Численные исследования процессов затвердевания металлов и сплавов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ АКАДЕМИИ НАУК СССР ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

На правах рукописи ПОПОВ ВЛАДИМИР НИКОЛАЕВИЧ

УДК 519.633

ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ ЗАТВЕРДЕВАНИЯ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ

Специальность 01.01.07 - вычислительная матемагут-

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1991

Работа выполнена в Вычислительном центре СО АН СССР.

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор В.П. Ильин, кандидат физико-математических наук, с.н.с. А.Н. Черепанов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук В.И. Кузин,

кандидат физико-математических наук А.Г. Слепцов.

Ведущая организация: Институт теоретической и прикладной механики СО АН СССР.

Защита состоится " (£11 199 в £0 мин.

на заседании специализированного совета К 002.10.01 по присуждению ученой степени кандидата наук в Вычислительном центре СО АН СССР по адресу:

630090, НовосиСирск-90, пр. ак. Лаврентьева. 6.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале ВЦ СО АН СССР (Новоси0ирск-90, пр. ак. Лаврентьева, 6).

Автореферат разослан " 1/_ " 199/ г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук • Ю.И. Кузнецов

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Д».'! I

{Актуальность темы. Возрастающие требования к современной технологии получения металла выдвигают задачи исследования процессов кристаллизации и построения адекватных математических моделей. Методы моделирования при использовании быстродействующих ЭВМ часто оказывается единственным способом определения оптимальных режимов, при которых происходит тот или иной процесс, так как возможности экспериментального исследования этих явлений ограничены методическими и техническими трудностями.

Математическое моделирование реальных задач теплообмена для высокотемпературных процессов затвердевания Сплавления) металлов, когда теплофизические параметры зависят от температуры и сильно изменяются, связано с рассмотрением квазилинейных уравнений параболического типа, построением конечно-разностных схем и дальнейшим решением получаемых нелинейных алгебраических систем. Строгое математическое обоснование разностных схем, отвечающих таким уравнениям, обычно сопряяено с большими трудностями. В связи с этим для инженерных расчетов применяются методы, аналогичные у>хэ наработанным для численного решения линейных иди нелинейных задач твплопереноса. Нервдно.при выборе разностной схемы основывается на результатах тестовых расчетов Оез проведения дополнительного анализа алгоритма на устойчивость, сходимость итераций, определения условий их вшоляенения, тогда как наличие больших температурных градиентов и высокая скорость протекания процессов может привести к большому несоответйтвию полученного результата с искомым решением. Поэтому вопросы построения и обоснования эффективных алгоритмов, хорошо отражающих основные физические свойства процессов, имеют важное значение для численного исследования рассматриваемых нестационарных процессов.

Цвльв диссертационной работы является:

- построение и обоснование неявных разностных схем для численного исследования нестационарных тепловых процессов, происходящих во время затвердевания (плавления) металлов и сплавов:

- численное исследование с помощью тестовых задач итерационных алгоритмов решения разностных систем, получаемых при неявных аппроксимациях, одномерного уравнения тешюпереноса с у,апрелем

"Отвфана яатраяшде раздела фаз и иясжхерйыг лараболичвоких

1 уравнений;

- проведение численного моделирования- процессов затвердевания св лаз а в кольцбЕой форме с выплавляемым внутренним стержнем, и охлаждения расплава в цилиндрической камере с после дущим выдавливанием его при помощи движущегося пуансопа.

Методика исследования. Исследование разностных схем, получение услови! сходимости и устойчгаостк, а тгю;-;е оценки погрэшноспг расчетов проводились на основе свойств монотонных матриц либо при помоиу! численного решения модельных задач.

