Численные алгоритмы моделирования и стохастического восполнения случайных процессов и полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОГО ВОСПОЛНЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕЙ

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск, 2005

Работа выполнена в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН.

д.ф.-м.н.

Огородников Василий Александрович д.т.н.

Родионов Алексей Сергеевич д.ф.-м.н.

Костюков Василий Васильевич

Сибирский региональный научно-исследовательский гидрометеорологический институт РОСГИДРОМЕТА

Защита состоится июня 2005 года в часов на заседании Диссертационного совета Д 003.061.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в конференц-зале Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (630090, Новосибирск, проспект Лаврентьева, 6).

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале ИВМиМГ СО РАН.

Автореферат разослан »с мая 2005 года.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор

Ю.И. Кузнецов

£2)3 9№

Общая характеристика работы

Актуальность темы В связи с бурным развитием вычислительных средств появляется возможность решать более сложные и трудоемкие научные и прикладные задачи с использованием методов статистического моделирования, требующие соответствующих алгоритмов для их реализации. При решении задач, связанных с моделированием атмосферных процессов, переносом примесей, при решении различного типа природоохранных задач, задач по исследованию закономерностей переноса излучения в атмосфере и так далее, используются многомерные стохастические модели атмосферных процессов высокого разрешения. Для решения перечисленных выше задач необходимы реалистичные модели атмосферных процессов, в достаточной степени адекватно описывающие характерные особенности реальных данных. В первую очередь — это учет негауссовости и корреляционных связей. С другой стороны, при использовании вероятностного подхода к решению перечисленных задач необходимо моделировать большое число реализаций моделируемых процессов и полей. В связи с этим разработка универсальных и экономичных алгоритмов моделирования многомерных негауссовских случайных процессов с заданной корреляционной структурой, а также алгоритмов стохастического восполнения, используемых при построении стохастических моделей атмосферных процессов является актуальной задачей.

Основные цели работы

• Построение алгоритмов моделирования негауссовских процессов и полей непрерывного аргумента на основе кусочно-постоянного восполнения процессов и полей дискретного аргумента с сохранением их исходных свойств (стационарность, однородность1, изотропность).

• Построение рекурсивных алгоритмов стохастической интерполяции гауссовских стационарных многомерных процессов на основе метода условных распределений для моделирования случайных последовательностей.

• Разработка способов регуляризации алгоритмов моделирования гауссовских последовательностей с блочно-теплицевыми ковариационными матрицами.

1 Здесь и везде в дальнейшем стационарность ц-одцсцзрдность рассматривается в широком смысле. 1*01

• Исследование свойств и сравнительный анализ различных стохастических моделей слоисто-кучевой облачности: каскадная модель, модель, основанная на схеме скользящего суммирования и спектральная модель.

Научная новизна и практическая ценность Построены алгоритмы стохастического восполнения случайных процессов и полей с узлов сетки в произвольную точку области, впервые показано, что при использовании некоторых специальных алгоритмов стохастического восполнения возможно сохранение исходных свойств процесса или поля, а именно сохранение стационарности для процессов, однородности и изотропности для полей. В частности показано, что при кусочно-постоянном восполнении стационарного случайного негауссовского процесса из точек, образующих пуассоновский поток, стационарность сохраняется при восполнении справа, в то время как при восполнении слева она сохраняется только асимптотически. Изучен класс корреляционных функций полученных процессов и полей.

Для стационарных гауссовских процессов дискретного аргумента разработан новый эффективный рекурсивный алгоритм моделирования условно распределенных процессов и полей при фиксированных значениях в узлах регулярной сетки. Разработан способ регуляризации алгоритма моделирования многомерных процессов дискретного аргумента с ковариационными матрицами блочно-теплицева вида, повышающий устойчивость вычислений.

Исследованы свойства трех алгоритмов численного моделирования сучайных полей с логнормальным одномерным распределением — каскадная модель, модель, основанная на схеме скользящего суммирования и спектральная модель. Алгоритмы предназначены для моделирования слоисто кучевой облачности применительно к задачам переноса излучения в атмосфере. Проведен сравнительный анализ моделей, показано, что в каскадной модели поле не является однородным и дает менее реалистичную картину, по сравнению с двумя другими.

Апробация работы Результаты, изложенные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на Семинаре отдела "Статистическое моделирование в физике" ИВМиМГ СО РАН , на 4-х конференциях молодых ученых ИВМиМГ СО РАН (1996-2004 гг.), на конференции 1RS 2000: Current Problems in Atmospheric Radiation proceeding of the International Radiation Symposium St.Peterburg, Russia, 24-29 july 2000.

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах. Список работ помещен в конце автореферата.

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 9 параграфов, заключения, списка литературы из 98 наименований. Объем работы - 105 машинописных страниц, в работе содержится 10 рисунков.

Содержание работы

Во Введении дается обзор литературы по рассматриваемой теме, обосновывается актуальность и новизна, дается краткое содержание диссертации по главам.

В Первой главе рассмотрены различные алгоритмы моделирования негауссовских процессов и полей на основе кусочно-постоянного восполнения процессов и полей дискретного аргумента, заданных на регулярной сетке, а также процессов, заданных в случайные моменты времени. Исследована корреляционная структура таких кусочно-постоянных процессов и полей. Для каждого случая получены выражения для соответствующих корреляционных функций.

В пункте 1.1 рассмотрено кусочно-постоянное восполнение стационарной последовательности ... , • • • с одномерным распределением F(x) и корреляционной функцией R(\i — = Rm, заданной на регулярной последовательности точек t, : ti = i = 0, ±1,±2,____ Метод восполнения состоит в том, что вся временная ось разбивается на интервалы (г — 1 + a,i + а], где а — случайная величина, равномерно распределенная в интервале [0,1]. В каждом таком интервале полагается значение процесса £(í) = Доказано, что при таком восполнении распределение процесса сохраняется, полученный процесс является стационарным с корреляционной функцией

Я(т) = £) К(т-т])Вт, tf(T)={¿-|T|' (1)

m=—оо l. ' II —

совпадающей с Rm в точках г = m = 0, ±1, ±2, —

Кроме того, показано, что построенный стационарный процесс £(t) может быть представлен в виде свертки

оо п=—со

где u>{t) — некоторый специальный импульсный нестационарный процесс, не зависящий от £¿.

В пункте 1.2 рассмотрен вопрос о восполнении негауссова однородного поля £(г, j) = , с одномерным распределением F(w) и корреляционной функцией Д(|г - fc|,\j - /|) = Rmn, заданного в узлах равномерной регулярной сетки ш\ = {(х0 ±г,х0± j) | i, j = 0,1,... ; х0 = 0} в произвольную точку области. Метод восполнения состоит в том, что поле разбивается на области (г - 1 + а\,г + а^ х (j — 1 + а2, j + аг], где ai и ü2 ~ независимые случайные величины, равномерно распределенные в интервале [0,1]. В каждой такой области полагаем £(х,у) = Доказано утверждение о том, что при таком восполнении одномерное распределение сохраняется, а полученное поле является однородным с корреляционной функцией

00 оо

Д(Дх, Д у) = к(Ах -т,А у- п) НтП ,

т=—оо п——оо

К(АХ А,Л = I1 - 1Ла;1 ~ + 1Аа;1 £ * 1

^ ' Ю \0, |Даг| > 1, |Ду| > 1 '

В пункте 1.3 рассмотрено восполнение негауссовского однородного изотропного поля дискретного аргумента. В этом пункте однородность и изотропность понимается в том смысле, что поле на равномерной сетке однородно и изотропно, если коэффициент корреляции между двумя точками на сетке зависит только от расстояния между ними. В качестве исходного берется однородное изотропное поле , заданное в узлах сетки toi = {(хо ± i, хо ± j) | i, j = 0,1,... ; хо = 0} с одномерным распределением F(u) и корреляционной функцией R(\i — jj - i|) = R(m,n) = Rmn. Проведено восполнение на сетку с меньшим шагом и>1/2 = {(яо ± i/2, Х0 ± jj 2) I i,j = 0,1,...; х0 = 0}. Доказано утверждение о том, что если поле £1//2 (ж, у) в узлах (г + k/2, j +1/2) i,j = О, ±1, ±2,...; fc, l = 0,1 построено с помощью процедуры восполнения рассмотренного в пункте 1.2 однородного поля с узлов целочисленной сетки по значениям однородного изотропного поля ^ с корреляционной функцией Rnm, то это поле является однородным и изотропным.

