Влияние квазиравновесной двухфазной зоны на затвердевание бинарных расплавов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

1 П

1 и '<"'>¡8

На правах рукописи УДК 536.42:536.421.4

АЛЕКСАНДРОВ ДМИТРИЙ ВАЛЕРЬЕВИЧ

ВЛИЯНИЕ КВАЗИРАВНОВЕСНОЙ ДВУХФАЗНОЙ ЗОНЫ НА ЗАТВЕРДЕВАНИЕ БИНАРНЫХ РАСПЛАВОВ

Специальность 01.04.14 - Теплофизика и молекулярная физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург 1997

Работа выполнена в Уральском ордена Трудового Краен го Знамени государственном университете им. A.M. Горько на кафедре математической физики.

Научные руководители: доктор физико-математических

наук, профессор В.В. Мансуро!

кандидат физико-математическЕ наук, доцент А.О. Иванов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор, Г.П. Ясников кандидат физико-математичеекк наук, доцент С.А. Береснев

Ведущая организация: Институт теплофизики УрО РА]

Защита состоится /Ь- 03 . 1998 г. в /Г час. IЮ ми на заседании специализированного диссертационного совета К 063.14.11 при Уральском государственном техническом ун верситете по адресу: 620002, Екатеринбург, ул. Мира 19.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке УГТУ.

Автореферат разослан /1-02. 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физ.-мат. наук Е.В. Кононеш

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Эволюция межфазной поверхности (между жидкой и твердой фазами) играет определяющую роль в образовании различных структур, возникающих как в природе, так и в различных технологических процессах. Динамическое развитие границы раздела фаз ответственно за появление слоистых, ячеистых, древообразных (иглообразных) структур слитков в технологических процессах получения металлов, полупроводников и других материалов.

Процессы направленного затвердевания расплавов и растворов чрезвычайно широко распространены в природе и многих технологиях, которые используются в традиционных и новых областях техники. Изучение тепломассопереноса находит широкое применение при получении слитков черных и цветных металлов, получении однородных по структуре материалов. Указанные процессы имеют фундаментальное значение при затвердевании заготовок и слитков, промерзании водона-сыщенных грунтов и пород, создании искуственных кристаллов. В прикладном отношении особенно важным представляется формирование различных типов микро- и макроструктур в получаемых путем затвердевания материалах, физические механизмы которых до сих пор в полной мере не выяснены. Поэтому исследование направленного затвердевания представляет собой актуальную прикладную проблему.

Современная технология предъявляет все более высокие и разнообразные требования к качеству получаемых материалов и методам управления процессами направленной кристаллизации. Вследствие чего возникает необходимость разработки новых методов математического моделирования в процессах затвердевания сплавов, без чего, несомненно, невозможно понять полную картину протекающих процессов.

Актуальность работы в целом обусловлена необходимостью расширения и углубления знаний о процессах затвердевания при наличии двухфазных зон.

Цели работы. Цели работы заключались в теоретическом исследовании динамической неустойчивости процессов затвердевания при наличии квазиравновесных двухфазных зон, в изучении процесса образования двухфазной зоны перед фронтом кристаллизации и связи этих режимов затвердевания с распределением примеси в твердой фазе.

Это потребовало решения следующих задач:

1. проведение линейного анализа динамической неустойчивости для процессов затвердевания бинарных расплавов в присутствии узкой квазиравновесной двухфазной зоны;

2. проведение линейного анализа динамической неустойчивости для процессов затвердевания бинарных расплавов в присутствии широкой квазиравновесной двухфазной зоны;

3. проведение линейного анализа динамической неустойчивости для промежуточных (по ширине зоны) процессов затвердевания;

4. исследование механизма образования узкой квазиравновесной двухфазной зоны перед фронтом затвердевания при кристаллизации бинарных расплавов.

Научная новизна. Настоящая диссертация представляет собой непосредственное продолжение и развитие исследований, известных .по работам сотрудников кафедры математической физики УрГУ Ю. А. Буевича, В. В. Мансурова, Л. Ю. Искаковой, И. А. Наталухи (1983-1995) и посвящена изучению особенностей неустойчивых режимов динамического типа в процессах затвердевания с квазиравновесной двухфазной зоной и исследованию образования двухфазной зоны перед фронтом затвердевания, объясняющих неоднородности рас-

пределения примеси в слитках.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней проведены комплексные исследования процессов затвердевания бинарных расплавов с квазиравновесными двухфазными зонами, являющиеся составной частью нового научного направления теплофизики и молекулярной физики - динамической теории направленного затвердевания при наличии переходных двухфазных зон.