Научная новизна изложениях в работе результатов заключается в слэдухщэн:

- проведено теоретическое исследование предложенного алгоритма решения одномерной двухфазной задачи Стефана и рассмотрен экономичный итерационный метод решения нелинейной разностной системы для задач с подвижной границей раздела фаз;

- исследованы алгоритмы численного решения одномерных и двухмерны! задач кристаллизации (плавления), описываемых квазилинейными параболическими уравнения,1® с различными краевыми условиями, включая нелинейность типа излучение;

- рассмотрена применимость итерационного метода неполной факторизации с ускорением по метода сопряженных градиентов для чисто неявной ашкяссяшации многомерных: задач теплопереноса;

- проведено численное моделирование процессов теплопереноса при затвердевании (плавлении) металлов и сплавов в цилиндрической форме с выплавляемым стержнем.

Научная и практическая ценность. Выполненные теоретически» исследования служат з качестзе обоснования достоверности численных экспериментов при математическом моделировании процессов теплопереноса V структурообразования. Полученные в диссертации результаты нашли практическое применение в усовершенствовании существующих и разработке новых технологических процессов непрерывной разливки сталей и сплавов (ЦНИТШ, Москва; завод "Сиоэлектросталь" Красноярск), получении отливок способом ЛВКД - литья выжиманием с кристаллизацией под давлением (МПФ, Новосибирск).

Математическая модель процесса ЛВКД внедрена в Институте прикладной физики г. Новосибирска в виде пакета прикладных программ для ЗЗМ.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались

- на конференциях: Всесоюзные конференции "Моделирование роста кристаллов" (Рига, 1SS7), "Проблемы промышленной кристаллизации и компьютерное моделирование технологий" (Ижевск, 1988), Международные конференции "Численные методы и приложения" (София,

. 198Э), "Высокоазотистыэ стали - 89" (Варна, 1В89);

- на семинарах: "Методы вычислительной и прикладной математики" ВЦ СО АН СССР (г. Новосибирск), семинар ИТ СО АН СССР (г. Новосибирск)

Публикации. Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах И-7].

Структура и объэм работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и списка цитируемой литературы. Объем содержательной части диссертации - 105 страниц, списка литературы - 8 ■ страниц. Работе включает 7 таблиц и 8 рисунков, список литературы из 71 наименования.

II. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируется задачи исследования - рассматривался две математические модели процессов затвердевания (плавления) металлов и сплавов: стефановская и равнозесная, проводится обзор работ по исследуемой теме, кратко излагается структура диссертации и ее содержание по главам.

П&рвые две главы посвящены изучению алгоритмов числэеного решения математических моделей для задач затвердевания.

Первая глава посвящена исследовании разностной схемы для решения одномерной двухфазной задачи Стефана и итерационному алгоритму решения нелинейной разностной системы при использовании неявной аппроксимации для задач с подаются границей раздела фаз.

В начале главы приводится краткий обзор публикаций по исследованию конечно-разностных алгоритмов для решэния двухфазной задачи Стефана, которые сохраняют свое широкое применение несмотря на все большее распространение метода конечных элементов. Среди исследований многочисленных авторов по этой проблеме выделяются работы A.B. Успенского. Ф.П. Васильоза, В.М. Будака, E.H. Соловьевой, A.A. Самарского, В.А. Цурко. За рубежом изучением этой задачи последовательно занимаютсяся U. Streit, R.E. White.

В первом параграфе предлагается и исследуется алгоритм

численного решения для задачи Стефана, которая в п. 1.1.1 формулируется в следующем виде

8а г. Да~|

ви

8 t д х ( 1 в х а и _ йи г, а и

| г

а Т)

а г

а и

а 2

а и

д

Л*.] , х 1 2 8 х J

д и А а и

а г г?1 Ъ-о 2 3 2 * 7)< Ъ +0

X е 01= {0 € X < Т>Г*)}, X е 02= 111(1) < I « 1),

исчам) = и*,

а г

<\ (и-ис) ,

х = 0,

х = 1,

О < 4 < Т < » ,

«(1,0) = ио(х), 0 € х « 1 , Т](0) = Т]°, 0 < Т}°< 1, 4=0,

где , А.г, а4, а2, ис считаем положительными величинами, а индексы 1 и 2 относятся к различным фазан среда. Здесь т} = *}(Х) - координата точки фронта с заданным значением искомой функции и - V*. Задача рассматривается в предположении

а и

> 0, и(х,1) < и , !«[!., и(2,£) > и , X е о,.

