Af--параболическая регуляризация уравнений Навье-Стокса применительно к течениям неоднородной вязкой несжимаемой жидкости. тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

! 1* 3 С На правах рукописи

УДК 51.7.9: 519.6: 532.5

? С* ? ! ' гллт

I . 1.-..1 i:\_~i

ВАСИЛЬЧЕНКО НИКОЛАЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

А ¿Г -параболическая регуляризация уравнений Навье-Стокса применительно к течениям неоднородной вязкой несжимаемой жидкости.

01.01.07 - вычислительная математика.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Москва -1997

Работа выполнена в Институте Автоматизации Проектирования Российской Академии Наук.

Научный руководитель: академик РАН Белоцерковский О.М.

Научный консультант: кандидат физико-математических наук Соколов А.Г.

Офицальный оппонент: доктор физико-математических наук, профессор Толстых А.И.

.кандидат физико-математических наук Плохотников К.Э.

Ведущая организация: Институт Математического Моделирования Российской Академии Наук

Защита диссертации состоится "/¿7 " иихМ^Я_ 1997 г. б

/¿?час.<?£>мин. на заседании диссертационного совета К. 063.91.03 в Московском ордена трудового красного знамени Физико-Технической Институте по адресу: 14)700 г.Долгопрудный, Московская обл., Институтский пер., д. 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского Физико-Технического Института.

Автореферат разослан 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук Самыловский А. И.

Oôutau хпраклерпс! ика работы.

Лк1У<Ш1.1(«С1 ь_jсмы Мсшл численного моделп|>оваш1Я в научном сслелованпн аановчюя псе более популярным благодаря бурному а линию вычисли le.nauin техники Характерные оеобепноеш современных 'МЗМ (бысфодеипвне, большая оперативная память) буелавливают cipnieniio р:праб01ки эффективных численных методов, в о юром основной aiaieiu едашпея на минимизацию времени работы лгоршма. отодвигая на второй план критерий экономии памяти омпыогера.

Исследование проа рапсивенпых течении вязкой несжимаемой щдкосш являемся одной m наиболее важных и сложных проблем киемашческой физики I (енользование пространственных моделей лае г озмоллюсть путем детальною численного анализа получить более полную лчесгвеиную и количественную картину научаемого явления но равнению с двумерным приближением. Пысокая стоимость или iCBoîMovKHocib проведения реальных экспериментов делают численное юделировапие пространственных течений иногда единственным способом юнимання происходящих явлений.

Основной целью работы является построение и исследование 1КОНОМНЧНОГО численною метода Л ¿'-параболической регуляризации (рименнтельно к течениям неоднородной вязкой несжимаемой жидкости, а люке детальный численный анатнз ряда двумерных и трехмерных задач идродина микп.

Баучная_наштлт В работе для расчета течений вязкой несжимаемой ¡«однородной жидкости в области произвольной формы предложен новый щеленный метод, использующий естественные переменные.

Дано математическое обоснование слабой устойчивости предлагаемой мзиостной схемы.

Проведен анализ существования обобщенного решения уравнений 1аш>с-Стокса применительно к течениям неоднородной вязкой гесжнмасмой жидкости с неоднородными граничными условиями.

Проведен детальный численный анализ ряда задач гидродинамики с ^пользованием предложенного алгоритма. Результаты расчетов показали зысокую эффективность численного метода и достоверность полученных тезультатов.

Практическая ценность. Предложенные численные ал i ори i мы Реализованы в пакете прикладных программ "КОМПЛСС", который молам >ыть использован для исследования широкого к-pyia задач вычиелшелыюи идродинамики. ППП "КОМПЛСС" имеет две версии' ,ыя решения тумериых задач и для расчета пространственных течении и.идкосиг.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинара • под руководством академика РАН О.М.Белоцерковского в Институте Автоматизации Проектирования РАН {1997 г.)

Публикации. По результатам исследований опубликовано пять печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит m введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем диссертации составляет 128 ртраннц, в том числе 35 рису икон. Список цитированной литературы включает 49 наименований.