В диссертации проведен анализ динамической неустойчивости затвердевания бинарных расплавов при наличии квазиравновесных двухфазных зон. Результаты анализа динамической неустойчивости позволяют сделать вывод о возможности возникновения слоистых структур примеси в твердой фазе (слоистой ликвации примеси), а также проведено изучение явления образования двухфазных зон перед фронтом кристаллизации в процессах затвердевания бинарных расплавов.

Достоверность полученных результатов подтверждается корректным использованием основных положений теории направленного затвердевания, современного математического аппарата, сопоставлением полученных результатов с экспериментальными и численными расчетами.

Практическая ценность. Линейный анализ динамической неустойчивости, проведенный во второй и третьей главах диссертации для процессов затвердевания с квазиравновесной двухфазной зоной показал, что существуют области параметров затвердевания, в которых процесс динамически неустойчив. В этих областях можно ожидать появления неоднородных структур примеси в твердой фазе.

Результаты, полученные в четвертой главе диссертации показывают различия в распределении примеси в твердой фазе при образовании двухфазной зоны перед плоским фронтом затвердевания и в случае, когда кристаллизация происходит

только при наличии плоского фронта. Различное распределение примеси приводит к разным физико- механическим свойствам получаемых изделий.

Аппробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались

-на ХШ-ой Международной школе по моделям механики сплошной среды (С.-Петербург, 1995),

-на международной научно-технической конференции "Молодая наука - новому тысячелетию" (Набережные Челны, 1996),

- на Ш-м Минском международном форуме по тепло- и массообмену (Минск, 1996),

- на П-ой Республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов (Казань, 1996),

- на международной конференции "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах" (Тверь, 1996),

- на международном семинаре "Modelling, advanced process technology, expert and control system of heat and mass transfer phenomena" (Екатеринбург, 1996),

- на второй конференции ECCOMAS-96 "Numerical methods in engineering" (Париж, 1996),

- на международном симпосиуме "Multiple scale analyses and coupled physical systems" (Париж, 1997).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 14-ти работах в отечественных и зарубежных изданиях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из списка обозначений, введения и четырех глав. В конце диссертации обсуждены основные результаты и выводы, приведен список литературы. Работа изложена на 123-х страницах, включая 28 рисунков. Список цитированной лите-

ратуры содержит 158 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность исследований неустойчивых режимов затвердевания бинарных расплавов, отмечена научная новизна работы, сформулирована цель и кратко изложена структура диссертации.

В первой главе приведен обзор современного состояния проблемы направленного затвердевания бинарных расплавов. Дан обзор результатов, полученных современными авторами при исследовании вопроса об устойчивости (динамической и морфологической) фронта затвердевания, методов современного математического моделирования задач с подвижными границами; обсуждены результаты различных авторов, полученные при описании процессов затвердевания бинарных расплавов при наличии двухфазных зон.

Во второй главе приведена общая постановка задачи о затвердевании бинарных расплавов с квазиравновесной двухфазной зоной, полученная ранее В.Т. Борисовым, приведены асимптотические решения уравнений В.Т. Борисова, полученные В.В. Мансуровым с сотрудниками для узкой и широкой квазиравновесных двухфазных зон (Сап. Л. РЬуэ., 1990; Теплофизика высоких температур, 1991; Расплавы, 1994). Асимптотические решения уравнений квазиравновесной двухфазной зоны позволили сформулировать новую постановку задачи о затвердевании бинарных расплавов в двух случаях, определенных различными комбинациями теплофизических параметров: 1) бид/Бе < 1, т.е. ширина зоны очень мала (такая зона получила название узкой) и 2) Х3тоа<х>/рЬБ(, <С 1. В последнем случае ширина зоны превышает таковую в первом случае (такая зона получила название широкой). Здесь 8 -

ширина двухфазной зоны, us - постоянная скорость затвердевания, De - коэффициент диффузии примеси в расплаве, Xs - коэффициент теплопроводности твердой фазы, то - наклон линии ликвидуса, а^ - концентрация примеси в расплаве вдали от границы раздела фаз, р - массовая плотность, L - скрытая теплота затвердевания. Метод В.В. Мансурова построения асимптотических решений основан на замене двухфазной зоны поверхностью разрыва между твердой фазой и расплавом. Его модели узкой и широкой квазиравновесных двухфазных зон, приведенные в этой главе, включают одномерные уравнения теплопроводности в расплаве (£ > Е(т)) и твердой фазе (£ < Е(г)), одномерное уравнение диффузии примеси в расплаве (диффузией примеси в твердой фазе пренебрегается) а также следующие граничные условия на поверхности разрыва Е(г)

ве = в* - m0at, £ = S(r), (1) дв^ даt , .

