Численное решение двумерных стационарных внутренних задач дозвуковой газовой динамики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. РАСЧЕТ ДВУМЕРНЫХ УСТАНОВИВШИХСЯ ТЕЧЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ.

§ 1.1. Постановка задачи.

§ 1.2. Расчет функции тока и численное решение задачи о потенциальном течении идеальной жидкости.

§ 1.3. Вычисление функции вихря.

§ 1.4. Численное решение задачи • о\~вйХревом течении несжимаемой жидкости.

ГЛАВА П. ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ДВУМЕРНЫХ ДОЗВУКОВЫХ УСТАНОВИВШИХСЯ ТЕЧЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ.

§ 2.1. Постановка задачи.

§ 2.2. Расчет потенциальных дозвуковых течений идеального газа.

§ 2.3. Расчет вихревых течений идеального газа.

§ 2.4. Расчет давления.

ГЛАВА Ш. ИЛЛЮСТРАЦИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ЧИСЛЕННОГО АЛГОРИТМА.

§ 3.1. Расчет течений газа в трубах с пористыми стенками.И

§ 3.2. Расчет течений газа в узких пространственных щелях в квазидвумерном приближении.

§ 3.3. Расчет смешанных течений в соплах и газовых трактах сложной конфигурации.

Модель двумерных установившихся течений идеальной несжимаемой и сжимаемой жидкости имеет широкий круг приложений в практике и уже давно является предметом интенсивных исследований с помощью методов механики сплошной среды [1-7] . Аналитическим исследованиям в рамках этой модели посвящено большое число работ, в которых были выявлены основные качественные закономерности газодинамических течений. Вместе с тем для большинства практически важных задач получить детальную картину установившегося течения идеальной жидкости можно лишь с помощью приближенных методов, в частности конечно-разностных. Поэтому разработка эффективных численных алгоритмов решения задач из указанного класса является актуальной, тем более, что роль вычислительного эксперимента в изучении сложных физических явлений в связи с совершенствованием вычислительной техники существенно возрастает [8-11] .

С другой стороны развитие метода вычислительного эксперимента связано с широким внедрением модульного принципа при построении программ [12,13] , основанного на расчленении некоторой сложной задачи на ряд более простых, среди которых, в частности, может оказаться и задача о течении идеальной жидкости. В этом случае от эффективности метода численного решения последней будет зависеть возможность проведения вычислительного эксперимента в целом.

К настоящему времени уже имеется ряд методов решения задач об установившихся течениях идеальной жидкости. Самым распространенным из них является метод установления, суть которого заключается в выборе в качестве решения стационарных уравнений предельного во времени решения соответствующей неетационарной задачи. Наиболее плодотворным оказалось применение этого метода к расчету смешанных течений, содержащих области как дозвуковых, так и сверхзвуковых скоростей с заранее неизвестными границами [14] . Однако недостатком метода является его медленная сходимость для дозвуковых течений [15-22, 123, 124], особенно при наличии обширных зон с малыш дозвуковыми скоростями потока сжимаемой жидкости. Так как задача о течении идеальной жидкости является в общем случае лишь элементом в более сложной задаче, то время численного решения последней может неприемлемо для практики возрасти, и поэтому разработка других методов расчета дозвуковых потоков является актуальной.

Причины плохой сходимости метода установления при расчете дозвуковых течений кроются в специфике гиперболических уравнений, появляющихся в нестационарной задаче: возмущения распространяются, взаимодействуя между собой, по характеристикам системы уравнений с конечной скоростью [2 ] . Рассмотрим для примера такую простую модельную задачу для гиперболического уравнения:

X£Q--CO;l)bO(i) а(.(Н)-^ coast 5 (з) где CL - Const >0 • Тогда видно, что стационарное решение получается только при "t ^ t^ = 1 /CL и при малой "скорости" (X время выхода на стационарный режим t^ становится большим.

С другой стороны, установление в задаче (1)-(3) происходит потому, что начальные возмущения ИДОС) выносятся из области течения. В случае уравнений газовой динамики при дозвуковых скоростях потока эволюция во времени начальных данных имеет более сложный характер: возмущения распространяются как вниз, так и вверх по потоку и, взаимодействуя с границами, изменяют свои параметры. Такое движение возмущений внутри области может продолжаться бесконечно долго, причем без установления течения.

