Расширение задач оптимального управления и вариационный принцип максимума тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

ДЫХТА ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ

УДК 519.3

РАСШИРЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ И ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА

01.01.09 — математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

НОВОСИБИРСК-1992

Работа .заполнена в отделе дифференциальных включений и 01 мизаций Иркутского вычислительного центра СО РАН.

Научный консультант — доктор физико-математических наук

профессор А. А. Толстоногое).

Официальные оппоненты: доктор физико-мзтсматическик наук,

профессор Л.Т. Ащепков доктор физико-математических наук, доцент Б.М. Миллер доктор физико-математических наук, профессор Н.П. Осмоловский

Всдушйя организация: Московский государственный университет * M.D. Ломоносова.

Защита состоится « (М<Иг<Л 1992 года в часов на засед нии специализированного совета Д002.23.03 при институте математ ки СО РАН (630090, Новосибирск, 90, Университетский проспект, 4).

\

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института мат матики СО РАН.

Автореферат разослан «^З » 1992 года.

Ученый секретарь специализированного совета Д002.23.03

доктор физкко-матсматнческих наук A.B. Косточка

, •<Я-п i

I ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОМ

Актуальность тет.ш. Классический принцип максимума Л.О.Попт-ягина газете с его обобщениями является наиболее универсальным еобходимам условием экстра мума в оптимальном управления. Эта пнверсальность проявляется в том, что для Него удалось установить эснуи связь с вариантами правила множителей Лагрвапа в бстрактных моделях: оптимизации и получить напосгздствешша налоги для различных классов задач управления.

Но, будучи нэоОходнмш условием оптимальности первого поряд-:в, принцип максимума не может давать ответ о достахенкя на дан-гай вкстремали минимума (хотя бы локального а подходящем стгыслэ) в гелйнэйннх задачах. Для этого требуются дополнительные условия ттимальностк, причЗм, как правило, внсиего порядка.

Эта савэрзшто естественная лшшя развития тэор^я локального жстремума, восходящая к вариационному исчислении, особенно китен-зивно разрабатавелась в оптимальном управления в последние полтора цэсятилетал, хотя и почти исютчительш для задач управления обнк-говешшми динамическими системами. Значительное влияние на «следования а атом направлении оказали работы А.А.ЙШвтяна и его учеников, в которых бал йостввлен вопрос о поиска aap необходимых и достаточных условий оптимальности, тесно прашкакцях друг к другу, и разработана абстрактная теория условий внсаах порядков юшимума на шюйествв последовательностей.

Однако ещ9 до появления этих работ стало ясно, что линия на усиление принципа максимума до достаточного условия дня того или иного типа минимума не будет столь "одноколейной" как в вариационном исчислении. Сложность задачи оптимального управления диктовала необходимость разветвления исследований по классам за-

дач, различводихся структурой дкффиренцпвлыюй связи (линейные и нелинейные да управлению или в комбинации), характером выполнения принципа максимума на екстрамали (в отрогой - как обычно предполагается в вариационном исчислении - шш нестрогой форма), типом мшшлума, естественного для изучения (он кояэт быть ш обязательно только слабым или снльнкм, квн в задачах вариационного исчисления), формой ограничений на управление (а виде еклвчошгЗ ш равенств и неравенств) я т.д. Такое разграничений на класса вызвано оуцастаом дола и позволяет нэ только получать более тонкие результаты, но и сшсобатвуат привлечена» к асалвдовбнзЕ равнообрвэлд специализированных подходов.

В отдельный класс оказелксь ведзлашийа н так называемые шроздаюша (по терминология из вариационного ёсчиолзкня) иле Еэрогуляршэ задачи оптимального управлэшя, для которая пршцкг максимума пвллвтон на;з~вкао еФ&пггиёеым (напр«.:ар, кбн вто к: странно, лииэйнш по управлении), пля просто капр^аплм, поскольк! в традиционно« классе абсолютно шпрэрывшх траекторий в язкорзш] ограшчешш управлений отяшзлыюго репбннл ш существует. Поогросюао творца условий одтзйалыюсти в тшх задачах долгззг продаествомть разработка пэшгорой конструкции регуляразаццл I расшпрэная, ЕозЕолящай пошспть информативность условий оптц-'дальности и обеспатать сущзствовсшэ рзаанай в расширенном класс« допусэтш;;г процессов лпи, по крайни мэро, свести к Ескла*шталыю5 ситуация несуществования.

Классичвшал прамэром расширения является "овнпуклэние' ьшаиаства скоростей по &шзш1оа/-Гвмкрелздзэ, т.е. введение сколь-акйрз. рзкгков.

Нргацшшашго друтой теп расшренкА, которому посвясрш (Загадал часть доссертаг^л, связан с неограниченность*) кнокоств)

c::opccrefl управляемой сястога и вв9,чЭ1П!ОМ кряц-эссор с pnpjBi'i ». ■< траекториям«. Этот тал расяиренка, которой ш кязасЗм ястульсйо-трсокторшш, посходи норшз.я к кроЗлекапяя разрезик вэрпациошшх задп. Глторэс к юшульсно-траектортюку рагаятрэпгэ а оятпг.!альпсм упрявлзяга возник опЭ в 60-е года под ш-ляасм работ И.Н.Крггсовсхсга по опгс.аззцгы линвСних систс» с ti.itульете щзаалашвм п Э.О.Кротова , a raie» его пошэдоватэлэй, которггэ но только предлогала свовог;раз1ио рэгуляршируис^о прэоОрзаознипл Егфсгдашшх зэдяч двух указвтшя типов, по п привага "osso-тячесяпэ'* религия содэргптвлышх задач данвдакн полЗтв.

ДальпайззЯ прогрэсс в развитая (лзтодоз слульсио-трпэнторг.ого рэгарткп ггрсгдояких задач связан с рссотсмя С.Т.Заваг.г'пт, В.П.Гуркана я пх учеников, Б.М.Каллэро, а тшет Р.Рппола, Дя.Йарга, Р.Ештера и и.Пэройрн.

îiynro сказать, что п сравноют с досг^шг.;п;-( в теоргз условий оптгмалькоати для классических задач оптг:;влькаго упрйзлэкш (на шгогветвэ обычних процессов) успехи в области otrfîr.sacic-i процоссов с разрдвтпла траекториям шглядят значительно скрс'лаоэ. Достаточно отметать, что в рамках различных подходов к проблем получены "свои" варианта аналога принципа ивкекмума, связи [лэяду которыми ira установлены. Совершенно опгритш остался вопрос о полной системе л окольной оттаальносги импульсных процессов {тепа результатов Н.П.Осмоловского для регулярных и А.В.Д:гигрука для особых экстремалей). Наметился и определенный отрыв от тоорса особых управления вообще, с которой проблематика к-яульсяпл раянмов (как и скользящих) таено связана.

Из сказанного мохно сделать вывод об актуальности нсследопякий в области качественной теории выроядагашх задат.

Немяловяимм стимулом к исследовании в данной нвправлвшзг

яадпатся широкий спектр прикладщх задач, шеьхргг сарвгудяршхй характер оптиьишышх рааешЗ. К н&ч откосятся шата задач:! данацшш ши-Зта, управления кЕаыташ:»ахшшчаска.а сестекама и лазэр:Е.^л1 воздойстшг.ма, упраьлоння к2нпауглтора;.а, вконо;ггчаска.а к е£:олого-е;:от,спаски,ы система:.:;! и агаа друг;;э.

Пчрн тебэт состояла, в оспохиюп, б резрзбсда» коаструктспда ютодов клкульсно-траэктораого раоагрэнгл варогдзгшх вадзч, рсоладовыьш его опойств в задачах с охргдошгаз, колучзхги: сэ-обходу-даго усдошл порЕого порадев для паульгаядх и особых йро-цэосоа, уешстадого идаосэтзкиЗ прязда козегдоа, а техсз шгэ-до пашой ссетташ условий сикха шргдагоа. Прл ьгоу Сада

оохреи'вггь трэдацдшув для кльосичао;^ ¡задач оптк.'.ош1ого уй-ро&гакш; скород прэдзтввлошл рооулыгйтоз п торгаш* иссдэдуо«ого пробега и отезчеп"» о?ду н^иороз глегс-итодз!; Лагрс*иш (?.о.-"скрыть" сьозобрасную коштдоз^з ррз^ирэск) и и о;: кзо-

стшоють утерзгздо сьааь кэзду кэтод^д: т;до£дэпдл к ксодадодспа-, КЛС/ЛЬСШХ СПОТРЫСХЭЕ О 0ДГ-102 стора:л п особых - с другой.