Краткое содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность темы. Обсуждаются различные трудности и проблемы, возникающие при решении рассматриваемых задач, и пути их -преодоления. Проводится краткий обзор литератур, излагается содержание работы.

Первая глава посвящена анализу нерпой краевой задачи динамика вязкой неоднородной несжимаемой жидкости в ограниченной области Q с неподвижной кусочно-гладкой границей:

р—+pfuV>u-vAu + Vp=pf /(t.xMO/ïVxQ;

dt

dP + (uV)p=(); (i,x)e(QJ)xCl; . (1.1)

ôt

divu = 0;xeQ

Здесь U = ('U1>U2, U3J - вектор скорости , p - гидродинамическое давление, f - заданные внешние силы, V=COIlSt>0 - коэффициент динамической вязкости, р - плотность жидкости.

Пусть движение происходит в ограниченной области с

неподвижной границей 9Q класса С2. На границе dd выполняются следующие условия:

u I (1.2)

lôCÎ

р| +=р+: д&*{х:хедО,(и.п)<0};

В момент времени t = 0 заданы начальные условия:

"Ц = ио; Р1=0 = Р0;Х6П; (и)

!удем предполагать, что П(](%) и р0(х) удовлетворяют требованиям:

Пуи0=0;хбП

цп| =а;

0

)<ш<р°<М<оо,- хеО

{ля Ч и и р0 выполняются согласованные с уравнениями (1.1) граничные словия:

[ апёэ^О; (1.4)

п

1<ш<р+<М<оо; хедО+; 1е[0,Т];

Относительно граничных условий будем предполагать, что Я можно родолжить внутрь п в виде где I)

Обозначим последовательность дважды непрерывно

ифференцнруемых "срезающих" функций для 5в(0,8о] , равных 1 близи ЭП, 0 в точках О, удаленных от границы на расстояние большее , и таких, что:

'Гх,5Л<С, (1.5)

51 1 а^ 1 б

одной и той же постоянной С для всех 8 0,8^]. обозначим а(1,Х,8.,)=ГО^ Ь(^хДд ]

невидно,чтоа(Ч,х,5)\ =а(их); хеЗП

пределение:

азовем обобщенным решением задачи пару функций (и,р) такую, что (^Х.б^Л^.Х,) —а^.Х.б,) принадлежит пространству

,Х(0,Т;](П))ПЪ2(0ХЪ(Ш а р(хЛ)еЬ/(}), где

и выполняются интегральные тождества:

{-(ри,Ф( + (иУ)Ф)Ь2(П) + у(и,Ф)о1}(11 =

о ^

т т

} (р,ф1+(иУ)ф)! { р' (р И 11 с1.*5 (.И +

о о

+(90М0))Ч(аГ0 (1.6.2)

для любых Ф(1,х)еС(0,Т;0}{(а)),Ф(Т)=0

и<р(1,х)еО(ОЛ'Щ(П)), Ф<1>0; <р| , =0.

Для обобщенного решения задачи (1.1)-{1.4) ' доказана теорема существования:

Тсопема 1:

Пкгь {(еЦ/ОЛ-и/к;е!(С1); р0

0<т<р+<М«х>; ке50+; Iе[(),Т]; 0<т<ро<М<сэ; ке&;

для VI б/'О.Т]; II а [! . <С;|а,| <С 1 * II пч\(С1) II 1 к.2{П)

Тогда существует по ьраыген мере одно обобщенное решение задачи !.

Доказктельство теоремы состоит из трех этапов:

а) Построение приближенных решений.

б) Доказательства компактности приближенных решений.

в) Осуществление предельного перехода » интегральных тождествах

Во второй главе диссертации внимание уделено построению и анализу операгорно-разностиых схем - аналогов начально-краевой задачи (1.1)-(1.4), а также итерационным методам нахождения решения лих разностных схем.

