Исследование многоэтапных стохастических задач принятия решений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

СУВОРОВА Мария Александровна

ИССЛЕДОВАНИЕ МНОГОЭТАПНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург- 2004

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете на факультете прикладной математики - процессов управления

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Колбин Вячеслав Викторович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Захаров Виктор Васильевич

кандидат физико-математических наук, Шагов Александр Владимирович

Ведущая организация: Институт информатики и автоматизации

Российской Академии наук

на заседании диссертационного совета К-212.232.07 по защитам диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, 10-я линия В.О., д.ЗЗ

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан 2оо4г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ. Актуальность темы исследования. Многие задачи планирования, проектирования и управления сводятся к исследованию моделей математического программирования. Исходная информация для планирования в экономике, технике, как правило, недостаточно достоверна. Параметры моделей принятия решений рассчитываются на информации, которая носит в той или иной мере вероятностный характер, вследствие этого часть или все параметры моделей могут выступать как случайные или неопределенные величины. Необходимость принятия решений в условиях неполной информации может возникнуть, когда времени на ее получение не хватает. В связи с этим, целесообразно рассматривать процесс принятия решений как стохастический.

Постановки одноэтапных стохастических задач принятия решений могут возникать как при рассмотрении стохастических аналогов детерминированных оптимизационных моделей принятия решений, исходные данные которых недостаточно достоверны, так и в следствии чисто вероятностных постановок.

В связи с необходимостью создания процедур принятия и корректировки решений, сочетающих противоречивые требования оперативности и обоснованности корректировки, появляется необходимость рассмотрения двухэтапных и многоэтапных задач.

Многоэтапность в данной работе понимается как наличие нескольких периодов принятия решений, разделенных во времени, на которых однородные по своему содержанию операции совершаются на основании уточненных данных, полученных в результате реализации предыдущих операций.

Особо важное значение в задачах принятия решений в условиях неполной информации приобретает вопрос исследования устойчивости решения, так как значения параметров в таких задачах случайны. В данной работе рассмотрено несколько видов вероятностной устойчивости: устойчивость по вероятностному параметру а, устойчивость по вероятностному распределению оз.

Большинство сложных практических задач принятия решений предполагают выбор «наилучшего» варианта из множества альтернатив, когда качество варианта не поддается оценке единственным числом. Однако нередко вместо численной оценки альтернатив объективно можно говорить лишь о некоторых возможностях их попарных сравнений, то есть о некотором отношении на их совокупности, которое может и не быть трашитивным. Вопрос о существовании и способах приписывания в таких условиях альтернативам численных значений, согласующихся с имеющимся отношением, оказывается весьма нетривиальным. Важной разновидностью этого вопроса является задача о сравнениях вероятностных распределений (мер) на наделенных той или иной упорядочивающей структурой множествах.

Актуальность этой проблематики для экономических задач очевидна: не поддаются, вообще говоря, скалярной оценке наборы потребностей индивидуумов и тем более групп населения, социально-экономические последствия тех или иных мероприятий, итоги деятельности какого-либо предприятия, отрасли или региона.

Полученные результаты проводимых исследований могут успешно применяться в сфере распределения ресурсов, при принятии инновационных, инвестиционных, социальных, политических решений, в экономическом анализе хозяйственной деятельности отдельных предприятий, отраслей народного хозяйства, а также в дальнейших исследованиях в области принятия решений в условиях неполной информации.

Широта применения результатов диссертационной работы говорит об ее актуальности.

Целью диссертационной работы является:

• исследование численного измерения интенсивности предпочтения в вопросах принятия решений;

• сведение многоэтапных задач принятия решений в условиях неполной информации к полубесконечномерным многоэкстремальным задачам;

• использование метода эталонных уровней при решении многокритериальных задач оптимизации;

• применение разработанных моделей к прикладным математическим задачам.

Научная новизна. Исследованы проблемы численного измерения интенсивности предпочтения в задачах принятия решений. Доказана единственность в соответствующих шкалах измерения численных представлений отношений предпочтения на выпуклых множествах альтернатив с помощью интенсивностей предпочтения и сравнительных полезностей.

Используется новый подход к решению многоэтапных задач принятия решений в условиях неполной информации, основанный на сведении к полубесконечномерной многоэкстремальной задаче. Доказано существование решений прямой и двойственной многоэкстремальной задачи.

Разработан и использован метод эталонных уровней для решения многокритериальных задач оптимизации.

Полученные результаты применены в моделях управления тарифной политикой в топливно-энергетическом комплексе региона и в задаче экспорта природного газа ОАО «Газпром».

Общая методика исследования. В работе используются аппараты математического и стохастического программирования, теории полезности и принятия решений, теории устойчивости.

Практическая значимость. Исследование, проведенное в диссертационной работе, является законченным. Полученные результаты применены для решения задачи экспорта природного газа ОАО «Газпром». Предложены математические модели управления тарифной политикой в топливно-энергетическом комплексе региона, созданный на их основе программный комплекс успешно внедрен в практику работы Региональной

энергетической комиссии Санкт-Петербурга (имеется соответствующий Акт о внедрении, приведенный в приложении 1 к диссертационной работе).

Апробация результатов исследования. Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинарах кафедры математической теории экономических решений факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета, на XXXII-XXXV научных конференциях «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, СПбТУ, 2001-2004).

Публикации. По результатам исследования имеется 14 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из трех глав, введения, заключения, списка использованной литературы и трех приложений. Библиография содержит 96 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование важности исследуемых вопросов, излагаются цели работы, практическая значимость и апробация результатов.

Первая глава посвящена численному измерению интенсивности предпочтения в вопросах принятия решений.

В п._11 формулируются такие понятия как предпочтение, отношение

предпочтения, бинарное отношение предпочтения, приведены свойства отношений предпочтения.

В п. 12 дается определение функции полезности. Рассматривается один из способов описания отношений предпочтения - численное представление отношений предпочтения. Предполагается, что каждой альтернативе можно поставить в соответствие число таким образом, чтобы одна альтернатива была более предпочтительной, чем другая, тогда и только тогда, когда соответствующее ей число больше, чем число, соответствующее другой альтернативе.

Множество альтернатив £2 вместе с заданным на нем отношением

предпочтения будем называть структурой, или пространством

предпочтения.

Определена классическая модель полезности:

л;<у о и(х) < и(у).

Для каждой альтернативы х существует такой порог различения г](хУ>0, что

только в том случае, когда Пороговая функция

является вещественнозначной убывающей функцией от времени, выделенного на принятие решения.

