Зарождение и динамика двухфазной зоны в процессах направленного затвердевания тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 536.42:536.421.4

АЛЕКСАНДРОВ ДМИТРИЙ ВАЛЕРЬЕВИЧ

ЗАРОЖДЕНИЕ И ДИНАМИКА ДВУХФАЗНОЙ ЗОНЫ В ПРОЦЕССАХ НАПРАВЛЕННОГО ЗАТВЕРДЕВАНИЯ

01.04.14 - Теплофизика и теоретическая теплотехника

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург - 2004

Работа выполнена на кафедре математической физики Уральского государственного университета им. A.M. Горького

Официальные оппоненты:

член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник В. П. Коверда

доктор физико-математических наук, профессор П.С. Попель

доктор технических наук,

старший научный сотрудник В. П. Федотов

Ведущая организация:

Уральский государственный технический университет, УГТУ-УПИ (г. Екатеринбург)

Защита состоится " 10 " иЮиЛ. 2004 года в часов на заседании диссертационного совета Д 212.286.01 при Уральском государственном университете им. A.M. Горького по адресу: 620083, Екатеринбург, К-83, пр. Ленина, 51, комн. 248.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Уральского государственного университета им. A.M. Горького.

Автореферат разослан "06 " Л 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук старший научный сотрудник

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Направленное затвердевание расплавов представляет значительный интерес в современной науке как с точки зрения прикладной физики кристаллизации, так и с точки зрения развития новых идей и аналитических методов в теоретической теплофизике. Хорошо известны технологические процессы затвердевания, целью которых является получение сверхчистых материалов или материалов с заданным распределением примеси. Существенное влияние на характеристики твердой и жидкой фаз в таких процессах оказывают физические параметры системы и параметры, управляющие затвердеванием. К числу управляющих (или операционных) параметров относятся, например, температуры стенок изложницы (под изложницей здесь и далее понимается область, в которой протекает процесс кристаллизации), условия ее охлаждения, а к числу физических - константы расплавов. Известны ситуации, когда незначительные изменения указанных величин приводят к совершенно различным структурам в обеих фазах: слоистые, дендритные, ячеистые образования и т.п. Для этих структур характерно различное распределение примеси, которое может полностью изменить многие свойства получаемых изделий. В силу многопараметричности рассматриваемых систем, с прикладной точки зрения представляется весьма важным развитие и разработка аналитических и численных методов моделирования, позволяющих прогнозировать и рассчитывать характеристики возникающих неоднородностей. Математическое описание процессов кристаллизации основывается на уравнениях тепло- и массопереноса, записываемых во всех существующих фазах, и граничных условиях, имеющих смысл непрерывности, скачка или баланса температурного и концентрационного полей. Решение проблем подобного типа осложняется присутствием одной или более подвижных границ, перемещающихся, вообще говоря, с заранее неизвестной скоростью. Кроме того, задачи указанного типа, как правило, содержат нелинейности в граничных условиях, а зачастую, и в самих уравнениях переноса. Поэтому универсальных методов решения таких проблем не существует и в каждом конкретном случае следует подбирать определенный подход к решению. Следует особо подчеркнуть, что численное решение, основывающееся на фиксации большинства параметров системы, не во всех ситуациях может выполнять прогнозирующую роль и, как следствие, возникает необходимость получения приближенных аналитических решений, показывающих и выявляющих доминантную роль тех или иных характеристик системы. Вместе с тем, в аналитическом описании направленного затвердевания также существуют значительные проблемы. Так, основное внимание обычно уделяется стационарным линейным задачам. Однако, эти приближения работают не всегда,

НАЦИОНАЛЬНАЯ{

библиотека

СП»

оэ в* «=»

особенно на начальных и конечных этапах процессов.

Цель работы. Аналитическое описание нестационарной нелинейной динамики кристаллизационных процессов с плоским фронтом и двухфазной зоной концентрационного переохлаждения на различных этапах затвердевания в зависимости от теплофизических параметров системы.

В рамках поставленной цели исследовались:

- Процессы зарождения двухфазной зоны концентрационного переохлаждения при нестационарной направленной кристаллизации расплава в изложнице. Определение рамок применимости классического термодиффузи-ониого подхода с плоским фронтом для описания процессов направленной кристаллизации. Изучение влияния режимов охлаждения изложницы и теп-лофизических параметров системы на время образования зоны концентрационного переохлаждения и определение этого времени.

- Направленная нестационарная автомодельная кристаллизация расплава с плоским фронтом от стенки. Изучение физических факторов, приводящих к нарушению режима с плоским фронтом. Определение возможности появления морфологической неустойчивости плоского фронта за счет уменьшения температуры фазового перехода на фронте при вытеснении им примеси вглубь расплава и влияния концентрационного переохлаждения. Изучение влияния теплофизических параметров системы на образование морфологической неустойчивости и зоны концентрационного переохлаждения.

- Точное аналитическое описание направленной квазистационарной кристаллизации расплава в присутствии квазиравновесной двухфазной зоны. Нахождение концентрационного и температурного профилей, профиля доли твердой фазы в двухфазной зоне, определение ее протяженности, скорости кристаллизации и скачков теплофизических величин при переходе через двухфазную зону в зависимости от параметров системы.

- Скейлинговые свойства двухфазной зоны, кристаллизующейся в квазистационарных, автомодельных и нестационарных условиях. Определение возможности описания процесса с помощью пространственно-временных зависимостей концентрации примеси и доли твердой фазы в двухфазной зоне, характеризуемых значениями этих величин на границах зоны и скейлинговым показателем степени.

- Возможность формирования колебательной динамической неустойчивости двухфазной зоны в процессах направленной кристаллизации на основе точных аналитических решений нелинейной системы уравнений квазиравновесной двухфазной зоны. Определение областей теплофизических параметров системы, ответственных за режимы устойчивой и неустойчивой кристаллизации. Нахождение амплитуд, частоты и параметра надкритичности для

фундаментальной и вторичных гармоник колебаний. Определение характеристик колебаний скорости кристаллизации, концентрации примеси и среднего расстояния между соседними примесными полосами в твердой фазе.

Научная новизна представленных материалов заключается в систематическом исследовании различных аспектов процессов направленного затвердевания при наличии квазиравновесной двухфазной зоны концентрационного переохлаждения или условий, приводящих к ее образованию. В работе получены следующие новые результаты:

- Развиты приближенные аналитические подходы для описания процессов зарождения двухфазной зоны концентрационного переохлаждения при нестационарной направленной кристаллизации расплава в изложнице (начальная стадия направленного затвердевания). Эти подходы позволяют определить время образования перед плоским фронтом двухфазной зоны концентрационного переохлаждения и рамки применимости классического термодиффузионного описания кристаллизации с плоским фронтом. Определено влияние параметров охлаждения системы, а также всех остальных теплофизических величин на данный процесс.

- Впервые проведено аналитическое рассмотрение нестационарной направленной автомодельной кристаллизации (заключительная стадия направленного затвердевания) с плоским фронтом, позволившее выявить причину нарушения его устойчивости и образования двухфазной зоны. Аналитически проведенный анализ морфологической неустойчивости показал, что уменьшение температуры фазового перехода на фронте кристаллизации вследствие вытеснения им примеси вглубь расплава не приводит к нарушению его морфологии при автомодельной реализации процесса для любых физически возможных сплавов. Определено, что до момента возникновения концентрационного переохлаждения плоский автомодельный фронт всегда морфологически устойчив, а после этого, описание направленной кристаллизации должно учитывать присутствие переохлажденной области и не может рассматриваться в рамках классической фронтальной модели, не учитывающей эту область. Обосновано, что единственной физической причиной, приводящей к появлению двухфазной зоны на автомодельной стадии процесса кристаллизации является концентрационное переохлаждение.

- В работе впервые дано точное аналитическое описание процессов квазистационарной направленной кристаллизации при наличии квазиравновесной двухфазной зоны (промежуточная стадия направленного затвердевания). Это описание основано на полученном в диссертации точном аналитическом решении нелинейной системы уравнений тепломассопереноса в двухфазной зоне. Решение позволило определить скорость процесса затвердевания, про-

тяженность двухфазной области, долю твердой фазы, концентрацию примеси и температуру в двухфазной зоне в зависимости от теплофизических параметров. Дано теоретическое обоснование зависимости концентрации примеси в зоне лишь от доли твердой фазы, зависящей от пространственной координаты. На основе точных решений построена новая фронтальная модель, в которой реальная двухфазная зона заменена на поверхность разрыва между твердой и жидкой фазами. Определены скачки теплофизических величин при переходе через двухфазную зону. Обнаружено самоподобное поведение концентрации примеси и доли твердой фазы в двухфазной зоне при изменении градиентов температуры.

- В работе предложена аналитическая модель процессов кристаллизации в присутствии двухфазной зоны, основывающаяся на пространственно-временных степенных закономерностях распределения примеси и доли твердой фазы в зоне с неизменным показателем степени. Эта модель позволила впервые объяснить самоподобие пространственно временных распределений концентрации примеси, наблюдающееся в экспериментах. Показано, что концентрация примеси и доля твердой фазы определяются лишь своими значениями на границах зоны с неизменным скейлинговым показателем. Справедливость данной модели подтверждена рассмотрением квазистационарной, автомодельной и начальной нестационарной стадий процесса кристаллизации.

- На основе полученных в диссертации точных аналитических решений, впервые проведен линейный анализ динамической неустойчивости для направленной квазистационарной кристаллизации с двухфазной зоной, учитывающий возмущения протяженности зоны. Линейный анализ показал наличие режимов устойчивого и неустойчивого затвердевания при варьировании теплофизических параметров системы. Определена кривая нейтральной устойчивости процесса. Нелинейный анализ устойчивости колебательного типа позволил определить амплитуды колебаний фундаментальной и вторичных гармоник возмущений скорости кристаллизации и концентрации примеси, частоту колебаний, параметр надкритичности и средний период слоистого распределения примеси в твердой фазе. Показано, что амплитуды колебаний при кристаллизации с двухфазной зоной и при кристаллизации с плоским фронтом могут существенно отличаться друг от друга при одинаковом возмущении.

Результаты проведенных исследований в совокупности позволяют сформулировать новое научное направление теплофизики и теоретической теплотехники - теория зарождения и динамики квазиравновесной двухфазной зоны в процессах направленного затвердевания расплавов.

Достоверность полученных результатов обеспечивается следующими положениями:

- обоснованностью физических представлений и моделей сплошных сред теории кристаллизации в больших объемах, используемых для исследований процессов тепло- и массопереноса;

- соответствием полученных выводов экспериментальным данным или результатам численных расчетов;

- математической строгостью методов решения и согласованностью результатов, полученных различными способами.

Практическое значение. Полученные в диссертации результаты о влиянии теплофизических параметров на режимы направленного затвердевания являются полезными для получения материалов с заданными свойствами и важными для прогнозирования характеристик кристаллов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на представительных научных конференциях:

Международная конференция по течению, трению и усталости (Бейрут, Ливан, 1998); ГУ-й Минский международный форум по тепло и массообме-ну (Минск, 2000); Вторая европейская конференция по передовым материалам и технологиям (Бухарест, Румыния, 2001); Х-ая Российская конференция "Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов" (Екатеринбург, 2001); Всероссийская научно-техническая конференция "Перспективные материалы, технологии, конструкции, экономика" (Красноярск, 2002); Международная конференция "Термодинамика сплавов" , Т0РЛ-2002 (Рим, Италия. 2002); Международная конференция "Проблемы свободных границ" (Тренто, Италия, 2002); 12-я общая конференция Европейского Физического Общества "Тенденции в физике" , ЕР8-12 (Будапешт, Венгрия, 2002); Международная конференция "Математическое моделирование и исследование металлических технологий" (Ариэль, Израиль, 2002); Российская межотраслевая конференция "Тепломассоперенос и свойства жидких металлов" (Обнинск, 2002); Международный симпозиум по метастабильным, механически сплавленным и нанокристаллическим материалам (Игуассу Фоллс, Бразилия, 2003); Румынская конференция по передовым материалам (Константа, Румыния, 2003); 2-ая Международная конференция "Физика жидкого вещества. Современные проблемы" (Киев, Украина, 2003), а также на научных семинарах в Институте Металлургии УрО РАН, Институте теплофизики УрО РАН и на кафедре математической физики УрГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 30 научных работ, из них 1 научная монография, 19 статей в журналах и в трудах конференций, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, семи глав основного содержания, заключения, списка литературы и двух приложений. Оригинальный материал содержится в главах 2-7. Работа содержит 271 страницу, 83 рисунка, 9 таблиц и 237 библиографических ссылок.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко обоснованы актуальность работы, сформулированы ее цели, указаны научная новизна, практическое значение и апробация проведенных исследований.

Глава 1. Направленное затвердевание

Первая глава диссертации носит обзорный характер. В ней изложено введение в проблему направленного затвердевания, приведены основные сведения об особенностях протекания процессов тепло- и массопереноса, обсуждены известные математические модели и экспериментальные данные.

Хорошо известно, что процессы направленного затвердевания ответственны за появление различного рода структур в твердой и жидкой фазах, которые образуются благодаря воздействию различного рода физических механизмов и факторов. К таким структурам, например, относятся слоистые и ячеистые образования обогащенные примесью в твердой фазе или ветвящиеся дендритные образования, возникающие перед границей фазового перехода в жидкой фазе. Появление подобных структурных образований в жидкой фазе может полностью изменить характер процессов тепло- и массопереноса, а их присутствие в твердой фазе закристаллизовавшегося вещества может существенно изменить его физические характеристики. Поэтому прогнозирование тех или иных реализаций процесса, а также его управление за счет изменения внешних параметров системы является одной из основных проблем современной теории, успешное решение которой требует развития методов математического моделирования.

Одним из классических подходов, описывающих процессы тепло- и массо-переноса, является фронтальный подход |1]. Он основан на представлении о существовании границы раздела между чисто твердой и жидкой фазами, на которой выполняются условия непрерывности, баланса или скачка для температурного и концентрационного полей. Ситуация осложнена тем, что закон движения и форма поверхности этой границы во многих случаях заранее неизвестны, а определяются режимными параметрами процесса. Кроме того, имеются и другие факторы, осложняющие процесс тепло- и массопереноса в затвердевающем веществе. Одним из таких факторов является концентрационное (конституционное) переохлаждение расплава, которое может обра-

зоваться в определенный момент перед плоским фронтом кристаллизации. Это переохлаждение, впервые обнаруженное в работе |2|, возникает при превышении концентрационным градиентом своего температурного аналога на границе фазового перехода. В результате, масть расплава, находящаяся вблизи фронта, оказывается переохлаждена. В этой области может происходить рост случайных выступов фронта вглубь расплава, который приводит к нарушению морфологии системы, а также рост отдельных частиц твердой фазы. В этой ситуации плоский фронт может потерять свою устойчивость и, более того, само описание системы с его помощью часто вызывает сомнения. Итак, в результате образования-концентрационного переохлаждения перед плоским фронтом затвердевания образуется двухфазная зона концентрационного переохлаждения, определяемая двумя границами таким образом, чтобы по внешнюю сторону от них находились только чисто твердая и жидкая фазы, а в пространстве между ними располагалась двухфазная область. Очевидно, что процесс тепло- и массопереноса в указанной области будет зависеть от состава и доли в ней каждой из фаз. Другими словами, коэффициеты переноса уже не могут рассматриваться постоянными, а сама модель является сильно нелинейной.

Исследованию описанных выше процессов посвящены остальные главы диссертации.

Глава 2. Зарождение двухфазной зоны концентрационного переохлаждения

Во второй главе исследованы процессы направленной кристаллизации с плоским фронтом на начальных этапах затвердевания в изложнице. Основное внимание уделяется определению времени зарождения двухфазной зоны концентрационного переохлаждения и изучению влияния режимов охлаждения изложницы на этот процесс.

В главе рассмотрен локально-равновесный процесс направленного затвердевания бинарного расплава вдоль оси £ в изложнице длины Ь. Фронт кристаллизации рассматривается плоским и имеющим координату £ = £(т), а зоны 0 < £ < Е(т) и Е(т) < £ < Ь соответственно заполнены твердой и жидкой фазами. В начальный момент времени г = 0 фронт кристаллизации находился вблизи левой границы в положении , где - малый

параметр (е -С 1). Поскольку в плоском случае неизвестные величины не зависят от поперечной, по отношению к направлению кристаллизации координаты, то уравнения теплопроводности (в( и вг - температуры в жидкой и твердой фазах) и диффузии примеси ( С/ - концентрация примеси в расплаве) имеют вид (диффузией примеси в твердой фазе традиционно пренебрегает -ся):

(1)

где - коэффициенты температуропроводности в жидкой и твердой

фазах, а - коэффициент диффузии примеси.

При записи граничных условий (2) учтено, что все неизвестные независимы от поперечной к направлению кристаллизации координаты и что в одномерном случае необходимо записывать только нормальные к фронту потоки тепла и массы. С учетом сказанного, имеем:

(2)

Здесь к, равный отношению концентрации примеси в твердой фазе к концентрации примеси в жидкой фазе на фронте кристаллизации, есть равновесный коэффициент распределения примеси, А, и Л/ - коэффициенты теплопроводности в твердой и жидкой фазах, Ьу - скрытая теплота, в, - температура фазового перехода чистого вещества, m - наклон линии ликвидус. При записи последнего условия учтено, что кривизна поверхности фронта отсутствует. Первые два граничных условия в (2) представляют собой условия баланса массы и тепла, а последние - равенство температуры на фронте температуре фазового перехода. На правой границе изложницы, непроницаемой для примеси исходного состава задается тепловой поток с температурным градиентом в расплаве, а на левой границе изложницы принимается условие охлаждения стенки следующего вида:

(3)

где - коэффициент активного охлаждения. В начальный момент времени (при г = 0) условие (3) дает равенство тепловых потоков и, соответственно, равенство нулю скорости У(0) = с&(0)/с1т = 0 . При т > 0 условие (3) обеспечивает активное охлаждение стенки £ = 0 и, соответственно, даст нарастание скорости затвердевания. В качестве начальных условий возьмем условие постоянной концентрации примеси в расплаве и линейные профили температур. Линейность температурных профилей является легко достижимой, поскольку времена релаксации температур в жидкой и твердой фазах намного меньше характерных времен рассматриваемого процесса.