Кроме того, получена корреляционная функция поля £l/N(x,y) на сетке шх/ц = {(х0 ± i/N, х0 ± j/N) | i, j = 0,1,... ; х0 = 0} после N шагов интерполяции. Рассмотрены примеры.

В пункте 1.4 рассмотрен способ кусочно-постоянного восполнения случайного процесса, заданного в случайные моменты времени, в произвольную точку каждого временного интервала, определяемого смежными моментами времени. Пусть £(£) — произвольный стационарный

случайный процесс с одномерным распределением Р(х) и корреляционной функцией Д(т), а & = г = 0,1,2,... — значения этого процесса в моменты времени, определяемые независимым от £(£) пуассоновским

потоком точек ¿0 = 0,^1^2,____Реализации непрерывного процесса £(£)

строится двумя способами: восполнением слева

&(*) = {&. г = 0,1,2,...}

и восполнением справа

Для полученных процессов выписаны корреляционные функции. Доказаны утверждения о том, что при восполнении этими способами сохраняется одномерное распределение процесса, кроме того, при восполнении слева полученный процесс не является стационарным, он стационарен лишь асимптотически при I со, тогда как при восполнении справа он является стационарным при всех значениях Ь.

Вторая глава посвящена моделированию гауссовских процессов и полей с заданными корреляционными матрицами теплицева и блочно-теплицева вида. Предложены способы регуляризации алгоритмов для обеспечения устойчивости вычислительного процесса.

В пункте 2.1 рассмотрены рекурсивные алгоритмы стохастической интерполяции гауссовских стацйонарных процессов и однородных случайных полей с использованием алгоритмов, основанных на методе условных распределений. Пусть 4 = 1,1 + 1/2, 2, 2 + 1/2, ...,п стационарная гауссовская последовательность с нулевым средним и заданной теплицевой корреляционной матрицей

1 Г1/2 П г1+1/2 ... г„_ 1

Г1/2 1 Г1/2 Г1 ... ГП_!_ 1/2

Гп-1 ^п—1 — 1/1 Гп-2 ............1

В целочисленных точках значения процесса фиксируются, требуется проинтерполировать процесс в точки

t = í + 1/2, 2 + 1/2,.... (я - 1) + 1/2.

Обозначим заданный вектор через & = (6, • • • 1 £п)Т, а искомый вектор через £ = (£1+1/2, • • • .£(п-1)+1/2)Т> через Д22 и Нц соответствующие

им корреляционные матрицы, а через Д12 — взаимную корреляционую матрицу. В соответсвии с методом условных распределений искомый вектор строится в виде:

£1 = Йг + Д12-Й221(?2

М2) + М фг>

(3)

где 01 = (<^1+1/2 > • • •, (¿>(„_1)+1/2)т — независимые между собой и от £2 нормальные случайные величины с нулевыми средними и единичными дисперсиями, а нижняя треугольная матрица А\ такая, что

АгАГ = Яц.2 — Ли ~ •

Реализация алгоритма (3) требует трудоемких вычислений при больших размерностях матриц. Поэтому предлагается модификация этого алгоритма, при котором можно обойти разложение матрицы Дц.г (для простоты положим — Р2 — 0). Показано, что ^ можно представить в виде, эквивалентном формуле (3)

£1 = Л12-К22 (¿2 - т) + г?1,

(4)

где тд = (г?1+1/2,%+1/2, • ■ 1)+1/2)Т и т?2 = (»71, • - • ,т?п)т - нормальные векторы с нулевыми средними и корреляционными матрицами Лц и Д22 такие, что вектор т? = (т71,771+1/2,••• ,»7(п-1)+1/2,»7п)т имеет корреляционную матрицу (2) и не зависит от Получены рекуррентные формулы для вычисления .

В пункте 2.2 предложены некоторые приемы регуляризации алгоритмов моделирования векторных гауссовских последовательностей. Рассмотрен алгоритм моделирования стационарно связанных р-мерных векторов , £2,..., £п с заданной вещественной ковариационной матрицей блочно-теплицева вида

Щп) =

До

ЯТ

Яг До

Дп-1 Дп-2

До

Известный алгоритм моделирования таких векторов методом условных распределений сводится к рекурсивным формулам:

6=Со<Дъ & = - + Ск-1<?к, к = 2,...,п,

где <Д],..., <рп — независимые между собой гауссовские векторы с независимыми компонентами, а В[к] = (ВЦк],..., В"[[к])ти С*, СкС'[ = вычисляются рекурсивно по формулам

вП1] = ДГДо1. вП1] = Д1Й0-1)

Яъ — До, <Зо = До,

{В?[к + 1],.... ВЦк + 1]) = Вт[к} - В1+1[к + 1 }Вт{Щк), ФПк + 1], АТ[* + 1]) = Вт[к] - &*+1[к + 1 ]Вт[к]3{к), Вк+1[к + 1] = <¿^№+1 - Щ^Ак]), вк+1[к +1] = 1(Д?+1 - %Ъ)В[к}), Як = До - д^ям, ё* = До - Д^И,

которые требуют вычисления обратной для матрицы, чьи собственные числа за счет погрешностей на некотором шаге становятся близкими к

нулю. Здесь Д* = (Д^,..., Д^)т, Д/ь = (Дь..., Д/ь)т, ./(*) — блочная матрица "отражения". Известный способ регуляризации состоит в том, чтобы вместо Д(„) рассматривать подправленную матрицу С?(п) такую, что ее блоки

Со = (1-е)До + £/„, С* = (1 - е)ДЛ, А; = 1,...,п-1, е е [0,1].

Выбором подходящего е эту матрицу можно сделать положительно определенной и такой, что алгоритм моделирования для нее реализуется на необходимое число шагов. Параметр е находится экспериментально.

Далее предложен сдвоенный алгоритм, использующий устойчивый алгоритм для матрицы С(п), в котором путем тождественных преобразований изменяется способ вычисления матриц Вь+г [/с + 1] таким образом, что теперь не нужно обращать плохо обусловленную матрицу:

= #(!] = <?,Со1.

