Численное моделирование стационарных течений идеальной жидкости на адаптивных сетках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Р Г Б ОД

На правах рукописи

Шокина Нина Юрьевна

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ НА АДАПТИВНЫХ СЕТКАХ

01.01.07 — вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в Институте вычислительных технологий СО РАН

Научный руководитель — кандидат физико-математических наук,

доцент Хакнмзянов Гаяз Салимович

Эфициальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Куропатенко Валентин Федорович, доктор физико-математических наук, профессор Новиков Евгений Александрович

Зедущая организация — Институт математического моделирования РАН

¡ащита-диссертации состоится 2000 г.

"/V" часов на заседании диссертационного совета К 064.61.01 в Красноярском осударственном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, Свободный пр. 9.

' диссертацией молено ознакомиться в библиотеке Красноярского государствен ого университета. ■

автореферат разослан г.

ченыи секретарь диссертационного совета /

андидат физшю-математическых наук (р 'Е.К. Лейнартас

Красноярск 2000

3cab.6J.tH6,о + Ы.5Ь.ШИ,0!>

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В настоящее время численное моделирование установившихся течений зкостп в каналах и трубах производится в большей части работ на основе юли вязкой несжимаемой жидкости. Широкое распространение получили ованные на уравнениях Навье-Стокса алгоритмы,' использующие метод ечных разностей, метод конечных элементов, метод конечных объемов, :од граничных элементов, спектральный метод и другие методы. Обзоры ют по этим алгоритмам приведены в книгах Роуча П., Ковенп В.М. и 5НКО H.H., Белоцерковского О.М., Пейре Р. и Тейлора Т.Д., Андерсона Д., шехплла Дж. и Плетчера Р., Флетчера К., Белолипецкого В.М., Костюка О. и других.

Однако во многих практически важных задачах отдельные характеристи-теченпя вполне удовлетворительно описываются и моделью невязкой жид-ти. Результаты расчетов на основе уравнений Эйлера могут дать предва-гельное представление о характере течения, а также могут быть использо-:ы в качестве начального приближения для итерационных методов решения ционарных уравнений Навье-Стокса.

Переход к новым зависимым переменным: векторному потенциалу ф и тору вихря ¿5 при решении трехмерных задач имеет ряд преимуществ по .внению с классической формулировкой в переменных вектор скорости и и 1ление р. В частности, для -ф — и формулировок уравнение неразрывности толняется автоматически. Кроме того, при решении стационарных задач ¡ление исключается из вычислительного процесса и при необходимости кет быть восстановлено после сходимости итераций для йш. Практически во всех работах, использующих «/> — £5 формулировки для опи-ия стационарных трехмерных течений, итерационные алгоритмы или алго-:мы метода установления были ориентированы на применение в расчетах моугольных равномерных сеток. Для криволинейных трехмерных сеток ют этого направления фактически нет.

В силу сказанного разработка надежных и эффективных алгоритмов расче-на криволинейных адаптивных сетках внутриканаловых установившихся :ений в приближении модели идеальной жидкости в гр — й формулировке [яется актуальной проблемой.

Диссертационная работа имеет следующие цели:

1) разработка и исследование итерационных конечно-разностных методов ленного решения на криволинейных адаптивных сетках двумерных и трех-

мерных стационарных задач в ф — и формулировках о протекании ндеальн жидкости через каналы сложной геометрии;

2) разработка и исследование алгоритмов метода эквнраспределения д построения криволинейных адаптивных сеток на плоских и пространственш кривых, в плоских областях, на поверхностях и в трехмерных областях;

3) разработка итерационного конечно-разностного метода расчета на кр волннейных адаптивных сетках установившихся течений жидкости с повер ностнымц волнами, описываемых в рамках двумерной модели мелкой воды

Методы исследования

При выполнении диссертационной работы использовались методы теор1 дифференциальных уравнений в частных производных, теории итерацио ных методов, функционального анализа, методы конечных разностей, мето.с расщепления. Достоверность полученных результатов подтверждается стр гимн математическими доказательствами свойств предложенных конечн разностных алгоритмов, тестированием алгоритмов на задачах с известныл аналитическими решениями, сравнением с имеющимися данными численнь исследований.

Научная новизна

Разработаны, исследованы и реализованы на криволинейных сетках а. горитмы расчета двумерных и трехмерных стационарных задач протекай! идеальной жидкости через каналы сложной конфигурации. Алгоритмы основ ны на единой формулировке задач в новых зависимых переменных: векторнь: потенциал ф и вектор вихря ¿5. Для построения криволинейных сеток, ад. птирующихся к сложной форме области и к некоторым априорно известны особенностям решения, разработан многомерный вариант метода эквираспр деления.

Практическая значимость

Разработанные алгоритмы реализованы в виде комплекса программ, к< торый может быть использован для численного решения двумерных и тре: мерных задач протекания идеальной жидкости через искривленные каналы.. числу возможных практических задач относятся задачи о стационарных т чениях жидкости в каналах, трубах и речных руслах сложной конфигураш-п

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих кет ферендиях и семинарах: семинарах в Институте вычислительных технолс

[ СО РАН; на факультете механики и на отделении численных методов в пиностроении факультета машиностроения Технического университета г. эмштадта (Германия); в институте аэродинамики Рейн-Вестфальской выс-i технической школы г. Аахен (Германия); 33-й Международной конферен-i "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1995); Междуна-(нон конференции "Математические модели и численные методы механики гашных сред" (Новосибирск, 1996); VI Межреспубликанском совещании " числительные методы в задачах волновой гидродинамики" (Новосибирск, 6); IV Международном совещании "Современные методы математического юлированця природных и антропогенных катастроф" (Красноярск, 1997); ;rnational Conference on Computational Mathematics (Таиланд, 1997); 16th srnational Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics (Франция, 8); 3rd International Conference on Hydro-Science and Engineering (Герма-[, 1998); V научной конференции "Современные методы математического 1елирования природных и антропогенных катастроф" (Красноярск, 1999); ждународной конференции "Математические модели и методы их исследо-:ия (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процес-, экономики)" (Красноярск, 1999); 8th International Symposium on Compu-onal Fluid Dynamics (Германия, 1999).

Публикации

По теме диссертации опубликовано пятнадцать работ, список которых при-ен в конце автореферата.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка лите-уры. Объем диссертации составляет 190 страниц машинописного текста, :ючая 56 рисунков, 7 таблиц и список литературы из 171 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование темы диссертации, приведен обзор лите-уры, определены цели и дано краткое описание содержания работы. Первая глава посвящена разработке итерационного конечно-разностного ода численного решения на криволинейных адаптивных сетках двумерных ционарных задач протекания идеальной жидкости через каналы сложной «етрии с использованием новых зависимых переменных функции тока ф и гкшш вихря и).

В параграфе 1.1 приводится математическая постановка задачи о доз: ковых установившихся внутриканаловых течениях совершенного газа в ис» ных зависимых переменных: вектор скорости и, давление р, плотность р, п< ная энергия Н, с заданными вектором массового расхода ри и полной энерг Н на входе Г1 в односвязную область Г2, условиями непротекания на тв! дых стенках и с заданной нормальной составляющей ри ■ п вектора поте массы на выходе Га. Приводится также математическая постановка задачи установившемся протекании идеальной несжимаемой жидкости.

Для численного решения задачи вводятся новые зависимые переменные функция тока гр'ш функция вихря и:

Уравнение для функции тока имеет при р > 0 эллиптический тип. Ее рассматривать уравнение для функции вихря при заданных векторе скорос и плотности, то оно будет гиперболическим уравнением первого поряд относительно со.

С помощью взаимно-однозначного невырожденного отображения

единичного квадрата <3, лежащего в плоскости координат (¡10<[\ на облас Г2 уравнения для хр, ы и Н записываются в новых независимых перемени!

Полученные уравнения аппроксимируются на криволинейной сетке, д построения которой разработан метод эквираспределения, суть которого I ложена в параграфе 1.2. Здесь приведен принцип эквираспределения д, двумерного случая, который состоит в требовании постоянства произведен; площади ячейки на значение заданной управляющей функции ш в центре яче ки.

На основе принципа эквираспределения получены дифференциальш уравнения (Е02-уравнения) для построения двумерных адаптивных сеток:

где дар - ковариантные компоненты метрического тензора отображения.

Показано, что ЕБ2-уравнения следуют из принципа эквираспределен; при дополнительном предположении об ортогональности отображения Доказано и обратное утверждение о выполнении принципа эквираспределен;

дх2 9л:1'

ха = ха(д\д2), а =1,2

[ля решений Е02-уравненгш, удовлетворяющих условиям невырожденности и >ртогональности отображения.

Показано, что координаты любой квазиортогональной адаптивной сетки удовлетворяют разностным уравнениям метода эквираспределения при усло-ши вычисления компонент метрического тензора и якобиана в центрах ячеек.

Здесь же получены уравнения для расстановки узлов на границе двумерной )бласти с использованием той же управляющей функции w, что и внутри )б ласти.

Параграф 1.3 посвящен разработке итерационного конечно-разностно-о метода численного решения на адаптивных сетках двумерных стационарных задач протекания идеальной жидкости через каналы сложной геометрии, {онечно-разностные уравнения для сеточных функций тока, вихря и полной >нергии получаются интегро-интерполяционным методом путём аппроксимации интегральных соотношений - интегральных аналогов дифференциальных сравнений. При аппроксимации используются разнесенные сетки: сеточные функции ip,p и давление р предполагаются определенными в целочисленных 'злах сетки, компоненты метрического тензора и якобиан преобразования (2), функция вихря и полная энергия вычисляются в центрах ячеек. Использование ¡азнесенных сеток позволяет сохранить некоторые свойства решения диффе->енциальных уравнений, в частности, уравнение неразрывности на криволи-кшноп сетке выполняется на каждом шаге итерационного процесса с точно-:тью до ошибок округления.

При аппроксимации интегрального соотношения для функции тока, инте-'ралы по сторонам контура интегрирования вычисляются по квадратурной формуле трапеций. В результате получено 9-точечное разностное уравнение, готорое на гладких решениях и для достаточно гладких коэффициентов ап-фоксимирует дифференциальное уравнение для функции тока со вторым по->ядком по пространственным переменным ql и q2. В частном случае уравнения Туассона и квадратной сетки, полученная аппроксимация переходит в известию 5-точечную схему "косой крест" Самарского A.A.

