Численные методы решения задач импульсного управления на основе вариационного принципа максимума тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ой

На правах рукописи

ЛЕРЕНКО Николай Васильевич

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИМПУЛЬСНОГО УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ВАРИАЦИОННОГО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА

01.01.09 - математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Иркутск - 1994

Работа выполнена на кафедре высшей математики Иркутской государственной экономической академии.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

доцент В.А.Лыхта

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

доцент А.С.Стрекаловский, кандидат физико-математических наук, с.н.с. В.А.Батурин

Ведущая организация - Институт программных систем РАН,

г. Переславль-Залесский

Защита диссертации состоится 11 октября 1994 г. в часов на заседании Совета Л063.32.04 по защите диссертаций на соиска-, ние учёной степени доктора наук в Иркутском государственном университете по адресу: 664000, Иркутск, бульвар Гагарина, 20, 1-й корпус ИГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Иркутского государственного университета (бул. Гагарина, 24).

Автореферат разослан " СО" ил^?1994 г.

Учёный секретарь Совета, к.ф.-м.н., доцент ___ Н.Б.Бельтюков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние голы заметпо возрос интерес к задачам оптимальпого управлепия нелинейными динамическими системами с импульсными воздействиями типа меры или обобщённых функций более сложной структуры. Такие задачи естественным образом возникают при расширении нерегулярных вырожденных задач оптимального управления, в которых нельзя рассчитывать на существование решепия в традидиошюм классе абсолютно непрерывных траекторий и измеримых ограниченных управлений. Траекторные компоненты минимизирующих последовательностей в задачах такого типа обладают свойством сходимости к разрывным функциям, а управляющие компоненты имеют дельтообразные составляющие. Многочисленные прикладные модели нерегулярных задач, требующих импульсно-траекторного расширения, встречаются в задачах управления манипуляторами, квантовомеханическими и лазерными объектами, в динамике полёта, в управлении экономическими и экологоэкономическими системами.

Существенный вклад в развитие методов импульсно-траекторного расширения и качественную теорию управления нелинейными уравнениями с импульсным управлением внесли работы С.Т. Завалшцина, А.Н. Сесекина, В.Ф. Кротова, В.И. Гурмана, Б.М. Миллера, В.А. Дыхты, Р. Ришела, Дж. Варги, Р. Винтера и М. Перейры и ряда других математиков. В этих работах выделен класс задач, для которых однозначно определяется траектория при импульсном управлении (динамические системы со свойством Фробениуса), описана структура импульсной траектории и интегральной воронки при невыполнении условия Фробениуса, получены различные варианты необходимых условий первого порядка типа стационарности и принципа максимума Л.С.Понтрягина и даже квадратичные необходимые и достаточные условия оптимальности для задач, обладающих свойством корректности расширения.

Меззду тем успехи в разработке численных методов решения задач импульсного управления значительно скромнее, а публикации на эту тему единичны и носят незавершенный характер по своей конструктивности. Если говорить о нелокальных методах

з

преобразования нерегулярных задач и задач импульсного управления (типа нелинейного преобразования Гоха и метода перехода к производной задаче), то основным их недостатком является необходимость находить в аналитической форме решение некоторой вспомогательной системы в частных производных, задающее регуляризирующее преобразование. Лля нужд качественной теории связанные с этим проблемы удалось преодолеть вплоть до условий оптимальности высших порядков за счёт разработанной В.А. Дыхтой так называемой техники расшифровки, вскрывающей взаимосвязи между исходной задачей и преобразованной. В частности, путём расшифровки получен вариационный принцип максимума (ВГ1М) для линейной по управлению задачи импульсного управления со свойством Фробениуса1 - к настоящему времени наиболее сильное (в первом порядке) необходимое условие оптимальности в указанном классе задач.

Поэтому представляется актуальным исследовать, в какой мере развитая техника и соответствующие критерии оптимальности могут быть эффективны в плане разработки численных методов решения задач импульсного управления.

Цель работы состоит в построении методов улучшения импульсного управления, базирующихся на аналогах условий стационарности, линеаризованного принципа максимума, а также вариационном принципе максимума, т.е. на необходимых условиях оптимальности 1-го порядка для импульсных процессов в системах со свойством Фробениуса. Кроме того, преследовалась цель распространить ВПМ на задачи импульсного управления с ограничением понтрягинского тши. па текущее значение импульса и терминальными фазоограничениями.

