Численное моделирование структуры течения вещества в тесных двойных системах с холодным диском тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.02 ВАК РФ

/

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ГЛАВНАЯ АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ОБСЕРВАТОРИЯ

На правах рукописи УДК 524.38

Кайгородов Павел Вячеславович

Численное моделирование структуры течения вещества в тесных двойных системах с холодным диском

01.03.02 — астрофизика, радиоастрономия

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2004

Работа выполнена в Институте Астрономии Российской Академии Наук.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Д.В. Бисикало

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

М.А. Погодин

доктор физико-математических наук профессор А.В. Тутуков

Ведущая организация:

Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша Российской Академии Наук

Защита состоится октября 20 04 г. в // ч. $р мин. на за-

седании диссертационного совета Главной Астрономической Обсерватории РАН, шифр Д 002.120.01.

Адрес: Санкт-Петербург, Пулковское шоссе, дом 65, к. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Главной Астрономической Обсерватории РАН (Санкт-Петербург, Пулковское шоссе, дом 65,

к.1)

Автореферат разослан "/3 »

2004.

Учёный секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

Е.В. Милецкий

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Тесные двойные системы (ТДС) характеризуются наличием обмена веществом между компонентами системы. В процессе обмена веществом в межкомпонентном пространстве формируется сложная картина течения и, в частности, образуются аккреционные диски.

Исследование газодинамики вещества в ТДС является чрезвычайно актуальной задачей, так как дает возможность провести интерпретацию имеющихся наблюдательных данных, и, следовательно, получить достоверную информацию о протекающих в этих звездах процессах. В Институте Астрономии РАН традиционно ведутся исследования газодинамики вещества в двойных звездах [1]. Использовавшиеся ранее математические модели позволили рассмотреть структуру течения в системах с относительно высокими температурами аккреционных дисков, достигающими сотен тысяч К. Однако из наблюдений известно, что в ряде двойных звезд аккреционные диски имеют значительно более низкую температуру, вплоть до 104 К. Целью данной работы является исследование структуры течения вещества в тесных двойных системах с холодными аккреционными дисками.

Исследование таких двойных звезд потребовало усложнения используемой математической модели за счет включения в систему уравнений членов, связанных с радиационным нагревом и охлаждением газа. Кроме того, газовые потоки с низкой температурой газа характеризуются большими градиентами физических величин, и, следовательно, для достижения хорошего пространственного разрешения (например, для разрешения вертикальной структуры холодного диска) необходимо использование по-

РОС. (итюиддымя

««ЬДМОГЕКА

С«* о

оэ ттт(у

дробных вычислительных сеток. Все это привело к существенному увеличению затрат вычислительного времени. Для проведения численного моделирования системы с холодным диском была разработана специальная численная модель, адаптированная к расчетам на компьютерах с массивно-параллельной архитектурой. Это обеспечило возможность достижения стационарных решений с хорошим пространственным разрешением.

В диссертационной работе представлены как разработанная численная модель, так и полученные с ее помощью результаты расчетов структуры течения вещества в ТДС с холодными аккреционными дисками.

Цель диссертации

Целью работы является исследование структуры течения вещества в ТДС с холодными аккреционными дисками.

Анализ процессов радиационного нагрева и охлаждения газа показывает, что при наблюдаемых темпах аккреции и значениях турбулентной вязкости возможно существование как горячих, так и холодных аккреционных дисков. Из наблюдений известно, что в целом ряде двойных систем температура межкомпонентного вещества не превышает ~ Ю'К. Исследование процессов обмена веществом в таких системах и, в частности, взаимодействия струи вещества из внутренней точки Лагранжа с формирующимся аккреционным диском, а также структуры самого диска необходимо для интерпретации наблюдений и получения сведений об этих звездах.

Численное моделирование газодинамики в тесных двойных системах является весьма сложной задачей. Использование физически обоснованных приближений гравитационной газодинамики с учетом неадиабатических процессов радиационного нагрева и охлаждения позволяет построить модель, описывающую течение вещества в системах с холодным диском.

Несмотря на существенную вычислительную сложность модели, эффективность расчетов можно многократно повысить, используя массивно-

параллельные вычислительные системы. К таким системам относятся, прежде всего, вычислительные кластеры, дешевизна и простота обслуживания которых позволяет устанавливать их даже в вычислительных центрах учебных заведений. В то же время, крупные вычислительные центры, такие, как Межведомственный Суперкомпыотерный Центр, предоставляют доступ к большим суперкомпьютерам, имеющим аналогичную архитектуру. Это позволяет переносить программы, отлаженные с использованием местных вычислительных ресурсов, на более мощные машины, практически не изменяя исходный код.

В работе преследовались следующие основные цели:

• разработка численной модели для проведения расчетов с высоким пространственным разрешением на компьютерах с массивно-параллельной архитектурой;

• исследование структуры течения в системах с холодными аккреционными дисками;

• исследование области взаимодействия струи вытекающего из внутренней точки Лагранжа вещества с холодным аккреционным диском;

• исследование внутренней структуры холодных дисков в тесных двойных системах.

Научная новизна

В работе впервые:

1. В рамках трехмерной газодинамической модели, учитывающей процессы радиационного нагрева и охлаждения газа, исследована картина течения вещества в ТДС с холодными аккреционными дисками.

2. Исследован характер взаимодействия струи и холодного аккреционного диска в ТДС. По результатам численного моделирования показано, что, как и в случае горячих дисков, взаимодействие струи вещества из внутренней точки Лагранжа и диска является безударным, область повышенного энерговыделения - «горячая линия» - расположена вне диска и образуется в результате взаимодействия струи с газом околодискового гало.

3. Исследована структура холодного аккреционного диска в ТДС. Показана возможность образования в холодном аккреционном диске спиральной волны нового, «прецессионного» типа.

4. По результатам численного моделирования определены свойства «прецессионной» спиральной волны. В частности, показано, что возникновение «прецессионной» спиральной волны приводит к существенному (на порядок величины) росту скорости аккреции в холодном диске.

5. Предложен новый механизм супервспышек в системах типа SU UMa. Показано, что возникновение «прецессионной» спиральной волны может объяснить как качественные, так и количественные характеристики супервспышек и сверхгорбов в этих системах.