Доказана самосопряженность и положительная определенность разност-юго оператора, соответствующего полученным конечно-разностным уравне-шям, при предположении о равномерной эллиптичности дифференциального 'равнения для функции тока.

Показано, что на сеточных функциях, задающих соответствие между уз-гамп физической и вычислительной областей, полученное разностное уравне-ше удовлетворяется тождественно при нулевой правой части. Таким образом, )азностная схема для функции тока сохраняет свойство дифференциального -•равнения для этой функции.

При аппроксимации во внутренних узлах интегрального соотношения д: функции вихря интегралы по сторонам контура интегрирования вычисляют с учетом знаков контравариантных компонент скорости и функция вихря i стороне контура берётся либо из центра ячейки, охватываемой контуром, ли! из центра соседней ячейки. Применяемая аппроксимация приводит к схеме направленными против потока разностями. Шаблон разностного уравнен! может состоять из одного, трёх или четырёх узлов, т.е. является переменны;

Показано, что при отсутствии замкнутых линий тока и точек покоя га; значение и в любом узле можно вычислить только через значения на входе область. Для этого введены определения разностных аналогов условия отсу ствия замкнутых линий тока и точек покоя газа. Условие отсутствия точс покоя газа означает, что хотя бы на одной стороне элементарной ячейки соо: ветствуюхцая контравариантная компонента скорости отлична от нуля. Дп получения разностного аналога условия отсутствия замкнутых линий тоь вводятся понятия шаблона разностного уравнения для вихря, окрестности у: ла, окрестности гг-го уровня, области зависимости для узла и доказываете теорема о необходимом и достаточном условии отсутствия замкнутых лини тока.

Для нахождения решения системы разностных уравнений для вихря прех ложен прямой (безитерационный) метод. Пусть требуется вычислить и> в ш котором узле. Если в окрестности этого узла есть узлы, в которых значения < ещё не вычислялись, то переходим от узла Р к любому из этих узлов и нач! наем просматривать их окрестности. В результате такого перехода от узла узлу вверх по потоку мы либо придем к узлу, для которого значения to в узла его окрестности уже вычислены, либо придем на вход в область, где значени вихря предполагаются известными. Далее в обратном порядке вниз по поток рассчитываются значения ш во всех узлах области зависимости, а затем и самом узле Р.

Разностные уравнения для вычисления Н отличаются от уравнений дл вихря лишь тем, что они являются однородными и решаются они тем ж прямым методом.

Ранее было сказано, что значения вихря на входе предполагаются извест ными. Однако в ■ф — ы формулировке таких значений не содержится. На вхс де задаются значения функции тока и значения ее нормальной производной Таким образом, возникает проблема вычисления значений вихря на входны участках области. На твердых стенках и выходных участках граничные зна чения вихря не требуются ни для дифференциальных уравнений, ни для скон струированной разностной схемы.

Аппроксимация граничных значений вихря производится на основе соотно

ления, связывающего функцию вихря с ковариантными компонентами скоро-:тн. В разностной формуле для вихря ковариантные компоненты скорости на границе известны н в ходе глобального итерационого процесса не меняются, 1 их значения во внутренних приграничных узлах вычисляются через значения других сеточных функций, взятых с предыдущей итерации. При расчете граничных значений вихря использовалась процедура релаксации.

Давление определяется на основе аппроксимации выражения, вытекающего из уравнений движения, записанных в форме Громеки-Лэмба в криволинейных координатах. Для вычисления давления используется метод согласованной аппроксимации, то есть аппроксимация подинтегральных выражений аналогична той, что применялась при выводе разностного уравнения для функции вихря. Доказано, что при таком подходе давление не зависит от пути интегрирования, проходящего по сторонам криволинейных ячеек.

Заканчивается параграф описанием глобального итерационного процесса решения разностной задачи о течении газа. Процесс состоит из трех этапов: на первом этапе решается задача о потенциальном течении идеальной несжимаемой жидкости. Это решение служит начальным приближением для расчета вихревого течения идеальной несжимаемой жидкости, которое, в свою эчередь, является начальным приближением для решения задачи о вихревом течении газа.

Доказано, что данный процесс обладает важным свойством сохранения постоянного течения на произвольной криволинейной сетке.

В четвертом параграфе описываются результаты тестирования разработанного алгоритма на задачах с известными точными решениями. Рассчитывалось плоское существенно вихревое течение несжимаемой жидкости в канале с разворотом потока на 270°. Задача о плоском вихревом неизоэнерге-гическом течении газа решалась для криволинейного канала, при этом числа Маха изменялись в пределах от 0.25 на входе до 0.62 на выходе, то есть течение ¡шлялось чисто дозвуковым.

На этих примерах показана работоспособность предложенного алгоритма и исследовано влияние различных схемных и сеточных параметров на точность численного решения и скорость сходимости итерационного процесса.

Вторая глава посвящена разработке итерационного конечно-разностного метода численного решения на криволинейных адаптивных сетках трехмерных стационарных задач протекания идеальной несжимаемой жидкости через каналы сложной геометрии с использованием новых зависимых переменных: зекторного потенциала г[) и вектора вихря ш.

В параграфе 2.1 приводится математическая постановка задачи об установившихся внутриканаловых течениях идеальной несжимаемой жидкости в

исходных переменных: вектор скорости и и давление;), с заданными векторо скорости и на входе Г) в односвязную область Q, условиями непротекания к твердых стенках и с заданной нормальной составляющей и • п вектора скор< сти на выходе Г2.

В диссертационной работе используется ф - lj формулировка задачи,

¿5 = rot u, u = rot ф,

которая, во-первых, не требует решения уравнения неразрывности, так ка оно выполняется автоматически, и, в которой, во-вторых, отсутствует давле ние как неизвестная функция.

Заметим, что в работах других авторов, где использовалась ф - w форм\ лировка задачи о течении вязкой жидкости, к уравнениям добавлялось допол нительное условие соленондальности векторного потенциала. Это приводит с одной стороны, к упрощению уравнения для векторного потенциала, но, другой стороны, к усложнению алгоритма из-за требования выполнения этс го условия в каждом узле сетки. Реализация этого условия в криволинейны: координатах проблематична, поэтому в данной работе мы не требуем его вы полнения.

С помощью взаимно-однозначного невырожденного отображения

xa = xa(q\q2,q*), а = 1,2,3, (5

единичного куба Q, лежащего в пространстве координат сДд2, <з3, на исходнув область Q уравнения для ф, Си записываются в новых независимых переменны: qa. Полученные уравнения аппроксимируются с использованием координа' криволинейной сетки, для построения которой разработан трехмерный мето; эквираспределения.

В параграфе 2.2 сформулирован принцип эквираспределения и выведень уравнения метода эквираспределения для построения трехмерных адаптив ных сеток. Здесь принцип эквираспределения состоит в требовании постоян ства произведения объема ячейки на значение управляющей функции w в цен тре ячейки. Получена связь между объемом трехмерной ячейки и численныл значением якобиана отображения (5) в центре ячейки. На ее основе принцих эквираспределения в разностной форме записан через якобиан отображения Дифференциальный аналог этого принципа использован при получении диф ференциальных уравнений метода эквираспределения (ЕОЗ-уравнений):

0 ( дха\ д ( дха\ д ( дха\ п

w \wgn9ii~dqi) + Г51ШзW) + r5llff22w) = ' (

•де - ковариантные компоненты метрического тензора отображения (5). 1оказана эквивалентность принципа и дифференциальных уравнений метода |квираспределения.

Сформулированы условия, при которых сетку на боковых поверхностях, ограничивающих физическую область, можно строить методом эквираспре-(еления при использовании такой же управляющей функции, что и внутри власти.

Выписаны дифференциальные и разностные уравнения для построения се-ок на поверхностях. В соответствии с принципом эквираспределения проведение площади каждой ячейки двумерной сетки, покрывающей криволиней-:ую грань, на управляющую функцию в центре этой ячейки, должно быть еличиной постоянной для выбранной грани.

Выписаны дифференциальные и разностные уравнения для построения се-ок на пространственных кривых, ограничивающих грани физической обла-ги. Принцип эквираспределения означает, что длины отрезков между двумя оседними узлами сетки должны быть обратно пропорциональны значениям правляющей функции в центрах этих отрезков.

Приведены условия, при которых сетку на кривой можно строить методом [свираспределения при использовании такой же управляющей функции, что и нутри области. Для плоской кривой с естественной параметризацией уравне-ие для построения сетки на пространственной кривой переходит в уравнение ля построения сетки на плоской кривой, а для прямолинейного отрезка - в равнение для построения сетки на прямом отрезке, рассмотренное в пара-эафе 1.2.

В параграфе 2.3 разработан итерационный конечно-разностный метод исленного решения на криволинейных адаптивных сетках трехмерных ста-ионарных задач протекания идеальной несжимаемой жидкости через каналы южной геометрии с использованием новых зависимых переменных векторно-) потенциала ф и вектора вихря ¿5.

При аппроксимации используются разнесенные сетки, применение которых озволяет сохранить некоторые свойства решения дифференциальных урав-?ннй, в частности, разностное уравнение неразрывности на криволинейной •тке выполняется на каждом шаге итерационного процесса с точностью до пибок округления.

Разностные уравнения для сеточной функции ф получаются пнтегро-1терполяционным методом путем аппроксимации интегральных соотноше-1Й - интегральных аналогов дифференциальных уравнений. При аппрокси-шии интегральных соотношений во внутренних узлах, интегралы по граням ¡верхности интегрирования (параллелепипеда) вычисляются по трехмерно-

му аналогу формулы трапеций. Полученное 27-точечное разностное уравнен] является трехмерным аналогом схемы "косой крест".

Эти уравнения выписываются во всех внутренних узлах. Но граничш значения для ковариантных компонент векторного потенциала заданы не ] всех гранях вычислительной области <5. В частности, для первой компонент гр1 граничные значения не заданы на левой д1 = 0 и правой д1 = 1 граница Поэтому к выписанным уравнениям добавлены дополнительные разностш уравнения, которые получаются также интегро-интерполяционным методе при использовании в качестве поверхностей интегрирования усеченных п раллелепипедов. В результате для фг в узлах левой и правой граней получ ны 18-точечные разностные уравнения. В отличие от работ других авторо при расчете граничных значений мы не используем условие соленоидальност векторного потенциала. Дополнительные разностные уравнения для втор< компоненты гр2 необходимо записывать в узлах передней и задней граней, для третьей компоненты - в узлах нижней и верхней граней вычислитель» области.

