Моделирование случайных полей и решение некоторых стохастических задач атмосферной оптики методом Монте-Карло тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР Ордена Ленина Сибирское отделение Вычислительный центр

На правах рукописи Пригарин Сергей Михайлович

УДК 519.245

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ И РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ АТМОСФЕРНОЙ ОПТИКИ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1990

Работа выполнена в Вычислительном центре Сибирского отделения Академии наук СССР

-Научный руководитель-=-доктор физико-математических—

наук Б.А. Каргин

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

на заседании специализированного совета К 002.10.01 по присуждению ученой степени кандидата наук в Вычислительном центре СО АН СССР (630090, Новосибирск-90, проспект академика

Лаврентьева, б).

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале Отделения ГПНТБ (проспект академика Лаврентьева, 6).

Автореферат разослан " НЛшЖа 1990 года.

Ведущая организация

наук В.В. Юринский,

кандидат физико-математических наук Е.О. Джетыбаев

Институт оптики атмосферы СО АН СССР

Защита состоится

1990 г. в часов

Ученый секретарь специализированного совета к.ф.-м.н.

Ю.И. Кузнецов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Численное моделирование случайных

функций на ЭВМ - одна из основных проблем при решении задач

методом Монте-Карло. Наиболее разработаны методы

моделирования гауссовских процессов и полей (см., например,

работы В.В.Быкова, А.С.Марченко, Г.А.Михайлова,

В.А.Огородаикова, Ю.И.Палагина, В.Г.Сраговича, Т.М.Товстик,

Дж.Н.Франклина, Б.И.Шкурского). Для численного моделирования

однородных гауссовских полей в работе Г.А. Михайлова

предложен эффективный метод на основе рандомизации спектра.

Рандомизированные спектральные модели находят применение при

решении широкого класса прикладных задач. При этом возникает

следующая проблема. Допустим величина J = Uf(w) ,где / -

некоторый функционал от реализации случайного поля ш ,

оценивается методом Монте-Карло. Через ®п обозначим

приближенную численную модель поля т . Для обоснованного

применения численной модели, т.е. для использования в

качестве оценки J эмпирического среднего

N

Я~1 I •

1=1

где н>пГи - независимые реализации шп , требуется сходимость математических ожиданий :

И f(V>J И f(V>) При Л а> . (I)

Исследованию сходимости спектральных моделей посвящена первая глава диссертации. Здесь получены достаточные условия сходимости (I) для различных спектральных моделей wn и классов функционалов f.

Численное моделирование случайных процессов и полей широко используется при решении различных прикладных задач. Одна из областей применения моделей случайных полей -решение задач переноса излучения в стохастических средах (O.A. Авасте, Б.А. Каргин, Г.А. Михайлов, Ю.-А.Р. Мулламаа, Г.А. Титов, B.C. Тройников, Е.М. Фейгельсон и др.). Вторая глава диссертации посвящена построению алгоритмов статистического моделирования переноса излучения в облачной атмосфере на основе численной имитации полей кучевой

облачности. В третьей главе разработана численная модель поверхности морского ветрового волнения и исследуются оптические свойства морской поверхности методом Монте-Карло.

Имитационные модели, используемые во второй и третьей главах диссертации (кучевая облачность, поверхность морского волнения), строятся на основе рандомизированных спектральных моделей гауссовских полей. Результаты главы I позволяют доказать сходимость (I) для требуемых функционалов и, тем самым, обосновать применение предлагаемых моделей.

Методы численного моделирования негауссовских процессов весьма разнообразны. Особое место занимает проблема моделирования случайных процессов и полей с заданной корреляционной функцией и одномерными распределениями (см. работы A.C. Марченко, А.Г. Михайлова, З.А. Пиранашвили и других). Здесь возникает проблема совместности маргинальных распределений и корреляций, а также задача исследования свойств известных методов моделирования и построения новых численных моделей. Этим вопросам посвящена четвертая глава диссертации.

Цель диссертационной работы - исследование методов численного моделирования случайных полей, построение алгоритмов статистического моделирования для решения некоторых стохастических задач атмосферной оптики.