вт[1) = 1$в*\ ад^дхд«-1,

Яо = Со, до = Со,

<Зо = До, Оо - До,

{ff[k + 1], ...,/?*> + 1]) = р[к] - #+1[fc + l]^[k]J(k), 0f{k + 1], ..Jl[k + 1]) = ¡Р[к] - 0J+I[k + l]F[k]J(k), (Bf[k + 1],Bj[k +1]) = ÊT[k] - Bl+l[k + 1 ]BT[k]J(k), (ВЦк + 1],.... BTk\k + 1]) = BT[k] - ÈTk+l [k + 1 ]ëT[k}J(k), Mk +1] = %l{Gk+x - GÏJ{k)0[k}), Âfc+i[* + 1] = q;4Gl+1 - GlJ{J[k}), Bk+1[k + 1] = [Ip - (1 - e)q;lRTk(B[k] - P[k]) - eq-1]-1 * x{pk+l[k + 1 })[IP - (1 - е)рш[к + 1]-%*ЩЪк)(ё[к] - 0[k])], Bk+1[k 4-1] = [Ip - (1 - e)q^RTk(B[k] - 0[k]) - ê^"1]"1 x x0k+i[k + 1 ])[IP - (1 - e)h+i[k + 1]-Vi£j(fc)(i[*] - 0[k))), Qk = Gq — 6TJ[k\, qk = Go - GTJ[k],

Qk=Ro- RjB[k], Qk = R0- ЩВ[к], CkCk = Qk, к = l,...,n - 1.

Показало, что сдвоенный алгоритм несмотря на двойные вычисления является более устойчивым. Приведены результаты численных экспериментов.

В Третьей главе рассмотрены известные алгоритмы моделирования слоисто кучевой облачности: каскадная модель, модель, основанная на схеме скользящего суммирования и спектральная модель. Проведен их сравнительный анализ.

В пункте 3.1 описана каскадная модель, предложенная американскими специалистами д ля приближенного моделирования стационарного случайного процесса с логнормальным одномерным распределением с параметрами с, а и степенным спектром с показателем 1 < а < 2.

На отрезке [0, Lq] задается функция £o(z) = то, где то = ехр(<72/2 + с). Выписана моделирующая формула для процесса Çn в точке х € [О, L]

после п шагов построения каскадной модели:

п

Ы*) = П [! + (*) (*) Л] (5)

где Л = /1, Ь и Д определяются из равенств

оо

a=l-log2(b2), е-д = ЛП(1-Л). Д = а2А

V П=1

21 (®) = Е<1),

[Е?\ х = О апри ¿>1: Е»(«) = |е?), » € ,

[е

где г € [1 ; 2к-1 — 1] — нечетное целое число, а Е^ независимые случайные величины, каждая из которых принимает значения ±1 с равной вероятностью,

(('-^о и*.

■ - > - - I 2* ' "г®

f 1, *€ \-1, ге

или ж = О

где г 6 [1 ; 2* — 1] — нечетное целое число.

Доказано, что процесс £„, построенный по правилу (5) не является стационарным. Рассмотрено обобщение каскадной модели на 2-мерный случай, выписаны моделирующие формулы.

В пункте 3.2 описана спектральная модель двумерного однородного поля т(х,у) с логнормальным одномерным распределением с параметрами с, сг и ковариациями r(t,s). Для построения этих полей использован метод обратных функций распределения. Моделирующие формулы имеют вид

г (х, у) - exp (aw (х, у) + с),

где и) (х, у) — однородное случайное гауссовское поле с нулевым средним, единичной дисперсией и ковариационной функцией p(t,s). Конкретный вид соотношения, связывающего ковариации p(t,s) и r(t,s)

приведены в диссертации. Для моделирования w(x,y) в данном пункте использованы спектральные модели:

w* (х,у) = (-21nay)1/2 COS ((АуЖ -I- Vijy) + 2n/3t}),

i — 1, ...,n, j = -n,...,-l, l,...,n,

здесь Qjj, — независимые случайные величины, равномерно распределенные на интервале [0,1].

Для спектральной плотности

f(X,u)=co\\u\-5/3, А € [А, В], ve[A,B]U[-B,A], где со = const, A = b0 <bi < ... <bn = В, ь, ьj

4=со J \~5'3d\ J v~b'*dv, ij = l,...,n,

ci,3 = Cj.-j > t = 1, •••, J = 1 > ■••) — а величины Хг], vl3 выбираются либо детерминированным образом в соответствующих интервалах

[b.-iA), [bj-i,b}) при i,j = l,...,n,

[6t_iA), [-bj, -bj_i) при г = 1,..., n, j = -l,...,-n

(нерандомизированная модель), либо моделируются случайным образом в этих же интервалах независимо друг от друга по плотности пропорциональной ¡Aj-5/3 (рандомизированная модель).

В пункте 3.3 описана схема скользящего суммирования, предназначенная для моделирования гауссовских случайных полей гиптп дискретного аргумента с корреляционной функцией Кпт.

Проведен сравнительный анализ трех моделей и установленно, что каскадная модель не позволяет моделировать однородные поля, строит поле лишь в ограниченном объеме и является менее реалистичной но и менее трудоемкой, чем две другие модели.

Спектральная модель и модель на основе схемы скользящего суммирования позволяют моделировать однородные и изотропные поля с произвольным спектром. Модель на основе схемы скользящего суммирования менее трудоемкая чем спектральная модель, поэтому она является более предпочтительной, когда случайные поля необходимо моделировать многократно.

Заключение

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1) Построен алгоритм моделирования негауссовских процессов и полей на основе кусочно-постоянного восполнения дискретных однородных процессов и полей, сохраняющий однородность исходного процесса или поля.

2) Построен алгоритм восполнения однородного и изотропного поля, заданного на регулярной сетке на сетку с меньшим шагом, сохраняющий однородность и изотропность.

3) Построены алгоритмы кусочно-постоянного восполнения дискретного процесса, заданного в случайные моменты времени, в произвольную точку каждого временного интервала, определяемого смежными моментами времени.

4) Предложена модификация алгоритма стохастической интерполяции гауссовских стационарных процессов и однородных случайных полей на основе метода условных распределений, позволяющая обойти трудоемкую операцию разложения матрицы в произведение двух треугольных и привести алгоритм к рекуррентному виду.

5) Предложены способы регуляризации алгоритма моделирования многомерных гауссовских последовательностей с блочно-теплицевыми ковариационными матрицами.

6) Исследованы и численно реализованы известные алгоритмы моделирования слоисто кучевой облачности: каскадная модель, модель, основанная на схеме скользящего суммирования и спектральная модель. Доказано, что в каскадной модели полученное поле не является однородным. Показано, что каскадная модель дает менее реалистичную картину, но является менее трудоемкой по сравнению с двумя другими моделями.

Список литературы

|1] Калашникова Н.И., Огородников В. А. Стохастическая интерполяция однородных случайных полей.// Труды ВЦ СО РАН. Вычислительная математика, 4.- Новосибирск: Изд. ВЦ СО РАН, 1996. -С. 40-51.

[2] Губи на Н.И. Моделирование одного класса негауссовских процессов. Труды конференции молодых ученых ВЦ СО РАН, 1996.

[3] Губина Н.И. Об одном классе кусочно-постоянных процессов. Труды конференции молодых ученых ВЦ СО РАН, 1997, 8 с

[4] N.I. Gubina and V.A. Ogorodnikov. Some problems of the statistical simulation of conditional processes and fields. Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. VSP, the Netherlands, Vol. 13, No.5, pp. 345-358 (1998).

[5] Губина Н.И. Численное моделирование стохастической структуры слоисто-кучевых облаков. Труды конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН, 1999.

[6] Prigarm S.M., Gubina N.I., Oppel U.G. Numerical modeling of stochastic fields of vertical optical thickness for stratocumulus clouds. In N.I. Smith an Yu M. Timofeyev (Eds), IRS2000: Current Problems in Atmospheric Radiation 2001, A.Deepak. Publishing, Hampton, Virginia, p.257-260,

[7] Н.И. Губина. Некоторые вопросы стохастической интерполяции однородных изотропных случайных полей дискретного аргумента. Труды конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН. Новосибирск, 2004. С. 35-41,

ГУБИНА НАТАЛИЯ ИГОРЕВНА

ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОГО ВОСПОЛНЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕЙ

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия ИД N0 02202 от 30 июня 2000 г. Подписано в печать /3 .05.2005 г.

