Нелинейный тепломассоперенос при затвердевании многокомпонентных растворов и расплавов

Иванов, Александр Андреевич

Нелинейный тепломассоперенос при затвердевании многокомпонентных растворов и расплавов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

Иванов, Александр Андреевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Екатеринбург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.14 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Нелинейный тепломассоперенос при затвердевании многокомпонентных растворов и расплавов»

Автореферат диссертации на тему "Нелинейный тепломассоперенос при затвердевании многокомпонентных растворов и расплавов"

На правах рукописи

УДК 536.42:536.421.4

0046Э3835

ИВАНОВ АЛЕКСАНДР АНДРЕЕВИЧ

НЕЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОС ПРИ ЗАТВЕРДЕВАНИИ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ РАСТВОРОВ И РАСПЛАВОВ

01.04.14 — Теплофизика и теоретическая теплотехника

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 О ИЮН 2010

Екатеринбург, 2010

004603835

Работа выполнена на кафедре математической физики ГОУ ВПО "Уральский государственный университет им. A.M. Горького"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Д.В. Александров.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.Д. Селезнев.

кандидат физико-математических наук, В.А. Крашанинин.

Ведущая организация: Институт теплофизики УрО РАН

Защита состоится "J0" юо-п&у2010 года в -if часов на заседании диссертационного совета Д 212.286.01 при ГОУ ВПО "Уральский государственный университет им. A.M. Горького" по адресу: 620000, Екатеринбург, пр. Ленина, 51, комн. 248.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУ ВПО "Уральский государственный университет им. A.M. Горького".

Автореферат разослан " "f " i/UxOv 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Задача о фазовом переходе жидкость-твердое тело при описании замерзания воды впервые была рассмотрена в 1889 году в пионерских работах Джозефа Стефана. В этих работах была сформулирована математическая модель процесса теплопереноса с граничным условием четвертого рода баланса тепла на движущемся фронте затвердевания (часто именуемым условием Стефана) для описания полевых измерений температуры и толщины льда за более чем полувековую историю наблюдений. Одним из недостатков такого описания является то обстоятельство, что оно не учитывает зависимость температуры фазового перехода от растворенных в жидкости примесей. Увеличение концентрации примеси понижает температуру фазового перехода. Впоследствии подход Стефана стал использоваться в металлургии для моделирования процессов кристаллизации расплавов. Это объясняется схожестью физической картины затвердевания расплавов и замерзания воды. Предположение Стефана о существовании четко выраженной границы фазового перехода - фронта кристаллизации, выполняется далеко не всегда. Так, накопление примесей перед границей твердая фаза - жидкость, связанное с вытеснением растворенных веществ замерзающей фазой в жидкую матрицу расплава, приводит к возникновению концентрационного переохлаждения. По мере движения границы фазового перехода в глубь расплава происходит увеличение градиента концентрации примеси перед фронтом, и в некоторый момент времени фронтальное описание процесса, вообще говоря, будет уже неприменимо. Это вызвано тем обстоятельством, что появление переохлажденной области перед плоским фронтом затвердевания приводит как к возникновению неустойчивости последнего и формированию дендритных структур, так и к появлению зародышей твердой фазы, претерпевающих рост на всевозможных стадиях: нуклеация, коагуляция, укрупнение, образование кластерных структур. Если концентрационное переохлаждение компенсируется за счет интенсивного выделения скрытой теплоты кристаллизации растущими элементами твердой фазы, то такая область двухфазного состояния вещества - двухфазная зона может рассматриваться без учета механизмов нуклеации и роста частиц. В силу нелинейности уравнений тепломассопере-носа и подвижности границ получение точных аналитических решений задач подобного рода не представляется возможным, поэтому обычно они решаются численными методами. В данной работе было построено приближенное аналитическое решение для задачи направленной кристаллизации бинарных систем. Описание системы с помощью бинарной модели, концентрация примеси в которой моделирует все растворенные компоненты, является не всегда пригодным. Часто при кристаллизации многокомпонентных систем необходи-

мо учитывать влияние не только основного компонента растворенных примесей, но и всех остальных (особенно, если среди них можно выделить доминирующий компонент). Такая ситуация характерна для огромного числа процессов, протекающих как в лабораторных, так и в естественных условиях. К их числу, например, относятся процессы роста кристаллов, литья металлов, затвердевания магмы. Простейшим примером таких процессов является кристаллизация химически различимых трехкомпонентных систем, в которых один компонент может рассматриваться в качестве примеси к бинарной системе. В настоящей работе приведена такая модель и получены несколько приближенных аналитических решений.

Цель работы. Теоретическое исследование процесса затвердевания бинарных и трехкомпонентных систем при наличии движущихся областей фазового перехода, развитие и дополнение математической модели и построение приближенных аналитических решений проблемы Стефана. В частности, исследование процесса кристаллизации бинарных систем в автомодельном режиме с наличием двухфазной зоны, в которой доли фаз не изменяются со временем; разработка и развитие модели кристаллизации трехкомпонентных растворов и расплавов с формированием двух зон многофазного состояния вещества - основной и котектической; построение ее приближенных аналитических решений.

Научная новизна. Диссертационная работа посвящена исследованию нелинейной динамики нестационарных процессов затвердевания бинарных и трехкомпонентных растворов и расплавов при наличии нескольких двухфазных зон и содержит новые аналитические результаты, описывающие кристаллизацию многокомпонентных систем в применении к описанию естественных природных явлений и металлургических процессов. Получены точные аналитические решения для бинарных систем в предположении малого изменения долей фаз во времени, что характерно для установившихся и медленно протекающих процессов кристаллизации. Для трехкомпонентных систем был получен ряд аналитических решений с различными допущениями. Каждое решение в явном виде определяет распределения температуры и концентрации примесей, доли твердых фаз и законы движения границ фазового перехода. Все полученные в работе результаты не имеют прямых аналогов в литературе и являются принципиально новыми.

тематических методов решения, выкладок и расчетов, согласованностью с имеющимися экспериментальными данными, данными численных и приближенных аналитических решений.

Практическое значение. Полученные в диссертации результаты имеют непосредственное приложение в металлургии (формирование кристаллов и слитков) и геофизике (замерзание морской воды) и являются важными для прогнозирования динамики нестационарных процессов. Построенная модель и метод ее решения объясняют наблюдаемый механизм кристаллизации и дополняют уже существующие знания по этой тематике. Найденные явные выражения всех характеристик процесса и образовавшегося кристалла позволяют предсказывать поведение системы для получения материалов с необходимыми свойствами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на представительных научных конференциях: XIV Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов „Математическое моделирование в естественных науках" (Пермь, 2005), Четырнадцатая всероссийская научная конференция студентов физиков и молодых ученых ВНКСФ-14 (Уфа, 2008), XII Российская конференция „Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов" (Екатеринбург, 2008), Юбилейная X Всероссийская молодежная школа-семинар по проблемам физики конденсированного состояния вещества (Екатеринбург, 2009), а также на семинарах кафедры математической физики Уральского государственного университета им. A.M. Горького.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 научных работ, из них 5 статей в реферируемых научных журналах, определенных ВАК. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Текст диссертации состоит из введения, четырех глав основного содержания, заключения и списка используемой литературы. Общий объем диссертации составляет 128 страниц машинописного текста, она содержит 36 рисунков, 2 таблицы и 102 ссылки на источники цитируемой литературы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко обоснована актуальность работы, указаны ее цели, научная новизна, практическое значение и апробация проведенных исследований.

Глава 1. Направленное затвердевание от охлаждаемой границы

Первая глава является обзорной и посвящена истории задачи направленного затвердевания. В ней приведены несколько простых моделей процесса с решениями, в том числе классическая модель Стефана, ее модификация для случая кристаллизации с областью фазового перехода и модель квазиравновесной двухфазной зоны. Материал излагается в духе классических работ и является согласованным со всеми главами диссертации.