Практическая и научная значимость.

Научная и практическая ценность результатов исследований определяется тем, что все основные результаты опубликованы в авторитетных научных изданиях и используются в различных работах как в нашей стране, так и за рубежом. Проведенные исследования структуры течения в ТДС с холодными аккреционными дисками получили заметный отклик. Результаты численного моделирования используются при интерпретации наблюдательных данных.

Апробация результатов

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах Института астрономии РАН и семинарах кафедры теоретической физики Челябинского Государственного Университета. Результаты работы были представлены на международном научно-практическом семинаре «Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах 2002» в Нижнем Новгороде, на международной конференции «Progress in Study of Astrophisical Dises 2003» в Волгограде, на восьмом российско-японском симпозиуме по вычислительной газодинамике (Япония, 2003 г.), международной конференции «Intercating Binary Stars 2003» в Одессе, на Всероссийской Астрономической Конференции (ВАК-2004) «Горизонты Вселенной», на конференции «Interacting Binaries - Accretion, Evolution, Outcomes» (Италия, 2004 г.) а также на ежегодных международных студенческих конференциях «Физика Космоса».

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в б работах, перечень которых приведен в конце автореферата. В совместных работах участие автора в постановке задачи, проведении расчетов и анализе результатов равное с другими соавторами.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Число страниц диссертации - 115, рисунков - 41, таблиц - 1, наименований в

списке литературы: 76.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обсуждается актуальность темы, сформулирована общая постановка задачи, предмет и метод исследования. Также приводится краткий обзор содержания диссертации и говорится о научной новизне и практической значимости результатов.

Глава 1 («Адаптация схем годуновского типа для компьютеров с массивно-параллельной архитектурой») посвящена описанию параллельного трехмерного вычислительного кода, используемого в работе. За основу взят код из работы [1]. В рамках диссертационной работы код был модифицирован путем учета неадиабатических процессов, связанных с радиационным нагревом и охлаждением газа; также была проведена адаптация кода для исполнения на компьютерах с массивно-параллельной архитектурой.

В параграфе 1.1 («Уравнения гравитационной газовой динамики») приводится система уравнений гравитационной газовой динамики, используемая при моделировании течения вещества в двойных системах. Обсуждается физическая обоснованность применения системы гравитационной газовой динамики к исследованию структуры течения вещества в ТДС.

Параграф 1.2 («Схема Роу-Ошера») посвящен описанию схемы Роу-Ошера. Схема Роу-Ошера построена на базе схемы Роу [2], относящейся к классу схем годуновского типа (3]. Схема Роу-Ошера является TVD-схемой. TVD-поправки обеспечивают высокий порядок точности в областях гладкого решения и не приводят к размыванию ударных волн. Использование этой модели позволяет исследовать течения с большими градиентами плотности без возникновения нефизических осцилляции.

В параграфе 1.3 («Параллельные вычислительные системы») представлен краткий обзор наиболее распространенных архитектур совре-

менных параллельных суперкомпьютеров. Рассматриваются архитектуры SMP (симметричные мультипроцессорные системы) и МРР (массивно-параллельные). Оценка этих архитектур с точки зрения соотношения производительности и цены демонстрирует однозначное превосходство архитектуры МРР, что определяет целесообразность ее использования в вычислениях и адаптации вычислительного кода именно к ней.

Параграф 1.4 («Построение параллельного вычислительного кода на базе схемы Роу-Ошера») описывает метод пространственной декомпозиции, используемый в работе. Данный метод основан на разделении вычислительной сетки на подобласти, каждая из которых обрабатывается отдельным процессором. Взаимодействие процессоров, необходимое для получения согласованного решения, сводится при этом к обмену значениями величин в ячейках, лежащих возле границ подобластей. Приводятся оценки затрат на синхронизацию при различных методах разбиения. С точки зрения оптимальности рассматривается алгоритм выбора общего для всех подобластей временного шага т. Приведены результаты замеров производительности параллельного кода в зависимости от числа используемых процессоров. Показано, что производительность кода растет практически линейно для числа процессоров вплоть до 100. Формулируется первое положение, выносимое на защиту.

В главе 2 («Исследование взаимодействия струи и холодного аккреционного диска*) представлены результаты трехмерного численного моделирования структуры течения вещества в системе с холодным аккреционным диском. Показано, что в самосогласованном решении взаимодействие струи и холодного аккреционного диска является безударным.

Параграф 2.1 («Процессы радиационного нагрева и охлаждения в аккреционных дисках») посвящен анализу зависимости параметров аккреционных дисков, таких, как температура, оптическая и геометрическая толщины, от расстояния до аккретора г, темпа аккреции M и а-параметра

модели Шакуры-Сюняева, описывающего турбулентную вязкость. Приводится уравнение, связывающее М с параметрами диска. Из анализа полученных решений этого уравнения следует возможность существования в системах с наблюдаемыми параметрами как горячих (с температурами ~ сотен тысяч К), так и холодных (температуры которых не превышают десятков тысяч К) дисков.

В параграфе 2.2 («Модель для расчета структуры течения вещества в двойных системах с учетом неадиабатических процессов») дается описание численной модели. Приводятся параметры исследуемой двойной системы (соответствующие параметрам IP Peg), а также описываются характеристики вычислительной сетки, начальные и граничные условия. Расчетная область включала в себя внутреннюю точку Лагранжа (Li), в которой струя вещества задавалась в виде граничного условия, и была достаточно велика, чтобы охватить весь аккреционный диск. Моделирование проводилось в декартовой системе координат (х, у, z)■ Центр системы координат был расположен в центре масс звезды-донора, ось х была направлена вдоль линии, соединяющей центры масс компонент двойной системы, а ось z - перпендикулярно плоскости вращения. Скорость вращения системы координат совпадала со скоростью вращения двойной системы. Вычислительная сетка была сгущена в области столкновения струи и околодискового гало, а также равномерно сгущалась к экваториальной плоскости. Общий размер сетки составлял 121 х 121 х 32 ячейки по х, у и z координатам, соответственно. Расчеты проводились только для верхней половины вычислительной области так как задача является симметричной

относительно экваториальной плоскости. При расчете был использован 81 процессор массивно-параллельного суперкомпьютера МВС1000М, установленного в Межведомственном Суперкомпьютерном Центре. Время счета задачи составило > 1000 часов, при этом эволюция диска была прослежена на протяжении

В параграфе 2.3 («Взаимодействие струи и диска в неадиабатической модели*) представлены результаты трехмерного численного моделирования. Картина течения вещества показывает, что диск является геометрически тонким, а форма его стала ближе к круговой (в отличие от решений для горячих дисков, имеющих явно выраженную эллипсообраз-ную форму). Из анализа результатов следует, что взаимодействие струи и диска имеет, как и в горячем случае, безударный характер, а область повышенного энерговыделения, «горячая линия» - ударная волна, создаваемая взаимодействием струи вещества из Ы и околодискового гало - расположена вне диска и имеет вытянутую форму. Формулируется второе положение, выносимое на защиту.

