Математическое моделирование течений неоднородной несжимаемой жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

003432^^^

На правах рукописи

Г

5

Худобина Юлия Петровна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИИ НЕОДНОРОДНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 2009

003492223

Работа выполнена на кафедре динамики полета ГОУ ВПО «Томский государственный университет» и НИИ прикладной математики и механики ТГУ

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник НИИПММ при ТГУ Либин Эдуард Ефимович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Бубенчиков Алексей Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор Троицкий Олег Юрьевич

Ведущая организация: Институт гидродинамики

им. М.А. Лаврентьева СО РАН (г. Новосибирск)

Защита состоится 25 декабря 2009 г. в 14 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.267.13 при ГОУ ВПО «Томский государственный университет» по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, НИИ прикладной математики и механики, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке ГОУ ВПО «Томский государственный университет» по адресу: г. Томск, пр. Ленина, 34а.

Автореферат разослан 20 ноября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.267.13

доктор технических наук Ю.Ф. Христенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы: Практическое приложение гидродинамика неоднородной несжимаемой жидкости имеет ко многим геофизическим процессам, протекающим в атмосфере и в океане, и поэтому она интересна для специалистов по геофизике, метеорологии и океанологии. Однако в теоретическом плане гидродинамика неоднородной жидкости изучена еще явно недостаточно. Причиной этого является то, что уравнение неразрывности и условие несжимаемости для неоднородной жидкости не совпадают друг с другом и записываются как независимые уравнения. В результате получается, что гидродинамика неоднородной жидкости имеет дело с принципиально вихревыми течениями, которые с большим трудом поддаются математическому анализу. Неоднородные жидкости никогда не находятся в состоянии покоя, так как малейшее нарушение локальной плотности приводит к тому, что отдельные участки жидкости всплывают под действием архимедовой силы, а другие опускаются. Само по себе наличие силы тяжести и неоднородного поля плотности является достаточной причиной для поддержания различного рода специфических движений жидкости. Особый интерес вызывают такие явления как внутренние волны, всплывание и опускание термиков, конвекция, перемешивание в зоне скачков плотности, и др. Степень изученности этих проблем различна. Так теория внутренних волн интенсивно разрабатывалась в последние десятилетия, и в ней получены важные результаты. В работе авторов: A.B. Аксенов, В.А. Городцов, И.В. Стурова «Моделирование обтекания цилиндра стратифицированной идеальной несжимаемой жидкости», (1986, препринт № 282) было получено решение задачи в аналитической форме. В подобных задачах, связанных с решением нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, до сих пор остаются значительные затруднения.

Таким образом, своевременными и актуальными являются исследования по построению математических моделей, позволяющих численными методами изучать свойства течений неоднородных жидкостей.

Целью диссертационной работы является:

1. Теоретическое изучение стационарных течений неоднородной жидкости, таких как обтекание устойчиво стратифицированной жидкостью диполя, источника, и других особенностей. Получение аналитического решения в частных случаях.

2. Разработка новой математической модели, позволяющей достаточно простыми средствами осуществлять расчет различных нестационарных плавучих эффектов, проявляющихся в неоднородной жидкости, таких как: всплывание плоских и осесимметричных термиков, явление тейлоровской неустойчивости, распространение волн вдоль границы раздела двух жидкостей с разной плотностью. Предлагаемая математическая модель позволяет приближенно исследовать также и поведение волн на свободной поверхности тяжелой жидкости.

3. Распространение полученных результатов на движение неоднородных жидкостей, подчиняющихся закону Дарси в пористых средах.

Научная новизна работы

1. Впервые получено решение в аналитической форме для стационарного течения неоднородной несжимаемой жидкости в частном случае, когда плотность жидкости зависит от значений функции тока по показательному закону.

2. Впервые получена формула, представляющая собой закон генерации вихрей на линии, разделяющей несмешивающиеся жидкости с разной плотностью.

3. На основе этого соотношения построена новая вихревая математическая модель, позволяющая вычислять движение границы раздела двух сред. Несмотря на такое упрощение, состоящее в рассмотрении только двухкомпонентной жидкости, предлагаемая модель получается достаточно содержательной, чтобы с ее помощью можно было вычислять различные физические эффекты, рассмотренные в диссертации.

Практическая значимость. Создан комплекс компьютерных программ, позволяющих проводить вычисление движения границ разделяющих разнородные жидкости. На примере решения задачи о нефтяной скважине показано, что разработанная математическая модель применима и к случаю нестационарного движения неоднородных грунтовых вод. При дальнейшем естественном обобщении предлагаемого метода круг решаемых им задач может быть расширен.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью математических постановок и подтверждается сопоставлением с экспериментальными данными и численными исследованиями других авторов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Аналитическое решение задачи об установившемся течении неоднородной несжимаемой жидкости.

2. Новая математическая вихревая модель, позволяющая вычислять движение границы между двумя жидкостями с различной плотностью.

3. Численный метод, в основе которого лежит простой закон генерации вихрей, возникающих вдоль границы раздела.

4. Распространение полученных результатов на случай движения неоднородных жидкостей в пористой среде.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на XI Всероссийской научно-технической конференции под редакцией Шрагера Э. Р. (Томск, 2005). На V Всероссийской конференции "Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики" (Томск, 2006). Н III Всероссийской конференции молодых ученых "Физика и химия высокоэнергетических систем" (Томск, 2007). На VI Всероссийской конференции "Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики", посвященной 130-летию Томского Государственного университета и 40-летию НИИ НММ ТГУ (Томск, 2008).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в трудах вышеперечисленных конференций, а также в журнале из списка ВАК "Известия вузов. Физика".

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 2-х глав, заключения и списка цитированной литературы. Объем диссертации - 134 страницы, в том числе 124 страницы основного текста, 58 рисунков, 6 фотографий. Список литературы - 9 страниц и содержит 100 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы цель и задачи диссертационного исследования, обоснована актуальность, сформулированы выносимые на защиту основные положения, кратко излагается содержание диссертационной работы по главам.

Первая глава посвящена обзору состояния вопроса и решению задачи об установившемся течении неоднородной несжимаемой и невязкой жидкости. Как известно, в двумерном (плоско-параллельном) случае установившееся (не зависящее от времени) течение неоднородной жидкости описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных:

р дх

(1)

ди ди

и—-=

дх ду

й Л 1 др

и--НУ-=------£

дх ду р ду

ди ду „ —+— = 0 дх ду

Ф Яр „

и~+1'— = 0 дх ду

где: «, V-горизонтальная и вертикальная скорости: р - давление; р - плотность жидкости. Если ввести функцию тока ^(дг,/), такую, что скорости через нее выражаются по формулам и = 8Ч'/ду, V = -(У-Р/сх, то условие несжимаемости жидкости и -г V, =0 будет выполняться автоматически. Уравнение сплошности ир,+\р„ = 0, выраженное через функцию тока, означает равенство нулю функционального определителя й(р,Ч')/0(х,у) = 0. Отсюда следует, что р = р(Ч'), и линии тока в установившемся движении одновременно являются и линиями постоянной плотности. Подстановка этих результатов в первое и второе уравнения из системы (1), и исключение из них давления, приводит к дифференциальному уравнению, которому должна удовлетворять функция тока ~¥(х,у):

рм

2{дх

+ г{ду

(2)

Уравнение (2) впервые было получено в работах Дюбреиль-Жакотен (1932) в связи с ее исследованиями о волнах на поверхности неоднородной тяжелой жидкости. Оно содержит две произвольные функции: р(Ч') и /Г(Ч/). Первая из них задает распределение плотности в жидкости, а вторая - распределение вихрей в ней. В безразмерных переменных, когда выбирается масштаб ^ по пространственным переменным и масштаб скорости потока ио, уравнение (2) сохраняет свой вид. Только вместо ускорения силы тяжести g в него будет входить квадрат безразмерного числа Фруда, определяемого как: Гг = .