Основные задачи исследований :

- получить достаточные условия слабой сходимости спектральных моделей гауссовских однородных полей,

- получить условия равномерной ( по вероятности ) сходимости оценок в методе зависимых испытаний для многомерного параметра,

- разработать и исследовать численные модели негауссовских процессов и полей,

- разработать алгоритмы статистического моделирования переноса излучения в атмосфере с кучевой облачностью на основе численной имитации облачных полей,

- разработать алгоритмы численного моделирования поверхности морского волнения для исследования оптических

. свойств морской поверхности методом Монте-Карло.

Научная новизна и практическая ценность. • В -дисеертаци», получен ряд новых результатов в области численного моделирования случайных процессов и полей. Реализованы ноше подходы к решению некоторых прикладных задач атмосферной' оптики на основе численного моделирования случайных полей.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Пятой Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (секция "стохастическое моделирование") (1989 г.) [14], Международной молодежной научной школе "Численные методы Монте-Карло и параллельные алгоритмы" (Приморско, НРБ, 1989 г.), Всесоюзных конференциях "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики" (1989, 1990 год ) [3,17], школе-семинаре "Актуальные проблемы теории статистического моделирования и ее приложения" (Ташкент, 1989 г.) [15], 33 семинаре I рабочей группы СПКОР по теме "Сравнение спутниковых и наземных данных об облачности и1 радиации" ( Баку, 1989 г.), региональной научно-технической конференции "Измерение характеристик случайных сигналов с применением микромашинных средств" (Новосибирск, 1988 г.) [5,6], киевском городском семинаре по гауссовским случайным процессам (апрель 1989 года), конференциях молодых ученых ВЦ СО АН СССР 1987-1989 годов и неоднократно на семинаре ВЦ СО АН СССР "Методы Монте-Карло в вычислительной1 математике и математической физике".

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 17 печатных работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, объединяющих 16 параграфов, и заключения, содержит 125 страниц мапшйописного текста, включая 15 рисунков, 5 таблиц и список литературы из 110 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, представлен

обзор литературы по соответствующей тематике, сформулирована цель: и задачи исследований, приведено краткое описание основных разделов диссертации.

Глава I называется "Приближенное моделирование гауссовских однородных полей на основе спектрального представления" и посвящена вопросам слабой сходимости численных спектральных моделей гауссовских полей в пространствах Ср. Спектральными будем называть модели вида

п

Jx) = а} Í 13 соз<КуХ> + т}3 sin <kJtx> ] (2) 3=1

Здесь а^ > О, С^.т)^ - независимые одинаково распределенные случайные векторы на плоскости такие, что

- векторы размерности к, <.,.> - скалярное произведение

в IR11. (Величины dj, зависят от п, но для краткости индекс, « будет,опускаться.) В дальнейшем, если не оговорено противное, будем считать, что векторы - гауссовские.

Спектральные ; модели (2) используются для численной аппроксимации однородного гауссовского поля w(x), х с К*, с произвольной спектральной мерой ц. В диссертационной работе исследуется'спектральные модели4 трех видов. Модель I: а2 = цСЛ^.), Л-^еЛ^, - неслучайные.

Модель II: а2 = цСЛ^;, - случайные векторы, распределенния которых сосредоточены в соответствупцих областях A.J и индуцированы спектральной мерой ц.

Модель'III: а^ =1/п, Х^ - независимые случайные векторы, распределенные по спектральной мере ц.

Спектральные модели и их свойства описаны в § 1.1.

Условия сходимости конечномерных распределений полей (2) к конечномерным распределениям предельного гауссовского поля ю имеют вид

Л с г | Л I > с ) , с со , п п п (3)

тах (Пат (А.) -*■ О , при п -*■ со , 3<п 3

для модели I, и

шах ц ("Л,; О , при п оо . (4)

З^Л

для модели II. Сходимость конечномерных распределений спектральной модели III следует из центральной предельной теоремы.

Особую актуальность для обоснованного применения приближенных моделей случайных полей имеет слабая сходимость тип к предельному полю w в некотором метрическом пространстве S , т.к. это означает сходимость средних (I) для любого измеримого на S функционала /- такого, что случайные величины f(wn) равномерно интегрируемы и Р(ш ç DjJ = О, где Df - множество точек разрыва функционала f. Понятию слабой сходимости и ее при<енению в статистическом моделировании посвящен 5 1.2.

Пусть X - компакт в R*. CV(X) - пространство функций с непрерывными частными производными порядка меньше или равным р. В главе I (§§ 1.3, 1.4) получены достаточные условия слабой сходимости спектральных моделей в пространствах СР(Х). Результаты суммируем в следующем утверждении.