Глава 3 («Спиральная волна плотности «прецессионного» типа в холодном аккреционном диске») содержит описание новой структуры, обнаруженной в холодном аккреционном диске - «прецессионной» спиральной волны плотности.

В параграфе 3.1 («Структура течения вещества в холодном аккреционном диске») рассматриваются различия структур холодного и горячего аккреционных дисков. Показано, что в центре холодного аккреционного диска существует область, свободная от газодинамических возмущений, вызываемых приливными ударными волнами и «горячей линией». В отсутствии газодинамических возмущений становится значимым влияние гравитационного поля звезды-донора на движение вещества.

Вероятные эффекты влияния гравитационных возмущений на структуру течения рассматриваются в параграфе 3.2 («Механизм формирования «прецессионной» волны в холодном диске»). Анализируется картина течения, в которой линии тока в диске имеют форму эллипсов, содержащих в одном из фокусов звезду-аккретор. Под воздействием гравитационных возмущений от звезды-донора большие полуоси эллиптичных линий тока начинают медленно прецессировать в сторону, противоположную направ-

лению вращения вещества. Скорость ретроградной прецессии зависит от размера большой полуоси линии тока, но так как в газовом диске линии тока не могут пересекаться, для всех линий тока очень быстро устанавливается некоторая равновесная скорость вращения. Показано, что прецессия больших полуосей эллиптичных линий тока приводит к образованию спиральной волны, так как линии тока с ббльшими полуосями стремятся прецессировать быстрее, обгоняя внутренние линии тока. Показано, что спиральная структура будет иметь вид волны плотности, так как в точках наибольшего удаления от аккретора скорость движения вещества минимальна, а плотность максимальна. Частицы, пройдя через максимум плотности, почти сразу попадают в область орбиты, где радиальная компонента скорости (по направлению к аккретору) максимальна. Рост плотности и радиальной компоненты скорости обуславливает рост радиального потока вещества к аккретору сразу за спиральной волной и, как следствие, приводит к увеличению темпа аккреции по сравнению с равновесным случаем.

Параграф 3.3 {«Численное моделирование спиральной волны плотности «прецессионного* типа») демонстрирует наличие «прецессионной» спиральной волны плотности в расчетах для системы с холодным аккреционным диском. Из результатов расчетов следует, что линии тока в центральных областях диска ведут себя соответственно модели, приведенной в параграфе 3.2, и образуют спиральную структуру. Результаты расчетов подтверждают, что в спиральной структуре за максимумом плотности действительно следует максимум радиального потока вещества. Рассчитанное распределение радиального потока вещества в зависимости от координат показывает, что аккреция вещества идет преимущественно вдоль «прецессионной» волны. Скорость аккреции в двойной системе возрастает более чем на порядок величины. Показано, что вращение «прецессионной» волны является твердотельным, причем угловая скорость волны находится в хорошем соответствии со значением, определенным аналитически для

скорости прецессии вытянутого аккреционного диска (4,5]. Формулируется третье положение, выносимое на защиту.

В главе 4 («Модель супервспышки в звездах типа SU UMa») предлагается новая модель формирования супервспышки и сверхгорба в системах типа SU UMa. На основе предположения о возникновении в дисках таких звезд «прецессионной» волны плотности предлагается объяснение основных наблюдательных особенностей супервспышек, включая такое сложное для интерпретации явление, как формирование позднего сверхгорба.

В параграфе 4.1 («Наблюдаемые характеристики и теоретические модели супервспышек») приводятся основные наблюдательные характеристики супервспышек и сверхгорбов в системах типа SU UMa, а также перечисляются основные теоретические модели, использовавшиеся ранее для их объяснения. На сегодняшний день модель прецессирующего эллиптического аккреционного диска является основной для объяснения супервспышек у звезд типа SU UMa. Возникновение прецессии в этой модели связывается с Линдбладовским эллиптическим резонансом 3:1 [6], который находится внутри аккреционного диска лишь при достаточно малом значении отношения масс компонентов q < 0.22, что ограничивает применимость этой модели при интерпретации имеющихся наблюдательных данных. Ни один из предложенных ранее механизмов не может объяснить всего спектра наблюдаемых во время супервспышки явлений.

В параграфе 4.2 («Свойства «прецессионной* спиральной волны плотности в системах типа Зи UMa») представлены результаты численного моделирования структуры холодного аккреционного диска в системе OY Саг. Определены параметры образующейся в диске «прецессионной» спиральной волны для этой системы, относящейся к звездам типа SU UMa. Анализ результатов численного моделирования показывает, что «прецессионная» волна в OY Саг начинается на расстоянии « 0.25 А (расстояния между компонентами двойной системы) от аккретора, что составляет

~ 0.4 -г- 0.5 радиуса диска, а скорость ее обращения в системе координат неподвижного наблюдателя составляет « —0.03 — 0.04 оборота за один орбитальный период системы

В параграфе 4.3 («Основные положенья нового механизма супервспышки») представлены положения новой модели супервспышки в звездах типа SU UMa. Последовательно предлагаются объяснения наблюдательных особенностей, перечисленных в параграфе 4.1, исходя из свойств «прецессионной» волны в аккреционном диске. Показано, что все основные наблюдательные характеристики могут быть объяснены в рамках единой газодинамической модели, не требующей привлечения дополнительных предположений, кроме единственного, необходимого для существования «прецессионной» спиральной волны - наличия в аккреционном диске двойной системы области, не подверженной сильным газодинамическим возмущениям. Формируется четвертое положение, выносимое на защиту.

