Математические основы метода линий уровня с приложениями к задачам механики жидкости и газа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи УДК 533.6.011

РГБ ОН

Рылов Анатолий Игоревич д , . _ _

1 ФЕЗ 2000

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА ЛИНИЙ УРОВНЯ С ПРИЛОЖЕНИЯМИ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

01.02.05-механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва—2000

)

Работа выполнена в Институте математики им. С.Л.Соболева Сибирского отделения РАН, Новосибирск.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

ст.науч.сотр. Жук В.И.

доктор физико-математических наук, ст.науч.сотр. Чернышенко С.Н.

доктор физико-математических наук, профессор Шахов Е.М.

Ведущая организация: Московский физико-технический институт (государственный университет).

Защита состоится 2000 г. в /Г час. оо мин.

на заседании диссертационного совета Д 002.32.01 при Вычислительном центре РАН по адресу: 117967 Москва, ул.Вавилова, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ РАН. Автореферат разослан « » % и#£ 2000 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, /1

доктор физ.-матем. наук ^уи^г^— ЯницкийВ.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Работа посвящена развитию и расширению возможностей метода линий уровня и решению с его помощью ряда интересных и важных задач механики жидкости и газа, на актуальность которых указывается во многих руководствах. Метод линий уровня является одним из аналитических методов газовой динамики и гидродинамики. Аналитические методы играют важную роль в механике; жидкости и газа. Они дают точные решения, позволяют сделать вывод о существовании или несуществовании тех или иных режимов течений. Аналитические методы необходимы при оценке правомерности численных методов и при интерпретации экспериментальных фактов.

С математической точки зрения метод линий уровня относится как к методам качественной теории дифференциальных уравнений эллиптического и эллиптико-гиперболического типа, так и к активно развивающемуся направлению, которое, следуя монографии В. И. Арнольда и Б. А. Хесина 1998 г., может быть названо "Топологические методы в гидродинамике". Поэтому любое заметное развитие метода линий уровня и расширение его возможностей может рассматриваться и как вклад в развитие указанных математических направлений.

Основы метода линий уровня для двумерных течений базируются на использовании монотонного изменения одной из рассматриваемых функций вдоль линии уровня другой функции. Первой работой данного направления является статья А. А. Никольского и Г. И. Таганова (ПММ-1946) в которой для дозвуковых плоских потенциальных течений газа было установлено свойство монотонности модуля вектора скорости 9 и угла наклона вектора скорости в, состоящее в монотонном изменении каждой из этих функций при движении вдоль линии уровня другой функции. И в этой же работе данное свойство было эффективно использовано для доказательства несуществования безударных локальных сверхзвуковых зон, примыкающих к твердой стенке, при наличии на ее сверхзвуковом участке сколь угодно короткого прямолинейного отрезка, а также ряда других интересных утверждений. После этого указанные результаты прочно вошли в учебники по газовой динамике как теоремы А. А. Никольского и Г. И. Таганова.

Здесь уместно отметить одно досадное недоразумение. В известном учебнике Н. Е. Кочина, И. А. Кибеля и Н. В. Розе (Часть 2) на стр. 170 ошибочно утверждается, что при движении вдоль звуковой линии монотонно меняется угол между вектором скорости и звуковой линией.

Если исправить доказательство, приведенное на этой же странице, то рассматриваемое утверждение перейдет в теорему А. А. Никольского и Г. И. Таганова о монотонном изменении угла наклона вектора скорости. Это ошибочное утверждение было включено в издание указанной книги 1948 г., а затем и во все последующие издания.

В 1949 г. А. А. Никольский (Труды ЦАГИ-1949) установил свойство монотонности функций р (давление) и в для вихревых дозвуковых течений и с его помощью показал, что при сверхзвуковом обтекании заостренного тела потоком с числом Маха М^ < 1,7 может реализоваться лишь присоединенная ударная волна слабого семейства. При этом естественно предполагалось, что угол в в каждой точке стенки не превосходит предельный угол ударной поляры. К сожалению, этот важный результат в открытой печати был опубликован лишь в 1981 г.

Отмеченные выше работы А. А. Никольского и Г. И. Таганова важны еще и тем, что в них естественным образом были заложены основы направления, которое может быть названо "Исследование качественных свойств течений жидкости и газа с использованием свойства монотонности функций р и б". С математической точки зрения это направление является одним из разделов "Качественной теории уравнений с частными производными", в котором основную роль играет совместный анализ линий уровня рассматриваемых функций и граничных условий.

Указанные свойства монотонности, помимо отмеченных работ, использовались также в работах Э. Г. Шифрина (МЖГ-1966, ПММ-1969) и в ряде других работ. Кроме того, почти в каждой работе, в которой рассматривается звуковая линия в плоском потенциальном течении, используется отмеченная выше теорема А. А. Никольского и Г. И. Таганова.

Диссертация обобщает деятельность автора в обсуждаемой проблематике. Его первые работы в данном направлении, посвященные в основном исследованию дозвуковых вихревых течений между телом п ударной волной при сверхзвуковом обтекании заостренных и затупленных тел [1-4, 6,7,10], непосредственно развивали работу А. А. Никольского 1949 г. Помимо чисто газодинамических результатов, характеризующих различные свойства изучаемых течений, данные работы, а также статья [5], посвященная обтеканию тел дозвуковым потоком, поставили перед автором ряд вопросов, без решения которых дальнейшее развитие и совершенствование метода линий уровня было бы затруднено. Речь идет о следующем:

1. Какие иные функции или комбинации функций, кроме р и в, обладают свойством монотонности в плоских дозвуковых течениях?

2. Каково влияние газодинамических параметров и, в частности, сжимаемости, на структуру линий уровня?