В связи с указанным недостатком метода установления в последнее время появились работы, в которых делаются попытки "подправить" метод либо за счет специального выбора граничных условий с целью создания механизма гашения начальных возмущений, либо за счет изменения самих уравнений, оставаясь при этом в рамках нестационарной задачи. Так, в работах [125-127] предлагается использовать на входных и выходных участках границы области течения "неотражающие" граничные условия, зависящие от параметра, выбирая который оптимальным образом можно получить наибольшую скорость сходимости к стационарному решению. Однако при всей привлекательности такого подхода его применение на практике весьма ограничено, так как зачастую сама физическая постановка задачи определяет граничные условия, не оставляя возможности для их варьирования.

В работе [123] предлагается нестационарные уравнения газовой динамики заменять на аналогичную сиетему, содержащую источниковые члены. Например, в случае модельной задачи (I)-(3) уравнение (I) заменяется двумя уравнениями введением новой зависимой переменной :

ЪО- Ъ\Л ~ CL —— - 0 (4)

Di ЬОС, где источниковый член Ki.ll ( Ю>0) в уравнении (5) служит для эффективного подавления начальных возмущений. В самом деле, после исключения С^- из системы (4)-(5), получается уравнение колебаний с затуханием ъа гЪ^а решение которого с ростом "Ь стремится к стационарному решению задачи (1)-(3). Таким образом, при указанном подходе подавление возмущений происходит внутри области, причем возникает проблема оптимального выбора К> с целью получения наибольшей скорости установления. Существенным недостатком метода является увеличение числа зависимых переменных в два раза, что может привести к определенным трудностям при численной реализации алгоритма ввиду ограниченности оперативной памяти ЭШ. Кроме того, возникают затруднения и с заданием граничных условий для новых зависимых переменных.

При переходе от общей математической постановки задачи к дискретной модели в качестве механизма гашения начальных возмущений выступает аппроксимационная вязкость [23] . При этом увеличение скорости установления достигается загрублением сетки или добавлением искусственной вязкости [24] , что однако снижает точность получаемого решения. С другой стороны, на этапе численного моделирования могут появиться другие факторы, увеличивающие время решения задачи на ЭВМ. Так, для задачи С1)-(3) время установления определяется областью малых скоростей". Если для расчета используется явная схема, то шаг по времени Т" должен удовлетворять условию устойчивости, которое обычно имеет вид [25]

X ^ / таос, | а I 7 О

Следовательно, при переменном коэффициенте & X определяется областью с большими "скоростями" потока и может оказаться значительно меньше той величины, которая допустима в области малых "скоростей". В результате для достижения потребуется слишком много шагов по времени. Аналогичные трудности при применении явных схем возникают, если используются неравномерные сетки [23, 27 ] .

Указанного недостатка лишены неявные разностные схемы [26,27] , однако их использование при расчете внутренних дозвуковых течений еще недостаточно апробировано.

Другим подходом, отличным от метода установления и пока значительно меньше освещенным в литературе, является построение численных алгоритмов непосредственно для стационарных уравнений гидрогазодинамики.

В работах, относящихся к этому направлению, предлагаются различные итерационные методы решения двумерной стационарной задачи, но возможности использования каждого из них в той или иной степени ограничены. Так, метод [28] применим только для течений с небольшими изменениями направления потока, методы [29, 128] - только при условии потенциальности внешних сил. Достаточно эффективной при численном расчете течений идеальной несжимаемой жидкости оказалась методика [30] , основанная на идее выделения в стационарной системе эллиптической и гиперболической частей, для каждой из которых могут применяться методы, наиболее приспособленные к решению данного класса уравнений. Однако и здесь имеются определенные трудности, связанные с использованием при решении уравнения для функции вихря на каждой внешней итерации метода установления, что при малых скоростях потока приводит к большим затратам времени счета полной задачи. Применение аналогичной методики совместно с переходом к новым независимым переменным [15-18] имеет с одной стороны некоторые преимущества по сравнению с [28, 29, 128] , но с другой стороны указанный переход затруднен в случае ненулевых правых частей, а также при сложной геометрии течения. Наконец, метод регуляризации разностного оператора [20] легко реализуется, по-видимому, только лишь для областей, составленных из прямоугольников.

Отмеченные выше недостатки существующих методов приводят к необходимости создания алгоритма решения стационарных задач дозвуковой газовой динамики, применимого при любой геометрии течения и независящего от типа внешних воздействий, простого в реализации и позволяющего получать численное решение за приемлемое для нужд практики время и с достаточной точностью.

Настоящее исследование, отражающее существо публикаций \3I-35] , имеет следующие цели:

1. Математическая постановка задач о двумерных установившихся внутренних течениях идеальной сжимаемой и несжимаемой жидкости с учетом возможности подвода массы, импульса и энергии внутри области и наличия входных и выходных участков на границе.

