Динамика газовых пузырьков переменной массы в жидкости под действием акустического поля тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

БУТЮГИНА Екатерина Валерьевна

ДИНАМИКА ГАЗОВЫХ ПУЗЫРЬКОВ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ В ЖИДКОСТИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ АКУСТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Специальность 01.02.05 - Механика жидкости газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 О ИДЯ 2015

005569129

Уфа-2015

005569129

Работа выполнена в Центре «Микро- и наномасштабной динамики дисперсных систем» ФГБОУ ВПО «Башкирский государственный университет» и в ФГБУН Институт механики им. P.P. Мавлютова Уфимского научного центра

Официальные оппоненты:

Аганин Александр Алексеевич, доктор физико-математических наук, профессор, Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН, заведующий лабораторией вычислительной динамики сплошной среды

Хисматуллин Азат Салаватович, кандидат физико-математических наук, филиал ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный нефтяной технической университет», г. Салават, доцент кафедры «Электрооборудование и автоматика промышленных предприятий»

Ведущая Тюменский филиал Института теоретической и прикладной

организация: механики им. С.А. Христиановича Сибирского отделения

Защита состоится «11» июня 2015 г. в 1400 часов

на заседании диссертационного совета Д 212.013.09 при Башкирском государственном университете по адресу: г.Уфа, ул. Заки Валиди, 32, физико-матема-тнческий корпус, ауд. 216.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Башкирского государственного университета www.bashedu.ru.

Автореферат разослан « 3° » о-ьр-СуСр 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

РАН.

Научный доктор физико-математических наук, профессор

руководитель: Ахатов Искандер Шаукатович

Научный кандидат физико-математических наук, доцент

консультант: Насибуллаева Эльвира Шамилевна

РАН

д.т.н., профессор

Ковалева Л. А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Одеим из наиболее интересных эффектов, вызванных воздействием звуковой волны на жидкость, является акустическая кавитация — образование в жидкости полостей (кавитационных пузырьков). Звуковые волны в жидкости вызывают также рост, коллапс или движение таких пузырьков. Научный и практический интерес представляет изучение связанных с акустической кавитацией физических явлений, таких как: сонолюминисценция, самоорганизация, химические реакции внутри пузырька и в жидкости, самодвижение пузырька, кавитационная эрозия и многие другие. Эти явления наблюдаются в физике, химии и биологии, и находят широкое практическое применение в различных областях промышленности, например, для разрушения и диспергирования твердых тел, эмульгирования и дегазации жидкостей, очистки поверхностей, а также в различных медицинских целях.

Интерес к изучению направленной диффузии появился из экспериментов по акустической кавитации, где наблюдался рост маленьких газовых пузырьков со временем при наличии акустического поля, что объяснялось массопере-носом растворенного газа между жидкостью и пузырьком. В литературе при исследовании диффузионной задачи полная система уравнений в частных производных не решалась, поскольку разрабатывались асимптотические или ап-проксимационные модели. В этих работах влияние изменения массы пузырька в масштабе одного периода колебаний не принималось в расчет. Это связано с тем, что такие расчеты требуется проводить с высокой степенью точности, поскольку изменение массы пузырька за один период колебания, как правило, очень мало и сопоставимо с погрешностью счета. Все это значительно влияет на увеличение затрат времени вычислений и затрудняет однозначное определение их корректности.

Таким образом, задача исследования сильно нелинейной динамики пузырька в акустическом поле с учетом процесса направленной диффузии газа, растворенного в жидкости, на основе адекватно построенной математической модели с помощью разработанных вычислительных методик, которые позволяют проводить расчеты высокой точности, является актуальной задачей механики жидкости и газа.

Целью данной работы является выявление закономерностей нелинейной динамики одиночного микропузырька и микропузырька в кластере под действием акустического поля в неограниченной области с учетом воздействия направленной диффузии.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

• разработка математической модели, описывающей нелинейные колебания одиночного газового микропузырька под действием акустического поля с учетом изменения массы газа в функции давления газа в пузырьке; обобщение математической модели, описывающей нелинейные колебания газового микропузырька для случая пузырькового монодисперсного кластера;

• разработка консервативной разностной схемы при вычислении диффузионного потока через стенку пузырька для получения физически корректного решения полной диффузионной задачи в частных производных;

• создание приближенных методик (почти периодическое приближение, многомасштабный подход) для ускорения расчетов в задаче о влиянии направленной диффузии на динамику микропузырька на многих периодах акустического поля;

• проверка корректности применения разработанных численных методов путем сравнения результатов их реализации для различных случаев с известными аналитическими, численными и экспериментальными исследованиями;

• исследование диффузионного пограничного слоя растворенного газа вокруг пузырька в жидкости;

• исследование влияния направленной диффузии на динамику одиночного пузырька в воде под действием акустического поля;

• исследование влияния направленной диффузии на динамику пузырькового кластера в воде и в технических жидкостях под действием акустического поля.