Численная реализация краевых условий для векторного потенциала ра смотрена на примере конкретной задачи о течении несжимаемой жидкост в изогнутой трубе, показанной на рис. 1. Использование заданных значен! нормальной составляющей скорости на входе Г1 и выходе Г2, а также услов! непротекания на твердых стенках Го приводит к формулам для определен! касательных к граням ковариантных компонент векторного потенциала. Т ким образом, на каждой из граней будет известно по две компоненты г/>. Эт компоненты в ходе итерационного процесса не меняются. Оставшаяся тран версальная компонента вычисляется на каждом шаге глобального итерацио ного процесса по разностным формулам, о которых говорилось выше.

В данной работе предполагается знакоопределенность одной из компоне! скорости. В частности, для канала, используемого в тестовых расчетах, пре, полагается, что всюду в области вторая контраварнантная компонента ск рости больше нуля, а первая и третья - могут быть знакопеременными, физической точки зрения это означает, что преимущественным направлен ем движения жидкости является направление вдоль оси канала с возможны вращением частиц жидкости вокруг этой оси. А с математической точки зр ния это условие приводит к гиперболичности системы уравнений относител но компонент вектора вихря. По аналогии с ^гиперболическими системам эту систему можно назвать д2-гиперболической и для ее решения можно и пользовать известные методы решения гиперболических систем уравнений, диссертационной работе используется неявная двумерная схема "преднкто корректор" Годунова С.К., реализуемая скалярными прогонками в каждом :

пвух координатных направлений. Для ее реализации необходимо знать все три компоненты вектора вихря на входе в область.

Формулы для расчета граничных значений компонент вектора вихря на ходе получаются аналогично двумерному случаю с использованием в аппрок-имационных формулах заданных значений скорости на входе и уже вычислен-ых на предыдущей итерации значений векторного потенциала в пригранич-ых узлах.

В конце параграфа описан глобальный итерационный процесс решения раз-остной задачи о трехмерном установившемся внутриканаловом течении иде-пьной несжимаемой жидкости. Процесс состоит из двух этапов: на первом гапе решается задача о потенциальном течении идеальной несжимаемой жид-ости. Это решение служит начальным приближением для расчета вихревого ечения идеальной несжимаемой жидкости.

В параграфе 2.4 приведены результаты расчетов ряда трехмерных задач, ервая серия расчетов проведена для области простой формы, а именно ля параллелепипеда с гранями, параллельными координатным плоскостям жартовой системы координат. Исследована картина течения при различных эаничных условиях для вектора скорости на входе и выходе. Численные ззультаты сравнивались либо с точными решениями, либо, в случае, когда ;чение не зависело от третьей координаты, то есть фактически являлось вумерным, с решениями, полученными с помощью двумерного алгоритма, шсанного выше. На этих простых примерах показана работоспособность

предложенного алгоритма и исследовано влияние схемных параметров ] скорость сходимости итерационного процесса.

Другая серия расчетов проведена для трубы квадратного сечения с пов ротом потока на 180° также при различных граничных условиях для векто] скорости на входе и выходе. Как показывают аналогичные работы других а торов, при задании сдвигового потока на входе возникают вторичные течеш в искривленной части трубы, налагающиеся на основное (первичное, задав емое вектором скорости на входе) течение. Полученные в диссертационш работе результаты качественно согласуются с выводами работ других авт ров о возникновении вращательного движения частиц идеальной жидкое1] вокруг оси искривленного канала.

Алгоритмы расчета течений идеального газа, описанные в первой глаз диссертации, применены к численному решению задач о стационарных теч ниях жидкости с поверхностными гравитационными волнами в речных русл; сложной конфигурации в рамках плановой модели мелкой воды первого пр ближения.

В параграфе 3.1 третьей главы приведена математическая постанов] задачи об установившемся протекании жидкости с поверхностными гравит ционнымп волнами в исходных переменных: вектор скорости и и возвышен] ?7(х) поверхности жидкости над невозмущенным уровнем. Известно, что сист ма уравнений мелкой воды совпадает с системой уравнений газовой динамш для совершенного газа с показателем адиабаты, равным двум. Поэтому ра работанный алгоритм расчета течений идеального газа, использующий hobi зависимые переменные ф и ш на криволинейных сетках, может быть прим нен и к численному решению задач о течениях жидкости с поверхностный гравитационными волнами в рамках плановой модели мелкой воды перво приближения.

Глобальный итерационный процесс решения разностной задачи об устан вившемся течении жидкости с поверхностными волнами состоит из трех эт пов. На первом этапе решается задача о потенциальном течении "под крьи кой" (г;(х) = 0, и>(х) = 0). Это решение служит начальным приближенш для расчета вихревого течения "под крышкой" (?/(х) = 0), которое, в свс очередь, является начальным приближением для решения задачи о вихревс течении жидкости со свободной границей.

Аппроксимация уравнения для v в этих задачах совершенно аналогич; аппроксимации для идеального газа.

Ввиду возможности возникновения замкнутых линий тока уравнение д. вихря аппроксимируется другой схемой, а именно схемой с центральными р;

ностями. Полученная система уравнений решается неявным методом установления с расщеплением оператора на верхнем слое по времени и последующей реализацией с помощью метода прогонки.

Так как величина Н2/2 является аналогом давления, то для ее вычисления также используется метод согласованной аппроксимации.

Приведен пример моделирования течения жидкости с поверхностными волнами на заданном участке речного русла. Представлены результаты расчетов для различных геометрий дна и для различных скоростей втекания жидкости на входе. ,,

В параграфе 3.2 представлен итерационный алгоритм расчета на кри-юлинейных адаптивных сетках установившихся течений в речных руслах с >стровами на основе плановой модели мелкой воды с использованием новых 1ависимых переменных — функции тока ф и функции вихря и>.

Как и в параграфе 3.1, для описания течения используется модель мелкой юды первого приближения для идеальной несжимаемой жидкости со свобод-гой границей. Уравнения этой модели такие же, как и в параграфе 3.1, но три наличии островов область решения Я является многосвязной. Поэтому десь сделаны акценты на отличия алгоритма для многосвязных областей от лгоритма, описанного в первом параграфе, для односвязных областей.

Описана модификация метода эквираспределения для построения криво-шнейной сетки в двусвязной области.

Указан алгоритм для нахождения значения функции тока на контуре >строва на всех этапах итерационного процесса. При расчете потенцнально-о течения значение ф на контуре острова определяется так. Проводятся не-колько расчетов течения в односвязной области с уменьшающейся глубиной тмелн в том месте, где должен находиться остров. Определяется предельное начение функции тока при стремлении глубины мели к нулю. Это приближенное значение ф и берется в качестве значения ф на контуре острова при -асчете потенциального течения.

50

10

0

Рис. 2. Поле вектора скорости.

При расчете вихревого течения значение -ф на контуре острова определяется из условия независимости полной глубины от контура интегрирования в методе согласованной аппроксимации.

В этом же параграфе описаны некоторые результаты численного моделирования обтекания острова, располагающегося в речном русле со сложными

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. На основе принципа эквираспределения получены уравнения для построения двумерных адаптивных сеток. Доказана эквивалентность принципа и дифференциальных уравнений метода эквираспределения.

2. Разработан итерационный конечно-разностный метод численного решения на адаптивных сетках двумерных стационарных задач протекания идеальной жидкости через каналы сложной геометрии с использованием новых зависимых переменных: функции тока и функции вихря.

3. Предложена оригинальная 9-точечная аппроксимация уравнения для функции тока, имеющего в криволинейных координатах переменные коэффициенты и члены со смешанными производными. Доказана самосопряженность и положительная определенность соответствующего разностного оператора.

4. Построены аппроксимации уравнений для функции вихря и полной энергии с направленными против потока разностями на криволинейных сетках с использованием переменного шаблона.

5. Показано, что для независимости значений давления от пути интегрирования при использовании маршевого метода на криволинейных сетках, необходима согласованная аппроксимация уравнений для вихря и конечно-разностных соотношений, возникающих при аппроксимации уравнений движения в форме Громеки-Лэмба.

6. Сформулирована математическая постановка в криволинейной системе соординат трехмерной задачи протекания идеальной несжимаемой жидкости герез заданную область сложной формы в новых зависимых переменных: »екторный потенциал и вектор вихря.

7. Сформулирован принцип эквираспределения и выведены уравнения метода эквирйспределения для построения трехмерных адаптивных сеток. Дока-ана эквивалентность принципа и дифференциальных уравнений метода эквн-)аспределения. Выведены дифференциальные уравнения метода эквираспре-[еления для пространственных поверхностей и кривых.

8. Получены конечно-разностные аппроксимации на криволинейных сетках 'равнений и граничных условий для ковариантных компонент векторного по--енциала. Разработан маршевый неявный метод расчета контравариантных :омпонент вектора вихря.

9. Созданные алгоритмы расчета течений идеального газа применены к [исленному решению задач о течениях жидкости с поверхностными гравита-[ионными волнами в речных руслах, в том числе и при наличии островов, в >амках плановой модели мелкой воды первого приближения.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Хакимзянов Г.С., Шокина Н.Ю. О методе эквираспределения для по-троения двумерных адаптивных сеток// Вычислительные технологии. - Но-осибнрск, ИВТ СО РАН, 1995. - Т. 4. - № 13. - С. 271-282.

2. Shokina N.Yu. Numerical simulation of plane ideal incompressible fluid sing adaptive grids// International Workshop on Current Directions in Numerical ■oft-ware and High Performance Computing. Abstracts. - Japan, Kyoto, 1995. -

36.

3. Шокина Н.Ю. Численное моделирование на адаптивных сетках двумер-ых установившихся течений жидкости и газа// Математические модели и нсленные методы механики сплошных сред. Тезисы докладов международен конференции. - Новосибирск, 1996. - С. 523-524.

4. Khakimzyanov G.S., Shokina N.Yu. Numerical modelling of the steady fluid ows in the framework of a shallow-water model// Russian Journal of Numerical analysis and Mathematical Modelling. - 1997. - Vol. 12. - No. 4. - P. 335-348.

