Исследования по численному моделированию случайных полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

\

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Сибирское отделение Вычислительный центр

На правах рукописи

Пригарин Сергей Михайлович

ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1997

Работа выполнена в Вычислительном центре Сибирского отделения Российской академии наук

Официальные оппоненты -

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор М.С.Иванов,

доктор физико-математических наук, профессор А.И.Саханенко,

доктор физико-математических наук, профессор А.М.Федотов

Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша Российской академии наук (г. Москва )

Защита состоится О» -лЛ^иЯ, 1997 г. в ^часов на заседании диссертационного совета Д 002.10.01 в Вычислительном центре СО РАН (630090, Новосибирск, пр. Ак. Лаврентьева, 6).

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ВД СО РАН по адресу:

630090, Новосибирск, пр. Ак. Лаврентьева, 6.

Автореферат разослан 1997 года.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор < Ю.И. Кузнецон

Актуальность темы и общая характеристика работы. Компьютерное моделирование - одно из эффективнейших средств, позволяющих проникнуть в суть природных явлений и предсказать последствия воздействия деятельности человека на окружающую среду. Наряду с детерминированными моделями всё больший вес в научных исследованиях приобретают стохастические модели. В последнее время активно разрабатываются общие методы численного моделирования случайных процессов, а также стремительно расширяется область применения стохастических моделей (см., например, работы В.В.Быкова, А.В.Войтишека, О.Ю.Воробьева, В.В.Губарева, Я.П.Драгана, О.А.Курбанмурадова, А.С.Марченко, Г.А.Михайлова, В.А.Огородникова, Ю.И.Палагина,

З.А.Пиранашвили, Ю.Г.Полляка, В.А.Рожкова, К.К.Сабельфельда, А.Ф.Сизовой, В.Г.Сраговича, Г.А.Титова, Т.М.Товстик, Ю.А.Трапезникова, Г.П.Хамитова, А.С.Шалыгина, Б.И.Шкурского, J.N.Franklin, Y.Hoffman, R.Н.Kraichnan, E.Ribak и МНОГИХ других). По сути дела, совокупность результатов, полученных в области численного моделирования случайных функций, можно выделить в самостоятельный раздел теории методов Монте-Карло.

Для моделирования гауссовских случайных процессов и полей традиционными являются методы линейного преобразования, авторегрессии, скользящего суммирования, канонических представлений и др. Новый подход к численному моделированию однородных гауссовских полей на основе разбиения и рандомизации спектра предложен Г.А.Михайловым (см. Докл. АН СССР, 1978, Т.238, М). Этот подход обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами и позволяет создавать эффективные алгоритмы моделирования различных классов гауссовских однородных полей: изотропных, пространственно-временных, векторных и т.д. Спектральные модели являются предметом исследования первых двух глав диссертации.

В третьей главе исследуется проблема построения моделей случайных процессов по заданным ковариациям и одномерным. распределениям. В принципе эта проблема может не иметь решений (если корреляционная функция и одномерные распределения несовместимы) или, наоборот, решение может быть неединственным. Ряд необходимых и достаточных условий совместимости ковариаций и одномерных распределений представлен в этой главе. Кроме того, в третьей главе исследуется метод обратной функции распределения - один из наиболее универсальных методов моделирования случайных процессов и полей по заданной корреляционной функции и маргинальным распределениям, а также ряд других негауссовских моделей.

Изучение сходимости методов численного моделирования случайных процессов и полей позволяет обосновать корректность и оценить погрешность той или иной приближенной стохастической модели. Основным аппаратом исследований здесь служат соответствующие результаты теории вероятностей и, в частности, теория слабой сходимости вероятностных мер в функциональных пространствах. В четвертой главе получены простые и эффективные достаточные условия слабой сходимости в пространствах непрерывно дифференцируемых и интегрируемых функций для некоторых методов численного моделирования случайных процессов и полей, в том числе, для спектральных моделей и для моделей на стационарных точечных потоках.

Численное моделирование случайных . процессов и полей широко используется при решении различных прикладных задач. Одна из областей применения моделей случайных полей -решение задач переноса излучения в стохастических средах. Пятая глава диссертации посвящена построению алгоритмов статистического моделирования переноса излучения в облачной атмосфере на основе имитации полей кучевой облачности. В шестой главе разработана численная модель поверхности морского ветрового волнения и исследуются оптические

свойства морской поверхности методом Монте-Карло. Имитационные модели, используемые в пятой и шестой главах диссертации (кучевая облачность, поверхность морского волнения ), строятся на основе рандомизированных спектральных моделей гауссовских случайных полей.

Оценки, предназначенные для вычисления функциональных зависимостей методом Монте-Карло, представляют собой случайные поля специального вида. Принципиальной проблемой является изучение сходимости и уменьшение трудоемкости функциональных оценок статистического моделирования. Этим вопросам посвящена последняя, седьмая, глава диссертации.'В этой главе получены новые критерии сходимости и реализованы новые подходы для поиска оптимальных оценок.

Основной текст диссертации дополнен приложениями, где рассматриваются вопросы, связанные с погрешностью, вносимой приближенными моделями случайных полей при решении некоторых задач атмосферной оптики, разрабатываются численные методы решения краевых задач для линейных систем стохастических дифференциальных уравнений, и представлен список вычислительных алгоритмов, реализованных автором для моделирования случайных полей и для решения ряда прикладных задач.

Цель диссертационной работы - разработка и исследование методов численного моделирования случайных процессов и полей, изучение условий сходимости и оптимизация функциональных оценок и моделей в методе Монте-Карло, построение алгоритмов статистического моделирования для решения некоторых стохастических задач оптики атмосферы и океана.