Формат бумаги 60 х 841 Де Объем 1,0 п, л. 0,9 уч.-изд. л. Тираж 80 экз. Заказ N0

ООО "Омега Принт", Новосибирск-90, пр Лаврентьева, 6

J /ПУ n У ли

РНБ Русский фонд

2007-4 6892

nHrtr'***" '

i' iu If

09 ИЮН 2005

Введение

Глава 1. Моделирование некоторых классов кусочно-постоянных негауссовских процессов и полей

1.1 Кусочно-постоянное восполнение стационарных в широком смысле процессов с узлов регулярной сетки в произвольную точку временного интервала

1.2. Восполнение однородного в широком смысле поля с узлов регулярной сетки в произвольную точку области

1.3 Восполнение однородного и изотропного поля

1.4 Кусочно-постоянное восполнение стационарных в широком смысле процессов с узлов стохастической сетки в произвольную точку временного интервала

Глава 2. Моделирование некоторых классов гауссовских процессов и полей с корреляционными матрицами теплицева и блочно-теплицева вида

2.1 Рекурсивные алгоритмы моделирования реализаций условно распределенных стационарных гауссовских процессов

2.2 Некоторые приемы регуляризации алгоритмов моделирования векторных гауссовских последовательностей

Глава 3. Численное моделирование стохастической структуры слоисто-кучевых облаков

3.1 Каскадная модель

3.2 Модели на основе метода нелинейного преобразования гауссовского поля. Спектральные модели

3.3. Схема скользящего суммирования. Сравнительный анализ моделей

В связи с бурным развитием вычислительных средств появляется возможность решать более сложные и трудоемкие научные и прикладные задачи в различных областях науки и техники с привлечением методов статистического моделирования, требующие соответствующих алгоритмов для их реализации. При решении современных задач, связанных с моделированием и анализом атмосферных процессов и климата [14,26,31-34,35,4043,45,52,54,56], океанологических и гидрологических процессов [4, 22, 25, 63-65, 69], процессов переноса примесей в атмосфере [62], при решении различного типа природоохранных задач [21], задач по исследованию закономерностей переноса излучения в атмосфере [30,37,75,84,85,97], в задачах статистической турбулентности [94,95], при объединении гидротермодинамических и вероятностных подходов к описанию реальных процессов [53,71,73,74,92], при исследовании климатических воздействий атмосферных процессов на различные строительные объекты и сооружения [13], при решении агрофизических задач [29] и т.д. используются многомерные стохастические модели атмосферных процессов. Эти задачи определяют новые требования к численным вероятностным моделям - увеличение размерности, привлечение большого объема фактической информации, учет в моделях большого числа статистических параметров. При этом для решения перечисленных выше задач необходимы также реалистичные стохастические модели атмосферных процессов, в достаточной степени адекватно описывающие характерные особенности реальных данных. В первую очередь в них должны быть учтены доступные (в рамках имеющейся информации) особенности распределений и корреляционных связей многомерного процесса. С другой стороны, при использовании вероятностного подхода к решению этих задач необходимо моделировать очень большое число реализаций процессов и полей для получения надежных оценок рассчитываемых функционалов. В связи с этим разработка универсальных и экономичных методов и алгоритмов моделирования многомерных случайных процессов и полей с заданной корреляционной структурой (в том числе с учетом нестационарности или неоднородности) и алгоритмов стохастического восполнения, используемых при построении стохастических моделей атмосферных процессов, является актуальной теоретической и важной практической задачей.

Основными характеристиками, используемыми при построении численных алгоритмов моделирования случайных процессов и полей, являются одномерные распределения, корреляционные функции либо спектральные плотности соответствующих процессов и полей. Для учета одномерных распределений используются различные подходы, например функциональные нелинейные преобразования гауссовских и негауссовских процессов и полей, моделирование кусочно-постоянных процессов и полей с использованием различных типов точечных потоков, линейные преобразования негауссовских процессов.

Чаще всего в основе методов моделирования негауссовских процессов и полей лежат методы моделирования гауссовских процессов и полей. Это главным образом связано с тем, что для гауссовских процессов и полей класс корреляционных функций (или корреляционных матриц в случае поля на ограниченной сетке) наиболее широк, он определяется неотрицательной определенностью этих корреляционных функций или матриц. Методы моделирования гауссовских векторов с нулевым средним и заданной ковариационной матрицей Я основаны на использовании линейного преобразования [7, 28, 70]

1 = Ау (1) гауссовского вектора ф = (<р1,.,<рп)т с нулевым средним, единичными дисперсиями и независимыми компонентами, где А -нижняя треугольная матрица такая, что ААТ = Я. Методы разложения симметричной положительно определенной матрицы Я на произведение транспонированных друг относительно друга треугольных матриц хорошо известны (метод Холецкого) [9,79], однако при больших размерностях матрицы Я, а также при ее плохой обусловленности моделирование затруднительно. В том случае, когда матрица вырождена, может быть использовано представление гауссовского вектора в виде %=РА1/2ф, где Р -матрица из собственных векторов-столбцов ковариационной матрицы Я, а А - диагональная матрица из ее собственных чисел. Для реализации этого преобразования необходимо решить полную спектральную проблему для матрицы Я. Известные итерационные методы [78, 79] и современные вычислительные средства позволяют решать эти задачи с достаточной точностью для матриц большой размерности п, например, п порядка нескольких тысяч. В приложении к статистической метеорологии такого типа задачи были рассмотрены в работе [27]. Однако в ряде случаев, когда необходимо моделировать более длинные последовательности, приведенные выше методы оказываются непригодными. В этих условиях при моделировании используют различного рода приближения, например стационарное приближение. В случае стационарных временных рядов с ограниченным числом элементов соответствующая ковариационная матрица

Л = = = = = имеет теплицеву структуру, которая полностью определяется своей первой строкой. Для таких матриц эффективными оказываются алгоритмы моделирования, основанные на методе условных распределений [28,70,72,88,96], основанные на преобразованиях вида [46, 90] вп1 = о,д,, где

1 0 0 1 0 • •• 0

1 0 0 •• 0

-Ь1\п-1] 1 0 0 •• • ¿п а Ь[к] и с1к определяются уравнениями [39, 46 ,90]

ЯкЬ[к] = гл* с1к=\-?{Ът[к}, (2)

Ь[к] = (Ь1[к],.,Ькт)Т, гк=(г13.,гк)т.

Вычисления Ь[к] и с1к при заданной матрице Кк осуществляются рекурсивно с помощью алгоритма Дурбина [2,10,46,86,90].

Для моделирования последовательностей большой длины используются также различные модели стационарных процессов, например, модели авторегрессии, а также смешанные модели авторегрессии-скользящего среднего. При моделировании гауссовских процессов авторегрессии к - го порядка = , + Ъ£„2 +. + Ьк4к +с!(Р[ (3) параметры модели однозначно определяют корреляционную структуру временного ряда. Так, например, если параметры модели определяются уравнениями (2), и при этом расширенная матрица ЯА+1 положительно определена, то процесс (3) является стационарным, его корреляционная функция в первых к = \,.,к точках совпадает с первой строкой ковариационной матрицы , а ее значения при к > к определяются разностным уравнением [44, 90] ги=ЬхГк+Ьггьх+. + Ькгкк.