В диссертации показывается, что вместо функции тока удобнее на-

ходить вспомогательную функцию 0(х,у), которая связана с функцией Ч' соотношением

Щп. (3)

о\ Р*

Тогда, из (2) и (3) следует, что функция Одолжна удовлетворять дифференциальному уравнению:

Ао+2 Ргг-у~ [£-= [¿./.'(У). (4)

Уравнение (4) является более простым по сравнения с уравнением (2), так как оно не содержит квадратов первых производных от искомого решения. В него нужно подставить зависимость Ч' = Ч'(0, найденную из уравнения (3). В диссертации особое внимание уделяется случаю, когда Р'(Ч') = 0 и /з(Ч/) = р0 ехр(-2аЧ/), т. е. когда плотность жидкости распределена по экспоненциальному закону с коэффициентом неоднородности имеющим значение а. В этом случае функции О и ¥ связаны между собой соотношениями:

I.,-" 1 I

а а 1 -а<2

и уравнение (4) становится линейным, т. е.:

= (6)

дх ду

Частное решение неоднородного уравнения (6) можно взять здесь не зависящим от переменной х, и оно тогда выражается через функции Эйри. Решение однородного уравнения (6) можно представить в виде, содержащим произвольную (порождающую) функцию Оа(х,у). Предположим, что если а = 0, то решение Оа(х,у), удовлетворяет уравнению Лапласа, и описывает некоторое течение однородной жидкости. Тогда, применяя преобразование Лапласа (по направлению х) к уравнению (6), получим операционное соотношение:

б

Таким образом, связь между функциями <2 и а будет такой же, как и связь между оригиналами при замене в изображениях переменной я на величину у[^+агРг2у. Оператор такого преобразования известен из теорем об обобщенной свертке Эфроса, и в окончательном виде решение линейного уравнения (6) может быть записано в форме:

О

БЩА^-у^аЧ^} - АЩВ^-уУа-Рг1} В/(0)Л/(0)-Л|(0)Я|(0)

1

н— а

(7)

Здесь: Ь = х-а-Рг-^у, 0'а(х,у) = 5(2^1дх, и добавлено частное решение неоднородного уравнения (6), выражающееся через функции Эйри. Входными параметрами при расчетах по формуле (7), кроме порождающей функции 0„(х,у), является величина а, характеризующая степень неоднородности жидкости, и число Фруда Гг. Вид решения (7) показывает, что функция 0(х,у) зависит от параметра а, и от величины произведения а■ /У, но соотношение (5), выражающее искомую фу нкцию тока через £>, содержит только параметр а.

Решение в форме (7) имеет достаточно универсальный вид, так как оно позволяет проследить поведение линий тока (Ч'(х,>>) = со/иг) при изменении показателя неоднородности а. В предельном случае, когда 0, уравнения (7) и (5), очевидно, дают: Ч'(х,у) = 0<1(х,у). В диссертации приводится достаточно простая программа для ЭВМ, которая заполняет сеточную прямоугольную область (х,у) значениями функции 44*„,>•„), вычисленными по формулам (7), (5), и рисует ее изолинии. Приводятся соответствующие примеры расчетов для различного вида порождающих функций 0,(х,у).

1. Диполь в потоке неоднородной жидкости.

Если в равномерное течение со скоростью Ь\ помещен диполь, то порождающая функция (в безразмерных переменных), и ее частная производная по переменной х, будут иметь вид:

1 1 30, 2 у(х-с)

^ (х-с)2+у-) Вх

Характер линий тока для этого случая представлен на рисунке 1. Из него видно, что в потоке, в отличие от однородной жидкости, образуются нелинейные волны вниз по течению.

Рисунок с похожим поведением линий тока, вычисленный с применением разностных методов, встречается в обзорной монографии Дж. Тернера "Эффекты плавучести в жидкостях"(1977).

Рисунок 1 — Линии тока в неоднородной жидкости, обтекающей диполь: Рг=3;а=0,0.1,0.25.

2. Кусочно-экспоненциальное распределение плотности.

Решение в виде уравнений (5), (7) будет справедливым и для случая, когда показатель неоднородности а('}') принимает постоянные, но различные значения на отдельных участках изменения величины Ч'. Пусть, например, в задаче об обтекании диполя, на промежутке Ч' = '11а±£, параметр а принимает значение равное а„, и значение равное нулю за пределами этого промежутка. Тогда мы имеем течение двухслойной устойчиво стратифицированной жидкости, в котором слои разделены участком с шириной 2с. На рисунке 2 представлен результат расчета, когда % = 2, и с = 0.1. Линия тока соответствующая значению Ч'0= 2 (граница раздела) обозначена здесь более темной линией.

Рисунок 2 - Граница раздела между однородными жидкостями со скачком плотности, обтекающими диполь.

Из этого расчета видно, что граница раздела является сложной линией, и сопровождается гидравлическими прыжками. Такую картину можно представить себе как начало процесса перемешивания. На удалении от границы раздела линии тока являются плавными, такими как при течении однородной жидкости.

3. Источник в экспоненциально стратифицированной жидкости.

Одним из простейших течений в гидродинамике несжимаемой жидкости является течение от источника, помещенного в начало координат. Функция тока такого течения, и ее производная по переменной х имеют вид

гу) в<2» _

дх х2+у2'

00 (х,у) = агс%

Линиями тока для такой порождающей функции являются прямые линии, исходящие из начала координат. Значения функции ()„(*,У) изменяются в первом квадранте от нуля, на горизонтальной стороне угла, до л/2 на его вертикальной стороне. Если плотность неоднородной жидкости убывает по показательному закону: р = р0 ехр(-2а ¥), то справедливо решение в виде формул (7) и (5). Пример расчета по этим формулам приводится на рисунке 3.

яоигее т0(х,у)=агс*д(уЛс); а-0.05

.. 1т=0.0б1

Рисунок 3 - Источник помешен в начало координат. Влияние увеличения числа Фруда на изменение характера линий тока: Гг' =0.001, 0.1, 0.25, 1, 2, а = 0.05.

Из этого примера видно, что под влиянием силы тяжести и градиента плотности линии тока (траектории частиц жидкости) имеют как восходящие, так и падающие участки. Течение может сопровождаться гидравлическими скачками в виде 'языков' на большом удалении от источника. Число Фруда определяется в данном примере по прежней формуле /> = но под величиной 1!0. ха-

рактеризующей мощность источника, подразумевается радиальная скорость на круге с радиусом равным Кь. На рисунке 3 показано, как влияет величина числа Фруда на характер линий тока. При малом числе Фруда, когда Яг -> 0, источник преодолевает влияние силы тяжести, и картина течения незначительно отличается от аналогичного течения однородной жидкости. Наоборот, если преобладает сила тяжести, то появляется искривленное и расслоенное течение в виде гидравлических скачков.

Численное исследование, проведенное в первой главе диссертации, указывает на существенное различие между течениями однородной и неоднородной жидкостями. По-видимому, экспоненциальное распределение плотности является единственным частным случаем, когда нелинейное дифференциальное

уравнение (2) для функции тока можно свести к линейному уравнению, и даже получить его решение в замкнутой форме.

Во второй главе изучаются отдельные задачи, относящиеся к неустановившимся движениям неоднородной жидкости. В ней показывается, что на линии раздела двух или нескольких жидкостей с разной плотностью, находящихся в поле силы тяжести, образуется вихревой слой, который свободно движется по своему кинематическому закону, и является возбудителем движения всей массы жидкости. Закон изменения во времени интенсивности этого вихревого слоя можно найти из гидродинамического уравнения движения, записанного в системе координат движущейся вместе с частицами жидкости:

¿У _ Ар

Умножая (8) на р, и вычисляя циркуляцию скорости по замкнутому кон туру, охватывающему какую-либо точку линии раздела (рисунок 4) получим

1 сЬ

(8)

(9)

Рисунок 4 - К определению соотношения для производной Г. Интегрирование по контуру, охватывающему участок границы раздела.

Здесь х - вектор касательной (рисунок 4), а (Ь - линейный элемент' дуги контура интегрирования.

Равенство (9) запишем с учетом разных значений плотности жидкости по обе стороны границы раздела, т.е.

= - />,<|Д8,т)^ - р1 ^(в.т ) </«

Для циркуляции вектора скорости V и для циркуляции постоянного вектора g имеют место очевидные равенства

= I (У,т)<Ь = 1-, (п)

Вектор Ь здесь представляет собой хорду, проведенную между точками пересечения контура интегрирования и линии раздела. Равенство (10), следовательно, можно представить в следующем виде

(Ю)

0>. + /»»)7=(А-/>>) (ь.е)

(12)

Отсюда получаем, что

Р^ + Рг

При стягивании контура интегрирования в точку, мы получаем основное уравнение, определяющее генерацию вихрей на линии раздела плотностей

2 Рг ( у (14)

Здесь вектор т имеет смысл касательной к линии раздела плотностей, а Лг - элемент длины дуги вдоль этой линии. Правило обхода, при интегрировании по контуру, применяется обычное, такое, чтобы внутренняя область оставалась с левой стороны. Полученная формула (14) означает, что полная производная по времени для ногонной интенсивности вихрей, образующихся на границе раздела, пропорциональна скачку плотности и проекции ускорения силы тяжести на касательную к линии раздела.

В двумерной плоскопараллельной задаче линию вихревого слоя можно представлять последовательностью точечных дискретных вихрей с комплексными координатами 2. и соответствующими циркуляциями Г„, изменение которых во времени определяется из соотношения (14). Скоросгь отдельных вихревых точек в слое тогда будет равна

у: = Е ——— (15)

2 я■ I ^ г „ - г ш

Алгоритм численного моделирования движения такой вихревой пелены, разделяющей несмешивающиеся жидкости с разной плотностью, следовательно, сводится к решению задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Если для решения применять схему Эйлера, то координаты точечных вихрей и их циркуляции находятся по рекуррентным формулам

= + г1/' = + (16)

Здесь величины Г „ и У„ вычисляются соответственно из соотношений вида (14) и (15). Практически, для вычисления скорости перемещения сразу всех точек вихревой линии по формуле (15), удобно организовать специальную матрицу , такую, чтобы выполнялось равенство: У=<3-Г. Для вычисления векторов касательной и нормали к линии раздела плотностей можно создать матрицу Н, такую, чтобы касательная во всех точках контура определялась из соотношения: т = II -Ъ, где Ъ - вектор, состоящий из списка комплексных координат точек контура. Матрица Н обычно имеет простой вид и получается на основе метода центральных разностей. Для замкнутого контура она должна быть циклической.