Время т, зарождения двухфазной зоны концентрационного переохлаждения, ограничивающее рамки применимости модели (1)-(3), находится из условия существования концентрационного переохлаждения

которое в момент образования двухфазной зоны принимает вид:

дае дв1

(4)

= вГ ^ =

(5)

Результаты численных расчетов процесса, приведенные в диссертации в соответствии с моделью (1)-(5), демонстрируют почти линейный профиль скорости па всех временах реализации процесса, линейность температурных профилей и зарождение двухфазной зоны в момент времени в кото-

рый наблюдается концентрационный максимум.

Во второй главе развиты три различных приближенных подхода аналитического решения проблемы, позволяющие приближенно определить время образования зоны концентрационного переохлаждения.

Первый из этих методов, основанный па почти линейной зависимости скорости кристаллизации от времени, базируется на приближенном решении задачи (1)-(5) с помощью преобразования Лапласа по времени для малых времен реализации процесса. Развитая теория приводит к следующему выражению для отыскания значения :

где - определенный в диссертации параметр.

Второй метод, основанный на концентрационном максимуме в момент времени т = т., экспериментально наблюдавшийся в |3|, имеет следующее трактование. Численные расчеты и эксперименты обнаруживают, что концентрация примеси сначала возрастает при кристаллизации с плоским фронтом, затем достигает максимума в момент зарождения двухфазной зоны и начинает спадать при затвердевании с зоной двухфазного состояния вещества. Присутствие указанного максимума объясняется следующим образом. До момента образования двухфазной зоны затвердевание происходило во фронтальной постановке задачи; фронт затвердевания, продвигаясь вглубь расплава, вытесняет примесь , т.е. концентрация примеси в жидкой фазе около

фронта больше, чем в глубине расплава и возрастает по мере движения фронта (соответственно возрастает и концентрация примеси в затвердевшей фазе). После зарождения двухфазной зоны перед фронтом, элементы твердой фазы, находящиеся в двухфазной зоне, растут в условиях меньшей концентрации примеси в окружающем их расплаве, чем концентрация примеси п расплаве у границы раздела твердая фаза - двухфазная зона. Поэтому когда такие элементы твердой фазы поглотятся фронтом (границей твердая фаза - двухфазная зона) затвердевания и перейдут внутрь затвердевшей части образца, концентрация примеси в затвердевшей части уменьшится по сравнению с концентрацией примеси твердой фазы до момента образования двухфазной зоны.

Следствием быстрой температурной релаксации является независимость уравнений теплопроводности от времени, которая приводит к линейному закону движения фронта кристаллизации: (П^/йт = аат/Ьу- Последнее соотношение подтверждает гипотезу о линейности этой зависимости, использованную в первом методе.

Пересадка в систему координат, связанную с движущимся фронтом, пренебрежение влиянием правой границы и максимум концентрационного распределения в момент позволяют определить выражение для в виде:

_ кИ1д(Ьу (1 - к)аата/00"

На рис. 1 продемонстрирована зависимость времени зарождения двухфазной зоны, рассчитанного согласно формулам и (7), от параметра охлаждения аа. Хорошо видно, что приближенные выражения и (7) хорошо согласуются с численным решением задачи.

Третий метод приближенного решения, развитый для малых отклонений скорости от линейной функции времени, основанный на использовании интегрального преобразования Лапласа и ряда оценочных соотношений, фактически аналогичен первому способу и даст близкие значения для определения времени

Приближенная теория второй главы также позволила определить и решение концентрационной задачи, которая, как видно из приведенной модели, независима от решения температурной. Концентрация примеси находилась методом последовательных приближений. Проведенные расчеты показали, что такой подход является вполне пригодным для начальных стадий кристаллизации.

Во второй главе также приведены результаты численного расчета процесса зарождения двухфазной зоны для активного и пассивного (естественного) режимов охлаждения. Проведение таких расчетов представляется необходи-

1500-

1000-

500-

т,

0

0 0.02 0.04 0.06 0.08 а°

Рис. 1. Зависимость времени т. зарождения двухфазной зоны, выраженного в секундах, от параметра охлаждения а„ выраженного в кал/Лм2, рассчитанная согласно формулам (6) и (7) для железо-никелевого сплава при различных значениях температурного градиента д( — 5°С/см (1), 5г = 10°С/см (2), ¡1 = 15°С/см (3). Сплошные кривые - решение по формуле (7), черные "кружки" - численное решение, символ "х" - решение по формуле (6).

мым с целью их сравнения с развитой теорией и с целью моделирования процессов образования двухфазной зоны в сложных для теоретического анализа ситуациях. Расчеты проводились с использованием метода "замороженных" фронтов. Результаты расчетов для активного режима охлаждения, проведенные для железо-никелевого сплава, представлены на рис. 1.

Расчеты показывают, что скорость затвердевания является линейной функцией времени, положение фронта кристаллизации меняется по параболическому закону. Большие значения коэффициента активного охлаждения соответствуют более быстрому процессу кристаллизации, т.к. в соответствии с граничным условием (3), увеличивается отвод тепла через левую стенку, что приводит к более раннему зарождению двухфазной зоны. Аналогичное влияние на время зарождения двухфазной зоны оказывает и увеличение градиента температуры в расплаве (фактически теплового потока, подводимого к образцу через правую стенку). С ростом (при фиксированном ) время зарождения двухфазной зоны увеличивается (рис. 1). Это объясняется тем обстоятельством, что при больших значениях градиента движущемуся фронту кристаллизации необходимо вытеснить большее количество примеси, чтобы удовлетворить условию концентрационного переохлаждения и, следовательно, пройти для этого большее расстояние и затратить большее время. Также из рис. 1 видно, что при уменьшении скорости охлаждения образца положение образующейся двухфазной зоны сдвигается к правой стенке. Время-при этом также увеличивается. Исходя из этого, можно выбрать такие параметры процесса, которые будут соответствовать кристаллизации с плоским фронтом (т.е. двухфазная зона или вообще не образуется или это происхо-

Рис. 2. Зависимости времени т. (шкала значений слева, пунктирные кривые) и координаты £(г.) (шкала значений справа, сплошные кривые) от коэффициента теплообмена ор, выраженного в кал/(с см2 °С). Цифры у кривых соответствуют различным значениям градиента температуры дг. 1 - дг = 5°С/см, 2 - р* = 10°С/см, 3 - д(= 15°С/см; 0« = 20°С.

дит вдали от левой стенки). Другими словами, в этом случае не происходит перераспределения примеси за счет образующейся области двухфазного состояния вещества. При этом, для данной координаты зарождения двухфазной зоны, время зависит еще и от градиента температуры что даст дополнительные возможности для оптимизации процесса кристаллизации.

На рис. 2 представлены результаты расчетов для пассивного (естественного) режима охлаждения левой границы расчетной области. В этом случае граничное условие (3) заменяется условием теплообмена Ньютона с окружающей средой температуры

где ар - коэффициент теплообмена с окружающей средой.

Расчеты показали, что скорость кристаллизации медленно уменьшается с увеличением времени, поскольку система остывает при постоянной температуре окружающей среды. В общем, физическая ситуация здесь аналогична режиму активного охлаждения с поправкой на изменение характера исследуемых зависимостей.

Таким образом, во второй главе проведено комплексное исследование процессов зарождения двухфазной зоны концентрационного переохлаждения от плоского фронта затвердевания, которое определяет рамки применимости классической термодиффузионной модели Стефана с плоским фронтом для описания процессов направленной кристаллизации вещества.

Глава 3. Автомодельный режим затвердевания

Эта глава посвящена исследованию процесса автомодельной кристаллизации. Основное внимание здесь уделяется определению соответствующих этому режиму автомодельных решений, а также морфологической устойчивости этих решений по отношению к малым возмущениям. В главе определяется причина появления перед таким плоским фронтом автомодельной двухфазной зоны концентрационного переохлаждения.

В отличие от главы 2, третья глава посвящена исследованию нестационарных процессов кристаллизации, находящихся на автомодельной стадии. Такой режим обычно формируется на достаточно больших временах от начала процесса, когда система полностью забывает свою предысторию. Экспериментальные данные работ (4,5) показывают, что на автомодельной стадии направленной кристаллизации возможна реализация различных режимов (кристаллизация с плоским фронтом или двухфазной зоной). Причем, также возможен переход от фронтального сценария затвердевания к сценарию с двухфазной зоной. Такой переход может определяться взаимным влиянием на процесс двух факторов - концентрационного переохлаждения и морфологической неустойчивости плоского фронта, возникающей за счет уменьшения температуры фазового перехода бинарного расплава на фронте. Проблема морфологической устойчивости, впервые разрешенная для стационарного процесса кристаллизации в работе |6|, на протяжении почти четырех десятков лет не имела решения для автомодельного процесса. Недавно была произведена попытка исследования этой проблемы в работе |7). Однако, авторы этой работы смогли провести анализ устойчивости лишь численно для динамических возмущений с нулевым волновым числом. В отличие от работы |7| и других работ, посвященных предельным ситуациям (см. обсуждение в работе |7|), настоящая глава посвящена анализу морфологической устойчивости автомодельного фронта затвердевания для любых волновых чисел, характеризующих малые возмущения. Полученные в третьей главе результаты решают проблему устойчивости плоского автомодельного фронта затвердевания и определяют роль концентрационного переохлаждения на процесс образования двухфазной зоны.

В диссертационной работе рассматривается процесс кристаллизации вдоль пространственной оси от твердой стенки экспериментально изучав-

шийся в работах (4,5]. Процесс направленного затвердевания с плоским фронтом, имеющим координату (зависимость от координаты направленной перпендикулярно к оси может появиться за счет неустойчивости его морфологии), описывается уравнениями теплопроводности и диффузии примеси

где и - концентрация примеси и коэффициент диффузии в твердой фазе, а Д^ - оператор Лапласа. Граничное условие, выражающее собой равенство температуры на фронте температуре фазового перехода, имеет вид:

Поскольку в главе исследуется линейный анализ морфологической неустойчивости, который предполагает, что форма плоского фронта может искажаться благодаря присутствию малых возмущений, кривизна К фронта может быть записана в линейном виде: (Г - коэффициент по-

верхностного натяжения). На фронте кристаллизации также выполняются условия баланса тепла и массы примеси, а также условие концентрационного скачка

Хорошо известно, что автомодельный режим может реализоваться только при наличии граничных условиях первого рода при Поэтому

в качестве таких условий принимаются следующие (5|:

0/ос, -> Чао, £ -> °0. (10)

Второе граничное условие в (10) подразумевает, что в начальный момент времени концентрация примеси в жидкой фазе была одинакова для всех значений координаты и равнялась Поэтому в начальный момент времени в твердой фазе (при ) концентрация примеси соответственно приняла

значение

Введем следующие автомодельные переменные:

Если процесс затвердевания установился и протекает в автомодельном режиме, фронт сохраняет плоскую форму и имеет координату £ = Ху/г, т.е. X = 0. В этом случае все функции зависят только от автомодельной переменной х. Таким образом, константа Л определяет автомодельную скорость затвердевания <П1/с1т = Л/2 у/т, а время í характеризует отклонения от авто-модельности. Константа А определяется из решения задачи.

Описанная система уравнений и граничных условий ((8)-(10)) может быть легко решена для установившегося автомодельного процесса, когда все неизвестные зависят только от одной переменной Это решение позволяет определить автомодельные профили температуры и концентрации примеси с„(х), 0(,(х). Граничное условие (9) показывает, что температура фазового перехода может понизиться за счет вытеснения примеси плоским фронтом затвердевания. Это обстоятельство может стать причиной нарушения плоской морфологии фронта. Исследование этой проблемы требует проведения линейного анализа морфологической неустойчивости плоского автомодельного фронта, который предполагает, что автомодельным температурному и концентрационному распределениям, а также положению фронта кристаллизации X — 0 придаются малые возмущения:

Практически это означает, что автомодельные температурные и концентрационные профили, скорость фронта и его координата получают небольшие добавки, зависящие от времени £ и координаты ц.

Подстановка этих возмущений в уравнения и граничные условия, разложение условий при х = 0 в ряд Тейлора с сохранением только линейных членов по возмущениям дает систему уравнений и граничных условий для отыскания возмущений.

В главе показано, что на кривой нейтральной устойчивости (когда нет зависимости от времени) все возмущения могут быть лишь линейными функциями координаты и имеют вид:

а кривые нейтральной устойчивости для динамических и морфологических возмущений совпадают, т.е. существует только одна кривая нейтральной устойчивости. Подстановка этих возмущений в граничные условия и приравнивание к нулю определителя, составленного при коэффициентах приводит к уравнению кривой нейтральной устойчивости.

Исключение температуры из этого уравнения с помощью автомодельных решений приводит к сложному уравнению, определяющему точку пересечения автомодельных решений с кривой нейтральной устойчивости (конечно, если такая точка существует). Строгий теоретический анализ полученного уравнения показал, что оно не имеет решений для любых значений

физических параметров в области, соответствующей затвердеванию Это означает, что переход от морфологически устойчивого режима кристаллизации к морфологически неустойчивому режиму кристаллизации не происходит. Этот результат также подтверждается численными расчетами, проведенными в работе 7 для частного случая динамических возмущений. Полученный результат говорит о том, что автомодельный процесс всегда является либо морфологически устойчивым, либо морфологически неустойчивым к малым возмущениям. Экспериментальные и численные данные работ |4| и J5] показывают, что при определенных значениях параметров системы перед плоским фронтом затвердевания может появляться двухфазная зона. Другими словами, в этих работах сначала наблюдался устойчивый режим автомодельной кристаллизации с плоским фронтом, а потом зарождалась двухфазная область. В свете вышесказанного это свидетельствует о том, что автомодельный процесс кристаллизации всегда морфологически устойчив, а появление двухфазной зоны не объясняется неустойчивостью автомодельных решений.

На рис. 3 проиллюстрирована зависимость величины А1 = Л/2у/Щ от разности температур в соответствии с автомодельными решениями. Расчеты проведены для водного раствора нитрата соды, экспериментально и численно изучавшегося в работах [4| и (5|. Условие (5) дает на рис. 3 точку А (Ам « 0.1537, ~ 1-77), которая отделяет режимы кристаллизации при наличии концентрационного переохлаждения и без него. Неравенство (4) выполняется при и не выполняется в противном случае. Другими словами, если перед плоским фронтом существует зона концентрационного переохлаждения, а если процесс кристаллизации протекает в соответствии с морфологически устойчивым автомодельным сценарием.

Эксперименты и численные расчеты работ {4] и |5) показывают, что морфологическая неустойчивость возникает (образуется двухфазная зона концентрационного переохлаждения) если являются величинами большими, чем величины порядка 0.15 и 1.72 соответственно. Этот вывод не противоречит полученному выше результату об абсолютной морфологической устойчивости автомодельного процесса затвердевания, поскольку исходная модель с плоским фронтом не учитывает возможность концентрационного переохлаждения. Сравнивая порядок величин со значениями, полученными в работах (4| и [5], заключаем, что морфологическая неустойчивость возникает (образуется двухфазная зона концентрационного переохлаждения) если Кроме того, еще раз подчеркнем, что в работах |4) и (5] сценарий морфологически устойчивого автомодельного затвердевания на-

X, 0.15

0.10

0.05-I

затвердевание с двухфазной зоной

автомодельное / затвердевание с / плоским фронтом / 'А

-6

-2

4е,,°с

Рис. 3. Зависимость величины А1 от разности температур в> изображена сплошной кривой в соответствии с автомодельными решениями. Концентрационное переохлаждение, в соответствии с неравенством (4), возникает при Л] > Ам и 0\ > 0 м Работы [4| и [5] показывают, что точка А также ответственна за появление двухфазной зоны.

блюдался при А1 < Дм и < 0м- В свете результатов настоящего раздела это означает, что область А1 < А^ и вх < вц^ соответствует всегда абсолютно морфологически устойчивому сценарию кристаллизации, а область А1 > Аы и в\> в\А определяет режим кристаллизации при наличии двухфазной зоны концентрационного переохлаждения. Строго говоря, затвердевание в области должно описываться с помощью модели, учитывающей присутствие двухфазной зоны (см, например, |5]), а не с помощью модели с плоским фронтом кристаллизации без двухфазной зоны, подобно модели, рассмотренной в этом разделе. Другими словами, величины А^ и определяют рамки применимости классической термодиффузионной модели Стефана с плоским фронтом для описания процессов автомодельного затвердевания. Таким образом, концентрационное переохлаждение, а не морфологическая неустойчивость автомодельных решений, ответственно за появление двухфазной зоны перед плоским фронтом кристаллизации.

Глава 4. Режим затвердевания с квазиравновесной двухфазной зоной

Четвертая глава посвящена исследованию процесса кристаллизации при наличии двухфазной зоны концентрационного переохлаждения, располагающейся между чисто твердой и жидкой фазами. Основное внимание в этой главе уделяется построению точных аналитических решений нелинейных уравнений, описывающих кристаллизацию при наличии такой зоны.