Рассматривается вопрос существования функции полезности.

В п._1.3 описывается интенсивность предпочтения. Любое отношение Ч

можно представить с помощью некоторой функции и, определенной на ЛхП, в том смысле, что

х>у и(х,уУ>0.

Когда для отношения -< существует функция полезности v (такая, что

можно положить и интерпретировать

такую разность полезностей, как интенсивность предпочтения.

Приведен пример, поясняющий роль численного измерения интенсивности предпочтения в вопросах принятия решений и моделирования поведения.

Исследован вопрос, связанный с упорядочением по интенсивности предпочтения. Функция интенсивности предпочтения задает на множестве ОжО слабое упорядочение, определяемое условием:

(*> У) <* (г, о и(х, у) < и(г, и>); О)

при этом условие кососимметричности функции и означает, что

(х,у) <* (г, и<) « (к\ г) <*(у, х).

В традиционном подходе к изучению понятия интенсивности предпочтения

отношение -<* рассматривается как основной исходный объект, и на него накладываются различные аксиомы, которые обеспечивают существование такой функции полезности что

С*.у)<* (г, у) О Ф) -и(у) < и(2) - иМ. (2)

Наиболее существенным аспектом этого подхода является то обстоятельство, что с помощью простых аксиом можно наложить на отношение -<* (и на множество альтернатив О) такие условия, при которых функция и, обладающая свойством (2), единственна с точностью до положительного линейного преобразования.

Основной недостаток этого подхода заключается в том, что в своем практическом применении он сталкивается с теми же проблемами, что и

обычная теория полезности: когда отношение на рассматривается как исходное понятие, определяемое экспериментально, нет никаких оснований считать, что это отношение будет слабым упорядочением.

Подход в этой работе противоположен традиционному: рассмотрены

аксиомы, накладываемые на отношение предпочтения которые позволяют представить это отношение с помощью функции интенсивности предпочтения,

удовлетворяющей тем или иным условиям. Отношения на которые

получаются в результате таких представлений в соответствии с условием (1), будут играть роль производных теоретических понятий и поэтому будут слабыми упорядочениями.

Лемма 1. Пусть для слабого упорядочения < на Л задано представление с помощью функции интенсивности предпочтения и, ад дитивной на отрицательно транзитивных компонентах. Тогда на О существует такая функция полезности v, что для любых х.уеО

и эта функция единственна с точностью до прибавления константы.

Лемма 2. Пусть для строгого частичного упорядочения •< на П задано представление с помощью функции интенсивности предпочтения и, аддитивной на транзитивных компонентах. Тогда на О существует такая функция v, что

х<у => Чх) - у(у) = и(х, у),

то есть для всех х,уеС1

и(х.у)=Ых)-у(у)%х,у)), где ¿(ж, уУ=0 при х~ук <5(х, у)= 1 при у.

Теорема 1 (о единственности). Если отношение -< на выпуклом множестве альтернатив П обладает представлением с помощью биаффинной функции интенсивности предпочтения и, то для любой другой представляющей

отношение биаффинной функции интенсивности предпочтения на существует такая константа а>0, что для всех х, уе£2

и(х,у) = а\{х,у).

Теорема 2 (о монотонности). Биаффинная функция интенсивности

предпочтения и, представляющая отношение является монотонной на

транзитивных компонентах тогда и только тогда, когда отношение -< является слабым упорядочением и на П существует такая аффинная функция V, что и(х, у)= ф) - у(у) для всех х,уеП.

Теорема 3. Если множество альтернатив £1 является выпуклым компактом, а функция интенсивности предпочтения и, представляющая отношение < на £1, квазивыпукла (квазивогнута) и полунепрерывна снизу по второй переменной, то

■< обладает максимальным элементом. Если и строго выпукло-вогнута, то

отношение обладает строго наибольшим элементом.

В п. 14 представлена наиболее общая концепция численного представления отношений предпочтения, охватывающая обычную теорию полезности и теорию интенсивности предпочтения - сравнительная полезность. Ее принципиальное отличие от последних заключается в том, что в ней вероятностный выбор решений осуществляется на основе детерминированных численных оценок степени предпочтения.

Численные оценки интенсивности предпочтения должны удовлетворять двум условиям:

х<у <=> и(х, >)<0

дг>-уо«(дс,^)>0, (3)

где и на называется функцией сравнительной полезности, (3) -

приведенная модель сравнительной полезности.

Модель сравнительной полезности с порогом различения представлена в виде:

х>у<г>и(х,у)> Г](у);

модель относительной, или условной полезности:

х>у и(х, у)> и(у, у).

Приведены некоторые результаты о существовании и шкалировании функции относительной полезности и о существовании максимальных элементов в случае, когда множество альтернатив является выпуклым компактом.

При рассмотрении вопросов о существовании максимальных элементов

требуется только, чтобы отношение < было полуоткрытым снизу, а для этого достаточно, чтобы функция и(х,у) была полунепрерывной снизу по у при любом -дгеО.

В п. 2.1 обсуждаются основные положения теории ожидаемой полезности. Рассматриваются отношения предпочтения на множестве альтернатив, которые являются вероятностными мерами на алгебре событий 2, являющихся подмножествами некоторого множества исходов О. Под вероятностными мерами на 2 понимаются неотрицательные нормированные конечно-аддитивные функции множества на

Дано определение множества смесей и пространства смесей. Приведены теоремы, дающие критерии существования аффинных функций полезности на выпуклом множестве мер.

В п. 2.2 изложена теория ожидаемой сравнительной полезности, дающей возможность для практического шкалирования сравнительной полезности (измерения с точностью до соответствующих групп преобразований) на основе оценок предпочтений между вероятностными мерами на множестве исходов. Эта теория дает эффективные методы выбора решений и вероятностного моделирования поведения в случаях, когда соотношения предпочтения между различными альтернативами плохо согласуются между собой и обычные способы к ним не применимы.

Пусть Р - некоторое множество вероятностных мер на пространстве исходов (П, 2). Пусть и - функция сравнительной полезности на ПхП, измеримая относительно о - алгебры 2®2, порожденной множествами вида ЛхВ, гдс АеИ и ВеТ.. Тогда под ожидаемой сравнительной полезностью для пары мер д Р понимается математическое о ж и д а £(ш,с/4< у) ] I к ц и и и в соответствии с мерой /JXv на 2®2.