ШоОходи..:э 01 и лить, что yci-.3i2.oo уодосло мгк^зльцостк гордого пар.даз, о котором с:;аак:о чуть »¿1 оарл-

оддошд* пршщаса сч;:?ш ого в опрэдэлЗшом с:,исха

рэдэтыпивд одлоиЛпиоцу рэзультету, ширьаэ получа^о;,^ Ю.И.Бокз-Г.В.Оотрооск^'л к В.А.Орочпо для задач оппедхзацга ГЕюрбохкосапп слстеа. Повтолу, помыло основной лзлпш кзе-гздэвагсл, ьа рассштржзоа тиса обоОчоыаэ результатов укнлагеп,'^ авторов на рзспридэ^;;няио задачи уггравлэаая с более с-сс.,,..!-.™* шглас^п огра1Е.:чо1г;1г;;^1 т;гла фазоют.

> -;тсл ;пгдз,по1:ат.ш бЕзируотгя на гоштшшл ракилрожя '.">т--.|г задач, техвтот ирчнТ4 —г чя»-»» вщ^яг'икп <;

регулярным и теории условпЛ шспнх порядков в пбс грактпоГТ подо т.: оптимизации и оптимальном упрввлопии.

Научная новизна. К основным результатам диссертации относятся конструктивные метода регуляризационного расстройка шроздегашх задач с шктор:п;м линейным управлением, обоснованна свойства квазиреализуемости импульсно-траекторного расширения, вариационный принцип максимума для импульсных процессов п основзн-}шо на н9м необходимые и достаточные квадратичные условия оптимальности импульсных процессов.

Все основав результаты диссертации, а такко способ их доказательства, являются новыми. Их новизна вытекает, в частности, VI того факта, что в применении к ропямнм особого управления полу-чошше условия усиливают как принцип максимума, твк и квадратичные условия понтряпшекого минимума. Это усиление достигнуто за счЗт, с одной стороны, определенного сужения класса задач (катрицэ косф-фащкштов при линейном неограниченном управлении должна обладать разлокишм свойством юшолютивности), а о другой - перехода к более глубокому типу исследуемого минимума.

ОпрэделЗнкай интерес могут представлять таккз необходимые условия второго порядка в задача кинимизвцяи на щпукпом 1.шогзст-е9, интегральное квадратичное необходимое условие оптимальности особых рекиков в классической задаче управления (с произвольным понтрягтекш множеством У) и вариационный принцип максимума для канонических и типа Гурса-Дарбу управляемых систем с фвзоогра-ничениями (вместе с методом доказательства, основанном на модифщированной технике у-вариаций).

Практическая значимость работа. Результаты диссертация иогут использоваться для нахождения и исследования импульсных н особых

~ В ~

экстремалей в приклвдша задача! рассматриваемого типа. Ряд таки задач (об оптимальном воаОуадвшш двухуровневого атома и еб ойоО цэкка, управлении колебанием иатвриальной точки и математически шшшуля'*ороы) иссладоааш в дассартвцки.

Конструкции, предложению в работе, приманявтск в ход-: ешюяконйв ряда шшноецх тем в Иркутском ЕЦ СО РАН.

Материалы диссертации испольаовалмь в ярэподавагаш спэца-альшх курсов кяфэдрп теории систем ИГУ.

Апробация роботн. Результата диссертации докладавалггсь ш. VI, VII, VIII Всесоюзна* косфэронцзях по проОломам тоорэимэскэй киборнзтикк (Оаратов, 1SB3; Иркутск, I8S5; ГорыагйДЭВЗ), на IX, 3£ Воэсошшх соаащаакях по проблзмсм упрамэшя (Назван, 1883; jfü-jja-Лта, 1936), кп Вгесокшом а&шсааууэ по мтшыщ управ-лошш и дзф&эротсшлызд; кгрш (Тбилиси, IS77), на III Bcacosasoíi Чотазьской копфэрзнфл (Иркутск, IS77), па Есзссюзпоа се ¡.стара »(кггшлаацш! к развлек;» jsrcaisfi" (Красноярск, 1232> r па X Есз-сохааой ш:алэ по котодш оптш.азащш u теории упраялэЕпл (Иркутск, 1933), на IV Есосошвой коафэршодш па оптешлшому управления а кохатгчасгса сасгомга (Москва, IS32), из VI bdbcoeouoíi хюпфорзпщгл по качэствешай таориа даф^зроЕЦдальпах урашкипШ (Ирпутсп, 1986), па II, III Всэсоюзшх лзгяах скоках по ыотоду фушщзд Ляпунова и ci'o щхшпагснм (Иркутск, IS32, 1935), un VII Сдблрскоа скола по ютодш опгаазацаа к их пршшоншы (Иркутск, IS3S), но Мэхдука-родада С55лшврах "Кэглодааэ и разрывам иадачи упрамэнап и omiEsaaicsi" (Владивосток, IS3I) и "Метода и програкязоа обэспэчэ-tsia да систем ввтоиаютос:;ого упраашпм" (Иркутск, 1991), па X Вйегхарнш кош-росса ГРАС (Цзихап, 1Э37).

Цаторнащ десеертацшз дскладовалпсь и обсувдались на cetcasa-р:-х кьфэдр ютоиа"шчэс|*л& оптимального управления, обцсх

;робле;л управления МГУ, Института проблем упрзвлэнпя (Москва), 3№И систегашх ксолэдоввикй (Москва), Института математики 1одзипс::ого уншзорситита (Польза), кефодр теории систем, мэтодоп эптюяюации и шчиоляталыюП математики ИГУ, йркутсяого ВЦ СО РАН.

Публикации. Осиопгаэ результата диссертация опубликованы в работах [1-261.

Структура и объбм работы. Диссертация состоит из сведения, пяти глав и списка литературы (содэрло^эго 263 пвгекшовспил) и изложена на 274 с. мапгиогасного текста, выполненного текстовым редактором СШТГПЪег на персональной ЭВМ.

На вепгиу просятся оледущяэ полоеекияг

1) конструктиаппа • метода витульсно-траэнторного рассирвния задач оптимального управления, линейных по частя неограниченных компопопт управления (§5 2,3,6 гл.2)|

2) необходимо условно сжульсно-понтрягинского минимума для импульсных и особых рекпюп в форме вариационного прйпцкпа максимума (55 5-7 гл.З);

3) необходимые и достаточные условия высших порядков для импульсных я особых рэйнмов (гл. 4).

ОСЮЗНОЗ СОДШШЕЗ РАБОТЫ

Во введении дабтся общая характеристика рассматриваемого в диссертации круга вопросов, излогона цель работы и характер полученных в диссертации результатов.

В первой главе приводятся основные понятия, связанные с принципом расширения экстремальных задач (§1.1), доказываются квадратичные необходимые условия локального минимума на выпуклом

шоаеотвб» в гладкой (маасв а2) задаче оптимизации в банахово:, пространстве (§1.2) п пугЭм шс комбинации о методом вариация скольжения устанавливается интегральное необходимое условие второго порядка для особых (в сшале принципа максимума) экстремалей ь классической задача оптюлалыюго управления (§61.2, 1.3).

Осцошшй результат данной главы получен для оладущей в ада те с промаадточнымл фазоограниченшш типа неравенства:

' J(x(tl),...,T(tр)) —* mln; sf(jr(t,>.....a:(tp)) « О,

(I)

í = /(t,r,u), r(í0) = xgi u(t) e У.

