Численные методы решения многокритериальных многоэкстремальных задач с особенностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО

На правах рукописи МАРКИНА Марина Викторовна

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ МНОГОЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ С ОСОБЕННОСТЯМИ

01.01.11 — Системный анализ и автоматическое управление

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород, 1994

Работа выполнена на кафедре математического обеспечения ЭВМ факультета вычислительной математики и кибернетики Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный деятель науки России Стронгин Р. Г.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук Ю. М. Максимов;

кандидат физико-математических наук А. Г. Коротченко.

Ведущая организация: Республиканский инженерный центр по автоматизации проектирования (г. Нижний Новгород).

Защита состоится « 4 » (уСЛРЛ¡к_1994 г, в / 7 час.

на заседании специализированного совета К 063.77.01 в Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского по адресу: 603600, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного университета.

Автореферат разослан «

1994 г.

Ученый секретарь совета, кандидат физ.-мат. наук, доцент

В. И. Лукьянов.

. сам ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Актуальность темы.

Современный уровень развитая проектных и исследовательских работ характеризуется усложнением обьектов проектирования исследования, з тэкже возрастающей степенью автоматизации.

Новые технологии в этих областях связаны с созданием систем автоматизации проектирования и научных исследования и требуют комплексного использования различных научных методов. Необходимость .учета в модели как можно большего числа типичных особенностей исследования или проектирования сложных систем (многокритериальный характер оцзнки качествз альтернатив, многоэкстремэльность и разрывность функционалов, определяющих характеристики модели обюкта, неодносвязность областей функционирования} приводит к невозможности использования в возникавших ситуациях традиционных методов математического программирования.

Таким образом,важным и актуальным становится разработка новых методов, представляющих более широкие возможности для учета различных особенностей процессов принятия решений.

Известные численные методы оценки множества слабоэффективных решений условно можно разделить на две группы. Методы шрвсй группы осуществляют последовательную опенку отдельных слабозффективных точек как решений вспомогательных скалярных оптимизационных задач. Каждая такая задача обычно порождается введением соответствующей линейной или минимаксной свертки критериев ( работы Гермейера Ю.Б., Батищева Д.й., Ларичева О.И. и др. )

Переход от одной задачи к другой требует изменения весовых коэффициентов свертки. Выбор, основанный на использовании лексикографического упорядочения критериев также может

рассматриваться кэк введение специальной свертки (работы Подиновского В.В., Ногина В.Д., Федорова В.В.). В этой случае возможна и непосредственная скаляризация, например с помощью метода последовательных уступок (рзботы Подиновского В.В.,Гзвриловэ В.М. .Вентцель Е.С.) Непосредственная скаляризация возможна также с помощью метода функция Лагравжэ (работы Жадана В.Г.).

В работа! Стронгина Р.Г. .Гергеля В.П. при переходе к следующей задаче с измененными весовыми коэффициентами предложено использовать результаты всех предшествующих испытаний. Метода второй группы призваны обеспечивать равномерную аппроксимацию множества слабо эффективных точек в целом. Основу таких методов составляет некоторая процедура генерации подмножества недоминиремых вариантов.

В работах Соболя P.M., Статниковз Р.Б. такие точки отфильтровываются из выборки равномерно распределенной в области поиска.

В работах, Сухарева А.Г. используется неравномерная сетка в сочетании с принципом минимакса. Различные неравномерные сети, 'основанные вэ прогноза нижних значениев частных критериев, предложены в работах Евтушенко Ю.Г.,Потапова М.А..Попова Н.М. Все эти алгоритмы предполагают наличие подходящих априорных оцэнок констант Липшица для всех функционалов задачи. В работах Стронгина Р.Г. .Маркина Д.Л., предлагается метод скаляризэции многокритериальной задэчи, при котором множество глобально-оптимальных решения вспомогательной скалярной задачи совпадает с множеством шлузффективных точек • исходной многокритериальной задачи.