3. Какова связь между структурой линий р = const, в = const на бесконечности и асимптотиками при дозвуковом обтекании тел?

4. Решения каких систем и в каких областях обладают свойством монотонностп?

5. Распространимы ли свойства монотонности на осесимметричные течения, а если не распространимы, то какие преобразования зависимых переменных необходимы для возможности такого распространения?

6. Возможно ли вовлечение в метод линий уровня компонент вектора ускорения или некоторых их комбинаций?

7. Насколько принципиально условие о дозвуковых скоростях течения для работоспособности метода линии уровня с функциями р и 0 или с другими возможными парами функций?

Очевидно, что даже частичная разработка указанных вопросов позволит существенно расширить возможности метода линий уровня и даст новую информацию о свойствах решений систем уравнений в частных производных и, как следствие, о новых свойствах течений жидкости и газа.

Основные цели диссертации сформировались под влиянием перечисленных выше вопросов.

1. Распространение метода линий уровня на решение произвольных квазилинейных однородных эллиптических, а затем, с некоторыми оговорками, эллиптико-гиперболических систем.

2. Построение алгоритма преобразования неоднородных систем в однородные. Построение и всестороннее изучение однородных систем для осесимметричных течений и для плоских течений, у которых зависимые переменные выражены через компоненты вектора ускорения.

3. Исследование структуры линий уровня до-и сверхзвуковых течений.

4. Построение асимптотик плоских и осесимметричных течений.

5. Детальное изучение (и продолжение и развитие работы А. А. Никольского 1949 г.) качественных свойств дозвуковых вихревых течений, реализующихся при сверхзвуковом обтекании между телом, удар-

ной волной и звуковой линией.

Основные результаты и их научная новизна. В работе получены следующие новые результаты.

1. Показано, что решение произвольной квазилинейной однородной эллиптической системы двух уравнений первого порядка обладает свойством монотонности, согласно которому каждая из двух функций монотонна вдоль линии уровня другой функции. Более того, показано, что это свойство справедливо в области знакопостоянства якобиана отображения плоскости независимых переменных на плоскость решения, при этом вся область эллиптичности является составной частью одной из областей знакопостоянства якобиана [8-10,22,23].

2. Для плоских потенциальных течений показано, что вся область до- и сверхзвукового течения разбивается на области лишь двух типов, в соответствии со знаком указанного якобиана. Границами областей являются характеристики. В каждой из областей давление и угол наклона вектора скорости обладают свойством монотонности и, как следствие, для них справедлив принцип максимума. В частности, при дозвуковом обтекании тела с образованием локальных безударных сверхзвуковых зон вся эллиптико-гииерболическая область течения является однородной с точки зрения свойств монотонности и принципа максимума [22,23].

3. Построен алгоритм преобразования неоднородных систем в однородные. Алгоритм предполагает существование некоторых двупараме-трических решений исходной системы. Приведен целый ряд примеров таких преобразований для уравнений плоских и осесимметричных течений [8-12,16,17].

4. Более детально рассмотрено построение однородных систем для осесимметричных течений газа, а также для плоских течений с зависимыми переменными, являющимися рациональными функциями компонент вектора ускорения. Для последнего построения было использовано известное двуиараметрическое решение, описывающее "спиральное течение". Характерно, что в естественной системе координат обе построенные системы практически идентичны друг другу и исходной системе для плоских течений. Также отмстим, что в сверхзвуковом случае условия совместности системы для компонент вектора ускорения полностью совпадают с транспортными уравнениями [9,10-12,14,16,20,23].

5. Построен ряд соотношений, характеризующих зависимость струк-

туры линий уровня от газодинамических параметров, самые эффектные из которых звучат так:

В сверхзвуковом плоском вихревом течении тангенс угла Маха равен среднему геометрическому тангенсов углов, образуемых изобарой и изоклиной с вектором скорости, в то время как в дозвуковом течении модуль косинуса угла между изобарой и изоклиной не превосходит число Маха. [20,23].

6. При дозвуковом обтекании определенных в работе плоских симметричных тел с "колоколообразной" образующей и, в частности, выпуклых тел доказано отсутствие в поле течения точек ветвления изобар и изоклин. Для более широкого класса тел с "одновершинной" образующей и в плоском, и в осесимметричном случаях доказано отсутствие в поле течения точек ветвления нулевых изоклин. Одновременно и для плоских, и для осесимметричных течений с помощью метода линий уровня вычислено точное значение; важного параметра Ж, равного числу нулевых изоклин, уходящих от тела с одновершинной образующей на бесконечность. Этот параметр является определяющим при построении асимптотик для дозвукового обтекания указанных плоских и осесимметричных тел [5,18-21].

7. Предложен критерий подобия асимптотик, позволяющий при построении асимптотик использовать известные точные решения для несжимаемой жидкости (суперпозиция источника и однородного неограниченного потока, обтекание цилиндра и сферы) при условии совпадения числа нулевых изоклин, проходящих через бесконечно удаленную точку. Критерий особенно полезен для осесимметричных течений. Для некоторых классов плоских и осесимметричных тел построены асимптотики. Для плоских течений введено понятие площади вытеснения, ограниченной линией тока на всем ее протяжении и ее горизонтальной асимптотой. Показано, что при удалении рассматриваемой линии тока на бесконечность значение предельной площади вытеснения при обтекании "одновершинных" тел стремится к конечному пределу, который, в свою очередь, входит в виде сомножителя в отмеченные выше асимптотики. Для осесимметричных тел введено аналогичное понятие объема вытеснения, при этом, как оказывается, предельный объем вытеснения играет такую же роль в асимптотиках для тел вращения [18-21].