5. Шокина Н.Ю. О методе эквираспределения для построения двумерных даптнвных сеток// Математическое моделирование научно-технологических

экологических проблем в нефтегазодобывающей промышленности. Матери-лы Казахстанско-Российской научно-практической конференции. - Республп-а Казахстан, Алматы, 1997. - С. 128.

6. Khakimzyanov G.S., Shokina N.Yu. Numerical modeling of two-dimensional river flows// The Final Program of the 16th International Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics. - France, Arcachon, 1998. - P. 335-348.

7. Шокина Н.Ю. Численное моделирование на адаптивных сетках двумерных установившихся течений жидкости и газа// Вычислительные технологии. - Новосибирск, ИВТ СО РАН, 1998. - Т. 3. - № 3. - С. 85-93.

8. Khakimzyanov G.S., Shokina N. Numerical Simulation of Fluid Flows Using 3D Adaptive Grids// Advances in Hydro-Science and -Engineering. Volume III. The Electronic Proceedings of Papers of the 3rd International Conference on Hydro-Science and -Engineering. - Germany, Cottbus, 1998.

9. Shokina N.Yu. Numerical modelling of 3D fluid flows using adaptive grids// Proceedings of the Sixth Japan-Russia Joint Symposium on Computational Fluid Dynamics. - Japan, Nagoya, 1998. - P. 156-160.

10. Шокина Н.Ю. Об одном методе построения адаптивных сеток в трехмерных областях// Проблемы вычислительной математики и информационных технологий. Материалы Международной научно-практической конференции. - Республика Казахстан, Алматы, 1999. - С. 387.

11. Шокина Н.Ю. Один метод построения сеток в трехмерных областях// Вычислительная механика и современные прикладные программные системы. Тезисы докладов X юбилейной международной конференции. - Переславль-Залесский, 1999. - С. 97.

12. Шокина Н.Ю. Об одном методе численного моделирования течений идеальной жидкости в трубах// Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф. Тезисы докладов V научной конференции, посвященной 275-летию Российской академии наук. - Красноярск: ИВМ СО РАН, 1999. - С. 104.

13. Шокина Н.Ю. О численном расчете трехмерных течений с использованием векторного потенциала и функции вихря// Математические модели и методы их исследования. Тезисы докладов Международной конференции. -Красноярск: КрасГУ, 1999. - С. 214.

14. Shokina Nina.Yu., Khakimzyanov Gayaz S. and Roesner Karl.G. Numerical simulation of 3D fluid flows in the vorticity-vector potential formulation on adaptive grids// Electronic Proceedings of the 8th International Symposium on Computational Fluid Dynamics. - Germany, Bremen, 1999.

15. Khakimzyanov G.S., Shokina N.Yu. Equidistribution method for the construction of adaptive grids// Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. - 1999. - Vol. 14. - No. 4. - P. 339-358.

Соискатель:

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АЛГОРИТМ РАСЧЕТА НА АДАПТИВНЫХ СЕТКАХ ДВУМЕРНЫХ УСТАНОВИВШИХСЯ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

1.1. Математическая постановка задачи.

1.2. Метод построения сеток в двумерных областях.

1.3. Конечно-разностная схема и итерационный процесс.

1.4. Иллюстрация особенностей алгоритма на тестовых задачах

ГЛАВА 2. АЛГОРИТМ РАСЧЕТА НА АДАПТИВНЫХ СЕТКАХ

ТРЕХМЕРНЫХ УСТАНОВИВШИХСЯ ВНУТРИКАНАЛОВЫХ ТЕЧЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ.

2.1. Математическая постановка задачи о протекании жидкости через трехмерную область.

2.2. Метод эквираспределения для построения трехмерных адаптивных сеток.

2.3. Конечно-разностная схема для расчета трехмерных теченийПЗ

2.4. Результаты расчета течения в пространственной трубе с разворотом потока на 180°.

ГЛАВА 3. ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА НА АДАПТИВНЫХ СЕТКАХ ПЛАНОВЫХ УСТАНОВИВШИХСЯ ТЕЧЕНИЙ В РАМКАХ МОДЕЛИ МЕЛКОЙ ВОДЫ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

3.1. Расчет установившихся течений в речных руслах в рамках модели мелкой воды первого приближения.

3.2. Расчет стационарного обтекания острова в речном русле на основе плановой модели мелкой воды

Бурное развитие вычислительной техники в последнее время позволило приступить к решению сложных задач, имеющих важное практическое значение. Численное моделирование установившихся течений жидкости в каналах и трубах производилось в большей части работ на основе модели вязкой несжимаемой жидкости. Широкое распространение получили основанные на уравнениях Навье-Стокса алгоритмы, использующие метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод конечных объемов, метод граничных элементов, спектральный метод и другие методы. Обзоры работ по этим алгоритмам приведены в книгах [4, 7, 8, 10, 36, 37, 39, 55, 56, 62, 78, 86].

Модель идеальной жидкости при моделировании стационарных внутриканаловых течений использовалась довольно редко, что связано с тем, что расчеты на основе этой модели не могут учесть влияние вязких эффектов. Однако при определенных соотношениях между размерами канала и скоростями потока жидкости некоторые характеристики течения вполне удовлетворительно описываются и моделью невязкой жидкости. Результаты расчетов на основе уравнений Эйлера можно использовать в качестве начального приближения для итерационных методов решения стационарных уравнений Навье-Стокса. Кроме того, при создании пакетов прикладных программ необходимо [9, 19], [34]—[36], [38, 40, 59, 95], чтобы в их функциональном наполнении присутствовали не только программные реализации сложных моделей, адекватно отражающих реальные явления, но и реализации более простых приближенных моделей, с помощью которых можно получать предварительное представление о характере течения и исследовать некоторые интегральные характеристики. Таким образом необходим целый набор моделей, что помогает более полно исследовать явление и позволяет,ответить на вопрос о том, какие стороны явления могут быть описаны простыми моделями, а в каких случаях не только желательно, но и необходимо использовать более сложные модели. В силу сказанного разработка надежных и эффективных алгоритмов расчета внутриканаловых течений в приближении модели идеальной жидкости продолжает оставаться актуальной проблемой.

Задача моделирования установившихся течений жидкости в рамках модели идеальной жидкости является достаточно сложной проблемой, несмотря на более простой вид уравнений этой модели по сравнению с уравнениями Навье-Стокса. Трудности связаны со смешанным типом системы уравнений Эйлера. Для стационарного случая эта система имеет эллиптико-гиперболический тип [52], поэтому стандартные методы [47, 48, 63, 95] решения чисто эллиптических или чисто гиперболических уравнений и систем уравнений тут неприменимы. Решение эволюционной системы на установление по времени, получающейся добавлением к исходным уравнениям производных по времени, также низкоэффективно ввиду отсутствия механизмов диссипации [118, 119]. В силу этого большее распространение получили итерационные методы решения непосредственно стационарных уравнений.

Численное моделирование двумерных течений идеальной жидкости проводилось, например, в работах [96, 97], при этом использовались декартовы координаты и прямоугольные сетки. В работах [22, 54] в качестве новых независимых переменных брались искомые зависимые переменные. К недостатку метода [50] можно отнести то, что он применим только для течений с небольшими изменениями направления потока, итерационные методы [22, 121] применимы при условии потенциальности внешних сил, методика работы [25] реализуется только для областей, составленных из прямоугольников. Переход к функции тока ф и завихренности жидкости со — один из основных подходов при моделировании течений вязкой жидкости — использовался и для расчетов двумерных течений идеальной жидкости (см., например, [96, 97, 121, 122]). Для областей сложной геометрии все указанные методы требуют дополнительной модификации, в частности, их обобщения на случай произвольной криволинейной сетки.

В работе [74] для расчета трехмерных установившихся течений идеальной несжимаемой жидкости в каналах использовался метод конечных элементов. Вихревые внутриканаловые течения численно исследовались методом конечных разностей в работах [98, 104, 105]. В последней работе предполагалось, что внешние силы потенциальны.

Если обратиться к работам по моделированию установившихся внутриканаловых течений на основе уравнений Навье-Стокса, то список этих работ более обширен, чем для идеальной жидкости. Среди конечно-разностных методов для трехмерных уравнений Навье-Стокса можно выделить классы методов, основанных на аппроксимациях уравнений, записанных для исходных зависимых переменных: скорости и и давления р, для векторного потенциала ф и вектора вихря со, либо в качестве зависимых переменных берутся скорость и вектор вихря.

В подавляющем числе работ по численному моделированию трехмерных течений несжимаемой жидкости в качестве зависимых переменных выступают скорость и давление, то есть непосредственно рассчитываются величины и и р. При использовании этого подхода для расчета стационарных задач неизменно возникает трудность с уравнением неразрывности. Как правило в известных алгоритмах оно выполняется лишь приближенно. Например, в статьях [161, 162] допускается неточное удовлетворение уравнения неразрывности и рассматриваются схемы, приводящие к появлению источниковых членов в этом уравнении, порядок малости которых однако должен быть выше, чем порядок аппроксимации уравнений. В работе [124] для выполнения уравнения неразрывности на каждом шаге итерационного процесса предлагается рещать задачу Неймана для уравнения Пуассона относительно поправок к компонентам скорости. Имеются и другие подходы к удовлетворению уравнения неразрывности [4, 8, 78], в частности, подход, основанный на использовании метода искусственной сжимаемости при решении стационарных задач на установление [20].

В работах [112, 120, 150] использовались и — со формулировки и поле вектора скорости вычислялось путем решения уравнений Пуассона для каждой компоненты скорости. В статье [123] в отличие от вышеуказанных работ компоненты скорости на каждом итерационном шаге находятся из решения уравнения неразрывности и соотношений, задающих связь между скоростью и вихрем. Библиография работ этого направления представлена в книге [78].

