериментальное изучение околокритических состояний перехода жидкость-пэр свинца с использованием пучков тяжелых ионов // В сб. «Физика экстремальных состояний вещества - 2004» (Под ред. Фортова В.Е).~ ИПХФ РАН, Черноголовка —2004,— С. 151-152.

[9] An International Accelerator Facility for Beams of Ions and Antiprotons Conceptual Design Report (доступно 8 Internet http //www.gsi.de/GSI-Future/cdr/)

[10] Ziegler J.F., Biersack J.P., Littmark U. The Stopping and Range of Ions in Solids — Pergamon Press, New York, 1985.

[11] Анисимов СИ. Об испарении металла, поглощающего лазерное излучение // ЖЭТФ, 1968, Т 54, » 1 - С 339-342

Ким Вадим Валерьевич ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ЛРИ ВЫСОКИХ ПЛОТНОСТЯХ ЭНЕРГИИ МОДИФИЦИРОВАННЫМ МЕТОДОМ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ

ЧАСТИЦ Автореферат

ГЪдомсэио ■ мчать 12.05.2006 г. Форы*т 60x90 1/16. бумага офсггна*. Печать офеегим. Гарнитура ■Арим". Уся печ. я 1,5 Тир. 100. Зам. 83 Изд лицензия N 03894 от 30 яммрй 2001 г. 142432, г, Черноголовка. Московская обметь, n^-т Академика H.H. С*м1иом, 5. Отпечатано ■ тмаографм ИЛХФ РАН

Р13 7 6 5

РНБ Русский фонд

2006-6 518

Введение

1 Численные методы решения многомерных задач нестационарной газовой динамики в многокомпонентных системах

1.1 Лагранжевы методы.

1.2 Лагранжевы методы с перестройкой сетки

1.2.1 Метод Годунова на подвижных криволинейных сетках 1.3 Методы с перестройкой связей между лагранжевыми узлами

1.3.1 Метод «сглаженных частиц» SPH

1.4 Методы «частиц в ячейках».

1.5 Эйлеровы методы

1.5.1 Алгоритмы отслеживания контактных и свободных границ тел на эйлеровой сетке.

1.5.2 Алгоритм адаптивного уточнения сетки.

2 Метод индивидуальных частиц для расчета газодинамических многокомпонентных нестационарных течений с большими деформациями

2.1 Общая схема расчетной процедуры.

2.2 Предварительный шаг.

2.3 Основной шаг.

2.4 Дробление/объединение частиц.

2.5 Алгоритм определения ориентации контактных/свободных границ тел.

2.6 Граничные условия.

2.6.1 Граничные условия на границах эйлеровой сетки

2.6.2 Граничные условия на внутренних поверхностях раздела

2.7 Интегрирование по времени.

2.8 Параллельная реализация для многопроцессорных ЭВМ с распределенной памятью

2.8.1 Многопроцессорные ЭВМ и параллельные вычисления

2.8.2 Параллелизм расчетного алгоритма.

2.9 Примеры тестовых расчетов

3 Численное моделирование процесса высокоскоростного удара 3.1 Постановка задачи.

3.2 Результаты численного моделирования

3.3 Обсуждение результатов.

4 Численное моделирование воздействия интенсивных пучф ков тяжелых быстрых ионов на вещество

4.1 Постановка задачи.

4.2 Расчет энерговклада в ячейках сетки

4.3 Энерговклад в смешанных ячейках.

4.4 Параллельная реализация.

4.5 Численное моделирование воздействия пучка ионов урана на тонкую свинцовую фольгу.

Настоящая диссертация посвящена численному моделированию процессов при высоких плотностях энергии на современных высокопроизводительных параллельных ЭВМ.