8. При обтекании симметричных заостренных плоских тел, в каждой точке которых угол наклона стенки не превосходит значение предельного угла ударной поляры при некоторых естественных предположе-

ниях доказано, что при любых сверхзвуковых числах Маха набегающего потока исключены режимы сверхзвукового обтекания как с отошедшей ударной волной, так и с ударной волной сильного дозвукового семейства [1-3,6,10].

9. Для широкого класса плоских тел с выпуклой, вогнутовыпклой, вогнутой, и предельно наклонной головными частями доказано, что при сверхзвуковом обтекании данных тел дозвуковой участок ударной волны будет выпуклым. Для симметричного обтекания клина с изломом образующей доказано, что звуковая линия выходит строго из точки излома образующей [3,4,6,7,10].

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации существенно развивают и расширяют возможности метода линий уровня как одного из математических методов исследования качественных свойств решений систем уравнений механики жидкости и газа. Приведенные в работе газодинамические результаты расширяют объем новой информации о свойствах течений. Все это может быть использовано при решении новых теоретических задач механики жидкости и газа, при оценке возможностей численных методов и при интерпретации экспериментальных фактов. Эти результаты могут быть использованы в университетских курсах по газовой динамике и в смежных математических курсах.

Апробация работы. Все результаты по теме диссертации получены и опубликованы автором лично, без соавторов.

На различных стадиях выполнения работа полностью или частично докладывалась и обсуждалась на семинарах Г. Г. Черного. Л. В. Овсянникова, Ю. Д. Шмыглевского, на конференциях "Современные проблемы механики жидкости и газа" (1989, рук. Г. Г. Черный). "Модели механики сплошных сред" (1989, В. П. Мясников), "Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике" (Москва, 1991. Г. Г. Черный, В. Я. Нейланд, А. Н. Крайко), "Аналитические методы газовой динамики" (1992, А. Ф. Сидоров), "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (конференция им. И. Г. Петровского, МГУ. 1995, 1996, 1998, О. А. Олейник), "Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике" (1994, 1996, 1998, М. М. Лаврентьев), "Сибирская школа "Алгебра, геометрия, анализ и математическая физика"" (1996, 1997, Ю. Г. Решетняк), "Современные методы и

достижения d механике сплошных сред" (Москва, 1997, Г. Г. Черный, В. А. Садовничий), "Математика в приложениях" (Новосибирск 1999,

A. Ф. Сидоров), "Анализ и геометрия" (Новосибирск 1999, А. Д. Александров, О. А. Ладыженская, С. П. Новиков) и на ряде других. Кроме участников и руководителей этих семинаров и конференций автор считает своим приятным долгом поблагодарить С. К. Годунова,

B. И. Арнольда, П. И. Плотникова, Г. А. Тирского, Ю. Б. Лифшица, В. В. Сычева, А. М. Блохина, С. И. Чернышенко, Г. Ю. Степанова, В. В. Серебрякова, В. А. Топоногова, Е. В. Радкевича, В. А. Александрова, В. Н. Гребенева, Л. И. Кононенко за полезные обсуждения, советы и помощь на различных этапах выполнения работы.

Автор также считает необходимым поблагодарить редакцию журнала ПММ, в котором опубликованы почти все результаты данной работы, и одна из статей автора в числе первых была отмечена премией журнала ПММ за лучшую статью 1992 года.

Значительная часть работы выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 9501-00958 и 97-01-00833).

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Основной структурной единицей диссертации является раздел. Нумерация формул, теорем и рисунков двузначная, состоящая из двух чисел. разделенных точкой. При этом первое число соответствует номеру раздела. Иллюстративный материал помещен в конце соответствующего раздела. В работе 19 разделов, которые, за исключением Введения. по тематическим признакам собраны в четыре главы, которые, в свою очередь, составляют две части. Список литературы приведен в конце работы.

Первая часть "Математические основы метода линий уровня" состоит из двух глав.

Глава 1 "Монотонность решений квазилинейных систем"

содержит разделы 2 5, в которых изучаются свойства решении однородной квазилинейной эллиптической сис темы двух уравнений первого порядка. Данная система, ее неоднородный аналог, а также легко сводящееся к квазилинейной системе уравнение второго порядка активно используются в различных руководствах при изучении свойств эллиптических и гиперболических уравнений. В разделе 2 показано, что ка-

ждая из двух рассматриваемых функций монотонна вдоль лшши уровня другой функции. Более детальный анализ показал, что эллиптичность является лишь достаточным, но не необходимым условием свойства монотонности. Необходимым условием, как показано, является знакопо-стоянство якобиана преобразования плоскости независимых переменных на плоскость решения, при этом область эллиптичности является составной частью одной из областей знакопостоянства якобиана. В разделе 3 построен алгоритм преобразования неоднородных и, в частности, однородных систем в новые однородные системы. Алгоритм основан на использовании двухпараметрических решений исходной системы. На примере систем уравнений для плоских и осесиммстричных течении жидкости и газа в разделе 4 продемонстрированы возможности алгоритма. Особое внимание уделено построению однородной системы с зависимыми переменными, являющимися рациональными функциями компонент вектора ускорения (раздел о). Данное построение основано на использовании известного точного решения для плоских потенциальных течений, являющегося суперпозицией течения от источника и потенциального вихря. Речь идет о "спиральном" течении. Материалы первой главы содержатся в работах [8-12,16,17].