Глава 2. Нестационарное затвердевание бинарных систем с двухфазной зоной в автомодельном режиме

Вторая глава работы посвящена процессу кристаллизации бинарных систем в автомодельном режиме с наличием зоны двухфазного состояния вещества. Рассмотрена модель этого явления и ее решения. В частности, детально рассмотрено аналитическое решение вблизи точки зарождения зоны и предложено новое решение в условиях малого изменения долей фаз во времени.

В работе [1] был предложен метод исследования автомодельного процесса направленного затвердевания от охлаждаемой границы. Сначала кристаллизация происходит в режиме с плоским фронтом. Затем, при выполнении условия концентрационного переохлаждения, перед фронтом появляется область двухфазного состояния вещества и математическая формулировка задачи претерпевает переключение от модели с плоским фронтом к модели с двухфазной зоной. Приведем основные моменты этой модели, которая впервые была описана Ворстером [2] и получила развитие в работе [3].

Рассмотрим затвердевание бинарной смеси (один из компонентов является примесью и имеет концентрацию С) вдоль пространственной оси г. При этом на охлаждаемой границе г = 0 поддерживается постоянная температура Т = Тв, зона протекания процесса разделена границами между жидкостью и двухфазной зоной и И3 между зоной и твердым веществом. Индексы £, т и 5 у величин означают соответственно значения в жидкой фазе, двухфазной зоне и твердой фазе. Температурное поле Т в твердой фазе удовлетворяет

уравнению переноса тепла

дТа д2Т3

— = 0<*<Л.(«),

где í - время, к3 - коэффициент температуропроводности. Диффузией примеси в твердой фазе традиционно пренебрегаем. Уравнения тепло- и массо-переноса в двухфазной зоне имеют вид:

дТт д ( дТт\ ду

РтСт~дГ = & ) + р°ьт' Ь® <2 <

Тт = Т. - ТСт, Л,(4) < 2 <

где рт и р3 - плотности, ст - теплоемкость, кт - коэффициент теплопроводности, Ь - скрытая теплота затвердевания, 0( - коэффициент диффузии, к - коэффициент распределения примеси, Г, - температура фазового перехода чистого вещества, Г - наклон линии ликвидус, у - Доли твердой

и жидкой фаз, соответственно.

Доля жидкой (твердой) фазы, вообще говоря, не является непрерывной функцией, а ее значения \а ('Ра) на границе и хь [<Ръ) на границе Л< не являются заранее известными (определяются решением задачи, см. [1]). Процессы тепломассопереноса в жидкой фазе описываются следующими уравнениями:

дТе д2Те ^ , ,

эсе д2с(

-дГ = Пгд*> 2>т'

Пограничные условия на границах /г8 и имеют вид: А ~ Ч дг

¿К (8ТЛ (8Т.Л

рзЬха— = \к7 - ктп ^ , 2 = А, (4),

РМ1 - хь)^ = кт - Ь г = ЫЮ,

(1 - к)Ст^ = В1Хь (Щ |,Г - Ое , г =

(

Вдали от фронта кристаллизации С —> СХ1Т —> Тх, г —> оо.

Введем автомодельную пространственно-временную переменную г) и координаты границы раздела фаз следующим образом:

т] = г/2л/0Ц, = 2\аУ/Щ, Ы{г) = 2Хьу/Ш,

где Аа и Л;, - некоторые постоянные, характеризующие скорость роста границ. Такой переход позволяет свести уравнения в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

В работе был рассмотрен аналитический метод решения этих уравнений, основанный на разложении искомых функций в степенные ряды по автомодельной переменной т] (см. работы [4, 5]). Кроме этого, был исследован режим затвердевания, при котором в двухфазной зоне изменение доли твердой фазы по времени очень мало. Практически это наблюдается при малых скоростях движения зоны через довольно большой промежуток времени с начала кристаллизации. При этом распределение доли твердой фазы в двухфазном слое устанавливается и совершает лишь небольшие временные отклонения в процессе кристаллизации (см., например, работы [6, 7]). Математически это означает, что в двухфазной зоне

Такое приближение позволяет найти явные выражения для распределений доли жидкой фазы и концентрации примеси в двухфазной зоне:

Х{г}) = ехр(г/2)/(Л ехр(т?2) + С2),

СЦЧ) = СМСз + «*(!,) + л/2С2 ег^т,)]),

где А и Сг (г = 1,3) - известные постоянные. Подстановка этих решений в граничные условия приводит к алгебраической системе уравнений для нахождения неизвестных Аа и А¡,.

Рис. 1 демонстрирует полученное решение этой системы для раствора ИаИОъ в воде. Оно хорошо согласуется с асимптотическим решением работы [4], найденным с помощью разложений концентрации, температуры и доли жидкой фазы в асимптотические ряды по автомодельной переменной г] в окрестности точки бифуркации решений (в окрестности точки, где существуют решения с двухфазной зоной и плоским фронтом; см. [4]). Важно отметить, что найденное в работе аналитическое решение имеет более широкую область применимости, в отличие от асимптотического решения работы [4], так как справедливо и при удалении системы от точки бифуркации.

Рис. 1. Зависимость констант параболического роста от управляющего процессом параметра Т\ = -ГСоо-Тд. Точки показывают асимптотическое решение, полученное в работе

И))-

В рамках второй главы было проведено аналитическое исследование процесса направленной кристаллизации бинарных смесей в случае малого изменения доли твердой фазы в двухфазной зоне в автомодельном режиме затвердевания; получено аналитическое решение нелинейной нестационарной модели кристаллизации бинарной системы с двухфазной зоной в автомодельном режиме, найдены явные выражения для распределения температуры, концентрации примеси и доли твердой фазы в двухфазной зоне, показано, что доля твердой фазы может только убывать (соответственно жидкой только возрастать) по автомодельной переменной, причем очень медленно, что соответствует сделанным модельным предположениям.

Глава 3. Нестационарное затвердевание трехкомпонентных систем с двухфазными зонами в автомодельном режиме

Некоторые из фундаментальных аспектов процесса затвердевания многокомпонентных систем могут быть определены из изучения бинарных систем. В частности, исследования двухкомпонентных систем объясняют, как основное вещество может вытеснять примесь, в результате чего формируется область концентрационного переохлаждения. Это приводит к неустойчивости плоского фронта кристаллизации [8] и образованию зоны двухфазного состояния вещества. Еще более сложное поведение может наблюдаться для многокомпонентных систем - образуются несколько двухфазных зон, в каждой из которых присутствуют твердые фазы нескольких компонентов. Поэтому исследования бинарных систем нужно обобщать более сложными случаями, включающими в себя рассмотрение систем с большим числом значимых компонент. Часто можно добиться понимания главных аспектов рассмотрением

Рис. 2. Фазовая диаграмма трехкомпонентной системы. Каждый угол фазовой диаграммы соответствуют чистому веществу А, В или С.

кристаллизации трех основных компонент (так, например, происходит образование гранита из кварца, полевого шпата и слюды или транспорт загрязняющих примесей и биологических организмов в морской воде [9]). В недавно проведенных лабораторных экспериментах [10) по кристаллизации двух солей, растворенных в воде, была выявлена роль присутствия в системе малого количества одной из солей. На основе экспериментальных данных этой работы, где наблюдалась кристаллизация с двумя областями фазового перехода (двухфазными зонами), и была развита математическая модель таких процессов и построено ее аналитическое решение.