В отличие от двух предшествующих глав, в настоящей главе рассмотрен промежуточный по отношению к режиму кристаллизации на малых временах (вторая глава) и автомодельному режиму кристаллизации (третья глава) установившийся режим при наличии двухфазной зоны концентрационного

переохлаждения. Присутствие последней сильно усложняет процессы переноса, которые описываются нелинейными уравнениями в зоне вида:

д7

(И)

Здесь ф - доля твердой фазы, вт и ат - температура и концентрация примеси в двухфазной зоне, - плотность, теплоемкость, теплопро-

водность и коэффициент диффузии, зависящие от ф. Слагаемые, пропорциональные описывают захват примеси и выделение скрытой теплоты затвердевания растущими элементами твердой фазы в двухфазной зоне. Предположение об отсутствии переохлаждения в двухфазной зоне означает, что температура и концентрация связаны соотношением (условие квазиравновесности), соответствующим диаграмме состояния, а именно [8|:

Система уравнений (11), (12) дополняется стационарными уравнениями теплопроводности в твердой и жидкой фазах вследствие того, что время релаксации температурного поля на несколько порядков меньше времени релаксации диффузионного поля, уравнением диффузии в жидкой фазе, а также стандартным набором граничных условий непрерывности и баланса на движущихся с постоянной скоростью и, границах (£ = и,г - твердая фаза -двухфазная зона, £ = и,т + 8 - двухфазная зона - жидкая фаза) двухфазной зоны протяженности <5. Условие (12) позволяет исключить температуру из уравнений (11) и после пересадки в движущуюся с постоянной скоростью

систему координат проинтегрировать первое урав-

нение (11). Результат интегрирования позволяет записать второе уравнение (11) в виде, в котором неизвестная функция (концентрация примеси) зависит только от доли ^(я) твердой фазы. Аналитическое решение этого уравнения позволяет найти сложную функцию Подстановка этого результа-

та в первое уравнение (11) определяет зависимость х = х(<р). Постоянные интегрирования, скорость кристаллизации, протяженность двухфазной зоны, доля твердой фазы на границе твердого вещества с двухфазной зоной аналитически находятся из пограничных условий на границах зоны, где решение стыкуется с решением тепломассообменной задачи в чисто твердой и жидкой фазах.

На рис. 4 изображен концентрационный профиль <7а(</э) в затвердевшей фазе, построенный в соответствии с точным аналитическим решением и услови-

&т — д, — та,

(12)

см поглощения фронтом примеси с коэффициентом к. Сравнение теоретических кривых рис. 4 с экспериментальными данными позволяет сделать вывод о хорошем совпадении точных аналитических решений и эксперимента. На рис. 5 показаны зависимости (р, и и, от температурного градиента в твердой фазе при различных величинах температурного градиента в жидкой фазе. Из рисунка видно, что для каждой фиксированной величины д( существуют зоны, в которых ¡р„ отрицательно. Последнее безусловно невозможно с физической точки зрения. Для объяснения этого формального результата вспомним, что двухфазная зона образуется благодаря концентрационному переохлаждению, возникающему перед границей раздела фаз в том случае, если концентрационный градиент превышает свой

температурный аналог на фронте. Подставляя в это неравенство

концентрационный профиль

ьт

для плоского фронта, получаем следующее неравенство для квазистационарной скорости V затвердевания с плоским фронтом:

V >

кд(В(

(1 - к)то1са'

Выполнение этого неравенства определяет зону существования концентрационного переохлаждения и, соответственно, зону существования двухфазной области. Из сказанного следует, что решение задачи о кристаллизации с двухфазной зоной должно удовлетворять неравенству: В этом случае, как видно из рис. 5, доля является всегда положительной. Другими словами,

ф.

и„ V.

см/с -0.005

0.1-

0

-0.004

-0.1-

-0.003

-0.2

4-!-1-^-.—!-.-.-0.002

60 70 80 90 100 110 д*. С/см -

Рис. 5. Зависимости у.(д,) (шкала значений слева, сплошные кривые) и и,(с?,) (шкала значений справа, пунктирные кривые) при фиксированных величинах температурного градиента д1 для железо-никелевого сплава. Горизонтальные пунктирные линии определяют условие концентрационного переохлаждения (существование двухфазной зоны) впереди границы твердая фаза - двухфазная зона и показывают скорость и. Вертикальные пунктирные линии определяют критические значения д,.. (!)-<?< = 20°С/см, (2) - = 25°С/см, (3) - 91 = 30°С/см.

выполнение равенства и, —V определяет критические величины д, = д„ (при каждом фиксированном д(), отмеченные на рис. 5 вертикальными линиями и определяющими область существования решений.

На рис. 6 показаны зависимости доли твердой фазы и концентрации примеси в двухфазной зоне как функций от пространственной координаты. Из построенных зависимостей видно, что изменение одного из градиентов д, или

при фиксированном значении другого, приводит к параллельному смещению кривых (расстояния между соседними кривыми и углы наклона кривых к направлению оси х остаются почти постоянными для проведенной серии расчетов). Это позволяет заключить, что доля твердой фазы и концентрация примеси внутри двухфазной зоны обладают свойствами самоподобности. Рассмотрению двухфазной зоны с этой точки зрения посвящена пятая глава.

Для исследования устойчивости полученных решений в четвертой главе сформулирована новая модель, заменяющая реальную двухфазную зону поверхностью разрыва между чисто твердой и жидкой фазами с новыми граничными условиями на этой поверхности. Цель такой замены состоит в сведении вопроса об устойчивости решений к классическому подходу [6] анализа неустойчивости. Определенные в четвертой главе точные решения позволили вычислить скачки термодинамических величин и определить, что граничными условиями на поверхности разрыва будут

$1 = в. - таг,

ч

Э9, дв( <п:

где ауоо - концентрация примеси в жидкой фазе вдали от границы фазового перехода.

Глава 5. Скейлинговые свойства двухфазной зоны при направленной кристаллизации

Пятая глава посвящена изучению самоподобия двухфазной зоны концентрационного переохлаждения, располагающейся между чисто твердой и жидкой фазами. Основное внимание в главе уделяется изучению вопроса о возможности описания двухфазной зоны с помощью скейлинговых степенных зависимостей с универсальным показателем степени.

В четвертой главе было показано, что доля твердой фазы и концентрация примеси в двухфазной зоне претерпевают самоподобное изменение при варьировании операционных параметров процесса - управляющих затвердеванием температурных градиентов. Такое поведение неизвестных функций говорит о самоподобной структуре зоны концентрационного переохлаждения. Хорошо известно, что многие самоподобные объекты, встречающиеся в природе, могут быть описаны с помощью масштабно-инвариантных фракталов [10]. В связи с этим, попытаемся подойти к изучению двухфазной зоны с помощью введения определенных степенных зависимостей. Будем описывать распределения доли твердой фазы и концентрации примеси в двухфазной зоне с помощью однородных самоподобных функций

<р(у) = <P*yD, o-m(y) = crCm + (ст. - aeJyD, (U)

удовлетворяющих скейлинговым соотношениям:

<p(Xy) = АD<p(y) , <rm(Ay) - <тСт = AD{am(y) - aím) .

Здесь A - константа, ст. - концентрация примеси на границе твердая фаза -двухфазная зона. сгСт - концентрация примеси на границе двухфазная зона -расплав , ет - протяженность двухфазной зоны, D - скейлинговый параметр.

На рис. 6 представлено сравнение точного решения четвертой главы и степенных зависимостей (14) для железо-никелевого сплава. Хорошее совпадение скейлинговых зависимостей с аналитическим решением подтверждает гипотезу о самоподобии двухфазной зоны на всем се протяжении. Следует подчеркнуть, что в соответствии с выражениями (14), доля твердой фазы и концентрация примеси внутри зоны определяются только лишь своими значениями на ее границах и не зависят от скейлингового параметра, который составляет D = 1.37 ± 0.05 для всех кривых на рис. 6.

о.ю-

ф(Х)

0.05-

0

-0.40

-0.35

CTm(x)

0.30

о

0.2

0.4

0.6

х

Рис. 6. Доля твердой фазы <р{х) и концентрация примеси ат (х) для железо-никелевого сплава при температурных градиентах gi = 20°С/см, д, — 120°С/см (кривые, отмеченные символом "черный квадрат", ¥>• — 0.123) и д, = 100°С/см (кривые, отмеченные символом "черный круг", ifi, = 0.097) согласно точным аналитическим решениям проблемы. Сплошные и пунктирные кривые показывают соответствующие зависимости в соответствии со сксйлинговыми распределениями (14). Вертикальными линиями отмечено положение безразмерной протяженности ет = Su,/Di двухфазной зоны.

Поскольку рассмотренный квазистационарный режим может реализоваться вдали от существенно нестационарных начальной и конечной стадий процесса, возникает естественный вопрос о скейлинговых свойствах двухфазной зоны для таких ситуаций.

В качестве первого нестационарного режима рассмотрим автомодельный процесс затвердевания, формирующийся на достаточно больших временах от начала процесса. В диссертации показано, что степенные распределения (14) достаточно хорошо описывают численное решение (J5J) для автомодельной кристаллизации, и в случае фиксированных теплофизических параметров, построенные зависимости не зависят от масштабного параметра D, который составляет 1.03 ± 0.05 и 1.07 ±0.05 для двух рассмотренных систем. Таким образом, можно сделать вывод, что самоподобные распределения (14) хорошо описывают нестационарное затвердевание на его автомодельной стадии.

Возникает естественный вопрос: сохраняется ли это свойство для других нестационарных режимов затвердевания. На рис. 7 приведена зависимость концентрации примеси перед границей твердая фаза - двухфазная зона (£ = 0; здесь £ и ет, согласно соотношениям (14), играют роль размерных переменных) для кристаллизующегося в нестационарных условиях водного раствора КС1. На временах т > 60 с. после начала процесса затвердевания перед плоским фронтом образуется концентрационное переохлаждение, приводящее к возникновению двухфазной зоны. Как видно из рис. 7, концентрационный профиль стремится к некоторому стационарному значению

5.0

* т = 60 с

4.5-

4.0

3.5-

3.0

0 100 200 300 400 500 600 ^.мкм

Рис. 7. Сравнение самоподобного закона (14) (сплошные кривые) с экспериментальными данными работ |10,11) (соответствующие символы) на начальных стадиях процесса кристаллизации.

при увеличении времени кристаллизации (другими словами, с увеличением времени процесса расстояние между распределениями концентрации примеси убывает). Тем не менее, даже на начальных стадиях кристаллизации с неустановившимися характеристиками двухфазной зоны, соотношение (И) прекрасно описывает экспериментальные кривые. Скейлинговый параметр для данной системы составляет величину Б — 2.70 ± 0.05 для всех кривых на рис. 7, полученных авторами работ [10,11] для различных моментов времени. Фактически, продемонстрированные экспериментальные данные подтверждают утверждение о самоподобии двухфазной зоны на начальных этапах затвердевания с неизменным скейлинговым показателем Б.

Итак, в работе обнаружено, что скейлинговые законы (14) хорошо описывают кристаллизацию с двухфазной зоной на всех этапах се движения (на начальной нестационарной стадии, на установившейся стадии кристаллизации с постоянной скоростью и на заключительной нестационарной стадии, когда формируется автомодельный режим).

Шестая глава диссертации посвящена линейной теории устойчивости, демонстрирующей существование колебательного режима развития неустойчивости по отношению к квазистационарному режиму затвердевания с двухфазной зоной.

Хорошо известно, что в реальных процессах затвердевания возможно появление различных типов неоднородного распределения примеси. Одним из таких примеров является полосчатое распределение примеси (слои примеси располагаются параллельно движению границы фазового перехода) или

Глава б. Линейный анализ неустойчивости кристаллизации с двухфазной зоной

слоистая ликвация [12,13]. В 1958 г в работе |14| была высказана мысль о том, что слоистая ликвация обусловлена неустойчивостью движущегося фронта кристаллизации по отношению к малым возмущениям его скорости (динамическая неустойчивость) и установлением в результате неустойчивости некоторого нового нестационарного режима процесса направленного затвердевания Указанная идея была подтверждена в работах 115, 16], а в работе |17| было продемонстрировано, что динамическая неустойчивость фронта кристаллизации тесно связана с особенностями фазового перехода на фронте. Поэтому для исследования возможности разрушения квазистационарного режима, изученного в четвертой главе, и появления неустойчивого режима затвердевания, ответственного за формирование слоистой ликвации при кристаллизации с квазиравновесной двухфазной зоной, в шестой главе проведен линейный анализ устойчивости. Основной чертой данной теории является то обстоятельство, что она развита на основе точных аналитических решений, полученных в четвертой главе.

Для применения стандартной теории устойчивости Маллинза - Секерки |6|, разработанной для плоской границы раздела фаз, использовалась замена реальной двухфазной зоны поверхностью разрыва на которой применялись граничные условия (13), сформулированные в четвертой главе После пересадки в движущуюся с постоянной скоростью и3 систему отсчета, связанную с поверхностью разрыва, и определения квазистационарных распределений температуры в твердой в„ и жидкой в(, фазах, а также концентрации

примеси в расплаве, система возмущалась* 0£ = <гг — ои. Граничные условия (13) на поверхности разрыва х = О раскладывались в ряды Тейлора в окрестности этой точки вплоть до линейных членов по возмущениям. Анализ системы уравнений и граничных условий показывает, что возмущения могут развиваться со временем как ехр[/?{], где безразмерное время, а величина определяет их временную эволюцию. Подстановка возмущений в граничные условия определяет уравнение для параметра /3:

/З3 + а/32 + Ь/3 + с = 0, (15)

где коэффициенты а, Ь и с, определенные в диссертации, зависят от теплофи-зических характеристик системы. Анализ уравнения (15) показал, что оно не имеет кривой нейтральной устойчивости для вещественных значений /3. Другими словами, если в уравнении (15) положить /3=0 (кривая нейтральной устойчивости), то оно не будет удовлетворяться ни при каких физически допустимых параметрах процесса Этот вывод означает, что режим устойчивой кристаллизации (/3 < 0) не может перейти в режим монотонной неустойчивости (/3 > 0). Комплексные значения параметра /3 = (¡1 + г^г и 0г

Рис. 8. Зоны устойчивости, монотонной и колебательной неустойчивости в плоскости температурных градиентов, выраженных в °С/см.

вещественны) определяют неустойчивость колебательного типа. При подстановке последнего выражения в уравнение (15) и последующем приравнивании вещественной части ¡3\ декремента ¡3 возмущений к нулю, получается уравнение кривой нейтральной устойчивости аЬ = с, определяющее переход от абсолютно устойчивого режима кристаллизации к неустойчивому колебательному режиму.

Рис. 8 демонстрирует решение уравнения (15) для железо-никелевого расплава. Сплошная кривая показывает границу между запрещенной зоной (скорость затвердевания меньше нуля) и зоной устойчивости (параметр < 0). Пунктирная кривая показывает границу между зонами колебательной 0) и монотонной неустойчивости, а точечная кривая разделяет области устойчивости и колебательной неустойчивости. Точечные кривые представляют собой кривые нейтральной устойчивости (параметр ¡3\ при переходе через эти кривые меняет знак). Пунктирные кривые определяются тем, что при некоторых значениях градиентов, параметр скачкообразно изменяется от положительного (монотонная неустойчивость) до комплексного с положительной вещественной частью. Проведенный анализ показывает, что зона монотонной неустойчивости может граничить либо с запрещенной зоной, либо с зоной колебательной неустойчивости. Другими словами, проведенный анализ демонстрирует, что переход от монотонной неустойчивости к режиму абсолютной устойчивости непосредственно не происходит и может реализоваться лишь через зону колебательной неустойчивости. В диссертации также показано, что амплитуды колебаний при кристаллизации с двухфазной зоной существенно отличаются от амплитуд при кристаллизации с плоским фронтом.

Глава 7. Нелинейный анализ развития колебательной неустойчивости кристаллизации с двухфазной зоной

Седьмая глава посвящена исследованию развития колебательного режима затвердевания в процессах кристаллизации при наличии квазиравновесной двухфазной зоны концентрационного переохлаждения. Данное исследование базируется на результатах шестой главы, где было продемонстрировано, что указанный режим может сформироваться благодаря возникновению колебательной неустойчивости при определенных значениях теплофизических параметров системы. В главе получена нелинейная система уравнений для определения частот и амплитуд возмущений, ответственная за развитие колебательной неустойчивости. Решение этой системы позволяет аналитически определить фундаментальную и вторичные гармоники возмущений и рассчитать формирующиеся колебания скорости кристаллизации и распределения примеси.

Поскольку нелинейный анализ устойчивости кристаллизации с двухфазной зоной базируется на результатах линейной теории шестой главы, в качестве исходной системы для развития нелинейной теории использовалась описанная выше система уравнений тепло- и массопереноса с граничными условиями (13). В седьмой главе показано, что проблема сводится к анализу неустойчивости концентрационной задачи с нелинейными условиями на поверхности разрыва. Граничные условия раскладываются в ряды Тейлора в окрестности точки х — О, которая соответствует невозмущенному положению поверхности разрыва х =Сг = 0, а возмущения поверхности разрыва представляются в виде: X' = X — X,. Так, например, для безразмерной концентрации примеси (обезразмеривание выполнено на концентрацию ) в расплаве на возмущенной границе фазового перехода, имеем:

где индекс 5 обозначает известное квазистационарное распределение. Учет порядка малости такой степени требуется для дальнейшего построения нелинейной теории (см., например, [18,19]).