Глава 2 "Геометрия линий уровня и качественные свойства двумерных до-и сверхзвуковых течений газа" включает разделы 6 9. В этой главе свойства монотонности и структура линий уровня течений жидкости и газа изучаются с единых позиций как для дозвуковых, так и для сверхзвуковых течений. Исследуются плоские потенциальные и вихревые, осесимметричные потенциальные, а также плоские течения с зависимыми переменными, являющимися комбинациями компонент вектора ускорения. Во всех четырех случаях уравнения течения практически совпадают, что связано с выбором зависимых переменных. Характерно, что в сверхзвуковой области условия совместности для четвертого случая сводятся к известным транспортным уравнениям. Показано, что с точки зрения свойств монотонности вся область течения состоит из областей лишь двух типов, определяемых знаком якобиана перехода с плоскости течения на плоскость решения. В каждой из областей зависимые переменные обладают свойством монотонности, и для них справедлив принцип максимума. Границы областей являются линиями одновременного касания линий уровня и одной из характеристик. Для плоских потенциальных течений эти линии ранее изучались по

другому поводу, и они известны как линии ветвления. Получен ряд интересных равенств и неравенств, характеризующих геометрию линий уровня. Так, в частности, показано, что в сверхзвуковых плоских потенциальных II вихревых течениях тангенс угла ¡Маха есть среднее геометрическое тангенсов углов, которые; изобара и изоклина образуют с вектором скорости. Отметим также результат для дозвуковой области: "Модуль косинуса угла между изобарой и изоклиной не превосходит число Маха". Есть все1 основания ожидать, что результаты главы 2 будут и далее активно использоваться при изучении до и сверхзвуковых течений. Материалы главы 2 содержатся в работах [13,15,17,20].

Вторая часть "Исследование течений жидкости и газа с помощью метода линий уровня" также состоит из двух глав.

Глава 3 "Асимптотики, особенности течения и структура линий уровня в плоских и осесимметричных дозвуковых течениях" содержит разделы 10 16. Основное внимание в этой главе уделено изучению поведения решения на большом удалении от тела, обтекаемого дозвуковым потоком. При построении асимптотик и для плоских, и для осесимметричных течений определяющюю роль играет строгое вычисление с помощью метода линий уровня числа нулевых изоклин, уходящих от тела на бесконечность. Асимптотики для плоских тел, создающих подъемную силу, как и следовало ожидать, совпадает с известным решением Д. Гилбарга и Р. Финна (Fiim R.., Gilbarg D., 1957), но представленный в настоящей работе метод более прост и нагляден. Асимптотики для плоских симметричных (раздел 12) и для осесимметричных (разделы 14, 15) тел являются новыми. Существенную роль в указанных асимптотиках играют введенные понятия площади вытеснения и объема вытеснения. Так, под первым понимается площадь между линией тока на всем ее протяжении и ее. асимптотой (линией тока исходного, невозмущенного течения). Как оказывается, при удалении рассматриваемой линии тока от тела на бесконечность площадь вытеснения для плоского симметричного тела стремится к конечному пределу, и этот предел (продельная площадь вытеснения [19,21]) входит в виде сомножителя в асимптотики. Аналогичная ситуация имеет место и для осесимметричных течений [20]. В разделе 12 также изучаются и некоторые другие вопросы. Так, для достаточно широкого класса плоских симметричных тел и, в частности, для выпуклых тел показано отсутствие в области течения точек ветвления

изобар и изоклин [5,10,21].

В раздело 13 вводится и обосновывается критерий подобия асимптотик. При построении асимптотик для симметричных тел данный критерий позволяет использовать известные точные решения для несжимаемой жидкости при условии, что через бесконечно удаленные точки исследуемого и эталонного (для несжимаемой жидкости) обтекания проходит равное число нулевых изоклин. Критерий подобия асмптотик особенно эффективен и нагляден для осесимметричных течений.

В разделе 16 демонстрируются возможности метода линий уровня для критического анализа часто используемых форм записи граничных условий при численном исследовании обтекания тел.

Глава 4 "Дозвуковые вихревые течения в локальных областях между обтекаемым телом и ударной волной" с разделами 17-19 посвящена изучению свойств дозвуковых вихревых течений в локальной области между телом, отошедшей или присоединенной ударной волной и звуковой линией. Исследуются возможные режимы обтекания, взаимосвязь между формой тела и формой ударной волны, положение точки выхода звуковой линии на обтекаемое тело. По данным вопросам имеется относительно мало строгих результатов, хотя в руководствах по газовой динамике они и составляют основу разделов, посвященных сверхзвуковому обтеканию тел. Более того, при обсуждении возможных режимов обтекания заостренных тел в указанной литературе прямо указывается на допустимость двух режимов обтекания.

Сложность перечисленных задач состоит в наличии криволинейных ударных волн, и, как следствие, областей вихревого дозвукового и сверхзвукового течений. При математической постановке этих задач необходимо продуманное включение в их формулировки некоторых допущений и предположений, основанных на использовании тех или иных строгих фактов. Поясним это на следующем примере. В работе А. А. Никольского 1949 г. по умолчанию предполагалось, что выходящая с ударной волны на тело звуковая линия может пересекать и линии тока, прошедшие через сверхзвуковую ветвь ударной волны. Полное давление на этих линиях тока больше, чем на линиях тока, прошедших через дозвуковую ветвь ударной волны. Это привело к упомянутому выше; ограничению М00 < 1, 7 на число Маха набегающего потока. Несколько лет спустя О. М. Белоцерковский (1958 г.) строго показал, что по крайней мере в окрестности звуковой точки ударной волны звуковая линия