Научная новизна работы.

• Впервые реализован алгоритм, позволяющий учитывать и исследовать влияние мгновенного изменения массы газа в сферическом пузырьке, колеблющемся в акустическом поле, на его динамику при решении полной нелинейной диффузионной задачи в частных производных;

• для вычислений на большом количестве периодов акустического поля разработан новый вид приближенного решения задачи, основанный на предположении квазипериодичности колебаний профиля концентрации растворенного в жидкости газа;

• разработана и протестирована техника многих масштабов для моделирования влияния направленной диффузии газа на сферический пузырек, совмещающая аналитический и численный подходы;

• реализована диффузионная задача для пузырькового кластера в воде и технических жидкостях в рамках применимости модели для кластера, проведено параметрическое исследование задачи в широком диапазоне параметров системы.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для детального изучения явления устойчивой акустической кавитации и связанных с ним процессов, таких как самоорганизация пузырьков, кавитационная эрозия, дегазация жидкостей, где важным является учет диффузии газа между жидкостью и пузырьком. Предложенные математические постановки и численные подходы могут быть основой для дальнейшего развития модельных представлений одиночного микропузырька и пузырькового кластера.

Положения, выносимые на защиту:

• математическая модель диффузионной задачи для одиночного газового сферического пузырька и пузырька в кластере в безграничной слабосжи-маемой жидкости, колеблющегося под действием акустического поля, которая позволяет корректно учитывать мгновенное изменение массы газа внутри пузырька;

• численный метод решения диффузионной задачи на основе консервативной разностной схемы;

• приближенные методики для решения диффузионной задачи: приближение с периодическим условием для профиля концентрации газа в пузырьке и комбинированный многомасштабный подход на основе метода многих масштабов и сращиваемых асимптотических разложений;

• анализ нелинейной динамики одиночных пузырьков и пузырьков в кластере с изменяющейся массой газа под действием акустического поля.

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, обеспечивается корректностью математических постановок задач, основанных на применении фундаментальных законов сохранения механики сплошных сред. Проведение тестовых расчетов показало хорошее соответствие существующим в литературе экспериментальным, аналитическим и численным исследованиям.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих научных семинарах, а также Международных и Всероссийских конференциях: Семинаре Института механики УНЦ РАН под руководством д.ф.-м.н., проф. Урманчеева С.Ф (Уфа, 2015); Семинарах Центра Микро- и на-номасштабной динамики дисперсных систем БашГУ под руководством д.ф.-м.н. Гумерова H.A. и д.ф.-м.н., проф. Ахатова И.Ш. и академика РАН Нигмату-лина Р.И. (Уфа, 2011-2015); Международной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа, 2011, 2012); Международной научной конференции «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2012)» (Новосибирск, 2012); Российской конференции с международным участием «Многофазные системы: теория и приложения», посвящённой 20-летию со дня основания Института Механики УНЦ РАН, (Уфа, 2012); Международном конгрессе ASME International Mechanical Engineering Congress & Exposition IMECE2012, (Houston, USA, 2012); Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (Абрау-Дюрсо, 2012); Всероссийской молодежной научно-практической конференции «Актуальные вопросы науки и образования» (Уфа, 2013); Конкурсе молодых ученых в Институте механики им. Р. Р. Мавлютова УНЦ РАН (г. Уфа, 2013); Международном семинаре Summer workshop "Dynamics of dispersed systems: experimental and numerical research on nano-, micro-, meso- and macroscales" (Ufa, 2014).

Публикации. Материалы диссертации изложены в 16 научных работах, из них 3 статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ, и 1 статья в издании, относящемся к системе цитирования Scopus (приравненной к ВАК). Получено 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 130 страниц с 44 рисунками и 4 таблицами. Библиография включает 155 наименований на 14 страницах.