На рис. 2 показан вид фазовой диаграммы по данным работы [11]. Обозначим через В и С концентрации веществ, растворенных в растворителе А (А+В+С = 1). Каждая вертикальная сторона фазовой диаграммы трехкомпонентной системы описывает фазовую диаграмму бинарной смеси (Т* - температура фазового перехода чистого вещества А, точка эвтектики Еав бинарной системы имеет температуру и концентрацию примеси В^в). Кривые ликвидус, проходящие в каждой из трех вертикальных плоскостей, ограничивают три поверхности ликвидус, пересечение которых образует три кривых котектики. Эти кривые выходят из точек эвтектики бинарных систем (например, из точки Еав) и, пересекаясь, дают точку эвтектики тройной системы. Этой точке соответствует температура Те и концентрации компонентов Ац, Ве и Се- Пусть в некоторый момент трехкомпонентная система находится

в точке Р фазовой диаграммы. Охлаждение системы приводит к фазовому переходу вещества А из жидкого состояния в твердое, при этом растворенные в нем примеси будут вытесняться растущей твердой фазой в жидкую часть системы. Это приводит к повышению концентраций обоих компонент перед границей фазового перехода и, соответственно, к понижению температуры фазового превращения. Как следствие, система претерпевает движение по плоскости ликвидус фазовой диаграммы из точки Р в направлении некоторой точки 5, находящейся на кривой котектики. В это время затвердевающая система содержит одну упомянутую область фазового превращения вещества А, называемую основной двухфазной зоной. При достижении кривой котектики в точке 5, фазовый переход начинает претерпевать компонент В. Дальнейший путь системы на фазовой диаграмме соответствует ее движению из точки 5 в точку Е вдоль линии котектики, при этом в системе существуют уже две области фазового перехода - основная двухфазная зона (существующая на пути Р — Б — Е) и котектическая двухфазная зона, где из жидкого состояния в твердое переходят вещества А к В (существующая на пути Б-Е). При достижении системой точки Е, формируется эвтектическое твердое тело, состоящее из компонент Л, В и С.

В третьей главе рассматривался случай линейных уравнений поверхности ликвидус:

Т = Т? = Г* + тпвВ + тсС, йс(г) < г < /гр(£) Т = Т? = —тсв(В - ВЕ) + Те= —тссС + Т$в, МО < г < Лс(*)•

Математическая модель процесса затвердевания трехкомпонентной системы была предложена в работе [11]. На самом деле, она является обобщением бинарной модели, описанной выше. В процессе кристаллизации образуются четыре зоны, разделенные границами /1с, 1гс и 1ър между твердой фазой и котектической двухфазной зоной, котектической и основной двухфазной зонами и основной двухфазной зоной и жидкостью, соответственно.

В соответствии с данными эксперимента, температурное поле в двухфазных зонах и твердой фазе является практически линейртй функцией пространственной координаты г. В задачах такого типа это встречается довольно часто (см., например, [12, 6]) и объясняется тем обстоятельством, что время релаксации температурного поля на несколько порядков меньше времени релаксации диффузионных полей и времени движения межфазных границ. Поэтому температурные поля в обеих двухфазных зонах и твердом веществе можно считать линейными функциями

Тр(г,Ь) = Т)(г) + Т2(ф, НсЦ) <г< hj.it),

Тс(г, £) = Т3(0 + Г4(£)2, <г< /1С(£),

Рис. 3. Полученное решение для системы Н2О - - NaNOз: а - распределение температуры в

соответствии с развиваемой теорией и экспериментальными данными (черные кружки) работы [10] (эксперимент 7) в различные моменты времени (цифры у кривых), б - концентрации примеси компонент В и С и доля твердой фазы компонента А в зонах двухфазного состояния вещества в зависимости от пространственной координаты (вертикальная линия показывает положение границы раздела двухфазных зон).

Т,(г, 1)=ТВ + Цщ1*, 0 < г < ЛеСО-

Экспериментальные данные показывают, что температурное поле в твердой фазе и в обеих двухфазных зонах являются почти одной и той же линейной функцией, то есть Т\ = и = Т4. Используя эти зависимости, можно проинтегрировать уравнения тепломассопереноса в основной и котек-тической двухфазных зонах в общем виде. Подстановка полученных решений в граничные условия позволяет найти распределения температуры и концентраций компонент во всех регионах протекания процесса, доли твердых фаз в обеих двухфазных зонах, скорости и законы движения межфазных границ. В частности, для границ были получены следующие выражения:

= у/о1Лв1, Лс(£) = \/агОв1, ке(Ь) = \/азОв1,

где а{, г = 1,3- некоторые постоянные. Специально отметим, что из этих выражений следует, что все границы двигаются пропорционально квадратному корню из времени, а это является общим свойством автомодельных процессов. На рис. 3 показаны распределения температуры, концентраций компонент и доли твердой фазы для системы Н2О — КN03 — МаЫОз. Температурное поле внутри твердой фазы и двухфазных зонах, вследствие своей быстрой релаксации, хорошо описывается линейными зависимостями, отклонение от которых наблюдается в жидкой фазе вследствие движения межфазных границ и постоянства температуры Тх, поддерживаемой в жидкости. Как и ожидалось, доли твердых фаз падают при увеличении пространственной координаты в обеих двухфазных зонах, котектической и основной, в соответствии с уравнениями тепло- и массопереноса. Концентрация компонента

С, как и следовало ожидать, убывает с ростом пространственной координаты вследствие вытеснения примеси растущей твердой фазой. В отличие от нее, концентрация компонента В имеет слабо выраженный максимум, который располагается на границе раздела двухфазных зон (такое поведение было ранее зафиксировано экспериментально [10]). Это объясняется тем, что в двухфазной зоне котектики компонент В претерпевает фазовый переход в твердое состояние, что и приводит к понижению его концентрации по мере приближения к фронту 1ге.

Глава 4. Учет нелинейностей кривых фазовой диаграммы и температуры при затвердевании трехкомпонентных систем с двухфазными зонами

Развитый в третьей главе метод решения задачи направленной кристаллизации трехкомпонентного сплава с присутствием двух зон двухфазного состояния вещества включает в себя предположение о линейности поверхности ликвидус и температур в зонах. В общем случае это не так, поэтому следующим шагом в исследовании задачи было построение решения, более точно описывающего процесс с учетом некоторых нелинейностей. Уравнения поверхности ликвидус рассматривались в общем виде, не предполагающем линейности по концентрациям примесей (и даже квадратичности, этот случай был использован лишь для демонстрации способа применения подхода и получения конкретных результатов):

I? = С) = Т. + твВ + тсС + пвВ2 + псСг + пвсВС,

ТЦ = ^Т(В) = -тп%(В - ВЕ) + Те + пв(В - ВЕ)2,

7? = ^2С(С) = -тпссС + Т£в + пссС2.

Кроме этого, рассматривался случай различных, хотя и линейных профилей температур в двухфазных зонах и твердом веществе, то есть

Для простоты концентрационные ноля в двухфазных зонах описывались уравнениями Шейла [13], являющимися хорошим приближением многих экспериментов вследствие того, что в таких ситуациях транспорт примеси практически не зависит от диффузионного потока, а, в основном, зависит от ее вытеснения растущей твердой фазой

¿№) = о, ~(хср) = о,

\ котегпнескэя \ дв^фэтная

\ »на

сеиоеиая \

деу'Фзэнав \

1 г \ 5С»в Ч 1 1 1 N

л.

а) б)

Рис. 4. Полученное решение для случая нелинейного ликвидуса и различных профилей температур для системы НгО - КЛ'Оз — а - распределение доли твердой фазы в двухфазных зонах в момент времени £ = 105 с, б - концентрации компонент В и С в зонах в момент времени £ = 105 с. Вертикальные пунктирные линии отмечают положение границы между двумя двухфазными зонами при различных значениях В ос (числа рядом с линиями).

В работе было показано, что применение это приближения не существенно, в более общем виде результат получается аналогичный.

Решение задачи получается тем же методом, что и в третьей главе. На рис. 4 продемонстрированы полученные распределения долей фаз и концентраций для системы Н2О — NN0-^ — АтаА'Ог. Рис. 4а приведен для сравнения распределений долей фаз с аналогичными данными более частного случая (рис, 36). На рис. 46 изображены распределения концентраций примесей для различных значений начальной концентрации компонента В. Хорошо видно, что ее вариация не сильно влияет на границы с чистыми твердыми и жидкими фазами (левые и правые границы всех кривых), но существенно изменяет положение границы между двумя двухфазными зонами.