Теорема. Слабая сходимость в СР(Х). р = 0,1,2,..., спектральной модели (2) к однородному гауссовскому полю со спектральной мерой ц следует из условия

S |а.|р+2р uftBJ < » .

где а) р > О для модели I при условии (3),

б) ß = 2Vk/2]+2 для модели II при условии (4) ( [.] - целая часть числа ),

в) ß > О для модели II при условиях (3-4),

г) ß = 2 для модели III.

д) ß > О для модели III при р = О , если случайные величины , т)^ в (2) ограничены.

Применение численных спектральных моделей для построения монте-карловских оценок продемонстрировано на тестовой задаче (§ 1.5).

В добавлении к главе I получены достаточные условия равномерной сходимости оценок в методе зависимых испытаний, которые обобщают известную теорему Фролова-Ченцова на случай

многомерного параметра-.

Глава 2 называется "Статистическое моделирование переноса солнечного излучения в атмосфере с кучевой облачностью". В ней строятся численные модели, имитирующие стохастическую структуру полей кучевой облачности. Первой подход основывается на численном моделировании гауссовских однородных полей методом рандомизации спектра. Предполагается, что нижняя граница облачности является плоскостью 2=Н0, а верхняя граница г = ю(з:,у) определяется выражением

ю(х,у) = н0 + тах 1ь(х,у) - с , 0} , (Ъ)

где с е (-">,+<») , У(х,у) - однородное гауссовское поле с нулевым средним, корреляционной функцией К(х,у) и

дисперсией о2 = Е(0,0). Таким образом, используется гипотеза о том, что кучевую облачность можно описывать с помощью стационарного гауссовского процесса (см., например, монографию Ю.-А.Р. Мулламаа и др. "Стохастическая структура полей облачности и радиации").

Имитационная модель облачности настраивается по следующим параметрам: балл облачности, среднее количество облаков на единицу площади, средняя высота облака. Для проведения расчетов использовалась модель изотропного гауссовского поля с корреляционной фукцией )1/2 ). Наряду с моделью

(5) рассмотрена также ее модификация

и>(х,у) = Нс + тах {\и(х,у)\ - с , О) , а > С.

Другое геометрическое описание кучовсЯ облачности основано на том, что характерной формой кучевых облаков являются усеченные опрокинутое параболоида (см., например, справсгаж "Облака и облачная атмосфера" под ред. И.П. ;.',азжа ж А.Х. Хргиана). Распределение диаметров кучевых облаков аппроксимируется логарифмически нормально* ял*/. бета-распределением . Высоты к радиусы облаков связаны известным соотношением. Центры облачных, оснований моделируются как пуассояовскоо поле тояе.;; на плоскости с йатеяскшюстью X, которая определяется.баллом облачности п0:

п0 = 1 - ехр(- к % <й » ,

где <й2> - средний квадрат радиуса основания облаков.

На основе рассмотренных имитационных моделей построены алгоритмы статистического моделирования радиационных характеристик полей кучевой облачности как для рассеивающей среды без учета поглощения, так и с учетом поглощения водяным паром и капельной водой. Траектории фотонов моделировались методом максимального сечения. Приведены результаты модельных расчетов. Отмечены следущие моменты:

- основные оптические характеристики "гауссовской" и "параболоидной" модели облачности в ряде случаев практически совпадают, причем "параболовдная" модель более трудоемкая, особенно при больших баллах облачности,

- при определенных условиях усиливается взаимодействие радиационных полей отдельных: облаков, которое приводит к увеличению отношения альбедо к пропущенному рассеянному излучению,

- получено хорошее совпадение результатов вычислительного эксперимента для модели (5) с асимптотикой Г.А. Михайлова для вероятности прохождения вертикально падающего излучения.