Исследования были поддержаны грантами Министерства образования и науки РФ (договор 11.G34.31.0040, исполнитель) и РФФИ (№14-01-31369-мол_а, руководитель; №№ 11-08-00823- а, 11-01-97007-р_поволжье_а и 14-01-97019-р_-

поволжье_а, исполнитель), а также грантом У.М.Н.И.К.

Автор благодарит своего научного руководителя д.ф.-м.н., проф. Ахато-ва И.Ш. за постановку задач и предложенное направление исследований; научного консультанта к.ф.-м.н. Насибуллаеву Э.Ш. за постоянное внимание к работе, помощь при подготовке материалов диссертации и ценные замечания; коллектив Центра "Микро- и наномасштабная динамика дисперсных систем" при БашГУ и лично директора Центра д.ф.-м.н. Гумерова H.A. за оказанную поддержку во время работы над материалами диссертации, идеи по реализации программных модулей и продуктивные дискуссии. Автор выражает глубокую признательность д.ф.-м.н., проф. Урманчееву С.Ф., а также к.ф.-м.н. Бутю-гину Д. С. за оказанную поддержку при подготовке диссертационной работы.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна полученных результатов, показана практическая значимость исследований, представлены выносимые на защиту научные положения, изложена структура диссертации.

В первой главе приводится обзор теоретических, экспериментальных и численных работ, посвященных исследованию нелинейной динамики микропузырьков и пузырьковых кластеров в акустическом поле, а также направленной диффузии газа между пузырьком и окружающей его жидкостью (Аганин A.A., Ахатов И.Ш., Гумеров H.A., Насибуллаева Э.Ш., Нигматулин Р.И., Флинн Г., Arora М., Barber В. Р., Blake F. G., Brennen С. E., Crum L. A., Eller A., imillas M. M., Gaitan D. F., Herring C., Hsieh D. Y., Keller J. В., Lauterborn W., Lofstedt R., Miksis M., Ohl C.-D., Plesset M. S., Prosperetti A., Safar M. H. и др.). Приведена основная хронология результатов, развивающих представления о динамике газовых пузырьков до 2014 года. Представлены сведения о математических моделях и существующих методах решения задач о динамике как одиночных пузырьков, так и пузырьковых скоплений. Проведен анализ зарубежной и отечественной литературы, который показал новизну и актуальность исследований, представленных в диссертационной работе.

Во второй главе рассматривается математическая постановка диффузионной задачи для сферически-симметричного одиночного газового пузырька, совершающего радиальные колебания в безграничной малосжимаемой вязкой

жидкости под действием внешнего периодического звукового давления, и проводится численное исследование задачи на основе предложенного метода.

В предлагаемой модели (пункт 2.1) присутствуют допущения: теплообмен в жидкости отсутствует; изменение размеров пузырька за период колебания происходит только за счет диффузии; размер пузырька Л мал по сравнению с длиной акустической волны (сиЛ <С с/, где и/ — частота акустического поля и С1 — скорость звука в жидкости).

Движение стенки пузырька может быть описано уравнением Келлера-Мик-сиса, учитывающим потери на акустическое излучение в жидкость:

в котором

у С( у 2 у 3 сг у ^ а) Р\ С1р1 м

{ 2а\ тд /Л\~37 4рЁ 2а

(1)

(2)

где р0(£) = Ро — Ра з\п(ш{) — давление в жидкости вдали от пузырька; р1 — плотность жидкости; ро — атмосферное давление; а — коэффициент поверхностного натяжения; ц — динамическая вязкость жидкости; Ра — амплитуда переменного давления; £ — время; тпд = тд(Ь) — масса газа внутри пузырька; 7 — показатель адиабаты. Нижний индекс «О» означает переменные в начальный момент времени; точка над переменной — дифференцирование по времени. Уравнение (1) можно решить при начальных условиях Д(0) = До, /?(0) = 0.

Скорость изменения массы газа в пузырьке найдем как произведение площади его поверхности на диффузионный поток через стенку j¡я'■

дс

7пд = -4пЯ2^я, яд = -

ОГ г=Я

Здесь — коэффициент диффузии газа в жидкости; с — массовая концентрация газа, растворенного в жидкости; г — радиальная координата.