Актуальность. Исследования физических процессов и свойств вещества при высоких плотностях энергии имеют ряд особенностей. Автомодельные решения существуют для ограниченного числа теплофизических процессов и газодинамических течений, как, например, для случаев из-энтропического сжатия и расширения, одномерного сжатия стационарной ударной волной и т.п. [1]. В задачах мощного импульсного энерговыделения (менее Ю-5 с) газодинамическое течение, как правило, неодномерно и нестационарно, и анализ получаемой в таких условиях информации требует привлечения аппарата численного моделирования [2, 3]. Использование при компьютерном моделировании современных эффективных разностных схем совместно с моделями реальных свойств веществ позволяет описать результаты лабораторного эксперимента с высокой степенью точности и достоверности. Отметим в этой связи, что большое число практически важных задач, как, например, разработка противометеоритной защиты космических аппаратов [4], недоступно для изучения в лабораторных условиях. Появившиеся в последнее время новые экспериментальные методы физики экстремальных состояний, в частности, использование интенсивных пучков тяжелых ионов для нагрева вещества [5, 6], и полученные с их помощью результаты требуют тщательного теоретического исследования. В такой ситуации численное моделирование с помощью кодов, ранее проверенных при решении тестовых задач лабораторного эксперимента, является единственно доступным инструментом исследования. Вышеперечисленные обстоятельства определяют актуальность настоящей работы.

Целью работы является развитие численных алгоритмов решения системы уравнений газовой динамики в трехмерной постановке с учетом специфики параллельных вычислений, реализация разработанных алгоритмов для современных многопроцессорных вычислительных систем, численное моделирование процессов при высоких плотностях энергии, таких как высокоскоростное пробивание и воздействие интенсивных пучков тяжелых ионов на вещество.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения с основными результатами работы.

Заключение

В работе получены следующие основные результаты:

1) Разработан численный алгоритм решения трехмерных задач нестационарной газовой динамики в многокомпонентных системах для моделирования процессов физики высоких плотностей энергии, обладающий свойством консервативности по массе и полной энергии (во внутренних областях).

2) Реализована параллельная модификация алгоритма для многопроцессорных ЭВМ с распределенной памятью, в газодинамический код внедрены реалистичные модели свойств вещества, выполнены тестовые расчеты задачи о распаде произвольного разрыва, при тестировании эффективности реализованной параллельной версии алгоритма получено хорошее ускорение при работе в многопроцессорном режиме.

3) Проведено двух- и трехмерное численное моделирование процесса высокоскоростного удара. Исследовано влияние используемого уравнения состояния на результаты расчета и показана необходимость учета жидкой фазы и испарения в волнах разрежения, анализ результатов расчета и экспериментальных рентгеновских снимков показал хорошее согласие.

4) Предложен численный алгоритм для расчета энерговклада интенсивных пучков тяжелых быстрых ионов в трехмерных газодинамических процессах с учетом динамики энергетических потерь ионов в веществе, трехмерного пространственного распределения параметров и временной зависимости интенсивности импульса пучка, разработана модель декомпозиции данных. Реализована параллельная версия предложенного алгоритма для многопроцессорных ЭВМ с распределенной памятью.

5) Проведено численное моделирование процесса нагрева интенсивным пучком ионов урана тонкой свинцовой фольги в трехмерной постановке. Результаты расчета на стадии энерговклада хорошо согласуются с экспериментальными данными. Показана эффективность разработанного численного алгоритма расчета энерговклада для трехмерного численного моделирования воздействия интенсивных пучков ионов на конденсированные мишени.

1. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений.— М.: Наука, 1966.

2. Вычислительные методы в гидродинамике.— М.: Мир, 1967.

3. Роуч П. Вычислительная гидродинамика.— М.: Мир, 1980.

4. Hoffmann D.H.H., Fortov V.E., Lomonosov I.V., Mintsev V.B., Tahir N.A., Varentsov D., Wieser J. Unique capabilities of an intense heavy ion beam as a tool for equation-of-state studies // Phys. Plasmas.— 2002, 9.- P.3651-3655.

5. Ким В.В., Султанов В.Г. О производительности пакета для газодинамических расчетов «СТЕРЕ0-МР1» // В сб. «Физика экстремальных состояний вещества 2002» /Под ред. Фортова В.Е. — ИПХФ РАН, Черноголовка.- 2002,- С. 104-105.

6. Parvaz K.Berzigiyarov, Va dim V.Kim, Igor V.Lomonosov, Afanasiy V.Ostrik, Valeriy G.Sultanov. Massive Parallel Computations in Gas Dynamics // Parallel Computational Fluid Dynamics 2003 (May 13-15, 2003, Moscow, Russia).- Янус-К.- 2003.- C.296-297.