_ Научная новизна и практическая ценность. В диссертации получен ряд новых результатов в области численного моделирования случайных процессов и полей. Исследован широкий сПектр численных моделей случайных функций, построены новые гауссовские и негауссовские модели. Впервые

разработаны алгоритмы для решения некоторых стохастических задач оптики атмосферы и океана. Предложены принципиально новые подходы к оптимизации функциональных оценок статистического моделирования и на их основе построены оптимальные оценки. Доказаны эффективные критерии сходимости функциональных оценок и моделей, используемых в методах Монте-Карло.

Разработанные в диссертации методы и алгоритмы статистического моделирования могут быть использованы для численного моделирования широкого класса случайных процессов и полей, а также для решения задач переноса излучения в системе океан-атмосфера с учетом стохастической структуры облачности и поверхности морского волнения.

Результаты в области сходимости и оптимизации стохастических моделей дают новые средства для обоснования, исследования погрешности и построения новых, более эффективных алгоритмов статистического моделирования.

Апробация. Результаты, включенные в диссертацию, обсуждались:

- на Пятой Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (секция "стохастическое моделирование") (1989 г.);

- на Международной молодежной научной школе "Численные методы Монте-Карло и параллельные алгоритмы" (Приморско, НРБ, 1989 г. );

- на Международной конференции "Applied modelling and simulation" (Львов, 30 сентября - 2 октября, 1993 г. );

- на 5-ом совещании научной группы arm (Сан-Диего, Калифорния, март, 1995);

- на Международной конференции "Advanced mathematics: computations and applications" (Новосибирск, 20-24 июня, 1995 );

- на 2-ой международной школе-семинаре по моделированию (Санкт-Петербург, 18-21 июня, 1996 г. );

на Всесоюзных конференциях "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики" (Новосибирск, 1987 и

1990 год);

- на vin Всесоюзном совещании "Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике (Новосибирск, 1991 );

- на iv Всесоюзной конференции "Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных полей и процессов" (Петрозаводск, 10-12 сентября,

1991 );

- на 2 межреспубликанском симпозиуме "Оптика атмосферы и океана" (Томск, 1995);

- на 33 семинаре I рабочей группы СПКОР по теме "Сравнение спутниковых и наземных данных об облачности и радиации" (Баку, 1989 г. );

на региональной научно-технической конференции "Измерение характеристик случайных сигналов с применением микромашинных средств" (Новосибирск, 1988 г. );

на школе-семинаре "Актуальные проблемы теории статистического моделирования и ее приложения" (Ташкент, 1989 г. );

- на киевском городском семинаре по гауссовским случайным процессам (апрель 1989 года );

- на XXI Дальневосточной математической школе-семинаре "Математическое моделирование и численный анализ" (сентябрь, 1994 г, );

на специализированном семинаре Института оптики атмосферы СО РАН (г. Томск )

- на конференциях молодых ученых ВЦ СО РАН 1987-1989 годов и неоднократно на семинаре ВЦ СО РАН "Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике".

Публикации. По материалам диссертации опубликовано более 70 работ, в том числе 2 монографии. Основные результаты представлены в работах [1-44].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, трех приложений и заключения. Объем -313 страниц, рисунков - 27, таблиц - 12. Список литературы содержит 190 наименований.

Научными консультантами диссертационной работы являются член-корреспондент РАН, профессор Г.А.Михайлов и доктор физико-математических наук, профессор Б.А.Каргин.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, представлен обзор литературы по соответствующей тематике, сформулирована цель и задачи исследований, приведено краткое описание основных разделов диссертации.

Глава I. Приближенное моделирование гауссовских

однородных полей на основе спектрального представления

Эта глава посвящена алгоритмическим аспектам численного моделирования скалярных гауссовских однородных случайных полей на основе спектрального представления.

Для аппроксимации гауссовского однородного поля w(X), xeR , с нулевым средним рассмотрим численные модели вида п

w (х) =У а. [£. cos<X.,x> + т). sin <Х.,х>], (I) n1 L, j j j' 'j j

j=l

которые будем называть спектральными. Здесь ctj > 0; T)j -

независимые стандартные нормальные случайные величины; X. -

J к

векторы размерности к, <.,.> - скалярное произведение в К . (Величины а., X. зависят от п, но для краткости индекс п будет опускаться. )

В параграфе I.I рассмотрены общие принципы построения спектральных моделей, а также разработаны специальные

модификации спектральных моделей для изотропного случая.

В параграфе 1.2 предложена методика уточнения спектральных моделей на одном вероятностном пространстве. Новая методика, в частности, позволяет эффективно оценивать погрешность, вносимую спектральными моделями в вычисления, проводимые методом Монте-Карло.

В параграфе 1.3 на основе спектрального разложения разработан численный алгоритм, позволяющий моделировать гауссовские однородные случайные поля с учетом известных значений поля в фиксированных точках. Этот алгоритм может быть использован для экстраполяции и интерполяции случайных функций.

Гауссовское случайное поле ю(х) при условии, что оно проходит через фиксированные точки

ь,(хт) = V т £ [1,2, ----М)

будем обозначать через п^(х). Для приближенного

моделирования случайного поля и>Ь(х) используется

спектральная модель (I). На первом этапе определяются

значения а. и моделируются векторы согласно выбранной

спектральной модели. На втором этапе моделируется

т

гауссовский вектор ,. .., £п ,Т]г,.. . ,т) ) с математическим ожиданием А+Ъ и корреляционной матрицей 1-А+А, где

ь = ГЬ1.....ьм;т, л =

й .= а. соз<к.,х >,(!'.= а. з1п<К.,х>,

nlJ J J га mJ J J т

через I обозначена единичная матрица, а через А+

псевдообратная матрица к матрице А. Построенную таким

образом спектральную модель будем называть условной

спектральной моделью и обозначать через Ь1°(х). Условная

м

спектральная модель минимизирует величину ^ [юп(хт]-Ът]2 при

Ш=1

фиксированных значениях aj, A,j .

Для обоснования алгоритмов разработанных в §1.2 и §1.3 используется ряд вспомогательных утверждений. Некоторые из них представлены ниже.