= ojf, * = ВД, (2)

dQs d9t dS

^ f= (r)' (3)

h = es, e = s(r), (4)

«. = '< + ^/^-7, £=E(r). (5)

Здесь в{ и вя - температуры в расплаве и твердой фазе, в* -температура фазового перехода чистого вещества, (Те - концентрация примеси в расплаве, Хе - коэффициент теплопроводности расплава, г - время, 7 - величина, определенная в работе

В.В. Мансурова (Расплавы, 1994), £ - пространственная координата. Условие (1) означает равенство температуры расплава температуре фазового перехода, которая зависит от концентрации примеси. Используемая в условии (1) простейшая линейная связь применима для расплавов с малым содержанием примеси, а коэффициент то определяется из наклона кривой ликвидуса. Условие (2) соответствует квазиравновесности двухфазной зоны. При этом, градиент температуры в расплаве должен совпадать с градиентом температуры фазового перехода. Условие (3) отражает баланс тепловых потоков на движущейся поверхности £(т). Первые три условия выполняются в обоих моделях узкой и широкой двухфазных зон. В случае узкой зоны выполняется условие (4) равенства температур твердой фазы и расплава при переходе через поверхность разрыва. Для широкой зоны В.В. Мансуровым (Расплавы, 1994) показано, что замена двухфазной зоны на поверхность разрыва сопровождается скачком температуры (граничное условие (5)). Асимптотика распределения температуры в твердой фазе и концентрация примеси в расплаве вдали от поверхности разрыва считались заданными. После получения В.В. Мансуровым решений для стационарного процесса затвердевания в описанных выше моделях возник вопрос об устойчивости таких процессов затвердевания к малым возмущениям в скорости движения границы раздела фаз (исследование на динамическую устойчивость). Проведение подобного исследования явилось одной из целей настоящей работы.

Вторая глава диссертации посвящена линейному анализу динамической неустойчивости процесса затвердевания с узкой квазиравновесной двухфазной зоной относительно квазистационарных решений, характеризуемых постоянной скоростью затвердевания. Анализ показал, что процесс затвердевания в присутствии узкой квазиравновесной двухфазной зоны явля-

ется абсолютно динамически неустойчивым (жесткий тип неустойчивости). Подобный тип неустойчивости характеризуется вещественными положительными значениями инкремента возмущений. Последнее влечет за собой возможность монотонного нарастания возмущений в скорости затвердевания. Кроме того, это означает, что квазистационарный процесс затвердевания, характеризуемый постоянной скоростью кристаллизации, не может реализоваться при затвердевании с узкой квазиравновесной двухфазной зоной.

В третьей главе представлены результаты линейного анализа динамической неустойчивости процессов затвердевания при наличии широкой квазиравновесной двухфазной зоны относительно квазистационарных решений, характеризуемых постоянной скоростью затвердевания. Анализ показал, что процесс затвердевания при наличии широкой квазиравновесной двухфазной зоны динамически устойчив к малым возмущениям. Это соответствует тому, что в результате флуктуаций, всегда существующих в системе, невозможно нарушение данного режима и возникновение в результате временной самоорганизации нового режима затвердевания со скоростью, совершающей регулярные колебания около среднего значения. Последнее определяет невозможность возникновения регулярных колебаний состава расплава и формирование слоистой ликвации при затвердевании с широкой двухфазной зоной.