Общая модель ожидаемой сравнительной полезности для отношения -< на Р 1имеет вид:

/XV),

где - некоторая пороговая функция, заданная на

Установлено, что аксиомы о независимости и о выпуклости графика, используемые в теории ожидаемой полезности, выполняются в модели ожидаемой интенсивности предпочтения тогда и только тогда, когда она эквивалентна обычной двусторонней модели ожидаемой полезности.

Рассмотрены аксиомы, необходимые и достаточные для того, чтобы отношение предпочтения Ч на пространстве смесей Р обладало представлением с помощью биаффинной функции интенсивности предпочтения. Если Р -

множество простых вероятностных мер на множестве исходов Л, то эти аксиомы будут характеризовать модель ожидаемой интенсивности предпочтения:

ft<v<^Е(и, fiXv)<0, и(х, у) = - и(у, х) для всех х, у eil.

Также описаны аксиомы для ожидаемой приведенной сравнительной полезности, для ожидаемой относительной полезности.

Вторая глава посвящена исследованию многоэтапных моделей принятия решений в условиях неполной информации.

В п. 3.1 описана общая постановка многоэтапной задачи принятия решений в условиях неполной информации с априорными решающими правилами. Описана необходимость использования многоэтапных задач.

Общая постановка задачи:

mf

Mat {vk{а>к,uf (0)\cok'l}<bk(t,ok-{) (4)

и,к eG,V eil' = хП',ьй/ = й/б[1,Г].

Для пояснения постановки задачи приведены формальные вспомогательные понятия.

Сформулирована задача /-го • этапа, определена ее целевая функция и область определения задачи.

Доказано существование решения задачи (4).

В п. 3.2 описана многоэтапная задача принятия решений с вероятностными ограничениями (М-модель):

* M'V) Ю * «,(ü>W), 0,5 < «,(©'-') < 1;

Приведена эквивалентная ей задача и целевая функция 1-ю этапа.

В п.3.3 исследуется многоэтапная задача принятия решений с вероятностным функционалом (Р-модель): m->max;

Д{F(z,(/,со"),...,z„(t,a)"))}£m) = ao,0<ao <0,5;

£ ^("'-4(0 * b,[tt а') | (о1'1 J !> 0,(0)'-'), 0,5 < а>м) < 1;

и/О = Uj(t,<0J1) Z О, > 0, i,j = 1 ,л,

ео' е О' = х О;, / 6 [1,Г].

В п. 3.4 рассмотрена следующая модель принятия решений в условиях неполной информации:

I

(MSP)

гад®'"1), j = \n,

coi efi, = х £1,,| = 1,я, оз* еQ" = хПк,а>" =(<»,,...,©„,...),

z, (f, z, (t -1, at/), bi (t, a)') > 0, t e [1, Г].

Задается следующий вид зависимости решений задачи i-го этапа z,{t) от

случайных параметров: и,(<) = ц,(/,i = 1,оо, то есть рассматривается задача

в априорных решающих правилах. Показывается, что задача в апостериорных решаюших правилах может быть сведена к задаче MSP.

В качестве функционалов задачи MSP будем рассматривать формы вида:

(MSP- М)MF(z(t,o>'~1)) = MF^zx(t,m^-x),z1(t,ш^-%...,z,(t,Ф^-l)) - М-задача;

(MSP- Р) {F(2(1,0)'-')) = F(zi(t,co,-i),z1(t,co"').....2.(f,«'-')) ±т} = а0 - Р-задача.

В п. 3.5 найден полубесконечномерный аналог для модели MSP-M: infminAZ.{FW.o)"), zt(t, г.«, <0)},

в" «"(О •

и,(г„9м)2>0, bXt,&J-'A)> о,

¿1 6 0,, .?€©' = X 0„

0" = x 0„ 0, 6 ^(«"(5'-')),

использующий апостериорную информацию i-l-ro этапа, где

«Г(0 = (и4(0,-,и,(0.и,+1(0.-). 4 = (®w;uM(О.С(0), S 0,5 Я , В п. 3.6 найден полубесконечномерный аналог для модели MSP-P:

(SIP-M)

(5/Р-Р)

шшшт М Р «,(©"), «гсов-со- "

.9м), *2(/, 5'-'))}^ /и,

4«Д*, ?'-') 5 ¿>Д/, ?,) - § Л«/«» "Д', ?м) * 0, г,(1, ,9м) > О, ¿Дг, д'-'-д,) > О, / = 1, я, / е [1, Г], е©„ & е©' = х 01( ©" = х ©„

/ы

I

ы

©' еС1„Я,е& = X а,6 й,Г = X а,а 6 ^(аДдм)),

|в1 ы

доказано его существование.

В п. 3.7 доказаны теоремы о единственности полубесконечномерных аналогов для моделей МБР-М и МБР-Р. Теорема 4. Пусть

1. Существует решение задачи М8Р-М и " (*).

2. Для V/ а*- непрерывная случайная величина на множестве £2, с Л"'.

3. Для V/ и,(Г,в»м) е УДйЛ') с Л"'.

4. Для V/ функции £Д/,а»м,®() строго выпуклы по щ непрерывны по щ равномерны по <у, и ограничены на всей области определения.

5. Точка и" (0 не является точкой локального минимума функции £>0(ц"(/)).

Тогда среди задач SIP-M для семейства 0°° существует единственный полубесконечномерный аналог задачи MSP-M с точностью до множества меры 0. Теорема 5. Пусть

1. Существует решение задачи МБР-Р и°°(/).

2. Для V/ <«1 - непрерывная случайная величина на множестве О,- а Я"1.

4. Для V» функции> ¿Д/, со''1,а,) строго выпуклы по <щ непрерывны по ец равномерны по щ и ограничены на всей области определения.

5. Точка м"(/) не является точкой локального минимума функции

Тогда среди задач SIP-P для семейства О" существует единственный полу бесконечномерный аналог задачи MSP-P с точностью до множества меры 0. В п. 3.8 приведена аппроксимационная схема решения для модели MSP-M. В п. 3.9 исследован вопрос устойчивости решений рассматриваемой модели по вероятностному параметру

В п. 3.10 рассмотрена устойчивость модели по вероятностному распределению со.

В п. 4.1 исследуется многоэкстремальная задача стохастического программирования, ее использование в решении многоэтапных задачах принятия решений.

Постановка данной задачи имеет следующий вид:

где х) - размер вложений в направление ¡, } = 1, п, х = (х{,...,хп).

Общее количество необходимого ресурса типа 1, которое нужно вложить составляет где

О; = (а,-1, а, 2,..., а,„ ), 1 <«< т, х1 = (хи х2,..., хп).