Здесь T « tto'íp5 ~ Фиксированный отрезок, t)f...,tpJ -ааданша точки, WH0s:a0TB0 U произвольно, фу1аодц: J, аг, f непрерывны шэсте со еюи:,ш прокЗЕоднаш до второго порядка ышллтолхпо по розовым параыз12йш.

Пусть - иоадэдуешй на мзвшум допусшаШ процэсс,

л - кшезотео наборов Лагралаа К ■= (а0,а,ф(-))» обасггачиваадд: выполнение принципа максимума (Ш):

а0 > О, а 5 0, а0 + |а| = I, =0, J = I,ci<s!),

í е (tt,tí+(), <¡)<t() = -ie (С0),

р

фи. + О) - <|)tí- - О) = 1 (b°), t = I.p-I. i i s{

Atf(t) <0, t € Г,- ti e У.

Здесь cJ(ffi) «= din se, I(b) = a^fb) + (a,s(b)),- t> = (r(tf),

...,x(tp)), = (a°(t)),...(^0(ip)), tí(\,x,u) = (4>,/(t,x,u)),

¿J}[i) - шлнаэ приращенш по и функцнн й вдоль процесса (х°,и°). 03озиачЕУ через щ п назовем индексом лиоой конечный набор

îyinuptiî и1 ç L (Г,У), J = I,v. Назаоглу индексу поставим с соот-00

ЕЭТСТШТЭ конус КЫ, cocroi^vtit КЗ пвр (вг,и) TBÏCTX» что (Jb(b°|,0b) « О, (^b(b°),Bb) S О, j € Л(я),

V

ai « / (tjor + у VAt)t л* К &r<t ) = о, (2)

ftj

L>t(i) ? О, t = r,V,.

и функционал (,\ e A)

^(ах.и.ш) = [оь,гььФ°)оь] -

(0)

V

- Дг £ w,(î)[a t fyt),олг} + }<«•

г '

В (2), (3) № = (Or(tr)f...,Oi(tp)), Jî(ra) = | HJ i d(s) : = 0 ].

В этих обозначениях справедлива

Тесреха 1.3.1. Если (x°,u°) - точка сильного глшпмума в задаче (J,E), то A t 0 и для любого индекса ш

ГЛХ П*-(в1,и,Ш) 3 0 V (0Г,О) € йи. (4)

'AtA

Данное необходимое условие оптимальности носит вариационный характер (подобный классическому ¡фэтеряп второй вариации), является достаточно , полшм, т.е. включает в себя ряд изьестинх условий оптимальности лейандрового пша (напремр, в матричных импульсах Габасова или многоточечные) и не налагает ограничений на структуру множества V (но, как угэ отеечалось, монет быть эффективно лишь в случае вырождения принципа максимума на множества положительной мэрн). В то т.п время условно (4) на

допускает усиления до достаточного и в втоа сетсло нэ вполне идентично icpi'Topisj второй париащш.

Тем пэ мэпее, использование расширения путам овшухлэния

у

позволявv существенно усилить кзвастниа но обходам 9 услович оптимальноста особах управлений при наличия оСа,эго понтрягинигого ограничения на управление.

Первой работай, в которой било получено аналогичное уологаэ (правда, в веоьна специфической форда) является статья is. Варги1, в которой рассмотрена задача с ограничением. типа равенства на cpasirñ кояэц траектории.

D выполненной под руководство« дассортаята работа Г.Л, Нолэ-кольншкгаой2 втог результат распространи на общй случай шнцешх ' ограничений типа равенства н нэравэнотва прикзношом пакета игольчатых вараоцпй с шслэдувциа цределышм переходом (по числу иголок) в клоготочочнсм условии оптимальности. Тга:уа схе;.;у доказательства иокяо пр;:;.:з;;ять п для задач с промевуточншл фазоогравачвншша тша равенства и неравенства, взяв за основу многоточечные условия оптимальности, получетше Л.Т.Аадетсошм. В.Е.Гороховлкоы3 интегральное условие бало получено для гаташза-циошой задачи па Бапуклон ыаогэствэ векториах полай, формируема правую часть урашашш двк;эш:я. Для рассматриваемой начы

i

Karga J. A. second order condition that strengthens Pontryagin' a caslmn principle // J. oí Differential Equations. - 1978. - V.28, & 2. - P. 284-30?.

гКолоколышково Г.Д. Ко обиде,ие условия оптимальности второго порядка для задачи оптимального управления с подвиктшн конца® . -Дэн. В ВИНИТИ 01.(33.84, )Я 350-84. - 43 с.

3Горохов^к Б.В. Необходима услошя оптимальности в матричных км-цульсах для задачи упраглеьыя с терминальными ограничениями // Кзв. £Н COOP. Техн. каберпэт. - IS87. -.5 4.-е. 63-74-

«•••и-}'--.. ? .чп'К^ровца.сьгясч угрйлевяиой свсзд&Д ьрад'-ок-аг-.-т г-пупгсста секойсгвз ртагасллы'о вкауклосш воктстуг'-л /(£,Послодшо упро»азг доказатальстпо п позволяет без труда распространить тоорему 1.3.1 па случай пракануточгпи; фзео-ограгпгизнкй татз равенства. Еоз этого продаологашгп для такого обобщения пэобходамо прстлэчь дополшхтзлыгш результата.

В главпх а-4, зашмащях цёятролыгаэ (по значимости) кзего в диссертация, ксслсдуется харЕКторлй класс вироядзтптж задач огптаалыгого управления, язгойшх относительно часта пэограшчеи-ик компонент упразднил.

Основное ишмвчиэ сосредоточено из следующей задаче {У,Е):

^СЬ) —1п/; ш(Ь) 5 О, й(й) = 0, (б)

,х) $ о, (в)

и(П € и, (?)

к » /0(4,г,и) + С(г,д:)и = (8)

Здесь Ь = отрозон Г= фиксирован,

х - аГсолятно непрерывная, и, о - взкдрашв огрглпгшппие функции,' £ - множество троек о = (1,и,и), допусти,по огранпчвпаяп (5)-(8).

Во второй главе рассмотрев регулярязпруюзяэ преобразования задачи {3,Е), позволяем исключить линейно входящее управлоппе V п конструктивно описать кшульеш-траекторное расширение.

Считаются выполненными следупцяе прэдоолагзиая.

I) Функция /ои,х,ц) удовлетворяет условиям Каратеодорз (т.е. измерима по I и непрерывна по {х,и)), ограничена на лвбш ограниченном мнояеетвэ значений (С,х,ц) и локально липвицэва по г (с независящей от (t,x,u) константой).

2) Матричная функция G(t,x) является гладко»! и еВ производила Gtr Ов удовлотворяит локальному условии Лишвцв (тшаю с ш-вввпояйэй от (tконстантой).

* 3) Фугаадш J(b), ж(Ъ), к(Ъ), непрерывна.

Б качества основного инструмента исследования используется прэдлогзыдое автором прзобразоввшэ задача (J,E), которое требует шполнадая йпадуидэго прздггалзЕакия

4) саотвиа в честных производят ( ála и> = a(v) )

í -0(t,{). t) -V (9)

|iu-0

глобально разрешима при лзгйих (t,y) е У « (нвщшюр, мат-

рица О удоилзтсорлзт условии полкой интегрируемости Сробеняуса и огрвпичгкза на рост: |G(t,r)| < с(1 + |х|) ).

üpEiaica! к задача (J.E) олодукцаэ ярообразованна ( ij(r,r,w) & й i (í,x,-ta) ): в : е » -*vÉ

I/ € u» е n e

Ó . V, h = 5i)(t (), (10)

!/(t) = T|(t,®(t),«»(t)). (II)

IIpu втоа праабрааавЕша лабсй набор v € в(Е) оказывается допус-тиага процассоа в сдэдуэдэй задача оптимального управления:

НС) й J[yo,Ht1tyf,h)) -* tnf,

й(с) ё а(у0,{<г,гу,,Л)) $ о,

Же) fi ft(ii0,í(t1ty1th)) = о,

<?<t0,y0> с о, <р,(с) é ff{t1,atryrh)) « о,

ф(*.у,п) é t?(í,€(t,p,0) s О,

ЧЦ) € и, У = у,и,а).