Метод исследования основан на качественной теории дифференциальных систем с импульсным управлением и анализе метода нелинейного преобразования Гоха (НПГ) - одного из способов сведения задачи импульсного управления к классической. Анализ направлен на конструктивную реализацию аналогов типовых методов улучшения управления - условного градиента, проекции градиента, скорейшего спуска, а также основанных на принципе

1В.А.Дихта. Вариационный принцип максимума и квадратичные условия оптимальности импульсных и особых процессов // Сиб. мат. жури. 1994. Т. 35, N0 1. С. 70-81.

лаксимума. В ходе исследования используются основные техни-геские приёмы расшифровки, позволяющие описать методы в терминах Исследуемой (а не преобразованной) задачи.

Научная иовизна результатов, полученных автором, состоит I следующем:

- разработаны и программно реализованы Варианты квазигра-тентных методов решения задач импульсного управления, осно-)ашше на необходимых условиях импульсно-слабого мипимума типа линеаризованного принципа максимума;

- доказан вариационный принцип максимума для задач с огра-шчением на текущее значение импульса и терминальными фа-юограничепиями;

- предложен численный метод решения задач импульсного управления, основанный на ВПМ.

Практическая значимость. Материалы диссертации и пред-

лагаемые в ней методы

- использовались при выполнении хоздоговора с ИрВЦ СО РАН на тему "Разработка комплекса алгоритмов и программ ю улучшению и приближённому синтезу управления", а также з госбюджетной научно-исследовательской теме кафедры выспей математики Иркутской государственной экономической академии "Математические методы анализа экономических систем" [I в учебном процессе - в спецкурсах "Оптимальное управление зкопомическими системами" и "Макроэкономическое моделиро-эание";

- используются в научных исследованиях по гранту Госкомитета РФ по высшему образованию "Оптимальное управление процессами с разрывным состоянием и вариационный принцип максимума" и по гранту РФФИ "Качественный и численный анализ задач оптимального управления с разрывными траекториями";

- доведены до программной реализации и апробированы п вычислительных экспериментах на серии задач тестового и прикладного характера. В сравнении с традиционными подходами, не использующими импульсно-траекторпое расширение нерегулярных задач, результаты расчётов показали их более высокую эффективность.

Апробация работы. Основные результаты, включепные в диссертационную работу, в виде докладов представлялись на X Все-

союзном симпозиуме "Системы программного обеспечения решения задач оптимального планирования" (1988 г., Нарва), на IX рабочем совещании ШАС "Управление: приложения и оптимизация" (1992 г., Мюнхен), на II Европейской конференции по управлению (1993 г., Гронинген), на Международной конференции "Сингулярные решения и процессы в системах управления" (1993 г., Переславль-Залесский), на Всероссийской научной школе "Компьютерная логика, алгебра и интеллектуальное управление. Проблемы анализа устойчивости развития и стратегической стабильности" (1994 г., Иркутск). Материалы диссертации неоднократно обсуждались на объединённом научном семинаре "Проблемы оптимизации, динамики и математической экономики" Иркутского госуниверситета, Иркутской государственной экономической академии и ИрВИ СО РАН.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 7 работах.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Общий объём диссертации составляет страниц. Список литературы со-

держит наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, даётся обзор работ, примыкающих к тематике диссертации, даётся краткое изложение содержания глав.

• Первая глава содержит расшифровку в терминах задачи импульсного управления методов улучшения градиентного типа для эквивалентной регулярной задачи оптимального управления, которая возникает при использовании НПГ. Это позволяет обосновать варианты методов улучшения, которые названы нами коази-градиентными. . ,

Рассматривается линейная по управлению базовая задача со свободным правым концом и фиксированным отрезком времени управления Т = [io.ii]:

ч7(и) = !(*(«!+)) М, (1)

.. 2?« = /(«,*) + £?(«,г)и, ®(<о —) = «о," (2)

б

и = Рю, ш(<) ей'. (3)

Здесь V - оператор обобщённого дифференцирования, и> - кусочно непрерывная, лшшшцевая на интервалах непрерывности вектор-функция размерности ¿(и>) = ¿(и), ) = 0, а 1(х) - скалярная функция.