Таким образом, в четвертой главе из модели направленного затвердевания трехкомпонентных смесей при наличии двух областей двухфазного состояния вещества были исключены предположения о линейности поверхности ликвидус и температуры, что позволило получить более математически строгий и расширяемый метод решения подобных задач. Полученное аналитическое решение дополняет уже существующие экспериментальные данные, численные решения и менее точные решения третьей главы. Кроме этого, было показано, что теоретический подход главы может использоваться для многокомпонентных систем. При этом законы движения границ жидкая фаза-двухфазные зоны и твердая фаза-двухфазные зоны будут те же, что для трехкомпонент-ной системы, изменится только количество зон двухфазного состояния вещества. Полученные результаты хорошо согласуются с данными эксперимента

и могут быть использованы для описания процесса кристаллизации.

Заключение

Диссертационная работа „Нелинейный тепломассоперенос при затвердевании многокомпонентных растворов и расплавов" посвящена проблеме направленной кристаллизации бинарных и трехкомпонентных систем при наличии одной или нескольких зон двухфазного состояния вещества и содержит новые аналитические решения сложных нелинейных задач с подвижными границами. Применение некоторых допущений, взятых из экспериментальных данных и объясненных с точки зрения теплофизики, и строгость математической теории позволили получить новые результаты, согласующиеся с ранее полученными решениями и экспериментальными данными.

Во второй главе исследована нелинейная динамика процесса затвердевания бинарных растворов и расплавов в автомодельном режиме при несильных временных изменениях доли твердой фазы в двухфазной зоне. Такая ситуация часто реализуется на стадиях развитой кристаллизации. Для этого случая были получены точные аналитические решения термодиффузионной задачи Стефана, определены в явном виде распределения температуры и концентрации примеси во всех регионах протекания процесса, доли твердой фазы в двухфазной зоне, а также законы движения границ между зонами. Предложенный способ решения отличается от известного подхода решения задачи с помощью разложений в ряды по автомодельной переменной, так как описывает поведение системы не только вблизи точки зарождения зоны или в случае узкой зоны.

В третьей главе рассматривалась задача кристаллизации трехкомпонентных систем с наличием двух двухфазных зон - основной и котектической. Сильная нелинейность модели таких процессов не позволяет найти аналитическое решение в общем виде. В работе были предложены несколько допущений, согласующихся с физическими особенностями процесса и данными экспериментов. Предполагалась линейной поверхность ликвидус, характеризующая зависимость температуры фазового перехода от концентраций компонент системы, кроме этого, предполагалась линейность температур в двухфазных зонах и твердом веществе, причем их профили принимались совпадающими. В результате было получено аналитическое решение уравнений тепломассопереноса в двухфазных зонах, что позволило найти распределения температуры и концентраций компонентов во всех регионах, доли твер-

дых фаз в обеих двухфазных зонах, скорости и законы движения межфазных границ. В процессе решения оказалось, что процесс является автомодельным, если температура на границе жидкая фаза - основная двухфазная зона постоянна. Кроме того, было показано, что концентрация компонента, который начинает затвердевать в котектической двухфазной зоне, имеет слабо выраженный максимум на границе раздела двухфазных зон.

В четвертой главе теоретически исследован процесс затвердевания трех-компонектных систем при наличии движущихся областей фазового перехода и нелинейного уравнения поверхности ликвидус, что является обобщением случая, рассмотренного в третьей главе. Развита математическая модель и построены два приближенных аналитических решения проблемы Стефана при линейном температурном профиле в двухфазных зонах с одинаковым и отличающимся профилем. В работе были определены распределения температуры и концентраций примеси, найдены доли твердой фазы в областях фазового перехода и законы движения их границ. Было продемонстрировано, что вариации начальной концентрации примесей приводят к незначительному изменению закона движения границ твердая фаза-котектическая зона и основная зона-жидкая фаза и существенно влияют на протяженности двухфазных зон. Кроме этого, показано, что найденные законы движения внешних границ всей области фазового перехода не зависят от количества рассматриваемых компонент и справедливы для кристаллизации многокомпонентной системы.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах, определенных ВАК:

1. Александров Д.В., Иванов А.А. Задача Стефана затвердевания трех-компонентных систем при наличии движущихся областей фазового перехода // ЖЭТФ, 2009.- Т. 135, вып. 5 - С. 942-950.

2. Alexandrov D.V., Ivanov А.А. Analytical solution for a problem of directional solidification in a ternary system // Acta Physica Polonica A, 2009,- Vol. 115, N 4,- P. 786-790.

3. Alexandrov D.V., Ivanov A.A., Malygin A.P. Self-similar solidification of binary alloys // Acta Physica Polonica A, 2009.-Vol. 115, N 4 - P. 795-799.

4. Alexandrov D.V., Ivanov A.A. Solidification of a ternary melt from a cooled

boundary, or nonlinear dynamics of mushy layers // International Journal of Heat and Mass Transfer, 2009 - Vol. 52- P. 4807-4811.

5. Alexandrov D.V., Ivanov A. A. Nonlinear dynamics of directional solidification of ternary solutions with mushy layers // Heat Mass Transfer, 2009,- Vol. 45.-P. 1467-1472.

Другие публикации:

6. Александров Д.В., Иванов А.А. Нелинейный анализ морфологической устойчивости плоского фронта кристаллизации // Тезисы XIV Всероссийской школы-конференции молодых ученых и студентов „Математическое моделирование в естественных науках", Пермь, 5-7 октября 2005.- С. 27-28.

7. Александров Д.В., Иванов А.А. Аналитическое исследование процесса направленной кристаллизации трехкомпонентных сплавов с двухфазными зонами // Тезисы Четырнадцатой всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых, ВНКСФ-14, Уфа, 26 марта-3 апреля 2008.- С. 106-107.

8. Александров Д.В., Малыгин А.П., Иванов А.А. Аналитическое описание направленной кристаллизации двухкомпонентных систем при наличии зоны двухфазного состояния вещества в автомодельных условиях // Тезисы Четырнадцатой всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых, ВНКСФ-14, Уфа, 26 марта-3 апреля 2008 - С. 107.

9. Александров Д.В., Малыгин А.П., Иванов А.А. К теории нестационарного затвердевания при наличии двухфазной зоны // Расплавы, 2008.- N 5.-С. 69-76.

10. Александров Д.В., Малыгин А.П., Иванов А.А. Автомодельное затвердевание с двухфазной зоной от охлаждаемой стенки // Вестник Удмуртского университета,. 2008.- Вып. 1- С. 14-25.

11. Александров Д.В., Иванов А.А. Аналитическое исследование процесса затвердевания трехкомпонентных систем // Труды XII Российской конференции „Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов". Екатеринбург, 22-26 сентября 2008 - С. 104-107.

12. Александров Д.В., Малыгин А.П., Иванов А.А. Нелинейная динамика процессов затвердевания при наличии двухфазной зоны в автомодельном

режиме // Труды XII Российской конференции „Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов", Екатеринбург, 22-26 сентября 2008 - С. 145-148.

13. Александров Д.В., Иванов А.А. Направленная кристаллизация гпрех-компонентпных сплавов с образованием двухфазных зон: аналитическое решение II Тезисы докладов Юбилейной X Всероссийской молодежной школы-семинара по проблемам физики конденсированного состояния вещества, Екатеринбург, 9-15 ноября 2009,- С. 67.

Список литературы

[1] M.G. Worster. Solidification of an alloy from a cooled boundary // J. Fluid Mech. - 1986. Vol. 167. - P. 481-501.

[2] M.G. Worster. Convective flow problems in geological fluid dynamics. Ph.D. thesis. - Cambridge: University of Cambridge, 1983.

[3] E.N. Hills, D.E. Loper, P.H. Roberts. A thermodynamically consistent model of a mushy zone // Q. J. Appl. Maths. - 1983. Vol. 36. - P. 505-539.

[4] Alexandrov D.V., Malygin A.P. Self-similar solidification of an alloy from a cooled boundary // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2006. Vol. 49. - P. 763-769.

[5] Александров Д.В., Иванов А.А., Малыгин А.П. Автомодельное затвердевание с двухфазной зоной от охлаждаемой стенки // Вестник Удмуртского университета. - 2008. Вып. 1. - С. 14-25.