В безразмерных переменных уравнения (14) и (15) сохраняют свой вид. При этом за единицу расстояния Я принимается характерный размер области. Безразмерными единицами для скорости и циркуляции тогда будут величины У„ = , Г„ = ; и безразмерное время имеет вид т = Я I.

Типичными задачами, которые можно решать с помощью описанной выше вихревой модели движения границы раздела, являются задачи о всплывании или опускании термиков, а также задача о прорыве легкой жидкости из-под тя-

желой (тейлоровская неустойчивость). Примеры такого расчета, полученные в диссертации, показаны на рисунках 5,6.

Рисунок 5 - Влияние плавучести на подъем более легкого жидкого тела (а), и на опускание более тяжелого тела (Ь).

На рисунке 5 (а), показаны кадры всплывания легкого жидкого круга единичного радиуса, которые были вычисленные через равные промежутки безразмерного времени г = 1^2^77. Расчет проводился с шагом Дг = 0.25, и отношение плотностей было равным = 5. Аналогичный расчет опускания более тяжелого жидкого тела (с обратным отношением плотностей) показан на рисунке 5 (Ь). Здесь учитывалось влияние дна путем добавления зеркально отраженной вихревой системы.

Если рассматривать незамкнутую границу раздела двух жидкостей, то ее поведение, при аналогичном численном моделировании, проясняет характер неустойчивости по Тейлору. На рисунке 6 показан пример такого расчета.

Рисунок 6 - Изменение границы раздела, когда слой более легкой жидкости в начальном положении находится ниже тяжелой, здесь отношение плотностей s = 5.

Начальное положение границы раздела здесь было почти горизонтальным и представлялось уравнением:

у = 1 + 0.1 е~*' . (17)

Такое начальное положение выглядит на рисунке 6 как незначительное возвышение, разделяющее легкую и более тяжелую жидкости. Пунктирной линией на рисунке 6 показано промежуточное положение границы, когда безразмерное время имеет численное значение равное 0.5. Само по себе явление не-

устойчивости по Тейлору означает, что положение системы, когда более легкая жидкость находится ниже тяжелой, является неустойчивым, и происходит самопроизвольное нарастание отклонений от невозмущенного состояния. Применяемая в диссертации вихревая модель показывает, что при прорыве легкой жидкости из-под тяжелой жидкости образуется «грибовидное облако», граница которого имеет характерную спиральную структуру. В случае, когда начальное положение границы между легкой и тяжелой жидкостью имеет несколько слабых бугорков, все они всплывают в виде характерных отдельных «термиков», как показано на рисунке 7.

слабых возвышений на начальной границе раздела между легкой и тяжелой жидкостью. Отношение плотностей * =р,//з2 = 5.

Подобные расчеты могут рассматриваться как моделирование возникновения естественных конвективных течений в задачах теплофизики.

Если жидкость устойчиво стратифицирована по плотности, когда более тяжелая жидкость находится ниже легкой, то расчет по вихревой модели никогда не приводил к образованию спиральной закрутки линии раздела. Вдоль нее распространяется обычная нелинейная бегущая волна, сопровождаемая шлей-

Рисунок 8 - Распад начального возвышения в виде гауссовского импульса единичной высоты в устойчиво стратифицированной жидкости.

Здесь приведен один из кадров расчета движения границы раздела первоначально покоящейся устойчиво стратифицированной жидкости. Начальное возвышение здесь описывалось импульсом вида (17), но с единичной высотой и с более мелким слоем нижней, тяжелой жидкости. Собственно говоря, расчет, показанный на рисунке 8 - это просто повторение расчета, показанного на ри-

сунке 6, но при обратном отношении плотностей. В одном случае (¿>1) имеегг место неустойчивость по Тейлору, а в другом, когда я<1, по поверхности раздела распространяется волна, похожая на волны в жидкости со свободной поверхностью.

Кроме вычисления положения границы раздела можно также графически отображать и мгновенные линии тока для отдельных моментов времени. На рисунке 9 показаны изолинии функции тока для вихревой системы всплывающего легкого «термика».

При таком расчете вместо последовательности точечных вихрей применяется последовательность прямолинейных отрезков с непрерывным распределением вихрей на ней. Такие отрезки заменяют точечные вихри, и результирующая функция тока суммируется от них обычным образом. Характер линий тока имеет различный вид внутри и снаружи замкнутой области, такой же, как в электродинамических задачах с неоднородными средами.

Рисунок 9 - Поле течения (траектории частиц жидкости) снаружи и внутри всплывающего «термика».

Далее, в подразделе 2.6 второй главы рассматриваются осесимметричные задачи о «термиках» и тейлоровской неустойчивости плоской границы. Уравнение генерации вихрей на границе раздела остается таким же, как и для плос-копараллелыюго случая (14), но компоненты скорости от вихревых колец, которыми покрывается граница между жидкостями с разной плотностью, вычисляются с помощью полных эллиптических интегралов первого и второго рода:

г 1

2 л- г,

Г 7

-т

т-

г'2 + +г

где: /¡г = (г - г')2 + (г + г')2;

2л

П =(*-/)2+(г

Е(к)

(18) (19)

4/т'

Центр вихревого кольца расположен на расстоянии г от начала координат, а само кольцо имеет радиус г', циркуляция кольца равна Г. Другой отличительной особенностью вихревых колец является то, что они имеют собственную скорость перемещения в осевом направлении. В покоящейся жидкости

вихревое кольцо перемешается, не меняя своего радиуса, в отрицательном направлении оси Ох (если циркуляция Г положительна) с собственной скоростью 13, которая равна

и--

4лт I \ £ 4 I

(20)

Толщина вихревого шнура е обычно выбирается из предположения, что скорость жидкости в центре кольца совпадает с его собственной скоростью, что дает с~г'!%6. На рисунке 10 представлен пример расчета движения осесиммет-ричных тсрмиков.

Рисунок 10 - Фазы подъема (слева) и опускания (справа) осесимметричного

термика.

Первоначальная граница раздела представляла собой покоящийся в жидкости шар единичного радиуса, слегка приподнятого над горизонтальным экраном. Графики положения границы раздела получены через одинаковые промежутки безразмерного времени г = 0,1,2,3,.....Начальная интенсивность вихрей

на начальной единичной окружности полагалась равной нулю, то есть движение начиналось из состояния покоя.

Задача о развитии тейлоровской неустойчивости в осесимметричном случае рассматривается в диссертации на примере, когда начальная граница между слоем легкой и тяжелой жидкостями слабо искривлена и описывается уравнением : г = 1+0.1 с~'\ Начало движения такой границы показано на рисунке 11.

Рисунок 11-11ачальная фаза прорыва легкой жидкости сквозь тяжелую жидкость, г = 0, 1, 2, 3, 4.

Сначала деформация границы раздела происходит медленно, но при продолжении счета (рисунок 12) образуется последовательность всплывающих вихревых сгустков.

мент безразмерного времени г = 7.

Последний пример показывает, что по сравнению с аналогичным плоскопараллельным расчетом (рисунок 6) здесь проявляется динамическое взаимодействие вихревых колец, в котором особую роль играет собственная осевая скорость их перемещения. Вихревые центры распределяются вдоль границы разделяющей жидкости неравномерно, что характерно и для плоскопараллельных задач.

Подраздел 2.7 второй главы диссертации посвящен задаче о поведении волн вблизи наклонного берега. Ее аналитическое решение известно только в приближении линейной теории волн малой амплитуды. Вблизи берега происходит разрушение волн, сопровождаемое высокими всплесками. Если свободную поверхность рассматривать как линию, разделяющую жидкости с разной плотностью, то задачу о накате волн на берег можно численно исследовать с помощью предлагаемой в диссертации вихревой математической модели. В ней большие всплески воды вдоль линии прибоя объясняются влиянием зеркально отраженной от линии берега вихревой системы. Для точки находящейся вблизи берега зеркально отраженная от него точка находится на малом расстоянии. Такая пара близких вращающихся в разные стороны вихрей может только скользить вдоль линии наклонного берега, причем с довольно высокой скоростью. Это и является причиной высокого всплеска и разрушения волн вблизи берега. На рисунке 13 показан характерный вид мгновенных линий тока вместе с их аналитическим продолжением в пространство ниже береговой линии. Расчет здесь проводился с применением вихревой модели движения границы раздела.

Рисунок 13 - Вид мгновенных линий тока (траекторий частиц жидкости) при набегании волн на берег с углом наклона а = 15'.