с1,о - объем изначально доступных ресурсов типа г, где </( = (ф |, <12,..., ¿¡р), 1 <1<т.

у, - количество дополнительных ресурсов типа /, которое необходимо приобрести. Если а; - затраты на приобретение одной единицы ресурса типа », то су - общие затраты на ресурсы, где а - («,, а2,..., с^),уТ = (у,у2.....Уя)-

Размер денежных отчислений в одно направление типа / зависит от некоторых параметров, {А ¡), 1 < / < ц.

Если Я = (Я 1, Я <1 ») и СЧ ~ размер денежных отчисления по одной единице параметра I в одно направлениеи если с/ = (с у, с у,..., сщ), то размер денежных отчислений в одно направление] составит Лс,-, 1 </ < л.

{а. Я) - случайные параметры.

") - интегральная функция совместного распределения при (<г, Я) е IV, IV - борелевское множество.

хе Х= Л" и Х-область пересечения »интервалов в Л".

Вводится множество 2= {г: [0,1]}.

В предположении, что (<х, Я) известны, имеем следующую задачу линейного программирования:

при условии, что

Ах-у^0сг,х>0,у^0. При х е Я", г, е 2, 1 < I < т, мы определили следующим образом новую функцию Х- Я" X гт Я ,ГЛС 2= (2|, г2.....2,,,):

Бир ¡(ЛСх - а тах[Ах - £сг,0]^(<т,Я)) ,

(5)

Х(х>г) = [лсх + ±2,{а,Л)(а,с!,о--а^х^^,Л).

Показывается, что задача (5) идентична задаче:

5иршт[^(дг,г)]=^*.

(б)

Выражение (6) может быть приравнено следующему:

1ШП вир[*(*,2)]=^**. (7)

В п, 4.2 доказывается лемма о существовании решений многоэкстремальной задачи.

Лемма 3. Пусть 2я компактно в топологии, порожденной нормой супремума. Решение задачи (6) существует тогда и только тогда, когда существует решение задачи (7).

При таких обстоятельствах имеем следующее:

X*- имтт[х(х,г)] = шшпш^д:,г)] = Х**-

В п._5 описан разработанный метод эталонных уровней в

многокритериальной оптимизации.

Выбор оптимального решения из множества Л должен производиться на основании предпочтений лица, принимающего решение. Эти предпочтения описываются при помощи критериев

Задача многокритериальной оптимизации ставится в следующем виде: Мах{м(2,,г2,...,гя)} при условиях

/,(х) = г„ 15 & п, хеП.

Функция полезности и: 1С—>Л отображает векторы критериев на действительную прямую так, что большее значение на этой прямой соответствует более предпочтительному вектору критериев.

- векторный критерий оценки качества альтернатив, определенный на непустом и компактном множестве допустимых альтернатив непрерывные числовые функции/{*), /=1,...,й - частные

критерии, которые максимизируются на множестве -

множество векторных оценок.

Рассматривается следующая процедура принятия решений.

Лицо, принимающее решение (ЛПР), назначает точку эталонных уровней /= (/], /2>-"А)> где и - эталонное значение 1-го критерия, которое ЛПР хотел бы получить. Далее в множестве Ж ищется точка, ближайшая к 1 в чебышевской метрике, т.е. решается задача:

^¡^-/Д^^тт. (8)

Если найденная точка не устраивает ЛПР, оно задает другую эталонную точку, для которой опять решается задача (8).

Рассматривается множество £ = I е/И//* гаахг, V/= 1,и| и функция

г) = тр(/, -г,), определенная на Поскольку функция непрерывна по г, то в силу компактности при каждом существует

решение задачи Вводятся множества = Аг%т\а<р(1,г) ,

непустые V 1еЬ.

Утверждение 1. Векторная оценка является слабоэффективной тогда и только тогда, когда существует вектор /е£> такой, что

Третья глава посвящена практическому применению многокритериальной многоэтапной модели принятия решений в условиях неполной информации на примере расчета тарифной политики в топливно-энергетическом комплексе (ТЭК) региона. Так же рассмотрена задача экспорта природного газа ОАО «Газпром».

В п.6.1 рассматриваются некоторые особенности финансово-хозяйственной деятельности энергоснабжающей организации в условиях естественной монополии.

В п. 6.2 исследуются. модели планирования расходной части бюджета энергоснабжающих организаций (ЭСО).

Пусть к = 1 характеризует процесс энергоснабжения, а к = 2 -теплоснабжения; у* - эталонный полезный отпуск энергии; у}** (/)

нарастающий итог полезного отпуска энергии; - установленная

мощность; - затраты на производство, приобретение

энергии и реконструкцию систем производства соответственно;

- соответствующие им удельные приросты количества

энергии; -</,'*'(/)- - возможные потери выработки энергии; 0(1) общесистемные затраты; I) - объем денежных средств, имеющихся в наличии; задолженность (запас) денежных средств; - доход от продажи

энергии собственным потребителям; - его изменение к предыдущему

периоду; доля использования

В качестве целевой функции взята вероятность того, что значение целевой функции не будет превышать некоторой заданной величины т' с заданной вероятностью Од.

Математическая модель представлена в виде:

У'ет от ^(o+j'o+j'o+^od

y\t)> о, sfHЛт ^(0^0,5^(0 >o,

В п. 6.3 исследуются модели планирования доходной части бюджета организаций (ЭСО).

Рассмотрены четыре варианта расчета тарифов на отпуск энергии: В п.6.4 приведенные модели исследуются при помощи аппарата, предложенного в первых двух главах.

Рассматривается многоэтапная задача принятия решений в условиях неполной информации с априорными решающими правилами и условными вероятностными ограничениями на примере распределения средств между производителями электрической и тепловой энергии (М-модель):

M{F(xx (t, су'"1 ), хг (/, й)м ),...,*„(/,©'"'))} -> min;

Р! jg (*,0) (О+х™ (/)+х» (0)=С(/, о1) | й)м J > а} (й>'"'), 0,5 < а} (®м) < 1; Р,г {уГЧО=-1)-+ *i"}(t>■ *,0>(0+sjt2)(i)■ х<">(()+s<">(0■ x^iO+d^COfe

2: af (a)'~l), 0,5 < af ) < 1;

srco-x^o+srio-x^o^o,

x<" (0 к О, (/) > О, х,<3) (О > О, х™(/)+х<*2)(()+х™(/) > О,

i((41) (О ;> о, (О > о, sjt3) (о > о,

/, j = 1, и, й)' еП1 = xQ„ к = 1,2, te [1, Г].