а х 7><ъ±о 1 12

Обратно, если выполнены неравенства 8 и

8 х

" <0, и(Х,4) > и , Г е о , 11(2,4 )< И , X е О,.

т><ъ±о 1 ^

то условие на границе фазового перехода заменяется на

а АЛ. = _ хЛЛ в г 1 в х

+

а и

Г7< Ъ

И(Т)(4),4) = и

7)< -О д X

Решение рассматриваемой системы предполагается достаточно

гладким в 01, .

В п. 1.1.2 описывается пространственная сэтна, в которой, для момента времени tn. один кз узлов совпадает с координатой положения фронта ч]п. и строится неявная разностная схема с выделением фронта. Решение искомой функции в узяэ сетки хкп, Олжзсайшем к фазовой границе. находится при помоци дополнительного разностного уравнения, получаемого кз условия баланса.

Для исследования в п. 1.1.3 сходимости рзиэния у", 1=1.....К,

Т)п, полученной нелинейной разностной системы. к точному решении «(я. ,4П),Т)(«П), из условия юп=т)(гп)-'Пп, вводится вектор

ошибок й" = (г^,. .....г^), который в момент времени

I удовлетворяет системе вида

( + — 2П ) 1*1 = в, гр + 1п в" ь.

к =

Здесь - диагональные матрицы, Т" - трехдкагональная матри-

ца, имэщая диагональное преобладание по столбцам, а фп - вектор погрешности аппроксимации разностной схема с элементами порядка 0(1|+Л) и 0(1+71*).

На основе свойств монотонных матриц получена оценка погрешности разностного решния,которая при достаточно малых временном и пространственном шагах и условии 1 ~ Л ииэвт взад

тм, к.

ида»«®» Чснюевхс^^ЫФ^Р+М^], иг"»^ ЕКК1,

V , п 1 = 1

(здесь и далэе суть полаютельные, не зависящий от %п и П константы)

В п. 1.1.4 предлагается метод решения нелинейной системы, выводятся Условия сходимости итераций в зависимости от соотношения величин временного и пространственного шагов. С учетом оценки полученной в п. 1.1.3, определяется величина погрешности разностной системы при сходящемся итерационном процессе в норме Ъ1.

Из полученных результатов следует, что условия устойчивости рассмотренной схемы и сходимости итерационного процесса никак не

связаны ни с количеством фазовых границ, ни с направлением их движения.

В §1.2 рассматривается итерационный алгоритм решения нелинейной разностной системы, подученной при неявной аппроксимации двухфазной задачи Стефана с краевыми условиями второго рода на внешних границах, постановка которой осуществляется в д. 1.1.1. Метод основан на сведении схемы с выделением фронта, аналогичной рассмотренной в § 1.1, к виду, характерному для метода сквозного счета.

В п. 1.2.1 строится нелинейная система разностных уравнений и приводится алгоритм ее решения.

Все особенности, возниканщэ при аппроксимации уравнения теплопроводности и связанные с непопаданием положения фронта на временных шагах в узел сетки, выделяются в результате преобразования системы в виде дополнительных членов. Далее решение проводится методом простой итерации, когда с помощью прогонок из уравнения

r,S+i «ri-1 .

— I 1 i п ..Г* , £2+ 1

- = - —- Д. у +

т h

-L B(rf) ■*"'■+ DOf) r'"~ + Л i

вычисляется (э+1)-e приближение температуры (Yn= íy"}, í=1.....к,

í/fen - вектор, матрицы LT' ,B - трехдиагональные, D - диагональная, причем В и D имеют ненулевые элементы только в kn-1 и kn+1 строках), а затем по формула

* n.s-,1. и*

^ \ Г» »Icn-i . "krn-l 1

- w = --^ , _

Ч П * kn-1 *kn+l Ч

определяется новое приближение . Причем на каждом итерационном шаге изменяются только элементы вектора Р и матриц В,В, что ведет к существенной экономик вычислений. В этом предлагаемый алгоритм близок к методу редукции.