Необходимость .учета других особенностей продасов принятия решения (типл частичной вычислимости функционалов-характеристик модели,т.е. возможной неопределенности Последних вне области функционирования, возможная ' разрывность функционалов)

предъявляют дополнительные требования к разрабатываемым методам. Гэким образом, важной и актуальной 'остается задача построения эффективных фодадер,представляющих широкие возможности да .учета особенностей реальных продассов принятия решений.

Цель и задачи исследования.

Шлъю настоящей работы является разработка и исследование процедур принятая решения, служащих теоретической основой для систем автоматического проектирования.

а диссертации рассматривается математическая модель принятия решений, вклвчаодзя в себя такие особенности задач оптимального выбора кзк многокригеризльность оценки вариантов, многоэкстремальность характеристик объекта,возможность наличия у характеристик разрывов типа конечного скачка, неодносвязность областей функционирования. На базе принятой модели

-строятся и теоретически обосновывается численные методы аппроксимации множества слабо эффективных решений;

-строится и теоретически обосновывается метод оптимизации многоэкстремальных функций,имеющих разрывы первого рода. Все численные . метода строятся на основе информационно-статистического подхода и являются развитием алгоритма поиска глобального минимума липшицевой многоэкстремзлыюа функции, разработанного Стронгиным Р.Г,

Научная новизна.

Основные результата диссертации состоят в следующем: I.Выбрана математическая модель принятия оптимального решения,охватывающая многие постановки задач, возникающих при исследовании и проектировании сложных систем. В модель внесены типичные особенности ситуации принятия решений в указанных

областях.

2.Разработаны одномерные численные метода построения оценок слабоэффективных решений многокритериальных многоэкстремальных задач с сусрспшно нелинейными,невыпуклыми ограничениями.

3.Разработан одномерный численный метод оптимизации многоэкстремальных функций, имеквдх разрывы первого рода. Точки разрывов функций могут быть как заранее неизвестными,так и априорно заданными.

4.Все предложенные численные методы исследованы нз сходимость.

5.Рассмотрены схемы редукции размерности (многошаговая, развертка типа кривой Пезно), полоненные в основу создания многомерных процедур.

Практическая ценность работы.

Практическая значимость работы определяется возможнстыо использования разработанных численных методов в подсистемах принятия оптимальных решений для САПР и АСНИ. Предложенные многомерные алгоритмы использованы для решения многокритериальных .прикладных задач оптимизации замковых соединений самораскрывающихся систем типа антенн и задачи оптимального проектирования передней подоски автомобиля. Результаты работы внедрены на предприятии п/я в-8216.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на хи Всесоюзной школе-семинаре по адаптивным системам (Могилев,1984).VI Всесоюзном совещании по автоматизации проектирования

электротехнических устройств (Таллин,1985), Всесоюзных совещаниях-семинарах молодя рте пых "Использование вычислительных средств в экологии,экономике,медицине" (Горький, 1388, СэратЬв, 1988), Всесоюзной конференции "Численная реализация физико-механических задач прочности" (Горький. 1987), Всесоюзной конференции "Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации" (Горький, 1988), VIII Всесоюзной конференции "Проблемы теоретической кибернетики" (Горький, 1988), Межгосударственной научной конференции "Экстремальные задачи и их приложения" (Ниша Новгород, 1992).

Публикации.

Основное содержание диссертации излотано в публикациях

11-Н1.

Структура и обьем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 96 наименований и приложения.

I ■

Основной печатный текст занимает 114 стрзпиц. В работе имеются 31 рисунок.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, определяются шли и задачи исследования, затрагиваются вопросы научной новизны полученных результатов, дается общая характеристика работы.

Первая глзва-"Метод оценки множества .полуэффектавных решений многокритериальных задач с невыпуклыми ограничениями" -посвящена описанию предлагаемого информационно-статистического

метода оценки слейтеровского множества. В §1.1 проводится построение' математической модели принятия решений, обобщающие постановки, описанные в литературе. Структура математической модели включает следующие компоненты:

-формальное описание, множества проектных решений, содержащее вектор конструктивных параметров

вектор-фушсцию характеристик

И<х|=(и,(х)....(х)) ,

1 п

все координатные функции таковы,что их уменьшение соответствует улучшению 'проекта,

область вариации управляемых параметров

0={хеВМ:»1<х1<Ь1,1<1<м},

определяемая заданными векторами цанала и конца

«Ма^.....ам>, Ь=(Ь1> ... ,

ТО а.<Ь ,1<1<М.