В ряде случаев, когда требуется знание конкретных выражений для корреляционных функций либо спектральных плотностей в виде дробно-рациональных выражений удобно пользоваться смешанной моделью авторегрессии-скользящего среднего АРСС(&,/) [2,5,87] = + Ь2^-2 + • • •+ък%,к + с1х(р,+а2(р(х +.+.

В работе [64] приведены таблицы выражений для корреляционных функций АРСС (2,1), которые удобно использовать при моделировании гауссовских стационарных последовательностей. Дробно-рациональные спектральные плотности часто [46,90] используют для аппроксимации спектральных плотностей, оцененных по реальным рядам. Для моделирования однородных гауссовских двумерных полей дискретного аргумента часто используется алгоритм, основанный на двумерной модели скользящего среднего [76], а также модели полей марковского типа на регулярной сетке [23]. В ряде случаев для моделирования гауссовских однородных и изотропных полей с корреляционными функциями специального вида используют различного типа стохастические дифференциальные уравнения в частных производных [15].

Рассмотренные подходы к моделированию гауссовских векторов и процессов обобщаются на случай многомерных процессов дискретного аргумента, а также пространственных и пространственно-временных скалярных и векторных гауссовских полей на регулярных и нерегулярных сетках [81,90]. В этих случаях вместо скалярных рассматриваются блочные ковариационные матрицы, а для однородных, а также однородных и изотропных полей - блочно-теплицевы матрицы с блоками, обладающими дополнительной спецификой, определяемой свойствами соответствующих корреляционных функций. Более конкретно эти свойства будут описаны в первой главе данной диссертации. Другим важным классом алгоритмов моделирования стационарных гауссовских процессов и однородных скалярных и векторных гауссовских полей непрерывного аргумента являются алгоритмы, основанные на спектральном представлении случайных процессов и полей [28,50,57-59,68,77]. В отличие от алгоритмов и моделей, основанных на линейных преобразованиях, рассмотренных выше, которые в пределах точности датчиков гарантируют гауссовость моделируемого процесса или поля, спектральные модели являются приближенными и соответствующие процессы и поля при конечном числе используемых гармоник являются приближенными гауссовскими и становятся гауссовскими лишь асимптотически. Соответствующие теоремы о сходимости спектральных моделей приведены в работах [11,12,50,58,]. Спектральные модели находят широкое применение при решении задач, в которых необходимо знать значение процесса или поля в произвольной точке области, например, при решении задач, связанных с переносом излучения в атмосфере [90].

При решении ряда прикладных задач большое значение имеет учет нестационарности процесса или неоднородности поля. В рамках преобразования (1) для процессов и полей дискретного аргумента общая задача моделирования нестационарных гауссовских процессов и полей решается автоматически, но требует знания соответствующей ковариационной матрицы, как правило, очень большой размерности. В ряде случаев с учетом специфики решаемой задачи такую матрицу можно задавать модельно, используя некоторые функциональные соотношения для расчета ее элементов, например, использовать прямое произведение корреляционных матриц [90]. При сравнительно небольших размерностях матрицы и при достаточно большом объеме данных о процессе ковариационная матрица может быть построена с помощью соответствующих оценок по данным наблюдений. Однако в реальных условиях эта матрица может содержать большие статистические погрешности, быть плохо обусловленной либо вырожденной, поэтому для реализации преобразований типа (1) может оказаться необходимой специальная корректировка матрицы либо специальные модификации алгоритмов для расчета матрицы преобразования [3, 50].

В ряде случаев в приложениях используются алгоритмы моделирования специальных классов нестационарных процессов и неоднородных полей. В частности к ним относятся алгоритмы моделирования периодически коррелированных гауссовских и негауссовских процессов [25], а также алгоритмы моделирования частично однородных пространственных полей [98]. Для моделирования периодически коррелированных процессов используются два типа алгоритмов. К первому относятся алгоритмы, основанные на спектральном представлении периодически коррелированных процессов в виде

00 2 Я" Е £„(')ехр(|— р=-СО ^ где (г)-стационарные процессы, образующие векторный бесконечномерный стационарный случайный процесс [25]. В соответствующих приближенных алгоритмах могут быть использованы спектральные модели векторных стационарных процессов с заданными матричными ковариационными функциями. Другой подход к моделированию периодически нестационарных скалярных процессов, рассмотренный, например, в [66] основан на использовании свойств блочно-теплицевых ковариационных матриц, в которых периодичность корреляций заложена по определению. Алгоритм моделирования периодически нестационарного скалярного процесса с периодом р в гауссовском случае основан на рассмотренном выше алгоритме моделирования стационарной последовательности векторов

Ч\Аг» —— с матричной ковариационной функцией Здесь

77. = (7](1р + 1),.,Г}(1р +р))т, р- число значений ряда внутри интервала, соответствующего периоду, / = 1,2,.- порядковый номер интервала. Смежные к элементов в последовательности 77,, 772,.77,.,. образуют случайный вектор = с блочно-теплицевой ковариационной матрицей = (&. А /,у = 1 При этом размерность матриц Rj равна p. Первая блочная строка этой матрицы определяет первые к матриц в матричной ковариационной функции RQ,Rl,R2,— Для учета негауссовости могут быть использованы различные нелинейные преобразования, периодически зависящие от времени.

При разработке негауссовских спектральных моделей также используется модификация метода функциональных преобразований гауссовского процесса [83], учитывающая специфику спектральных моделей. Приближенная модификация "метода обратных функций", предназначенная для моделирования временных рядов по данным реальных наблюдений, основана на нормализации реального ряда и рассмотрена в работах Г.Г. Сванидзе [69], A.C. Марченко, А.Г. Семочкина [47] . Для построения стохастических моделей широко используются также различные функциональные преобразования гауссовских процессов [28,38]. Одним из наиболее распространенных методов моделирования негауссовских процессов и полей является метод обратных функций распределения [28,55,57], впервые предложенный З.А. Пиранашвилли [55]. Суть этого метода состоит в следующем. Пусть £ = £л)г- гауссовский вектор с нулевым средним и корреляционной матрицей G-{gij), i,j = \,.,n. Для того, чтобы построить случайный вектор rj = {rjx,.,rjn)T с корреляционной матрицей R = {rij), i,j = \,.,п и одномерными распределениями F^x) его компонент используется преобразование каждой компоненты вектора £ в виде щ = (4) где Ф(дг) - функция стандартного одномерного нормального распределения. Коэффициенты корреляции г^ и giJ связаны между собой соотношениями где 00 00 а Их>У\ёу) ~ двумерная плотность распределения двух нормальных величин с нулевыми средними, единичными дисперсиями и коэффициентом корреляции gij. Функция гу является монотонной, однако интервал [-1,1] изменения коэффициента корреляции gij в зависимости от функций распределения/^(х)и

FJ(x) отображается в более узкий интервал Для построения вектора г\ с функциями распределения /*](*) необходимо решить систему нелинейных уравнений относительно по заданным г<р и, в случае, если решение существует для каждого / и у, и, при этом, матрица О из коэффициентов корреляции оказывается положительно определенной, то построение вектора г\ сводится к моделированию гауссовского вектора с с корреляционной матрицей О с последующим преобразованием каждой компоненты этого вектора по формуле (4). Если при заданных и ^(х) решения уравнения^. = не существует, то возможны приближенные решения, в частности, в качестве выбирается наибольшее из возможных, но такое, которое гарантирует неотрицательную определенность матрицы С7. Условия совместимости одномерных распределений и корреляций приведены в [57,60]. В работе [16] приведены таблицы одномерных распределений, которые могут быть использованы для численного моделирования негауссовских процессов.