Здесь с = (у0,з/,,Л) =

ва.у.и.т) = ^^ .ЛГ.ьу) + 7]я<С,:г,а>)/0ц,х,и^

В преобразованной задаче и, ш ш считаем управлениями клас-;а Л - независимым параметром, у - фазой. Следом те льна, от

звязей (10) мы отказываемся, а управлений V в редуцированную ¡адачу не входит в силу свойств функций г),

Обозначим через .4 множество допустил« процессов в редуци-юванной задаче, т.е. чвтвЭрон V = {у,и,и>,Н), удовлетворяйдах ¡сем ев ограничениям. Пологим ^ 1(о) V V ( Д и будем яс-

юльзовать для преобразованной задачи краткое обозначение (1,Л).

Поскольку 0(В) с ¡{ я Г(6(0)) « 3(е) V е е Е, то зада-!а (1,Л) является расширенная задачи \3,Е).

На образе 9(К) обратное преобразования задаЭтся равенствами 10) и условием

о равенство (12), а в обобранном смысле и условия (Ш),моено рвс-матряЕзть и при измеримых ограниченных фикциях ш (такими явля-тся управления в задаче {!,/()).

Это соображение приводит к следупцим определениям.

Определение 2.2.1. Функции хЦ), I { Г назовбм допустимой «пульсной траекторией, если она представима в виде суперпозиции 12) при некотором V ? Л. Ей концевые значения ■£(*<,).

*(*> = Е(*.У(0.»<*>>, * € Г.

(12)

ра этом имеют место равенства

хЦ0) = ¡/(¿0), хи() = г).

(13)

определяются по набору V равенства™ (13).

Вввдбы специальный клвсо обобщенных функций Р, полозшв мк » э е Ь*1х>)(1) » :

V = Ы1, (14

где О - оператор обобщЭнного дифференцирования, а функцня и^а опредэлена равенством

Ввадбм отобрввэкиэ В"' : М ъ V —»• е = (х,ц,и), определенно!

рнванатвама (20)-(22), а шоеэстбо 2 = е-,Ш.

Определение 2.3.2. Любую тройку (х,и,и) е Е назовЗм допусти-кыы кшульсшол процессом.

Полагая Ло) = Г(е~'(г)) = J(b) V е е мн ввэд8м I

рассмотрение вадвчу и,Е) минимизации функционала J на В.

Поскольку 0"'.6(В) с Е, то задача и,Ю тшока является расширенна« исходной задача (7,£), яричВм очевидны соотношения

«п/ ЯЕ) > Iп/ 1(Л). (16)

Итак, наадай допустай процэсс в преобразованной задаче порокдаат дапустшшй импульсный процесс, на сводящийся, вообке говоря, к обычному.

Отыегам, что в работе [2] (и ранее в своей кандидатской диссертация) автор ввЗл преобразование (10), (1.1), исходя из стрэмлашгя снккегризовать так называемое преобразование к производной задаче в снять необходимое для его применения условие постоянства ранга матрица в. Прз исследовании второй вариация ва осоСоа рзгзмэ (т.е. применительно к вырогданныы линвйно-квадратич-

ым задачам оггпмлпвдда) такое преобразование использовалось 1.Гохом4. Поэтому ни называем 9 гошшейнш прэоОразова.шом Гоха кратко - НПГ).

Независимо к донному преобразованию прииля М.А.Красносельс-ий, А.В.Покроьзкнй5 при исследовании возможности корректного оп-

вделвния решения уравнения (В) при ш € Сдг"',(Г) (п ие£да(Т,{Г)). лучай й(и) = 1 рассмотрен этими авторе:,-:! а в более ранних пуб-якацшпс.

Свойства описанного расаирэния изученн в §1.3. Ватой явдяот-я ко связанная явно с конструкцией преобразования дескриптивная врактерястика гшульсяях процвссов. Для формулировки соответ-гвувдэго результата обозначил чорвз Е^ гагакесгво троек функций г,и,и), удовлетворяющих диЗфэронцяаяьйой связи (8) и шшзчвнив Г), П ВЕЭДЗМ функцию нврупэнкя фЛЗООГрМППБТМЙ ¿(0) : Е^ —»• звенатвом

шрацая срезки а* = иагЮ.а) понимается для вектора покомпо-

1НТНО).

Теарет 2.3.3. Вкличение (г,и,у) € В эквивалентно существо-нив последовательности 1х ,и,и ) с Е , удовлетворятся условиям

oh B.S. Necessary conditions ior singular extremals Involving ltlple control Yarlaölea // SIAH J. Control. - 1966. - V.4, JM.-716-731.

Met - + |ft(t?)| + np*(t0.i0)| + |<p+(tf,xf)| +

г

расносельский A.M., Покровский A.B. Система с гистерезисом. -: Наука, 1983. - 271 с.

«Ф^и^Ло} < ю. (хп.юп) —► (!.«») В Х,(Г).

«Хл<*0> > *, > > —► (Х«0),а;«(),л), —> О.

Эта теорема позволяет распространять преобразование в ш множество К.

Импульсную траектории г( •) естественно трактовать как слабое решение системы (8), связанное а соответствующими управлениям к € V и и € Ь (Т,и) уравнением р распределениях

Дг */и.х.и.и). (17)

Запись (17) ешет фориалызцй характер, так как правая часть содерши произведение 0({,:г(Ши « G(tшz(t))Dl/l разрывной функции на оСабцЗннув, которое в теории обобдЗшшх функций нэ определена.

О.Т. Завшицив6 продлокы определить ето произведение напас-родственно выражением От - { (• ,у(> ),ш(.)), где х(.) - импульсная траектория в сшала определения 2.2.1. Данная выаа интерпретация юлнооть» согласуется о вто.) определением.

Как установлено в $2.3, юйульево-трвекторноа расширение задачи и,Е) является кваавравлизуеиам, т.е. в (16) действительно мокет иметь ыасто строгое неравенство дака при отсутствии локальных фазоограничений (6) (построен соответствующая примвр). Нву-мэньшенлэ функционала при расширении гарантируется ¿-устойчивостью задача №,Е) относительно возмущения ограничений.

В {2.4 доказывается, что данное свойство выполняется в вароа-

_

Ваааадш С.Т. Специальные нелинейные уравнения в обоОцЭншд функциях // ДЕДарэнц.уравнения.- 1ЭЭ0,- Т.26, »8. - С. 1316-1323.

дшшой вариационной задаче (с интегрантом, ошпукление которого ланейио по i), прачбм аналог условия Фробениуса оквзывается ггооб-тсащта для ограниченности снизу функционала J и обеспечивает существование гладкой функции Нротова. Т.о., удайтся обратить достаточ1ше условия в необходашз.

В 52.5 изучаются допустима разрывы импульсных траокторШ уравнения (8) при невыполнении условия ФроОениуса и наличии ограничения v{t) € 7, где V - замшутов, выпуклое, неограниченное множество. Уравнения (8) сопоставляется предельная система

jjZ = C(t,z(t))u(t). <J(t) € rec V, |u(t)| s I <Ifl)

где О 5 т $ a < +«, rec V - рецессивный конус кнаааотва V, 'j(-) ç La, I'I - конечномерная норма. Через A, (t,z0) обозначается полное множество достияилости системы (18) при данном t из позиции (т = О, z » z0).

Геореш Я.б.Г. Пусть кусочно лишпщэвая функция !(• J : Т —V <Rdlx) удовлетворяет на каждом интервале непрерывности системе (8) с некоторыми управлениями и « Lm{T,U), v е € LK(Î,V), а в кавдой точке раэравз t Т - условии

+ О) € À,(tt,Ht0 - 0)).

Тогда !(•) - поточечный предел траектории компонент некоторой последовательности un> с Е^.

Эта теорема мокет быть использована при проверке на допустимость подозрительных на оптимум разрывных траекторий в задачах с ограничением на и. Она дополняет результаты Б.И.Киллера и А.Н.Сесекина по описанию интегральной воронки предельных траекторий уравнения (8).