Из проведенного во второй и третьей главах анализа динамической неустойчивости следует, что при изменении протяженности квазиравновесной двухфазной зоны происходит смена режима динамической неустойчивости. В третьей главе сформулирована новая постановка задачи о затвердевании бинарного расплава с квазиравновесной двухфазной зоной, которая охватывает промежуточные (по ширине зоны) режимы затвердевания. Эта постановка включает уравнения теплопро-

дности в твердой фазе и расплаве, уравнение диффузии при-;си в расплаве (диффузией примеси в твердой фазе прене-¡егается), граничные условия на поверхности разрыва (1)-(3) следующее граничное условие

'. = «<+/(^/§-7), е = ВД- (6)

шцентрация примеси в расплаве о^ и температура в твер-й фазе вдали от поверхности разрыва по-прежнему счита-гся заданными. Функция / зависит от ширины квазиравно-сной двухфазной зоны (/ = О для узкой зоны и / = 1 для фокой зоны). Из граничного условия (б) при / = 0 следует аничное условие (4) для узкой зоны, а при / = 1 - гранич-е условие (5) для широкой зоны. Линейный анализ динами-ской неустойчивости с использованием граничного условия ) и асимптотические решения уравнений квазиравновесной ухфазной зоны позволили определить зависимость функции от безразмерной ширины двухфазной зоны е. Характерная висимость / от е представлена на рис. 1.

Линейный анализ динамической неустойчивости для про-жуточных (по ширине зоны) режимов затвердевания позво-л заключить следующее.

1. Существует критическая протяженность квазиравновес-й двухфазной зоны 6*, при которой происходит смена ре-гма динамической неустойчивости (жесткий тип неустой-вости, который характеризуется вещественным и положи-льным значением инкремента сменяется на мягкий тип не-тойчивости, для которого инкремент нарастания возмуще-й представляет собой комплексную величину с положитель-й вещественной частью). Выражение для е* громоздко и ределено в диссертации. Характерное положение б* опре-

делено на рис. 1.

Рис. 1. Характерная зависимость / от е.

2. При б > е* существует область параметров затверд вания, в которой возможно развитие колебательной неусто чивости. Последнее может привести к появлению периодич ски расположенных слоев примеси, поперечных к направл нию затвердевания (слоистая ликвация примеси). Исследов ния этого вопроса требуют проведения нелинейного анали: динамической неустойчивости и выходят за рамки настоящ< работы.

3. При дальнейшем увеличении ширины двухфазной зон режим затвердевания с мягким типом неустойчивости, смен ется на режим затвердевания, который динамически устойч] к малым возмущениям (вещественная часть параметра, оп сывающего поведение возмущений отрицательна). Характе ное расположение граничной ширины двухфазной зоны м жду областями колебательной неустойчивости и абсолюта« устойчивости также указано на рис. 1. Смена режима неусто чивости на устойчивость характеризуется кривыми нейтрал

>й устойчивости, построенными в диссертации. На рис. 2 >едставлена соответствующая кривая в плоскости (с, С,), где з - безразмерный градиент температуры в твердой фазе для '.азистационарного режима затвердевания с постоянной ско-ютью.

с. 2. Кривая нейтральной устойчивости в плоскости (е,С3). Зона намической неустойчивости находится под кривой.

В четвертой главе приведены результаты численных рас-тов процесса направленного затвердевания бинарных расовой, в течение которого возникает и развивается двухфаз-я зона. Сначала расплав находится вблизи плавно охла-}аемой стенки и затвердевает с плоским фронтом (скорость твердевания при этом медленно возрастает). Затем в неко-рый момент времени перед фронтом кристаллизации обра-ется концентрационное переохлаждение и возникает узкая ухфазная зона, которая моделируется приближением узкой азиравновесной двухфазной зоны (условия (1) - (4)). Далее гвердевание происходит при наличии двухфазной зоны. Рас-

четы, выполненные для конкретных сплавов показывают, чг распределение примеси в твердой фазе имеет слабо выраже ный максимум (рис. 3), соответствующий моменту образов ния двухфазной зоны.

Рис. 3. Качественное поведение концентрации примеси а и темпер туры в в зависимости от пространственной координаты £ при учес в расчетах наличия двухфазной зоны.

На рис. 3. введены следующие обозначения. Пунктирная Л1 ния показывает положение поверхности разрыва (фронта) Е( Две нижние сплошные линии показывают поведение конце! трации примеси в твердой фазе а3 (слева от поверхности ра: рыва) и расплаве оц (справа от поверхности разрыва). Де верхние сплошные линии показывают распределения темп« ратур в твердой фазе в8 и расплаве в{. Символ * соответствуе моменту образования двухфазной зоны.

Если пренебречь процессом образования узкой квазира! новесной двухфазной зоны перед фронтом затвердевания пр наличии концентрационного переохлаждения, то распредел« ние примеси в твердой фазе монотонно возрастает (рис. 4) и

шчается от предыдущего случая.