Для моделирования негауссовских процессов и полей с произвольным одномерным распределением и произвольной выпуклой корреляционной функцией хорошо известны методы, основанные на различных модификациях метода "повторений" [49], а также методы, основанные на использовании точечных потоков Пальма [48,51] (Г.А. Михайлов). В ряде случаев могут быть использованы также методы моделирования негауссовских кусочно-постоянных процессов и полей с непрерывным аргументом, основанные на объединении методов моделирования процессов и полей дискретного аргумента с методами моделирования процессов и полей на точечных потоках [91]. Необходимость в таких алгоритмах определяется тем, что модели процессов и полей с дискретным аргументом, рассмотренные выше, несмотря на экономичные алгоритмы, основанные на использовании специфики теплицевых корреляционных матриц, тем не менее, ограничены ресурсами памяти ЭВМ. Наиболее существенно это при моделировании пространственных и пространственно-временных полей на сетках с большим числом узлов. В этих случаях одним из возможных подходов к решению задач большой размерности является использование методов стохастического восполнения случайных процессов и однородных случайных полей дискретного аргумента с узлов регулярной сетки в заданную точку области, рассмотренных в работах [17,18,19,36,89], которые в свою очередь основаны на модификации известного метода повторений [49] и метода моделирования случайных процессов с использованием стационарных точечных потоков [48,50]. Основная специфика этих алгоритмов состоит в сохранении вероятностных свойств исходного процесса (или поля на сетке), главным образом, одномерных распределений, свойств стационарности в широком смысле для процесса, однородности и изотропности для поля.

В первой главе диссертации рассматриваются вопросы, связанные с моделированием некоторых классов негауссовских случайных процессов и полей, включающих стационарные в широком смысле кусочно-постоянные процессы, однородные в широком смысле и однородные изотропные поля, конструктивное представление которых основано на использовании специальных классов точечных потоков. Полученные результаты являются частными решениями более общей задачи кусочно-постоянного стохастического восполнения пространственных полей с узлов нерегулярной сетки в произвольную точку области. Для этой задачи автором получены простые численные алгоритмы для вычисления корреляционной функции поля по заданной дискретной корреляционной функции поля в узлах сетки.

В этой главе рассматривается также алгоритм кусочно-постоянного восполнения дискретного процесса, заданного в случайные моменты времени. Рассматривается модель, в которой эти моменты времени образуют пуассоновский поток точек. Исследована корреляционная структура таких кусочно-постоянных процессов. Получены выражения для корреляционных функций при кусочно-постоянном восполнении слева и справа, проведены тестовые расчеты. Рассмотренная задача может иметь практический интерес, т.к. измерения в случайные моменты времени - ситуация, часто встречающаяся на практике.

В главе 2. рассматриваются алгоритмы моделирования условно распределенных стационарных процессов и однородных случайных полей с использованием алгоритмов, основанных на методе условных математических ожиданий. Для гауссовского случая в пункте 2.1 построены экономичные рекурсивные алгоритмы стохастической интерполяции стационарных случайных процессов с узлов регулярной сетки на регулярную сетку с меньшим шагом. При построении алгоритма используются алгоритмы метода условных математических ожиданий для теплицевых корреляционных матриц.

В пункте 2.2 рассматривается алгоритм моделирования многомерных гауссовских последовательностей с блочно-теплицевыми ковариационными матрицами [90]. В ряде случаев этот алгоритм с блочно-теплицевыми ковариационными матрицами большой размерности может оказаться вычислительно неустойчивым. В связи с этим в пункте 2.2 рассматривается способ регуляризации этого численного алгоритма. Здесь основная задача состоит в том, чтобы обеспечить устойчивость вычислений и, при этом не нарушить специфики корреляционной матрицы, т.е. сохранить стационарность векторной последовательности. Предложен способ регуляризации, который сводится к тождественной записи исходного алгоритма, но, при этом, новый алгоритм содержит параметр, варьируя которым, можно добиться устойчивости вычислений. Алгоритм реализован на ЭВМ, проведены численные эксперименты, подтверждающие его эффективность.

В главе 3. Исследованы свойства трех известных алгоритмов численного моделирования случайных полей с логнормальным одномерным распределением - каскадная модель, модель, основанная на схеме скользящего суммирования и спектральная модель. Алгоритмы предназначены для моделирования слоисто-кучевой облачности применительно к задачам переноса излучения в атмосфере. Для каскадной модели выписываются моделирующие формулы, и показывается, что в этом случае полученное поле не является однородным и дает менее реалистичную картину, по сравнению с остальными двумя алгоритмами моделирования. Все три алгоритма численно реализованы, проводится их сравнительный анализ.

Результаты, изложенные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на Семинаре отдела «Статистическое моделирование в физике» ИВМиМГ СО РАН, на 4-х конференциях молодых ученых ИВМиМГ СО РАН (1996-2004 гг.), на конференции 1RS 2000: Current Problems in Atmospheric Radiation proceeding of the International Radiation Symposium St.Peterburg, Russia, 24-29 july 2000.

Основные результаты диссертации опубликованы в 7 печатных работах [17-20,36,89,93].

Автор выражает признательность научному руководителю д.ф.-м.н. В.А. Огородникову, члену-корреспонденту РАН Г.А. Михайлову за поддержку и постоянное внимание к работе, профессору С.М. Пригарину и к.ф.-м.н. А.В. Протасову за полезные обсуждения и сотрудничество.

Заключение.

1. Построен алгоритм моделирования негауссовских процессов и полей на основе кусочно-постоянного восполнения дискретных однородных в широком смысле процессов и полей, сохраняющий однородность в широком смысле исходного процесса или поля.

2. Построен алгоритм восполнения однородного изотропного поля, заданного на регулярной сетке на сетку с меньшим шагом, сохраняющий однородность и изотропность.

3. Построены алгоритмы кусочно-постоянного восполнения дискретного процесса, заданного в случайные моменты времени, в произвольную точку каждого временного интервала, определяемого смежными моментами времени.

4. Предложена модификация алгоритма стохастической интерполяции гауссовских стационарных процессов и однородных случайных полей на основе метода условных распределений, позволяющая обойти трудоемкую операцию разложения матрицы в произведение двух треугольных и привести алгоритм к рекуррентному виду.

5. Предложены способы регуляризации алгоритма моделирования многомерных гауссовских последовательностей с блочно-теплицевыми ковариационными матрицами.

6. Исследованы и численно реализованы известные алгоритмы моделирования слоисто кучевой облачности: каскадная модель, модель, основанная на схеме скользящего суммирования и спектральная модель. Доказано, что в каскадной модели полученное поле не является однородным. Показано, что каскадная модель дает менее реалистичную картину, но является менее трудоемкой по сравнению с двумя другими моделями.

1. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ // М: Гос. Издат. Физико-математической литературы, 1963. - 500 с.

2. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов // -М.: Мир, 1976.- 757 с.

3. Анисимова A.B. Численное моделирование индикаторных случайных полей осадков // Труды конференции молодых ученых, Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 1997, стр. 3-15.

4. Белышев А.П., Клеванцов Ю.П., Рожков В.А. Вероятностный анализ морских течений // Л.: Гидрометеоиздат, 1983. - 264 с.

5. Бокс Дж., Дженкинс Т. Анализ временных рядов (пер. с англ.) // Прогноз и управление. -М.: Мир, 1974. -308 с.

6. A.A. Боровков. Теория вероятностей. -М.: Наука, 1986, 432 с.

7. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике // М.: Сов. радио, 1971.

8. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и её инженерные приложения.// М.: Наука, 1991.-383 с.

9. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления // М: Наука, 1984.-320 с.

10. Воеводин В.В., Тыртышников Е.Е. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами. М.: Наука, 1987. -320 с.

11. П.Войтишек A.B. Исследование слабой сходимости моделей гауссовских случайных полей с заданным спектральнымразложением корреляционной функции // Моделирование на вычислительных системах. Новосибирск, 1982. - С.119-129.

12. Войтишек A.B., Пригарин С.М. О функциональной сходимости оценок и моделей в методе Монте-Карло// Журнал вычисл. математики и матем. физики.-1992.- Т.32, N 10. -С. 1641-1651.

13. Гандин Л.С. О влиянии ветра на тепловой режим зданий // Труды ГГО, 1970, вып.268, стр. 3-20.

14. Гандин JI.C., Каган P.JI. Статистические методы интерпретации метеорологических данных // JI: Гидрометеоиздат, 1976. - 259 с.

15. Глуховский А.Б. О статистическом моделировании метеорологических полей // Известия АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1969, т. 5, N 7, стр. 724-729.

16. В.В. Губарев. Вероятностные модели: Справочник. В 2-х ч. .Новосиб. электротехн. ин-т. -Новосибирск, 1992.

17. Губина Н.И. Моделирование одного класса негауссовских процессов. Труды конференции молодых ученых ВЦ СО РАН, 1996.

18. Н.И. Губина. Некоторые вопросы стохастической интерполяции однородных изотропных случайных полей дискретного аргумента. Труды конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН. Новосибирск, 2004. С. 35-41.

19. Губина Н.И. Об одном классе кусочно-постоянных процессов. Труды конференции молодых ученых ВЦ СО РАН, 1997, 8 с

20. Губина Н.И. Численное моделирование стохастической структуры слоисто-кучевых облаков. Труды конференции молодых ученых ВЦ СО РАН, 1999.

21. Моделирование компонентов экосистемы // под ред. И.Н. Давидана. J1:, вып. 3, Гидрометеоиздат, 1987. - 256 с.

22. Проблемы исследования и математического моделирования ветрового волнения // под ред. И.Н. Давидана. Санкт-Петербург: Гидрометеоиздат, 1995. - 472 с.

23. Дерин Х.,Келли П. Случайные процессы марковского типа с дискретными аргументами // ТИИЭР, т. 77, No 10, 1989, стр. 4271.

24. Доценко С.В. Случайные процессы в гидрофизических измерениях. JL: Гидрометеоиздат, 1983.- 239 с.

25. Драган Я.П., Рожков В.А., Яворский И.Н. Методы вероятностного анализа ритмики океанологических процессов // -JL: Гидрометеоиздат, 1987. 320 с.

26. Дробышев А.Д., Марченко A.C., Огородников В.А., Чижиков В.Д. Статистическая структура временных рядов суточных сумм жидких осадков в равнинной части Новосибирской области // Труды ЗапСибНИИ Госкомгидромета, 1989, вып. 86, стр. 44-74.

27. Евстафьева А.И. Моделирование совместных рядов метеоэлементов на годовом интервале // Труды конференции молодых ученых. Новосибирск, 2004, е. 45-52.

28. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование // -М: Наука, Гл. Изд. Физико-математической литературы, 1982. -296 с.

29. Жуковский Е.Е., Бельченко Г.Г., Брунова Т.М. Вероятностный анализ влияния изменений климата на потенциал продуктивности агроэкосистем // Ж. Метеорология и гидрология, 1992, N0 3, стр. 92-103.

30. Журавлева Т.Б. Статистические характеристики солнечной радиации в разорванной облачности.-Дис. на соиск. учен, степени канд. физ.-мат. наук (05.13.16).- Томск: ИОА, 1993.-158с.

31. Каган Р.Л., Канашкин В.К., Федорченко Е.И. О расчете характеристик временных рядов методом статистического моделирования // Труды ГГО, 1972, вып. 286, стр. 71-82.

32. Каган Р.Л., Сибир Е.Е. Об учете взаимной связи статистических характеристик при расчете числа выбросов временных рядов // Труды ГГО, 1973, вып. 397, стр. 13-20.

33. Каган Р.Л., Федорченко Е.И. К вопросу о статистическом моделировании двумерных метеорологических полей // Труды ГГО. 1973, вып. 308, стр. 20-26.

34. Каган Р.Л., Федорченко Е.И. О применении теории выбросов к исследованию температурных рядов // Труды ГГО, 1970, вып. 267, стр.86-89.

35. Казакевич Д.И. Основы теории случайных процессов в задачах гидрометеорологии,- Л.: Гидрометеоиздат, 1989.- 230 с.

36. Калашникова Н.И., Огородников В.А. Стохастическая интерполяция однородных случайных полей // Труды ВЦ СО РАН. Вычислительная математика, 4, Новосибирск: Изд. ВЦ СО РАН, 1996, стр. 40-51.

37. Касьянов Е.И. Моделирование переноса оптического излучения в стохастически неоднородных облаках. Дис. на соиск. учен, степени канд. физ.-мат. наук (01.04.05). -Томск: ИОА, 1995.- 132с.

38. Кашьяп P.JI.,Pao А.Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным // М.: Наука, 1983.- 384 с.

39. Марпл С.Л.-мл. Цифровой спектральный анализ и его приложения // М: Мир, 1990. - 584 с.

40. Марченко A.C. Аппроксимация эмпирического распределения вероятностей суточных сумм жидких осадков // Труды ЗапСибНИИ Госкомгидромета, 1989, вып. 86, стр. 66-74.

41. Марченко A.C., Минакова JI.A. Вероятностная модель временных рядов температуры воздуха.// Ж. Метеорология и гидрология, 1982, N 3, стр. 51-56.

42. Марченко A.C., Минакова JI.A., Огородников В.А. Статистическое моделирование редких похолоданий с учетом их длительности // Анализ и прогноз многолетних временных рядов. Новосибирск, СНИИЗ и ХСХ СО ВАСХНИЛ, 1988, стр. 63-71.

43. Марченко A.C., Минакова Л.А., Семочкин А.Г. Восстановление вертикальных профилей температуры и ветра методом статистической эстраполяции // Применение статистическихметодов в метеорологии. Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1971, стр. 82-121.

44. Марченко A.C., Огородников В.А. Авторегрессионные процессы с заданной корреляционной структурой // Известия вузов, Математика, 1985, No. 7, стр. 63-67.

45. Марченко A.C., Огородников В.А. Вероятностные модели последовательности сухих и дождливых суток // Препринт 993 ВЦ СОР АН, Новосибирск, 1991. 22 с.

46. Марченко A.C., Огородников В.А. Моделирование стационарных гауссовских последовательностей большой длины с произвольной корреляционной функцией // Журн. вычисл. математики и матем. физики, 1984, Т. 24, No. 10, стр. 1514-1519.

47. Марченко A.C., Сёмочкин А.Г. FOOF метод моделирования временных рядов по наблюдаемым реализациям // Численные методы статистического моделирования. - Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1987, стр. 14-22.

48. Михайлов Г.А. Моделирование случайных процессов и полей на основе точечных потоков Пальма // Докл. АН СССР, 1982, т. 3, N3, стр. 531-535.

49. Михайлов Г.А. О методе "повторений" для моделирования случайных векторов и процессов (рандомизация корреляционных матриц) // Теория вероятностей и её применения. 1974, Т. 19, No4.- С. 873-878.