Вообще говоря, динамическая неустойчивость проявляет себя в виде регулярного или нерегулярного режима автоколебаний скорости и концентрационного профиля около квазистационарных значений. В случае регулярных колебаний, процесс характеризуется периодичными осцилляциями скорости

и часто называется неустойчивым в соответствии с мягким сценарием нарушения устойчивости. В случае нерегулярных колебаний, скорость кристаллизации может претерпевать осцилляции, носящие случайный характер. В этом случае, нарушение устойчивости часто называют произошедшим по жесткому типу. В случае мягкого сценария развития неустойчивости, амплитуда флуктуации какой-либо величины (например, концентрации) увеличивается при прохождении через точку фазовой плоскости, соответствующую параметрам квазистационарного затвердевания, и проникает в область неустойчивости. Если надкритичность (величина, пропорциональная наикратчайшему расстоянию между точкой фазовой плоскости и кривой нейтральной устойчивости) мала, мода вторичных колебаний не отличается от гармонической моды с частотой неустойчивых возмущений на кривой нейтральной устойчивости. В случае реализации неустойчивости жесткого типа, амплитуда флуктуации изменяется скачкообразно от нуля до некоторой конечной величины при прохождении характеристической точки через кривую нейтральной устойчивости. Такой процесс вызывает флуктуации с широким спектром частот и, вообще говоря, с немалыми амплитудами, даже в случае существования надкритичности. В результате, мода вторичных колебаний не является периодической и возмущенные уравнения становятся неприменимыми. Итак, для анализа неустойчивости мягкого типа возмущения q' и X' представляются в виде рядов Фурье ^ - мнимая единица):

Здесь Дг обозначает частоту колебаний, а символ * обозначает комплексное сопряжение. Амплитуды возмущений дп и Ап, также как и частота колебаний определяются из решения задачи.

Дальнейшее решение основано на подстановке разложений (16) в граничные условия при х = 0 и последующем разделении слагаемых с одинаковыми номерами гармоник (уравнения "расщепляются"). Такая процедура позволяет получить систему уравнений для амплитуд для всех номеров п. Однако, известно что в случае развития неустойчивости по мягкому сценарию амплитуды А1 и д1 пропорциональны б1/2,' а амплитуды Ло ^ с и до с, Ап ~ б"'2, д„ ~ е"/2 при п > 2 (здесь с - надкритичность). Для малых значений (для неглубокого проникновения в область колебательной неустойчивости от кривой нейтральной устойчивости) в разложениях (16) сохраняется только фундаментальная гармоника, для которой п =1, а также

(16)

•п»

О 10 20 30 40 50 т,м-

V(t) 102.

0.5-

0.6-

0.7-

см/м -2.60

-2.55

-2.50

0.4

2.45

0 0.2 0.4 0.6 0.8 5.СМ

Рис. 9. Распределение концентрации <?,(() в твердой фазе и скорость кристаллизации К(т) в соответствии с соотношениями (17) дли железо-никелевого сплава. Горизонтальные пунктирные линии показывают средние величины (квазистационарные значения) концентрации. д, = 30°С/см, де = 38.7°С/см, Дг = 2.184.

вторичные гармоники, определяемые номерами \п\ — 0 и 2. Такое приближение соответствует точности эволюционных уравнений вплоть до слагаемых, порядка б®/2. Итак, подстановка разложений (16) в возмущенные граничные условия и дальнейшая процедура нелинейного анализа позволяют определить фундаментальную и боковые гармоники, а также частоту и параметр надкритичности колебаний (эти достаточно громоздкие выражения и процедура их получения подробно описаны в диссертации). Отыскание указанных величин позволяет определить распределение примеси в твердой фазе скорость кристаллизации и период слоистости в твердой фазе. Для

простоты, ограничиваясь лишь фундаментальной гармоникой с п = 1, будем иметь:

На рис. 9 проиллюстрирован колебательный характер распределения примеси в твердой фазе и скорость кристаллизации в соответствии с выражениями

Вычисления показывают, что для рассматриваемого железо-никелевого сплава (рис. 9) /32 = 2.184, и, = 2.542 • 10~2 см/м, < ~ 0.34 см. Эта величина находится в хорошем соответствии с различными экспериментальными оценками, согласно которым изменяется от 10-2 мм до нескольких миллиметров. Для более детального сравнения рассмотрим затвердевание сплава экспериментально изучавшегося в работе [20] при

ст4(£) « [ка1оо (д, + 11е д')х=о],

'1=0 Н=и.Ц01 >

У(т) « и, [1 - Ах0г ип , С « 2тг01/(/32Щ). (17)

(17).

д/ = 530°К/см, и, = 5.6 • 10"4 см/с и иа = 11 • 1СГ4 см/с. Расчеты, выполненные в соответствии с развиваемой теорией, показывают, что /?2 ~ 1.454, С яз 0.77 мм и /?2 и 1.450, С Л 0-39 мм соответственно для этих двух скоростей кристаллизации. Сравнение с рис. ЗЬ работы J20] показывает, что при данных параметрах процесс находится на стадии образования полосчатых структур, а сравнение с рис. 1 работы |20) демонстрирует, что рассчитанные выше величины £ достаточно хорошо согласуются с экспериментальными. В диссертации также проведены сравнения с другими экспериментами.

Заключение

Научные материалы, изложенные в диссертации, представляют собой единую теорию исследования процессов направленной кристаллизации, протекающих в присутствии зоны двухфазного состояния вещества или в иных условиях, приводящих к возможному появлению такой зоны.

Основные результаты и выводы работы заключаются в следующем:

• Развиты приближенные аналитические способы описания процессов зарождения двухфазной зоны концентрационного переохлаждения от плоского фронта кристаллизации при активном режиме охлаждения. Первый из этих подходов основывается на линейном законе скорости движения фронта кристаллизации от времени, который является следствием данного режима и вытекает из оценки времен релаксации температурного и диффузионного полей. Второй подход основан на максимуме концентрационного распределения, который, как показывают расчеты и экспериментальные данные, образуется в момент зарождения зоны концентрационного переохлаждения. Третий подход, справедливый при малых отклонениях скорости от линейной зависимости, основывается на приближенном использовании интегрального преобразования Лапласа. Все три метода находятся в хорошем соответствии и подтверждаются численными расчетами.

• Определено влияние теплофизических параметров системы на время зарождения двухфазной зоны концентрационного переохлаждения, скорость кристаллизации для активного и естественного режимов охлаждения. Определены рамки применимости классической термодиффузионной модели Стефана для описания процессов кристаллизации с плоским фронтом.

• Разработана теория морфологической неустойчивости процессов направленной кристаллизации с плоским фронтом, протекающих в автомодельных условиях. Теория неустойчивости показала, что плоский автомодельный фронт является морфологически устойчивым для любых физически возможных сплавов. Обнаружено, что понижение температуры фазового перехода за счет

вытеснения примеси фронтом кристаллизации не приводит к нарушению его морфологии. На основе данных работ |4 5| показано, что двухфазная зона в процессах автомодельной кристаллизации может появляться в области абсолютной устойчивости фронта затвердевания при выполнении условия концентрационного переохлаждения. Установлены рамки применимости классической термодиффузионной модели Стефана с плоским фронтом для описания автомодельной кристаллизации. Определено, что единственной физической причиной, приводящей к появлению двухфазной зоны на автомодельной стадии процесса кристаллизации является концентрационное переохлаждение.

• Впервые построено точное аналитическое решение нелинейной модели кристаллизации с квазиравновесной двухфазной зоной. Полученное точное решение проблемы имеет предельные переходы к ранее известным приближенным решениям и согласуется с экспериментальными данными. Найденные решения справедливы для всевозможных значений физических параметров, характеризующих процесс кристаллизации. Показано, что концентрация примеси в двухфазной зоне зависит только от доли твердой фазы, а ее зависимость от пространственной координаты выражается сложной функцией -найденной в работе зависимостью доли твердой фазы в двухфазной зоне от пространственной координаты. Впервые точно определена скорость процесса кристаллизации при наличии двухфазной зоны, а также ее протяженность и соотношение для нахождения доли твердой фазы на границе твердая фаза -двухфазная зона. Сформулирована новая фронтальная модель направленного затвердевания, учитывающая свойства двухфазной зоны. Обнаружено, что протяженность двухфазной зоны, доля твердой фазы и концентрация примеси в двухфазной зоне претерпевают самоподобное изменение при изменении параметров, управляющих процессом кристаллизации.

• Обнаружено, что концентрация примеси и доля твердой фазы в двухфазной зоне подчиняются пространственно-временным скейлинговым зависимостям. Показано, что скейлинговые зависимости претерпевают параллельный перенос при изменении операционных параметров и определяются одним и тем же значением показателя степени. Обоснованная скейлинговая природа двухфазной зоны позволяет определять профили концентрации примеси и доли твердой фазы исходя только из их значений на границах зоны. Проведенные исследования демонстрируют хорошее совпадение скейлинговых законов с экспериментальными данными. Теоретическое описание процессов кристаллизации, проведенное для нестационарных (начальная и автомодельная стадии процесса) и квазистационарных условий, позволяет сформулировать утверждение о подчинении структуры зоны двухфазного состояния вещества универсальным скейлинговым закономерностям.

• На основе аналитической теории линейной динамической неустойчивости квазиравновесной двухфазной зоны определена кривая нейтральной устойчивости, показана возможность существования зоны устойчивости, а также зон колебательной и монотонной неустойчивости. Показано, что колебательный характер скорости кристаллизации приводит к осцилляциям концентрации и температуры. Теоретически продемонстрировано, что кривая нейтральной устойчивости отделяет зону устойчивости от зоны колебательной неустойчивости, которая, при определенных условиях, может смениться зоной монотонной неустойчивости. Показано отличие характера колебательной неустойчивости фронтальной кристаллизации и кристаллизации с двухфазной зоной.

• Впервые построена нелинейная теория колебательной неустойчивости кристаллизации с двухфазной зоной на основе точных аналитических решений уравнений тепломассопереноса в этой области. Определены нелинейные уравнения для частоты возмущений, параметра надкритичности, а также амплитуд фундаментальной и вторичных гармоник. Решение этих уравнений позволило определить распределение примеси в твердой фазе, скорость кристаллизации и период слоистого распределения примеси в твердой фазе при реализации режима колебательной неустойчивости. Определена область применимости нелинейного анализа устойчивости.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Alexandrov D.V., Ivanov A.O., Komarovski M.E. An influence of a fractal-like mushy-region on solidification process // Int. J. Fluid Mech. Res., 1999.- Vol. 26, N 2.- P. 224-231.

2. Alexandrov D.V., Churbanov A.G., Vabishchevich P.N. Emergence of a mushy region in processes of binary melt solidification // Int. J. Fluid Mech. Res., 1999.- Vol. 26, N 2.- P. 248-264.

3. Александров Д.В. К теории затвердевания с квазиравновесной двухфазной зоной // Доклады АН, 2000.- Т. 375, N 2.- С. 172-176.

4. Alexandrov D.V., Ivanov A.O. Dynamic stability analysis of the solidification of binary melts in the presence of a mushy region: changeover of instability // J. Crystal Growth, 2000.- Vol. 210.- P. 797-810.

5. Alexandrov D.V. Linear analysis of dynamic instability of solidification with a quasiequilibrium mushy zone // Int. J. Fluid Mech. Res., 2000.- Vol. 27, N 2-4.- P. 239-247.

6. Alexandrov D.V. Incipience of a mushy zone in binary melt solidification processes // Int. J. Fluid Mech. Res., 2000.- Vol. 27, N 2-4.-P. 223-238.

7. Alexandrov D.V. Solidification with a jmasiequilibrium mushy zone: exact analytical solution / / Int. J . \ 11<*<МейдЩтн£ШдяЧ< • 27.

бизднотекл

ОЭ КЗ est

ï

I

N 2-4.- P. 213-222.

8. Александров Д.В. К теории зарождения двухфазной зоны при затвердевании бинарных расплавов // Тр. 4-го Минского Международного Форума по Тепло- и Массообмеиу, Тепломассообмен в двухфазных системах, 2000, 22-26 мая, Т. 5, Минск, Беларусь,

С. 476-480.

9. Александров Д.В. Влияние концентрационного переохлаждения на морфологическую устойчивость автомодельного процесса затвердевания с плоским фронтом // Доклады АН, 2001.- Т. 379, N 1.- С. 33-37.

10. Buyevich Yu.A., Alexandrov D.V., Mansurov V.V. Macrokinetics of crystallization.- New York: Begell House, Inc., 2001.

11. Alexandrov D.V. Solidification with a quasiequilibrium mushy region: exact analytical solution of nonlinear model //J. Crystal Growth,

2001.- Vol. 222.- P. 816-821.

12. Alexandrov D.V. Solidification with a quasiequilibrium two-phase zone // Acta Mater., 2001.- Vol. 49.- P. 759-764.

13. Александров Д.В., Комаровский М.Е. Влияние охлаждения изложницы на образование двухфазной зоны при направленном затвердевании бинарных расплавов // Труды X Российской кон-4>ерснции "Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов".- Челябинск: ЮУрГУ, 2001.- Т. 4.- С. 98-103.

14. Александров Д.В., Иванов А.О. Скейлинговые свойства двухфазной зоны при направленной кристаллизации // Доклады АН,

2002.- Т. 385, N 3.- С. 323-327.

15. Alexandrov D.V. Nonlinear instability analysis of unidirectional solidification with a mushy zone // Proc. Second Int. Conf. "Mathematical Modeling and Computer Simulation of Metal Technologies", 2002, Sept. 30 - Oct. 4, Ariel, Israel, P. 106-115.

16. Комаровский М.Е., Александров Д.В., Иванов А.О. Влияние параметров охлаждения на образование двухфазной зоны в системе кристалл-расплав // Российская межотраслевая конференция "Тепломассоперенос и свойства жидких металлов".- Обнинск: 2002.- Т 1.- С. 65-67.

17. Александров Д.В., Комаровский М.Е. Образование двухфазной зоны при охлаждении изложницы // Сб. науч. тр. "Перспективные материалы, технологии, конструкции, экономика", Под общ. ред. Стацуры В.В. Вып. 8.- Красноярск: ГАЦМиЗ, 2002.-

С. 160-162.

18. Александров Д.В. К теории зарождения двухфазной зоны концентрационного переохлаждения // Доклады АН, 2003.- Т. 392, N 3.- С. 322-327.

19. Alexandrov D.V., Bulitcheva S.V., Komarovski M.E., Malygin A.P. Fractal-like structures in the self-similar crystallization with a two-phase zone // J. Optoelectron. Adv. Mater., 2003.- Vol. 5, N 3.-

P. 595-600.

20. Alexandrov D.V. Self-similar solidification: morphological stability of the regime // Int. J. Heat and Mass Transfer, 2004.- Vol. 47.. P. 1383-1389.

СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Авдонин Н.А. Математическое описание процессов кристаллизации.- Рига: Зииатне, 1980.- 180 с.

2. Иванцов Г.П. // ДАН СССР, 1951.- Т. 81, N 2.- С. 179-182.

3. Maples A.L., Pokier D.R. // Metal. Trans. В., 1984.- Vol. 15B.-P. 163-172.

4. Huppert H.E., Worster M.G. // Nature, 1985.- Vol. 314.- P. 703-707.

5. Worster M.G. // J. Fluid Mcch., 1986.- Vol. 167.- P. 481-501.

6. Mullins W.W., Sekcrka R.F. // J. Appl. Phys., 1964. Vol. 35, N 2.-P. 444-451.

7. Coriell S.R., McFadden G.B., Sekerka R.F. // J. Crystal Growth,

1999.- Vol. 200.- P. 276-286.

8. Борисов В.Т. Теория двухфазной зоны металлического слитка.-М.: Металлургия, 1987.- 224 с.

9. Czapelski М. // J. Crystal Growth, 1998.- Vol. 187.- P. 138-139.

10. Nagashima К., Furukawa Y. // J. Crystal Growth, 2000.- Vol. 209.-P. 167-174.

11. Nagashima K., Furukawa Y. Interfcrometric // Physica D, 2000.-Vol. 147.- P. 177-186.

12. Karma A., Sarkissian A. // Phys. Rev. E, 1993.- Vol. 47, N 1.-P. 513-533.

13. Yasuda H., Notake N., Tokieda K., Ohnaka I. // J. Crystal Growth,

2000.- Vol. 210.- P. 637-645.

14. Ландау А.И. // ФММ, 1958.- Т. 6.- Вып. 1,- С. 148-155.

15. Буевич Ю.А., Мансуров В.В. // ИФЖ, 1984.- Т. 47, N 6.-С. 919-929.

16. Буевич Ю.А., Мансуров В.В. // ИФЖ, 1985.- Т. 49, N 3. С. 444-453.

17. Буевич Ю.А., Мансуров В.В. // Доклады АН СССР, 1991.- Т. 319, N 4.- С. 862-865.

18. Stuart J.T. // J. Fluid Mcch., I960.- Vol. 9.- P. 352-370.

19. Wollkind D.J., Segel LA // Philos. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A., 1970.- Vol. 268.- P. 351-380.

20. Yasuda H., Notakc N., Tokicda K., Ohnaka I. // J. Crystal Growth, 2000.- Vol. 210.- P. 637-645.

Работа была выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (гранты № 01-02-96430 Урал, № 02-03-96437 Урал, № 04-02-96002 Урал и № 04-01-96008 Урал), в соответствии с научной тематикой гранта Минобразования РФ № Е02-4.0-86, а также в рамках Проекта REC: ЕК-005-00 |ХЦ (грант № Y1-PME-05-02) по поддержке молодых ученых Американского Фонда Гражданских Исследований (CRDF) и Минобразования РФ.