Краевое условие на бесконечности имеет вид с |г=00 = с,», а на границе пузырька удовлетворяет закону Генри:

где ^^(ро + я^д, тд0-Здесь со — концентрация насыщения жидкости газом при давлении Ро-

ал (вл31

Для устранения вычислительных проблем, связанных с движением стенки пузырька, вводится безразмерная переменная Лагранжа ( = (г3 — Л3)/ЗЯо-Уравнение диффузии записывается в виде

- ((\ + — dt Ре ас Н а3/ К

С-о = (1 + (3)

где

R - ^ _ ТПд С - Соо „ ШЙо i 47ri^PiCo

а = —, i = wt, тпд = —2-, и =-; Ре = ——, 6 = —---.

Ro шг0 со Di бгпдо

При этом скорость изменения массы может быть найдена как:

(4)

dmg _ 4_Ь_ ди di а Ре 5С

с=о

В данной работе при вычислении диффузионного потока и решении уравнений (1)-(4) впервые использовалась консервативная схема (пункт 2.2), в результате применения которой сохраняется общая масса физической системы вследствие выполнения закона сохранения на дискретном уровне, что дает большое преимущество перед остальными схемами.

После переписывания первого уравнения в (3) в дивергентной форме и применения теоремы Грина, получим:

4 ✓ ,«4/3 ^^

= о, + -щ. (5)

г

После применения интегро-интерполяционного метода совместно с методом трапеций, безразмерное уравнение (3) для концентрации газа на каждом шаге по времени запишется следующим образом:

... ц1+и+1 ~

~ «з+1 - С;- ц 0+1-0

(О^-О-ОРе^^1 0+1-0

Здесь ^ — значение безразмерной концентрации газа на г-м шаге по времени и ,?'-м шаге по пространству {з = 1,..., М -1), значения и определяются из краевых условий задачи, а коэффициенты «¿л-1/2 = (а3(?0 + 3(0 + 0+0/2) . В результате приходим к схеме Кранка-Николсон.

Для вычисления изменения массы уравнение (5) проинтегрируем по контуру вблизи точки ] = 0. Получаем:

^Ыи+д ~ тп(й)) = -^з^2 №+х,Со) - и(й, Со)) +

+ 2(^1 — Со)Ре + ~~ и1+1,о)«г+1,1/2) •

Таким образом, установлено выражение для вычисления значения массы газа в пузырьке на каждом шаге итерационного процесса по времени при выполнении дискретного закона сохранения общей массы системы. Следует отметить, что стандартная конечно-разностная аппроксимация уравнения (4) дает выражение для определения массы, однако оно не содержит слагаемого

--2—(м№+1>Со) — и(й, Со)), и найденная по нему общая масса системы отличается от исходной, то есть не сохраняется, что подтверждено при сравнении результатов расчетов, полученных с помощью такой неконсервативной схемы и с помощью схемы, описанной выше.

Численное решение уравнения Келлера Миксиса (1) для одиночного пузырька реализовано с помощью метода Дормана-Принса с адаптивным шагом по времени. Проведена оценка сходимости схемы, обнаружено, что погрешность составляет О (И,2), где И — шаг по пространству. Однозначно определить зависимость погрешности от адаптивного временного шага сложнее, тем не менее, наблюдается повышение точности с его уменьшением.

Расчеты проводились для пузырька воздуха в воде при: 7 = 1.4, а = 0.0725 Н/м, ро = 105 Па, с, = 1500 м/с, и = 2тг • 20 кГц, Д = 2 • 10"» м2/с и со = 2.5 • 10"5, с«, = соо/со = 2 ■ 10~4, рА = 1.5 • 105 Па. Использовалась неравномерная сетка, сгущающаяся к стенке пузырька.

Результат исследований показывает, что пузырек микронного размера никогда не сможет совершить переход к стабильно осциллирующему состоянию. В случае насыщенной и ненасыщенной жидкости он будет схлопываться. И наоборот, в пересыщенной газом жидкости (рис. 1) такой пузырек будет неограниченно расти со временем, пока не разрушится из-за неустойчивости поверхности.

Когда начальный радиус пузырька порядка 1 мкм, и уравнение для давления газа в пузырьке не зависит от текущей массы газа, амплитуда колебаний пузырька очень мала и средний за период радиус не растет. Но если в уравнении для давления газа учитывать изменение массы, то можно наблюдать, как радиус пузырька будет расти вследствие направленной диффузии. По дости-

т

т

Рис. 1. Изменение нормированного радиуса пузырька Я/Я) в различные периоды акустического поля: Г е [10,20] (а) и Г € [0,100] (б) при сх = 10 • Со и Я, = 1 мкм

жении радиусом значения примерно 1.2 мкм, амплитуда резко увеличивается, поскольку внешнее давление может преодолеть давление поверхностного натяжения Лапласа. Этот эффект называется «Гигантский отклик». Как только это происходит, скорость направленной диффузии сильно увеличивается (рис. 1), при этом почти линейные колебания сменяются нелинейными на переходном периоде (Т = 15).