В заключении приводятся основные положения, выносимые на защиту, список опубликованных статей и конференций, где были представлены результаты. Отмечен личный вклад автора.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

На защиту выносятся следующие положения:

1. Разработан вычислительный код для решения системы трехмерных газодинамических уравнений в рамках неадиабатической модели на компьютерах с массивно-параллельной архитектурой. Адаптация схемы Роу-Ошера для параллельных суперкомпьютеров позволила построить вычислительный код, рост производительности которого близок к линейному при увеличении числа процессоров вплоть до 100.

2. В рамках трехмерной численной модели исследована картина течения

вещества в ТДС с холодными аккреционными дисками. Подтвержден безударный характер взаимодействия струи и холодного аккреционного диска. Показано, что, как и в случае горячих дисков, область повышенного энерговыделения («горячая линия») вызвана взаимодействием струи с веществом околодискового гало и расположена вне диска.

3. Исследована структура холодного аккреционного диска в ТДС. Показана возможность существования спиральной волны нового, «прецессионного», типа в центральных областях холодного диска. По результатам трехмерного газодинамического моделирования оценены параметры «прецессионной» волны и, в частности, показано, что при ее возникновении в диске темп аккреции в тесной двойной системе может возрастать на порядок величины.

4. Предложена новая модель формирования супервспышек и сверхгорбов в двойных звездах типа SU UMa. Модель основана на предположении о существовании в центральных областях аккреционного диска «прецессионной» спиральной волны, наличие которой позволяет с хорошей степенью точности объяснить качественные и количественные проявления супервспышек и сверхгорбов.

В заключение автор выражает глубокую признательность научному руководителю работы д.ф.-м.н. Бисикало Д.В за постоянную поддержку и внимание к работе, а также д.ф.-м.н. Кузнецову О.А., академику РАН Боярчуку А.А. и сотруднику кафедры теоретической физики ЧелГУ Степанову К.Е. за плодотворные обсуждения результатов и ценные рекомен-

дации в процессе работы.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Кайгородов П.В., Кузнецов О.А. Адаптация схемы Роу-Ошера для компьютеров с массивно-параллельной архитектурой. — препринт ИПМ им.М.В.Келдыша. - 2002. - 10. - №59.

2. Кайгородов П. В. Практические вопросы адаптации вычислительных кодов, использующих явные методы, к многопроцессорной архитектуре. — препринт ИПМ им. М. В. Келдыша. — 2002. —10. — №58.

3. Морфология взаимодействия струи и холодного аккреционного диска в полуразделенных двойных системах / Д.В. Бисикало, Боярчук А.А., Кайгородов П.В., Кузнецов О.А. // Астрономический Журнал. - 2003. - Т . 80. - С. 879-890.

4. Численное моделирование переноса вещества в тесных двойных звездах на компьютерах с параллельной архитектурой / Бисикало Д.В., Боярчук А.А., Кайгородов П.В., Кузнецов О.А. // Математическое моделирование: Проблемы и результаты. — Институт автоматизации проектирования РАН, 2003.-С. 71-94.

5. Структура холодного аккреционного диска в полураздапенных двойных системах / Бисикало Д.В., Боярчук А.А., Кайгородов П. В. Кузнецов О.А., Матсуда Т. // Астрономический Журнал. — 2004. — Т. 81.-С. 494-502.

6. Модель супервспышки в звездах типа 8И иМа / БисикалоД.В., Боярчук А.А., Кайгородов П.В. Кузнецов О.А., Матсуда Т. // Астрономический Журнал. - 2004. - Т. 81. - С. 648-657.

Список литературы

[1] Mass transfer in close binary stars / Boyarchuk A.A, Bisikalo D.V., Kuznetsov O.A., Chechetkin V.M. — London: Taylor & Frances, 2002.

[2] Roe P.L. Characteristic-based schemes for the euler equations // Annual review of fluid mechanics. - 1986. - Vol. 18. - Pp. 337-365.

[3] Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений гидродинамики // Матем. сборник.— 1959.— Т. 447.— С. 271— 306. — вып. 3.

[4] Warner В. Cataclysmic Variable Stars.— Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995.

[5] Kumar S. Twisted Accretion Discs - Part Two - Variation in Density Distribution and Application to Interacting Binaries // Monthly Notices Roy. Astronom. Soc. - 1986. - Nov. - Vol. 223. - P. 225.

[6] Lubow S. H. Simulations of tidally driven eccentric instabilities with application to superhumps // Astrophys. J. — 1991. —Nov. — Vol. 381.— Pp. 268-277.

Заказ № 609 Подписано в печать 28.07.04 Тираж 120 экз. ООС "Цифровичок", тел. 741-18-71, 505-28-72

»16491

Введение

1 Адаптация схем годуновского типа для компьютеров с массивно-параллельной архитектурой

1.1 Уравнения гравитационной газовой динамики

1.2 Схема Роу-Ошера

1.3 Параллельные вычислительные системы

1.4 Построение параллельного вычислительного кода на базе схемы Роу-Ошера.

1.4.1 Деление вдоль одной оси

1.4.2 Деление вдоль двух и трех осей

1.4.3 Синхронизация г.

1.4.4 Результаты тестирования производительности

2 Исследование взаимодействия струи и холодного аккреционного диска

2.1 Процессы радиационного нагрева и охлаждения в аккреционных дисках.

2.1.1 Основные уравнения.

2.1.2 Оптически толстые диски.

2.1.3 Оптически тонкие диски.

2.2 Модель для расчета структуры течения вещества в двойных системах с учетом неадиабатических процессов.

2.3 Взаимодействие струи и диска в неадиабатической модели

3 Спиральная волна плотности «прецессионного» типа в холодном аккреционном диске

3.1 Структура течения вещества в холодном аккреционном диске

3.2 Механизм формирования «прецессионной» волны в холодном диске.

3.3 Численное моделирование спиральной волны плотности «прецессионного» типа.