Подписано в печать £2.СЧ.СН . Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2,25. Заказ № №5". Тираж 100.

Отпечатано в ИПЦ "Издательство УрГУ". г. Екатеринбург, ул. Тургенева, 4.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

1. НАПРАВЛЕННОЕ ЗАТВЕРДЕВАНИЕ

1.1. Термическое и концентрационное переохлаждения

1.2. Термодиффузионная модель Стефана и ее модификации Фронтальный режим кристаллизации

1.3. Зона концентрационного переохлаждения и ее влияние на процесс кристаллизации

2. ЗАРОЖДЕНИЕ ДВУХФАЗНОЙ ЗОНЫ КОНЦЕНТРАЦИОННОГО ПЕРЕОХЛАЖДЕНИЯ

2.1. Активный режим охлаждения

2.2. Аналитический расчет времени зарождения двухфазной зоны на основе линейного закона скорости кристаллизации

2.3. Аналитический расчет времени зарождения двухфазной зоны на основе максимума концентрационного распределения

2.4. Приближенное решение концентрационной задачи

2.5. Аналитический расчет времени зарождения двухфазной зоны па основе интегрального преобразования Лапласа

2.6. Влияние режимов активного и пассивного охлаждения па образование двухфазной зоны

2.7. Выводы

3. АВТОМОДЕЛЬНЫЙ РЕЖИМ ЗАТВЕРДЕВАНИЯ

3.1. Автомодельный фронтальный режим

3.2. Линейный анализ морфологической неустойчивости автомодельной кристаллизации

3.3. Выводы

4. РЕЖИМ ЗАТВЕРДЕВАНИЯ С КВАЗИРАВНОВЕСНОЙ ДВУХФАЗНОЙ ЗОНОЙ

4.1. Нелинейная математическая модель

Асимптотические решения

4.2. Точные аналитические решения нелинейной модели квазиравновесной двухфазной зоны. Часть I

4.3. Фронтальная модель затвердевания с поверхностью разрыва

4.4. Точные аналитические решения нелинейной модели квазиравиовесной двухфазной зоны. Часть II

4.5. Выводы

5. СКЕЙЛИНГОВЫЕ СВОЙСТВА ДВУХФАЗНОЙ ЗОНЫ

ПРИ НАПРАВЛЕННОЙ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ

5.1. Квазистационарный режим затвердевания

5.2. Нестационарный режим затвердевания

5.3. Выводы

6. ЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ НЕУСТОЙЧИВОСТИ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ С ДВУХФАЗНОЙ ЗОНОЙ

6.1. Динамическая неустойчивость

6.2. Квазистационарный режим затвердевания

6.3. Линеаризованные эволюционные уравнения Области устойчивости и неустойчивости

6.4. Выводы

7. НЕЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ РАЗВИТИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ С ДВУХФАЗНОЙ ЗОНОЙ 206 7.1. Неустойчивость и образование структур в твердой и жидкой фазах

7.2. Нелинейная теория колебательной неустойчивости

7.3. Выводы

Актуальность проблемы. Направленное затвердевание расплавов представляет значительный интерес в современной науке как с точки зрения прикладной физики кристаллизации, так и с точки зрения развития новых идей и аналитических методов в теоретической теплофизике. Хорошо известны технологические процессы затвердевания, целью которых является получение сверхчистых материалов или материалов с заданным распределением примеси. Существенное влияние на характеристики твердой и жидкой фаз в таких процессах оказывают физические параметры системы и параметры, управляющие затвердеванием. К числу управляющих (или операционных) параметров относятся, например, температуры стенок изложницы (под изложницей здесь и далее понимается область, в которой протекает процесс кристаллизации), условия ее охлаждения, а к числу физических - константы расплавов. Известны ситуации, когда незначительные изменения указанных величин приводят к совершенно различным структурам в обеих фазах: слоистые, дендритные, ячеистые образования и т.п. Для этих структур характерно различное распределение примеси, которое может полностью изменить многие свойства получаемых изделий. В силу многопараметрично-сти рассматриваемых систем, с прикладной точки зрения представляется весьма важным развитие и разработка аналитических и численных методов моделирования, позволяющих прогнозировать и рассчитывать характеристики возникающих неоднородностей. Математическое описание процессов кристаллизации основывается на уравнениях тепло- и мас-соперепоса, записываемых во всех существующих фазах, и граничных условиях, имеющих смысл непрерывности, скачка или баланса температурного и концентрационного полей. Решение проблем подобного типа осложняется присутствием одной или более подвижных границ, перемещающихся, вообще говоря, с заранее неизвестной скоростью. Кроме того, задачи указанного типа, как правило, содержат нелинейности в граничных условиях, а зачастую, и в самих уравнениях переноса. Поэтому универсальных методов решения таких проблем не существует и в каждом конкретном случае следует подбирать определенный подход к решению. Следует особо подчеркнуть, что численное решение, основывающееся на фиксации большинства параметров системы, не во всех ситуациях может выполнять прогнозирующую роль и, как следствие, возникает необходимость получения приближенных аналитических решений, показывающих и выявляющих доминантную роль тех или иных характеристик системы. Вместе с тем, в аналитическом описании направленного затвердевания также существуют значительные проблемы. Так, основное внимание обычно уделяется стационарным линейным задачам. Однако, эти приближения работают не всегда, особенно на начальных и конечных этапах процессов.

Цель работы. Аналитическое описание нестационарной нелинейной динамики кристаллизационных процессов с плоским фронтом и двухфазной зоной концентрационного переохлаждения на различных этапах затвердевания в зависимости от теплофизических параметров системы.

В рамках поставленной цели исследовались:

- Процессы зарождения двухфазной зоны концентрационного переохлаждения при нестационарной направленной кристаллизации расплава в изложнице. Определение рамок применимости классического термодиффузионного подхода с плоским фронтом для описания процессов направленной кристаллизации. Изучение влияния режимов охлаждения изложницы и теплофизических параметров системы на время образования зоны концентрационного переохлаждения и определение этого времени.

- Направленная нестационарная автомодельная кристаллизация расплава с плоским фронтом от стенки. Изучение физических факторов, приводящих к нарушению режима с плоским фронтом. Определение возможности появления морфологической неустойчивости плоского фронта за счет уменьшения температуры фазового перехода па фронте при вытеснении им примеси вглубь расплава и влияния концентрационного переохлаждения. Изучение влияния теплофизических параметров системы на образование морфологической неустойчивости и зоны концентрационного переохлаждения.

- Точное аналитическое описание направленной квазистационарной кристаллизации расплава в присутствии квазиравиовесной двухфазной зоны. Нахождение концентрационного и температурного профилей, профиля доли твердой фазы в двухфазной зоне, определение ее протяженности, скорости кристаллизации и скачков теплофизических величин при переходе через двухфазную зону в зависимости от параметров системы.

- Скейлинговые свойства двухфазной зоны, кристаллизующейся в квазистационарных, автомодельных и нестационарных условиях. Определение возможности описания процесса с помощью пространственно-временных зависимостей концентрации примеси и доли твердой фазы в двухфазной зоне, характеризуемых значениями этих величин на границах зоны и скейлипговым показателем степени.

- Возможность формирования колебательной динамической неустойчивости двухфазной зоны в процессах направленной кристаллизации на основе точных аналитических решений нелинейной системы уравнений квазиравиовесной двухфазной зоны. Определение областей теплофизических параметров системы, ответственных за режимы устойчивой и неустойчивой кристаллизации. Нахождение амплитуд, частоты и параметра надкритичности для фундаментальной и вторичных гармоник колебаний. Определение характеристик колебаний скорости кристаллизации, концентрации примеси и среднего расстояния между соседними примесными полосами в твердой фазе.

В соответствии с перечисленными выше целями построено изложение материала диссертации, состоящей из списка используемых обозначений, введения, семи глав основного содержания, заключения, списка цитируемой литературы и двух приложений.

Первая глава работы носит обзорный характер и является ретроспективой наиболее значимых с точки зрения настоящего изложения результатов. Здесь рассматривается классическая термодиффузиоппая постановка Стефана, описывающая кристаллизацию с плоским фронтом, обсуждается вопрос об устойчивости квазистациопариых решений этой модели, приводятся результаты по динамической и морфологической неустойчивости, обсуждается влияние неустойчивостей этих типов на формирование структуры твердой фазы слитка. Далее, в этой главе обсуждается вопрос о концентрационном (конституционном) переохлаждении, приводящем к образованию двухфазной зоны между чисто твердой и чисто расплавленной фазами. Материал излагается в духе классических работ и является созвучным всем главам диссертации.

Во второй главе диссертационной работы исследовано зарождение двухфазной области концентрационного переохлаждения при затвердевании бинарного расплава в изложнице. В начальный момент времени расплав или раствор находится вблизи охлаждаемой стенки изложницы и постепенно начинает затвердевать вглубь последней. На начальных этапах этого процесса кристаллизация протекает в соответствии с классическим сценарием Стефана. Однако, экспериментальные данные и численные расчеты свидетельствуют, что в определенный момент времени перед плоским фронтом появляется концентрационное переохлаждение, приводящее к зарождению двухфазной зоны, полностью изменяющей картину исследуемого процесса. В работе рассмотрено два различных сценария охлаждения изложницы - пассивный (на границе изложницы задан теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона) и активный (граница изложницы охлаждается принудительно). Расчеты показывают, что в обоих случаях скорость затвердевания на начальных стадиях изменяется со временем почти линейным образом, далее же происходит зарождение двухфазной зоны. Линейность скорости затвердевания позволяет построить аналитическое решение модели на малых временах и определить время зарождения зоны как функцию операционных и тепло-физических параметров процесса. Поскольку, вообще говоря, появление двухфазной зоны связано с изменением внутренних характеристик твердой фазы, представляет интерес изучение вопроса о влиянии различных параметров на любых временах (не обязательно малых) на процесс ее формирования. Другими словами, в работе исследуется задача об оптимизации - каким образом производить реализацию процесса, чтобы двухфазная зона появлялась, скажем, как можно позднее или вообще не возникала.

Третья глава посвящена исследованию морфологической устойчивости плоского фронта при кристаллизации в автомодельных условиях. Такой режим затвердевания является нестационарным (как правило он реализуется на значительных временах от начала процесса), но в отличии от предыдущей ситуации, имеет точные аналитические решения. В соответствии с этим возникает ряд вопросов. Например, будут ли найденные решения устойчивыми по отношению к небольшим изменениям морфологии фронта и что ответственно за образование в таких режимах двухфазной зоны. Основная трудность здесь заключается в определении решений возмущенных автомодельных уравнений тепломассопе-реноса, удовлетворяющих соответствующим граничным условиям. Специально подчеркнем, что при исследовании морфологической устойчивости дайной постановки был разработан аналитический подход, позволяющий обойти эту трудность. Суть подхода будет изложена в третьей главе. Результатом этого исследования явился вывод об абсолютной морфологической устойчивости автомодельной кристаллизации с плоским фронтом. Другими словами, до появления концентрационного переохлаждения плоский фронт кристаллизации будет всегда оставаться плоским и, более того, будет устойчив по отношению к динамическим возмущениям (возмущениям скорости затвердевания при сохранении фронтом плоской формы). Далее показано, что появление концентрационного переохлаждения резко изменяет картину процесса. В этом случае может появляться область смешанного сосуществования твердой и жидкой фаз - двухфазная зона, а для описания кристаллизации необходимо пользоваться уже другой моделью, учитывающей присутствие этой зоны. Далее, в работе производится исследование автомодельного процесса затвердевания, но уже в присутствии двухфазной зоны (см. главу 5).

Четвертая глава диссертационной работы посвящена построению точных аналитических решений процесса затвердевания с квазиравновесной двухфазной зоной, движущейся вглубь расплава с постоянной скоростью. Модель квазиравновесной двухфазной зоны была сформулирована в 60-х годах и предполагает достаточно интенсивный рост твердой фазы в зоне метастабилыюго состояния. За счет интенсивного выделения скрытой теплоты затвердевания, сопровождающей этот процесс, будет сниматься и переохлаждение в зоне. Если эти два фактора почти скомпенсированы, то кинетику процесса, описывающего эволюцию зародышей в двухфазной зоне, можно не рассматривать и применять для описания кристаллизации модель, учитывающую лишь макроскопические процессы. Такая модель хоть и является значительно более простой, по тем не менее содержит нелииейиости как в самих уравнениях тепло-массоперепоса, так и в соответствующих граничных условиях. В силу нелинейности, до настоящего времени были известны лишь приближенные асимптотические решения описанной постановки. В четвертой главе разработан метод решения нелинейной задачи, позволивший построить ее точное решение. Определены соотношения для скорости кристаллизации и объемной доли твердой фазы на границе двухфазная зона - твердая фаза. Рассчитаны профили температуры, концентрации и объемной доли твердой фазы внутри двухфазной зоны. Проверено соответствие ранее известных приближенных решений и найденных в работе точных решений. На основе последних сделан вывод о самоподобной структуре двухфазной зоны. Кроме того, полученные решения позволили заменить реальную двухфазную зону поверхностью разрыва между твердой и жидкой фазами, вычислить скачки термодинамических величин на этой поверхности и сформулировать новую фронтальную постановку задачи, описывающую кристаллизацию с двухфазной зоной. Такая замена на поверхность разрыва является принципиально важной в вопросах исследования устойчивости полученных решений и используется в шестой и седьмой главах для расчета автоколебаний "фронта" и слоистой ликвации примеси.

В пятой главе диссертации исследуется вопрос о скейлинговых свойствах двухфазной зоны. На основе гипотез предыдущей главы о самоподобии некоторых характеристик двухфазной зоны и принятии ряда степенных законов, определена скейлинговая размерность, описывающая распределения примеси и доли твердой фазы внутри зоны. Предложенные законы позволяют описывать процесс кристаллизации с помощью полуэмпирических, но зато более простых степенных зависимостей с дробным показателем, играющим роль фрактальной размерности. Описанные результаты относятся к процессу затвердевания с ква-зиравповесной двухфазной зоной, движущейся с постоянной скоростью. Далее, в главе показано, что двухфазная зона обладает скейлинговыми свойствами и в процессе своего развития на начальных этапах, а также в случае ее автомодельного движения (на больших временах от начала процесса). Таким образом, появляется возможность сформулировать утверждение о самоподобии двухфазной зоны на всех стадиях ее развития и существования.

Шестая глава посвящена линейному анализу динамической неустойчивости новой фронтальной постановки, описывающей затвердевание с квазиравновеспой двухфазной зоной. В главе получено уравнение для параметра, характеризующего временное развитие возмущений. Из этого уравнения следует, что при определенных соотношениях между операционными параметрами, возмущения могут осциллировать около соответствующих квазистационарных распределений, а "фронт" - испытывать колебания около стационарной скорости затвердевания. Такая неустойчивость мягкого типа приводит к появлению слоистых неоднородностей распределения примеси в твердой фазе. Для расчета характеристик такого распределения необходимо установить границы, отделяющие друг от друга области неустойчивостей мягкого и жесткого типа, а также область устойчивости и определить пограничные значения управляющих процессом температурных градиентов в твердой фазе и расплаве. Все перечисленное, являвшееся предметом изучения, было исследовано в шестой главе.

Седьмая глава работы, основывающаяся на результатах шестой главы, посвящена развитию колебаний поверхности разрыва и расчету характеристик слоистого распределения примеси в твердой фазе. С этой целыо, в работе проведен слабопелинейный анализ неустойчивости в области существования ее мягкого типа. Температурные и концентрационные поля, поверхность разрыва между твердой и жидкой фазами возмущались до третьего порядка малости в соответствии с исследованием неустойчивости Ландау-Хопфа. Проведенный анализ позволил произвести расчет колебаний поверхности разрыва и слоистой ликвации примеси в окрестности кривой нейтральной устойчивости. Анализ также показал, что для расчета неоднородностей примесного распределения можно использовать операционные параметры, соответствующие кривой нейтральной устойчивости, т.е. известные из линейного анализа. Последнее существенно упрощает процедуру расчета.

В разделе "Заключение" изложены основные результаты и выводы диссертационной работы, а два приложения посвящены математической процедуре получения решений третьей и седьмой глав.

Научная новизна представленных материалов заключается в систематическом исследовании различных аспектов процессов направленного затвердевания при наличии квазиравновесной двухфазной зоны концентрационного переохлаждения или условий, приводящих к ее образованию. В работе получены следующие новые результаты:

- Развиты приближенные аналитические подходы для описания процессов зарождения двухфазной зоны концентрационного переохлаждения при нестационарной направленной кристаллизации расплава в изложнице (начальная стадия направленного затвердевания). Эти подходы позволяют определить время образования перед плоским фронтом двухфазной зоны концентрационного переохлаждения и рамки применимости классического термодиффузионного описания кристаллизации с плоским фронтом. Определено влияние параметров охлаждения системы, а также всех остальных теплофизических величин на данный процесс.

- Впервые проведено аналитическое рассмотрение нестационарной направленной автомодельной кристаллизации (заключительная стадия направленного затвердевания) с плоским фронтом, позволившее выявить причину нарушения его устойчивости и образования двухфазной зоны. Аналитически проведенный анализ морфологической неустойчивости показал, что уменьшение температуры фазового перехода на фронте кристаллизации вследствие вытеснения им примеси вглубь расплава не приводит к нарушению его морфологии при автомодельной реализации процесса для любых физически возможных сплавов. Определено, что до момента возникновения концентрационного переохлаждения плоский автомодельный фронт всегда морфологически устойчив, а после этого, описание направленной кристаллизации должно учитывать присутствие переохлажденной области и не может рассматриваться в рамках классической фронтальной модели, не учитывающей эту область. Обосновано, что единственной физической причиной, приводящей к появлению двухфазной зоны на автомодельной стадии процесса кристаллизации является концентрационное переохлаждение.