При этом предполагается,что все управляете параметры непрерывны и не зависят от времени;'

-формальное описание требований, предъявляемых к решению,заключающееся в выполнении неравенств

определяемы! набором «Н^,...,.^^!.....■>[ номеров

координатных функция «^к». для которых заданы предельные значения в виде допусков ч«Гч1#....ч1|». Неравенства выделяют допустимое множество

Q={*«D:a1<*)iO

Предполагается,что все функции SjUMiii« могут быть частично вычислимыми (т.е. добая функция яi <х> определена и вычислима в точке .если только bJx)so,i<j<i-i) и много экстремальными;

-формальное описание ' далеа, проследует при выборе рационального варианта, заключающееся в минимизации векторного критерия эффзктивности

(•(*)*(<■,<*),...,fB<*H. fjUMwj (к), iyep,

определяемого множеством f={ ^,... Дв }е{ i.... ,п\ в области q.

В задаче минимизации векторного критерия эффективности rui на подмножестве допустимых точек я

f(x) -> Bin

частные критерии обычно противоречивы.Замена вектора вектором *z может приводить одновременно к уменьшению частного критерия г. и к увеличению другого частного критерия г . В связи с этим для характеристики различных решений многокритериальной задачи используется понятия ¡эффективного и полуэффективного решений.

В §1.2 рассматриваются принципы построения одномерного а-тгоритма. Подход к оценке яедоиншируемых решений основывается

на трех следующих принципах:

I. Сведение задачи многокритериальной оптимизации к задаче условной оптимизации. Известно,что решение задач ввдз

Bin{fe(x):x£Q^, (1)

Где 4=jx€la,b1:fJ(x)<qJ,l<j<a-l, 8. <х)<0, 1<i<«},

x*=argein{f jlx) :el(*)£0,li iSo). l<jSs-l

является слабо эффективным решением многокритериальной задачи

(f,(x).....f (х) -> Bin , D={xel»,b]: g <х)<0}.

1 в ' i 1

X6D

2. Одновременное решение нескольких задач условной оптимизации

Для решения одной задачи условной минимизации при фиксированном векторе q=(4l...... ) можно воспользоваться

информационно-статистическим алгоритмом условной минимизации,

описанным в работах Стронгина Р.Г. и Маркина Д.Л.

Данный алгоритм предполагает разбиение области поиска на

подынтервалы и проведение очередной итерации в том из них,которому

соответствует наибольшая характеристика. В работе предлагается

способ одновременного решения s <B>i> задач условной минимизации, при этом модифицированный алгоритм отличается от исходного способом вычисления характеристики. В новом алгоритме каждому подынтервалу нужно сопоставить мзксималънр из всех -характеристик,

соответствующих задачам различным задачам.

Сформулированы достаточные условия сходимости такого алгоритма.

3.Одновременное решение бесконечного числа задач условной минимизации, к которым сводится многокритериальная задачз.

Если в задачах условной минимизации, к которым сводится многокритериальная задача, возможное изменение каждой компоненты

вектора п=(ч1,....ч задать правилом «

Г.+(р-1)Ь, ГДЗ <21

»1- положительная величина (шаг аппроксимации паротовского множества), то бесконечное число характеристик подынтервала (каждая характеристика соответствует задаче с определенным вектором ч), можно разбить на конечное число групп. В кзэдой из таких групп максимальную характеристику можно определить аналитически.

В §1.3 дается описание одномерного алгоритма

эппроксимэщи множества 'полуэффоктивных решений

многокритериэльни задач с ограничениями,

§1.4 посвящен теоретическому обоснованию сходимости

предложенного одномерного алгоритма. Достаточные условия сходимости алгоритма сформулированы в следующей теореме: Теорема.