В параграфе 1 главы 2 рассматривается семейство разностных схем для уравнений Навье-Стокса в прямоугольнике:

А

Ви. ; хе/ЯЗ/> (2.2)

Р Р

т<Ь\ р. и -0; х е/.)*

+!>(«,р) = 0 ; где Ь''(и,р) аппроксимирует

знвективиый член ( {IV ) р разностями против потока, 1°, р°,р° заданы так, что<Нуь и0 =0 ; хе/)Мс7)ь

|<т<р°<М<0; реР; р°еР\кегУ\

5 = р+: = {х:хед Д (и,п)<0} ;

В=В*>0; В. и->и,-А = А*>0 ; А:Р->Р;

ели оператор разностной схемы А ограничен, а В удовлетворяет ледуюшему условию; В~ М + о(X), го разностная схема аппроксимирует адачу 1.

Далее в диссертации приводится опреление слабой устойчивости азностной схемы. Впервые понятие слабой устойчивости разностной хемы параболической регуляризации было введено Соколовым А.Г., где азностная схема представляет собой самостоятельный математический бьект, вообще говоря, не связанный с уравнениями, которые она ппроксимирует.

Определение: Назовем разностную схему слабо устойчивой, если для нобого п выполнена оценка: <К , с постоянной К,

ихС^

1езависящей от п. Норма в пространстве ''хС?^ удовлетворяет условию :огласования норм.

Следует заметить, что если разностная схема не является слабо 'стойчивой, то решение может неограниченно возрастать и расчет по такой :хеме невозможен. Если разностная схема является слабо устойчивой, то )ешение является равномерно ограниченным на всех шагах по времени.

Для доказательства слабой устойчивости модельной разностной схемы шализируется вспомогательная 5-задача на сетке Ц.:

х. =0: к. =0;

1 I

Xj =5 : k. = l;

x^l-5 .•*kj = Nj — 1 ;

xUl; к -N.; \-\,2 } i i i '

С) IX - граница сетки Д,. Обозначим через сетку, которая состоит и середин ячеек сетки

Определим 5- схему следующим образом:

pBv,- VA"v+n(V4a,v+a)--Vy)' L'^(p)+vq=pf+VA"a (2,6)

в D„ \ 3 D„, где L'1 (р) аппроксимирует Vp разностями против потока. 0 0"

*

TAq,<-div"v=0 в £>g

pt + Lh(v-ta,p)=0 в D5\dDd.

_ О L Л Л А

где v eV, q eQ\ker¥ , р ,q ,v заданы.

Будем считать^ что при f(i,j) при i=0,i=N| —1, j=0, j=N2~1. — ф^

Операторы В и А такие, что

B=B*>Q,veV , A=A*^0,qeQiAt?rVh.

Се точный оператор |JfV + a, V + а; задается на t<3/^.следующим образом:

Hfv+a,v+a) - rot'1 vxu H/v + a.v+a ) =.0

на 0<i<2, N1-2<i<N1,0<j<2, N2-2<j<N2,

Этот оператор аппроксимирует конвективный член TOt U X U с первым порядком точности по h по соседним точкам сетки.

Заметим, что + Sl),V )~0 для где a(i, ^-заданная в 5-

схеме функция, алгоритм построения которой подробно описан в параграфе 2.2.

Для S-схемы имеет место следующая теорема. Теорема:

Пусть операторы в О-схеме удовлетворяют следующим условиям:

В=В* >0,v еФ ;

в

С.Е<В<~С Дн, IIу|| ЗС.Ы 1 2 II Иц * II Ив

Все константы не зависят от 5.

Гогда для любых р^^^.У^, \'>0, Ш<р<М существует такое Т^ > О,

1го для любого п справедлива оценка решения О-счемы:

2

+ т Ьп

В II

<м

А

Причем параметры ТА и М не зависят от о. и

На основе полученных результатов для 5-схем доказывается теорема о лабон устойчивости модельной разностной схемы.