В подразделе 2.8 второй главы изучается более сложная задача о подъеме или опускании термиков, которые находятся в неоднородном потоке жидкости, обтекающем эллиптическое препятствие. Комплексный потенциал течения вокруг эллипса с полуосями а и Ь, и скоростью потока на бесконечности ит, равен: _

Ъ-цУ-^-^-П. (21)

а-Ь

В отличие от ранее решаемых задач здесь к ускорению силы тяжести добавляется конвективное ускорение от заданного неоднородного потока. Для плоскопараллельной задачи его можно выразить через комплексный потенциал , в виде

(22)

± { (Ь1 _

В безразмерных переменных в качестве единицы расстояния выбирается характерный размер термика /<,, единицей скорости является величина а единица циркуляции вихрей равна Г0 - ■ Тогда безразмерное время т бу-

дет определяться как г = ■ Система уравнений, определяющая движение термика в неоднородном потоке, записывается в виде:

^ = + ^=Рг.у„ + 0(г)Г. (23)

ат Рг+Рх ИГ

Число Фруда (Рг) здесь является отношением и единичный вектор

1 направлен вертикально вверх. Первое из уравнений (23) представляет собой закон генерации вихрей на границе термика, а второе описывает их кинематическое движение. Примеры расчета по формулам (23) показаны на рисунках 14 и 15. Течение несущего потока, обтекающего эллипс, здесь направлено слева направо.

Рисунок 14 - Последовательность положений границы легкого термика в потоке, обтекающем эллипс. Рг=1.5, т = 0,1,...,7.

Рисунок 15 - Последовательность положений границы термика, который тяжелее окружающей жидкости. Рг= 1.5, г = 0,1,..., 7.

На рисунках 16 и 17 показано как изменяются мгновенные линии тока в присутствии всплывающего и опускающегося термиков.

вающего термика.

На этих рисунках видно характерное преломление линий тока при пересечении границы термиков. Внутри термиков линии тока почти параллельны, что свидетельствует об их поступательном перемещении.

В последнем параграфе второй главы диссертации (подраздел 2.9) численным методом исследуется вопрос о применимости вихревой математической модели движения границы, разделяющей жидкости с разной плотностью, к задачам фильтрации в пористой среде. Если в грунтовой воде имеется включение с другой плотностью, то оно должно всплывать или опускаться под влиянием силы тяжести. Поэтому можно ставить задачу о термиках в грунтовой воде и о других плавучих эффектах. Фильтрационное течение подчиняется закону Дар-си, который означает, что скорость фильтрации пропорциональна градиенту давления:

Здесь коэффициент к характеризует фильтрационную способность данного грунта, и имеет размерность скорости. Единичный вектор 1 направлен по вертикали вверх и учитывает влияние силы тяжести. К уравнению (24) добавляется еще условие несжимаемости </л>У = 0. Тогда существует потенциал скорости, который удовлетворяет уравнению Лапласа На границе, разделяющей фильтрующиеся жидкости, терпит разрыв касательная составляющая скорости фильтрации. Такую границу, как и в обычной несжимаемой жидкости, можно заменить подвижным вихревым слоем, под действием которого и происходит движение всей массы жидкости. Умножая (24) на плотность р, и интегрируя

вдоль контура, охватывающего линию раздела, найдем, что условие генерации вихрей имеет вид:

¿Г Л '

отличие этого

2к±

(25)

А+Р:

Основное отличие этого условия от уравнения (14), полученного для обычной жидкости, заключается в том, что в него входит сама погонная интенсивность вихрей вместо ее полной производной по времени. Этим обстоятельством определяется специфика поведения термиков в грунтовой воде. Скорость продвижения точек границы термика, как и раньше, определяется кинематическим операторным уравнением

—=ОГ. (26)

Л

Система обыкновенных дифференциальных уравнений (25) и (26) описывает движение границы термика в пористой среде. Для ее приведения к безразмерному виду выберем в качестве единицы расстояния характерный размер термика , а за единицу скорости примем величину к. Тогда масштабом циркуляции скорости будет служить величина Г0 = И^к, и безразмерное время определяется как

Ь

(27)

К к

В таких безразмерных переменных система уравнений (25) и (26) записывается в виде

— = ОГ, Г = 2^£-ат)Л. (28)

¿х ~ р,+р2

Из нее видно, что уравнения задачи о движении термиков в пористой среде полностью нормализованы и не содержат безразмерных констант, характеризующих физическое явление. Влияние коэффициента фильтрации к проявляется только в выборе масштаба времени, согласно с формулами (27). Коэффициент фильтрации к обычно бывает малым по величине. Так, например, для различного вида песков он изменяется в пределах 0.005) см/с, а для глины его значения имеют в сотни раз меньшую величину. На приведенных ниже рисунках представлены результаты расчетов по формулам (28). На рисунке 18 показаны последовательные положения всплывающего и опускающегося термиков в пористой среде через промежутки времени, указанные на графике.

Рисунок 18 — Процессы подъема легкого и опускания тяжелого термиков в пористой среде. Отношение плотностей: р2/р1 = 2, и рг/рх = 1/2.

На рисунке 19 изображен характер мгновенных линий тока, образующихся вокруг фунтовых термиков.

Рисунок 19 - Характер линий тока вблизи поднимающегося и опускающегося термиков.

Поведение термиков в пористой среде существенно отличается от их поведения в обычной жидкости. Здесь уже не образуется грибовидное облако, и граница термика не закручивается в спираль. При подъеме в грунте термик почти не меняет свою форму, в то время как опускающийся термик изменяет се лишь из-за влияния горизонтального водоупора.

По-другому проявляет себя и тейлоровская неустойчивость в пористых средах. На рисунке 20 показаны последовательные положения линии раздела при прорыве более легкой воды через тяжелую. Незначительное возмущение горизонтального уровня довольно быстро приводит к образованию постоянно растущих языков и впадин.

и { \ ! !

о) 1

Т\ ✓ / 1 .....

------------ □1............ *

Рисунок 20 - Проявление неустойчивости по Тейлору в пористой среде. Положение границы раздела показаны через промежутки безразмерного времени:

г = 0, 4, 8, 12, 16, 18.

Если грунтовая жидкость является устойчиво стратифицированной, т.е. когда более тяжелая жидкость находится ниже чем легкая, то устойчивой будет и линия их раздела. На рисунке 21 показан результат расчета такой модельной задачи. Там, где в обычной жидкости распространяется волна (рисунок 8), в пористой среде происходит не колебательный, а монотонный процесс растекания и выравнивания бугров над уровнем грунтовых вод. Задача о выравнивании де-прессионной кривой, уравнение которой в начальный момент времени задано,

относится к простым задачам об определении не известной свободной границы. В книге П.Я. Полубариновой-Кочиной «Теория грунтовых вод», 1977 приводится аналитическое решение подобной задачи, полученное для случая бесконечно глубокого слоя грунтовой воды. Приведенный в этой книге график растекания бугра над уровнем грунтовых вод в основном совпадает с рисунком 21.

Рисунок 21 - Растекание бугров над уровнем фунтовых вод в случае устойчивой стратификации.

В этом же подразделе второй главы, посвященном фльтрации жидкостей в пористых средах, рассматривается также и известная задача о «нефтяной скважине», которую ранее изучали П.П. Куфарев и П.Я. Полубаринова-Кочина. В классической постановке она выглядит как течение от источника (стока) с нулевым потенциалом на подвижной границе нефтяной залежи. С точки зрения развиваемой в диссертации вихревой модели задачу о «нефтяной скважине» следует представлять как задачу о движении двухслойной жидкости. Сила тяжести в этой задаче никакой роли не играет, так как она перпендикулярна плоскости движения. Но существует поле конвективных ускорений от источника, которое и заставляет завихриваться линию раздела между фильтрующимися жидкостями с разной плотностью. Если источник расположен в начале координат, и его мощность равна J, то комплексный потенциал (для плоской задачи) имеет вид

= (29)

2ж

Скорость и конвективное ускорение от источника, очевидно, будут равны: .JdW\_J г ^ -

Так как конвективное ускорение А пропорционально квадрату мощности источника, то оно будет одинаковым как для источника, так и для стока, и направлено всегда к центру источника.

Если считать, что расстояния ъ являются безразмерными величинами, отнесенными к характерному размеру нефтяной залежи Н„, то уравнение движения (закон Дарси) будет иметь вид

р| 1--Г

где к -— коэффициент фильтрации, и £ = • Из уравнения (31) можно

получить, чему равна циркуляция вихрей в точках границы раздела плотностей:

А Рз + А

(32)

Скорость течения жидкости равна сумме скоростей от источника и от вихревой системы линии раздела. Следовательно, кинематическое уравнение запишется в виде

А У г 1

л'

|-|

г +-ог.

2

(33)

Уравнения (32) и (33) можно нормализовать таким образом, чтобы они не содержали величин У и к. Для этого за единицу циркуляции скорости нужно принять величину /У^, а за единицу расстояния - величину Л„ ~J¡k. Тогда нормализованные уравнения задачи примут следующий вид:

аг = гР[~Рг

сЬ р,+р2

ск с1т

= ±-~+ОГ.

(34)

Знак «+» здесь выбирается для источника, а знак «-» выбирается для стока. Безразмерное время г связано с реальным временем / соотношением:

^ . (35)

к2

г --1,

2л-У

Уравнения (34) позволяют исследовать различные режимы движения нефтяной залежи. Кроме режима источника или стока, они позволяют рассматривать принципиально различные случаи, когда вблизи источника находится легкая либо тяжелая жидкость. В рамках традиционной постановки задачи о «нефтяной скважине» последние такие случаи разделить невозможно.