2. Разработка эффективного и достаточно универсального алгоритма для расчета течений из указанного класса.

3. Реализация алгоритма в виде комплекса программ, предназначенного для численного решения прикладных задач.

Работа состоит из введения, трех глав, отражающих методику, содержание и результаты выполненных исследований, заключения и приложения.

В главе I исследуются течения газа в предположении, что можно пренебречь сжимаемостью. Это приближение достаточно хорошо описывает газодинамические процессы для малых скоростей потока [1-3] и может быть выбрано в качестве начального при итерационном решении задач о течениях сжимаемой жидкости. Кроме того, проблема расчета течений несжимаемой идеальной жидкости имеет и самостоятельный интерес.

Математическая постановка задачи (§ 1.1) состоит в следующем: требуется найти в односвязной ограниченной области О. плоскости прямоугольных координат ОСцОх^ решение системы уравнений

Э г Э "Эр о удовлетворяющее краевым условиям

3 -У, (в) г?, а -0 з тМг «^(а), г

Г,

9) где а - вектор внешней нормали к границе области течения Г=П иГ иГо » состоящей, соответственно, из входа, О Л непроницаемой части и выхода. В случае модели плоскопараллельного течения для осесимметричных течений с осью симметрии 0х1 Н(Х)=Х{1, а при произвольной функции

2 (X) система (6)-(8) описывает так называемые квазидвумерные течения ^32 ].

В параграфе 1.1 доказывается существование обобщенного решения задачи о течении несжимаемой жидкости в области, граница которой состоит только из непроницаемой части и выхода. Для численного решения задачи производится расщепление системы (6)-(8) на эллиптическую и гиперболическую части введением новых зависимых переменных <|) и СО » где - аналог функции тока, 60 - функция вихря. При этом для С|) получается уравнение второго порядка эллиптического типа, а для 60 -первого порядка гиперболического типа.

В параграфе 1.2 для сеточной функции (|) выписывается система разностных уравнений и на основе анализа результатов методических расчетов выбирается наиболее подходящий итерационный метод для ее решения.

В параграфе 1.3 для системы разностных уравнений относительно функции вихря доказывается однозначная разрешимость и устойчивость по правой части. Предлагается эффективный алгоритм решения указанной системы, являющийся обобщением известного метода бегущего счета [23 ] .

В параграфе 1.4 строится итерационный алгоритм численного решения задачи о вихревом течении идеальной несжимаемой жидкости. Выбираются апцроксимационные формулы для расчета завихренности на входе в область течения аналогично тому, как это делается при расчете течений вязкой жидкости [44-53] . Теоретически и на основе численных экспериментов определяются оптимальные значения параметра релаксации, используемого в этих формулах для предотвращения расходимости итерационного процесса.

Глава 2 посвящена исследованию двумерных установившихся дозвуковых течений идеальной сжимаемой жидкости.

В § 2.1 дается математическая постановка задачи: найти в © решение системы уравнений

0Х1 'я, удовлетворяющее граничным условиям

Р^ -Р/в), 5-я -0, ры Нр-Н^) (14)

Ч ,0 и Ч

Введением функции вихря и аналога функции тока система уравнений (Ю)-(13) расщепляется на две подсистемы: одна состоит из уравнения эллиптического типа второго порядка для (|) , а в другую входят два стационарных уравнения гиперболического типа относительно функций вихря СО и полной энергии Н . Такое расщепление позволяет использовать в каждом из указанных случаев методы, наиболее приспособленные к численному решению данного типа уравнений.

В параграфе 2.2 предлагается алгоритм расчета дозвуковых потенциальных течений идеального газа.

В параграфе 2.3 излагается итерационный метод численного решения задачи о дозвуковом вихревом неизоэнергетическом течении газа. При этом в качестве начального приближения берется либо решение задачи о потенциальном течении газа, либо решение задачи о вихревом течении несжимаемой жидкости. Алгоритм не зависит от геометрии течения, от правых частей уравнений, прост для программной реализации.

Заканчивается глава 2 исследованием проблем восстановления давления в двумерных задачах гидрогазодинамики, для численного решения которых используется переход к новым зависимым переменным - функции тока ф и функции вихря СО . При расчете течений сжимаемого газа, в отличие от несжимаемой жидкости, восстановление давления необходимо производить на каждом итерационном шаге, и от выбора процедуры восстановления существенно зависит сходимость всего процесса. В параграфе 2.4 предлагаются два новых эффективных метода расчета давления, пригодные для использования при численном решении задач о течениях как вязких, так и невязких жидкостей и свободные от недостатков, которыми обладают ранее употреблявшиеся методы.