- В работе впервые дано точное аналитическое описание процессов квазистационарной направленной кристаллизации при наличии квазиравновесной двухфазной зоны (промежуточная стадия направленного затвердевания). Это описание основано на полученном в диссертации точном аналитическом решении нелинейной системы уравнений тепло-массопереиоса в двухфазной зоне. Решение позволило определить скорость процесса затвердевания, протяженность двухфазной области, долю твердой фазы, концентрацию примеси и температуру в двухфазной зоне в зависимости от теплофизических параметров. Дано теоретическое обоснование зависимости концентрации примеси в зоне лишь от доли твердой фазы, зависящей от пространственной координаты. На основе точных решений построена новая фронтальная модель, в которой реальная двухфазная зона заменена на поверхность разрыва между твердой и жидкой фазами. Определены скачки теплофизических величин при переходе через двухфазную зону. Обнаружено самоподобное поведение концентрации примеси и доли твердой фазы в двухфазной зоне при изменении градиентов температуры.

- В работе предложена аналитическая модель процессов кристаллизации в присутствии двухфазной зоны, основывающаяся на пространственно-временных степенных закономерностях распределения примеси и доли твердой фазы в зоне с неизменным показателем степени. Эта модель позволила впервые объяснить самоподобие пространственно временных распределений концентрации примеси, наблюдающееся в экспериментах. Показано, что концентрация примеси и доля твердой фазы определяются лишь своими значениями на границах зоны с неизменным скейлипговым показателем. Справедливость данной модели подтверждена рассмотрением квазистационарной, автомодельной и начальной нестационарной стадий процесса кристаллизации.

- На основе полученных в диссертации точных аналитических решений, впервые проведен линейный анализ динамической неустойчивости для направленной квазистационарной кристаллизации с двухфазной зоной, учитывающий возмущения протяженности зоны. Линейный анализ показал наличие режимов устойчивого и неустойчивого затвердевания при варьировании теплофизических параметров системы. Определена кривая нейтральной устойчивости процесса. Нелинейный анализ устойчивости колебательного типа позволил определить амплитуды колебаний фундаментальной и вторичных гармоник возмущений скорости кристаллизации и концентрации примеси, частоту колебаний, параметр надкри-тичности и средний период слоистого распределения примеси в твердой фазе. Показано, что амплитуды колебаний при кристаллизации с двухфазной зоной и при кристаллизации с плоским фронтом могут существенно отличаться друг от друга при одинаковом возмущении.

Результаты проведенных исследований в совокупности позволяют сформулировать новое научное направление теплофизики и теоретической теплотехники - теория зарождения и динамики квазиравновесной двухфазной зоны в процессах направленного затвердевания расплавов.

Достоверность полученных результатов обеспечивается следующими положениями:

- обоснованностью физических представлений и моделей сплошных сред теории кристаллизации в больших объемах, используемых для исследований процессов тепло- и массопереноса;

- соответствием полученных выводов экспериментальным данным или результатам численных расчетов;

- математической строгостью методов решения и согласованностью результатов, полученных различными способами.

Практическое значение. Полученные в диссертации результаты о влиянии теплофизических параметров на режимы направленного затвердевания являются полезными для получения материалов с заданными свойствами и важными для прогнозирования характеристик кристаллов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на представительных научных конференциях:

Международная конференция по течению, трению и усталости (Бейрут, Ливан, 1998), IV-й Минский международный форум по тепло и мас-сообмену (Минск, 2000), Вторая европейская конференция по передовым материалам и технологиям (Бухарест, Румыния, 2001), Х-ая Российская конференция "Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов" (Екатеринбург, 2001), Всероссийская научно-техническая конференция "Перспективные материалы, технологии, конструкции, экономика" (Красноярск, 2002), "Термодинамика сплавов" , TOFA-2002 (Рим, Италия, 2002), Международная конференция "Проблемы свободных границ" (Треито, Италия, 2002), 12-я общая конференция Европейского Физического Общества "Тенденции в физике" , EPS-12 (Будапешт, Венгрия, 2002), Международная конференция "Математическое моделирование и исследование металлических технологий" (Ариэль, Израиль, 2002), Российская межотраслевая конференция "Тепломассоперенос и свойства жидких металлов" (Обнинск, 2002), Международный симпозиум по метастабильным, механически сплавленным и нанокристалли-ческим материалам (Игуассу Фоллс, Бразилия, 2003), Румынская конференция по передовым материалам (Константа, Румыния, 2003), 2-ая Международная конференция "Физика жидкого вещества. Современные проблемы" (Киев, Украина, 2003), а также на семинарах в Институте Металлургии УрО РАН, Институте теплофизики УрО РАН и на кафедре математической физики УрГУ.

Основные результаты и выводы работы заключаются в следующем:

• Развиты приближенные аналитические способы описания процессов зарождения двухфазной зоны концентрационного переохлаждения от плоского фронта кристаллизации при активном режиме охлаждения. Первый из этих подходов основывается на линейном законе скорости движения фронта кристаллизации от времени, который является следствием данного режима и вытекает из оценки времен релаксации температурного и диффузионного полей. Второй подход основан на максимуме концентрационного распределения, который, как показывают расчеты и экспериментальные данные, образуется в момент зарождения зоны концентрационного переохлаждения. Третий подход, справедливый при малых отклонениях скорости от линейной зависимости, основывается на приближенном использовании интегрального преобразования Лапласа. Все три метода находятся в хорошем соответствии и подтверждаются численными расчетами.

• Определено влияние теплофизических параметров системы на время зарождения двухфазной зоны концентрационного переохлаждения, скорость кристаллизации для активного и естественного режимов охлаждения. Определены рамки применимости классической термодиффузи-ошюй модели Стефана для описания процессов кристаллизации с плоским фронтом.

• Разработана теория морфологической неустойчивости процессов направленной кристаллизации с плоским фронтом, протекающих в автомодельных условиях. Теория неустойчивости показала, что плоский автомодельный фронт является морфологически устойчивым для любых физически возможных сплавов. Обнаружено, что понижение температуры фазового перехода за счет вытеснения примеси фронтом кристаллизации не приводит к нарушению его морфологии. На основе данных работ [123,124] показано, что двухфазная зона в процессах автомодельной кристаллизации может появляться в области абсолютной устойчивости фронта затвердевания при выполнении условия концентрационного переохлаждения. Установлены рамки применимости классической термо-диффузиоппой модели Стефана с плоским фронтом для описания автомодельной кристаллизации. Определено, что единственной физической причиной, приводящей к появлению двухфазной зоны па автомодельной стадии процесса кристаллизации является концентрационное переохлаждение.

• Впервые построено точное аналитическое решение нелинейной модели кристаллизации с квазиравиовесной двухфазной зоной. Полученное точное решение проблемы имеет предельные переходы к ранее известным приближенным решениям и согласуется с экспериментальными данными. Найденные решения справедливы для всевозможных значений физических параметров, характеризующих процесс кристаллизации. Показано, что концентрация примеси в двухфазной зоне зависит только от доли твердой фазы, а ее зависимость от пространственной координаты выражается сложной функцией - найденной в работе зависимостью доли твердой фазы в двухфазной зоне от пространственной координаты. Впервые точно определена скорость процесса кристаллизации при наличии двухфазной зоны, а также ее протяженность и соотношение для нахождения доли твердой фазы на границе твердая фаза - двухфазная зона. Сформулирована новая фронтальная модель направленного затвердсваиия, учитывающая свойства двухфазной зоны. Обнаружено, что протяженность двухфазной зоны, доля твердой фазы и концентрация примеси в двухфазной зоне претерпевают самоподобное изменение при изменении параметров, управляющих процессом кристаллизации.

• Обнаружено, что концентрация примеси и доля твердой фазы в двухфазной зоне подчиняются прострапствспио-времсппым сксйлинго-вым зависимостям. Показано, что скейлинговые зависимости претерпевают параллельный перенос при изменении операционных параметров и определяются одним и тем же значением показателя степени. Обоснованная скейлинговая природа двухфазной зоны позволяет определять профили концентрации примеси и доли твердой фазы исходя только из их значений па границах зоны. Проведенные исследования демонстрируют хорошее совпадение сксйлинговых законов с экспериментальными данными. Теоретическое описание процессов кристаллизации, проведенное для нестационарных (начальная и автомодельная стадии процесса) и квазистационарных условий, позволяет сформулировать утверждение о подчинении структуры зоны двухфазного состояния вещества универсальным сксйлинговым закономерностям.

• На основе аналитической теории линейной динамической неустойчивости квазиравновесной двухфазной зоны определена кривая нейтральной устойчивости, показана возможность существования зоны устойчивости, а также зон колебательной и монотонной неустойчивости. Показано, что колебательный характер скорости кристаллизации приводит к осцилляциям концентрации и температуры. Теоретически продемонстрировано, что кривая нейтральной устойчивости отделяет зону устойчивости от зоны колебательной неустойчивости, которая, при определенных условиях, может смениться зоной монотонной неустойчивости. Показано отличие характера колебательной неустойчивости фронтальной кристаллизации и кристаллизации с двухфазной зоной.

• Впервые построена нелинейная теория колебательной неустойчивости кристаллизации с двухфазной зоной на основе точных аналитических решений уравнений тепломассоперепоса в этой области. Определены нелинейные уравнения для частоты возмущений, параметра надкритичности, а также амплитуд фундаментальной и вторичных гармоник. Решение этих уравнений позволило определить распределение примеси в твердой фазе, скорость кристаллизации и период слоистого распределения примеси в твердой фазе при реализации режима колебательной неустойчивости. Определена область применимости нелинейного анализа устойчивости.

Представляется важным подчеркнуть, что научные материалы, изложенные в диссертации, представляют собой единую теорию исследования процессов направленной кристаллизации, протекающих в присутствии зоны концентрационного переохлаждения или в иных условиях, приводящих к возможному появлению такой зоны. Проблема описания процессов эволюции двухфазной зоны конечно же не является закрытой. Существует большое количество важных задач прикладного плана, успешное разрешение которых в будущем несомненно приведет как к развитию теории, так и к получению ряда практических рекомендаций. В связи с этим важно отметить, что рассматриваемая в настоящей работе теория может рассматриваться в качестве основы решения задач такого плана.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Научные материалы, изложенные в диссертации, представляют собой единую теорию исследования процессов направленной кристаллизации, протекающих в присутствии зоны двухфазного состояния вещества или в иных условиях, приводящих к возможному появлению такой зоны.

1. Лодиз Р., Паркер Р. Рост моиокристаллов.- М.: Мир, 1974.-544 с.

2. Чалмерс Б. Теория затвердевания.- М.: Металлургия, 1968.288 с.

3. Флеминге М.К. Процессы затвердевания.- М.: Мир, 1977.- 423 с.

4. Buyevich Yu.A., Alexandrov D.V., Mansurov V.V. Macrokinetics of crystallization.- New York: Begell House, Inc., 2001.

5. Вайнгард У. Введение в физику кристаллизации металлов.- М.: Мир, 1967.- 159 с.

6. Авдонин Н.А. Математическое описание процессов кристаллизации.- Рига: Зииатне, 1980.- 180 с.

7. Кояло М.В. Исследование возможности переохлаждения расплава в двумерном случае // Вопросы теории кристаллизации.- Рига, 1974, вып. 1.- С. 78-84.

8. Иванцов Г.П. Диффузионное переохлаждение при кристаллизации бинарного сплава // ДАН СССР, 1951.- Т. 81, N 2.- С. 179-182.

9. Борисов В.Т. Теория двухфазной зоны металлического слитка.-М.: Металлургия, 1987.- 224 с.

10. Сулимцев И.И., Матвеев Ю.Е., Борисов В.Т., Голиков И.Н. Экспериментальное определение диффузионного переохлаждения в двухфазной зоне бинарного сплава // Проблемы стального слитка.- М.: Металлургия, 1976.- Т. 6.- С. 76-82.

11. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел.- М.: Высшая Школа, 1985.- 480 с.

12. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1983.- 352 с.

13. Найфэ А.Х. Методы возмущений.- М.: Мир, 197G.

14. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа.- М.: Наука, 1965.- 288 с.

15. Чернов А.А., Гиваргизов Е.И., Багдасаров Х.С. Современная кристаллография. Т. 3. Образование кристаллов,- М.: Наука, 1980.- 370 с.

16. Русанов А.И. Термодинамика поверхностных явлений.- Л.: ЛГУ, I960.- 180 с.

17. Искакова Л.Ю., Мансуров В.В. К теории формирования ячеистых структур при направленном затвердевании бинарных расплавов. I. Неустойчивость плоской поверхности раздела фаз. Деп. в ВИНИТИ 18.03.88 г. № 2124-В88 Деп. 20 с.

18. Искакова Л.Ю., Мансуров В.В. К теории формирования ячеистых структур при направленном затвердевании бинарных расплавов. II. Слабонелипейныс волновые структуры фронта кристаллизации. Деп. в ВИНИТИ 18.03.88 г. № 2125-В88 Деп. 18 с.

19. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей.- М.: МГУ, 1987.- 164 с.

20. Samarskii A.A., Vabishchevich P.N. Computational heat transfer.-Chichester: Wiley, 1995.

21. Mullins W.W., Sekerka R.F. Stability of a planar interface during solidification of a dilute binary alloy // J. Appl. Phys., 1964. Vol. 35, N 2.- P. 444-451.

22. Tiller W.A., Rutter J.M. The effect of growth conditions upon the solidification of a binary alloy // Can. J. Pliys., 195G.- Vol. 341. P. 96-121.

23. Rutter J.M. Chalmers B. A prismatic substructure formed during solidification of metals // Can. J. Phys., 1953.- Vol. 31.- P. 15-39.

24. Ландау Л.Д. К теории медленного горения // ЖЭТФ, 1944.Т. 14.- С. 240-249.

25. Воронков В.В. Условия образования ячеистой структуры фронта кристаллизации // ФТТ, 1964.- Т. 6, вып. 10.- С. 2984-2988.

26. Буевич Ю.А. Неустойчивость автомодельного фронта фазового перехода // ИФЖ, 1981.- Т. 40, N 5.- С. 818-927.

27. Мансуров В.В. Проблемы затвердевания бинарных расплавов // Дисс. на соиск. уч. степ. докт. физ.-мат. наук, 1992.- 271 с.

28. Искакова Л.Ю. Предельные режимы направленного затвердевания бинарных расплавов // Дисс. па соиск. уч. степ. капд. физ.-мат. наук, 1991.- 159 с.

29. Буевич Ю.А., Искакова Л.Ю., Мансуров В.В. Нелинейная устойчивость и формирование структур при направленном затвердевании бинарного расплава. Часть I // Расплавы, 1989, N 6.- С. 44-50.

30. Буевич Ю.А., Искакова Л.Ю., Мансуров В.В. Нелинейная устойчивость и формирование структур при направленном затвердевании бинарного расплава. Часть II // Расплавы, 1990, N 2.-С. G5-73.

31. Sekerka R.F. A procedure for explicit evaluation of the Mullins-Seker-ka interface stability criterion //J. Appl. Phys., 1965.- Vol. 36, N 1,-P. 264-268.

32. Sekerka R.F. Morphological stability, J. Crystal Growth, 1968, Vol. 3-4.- P. 71-81.

33. Delves R.T. The theory of the stability of the solid-liquid interface under constitutional supercooling // Phys. Stat. Sol., 1966 Vol. 17.-P. 119-130.

34. Delves R.T. The theory of stability during temperature gradient zone melt //Phys. Stat. Sol., 1967.- Vol. 20.- P. 693-704.

35. Бычков Ю.А., Иорданский С.В. Неустойчивость границы раздела фаз в процессе фазового превращения // ПМТФ, 1980, N 5.1. С. 45-51.

36. Бадратинова Л.Г. Об устойчивости плоского фронта кристаллизации, движущегося с постоянной скоростью // ПМТФ, 1983,1. N 3.- С. 113-120.

37. WoIIhover S., Scheiwe M.W., Hartmann V., Korber С. On morphological stability of planar phase boundaries during unidirectional transient solidification of binary aqueous solutions // Int. J. Heat Mass Transfer, 1985.- Vol. 28, N 5,- P. 897-902.

38. Delves R.T. Theory of the stability of a solid-liquid interface during growth from a stirred melt //J. Crystal Growth, 1971.- Vol. 8.1. P. 13-25.

39. Coriell S.R., Cordes M.R., Convection and interfacial instabilities during unidirectional solidification of a binary alloy, J. Crystal Growth, 1980.- Vol. 49.- P. 115-119.

40. Coriell S.R., Sekerka R.F. Effects of convective flow on morphological stability // Physicochem. Hydrodyn., 1981.- Vol. 2.- P. 281-293.

41. Hurle D.T.J., Jakeman E., Wheeler A.A. Effects of solutal convcction on the morphological stability of a binary alloy //J. Crystal Growth, 1982.- Vol. 58.- P. 163-179.

42. Young G.W., Davis S.H. Directional solidification with buoyancy in systems with small segregation coefficient // Phys. Rev. B, 1986.- Vol. 34.- P. 3388-3396.

43. Novick-Cohen A., Sivashinsky G.I. On the solidification front of a dilute binary alloy: thermal diffusivity effects and breathing solutions // Phys. D, 1986.- Vol. 20.- P. 237-258.

44. Wheeler A.A. The effect of a periodic growth rate on the morphological stability of a freezing binary alloy //J. Crystal Growth, 1984.-Vol. 67.- P. 8-26.