Находится задача принятия решений с целевой функцией i-го этапа:

Q,(xu(t))=мш(leW .....^.iioi+sia..^'^;«)}.

Рассматривается многоэтапная задача принятия решений в условиях неполной информации - Р-модель. Ее постановка описана в п. 6.2, эта задача взята за основу реализации модели в программном комплексе.

В п 6 5. найдены детерминированные аналоги для многоэтапных моделей управления тарифной политикой в условиях неполной информации.

Для М-модели принятия решений детерминированный полубесконечномерный аналог будет иметь вид:

infminA/ {F(x,(t,a>'-]),x2(t,û)'-l),...sn(t,a>'~1))},

в" л" со в

+(/, +с/, )+f"1),

JC.M'-'^O,

ci(t,&>-\3i)>0, i

■Яе©,, e©1 = x 0.

= x@t,®leYt{al{SÏ-% *=i

Для Я-модели принятия решений детерминированный полубесконечномерный аналог будет иметь вид:

min min inf Р «,(©"),

{FW, S '-').....x,{t, 9 M))} ï> m,

/-1

(', я1'1 ) = С/С» ч'~\ч,) - £ xj(t, qM), j-t

0, ^ сД^'Лд,) > О, (= 1,и, г е [1,Г], ,?1е0„ = Д 0„ е ГДа((9М)) •

В п_7 рассмотрена задача экспорта природного газа ОАО «Газпром» по вновь создаваемым маршрутам в США, страны Западной Европы и Азиатско-Тихоокеанского региона.

В заключении приведены результаты работы.

В приложениях содержится информация, связанная с внедрением и практической реализацией предложенных математических моделей в управлении тарифной политикой в ТЭК региона и в задаче экспорта природного газа ОАО «Газпром».

Общие выводы по работе.

Исследовано численное измерение интенсивности предпочтения в вопросах принятия решений. Рассмотрен вопрос единственности в соответствующих шкалах измерения численных представлений отношений предпочтения на выпуклых множествах альтернатив с помощью интенсивностей предпочтения и сравнительных полезностей, а также описана возможность оптимального выбора решений на основе моделей интенсивности предпочтений и сравнительной полезности.

Рассмотрены различные постановки многоэтапных задач принятия решений в условиях неполной информации. Исследованы условия устойчивости решений задач по вероятностному распределению случайной величины со и по вероятностному параметру а. Найден полубесконечномерный эквивалент многоэтапной задачи в виде многоэкстремальной задачи. Доказано существование решений прямой и двойственной многоэкстремальной задачи.

Использован метод эталонных уровней для решения многокритериальных задач оптимизации. Доказано условие слабоэффективности векторных оценок и альтернатив. Описан способ аппроксимирования слабоэффективного и эффективного множества конечными множествами.

Полученные математические результаты использовались при решении задачи управления тарифной политикой в топливно-энергетическом комплексе региона и задачи экспорта природного газа ОАО «Газпром». С помощью программного продукта были получены результаты финансово-хозяйственной деятельности Регионально-энергетической комиссии (РЭК) Санкт-Петербурга (имеется Акт о внедрении, приведенный в Приложении 1 к диссертационной работе).

По теме диссертации опубликованы следующие работы.

1. Колбин В.В., Савкина Е.С., Суворова М.А. Двухэтапная задача стохастического программирования и многоэкстремальность // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXII научной конференции студентов и

аспирантов факультета ПМ-ПУ. — СПб: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2001. — с. 376-381.

2. Колбин В.В., Суворова МА. Линейная свертка критериев в задачах многокритериальной оптимизации.— СПб: СП6ТУ, 2002. — 48с.

3. Колбин В.В., Суворова М.А. Многокритериальные задачи оптимизации.— СПб: СПбГУ, 2002. — 53с.

4. Колбин В В., Суворова М.А. Многоэкстремальные многокритериальные задачи принятия решений // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXIII научной конференции студентов и аспирантов факультета ПМ-ПУ. — СПб: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2002. — с. 503-506.

5. Колбин В.В., Суворова М.А. Основы принятия решений. — СПб:СПбГУ, 2002. — 102с.

6. Колбин В.В., Суворова МА. Принятие решений в условиях неполной информации. — СПб: СПбГУ, 2002. — 80с.

7. Колбин В.В., Суворова МА. Элементы теории оптимизации. — СПб.СПбГУ, 2002. — 73с.

8. Сивуха Д Г., Савкина Е.С., Суворова М.А. Многокритериальные модели принятия решений с неопределенностью// Экономика, экология и общество России в 21-м столетии: Труды 3-й Международной науч.-практ. конф. — СПб: Изд-во СП6ТТУ, 2001. — с. 216-218.

9. Суворова М.А. Исследование многокритериальных многоэтапных задач программирования // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXIV научной конференции студентов и аспирантов факультета ПМ-ПУ.— СПб: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2003. — с. 596-600.

10. Суворова М.А. Метод эталонных уровней. // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXV научной конференции студентов и аспирантов факультета ПМ-ПУ. — СПб: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2004. — с. 601-605.

11. Суворова М.А. Многокритериальные многоэкстремальные задачи принятия решений. Тезисы докладов Международной матем. конф. Еругинские чтения ГХ, Витебск, Витебский гос. Университет, 2003. — с. 129-130

12. Суворова М.А., Окунцева СИ., Кульчановская Н.И. Многоэкстремальная задача стохастического программирования// Экономика, экология и общество России в 21-м столетии: Труды 3-й Международной науч.-практ. конф. — СПб: Изд-во СП6ТТУ, 2002. — с. 222-224.

13. Суворова М.А., Чередниченко С.Н. Нормативный подход в многокритериальной оптимизации // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXIV научной конференции студентов и аспирантов факультета ПМ-ПУ. — СПб: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2003. — с. 601-605.

14. Чесноков Д.А., Суворова М.А. Компромиссные решения в лексикографической оптимизации // Экономика, экология и общество России в 21-м столетии: Труды 4-й Международной науч.-практ. конф. Том 4 — СПб: Изд-во СП6ТТУ, 2002. — с. 124-125.

Подписано к печати 08.09.2004 г. Формат бумаги 60X84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ 3334. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф. Университетский пр., 26.

? 166 6*

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ МНОГОЭТАПНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ.

1. Многоэтапные задачи принятия решений.