В §2.6 исследуются возможности регуляризкружщего преоОразо-

- го -

вбшя задачи (J.E) при ослаблении предположения,. 4). Все они охватцваптсл прадлоканноЯ автором конструкцией комбинированного

У

преобразования, позволяющей свести ряд ситуаций к условиям прида-швюоти ШР. В чвотнооти, в егу схему угадывается известный мэтод прообразования к производной задача. Изложанга иллюстрировано на шдалн двякапкя летательного аппарата и радиального уравнения Шрадингера.

Шапшальнш трабованием к матрице G, допускавдем обсукдаэыое сведанш, оказывается свойотво разлогаагай шшолапашости. Отмэтим, что обатаоэ условие инволюпшности использовалось в ряде работ Ы.К.Ззликкяа, продлогивазго свааоЗразшй метод раазния линаИшх по управлэншз задач.

Наконец, в J2.7 прпведэнн возшшшз обобщения задачи (J.E), ка ко тори в основная иоиструкцш расширения переносится баз прзи-цншальзих трудностей. Вдась рассмотрены задачи о пефпхпровапп^! враманеы, фазовшц огрвютеншши типа ei сличения, сыэианшш и т.д. Крош того, опрздэлзны разравныэ (класса решении даффэ-

рзнцпальшх в&гшченай с шолыэ пнтегрярувшм сакайсташ рецессивных подпространств.

Преобразования Еироадзшшх задач .описаншэ в глава 2, шено рассматривать как ивтод рашзвыя задач оптимального управления в распаренном класса процессов с разрывными траэкторияки.

Однако роль таких преобразований оказывается значительно Оолоо широкой - ояе ыогут выступать в качестве инструмента для доказательства новых условий оптимальности импульсных и особых репшов, получаемых путбм расшифровки известных признаков оптЕаальвооти в редуцированной задаче. Без расшифровки нельзя указать точвоо woсто своеобразных преобразований в общей теории уславзШ оптзмальности.

В главах 3,4 строится теория локальной оптимальности гсятульспщ. рахимов, основанная на развитей автором технике расшифровки.

Третья глава посвящена расшифровке интегрального принципа максимума ДуОовицкого-Милютина.

Кроме предположена гладкостч, встаствешшх для вывода услопаЯ первого порядка, считается вшгалнешнм предоологэяиэ 4) глэвм 2 н слэдупцэе условие регулярности фазоограшгеэняй: если в точке (£ ,_т)

ф£Г,дг) ^ О и мнохество & | / : ср^<,лг) = О | ? (5, то

существует вэктор ш е такой, что (<р. < О

V ] €

Через е° = {Xй,и0,V0) обозначается импульсный процесс, ис-

следуо}яй па минимум в задача (.7,В), прячйм распределении к0 соответствует в силу (14) пара (•),).

В §3.2 определены мнокэства тос.тадоватэльноотэй, относательно которых естественно изучать минимум н точна в° а рвеширепноа задаче. Основным из них является олэдущаа

П = { с Ё : Ш <

1№п,ип,»п) - 5, + |(гп(*0),Л) - <л°<С0)./1°)1 о)

( Г ||р - норма в пространстве £р).

Определение 3.2.1. Будем говорить, что е° - точка П-шнимума (в задаче (7,£)), если не существует последовательности 1еп) е П такой, что Леп) < J(e0) V п.

Минимум в точка е° на П назовбм импульсно-понтрягинскта. Теорема 3.2.1 устанавливает его эквивалентность понтрягинскому минимуму в редуцированной задачи.

Для формулировка основного результата главы 3 вводятся набор Лагранжа А - <a0,a,p,70,7f.n(■ ),ф(. )) н функции » ЬЯ(Ь) » + <а,я(Ь)> + <p,fe(b)> +

+ Vo'Wo^c» +

tfx<t,a-,4),u,u) = <t|>f/(t,X,U,U)>,

U£(t,x,<|>,u) - <i|>,/0(t,x,u)>. Кроыр того, определяются функционал

**<«(• ).9(').u,iM) « Д Ho(t,E(ï).q(I),u0(t)> +

; u w (20)

+ <n(n.<p(t,e(D» - |<gîJiv(t,z(t),g(x),u0(t)),Aa;(i)>di о

(интэгрвнт в (20) есть обычная полная производная в силу исходного « —

(8) и сопрявйшого «|j = -Ва уравнений, подсчитываемая при х = - 2(а), ф » g(t), и = и0, a A»(t) « ш - tu°(t) ) и ьшогаствс?

состояло из четвёрок (г(>),д(.),и,ю), удовлетворяпцих условиям:

^ - G{t,z^))tw(t), S(0)=x°(t), (21)

Э? " -UtvV.z{t),q{ï))m-t), q{0)--qnt), (22)

util, <p(î,2(I)) $ 0. (23)

СлэдущнЯ результат нвзовЭн вариационным принципом максимума (BŒI).

Toopaxa Z.4.1, Для того, чтобы импульсный процесс е° = » {3p,vP,v°) бал тотаШ П-шннмуыа в расширенной задаче (J.E),

«обходимо существование набора маоютелей

X. = ia0,a,p,r0,rfira(.),ii)(')), удовлетворяющего'условиям:

(1°) а0 * 0. а е Kf"р « к4'*', т0,т, е

| (ао,а,0,7о,7,)| - I, <а,аг(Ь°)> = О, <70,<p(t0,:rg)> = 0, <7,,<(>f(t,,3^)> = 0;

(2°) mit) € igv'm, nit) ? О,

<m(i).<p(3r°(t))> = 0 » t « ï';

(3°) t|)(t) e 1*<X){T) п является роиэяпэм системы в распределениях

ftp - ,<ji,ti°,t/°),

(pli,) - (-D'i* (Ь°), } - o,i;

(4°) а о, t € Т,

§fà$(t,3P{t),<iXt))=0 » t € Г;

(6°) для почти всех ter функционал Р*-^« ),g(< ),tt,w) непологятелвн на imorecTEe Ti^(t) (я, следовательно, достигает максимума пра z = ¿Pit), q - <p(f), u « = u°(t), ш » uP(t)).

Центральную роль a ВШ играет экстремальное условие (5°). Оно явно имеет вариационный смысл, так как харастерпзует оптигальний процесс через условие максимума функционала на некоторой

множестве функций z, q и параметров и, ь. Из нвго вытексот, п частности, условия стационарности (4°) (которые ш форке совпадает

с обычными), неравенство Дий£(е°и)) «о, а такие аналог условия Келлн для импульсных реш.гав (следствие 3.5.2): почта всвду на Г квадратичная форма

Сри,еои))Ш,10} & <{ ^(е°(Г))1 > (24)

1 сК2 " -"и

неотрицательно определена на конусе

гуп - I о : 4 О

(25)

V J С

ВШ является наиболее полным и сильным нообходашм условием первого порядка оптимальности импульсных рекпмов в классе задач, допускающих сведение к случаю Фробениуса (а именно он в был предметом изучения аодазляяздэго большинства исследований). Все известные условия типа принципа максимума для импульсных рэюадов в применекзи » об^гным процессам "вырождаются" в условия стационарности, а ВШ предъявляет дополнительные требования к исследуемому процессу. Более того, он сохраняет силу как необходимое условие оптимальности и для исходной задачи {3,Е), если в ней отсутствуют локальны» фазоограничения. Это нетривиальное усиление классического ПМ (теорема 3.7.1) доказывается с помощью пакета сглаженных игольчатых вариаций.

В §3.6 рассмотрены различные дополнения к ВПЫ: условие оптимальности терминального импульса, задачи с нефиксированным временем, с ограничением на полный импульс в виде включения »!><*) е И, а такаю приведена эквивалентная форма ВПМ, удобная в применении к задачам с гладкой зависимостью от времени.

В §3.8 с помощью В® исследована одна задача из лазерной технологии (и еб обобщение1, а также найдены импульсно-особые

экстремали в модели управления шгаокга» i движением материальной точки под воздействием силы, нормальной к скорости (прэдлокзна А.А.МалИТШШМ).