Лемма. А. Предположим, что система- линейных алгебраических уравнений Ах=Ь совместна. Пусть £ гауссовский случайный вектор с математическим ожиданием т и корреляционной матрицей R такой, что b-Am€AR(ÍR ). Тогда условное распределение вектора £ при условии будет

гауссовским с математическим ожиданием

= т + R1/2(AR1/2)+(b~M) = т + RAT (ARA1)+ (Ь-М) и корреляционной матрицей

В = R - R1/2(ARx/z )+AR = R - RAT(ARA7)+AR.

Б. Пусть ^ - вектор из независимых стандартных нормальных случайных величин. Тогда условное распределение вектора £ при условии, что £ является псевдорешением системы линейных алгебраических уравнений будет гауссовским с

математическим ожиданием и корреляционной матрицей

В=1-А+А.

В §1.4 изучаются алгоритмы численного моделирования изотропных полей на основе разложения по сферическим гармоникам.

В §1.5, заключительном параграфе первой главы, обсуждаются алгоритмы приближенного моделирования гауссовских векторов стационарного вида с помощью дискретного преобразования Фурье, а также рассматриваются неоднородные спектральные модели.

Глава 2. Спектральные вычислительные модели векторных однородных полей

В этой главе представлены общие соотношения для комплексных и вещественных векторных спектральных моделей,

получены новые моделирующие формулы для однородных,

изотропных, соленоидальных и потенциальных гауссовеких векторных полей произвольной размерности.

Приведем некоторые моделирующие формулы. В качестве спектральных моделей гауссовских соленоидальных изотропных

полей на плоскости с нулевым средним можно использовать выражения:

w.

(X) = ^ aflJ (х).

W(nr) (X) = 72 1/2

2 h(x>-

у ' J = l

где значения 7, a(j) определяются спектром поля, а гармоники

имеют вид

Sin Uj

COS COjj

(2)

x V-2 In a. cos(jfx cos ojj + y sin и. ] + 2x|3 ),

Uj = (j-a) % / n € (0,%),

a, aj, Pj - независимые случайные величины равномерно распределенные на (0,1 ).

Если теперь в выражении (2 ) заменить вектор

cos (Jj sin U)jJ

sin 0). j

-eos gj.

на

, то получим формулы приближенного моделирования

потенциального изотропного поля на плоскости. Для потенциального поля произвольной размерности гармоники i имеют вид

Ux) =

1

Т

гя( 15

, (к)

/Г In a cos(<x,X> +

(3)

где \=(\{ 15,.. . ,Я(к) у= 1Я||; а, р - независимые и

равномерно распределенные случайные величины на (0,1). Таким

образом, моделирование потенциального изотропного поля по сути сводится к приближенному моделированию скалярного изотропного (точнее локально изотропного) поля, в Кк и его покоординатному дифференцированию. Это позволяет получать моделирующие формулы на основе результатов, представленных в §1.1 для скалярных изотропных полей.

Аналог гармоники (3) для моделирования соленоидальных й-мерных полей имеет вид

i(x) = Л(Х)

Г -/-2 1п а( 11 cos(<x,Х> + )

У-2 ln aCk) cos(<х,Х> + 2n;|3(k)J

1(Х)=ХХТ/\\Х\\2:

а

(0,1).

p(i) Так

где A(X)AÍ (X)=I-l(X), независимы и равномерно распределены на (U,l ). так как I-l(X) - это матрица оператора проектирования на ортогональное дополнение к вектору X, то можно брать A(X)=I-L(X).

Особенностью представленных в главе 2 моделирующих формул для изотропных векторных полей является то, что принцип разбиения спектра предлагается применять не только относительно модуля 7=ЦХЦ, но и относительно полусферы направлений волновых векторов X. Другим существенным моментом является зависимое моделирование волновых векторов

для рандомизированных спектральных моделей.

Глава 3. Некоторые вопросы численного моделирования негауссовских процессов и полей

В § 3.1 изучаются условия совместимости корреляций и маргинальных распределений случайных процессов. Здесь описан класс всех маргинальных распределений однородных полей, которые не накладывают ограничений на корреляционную функцию.

В § 3.2 исследуется известный метод обратной функции распределения для моделирования случайного поля x(t), tç[Rk с маргинальными распределениями Ft :

x(t) = F'^mzit))),

где Ф - функция стандартного нормального распределения, а z(t) - стандартное гауссовское поле с корреляциями р(t,s). Корреляционная функция гауссовского поля определяется через ковариационную функцию r(t,S) моделируемого поля из соотношения

p(t.s) = RF~F (r(t.s)),

t s

где

+ со

rfg(9) = X J G'^mm) Фра.т); ад.

- 00

Доказаны следующие свойства функции RFQ(p):

1) Rfg(-1)=Afg, Rfg(1)=Bfc, Rfg(0)=0,

1 1 Afg = I F~l(a) G~l(1 - a) da, BFG = J F~1(a) G'1(a) da, о о

2) Rp (p) - непрерывна на [-1,1],

3) Rfa(p) - бесконечно дифференцируема на (-1,1),

4) RFG(р ) - монотонно возрастает ,

5 ) если F или G - симметричное распределение, то

Rfg(-P) =

Эти свойства представляют интерес при построении алгоритмов

численного обращения функции RfG. Из свойства I) вытекает

ограничение на применимость метода обратной функции

распределения: r(t,s)ç[AF F ,Bf р ]. Однако это условие

t s t s

является необходимым для существования случайного процесса с заданными ковариациями и маргинальными распределениями.