1. 1 Постановка одноэтапной стохастической задачи принятия решений.

1. 2 Общая постановка многоэтапной задачи принятия решений в условиях неполной информации с априорными решающими правилами.

1. 3 Многоэтапная задача с вероятностными ограничениями.

1. 4 Многоэтапная задача с вероятностным функционалом.

2. Полубесконечномерные аналоги для многоэтапных стохастических задач принятия решений.

2. 1 Многоэтапные модели с вероятностными ограничениями.

2. 2 Существование полубесконечномерного аналога для М-модели.

2. 3 Существование полубесконечномерного аналога для Р-модели.

2. 4 Единственность полубесконечномерного аналога для М-модели и Рмодели.

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ МНОГОЭКСТРЕМАЛЬНЫХ И МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ.

3. Многоэкстремальные задачи стохастического программирования.

3. 1 Постановка задачи.

3. 2 Существование решений многоэкстремальной задачи.

4. Метод эталонных уровней в многокритериальной оптимизации.

ГЛАВА 3. ПРИКЛАДНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ.

5. Математические модели управления тарифной политикой в топливноэнергетическом комплексе региона.

5.1 Особенности финансово-хозяйственной деятельности энергоснабжающей организации в условиях естественной монополии.

5.2 Планирование расходной части бюджета энергоснабжающей организации.

5.3 Планирование доходной части бюджета энергоснабжающей организации.

5. 4 Многоэтапные модели принятия решений с априорными решающими правилами - Л/-модель, Р-модель.

5. 5 Детерминированные аналоги для многоэтапных моделей управления тарифной политикой в условиях неполной информации.

6. Задача экспорта природного газа ОАО «Газпром».

В последние несколько десятилетий отмечается заметное развитие математической теории принятия решений, связанное с именами К. Эрроу, Дж. фон Неймана, О. Моргенштерна, П. Фишберна, Л. Саваджа, Д. Паккарда, Л. Заде, Р. Беллмана, Д. Б. Юдина и многих других. В последние годы были получены существенные результаты в области исследования стохастических задач принятия решений в условиях риска и неопределенности [1, 24, 54, 63, 72], многокритериальных задач [12,42,43,46, 58, 78].

Данная работа является попыткой продолжить исследования в области теории принятия решений в условиях неполной информации.

Актуальность темы исследования.

Большинство задач планирования, проектирования и управления сводятся к исследованию моделей математического программирования. Исходная информация для планирования в экономике, технике, как правило, недостаточно достоверна. Параметры моделей принятия решений рассчитываются на информации, которая носит в той или иной мере вероятностный характер, вследствие этого часть или все параметры моделей могут выступать как случайные или неопределенные величины. Необходимость принятия решений в условиях неполной информации может возникнуть, когда времени на ее получение не хватает. В связи с этим, целесообразно рассматривать процесс принятия решений как стохастический.

Постановки одноэтапных стохастических задач принятия решений возникают как при рассмотрении стохастических аналогов детерминированных оптимизационных моделей принятия решений, исходные данные которых недостаточно достоверны, так и вследствие чисто вероятностных постановок.

В связи с необходимостью создания процедур принятия и корректировки решений, сочетающих противоречивые требования оперативности и обоснованности корректировки, появляется необходимость рассмотрения двухэтапных и многоэтапных задач.

Многоэтапность в данной работе понимается как наличие нескольких I периодов принятия решений, разделенных во времени, на которых однородные по своему содержанию операции совершаются на основании уточненных данных, полученных в результате реализации предыдущих операций.

Для решения многоэтапных стохастических задач принятия решений делается переход к полубесконечномерным аналогам. Многие детерминированные аналоги многоэтапных стохастических задач являются многоэкстремальными моделями, поэтому в работе рассмотрена многоэкстремальная задача стохастического программирования.

Почти все сложные практические задачи принятия решений (и индивидуального, и тем более группового) являются многокритериальными. В связи с этим большое значение имеет теория принятия решений при наличии многих критериев. Рассмотренный в диссертационной работе метод позволяет решать многокритериальные задачи путем нахождения эталонного значения для критериев оценки качества альтернатив.

Полученные результаты проводимых исследований могут успешно применяться в сфере распределения ресурсов, при принятии инновационных, инвестиционных, социальных, политических решений, в экономическом анализе хозяйственной деятельности отдельных предприятий, отраслей народного хозяйства, а также в дальнейших исследованиях в области принятия решений в условиях неполной информации.

Широта применения результатов диссертационной работы говорит об ее актуальности.

Целью диссертационной работы является:

• исследование многоэтапных стохастических задач принятия решений, построение полубесконечномерных детерминированных аналогов;

• сведение многоэтапных задач принятия решений в условиях неполной информации к многоэкстремальным задачам;

• использование метода эталонных уровней при решении многокритериальных задач оптимизации;

• применение разработанных моделей к прикладным математическим задачам.

Методы исследования. В работе используются аппараты математического и стохастического программирования, теории принятия решений.

Научная новизна.

Для многоэтапных стохастических задач принятия решений найдены полубесконечномерные детерминированные аналоги, доказано их существование.

Используется новый подход к решению многоэтапных задач принятия решений в условиях неполной информации. Так как при решении многоэтапных задач на каждом этапе возникает необходимость минимизировать соответствующие «невязки», возникающие в результате нарушения условий задачи, то ее решение основывается на сведении к многоэкстремальной задаче математического программирования с выпуклой целевой функцией. Доказано существование решений прямой и двойственной многоэкстремальной задачи.

Использован метод эталонных уровней для решения многокритериальных задач оптимизации.

Полученные результаты применены в моделях управления тарифной политикой в топливно-энергетическом комплексе региона и в задаче экспорта природного газа ОАО «Газпром».

Степень обоснованности и достоверности научных положений и выводов.

Все результаты диссертационной работы строго доказаны в соответствующих утверждениях, что говорит об их достоверности.

Научная новизна результатов. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Исследование, проведенное в диссертационной работе является законченным.

Результаты диссертационной работы исследованы, предложенные математические модели управления тарифной политикой в топливно-энергетическом комплексе региона и созданный на их основе программный комплекс успешно внедрены в практику работы Региональной энергетической комиссии Санкт-Петербурга (имеется соответствующий Акт о внедрении, приведенный в Приложении 1 к диссертационной работе). Полученные результаты так же применены для решения задачи экспорта природного газа ОАО «Газпром».