Всякое допустимое импульсное управление и(-) представляет из себя векторную меру, порождаемую функцией ш(£), то есть и является распределением вида

г

и = + (4)

1=1

где 6 ¿„(Г) - обычная производная функции и>, вычисляемая на участках её непрерывности, а (ш(г,)] = ш(г,-ь) - ш(т,—) - скачок функции и> в точке её разрыва г,- £ Г, причём м(г,±) отно-

сительно множества IV рассматриваются две типовые ситуации -выпуклого компакта и совпадения со всем пространством. Количество точек разрыва г и сами моменты тс зависят от щ в граничных точках ¿о и £1 тоже могут быть сосредоточены импульсы. Все допустимые импульсные управления объединяются в класс П.

Основное предположение, которое очерчивает класс охватываемых задач, состоит в выполнении условия Фробениуса для матрицы С по х, т.е. в выполнении равенств • <7* = С?*, • • V = 1 )<*(«), где £?,• - столбцы матрицы (7.

В параграфе 1.1 постановка задачи дополняется необходимыми для дальнейшего анализа результатами - сведением задачи (1)-(3) к классической посредством НПГ и анализом структуры импульсной траектории, порождённой управлением и € Ы (леммы 1.1.1, 1.1.2).

Сведение задачи к классической осуществляется заменой фазовых координат

. у(0 = «(»,*(0.-«>(0), (5)

где функция у, и») есть решение совместной (в силу условия полной интегрируемости Фробениуса) следующей системы дифференциальных уравнений в частных производных, называемой допредельной:

^ = <?(*, О, = (6)

В результате преобразования получается редуцированная регулярная задача оптимального управления с управлением и> и оптимизируемым параметром h = w(ti+)\

I(w,h) = C(y(il),h)^ini, (7)

V = g(t,y,w), y(io) = xo, (8)

w{t),hew, • (9)

где

C(V(U),h) = mt „l/(ti),A)), g(t,v,v>) = t;l{t,v,w) • (/(*,i(«,v,«0) - («(c.y.w))-

Задачи (l)-(3) и (7)-(9) эквивалентны в смысле совпадения точных нижних граней функционалов и - с точностью до обратимой замены переменных - минимизирующих последовательностей.

Далее анализируются структура импульсной траектории и способы вычисления её скачков.

В силу сунерпозиционного иредставл^тя для импульсной траектории

*(t) = t{t,v(t)Mt)), te (io.il), (10)

х(к~) = y(to), x(h + ) = i(h,y(h),h) (И)

легко устанавливается, что функция х имеет те же свойства, что и и», причём на каждом интервале (т,, r1+i), не содержащем импульсов управлешш, она удовлетворяет обычному уравнению

х =/(*,«) +G(i,®)u (12)

с липшицевой траекторией и управлением u{t) = w(t) е I«,, а точками разрыва первого рода импульсной траектории х могут быть лишь точки разрыва w, причём в каждой такой то ке г € Г имеет место равенство

s(T+) = z(l;r,Hr)]), (13)

где z(a;r, [u>(r)]) - решение задачи Копш для следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений, называемой предельной:

^ = б(г,ф)).[Цг)], z(0) = *(r-). (14)

Возможность восстановления импульсной траектории через решение обычных систем (12),(14), м1шуя необходимость определения функции £ из системы и частных производных (б), является важным моментом для построения конструктивных методов улучшения.

В параграфе 1.2 вводится специальное понятие каазиградиеи-та функционала в задаче импульсного управления, доказываются необходимые условия оптимальности - аналоги линеаризованного принципа максимума и условий стационарности.

Определение, Пусть ы € И - импульсное управление и ги(-) -порождающая его кусочно липшицеаая функция. Квазиградиентом функционала J на управлении и в исходной задаче (1)-(3) назовём градиент функционала I на паре (w(-),h = u/(ii-f-)) в редуцированной задаче.

Это определение квазиградиента, совершенно естественно, поскольку, с одной стороны, в задаче (1)-(3) некорректно говорить о градиенте функционала ,7, т.к. множество U не образует гиль-бертового пространства, а с другой - в эквивалентной редуцированной задаче понятие градиента вполне определено. Однако для построения методов, не оперирующих явно с редуцированной задачей, следовало дать "расшифровку" способа вычисления квазиградиента через данные задачи (1)-(3). С этой целью вводятся функции Понтрягина исходной и редуцированной задач

H(ttx,rf),u)=<ipJ(t,x) + G(t,z)u>, H(t,y,p,w)=<p,g(t,y,w)>,

а также сопряжённая система дифференциальных уравнений в распределениях

Vxl> = -Hx{t,xyxl>,Vw), =-'»(*(«1+))- (15)