Расчеты эволюции контура залежи по нормализованным уравнениям (34) показаны на рисунках 22, 23. Результат зависит от смещения центра скважины относительно начальной залежи и от отношения плотностей. На рисунке 22 показаны положения во времени линии раздела для случая, когда к скважине примыкает более легкая жидкость (нефть). Вода прорывается к скважине гораздо раньше, чем выкачивается нефть. Это вполне соответствует решению классической «задачи о нефтяной скважине». Рисунок 23 отображает процесс выкачивания воды из-под нефти. Вихри на границе раздела здесь вращаются в другую сторону и граница эволюционирует иначе: вода из-под нефти выкачивается полностью.

Рисунок 22 - Эволюция линии раз- Рисунок 23 - Положение линий дела для отношения плотностей раздела при большем смещении р1/р2 =0.8 скважины относительно центра за-

лежи. Отношение плотностей

0.8; лг = 0.05 .

В заключении, в диссертации приводятся основные выводы по работе, к ним относятся:

1. Установившееся течение в неоднородной жидкости возможно только в случае, когда плотность зависит лишь от функции тока. Если, например, плотность зависит от декартовых координат (х,у), то такое течение может быть только неустановившимся. Это объясняет тот факт, что неоднородная атмосфера не может находиться в состоянии покоя.

2. В отличие от течения однородной жидкости, линии тока в неоднородной жидкости получаются волнистыми, и внутренние волны распространяются на большие расстояния.

3. Моделирование неустановившихся течений путем замены границы раздела плотности вихревым слоем позволяет решать многие задачи, недоступные при использовании иных способов. В частности в задачах, связанных с тейлоровской неустойчивостью, естественным образом моделируется процесс закручивания границы раздела в спиральную линию.

4. Тот факт, что устойчиво стратифицированная жидкость в численных экспериментах не закручивается в спираль, говорит о том, что вихревая модель правильно описывает свойства свободной поверхности. Следовательно, эту математическую модель можно применять и для изучения волн на поверхности воды.

5. Предлагаемая в диссертации вихревая модель оказывается пригодной и для течений жидкости в пористой среде, для которой справедлив закон Дарси.

Список опубликованных работ по теме диссертации

1. Худобина Ю.П. Линии тока в установившихся течениях неоднородной тяжелой несжимаемой жидкости II Известия вузов. Физика. - 2007. -№9/2.-С. 294-298.

2. Либин Э.Е., Худооина Ю.П. Эволюция границ раздела плотности в неоднородной несжимаемой жидкости // Известия вузов. Физика. — 2007. -№9/2.-С. 291-293.

3. Акимова Ю.П. Задача о волнах, набегающих на наклонный берег // Исследования по баллистике и смежным вопросам механики : сб. статей / под ред. И.Б. Богоряда. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 1999. - Вып. 3 - С. 3.

4. Худобина Ю.П. Кинематика волн у наклонного берега // Физика и химия высокоэнергетических систем : доклады XI всерос. научно-технич. конференции / под ред. Э.Р. Шрагера. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. - С. 67-68.

5. Худобина Ю.П. Диполь в потоке неоднородной несжимаемой жидкости // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики : материалы конференции, 3-5 окт. 2006 г. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2006. - С. 181182.

6. Худобина Ю.П. Всплывание легкого жидкого тела // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики : материалы конференции, 3—5 окт. 2006 г. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2006. - С. 183.

7. Худобина Ю.П. Моделирование плавучих эффектов в жидкости // Физика и химия высокоэнергетических систем : сб. материалов III Всерос. конференции молодых ученых, 24-27 апреля 2007 г., Томск. - Томск : ТМЛ-Пресс, 2007.-С. 232-234.

8. Худобина Ю.П., Либин Э.Б. Плоские гидродинамические течения, порождаемые вихревыми слоями // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики : сборник материалов конференции, 30 сент. - 2 окт. 2008 г. / Том. гос. ун-т. - Томск, 2008. - С. 502-503.

9. Худобина Ю.П. Движение осесимметричного термика // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики :: сборник материалов конференции, 30 сент. - 2 окт. 2008 г. / Том. гос. ун-т. - Томск, 2008. - С. 500501.