Моделированию негауссовских стационарных процессов на основе численного решения нелинейных стохастических

дифференциальных уравнений вида

Уы](г) + а^'^а) + ... + апуа) = а £(г), (4)

где о=ст("у,г/(1',. . . ' ), &(t) - производная винеровского

процесса, посвящен §3.3. Здесь доказано, что нормированная спектральная плотность стационарного решения (4) не зависит от функции о и определяется коэффициентами а^.-.^а . Совместная плотность распределения процесса уа) и его производных удовлетворяет прямому

уравнению Колмогорова. В качестве примеров представлены модели стационарных процессов с осциллирующими корреляционными функциями с одномерным распределением Стьюдента и бета-распределением.

В §3.4 представлены численные модели некоторых специальных классов негауссовских процессов и полей. Здесь рассматривается аналог схемы скользящего суммирования для моделирования негауссовских однородных полей, предлагается экономичный алгоритм . моделирования стационарных последовательностей с произвольным безгранично делимым одномерным распределением и экспоненциальной корреляционной функцией, а также исследуется метод моделирования изотропных случайных полей на плоскости с экспоненциальной корреляционной функцией и произвольным одномерным распределением, основанный на известной конструкции пуассоновского поля прямых на плоскости.

Глава 4. Слабая сходимость численных моделей случайных полей в методе Монте-Карло

Численное моделирование случайных процессов и полей широко используется при решении различных прикладных задач. При этом возникает следующая проблема. Допустим, величина J=^f/('шJ, где / - некоторый функционал от реализации случайного поля ю, оценивается методом Монте-Карло. Через ш

обозначим приближенную численную' модель поля w. Для обоснованного ' применения численной модели, т.е. для использования в качестве оценки величины J эмпирического среднего

N

N'1 I f(wn(l)) , i = l

где wn(i) - независимые реализации u>n, требуется сходимость математических ожиданий:

М f(wn) М f(w) при 7) —со. (5)

В общем случае эта сходимость не следует из сходимости w к w в смысле сходимости конечномерных распределений или сходимости в среднем квадратичном. Получить эффективные оценки для |М f(w ) - М f(w)\ часто весьма.затруднительно. Одна из возможностей доказать сходимость (5) для широкого класса функционалов - это привлечь теорию слабой сходимости вероятностных мер.

Слабая' сходимость приближенной модели случайного поля wn к предельному полю w в некотором-метрическом пространстве S означает сходимость средних (5) для любого измеримого на S функционала / такого, что случайные величины f(wn) равномерно интегрируемы, и P(w^Dj. )=0, где £f - множество точек разрыва функционала /. В §4.1. представлена сводка основных определений и результатов .теории слабой сходимости вероятностных мер.

В §4.2 в качестве следствия общих результатов о слабой сходимости вероятностных мер в пространствах непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций (см. работы Ю.В.Козаченко, В.В.Юринского, М.И.Ядренко, N.c.Jain, M.B.Marcus и др.) получены следующие результаты, используемые в дальнейшем.

Лемма (условия слабой компактности последовательности

однородных полей в CV(X)). Дусть X - компакт в Rk.

Последовательность однородных полей W (X), хеХ, с равномерно

2

ограниченными дисперсиями (sup Mw < с») и со спектральными

п

мерами |а слабо компактна в СР(Х) (т.е. слабо компактна соответствующая последовательность вероятностных мер), если

вир X |Х,|2р+0 < со ,

п к ПГ

где |3=2Г [к/2] + /) ([.] - целая часть числа). Если поля Шп

гауссовские, то для слабой компактности достаточно (3>0.

Лемма (ЦПТ в пространстве СР(Х)). Пусть X - ограниченная

замкнутая область в Кк, 8 - случайный элемент со значениями

в СР(Х), Ме(X)=0, х^Х, £. - независимые реализации £ и

п

тп(х) = п1/г ^ е^х) . 1 = 1

Тогда слабая сходимость ю к гауссовскому случайному элементу в СР(Х) следует из условий :

а ) тах sup M [if s(x)] < » ;

I m ! ( p x £X

6) для любого мультииндекса m=(m1,...) такого, что

2

\m\=p, найдутся случайная величина G(u>)>0, UG <оо, и метрика р на X, непрерывная относительно евклидовой, для которых

\lfl£(X,U>) - £(y,W)) I < G(W) Рix.y) , Х,у 6 I , 1

г fin к (ô))wz m < оо .

J p

0

Здесь через обозначено минимальное число шаров с

радиусом меньшим или равным ô в метрике р, которые покрывают множество X.

В §4.3 получены достаточные условия слабой сходимости

спектральных моделей гауссовских однородных полей в

пространствах СР(Х), X - компакт в Rk. Пусть п

Л = \Rk = У Л., Л, П Л. = 0 при jïi

Li J J 1

j=i

является разбиением спектрального пространства Л (зависящим

\

от л). Рассмотрим следующие спектральные модели вида (I).

р

Модель А: а =|л(Л.,), Л-. - неслучайные.

чЗ чЗ о о и

2

Модель Б: - случайные векторы, распределения

которых сосредоточены в соответствующих областях Лj и индуцированы спектральной мерой |Х моделируемого поля ю(х).

Модель Б является рандомизированной и отличается тем, что поля ы , соответствующие этим моделям, имеют корреляционную функцию, совпадающую с корреляционной функцией поля ю.

Условия сходимости конечномерных распределений полей (I ) к конечномерным распределениям предельного гауссовского поля ш имеют вид

Лп с С IM ^ сп >' сп

max diam ГЛ.J О, при п j<n J

(6)

для модели (А), и

max |i (А.) 0 , при 71 —*■ к> . (7 )

j <n J

для модели (Б). Основные результаты §4.3 суммируем в следующем утверждении.