В четвертой rJ3Bd диссертации доказывается квадрапганна необходимый и достаточные условия некоторого порядка у для импульсных и особпх экстремалей в задача, лилейной по управлении, т.о. когда / = f0(t+ G(t,z)u и, соотеототезшш, ограничяттпэ (7) отсутствует. Результаты получается путём расшЕфроиш условий Н.П.Ос:отлобского7 понтрягшско* о нашмумо , прпмаиВшшх и рэдуци-ропэппоЗ задаче.

В дополнении к прэдположэиалм гласи 3 статавтся, что векторы G*(t, xjtp^u.x), J е ^(t.s) липэйпо пэзэЕ'лсп.а пра

y(t,x) < О, а пз гаmrnyn лсолэдуется гглульсяй провдсс е° =

= (x°,v°), гда v0 - векторная мэра с кошчзнм числом атомов и

равной нуля сингулярной составляпцэй. Тогда vP - кусочно

<м

лгаппцевая функция, многэстпо точэк разрнеа которой Сз0,...,эг)

обозначим чорэз S(tu°). Для удобства придал соглашение:

- 0) = K/(t0) = о, ty°(if + О) ш ¡Лг() = Л° (ташчпнй слу-

чсй t0,tl е S(u°) по ИС1СЛИЧПЭТСЯ). Сзксяруеи некоторое шогзстло

S С S(V>°) П {t0, t,).

Впэд5м необходимые для фор:|улировоа объекта.

7

Осмоловский Н.П. Необходимые н достатошые условия шссего порядка для поптряпшского и огрзнячвнно-спльтаго шпшумов в задаче оптимального управления // Докл. АН СССР. - 1968. - Т. 303, й 5. -С. I052-1056.

Мнокаства__¿х_й состоят из наборов Лагранав X, с которыми

е° удовлетворяет условиям стационарности (пункты (1°)-(4°) теоремы 3.4.1) И ВШ, СООТБ9ТСТВЭКНО.

Конус критически вариаций К. Положим

Аи = | I « I $ оЕ(ге) : аг{(Ь°) = 0

V* = { 1 * ' * й(ч>) 1 <<У*|!'г0<Ч)) = 0 }• » =

г, = | г С Г : = о }.

Обозначим через е°(т;Д) решение предельной системы = О^.е0)^), =

п, полокив Я^.я.ф.и) = <ф,С(1,:г)и>, определим функции ¿(чД), 20(т, О как решения слодугщы линейных уравнений:

2(0,1) «

¿2

ЗГ = И,1ряи,*о(т11)Уи)>г0<г'*> +

+ т^)), 2о(0Д) = 0.

Обозначим через ЯЖЗ(ш°) 1 множество кусочно непрерывны! функций у : Т —► которые могут претерпевать разрывы пер-

вого рода только в точках мноюства Э(ш°) (в том числе, возможно, при г = 10Л,), абсолютно непрерывны на каадом интервало непрерывности и имеет обычнух производау» у е ^(Г)."

Через V = (у^'.Л.а) обозначим набор вариаций, в которо» у е МЯЦр0)), ш е п е иг4^, э 6 к'31, где |5| -

число элементов в множестве 5, а компоненты з1 вектора ;

являются вариациями номвнтов прилоааная импульсов (т.а. точек разрыва вшшчбдацх в S).

Конус К соотоит из вариаций v, удовлэтворящих условиям:

§

a,) JXo(b°)y0 + J3f{b°)[y1 + Git^h) $ Q; *iXo&0)y0 + au (b°>(y, ♦ G(t,)n> <0, te Ьх01ь°1Уо + + C(t,)n) - Q(

9jJtQ.^it0))yQ < 0, Je^,! аг) iPj.(t)(y(t) + 0<f)o<t)) S 0, t f ïr / - I,d(<p);

a3) P = ra<t)y - (¿„tyno, * « (t0,if)\S(^)t

a4) [z(l,a&)«/(aÊ)] =0 V e S(v°)\S{

[2(I,ebW(Bjt)] » [2(1,ай)(/0(ай) - *0<вь)]вк V aM e s, шп, что ¡эквивалентно,

[*<1.«ьМв»>] - [¿O<0-V]®* V 0U€S.

Здесь (y0,yt) ~ {y{t0),y{tt)), G(t,) * 0(tft2?(tf)),

<p.(t) - <p,(t,i°(t)), /Œ(t) = rx(t,3pit),v°(t))f <я„)ф<П -

« (t,x°(t)) (производная по t начисляется обачша сэра-

вом в салу исходного и сопрягЗпного уравнений), 1а(ая)1 - обозна-ченив скачка функции a(t) в точка а^, скаляряне скобка для кратаоста опуцвш.

Отметим, что если в задаче (J,B) формально линеаризовать все

активные ограничения и функционал в точке (х = V =

■ то получим некоторый конуо в пространстве вариаций (х( •),

и( •)) • Применив к нему преобразование Гоха: в' : &Е э {х,и) —»■

—* {у,ь>М, 5-у, 1»(10) =0, Л = тс!,), у = х - С(Пш,

получим, что образ в•(Як) описывается условиями а(, - ад). Остается добавить условие скачка а4).

Квадратичная форма 0х (V) V Л. € Л имеет вид суммы ©*(т>) = + «§(*) + I £ [<1/(аь),ВЛ(аь)у(аь)>]. (26)

Охарактеризуем еЗ составлящае.

Введём фэркольнуо вторую вариации лагранжиана задачи (3,Е):

©|(е) = | [ <?&(Ъ°){ь,Ъ1 - |агЯх(10,й|°)1е,е)т (27)

х

Здесь е = (г(. ),у(. п, Ь = (хд,х1), а дифференциалы функций I по Ъ и (х,и) соответственно берутся в точках Ь°, (2°(4),

Счвтея, что функционал (27) рассматривается при е е приманим к нему преобразование Гоха. Тогда

= «¿(8'(е)) - (28)

(о! ределенио матрицы » дано чуть ниже).

Для записи форкш Фа введЗм функции г°(тД), явля-

вадся решениями уравнений ,

-О

Подогам

а£ - ¿°<0,аА* 0)4°(0,вА- 0) - ¿°{0,аь- 0) -

Тогда форма Фд икает взд

<■&(») - | £ [г-'+ 0)у(а& + 0) +

Vе _ (21 )

. + - 0)у(вь - 0)]ай + а£ а*

Наганац. матрица кусочно лишицева п определена равен-

ством

СО.1]

q0(в,t),<iP^t))z~1 (8,t)<ls)в{^,t).

Сформулируем квадрзтатаоэ пэобходетюэ услоеял гггвхука па п. Теорэха 4.1.1. Еалз е° - точка П-шшмуыа, то И 0 а

таг з о V V € а. (30)

леи ,

Переходя к достаточности, пологим

- П.

!7(Г ± 0} = | V) « : - « 0

Обозначим через 1+ кногаство элешнтов А е Я, удовлотпоря-щих условиям:

<0 V £ « а» е ^(4), ю ^ );

♦ 0),з4) <0 V 6 Б,

ш е ¡У(АА ±0), ш € {ш°(аь - 0),1У°(ай + 0)};

^(^.и/5^ + 0Мо) < 0 Ч и> < + 0), и> * + 0);

- ом,) < а

(31)

V ш е яц, - о), V * - 0).

Элемент X е Л назовЗм строго гоювскям. если выполнены ус-ловля:

б,) + 0),и>(аь - 0),вк) =0 и > О ¥ эь е Я;

б2) при любом t е (10Л,)\5

0Л-(*,е°(1>) > О V » е у(),

= о, ./ е ^и.^п);

й3) В ЛЗЭбОЙ т. ЛВ 04 Е г

Ох(ай,е°(ал ♦ 0))1и,*1 >0 V я € К^ ± 0),

т¿(вь t 0)<^х(вь,хр(вь ± 0)),С(эь,го(эь ± 0))я> = О,

1 е А^Л^О)); 04) в концевых точках отрезка Г

Ох(г0,е°(*0 4 □))!»,«] > О V и е к1Г{г0 + 0),

+ 0)),сио,з?ио + 0))»> = О,

/ « А?(го,а?ио+а));

- О))!*.*) > о V * е Кпа1 - 0),

■УЬ^з^г^г - 0)).ви0,зР{гг - 0))п> = о,

Обозначь.! чорэз воП^(И^) г.яожзотш строго гоховсгаа влоглян-тов \ с а ВЕвдЭи фуяхцяонал

Т(т) = 1У0|2 ♦ + |в»2 + |»Яг (32)

(пря 3 = 0 ползгеэм а = О).