пересекает лишь те линии тока, которые проходят через дозвуковую ветвь ударней! волны. Заранее данный результат был далеко не очевиден. Так, для осесимметричных течений известны противоположные примеры (Б. М. Булах 1970 г.). Использование результата О. М. Бе-лоцерковского позволило автору настоящей работы снять отмеченное ограничение на число Маха набегающего потока при рассмотрении возможных режимов обтекания заостренных тел. Так, в разделе 17, базирующемся на работах [1-3,6,10], показано, что если углы наклона стенки на головной части плоского симметричного обтекаемого тела не превосходят предельнй угол ударной поляры, то обтекание возможно лишь с присоединенной ударной волной слабого семейства. Далее, в разделе 18 для широкого класса плоских симметричных тел доказано, что ударной волне верхней половины течения отвечают точки лишь припой части ударной поляры. Кроме того, для четко оговоренного класса симметричных и несимметричных тел, включающего в себя и тела с выпуклой, вогнутой, вогнутовыпуклой, предельно наклоненной головными частями, доказана выпуклость всей дозвуковой части ударной волны. Также для широкого класса тел показано отсутствие в дозвуковой области между телом и ударной волной точек ветвления изобар и изоклин. Укажем также, -что выпуклое в традиционном понимании тело фактически является вогнутовыпуклым; при его обтекании попорот вектора скорости против часовой стрелки осуществляется в точке растекания. Этим исследованиям предшествовала работа Э. Г. Шифрина 1969 г.. в которой для симметричных выпуклых тел показано, что некоторая часть ударной волны в окрестности осп симметрии является выпуклой. Подчеркнем, что раздел 18 содержит существенно переработанный п дополненный материал статей [3.4,6,7,10].

В заключительном разделе изучается вопрос о положении звуковой точки на поверхности конечного клина, сопрягающегося в точке излома с горизонтальной стенкой. Ранее эта задача рассматривалась в монографии Гудерлея К.Г. 1900 г., при этом существенную роль играли ряд ошибочных предположений, на которые было указано еще редакторами перевода. Так, в частности, в этой монографии предполагалось, что вся звуковая линия находится в области влияния сверхзвукового отрезка стенки, примыкающего к звуковой линии. Но позже, в уже отмеченной работе О.М.Белоцерковского было строго показано, что при А/оо > 1,69 примыкающая к ударной волне часть звуковой линии находится вне указанной области влияния, что делает доказательство в

монографии неправомерным. Кроме того, в этой книге не учитывалась неизоэнтропичность течения за ударной волной, использовались условия совместности для потенциальных течений. В разделе 19, основанном на работах [3,4,6,10], с учетом всех перечисленных факторов показано, что звуковая линия выходит строго из точки излома образующей тела.

Список литературы

[1] Рылов Л.И. О возможных режимах обтекания заостренных тел конечной тол-щинш//Изв. АН СССР, сер. МЖГ. 1990. N0 4. (Тезисы всесоюзной конференции "Современные проблемы аэрогидромеханики". 1989).

[2] Рылов А.И. О возможных режимах обтекания заостренных тел конечной толщины при произвольных сверхзвуковых скоростях набегающего потока//И ММ. 1991. Т.55. Вып.1. С.95-99.

[3] Рылов А.И. Развитие и применение метода изобар к плоским задачам аэродинамики и гидродинамики//Тезисы докладов Седьмого всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Москва. 1991.

[4] Рылов А.И. О некоторых свойствах дозвукового течения заударной волной, возникающей при сверхзвуковом обтекании тел конечной толщины//ПММ. 1991. Т.55. Выл.5. С.780-786.

[5] Рылов А.И. О свойствах монотонности некоторых вихревых плоских течений несжимаемой жидкости и дозвуковых течений газа//ПММ. 1992. Т.56. Вып.З. С. 38С-391.

[6] Рылов А.И. Некоторые свойства ударных волн в сверхзвуковых стационарных те-чениях//Мат. моделир. 1992. N0 12.

[7] Рылов А.И. О структуре дозвукового течения между несимметричным телом и отошедшей ударной волной//ПММ. 1993. Т. 57. Вып.5. С.87-92.

[8] Рылов А.И. Свойства монотонности решений эллиптических систем первого порядка и их приложения к задачам гидродипамики//УМН. 1995. Т.50. Выи.1. (Тезисы конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы").

[9] Рылов А.И. Свойства монотоннос ти решений эллиптических систем первого порядка и их приложения к уравнениям механики жидкости и газа//ПММ. 199'). Т.59. Вып.5. С.758-76С.

[10] Рылов А.И. Исследование особенностей течений жидкости и газа с использованием свойств монотонности решений однородных эллиптических систем//!! книге "Математическое моделирование, аэродинамика и физическая газодинамика". Новосибирск. 1995, С. 33-45.

[11] Рылов Л.И. Построение однородных систем ураниспий газовой динамики для компонент век гора ускоре]1Ня//УМИ. 1990. Т.51. Вып.5. (Тезисы Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопроси")

[12] Рылов Л.И. Исследование течении жидкости и газа с использованием свойс тв Mono юнпосч и однородных iiuirai ги'пких сис зем//Те зисы Нюрого Сибирского коп гросса по прикладной и индус гриалыюй математике. Новосибирск. ИМ СО РАН. 1996.

[I:!] 1'млон Л.И. О некоторых новых свопе! вах эллипса 1>уземана//Тезисы Второго Си бирского конгресса по прикладной п индустриальной мачемашке. Новосибирск. ИМ СО РАИ. 199Й.

[И] Рилов Л.И. О своГкпвах монотонное г» некоторых осесимме трччных дозвуковых тсчс1шй//Г1ММ. 1997. Т.(>1. 1!ып.|. С. 167-171.

[15] Рилов Л.И. О новых свойствах чл.ника liy земапа//П.ММ. 1997. Т.61. Iii.ni.6. С.917-951.