4 Модель супервспышки в звездах типа SU UMa

4.1 Наблюдаемые характеристики и теоретические модели супервспышек

4.2 Свойства «прецессионной» спиральной волны плотности в системах типа SU UMa

4.3 Основные положения нового механизма супервспышки

Актуальность темы

Тесные двойные системы (ТДС) характеризуются наличием обмена веществом между компонентами системы. В процессе обмена веществом в межкомпонентном пространстве формируется сложная картина течения и, в частности, образуются аккреционные диски.

Исследование газодинамики вещества в ТДС является чрезвычайно актуальной задачей, так как дает возможность провести интерпретацию имеющихся наблюдательных данных, и, следовательно, получить достоверную информацию о протекающих в этих звездах процессах. В Институте Астрономии РАН традиционно ведутся исследования газодинамики вещества в двойных звездах [21]. Использовавшиеся ранее математические модели позволили рассмотреть структуру течения в системах с относительно высокими температурами аккреционных дисков, достигающими сотен тысяч К. Однако из наблюдений известно, что в ряде двойных звезд аккреционные диски имеют значительно более низкую температуру, вплоть до 104 К. Целью данной работы является исследование структуры течения вещества в тесных двойных системах с холодными аккреционными дисками.

Исследование таких двойных звезд потребовало усложнения используемой математической модели за счет включения в систему уравнений членов, связанных с радиационным нагревом и охлаждением газа. Кроме того, газовые потоки с низкой температурой газа характеризуются большими градиентами физических величин, и, следовательно, для достижения хорошего пространственного разрешения (например, для разрешения вертикальной структуры холодного диска) необходимо использование подробных вычислительных сеток. Все это привело к существенному увеличению затрат вычислительного времени. Для проведения численного моделирования системы с холодным диском была разработана специальная численная модель, адаптированная к расчетам на компьютерах с массивно-параллельной архитектурой. Это обеспечило возможность достижения стационарных решений с хорошим пространственным разрешением.

В диссертационной работе представлены как разработанная численная модель, так и полученные с ее помощью результаты расчетов структуры течения вещества в ТДС с холодными аккреционными дисками.

Цель диссертации

Целью работы является исследование структуры течения вещества в ТДС с холодными аккреционными дисками.

Анализ процессов радиационного нагрева и охлаждения газа показывает, что при наблюдаемых темпах аккреции и значениях турбулентной вязкости возможно существование как горячих, так и холодных аккреционных дисков. Из наблюдений известно, что в целом ряде двойных систем температура межкомпонентного вещества не превышает ~ 10АК. Исследование процессов обмена веществом в таких системах и, в частности, взаимодействия струи вещества из внутренней точки Лагранжа с формирующимся аккреционным диском, а также структуры самого диска необходимо для интерпретации наблюдений и получения сведений об этих звездах.

Численное моделирование газодинамики в тесных двойных системах является весьма сложной задачей. Использование физически обоснованных приближений гравитационной газодинамики с учетом неадиабатических процессов радиационного нагрева и охлаждения позволяет построить модель, описывающую течение вещества в системах с холодным диском.

Несмотря на существенную вычислительную сложность модели, эффективность расчетов можно многократно повысить, используя массивно-параллельные вычислительные системы. К таким системам относятся, прежде всего, вычислительные кластеры, дешевизна и простота обслуживания которых позволяет устанавливать их даже в вычислительных центрах учебных заведений. В то же время, крупные вычислительные центры, такие, как Межведомственный Суперкомпьютерный Центр, предоставляют доступ к большим суперкомпьютерам, имеющим аналогичную архитектуру. Это позволяет переносить программы, отлаженные с использованием местных вычислительных ресурсов, на более мощные машины, практически не изменяя исходный код.

В работе преследовались следующие основные цели:

• разработка численной модели для проведения расчетов с высоким пространственным разрешением на компьютерах с массивно-параллельной архитектурой;

• исследование структуры течения в системах с холодными аккреционными дисками;

• исследование области взаимодействия струи вытекающего из внутренней точки Лагранжа вещества с холодным аккреционным диском;

• исследование внутренней структуры холодных дисков в тесных двойных системах.

Научная новизна

В работе впервые:

1. В рамках трехмерной газодинамической модели, учитывающей процессы радиационного нагрева и охлаждения газа, исследована картина течения вещества в ТДС с холодными аккреционными дисками.

2. Исследован характер взаимодействия струи и холодного аккреционного диска в ТДС. По результатам численного моделирования показано, что, как и в случае горячих дисков, взаимодействие струи вещества из внутренней точки Лагранжа и диска является безударным, область повышенного энерговыделения - «горячая линия» - расположена вне диска и образуется в результате взаимодействия струи с газом околодискового гало.

3. Исследована структура холодного аккреционного диска в ТДС. Показана возможность образования в холодном аккреционном диске спиральной волны нового, «прецессионного» типа.

4. По результатам численного моделирования определены свойства «прецессионной» спиральной волны. В частности, показано, что возникновение «прецессионной» спиральной волны приводит к существенному (на порядок величины) росту скорости аккреции в холодном диске.

5. Предложен новый механизм супервспышек в системах типа SU UMa. Показано, что возникновение «прецессионной» спиральной волны может объяснить как качественные, так и количественные характеристики супервспышек и сверхгорбов в этих системах.

Практическая и научная значимость.

Научная и практическая ценность результатов исследований определяется тем, что все основные результаты опубликованы в авторитетных научных изданиях и используются в различных работах как в нашей стране, так и за рубежом. Проведенные исследования структуры течения в ТДС с холодными аккреционными дисками получили заметный отклик. Результаты численного моделирования используются при интерпретации наблюдательных данных.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Число страниц диссертации - 115, рисунков - 41, таблиц - 1, наименований в списке литературы: 76.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах Института астрономии РАН и семинарах кафедры теоретической физики Челябинского Государственного Университета. Результаты работы были представлены на международном научно-практическом семинаре «Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах 2002» в Нижнем Новгороде, на международной конференции «Progress in Study of Astrophisieal Discs 2003» в Волгограде, на восьмом российско-японском симпозиуме по вычислительной газодинамике (Япония, 2003 г.), международной конференции «Intercating Binary Stars 2003» в Одессе, на Всероссийской Астрономической Конференции (ВАК-2004) «Горизонты Вселенной», на конференции «Interacting Binaries - Accretion, Evolution, Outcomes» (Италия, 2004 г.) а также на ежегодных международных студенческих конференциях «Физика Космоса».