Разработанные в главах I и 2 алгоритмы были реализованы в виде комплекса прикладных программ, краткое описание которого приводится в приложении.

В главе 3 иллюстрируются возможности использования созданного комплекса при решении задач, имеющих большое практическое значение.

В параграфе 3.1 численно решается хорошо известная задача о течении жидкости в трубе с пористыми стенками [59-66] через которые под некоторым углом производится вдув газа в трубу. Проводится сравнение полученных численных результатов с экспериментальными данными [бО ] .

В параграфе 3.2 рассматриваются течения газа в узких пространственных щелях в квазидвумерном приближении. Приводятся результаты численных расчетов течений газа в каналах сложной формы и осуществляется сравнение параметров двумерного течения с соответствующими осредненными по высоте щели величинами, полученными при численном решении трехмерной задачи.

В параграфе 3.3 показывается, как можно использовать описанный алгоритм для расчета дозвуковой части смешанных до-транс-сверхзвуковых течений идеального газа в осесимметричных каналах сложной формы. Производится сопоставление с результатами расчетов других авторов, а также с экспериментальными исследованиями указанных течений.

В заключении оцениваются и перечисляются основные результаты проведенных исследований, даются рекомендации по их практическому использованию, обсуждаются возможные направления дальнейшего развития предлагаемой методики.

1. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 2. - М.: Физматгиз, 1963. - 728с.

2. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981. - 368с.

3. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1973. - 584с.

4. Седов Л.И, Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. -М.: Наука, 1966. 448с.

5. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973. - 848с.

6. Бай ПМ-и. Введение в теорию течения сжимаемой жидкости. -М.: Иностр. лит., 1962. 410с.

7. Берс Л. Математические воцросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: Иностр. лит., 1961. - 208с.

8. Яненко H.H., Карначук В.И., Коновалов А.Н. Проблемы математической технологии. Числ.мет.мех. сплошной среды. Новосибирск, Б.и., 1977, т. 8, & 3, с. 129-157.

9. Яненко H.H., Карначук В.И., Рычков А.Д., Фомин В.М. Пакеты прикладных программ математической физики и механики сплошной среды. В кн.: Комплексы программ математической физики. Новосибирск, ИТПМ СО АН СССР, 1982, с. 3-15.

10. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. - 656с.

11. Карпов В.Я., Корягин Д.А., Самарский A.A. Принципы разработки пакетов прикладных программ для задач математической физики. Журн.вычисл.матем. и матем. физики, 1978, т. 18, № 2, с. 458-467.

12. Коновалов А.Н., Яненко H.H. Модульный принцип построения программ как основа создания пакета прикладных программ решения задач механики сплошной среды. В кн.: Комплексы программ математической физики. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1972, с. 48-54.

13. Яненко H.H. Вопросы модульного анализа и параллельных вычислений в задачах математической физики. В кн.: Комплексы црограмм математической физики. Новосибирск, ИТПМ СО АН СССР, 1980, с. 3-12.

14. Численное решение многомерных задач газовой динамики /Под ред. С.К.Годунова. М.: Наука, 1976. - 400с.

15. Шипилин A.B. Итерационный численный метод расчета течения излучающего газа при дозвуковых скоростях. В .кн.: Динамика излучающего газа. М., ВЦ АН СССР, 1976, вып. 2,с. 78-89.

16. Шипилин A.B., Щулишнина Н.П. Расчет осе симметричного дозвукового течения излучающего газа в канале произвольной формы с центральным телом. В кн.: Динамика излучающего газа. М., Щ АН СССР, 1976, вып. 2, с. 90-98.

17. Наумова И.Н., Шаыглевский Ю.Д. Расчет течений излучающего воздуха в трубе. В кн.: Динамика излучающего газа. М., ВЦ АН СССР, 1976, вып. 2, с. 99-108.

18. Осипов ИД., Пащенко В.П., Шипилин A.B. Расчет течений невязкого газа в каналах с сильно изменяющейся геометрией.- ЗНурн. вычисл. матем. и матем. физики, 1978, т. 18, № 4, с. 964-973.

19. Васенин И.М., Рычков А.Д. Численное решение задачи о смешанном осесимметричном течении газа в некоторых криволинейных областях методом установления. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1971, № I, с. 155-159.