Теорема. Слабая сходимость в СР(Х) (ptiO,1,2,..., }, X -компакт в К ) спектральной модели (I ) к однородному гауссовскому полю со спектральной мерой ц. следует из условия

j |Х|р+2р < оо,

Л

где а) (3>0 для модели (А) при условии (6) и дополнительном ограничении на рост А. , например, |^п|=сп;

б ) (3=2 [к/2] +2 для модели (Б ) при условии (7 ) ([. ] -целая часть числа );

в) |3>0 для модели (Б) при условиях (6)-(7). В §4.4 исследуется сходимость условных спектральных моделей к предельному полю юь. Здесь сформулированы достаточные условия сходимости конечномерных распределений, показано, что сходимость конечномерных распределений влечет

слабую сходимость в пространствах 1Р(Х), и получены достаточные условия слабой сходимости условных спектральных моделей в пространствах СР(Х) в терминах спектральных моментов (аналогично условиям приведенной выше .теоремы ).

В §4.5 изучается прием суммирования независимых однотипных "кусочно-постоянных" моделей случайных полей, который был предложен Г.А.Михайловым для улучшения (в смысле уменьшения областей, где поле принимает постоянные значения ) реализаций численных моделей однородных полей с безгранично делимым одномерным распределением. К "кусочно-постоянным" моделям относятся изотропные модели на пуассоновском поле прямых на плоскости, рассмотренные в' §3.4, а также модели случайных полей на • точечных потоках Пальма. В §4.5 исследованы предельные распределения таких полей и получены условия слабой сходимости в пространствах Хр (р>/ ).

В §4.6 обсуждается вопрос о возможности вычисления и учете смещения монте-карловских оценок, построенных по приближенным моделям. Показано, как информация о смещении оценок может быть использована для построения более эффективных алгоритмов статистического моделирования.

В добавлении к главе 4 приведено оригинальное доказательство критерия относительной компактности множеств в пространствах непрерывно дифференцируемых функций (этот критерий используется для изучения слабой сходимости приближенных моделей случайных полей в Ср ).

Глава 5. Имитационное моделирование полей облачности

для исследования процессов переноса солнечной радиации в атмосфере методом Монте-Карло

В этой главе разрабатываются алгоритмы статистического моделирования процессов переноса излучения в атмосфере с учетом стохастической структуры полей облачности.

В §5.1 представлена математическая формализация

рассматриваемой задачи..

В §5.2 строятся численные модели, имитирующие стохастическую структуру полей кучевой облачности. При этом используются два подхода.

Первый подход основан на гипотезе о том, что геометрию кучевой облачности можно описывать с помощью стационарного гауссовского процесса (см., например, монографию Ю.-А.Р. Мулламаа и др. "Стохастическая структура полей облачности и радиации" ). Имитационная модель, построенная в рамках этого подхода, использует спектральные методы численного моделирования гауссовских однородных полей, разработанные в первой главе диссертации. Гауссовские модели являются перспективными для имитации различных структур кучевой и волнистообразной облачности, а также для имитации слоистообразной облачности со стохастическими верхними и нижними границами (см., например, монографию В.Е.Зуева и Г.А.Титова "Оптика атмосферы и климат").

Другое геометрическое описание кучевой облачности основано на том, что характерной формой кучевых облаков являются усеченные опрокинутые параболоиды (см., например, справочник "Облака и облачная атмосфера" под ред. И.П. Мазина и А.Х. Хргиана ). Распределение диаметров кучевых облаков аппроксимируется логарифмически нормальным или бета-распределением. Высоты и радиусы облаков связаны известным соотношением. Центры облачных оснований моделируются как пуассоновское поле точек на плоскости с интенсивностью, которая определяется баллом облачности.

На основе рассмотренных имитационных моделей построены алгоритмы статистического моделирования радиационных характеристик полей кучевой облачности как для рассеивающей среды без' учета поглощения, так и с учетом поглощения водяным паром и капельной водой. В §5.3 приведены результаты модельных расчетов. При этом отмечены следующие моменты:

основные оптические характеристики "гауссовской" и

"параболоидной" модели облачности в ряде случаев практически совпадают, причем "параболоидная" модель более трудоемкая, особенно при больших баллах облачности,

при определенных условиях значительным становится взаимодействие радиационных полей отдельных облаков, которое приводит к увеличению отношения альбедо к пропущенному рассеянному излучению,

- получено хорошее совпадение результатов вычислительного эксперимента для "гауссовской" модели кучевой облачности с расчетами по асимптотическим формулам, полученным Г.А.Михайловым для вероятности прохождения вертикально падающего излучения.

В §5.4 методом Монте-Карло моделируется эффект увеличения средней интенсивности солнечного излучения около поверхности Земли, возникающий за счет экранирования уходящего излучения облачным слоем, а также уменьшение альбедо системы атмосфера -подстилающая поверхность, которое может возникать в условиях облачности за счет "многократного поглощения" подстилающей поверхностью. В основе рассматриваемых эффектов лежит характерная особенность радиационного режима облачной атмосферы, которая состоит в многократном "переотражении" излучения между облачным слоем и подстилающей поверхностью. Показано, что для кучевой облачности соответствующие эффекты выражены сильнее, чем для слоистой. Для численной имитации кучевой облачности использовалась "гауссовская" модель.

В §5.5 построена численная модель поля водозапаса слоисто-кучевых облаков (однородное изотропное случайное поле со степенным спектром и логнормальным одномерным распределением). Соответствующие алгоритмы в свое время были переданы в Институт атмосферной оптики СО РАН (г. Томск) и использовались Г.А.Титовым, в частности, для объяснения проблемы аномального поглощения в облаках.

Глава 6. Численное моделирование поверхности морского волнения при решении оптических задач

В этой главе на основе рандомизированных спектральных моделей гауссовских полей построена численная модель поверхности морского ветрового волнения (§6.1 ). Численное моделирование морского волнения используется при решении следующих задач: оценка площади затенения поверхности моря (§6.2) и исследование поля оптического излучения, отраженного морской поверхностью (§6.3 ). Проведено сравнение результатов имитационного моделирования с результатами, ПОЛучеННЫМИ ДРУГИМИ методами (Р.М.Saunders,

Ю.-А.Р.Мулламаа ). В частности, при исследовании поля отраженного излучения проводилось сравнение с традиционной фасеточной моделью, которое показало, что при малых углах возвышения источника фасеточная модель завышает долю отраженного морской поверхностью излучения, а также значительно искажает индикатрису отраженного излучения. Таким образом, имитация поля возвышений морской поверхности дает возможность уточнить оптические характеристики морского волнения, учитывая эффекты переотражения и затенения излучения элементами поверхности.