Публикации по тебе диссертации

Перечень работ, в которых опубликованы результаты диссертации:

1. Кайгородов П.В., Кузнецов О.А. Адаптация схемы Роу-Ошера для компьютеров с массивно-параллельной архитектурой. — препринт ИПМ им.М.В.Келдыша. - 2002. -10. - №59.

2. Кайгородов П. В. Практические вопросы адаптации вычислительных кодов, использующих явные методы, к многопроцессорной архитектуре. - препринт ИПМ им.М.В.Келдыша. — 2002. —10. — №58.

3. Морфология взаимодействия струи и холодного аккреционного диска в полуразделенных двойных системах / Д. В. Бисикало, Боярчук А.А., Кайгородов П.В., Кузнецов О.А. // Астрономический Журнал. - 2003. - Т. 80. - С. 879-890.

4. Численное моделирование переноса вещества в тесных двойных звездах на компьютерах с параллельной архитектурой / Бисикало Д.В., Боярчук А.А., Кайгородов П.В., Кузнецов О.А. // Математическое моделирование: Проблемы и результаты. — Институт автоматизации проектирования РАН, 2003. - С. 71-94.

5. Структура холодного аккреционного диска в полуразделенных двойных системах / Бисикало Д.В., Боярчук А.А., Кайгородов П.В. Кузнецов О.А., Матсуда Т. // Астрономический Журнал. — 2004. — Т. 81.-С. 494-502.

6. Модель супервспышки в звездах типа SU UMa / Бисикало Д.В., Боярчук А.А., Кайгородов П.В. Кузнецов О.А., Матсуда Т. // Астрономический Журнал. — 2004. - Т. 81. - С. 648-657.

В совместных работах участие авторов в постановке задачи, проведении расчетов и анализе результатов равное.

В заключение автор выражает глубокую признательность научному руководителю работы д.ф.-м.н. Бисикало Д.В за постоянную поддержку и внимание к работе, а также д.ф.-м.н. Кузнецову О.А., академику РАН Боярчуку А.А. и сотруднику кафедры теоретической физики ЧелГУ Степанову К.Е. за плодотворные обсуждения результатов и ценные рекомендации в процессе работы.

Заключение

На защиту выносятся следующие положения:

1. Разработан вычислительный код для решения системы трехмерных газодинамических уравнений в рамках неадиабатической модели на компьютерах с массивно-параллельной архитектурой. Адаптация схемы Роу-Ошера для параллельных суперкомпьютеров позволила построить вычислительный код, рост производительности которого близок к линейному при увеличении числа процессоров вплоть до 100.

2. В рамках трехмерной численной модели исследована картина течения вещества в ТДС с холодными аккреционными дисками. Подтвержден безударный характер взаимодействия струи и холодного аккреционного диска. Показано, что, как и в случае горячих дисков, область повышенного энерговыделения («горячая линия») вызвана взаимодействием струи с веществом околодискового гало и расположена вне диска.

3. Исследована структура холодного аккреционного диска в ТДС. Показана возможность существования спиральной волны нового, «прецессионного», типа в центральных областях холодного диска. По результатам трехмерного газодинамического моделирования оценены параметры «прецессионной» волны и, в частности, показано, что при ее возникновении в диске темп аккреции в тесной двойной системе может возрастать на порядок величины.

4. Предложена новая модель формирования супервспышек и сверхгорбов в двойных звездах типа SU UMa. Модель основана на предположении о существовании в центральных областях аккреционного диска «прецессионной» спиральной волны, наличие которой позволяет с хорошей степенью точности объяснить качественные и количественные проявления супервспышек и сверхгорбов.

Апробация результатов

1. Alexander D. R., Augason G. C., Johnson H. R. An opacity-sampled treatment of water vapor // Astrophys. J. — 1989. — Oct. — Vol. 345. — Pp. 1014-1021.

2. Beam R.M., Warming R.F. An implicit finite-difference algorithm for hyperbolic systems in conservation law form //J. Comput. Phys. — 1976. — Vol. 22, no. 9.-Pp. 87-110.

3. Bell K. R., Lin D. N. C. Using FU Orionis outbursts to constrain self-regulated protostellar disk models // Astrophys. J. — 1994. — Jun. — Vol. 427. Pp. 987-1004.

4. Buat-Menard V., Hameury J.-M. Superoutbursts, superhumps and the tidal-thermal instability model // Astronom. and Astrophys. — 2002. — May. Vol. 386. - Pp. 891-898.

5. Cabral В., Leedom C. Imaging vector fields using linear integral convolution // Computer Graphics Proceedings '93.- 1993. Pp. 263-270.

6. Cannizzo J.K. The limit cycle instability in dwarf nova accretion disks // Accretion Disks in Compact Stellar Systems / Ed. by Wheeler J.C. — 1992. Vol. 9. - Pp. 6-40.

7. Cannizzo J. K., Kenyon S. J. The accretion disk limit cycle mechanism in GK Persei // Astrophys. J. Lett. 1986.-Oct.- Vol. 309.- Pp. L43-L46.

8. Chakravarthy S.R., Osher S. A new class of high accuracy tvd schemes for hyperbolic conservation laws // AIAA-85-0363. — 1985.

9. Circumstellar structures in the eclipsing binary 77 Lyr A. Gasdynamical modelling confronted with observations / Bisikalo D.V., Harmanec P., Boyarchuk A.A. et al. // Astronom. and Astrophys. — 2000. — Jan. — Vol. 353. Pp. 1009-1015.

10. Cox D. P., Daltabuit E. Radiative Cooling of a Low-Density Plasma // Astrophys. J. 1971. - Jul. - Vol. 167. - Pp. 113-117.

11. Duschl W. J., Livio M. 'Mixed' mass transfer- and disk-instability models for dwarf nova eruptions // Astronom. and Astrophys. — 1989. — Jan. — Vol. 209. Pp. 183-197.