[6] Wettlaufer J.S., Worster M.G., Huppert Н.Е. Solidification of leads: Theory, experiment, and field observations // J. Geophys. Res. - 2000. Vol. 105, N CI. - P. 1123-1134.

[7] Alexandrov D.V., Malygin A.P., Alexandrova I.V. Solidification of leads: approximate solutions of non-linear problem // Ann. Glaciol. - 2006. Vol. 44. - P. 118-122.

[8] Mullins W. W., Sekerka R. F. Stability of a planar interface during solidifcation of a dilute binary alloy // J. Appl. Phys. - 1964. Vol. 35. -P. 444 - 451.

[9] R. Gradinger. Occurrence of an algal bloom under Arctic pack ice // Mar. Ecol. Prog. Ser. - 1996. Vol. 131. - P. 301.

[10] Aitta A., Huppert H. E., Worster M.G. Difusion-controllcd solidifcatiori of a ternary melt from a cooled boundary //J. Fluid Mech. - 2001. Vol. 432. -P. 201.

[11] D.M. Anderson. A model for diffusion-controlled solidification of ternary alloys in mushy layers // J. Fluid Mechanics. - 203. Vol. 483. - P. 165 -197.

[12] H.E. Huppert, M.G. Worster. Dynamic solidification of a binary alloy // Nature. - 1985. Vol. 314. - P. 703-707.

[13] E. Scheil. Bemerkungen zur schichtkiistallbildung // Z. Metalld. - 1942. Vol. 34. - P. 70-72.

Работа частично выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (гранты 08-01-00298, 07-03-96069 Урал) и ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы.

Подписано в печать 6.05.2010. Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 1,3. Тираж 100 экз. Заказ

Отпечатано в ИПЦ «Издательство УрГУ» 620000, Екатеринбург, ул. Тургенева, 4

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Иванов, Александр Андреевич

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

1. НАПРАВЛЕННОЕ ЗАТВЕРДЕВАНИЕ ОТ ОХЛАЖДАЕМОЙ ГРАНИЦЫ

1.1. Режим затвердевания с плоским фронтом

1.2. Термическое и концентрационное переохлаждения

1.3. Режим затвердевания с двухфазной зоной

2. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ЗАТВЕРДЕВАНИЕ БИНАРНЫХ СИСТЕМ С ДВУХФАЗНОЙ ЗОНОЙ В АВТОМОДЕЛЬНОМ РЕЖИМЕ

2.1. Затвердевание во фронтальном режиме

2.2. Затвердевание с двухфазной зоной

2.3. Аналитическое решение вблизи точки зарождения двухфазной зоны

2.4. Аналитическое решение при малых изменениях доли твердой фазы

2.5. Выводы

3. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ЗАТВЕРДЕВАНИЕ

ТРЕХКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМ С ДВУХФАЗНЫМИ

ЗОНАМИ В АВТОМОДЕЛЬНОМ РЕЖИМЕ

3.1. Фазовая диаграмма и экспериментальные данные

3.2. Математическая модель процесса

3.3. Линейный профиль температуры и интегрирование уравнений диффузии в двухфазных зонах

3.4. Выводы

4. УЧЕТ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ КРИВЫХ ФАЗОВОЙ ДИАГРАММЫ И ТЕМПЕРАТУРЫ ПРИ ЗАТВЕРДЕВАНИИ ТРЕХКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМ С ДВУХФАЗНЫМИ

ЗОНАМИ

4.1. Аналитическое решение при нелинейных уравнениях поверхности ликвидус и кривой котектики (линейный температурный профиль)

4.2. Аналитическое решение при нелинейных уравнениях поверхности ликвидус и кривой котектики (учет нелинейности температуры)

4.3. Выводы

Введение диссертация по физике, на тему "Нелинейный тепломассоперенос при затвердевании многокомпонентных растворов и расплавов"

Актуальность проблемы. Задача о фазовом переходе жидкость-твердое тело при описании замерзания воды впервые была рассмотрена в 1889 году в пионерских работах Джозефа Стефана. В этих работах была сформулирована математическая модель процесса теплопереноса с граничным условием четвертого рода баланса тепла на движущемся фронте затвердевания для описания полевых измерений температуры и толщины льда за полувековую историю наблюдений. Одним из недостатков такого описания является то обстоятельство, что оно не учитывает зависимость температуры фазового перехода от растворенных в жидкости примесей. Увеличение концентрации примеси понижает температуру фазового перехода. Впоследствии подход Стефана стал использоваться в металлургии для моделирования процессов кристаллизации расплавов. Это объясняется схожестью физической картины затвердевания расплавов и замерзания воды. Накопление примесей перед границей твердая фаза - жидкость, связанное с вытеснением растворенных веществ замерзающей фазой в жидкую матрицу расплава, приводит к возникновению концентрационного переохлаждения. По мере движения границы фазового перехода в глубь расплава происходит увеличение градиента концентрации примеси перед фронтом и в некоторый момент времени фронтальное описание процесса, вообще говоря, будет уже неприменимо. Это вызвано тем обстоятельством, что появление переохлажденной области перед плоским фронтом затвердевания приводит как к возникновению неустойчивости последнего и формированию дендритных структур, так и к появлению зародышей твердой фазы. Если концентрационное переохлаждение компенсируется за счет интенсивного выделения скрытой теплоты кристаллизации растущими элементами твердой фазы, то такая область двухфазного состояния вещества - двухфазная зона может рассматриваться без учета механизмов нуклеации и роста частиц. В силу нелинейности уравнений тепломассопереноса и подвижности границ получение точных аналитических решений задач подобного рода не представляется возможным, поэтому обычно они решаются численными методами. В данной работе было построено приближенное аналитическое решение для задачи направленной кристаллизации бинарных систем. Описание системы с помощью бинарной модели, концентрация примеси в которой моделирует все растворенные компоненты, является не всегда пригодным. Часто при кристаллизации многокомпонентных систем, необходимо учитывать влияние не только основного компонента растворенных примесей, но и всех остальных (особенно, если среди них можно выделить доминирующий). Такая ситуация характерна для огромного числа процессов, протекающих как в лабораторных, так и в естественных условиях. Простейшим примером таких процессов является кристаллизация химически различимых трехкомпонентных систем, в которых один компонент может рассматриваться в качестве примеси к бинарной системе. В настоящей работе приведена такая модель и получены несколько приближенных аналитических решений.

Научная новизна. Диссертационная работа посвящена исследованию нелинейной динамики нестационарных процессов затвердевания многокомпонентных растворов и расплавов при наличии нескольких двухфазных зои и содержит новые аналитические результаты, описывающих кристаллизацию многокомпонентных систем в применении к описанию естественных природных явлений и металлургических процессов. Получены точные аналитические решения для бинарных систем в предположении малого изменения долей фаз во времени, что характерно для установившихся и медленно протекающих процессов кристаллизации. Для трехкомпонентных систем был получен ряд аналитических решений с различными допущениями. Каждое решение в явном виде определяет распределения температуры и концентрации примесей, доли твердых фаз и законы движения границ фазового перехода. Все полученные в работе результаты не имеют прямых аналогов в литературе и являются принципиально новыми.

Достоверность полученных результатов. Подтверждается адекватностью моделей процессов направленной кристаллизации многокомпонентных растворов и расплавов, обоснованностью принятых допущений, точностью математических методов решения, выкладок и расчетов, согласованностью с имеющимися экспериментальными данными, данными численных и приближенных аналитических решений.

На защиту выносятся:

1. Модель затвердевания бинарных систем в автомодельном режиме с образованием двухфазной зоны, в которой доля твердой фазы мало меняется во времени, ее аналитическое решение;

2. Метод аналитического решения задачи кристаллизации трехкомпонентных растворов и расплавов в автомодельном режиме с двумя двухфазными зонами при предположении линейности поверхности ликвидус и одинакового линейного профиля температуры в двухфазных зонах и твердом веществе;

3. Метод аналитического решения той же задачи для общего вида поверхности ликвидус и различных линейных профилей температуры в двухфазных зонах и твердом веществе.