45. Tarshish L.A., Tiller W.A. The effect of interface-attachment kinetics on the morphological stability of a planar interface during solidification // Proc Intern Conf. Crystal Growth, Boston, 1966.- P. 709-719 (Pergamon Press, 1967).

46. Cserti J., Tichy G. Stability of anisotropic liquid-solid interfaces // Acta Metallurgica, 1968.- Vol. 34, N 6.- P. 1029-1034.

47. Trivcdi R., Mason J.T.//The effects of interface attachment kinetics on solidification interface morphologies Metall. Trans. A., 1991.- Vol. 22A.- P. 235-249.

48. Laxmanan V. Morphological transitions in the rapid solidification regime: a re-examination of the fundamental validity of the absolute stability concept of Mullins and Sekerka // Acta Mctallurgica, 1989.-Vol. 37, N 4.- P. 1109-1119.

49. Merchant G.J., Davis S.H. Morphological instability in rapid directional solidification // Acta Mctall. Mater., 1990.- Vol. 38, N 12.-P. 2G83-2693.

50. Александров Д.В., Мансуров В.В., Галенко П.К. Морфологическая устойчивость плоской границы «раздела фаз бинарного расплава в процессах высокоскоростной кристаллизации // Доклады АН, 1996.- Т. 351, N 1.- С. 37-39.

51. Alexandrov D.V., Mansurov V.V., Galcnko Р.К. Dynamic instability of rapid solidification fronts // Proc. of the inst. of math, conf.: "Math, of Heat Trans.", 1998,- P. 53-61.

52. Durand I., Kassner K., Misbah C., Muller-Krumbhaar H. Strong coupling between diffusive and elastic instabilities in directional solidification // Phys. Rev. Lett., 1996.- Vol. 76, N 16.- P. 3013-3016.

53. Cantat I., Kassner K., Misbah C., Muller-Krumbhaar H. Directional solidification under stress // Phys. Rev. E, 1998.- Vol. 58, N 5.1. P. 6027-6040.

54. Буравцев B.H., Маломед Б.А. О неустойчивости плоского фронта кристаллизации слабого раствора // ЖЭТФ, 1983.- Т. 85, вып.' 5.-С. 1743-1747.

55. Langer J.S., Muller-Krumbhaar Н. Theory of dendritic growth // Acta Mctallurgica, 1978.- Vol. 26, N 1.- P. 1681-1708.

56. Langer J.S. Instabilities and pattern formation in crystal growth //

57. Rev. Mod. Phys., 1980.- Vol. 52.- P. 1-28.

58. Wollkind D.J., Segel L.A. A nonlinear stability analysis of the freezing of a dilute binary alloy // Pliilos. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A., 1970.- Vol. 268.- P. 351-380.

59. Филимонов В.А. Нелинейный анализ морфологической устойчивости поверхности раздела фаз затвердевающего бинарного расплава/ /В кн. Кристаллизация и процессы в кристаллизаторах.-Новосибирск, 1979.- С. 36-47.

60. Wollkind D.J. Notestine R.D. A nonlinear stability analysis of the solidification of a pure substance // IMA J. Appl. Math., 1981.-Vol. 27.- P. 85-104.

61. Alexander J.I.D., Wollkind D.J., Sekerka R.F. The effect of latent heat on weakly non-linear morphological stability //J. Crystal Growth, 1986.- Vol. 79.- P. 849-865.

62. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Гидродинамика.- M.: Наука, 1986.736 с.

63. Мирошниченко И.С. Закалка из жидкого состояния.- М.: Металлургия, 1982.- 168 с.

64. Galenko P., Sobolev S. Local nonequilibrium effect on undercooling in rapid solidification of alloys // Phys. Rev. E., 1996.- Vol. 54, N 6.-P. 54-63.

65. Галснко П.К. Эффект диффузионной релаксации при высокоскоростной кристаллизации бинарного сплава // Кристаллография, 1993.- Т. 38.- Вып. 6- С. 238-243.

66. Galenko Р.К., Danilov D.A. Local nonequilibrium effect on rapid dendritic growth in a binary alloy melt // Phys. Lett. A, 1997.- Vol. 235.-P. 271-280.

67. Galenko P. Local-nonequilibrium phase transition model with relaxation of the diffusion flux // Phys. Lett. A, 1994.- Vol. 190.-P. 292-294.

68. Галепко П.К. К феноменологической теории локалыю-перавно-вссной кристаллизации сплавов // Доклады АН, 1994.- Т. 334, N 6,- С. 707-709.

69. Sobolev S.L. Local-nonequilibrium model for rapid solidification of undercooled melts // Phys. Lett. A, 1995.- Vol. 199.- P. 383-386.

70. Соболев С.JI. Процессы переноса и бегущие волны в локальпо-неравиовесных системах // УФН, 1991.- Т. 161, N 3.- С. 5-29.

71. Jou D., Camaco J., Grmela M. On the nonequilibrium thermodynamics of non-Fickian diffusion // Macromolecules, 1991.- Vol. 24.1. P. 3597-3602.

72. Kurz W., Fisher D.J. Fundamentals of solidification. 3rd ed.- Aeder-mannsdorf: Trans. Tech., 1992.

73. Galenko P.K., Zhuravlev V.A. Physics of dendrites.- Singapore: World Scientific, 1994.

74. Galenko P.K., Danilov D.A. Model for free dendritic alloy growth under interfacial and bulk phase nonequilibrium conditions //

75. J. Crystal Growth, 1999.- Vol. 197.- P. 992-1002.

76. Galenko P.K., Krivilov M.D. Crystal pattern formation under local nonequilibrium solidification // Fractal frontiers. Proc. of the fourth multidiscip. conf. on fractals.- 1997.- Denver, Colorado, USA, April 7-11.- P. 411-419.

77. Braun R.J., Davis S.H. Oscillatory instabilities in rapid directional solidification: bifurcation theory //J. Crystal Growth, 1991.- Vol. 112.- P. 670-690.

78. Karma A., Sarkissian A. Interface dynamics and banding in rapid solidification // Phys. Rev. E, 1993.- Vol. 47, N 1.- P. 513-533.

79. Boettinger W.J., Shechtman D., Schaefer R.J., Biancaniello F.S. The effect of rapid solidification velocity on the microstructure of Ag — Cu alloys // Metall. Trans. A, 1984.- Vol. 15A.- P. 55-66.

80. Zimmermann M., Carrard M., Kurz W. Rapid solidification of

81. Al — Си eutectic alloy by laser remelting // Acta Metall., 1989.- Vol. 37, N 12.- P. 3305-3313.

82. Stewart M.T. Thomas R., Wauchope K. Winegard W.C., Chalmers B. New segregation phenomena in metals // Phys. Rev, 1951.-Vol. 83, N 3.- P. 657-658.

83. Ландау А.И. К вопросу о волнообразном характере распределения примеси вдоль длины растущего монокристалла // ФММ., 1958.- Т. 6.- Вып. 1.- С. 148-155.

84. Coriell S.R., McFadden G.B., Sekerka R.F. Selection mechanisms for multiple similarity solutions for solidification and melting //

85. J. Crystal Growth, 1999.- Vol. 200.- P. 276-286.

86. Оно А. Затвердевание металлов.- М.: Металлургия, 1980 152 с.

87. Борисов В.Т., Матвеев Ю.Е. Определение температур в начале двухфазной зоны бинарных сплавов // ФММ, 19G2.- Т. 13, N 3.-С. 456-470.

88. Webt B.W., Viskanta R. An experimental and analytical study of solidification of a binary mixture // Heat Transfer, 1986 Proc. 8th int. conf.- San Francisco, Calif.- Vol. 4.- General papers.- Wash. e. a.-17-22 August.

89. Борисов B.T. Кристаллизация бинарного сплава при сохранении устойчивости // ДАН СССР, 1961.- Т. 136, N 3.- С. 516-519.

90. Борисов В.Т., Виноградов В.В., Духин А.И. и др. О применимости теории квазиравновесной двухфазной зоны к описанию кристаллизации слитка // Изв. АН СССР, Металлы, 1971, N 6.1. С. 104-109.

91. Борисов В.Т., Виноградов В.В., Тяжслышкова И.Л. Квазиравпо-весная теория двухфазной зоны и ее применение к затвердеванию сплавов // Изв. Вузов, Черная металлургия.- 1977, N 5.1. С. 127-134.

92. Levine R. The freezing of finite domain aqueous solutions: solute redistribution // Int. J. Heat and Mass Transfer, 1981.- Vol. 24.1. P. 1443-1445.

93. Boley B.A. Time dependent solidification of binary mixtures // Int. J. Heat and Mass Transfer, 1978.- Vol. 21.- P. 821-824.

94. Clyne T.W. Numerical modeling of directional solidification of metallic alloys // Metal Sci., 1982.- Vol. 16.- P. 441-450.

95. Grange B.W., Viskanta R., Stevenson W.H. Diffusion of heat and solute during freezing of salt solutions // Int. J. Heat and Mass Transfer, 1976.- Vol. 19.- P. 373-384.

96. Kessler D.A. Koplic J., Levine H. Pattern selection in fingered growth phenomena // Advances in physics, 1988.- Vol. 37, N 3.- P. 255-339.

97. Kessler D.A. Koplic J., Levine H. Boundary layer model of pattern formation in solidification // Phys. Rev. A, 1984.- Vol. 29, N 1,1. P. 330-340.

98. Brower R.C., Kessler D.A. Koplic J., Levine H. Geometrical approach to moving interface dynamics // Phys. Rev. Lett., 1983.- Vol. 51.-P. 1111-1114.

99. Buyevich Yu.A., Iskakova L.Yu., Mansurov V.V. The nonlinear dynamics of solidification of a binary melt with a quasi-equilibrium mushy region // Can. J. Phys., 1990.- Vol. 68.- P. 790-793.

100. Буевич Ю.А., Мансуров В.В. К расчету процессов направленного затвердевания с равновесной двухфазной зоной // Теплоф. Высок. Темпер., 1991.- Т. 29, N 2.- С. 286-293.

101. Искакова Л.Ю., Мансуров В.В. К теории квазиравновеспой двухфазной зоны металлического слитка // Расплавы, 1994, N 1.1. С. 82-87.

102. Александров Д.В., Мансуров В.В. Динамическая неустойчивость квазистациопарпого процесса затвердевания бинарного расплава при наличии узкой квазиравновесной двухфазной зоны // Кристаллография, 1996.- Т. 41, N 2.- С. 376-378.

103. Александров Д.В., Мансуров В.В. Динамическая устойчивость квазистациопарпого процесса затвердевания бинарного расплавапри наличии широкой квазиравновесной двухфазной зоны // Кристаллография, 1997.- Т. 42, N 3.- С. 402-404.

104. Alexandrov D.V., Mansurov V.V. Dynamic stability of a solidification process of a binary melt in the presence of a broad quasiequilib-rium mushy region // Scripta Mater., 1996.- Vol. 35, N 7.- P. 787-790.

105. Александров Д.В. Влияние квазиравновесной двухфазной зоны на затвердевание бинарных расплавов // Дисс. на соиск. уч. степ, канд. физ.-мат. наук, 1997.- 123 с.

106. Alexandrov D.V., Ivanov А.О. Dynamic stability analysis of the solidification of binary melts in the presence of a mushy region: changeover of instability // J. Crystal Growth, 2000.- Vol. 210.- P. 797-810.

107. Eiitob B.M., Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Об образовании двухфазной зоны при кристаллизации смеси в пористых средах // ДАН СССР, 1986.- Т. 288, N 3.- С. 621-624.

108. Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Образование двухфазной зоны при взаимодействии влажных пород с охлажденным раствором соли // ИФЖ, 1988.- Т. 55, N 3.- С. 435-441.

109. Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Образование двухфазной зоны при взаимодействии талых и мерзлых пород с раствором соли.- М.: Препринт ИПМ АН СССР, 1987, N 305.- 60 с.

110. Eiitob В.М., Максимов A.M. К задаче о замерзании раствора соли // ИФЖ, 1986.- Т. 51, N 5.- С. 817-821.

111. Eiitob В.М., Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Образование двухфазной зоны при промерзании пористой среды.- М.: Препринт ИПМ АН СССР, 1986, N 269.- 56 с.

112. Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Математическая модель промерза-иия водонасыщеиной пористой среды // ЖВМ и МФ, 1986.Т. 26.- N 11.- С. 1743-1747.

113. Цытович Н.А. Механика мерзлых грунтов.- М.: Высшая школа, 1973,- 448 с.

114. Mansurov V.V. The nonlinear dynamics of solidification of a binary melt with a nonequilibrium mushy region j j Mathl Comput. Modelling, 1990.- Vol. 14.- P. 819-821.

115. Maples A.L., Poirier D.R. Convection in the two-phase zone of solidifying alloys // Metal. Trans. В., 1984.- Vol. 15B.- P. 163-172.

116. Alexandrov D.V., Churbanov A.G., Vabishchevich P.N. Emergence of a mushy region in processes of binary melt solidification // Int. J. Fluid Mech. Res., 1999.- Vol. 26, N 2,- P. 248-264.

117. Диткип В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению.- М.: Высшая школа, 1965.- 467 с.

118. Корн Г., Кори Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.- М.: Наука, 1968.- 720 с.

119. Александров Д.В., Комаровский М.Е. Образование двухфазной зоны при охлаждении изложницы // Сб. науч. тр. "Перспективные материалы, технологии, конструкции, экономика", Под общ. ред. Стацуры В.В. Вып. 8.- Красноярск: ГАЦМиЗ, 2002.1. С. 160-162.

120. Лурье А.И. Операционное исчисление и его приложения к задачам механики.- Л.-М.: Гостехиздат, 1938.

121. Самарский А.А. Теория разностных схем.- М.: Наука, 1989.

122. Huppert Н.Е., Worster M.G. Dynamic solidification of a binary melt // Nature, 1985.- Vol. 314.- P. 703-707.

123. Worster M.G. Solidification of an alloy from a cooled boundary // J. Fluid Mech., 1986.- Vol. 167.- P. 481-501.

124. Feltham D.L., Worster M.G. Similarity solutions describing the melting of a mushy layer // J. Crystal Growth, 2000.- Vol. 208.1. P. 746-756.

125. Coriell S.R., McFadden G.B., Sekerka R.F., Boettinger W.J. Multiple similarity solutions for solidification and melting //J. Crystal Growth, 1998.- Vol. 191.- P. 573-585.

126. Hills R.N., Loper D.E., Roberts P.H. A thermodynamically consistentmodel of a mushy zone // Q. J1 Mech. appl. Math., 1983.- Vol. 36, Pt. 4.- P. 505-539.

127. Fowler A.C. The formation of freckles in binary alloys // IMA Journal of Applied Mathematics, 1985.- Vol. 35.- P. 159-174.

128. Elliot C.M., Ockendom J.R. Weak and variational methods for moving boundary problems.- London: Pitman Advanced Publishing Program, 1982.

129. Буевич 10.А., Искакова Л.Ю., Мансуров В.В. К теории затвердевания бинарных расплавов с равновесной двухфазной зоной // ЖПМТФ, 1990, N 4,- С. 46-53.

130. Кристенсен Р. Введение в механику композитов.- М.: Металлургия, 1974,- 216 с.

131. Trivedi R. Interdendritic spacing //Met. Trans. A, 1984.- Vol. 15A, N 6,- P. 974-982.

132. Czapelski M. Variable equilibrium partition coefficient //J. Crystal Growth, 1998.- Vol. 187.- P. 138-139.

133. Engel A.H.H., Incropera F.P. Solidification of a binary mixture in a square cavity with a free surface // Warme und Stoffubertragung, 1989.- Vol. 24.- P. 279-288.

134. Van Vaerenbergh S., Coriell S.R., McFadden G.B., Murray B.T., Legros J.C. Modification of morphological stability by Soret diffusion // J. Crystal Growth, 1995.- Vol. 147.- P. 207-214.

135. Van Vaerenbergh S., Coriell S.R., McFadden G.B. Morphological stability of a binary alloy: thermodiffusion and temperature-dependent diffusivity //J. Crystal Growth, 2001.- Vol. 223.- P. 565-572.

136. Fornaro О., Palacio H.A. Planar to cellular transition during directional solidification of Al-0.5 wt. %Cu // Scripta Mater., 1997,- Vol. 36, N 4.- P. 439-445.

137. Федер E. Фракталы.- M.: Мир, 1991. 254 с.

138. Mandelbrot В.В. Fractal geometry of nature.- W.H. Freeman: New York. 1982.

139. Смирнов Б.М. Физика фрактальных кластеров.- М.: Наука, 1991.

140. Vicsek Т. Fractal growth phenomena.- Singapore: World Scientific, 1989.

141. Galenko P.K., Krivilyov M.D., Buzilov S.V. Bifurcations in a side branch surface of a free-growing dendrite // Phys. Rev. E, 1997.- Vol. 55.- P. 611-619.

142. Cardirli E., Marasli N., Bayender В., Gunduz M. Investigation of the structure parameters according to the solidification parameters for pivalic acid // J. Mater. Sci., 1999.- Vol. 34.- P. 5533-5541.

143. Cardirli E., Gunduz M. The directional solidification of Pb — Sn alloys // J. Mater. Sci., 2000.- Vol. 35.- P. 3837-3848.

144. Pines V., Chait A., Zlatkowski M., Beckermann C. Equiaxed dendritic solidification in supercooled melts //J. Crystal Growth, 1999.- Vol. 197.- P. 355-363.

145. Ван-Дайк M. Альбом течений жидкости и газа.-М.: Мир, 1986.184 с.