12. Fromm J.E. A method for reducing dispersion in convective difference schemes // J. Comput. Phys. 1968. - Vol. 3, no. 2. - Pp. 176-189.

13. Harten A. A. A high resolution scheme for the computation of wear solution of hyperbolic conservation laws // J. Comput. Phys. — 1983. — Vol. 49. — Pp. 357-393.

14. Is the standard accretion disc model invulnerable? / K. Sawada, T. Matsu-da, M. Inoue, I. Hachisu // Monthly Notices Roy. Astronom. Soc. — 1987. — Jan. Vol. 224. - Pp. 307-322.

15. Kornet K., Rdzyczka M. Hydrodynamical Models of Accretion Disks in SU UMa Systems // Acta Astronom. Sinica.— 2000. — Jun. — Vol. 50.— Pp. 163-175.

16. Krzeminski W., Vogt N. The eclipsing dwarf nova OY Carinae. Ill Photometry during the superoutburst of January 1980 // Astronom. and Astrophys. - 1985. - Mar. - Vol. 144. - Pp. 124-132.

17. Kumar S. Twisted Accretion Discs Part Two - Variation in Density Distribution and Application to Interacting Binaries // Monthly Notices Roy. Astronom. Soc. - 1986. - Nov. - Vol. 223. - P. 225.

18. Lax P.D., Wenroff В. Differnce schemes for hyperbolic equations with high order for accuracy // Comm. Pure Appl. Math. — 1964. — Vol. 17, no. 3. — Pp. 381-398.

19. Lin D. N. C., Papaloizou J. On the structure and evolution of the primordial solar nebula // Monthly Notices Roy. Astronom. Soc.— 1980.— Apr. Vol. 191. - Pp. 37-48.

20. Lubow S. H. Simulations of tidally driven eccentric instabilities with application to superhumps // Astrophys. J.— 1991. — Nov. — Vol. 381. — Pp. 268-277.

21. Mass transfer in close binary stars / Boyarchuk A.A, Bisikalo D.V., Kuznetsov O.A., Chechetkin V.M. — London: Taylor & Frances, 2002.

22. Meyer-Hoffmeister E., Ritter H. Accretion discs in close binaries // The Realm of Interacting Binary Stars. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1993. Vol. 177. - Pp. 143-148.

23. Mineshige S. Modulated mass-transfer model for superhumps in SU Ursae Majoris stars // Astrophys. J. 1988. - Dec. - Vol. 335. - Pp. 881-891.

24. The morphology of interaction between a stream and cool accretion disk in semidetached binaries / Bisikalo D.V., Boyarchuk A.A., Kaygorodov P. V., Kuznetsov O.A. // Astronomy Reports. 2003. - Vol. 47. - P. 809.

25. Murray J. R., Warner В., Wickramasinghe D. T. Eccentric discs in binaries with intermediate mass ratios: superhumps in the VY Sculptoris stars // Monthly Notices Roy. Astronom. Soc. — 2000. — Jul. — Vol. 315. — Pp. 707-712.

26. Numerical modeling of the mass transfer in close binaries: non-adiabatic approach // Book of abstracts. — The Eighth Japan-Russia Joint Symposiumon Computational Fluid Dynamics, 2003. — 9. — Pp. 93-96. — September 24-26.

27. Observations of the late superhump in VW Hydri / H. van der Woerd, M. van der Klis, J. van Paradijs et al. // Astrophys. J.— 1988.— Jul. — Vol. 330.-Pp. 911-921.

28. O'Donoghue D. Observational Evidence for Tidal Effects in Cataclysmic Variable Accretion Discs // Monthly Notices Roy. Astronom. Soc. — 1990. Sep. - Vol. 246. - P. 29.

29. On the angular momentum transfer on to compact stars in binary systems / D. Molteni, O. A. Kuznetsov, D. V. Bisikalo, A. A. Boyarchuk // Monthly Notices Roy. Astronom. Soc. 2001. - Nov. - Vol. 327. - Pp. 1103-1110.

30. Osaki Y. Irradiation-induced mass-overflow instability as a possible cause of superoutbursts in SU UMa stars // Astronom. and Astrophys. — 1985. — Mar. Vol. 144. - Pp. 369-380.

31. Osaki Y. A model for the superoutburst phenomenon of SU Ursae Majoris stars // Publ. Astron. Soc. Pacific. 1989. - Vol. 41. — Pp. 1005-1033.

32. OY Carinae The secrets of the super-humps revealed / F. V. Hessman, K.-H. Mantel, H. Barwig, R. Schoembs // Astronom. and Astrophys.— 1992. - Sep. - Vol. 263. - Pp. 147-160.

33. Paczynski B. A model of accretion disks in close binaries // Astrophys. J. 1977. - Sep. - Vol. 216. - Pp. 822-826.

34. Papaloizou J., Pringle J. E. A model for VW Hyi. // Astronom. and Astrophys. 1978. - Dec. - Vol. 70. - Pp. L65-L67.

35. Papaloizou J., Pringle J. E. A model for the superhumps in cataclysmic variables // Monthly Notices Roy. Astronom. Soc. — 1979. — Oct. — Vol. 189. Pp. 293-297.

36. Raymond J. C., Cox D. P., Smith B. W. Radiative cooling of a low-density plasma // Astrophys. J. 1976. - Feb. - Vol. 204. - Pp. 290-292.

37. Roe P.L. Some contribution to the modeling of discontinuous flows // Lectures in Applied Math. Vol. 22. - 1985. - Pp. 163-193.

38. Roe P.L. Characteristic-based schemes for the euler equations // Annual review of fluid mechanics. — 1986. — Vol. 18. — Pp. 337-365.

39. Rolfe D. J., Haswell C. A., Patterson J. Late superhumps and the stream-disc impact in IY UMa // Monthly Notices Roy. Astronom. Soc. — 2001. — Jun. Vol. 324. - Pp. 529-536.

40. Sawada K., Matsuda Т., Hachisu I. Accretion shocks in a close binary system // Monthly Notices Roy. Astronom. Soc. — 1986. — Aug. — Vol. 221.-Pp. 679-686.