Апробация результатов исследования. Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинарах кафедры математической теории экономических решений факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета, на ХХХН-ХХХУ научных конференциях «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, СПбГУ, 2001-2004), использованы в лекциях курса по выбору «Методы прикладной математики в экономике».

Результаты исследования отражены в работах [26-32,44,48-52, 56].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертационной работе были получены следующие основные результаты.

1. Проведено исследование многоэтапных задач принятия решений в условиях неполной информации.

2. Для многоэтапных стохастических задач принятия решений с выпуклыми целевыми функционалами получены полубесконечномерные детерминированные аналоги, доказано их существование.

3. Полу бесконечномерные детерминированные аналоги преобразованы в многоэкстремальные задачи математического программирования. Доказано существование решений прямой и двойственной многоэкстремальной задачи.

4. Показано, что исходные задачи могут быть заменены многокритериальными задачами. Использован метод эталонных уровней для решения многокритериальных задач оптимизации.

5. Полученные математические результаты использовались при решении задачи управления тарифной политикой в топливно-энергетическом комплексе региона и задачи экспорта природного газа ОАО «Газпром». С помощью программного продукта были получены основные показатели финансово-хозяйственной деятельности Региональной энергетической комиссии (РЭК) Санкт-Петербурга (имеется Акт о внедрении, приведенный в Приложении 1 к диссертационной работе).

Полученные результаты проводимых исследований могут успешно применяться в сфере распределения ресурсов, при принятии инновационных, инвестиционных, социальных, политических решений, в экономическом анализе хозяйственной деятельности отдельных предприятий, отраслей народного хозяйства, а также в дальнейших исследованиях в области принятия решений в условиях неполной информации.

1. Абрамов Л.М., Бочкарева И.М. О задаче стохастического программирования с вероятностными ограничениями. - В кн.: Оптимальное планирование. Вып. 16. - Новосибирск, 1970. - с.3-9.

2. Быкова И. Ю. Исследование проблем принятия решений в условиях неполной информации: Дисс. канд. физ.-мат. наук. СПб, 1999. - 160с.

3. Вересков А.И. Об одной задаче оптимального планирования в условиях неопределенности // Экономика и математические методы. Том 4. -Вып.5, 1968 - с.783-791.

4. Вилкас Э.Й. Многоцелевая оптимизация // Сб. Математические методы в социальных науках. Вып. 7. Вильнюс, 1976 а - с. 17-67.

5. Вилкас Э.Й. Оптимальность в играх и решениях. М.: Наука, 1990. -253с.

6. Вилкас Э.Й. Теория полезности // Итоги науки и техники. Сер. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. -1977 а. Т.14, с.123-151.

7. Вилкас Э.Й., Майминас Е.З. Решения: теория, информация, моделирование. М.: Радио и связь, 1981. - 328с.

8. Гаврилец Ю.Н. Целевые функции социально-экономического планирования. М.: Экономика, 1983. 275с.

9. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971.-383с.

10. Ю.Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981.-384с.

11. П.Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972. -368с.

12. Жуковин В.Е. Многокритериальные модели принятия решений с неопределенностью. Тбилиси, Мецниераба, 1983. 104с.

13. Жуковин В.Е. Модели и процедуры принятия решений. Тбилиси, Мецниераба, 1981.- 118с.

14. Заде JI.A. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процедуры принятия решений // Математика сегодня. М.: Знание, 1974. -273с.

15. Захаров В.В., Петросян J1.A. Математические модели в экологии. С-Пб.: Изд-во СПбГУ, 1997. -256с.

16. Зубов В.И., Петросян JI.A. Задача распределения капиталовложений. JL: Изд-во ЛГУ, 1971.-24с.

17. Зубов В.И., Петросян Л.А. Математические методы в планировании. Л.: Изд-во ЛГУ, 1982.-112с.

18. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.-480с.

19. Каплинский А.И., Позняк A.C., Пропой А.И. Условия оптимальности для некоторых задач стохастического программирования // Автоматика и телемеханика. 1971. -№10. - с.87-94.

20. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964. - 838с.

21. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1975. -272с.

22. Кирута А.Я., Рубинов А.М., Яновская Е.Б. Оптимальный выбор распределений в сложных социально-экономических задачах (вероятностный подход). Ленинград: Наука, 1980. - 167с.

23. Ковалев В.В. Методы оценки инвестиционных проектов. М.: Финансы и статистика, 1998. 144с.

24. Колбин В.В. Стохастическое программирование. Итоги науки. Теория вероятностей. Мат. Статистика. Теоретическая кибернетика. М.,1970. -119с.

25. Колбин В.В., Быкова И.Ю. Распределение ресурсов. Двухэтапная задача принятия решений // Математическое моделирование сложных систем. — Санкт-Петербург, 1999. —С. 133-136.

26. Колбин В.В., Суворова М.А. Линейная свертка критериев в задачах многокритериальной оптимизации. СПб: СПбГУ, 2002. - 48с.

27. Колбин В.В., Суворова М.А. Многокритериальные задачи оптимизации. -СПб: СПбГУ, 2002. 53с.

28. Колбин В.В., Суворова М.А. Многоэкстремальные многокритериальные задачи принятия решений // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXIII научной конференции студентов и аспирантов факультета ПМ-ПУ. СПб: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2002. - с. 503-506.

29. Колбин В.В., Суворова М.А. Основы принятия решений. — СПб: СПбГУ, 2002. — 102с.

30. Колбин В.В., Суворова М.А. Принятие решений в условиях неполной информации. СПб: СПбГУ, 2002. - 80с.

31. Колбин В.В., Суворова М.А. Элементы теории оптимизации. СПб: СПбГУ, 2002.-73с.

32. Колбин В.В., Шагов A.B. Ценообразование в условиях естественной монополии // Экономические реформы в России: Материалы III международной науч.-практ. конф. СПб: Нестор, 2000. - с. 213-214.

33. Кравцов М.К., Янушкевич O.A. О разрешимости векторной задачи с помощью алгоритма линейной свертки критериев //Матем. заметки. -1997. Т. 62. - № 4. - с. 502-509.

34. Меламед И.И. Линейная свертка критериев в многокритериальной оптимизации //Автоматика и телемеханика. 1997. - № 9. с. 119-125.

35. Мирзоахмедов Ф., Михалевич М.В. Прикладные аспекты стохастического программирования. Душанбе, «Маориф», 1989. -340с.

36. Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и математическое поведение. -М.: Наука, 1970. 707с.

37. Петросян JI.A. Дифференциальная игра распределения капиталовложений и ресурсов // Управляемые динамические системы. Саранск, 1991. - с.4-11.