20. Данилов Ю.М. Численное решение стационарных уравнений гидродинамики в дозвуковой области течения. Изв. высш. уч. зав. Авиационная техника, 1980, № 3, с. 42-45.

21. Иванов М.Я., Крайко А.Н. Численное решение прямой задачи о смешанном течении в соплах. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1969, № 5, с. 77-83.

22. Клайн. Расчет установившегося течения в сопле с помощью метода установления. Ракетная техника и космонавтика, 1974, т. 12, В 4, с. 5-7.

23. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978. - 688с.

24. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972. - 418с.

25. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973. - 400с.

26. Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967. - 196с.

27. Ковеня В.М., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981. - 304с.

28. Моисеенко Б.Д., Рождественский Б.1. Численное решение стационарных уравнений гидродинамики при наличии тангенциальных разрывов. Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1970, т. 10, № 2, с. 499-505.

29. I^poB Б.Г., Яненко H.H., Яушев И.К. Численный расчет непотенциальных течений идеальной жидкости в плоских каналах. Числ. мет. мех. сплошной среды. Новосибирск, Б.и., 1971, т. 2, Jß I, с. 3-16.

30. Яушев И.К. Численный расчет двумерных потенциальных и вихревых течений идеальной жидкости. Числ.мет.мех. сплошной среды. Новосибирск, Б.и., 1973, т. 4, № 5, с. 147-155.

31. Яушев И.К., Хакимзянов Г.С. Численный метод потенциальных течений идеальной жидкости и газа с подводом массы в плоских каналах. В кн.: Некоторые цроблемы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск, Наука, 1975, с.89-95.

32. Яушев И.К., Хакимзянов Г.С. О численном расчете стационарных плоскопараллельных течений идеальных жидкости и газа в каналах сложной конфигурации. Изв. Сиб. отд. АН СССР. Технические наутси, 1977, Л 13, вып. 3, с. 37-45.

33. Хакимзянов Г.С. О двумерных течениях идеальной жидкости с притоком массы. Числ. мет.мех. сплошной среды. Новосибирск, Б.и., 1978, т. 9, № 4, с. 119-130.

34. Хакимзянов Г.С., Яушев И.К. О численном расчете дозвуковых установившихся осесимметричных течений идеальной сжимаемой жидкости в каналах сложной формы. Изв. Сиб. отд. АН СССР. Технические науки, 1981, Л 13, вып. 3, с. 50-57.

35. Рычков А.Д., Хакимзянов Г.С. Расчет дозвуковых двухфазных полидисперсных течений в осесимметричных каналах с проницаемыми стенками. В кн.: Численное моделирование в динамике жидкости. Новосибирск, ИТПМ СО АН СССР, с. 94-99.

36. Гуров Б.Г. Существование и единственность установившихся непотенциальных течений идеальной жидкости в плоских каналах. Числ.мет.мех. сплошной среды. Новосибирск, Б.и., 1970, т. I, № 3, с. 43-55.

37. Алексеев Г.В. Об исчезающей вязкости в двумерных стационарных задачах гидродинамики несжимаемой жидкости. В кн.: Динамика сплошной среды. Новосибирск, Институт гидродинамики СО АН СССР, 1972, вып. 10, с. 5-27.

38. Алексеев Г.В. О единственности и гладкости плоских вихревых течений идеальной жидкости: В кн.: Динамика сплошной среды. Новосибирск, Институт гидродинамики СО АН СССР, 1973, вып. 15, с. 7-17.

39. Алексеев Г.В. О стабилизации решений двумерных уравнений динамики идеальной жидкости. Журн. прикладной механики и техн. физики, 1977, JS 2, с. 85-92.

40. Рагулин В.В. Об одной постановке задачи протекания идеальной жидкости. В кн.: Динамика сплошной среды. Новосибирск, Институт гидродинамики СО АН СССР, 1978. вып. 33, с.76-83.

41. Кажихов A.B., Рагулин В.В. Нестационарные задачи о протекании идеальной жидкости сквозь ограниченную область. Докл. АН СССР, 1980, т. 250, № 6, с. 1344-1347.

42. Трошкин О.В. Допустимость множества граничных значений в одной стационарной гидродинамической задаче. Докл. АН СССР, 1983, т. 272, № 5, с. 1086-1090.

43. Антонцев С.Н., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск; Наука, 1983. - 320с.

44. Том А., Эйплт К. Числовые расчеты полей в технике и физике. М.-Л.: Энергия, 1964. - 208с.