50. Михайлов Г.А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло // -М: Наука, 1986 Engl.transl.: Springer-Verlag, 1992.

51. Михайлов Г.А., Войтишек А.В. Сходимость вычислительных моделей случайных полей, связанных с точечными потоками Пальма//ДАН.- 1994,- Т.335, N3.- С.291-294.

52. Огородников В.А. Некоторые свойства оценок пороговых уровней длительных похолоданий // Методы статистического моделирования. Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1986, стр. 25-34.

53. Огородников В.А. О динамико-вероятностном прогнозе // Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, т. 11, N0. 8, 1975, стр. 851-853.

54. Огородников В.А. О статистической устойчивости базиса из собственных векторов выборочной ковариационной матрицы // Теория и приложения статистического моделирования. -Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1985, стр. 66-76.

55. Пиранашвили З.А. Некоторые вопросы статистико-вероятностного моделирования случайных процессов // Вопросы исследования операций.- Тбилиси, 1966, стр. 53-91.

56. Поляк И.И. Методы анализа случайных процессов и полей в климатологии //- Л.: Гидрометеоиздат, 1979.- 255 с.

57. Пригарин С.М. Некоторые задачи теории численного моделирования случайных процессов и полей // Новосибирск, 1994.

58. Пригарин С.М. Приближенное моделирование гауссовских полей на основе спектрального представления // Новосибирск, 1989.- 21 е.- (Препринт/ АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ; 876).

59. Пригарин С.М. Спектральные модели векторных однородных полей.// Новосибирск, 1989.- 36 е.- (Препринт/ АН СССР. Сиб.• отд-ние. ВЦ; 945).

60. Пригарин С.М. Условия совместности маргинальных распределений и корреляций // Численные методы статиститического моделирования. Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1987, с. 3-5.

61. Пригарин С.М., Титов Г.А. Спектральные методы моделирования геофизических полей // Оптика атмосферы и океана. 1996. - Т.9, N 7. - С.993-1004.

62. Протасов A.B., Огородников В.А. Динамико-вероятностное моделирование климатических процессов переноса примеси в локальной области. //Оптика атмосферы и океана, т. 17, № 5-6, 2004, с.494-497.

63. Рожков В.А. Методы вероятностного анализа океанологических процессов // JL: Гидрометеоиздат, 1979.- 280 с.

64. Рожков В.А., Трапезников Ю.А. Вероятносные модели океанологических процессов //- JL: Гидрометеоиздат, 1990.-272 с.

65. Рожков В.А., Трапезников Ю.А. К вопросу о построении моделей океанологических процессов // Труды ГОИН, 1983, Вып. 169, стр. 46-59.

66. Румянцева С.А. Вероятностное моделирование ветрового волнения как полимодулированного полициклического случайного процесса. Диссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наук. Санкт-Петербург, 1993, 202 с.

67. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. Часть 1. Случайные процессы.//- М.: Наука, 1976. -494 с.

68. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику (т.2, Случайные поля), М.: Наука, 1978

69. Сванидзе Г.Г. Математическое моделирование гидрологических рядов // Л.: Гидрометеоиздат, 1977. - 296 с.

70. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло //- М.: Наука, 1973.-311 с.

71. Сонечкин Д.М. Динамико-стохастический подход к проблеме долгосрочного прогноза // Труды ГМЦ СССР, 1982, вып. 243, стр. 3-78.

72. Срагович В.Г. Моделирование некоторых классов случайных процессов // Журн. вычисл. математики и матем. физики, 1963, Т. 3, Ыо.З, стр. 586-593.

73. Татарский В.И. Использование динамических уравнений при вероятностном прогнозе барического поля // Известия АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1969, т. 5, N0. 3, стр. 293-297.

74. Тимченко И.Е. Динамико-стохастические модели состояния океана//- Киев.: Наукова Думка, 1981.- 192 с.

75. Титов Г.А. Математическое моделирование радиационных характеристик разорванной облачности // Оптика атмосферы. 1988. - Т.1, N4. - С.3-18.

76. Товстик Т.М. Моделирование однородного гауссовского поля // Тр. X Всесоюз. симпозиума. Секция 4. Методы представления и аппаратурный анализ случайных процессов и полей. JI. 1978, стр. 75-77.

77. Тройников B.C. Численное моделирование случайных процессов и полей на основе точечных потоков Пальма в задачах переноса излучения в облачной среде // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1984. - Т.20, N 4. - С.274-279.

78. Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке Алгол,. Линейная алгебра. Москва, «Машиностроение», 1976, 389 с

79. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.-Л., Физматгиз, 1963, 734 с.

80. В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. -М.: Мир, Т 2., 1967.

81. Хеннан Э. Многомерные временные ряды (пер. с англ.) // М.: Мир, 1974. - 576 с.

82. А.Я. Хинчин. Работы по математической теории массового обслуживания. -М.: Физматгиз, 1963, 236 с.

83. Шалыгин A.C., Палагин Ю.И. Прикладные методы статистического моделирования // Л.: Машиностроение, 1986. -320 с.

84. Cahalan R.F.,Ridway W., Wiscombe W.J., Bell T.L., Shider J.B. The albedo of fractal stratocumulus clouds. //J.Atmos.Sci. 1994. -V.51, N.16. - P.2434-2455.

85. Cahalan R.F., Snider J.B. Marine stratocumulus structure // Remote Sens. Environ.- 1989. V.28. - P.95-107.

86. Durbin J. The fitting of time series models.- Rev. Inst. Internat. Statist., 1960, No. 28, p. 233-244.

87. Franclin J. N. Numerical simulation of stationary and nonstationary Gaussian random processes // "SIAM REV", 1965, 7, No. 1, pp. 68-80.

88. Gringorten I.I. Modelling conditional probability // J. Appl.Meteorol., 1971, v. 10, No. 4, pp. 646-657.

89. Gubina N.I., Ogorodnikov V.A. Some problems of the statistical simulation of conditional processes and fields // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, Vol. 13, No. 5, pp. 345-358 (1998).

90. Ogorodnikov V.A. and Prigarin S.M. Numerical modeling of random processes and fields: algorithms and applications // VSP, Utrecht, The Netherlands, 1996. 240 p.

91. V.A.Ogorodnikov and S.M.Prigarin, On stochastic interpolation of discrete random processes and fields // Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling (1996), Vol.11, No.l, pp.49-69.

92. Ogorodnikov V.A. and Protasov A.V. Dynamic probabilistic model of atmospheric processes and variational methods of data assimilation // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modeling (1997), V.12, N.5, pp. 399-480.

93. K.K. Sabelfeld and O.A. Kurbanmuradov. Numerical statistical model of classical incompressible isotropic turbulence. Sov. J. Numer. Anal. Math Modelling (1990) 5, No. 3, pp 251-263.

94. K.K. Sabelfeld and O.A. Kurbanmuradov. Statistical modeling of diffusion in random velicity fields. Sov. J. Numer. Anal. Math Modelling (1989) 4, No. 1, pp 53-69.

95. Sheuer E.M., Stoller D.S. On the generation of normal random vectors//Technometrics, 1962, v. 4, No. 2, pp. 278-281.

96. G.L.Stephens. The transfer of radiation through vertically nonuniform stratocumulus clouds// Cont. Phy. Atmos.- 1976. P.237-253

97. Ukhinova O.S. Stochastic Simulation of a Class of Heterogeneous Gaussian Field // Proceedings of the 4 St.Petersburg Workshop on Simulations. N11 Chemistry St.Petersburg University Publishers, 2001, pp. 486-491.