Для двумерного случая первые впечатляющие результаты по моделированию течений несжимаемой жидкости в рамках уравнений Навье-Стокса были получены для ф — со формулировок (для двумерных течений ф - функция тока, и - функция вихря) и этот подход является очень популярным и в настоящее время. Попытки обобщения этого подхода на трехмерный случай натолкнулись на трудности с постановкой граничных условий для трехмерного аналога функции тока - для векторного потенциала ф, что является одной из тех при—* чин, по которой ф—й формулировки использовались крайне редко при численном моделировании трехмерных течений. Между тем, переход к зависимым переменным ф,й имеет ряд преимуществ по сравнению с классическим и— р подходом. В частности, для ф — й формулировок уравнение неразрывности на дифференциальном уровне выполняется автоматически, а на разностном - при подходящей аппроксимации компонент скорости и использовании разнесенных сеток. Кроме того при решении стационарных задач отпадает необходимость в отыскании давления на промежуточных итерациях. Оно исключается из вычислительного процесса и при необходимости может быть восстановлено после сходимости итераций для фиш. Обычно для вычисления давления используется уравнение Пуассона, получаемое из уравнений движения и дополненное неоднородными граничными условиями Неймана. Для разрешимости такой задачи необходимо добиваться согласованной аппроксимации правой части уравнения Пуассона и граничных условий. На разностном уровне добиться этой согласованности даже на равномерных прямоугольных сетках весьма трудно (см., например, [62, 107]).

Разработка алгоритмов, основанных на ф — Со формулировках, выполнялась, например, в работах [167, 168]. В числе первых работ этого направления можно отметить исследование конвективных течений [100]. Для задач конвекции в прямоугольной трехмерной полости этот подход использовался в работе [151]. Граничные условия для векторного потенциала в задачах протекания рассматривались в [7, 127, 147, 168] для односвязных областей и в [154, 169] — для многосвязных. Для исследования течений в трубах подобные постановки использовались, например, в работе [170]. В задачах с непроницаемыми стенками граничные условия для векторного потенциала рассматривались в [100, 145]. Впервые граничные условия для векторного потенциала при исследовании течений в кавернах с непроницаемыми стенками были получены, видимо, в работе [127]. Однако, они оказались непригодными для численной реализации в задачах протекания. Поэтому появились работы, в которых были предложены более простые методы построения граничных условий, пригодные и для задач протекания. Так, в работах [99, 128, 154] дополнительно к векторному потенциалу введен скалярный потенциал и показано, что неоднородные граничные условия можно оставить только для скалярного потенциала, а для векторного граничные условия становятся однородными. Впоследствии этот подход был реализован в статье [152], посвященной моделированию стационарного обтекания куба трехмерным потоком несжимаемой жидкости с использованием прямоугольных неравномерных сеток, сгущающихся в окрестности обтекаемого тела. В вершинах обтекаемого куба применялись оригинальные формулы для компонент нормали к границе куба и специальные аппрок-симационные формулы для нормальной производной от скалярного потенциала.

Использование алгоритмов, в которых наряду с векторным потенциалом используется скалярный потенциал, несмотря на более простую формулировку граничных условий, имеет и ряд недостатков. Они указаны, например, в работах [62, 168]. Самым заметным из них является увеличение количества неизвестных величин и необходимость решения большего числа уравнений. Так, при использовании и—р формулировки приходится решать три уравнения для компонент скорости, одно уравнение Пуассона для давления с неоднородными граничными условиями для нормальной производной от давления и дополнительное уравнение для поправок, обеспечивающее выполнение уравнения неразрывности [103, 124]. При использовании векторного и скалярного потенциалов необходимо решать три уравнения гиперболического типа для компонент вектора вихря, три уравнения Пуассона для компонент векторного потенциала и уравнение Лапласа для скалярного потенциала. При возрастании мощности вычислительной техники этот недостаток перестает быть существенным и в настоящее время его уже можно не принимать во внимание. Другой, более значимый недостаток обсуждаемого метода, связан с тем, что при использовании скалярного потенциала, также как и для и — р формулировки, уравнение неразрывности в разностной форме не будет выполняться точно [168], в отличие от алгоритмов, базирующихся на ф — со формулировке, для которых уравнение неразрывности в разностной форме при использовании разнесенной сетки выполняется точно, причем вне зависимости от точности вычисления векторного потенциала. Кроме того, скалярный потенциал может иметь разрывы на границе в ее угловых точках. Последний из указанных недостатков стимулировал появление работ [167, 168], в которых вместо скалярного потенциала вводится соленоидальный вектор с ненулевой в общем случае завихренностью, удовлетворяющий граничным условиям на входных и выходных участках границы области течения.

В диссертационной работе алгоритмы расчета установившихся течений идеальной жидкости основаны на ф — со формулировках. Отметим, что прямой перенос алгоритмов расчета вязкой жидкости, базирующихся на ф — со формулировках, на случай идеальной жидкости не получается по нескольким причинам. Во-первых, эти две модели отличаются постановкой граничных условий. Для идеальной жидкости на твердых стенках ставится лишь одно условие для скорости - условие непротекания, записываемое в виде равенства нулю нормальной составляющей скорости. В задачах о течении вязкой жидкости на непроницаемой границе обычно ставится условие на полную скорость в виде условия прилипания. Во-вторых, системы уравнений этих моделей имеют различный тип. Например, в случае двумерных установившихся течений переход к новым зависимым переменным ф1 ио дает для вязкой несжимаемой жидкости два уравнения эллиптического типа относительно ф и со и требует задания ф и вычисления со на всей границе области. В случае течения идеальной жидкости уравнение для функции тока также будет иметь эллиптический тип, а для вихря получается уравнение первого порядка гиперболического типа, поэтому при численном решении потребуются значения вихря не на всей границе, а только на входных участках, через которые траектории входят в область течения.

И, наконец, во всех перечисленных выше работах, использующих ф — Со формулировки.для описания трехмерных течений, итерационные алгоритмы или алгоритмы метода установления были ориентированы на применение в расчетах прямоугольных равномерных сеток (см., например, обзор [7]). Для криволинейных трехмерных сеток работ этого направления фактически нет. Простейшие двумерные криволинейные сетки, построенные алгебраическим методом, в сочетании с ф — со подходом использовались, например, в работе [155] для моделирования в двумерном приближении протекания идеальной жидкости через каналы с криволинейной границей. Эта методика легла в основу работ [13, 79] по моделированию осесимметричных установившихся течений идеальной сжимаемой жидкости на криволинейных сетках, адаптирующихся к геометрии каналов и построенных путем решения дифференциальных уравнений для координат узлов [69, 80].

Диссертационная работа имеет следующие цели:

1. разработка и обоснование итерационных конечно-разностных методов численного решения на адаптивных сетках двумерных и трехмерных стационарных задач в ф —со- формулировках о протекании идеальной жидкости через каналы сложной геометрии;

2. разработка и обоснование алгоритмов метода эквираспределе-ния для построения адаптивных сеток на плоских и пространственных кривых, в плоских областях, на поверхностях и в трехмерных областях;

3. разработка итерационного конечно-разностного метода расчета на адаптивных сетках установившихся течений жидкости с поверхностными волнами, описываемых в рамках двумерной модели мелкой воды;

4. Реализация созданных алгоритмов в виде комплекса программ, предназначенного для численного решения прикладных задач.

Диссертация состоит из введения, трех глав, отражающих методику, содержание и результаты выполненных исследований, заключения и списка литературы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [82], [87]—[93], [135]-[138], [156]-[158].

Заключение

В настоящей работе разработаны итерационные методы численного расчета на адаптивных сетках установившихся течений идеальной сжимаемой и несжимаемой жидкости в областях сложной геометрии и получены следующие основные результаты, соответствующие поставленным целям:

1. На основе принципа эквираспределения получены уравнения для построения двумерных адаптивных сеток. Доказана эквивалентность принципа и дифференциальных уравнений метода эквираспределения. Показано, что координаты любой квазиортогональной адаптивной сетки удовлетворяют разностным уравнениям метода эквираспределения.

2. Разработан итерационный конечно-разностный метод численного решения на адаптивных сетках двумерных ртационарных задач протекания идеальной жидкости через каналы сложной геометрии с использованием новых зависимых переменных: функции тока и функции вихря. Показано, что разработанный итерационный про

ТТ ОРГ" Л^ир Г»ТЭГЧТТГ»Т,Т>ГМ\ Т п ГЛ иоиттсг ТЛ О ТЭТТГЛЛ /Г/Зглтигчт^гч гр^ттлиттп- ти о гттлглтто^ х. х ^\/.л.|;/съхх\'Хххху.1. ^/ххчух V./ "1^x1 и. л, х!СЬ хх вольной криволинейной сетке.

3. Предложена оригинальная 9-точечная аппроксимация уравнения для функции тока, имеющего в криволинейных координатах переменные коэффициенты и члены со смешанными производными. Доказана самосопряженность и положительная определенность соответствующего разностного оператора. Показано, что на сеточных функциях, задающих соответствие между узлами физической и вычислительной областей, полученное разностное уравнение удовлетворяется тождественно при нулевой правой части.

4. Построены аппроксимации уравнений для функции вихря и полной энергии с направленными против потока разностями на криволинейных сетках с использованием переменного шаблона. Показано, что при отсутствии замкнутых линий тока и точек покоя газа значения функции вихря и полной энергии в любом узле можно вычислить через значения этих функций на входе в область с помощью безите-рационного метода бегущего счета.

5. Показано, что для независимости значений давления от пути интегрирования при использовании маршевого метода на криволинейных сетках, необходима согласованная аппроксимация уравнений для вихря и конечно-разностных соотношений, возникающих при аппроксимации уравнений движения в форме Громеки-Лэмба.

6. Сформулирована математическая постановка в криволинейной системе координат трехмерной задачи протекания идеальной несжимаемой жидкости через заданную область сложной формы в новых зависимых переменных: векторный потенциал и вектор вихря.

7. Сформулирован принцип эквираспределения и выведены уравнения метода эквираспределения для построения трехмерных адаптивных сеток. Доказана эквивалентность принципа и дифференциальных уравнений метода эквираспределения. Сформулированы условия, при которых сетку на границе трехмерной области можно строить методом эквираспределения при использовании такой же управляющей функции, что и внутри области. Выведены дифференциальные уравнения метода эквираспределения для пространственных поверхностей и кривых. Разработаны итерационные алгоритмы решения разностных уравнений для построения адаптивных сеток.

8. Получены конечно-разностные аппроксимации на криволинейных сетках уравнений и граничных условий для ковариантных компонент векторного потенциала, не использующие предположения о со-леноидальности поля векторного потенциала. Разработан маршевый неявный метод расчета контравариантных компонент вектора вихря. Показано, что при использовании разнесенных криволинейных сеток для аппроксимации контравариантных компонент скорости разностное уравнение неразрывности выполняется на каждом шаге итерационного процесса.