Глава 3 называется "Имитация поверхности морского ветрового волнения и исследование ее оптических свойств методом Монте-Карло'.' Здесь на основе рандомизированных спектральных моделей гауссовских полей построена численная модель поверхности морского ветрового волнения (§ 3.1). Численное моделирование морского волнения используется при рс-"онии следу щих задач: оценка площади затенения поверхности ь'сря <§ 3,2) и исследование поля оптического излучения, о*раягсн2»сго мерекей поверхностью (§ 3.3). Проведено сравнение результатов туигацггсннсг'о моделфования с результатами, полуволнами друпэог Ю.-А.Р.Муляамаа)-

В частности, при исследовав:/,« поля отракспсогс хзлгхсзяя проводилось сравнение с традэдтежгей йасзточясй моделью, которое показало, что при малзст углах яезжазз^я устсю/яка фасеточная модель завышает долю с грансгжого морской поверхностью излучения, а значительно ксхиишйг

индикатрису ограненного тал учения. Таким образом, зтвдтац^я

ноля возвышений морской поверхности дает возможность уточнить оптические характеристики морского волнения, учитывая эффекты переотражения и затенения излучения элементами поверхности.

Глава 4 называется "Некоторые вопросы численного моделирования негауссовских процессов и полей" и посвящена построению численных моделей случайных функций по одномерным распределениям и корреляциям. В § 4.1 приведены необходимые условия на корреляционную функцию =

= М х(1)х(з) случайного процесса хСи с маргинальными распределениями Р :

га.з; е I лт г , вр р ] ,

t в t в

где А = X Р~л(а) (Г1 (1 - а) йа ,

та

о

1

В„ = X (а) (Г1 Га; (За ,

к?

о

а также описан класс всех маргинальных, распределений однородных полей, которые не накладывают ограничений на корреляционную функцию.

В § 4.2 исследуется известный метод обратной функции распределения для моделирования случайного поля с маргинальными распределениями :

ха) = ¥^тга)))

где Ф - функция стандартного нормального распределения, а 2(1) - стандартное гауссовское поле с корреляциями р(1,з). Корреляционная функция гауссовского поля определяется через корреляционную функцию га,з) моделируемого поля из соотношения

рП,3) = ( га,а) ) ,

1 а

где

«к/Р) = I / Р~Л(Ш)) <Г1ГФГт};/ср ад .

- 00

Доказаны следующие свойства функции •

V = ¿то • «к^ = Вро • йю«» = 0

2) Ятс(р) - непрерывна на [-1, I] ,

3) ^(р) - бесконечно дифференцируема на (-1, I) , .

4) Ду0(р) - монотонно возрастает ,

5) если ? или С - симметричное распределение, то

Эти свойства полезны при численном обращении функции Я?(3 , а свойство I) позволяет снять одно из ограничений на применимость метода.

Моделированию негауссовских стационарных процессов на основе численного решения нелинейных стохастических дифференциальных уравнений ввда

уш(г) + a1y(n-1)íí; + ...■*■ апу(1) = о вЦ) , (6)

где еЦ) - производная винеровского процесса, а

о = о (у, у(1> ..... у(п~1> ) ,

посвящен § 4.3. Здесь доказано, что нормированная спектральная плотность стационарного решения (6) не зависит от функции а и определяется коэффициентами а1 ..... ап . Совместная плотность распределения процесса у(Ь) и его производных yí^1(t) ,..., yín~^)(t) удовлетворяет прямому уравнению Колмогорова. Приведены результаты тестового моделирования стационарных процессов с осциллирующей корреляционной функцией с одномерным распределением Стыодента и бета-распределением.

В § 4.4 рассматривается аналог схемы скользящего суммирования для моделирования негауссовских однородных полей, предлагается экономичный алгоритм моделирования стационарных последовательностей с произвольным безгранично делимым одномерным распределением и экспоненциальной корреляционной функцией, а также исследуется метод моделирования изотропных случайных полей на плоскости с экспоненциальной корреляционной функцией и произвольным одномерным распределением, основанный на известной конструкции пуассоновского поля прямых на плоскости. Для численных моделей однородных полей с безгранично делимым одномерным распределением , полученных суммированием однотипных независимых мозаичных полей (этот прием предложен в работе Г.А. Михайлова), исследованы предельные

распределения и получены простые условия слабой сходимости в пространствах Хр (р>7).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем :

1. получены достаточные условия слабой сходимости спектральных моделей гауссовских однородных полей в пространствах непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций;

2. на основе ЦПТ Джейна-Маркуса получены условия равномерной сходимости оценок в методе зависимых испытаний для многомерного параметра;

3. проведено исследование методов моделирования случайных процессов и полей по одномерным распределениям ' и ковариационной функции, предложено несколько специальных численных моделей негауссовских однородных процессов и полей;

4. на основе численной имитации стохастических полей кучевой облачности построены алгоритмы статистического моделирования переноса излучения в облачной атмосфере;

Б. построены алгоритмы численного моделирования поверхности морского ветрового волнения, проведено исследование оптических характеристик морской поверхности методом Монте-Карло.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах :

1. Пригарин С.М. О моделировании случайных векторов с заданными корреляциями и маргинальными распределениями // Методы статистического моделирования. - Новосибирск, 1986. - С.3-15.