2008), Юбилейная X Всероссийская молодежная школа-семинар по проблемам физики конденсированного состояния вещества (Екатеринбург,

2009), а также на семинарах кафедры математической физики Уральского государственного университета им. A.M. Горького.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 научных работ, из них 5 статей в реферируемых научных журналах, определенных ВАК. Список публикаций приведен в конце диссертации.

Заключение диссертации по теме "Теплофизика и теоретическая теплотехника"

4.3 Выводы

В четвертой главе диссертации проводилось аналитическое исследование процесса кристаллизации трехкомпонентной системы с двухфазными зонами с рассмотрением общего вида поверхности ликвидус и различных профилей температур в зонах:

1. Построен более общий, чем в третьей главе, метод аналитического решения задачи процесса направленной кристаллизации трехкомпонентной смеси с двумя двухфазными зонами от охлаждаемой границы.

2. В процессе решения были использованы уравнения для концентрационных полей в форме Шейла. Это приближение не является критичным и было введено в целях упрощения выкладок. Кроме того, в третьей главе было показано, что в общем случае выражения получаются практически те же.

3. Было показано, что вариации начальной концентрации примесей приводят к незначительному изменению закона движения границ твердая фаза-котектическая зона и основная зона-жидкая фаза и влияют существенно на отношение между протяженностью двухфазных зон. Основная тенденция такая: чем больше концентрация компоненты, начинающей затвердевать в котектической двухфазной зоне, тем больше эта зона, и тем меньше основная.

4. Предложенный метод решения нелинейной задачи направленного затвердевания может быть использован для решения задач с большим числом компонентов, причем законы движения внешних к двухфазным зонам границ (с чистыми твердыми и жидкими фазами) останутся те же, так как определяются только параметрами затвердевания и видом фазовой диаграммы. Найти протяженность двухфазных зон и распределения концентраций примесей в них можно аналогично тому, как это сделано в данной диссертации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа „Нелинейный тепломассоперенос при затвердевании многокомпонентных растворов и расплавов" посвящена проблеме направленной кристаллизации бинарных и трехкомпоиентпых сплавов при наличии одной или нескольких зон двухфазного состояния вещества и содержит новые аналитические решения сложных нелинейных задач с подвижными границами. Применение некоторых допущений, взятых из экспериментальных данных и объясненных с точки зрения теплофизики, и строгость математических теории позволили получить новые и согласующиеся с ранее полученными решениями и экспериментальными данными результаты.

В третьей главе рассматривалась задача кристаллизации трехкомпо-нентных систем с наличием двух двухфазных зон - основной и котек-тической. Сильная нелинейность модели таких процессов не позволяет найти аналитическое решение в общем виде. В работе были предложены несколько допущений, согласующихся с физическими свойствами процесса и данными экспериментов. Предполагалась линейной поверхность ликвидус, характеризующая зависимость температуры фазового перехода от концентраций компонент системы, кроме этого, предполагалась линейность температур в двухфазных зонах и твердом веществе, причем их профили принимались совпадающими. В результате было получено аналитическое решение уравнений тепломассопереиоса в двухфазных зонах, что позволило найти распределения температуры и концентраций всех компонент во всех регионах, доли твердых фаз в обеих двухфазных зонах и скорости и законы движения межфазных границ. В процессе решения оказалось, что процесс является автомодельным, если температура на границе жидкая фаза - основная двухфазная зона постоянна. Кроме того, было показано, что концентрация компонента, который начинает затвердевать в котектической двухфазной зоне, имеет слабо выраженный максимум на границе раздела двухфазных зон.

В четвертой главе теоретически исследован процесс затвердевания трехкомпонентных систем при наличии движущихся областей фазового перехода и нелинейного уравнения поверхности ликвидус, что является обобщение случая, рассмотренного в третьей главе. Развита математическая модель и построены два приближенных аналитических решения проблемы Стефана при линейном температурном профиле в двухфазных зонах с одинаковым и отличающимся профилем. В работе были определены распределения температуры и концентраций примеси, найдены доли твердой фазы в областях фазового перехода и законы движения их границ. Было продемонстрировано, что вариации начальной концентрации примесей приводят к незначительному изменению закона движения границ твердая фаза-котектическая зона и основная зопа-жидкая фаза и влияют существенно на отношение между протяженностью двухфазных зон. Кроме этого, показано, что найденные законы движения внешних границ всей области фазового перехода не зависят от количества рассматриваемых компонент и справедливы для кристаллизации многокомпонентной системы.

Основное содержание работы опубликовано в работах: в статьях в ведущих рецензируемых научных журналах, определенных ВАК:

1. Александров Д.В., Иванов А.А. Задача Стефана затвердевания трехкомпонентных систем при наличии двиоюущихся областей фазового перехода // ЖЭТФ, 2009.- Т. 135, вып. 5 - С. 942-950.

2. Alexandrov D.V., Ivanov A.A. Analytical solution for a problem of directional solidification in a ternary system // Acta Physica Polonica A, 2009.- Vol. 115, N 4.- P. 786-790.

3. Alexandrov D.V., Ivanov A.A., Malygin A.P. Self-similar solidification of binary alloys // Acta Physica Polonica A, 2009 - Vol. 115, N 4.- P. 795799.

4. Alexandrov D.V., Ivanov A.A. Solidification of a ternary melt from a cooled boundary, or nonlinear dynamics of mushy layers // International Journal of Heat and Mass Transfer, 2009.- Vol. 52.- P. 4807-4811.

5. Alexandrov D.V., Ivanov A.A. Nonlinear dynamics of directional solidification of ternary solutions with mushy layers // Heat Mass Transfer, 2009 - Vol. 45,- P. 1467-1472.

Другие публикации:

9. Александров Д.В., Малыгин А.П., Иванов А.А. К теории нестационарного затвердевания при наличии двухфазной зоны // Расплавы, 2008,- N 5.- С. 69-76.

10. Александров Д.В., Малыгин А.П., Иванов А.А. Автомодельное затвердевание с двухфазной зоной от охлаждаемой стенки // Вестник Удмуртского университета, 2008.- Вып. 1,- С. 14-25.

11. Александров Д.В., Иванов А.А. Аналитическое исследование прогресса затвердевания трехкомпонентных систем // Труды XII Российской конференции „Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов", Екатеринбург, 22-26 сентября 2008,- С. 104-107.

12. Александров Д.В., Малыгин А.П., Иванов А.А. Нелинейная динамика процессов затвердевания при наличии двухфазной зоны в автомодельном рео/симе j j Труды XII Российской конференции „Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов", Екатеринбург, 22-26 сентября 2008 - С. 145-148.

13. Александров Д.В., Иванов А.А. Направленная кристаллизация трехкомпонентных сплавов с образованием двухфазных зон: аналитическое решение // Тезисы докладов Юбилейной X Всероссийской молодежной школы-семинара по проблемам физики конденсированного состояния вещества, Екатеринбург, 9-15 ноября 2009.- С. 67.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Иванов, Александр Андреевич, Екатеринбург

1. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел.- М.: Высшая Школа, 1985 480 с,

2. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1983.- 352 с.

3. Найфэ А.Х. Методы возмущений,- М.: Мир, 1976.

4. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа М.: Наука, 1965 - 288 с.

5. J. Stefan. Uber einige Probleme der Theorie der Warmeleitung // Sitzungsberichte dc Mathematisch-Naturawissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen, Akademie der Wissenschaften. 1889. Vol. 98(2a). - P. 473-484.

6. J. Stefan. Uber die Theorie der Eisbildung, insbesondere uber die Eisbildung im Polarmeere // Sitzungsberichte de Mathematisch-Naturawissenschaftlich.cn Classe der Kaiserlichen, Akademie der Wissenschaften. 1889. Vol. 98(2a). - P. 965-983.

7. J. Payer. Die Oesterreichisch-Unhgarische Nordpol-Expedition in den Jahren 1872-1874. Wien: Alfred Hoelder, 1876. - 696 p.

8. M.G. Worster. Solidification of Fluids, in Perspectives in Fluid Dynamics, eds. G.K. Batchelor, H.K. Moffatt, M.G. Worster. -Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2000.