45. Кускова Т.В., Чудов Л.А. О приближенных граничных условиях для вихря при расчетах течений вязкой несжимаемой жидкости. В кн.: Вычислительные методы и программирование. М., ВЦ МГУ, 1968, вып. XI, с. 27-31.

46. Дородницын A.A., Меллер H.A. О некоторых подходах к решению стационарных уравнений Навье-Стокса. Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1968, т. 8, $ 2, с. 393-402.

47. Сармин Э.Н. Модификация метода расщепления граничных условий для решения бигармонического уравнения. Журн. вычисл.матем. и матем. физики, 1973, т. 13, № 5, с. 1341-1347.

48. Пирсон. Численный метод душ задач вязкого потока. Механика. Периодический сборник переводов иностр. статей, 1965, Я 6, с. 65-77.

49. Дайковский А.Г., Полежаев В.И., Федосеев А.И. О расчете граничных условий дога нестационарных уравнений Навье-Сток-са в переменных "вихрь-функция тока". Числ. мет. мех. сплошной среды. Новосибирск, Б.и., 1979, т. 10, № 2,с. 49-58.

50. Полежаев В.Й., Грязнов В.Л. Метод расчета граничных условий для уравнений Навье-Стокса в переменных "вихрь, функция тока". Докл. АН СССР, 1974, т. 219, № 2, с. 301-304.

51. Тарунин Е.Л. Оптимизация неявных схем для уравнений Навье-Стокса в переменных функции тока и вихря скорости. В кн.: Труды 5 Всесоюзн. семинара по числ.мет.мех. вязкой жидкости. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1975, ч. I, с. 3-26.

52. Тарунин Е.Л. О выборе аппроксимационной формулы для вихря скорости на твердой границе при решении задач динамики вязкой жидкости. Числ.мет.мех. сплошной среды. Новосибирск, Б.и,, 1978, т. 9, & 7, с. 97-Ш.

53. Захаренков М.Н. Аппроксимация граничного условия для завихренности на поверхности твердого тела при решении уравнений Навье-Стокса в переменных функции тока и завихренности. Числ.мет.мех. сплошной среды. Новосибирск, Б.и., 1980, т. II, № 7, с. 56-74.

54. Фромм Дж. Неустановившееся течение несжимаемой вязкой жидкости. В кн.: Вычислительные методы в гидродинамике. М., Мир, 1967, с. 343-381.

55. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.- 616с.

56. Госмен А.Д., Пан В.М., Ранчел А.К. и др. Численные методы исследования течений вязкой жидкости. М.: Мир, 1972.- 324с.

57. Браиловская И.Ю., Кускова Т.В., Чудов I.A. Разностные методы решения уравнений Навье-Стокса. В кн.: Вычислительные методы и программирование. М., ВЦ МГУ", 1968, вып. XI, с. 3-18.

58. Численные методы в динамике жидкостей /Под ред. Г.Вирц и Х.Смолдерен. М.: Мир, 1981. - 407с.

59. Райзберг Б.А., Ерохин Б.Т., Самсонов К.П. Основы теории рабочих процессов в ракетных системах на твердом топливе.- М.: Машиностроение, 1972. 384с.

60. Олсон, Эккерт. Экспериментальное исследование турбулентного течения в пористой круглой трубе с равномерным вдувом газа через стенку. Прикладная механика. Труды амер. общества инженеров-механиков. Русский перевод, 1966, £ I,с. 7-20.

61. Соркин P.E. Газотермодинамика ракетных двигателей на твердом топливе. М.: Наука, 1967. - 368с.

62. Буш. Течение цродуктов сгорания твердого топлива через канал топливного заряда. Ракетная техника и космонавтика, 1964, № II, с. 193-195.

63. Прайс. Одномерное стационарное течение потока газа с добавлением массы и влияние процесса горения в камере на тягу ракетного двигателя. Вопросы ракетной техники, 1955, вып. 5, с. II6-I27.

64. Шишков A.A. Газодинамика пороховых ракетных двигателей. -М.; Машиностроение, 1968. 148с.

65. Ягодкин В.И. Приближенный расчет течений газа в каналахс пористыми стенками. Журн. прикладной механики и техн. физики, 1964, № I, с. 105-108.

66. Теленин Г.Ф., Шитова Л.Д. Гидродинамика каналов с проницаемыми стенками. В кн.: Аэромеханика и газовая динамика. М., Наука, 1976, с. 76-123.

67. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 2, М.: Наука, 1965. - 655с.

68. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. - 744с.