Тираж 100 экз. Отпечатано в ООО «Позитив-НБ» 634050 г. Томск, пр. Ленина 34а

Введение

1. Установившееся течение неоднородной несжимаемой жидкости

1Л. Общие положения гидродинамики неоднородной жидкости

1.2. Функция тока для стационарного течения

1.3. Приведение к безразмерному виду

1.4. Исключение члена с квадратом скорости

1.5. Экспоненциальное распределение плотности

1.6. Одномерное течение неоднородной жидкости

1.7. Решение однородной задачи

1.8. Результаты вычислений—

1.8.1. Конечные формулы и алгоритм

1.8.2. Диполь в потоке неоднородной жидкости

1.8.3. Источник в непрерывно стратифицированной жидкости

1.8.4. Кусочно-экспоненциальное распределение плотности.—

2. Вихревая модель движения границы раздела

2.1. Обсуждение литературы и постановка задачи

2.2. Закон изменения циркуляции скорости вдоль границы раздела—

2.3. Алгоритм численного моделирования

2.4. Примеры типичных вычислений

2.5. Непрерывное распределение вихрей вдоль линии раздела

2.6. Осесимметричные термики—

2.7. Волны вблизи наклонного берега

2.8. Движение линии раздела плотностей жидкости в неоднородном поле ускорений

2.9. Термики в пористой среде-------------------------—

Гидродинамика несжимаемой и невязкой жидкости в настоящее время представляет собой сильно развитый раздел науки, в котором изучается движение и равновесие жидкостей, и их взаимодействие с твердыми телами. В ней разработаны эффективные теоретические и, главным образом, математические методы исследования. Наиболее развитые методы решения относятся к безвихревым течениям, когда отсутствует вращение частиц, т. е. когда имеет место потенциальное течение, и скорость V = grad Ф, где Ф - потенциал скорости. Для потенциальных течений найдены решения многих частных задач: о безотрывном обтекании плоских контуров, о струйных течениях, о волновых движениях жидкости, об источниках, стоках и вихрях, о потенциале простого и двойного слоя, и других. Успешно решены задачи о вихревых нитях и слоях, о вихревых цепочках и системах вихрей. Все эти успехи теоретической гидродинамики относятся к случаю, когда считается, что плотность жидкости всюду постоянна. Для описания движения несжимаемой {р = const) жидкости используется уравнение неразрывности и уравнение движения. Для решения этих уравнений необходимо задавать еще начальные и граничные условия. Граничные условия зависят от вида границ. В идеальной жидкости, не обладающей вязкостью, на твердой границе применяется условие 'непротекания': в нуль обращается только нормальная к стенке составляющая скорости. На свободной поверхности, граничащей с пустотой или с воздухом (газом), должно выполняться условие постоянства давления.Поверхность, удовлетворяющая такому условию, в ряде случаев моделирует поверхность раздела жидкости с газом или паром. Задачи со свободной поверхностью обычно ассоциируются с волнами на поверхности воды.Теоретическая гидродинамика неоднородной жидкости развита в значительно меньшей степени. Она имеет дело с принципиально вихревыми течениями, которые с большим трудом поддаются математическому анализу.Вихри в неоднородной несжимаемой жидкости возникают из-за нарушения баротропии, когда не совпадают нормали к поверхностям постоянного давления и плотности. Уравнение неразрывности и условие несжимаемости для неоднородной жидкости не совпадают друг с другом и записываются как независимые уравнения. Поэтому в поведении течений однородной и неоднородной жидкости имеются существенные различия. Природным примером неоднородных жидкостей является атмосфера и океан, а также и грунтовые воды. Эти среды никогда не находятся в состоянии покоя, так как малейшее нарушение локальной плотности приводит к тому, что одни участки жидкости всплывают под действием архимедовой силы, а другие опускаются. Это сопровождается образованием кольцевых вихрей, как, например, при подъеме нагретых масс воздуха — 'термиков'. Таким образом, сила тяжести в гидродинамике неоднородной жидкости играет основную роль, и такие течения по своей природе являются нестационарными. Теоретическое изучение подобных течений наталкивается на большие математические трудности, и поэтому примеров точных решений не встречается в литературных источниках.Этим и объясняется актуальность всяких исследований в области гидродинамики неоднородной жидкости, направленных на изучение ее свойств.Существует достаточно много публикаций, относящихся к гидродинамике неоднородной жидкости. В подавляющем большинстве из них показывается, что эффективным способом нахождения приближенных решений является линеаризация уравнений и соответственно граничных условий (метод малых возмущений). Получающиеся при этом линейные уравнения в частных производных являются уравнениями типа Соболева. Они описывают сложную структуру внутренних волн в неоднородной жидкости. Эти внутренние волны сильно отличаются от упругих и акустических волн, и, по своим свойствам, больше похожи на волны, движущиеся на поверхности тяжелой жидкости. Для них характерна анизотропность и сильная дисперсия.Численные методы решения общих, не линеаризованных уравнений неоднородной жидкости применялись только к случаю установившихся движений. Эти публикации относятся к 50-60 годам 20-столетия. Из них следует, что при обтекании эллипса потоком неоднородной жидкости линии тока получаются волнистыми. В более поздних публикациях, направленных на изучение конкретных задач, например, на расчет терминов в атмосфере, система дифференциальных уравнений сильно усложняется. В нее добавляется уравнение энергии, уравнение состояния, теплопроводности, переноса излучения, химической кинетики. Решение большинства таких усложненных конкретных задач осуществлялось, главным образом, с применением численных методов.В разработке современных численных методов для решения задач со свободной границей впечатляющие достижения получены Кемеровской школой гидромеханики, возглавляемой К. Е. Афанасьевым [62].Сферой практических приложений гидродинамики неоднородной жидкости является, в первую очередь, физика атмосферы, океанография, геофизика, а также известное в теории теплопереноса явление естественной конвекции [71, 72, 73]. Ввиду того, что крупные вихри в значительной мере определяют перенос на значительные расстояния примесей в атмосфере и в океане, гидродинамика неоднородной жидкости оказывается полезной также и в экологических науках.Целью диссертационной работы является разработка новой математической модели, позволяющей достаточно простыми средствами осуществлять расчет различных плавучих эффектов, проявляющихся в неоднородной жидкости, таких как: всплывание плоских и осесимметричных термиков, явление тейлоровской неустойчивости, распространение волн вдоль границы раздела двух жидкостей с разной плотностью, и другие. Предлагаемая математическая модель позволяет приближенно исследовать также и поведение волн на свободной поверхности тяжелой жидкости.Научная новизна работы. В первой главе, посвященной установившемуся течению неоднородной жидкости, впервые было получено аналитическое решение, определяющее функцию тока, для частного случая, когда плотность жидкости р(Ч*) распределена по экспоненциальному закону.Во второй главе диссертации впервые получена формула, представляющая собой закон генерации вихрей на линии, разделяющей несмешивающиеся жидкости с разной плотностью. На основе этого соотношения построена новая вихревая математическая модель движения границы раздела двух сред.Несмотря на такое упрощение, состоящее в рассмотрении только двухкомпонентной жидкости, предлагаемая математическая модель оказалась достаточно содержательной, чтобы с ее помощью можно было вычислять различные физические эффекты, рассмотренные в диссертации.Впервые было выяснено, что приближенное решение нестационарных задач со свободной границей осуществляется на много легче, если рассматривать ее как границу, разделяющую две жидкости с разной плотностью.Практическая значимость. Создан комплекс компьютерных программ, позволяющих проводить вычисление движения границ разделяющих разнородные жидкости. На примере решения задачи о нефтяной скважине показано, что разработанная математическая модель применима и к случаю нестационарного движения неоднородных грунтовых вод. При дальнейшем естественном обобщении предлагаемого метода круг решаемых им задач может быть существенно расширен.Степень достоверности результатов проведенных исследований.Для проверки непротиворечивости предлагаемого метода в диссертации приводится много примеров численного решения частных задач. Там, где только возможно, приводятся экспериментальные фотографии, подтверждающие качественное совпадение теоретического материала с реальным физическим явлением. Достоверность результатов, полученных с помощью вихревой модели, подтверждается их сопоставлением с экспериментальными данными и численными исследованиями других авторов [3].Автор защищает: 1. Новую математическую вихревую модель, позволяющую вычислять движение границы между двумя жидкостями с различной плотностью.2. Численный метод, в основе которого лежит простой закон изменения циркуляции вихрей возникающих вдоль границы раздела.3. Аналитическое решение задачи об установившемся течении неоднородной жидкости, описанное в первой главе диссертации.4. Распространение полученных результатов на случай движения жидкости в пористой среде.Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на XI Всероссийской научно-технической конференции под редакцией Шрагера Э. Р. (Томск, 2005); на V Всероссийской конференции "Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики" (Томск, 2006); на III Всероссийской конференции молодых ученых "Физика и химия высокоэнергетических систем" (Томск, 2007); на VI Всероссийской научной конференции " Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики ", посвященной 130-летию Томского государственного университета и 40-летию НИИ ПММ ТГУ (Томск, 2009) Публикации. Основные результаты диссертации представлены в трудах вышеперечисленных конференций, а также в журнале: "Известия Вузов. Физика" [97, 98].Содержание работы.Первая глава освещает современное состояние теории установившегося течения неоднородной жидкости. Такие течения можно описать с помощью единственной функции тока Ч*(х,у). Показано, что если течение не зависит от времени, то плотность жидкости должна зависеть только от значений функции тока, т. e.:p = pQ¥). Следовательно, линии тока в установившемся течении всегда являются также и линиями постоянной плотности. Сама функция тока, при этом, удовлетворяет нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка. После ряда преобразований это нелинейное уравнение сводится к виду, который допускает получение аналитического решения. В отличие от течения однородной жидкости, линии тока в неоднородной жидкости, при обтекании различных тел, получаются волни7 стыми. Этот факт показывает, насколько расслоенная по плотности жидкость отличается по своему поведению от однородной жидкости.Первые численные эксперименты с применением указанной вихревой модели показали ее пригодность для решения многих задач, недоступных при использовании других методов. Всплывание или опускание термиков сопровождается образованием 'грибовидного облака', как при сильном взрыве, которое со временем закручивается в два параллельных вихревых шнура.Всплывание слоя более легкой жидкости из-под жидкости более тяжелой (неустойчивая граница раздела по Тейлору) также происходит в виде спиральных вихревых образований. Если же проводить расчет для устойчиво стратифицированной жидкости, когда более тяжелая жидкость находится ниже чем легкая, то расчет по вихревой модели не приводит к образованию спиралей. Граница раздела в таких случаях ведет себя как обычная нелинейная бегущая волна, сопровождаемая шлейфом из-за влияния дисперсии.В подразделе 2.5 второй главы описывается вспомогательная программа, позволяющая эффективно вычислять значения мгновенной функции тока и поля скоростей. Здесь, вместо последовательности изолированных вихревых точек, вихревой слой представляется непрерывно завихренными отрезками ломаной линии. С помощью этой программы осуществлялся расчет линий тока в поле течения.Подраздел 2.6 посвящен осесимметричной задаче о термиках и о тейлоровской неустойчивости границы раздела. Здесь вместо бесконечных вихревых шнуров применяются вихревые кольца конечной толщины, и вычисление функции тока и скоростей производится с применение эллиптических интегралов. Основное уравнение генерации вихрей на линии раздела остается таким же, как и для плоско-параллельной задачи.В подразделе 2.7 исследуется поведение волн вблизи наклонного берега. Для объяснения разрушения волн вблизи берега и поглощения их энергии обычно применяют различные приближенные теории. Эта задача все еще является мало изученной в математическом отношении. С точки зрения линейной теории, комплексный потенциал должен иметь логарифмическую особенность в точке пересечения уровня воды и береговой линии. Вихревая модель объясняет большие всплески волн у берега влиянием зеркально отраженной от берега вихревой системы.В подразделе 2.8 показывается, что генерация вихрей на линии раздела может получаться не только под влиянием ускорения силы тяжести, но и изза неравномерности течения в основном потоке (конвективное ускорение).Конвективное ускорение появляется, например, в поле течения от источника, или при обтекании различных препятствий. Уравнение генерации вихрей здесь соответствующим образом обобщается. Рассматривается задача о поведении термиков, которые находятся в потоке, обтекающем эллиптическое препятствие. Данная задача позволяет оценить дальность распространения загрязнений в атмосфере под влиянием ветра. Очевидно, что таким же способом можно решать и другие задачи, например, задачу о подводном крыле.Такие задачи характеризуются необходимостью использования метода конформных отображений.В подразделе 2.9 показывается, что предлагаемая в диссертации вихревая модель движения границы разделяющей жидкости с разной плотностью, пригодна и для теории грунтовых вод. В этом случае уравнением движения является закон Дарси: У = -к — + i . Закон генерации вихрей на границе KPg J раздела плотностей грунтовых вод принимает вид ds р} + р2 Таким образом, здесь он получается более простым, чем для обычной жидкости. В него входит не производная по времени от циркуляции вихрей, а сама их циркуляция. Это отличие определяет специфику поведения термиков в пористой среде. Они могут также всплывать или опускаться, но уже без образования 'грибовидного облака' и спиральных структур. В пористой среде также проявляется явление неустойчивости границы раздела по Тейлору.Численное решение задачи о выравнивании бугра на поверхности грунтовых вод хорошо совпало с решением из книги П. Я. Полубариновой-Кочиной [86]. В этом же подразделе рассматривается и задача 'о нефтяной скважине'.В отличие от ее классической математической постановки, в вихревой модели могут учитываться две фракции жидкости, что в большей степени отвечает действительности.В заключении подведены основные итоги проведенных исследований.

Основные результаты и выводы диссертационной работы заключаются в следующем.