Далее исследовался диффузионный пограничный слой вокруг пузырька, проведен вычислительный эксперимент и найдено распределение концентрации газа в пространстве. На рис. 2 показано изменение размера пузырька Д/До (сверху) и диффузионного погранслоя вокруг него вы (снизу) в безразмерных эйлеровых координатах г /До, в зависимости от времени в течение одного периода акустического поля Т. В качестве точки отсчета берется подвижная стенка пузырька. Как видно, с ростом начального радиуса пузырька До размер диффузионного погранслоя вы вокруг него имеет тенденцию к уменьшению.

В третьей главе исследуется влияние направленной диффузии на динамику газового пузырька на многих периодах акустического поля, для чего разработаны приближенные методики: приближение с периодическим условием для профиля концентрации газа в пузырьке и комбинированный многомасштабный подход на основе метода многих масштабов и сращиваемых асимптотических разложений.

а)

б)

в)

Рис. 2. Изменение нормированного радиуса пузырька Я/Но (сверху) и размера погранслоя вы (снизу) в течение одного периода акустического поля Т для пузырьков с Яо = 1 мкм (а), Яо = 10 мкм (б) и До = 100 мкм (в) при с^ = 2 • 10~4со

В случае, когда время изменения средней за период массы пузырька много больше времени установления диффузии Те. = Я2/Д, можно считать, что пузырек испытывает почти периодические колебания. Это позволяет поставить для профиля концентрации газа условие: и(Ь + Т, () = (). и вычислить среднюю за период скорость изменения массы газа в пузырьке

которая будет постоянна в течение некоторого промежутка времени.

Предполагается также отсутствие влияния мгновенного потока массы на динамику пузырька. Уравнение (1) решается для заданного значения тпд отдельно от уравнений диффузии, полагая тпд = 0, до тех пор, пока не найдется период с установившимися периодическими колебаниями.

Пусть г^ — вектор концентрации газа иа г -м шаге по времени в найденном периоде. Можно записать систему линейных алгебраических уравнений для всех и;:

т+ь

U N fN

Щ h

"3 — f3

Ujv-l fN-l

Адг Вдг

В2 А2 В3 А3

где трехдиагональные матрицы А;, В, и векторы ^ задают матричное представление уравнения (6) в виде A¿Uj = £ —

Рассмотренная система решается при помощи блочного метода исключения Гаусса, С учетом трехдиагональности матриц A¿ и B¡ время работы алгоритма составляет 0(М3 + М2Ы); здесь М к N - число шагов по пространству и времени.

В итоге мы имеем функцию (тд)и формально зависящую только от тд, которую можно численно интегрировать методами типа Рунге-Кутты.

,х10"5

Данный метод позволяет исследовать динамику пузырька (без ограничений на число Пекле) под влиянием направленной диффузии в течение нескольких миллионов периодов, что невозможно при прямом решении диффузионной задачи в частных производных, а также позволяет значительно сократить затраты машинного времени. Например, производившийся расчет нелинейной динамики пу- Рис. 3. Радиус пузырька R со временем для зырька в течение Т = 104 периодов Ра = 0.195 ч- 0.305 атм в насыщенной газом при решении полной диффузионной жидкости; результаты расчетов по периодиче-задачи занял около 60 часов одного скому прибЛижению (- - -); результаты расче-ядра системы Intel Core i7-4770 3.40 tqb пз (CruIIli 1980) (—экспериментальные

GHz, 16GB RAM, а при решении по- .„ Q„m , ,

' значения из (Oram, laoUJ о, •)

чти периодического приближения —

не более 40 минут. При этом максимальная относительная погрешность массы, полученной по двум представленным схемам, не превышает <5 = 2- Ю-3.

В рамках верификации было проведено сравнение результатов расчета с экспериментальными данными (Crum, 1980). При этом использовались те же значения параметров, что и при проведении экспериментов. На рис. 3 приведе-

ны результаты расчетов по описанному методу и экспериментальные данные, где, как видно, получено хорошее соответствие.