9. M.G. Worster. Solidification of an alloy from a cooled boundary //J. Fluid Mech. 1986. Vol. 167. - P. 481-501.

10. Чернов А.А., Гиваргизов Е.И., Багдасаров X.C. Современная кристаллография. Т. 3. Образование кристаллов.- М.: Наука, 1980370 с.

11. Русанов А.И. Термодинамика поверхностных явлений,- Л.: ЛГУ, I960.- 180 с.

12. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей. М.: МГУ, 1987. - 164 с.

13. Samarskii А.А., Vabishchevich P.N. Computational heat transfer. -Chichester: Wiley, 1995.

14. Лодиз P., Паркер P. Рост монокристаллов. M.: Мир, 1974. - 544 с.

15. Чалмерс Б. Теория затвердевания. М.: Металлургия, 1968. - 288 с.

16. Флеминге М.К. Процессы затвердевания. М.: Мир, 1977. - 423 с.

17. Buyevich Yu.A., Alexandrov D.V., Mansurov V.V. Macrokinctics of crystallization. New York: Begell House, Inc., 2001.

18. Вайнгард У. Введение в физику кристаллизации металлов. М.: Мир, 1967. - 159 с.

19. Tiller W.A., Rutter J.M. The effect of growth conditions upon the solidification of a binary alloy // Can. J. Phys., 1956 Vol. 34 - P. 96-121.

20. Rutter J.M. Chalmers B. A prismatic substructure formed during solidification of metals // Can. J. Phys., 1953.- Vol. 31.- P. 15-39.

21. Mullins W.W., Sekerka R.F. Stability of a planar interface during solidification of a dilute binary alloy // J. Appl. Phys., 1964. Vol. 35, N 2.- P. 444-451.

22. Ландау Л.Д. К теории медленного горения // ЖЭТФ, 1944 Т. 14.- С. 240-249.

23. Воронков В.В. Условия образования ячеистой структуры фронта кристаллизации // ФТТ, 1964 Т. 6, вып. 10 - С. 2984-2988.

24. Буевич Ю.А. Неустойчивость автомодельного фронта фазового перехода // ИФЖ, 1981.- Т. 40, N 5.- С. 818-927.

25. Мансуров В.В. Проблемы затвердевания бинарных расплавов // Дисс. на соиск. уч. степ. докт. физ.-мат. наук, 1992.- 271 с.

26. Буевич Ю.А., Искакова Л.Ю., Мансуров В.В. Нелинейная устойчивость и формирование структур при направленном затвердевании бинарного расплава. Часть I // Расплавы, 1989, N 6 С. 44-50.

27. Буевич Ю.А., Искакова Л.Ю., Мансуров В.В. Нелинейная устойчивость и формирование структур при направленном затвердевании бинарного расплава. Часть II // Расплавы, 1990, N 2.- С. 65-73.

28. Sekerka R.F. A procedure for explicit evaluation of the Mullins-Sekerka interface stability criterion //J. Appl. Phys., 1965 Vol. 36, N 1.- P. 264-268.

29. Sekerka R.F. Morphological stability //J. Crystal Growth, 1968. Vol. 3-4,- P. 71-81.

30. Delves R.T. Theory of the stability of a solid-liquid interface during growth from a stirred melt //J. Crystal Growth, 1971- Vol. 8 P. 13-25.

31. Hurle D.T.J., Jakeman E., Wheeler A.A. Effects of solutal convection on the morphological stability of a binary alloy //J. Crystal Growth, 1982.- Vol. 58.- P. 163-179.

32. Young G.W., Davis S.H. Directional solidification with buoyancy in systems with small segregation coefficient // Phys. Rev. B, 1986.- Vol. 34,- P. 3388-3396.

33. Novick-Cohen A., Sivashinsky G.I. On the solidification front of a dilute binary alloy: thermal diffusivity effects and breathing solutions // Phys. D, 1986.- Vol. 20.- P. 237-258.

34. Wheeler A. A. The effect of a periodic growth rate on the morphological stability of a freezing binary alloy //J. Crystal Growth, 1984.- Vol. 67.- P. 8-26.

35. Tarshish L.A., Tiller W.A. The effect of interface-attachment kinetics on the morphological stability of a planar interface during solidification // Proc Intern Conf. Crystal Growth, Boston, 1966 P. 709-719.

36. Laxmanan V. Morphological transitions in the rapid solidification regime: a re-examination of the fundamental validity of the absolute stability concept of Mullins and Sekerka // Acta Metallurgica, 1989-Vol. 37, N 4,- P. 1109-1119.

37. Merchant G.J., Davis S.H. Morphological instability in rapid directional solidification // Acta Metall. Mater., 1990 Vol. 38, N 12,- P. 26832693.

38. Durand I., Kassner K., Misbah C., Muller-Krumbhaar H. Strong coupling between diffusive and elastic instabilities in directional solidification // Phys. Rev. Lett., 1996,- Vol. 76, N 16,- P. 3013-3016.

39. Cantat I., Kassner K., Misbah C., Muller-Krumbhaar H. Directional solidification under stress // Phys. Rev. E, 1998.- Vol. 58, N 5.- P. 6027-6040.

40. Буравцев B.H., Маломед Б.А. О неустойчивости плоского фронта кристаллизации слабого раствора // ЖЭТФ, 1983.- Т. 85, вып. 5.-С. 1743-1747.

41. Langer J.S., Muller-Krumbhaar Н. Theory of dendritic growth // Acta Metallurgica, 1978,- Vol. 26, N 1.- P. 1681-1708.

42. Langer J.S. Instabilities and pattern formation in crystal growth // Rev. Mod. Phys., 1980,- Vol. 52.- P. 1-28.

43. Авдонин H.A. Математическое описание процессов кристаллизации. Рига: Зинатне, 1980. - 180 с.

44. Кояло М.В. Исследование возможности переохлаждения расплава в двумерном случае // Вопросы теории кристаллизации. 1974. Вып. 1. - С. 78-84.

45. Иванцов Г.П. Диффузионное переохлаждение при кристаллизации бинарного сплава // ДАН СССР. 1951. Т. 81, N 2. - С. 179-182.

46. Борисов В.Т. Теория двухфазной зоны металлического слитка. -М.: Металлургия, 1987. 224 с.

47. Сулимцев И.И., Матвеев Ю.Е., Борисов В.Т., Голиков И.Н. ЭксIпериментальное определение диффузионного переохлаждения в двухфазной зоне бинарного сплава // Проблемы стального слитка. М.: Металлургия, 1976. - Т. 6. - С. 76-82.

48. D. М. Anderson, М. G. Worster. A new oscillatory instability in a mushy layer during the solidification of binary alloys // J. Fluid Mech. 1996. Vol. 307. - P. 245-267.

49. T. P. Schulze, M. G. Worster. Weak convection, liquid inclusions and the formation of chimneys in mushy layers // J. Fluid Mech. 1999. Vol. 388. -P. 197-215.

50. H.E. Huppert, M.G. Worster. Dynamic solidification of a binary alloy // Nature. 1985. Vol. 314. - P. 703-707.

51. M. G. Worster. The dynamics of mushy layers. In Interactive Dynamics of Convection and Solidification (ed. S. H. Davis, H. E. Huppert, U. Muller, M. G. Worster). Kluwer, 1992. -P. 113-138.

52. M. G. Worster. Interfaces on all scales during solidification and melting. In Interfaces for the Twenty-First Century (ed. M. K. Smith, M. J. Miksis, G. B. McFadden, G. P. Neitzel, D. R. Canright). Imperial College Press, 2002. -P. 187-201.

53. M.G. Worster. Convective flow problems in geological fluid dynamics. Ph.D. thesis. Cambridge: University of Cambridge, 1983.

54. R.N. Hills, D.E. Loper, P.H. Roberts. A thermodynamically consistent model of a mushy zone // Q. J. Appl. Maths. 1983. Vol. 36. - P. 505-539.