[1С] Рилов Л.И. Монотонность решений однородных эллиптических систем, преобразование неоднородных систем в однородные и смежные задачи гидродинамики/ /Труды 10 Сибирской школы Алгебра, геометрия, анализ и математическая физика. Новосибирск. 1997.

[17] Рылов А.И. О свойствах однородных систем уравнений I азовой динамики для компонент вектора ускорення//Сибирскии журнал индустриальной матема тики. 1998. Т.1. Вып.2. С. 109-171.

[18] Рылов А.И. Асимптотики и струкiура линий уровня в дозвуковых плоских гече-ниях//Тезисы Третьего Сибирскою конгресса по прикладной и индустриальной математике. Новосибирск. ИМ СО РАН. 1998.

[19] Рылов А.И. Асимптотики и структура линий уровня в дозвуковых плоских потенциальных течсииях//УМП. 1998. Т.Г>:|. Нып.1. С.198 (Тезисы Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы").

[20] Рылов А.И. Струк тура линий уровня и критерий подобия асимптотик в двумерных течениях газа//Сибирский журнал индустриальной математики. 1999. Т.2. No I. С. 139-150.

[21] Рылов А.И. Асимптотики и cipyKivpa линий уровня в дозвуковых плоских потенциальных течен и я х //11М М. 1999. Т. 6.4. Вып.:). С.405-11 в.

[22] Itylov Л.1. The monol.onicity propel lies and maximum principle of the solutions mixed (lows elliptic-hyperbolic oqtiatioii.s//lnt,emationa[ Conference honoring academician Sergei K. Godunov "MATHKMATICS in APPLICATIONS. Abstracts. Novosibirsk. Russia. 1999. P. Ш-121.

[2.4] Phi лов А.И. Влияние сжимаемое i и на геометрические свойства потенциальных течений гача//Международная конференция по анализу и геометрии, посвященная 70-летию академика 10. Г. Peineшяка. Тезисы докладов. Новосибирск. 1999. С. 97-100.

1. Введение

Первая часть. Математические основы метода линий уровня

Глава 1. Монотонность решений квазилинейных систем

2. Монотонность решений однородных квазилинейных эллиптических систем

3. Преобразование неоднородных и однородных систем в однородные системы

4. Свойства монотонности решений уравнений двумерных течений жидкости и газа

5. Построение однородных систем уравнений газовой динамики для компонент вектора ускорения

Глава 2. Геометрия линий уровня и качественные свойства двумерных до-и сверхзвуковых течений

6. Метод линий уровня для сверхзвуковых и смешанных потенциальных течений Иллюстрации к разделу 6.

7. Геометрические свойства линий уровня плоских вихревых течений газа

8. Геометрические свойства линий уровня осесимметричных потенциальных течений газа

9. Геометрические свойства линий уровня плоских потенциальных течений газа, зависимые переменные которых являются функциями компонент вектора ускорения

Вторая часть. Исследование течений жидкости и газа с помощью метода линий уровня

Глава 3. Асимптотики, особенности течения и структура линий уровня в плоских и осесимметричных дозвуковых течениях

10. Предварительная постановка задачи построения асимптотик для плоских течений

11. Построение асимптотик для тел, обтекаемых с созданием подъемной силы

Иллюстрации к разделу

Асимптотики и структура линий уровня при обтекании симметричных тел Иллюстрации к разделу

Критерий подобия асимптотик и структура линий уровня при обтекании осесимметричных тел Асимптотики и некоторые особенности течения для полу бесконечных тел и каналов с цилиндрической образующей Иллюстрации к разделу 14 Асимптотики для замкнутых тел вращения с одновершинной образующей Иллюстрации к разделу

Использование асимптотик для анализа возможных граничных условий при численном моделировании течений

Иллюстрации к разделу

Глава 4. Дозвуковые вихревые течения в локальных областях между обтекаемым телом и ударной волной

О возможных режимах обтекания заостренных тел конечной толщины при произвольных сверхзвуковых скоростях набегающего потока

Иллюстрации к разделу 17.

Некоторые свойства дозвукового течения за ударной волной, возникающей при сверхзвуковом симметричном и несимметричном обтекании тел конечной толщины Иллюстрации к разделу 18.

Обтекание конечного клина с изломом образующей Иллюстрации к разделу 19. Список литературы

Математические основы метода линий уровня для двумерных течений базируются на использовании монотонного изменения одной из рассматриваемых функций вдоль линии уровня другой функции. Первой работой данного направления является статья А. А. Никольского и Г. И. Таганова [21], в которой для дозвуковых плоских потенциальных течений газа было установлено свойство монотонности модуля вектора скорости д и угла наклона вектора скорости <9, состоящее в монотонном изменении каждой из этих функций при движении вдоль линии уровня другой функции. И в этой же работе данное свойство было эффективно использовано для доказательства несуществования безударных локальных сверхзвуковых зон, примыкающих к твердой стенке при наличии на ее сверхзвуковом участке сколь угодно короткого прямолинейного отрезка, а также ряда других интересных утверждений. После этого указанные результаты прочно вошли в учебники по газовой динамике как теоремы А. А. Никольского и Г. И. Таганова.

Но здесь уместно отметить одно досадное недоразумение. В известном руководстве [10] на стр. 170 ошибочно утверждается, что при движении вдоль звуковой линии монотонно меняется угол между вектором скорости и звуковой линией. Если исправить доказательство, приведенное на этой же странице, то рассматриваемое утверждение перейдет в теорему А. А. Никольского и Г. И. Таганова о монотонном изменении угла наклона вектора скорости. Это ошибочное утверждение было включено в [10] в издание 1948 г. и во все последующие издания.