7. Va dim V.Kim, Parvaz K.Berzigiyarov, Igor V.Lomonosov, Afanasiy V.Ostrik, Valeriy G.Sultanov. 3D computer modeling of high-velocity impact phenomena // 13-th APS Topical Conference on Shock Compression of Condensed Matter (July 20-25, 2003, Portland,

8. Oregon, USA). Bulletin of the American Physical Society, 2003, V.48, N.4, P.80.

9. Ким В.В., Ломоносов И.В., Шутов А.В. Возможность ионной радиографии в экспериментах с интенсивными пучками тяжелых ионов //

10. В сб. «Физика экстремальных состояний вещества 2005» /Под ред. Фортова В.Е.— ИПХФ РАН, Черноголовка.- 2005.- С.58-60.

11. Ким В.В., Ломоносов И.В., Острик А.В., Фортов В.Е. Метод конечно-размерных частиц в ячейке для численного моделирования высокоэнергетических импульсных воздействий на вещество // Журнал «Математическое моделирование», 2005, Т.17.

12. Ким В.В., Григорьев Д.А., Ломоносов И.В., Фортов В.Е. Алгоритм учета энерговклада интенсивных ионных пучков в газодинамических процессах // Журнал «Математическое моделирование», 2005, Т.17.

13. Сапожников Г.А. Совместный метод потоков жидкости и частиц в ячейках для расчета газодинамических течений // В кн. Вопросы разработки и эксплуатации пакетов прикладных программ /Под ред. Фомина В.М., Новосибирск, 1981 — С.89-97

14. Wilkins M.L. Computer simulation of dynamic phenomena.— Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1999, 243p.

15. Гулидов А.И., Фомин B.M. Численное моделирование отскока осесим-метричных стержней от твердой преграды // ПМТФ.— 1980, №3.

16. Гулидов А.И., Фомин В.М. Модификация методя Уилкинса для решения задач соударения тел // Препринт ИТПМ СО АН СССР, Новосибирск, 1980, №49.

17. Johnson G.R. High velocity impact calculations in three dimensions // Appl. Mech.- 1977, V.44, №- p.95-100.

18. Горельский В.А., Зелепугин С.А., Смолин А.Ю. Исследование влияния дискретизации при расчете методом конечных элементов трехмерных задач высокоскоростного удара j j Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997, т.- С.742-750.

19. Дмитриев Н.А., Дмитриева JI.B., Малиновская Е.В., Романцова А.Н., Софронов И.Д. Методика расчета двумерных задач газовой динамики в переменных Лагранжа // В сб. «Численные методы механики сплошных сред».— Новосибирск, 1973.

20. Хорев И.Е., Горельский В.А. Осесимметричный откол в задачах широкодиапазонного взаимодействия твердых тел // Доклады АН СССР.— 1983, Т.271, т.- С.623-626.

21. Горельский В.А., Зелепугин С.А., Ким В.В., Смолин А.Ю. Компьютерное моделирование ударно-волновых процессов в Ti — С системах в трехмерной постановке // Химическая Физика.— 2000, Т.19, №2, С.27-31.

22. Уилкинс М.Л. Расчет упруго-пластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике.— М.: Мир, 1967.

23. Winslow A.M. Numerical solution of the quasilinear poisson equation in a non-uniform triangle mesh // J. Comput. Phys.— 1966, V.l, №2.

24. Годунов С.К., Прокопов Г.П. О расчетах конформных отображений и построении разностных сеток // Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физ.— 1967, Т.7, №5.- С.1031-1059.

25. Яненко Н.Н., Фролов В.Д., Неуважаев В.Е. О применении метода расщепления для численных расчетов движений теплопроводного газа в криволинейных координатах // Известия СО АН СССР.— 1967, №8, Вып.2.— С. 74-82.

26. Яненко Н.Н., Фролов В.Д., Неуважаев В.Е. Уравнение движения теплопроводного газа в смешанных эйлеро-лагранжевых координатах // Численные методы механики сплошных сред.— Новосибирск.— 1972, Т.З, №1.- С.90-96.

27. Годунов С.К., Прокопов Г.П. Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчетах // Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физ.— 1972, Т. 12, №2.- С.429-440.

28. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики / Под ред. С.К. Годунова — М.: Наука, 1976.

29. Яненко Н.Н., Данаев Я. Т., Лисейкин В Д. О вариационном методе построения сеток // Численные методы механики сплошных сред.— Новосибирск,- 1977, Т.8, №.- С.157-163.

30. Лисейкин В.Д., Яненко Н.Н. О выборе оптимальных разностных сеток // Численные методы механики сплошных сред.— Новосибирск, 1977, Т.8, т.- С. 100-104.

31. Chu W.H. Development of a general finite difference approximation for a general domain part I: Machine transformation //J. Comput. Phys.— 1971, V.8, т.- P.392-403.

32. Vinokur M. Conservation equations of gasdynamics in curvilinear coordinate systems //J. Comput. Phys.— 1974, V.14, №2 — P. 105-125.

33. Шутов А.В. Численное моделирование газодинамических процессов при высоких плотностях энергии методом Годунова на подвижных адаптивных сетках (Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук), ИПХФ РАН, Черноголовка, 2003.

34. Vorobiev O.Yu., Lomov I.N., Shutov A.V., Kondaurov V.I., Ni A.L., Fortov V.E. Godunov's scheme on moving grids for high velocity impact simulation // Int. Journ. of Imp. Engng — 1995, V.17 P.892-902.

35. Fortov V.E., Goel В., Munz C.D., Ni A., Shutov A., Vorobiev O.Yu. Numerical simulation of nonstationary fronts and interfaces by the Godunov method in moving grids // Nuclear Science and Engng.— 1996, 123.- P. 169-189.

36. Baumung К., Marten Я., Shutov A.V., Singer J. First proton-beeam driven Rayleigh-Taylor experiiments on KALIF // Nucl. Instr. Meth. Phys. Res.- 1998, A415 P.720-725.

37. N.A. Tahir, D.H.H.H. Hoffmann, A. Kozyreva, A. Shutov, J.A. Maruhn, U. Neuner, A. Tauschwitz, P. Spiller and R. Bock. Shock Compression of Condensed Matter Using Intense Beams of Energetic Heavy Ions // Phys. Rev. E 2000, V.61, №2 - P.1975-1980.

38. Соловьев А.В., Соловьева E.B., Тишкин В.Ф., и др. Об одном алгоритме построения ячеек Дирихле // Препринт АН СССР.— М., 1985, Институт прикладной математики, 33с.

39. Соловьев А.В., Соловьева Е.В., Тишкин В.Ф., и др. Метод ячеек Дирихле для решения газодинамических уравнений в циллиндрических координатах // Препринт АН СССР.— М., 1986, Институт прикладной математики.

40. Дьяченко В.Ф. Об новом методе численного решения нестационарных задач газовой динамики // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.— 1965, Т.5, №.- С.680-688.

41. Подливаев И.Ф. Методика «Медуза» расчета двумерных газодинамических задач //В кн. «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики».— М.: Наука, 1974.- С.254-274.

42. Кроули У. FLAG — Свободно-лагранжев метод для численного моделирования гидро динамических течений в двух измерениях // Числительные методы в механике жидкости.— М.: Мир, 1973.— С.135-145.

43. Lucy L.B. A numerical approach to the testing of the fission hypothesis // Astron. J.- 1977, №82.- P.1013.

44. Gingold R.A., Monaghan J.J. Smoothed Particle Hydrodynamics: Theory and application to non-spherical stars // Mon. Not. R. Astr. Soc., 1977, №181.- P.375.

45. Monaghan J.J. An introduction to SPH / / Computer Physics Communications.- 1988, V.48 P.89-96.

46. Gingold R.A., Monaghan J.J. Kernel estimates as a basic general particle methods in hydrodynamics // J. Comput. Phys.- 1982, V.46.- P.429-453.

47. Monaghan J.J. On the problem of penetration of particle method //J. Comput. Phys.- 1989, V.82.- P.l-15.

48. Monaghan J.J., Lattanzio J.C. A Refined Method for Astrophysical Problems // Astron. Astrophys.- 1985, V.149.- P.135-143.

