Волновые движения неоднородной жидкости над твердым и пористым основанием тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

^ :1 I Ы

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи РАЗУВАЕВА Анна Владимировна

ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕОДНОРОДНОЙ ЖИДКОСТИ НАД ТВЕРДЫМ И ПОРИСТЫМ ОСНОВАНИЕМ

Специальность: 01.02.05 - "Механика жидкости, газа и плазмы"

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор АЛЕШКОВ Юрий Зосимович

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1998

<

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ..............................................................3

Глава 1. ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ НАД ТВЕРДЫМ

НЕПРОНИЦАЕМЫМ ДНОМ...........................15

§ 1. Слой однородной жидкости над ровным дном.

Методы Стокса и Некрасова...................'.............15

§ 2. Слой неоднородной жидкости над ровным дном. ..........24

§ 3. Однородная и неоднородная жидкость над

неровным дном..............................................32

Глава 2. ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ

ЖИДКОСТИ НАД ПОРИСТЫМ ДНОМ.............42

§ 1. Слой однородной жидкости ................................44

§ 2. Слой неоднородной жидкости..............................50

Глава 3. ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ

ЖИДКОСТИ НАД ТВЕРДЫМ ДНОМ...............54

§ 1. Слой однородной жидкости ................................55

§ 2. Слой неоднородной жидкости с непрерывной

стратификацией ............................................59

§ 3. Двуслойная жидкость......................................62

Глава 4. ДИФРАКЦИЯ ВОЛН НА ВЕРТИКАЛЬНЫХ

ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЯХ...........67

§1. Слой однородной жидкости ................................68

§ 2. Слой непрерывно стратифицированной жидкости ........73

§ 3. Два слоя однородной жидкости............................76

§ 4. Слой однородной жидкости на пористом основании......79

Основные выводы по работе ...................................81

Литература .......................................................82

ВВЕДЕНИЕ

Большую часть нашей планеты занимают моря и океаны. Их площадь составляет 361 млн кв. км, т.е. 71 % от поверхности всего Земного шара. С давних времен тайна "водной стихии" привлекала человечество. Первые сведения об океане, сохранившиеся до наших дней, добыты финикийцами в III в. до н. э. Египтяне, греки, римляне, китайцы, занимаясь торговлей, прокладывали все новые и новые морские пути, а вместе с тем привносили знания в науку об океане. У^же в V в. до н. э. в Греции существовала географическая карта. Количество и продолжительность плаваний возрастали, а всед за этим вставало множество вопросов, ответы на многие из которых человек ищет и по сей день. Тем более, что запросы его как в хозяйственной, так и в культурной стороне жизни возрастают.

Экономика большинства стран, даже и тех, которые не имеют прямого выхода в океаны и моря, так или иначе связана с их использованием. Это — и дешевые пути сообщения, а, следовательно, выгодная торговля, туризм, и источник морепродуктов и полезных ископаемых. Все это обуславливает необходимость развития судоходства, что в свою очередь влечет освоение прибрежной зоны на предмет строительства портов, причалов и т.д. Как следствие этого остро встает вопрос более детального изучения гидродинамических процессов, происходящих в океане, как на глубине, так и на его поверхности. Прежде всего это волны и их воздействие на различного рода преграды, в том числе на корпус корабля. Ведь сильное волнение не только усложняет плавание, приносит повреждения, но и может быть причиной гибели судна. В этой связи необходимо точно знать фактические и ожидаемые условия волнения. В настоящее время широко внедрено плавание так называемыми рекомендованными курсами, передаваемыми из центральных учреждений Гидрометеослужбы судам, находящимся в океане.

В прибрежной зоне суда находятся в большой зависимости от приливов, достигающих в отдельных пунктах предельных величин. Такие крупнейшие порты мира, как Бордо, Гамбург и Ливерпуль, могут принимать большие суда только во время прилива. Немалую роль в морской навигации играют течения. Даже современные огромные суда не могут их игнорировать. При расчете курса судна и его скорости они должны быть приняты в расчет.

При решении гидродинамических задач ставится также вопрос об учете распределения плотности в слое жидкости. Результаты

этих исследований находят применение в судоходстве, на их основе рассчитывается нагрузка судна.

Впереди перспектива освоения многих гигантских энергетических ресурсов океана. Строительство нефтяных морских сооружений, морских электростанций и других важных объектов требует детально изученных гидродинамических характеристик — изменения уровня свободной поверхности слоя жидкости, силового воздействия волн и течений на опорные элементы гидротехнических сооружений.