2. Пригарин С.М. Условия совместности маргинальных

> распределений и корреляций // Численные методы статистического моделирования. - Новосибирск, 1987. С. 3-5.

' 3: Кантер- Р;Р., Каргш Б.А., Пригарин С.М., Ракимгулов K.M.' Статистическое моделирование в стохастических задачах оптики атмосферы и океана // Тезисы докладов Всесоюзной конференции "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики".-Новосибирск, 1987.- С.92.

4. Пригарин С.М. Модель стационарного негауссовского процесса диффузии второго порядка // Тезисы докладов региональной научно-технической конференции "Измерение характеристик случайных сигналов с применением микромашинных средств". - Новосибирск, 1988. - С.122.

5. Огородников В.А., Пригарин С.М. Комплекс алгоритмов и программ моделирования некоторых классов случайных полей // Тезисы докладов региональной научно-технической конференции "Измерение характеристик случайных сигналов с применением микромашинных средств". - Новосибирск, 1988. - C.I40-I4I.

6. Пригарин С.М. О слабой сходимости приближенных моделей гауссовских. случайных полей // Теория и приложения статистического моделирования. - Новосибирск, 1988. -С. 31-39.

7. Войтишек A.B., Пригарин С.М. Моментные условия функциональной сходимости численной рандомизированной спектральной модели однородных гауссовских полей // Теория и приложения статистического моделирования.-Новосибирск, 1988.- С. 41-46.

8. Каргин Б.А., Пригарин С.М. Моделирование стохастических полей кучевой облачности и исследование их радиационных свойств методом Монте-Карло. - Новосибирск, 1988. 18с. - (Препринт/ АН СССР. Сибирское отделение, ВЦ; J6 817).

9. Пригарин С.М. Численные модели некоторых классов негауссовских однородных процессов и полей // Вычислительная математика и моделирование в физике. Новосибирск, 1989. - С. 16-23.

10. Аверина Т.А., Пригарин С.М. Моделирование одного класса диффузионных процессов // Вычислительная математика и моделирование в физике. - Новосибирск, 1989.- С.33-44.

11. Пригарин C.M. Маргинальные распределения стационарных процессов с произвольной корреляционной функцией // Теория и приложения статистического моделирования. -Новосибирск, 1989. - С. 64-72.

12. Войтишек A.B., Пригарин С.М. Обоснование метода зависимых испытаний для многомерного параметра // Теория и приложения статистического моделирования. -Новосибирск, 1989. - С. 73-80.

13. Кантер P.P., Пригарин С.М. Численное моделирование морского ветрового волнения для исследовантя поля отраженного оптического излучения. - Новосибирск, 1989. - 25 с. - (Препринт/ АН СССР. Сибирское отделение, ВЦ; Jfe 829).

14. Войтишек A.B., Пригарин С.М. Применение теории функциональной сходимости в стохастическом моделировании// Тезисы V Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике. -Вильнюс, 1989. - Т.З.- С. 106-107.

15. Пригарин С.М. Приближенные модели гауссовских полей и их применения // . Тезисы докладов школы-семинара "Актуальные проблемы статистического моделирования и ее

• приложения" (22-30 октября 1989 г.). - Ташкент, 1989. -С. 29.

16. Пригарин С.М. Приближенное моделирование гауссовских однородных полей на основе спектрального представления.- Новосибирск, 1989. - 21с. - (Препринт/ АН СССР. Сибирское отделение, ВЦ; J6 876).

17. Кантер P.P., Каргин Б.А., Пригарин С.М., Ракимгулов К.Б. Методы Монте-Карло для расчетов поля оптического излучения вблизи случайной границы раздела двух сред // Тезисы докладов Всесоюзной конференции "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики",- Новосибирск, 1990.- С ?л-7т