9. Созданные алгоритмы расчета течении идеального газа применены к численному решению задач о течениях жидкости с поверхностными гравитационными волнами в речных руслах сложной конфигурации в рамках плановой модели мелкой воды первого приближения. Разработан итерациойный процесс решения разностной задачи об установившемся течении жидкости, позволяющий проводить расчеты потенциальных и вихревых течений с поверхностными волнами в речных руслах, в том числе и при наличии островов.

10. Разработанные алгоритмы реализованы в виде комплекса программ, предназначенного для численного решения задач протекания идеальной жидкости через каналы сложной конфигурации.

1. Алексеев Г.В. Об исчезающей вязкости в двумерных стационарных задачах гидродинамики несжимаемой жидкости// Динамика сплошной среды. - Новосибирск, ИГД СО АН СССР, 1972. - Вып. 10. - С. 5-27.

2. Алексеев Г.В. О единственности и гладкости плоских вихревых течений идеальной жидкости// Динамика сплошной среды. Новосибирск, ИГД СО АН СССР, 1973. - Вып. 15. - С. 7-17.

3. Алексеев Г.В. О стабилизации решений двумерных уравнений динамики идеальной жидкости// Журн. прикладной механики и техн. физики. 1977. - № 2. - С. 85-92.

4. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен.: Т.1-2. М.: Мир, 1990. - 728 с.

5. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов A.A. Применение теории групповых методов в гидродинамике. Новосибирск, Наука, Сиб. отд-ние, 1994. - 320 с.

6. Антонцев С.Н., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск, Наука. Сиб. отд-ние, 1983. - 319 с.

7. Белолипецкий В.М., Костюк В.Ю., Шокин Ю.И. Математическое моделирование течений стратифицированной жидкости. Новосибирск, Наука. Сиб. отд-ние, 1991. - 176 с.

8. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. -М.: Наука, 1984. 520 с.

9. Борисов В.М. Разработка пакетов программ вычислительного типа. М.: МГУ, 1990. - 126 с.

10. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. - 758 с.

11. Вабищевич П.H. Реализация краевых условий при решении уравнений Навье-Стокса в переменных "функция тока, вихрь скорости"// Докл. АН СССР. -1983. Т. 273. - № 1. - С. 22-26.

12. Вабищевич П.Н. Неявные разностные схемы для нестационарных уравнений Навье-Стокса в переменных функция тока вихрь// Дифференциальные уравнения. - 1984. - Т. 20 - № 7. - С. 1135-1144.

13. Ваганова H.A., Коврижных О.О., Хайруллина О.Б. Моделирование газодинамических процессов в камерах сгорания на многопроцессорной машине// Вычислительные технологии. 1996.- Т. 1. - N 2. - С. 57-64.

14. Воеводин А.Ф., Гончарова О.Н., Леонтьев H.A. Расчет свободной конвекции в кольцевой области при пониженной гравитации// Численные методы динамики вязкой жидкости: Труды IX Всесоюзной школы-семинара. Новосибирск, 1983.- С. 85-89.

15. Воеводин А.Ф., Овчарова A.C. О вычислении функции вихря на границе замкнутой круговой области// Числен, методы механ. сплошной среды. Ново-^тж^илгт^ 1QQ1 Т Kf09\ Mo 1 - Г 11Ч19Пv^ylwyl jj Uli} ± -У <J ± . А . J . Л- X. ЧУ . ну ¿mj \J *

16. Воеводин А.Ф. Устойчивость и реализация условий Тома для разностной краевой задачи Стокса// Числен, методы механ. сплошной среды. Новосибирск, 1992. - Т. 6(23). - № 1. - С. 37-47.

17. Годунов С.К. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики.- М.: Наука, 1976. 400 с.

18. Гольдштик М.А. Вихревые потоки. Новосибирск: Наука, 1981.

19. Горбунов-Посадов М.М., Корягин Д.А., Мартынюк В.В. Системное обеспечение пакетов прикладных программ. М.: Наука, 1990. - 206 с.

20. Грязин Ю.А., Черный С.Г., Шаров C.B. Численное моделирование течений несжимаемой жидкости на основе метода искусственной сжимаемости// Вычислительные технологии. Новосибирск, ИВТ СО РАН, 1995. - Т. 4. - № 13. -С. 180-203.

21. Гуров Б.Г. Существование и единственность установившихся непотенциальных течений жидкости в плоских каналах// Числен, методы механ. сплошной среды. Новосибирск, 1970. - Т. 1. - № 3. - С. 43-55.

22. Гуров Б.Г., Яненко H.H., Яушев И.К. Численный расчет непотенциальных течений идеальной жидкости в плоских каналах// Числен, методы механ. сплошной среды. Новосибирск, 1971. - Т. 2. - № 1. - С. 3-16.

23. Дайковский А.Г., Полежаев В.И., Федосеев А.И. О расчете граничных условий для нестационарных уравнений Навье-Стокса в переменных "вихрь, функция тока"// Числ. мет. мех. сплошной среды. Новосибирск, 1979. - Т. 10. - № 2.- С. 49-58.

24. Данилов Ю.М., Кондратьев В.В. Расчёт смешанного до- и сверхзвукового течения газа в каналах сложной формы с частично проницаемой стенкой// Изв. высших учебн. заведений. Сер. Авиационная техника.—1980.—№ 1.—С. 33-36.

25. Данилов Ю.М. Численное решение стационарных уравнений гидродинамики в дозвуковой области течения// Изв. высших учебн. заведений. Сер. Авиационная техника.—1980.—№ з.—с. 42-45.

26. Дармаев Т.Г., Лисейкин В.Д. Метод построения многомерной адаптивной разностной сетки// Моделирование в механике. Новосибирск, 1987. - Т. 1(18). -№ 1. - С. 49-58.

27. Дегтярев JI.M., Иванова Т.С. Метод адаптивных сеток в одномерных нестационарных задачах конвекции-диффузии// Дифференциальные уравнения.— 1993.—Т. 29.—N 7,—С. 1179-1192.

28. Дородницын A.A., Меллер H.A. О некоторых подходах к решению стационарных уравнений Навье-Стокса// Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1968.- Т. 8. № 2. - С. 393-402.

29. Захаренков М.Н. Об аппроксимации граничного условия для завихренности// Числ. мет. мех. сплошной среды. Новосибирск, 1982. - Т. 13. - № 2. - С. 64-81.

30. Зорич В.А. Математический анализ. Часть 2. М.: Наука, 1984. - 640 с.

31. Кажихов A.B. Корректность нестационарной задачи о протекании идеальной жидкости через заданную область// Динамика сплошной среды. 1980. -Вып. 47. - С. 37-56.

32. Кажихов A.B., Рагулин В.В. Нестационарные задачи о протекании идеальной жидкости сквозь ограниченную область// Докл. АН СССР. 1980. - Т. 250. -№ 6. - С. 1344-1347.

33. Карпов В.Я., Корягин Д.А., Самарский A.A. Принципы разработки пакетов прикладных программ для задач математической физики// Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1978. - Т. 18. - № 2. - С. 458-467.

34. Карпов В.Я., Корягин Д.А. Разработка и использование пакетов прикладных программ// Информатика и научно-технический прогресс. М.: Наука, 1987. - С. 104-120.

35. Ковеня В.М., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики.— Новосибирск: Наука, 1981.—304 с.

36. Ковеня В.М., Тарнавский Г.А., Черный С.Г. Применение метода расщепления в задачах аэродинамики. Новосибирск: Наука, 1990. - 246 с.

37. Козлов Н.И. Организация вычислительных работ. М.: Наука, 1981. - 240 с.

38. Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. -JL: Судостроение, 1979. 204 с.

39. Коновалов А.Н., Яненко H.H. Модульный принцип построения программ как основа создания пакета прикладных программ решения задач механики сплошной среды// Комплексы программ математической физики. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1972. - С. 48-54.

40. Кочергин В.П. Теория и методы расчета океанических течений. М.: Наука, 1978. - 127 с.

41. Кузнецов Б.Г., Сироченко В.П. О постановке задач гидродинамики в многосвязных областях// Вычислительные технологии. Новосибирск, ИВТ СО РАН, 1995. - Т. 4. - № 12. - С. 209-218.

42. Кускова Т.В., Чудов Л.А. О приближенных граничных условиях для вихря при расчете течений вязкой несжимаемой жидкости// Вычислительные методы и программирование. М.: ВЦ МГУ, 1968. - Вып. 11. - С. 27-31.

43. Лисейкин В.Д. Технология конструирования трехмерных сеток для задач аэрогазодинамики// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Мат. моделирование физических процессов. 1991. - Вып. 3. - С. 31-45.

44. Лисейкин В.Д. Обзор методов построения структурных адаптивных сеток// Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1996. - Т. 36. - № 1. - С. 3-41.

45. Лисейкин В.Д. Метод алгебраической адаптации// Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1998. - Т. 38. - № 10. - С. 1692-1709.

46. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. - 535 с.

47. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988. - 264 с.

48. Методы расчета обтекания элементов летательных аппаратов при трансзвуковых скоростях. Ч. II. Методы расчета сеток.—М.: ОНТИ ЦАГИ, 1989.— 119 с.

49. Моисеенко Б.Д., Рождественский Б.Л. Численное решение стационарных уравнений гидродинамики при наличии тангенциальных разрывов //Журн. вычисл. матем. и матем. физики.—1970.—Т.10.—№ 2.—С. 499-505.

50. Моргулис А.Б. Разрешимость трехмерной стационарной задачи протекания// Сибирский математический журнал. 1999. - Т. 40. - N. 1. - С. 142-158.

51. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981. -368 с.

52. Олейник O.A., Радкевич Е.Б. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой. Математический анализ, 1969 (Итоги науки). -М.: ВИНИТИ, 1971. 252 с.

53. Осипов И.JI., Пащенко В.П., Шипилин A.B. Расчет течений невязкого газа в каналах с сильно изменяющейся геометрией//Журн. вычисл. матем. и матем. физики,—1978,—Т. 18.—№'4,—С. 964-973.

54. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984.