В 1949 г. А. А. Никольский [22] установил свойство монотонности функций р (давление) и в для вихревых дозвуковых течений и с его помощью показал, что при сверхзвуковом обтекании заостренного тела потоком с числом Маха М^ < 1,7 может реализоваться лишь присоединенная ударная волна слабого семейства. При этом естественно предполагалось, что угол в в каждой точке стенки не превосходит предельный угол ударной поляры. К сожалению, этот важный результат в открытой печати был опубликован лишь в 1981 г.

Работы [21,22] важны еще и тем, что в них естественным образом были заложены основы направления, которое может быть названо "Исследование качественных свойств течений жидкости и газа с использованием свойства монотонности функций р и 0". С математической точки зрения это направление является одним из разделов " Качественной теории уравнений с частными производными", в котором основную роль играет совместный анализ линий уровня рассматриваемых функций и граничных условий.

В авторитетных монографиях свойство монотонности функций р и в впервые было рассмотрено в 1950 году в книге [50], что также способствовало последующему использованию этого свойства в различных задачах механики жидкости и газа.

Указанные свойства монотонности, помимо отмеченных работ, использовались также в [59,60] и в ряде других работ. Кроме того, почти в каждой работе, в которой рассматривается звуковая линия в плоском потенциальном течении, используется отмеченная выше теорема А. А. Никольского и Г. И. Таганова.

1. Белоцерковский О.М. Обтекание симметричного профиляс отошедшей ударной волной//ПММ. 1958. Т.22. Вып.2. С.206-219.

2. Берс J1. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: Изд-во иностр. лит. 1961. 208 с.

3. Берс JL, Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными призводными. М.: Мир. 1966. 351 с.

4. Булах Б.М. Нелинейные конические течения газа. М.: Наука. 1970. 344 с.

5. Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. М.: Мир. 1986. 184 с.

6. Валландер C.B. Лекции по гидромеханике. Ленинград. Изд. ЛГУ.1978. 296 с.

7. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1971. 416 с.

8. Гудерлей К.Г. Теория околозвуковых течений. М.: 1960. 424 с.

9. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Часть 1. М.: ГИФМЛ. 1955. 560 с.

10. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Часть 2. М.: ГИФМЛ. 1963. 728 с.

11. Коул Д., Кук Л. Трансзвуковая аэродинамика. М.: Мир. 1989. 360 с.

12. Крайко А.Н. О конфигурации скачков уплотнения, замыкающих местную сверхзвуковую зону//ПММ. 1985. Т.49. Вып.2. С.236-243.

13. Крайко А.Н. Вариационные задачи газовой динамики. М.: Наука.1979. 448 с.

14. Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. М.: ИЛ. 1950. 426 с.

15. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука. 1964. 540 с.

16. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории фкнкций комплексного переменного. М.: Наука. 1973. 736 с.

17. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука. 1977. 408 с.

18. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука. 1986. 736 с.

19. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. М.: ИЛ. 1961. 588 с.

20. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск.: Наука. 1977. 424 с.

21. Никольский A.A., Таганов Г.И. Движение газа в местной сверхзвуковой зоне и некоторые условия разрушения потенциального тече-ния//ПММ. 1946. Т.10. Вып.4. С.481-502.

22. Никольский A.A. О плоских вихревых течениях газа// Теоретические исследования по механике жидкости и газа: Тр. ЦАГИ. 1981. Вып. 2122. С. 74-85.

23. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука. 1981. 368 с.

24. Радвогин Ю.Б. Окрестность плоского заострения при сверхзвуковом обтекании//ПММ. 1979. Т. 43. Вып. 3. С. 480-488.

25. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука. 1978. 688 с.

26. Рыжов О.С. Исследование трансзвуковых течений в соплах Лаваля. М.: ВЦ АН СССР. 1965. 238 с.

27. Рылов А.И. Решение вариационной задачи о профилировании сопла, реализующего равномерный сверхзвуковой поток//Изв. АН СССР. МЖГ. 1974. N0 5. С. 85-92.

28. Рылов А.И. О вырождении сверхзвукового течения при взаимодействии центрированных волн сжатия и разрежения//ПММ. 1979. Т.43. Вып.1. С. 45-50.

29. Рылов А.И. О возможных режимах обтекания заостренных тел конечной толщины//Изв. АН СССР. сер. МЖГ. 1990. N0 4. (Тезисы всесоюзной конференции "Современные проблемы аэрогидромеханики". 1989).

30. Рылов А.И. О возможных режимах обтекания заостренных тел конечной толщины при произвольных сверхзвуковых скоростях набегающего потока//ПММ. 1991. Т.55. Вып.1. С.95-99.

31. Рылов А.И. Развитие и применение метода изобар к плоским задачам аэродинамики и гидродинамики//Тезисы докладов Седьмого всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Москва. 1991.

32. Рылов А.И. О некоторых свойствах дозвукового течения за ударной волной, возникающей при сверхзвуковом обтекании тел конечной толщины//ПММ. 1991. Т.55. Вып.5. С.780-786.

33. Рылов А.И. О свойствах монотонности некоторых вихревых плоских течений несжимаемой жидкости и дозвуковых течений газа//ПММ. 1992. Т.56. Вып.З. С. 386-391.

34. Рылов А.И. Некоторые свойства ударных волн в сверхзвуковых стационарных течениях//Мат. моделир. 1992. N0 12.

35. Рылов А.И. О структуре дозвукового течения между несимметричным телом и отошедшей ударной волной//ПММ. 1993. Т. 57. Вып.5. С.87-92.

36. Рылов А.И. Свойства монотонности решений эллиптических систем первого порядка и их приложения к задачам гидродина142мики//УМН. 1995. Т.50. Вып.4. (Тезисы конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы").