В п. 1.2.3 приводятся результататы анализа численных расчетов тестовой задачи имвщей точное решение.

Простота и эффективность метода особенно сказывается в случае

нескольких фронтов'фазового перехода, при произвольном направлении их движения, а также при зависимости объемной теплоемкости и коэффициентов теплопроводности от температура.

Во второй главэ рассматриваются неявные разностные схемы для численного решения одномерных и двухмерных задач кристаллизации (плавления), описываемых квазилинейными параболическими уравнения-' ж с различными краевыми условиями, включая нелинейность типа излучение. Схемы такого вида имеют самое широкое распространение при реализации математических моделей процессов теплопероноса. Здесь ке предлагаются результаты исследования применения метода неполной факторизации для решения двухмерного параболического уравнения.

Существенный вклад в развитие и изучение разностных методов решения задач тешюмассопереноса внесли A.A.. Самарский, Г.И. Мар-1ук. H.H. Ннвнко, J. Doiiglaa.

В § 2.1 приводится решение одномерной задачи затвердевания металла в форме. Процессы кристаллизации описываются в приближении равновесной двухфазной зоны.

В начале параграфа дается краткий обзор результатов исследо-зания конечно-разностных алгоритмов решения задачи такого типа. Здномерная математическая модель затвердевания металла в форме анализировалась болгарской ученой Н. Дренска.

Раздел 2.1.1 посвящен математической постановке задачи в ;ледущем виде

ф(и)

д Ц д t

¡?и

о з?

О < 3 < 1

д и

д г2

JE < X < 1 ,

fl U(Io-0,i) 9 х

О u(i„+0,t)

а x

= - aiud-о,i)-u(i„HM)],

x в M(O.t) = о

1 0 I

х _аМЫ1 = - g(u(i,t))[«(i,i)-uc], о < t < n,

д x

1

t

и(г,0)

и1ои), о $ X « 1о-0,

«(х,0) = и20(х), го+о $ х

Индексы 1 V ?■ относятся к разным средам - жидкой отливке к твердо] форме соответственно; а, Хг, ° ^, а. - физические положительны* константы; ис - температура внешнэй среды, вункция ф(и) > ' моделирует эффективную теплоемкость с учетом выделения тепла пр; щшсталлизации, а функция д (и) -> О определяется в соответствии 1 законом Стефана-Больцмана. Считаем, что функции и, <р(и), д(Ю ■ непрерывны, ограничена, обладают достаточной гладкостью, и для пи: выполняются условия

в и < м д ф(т))

б 4 ^ 9 ат}

д д(т}) а,, —-— «м3,

д Т)

- со < Т] <

где й О, ¿=1,2,3.

При построении разностной схемы шаг в области изменения выбирается таким, чтобы точка ха понала в узел.

В этом хэ пункте показывается разрешимость задачи, предлага ется алгоритм решения нелинейной системы.

В п. 2.1.2 для предлагаемого метода решения системы нелиней ных алгебраических уравнений находятся условия сходимости итера ций, а пункт 2.1.3 посвящен определению оценки погрешности разностного решения в равномерной норме, которая имеет вид

«2ПI

« 1ВЬТ11(|)11С

где »(|>1С = 0(т+Ла), Ь = М1Иг/(1-о), 0 < а < 1.

Параграф 2.2 посвящен исследованию неявной разностной схем для решения неоднородного двухмерного уравнения теплопроводности объемной теплоемкость!), коэффициентами теплопроводности и право частью, зависящими от температуры. Рассматривается смешанная крае вая задача, вклеташдая условия I и II родов, а также условие II рода, которое содержит в себе нелинейность типа излучение.

В начале параграфа приводится краткий обзор алгоритмов численного решения многомерных уравнений в частных производных параболического типа конечно-разностными методами.