Теорэт 4.1.2. Пусть сусэсгвуют чшло а > О п непустая пом-понт Я0 с (1?+) та:сто, что

гпг ?/'(г>) > а (V) V V е л. (33)

Тогда е° - точка П-гяшкмула.

Чтобы результата раирлГроЕ'З! сдавать Солва гябгач=;и л арисгасоОлошпг^! для случал, когда глоб&шгаэ прорсразоваппо о Е9Воз?.!окго, рассмотрим язкоторца оаяаблэшшй тш ишзнмукэ (по этпоазшяа к ш.иульспо-поптргититскому).

Пусть - откратоз миоггаство в пространства ^,х,и>), па ■«агорой вшмлнеш условна СроЗешгуса, опрэдалзна фушцяя : которое содэрйпт аишиишз грвфсна Фупьлги t —»• (?)),

Г € Т.

опрздолс'ниэ 4.1.1. Импульсный процесс е° папосзм точкой >-?ашп!.?уиа, эслз найдутся а > О п откратоэ гшойзстЕо £сС® та-шв, что в0 - точка кпшиука в Еадачэ и,Е), дополненной огргпгг-¡епиямп

|Х(10) -зРа0)\ < е, |М - Л°| < в, (С.г.ш) € с.

Назовйм элемент \ € Л гоховсиаа, веля для наго внполпяатся ¡се условия серии б) с заиеной стропа шравэнспз гш сзстропгэ. 1эрез СоГЦЛ) обозначим шюгаство всех гоховенях элэкзятсв

многоства А.

Teopcjra 4.1.3. Если е° - точка S-taiHiiMyt.-.a, то Go/ЦЛ) у 0 ц ни ®*(v) >0 v v е к (34)

оокгл)

Усилашхо отого необходимого условия приводит к достаточности.

Пусть Gofi^(A) - шопаство строго гоховасос элементов каюка ства л.

Теарзла 4.1.4. Пусть существуют число а >0 к непустой компакт А с Gcht (А) такие, что

max С^Ск) * ot(v) V v е К. (35)

*.«л0

Тогда е° - точка строгого S-шншума.

□формулированные твораш дают полную систему условий отдельности пмпульгашх решшов. Отыэпм, что в выполненной под руководством автора работа3 вти результата обобщена на задачи с нолкнейшн управлением и сиешшшыш огракиченияш.

Ясно, что если е° - особый pazsc.i (втот случай анализируется в §4.3), то из теорем 4.1.2, 4.1.4 вытекают достаточные условия соответствующего мшаиума и для исходной задачи. Что г.е касается необходимых условий теорекш 4.1.1, то они распространяются на задачу {J,E), если в ней локальные фазоограничения отсутствуют и ?г(г) = г - х0, где xQ фассировано (т.е. фактически кот концевых ограничений типа равенства). Т.о., в сравнении с известными результатами А.В.Дмитрука, изучавшего понтрягинский минимум на особых розга гаг, условия оптимальности из §4.3 лмапт меньший диапазон праюнЕчости (случай Фробениуса), но зато соответствуют Оолэе глуСгпому типу исследуемого минимума (за счзт привлечения ВПМ).

в

Кекгфэрова К.А. Квадратичные условия оптимальности импульсных ре-г^гов: Дксс. ... канд.физ.-мат.наук. - Иркутск,1990. - 147 с.

Пгстая глава работа посвшзэна В1Ш в задачах опттгазнцки гиперболических слотом прп наличии фушсционалыаи. п пагдодптх фазовых ограничений. Представлении ■ в пой результата абобдапт пп случай более слогкых ограничений аналогичные условия оптимальности В.А. Орочко3. Рассматриваемая задета имеют общее свойство с задачей кшульсного управления: состояние систем« (пли ого произведши) мо~ат претерпевать разрывы. Данное свойство может быть попользовало для прэдоамэрепна* организации разрывов при варьировании управления, что сэдЗт Я рассиропив масса варяащй, углувлвгеш исследуемого капЕмуна а в конечном итого - к усилении классического ГГ!.

В отличйа от всех работ по ВГЕ1 в рзсярэдолЗшап: системах, в диссертащм пргп.тэпяэтел гадкфзцзровапный метод у-вариацкй, конструкция которого предложена авторо?< п рэолиосспа для некоторых классов задач совместно с аспиранткой Е.П. Еом.тэльдор.

В 55 5.1, 5.2 рассмотрена слздупдвд задача вптишзоции яапозпчзсках систем.

Пусть Р « (О,Г) * (0,5) - прямоугольник в плоскости (Г,л), ^(Р) - пространство (йгшеда у : Р —»- Ег1Гу-\ пзкэрта п огрл-* отошли на Р е*:зсте с обоО^Звноа пропзводоой по Соболзпу 1 (Р) - пространство функций г : Р —* г е I (Р) вкес-

а |09 * * СО

го с обобдЗпноЯ производной гд.

Пусть 0 = .....о = - наборы точек из

(Трэзков (О,Я, (0,51, упорядоченных по возрастании:

о < г\ < ... < * = Г, О < а, < ... < а = Я. / р 1 ч

Срочко В.А. Вариационный пргпцяп изктаздчлэ я гатода фазовой ливе-ризации. - Иркутск: Изд-во Ирку т. ун-та, 1289. - 160 с.

Х'огда для функций у е 2 € определены наборы

У(9,е) » (у(1,,0),...,1/ир,в)], в е (О,Я),

2(о,- [г(1,а().....е^.а^)], г е (0,Т),

»

составленные из следов функций у, г на соответствущпх интервалах,

НазовЗм процессом лзбой набор

г» [у(1,а),2(1,а),и(1,а),е,о],

в котором у, г, в, а имеет указвшша выше свойства, u(t,в) е е 1?(и}(Р) к шш).шэ1ш ограничения

- /'(«.й.у.г.ц), у(0,в) = ф'ог,

гв =,в,у,в, и), гЦ,0) = Г(Г>,

ии,а> е и V (г,8) € р, (37)

гда и с К4'"-' - фоизвольиое множество, ф', ср2 - известные функции.

Тш-нм образом, кы считаем, что для каздого процесса имеется "ст>оП" прямоугольник Г и наборы 9, о.

На лзОом процессе определеш функционалы .7{(г), ( О.йМ)

и операторы ^ - к = 1,3(1^) вид

3 т

•V1) = | «1(в,У(9,а)№ + | о о

В л

У](1;г) = | Р](1,э,уи,в))йз,

т

= [ ^Ц,я,г(4,а))сК, о

г до, к примеру, в1 {а,у1,... ,ур) - задышал Фужгцзл, а в'(з,У(в,а)) = в1{в,у{г1,в),...,уЦр,а)).

Процесс х наэовЭм допусилжа, о с.та он удовлетворяет Гтгкця-оналышм ограничениям

а, 1=1,й0,

» о, ии0 + 1,аи)

и ограничениями операторного пг-а

о, г « ю,Т1, ?г{а\х) 4 0, ее (о,51,

(23)

(39)

где

-и.....,}. ^ - И.....

1 1 асг'У 1 ' аагг

Рассматривается сладуэдая слгтяпвцконпая задача: кктээояро-вать функционал 30(х) па шоезство долуотти процессов, т.е. щгл ограничениях (36)-(ЗЭ).

Варпационшй анализ данной задачи проподатся п прадполосэпаи, что функцш! /= ф= (<р',ф2), р], непре-

рывны по совокупности аргументов вместо с производила по у, Я, г, а.