еорема :

1усть операторы в модельной схеме удовлетворяют следующим условиям:

В = В*>0,и еи ;

ЦЕ < В < - С2 , || и Ц^ ^ С31 и |в

А = А*>0,С4А<ШуЧА|1/1 V1'В Р

огда для любых р°,и°,Г,а,0,,Ь2,р°, ГП <р< М существует акое Т0>0, что для любого Т<Т0(р0,и0,Г,а,У,Ь1,Ь2,р0) имеет есто равномерная по П оценка :

Заметим, что эта теорема гарантирует возможность осуществления зсчетов по представленной разностной схеме для неоднородных заничных условий и любых чисел 1'ейнольдса. В данной работе «суждения проводились для уравнений, записанных в форме Грамеки-емба, для упрощения выкладок, но аналогичные результаты можно эл учить и для уравнений, записанных в обычном виде.

Сложная геометрия реальных физических задач и требование простоты шсания расчетной области приводят нас к необходимости использования жволинейной системы координат, согласованной с геометрией задачи. В фаграфе 2.5 и 2.6 подробно описывается метод вычисления разностных 1алогов дифференциальных операторов, матрицы Якоби и якобиана в мволинейных неортогональных координатах.

В параграфе 2.7 рассматриваются разностные схемы параболической регуляризации для уравнений Навье-Стокса в криволинейных неортогональных координатах:

Л

Р Р . тРА р(+<Лу1,и = 0; хе£)* р,+'Ьь(и,р)=0 ; хеОПЭР11

и0, р°,р° Заданы так, что ¿¡У*1 и0 =0 ; X еО^дД1'

0<ш<р°<М<0; реР;

и" I ь=а";р| н+=р+; Ьо11 и

В=В*>0; В. и—>11;

А = А*>0 ; А:Р-»Р;

В зависимости от выбора операторов А и В можно получть различные типы разностных схем.

XV

Например, если выбрать

В=Е + —Аь; (3=0; то система уравнении Р "

примет следующий вид:

л.

Р Р (!гуьи = 0; хе£>*

р1 + Ь11(и,р)=0 ;хеВь\5Вь

В литературе такие схемы носят название - схема расщипления.

Но основной идеей метода параболической регуляризации является то, что выбор операторов А и В позволяет построить экономичную разностную схему, при котором условие Т~Ь2 (необходимое для явных

разностных схем) существенно ослабляется: 2 2

В = Е + - И. И, + — V11 А-1 сИУ11 ; Р2 1 2 РР

Х^Н + шА[)(\:, -Но Л,; ; -Л1' = Г*, + II,К, = II", К, > 0, К, > 0;

С с

и - треугольные II 14. ¡¡<^,(1 К, |< II II ^ ¡1 - II ¡,

- (Ну11 цгас!11 = Л, н- А2; Л, = Л* > О/А =?А* > 0;

п и С к п С

и Л? - треугольные А( р ■ . А, р -

арамезр О), как показала практика расчетов различных задач, нтнмальным образом определяется только по 'характеристикам рострпнст.ченнон сетки. При таком выборе операторов на X вкладывается повое ограничение, связанное не с устойчивостью 13НОСТИОЙ схемы, а с аппроксимацией: В~Ь. Ограничение на Т в этом

3

1учае имеет следующий сил: Т2У211^2 " 0(1)) <5=> Т<С112

ыбрач таким образом операторы Л н В, реализация расчете» по схеме

!дет иметь следующий вид:

Л Л А

"""р" ""ор"го р=р- |ГЙН'"а "

щетаяим в первое векторное уравнение, тоучим:

3-П>_ т УЛ^сНУ1',»» =

Р Рр

Д"«- {.....................= Р,-

Р Р (¡Р

г Р-вцчпсляюгся по значениям 0,р,р па нижнем временном слое, »дставим В в это уравнение:

)(Е + -У112)и =Р,

Р Р

пользуя попеременно треугольный метод найдем 11 :

Л А

ем можно определить р и р .

л

А-М^и

Р.

р=р-тЬь(и,р)

В результате получены все значения функций на пН слое по времени. Следует отметить, что число арифметических операций, затраченных на один шаг по времени, пропорционально числу узлов расчетной сетки. Этот фает позволяет сделать вывод о том, что метода А ¿Г -параболической регуляризации является экономичным численным методом решения уравнений Навье-Стокса.