Пусть:

1)множество б - есть множество решений задачи п> при всем множестве векторов ч=(ч1,... ,пв1), задаваемым условиями <21 ;

2) функции в.<хы<ип>, удовлетворяют условию ;1ишвда с

соответствующими константами и вырезают непустую допустимую область;

функции fjU), i<j<8 удовлетворяют условию Липшица с соответствующими константами Kj¡

3) начиная с некоторого шага рзботы алгоритма выполняются условия:

r^>2Kj. líiío, eiJ >2К , l<JSe.

где r>i параметр алгоритма, pJ./Jj оценки алгоритмом констант

Липшица соответствующих функции;

1огда

Множество предельных точек последовательности порожденной алгоритмом при точности £=о в условии остановки содеригг в себе множество sq. Кроме множества s4 множество предельных точек может еде содержать лишь точки локальных минимумов критериев rt«*>.....r8_i<*>-

Во второй главе-"Метод уступок для многоэкстремальных лексикографических задач" рассматривается другая схема решения многокритериальных задач.

В §2.1 рассматривается идея использования метода уступок при решении многоэкстремальных лексикографических задач.

.Лексикографическая задача оптимизации является частным видом общая задачи оптимизации, когда все частные критерии

i^U),.. .fa I x), образующие векторный критерий .строго упорядочены

по ва;кности.Лексикографическая задзча оптимизации заключается в

отыскании лшсшсографически-огггимзлъных решения.

Решение лексикографической задачи - точка,в которой

достигается наименьшее значение самого важного критерия и значение

всех критериев в этоа точке.Однако, могут быть случаи,когда

незначительная уступка по значению более важного Чфигерия может

дать существенное улучшение менее важного.Лексикографическое

решение при зздзнных уступках - решение последней задачи из следующей последовательности задач:

1) НайТИ f« =»in f <x),xeD;

2) найти Г* «Bin f2(x),xeD,- f <*>«f| s

в) найти f* =«in f (x),x€D, Г(х)<Г* IS1<B-1;

a a i i i

x£ I а, Ы : g1(x)<0}.

Предлагаем способ выбора решения основывается на: 1) схеме сведения многокритериальной задачи к семейству однокригериальных

г) схеме минимизации многоэкстремальней функции при невыпуклых ограничениях!

Схема сведения многокритериальной задачи к семейству однокригериальных:

где

Г* = и1п{Г^<х),Ь.(х)10; 1< р}. \<.)И

Г. (х)-Г* -г. ,В+1<1<р.

1-В 1-й 1-Е

Таким образом,нахождение оптимального решения х* можно свести к последовательному решению в задач минимизации нногоэкстромалыюй липшипевой функции при невыпуклых ограничениях. Необходимые rip.it таком подходе оценки значений г*.....г* ,

1 1 в -1

обеспечиваются последовательным решением предшествующих задач.

Функции ь^ < х I удовлетворяют условию Липшица в силу лишшевости

всех характеристик модели.

Решение тзкой задачи алгоритмом условной оптимизации,

описанным в главе I позволяет получить алгоритм решения условной лексикографической задачи, позволявший преобразовывать

поисковую информацию,полученную при решении предыдущей задачи (по 1- тому критерию) к решению пеледуюшей задачи (по 1+1 критерию).

Таким образом,решение задачи по следующему критерию продолжает

решение предшествующей задачи.

■ В §2.2 описывается алгоритм решения одномерных

лексикографических задач с ограничениями и приводятся достаточные

условия его сходимости.

1Ь

Глава 3 -"Многоэкстремальная оптимизация разрывных функций" посвящена разработке алгоритмов оптимизации функция", имеющих разрывы первго рода (типа.конечного скачка).

ЗВ з3.1 рассматривается постановка задачи и классификация причин разрывов первого родз, возникающих в задачах механики.

Пусть г(х»-однозначная, действительная функция одного переменного,определенная нэ отрезке ¡«.ы вещественной оси имеет конечное число точек разрывов первого родз «1 <1<1<п>.Функция г<*> имеет лишииевыэ дуги в интервалах («1_1,и1М51<п+1,и()=а,нп^«>ь, может бить многоэкстремальной,экстремум макет совпадать с точкой разрыва.

Требуется найти х*.такое что

I (х* >=я!п|ГIх):х€[а,Ь1^.