146. Falconer K.J. The geometry of fractal sets.- Cambridge: Cambridge University Press, 1985.

147. Stanley H.E. Introduction to phase transitions and critical phenomena.- Oxford: Oxford University Press, 1971.

148. Alexandrov D.V., Ivanov A.O., Komarovski M.E. An influence of a fractal-like mushy-region on solidification process // Int. J. Fluid Mech. Res., 1999.- Vol. 26, N 2.- P. 224-231.

149. Ihle T, Muller-Krumbhaar H. Diffusion-limited fractal growth morphology in thermodynamical two-phase systems // Phys. Rev. Lett.,1993.- Vol. 70, N 20.- P. 3083-3086.

150. Ihle Т., Muller-Krumbhaar H. Fractal and compact growth morphologies in phase transitions with diffusion transport // Phys. Rev. E,1994.- Vol. 49, N 4.-P. 2972-2991.

151. Brener E., Muller-Krumbhaar H., Temkin D. Structure formation and the morphology diagram of possible structures in two-dimensional diffusional growth // Phys. Rev. E, 1996.- Vol. 54, N 3.- P. 2714-2722.

152. Alexandrov D.V. Self-similar solidification: morphological stability of the regime // Int. J. Heat and Mass Transfer, 2004.- Vol. 47.1. P. 1383-1389.

153. Alexandrov D.V. Fundamentals of self-similar solidification processes // Proc. Second Conf. on Advanced Materials and Technologies, Euro-TECHMAT, 9-13 Sept. 2001, Bucharest, Romania.

154. Voller V.R. A similarity solution for the solidification of a multicom-ponent alloy // Int. J. Heat Mass Transfer, 1997.- Vol. 40, N 12.1. P. 2869-2877.

155. Krane M.J.M., Incropera F.P. A scaling analysis of the unidirectional solidification of a binary alloy // Int. J. Heat Mass Transfer, 1996.-Vol. 39, N 17.- P. 3567-3579.

156. Alexandrov D.V., Bulitcheva S.V., Komarovski M.E., Malygin A.P. Fractal-like structures in the self-similar crystallization with a two-phase zone //J. Optoelectron. Adv. Mater., 2003.- Vol. 5, N 3.1. P. 595-600.

157. Nagashima K., Furukawa Y. Time development of a solute diffusion field and morphological instability on a planar interface in the directional growth of ice crystals //J. Crystal Growth, 2000.- Vol. 209.-P. 167-174.

158. Nagashima K., Furukawa Y. Interferometric observation of the effects of gravity on the horizontal growth of ice crystals in a thin growth cell // Physica D, 2000.- Vol. 147.- P. 177-186.

159. Batchelor G.K. Transport properties of two-phase materials with random structure // Ann. Rev. Fluid Mech., 1974.- Vol. 6.- P. 227-255.

160. Kerr R.C., Woods A.W., Worster M.G., Huppert H.E. Disequilibrium and macrosegregation during solidification of a binary melt // Nature, 1989.- Vol. 340.- P. 357-362.

161. Kerr R.C., Woods A.W., Worster M.G., Huppert H.E. Solidification of an alloy cooled from above. Part 1. Equilibrium growth //J. Fluid Mech., 1990.- Vol. 216.- P. 323-342.

162. Kerr R.C., Woods A.W., Worster M.G., Huppert H.E. Solidification of an alloy cooled from above. Part 2. Non-equilibrium interfacial kinetics // J. Fluid Mech., 1990.- Vol. 217.- P. 331-348.

163. Kerr R.C., Woods A.W., Worster M.G., Huppert H.E. Solidification of an alloy cooled from above. Part 3. Compositional stratification within the solid //J. Fluid Mech., 1990.- Vol. 218.- P. 337-354.

164. Lima M.S.F., Goldenstein H. Morphological instability of the austenite growth front in a laser remelted iron-carbon-silicon alloy // J. Crystal Growth, 2000.- Vol. 208.- P. 709-716.

165. Dash J.G., Fu H., Wettlaufer J.S. The premelting of ice and its environmental consequences // Rep. Prog. Phys., 1995.- Vol. 58.-P. 115-167.

166. Yasuda H., Notake N., Tokieda K., Ohnaka I. Periodic structure during unidirectional solidification for peritectic Cd — Sn alloys // J. Crystal Growth, 2000.- Vol. 210.- P. 637-645.

167. Trivedi R., Miyahara H., Mazumder P., Simsek E., Tewari S.N. Directional solidification microstructures in diffusive and convective regimes // J. Crystal Growth, 2001.- Vol. 222.- P. 365-379.

168. Setliian J.A., Strain J. Crystal growth and dendritic solidification // J. Сотр. Phys., 1992.- Vol. 98.- P. 231-253.

169. Rempel A.W., Worster M.G. The interaction between a particle and an advancing solidification front //J. Crystal Growth, 1999,- Vol. 205.- P. 427-440.

170. Hadji L., Davis A.M.J. The influence of insoluble spherical particles on the stability of a planar solidifying interface //J. Crystal Growth, 1998,- Vol. 191.- P. 889-896.

171. Hashio K., Tatsumi M., Kato H., Kinoshita K. Directional solidification of InxGa\-xAs //J. Crystal Growth, 2000.- Vol. 210.1. P. 471-477.

172. Ananth R., Gill W.N. Dendritic growth with thermal convection // J. Crystal Growth, 1988.- Vol. 91.- P. 587-598.

173. Singh N.B., Mani S.S., Adam J.D., Coriell S.R., Glicksman M.E.,

174. Duval W.M.B., Santoro G.J., DeWitt R. Direct observations of interface instabilities // J. Crystal Growth, 1996.- Vol. 166.- P. 364-3G9.

175. Haug P. Cellular solidification as a bifurcation problem // Phys. Rev. A., 1987.- Vol. 35, N 10.- P. 4364-4377.

176. Полежаев В.И. Гидродинамика, тепло- и массообмен при росте кристаллов.- В кн.: Итоги науки и техники ВИНИТИ, Сер. "Механика жидкости и газа".- М.: 1984, Т. 18.- С. 198-269.

177. Самойлович Ю.А. О возможности кристаллизации расплава в режиме автоколебаний // ТВТ, 1979.- Т. 17, N 5.- С. 992-996.

178. Гейликман М.Б., Темкип Д.Е. Колебательный режим кристаллизации расслаивающегося сплава // Письма в ЖЭТФ, 1982.Т. 36, N 7.- С. 238-241.

179. Мильвидский М.Г., Освенский В.Б. Получение совершенных монокристаллов.- В кн.: Проблемы современной кристаллографии. М.: Наука, 1975.- С. 79-109.

180. Буевич Ю.А., Мансуров В.В. Неустойчивость стационарного процесса затвердевания // ИФЖ, 1984.- Т. 47, N 6.- С. 919-929.

181. Буевич Ю.А., Мансуров В.В. Автоколебательный режим кристаллизации бинарного расплава // ИФЖ, 1985.- Т. 49, N 3. С. 444-453.

182. Бусвич Ю.А., Мансуров В.В. Колебательная динамическая неустойчивость направленной кристаллизации бинарного расплава // Доклады АН СССР, 1991.- Т. 319, N 4.- С. 862-865.

183. Буевич Ю.А., Мансуров В.В. Динамическая неустойчивость фронта направленного затвердевания бинарных расплавов // Расплавы, 1993, N 6.- С. 59-65.

184. Витт А., Гейтос X. Распределение примесей в монокристаллах. Ч. III.- В кн.: Проблемы роста кристаллов. М.: Мир, 1968.1. С. 262-276.

185. Parker R.L. Results of crystal growth in skylab and ASTR // Current Topics in Materials Science, Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1977, Vol. 2.- P. 852-886.

186. Хряпов В.Т., Татаринов В.А. и др. Выращивание объемных монокристаллов германия методом направленной кристаллизации в условиях невесомости //В кн.: Технологические эксперименты в невесомости.- Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983.- С. 59-71.

187. Alexandrov D.V. Solidification with a quasiequilibrium mushy region: exact analytical solution of nonlinear model //J. Crystal Growth, 2001.- Vol. 222.- P. 816-821.

188. Taylor G. I. Stability of a viscous liquid contained between two rotating cylinders // Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1923.- Vol. A 223.-P. 289-343.

189. Schubauer G.B., Skramstad H.K. Laminar boundary layer oscillations and transition on fiat plate // NACA Report 909, 1948.

190. Schubauer G.B., Klebanoff P.S. Investigation of separation of the turbulent boundary layer // NACA Report 1030, 1951.

191. Klebanoff P.S., Tidstrom K.D., Sargent L.M. The three-dimensional nature of boundary layer instability // J. Fluid Mech., 19G2.- Vol. 12, Pt. 1.- P. 1-34.

192. Sato H. The stability and transition of a two-dimensional jet // J. Fluid Mech., I960.- Vol. 1.- P. 53-80.

193. Coles D. Transition in circular Couette flow // J. Fluid Mech., 1965.-Vol. 21.- P. 385-425.

194. Rayleigh L. Scientific papers.- London: Cambridge University Press, 1920, Vol. 6.

195. Benard H. Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide trans-portant de la chaleur par convection en regime permanent // Ann. Chim. Phys., 1901.- Ser. 23.- P. 62-144.

196. Pearson J.R.A. On convection cell induced by surface tension // J. Fluid Mech., 1958.- Vol. 4.- P. 489-500.

197. Anderson D.M., Worster M.G. A new oscillatory instability in a mushy layer during the solidification of binary alloys // J. Fluid Mech., 1996.- Vol. 307.- P. 245-267.

198. Stuart J.T. On the non-linear mechanics of wave disturbances in stable and unstable parallel flows //J. Fluid Mech., I960.- Vol. 9.-P. 352-370.

199. Watson J. On the non-linear mechanics of wave disturbances in stable and un stable parallel flows. Part 2. The development of a solution for plane Poiseuille flow and for Couette flow //J. Fluid

200. Mech., I960,- Vol. 9.- P. 371-389.

201. Segel L.A., Stuart J.T. On the question of the preferred mode in cellular thermal convection //J. Fluid Mech., 1962.- Vol. 13.1. P. 289-305.

202. Busse F. Stability regions of cellular fluid flow // Proc. IUTAM Symp. Instability of Continuous Systems, Sept. 1969, Herrenalb.

203. Stuart J.T. Nonlinear stability theory // Ann. Rev. Fluid Mech., 1971.- Vol. 3, P. 347-370.

204. Malkus W.V.R., Veronis G. Finite amplitude cellular convection // J. Fluid Mech., 1958, Vol. 4, P. 225-260.

205. Palm E. On the tendency towards hexagonal cells in steady convection // J. Fluid Mech., I960.- Vol. 8.- P. 183-192.

206. Copley S.M., Giamei A.F., Johnson S.M., Hornbecker M.F. The origin of freckles in unidirectionally solidified castings // Metall. Trans., 1970.- Vol. 1.- P. 2193-2204.

207. Sample A.K., Hellawell A. The mechanisms of formation and prevention of channel segregation during alloy solidification // Metall. Trans., 1984,- Vol. 15A.- P. 2163-2173.

208. Sarazin J.R., Hellawell A. Channel formation in Pb — Sn, Pb — Sb and Pb — Sn — Sb alloy ingots and comparison with the system NH4Cl H20 // Metall. Trans, 1988.- Vol. 19A.- P. 1861-1871.

209. Chen C.F., Chen F. Experimental study of directional solidification of aqueous ammonium chloride solution // J. Fluid Mech., 1991.- Vol. 227.- P. 567-586.

210. Tait S., Jaupart C. Compositional convection in a reactive crystallinemush and melt differentiation //J. Geophys. Res., 1992.- Vol. 97 (B5).- P. 6735-6756.

211. Tait S., Jahrling K., Jaupart C. The planform of compositional convection and chimney formation in a mushy layer // Nature, 1992.-Vol. 359.- R 406-408.

212. Worster M.G. Instabilities of the liquid and mushy regions during solidification of alloys // J. Fluid Mech., 1992.- Vol. 237.- P. 649-669.

213. Emms P.W., Fowler A.C. Compositional convection in the solidification of binary alloys // J. Fluid Mech., 1994.- Vol. 262.- P. 111-139.

214. Chen F., Lu J.W., Yang T.L. Convective instability in ammonium chloride solution directionally solidified from below //J. Fluid Mech., 1994.- Vol. 276.- P. 163-187.

215. Amberg G., Homsy G.M. Nonlinear analysis of buoyant convection in binary solidification with application to channel formation //

216. J. Fluid Mech., 1993.- Vol. 252.- P. 79-98.

217. Anderson D., Worster M.G. Weakly-nonlinear analysis of convection in a mushy layer during the solidification of binary alloys //J. Fluid Mech., 1995.- Vol. 302.- P. 307-331.

218. Ravi V.K. Imperfections and impurities in semiconductor silicon.-New York: John Wiley and Sons, 1981.

219. Шашков Ю.М. Полупроводниковая металлургия.- M.: Металлургия, 1960.

220. Мавлонов Ш. Сегрегационные явления при кристаллизации полупроводников.- Душанбе: Дониш, 1979.- 414 с.

221. Перминов В.П., Седлов JI.M., Гирский В.Е., Чижиков А.И. Обработка формирующегося слитка колебаниями различной частоты //В кн. Проблемы стального слитка, Труды V конференции по слитку.- М.: Металлургия, 1974.- С. 319-322.

222. Hopf Е. A mathematical example displaying features of turbulence // Comm. Pure Appl. Math., 1948.- Vol. 1, N 3.- P. 303-329.

223. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред.- М.: Наука, 1988.- 788 с.

224. Hagen Н. Synergetics. Instability hierarchies of self-organizing systems and devices.- Berlin: Springer Verlag, 1983.

225. Guo W., Kar A. Interfacial instability and microstructural growth due to rapid solidification in laser processing // Acta Mater., 1998.-Vol. 46, N 10.- P. 3485-3490.

226. Милызидский М.Г., Туровский Б.М., Лайнер Л.В., Беркова Л.А. Слоистая структура монокристаллов кремния, выращенных по методу Чохральского // Науч. тр. Науч.-исслед. проектного института редкометаллической промышленности, 1964.- Т. 13.1. С. 142-148.

227. Witt A., Gatos Н. Macroscopic rates of growth in single crystals pulled from the melt: indium antimonide // J. Electrochem. Soc., 1968.-Vol. 115, N 1.- P. 70-75.

228. Brice J.С., Whiffin P.A. Solute striae in pulled crystals of zinc tung-state // Brit. J. Appl. Phys., 1967.- Vol. 18, N 5.- P. 581-585.

229. Александровский A.A., Наумова А.И., Посмыкевич И. О формировании ростовых полос при выращивании монокристаллов методом Чохральского //В кн.: Физика кристаллизации.- Калинин: КГУ, 1982, вып. 5.- С. 67-72.

230. Авдонин Н.А., Мартузап Э.Н., Ратников Д.Г., Горюшин Г.А. Влияние колебаний фронта кристаллизации на вхождение примесей в растущие из расплава кристаллы // Неорганические материалы, 1977.- Т. 13, N 7.- С. 1159-1162.

231. Вильке К.-Т. Выращивание кристаллов.- JI.: Недра, 1977.- 600 с.

232. Carruthers J.R., Benson К.Е. Solute striations in Czochralski grown silicon crystals: effect of crystal rotation and growth rates // Appl. Phys. Letters, 1963.- Vol. 3, N 6.- P. 100-102.

233. English A.C. Detection of grown striations in germanium crystals // J. Appl. Phys., I960.- Vol. 31, N 8.- P. 1498-1500.

234. McGrath J.Т., Graig G.B. The formation of striation-type substructure in aluminium // Canad. J. Phys., 1962.- Vol. 40, N 7.- P. 850-858.

235. Результаты диссертации, исключая тезисы докладов, опубликованы в работах 4., [104], [115], [118-120], [149], [153], [157], [189] и [225], а также в следующих изданиях:

236. Александров Д.В. К теории зарождения двухфазной зоны концентрационного переохлаждения // Доклады АН, 2003.- Т. 392, N 3.- С. 322-327.

237. Александров Д.В., Иванов А.О. Скейлинговые свойства двухфазной зоны при направленной кристаллизации // Доклады АН, 2002.- Т. 385, N 3.- С. 323-327.

238. Александров Д.В. Влияние концентрационного переохлаждения на морфологическую устойчивость автомодельного процесса затвердевания с плоским фронтом // Доклады АН, 2001,- Т. 379, N 1.- С. 33-37.

239. Александров Д.В. К теории затвердевания с квазиравновеспой двухфазной зоной // Доклады АН, 2000.- Т. 375, N 2.- С. 172-176.

240. Alexandrov D.V. Solidification with a quasiequilibrium two-phase zone // Acta Mater., 2001.- Vol. 49.- P. 759-764.

241. Alexandrov D.V. Incipience of a mushy zone in binary melt solidification processes // Int. J. Fluid Mech. Res., 2000.- Vol. 27, N 2-4.-P. 223-238.

242. Alexandrov D.V. Solidification with a quasiequilibrium mushy zone: exact analytical solution // Int. J. Fluid Mech. Res., 2000.- Vol. 27, N 2-4.- P. 213-222.

243. Alexandrov D.V. Nonlinear instability analysis of unidirectional solidification with a mushy zone // Proc. Second Int. Conf. "Mathematical Modeling and Computer Simulation of Metal Technologies", 2002, Sept. 30 Oct. 4, Ariel, Israel, P. 106-115.

244. Александров Д.В. К теории зарождения двухфазной зоны при затвердевании бинарных расплавов // Тр. 4-го Минского Международного Форума по Тепло- и Массообмену, Тепломассообмен в двухфазных системах, 2000, 22-26 мая, Т. 5, Минск, Беларусь, С. 476-480.