В третьей главе представлены результаты расчетов, проведенных с помощью ППП "КОМПАСС", который был разработан на основе метода параболической регуляризации уравнений Навье-Стокса. В качестве тестовых задач были выбраны наиболее популярные задачи гидродинамики, для которых имеется большое количество данных натурных экспериментов и численных расчетов, проведенных другими авторами.

Двумерный пакет прикладных программ был. оттестирован на следующих задачах:

- обтекание цилиндра

- обтекание цилиндра, расположенного над экраном

- течение в каверне с движущейся стенкой

Сравнивались угол отрыва, длина застойной зоны, сопротивление и другие гидродинамические характеристики.

Трехмерный пакет тестировался на следующих задачах:

- течение в каверне с движущейся стенкой

- обтекание сферы

- обтекание кубика

Исследования проводились п широком диапазоне чисел Рейнольдса (1<Яе<5 Ш!') на сетках различной размерности. Сравнение результатов показало хорошее соответствие численного решения с экспериментальными данными н результатами других авторов.

В заключении третьей главы обсуждаются результаты расчета внешнего эбтекания автомобиля, цель которого состояла п том, чтобы получить годную картину поведения потока, пульсации скоростей и давления, :пектр пульсаций, определить коэффициент аэродинамического опротнвления, а также сравнить данные двух и трехмерных расчетов, 'езультаты трехмерных расчетов показали хорошее соответствие между асчетными и экспериментальными данными.

и

Основные рсчудьппы диссертации

1 Дано определенно обобщенною решения уравнении I 1;тьс-С юкса динамики неоднородной няндан несжимаемой жидкое m -Дока ¡;m:i icopcNia о сушесшовапнн обобщенною решения краевой ¡адачи с с\ шее í пенно неоднородными граничными условиями нерпою рода

2. Пре;ишжена разностная схема Аг. - параболической репдяризашш уравнений Напье-Сюкса

3. Проведено исследование разностной схемы и доказано существование слабо усгойчпвыч разностных схем для случая существенно ненулевых граничных условий.

4. Представлен алгоритм расчетов по методу Ас-параболической регуляризации на криволинейных неортогональных сетках, как в двумерной, так и в трехмерной постановках.

5. Метод Ас-параболической регуляризации уравнения неразрывности был реализован и пакете прикладных программ "КОМПАСС", в создании п отладке которого участвовала научная ipyrma под руководством Соколова AT. н Писковското В.О;

6. Представлены результаты тестовых расчетов, полученные с помощью ППП "Компасе", которые показали хорошее соответствие данных численных расчетов и натурных экспериментов. Тесты показали, что меюд Аг.-параболической регуляризации является эффективным и позволяет получать достоверные результаты, которые можно использовать как при планировании физического эксперимента, так н при "решении технологически* задач.

7 Проведено численное решение модельной задачи обтекания автомобиля нотисом кяík'oíí несжимаемой жидкости.

Основные результаты диссертации опубликозаны в следующих работах.

1. Васильченко Н.В., Соколов А.Г. О существовании решения разностной схемы для стационарной задачи зязкой несжимаемой жидкости с ненулевыми граничными условиями. ИАП РАН Препринт Х° 7 - М. 1997.

2. Васильченко Н.В. О существовании обобщенного решения уравнений Навье-Стокса неоднородной вязкой несжимаемой жидкости. ИАП РАН Препринт № 8 - М. 1997.

3. Васильченко Н.В., Соколов А.Г. Разностные схемы Ае-параболической регуляризации для уравнений Навье-Стохса динамики вязкой неоднородной несжимаемой жидкости. ИАП РАН Препринт № 9 - М. 1997.

4. Kulpina I.E., Perminov S.M., Piskovsky V.Q., Sokolov A.G., Vassiltchenko N.V., Unsteady Row around Automobile Configurations.// Modelling and Scientific Computing, v. I, №1,1993, USA.

5. Kulpina I.E., Perminov S.M., Piskovsky V.O., Vassiltchenko N.V., Effective cnethod to solve Navier-Stokes Equations and its applications. H Russian Journal of Computational Mechanics, (в печати).

МФТИ гдклз 1/б9 тираж SO ж*,.