55. Пейре Р., Тейлор Т.Д. Вычислительные методы в задачах механики жидкости.- JL: Гидрометеоиздат, 1986. 352 с.

56. Пирсон. Численный метод для задач вязкого потока// Механика. Периодический сборник переводов иностр. статей, 1965. № 6. - С. 65-67.

57. Полежаев В.И., Грязнов B.JI. Метод расчета граничных условий для уравнений Навье-Стокса в переменных "вихрь, функция тока"// Докл. АН СССР. 1974.- Т. 219. № 2. - С. 301-304.

58. Попов Ю.П., Самарский A.A. Вычислительный эксперимент// Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1988. - С. 16-78.

59. Рагулин В.В. Об одной постановке задачи протекания идеальной жидкости// Динамика сплошной среды. Новосибирск, ИГД СО АН СССР, 1978. - Вып. 33.- С. 76-83.

60. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978. - 688 с.

61. Роуч П. Вычислительная гидродинамика.—М.: Мир, 1980.—616 с.

62. Самарский A.A. Теория разностных схем.—М.: Наука, 1977.—656 с.

63. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. - 352 с.

64. Самарский A.A., Николаев E.Q-. Методы решения сеточных уравнений.—М.: Наука, 1978.—592 с.

65. Сармин Э.Н. Модификация метода расщепления граничных условий для решения бигармонического уравнения// Журн. вычисл. матем. и матем. физики. -1973. Т. 13. - № 5. - С. 1341-1347. •

66. Седов JI.И. Механика сплошной среды. Т.1.—М.: Наука, 1973.—536 с.

67. Сидоров А.Ф., Ушакова О.В. Об одном алгоритме построения оптимальных адаптирующихся сеток и его приложениях// Числен, методы механ. сплошной среды.—Новосибирск, 1985.—Т. 16.—N 5.—С. 101-115.

68. Сидоров А.Ф., Шабашова Т.И. Об одном методе расчета оптимальных разностных сеток для многомерных областей// Числен, методы механ. сплошной среды. Новосибирск, 1981. - Т. 12. - № 5. - С. 106-123.

69. Суд, Элрод мл. Численное решение уравнений Навье-Стокса в двусвязных областях для течения несжимаемой жидкости// Ракетная техника и космонавтика. 1974. - Т. 12. - № 5. - С. 76-82.

70. Тарунин Е.Л. Оптимизация неявных схем для уравнений Навье-Стокса в переменных функции тока и вихря скорости// Труды V Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1975. - С. 3-26.

71. Тарунин Е.Л. Анализ аппроксимационных формул для вихря скорости на твердой границе// Уч. записки ПГПИ. 1976. - № 152. - Вып. 9. - С. 167178.

72. Тарунин Е.Л. О выборе аппроксимационной формулы для вихря скорости на твердой границе при решении задач динамики вязкой жидкости// Числен, методы механ. сплошной среды. Новосибирск, 1978. - Т. 9. - № 7. - С. 97-111.

73. Толстуха A.C. Перенос завихренности: Ьариационный подход// Математические структуры и моделирование. 1998. - Вып. 2. - С. 116-123.

74. Том А., Эйплт К. Числовые расчеты полей в технике и физике. М.-Л.: Энергия, 1964. - 208 с.

75. Трошкин О.В. Допустимость множества граничных значений в одной стационарной гидродинамической задаче// Докл. АН СССР. 1983. - Т. 272. - № 5. - С. 1086-1090.

76. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.З.—М.: Наука, 1963.

77. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Т. 2.—М.: Мир, 1991.—552 с.

78. Хайруллина О.Б. Расчет стационарных дозвуковых вихревых потоков идеального газа в осесимметричных каналах сложных геометрий// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Мат. моделирование физических процессов. 1990. -Вып. 3. - С. 32-39.

79. Хайруллина О.Б. Построение блочно-регулярных оптимальных сеток// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Мат. моделирование физических процессов.- 1994. Вып. 1. - С. 19-25.

80. Хакимзянов Г.С. О двумерных течениях идеальной жидкости с притоком массы// Числен, методы механ. сплошной среды.—Новосибирск, 1978. Т. 9.- № 4. С. 119-130.

81. Хакимзянов Г.С., Шокина Н.Ю. О методе эквираспределения для построения двумерных адаптивных сеток// Вычислительные технологии.—Новосибирск, ИВТ СО РАН, 1995. Т. 4. - № 13. - С. 271-282.

82. Хакимзянов Г.С., Яушев И.К. Итерационный метод расчета двумерных дозвуковых установившихся внутренних течений идеальной сжимаемой жидкости. -Новосибирск, 1987. 30 с. - (Препринт/АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т теорет. и прикл. механики; № 4-87).

83. Хакимзянов Г.С., Яушев И.К. О расчете давления в двумерных стационарных задачах динамики идеальной жидкости// Журн. вычисл. матем. и матем. физики,—1984,—Т. 24,—№ 10.—С. 1557-1564.

84. Хакимзянов Г.С., Яушев И.К. О численном расчете дозвуковых установившихся осесимметричных течений идеальной сжимаемой жидкости в каналах сложной формы// Изв. СО АН- СССР. Сер. Технические науки. 1981. - № 13, вып. 3. - С. 50-57.

85. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена. М.: Мир, 1988. - 544 с.

86. Шокина Н.Ю. Численное моделирование на адаптивных сетках двумерных установившихся течений жидкости и газа// Математические модели и численные методы механики сплошных сред. Тезисы докладов международной конференции. Новосибирск, 1996. - С. 523-524.

87. Шокина Н.Ю. Численное моделирование на адаптивных сетках двумерных установившихся течений жидкости и газа// Вычислительные технологии. -Новосибирск, МВТ СО РАН, 1998. Т. 3. - № 3. - С. 85-93.

88. Шокина Н.Ю. Об одном методе построения адаптивных сеток в трехмерных областях// Проблемы вычислительной математики и информационных технологий. Материалы Международной научно-практической конференции. Алматы, 1999. - С. 387.

89. Шокина Н.Ю. Один метод построения сеток в трехмерных областях// Вычислительная механика и современные прикладные программные системы. Тезисы докладов X юбилейной международной конференции. Переславль-Залесский, 1999. - С. 97.

90. Шокина Н.Ю. О численном расчете трехмерных течений с использованием векторного потенциала и функции вихря// Математические модели и методы их исследования. Тезисы докладов Международной конференции. Красноярск, Краснояр. гос. ун-т, 1999. - С. 214.

91. Юдович В.И. Нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости// Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1963. - Т. 3. - N 6. - С. 1032-1066.

92. Яненко Н.Н., Карначук В.И., Коновалов А.Н. Проблемы математической технологии// Числен, методы механ. сплошной среды.—Новосибирск, Б.и., 1977.— Т.8.—№ 3.—С. 129-157.

93. Яушев И.К. Численный расчет двумерных потенциальных и вихревых течений идеальной жидкости// Числен, методы механ. сплошной среды. Новосибирск, 1973. - Т. 4. - № 5. - С. 147-155.

94. Яушев И.К., Хакимзянов Г.С. О численном расчете стационарных плоскопараллельных течений идеальных жидкости и газа в каналах сложной конфигурации// Изв. СО АН СССР. Сер. Технические науки. 1977. - № 13, вып. 3. -С. 37-45.

95. Abdallah S., Hamed A. Inviscid solution for the secondary flow in curved ducts// AIAA J. 1981. - Vol. 19. - P. 993-999.

96. Aregbesola Y.A.S., Burley D.M. The vector and scalar potential method for the numerical solution of two- and three-dimensional Navier-Stokes Equations// J. Comput. Phys. 1977. - Vol. 24. - P. 398-415.

97. Aziz K., Heliums J.D. Numerical solution of the three-dimensional equations of motion for laminar natural convection// Phys. Fluids. 1967. - Vol. 10. - No. 2. -P. 314-324.

98. Boor C. Good approximation by splines with variable knots. II// Lecture Notes in Mathematics.—1974,—V. 363.-P. 12-20.

99. Borthwick A. G. L., Barber R. W. River and reservoir flow modelling using the transformed shallow water equations // Int. J. Numer. Methods Fluids. 1992. -Vol. 14. - P. 1193-1217.

100. Briley W.R. Numerical method for predicting three-dimensional steady viscous flow in ducts// J. Comput. Phys. 1974. - Vol. 14. - P. 8-28.

101. Chang S.-C., Adamczyk J. A New Approach for Solving the Three-Dimensional Steady Euler Equations. I. General Theory// J. Comput. Phys. 1985. - Vol. 60. - P. 23-40.

102. Chang S.-C. and Adamczyk J. A New Approach for Solving the Three-Dimensional Steady Euler Equations. II. Application to Secondary Flows in a Turning Channel// J. Comput. Phys. 1985. - Vol. 60. - P. 41-61.

103. Chang P.Y. and Shyy W. Adaptive grid computation of three-dimensional natural convection in horizontal high-pressure mercury lamps// Int. J. Numer. Methods Fluids. 1991. - Vol. 12. - P. 143-160.

104. Cheng S.I. Accuracy of difference formulation of Navier-Stokes equations// Phys. Fluids. 1969. - Vol. 12. - P. 11-34.

105. Christov C.I. Orthogonal coordinate meshes with managable jacobian.—In: Numerical Grid Generation; Applied Mathematics and Computation.—1982.—Vol. 10/11.—P. 885-894.

106. Comini G., Giudice S., Strada M. Finite element analysis of laminar flow in the entrance region of ducts// Int. J. Numer. Methods Eng. 1980. - Vol. 15. - P. 507517.

107. Daripa P. Iterative schemes and algorithms for adaptive grid generation in one dimension//J. Comput. Physics.—1992,—V.100. —P. 284-293.

108. Dennis S.C.R., Ingham D.B., Cook R.N. Finite-difference methods for calculating steady incompressible flows in three dimensions// J. Comput. Phys. 1979. -Vol. 33. - P. 325-339.

109. Deshpande M.D., Giddens D.P. Turbulence measurements in a constricted tube// J. Fluid Mech. 1980. - V. 97. - Part 1. - P. 65-89.

110. Dwyer H.A., Kee R.J. and Sanders B.R. An adaptive grid method for problems in fluid mechanics and heat transfer// AIAA J. 1980. - Vol. 18. - No. 10. -P. 1205-1212.