38. Петросян JI.A. Задача распределения капиталовложений по отраслям. Теоретико-игровой подход // Математические методы в социальных науках. Вильнюс, 1981. - Вып. 14.-е. 51-59.

39. Подиновский В.В. Об относительной важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений. В кн.: Многокритериальные задачи принятия решений. М.: Машиностроение, 1978.-е. 48-92.

40. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. 254с.

41. Сивуха Д.Г., Савкина Е.С., Суворова МЛ. Многокритериальные модели принятия решений с неопределенностью // Экономика, экология и общество России в 21-м столетии: Труды 3-й Международной науч.-пракг. конф. СПб: Изд-во СПбГТУ, 2001. - с. 216-218.

42. Смирнов М.М. О логической свертке вектора критериев в задаче аппроксимации множества Парето // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1996. - Т. 36. -№ 5. - с. 62-74.

43. Стронгин Р.Г. Численные методы в многокритериальных задачах. М.: Наука, 1978.-240с.

44. Суворова М.А. Двухэтапная задача стохастического программирования и многоэкстремальность. Дипломная работа. СПб, 2001. - 36с.

45. Суворова М.А. Исследование многокритериальных многоэтапных задач программирования // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXIV научной конференции студентов и аспирантов факультета ПМ-ПУ. СПб: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2003. - с. 596-600.

46. Суворова М.А. Метод эталонных уровней. // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXV научной конференции студентов и аспирантов факультета ПМ-ПУ. — СПб: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2004. — с. 601-605.

47. Суворова М.А. Многокритериальные многоэкстремальные задачи принятия решений. // Тезисы докладов Международной матем. конф. Еругинские чтения IX, Витебск, Витебский гос. Университет, 2003. с. 129-130.

48. Суворова М.А., Окунцева С.И., Кульчановская Н.И. //Многоэкстремальная задача стохастического программирования. Экономика, экология и общество России в 21-м столетии: Труды 3-й Международной науч.-практ. конф. СПб: Изд-во СПбГТУ, 2001. - с. 222-224.

49. Суворова М.А., Чередниченко С. Н. Нормативный подход в многокритериальной оптимизации // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXIV научной конференции студентов и аспирантов факультета ПМ-ПУ. СПб: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2003. -с. 601-605.

50. Табак А., Куо Б. Оптимальное управление и математическое программирование. М.: Наука, 1975. -279с.

51. Трухаев Р.И. Модели принятия решений в условиях неопределенности. -М.: Наука, 1981.-257с.

52. Фишберн П.С. Теория полезности для принятия решений. М.: Наука, 1978.-352с.

53. Чесноков Д.А., Суворова М.А. Компромиссные решения в лексикографической оптимизации// Экономика, экология и общество России в 21-м столетии: Труды 4-й Международной науч.-практ. конф. Том 4 СПб: Изд-во СПбГТУ, 2002. - с. 124-125.

54. Шагов A.B. Исследование моделей принятия решений в условиях четкой и нечеткой информации: автореферат дисс. канд. физ.-мат. наук. СПб, 2002.- 18с.

55. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и приложения. М.: Радио и связь, 1992. 504с.

56. Юдин Д.Б. Вычислительные методы многокритериальной оптимизации // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. — 1983. — №4.

57. Юдин Д.Б. Вычислительные методы теории принятия решений. — М.: Наука, 1989. —319с.

58. Юдин Д.Б. Задачи и методы стохастического программирования. М.: Советское радио, 1979. 392с.

59. Юдин Д.Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. М.: Советское радио, 1974. -400с.

60. Юдин Д.Б. Обобщенное математическое программирование // Экономика и математические методы. 1984. - Том 20. -№1. - с. 148-167.

61. Charnes, A., Kirby M.J.L., Raike W.M. Solution theorems in probabilistic programming: A linear programming approach // J. Math. Anal. Appl. 1967. -Vol. 20.-p. 565-582.

62. Fishburn P.C. A general theory of subjective probabilities and expected utilities. Ann. Math. Statistics 40,1969. p. 1419-1429.

63. Fishburn P.C. Even-chance lotteries in social choice theory // Theory and Decision. 1972. - Vol. 3. - p. 18-40.

64. Fishburn P.C. Utility theory // Management science, 14, 1968, p.335-378.

65. George F. H. Problem solving. — London: Gerald Duckworth & Co. Ltd, 1980. — 194 pp.

66. Gunderson H.S., J.G. Morris, H.E. Thompson Stochastic programming with recourse: a modification from an applications viewpoint // J. Oper. Res. Soc. -1978.-Vol. 29.-p. 769-778.

67. Hansotia B.J. Stochastic linear programming with recourse: a tutorial //Decision Sci. 1980. -Vol. 11.-p. 151-168.

68. Kail P. Computational methods for solving two-stage stochastic linear programming problem // Z. Angew. Math. Phys. 1979. - Vol. 30. - p. 261271.

69. Kall P. Stochastic programming // European J. Oper. Res. 1982. - Vol. 10. -p. 125-130.

70. Kolbin V.V. System optimization methodology. I. Singapore: World scientific publ., 1998. - 436pp.

71. Kolbin V.V. System optimization methodology. II. Singapore: World scientific publ., 1999. - 385pp.

72. Packard D.J. A preference logic minimally complete for expected utility maximization // J. Philosophical Logic. 1975. - Vol. 4. - p. 223-235.

73. Packard D.J. Preference relations // J. Math. Psych. — 1979. — Vol. 19. — №3. —p. 295-306.

74. Sengupta J.K., Tintner G. A review of stochastic linear programming // Internat. Statist. Rev. 1971. - Vol. 39. - p. 197-223.

75. Stadler W. A survey of multicriteria optimization or the vector maximum problem. Part I: 1776-1960 // J. Optimaz. Theory and Appl. 1979. - Vol. 29. -№l.-p. 1-52.

76. Wets R. Stochastic programs with fixed recourse // SIAM Rev. 1974. - Vol. 16.-p. 309-339.

77. White D.J. A min-max-max-min approach to solving a stochastic programming problem with simple recourse. // Management science. Vol.38 - №4, 1992. -p. 540-554.

78. Williams A.C. On stochastic linear programming // J. Soc. Induzt. Appl. Math. 1965.-Vol. 13.-p. 927-940.

79. Yilmaz M.R. Multiattribute utility theory: a survey // Theory and Decision. -1978. -Vol. 9. -№4. p. 317-347.