Пункт 2.2.1 посвящен построении разностной схемы на равномер ной сетке по пространственным переменным, показывается разреши

мссть задачи.

В раздвдэ г.2.2 приводится оценка устойчивости схемы и определяется, что при ограничениях на временной и пространственные шаги т,Лх,Лу для полученной системы нелинейных алгебраических уравнений, величина погрешности разностного решения в равномерной норме имеет порядок ОСт+Л^+Л2).

Следущий параграф 2.3 посвящен оценка применения метода неполной факторизации с ускорением по методу сопряженных градиентов при итерационном решении систем линейных алгебраические уравнений возникающих в случае неявной аппроксимации нестационарной задачи теплопроводности с постоянными коэффициентами.

В разделе 2.3.1 проводится описание итерационного алгоритма, предложенного В.П. Ильиным. Здесь жэ приводится соотношение, опре-деляшцее взаимосвязь между скоростью сходимости итераций и величинами временного и пространственных шагов.

В п. 2.3.2 анализируется результаты численвых расчетов, про-Евденных для модельной задачи, имощой: сильно изменяющееся решение, с целью получения количественной эффективности алгоритма метода неполной факторизации и его сравнение с методом блочной верхней релаксации.

Из анализа численных экспериментов делаются выводы:

1. В методе неполной факторизации с ускорением по методу сопряженных градиентов итерации сходятся при лхбых значениях числового итерационного параметра 6 с [0,1 ], при этом наилучшим в случаях изменения пространственных шагов Лк,Лу оказывается 8=1. Количество итераций при фиксированном временном шаге т=А пропорционально ¡1"°"23 (2Л2=Л.2+?12), что соответствует теоретической оценке, приводимой в работе.

2. Связь между ростом временного шага и увеличением количества итераций при фиксированном Л, определяемая приблизительно как

" что близко теоретической оценка, позволяет существенно сократить общий объем вычислений с учетом использования в качестве начального приближения близкого решения с предыдущего временного шага, при увеличении г, в методе неполной факторизации. Ограничением является то, что выбор т. обуславливается необходимой точностьи аппроксимации.

3. Метод НФ с сопряженными градиентами значительно превышает по экономичности метод блочной верхней релаксации и лишен недос-

тагка последнего, необходимости подбора оптимального итерационного параметра, связанного как с Л, тан и с г. Выигрыш увеличивается с уменьшением Л. При этом точность расчетов при использовании обоих методов фактически одинаковая.

4. Высокая эффективность метода неполной факторизации с ускорением по методу сопряженных градиентов позволяет использовать чисто неявные разностные схемы как наиболее устойчивые при численном решении многомерных уравнений параболического типа.

В третьей главе представлены решения практических задач затвердевания, полученные с использованием алгоритмов, рассмотренных в 55 2.1,2.2.

В § 3.1 анализируются результаты, полученные при поиске оптимальных условий затвердевания стали в кольцевой форме с выплавляемым алкьшшевым стержнем. Процессы затвердевания отливки и плавления стержня описываются в приближении квазиравновесной двухфазной зоны. Тешюфизические параметры стержня, отливки и формы считаются различными и равными их средним значениям в рассматриваемых интервалах температур. Диаграммы состояния соответствующих квазибинарныг сплавов аппроксимируются линейными зависимостями температур ликвидуса и солэдуса от концентрации ведущего легирувдего компонента.

Использование численного алгоритма для реализации математической модели позволило получить результаты, хорошо согласувдеся с экспериментом. Это дало возможность определить оптимальные параметры система и тепловые режимы формирования отливки по способу литья выжиманием с кристаллизацией под давлением (ЛВНД) в Институте прикладной физики.

В параграфе 3.2 представляются результаты расчетов, полученные в ходе поиска оптимального режима работы экспериментальной жтвйной установки. Решается двухмерная задача остывания расплава в цилиндрической форме, с последувдим выдавливанием его при помощи опускавдейся крышки с отверстием. Рассматривается только тепловой процесс без учета гидродинамики.