Деятельность человека в деле освоения земных ресурсов расширяется. Окрыленный успехом, он порой не думает о будущем. Между тем назревает новая проблема — возможность экологической катастрофы на Земном шаре. Немалое внимание в этой связи надо обратить и на проблемы освоения Мирового океана. Проекты использования тепла океанических течений, растапливания полярных льдов требуют основательного, детального, научно-обоснованного подхода.

Обобщая все вышесказанное можно утверждать, что решение различных задач гидродинамики в высшей мере актуально. Океанология, изучающая Мировой океан в целом, опирается прежде всего на физические науки, исследующие общие законы динамики жидкостей, а также широко использует математический аппарат. Ведь несмотря на то, что проводится достаточно большое число натурных исследований, для которых создана целая сеть стационарных автоматических станций, передающих информацию с моря, судов, самолетов и искусственных спутников Земли на берег, важную роль продолжает играть и экспериментальное моделирование. В этом случае модель изучаемого явления или объекта строится самим человеком. Причем она может быть как механической (модели плотин, кораблей, самолетов и т.д.), отображающей динамику изучаемых процессов, так и математической, не обладающей с изучаемым объектом одной физической природой, но подчиняющейся тем же законам, что и последний.

Изучив особенности поведения модели в различных ситуациях, можно делать некоторые прогнозы относительно реального явления. Т. о. для построения модели в первую очередь в изучаемом явлении или объекте выделяются те условия и отношения, которые являются для него наиболее важными, и отбрасываются все несущественные, второстепенные. Так получаем абстракции типа "идеальная жидкость", "несжимаемая жидкость". Описать математиче-

ски такую модель значительно проще. Сформулировав допущения и рамки применимости модели, ее воспроизводят в математических терминах. Так математическая модель процесса распространения волн и их взаимодействия с преградами на основе законов механики жидкости представляет собой краевую задачу для соответствующей системы дифференциальных уравнений в частных производных.

В дальнейшем разрабатывается метод или алгоритм ее решения, проводятся численные расчеты. Затем модель тестируется на контрольных экспериментах, по которым имеются достаточно надежные измерения. Зачастую бывает необходимо уточнение модели. Она усложняется, в нее вносятся те моменты, от которых первоначально отвлекались. После получения хороших результатов, согласуемых с тестовыми, модель считается построенной, и становится возможным ее применение для прогнозирования поведения исследуемого объекта в условиях, где эксперименты пока не проводились или где они невозможны.

Рассмотрим одну из моделей, о которых говорилось выше, а именно, модель движения слоя жидкости над твердым дном. При ее построении будем исходить из предположения, что жидкость является несжимаемой и неоднородной. Кроме того, в ней отсутствуют процессы, обусловленные вязкостью и теплопроводностью, массовая сила есть только сила тяжести. Систему прямоугольных координат (x,y,z) свяжем с жидкостью следующим образом: плоскость Оху будет совпадать с невозмущенным уровнем свободной поверхности, ось Oz направлена вертикально вверх. В такой системе процесс движения слоя жидкости описывается системой уравнений [32, 53, 55]:

divU = 0; pt + (V ■ V)/? = 0;

1

vt + (v • V)u + -Vp = g.

P

Задача состоит в определении неизвестных функций: скорости v = (vx, vу, v2) = v(x,y, z,t); плотности р = p(x,y,z,t)', давления р = p(x,y1zJt). Вектор ускорения силы тяжести известен и направлен в отрицательную сторону оси z\ д — (0,0,—д), где д = const. Для решения поставленной задачи кроме основных уравнений системы (1) необходимо учитывать еще начальные и граничные условия. В нашем предположении слой жидкости простирается беско-

нечно во всех горизонтальных направлениях. Сверху он ограничен свободной поверхностью, уравнение которой z = ((x,y,t), снизу — твердым непроницаемым дном, поверхность которого мы предполагаем известной и заданной уравнением z — —H(x,y,t). Граничные условия в этом случае следующие:

— кинематическое и динамическое на свободной поверхности:

д( д( д( Л

тг" + vs тг1 + % тг1 - % = 0, z =(

dt dx dy ' s (2)

P=Po(x,y,t), z =(;

— условие непротекания на дне:

дН дН дН

+ ^ + ^ + Z = ~H■ (3)

Начальные условия состоят в том, что в фиксированный момент времени во всем слое жидкости задается распределение плотности и вектора скорости.