1. Установившееся течение в неоднородной жидкости возможно только в случае, когда плотность зависит лишь от функции тока. Если, например, плотность зависит от декартовых координат (х,у), то такое течение может быть только неустановившимся. Это объясняет тот факт, что неоднородная атмосфера не может находиться в состоянии покоя.

2. В отличие от течения однородной жидкости, линии тока в неоднородной жидкости получаются волнистыми, и внутренние волны распространяются на большие расстояния.

3. Моделирование неустановившихся течений заменой границы раздела плотности вихревым слоем позволяет решать многие задачи, недоступные при использовании других математических моделей. В частности,

124 естественным образом моделируется процесс закручивания границы раздела в спиральную линию.

4. Тот факт, что устойчиво стратифицированная жидкость в численных экспериментах не закручивалась в спираль, говорит о том, что вихревая модель правильно описывает рассматриваемое явление. Следовательно, ее можно применять и для изучения волн на поверхности воды.

5. Предлагаемая в диссертации вихревая модель оказывается пригодной и для течений жидкости в пористой среде, для которой справедлив закон Дарси.

6. Предполагается, что дальнейшее обобщение вихревой модели будет осуществляться с учетом вязкости жидкости, и пространственного случая завихренной поверхности раздела.

В завершении диссертации автор выражает признательность своему научному руководителю, ведущему научному сотруднику НИИПММ ТГУ Э.Е. Либину, коллегам по лаборатории: профессору И.Б. Богоряду, старшему научному сотруднику Н.П. Лавровой за их неизменную помощь в течение всего периода работы над диссертацией, а также за моральную поддержку и теплоту человеческих отношений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе рассмотрено две задачи о течении неоднородной несжимаемой и невязкой жидкости. В первой задаче рассматривается случай установившихся (стационарных) течений, а во второй задаче предполагается, что течение жидкости носит нестационарный характер. В первой задаче вводится функция тока, дифференциальное уравнение для которой получается нелинейным и затруднительным для решения. Поэтому в диссертации рассмотрен только такой частный случай, когда плотность жидкости распределена по показательному закону в зависимости от значений функции тока. При таком предположении определяющее уравнение получается линейным, и это дает возможность довести решение задачи о течении неоднородной жидкости до аналитического решения.

Во второй задаче предполагается, что жидкость имеет кусочно,постоянную плотность и четкую границу раздела. Для ее решения в настоящей работе применяется достаточно простой численный метод, который основан на замене границы раздела плотностей вихревым слоем. Обе задачи имеют практическое значение в метеорологии или в океанологии.

1. Кочин Н.Е, Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 1. -М.: Физматлит, 1963. -584 с.

2. Ламб Г. Гидродинамика. Том 1-2. — Москва — Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2003. -934 с.

3. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях. М.: МИР, 1977.— 432 с.

4. Плотников П.И. Некорректность нелинейной задачи о развитии неустойчивости Тейлора // Зап. Науч. семинаров ЛОМИ, Л.: Наука. — 1980. Т. 96. - С. 240 - 246.

5. Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954. - Т. 18, №1. - С. 3 - 50.

6. Габов С.А., Свешников А.Г. Линейные задачи нестационарных внутренних волн. М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит., 1990. -344 с.

7. Габов С.А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. М.: Наука, 1986. - 288 с.

8. Черкесов Л.В. Гидродинамика поверхностных и внутренних волн. — Киев: Наук. Думка, 1976. 276 с.

9. Антонцев С.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. -Новосибирск: Наука, 1983. -319 с.

10. Овсянников Л.В., Макаренко Н.И., Налимов В.И. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука, 1985.-317 с.

11. Плотников П.И. Разрешимость задачи о пространственных гравитационных волнах на поверхности идеальной жидкости // Докл. АН СССР. 1980.-Т. 251, №3.-С. 591-594.

12. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977.-815 с.

13. Сретенский JI.H. Теория волновых движений жидкости. Москва- Ленинград: Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, 1936.-303 с.

14. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики М.: Физматлит, 2005. - 254 с.

15. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики — М.: Физматлит, 2002. — 431 с.

16. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи: Пер. с англ. -М.: МИР, 1968. 183 с.

17. Беллман Р., Энджел Э. Динамическое программирование и уравнения в частных производных: Пер. с англ. М.: МИР, 1974. - 207 с.

18. Богоряд И.Б. Колебания вязкой жидкости в полости твердого тела. — Томск: Изд-во Томского университета, 1999. — 134 с.

19. Якимов А.Г. Аналитический метод решения краевых задач. Томск: Изд-во Томского университета, 2005. - 108 с.

20. M-me Dubriel-Jacotin L., Sur les ondes de type permanent dans les liquides heterogenes // Atti dei L., 1932. Vol. 212, № 6. - Pp. 814 - 819.

21. Dubreil-Jacotin M.L. Sur la determination rigoureuse des ondes permanents periodiques dempleur finie // J. Math. Pures Appl., 1934. Vol. 13, № 9. -Pp. 713-736.

22. Dubreil-Jacotin M.L. Sur la descussion des equations de ramification relatives a certains problemes d'ondes. Application aux ondes dues aux ine-galites du fond // Bull.Soc. Math.France, 1936. - Vol. 64. - Pp. 1-24.

23. Dubreil-Jacotin M.L. Sur les theoremes d'existence relatives aux ondes permanents periodiques a deux dimensions dans les liquides heterogenes // J. Math. Pures Appl., 1937. Vol. 16, № 9. - Pp. 43-67.

24. R.Gouyon, Contribution a la theorie des houles // Annales de la Faculte des Sciense de l'Universsite de Toulouse, 1958. Vol. 22, № 4. - Pp. 1-55.

25. Некрасов А.И. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости // Собр. соч.: Физматгиз, 1961. Т. 1. - С. 358439.

26. Т. Levi-Civita. Determination rigoureuse des ondes permanentes d'empleur finite//Math. Ann., 1925. Pp. 264-314.

27. Прандтль JI. Гидроаэромеханика: Пер. с нем. — М.: ИЛ, 1951. 576 с.

28. Queney P. The problem of airflow over mountains: a summary of theoretical studies // Bull. Amer. Meteor. Soc., 1948. Vol. 29. - Pp. 16-26.

29. Sawyer J. S. A numerical calculation of the displacements of a stratified air stream crossing a ridge of small height // Quart. J. Roy. Mat. Soc., 1960. -Vol. 86.-Pp. 326-345.

30. Hazel J. R Numerical studies of stability of inviscid stratified shear flows // J. Fluid Mech, 1972.-Vol. 51.-Pp. 36-61.

31. Hunt J.N. Interfacial waves of finite amplitude // La Houile Blanche, 1951,-Vol. 16.-Pp. 515-531.

32. Long R. R., Some aspects of the flow of stratified , II, Experiments with a two-fluid system // Tellus , 1954. Vol. 6. - Pp. 97-115.

33. Long P, R. The motion of fluids with density stratification // J. Geophis, Res., 1959. Vol. 64. - Pp. 2151-2163.

34. Hazel J.R. The effects of viscosity and heat conduction on internal gravity waves at a critical level // J. Fluid. Mech., 1967. Vol. 30, - Pp. 775 - 781.

35. Yih C.S. Exact solution for steady two-dimensional flow of a stratified fluid //J, Fluid Mech., 1960. Vol. 9-Pp. 161-174.

36. Йи Чиа Шун. Волновые движения в слоистых жидкостях // Сб. Нелинейные волны: Под ред. С. Лейбовича и А.Сибаса: Пер. с англ. М.: МИР, 1977.-С. 271-295.

37. Аксенов А. В., Городцов В. А., Стурова И.В. Моделирование обтекания цилиндра стратифицированной идеальной несжимаемой жидкости // Институт проблем механики АН СССР. 1986. - препринт № 282, -65 с.

38. Зайцев А. А. Функция тока и форма линии тока в плоском потоке равномерно стратифицированной жидкости, обтекающей горизонтально-ориентированный диполь // Волны и дифракция: Сб. т.1. Москва, 1981,-С. 159- 162.

39. Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский JI. П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980. - 524 с.

40. Кудряшов Н. А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.- 172 с.

41. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солито-ны. -М.: Мир, 1985,-470 с.

42. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — М.: Наука, 1979.-832 с.

43. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М.: Наука, 1965. - 287 с.

44. Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник по операционному исчислению. — М.: Высшая школа, 1965. 467 с.

45. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. - 1100 с.

46. Сычев К.А., Либин Э. Е. Примеры численной реализации конформных отображений // Исследования по баллистике и смежным вопросам механики: Сб. статей. Томск: Изд-во Том. Ун-та, 1998. - Вып. 2, - С. 812.

47. Сычев К.А., Либин Э. Е. Конформное отображение произвольной од-носвязной области на прямоугольник // Исследования по баллистике и смежным вопросам механики: Сб. статей. — Томск: Изд-во Том. Ун-та, 2000. Вып. 3. - С. 209 - 210.