55. S. H. Davis. Theory of Solidification. Cambridge University Press, 2001.

56. M. G. Worster. Convection in mushy layers // Annu. Rev. Fluid Mech.- 1997. Vol. 29. -P. 91-122.

57. G.K. Batchelor. Transport properties of two-phase materials with random structure // Ann. Rev. Fluid Mech. 1974. Vol 6. - P. 227-255.

58. W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery. Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing, 2nd Edn. Cambridge University Press, 1992.

59. Борисов В.Т., Матвеев Ю.Е. Определение температур в начале двухфазной зоны бинарных сплавов // ФММ. 1962. Т. 13, N 3.- С. 456-470.

60. Webb B.W., Viskanta R. // Heat transfer. 1986. Proc. 8th Int. Conf., San Francisko, Calif., Aug. 17-22, 1986, V. 4: General papers.- Wash, e. a.

61. Борисов В.Т. Кристаллизация бинарного сплава при сохранении устойчивости // ДАН СССР. 1961. Т. 136, N 3. - С. 583-586.

62. Буевич Ю.А., Искакова Л.Ю., Мансуров В.В. // ЖПМТФ. 1990. N 4. - С. 46-53.

63. Искакова Л.Ю., Мансуров В.В. К теории двухфазной зоны металлического слитка // Расплавы. 1994. N 1. - С. 82-87.

64. Александров Д.В. К теории затвердевания с квазиравиовеспой двухфазной зоной // Доклады АН. 2000. Т. 375, N 2. - С. 172176.

65. А. О. P. Chiareli, М. G. Worster. On measurement and prediction of the solid fraction within mushy layers //J. Cryst. Growth. 1992. Vol. 125. -P. 487-494.

66. V. R. Voller. A similarity solution for the solidification of a multicomponent alloy // Intl J. Heat Mass Transfer. 1997. Vol. 40. -P. 2869-2877.

67. Alexandrov D.V., Malygin A.P. Self-similar solidification of an alloy from a cooled boundary // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2006. Vol. 49. - P. 763-769.

68. Александров Д.В., Иванов A.A., Малыгин А.П. Автомодельное затвердевание с двухфазной зоной от охлаждаемой стенки // Вестник Удмуртского университета. 2008. Вып. 1. - С. 14-25.

69. М. G. Worster. Natural convection in a mushy layer //J. Fluid Mech. 1991. Vol. 224. -P. 335-359.

70. Wettlaufer J.S., Worster M.G., Huppert H.E. Solidification of leads: Theory, experiment, and field observations // J. Geophys. Res. 2000. Vol. 105, N CI. - P. 1123-1134.

71. Alexandrov D.V., Malygin A.P., Alexandrova I.V. Solidification of leads: approximate solutions of non-linear problem // Ann. Glaciol.- 2006. Vol. 44. P. 118-122.

72. Mullins W. W., Sekerka R. F. Stability of a planar interface during solidifcation of a dilute binary alloy //J. Appl. Phys. 1964. Vol. 35.- P. 444 451.

73. R. Gradinger. Occurrence of an algal bloom under Arctic pack ice // Mar. Ecol. Prog. Ser. 1996. Vol. 131. - P. 301.

74. Huppert H. E., Sparks R. S. J. The fluid dynamics of a basaltic magma replenished by influx of hot, dense ultrabasic magma // Contrib. Mineral. Petrol. 1980. Vol. 75. - P. 279-289.

75. J. P. Gu, C. Beckermann, A. F. Giamei. Motion and remelting of dendrite fragments during directional solidification of a nickel-base superally // Metall. Mater. Trans. 1997. Vol. 28. -P. 1533-1542.

76. С. Beckermann, J.P. Gu, W.J. Boettiriger. Development of a freckle predictor via Rayleigh number method for single-crystal nickel-base superalloy castings // Metall. Mater. Trans. 2000. Vol. 31. - P. 25452557.

77. F. Chen, J. W. Lu, T. L. Yang. Convective instability in ammonium chloride solution directionally solidified from below //J. Fluid Mech. 1994. Vol. 276. -P. 163-187.

78. Aitta A., Huppert H. E., Worster M.G. Difusion-controlled solidification of a ternary melt from a cooled boundary //J. Fluid Mech. 2001. Vol. 432. - P. 201.

79. Aitta A., Huppert H. E., Worster M.G. Solidification in ternary systems. In Interactive Dynamics of Convection and Solidification (ed. P. Ehrhard, D. S. Riley, P. H. Steen). Kluwer, 2001. - P. 113-122.

80. West D. R. F. Ternary Equilibrium Diagrams, 2nd Edn. Chapman and Hall, 1982.

81. Smallman R. E. Modern Physical Metallurgy. Butterworths, 1985.

82. Krane M. J. M., Incropera F. P., Gaskell D. R. Solidification of ternary metal alloys-I. Model development // Intl J. Heat Mass Transfer. -1997. Vol. 40. -P. 3827-3835.

83. M. J. M. Krane, F. P. Incropera. Solidification of ternary metal alloys-II. Prediction of convective phenomena and solidification behavior of

84. Pb-Sb-Sn alloys // Intl J. Heat Mass Transfer. 1997. Vol. 40. -P. 3837-3847.

85. M. J. M. Krane, F. P. Incropera, D. R. Gaskell. Solidification of a ternary metal alloy: A comparison of experimental measurements and model predictions in a Pb-Sb-Sn system // Metall. Mater. Trans. A. -1998. Vol. 29. -P. 843-853.

86. S. D. Felicelli, D. R. Poirier, J. C. Heinrich. Macrosegregation patterns in multicomponcnt Ni-base alloys //J. Cryst. Growth. 1997. Vol. 177. -P. 145-161.

87. S. D. Felicelli, D. R. Poirier, J. C. Heinrich. Modelling freckle formation in three dimensions during solidification of multicomponent alloys // Metall. Mater. Trans. 1998. Vol. 29. -P. 847- 855.

88. D.M. Anderson. A model for diffusion-controlled solidification of ternary alloys in mushy layers //J- Fluid Mechanics. 203. Vol. 483. - P. 165-197.

89. M.C. Flemings. Solidification Processing. New York: McGraw-Hill Book Company, 1974.

90. W.J. Boettinger, U.R. Kattner, D.K. Banerjee, in Modeling of Casting, Welding and Advanced Solidification Processes VIII, ed. by B.G. Thomas and C. Beckermann. Warredale, PA, 1998. - P. 159.

91. S. Martin, P. Kauffman. he evolution of under-ice melt ponds, or double diffusion at the freezing point //J. Fluid Mech. 1974. Vol. 64. - P. 507.

92. Д.В. Александров, И.Г. Низовцева. Нелинейная динамика ложного дна в случае замерзания морской воды // Доклады АН. 2008. Вып. 419, N 2. - Р. 262.

93. R. С. Kerr, A. W. Woods, M. G. Worster, H. E. Huppert. Solidification of an alloy cooled from above. Part 1. Equilibrium growth // J. Fluid Mech. 1990. Vol. 216. -P. 323-342.

94. R. C. Kerr, A. W. Woods, M. G. Worster, H. E. Huppert. Solidification of an alloy cooled from above. Part 2. Non-equilibrium interfacial kinetics // J. Fluid Mech. 1990. Vol. 217. -P. 331-348.

95. E. Scheil. Bemerkungen zur schichtkiistallbildung // Z. Metalld. 1942. Vol. 34. - P 70-72.

96. W. F. Linke. Solubilities of Inorganic and Metal-Organic Compounds, vol. II, 4th Edn. American Chemical Society, 1965.

97. Проценко П. И., Разумовская О. Н., Брыкова Н.А. Справочник по растворимости нитритных и нитратных солевых систем (под ред. А.Б. Ждановского). Ленинград: Химия, 1971.

98. R.C. Kerr, A.W. Woods, M.G. Worster, H.E. Huppert. Solidification of an alloy cooled from above. Part I: equilibrium growth //J. Fluid Mech. 1990. Vol. 216. - P. 323.

99. M. Hort. Abrupt Change in Magma Liquidus Temperature // J. Petrology. 1998. Vol. 39, N 5. - P. 1063-1072.