69. Юдович В.И. Некоторые оценки решений эллиптических уравнений. Матем. сборник, 1962, т. 59 (101), с. 229-244.

70. Юдович В.И. Нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости. Журн, вынисл. матем. и матем. физики, 1963, т. 3, №6, с. 1032-1066.

71. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966. - 352с.

72. Быховский Э.Б., Смирнов Н.В. Об ортогональном разложении пространства вектор-функций, квадратично-суммируемых на заданной области и операторах векторного анализа. В кн.: Труды матем. ин-та АН СССР. М., 1960, т. 59, с. 5-37.

73. Крейн С.Г. О функциональных свойствах операторов векторного анализа и гидродинамики. Докл. АН СССР, 1953, т. 93, с. 969-972.

74. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976. - 496с.

75. Годунов С.К, Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики. Матем. сборник, 1959, т.,47, вып. 3, с. 271-306.

76. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. - 352с.

77. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. М.: Наука, 1975. - 352с.

78. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Иностр. лит., 1963. - 487с.

79. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрооптики.-Новосибирск: Наука, 1974. 202с.

80. Фаддеев Д.К., Фадцеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, i960. - 656с.

81. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 592с.

82. Ильин В.П. Разностные методы решения эллиптических уравнений. Новосибирск: НГУ, 1970. - 263с.

83. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. - 830с.

84. Стеджер Дж., Ломекс Г. Методы обобщенной релаксации в приложении к задачам о трансзвуковом течении. В кн.: Численные методы в механике жидкостей. М., Мир, 1973, с.18-25.

85. Лебедев В.И. 0 конечно-разностном аналоге задачи Неймана.-Докл. АН СССР, 1959, т. 126, № I, с. 494-497.

86. Марчук Г.И., Кузнецов Ю.А, Итерационные методы и квадратичные функционалы.- В кн.: Методы вычислительной математики. Новосибирск, Наука, 1975, с. 4-143.

87. Молчанов И.Н., Николенко 1.Д. Об одном прямом методе решения задач Неймана для уравнения Пуассона. Журн. вычисл. матем. и матем. физики", 1973,- т. 13, № 6, с. I607-I6I2.

88. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. - 535с.

89. Фаворский А.П. Расчет сопел Лаваля, Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1965, т. 5, № 5, с. 955-959.

90. Дородницын A.A. Об одном методе численного решения некоторых нелинейных задач аэрогидродинамики. В кн.: Труды Ш Всесоюзного матем. съезда, т. 3, М., Изд-во АН СССР, 1958, с. 447-453.

91. Пирумов У.Г., Суворова В.Н. Прямая задача теории сопла. -В кн.: Вычислительные методы и программирование. М., ВЦ МГУ, 1977, вып. ХХУП, с. 73-80.

92. Иванов М.Я., Крайко А.Н. Расчет смешанного течения газа в соплах. В кн.: Труды секции по численным методам в газовой динамике 2-го Международного коллоквиума по газодинамике взрыва и реагирующих систем, т. 2, М., ВЦ АН СССР, 1971, с. 3-26.

93. Тагиров Р.К. Теоретическое исследование течения идеального газа в сужающихся соплах. Известия АН СССР. Мех. жидкости и газа, 1978, № 2, с. 198-202.

94. Мигдал, Клейн, Моретти. Расчеты трансзвукового течения в сошге методом установления. Ракетная техника и космонавтика, 1969, т. 7, Л> 2, с. 235-236.

95. Лаваль П. Нестационарный метод расчета трансзвуковых течений в соплах. В кн.: Численные методы в механике жидкостей. М., Мир, 1973, с. 9-17.

96. Васенин И.М., Рычков А.Д. Применение метода установленияк решению одной внутренней задачи газовой динамики. В кн.: Аэродинамика. Труды первой сибирск. конф. по аэродинамике. Новосибирск, Наука, 1969, с. 196-199.

97. Серра. Расчет внутренних течений газа методом установления. Ракетная техника и космонавтика, 1972, т. 10, & 5, с. 53-63.

98. Киреев В.И., Лифшиц Ю.Б., Михайлов Ю.Я. О решении прямой задачи сопла Лаваля. Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. I, ЖЕ, с. 8-13.

99. Дьяконов Ю.Н., Пчелкина Л.В. О прямой задаче для сопла Лаваля. Докл. АН СССР, 1970, т. 191, № 2, с. 301-304.