Разрывы функций первого рода могут отражать свойства характеристик расчетных моделей реальных обьектов.Возникновение таких разрывов может быть следствием:

-скачкообразных изменений геометрических характеристик.

-скачкообразных изменений физико-механических свойств материалов.

-скачкообразных изменений внешних воздействий (силозых, температурных, радиационных и т. д.).

В §3.2 рассматривается подход к решению задачи оптимизации разрывных функций на основе информационно-статистических алгоритмов.

Любой численный метод оптимизации предполагает возможность

проведения некоторого числа испытаний в точках х'.иик, области

поиска (под испытанием понимается вычисление значения функции).При

этом возникает вопрос о том,как выбирать точки,в которых следует

проводить испытания.

В случав.когда разности значений функции ограничены

некоторой мерой разностей аргумента,зтот выбор определяется строго

формализуемыми шляш.что позволяет ставать задачи построения

оптимальных процедур. Алгоритм глобального поиска Стронгина Р.Г.

является одной из реализаций такого подхода. Применение его к

разрывным функциям не всегда возможно. Это связано с тем,что

плотность точек испытаний зависит от оданки алгоритмом константы

Липшица функции.

Идея модификации алгоритма глобального поиска для мшшиззции разрывной функции следующая.

В случав, когда точки разрывов функции заданы заранее способ вычисления характеристики существенным образом зависит от того, является ли один из концов подынтервала точкой разрыва или нет. Предлагается схема проверки этого условия.

Если концы интервала не являются точками разрывов, то характеристика подынтервала совпадает с характеристикой алгоритма

глобального поиска минимума у непрерывных функций, что является

следствием эвивзлентности моделей, лежащих в основе обоих алгоритмов на таких подынтервалах области поиска.

В случае, когда определено, что один из концов подынтервала является точкой разрыва предложен способ вычисления

характеристики, использующий значение функции только на одном конца подынтервала. Интервалы такого типа не участвуют в оценке константы Липшица функции.

Если точки разрывов заранее не заданы, описывается процедура, позволяющая определить содеркиг ли подынтервал точку разрыва или нет, после чего задача сводится к задаче с заданными точками разрывов.

В §3.3 описан алгоротм минимизации одномерных много экстремальных функций,имевших 'разрывы первого рода в заданных точках и сформулированы достаточные условия сходимости алгоритма.

В §3.4 описан алгоритм, минимизации одномерных многоэкстремальных функций » имеющга разрывы первого рода в как в известных так и неизвестных точках и также приведены достаточные условия его сходимости. Теорема.

Пусть:

Т) минимизируемая функция г(о,хе|а,ы имеет конечное число точек разрыва первого рода и липшицевые (сконстантой К) дуги в открытых подынтервалах из разбиения и. ь> .порождаемого точками разрыва;

Г(Ь-0>, х*Ь,

Г(аЮ), х«а;

)

3) {хк} -есть последовательность точек .порождаемая алгортмом;

4) начиная с некоторого шага для величины р, являющейся оценкой константы Липшица функции на участках непрерывности выполняется неравенство

гр>2К,

где г>1 параметр метода;

5) точка х* глобального минимума функции ?(х| отделена от соседней точки разрыва хотя бы одной точкой последовательности

1огда:

а) точка х»-есть предельная точка последовательности ;

6) каждая предельная точка к последовательности есть точка

ГЛОбалЬНОГО минимума ФУНКЦИИ Их);

Глава _4_ -"Обобщение алгоритмов для функций нескольких переменных и применениэ их для решения задач принятия решений" посвящена обсуждению схем редукции размерности,позволяющих обобщить все предложенные одномерные численные метода на многомерный случай, и приводятся результата решения некоторых задач многокритериальной оптимизации с помощью разработанных методов поиска.

В §4.1 рассматривается многошзговая схема редукции размерности и обсуждается ее применение к алгоритмам мимнимизают разрывных функций.

В §4.2 рассматривается применение схемы редукци» тин? "п^л*

Пеано к алгоритмам, решающим многокритериальные задачи.