49. Lattanzio J.C., Monaghan J.J., Pongracic H., Schwarz M.P. Controlling Penetration 11 SLAM J. Sci. Stat. Comput.- 1986, V.7.- P.591-598.

50. Schussler M., Schmitt D. Comments on Smoothed Particle Hydrodynamics // Astron. Astrophys.- 1981, V.97.- P.373-379.

51. Cloutman L.D. Basic of Smoothed Particle Hydrodynamics // Lawrence Livermore National Laboratory Report, UCRL-ID-103698, 1990.

52. Богомолов С.В., Замараев А.А., Карабелли X., Кузнецов К.В. Консервативный метод частиц для квазилинейного уравнения переноса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.— 1998, Т.38, №9 — С.1602-1607.

53. Dilts G.A. Moving-Least-Squares Particle Hydrodynamics -1. Consistency and Stability // Int. J. for Num. Meth. in Engng.— 1999, V.88, №8.— P.1115—1155.

54. Libersky L.D., Petschek A.G. Cylindrical Smoothed Particle Hydrodynamics // J. Comput. Phys.- 1993, V.109, №1.- P.76-83.

55. Libersky L.D., Petschek A.G., Carney T.C., Hipp J.R., Allahdadi F.A. High-strain Lagrangian Hydrodynamics. A Three-Dimensional SPH Code for Dynamic Material Response // J. Comput. Phys.— 1993, V.109, №1 — P.67-75.

56. Randies R.W., Libersky L.D. Smoothes Particle Hydrodynamics. Some recent improvements and applications // Сотр. Meth. Appli. Mech. Eng. 1996, V.139 - P.375-408.

57. Блажевич Ю.В., Иванов В.Д., Петров И.Б., Петриашвили И.В. Моделирование высокоскоростного соударения методом гладких частиц // Математическое моделирование.— 1999, Т.11, №1.— С.88-100.

58. Parshikov A.N., Medin S.A. Smoothed Particle Hydrodynamics Using Interparticle Contact Algorithms // J. Comput. Phys.— 2002, V.180 — P.358-382.

59. Jeong J.H., Jhon M.S., Halow J.S., J. van Osdol. Smoothed particle hydrodynamics: Applications to heat conduction // Computer Physics Communications 2003, №153 - P.71-84.

60. Паршиков A.H. Применение решения задачи Римана в методе частиц // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.- 1999, Т.39, №7 С.1216-1225.

61. Martin T.J., Pearce F.R., Thomas Р.А. An Owner's Guide to Smoothed Particle Hydrodynamics. Astronomy Centre, 2000.

62. Attaway W., Heinstein M. W., Swegle J. W. Coupling of Smoothed Particle Hydrodynamics with the finite element method // Nuclear Eng. Design.— 1994, V.150.— P. 199-205.

63. Evans M.W., Harlow F.H. The particle-in-cell method for hydrodynamic calculations // Los Alamos Scientific Laboratory Report № LA-2139,1957.

64. Harlow F.H., Dickman D.O., Harris D.E., Martin R.E. Two-dimensional hydrodynamic calculations // Los Alamos Scientific Laboratory Report № LA-2301, 1959.

65. Харлоу Ф.Х. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики // Вычислительные методы в гидродинамике.— М.: Мир, 1967,- С.316.

66. Анучина Н.Н. О методах расчета течений сжимаемой жидкости с большими деформациями // Численные методы механики сплошной среды Новосибирск,- 1970, Т.1, №4,- С.3-84.

67. Яненко Н.Н., Фомин В.М. Численное моделирование задач высокоскоростного взаимодействия тел // Нелинейные волны деформации.— Таллин.- 1977, Т.2.- С.179-182.

68. Мейдер Ч. Численное моделирование детонации.— М.: Мир, 1985.

69. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Нестационарный метод «крупных частиц» для газодинамических расчетов // Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физ, Т.11, №1, 1971, С.182-207.

70. Агурейкин В.А., Крюков Б.П. Метод индивидуальных частиц для расчета течений многокомпонентных сред с большими деформациями // Численные методы механики сплошной среды.— Новосибирск.— Т.17, т, 1986.- С.17-31.