Многомасштабное приближение основано на разделении быстрого и медленного диффузионного времени, а также пространственной разномасштабно-сти, которая рассматривается с помощью метода сращиваемых асимптотических разложений (Иау£еЬ, 1993).

Пусть быстрое время связанное с частотой колебания пузырька, равно tf = £. Средний за период радиус пузырька изменяется в медленной временной шкале t3 = £■?, где е <С 1. Возникновение тонкого пограничного слоя у стенки пузырька С ~ \/£ (РугШ&ч, 1994) позволяет также ввести две шкалы и для пространственной переменной: (,'„ = £ = = е'1/2^. Уравнение диффузии (3) во внешней пространственной области после исключения секулярных членов может быть записано в виде

дЦ0 ди

д_ ее

= «.),

где используется разложение и по е: и = Щ + е1!у + ....

Анализ разложения и во внутренней области совместно с условиями сращивания позволяет определить вид функции {/оо(^) = ^а4 /{a:i)t> а и и|4=0 — известные функции.

7 б

I 5

ос

4

3

/ 3 / 2.9 И 0 25 0.5

400

а)

Рис. 4. Изменение радиуса Я и достижение равновесия со временем для пузырьков с различными начальными радиусами: До = 7 мкм (---), Л0 = 6 мкм (-), До = 3 мкм (• • •)

ПРИ Ра = 1-5 атм (а) и средняя за период концентрация газа у стенки пузырька (иц)г в зависимости от Яо (б)

Рассматривая массу газа как функцию от быстрого и медленного времен

и применяя осреднение, получим формулу для нахождения значения массы в медленном временном масштабе:

д (т.

'ЯП

3Ь (а4), Уо, Л) =

эи0

дС,

С=о

Рис. 4а демонстрирует достижение равновесия пузырьком со временем при До = 7 мкм, До = 6 мкм, До = 3 мкм при амплитуде акустического воздействия рА = 1.5 атм. Средняя за период масса газа в пузырьке изменяется за счет направленной диффузии, пока не достигнет определенного равновесного значения ко времени Ь = 600 с. Тогда равновесный радиус равен в!щ = 5.875 мкм, что находится в хорошем соответствии с работой (Ахатов, 1997) (рис. 46). Однако, отличием представленного приближения является возможность наблюдать выход на равновесие в динамике.

В четвертой главе исследуется диффузионная устойчивость пузырькового кластера. К модели, представленной в работе (Насибуллаева, 2013) добавляется следующее допущение: 1В «С I, где 10 = \[Щ] ~ характерное расстояние проникновения диффузии; / - частота акустического поля; I ~ аоу47г/(За) среднее расстояние между пузырьками; а = АТа3/Щ — концентрация пузырьков в кластере.

Каждый пузырек помещается в центр сферической ячейки радиуса ть = а/а1!3, где а радиус пузырька в кластере. Условие выше означает, что диффузионный процесс в одном пузырьке не влияет на диффузионный процесс в соседнем пузырьке. Следовательно, диффузионную задачу достаточно рассматривать только ОТ стенки пузырька (г = а) ДО грани- Рис. 5. Изменение нормированной массы пу-ЦЫ окружающей его ячейки (г = п). зырька в кластере тпд/т3о со временем при

Моделирование проводились для ^дующих параметрах: а0 = 5 мкм, с«, = пузырькового кластера с начальным 2.10_4 (—} ийо = 2 мкм, = 7 ■ 1СГ2 (• • •) радиусом Дсо = Ю-3 м, содержащего

N = 104 пузырьков. На рис. 5 сплошной линией показано изменение от времени массы пузырька с начальным радиусом а0 = 5 мкм и концентрацией вдали от кластера сж = соо/со = 2 • 10~4, а пунктирной линией - с о0 = 2 мкм и сж = 7- Ю-2.