Если рассматриваемая жидкость является однородной, то модель движения значительно упрощается. Для такого типа жидкости возможно потенциальное движение. При этом v = V99, где (р — потенциал скорости. Из первого уравнения системы (1) следует тот факт, что потенциал скорости является гармонической функцией:

= 0, (4)

кроме того, учитывая что rot v = 0, р = const, имеем следующее соотношение

% + \\v<p\' + Z + g* = №, (5)

называемое интегралом Лагранжа-Коши, здесь f(t) — произвольная функция времени. В терминах функции ip соответственно перепишутся и граничные условия: на свободной поверхности:

д( dip д( д(р д( dip __ ^ ^ _ , . dt dx dx dy dy dz ' ' '

на дне

dH dip dH dp> dH dip _ ^ ^ _ .

dt dx dx dy dy dz '

В случае неоднородной жидкости потенциала скорости не существует. На практике встречаются случаи, когда плотность жидкости меняется с глубиной не непрерывно, как это предполагалось выше, а скачкообразно, т.о. жидкость представляется состоящей из слоев постоянной плотности, или же плотности, задаваемой непрерывной функцией. В каждом из этих слоев движение жидкости описывается системой (1) или, если плотность в слое постоянна, уравнениями (4), (5). Но кроме вышеуказанных граничных условий необходимо учитывать условия на поверхности разрыва плотности:

дС , дСх , ЗС _п л •_19 т +дх + ду " ' (8)

Рх - Р2 = 0, 2 = С ,

где индексами 1, 2 обозначены предельные значения величин с разных сторон поверхности разрыва г = (х, у, £). Эти условия гарантируют непрерывность нормальной компоненты вектора скорости и непрерывность давления при переходе через поверхность раздела. Начальные условия в этом случае аналогичные вышеуказанным.

Плоская задача

Для упрощения задачи в дальнейшем будем рассматривать класс движений, в котором искомые величины: скорость, давление и плотность, не зависят от одной из декартовых координат, например, у. Такие движения можно изучать только в плоскости Охг.

Изменяя обозначения координат и предполагая, что плоскостью движения является плоскость Оху, ось у направлена вертикально вверх, внесем исправления в основные уравнения и граничные условия.

Система (1) будет выглядеть следующим образом [32, 45, 53]:

ди ди

дх ду

+ = ° (9)

_ ду ди 1 _ Ъг + — + Уу — + -\7р = д ох оу р

Граничные условия:

— на свободной поверхности у = г](х^):

дг) дг) . . —V —--V,. = 0, у = тхЛ) " , ^

т дх у 1У ; (ю)

р=р0(х^), у = ф^)

— на дне у = —Н(ху

дН дН

~дГ ~дх = У = "Н(Х^)- (и)

Для плоского движения можно ввести понятие функции тока. Сравнивая дифференциальное уравнение линий тока [32]:

&х Ау ' глП\

— = — или — уу ах + ух ау — 0 (12)

и уравнение неразрывности

дьх дуч

—- Н--- = О,

дх ду '

можно заметить, что левая часть (12) является полным дифференциалом некоторой функции ф, причем такой, что

дф дф = V = (13)

Эту функцию ф и называют функцией тока. Вдоль линии тока она является постоянной.

Введение функции тока позволяет значительно упростить постановку задачи о плоском движении неоднородной жидкости.

Систему (9) можно записать в форме уравнений Громеки-Ламба [7, 32]:

др др др п дуТ дvч ~£ + V. / + V, / = 0, —^ + = О, ох оу ох оу

дих д V2 1 др

дуу д V2 1 др

ду 2 1х ^ р ду^

ди ди _

где П = —----^—- проекция вихря скорости rot V = (О, О, Г2) на

ох оу

нормаль к плоскости движения. Используя определение функции тока (13), имеем

П = _ + = _дф

\ дх2 ду2 )

Два последних уравнения (14) приводят к уравнению Гельмголь-ца для неоднородной несжимаемой жидкости:

¿Ш ^<91 и р дгх д1пр дьу 51п р сИ дt ду дх

д (V2 \ дЫр д (V2

д!пр

дх

(15)

В итоге в терминах функции ф система уравнений (14) сводится к двум уравнениям для двух неизвестных функций р и ф:

дх

др дф др дф др дt ду дх дх ду д А , дф д А , дф д л , - —Дф + угТГ^ - ТГТГ^ =

ох ах оу оу ох

д 1п р д ^ д2 ф 51п р ^ д2ф р

дг

д (1

2 т^+ду ду

ду

д\п р

дхд1 дх

д1п р

дх

(16)