71. А.В. Бушман, И.К. Красюк, Б.П. Крюков, А.А. Ландин, В.Ф. Минин, П. П. Пашинин, A.M. Прохоров, А.Ю. Семенов, В.Я. Терновой,

72. B.Е. Фортов. Кумулятивные явления при импульсном воздействии на коническии мишени // Письма в ЖТФ.— 1988, Т.14, Вып.19.—1. C.1765-1769.

73. А.В. Бушман, А.П. Жарков, Б.П. Крюков, И.Н. Кульков, А.А. Лан-дин, В.Ф. Минин, В.Е. Фортов. Численное моделирование нерегулярного отражения ударных волн в коненсированных средах. Препринт.— М.: ИХФАН СССР, 1989,- С.72.

74. Бондаренко Ю.А., Башуров В.В., Янилкин Ю.В. Математичекие модели и численные методы для решения задач нестационарной газовой динамики. Обзор зарубежной литературы. Препринт. РФЯЦ-ВНИИЭФ. 88-2003. Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2003, 53с.

75. Бондаренко Ю.А. О точности и экономичности счета многомерной эйлеровой газовой динамики на примере расчетов задачи «Blast Waves» // Международный семинар «Супервычисления и математическое моделирование» (Саров, 5-8 октября, 2004 г.)

76. Colella P., Woodward P. The piecewise parabolic method (PPM) for gas-dynamical simulations // J. Comput. Phys.— 1984, V.54 — P.174-201.

77. Bell J.В., Marcus D.L. A second-order projection method for variable-density flows // J. Comput. Phys.- 1992, V.101 P.334-348.

78. Szymczak W.G., Rogers J.C.W., Solomon J.M., Berger A.E. A numerical algorithm for hydrodynamic free boundary problems // J. Comput. Phys.- 1993, V.106 P.319-336.

79. Yabe Т., Aoki T. A universal solver for hyperbolic equations by cubic-polynomial interpolation. I. One-dimensional solver // Comput. Phys. Commun.- 1991, V.66 P.219-232.

80. Yabe Т., Ishikawa T, Wang P.У. A universal solver for hyperbolic equations by cubic-polynomial interpolation. II. Two- and three-dimensional solver // Comput. Phys. Commun.— 1991, V.66.— P.233-242.

81. Woodward P., Colella P. The numerical simulation of two-dimensional fluid flow with strong shocks // J. Comput. Phys.- 1984, V.54.— P.115-173.

82. Osher S., Fedkiw R. Level Set Methods: An Overview and Some Recent Results // J. Comput. Phys.- 2001, V.169.- P.463-502.

83. Osher S., Fedkiw R. The Level Set Method nad Dynamic Implicit Surfaces, Springer-Verlag, New York, 2002.

84. Sussman M., Smereka P., Osher S. A level set approach for computing solutions to incompressible two-phase flow //J. Comput. Phys.— 1994, V.114.— P. 146-159.

85. Hirt C.W., Nichols B.D. Volume of fluid (VOF) method for the dynamics of free boundaries // J. Comput. Phys.- 1981, V.39.- P.201-225.

86. Kothe D.B., Rider W.J. Comments on modelling interfacials flows with volume-of-fluid methods. Los Alamos National Laboratory Technical Report LA-UR-3384, 1994.

87. Youngs D.L. Time-dependent multi-material flow with large fluid distortion //Numerical Methods for Fluid Dynamics / Eds. Morton K.W., Baines M.J., 1982.- P.273-285.

88. Rider W.J., Kothe D.B. A Marker Particle Method for Interface Tracking // 6-th International Symposium on Computational Fluid Dynamics, 1995.

89. Бураго Н.Г., Кукуджанов B.H. Обзор контактных алгоритмов // Научный отчет, Институт проблем механики РАН, Москва, 2002 (доступно в Internet: http://www.ipmnet.ru/ burago/papers/cont.pdf)

90. Berger М., Oliger J. Adaptive mesh refinement for hyperbolic particle differencial equations //J. Comput. Phys.- 1984, V.53 — P.484-512.

91. Berger M., Colella P. Local adaptive mesh refinement for shock hydrodynamics // J. Comput. Phys.- 1989, V.82.— P.64-84.