В §6.4 построена пространственно-временная модель поверхности морского волнения (в отличие от предыдущих параграфов, где моделировалась лишь пространственная структура морской поверхности). В этом параграфе на примере модельной задачи рассматривается возможность определения скорости ветра над поверхностью моря с помощью лидарного зондирования.

Глава 7. 'Сходимость и оптимизация функциональных оценок статистического моделирования

В §7.1 предложен новый" критерий для сравнения

трудоемкости функциональных . оценок .статистического

моделирования в методе зависимых испытаний. Пусть -

*

случайная функция такая, что ¿(х)=М^(х) и ¿л(х) ~ оценка

функции ¿(X), построенная методом "зависимых испытаний":

п

' >]п(Х) = 1 Х П '

1 = 1

^(х) - независимые реализации £(х). Предположим, что

функция Лх) и реализации X) принадлежат некоторому

ж

нормированному пространству .Р. Трудоемкостью оценки J (в

* 2 ^

пространстве F) назовем величину Б =пШ||<7 г«Л1р» где ^ -время моделирования одной реализации При некоторых

дополнительных условиях, выполнено .

п - J\\2 — М\\ш\\1 , при "п — «», (8)

где - гауссовсхий случайный процесс с, нулевым средним и

ковариациями Мю(х)ю(у)=м[^(х)^(х)][^(у)^(у)]. Сходимость (8) позволяет ввести понятие асимптотической трудоемкости

т*

оценок </ :

г = 1 Е]|ш||р = Ит .

п "

2

Таким образом, величина ЕЦшЦр, которую в дальнейшем будем

называть Р-отклонением оценки характеризует эффективность - *

оценки ^ в пространстве Р (эту величину можно считать аналогом дисперсии скалярной монте-карловской оценки). Оценку £ (из некоторого класса допустимых оценок), для которой достигается минимум ^отклонения, будем называть ^-оптимальной (в этом классе ).

В §7.1 приведены условия достаточные для сходимости (8) в различных функциональных пространствах Р.

Параграф 7.2 посвящен построению ^-оптимальных оценок для гильбертовых пространств С.Л.Соболева. Здесь построены ^-оптимальные оценки для вычисления интегралов, зависящих от параметра, а также ^оптимальные оценки "по поглощениям" и "по столкновениям" для вычисления семейств функционалов от

линейных интегральных уравнения второго рода. Эти результаты являются обобщением известного метода выборки "по важности". Критерий оптимальности оценок на основе ^-отклонения для гильбертовых пространств С.Л.Соболева естественным образом возникает при одновременном вычислении некоторой функции и ее производных методом зависимых испытаний.

В §7.3 получены эффективные условия, достаточные для

равномерной сходимости функциональных оценок статистического

_ 1 /2

моделирования с порядком п по вероятности. Изучена сходимость оценок "по поглощениям" и "по столкновениям" для вычисления семейства функционалов от интегрального уравнения второго рода, а также сходимость соответствующих локальных оценок.

В §7.4 (последнем параграфе седьмой главы) обсуждаются дополнительные аспекты, связанные со сходимостью функциональных оценок статистического моделирования, а также дискретные и другие обобщенные варианты оптимизации монте-карловских оценок в гильбертовых пространствах.

Приложение I называется "Зависимые испытания для оценки погрешности, вносимой спектральными методами моделирования случайных полей". Здесь представлены результаты вычислительных экспериментов, которые демонстрируют применение алгоритмов последовательного уточнения спектральных моделей случайных полей на одном вероятностном пространстве (§1.2), для решения задач, рассматриваемых в главах 5 и 6 (оценка площади затенения морской поверхности и вычисление альбедо слоя кучевой облачности).

Приложение 2 называется "Решение краевых задач для систем линейных стохастических дифференциальных уравнений". Здесь доказано следующее утверждение, которое лежит в основе соответствующих численных алгоритмов.

Утверждение. Предположим, что векторный случайный процесс х(1) удовлетворяет линейному стохастическому дифференциаль-

ному уравнению в смысле Ито

dx(t) = Ait) x(t) dt + 2ft ) dtw(t), tel a, ß],

где w(t) - вектор из независимых стандартных винеровских процессов, Aft) и Eft J - квадратные матрицы, элементы которых являются кусочно-непрерывными функциями. Через $(t,s) обозначим матрицу Коши для уравнения х'=Ах. Предположим также, что матрица ß

if = Г Фал) 2(%) ZTfTj Фтrt,и d%,

a J

a

невырождена. Тогда распределение вектора xCj), 7€fa,ß), при условии х(а)=ха, x($)=Xg (величины Ха, X- неслучайные) является гауссовским с математическим ожиданием

m = |ФСу,оО - ^Фт(,р,тЯй^Г1ФГр,а;] хл + R4r(ß,-])(if)'1xß и корреляционной матрицей

M(x(j)-m)(xT(у)-тт) = R* - Rl Фт(р,т,>

В этом приложении обсуждается корректность различных краевых условий, рассматривается ряд примеров.

Приложение 3 называется "Список алгоритмов, реализованных на алгоритмических языках высокого уровня для численного моделирования случайных полей и решения некоторых прикладных задач". Здесь представлен соответствующий список алгоритмов, разработанных непосредственно автором, либо под его руководством.

В заключении перечислены основные результаты диссертационной работы.

I ) Проведено исследование численных методов моделирования гауссовских однородных случайных полей на основе спектрального разложения: представлены новые моделирующие формулы и алгоритмы; разработан метод последовательного уточнения спектральных моделей на одном вероятностном

пространстве; предложен новый класс условных спектральных моделей.