Система (15) является расширением обычной сопряжённой системы

ф = -Лх(их,ф,и), ФМ = -1М*х)) (16)

с (г, u) € ACW х Loo^f и, как установлено в леиме 1.2.1, структура её разрывного решения оказывается аналогична импульсной траектории, а именно:

а) на участках (T,-,r,-+i) непрерывности фупкщш w t/'(0 удовлетворяет обычному сопряжённому уравнению (16) с управлением «(<) = «'(<);

б) в каждой точке разрыва г € Г функции w выполняется условие скачка V>(t~) = g(0), где д(з) - решение сопряжённой предельной системы

^ = -Яи(г,<(«),ф))Кг)]1 9(1) = 0(г+). (17) Справедлива

• Теорема 1.2.1. Имеет место следующая формула приращения функционала

а {и + Su) - J(u) = j < ^Hu(t, x(t), Ф(1)), 6w(t) > di- (18)

г

- < tfu(íi,x(tl + ),tf>(tl+)Mb > +o(||6H|00 + \6h\),

где и 6 U, t>[Sw] = Su, Sh = ¿u>(ti+), a x,rj> - решения исходного и сопряжённого уравнений (2),(15).

Заметим, что в формуле (18) полная производная j¡{Hu) вычисляется, обычным образом в силу уравнений (12),(16). С помощью теоремы 1.2.1 без труда обосновывается Следствие 1.2.1 (аналог линеаризованного принципа максимума). Пусть допустимое управление и = Vu> оптимально в задаче (l)-(S) с выпуклым множеством W. Тогда выполняются следующие условия:

<jHu(t;x(t),tp{t)),v-w{i)>>0 (19)

для всех vEW в каждой точке непрерывности w(t);

<H,i(tux{ti+)MU+)),h-w(i1+)><0 (20)

для he W.

Формула приращения (18)

полностью определяет i ~евозмож-ные варианты методов улучшения, использующих квазиградиент функционала J, который, как видно, задаётся коэффициентами при Sw, Sh в (18) и не совпадает с традиционным VJ(u) = -#u в классе управлений и € В параграфе 1.3 диссертации описаны метода, представляющие собой расшифрованные варианты типовых градиентных методов, применённых к редуцированной задаче. Их отличительной особенностью является спуск по управлению в направлении, определяемом составляющей квазиградиента

ю

;(Я„), а также спуск по параметру к = и)(^+)> который опреде-яется вектором (-Яа)|(=<1. ...

В числе тестовых примеров, иллюстрирующих работу предла-аемых квазиградиептпых методов, приведепа задача импульсно-э управления, которая в принципе пе допускает преобразования редуцированной, поскольку соответствующая допредельная си-тема не интегрируема в квадратурах. Именно в применении к акого типа задачам приближённые методы решения, основанные а расшифровке, особеппо актуальны, ибо иные подходы просто е применимы.

Во второй главе диссертации ВПМ распространяется на класс адач ймпульспого управления с ограничениями на текущее зна-ение импульса и правый копец траектории. На основе ВПМ да-ее формируется метод улучшения для базовой задачи со свобод-ым правым концом.

В параграфах 2.1, 2.2 ВПМ доказывается для следующей за-ачи импульсного управления:

= 4»(*(«1+), »(<!+))-»Ы, (21)

M®(ti+)Xt,+)) < 0, ¿ = М(1), • (22)

*(«(«1+),и»(*1+)) = 0, fc G (23)

(Vx = f(t,x,w) + G(t, xy w)Vw, 1 x(<o~) = ®o> w(to-) = w0,

(24)

w(t) 6 W, (25)

де унравлепия w предполагаются измеримыми ограниченными |ункцилми, множество W произвольно, а матрица G удовлетво-яет условию Фробепиуса по переменньш (®, w).

К постановке (21)-(25) приводятся ряд известных задач меха-ики, а также стандартные задачи с линейным неограниченным правлением при наличии фазоограничений на быстрые перемен-ые. Последний класс задач тесным образом связан с известным [етодом производной задачи и доказываемый ВПМ эквивалентен ринципу максимума производной задачи.