0.995

0.99

Цс йр, * 105 Па

а) б)

Рис. 6. Достижение равновесия пузырьками с различными начальными радиусами: ао = 8 мкм (1), ао = 6 мкм (2) и а0 = 4 мкм (3) при Соо = 0.07 • со и Ра = 1.5 атм в топливе марки

ТС-1 (---) и в воде (-) (а); зависимость равновесного радиуса Я,, пузырька в кластере

от амплитуды давления Ра в воде (-) и в топливе марки РТ (- - -) при с^ = 10~4 • со (б)

Сравнение динамики пузырька в монодисперсном кластере в воде и керосине, где плотность р; и динамическая вязкость жидкости ц сильно зависят от температуры, показало, что, во-первых, равновесный радиус в воде Дед,то = 4.5 мкм ниже, чем в топливе Яеч,ш — 6.9 мкм (на рис. 6а эти значения представлены крупными точками). Во-вторых, пузырек в топливе быстрее придет к равновесному значению, чем в воде. Поскольку равновесные радиусы отличаются, то они задают диапазон начальных радиусов, в котором пузырек в топливе растет, а в воде - схлопывается. На рис. 6а продемонстрирован случай пузырька с начальным радиусом = 6 мкм. В-третьих, оценка скорости всплытия показала, что к моменту достижения своего равновесного радиуса пузырек в топливе всплывет на меньшее расстояние, чем пузырек в воде. В-четвертых, зависимость равновесного радиуса пузырька в кластере Яед в воде и в топливе РТ от амплитуды внешнего давления является немонотонной (рис.66). При данных параметрах равновесное значение в топливе Яеч,к несколько выше, чем в воде Я^^. Однако, даже при больших значениях амплитуды равновесный радиус пузырька в топливе остается небольшим, чтобы пузырек мог разрушиться из-за неустойчивости поверхности. Таким образом, пузырек в кластере также диффузионно устойчив в топливе, как и в воде при высоких амплитудах управляющего давления.

В Заключении приведены основные результаты работы и выводы:

1. Уточнена математическая модель, описывающая нелинейные колебания одиночного газового микропуэырька в безграничной слабосжимаемой жидкости под действием акустического поля, за счет учета изменения массы газа в функции давления газа в пузырьке.

2. Разработан численный метод для совместного решения задачи о динамике пузырька и задачи диффузии газа с применением консервативной разностной схемы для вычисления диффузионного потока.

3. Для определения равновесных параметров пузырька в процессе установления, происходящего в течение большого количества периодов колебаний, разработаны методики, основанные на:

- условии периодичности для профиля концентрации газа во времени;

- применении комбинированного многомасштабного подхода на базе метода многих масштабов и сращиваемых асимптотических разложений.

4. Установлено, что возникновение эффекта «гигантский отклик», при котором пузырек из режима квазилинейных колебаний переходит к нелинейным колебаниям большой амплитуды, имеет место только в пересыщенной газом жидкости, и что такое поведение возможно для пузырьков воздуха в воде с начальным радиусом не более 1.2 микрона.

5. Установлена зависимость величины диффузионного пограничного слоя от размера пузырька, заключающаяся в том, что отношение его условной толщины к радиусу пузырька убывает с ростом последнего.

6. Проведен параметрический анализ влияния направленной диффузии на нелинейную динамику как одиночного пузырька, так и пузырька в монодисперсном кластере. Показано, что изменение среднего за период радиуса пузырька и его выход на равновесное состояние имеет монотонный характер. Достижение пузырьком равновесия происходит за несколько сотен тысяч или миллионов периодов колебаний акустического поля. Найдены значения равновесных радиусов одиночных пузырьков и пузырьков в кластере. Подтверждена возможность наличия двух равновесных радиусов пузырьков в кластере, в отличие от одиночного пузырька, который имеет не более одного равновесного радиуса.

7. При сравнении динамики пузырьковых кластеров в керосине и в воде установлено, что в керосине пузырьки имеют больший равновесный ра-

диус, к которому они приходят быстрее, чем в воде; различие в значениях равновесных радиусов приводит к наличию диапазона начальных радиусов, в котором пузырек в топливе растет, а в воде - схлопывается; скорость всплытия на поверхность пузырька в топливе меньше скорости всплытия пузырька того же начального радиуса в воде.

Публикации автора по теме диссертации В изданиях из перечня ВАК РФ:

1. Бутюгина Е. В., Насибуллаева Э. Ш. Динамика пузырька в кластере с учетом массопереноса // Вестник Башкирского университета. 2015. Т. 20, № 1. С. 5 9.

2. Бутюгина Е. В., Насибуллаева Э. III., Гумеров Н. А., Ахатов И. Ш. Численное моделирование динамики газового микропузырька в акустическом поле с учетом процесса направленной диффузии // Вычислительная механика сплошных сред. 2014. Т. 7, № 3. - С. 234-244.