111. Dwyer H.A. Grid adaption for problems in fluid dynamics// AIAA J. 1984. -Vol. 22. - No. 12. - P. 1705-1712.

112. E W., Liu J. Vorticity boundary condition and related issues for finite difference schemes// J. Comput. Phys. 1996. - Vol. 124. - P. 368-382.

113. P.R.Eisemann, Alternating Direction Adaptive Grid Generation. AIAA Paper 83-1937.—1983.

114. Essers J.A. Quasi-natural numerical methods for the computation of inviscid potential or rotational transonic flows// Applied Mathematical Modelling, 1979.- Vol. 3. № 1. - P. 55-66.

115. Essers J.A. New fast super-dashpot time-dependent techniques for the numerical simulation of steady flows. I. Numerical formulation// Comput. Fluids. 1980. -Vol. 8. - No. 3. - P. 35.1-368.

116. Farouk B., Fusagi T. A coupled solution of the vorticity-velocity formulation of the incompressible Navier-Stokes equations// Int. J. Numer. Methods Fluids. 1985.- Vol. 5. P. 1017-1034.

117. Feistauer M. Some cases of numerical solution of differential equations describing the vortex-flow through three-dimensional axially symmetric channels// Aplikace Matematiky. 1971. - Vol. 16. - P. 265-288.

118. Feistauer M. On two-dimensional and three dimensional axially-symmetric rotational flows of an ideal incompressible fluid// Aplikace Matematiky. 1977. - Vol. 22.- P. 199-213.

119. Gatski T.B., Grosch C.E., Rose M.E. The numerical solution of the Navier-Stokes equations for 3-dimensional, unsteady, incompressible flows by compact schemes// J. Comput. Phys. 1989. - Vol. 82. - P. 298-329.

120. Giudice S., Strada M., Comini G. Three-dimensional laminar flow in ducts// Numer. Heat Transfer. 1981. - Vol. 4. - P. 215-228.

121. Giudice S. Step-by-step analysis of flow development in ducts// Numer. Heat Transfer. 1979. - Vol. 2. - P. 291-302.

122. Hille P., Vehrenkamp P., Schulz-DuBois E.O. The development and structure of primary and secondary flow in a curved square duct// J. Fluid Mech. 1985. -Vol. 151. - P. 219-241.

123. Hirasaki G.J., Heliums J.D. A general formulation of the boundary conditions on the vector potential in three-dimensional hydrodynamics// Quart. Appl. Math. -1968. Vol. 26. - No. 3. - P. 331-342.

124. Hirasaki G.J., Heliums J.D. Boundary conditions on the vector and scalar potentials in viscous three-dimensional hydrodynamics// Quart. Appl. Math. 1970. - Vol. 28. - No. 2. - P. 293-296.

125. Hou T.Y., Wetton B.T.R. Convergence of a finite difference scheme for the Navier-Stokes equations using vorticity boundary conditions// SIAM J. Numer. Anal. -1992. Vol. 29. - No. 3. - P. 615-639.

126. Huang H., Seymour B.R. A finite difference method for flow in a constricted channel// Comput. Fluids. 1995. - Vol. 24. - P. 153-160.

127. Huang H., Seymour B.R. The no-slip boundary condition in finite difference approximations// Int. J. Numer. Methods Fluids. 1996. - Vol. 22. - P. 713-729.

128. Huang W. and Sloan D.M. A simple adaptive grid method in two dimensions// SIAM J. Sci. Comput. 1994. - Vol. 15. - No. 4. - P. 776-797.

129. Humphrey J.A.C., Taylor A.M.K., Whitelaw J.H. Laminar flow in a square duct of strong curvature// J. Fluid Mech. 1977. - Vol. 83. - P. 509-527.

130. Kato T. On classical solutions of the two-dimensional non-stationary Euler equations// Archive Rational Mech. Anal. 1967. - Vol. 25. - No 3. - P. 188-200.

131. Khakimzyanov G.S., Shokina N.Yu. Numerical modelling of the steady fluid flows in the framework of a shallow-water model// Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 1997. - Vol. 12. - No. 4. - P. 335-348.

132. Khakimzyanov G.S., Shokina N.Yu. Numerical modeling of two-dimensional river flows// Final program of the 16th International Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics. Arcachon, 1998. - P. 335-348.

133. Khakimzyanov G.S., Shokina N.Yu. Equidistribution method for the construction of adaptive grids// Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 1999. - Vol. 14. - No. 4. - P. 339-358.

134. Kim H.J., ThompsonJ.F. Three-Dimensional Adaptive Grid Generation on a Composite-Block Grid// AIAA Journal.—1990.—V. 28.—N.3.—P. 948.

135. Knupp P., Steinberg S. Fundamentals of grid generation. CRC Press, 1994. - 2861. P

136. Li M., Tang T., Fornberg B. A compact fourth order finite difference scheme for the steady incompressible Navier-Stokes equations// Int. J. Numer. Methods Fluids. -1995. Vol. 20. - P. 1137-1151.

137. Liseikin V.D. Survey of grid generation technology // Advanced Mathematics: Computations and Applications. Proceedings of AMCA-95. (Eds. A.S.Alexeev, N.S.Bakhvalov). -Novosibirsk, 1995. P. 511-517.

138. Liseikin V.D. Grid generation methods. Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg, New York. - 1999.

139. Maliska C.R., Raithby G.D. A method for computing three dimensional flows using non-orthogonal boundary-fitted coordinates// Int. J. Numer. Methods Fluids. -1984. Vol. 4. - P. 519-537.

140. Mallinson G.D., Davis G. Three-dimensional natural convection in a box: a numerical study// J. Fluid Mech. 1977. - Vol. 83. - No. 1. - P. 1-31.

141. Melaanen M.C. Analysis of fluid flow in constricted tubes and ducts using body-fitted non-staggered grids// Int. J. Numer. Methods Fluids. 1991. - Vol. 15. -P. 895-923.

142. Miyata H.N. and Nishimura S. Finite-difference simulation of nonlinear ship waves// J. Fluid Mech. 1985. - V. 157. - P. 327-357.

143. Nakahashi K., Deiwert G.S. Three-Dimensional Adaptive Grid Method// AIAA Journal.—1986.—V. 24,—P. 948.

144. Napolitano M. Efficient solution of two-dimensional steady separated flows// Com-put. Fluids. 1991. - Vol. 20. - P. 213-222.

145. Orlandi P. Vorticity-velocity formulation for high Re flows// Comput. Fluids. -• 1987. Vol. 15. - No. 2. - P. 137-149.

146. Ozoe H., Yamamoto K., Churchill S.W., Sayama H. Three-dimensional numerical analysis of laminar natural convection in a confined fluid heated from bellow// Trans. ASME, J. Heat Transfer. 1976. - V. 98. - P. 202-207.

147. Raul R., Bernard P.S., Buckley F.T. An application of the vorticity vector potential method to laminar cube flow// Int. J. Numer. Methods Fluids. - 1990. -Vol. 10. - P. 875-888.

148. Richards C.W., Crane C.M. Pressure marching schemes that work//Int. J. Numer. Methods Eng.—1980,—Vol. 15.—P. 599-610.

149. Richardson S.M., Cornish A.R.H. Solution of three-dimensional incompressible now problems// J. Fluid Mech. 1977. - Vol. 82. - No. 2. - P. 309-319.

150. Shokina N.Yu. Numerical simulation of plane ideal incompressible fluid using adaptive grids// International Workshop on Current Directions in Numerical Software and High Performance Computing. Kyoto, 1995. - P. 36.

151. Shokina N.Yu. Numerical modelling of 3D fluid flows using adaptive grids// Proceedings of the Sixth Japan-Russia Joint Symposium on Computational Fluid Dynamics. Nagoya, 1998. - P. 156-160.

152. Shyy W. Computation of complex fluid flows using an adaptive grid method//Int. J. Numer. Methods Fluids. 1988. - Vol. 8. - P. 475-489.

153. Sotiropoulos F., Kirn W.J., Patel V.C. A computational comparision of two incompressible Navier-Stokes solvers in three-dimensional flows// Comput. Fluids. -1994. Vol. 23. - No. 4. - P. 627-646.

154. Sotiropoulos F. and Abdallah S. The discrete continuity equation in primitive variable solutions of incompressible flow// J. Comput. Phys. 1991. - Vol. 95. - No. 1. - P. 212-227.

155. Stricwerda J.C., Nagel Y.M. A numerical method for the incompressible Navier-Stokes equations in three-dimensional cylindrical geometry// J. Comput. Phys. -1988. Vol. 78. - No. 1. - P. 64-78.

156. Takagi T., Miki K., Chen B.C.J, and Sha W.T. Numerical generation of boundary-fitted curvilinear coordinate systems for arbitrarily curved surfaces// J. Comput. Phys. 1985. - Vol. 58. - P. 67-79.

157. Taylor A.M.K., Whitelaw J.H., Yanneskis M. Curved ducts with strong secondary motion: velocity measurements of developing laminar and turbulent flow// J. Fluids Engng. 1982. - Vol. 104. - P. 350-359.

158. Thompson J.F. A survey of dynamically adaptive grids in the numerical solution of partial differential equations// Applied Numerical Mathematics.—1985.—V. 1.—P. 3-28.

159. Thompson J.F., Warsi Z.U.A., Mastin C.W. Numerical grid generation, foundations and applications. Amsterdam: North-Holland, 1985. - 483 p.

160. Tutty O.R. On vector potential vorticity methods for incompressible flow problems// J. Comput. Phys. - 1986. - Vol. 64. - P. 368-379.

161. Wong A.K., Reizes J.A. An effective vorticity-vector potential formulation for the numerical solution of three-dimensional duct flow problem// J. Comput. Phys. -1984. Vol. 55. - P. 98-114.

162. Wong A.K., Reizes J.A. The vector potential in the numerical solution of three-dimensional fluid dynamics problems in multiply connected regions// J. Comput. Phys. 1986. - Vol. 62. - P. 124-142.

163. Yang H., Camarero R. An improved vorticity potential method for three-dimensional duct flow simulations//Int. J. Numer. Methods Fluids. - 1986. - Vol. 6. - P. 35-45.

164. Young D.F., Tsai F.Y. Flow characteristics in models of arterial stenoses I. Steady flow// J. Biomech. - 1973. - Vol. 6. - P. 395-410.