4. Качественное поведение концентрации примеси <т и темпе-уры в в зависимости от пространственной координаты £ при за-рдевании с фронтом кристаллизации без учета существования хфазной зоны. Все обозначения соответствуют рис. 3.

следнее показывает, что даже в случае, когда протяжен-;ть двухфазной зоны между твердой фазой и расплавом ;таточно мала, ее присутствие вызывает определенные раз-шя в распределении примеси в твердой фазе по сравнению стандартной постановкой задачи о затвердевании с плос-л фронтом кристаллизации, а это влечет за собой различ-е физико-механические свойства материалов. Распределе-; температуры остается квазистационарным. Присутствие 160 выраженного максимума концентрации примеси в твер-I фазе при затвердевании с образованием узкой двухфаз-1 зоны перед фронтом объясняется следующим образом. До мента образования двухфазной зоны затвердевание проис-ц1ло во фронтальной постановке задачи; фронт затвердева-г, продвигаясь в расплав, вытесняет примесь (коэффициент

распределения примеси меньше единицы), т. е. концентрат примеси в жидкой фазе около фронта больше, чем в глуби] расплава. После зарождения двухфазной зоны перед фро том, элементы твердой фазы, находящиеся в двухфазной зон растут в условиях меньшей концентрации примеси в окруж ющем их расплаве, чем концентрация примеси в расплаве границы раздела твердая фаза - двухфазная зона. Поэтоь когда такие элементы твердой фазы поглотятся затвердева! щим сплавом, концентрация примеси в твердой фазе умен шится по сравнению с концентрацией примеси твердой фаз до момента образования двухфазной зоны. Проведенное и следование согласуется с экспериментами Маплза и Пойрие] (Metall. Trans. В, 1984). Результаты этой работы представлен на рис. 5. Наблюдается полное качественное согласие по ра пределению примеси в твердой фазе с результатами расчет! (рис. 3).

0.054

0.053-

0

0.54

1.08

1.62

см

Рис. 5. Содержание примеси в твердой фазе в зависимости от щ странственной координаты по данным Маплза и Пойриера. Симв ■ соответствует сплаву А1 — Си (4.5 вес % Си), а символ а. сплаву 5я — РЬ (15 вес. % РЬ).

эличественное сопоставление оказалось невозможным вслед-вие недостаточности приведенных Маплзом и Пойриером иных о теплофизических параметрах.

Результаты четвертой главы были получены с использо-нием вычислительных ресурсов Института прикладной ма-матики им. М.В. Келдыша РАН.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ РАБОТЫ

1. Линейный анализ динамической устойчивости квазиста-онарного процесса направленного затвердевания бинарного сплава показал, что при наличии достаточно узкой двух-,зной зоны процесс затвердевания неустойчив относительно лых монотонно развивающихся возмущений. Поэтому ква-;тационарный процесс затвердевания не может реализовы-гься при достаточно узкой двухфазной зоне.

2. При некоторой, определенной в работе, ширине двухфаз-1 зоны происходит смена режима неустойчивости с жестко-гипа на мягкий (с монотонного на колебательный). Мягкий г неустойчивости сопровождается развитием периодически 1яющих знак возмущений в квазистационарных решениях, (ультатом развития подобных возмущений может явиться »азование периодически расподложенкых слоев примеси в рдой фазе (слоистая ликвация).

3. Квазистационарный процесс затвердевания с достаточ-широкой двухфазной зоной характеризуется абсолютной ойчивостью. Смена неустойчивости на устойчивость опре-яется кривыми нейтральной устойчивости, построенными иссертацшг. Таким образом, из проведенных исследований ?сно заключить, что ширина двухфазной зоны является стажирующим фактором.

4. В работе показаны различия распределения примеси в рдой фазе, возникающие при образовании узкой квазирав-

новесной двухфазной зоны перед фронтом затвердевания в о личии от стандартной задачи о затвердевании в присутств! фронта кристаллизации, когда при наличии концентраций] ного переохлаждения перед фронтом пренебрегается образ ванием двухфазной зоны. Это различие заключается в то; что образование двухфазной зоны влечет за собой появл ние слабо выраженного максимума в распределении примеси твердой фазе. Предложено физическое объяснение подобно, влияния. Результаты расчетов согласуются с экспериментал ными данными других авторов.