Одной из целей исследования процесса охлаждения металла в камере выжимания с помощьи математической модели было установление наличия твердой корочки на внутренней стенке формы и определение ее толщины, что имеет важноэ значение для организации дальнейшего технологического процесса.

Проводилась проверка подученных результатов с помощь® эксперимент альшх нзблвдений. Расхождение не превышает одного-процента.

III. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Исследована балансная разностная схема для рошеш-ш нелинейных задач типа Стефана. Получена оценка погрошности разностного репгаямя в норме Ъ1 для двухфазной задачи Стефана с краовьми условия;«! первого и второго родов на внешних границах. Исследована сходимость итераций при решении уравнений. Предложен алгоритм решения нелинейной разностной системы, основанный на приведении к виду, характерному для сквозного счета, рассмотренной балансной разностной схож с выделением фронта. Результат справедлив для случая нескольких фронтов фазового перехода, двнвущихся в произвольном направлении.

2. Предложена и на основе свойств монотонных матриц обоснована разностная система для решения нелинейных параболических уравнений с разрывными коэффициентами и условием сопряжения на границе раздела сред для одномерной модели кристаллизации металла в форме. Подучена оценка погрешности разностного решения з равномерной норна, найдены условия сходимости итерационного процесса для нелинейной системы в зависимости от величины временного шага.

3. Получена оценка погрешности разностного решения в равномерной норме исследованной разностной схемы для численного решения двухмерного уравнения тепдопорэноса с коэффициентами, зависящими от температуры при краевых условиях I-II родов, и нелинейностью тина излучение в граничном условии III рода.

4. Исследована и показана высокая 'эффективность метода неполной факторизации с ускорением по методу сопряженных градиентов при члсланном решении многомерных уравнений параболического тина в случае использования чисто неязных аппроксимаций.

5. Проведен цикл методических расчетов по исследованию разностных алгоритмов и получены численные решения математических моделей процессов-затвердевания сплавов в различных формах для практических задач, на основе которых определены оптимальные режимы работы экспериментально-промышленной установки.

IV. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ильин В.П., Попов В.Н. Сходимость разностного решения для одномерной задачи кристаллизации металла в форме // Численные методы механики сплошной среда: Сб. научн. тр. - Новосибирск, 1989. - Т. 3(20), #4.-0. 73-82.

2. Попов В.Н. Сходимость разностной схемы для двухмерного квазилинейного уравнения параболического типа // Вариационно-разностные методы в задачах численного анализа: Сб. научн. тр. -Новосибирск, 19Э1.

3. Попов В.Н., Ильин В.П. 0 применении метода неполной факторизации для решения двухмерного параболического уравнения // Вариационно-разностные методы в задачах численного анализа: Сб. научн. тр. - Новосибирск, 1991.

4. Попов В.Н. Разностный метод сквозного счета с определением точного положения фронта для решения двухфазной задачи Стефана // Теплофизика кристаллизации и высокотемпературной обработки материалов: Сб. научн. тр. - Новосибирск, 1990. - С. 87-93.

5. Попов В.Н., Черепанов А.Н., Манолов В.Н. Сравнение результатов численного исследования процесса затвердевэния стального слитка с помощьв равновесной и квазиравновесной математических моделей // Численные методы и приложения: Сб. научн. тр.-Ссфия,198Э. - С. 385-389.

6. Черепанов А.Н.,' Караних Ю.А., Попов В.Н., Григорьева Г.М. Математическая модель и численное исследование процесса формирования отливки в металлической форме с расплавляемым стержнем // Изв. вузов. Черн. металлургия. - 1988. - » 8. -С. 124-129.

7. Ильин В.П., Попов В.Н. Об одной разностной схеме для численного решения двухфазной задачи Стефана. - Новосибирск, 1991. -

с. - (Препринт/ АН СССР. СиО. отд-ие. Вычислительный центр;