100. Рычков А.Д. Расчет двухфазных течений в осесимметричных соплах Лаваля с учетом процессов коагуляции и дробления частиц конденсата методом Лагранжа. Числ. мет. мех. сплошной среды. Новосибирск, Б.и., 1979, т. 10, № 3, с.121-126.

101. Дьяконов Е.Г. Об одном способе решения уравнения Пуассона. Докл. АН СССР, 1962, т. 143, ¡b I, с. 21-24.

102. Польский Б.С. Об одном методе решения эллиптических разностных уравнений. Журн. вычисл.матем. и матем. физики, 1981, т. 21, J* I, с. 29-34.

103. Бэк, Массье, Гир. Сравнение измеренных и рассчитанных параметров течения в сверхзвуковых конических соплах, проведенное в основном для трансзвуковой области. Ракетная техника и космонавтика, 1965, т. 3, № 9, с. 49-60.

104. Клигель, Левайн. Трансзвуковое течение в соплах с малым радиусом кривизны горловины. Ракетная техника и космонавтика, 1969, т. 7, № 7, с. 196-199.

105. Каффел, Бэк, Массье. Поле трансзвукового течения в сверхзвуковом сопле с малым радиусом кривизны стенки горла, -Ракетная техника и космонавтика, 1969, т.7, №7, с.184-187.

106. Дуплгацев М.И. и др. Влияние структуры течения в докрити-ческой области утопленных сопел на расходные характеристики. Изв. высш. уч.зав. Авиационная техника, 1973, № 3, с. 55-58.

107. Чухало H.A. и др. Экспериментальное определение расходных характеристик утопленных сопел. В кн.: Гидроаэромеханика и теория упругости. М., 1973, вып. 16, с. 42-45.

108. Лифшиц Ю.Б., Рыжов О.С. О вариации расхода газа в расчетном режиме работы сопла Лаваля. Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1966, т. 6, № 2, с. 276-287.

109. Коновалов А.Н. Модульный анализ вычислительного алгоритма в задаче планового вытеснения нефти водой. В кн.: Труды Ш семинара по комплексам программ матем. физики. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1973, с. 81-94.

110. Рычков А.Д., Лымарев А.П. Модульная система СПРУТ для организации и ведения пакетов прикладных программ в области аэрогазодинамики. Новосибирск, 1982. - 46с. (ПрепринтИТПМ СО АН СССР: № 30-32).

111. Шепеленко В.Н. Фортран ЭВМ БЭСМ-6. Новосибирск: Наука, 1983. - 79с.

112. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979. - 319с.

113. Слезкин Н.А. О механике деформируемой среды частиц с переменной массой. Вестн. МГУ. Сер. физ.-мат. и ест.н., 1951, вып. 6, Ш 10, с. 3-21.

114. Вайсман A.M., Гольдштик М.А. О течении сквозь тонкий пористый слой (решетку). Известия АН СССР. Мех. жидкости и газа, 1978, В 4, с. 74-80.

115. Вайсман A.M., Гольдштик М.А. Динамическая модель движения жидкости в пористой среде. Известия АН СССР. Мех. жидкости и газа, 1978, !Ь 6, с. 89-95.

116. Кузнецов Б.Г., Черных Г.Г. Численное исследование поведения однородного "пятна" в идеальной стратифицированной по плотности жидкости. Журн. прикладной механики и техн. физики, 1973, & 3, с. 120-126.

117. Hedstrom G.W. Nonreflecting Boundary Conditions for Nonlinear Hyperbolic Systems.-J.Comput. Phys., 1979» v.30, n°2, p.222-237»

118. David H.Rudy and John C.Strikwerda. A Nonreflecting Outflow Boundary Condition for Subsonic Navier-Stokes Calculations. -J. Comput. Phys., 1980, v. 36, n°1, p.55-70.

119. Kato T. On Classical Solutions of the Two-Dimensional Non-stationary Euler Equations.-Archiv for Rational Mech, and Analisis, 1967, v. 25, n°3, p.188-200.

120. Wehofer S., Moger W.C. Transonic Plow in Conical Convergent and Convergent-Devergent Nozzles with Non-Unifoimi1.let Conditions.- AIAA Paper No. 70-635» 1970.

121. MacCormak R.W, The effect of Viscosity in hypervelocity impact cratering.-AIAA Paper Nq.69-354, 1969*

122. Miller K. Numerical Analogs to the Schwarz Alternating Procedure.-Numer. Math., 1965, v.^p. 91-103.134« Poldvik A. and Wurtele M.G. The computation of the Transient Gravity Wave.- Geophysical journal, 1967» v.13» p. 167-185.