92. Bell J.В., Berger M.J., Saltzman J.S., Welcome M. A three-dimensional adaptive mesh refinement for hyperbolic conservation laws // SIAM Journal on Scientific Computing 1994, V.15 - P.127-138.

93. Crutchfield W.Y. Load balancing irregular algorithms // Lawrence Livermore National Laboratory Technical Report UCRL-JC-107679,1991.

94. Crutchfield W.Y., Welcome M. Object-oriented implementation of adaptive mesh refinement algorithms // Scientific Programming.— 1993, V.2, №4,- P.145-156.

95. Colella P., Graves D.T., Modiano D., Serafini D.B., B. van Straalen. Chombo Software Package for AMR Applications (доступно в Internet: http://seesar.lbl.gov/anag/chombo/index.html)

96. Белоцерковский O.M., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике.— М.: Наука, 1982, 392с.

97. Strohmaier Е., Dongarra J.J., Meuer H.W., Simod H.D. The marketplace of high-performance computing // Parallel Computing.— 1999, V.25.— P.1517-1544.

98. Meuer H.W. The Mannheim supercomputer statistics 1986-1992, TOP 500 report 1993. University of Mannheim, 1994, P. 1-15.

99. Meuer H.W., Strohmaier E., Dongarra J.J., and Horst D.Simon, TOP500, http: / / www.top500.org

100. Суперкомпьютеры TOP50. http://www.supercomputers.ru

101. Межведомственный суперкомпьютерный центр РАН. Официальная страница в Internet: http://www.jscc.ru

102. Берзигияров П.К. Теория проблемно-ориентированных типовых алгоритмических структур с массивным параллелизмом (диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук).— Черноголовка, 2001.

103. High Performance FORTRAN Forum. Официальная страница в Internet: http://dacnet.rice.edu/Depts/CRPC/HPFF/

104. Parallel Virtual Machine. Официальная страница в Internet: http: / / www.csm.ornl.gov/pvm/

105. Bulk Synchronous Parallel Model. Официальная страница сообщества BSP в Internet: http://www.bsp-worldwide.org/

106. Marc Snir, Steve Otto, Steven Huss-Lederman, David Walker, Jack Dongarra. MPI: The Complete Reference, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1998. (доступно в Internet: http: / / www.netlib.org/utk/papers/mpi-book/mpi-book.html

107. Message Passing Interface Forum. Официальная страница в Internet: http://www.mpi-forum.org

108. Султанов В.Г. Трехмерное численное моделирование высокоэнергетических импульсных процессов (диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук).— Черноголовка, 2001.

109. MPICH-A Portable Implementation of MPI. Официальная страница в Internet: http://www-unix.mcs.anl.gov/mpi/mpich/

110. Liquornik D.J. Results by G.W. Pomykal. Digitized data for Delco test 4007, lead-on-lead. Lawrence Livermore Laboratory Report DDV-86-0010, 1986.

111. K.S. Holian. Hydrodynamics code calculations of debris clouds produced by ball-plate impacts // Int. J. Impact Engng — 1990, V.10.— P.231-239.

112. Бушман А.В., Ломоносов И.В., Фортов В.Е. Модели широкодиапазонных уравнений состояния веществ при высоких плотностях энергии. Препринт ИВТ АН СССР, №6-287.- М., 1990, 44с.

113. Бушман А.В., Ломоносов И.В., Фортов В.Е. Уравнения состояния металлов при высоких плотностях энергии.— Черноголовка, 1992.

114. В.Е. Фортов, И.Т. Якубов. Физика неидеальной плазмы.— Черноголовка, 1984, 263с.

115. An International Accelerator Facility for Beams of Ions and Antiprotons. Conceptual Design Report (доступно в Internet: http: / /www.gsi.de/GSI-Future/cdr/)

116. H.H. Яненко, Г.И. Марчук. Решение многомерного кинетического уравнения методом расщепления // Докл. АН СССР.— 1964, Т.157, №6.- С.1291-1292.

117. Метод расщепления в задачах газовой динамики / Отв. ред. Ю.И. Шокин.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние.— 1981, 304с.

118. Ziegler J.F., Biersack J.P., Littmark U. The Stopping and Range of Ions in Solids.— Pergamon Press, New York, 1985.