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Александров Д. В., Мансуров В. В. Динамическая н устойчивость квазистационарного процесса затвердевания б нарного расплава при наличии узкой квазиравновесной дву фазной зоны//Кристаллография, 1996.- Т. 41, N 2.- С. 376-3?

2. Alexandrov D. V., Mansurov V. V. Dynamic stability oi solidification process of a binary melt in the presence of a bio: quasiequilibrium mushy region//Scripta Materialia, 1996.- Vol. с N 7,- P. 787-790.

3. Александров Д. В., Мансуров В. В. Динамическая устс чивость квазистационарного процесса затвердевания бинари го расплава при наличии широкой квазиравновесной двухф; ной зоны// Кристаллография, 1997.- Т. 42, N 3.- С. 402-404

4. Dmitri Alexandrov, Yuri Buyevich, Valeri Mansurov, P< Vabischevich and Alexandr Churbanov. Directional solidificati of binary melts in the presence of a mushy region// Proceedir of the Second EC COMAS Conference on Numerical Methods Engineering, 9-13 September 1996, Paris, France.- P. 697-706.

5. Alexandrov D. V., Buyevich Y. A., Mansurov V. V., A bishchevich P. N. and Churbanov A. G. Computer simulati

of binary melt crystallization with changeover of boundary conditions// In the book - Multiple Scale Analyses and Coupled Physical Systems, Actes du symposium Saint-Venant.- 1997.- P. 529-534.

6. Александров Д. В., Мансуров В. В. Динамическая неустойчивость процесса затвердевания при наличии узкой квазиравновесной двухфазной зоны//Труды 3-то минского международного форума по тепло и массообмену, Минск, 20-24 мая 1996.- Т. 4, Ч. 1.- С. 218-221.

7. Александров Д. В., Мансуров В. В. Динамическая устойчивость процесса затвердевания при наличии широкой квазиравновесной двухфазной зоны//Труды 3-го минского международного форума по тепло и массообмену, Минск, 20-24 мая 1996.- Т. 4, Ч. 1.- С. 222-225.

8. D. Alexandrov, Y. Buyevich, V. Mansurov, P. Vabischevich et A. Churbanov. Solidification de mélanges binaires en présence d'une région spongieuse//Minisymposia et Résumés Français, ECCOMAS 96, Paris, France, 9-13 Septembre 1996.- Maison de la Chimie.- P. 354.

9. Александров Д. В., Мансуров В. В. Динамическая устойчивость (неустойчивость) бинарного расплава с широкой (узкой) квазиравновесной двухфазной зоной//Труды международной научной конференции "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах", Тверь, 2-5 июля 1996.- С. 4-7.

10. Alexandrov D. V., Mansurov V. V. Dynamic stability (instability) of a crystallization process of a binary melt in the presence of a broad (narrow) quasiequilibrium mushy zone//Abstract of international seminar: "Modelling, Advanced Process Technology, Expert and Control System of Heat and Mass Transfer Phenomena", Ekaterinburg, 8-10 July 1996.- P. 61-63.

11. Александров Д. В., Мансуров В. В. Динамическ; устойчивость (неустойчивость) бинарного расплава с широк (узкой) квазиравновесной двухфазной зоной//Тезисы докл дов международной научной конференции "Математическ модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, упр вления в конденсированных системах и других средах", Твех 2 - 5 июля 1996.- С. 39.

12. Александров Д. В. Слоистое распределение приме при затвердевании бинарного расплава с квазиравновесн двухфазной зоной//Тезисы докладов II республиканской и учной конференции молодых ученых и специалистов, Казан 28 июня - 1 июля 1996.- Книга 4.- С. 73.

13. Александров Д. В. О динамической устойчивости кв зистационарного процесса затвердевания бинарного распл ва при наличии широкой квазиравновесной двухфазной з ны//Тезисы докладов международной научно-технической конференции "Молодая наука - новому тысячелетию", Наб режные Челны, 24-26 апреля 1996.- Ч. 1.- С. 20-21.

14. Александров Д. В. О динамической неустойчивое квазистационарного процесса затвердевания бинарного ра плава при наличии узкой квазиравновесной двухфазной з ны//Тезисы докладов международной научно-технической конференции "Молодая наука - новому тысячелетию", Наб режные Челны, 24-26 апреля 1996.- Ч. 1.- С. 21-22.