Для формулировки ВПМ для процесса (ж*, ш*) вводятся следу-)щие объекты: функции

#(<,£, w,V',u) =< i>,f{t,x,w) + G{t,x,w)u >,

щ

Х,(ж, ш) = £ Qil¡(x, w)+ < p, k(x, w) > ; (a¡ € Я, P € if^); ¡=o

сопряжённая система в распределениях

Vr¡> =-Hx{t,x* ,w\i¡>,Vuf),

i¡>{h+)=-Lx(xt(h+),w,{t1+)y, предельные системы для исходного и сопряжённого уравнений:

= G{t,z(s),w*(t)+s(W - ю*(ож«0- «>m ¿gl = -Яга(*,ф), «;'(*) + л(ю- te*(t)), «,(*))(»- (26)

»(0) = »•(«), ч(0) = V(i);

о

вспомогательный функционал T(w,t):

T{w,t) =< / P(i,z(í),ttí*(í) + í(tü- u>*(í)),g(a))ds,u;-u;*(i) >, Jo

где z(s),q(s) - зависящие от ш и набора Лагранжа А = (а,/?) решения предельных систем (26), a

d

Р{1,х,хи,ф) = Hw(t,X,W,ij>) -

причём полная производная в правой части вычисляется в силу обычных уравнений для х,ф. Установлена следующая

Теорема 2.2.1. Если управление w* аптпшлальпо о задаче (21)-(25), то найдётся набор множителей Лагранжа А = (а,/?) ф 0 такой, что выполняются условия:

(Io) а € Rf)+\ Р € . _

<*Л(*Ч«1+),ш*(<1+)) = 0. »' = М(0;

. (¡P) йду почти всех i £ Т функционал p(w,t) неположителен на множестве W и, следовательно, достигает максимума при w = w'(t); '

(á°) вектор h* = w*{tyf) является решением следующей терминальной экстремальной задачи:

h[z(l),h) min; /,(г(1),/»> < 0, fc(*(l),ft)=0, heW,

z(e) - решение подсистемы из (&6), соответствующее t = tu ю = h, w*(ti) = w'(ti - 0).

Пояснение: предполагается, что предел суще-

ствует, а в качестве выступает одно из возможных про-

должений постоянным вектором функции и>* € Ь^Т) на полуось I >

Для рассматриваемого класса задач теорема 2.2.1 даёт наиболее сильное из известных условий оптимальности 1-го порядка импульсных процессов. Из неё при выпуклом очевидным образом вытекают обобщённый линеаризованный принцип максимума и аналог условий стационарности.

На основе ВПМ могут быть предложены различные версии методов улучшения импульсного управления, но для любой из них наиболее существенной операцией будет реализация в ходе итерационного процесса экстремальных условий (2°),(3°) теоремы 2.2.1. Как легко видеть, они представляют собой задачи оптимизации параметра (ш или Л) в динамической системе и их появление является оиределёшюй платой как за глубину минимума, так и за отказ от непосредственного обращения к редуцированной регулярной задаче.

В параграфе 2.3 изложен один из вариантов метода, основанного на ВПМ, прототипом которого в редуцированной задаче является обоснованный О.В.Васильевым2 метод улучшения, использующий игольчатое варьирование. В предлагаемой версии вспомогательная задача максимизации функционала "Р может решаться двумя способами:

- на основе численно-аналитического подхода, который предполагает возможность априорного нахождения аналитического решения предельной системы для 2-компопепт, что снимает в принципе все трудности;

- посредством приближённого решения вспомогательных экстремальных задач известными методами градиентного типа (при полном отказе от аналитической работы).

Приведены примеры, иллюстрирующие работу алгоритма в этих полярных ситуациях.

Третья глава содержит описапие особенностей программной реализации квазиградиентных методов и анализ результатов вы-

'Васильеа О.В., Тятюшкин А.И. Об одной методе решенил э&двч оппшвльного управления, основькнон ив. принципе ыаксиыуио.// Журн. вкчисл. ыатгиитики и ывт. физики. - 1081. -N6.- 0.1378-1384.

числительных вкснериментов на тестовых и прикладных задачах импульсного управления.

Аналоги типовых методов улучшения управления (условного градиента, проекции градиента, скорейшего спуска), обоснованные в первой главе диссертации, реализованы в виде программы для персонального компьютера типа IBM PC на языке FORTRAN. Программная реализация нацелена на улучшение импульсного управления в задаче с терминальными фазоограниче-ниями Цх(Ь+)) < 0, i = М(/), &(*(<!+)) = О, А € Включение фазовых ограничений позволит расширить крут прикладных задач, для решения которых применимы квазиградиентные методы в комбинации с методом модифицированных функций Лаграпжа (МФЛ).