Давление определяется из системы

1 др р дх 1 др рду

д ф д -И _|--

дуд1 дх

+9У

- —А ф,

ох

д2ф

--— Н--

дхд1 ду

д (\

-\Уф\2 + ду

дф ду

Аф,

(1

которая дает уравнение

-Ар =

+

др дх др ду

+ Р

д2ф д / дуд1 дх \

д2 ф д

--— Н--

дхд1 ду

+

\Уф\2 +ду^-^Аф

+

д( "(А^)2 -Уф-УАф

(18)

для определения давления во всем слое жидкости и уравнение

1 д2ф д2ф (\

которое выполняется только вдоль линии тока ф — const.

Граничные условия также записываются в терминах функции ф. На свободной поверхности кинематическое условие имеет вид

dri дф дг] дф Л , . /Г,ЛЧ

динамическое условие

p(x,7](x,t),t) =p0(x,t), y = rj(x,t), (21)

продифференцируем по х:

др^дрд^^др^^

дх ду дх дх ' ' '

dp др

выражение — и —— имеем из (17). ду дх

Условие на дне у = —Н(х, t)

дН + дфдН_дф=0 y = _H[xt)

dt ду дх дх ' '

Таким образом, задача о движении слоя неоднородной жидкости в плоскости свелась к определению функции тока, плотности и ординаты свободной поверхности. Давление будет определяться из уравнений (18) и (19).

Итак, выше была представлена модель движения слоя идеальной неоднородной жидкости, находящейся над твердым непроницаемым дном. Однако, в ряде случаев необходимо учитывать такое свойство жидкости как вязкость. Основание, над которым находится слой жидкости может быть также различным: твердым непроницаемым или пористым, имеющим ровный или переменный рельеф. Представляется удобным рассмотреть отдельно следующие модели движения:

I. Слоя однородной жидкости: а) над твердым дном; б) над пористым дном;

И. Слоя неоднородной жидкости: а) над твердым дном; б) над пористым дном;

III. Слоя вязкой жидкости, однородной и неоднородной, над твердым дном.

Интересны также математические модели взаимодействия волн

_ о

и преград, погруженных в слои жидкости различной природы.

Задачи поверхностных волн интересовали многих математиков. Лагранж, затем Коши и Пуассон внесли большой вклад в развитие этой проблемы. Ученые британской школы в первой половине 19 века уделяют этим вопросам также немалое внимание. Стоке в 1847 году ставит задачу о распространении волн конечной амплитуды над горизонтальным дном как соответствующую нелинейную задачу теории потенциала, моделирующую движение жидкости со свободной поверхностью, и решает ее методом последовательных приближений [7, 53, 54]. Им был получен следующий результат: профиль волны ассиметричен относительно уровня спокойной воды, высота гребня больше глубины впадины. Предельная форма волны такая, что угол при вершине равен 120°. Траектория частицы представляет собой разомкнутую петлю в отличии от волн малой амплитуды, где она замкнута.

С развитием методов ТФКП и внедрением их в гидродинамику эта же задача была сформулирована Леви-Чивита, как соответствующая краевая задача теории аналитических функций [3, 7]. При этом было использовано конформное отображение профиля волны на внутренность круга. А.И.Некрасов [39] свел эту же задачу к интегральному уравнению относительно угла наклона касательной к свободной поверхности слоя жидкости. С помощью метода мажорант он доказал существование свободных волн большой высоты.

Вопросам распространения волн на поверхности однородной жидкости посвящено много работ Л.Н.Сретенского [51, 52, 53, 54].

Интерес ученых привлекают и процессы, происходящие в неоднородной жидкости. Французской ученой Дюбрей-Жакотен был получен ряд интегралов исходной системы уравнений плоского установившегося движения неоднородной, несжимаемой жидкости, а также уравнение для функции тока [7, 53]. Этим же вопросам посвящены работа Ии Чиа-шун [26, 76].

С развитием гидротехники все большую роль играют задачи о распространении волн на поверхности жидкости переменной глубины и о силовом воздействии их на опоры причальных сооружений. Исследование распространения и дифракции волн на поверхности стратифицированной жидкости конечной глубины проводится в работах С.А.Габова, А.Г.Свешникова [18, 19]. Задача об установившемся течении идеальной несжимаемой стратифицированной жид-

кости над горизонтальным дном, имеющим местную неровность, сводится К.А.Бежановым, А.М.Тер-Крикоровым к краевой