2) Решен ряд задач связанных с численным моделированием негауссовских процессов и полей; исследован вопрос о совместимости корреляционных функций и маргинальных распределений случайных процессов; описан класс всех одномерных распределений, ненакладывающих ограничения на корреляции стационарных процессов; проведено подробное исследование метода обратной функции распределения для моделирования случайных процессов с заданными одномерными распределениями (в частности, доказана монотонность преобразования, связывающего корреляции гауссовского и негауссовскбго процессов); разработаны новые численные модели негауссовских случайных процессов и полей.

3) Исследованы условия сходимости приближенных моделей случайных полей в методе Монте-Карло; получены эффективные достаточные условия слабой сходимости различных классов численных моделей случайных процессов и полей (в том числе спектральных моделей, а также моделей на точечных потоках Пальма ) в пространствах интегрируемых и непрерывно дифференцируемых функций.

4) Разработаны численные методы моделирования поверхности морского ветрового волнения и стохастической структуры полей облачности; с помощью этих моделей методом статистического моделирования решен ряд задач оптики атмосферы и океана; в частности, исследованы эффекты возможного увеличения средней интенсивности излучения под облачным слоем и уменьшения альбедо системы "атмосфера - подстилающая поверхность" при наличии тонких облачных слоев; показано также, что имитация поля возвышений морской поверхности дает возможность уточнить оптические характеристики морского волнения (полученные с помощью традиционной фацетной модели), учитывая эффекты переотражения и затенения излучения элементами поверхности.

5 ) Для изучения трудоемкости и оптимизации функциональных алгоритмов метода Монте-Карло введены понятия ^-отклонения и Р-оптимальности случайных полей, являющихся оценками статистического моделирования в методе зависимых испытаний; получены ^-оптимальные оценки в гильбертовых пространствах С.Л.Соболева для вычисления интегралов, зависящих от параметра, и семейств функционалов от решения интегральных уравнений 2-го рода (результаты являются обобщением метода существенной выборки); на основе функциональных предельных теорем получены новые критерии сходимости функциональных оценок в методе зависимых испытаний.

6) Разработаны методы численного решения краевых задач для линейных систем стохастических дифференциальных уравнений.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

■ I. Пригарин С.М О моделировании случайных векторов с заданными корреляциями и маргинальными распределениями // Методы статистического моделирования. - Новосибирск, 1986. - С.3-15.

2. Пригарин С.М. Условия совместности маргинальных распределений и корреляций // Численные методы статистического моделирования. - Новосибирск, 1987. -С.3-5.

3. Пригарин С.М. Модель стационарного негауссовского процесса диффузии второго порядка // Тез. докл. региональной научно-технической конф. "Измерение характеристик случайных сигналов с применением микромашинных средств". - Новосибирск, 1988. - С.122.

4. Каргин Б.А., Пригарин С.М. Моделирование стохастических полей кучевой облачности и исследование их радиационных свойств методом Монте-Карло.- Новосибирск, 1988.- 18с.-(Препринт/ АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ; 817).

5. Пригарин С.М. О слабой сходимости приближенных моделей гауссовских случайных полей // Теория и приложения статистического моделирования. - Новосибирск, 1988.

С.31-39.

6. Аверина Т.А., Пригарин С.М. Моделирование одного класса диффузионных процессов // Вычислительная математика и моделирование в физике. - Новосибирск, 1989.- С.33-44.

7. Кантер P.P., Пригарин С.М. Численное моделирование морского ветрового волнения для исследования поля отраженного оптического излучения. - Новосибирск, 1989. - 25 с. - (Препринт/ АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ; 829).

8. Пригарин С.М. Спектральные модели векторных однородных полей.- Новосибирск, 1989. - 36с. - (Препринт/ АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ; 945).

9. Пригарин С.М. Численные модели некоторых классов негауссовских однородных процессов и полей // Вычислительная математика и моделирование в физике. -Новосибирск, 1989. - С.16-23.

10. Пригарин С.М. Маргинальные распределения стационарных процессов с произвольной корреляционной функцией // Теория и приложения статистического моделирования. -Новосибирск, 1989. - С.64-72.

11. Пригарин С.М. Приближенное моделирование гауссовских однородных полей на основе спектрального представления,- Новосибирск, 1989. - 21с. - (Препринт/ АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ; 876).

12. Пригарин С.М. Некоторые применения теоремы Джейна-Маркуса в статистическом моделировании // Методы статистического моделирования. - Новосибирск, 1990. -С.103-108.

13. Каргин Б.А., Пригарин С.М. О численном моделировании оптических характеристик взволнованной поверхности моря // Методы статистического моделирования. - Новосибирск, 1990. - С.95-102.

14. Пригарин С.M. Асимптотическая эффективность оценок в методе зависимых испытаний // Тез. докл. vin Всесоюз. совещания "Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике". Ч.1.- Новосибирск,

. 1991.- С.94-96.

15. Пригарин С.М. Спектральные модели изотропных гауссовских полей на плоскости // Тез. докл. Всесоюз. научно-технической конф. "Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов" (Новосибирск, 13-19 мая 1991 ).- Новосибирск, 1991.-С.38-39.

16. Пригарин С.М. Исследование одного класса численных моделей случайных полей // Теория и приложения статистического моделирования.- Новосибирск, 1991.-С.29-32.

17. Каргин Б.А., Пригарин С.М. Оценивание площади затенения морской поверхности методом Монте-Карло// Теория и приложения статистического моделирования. -Новосибирск, 1991. - C.I05-II2.

18. Каргин Б.А., Пригарин С.М. Имитация поверхности морского волнения и исследование ее оптических свойств методом Монте-Карло// Оптика атмосферы и океана.- 1992.-Т.5, N.з.- С.285-291.