Схема реализованного метода МФЛ использует лагранжиан вида

1 Нк)

щ) т ¿(о л

+ j> + <*(*(«i+»)l -$>?-!>?), (27) i=i i=i »=1 J

где pi > Q, i = l,d(i), А 6 - множители Лаграпжа, а > О

- параметр штрафа, а+ = тах(0,а). При известных ик и множителях А1, рк решается базовая задача импульсного управления

- минимизация функционала (27). В результате получается процесс и*+1, xk+x(t) и двойственные переменные пересчитываются по формулам

= i = ТД*),

В параграфе 3.1 даётся краткая характеристика программной реализации методов и анализ их работы на тестовых примерах.

В параграфах 3.2 и 3.3 решены ряд задач импульсного управ ле-вяя из лазерной технологии3 (максимизация возбуждения и поля-

'Красвов И.В., Шешарев II.Я., Шкедов И.М. Оптимальные лазерные воздействия. - Новосибирск Наука. Сиб. отд-ие, 1989. - 92 с.

ризации двухуровневого атома) и управления манипуляторами4 [одно- и двухзвенный случаи).

В моделях приводится качественный анализ оптимального решения на основе ВПМ и условий стационарности, а численные эксперименты направлены на сравнение предлагаемых методов с традиционными (для задач в классической постановке) и оценку соответствия результатов расчётов в редуцированной и исходной задачах.

Анализ проведённых вычислительных экспериментов позволяет сделать следующие выводы:

- квазиградиентные методы улучшения импульсного управления существенно эффективнее их традиционных градиентных аналогов;

- дополнительные вычислительные затраты, связанные с необходимостью интегрирования предельных систем при определении точек приложения импульсов вполне приемлемы для современных персональных ЭВМ;

- формализация задач в постановке главы 2 (если соответствующая возможность имеется) приводит к существенной экономии времени вычислений и памяти компьютера.

В заключении диссертации приведены выводы и выносимые на защиту основные результаты:

1. обоснование квазиградиентных методов улучшения импульсных управлений (теорема 1.2.1) и их программная реализация;

2. вариационный принцип макс ¡шума для задач с ограничением на текущее значение импульса (теорема 2.2.1) и основанный на нём метод улучшения импульсного управления.

Публикации по теме диссертации:

1. Дыхта В.А., Деренко Н.В., Веников А.И. Свойства и реализация метода модифицированных функций Лагранжа для задач оптимального управления / X Всесоюзный симпозиум "Системы программного обеспечения решения задач оптимального планирования", - Москва, 1988. - С. 27.

___ »

•Задалнщин С.Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы! молелн и прнложе-вия. - М.: Наука, 1991, - 256 с.

2. Дыхта В.А., Деренко Н.В. Реализация метода штрафных функций для задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями // Методы улучшения в вычислительном эксперименте. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ие, 1988. С. 146-166.

3. DykhtaV.A., Bockmelder Е.Р., Derenko N.V. Variational Maximum Principle for Impulsive Processes and Applications / 9th IFAC Workshop Control Applications of Optimization. - September 1992, Munchen.

4. Dykhta V.A., Derenko N.V. Variational maximum principle and high order conditions for impulsive and singular processes / Proceedings of the second European Control Conference, vol. 3. - June 28 - July 1, 1993, Groningeu, The Netherlands. - Pp. 1420-1423.

5. Dykhta V.A., Bockmelder Б.Р., Derenko N.V. Theory and Applicatio: of Variational Maximum Principle for Impulsive-Singular Processes / "Singular Solutions and Pertubations in Control Systems''. - August 23-27, 1993, Pereslavl-Zalessky, Russia.

6. Деренко Н.В. К построению методов улучшения импульсного управления // Аналитические и конструктивные методы исследования дифференциальных уравнений. - Иркутск: Иркут. ун-т, 1993. - С. 118 - 129.

7. Дыхта В.А., Деренко Н.В. Численные методы решения задач импульсного управления, основанные на обобщённом услов!ш стационарности // Всероссийская научная школа "Компьютерная логика, алгебра и интеллектуальное управление. Проблемы анализа устойчивости развития и стратегической стабильности". -Иркутск, 1994, Т.2. - С. 59-70.

ПОП ИрПУ-57-94.

ЛР № 020263 от 30.10.91