3. Волкова (Бутюгина) Е. В., Насибуллаева Э. Ш. Влияние массообмена на динамику газового пузырька в акустическом поле // Вестник Башкирского университета. 2012. Т. 17, № 4. — С. 1661-1665.

В изданиях, индексируемых в базе данных Scopus:

4. Volkova (Butyugina) Е. V., Nasibullaeva Е. S., Gumerov N. A. Numerical simulations of soluble bubble dynamics in acoustic fields /,/ Proceedings of the ASME 2012 International Mechanical Engineering Congress & Exposition (IMECE 2012), Nov. 9-15, 2012,1 CD ROM, Article 86243. - Houston. Texas, USA: 2012. - P. 317-323. Свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ:

5. Бутюгина Е. В., Насибуллаева Э. Ш., Ахатов И. Ш., Гумеров Н. А. Численное моделирование динамики пузырька в акустическом поле с учетом диффузии газа между пузырьком и жидкостью. №2014611975, 2014.

6. Волкова (Бутюгина) Е. В., Насибуллаева Э. Ш., Ахатов И. Ш., Гумеров Н. А. Программный продукт для численного исследования динамики одиночного пузырька в акустическом поле с учетом направленной диффузии. №2013612090, 2013.

Основные работы в других изданиях:

7. Волкова (Бутюгина) Е. В. Численное моделирование нелинейных колебаний одиночного пузырька под действием акустического поля в одномерном случае // Труды Института механики им. P.P. Мавлютова Уфимского научного центра РАН. — Вып. 8. — Уфа: Нефтегазовое дело. 2011. — С. 45-53.

8. Nasibullaeva Е. S., Volkova (Butyugina) Е. V., Gumerov N. A., Akhatov I. S. Bubble cluster dynamics in an acoustic field // Proceedings of the 8th International

Symposium on Cavitation (CAV2012), August 13-16. Singapore: 2012. - P. No 190, 6 pages.

9. Волкова (Бутюгина) E. В., Насибуллаева Э. ILL, Ахатов И. Ш. Исследование влияния диффузии газа на динамику пузырька в акустическом поле // Труды Института механики им. P.P. Мавлютова Уфимского научного центра РАН. — Вып. 9 / Часть I. - Уфа: Нефтегазовое дело. 2012. - С. 23-28.

10. Akhatov I. S., Nasibullaeva Е. S., Volkova (Butyugina) Y. V., Gumerov N. A. Dynamics of bubble clusters in acoustic field // J.Ac. Soc. Am. 2011. Vol. 130 (4).

P. 2403.

11. Gumerov N. A., Akhatov I. S., Nasibullaeva E. S., Volkova (Butyugina) E.V. et al. Simulations of self-organization of bubbles in acoustic fields in three dimensions // J.Ac. Soc. Am. 2011. Vol. 130 (4). - P. 2370.

12. Волкова (Бутюгина) E. В. Об ускорении расчетов для задачи динамики газового пузырька с учетом направленной диффузии средствами Matlab // Труды международной научной конференции Параллельные вычислительные технологии (Новосибирск, 26 - 30 марта, 2012 г.). — Издательский центр ЮУрГУ, Челябинск: 2012. - С. 716.

13. Волкова (Бутюгина) Е. В., Насибуллаева Э. Ш. Численное исследование динамики пузырька с изменяющейся массой газа в акустическом поле // Труды VI Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики». — Абрау-Дюрсо: 2012. — С. 21-23.

14. Насибуллаева Э. Ш., Волкова (Бутюгина) Е. В. Нелинейная динамика пузырька. с учетом диффузии газа в акустическом поле // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 19, X' 5. 2012. С. 727.

15. Butyugina Е. V., Nasibullaeva Е. S., Gumerov N. A., Akhatov I. S. Multi-scale technique for numerical simulation of dynamics of soluable bubbles // Book of abstracts of summer workshop "Dynamics of Disperesed systems", June 22 - 28. - Ufa: 2014. - P. 11.

БУТЮГИНА Екатерина Валерьевна

ДИНАМИКА ГАЗОВЫХ ПУЗЫРЬКОВ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ В ЖИДКОСТИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ АКУСТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Специальность 01.02.05 - Механика жидкости газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР№ 021319 от 05.01.99 г.

Подписано в печать 28.04.2015 г. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,15. Уч.-изд. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ 162.

Редакционно-издательский центр Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.