19. Войтишек A.B., Пригарин С.М. О функциональной сходимости оценок и моделей в методе Монте-Карло// Журнал вычисл. математики и матем. физики.-1992.- Т.32, № Ю. - С .1641-1651.

20. S.M.Prigarin, Convergence of numerical models of random fields in Monte Carlo methods. Russian Journal of Numerical Analysis and Math. Modelling (1992) 7, No. 5, P.441-456.

21. Пригарин С.М. Слабая сходимость вероятностных мер в пространствах непрерывно дифференцируемых функций// Сибирский математический журнал.- 1993.- Т.34, Ш.-С.140-144.

22. T.A.Kaufman, S.M.Prigarin. Random fields: simulation, convergence and applications. International 93 Lviv conference "Applied modelling and Simulation" (Sept.30-Oct.2, 1993). Summaries of accepted Communications, P.22-23 .

23. Пригарин C.M. Сходимость и оптимизация функциональных оценок статистического моделирования.- Новосибирск, 1993. - 30с. - (Препринт/ РАН. Сиб. отд-ние. ВЦ; 1007).

24. S.М.Prigarin. Spectral models of vector-valued random fields // Bulletin Novosibirsk Computing Center, Series: Numerical Analysis, Vol.4, 1993, P.45-60.

25. S.M.Prigarin, Numerical models of random processes and fields and some applications in Monte Carlo methods // Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling (1994), Vol.9, No.2, P.147-177.

26. Анваров С.P., Пригарин C.M. Численное моделирование пространственно-временной структуры поверхности морского волнения для решения оптических задач // Оптика атмосферы и океана. - 1994. - Т.7, N.5. -С.685-693.

27. Каргин Б.А., Пригарин С.М. Имитационное моделирование кучевой облачности для исследования процессов переноса солнечной радиации в атмосфере методом Монте-Карло // Оптика атмосферы и океана.- 1994.- Т.7, N.9.- С. 12751287.

28. Пригарин С.М. Некоторые задачи теории численного моделирования случайных процессов и полей.- Новосибирск: Изд. Вычислительного центра СО РАН, 1994, 163с.

29. S.М.Prigarin, Spectral models of random fields and their applications.- Advances in modelling & analysis, A, "Vol.29, No.2, 1995, P.39-51.

30. Пригарин C.M., Сидоров П.И. Численное моделирование эффекта возрастания средней интенсивности солнечного излучения около поверхности земли в условиях

облачности// Оптика атмосферы и океана.- 1995.- Т.8, №12,- C.I843-I846.

31. S.М.Prigarin, Convergence and optimization of functional estimates in statistical modelling in Sobolev's Hilbert spaces// Russian J. Numer. Anal. Math.' Modelling (1995), Vol.10, No.4, P.325-346.

32. V.E.Zuev, E.I.Kasyanov, G.A.Titov and S.M.Prigarin, Albedo and transmittance of inhomogeneous stratus clouds.- Proc. to Fifth ARM Science Team Meating, Sun Diego, California, 12-23 March, 1995, 5p.

33. Касьянов Е.И., Пригарин C.M., Титов Г.А. Радиационные характеристики неоднородных слоистых облаков. 2 межреспубликанский симпозиум "Оптика атмосферы и океана". Тезисы докладов (часть I). Томск, 1995, С.194-195.

34. B.A.Kargin and S.М.Prigarin, Simulation of random fields in stochastic problems of the cloudy atmosphere optics// Proceedings of the International Conference "Advanced Mathematics: Computations and Applications" (Novosibirsk, June 20-24, 1995), (Eds. A.S.Alekseev, N.S.Bakhvalov), NCC Publisher, P.606-614.

35. V.A.Ogorodnikov and S.M.Prigarin, On stochastic interpolation of descrete random processes and fields // Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling (1996), Vol.11, No.1,P.49-69.

36. B.A.Kargin and S.M.Prigarin, Numerical modelling of random fields in stochastic problems of atmosphere-ocean optics// Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling (1996), Vol.11, No.4, P.323-341.

37. Пригарин C.M. Краевые задачи для систем линейных стохастических дифференциальных уравнений.-Новосибирск, 1996.- 16с.- (Препринт/РАН. Сибирское отделение, ВЦ; № 1060).

38. B.A.Kargin and S.М.Prigarin, Spectral models of random

fields and their applications in the atmosphere-ocean optics //Mathematical methods in stochastic simulation and experimental design. Proceedings of the 2nd St.Petersburg Workshop on simulation (1996, June 18-21).- Saint Petersburg: Publishing House of Saint Petersburg University, 1996.- P.114-117.

39. S.M.Prigarin, Numerical solution of boundary value problems for linear systems of stochastic differential equations// Mathematical methods in stochastic simulation and experimental design. Proceedings of the 2nd St.Petersburg Workshop on simulation (1996, June 18-21).- Saint Petersburg: Publishing House of Saint Petersburg University, 1996.- P.106-108.

40. Гришанин А.С., Пригарин C.M. Численное решение краевых задач для линейных стохастических дифференциальных уравнений//Труды Вычислительного центра СО РАН. Серия: Вычислительная математика. Вып.4. - Новосибирск, 1996.-С.Ill—119.

41. Пригарин С.М., Титов Г.А. Спектральные методы моделирования геофизических полей// Оптика атмосферы и океана.- 1996.- Т.9, N 7,- С.993-1004.

42. S.М.Prigarin, Solution of boundary problems for linear systems of stochastic differential equations (technique of conventional distributions)// Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling (1996), Vol.11,"No.6, P.456-464.

43. V.A.Ogorodnikov and S.M.Prigarin, Numerical Modelling of Random Processes and Fields: Algorithms and Applications. - VSP, Utrecht, the Netherlands, 1996, 24 Op .

44. Пригарин C.M. Две задачи, связанные с интерполяцией случайных процессов.- Новосибирск, 1997.- 18с.-(Препринт/РАН. Сибирское отделение, ВЦ; N Ю87).