37. Рылов А.И. Свойства монотонности решений эллиптических систем первого порядка и их приложения к уравнениям механики жидкости и газа//ПММ. 1995. Т.59. Вып.5. С.758-766.

38. Рылов А.И. Исследование особенностей течений жидкости и газа с использованием свойств монотонности решений однородных эллиптических систем//В книге "Математическое моделирование, аэродинамика и физическая газодинамика". Новосибирск.1995, С. 33-45.

39. Рылов А.И. Построение однородных систем уравнений газовой динамики для компонент вектора ускорения//УМН. 1996. Т.51. Вып.5. (Тезисы Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы")

40. Рылов А.И. Исследование течений жидкости и газа с использованием свойств монотонности однородных эллиптических систем/ /Тезисы Второго Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике. Новосибирск. ИМ СО РАН. 1996.

41. Рылов А.И. О некоторых новых свойствах эллипса Бузе-мана//Тезисы Второго Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике. Новосибирск. ИМ СО РАН. 1996.

42. Рылов А.И. О свойствах монотонности некоторых осесимметрич-ных дозвуковых течений//ПММ. 1997. Т.61. Вып.1. С.167-171.

43. Рылов А.И. О новых свойствах эллипса Буземана//ПММ. 1997. Т.61. Вып.6. С.947-951.

44. Рылов А.И. Монотонность решений однородных эллиптических систем, преобразование неоднородных систем в однородные и смежные задачи гидродинамики//Труды 10 Сибирской школы "Алгебра, геометрия, анализ и математическая физика". Новосибирск. 1997.

45. Рылов А.И. О свойствах однородных систем уравнений газовой динамики для компонент вектора ускорения//Сибирский журнал индустриальной математики. 1998. Т.1. Вып.2. С.169-174.

46. Рылов А.И. Асимптотики и структура линий уровня в дозвуковых плоских течениях//Тезисы Третьего Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике. Новосибирск. ИМ СО РАН. 1998.

47. Рылов А.И. Асимптотики и структура линий уровня в дозвуковых плоских потенциальных течениях//УМН. 1998. Т.53. Вып.4. С.198 (Тезисы Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы").

48. Рылов А.И. Структура линий уровня и критерий подобия асимптотик в двумерных течениях газа//Сибирский журнал индустриальной математики. 1999. Т.2. No 1. С. 139-150.

49. Рылов А.И. Асимптотики и структура линий уровня в дозвуковых плоских потенциальных течениях//ПММ. 1999. Т. 63. Вып.З. С.405-416.

50. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1966. 448 с.

51. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1966. 443 с.

52. Терентьев Е.Д. О форме звуковой линии при обтекании затупленного клина сверхзвуковым потоком совершенного газа//ДАН СССР. 1979. Т.247. No 2. С.319-323.

53. Трошкин О.В. О топологическом анализе структуры гидродинамических течений//УМН. 1988. Т.43. Вып.4. С.129-158.

54. Фалькович C.B., Чернов И.А. Обтекание тел вращения звуковым потоком газа// ПММ. 1964. Т.28. Вып.2. С.280-284.144

55. Франкль Ф.И. К вопросу о единственности решения задачи обтекания клина сверхзвуковым потоком//ПММ. 1946. Т.10. Вып.З. С.421-424.

56. Франкль Ф.И. О задачах С.А. Чаплыгина для смешанных до-и сверхзвуковых течений//Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука. 1973. С.278-303.

57. Христианович С.А. О сверхзуковых течениях газа// Труды ЦАГИ. 1941. No 543.

58. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. 424 с.

59. Шифрин Э.Г. Некоторые свойства симметричного обтекания профиля с отошедшей ударной волной//Изв. АН СССР. МЖГ. 1966. No 5. С.99-101.

60. Шифрин Э.Г. О выпуклости ударной волны на дозвуковом отрезке в плоском течении//ПММ. 1969. Т.33. Вып.1. С.158-162.

61. Шифрин Э.Г. Исследование осесимметричных трансзвуковых течений при помощи специальной плоскости годографа//ПММ. 1971. Т.35. Вып.З. С.549-558.

62. Arnold V.I., Ivhesin В.A. Topological methods in hydrodynamics. Applied Mathematical Sciences, 125. Springer-Verlag, lNTew York, 1998, 374 pp. ISBN 0-387-94947-X.

63. Busemann A. Gasdynamik, Handbuch der Experimentalphisik, Bd. 4.1, Leipzig. 1931. S. 341-460.

64. Crocco L., Singolarita della corrente gassosa iperacusica nell'interno di una prora a diedro//L'aerotecnica. Vol.17. No.6. 1937. P.518-534.

65. Finn R., Gilbarg D. Asymtotic Behavior and Uniqueness of Plane Subsonic Flows// Comm. Pure Appl. Math. 1957. V.10. P.23-63.

66. Finn R.S., Gilbarg D. Tree-Dimensional Sabsonic Flows and Asymptotic Estimates for Elliptic Partial Differential Equations//Acta Math-ematica. 1957. V.98. P. 265-296.

67. Gilbarg D., Shiftman M. On Bodies Achieving Extreme values of the Critical Mach Number, 1//J. Rational Mech. Anal., 1954, V.3, No 2. pp. 209-230.

68. Lighthill M.J. The hodograf transformation in trans-sonic flow. 1. Symmetrical channels// Proc. Roy. Soc. A191. 1947. P.323-341.

69. Morawetz C., Kolodner I. On the non-existence of limiting lines in transonic flows//Comm. Pure Appl. Math., 1953. V.6, No 1, pp. 97102

70. Ringleb F. Exakte Losungen der Differentialgleichungen einer adiabatischen Gasstromung//Z. angew. Math. Mech. 20 (1940), pp. 185198