48. Сычев К.А., Либин Э. Е. Численной метод конформного отображения произвольной двусвязной области на круговое кольцо // Исследованияпо баллистике и смежным вопросам механики: Сб. статей. — Томск: Изд-во Том. Ун-та, 2001. Вып. 4. - С. 23 - 24.

49. Сычев К.А., Либин Э. Е. Задача о собственных колебаниях жидкости // Исследования по баллистике и смежным вопросам механики: Сб. статей. Томск: Изд-во Том. Ун-та, 2002. - Вып. 5. - С. 299-300.

50. Алексеенко С.В., Куйбин П.А., Окулов В.Л. Введение в теорию концентрированных вихрей. Москва - Ижевск: Институт Компьютерных Исследований, 2005. — 503 с.

51. Вилля Г. Теория вихрей. М. - Л.: ОНТИ, НКТП, 1936. - 266 с.

52. Миндлин И.М. Интегро-дифференциальные уравнения в динамике тяжелой слоистой жидкости М.: Наука, 1996. - 298 с.

53. Миндлин И.М. Новый метод в нелинейных задачах о волнах в тяжелой слоистой жидкости, возбуждаемых вертикально движущимся твердым телом//Изв. АН СССР. МЖГ. 1991.- № 5.-С. 151 - 160.

54. Миндлин И. М. Метод обобщенного потенциала скорости в динамике слоистой жидкости, возмущаемой естественно всплывающим 'терми-ком' // Межвуз. сб.: Колебания и волны в сплошной среде. Нижний Новгород: изд. Нижегород. политехи, ин-та, 1992. - С. 73 - 81.

55. Миндлин И.М. Нелинейные волны в тяжелой двухслойной жидкости, порождаемые начальным возмущением горизонтальной границы раздела // Изв. АН СССР. МЖГ. 1994. - № 5. - С. 135 - 143.

56. Стокер Дж. Волны на воде. М.: Издательство иностранной литературы, 1959.-618 с.

57. Алешков Ю. 3. Теория волн на поверхности тяжелой жидкости. Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1981, - 195 с.

58. Секерж-Зенькович Я. И. К теории стоячих волн конечной амплитуды на поверхности тяжелой жидкости конечной глубины // Изв. АН СССР Сер. геогр. и геофиз. 1951. - Т. 15, № 1,-С. 57-73.

59. Тер-Крикоров А. М. Существование периодических волн, вырождающихся в уединенную // Прикладная математика и механика. I960.— Т.24, вып. 4. - С. 622 - 636.

60. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977. 622 с.

61. Хаскинд М. Д. Гидродинамическая теория качки корабля. М. , 1973. — 328 с.

62. Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование // Материалы третьей международной летней научной школы: Под. ред. Афанасьева К. Е. — Кемерово: ИНТ, 2006. 506 с.

63. Lagally Sitzungsberichte der Math // Phis. Der К. B. Akademie der Wissens zu Munchen, 1915. № 19. - Pp. 79 - 95.

64. Rosenhead L. The Formation of Vortices from a Surface of Discontiniuty // P. R. S. L. (A), 1931.-Vol. 134, № 19. Pp. 170-192.

65. Рабинович М.И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн.- М.: Наука, 1984. — 430 с.

66. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М. - Л.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950. - 704 с.

67. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. — М.: Гос. изд-во физико-математической литературы, 1958. 544 с.

68. Милович А. Я. Теория динамического взаимодействия тел и жидкости.- М. Л.: Госэнергоиздат, 1940. - 240 с.

69. Биркгоф Г., Сарантонелло Б. Струи, следы и каверны: Пер. с англ. М.: Мир, 1964.-466 с.

70. Г. Биркгоф. Гидродинамика. Методы, факты, подобие: Пер. с англ. — М.: ИЛ, 1963.-245 с.

71. Гришин А. М. Влияние взаимодействия огненных смерчей друг с другом на их распространение // Докл. АН. Физика. 2007. - Т. 416, № 4. -С. 1-2.

72. Гришин А. М. Аналитическое решение задач о распространении двух огненных смерчей // Экологические системы и приборы. — 2008. №10. С. 47-48.

73. Гришин А. М., Матвиенко О. В., Руди Ю. А. Численные модели формирования тепловых смерчей // Инж.-физ. журнал. — 2008. Т. 81, №5. -С. 860-868.

74. Г. М. Махвиладзе, С. Б. Щербак. Расчет конвективного движения газа над поверхностью горящего вещества // Институт проблем механики АН СССР. 1979. - № 125. - 45 с.

75. Г. М. Махвиладзе, Г. Г. Копылов, В. И. Мелихов, О. И. Мелихов. Численное исследование формирования и распространения очагов горения в закрытых объемах в условиях естественной конвекции // Институт проблем механики АН СССР. 1984. - № 237. - 70 с.

76. Г. М. Махвиладзе, О. И. Мелихов, С. Е. Якуш. Турбулентный осесим-меричный термик в неоднородной сжимаемой атмосфере. Численное исследование // АН СССР. Институт проблем механики. 1987. - № 303.-67 с.

77. Ю. А. Гостинцев, JI. А. Суханов. Турбулентный концентрационно-тепловой термик при большой вязкости в нестратифицированной среде // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. - № 6. - С. 153 - 163.

78. А. Д. Амиров. О развитии термиков и кучевых облаков в стратифицированной атмосфере //Изв. АН СССР. Сер. физ. атм. и океана. 1966. -Т. 2, № 5. - С. 184-191.

79. В. И. Полежаев. Численное исследование естественной конвекции жидкостей и газов // Некоторые применения метода сеток в газовой динамике: Сб. -М.: изд-во МГУ, 1971. Вып. IV.

80. Н. Levi. Water waves on sloping beaches // Bull. Amer. Math. Soc., 1946. — Vol. 52, № 9. Pp. 737 - 775.

81. J. J. Stoker, Water Surface waves in water of variable depth // Quart. Apple. Math., 1947.-Vol.1.-Pp. 1-54.

82. G. Brrillouet. Etude de quelqness problemes sur les ondes liquids de gravity // Publ. SAci. Du Ministere de Г Air., 1957 P. 329.

83. A. S. Petters, The effect of floating mat on water waves // Comm. Pure. Apple. Math., 1950 Vol. 4. - Pp. 319-354.

84. M. Weitz, J. Keller, Reflection of water waves from floating ice in water of finite depth // Comm. Pure. Apple. Math., 1950 Vol. 3. - Pp. 305-318.

85. П. Я. Полубаринова-Кочина. Теория движения грунтовых вод — М.: Наука, 1977.-664 с.

86. Ф. Форхгеймер. Гидравлика. Пер. с немецкого. М. — Д., ОНТИ, 1935.-615 с.

87. П. Я. Полубаринова-Кочина. К вопросу о перемещении контура нефтеносности // Докл. АН СССР. 1945. - № 4. - С. 254 - 257.

88. П. П. Куфарев. Задача о контуре нефтеносности для круга при любом числе скважин // Докл. АН СССР. 1950. - № 4. - С. 235-338.

89. Richardson S. //J. of Fluid Mech, 1981. Vol. 102. -Pp. 263-278.

90. A. H. Варченко, П. И. Этингофф. Почему граница круглой капли превращается в инверсный образ эллипса. (Современная математика для студентов). — М.: Наука. Физматлит, 1995. — 80 с.

91. Публикации автора диссертации.

92. Акимова Ю. П. Задача о волнах, набегающих на наклонный берег // Исследования по баллистике и смежным вопросам механики: Сб. статей: Под ред. И.Б. Богоряда. Томск: Изд-во Том. Ун-та, 1999. - Вып. 3 -С.З.

93. Худобина Ю. П. Кинематика волн у наклонного берега. Физика и химия высокоэнергетических систем // Доклады XI всерос. научно-технич. конференции: Под ред. Шрагера Э.Р. Томск: Изд-во Том. Унта, 2005.-С. 67-68.

94. Худобина Ю. П. Диполь в потоке неоднородной несжимаемой жидкости // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: Материалы конференции, 3-5 окт. 2006 г. Томск: Изд-во Том. Унта, 2006.-С. 181-182.

95. Худобина Ю. П. Всплывание легкого жидкого тела // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: Материалы конференции, 3-5 окт. 2006 г. Томск: Изд-во Том. Ун-та, 2006. — С. 183.

96. Худобина Ю.П. Моделирование плавучих эффектов в жидкости // Физика и химия высокоэнергетических систем: Сб. Материалов III Всероссийской конференции молодых ученых, 24-27 апреля 2007г., Томск. Томск: ТМЛ-Пресс, 2007. - С. 232 - 234.

97. Худобина Ю. П. Линии тока в установившихся течениях неоднородной тяжелой несжимаемой жидкости // Известия вузов. Физика 2007. — № 9/2 - С. 294-298.

98. Либин Э. Е., Худобина Ю. П. Эволюция границ раздела плотности в неоднородной несжимаемой жидкости // Известия вузов. Физика.— 2007.-№ 9/2-С. 291 -293.

99. Худобина Ю. П. Движение осесимметричного термика // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: Сборник материалов конференции, 30 сент. 2 окт. 2008 г. - Томск: Томский государственный университет, 2008. - С. 500/501.