В §4.3-4.5 приводятся результата решения двумерных многокритериальных прикладных примеров определения оптимальных параметров проектирования передней подвески автомобиля и проектирования спиральной пружины, явлшцзасл работал элементом замкового соединения раскрывающаяся антенны, а также результаты решения одномерной задачи определения максимального значения разрывной функции внутреннего момента статически-определимой балки.

В приложении приводятся результаты решения тестовых примеров, а • такт представлен акт о внедрении результатов диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ.

I.Выделена математическая модель принятия оптимального решения,обобщающая многие постановки,описанные в литературе, и учитывающая типичные особенности процессов принятия решения.

2.Разработаны одномерные численные метода построения опенок слеятеровского множества многокритериальных много экстремальных задач с невыпуклыми ограничениями.

3.Разработан одномерный численный метод оптимизации много экстремальных функций, имеющих разрывы шрвого рода. Точки разрьюов функция могут быть как заранее неизвестными,так и априорно заданными.

4.Сформулированы достаточные условия сходимости предложенных алгоритмов.

5.Рассмотрены схемы редукции размерности.

¿и

Преддошшыо многомерные алгоритмы использованы для решения многокритериальных прикладных задач оптимизации замковых соединений самораскрывающихся систем типа антенн и задачи оптимального проектирования передней подвески'автомобиля.

По материалам диссертации опубликованы следующие работы:

1.Маркина N.B. Метод оценки множества полуэффективных решений бикритериэльных задач выбора //Проблемы теоретической кибернетики: е-я Всесоюзная научная конференция: Тез.докл. .'Горький,тел,II, с.зг-зз.

2.Маркина М.В..Стронгин Р.Г'.Лексикографический подход к решению многокритериальных физико-механических задач выбора // Всес.конф. "Численная реализация физико-механичесих задач прочности". Тез.докл. Горький. Изд-во 1ТУ,1987.с.142.

3.Маркина М.В. Численный, метод решения бикритериэльных многоэкстремальных задач. Сб.ст." Математическое моделирование,"управление и оптимизация ".Деп.в ВИНИТИ

15.07.88 N 57-14.

4.Отчет по научно-исследовательской работе: Геометрическая модель зеркала.Оптимизация замковых соединений.-Горький, НИИ механики при ГГУ, м г.р.01850005294,1904. s.Отчет по научно-исследовательской работе: Адаптивное управление, принятие решений и оптимизация. Решение много экстремальных, лексикографических задач с уступками (промежуточный отчет).Горький,НИИ ПМК при ГГУ, н г.р.

01860136674,1987.

6.Стронгин Р.Г.,Маркина М.В. Многоэкстремальные лексикографические задачи выбора. // Системное моделирование процессов интенсификации общественного производства: Всесоюзная школа-семинар: Тез. докл./Горьк.

гос. ун-т. Горький,1987. с.1вэ-17о. 7.Стронгин Р.Г. .Маркина М.В. Многоэкстремальная минимизация разрывных функций. // Методология проектирования САПР. ч. II: Тез.докл./ Таллин.1985.

с.119-121.

в.Стронпш Р.Г. .Маркина М.В. Огпшизация разрывных многоэкстремальны1 характеристик конструкций. // Всес.конф. Проблемы снижения материалоемкости силовых конструкций.Тез.докл.Горький: изд-во ГТУ,1Э84.с,до4-ю5. э.Стронгин Р.Г.,Маркина М.В. Многоэкстремальная оптимизация разрывных функций при расчете и проектировании конструкций. Межвуз.сб. "Математическое моделирование и метода оптимизации", ГГУ, гэвэ. ю.Стронгин Р.Г. .Маркина М.В. Численный метод оценки множества полуэффективных решений бикритериальных задач. В кн."Использование вычислительных средств в экономике, экологии, медицине ".Изд-во Саратовского ун-та. ива. 11.Маркин Д.Л. .Маркина М.В. .Стронгин Р.Г. Информационно-статистические алгоритмы многоэкстремальной многокритериальной оптимизации. //Межгосударственная научная конференция "Экстремальные задачи и их приложения". Тез.докл. Нижний Новгород, 1992.