41. Sawada K., Matsuda Т., Hachisu I. Spiral shocks on a Roche lobe overflow in a semi-detached binary system // Monthly Notices Roy. Astronom. Soc. 1986. - Mar. - Vol. 219. - Pp. 75-88.

42. Shakura N. I., Sunyaev R. A. Black holes in binary systems. Observational appearance. // Astronom. and Astrophys. — 1973. — Vol. 24. — Pp. 337355.

43. Sweby P.K. High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws // SIAM J. Numer. Anal 1984.— Vol. 21.— Pp. 9951011.

44. Vogt N. Photometric study of the dwarf Nova VW Hydri. // Astronom. and Astrophys. 1974. - Dec. - Vol. 36. - Pp. 369-378.

45. Vogt N. The SU UMa stars an important sub-group of dwarf novae // Astronom. and Astrophys. — 1980. — Aug. — Vol. 88. — Pp. 66-76.

46. Vogt N. Z Chamaeleontis Evidence for an eccentric disk during supermax-imum // Astrophys. J. - 1982. - Jan. - Vol. 252. - Pp. 653-667.

47. Warner B. Cataclysmic Variable Stars. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995.

48. Whitehurst R. Numerical simulations of accretion disks. I Superhumps -A tidal phenomenon of accretion disks // Monthly Notices Roy. Astronom. Soc. - 1988. - May. - Vol. 232. - Pp. 35-8711.

49. Бисикало Д.В., Боярчук А.А., Кильпио А.А. Структура газовых потоков в полуразделенных двойных системах после прекращения массооб-мена // Астрон. Журн. 2001. - Т. 78, № 8. - С. 707-716.

50. Бисноватый-Коган Г. С. Физические процессы теории звездной эволюции. — Москва: Наука, 1989.

51. Влияние вязкости на морфологию течения вещества в полуразделенных двойных системах, результаты трехмерного численного моделирования / Бисикало Д.В., Боярчук А.А., Кузнецов О.А., Чечеткин В. М. // Астрон. Журн. 2000. - Т. 77. - С. 31-41.

52. Влияние общей оболочки двойной системы на перенос вещества через внутреннюю точку лагранжа / Бисикало Д.В., Боярчук А.А., Кузнецов О.А., Чечеткин В. М. // Астрон. Журн. — 1997. — Т. 74, № 6. — С. 889-897.

53. Влияние параметров задачи на структуру течения вещества в полуразделенных двойных системах, результаты трехмерного численного моделирования / Бисикало Д.В., Боярчук А.А., Кузнецов О.А., Чечеткин В. М. // Астрон. Журн. 1998. - Т. 75, № 5. - С. 706-715.

54. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. — Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2002.

55. Воеводин Вл.В., Капитонова А.П. Методы описания и классификации архитектур вычислительных систем. — М.: МГУ., 1994.

56. Вязников К.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Построение монотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации для систем уравнений гиперболического типа // Мат. Моделирование. —- 1989. — Т. 1, №5.-С. 95-120.

57. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений гидродинамики // Матем. сборник. — 1959. — Т. 447. — С. 271306. — вып. 3.

58. Кайгородов П. В. Практические вопросы адаптации вычислительных кодов, использующих явные методы, к многопроцессорной архитектуре. препринт ИПМ им.М.В.Келдыша. - 2002. - 10. - №58.

59. Кайгородов П.В., Кузнецов О. А. Адаптация схемы роу-ошера для компьютеров с массивно-параллельной архитектурой. — препринт ИПМ им.М.В.Келдыша. 2002. - 10. - №59.

60. Кузнецов О.А., Бисикало Д.В., Боярчук А.А. Синтетические допле-ровские томограммы газовых потоков в IP Peg // Астрон. Журн.— 2001. Т. 78. - С. 997-1007.

61. Модель «ведомого» диска в двойных системах с прецессирующей звездой-донором, результаты трехмерных численных расчетов / Бисикало Д.В., Боярчук А.А., Кузнецов О.А., Чечеткин В. М. jJ Астрон. Журн. 1999. - Т. 76, № 9. - С. 672-677.

62. Модель супервспышки в звездах типа SU UMa / Бисикало Д.В., Боярчук А.А., Кайгородов П.В. и др. // Астрономический Журнал.— 2004. Т. 81, № 6. - С. 684-657.

63. Морфология взаимодействия струи и холодного аккреционного диска в полуразделенных двойных системах / Д.В. Бисикало, Боярчук А.А., Кайгородов П.В., Кузнецов О.А. // Астрономический Журнал. 2003. - Т. 80. - С. 879-890.

64. О возможных наблюдательных проявлениях спиральных ударных волн в CVs / Бисикало Д.В., Боярчук А.А., Кильпио А.А., Кузнецов О.А. // Астрон. Журн. 2001. - Т. 78. - С. 780-790.

65. Спитцер Л. Физические процессы в межзвездной среде.— Москва: Мир, 1978.

66. Сравнение результатов двумерного и трехмерного моделирования массообмена в полуразделенных двойных системах / Бисикало Д.В., Боярчук А.А., Кузнецов О.А. и др. // Астрон. Журн. — 1999.— Т. 76, № 12. С. 905-916.

67. Структура холодного аккреционного диска в полуразделенных двойных системах / Бисикало Д.В., Боярчук А.А., Кайгородов П.В. и др. // Астрономический Журнал. — 2004.— Т. 81, № 6.— С. 494502.

68. Трехмерное моделирование обмена веществом в тесных двойных системах с несинхронным вращением / Бисикало Д.В., Боярчук А.А., Кузнецов О.А., Чечеткин В. М. // Астрой. Журн.— 1999.— Т. 76, № 4. С. 270-282.

69. Трехмерное моделирование структуры течения вещества в полуразделенных двойных системах / Бисикало Д.В., Боярчук А.А., Кузнецов О.А., Чечеткин В. М. // Астрон. Журн. 1997. - Т. 74, № 6. - С. 880888.

70. Шакура Н.И. Дисковая модель аккреции газа релятивистской звездой в двойной системе // Астрон. Журн. — 1972. — Т. 49. — С. 921-929.

71. Шварцшилъд М. Строение и эволюция звезд. — Москва: ИЛ, 1961.