Через = ^°^,э),.г0(иа),и0({,8),е0,о0] будем обозначать пссладуекай на гдавшум допустгша процесс, для которого е° »

- о°={а?.....

Пэрвйдбм к формулировке пзобходогяи условна оотпаальпоста. Пусть К = (а,ц,ф) - набор многзтвлвй Лагрпнзз, в которой д е к*1^'^ = - поря векторных тр раетзрпостеЗ ЩР'),

dii3) на отрезках (0,1"), 10,S°1 соответственно, ф= (ф',<|>2) € € * Ь****^), 6 (0,Г°) « (0,S°). ВведЭм функцию

ПонтрягЕна

U(K|t,0,J/,2,U) » <(j),/(t,y,z,u»,

а тдагэ ев "усвчвнша* варианту

Н1 (Xst,|/,«,U> - H(X}t,|/,s,u) - <pl,fl[t,y,z,u)>, l = 1,2

и краэшо функции Лаграшш

pj) ¿13)

uo fco

г - .....ур), г - (zJf...,2q).

В Екстралальша условиях ВШ будут использованн функционалы

- J {a,(Mt,8,y(t),c0(i,fl),u(t))cit -

0 .(40)

- p'(t,0,iy(t))4i'(t)} - l'(*.;s,Y(e0)), »o

**(z(.),u(.);t) - J t,a,y°(t,a),z(8),u(a))da о

- Fz(t,a,z(a))d^zO)j - i2(X;t,Z(a0)),

где Y<9°) - .(j/U°).....y(t°)]. Z(o°) = [z(a°).....z(s°)j.

Положим

e° - _

V'j - {t < t0,3°) : | Pj(t,a,u°{t ,8) )cta = oj, J = I.tKP'),

(41)

Df = [a e [Q,S°] : J ,B,z°{t,a))clt = о}, й = I,dHP2), о

v'lt.o) = £ L'v (M3,V°(Q°,s)),

i/d.a) = У if {h;t,ZPia°,t)),

¿_i " i

n Г» •>

ГЛЭ

Y°(e°,3) - 0),...,,V0(ΰ,3)] Г! Г.ГЗЛОПКШЙ! с;г-л S3;

Ч ' Р JT

otJoan ачв:пэ £° (а°, í ).

02ризц*'ош:ьл прл£цгз1 нпкспязгла лп поогаатсют« от::-

»ЗЗСЦПЯ 3 ПП'ГОПГЧЗСКСЗ СЯ050КЭ @0р?у/Шр73ТСЯ СЛЭДУПТ?! сер.-.;»':.

îeapsm 5.1 Л. Ewrr вроцззо oerrta.—«, -го cv:.;¡e'.u:v."-гэбер X - (a,|i,i¡>) ти:с2, что гюожзез гаезгяя:

(I) а4 > 0, г £ 0,do; a{J{(x°) =0, г с I,tZ0, кезгшонга ц! и ц? пару ц = гагпягся ргуллтагсзх г:з-

J Л

отрзцатэлшг.'а кэраля, соорэдотстопкяа иа каогзстга: X>j а

СООТПЗТСТЯЗШ),

0 dfp'j dfr2;

1><! +S >0

1 =0 3*1

( inj I означает погаул зарпацгцэ Mcpi

(2) фушецпя ф(г,л) - ('.¡!Т(г,е),'|г!1,о)) да почтя rerxt (t,з) £ Р° удовлетворяет сопряПЗной састегэ

- за -

<|>'(М) - НмЫ'иакП - - v^^t,a)

г*,А

(в,а";

(За) V а с 10,5°1 процооо ^/°(.,в),и°(.,в)| оптимален в слэдупдзй обыкновенной задаче оптшального управления:

и(*) € I/ V { £ (0,1*'],

УК) - /'(1,в,уи),г0и,а),ши)), у(0) = Ф'(0),

прачОи

Р^(у°(.,8),иО(-,в){0) + р,(в) - О, где функция р,(а) опредалэна равенством

10,Г°]>[о,В°] - 1^Н,Т1)Ф2(Г})М} + | [ф'(0,7})ф^(т!) -

(36) выполнено условие, симметричное (За).

Родственность данного признака оптимальности с ВШ для зашульсша процессов очевидна. В данной задаче у-компонента состояния мохат терпеть разрывы на характеристиках а = сола!, а 2-кошонентв - на характеристиках 1 = сопаГ. Соответственно втоау в ВШ входят два экстремальных условия, которым должен удовлетворять оптимальный процесс.

Следст.Зив 5.1.I. Для лг2аго набора Kl обзспэчетгжг.ого гптгол-3ikq УОДОТГЙ теоро!".! 5.I.I ДГЧ процзогв 2?, СВр8Е9ДВ?В0 pSBOtlCTEO

¡H\;t,a,3p(t,3)) = пси: ll{k;t,a,y0{t,a),z°{t,a},u)

u£tr мй)

V (t.S) € Р°

Ог.'этш, что для рессматрззвзкоЗ звдггп птот рззуг'лг.т тгзгг) злпзтся пот.

D J S.3 Ш! (а в кзч0стг.э ого слэдатсия п нязскгое,":* Г!) зтппзпг"лаатся дгя скстсп Гурси-ЛпрЗу

Ttg = /Тт.зг,,Tn,u,t,3), u(i,0) i г;

r.i налтсл гсадтз» «Тупятся» д-ятл: огротппздЛ, а тп:">'9 "i^orns

0{(x(tta),i,o) с а, ( - I,d(">}.

и огзттп, что получсг^з л ргЗзтг» гл"".".тгт.:

¡пдэтояьатзует о то:,!, что дгт в всзйлось см юро^о лйссвх задач стпгмзлкюго уирсагзгета когут бить сирта» дсшлп-элыглз рэсурси взряшпопясго тгаглза, поп"олг.гг?э пз.-^птьсл пэ ЗЯЛЯ^ГГЛ ПрОГрЗСО О тооргл услэпп t сят.г.1л."ытс0гл.

Оетигкэ рэзультяти глос-ртяг"! ояу0.сз:овзяи в с.зду-г::-.:: аботах:

1. £пта 3.А. Достаточная услогля слльшзго izzszwn для осэ-¡IX окстрэмалой //Вопроси пр^хлздоЗ гптегтг.ппз. - 'Лркутси, 1977.. 39-50.

2. Дахтя в.А. Условия лошшлюго tjnratyra для особпх рз:™-оп системах с динвйяс! упрзвлеияоч // Автомата« п твл»:эхс.гот. -

sei. - Л12.. - с. ь-т.

3. Дихта В.А. Достптсчнно условия сдлъпотп для осо-

i;x рояимов // Чкслпнннп пип-лсч (пртклодтя г.'лг^'лттгтл). -

Иркутск, 1978. - С. Б4-Б5.

4. Гуркая В.И., Дихта B.Ä. Выроздешшв задачи оптимально управления п катод кратных максимумов // Автоматика и телеках кика. - 1977. - Ш. - 0. 53-59.

Б. Дахта В.Л. Об оптимально с та особах упрввлений в обыкв векшд даикачэсквх системах // Дкдаренц. п штогр. уравнения. Иркутск, 1Э76. - Вин. 4. - С. 167-170.

6. Гуриса В.И., Дихта В.А. Достаточные условия сильного * ншуна для вырожденных задач оптимального управления // Дпйэрев уравнения. - 1976. - Т. 12, J6I2. - 0. 1229-1239.

7. Гурцан В.И., Дихте В.А. Достаточно условия сильного к псзуиа для особых и скользя^дх рэкамов, дополняема пршцип какс

Еонгрягаза П Ь'атврявлз Всесоюзного ссаюзазгкэ по онтклальк Елу упраплэкеа и дпйфоренцзалькыг,! кгрн;.г.- Тбклпся, 1ЭТ7. - С.85-Е

Ö. Дахто В.А., Нолокольюшова Г.Д., НакЕфорова И.Д. Ко/ квлыыв преобразования задач опттаальпого управления и услон цзншумг на кнокест°е последовательностей в задачах с особыми р // Теоретические н прикладные вопросы оптимального управ! ния. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ка, 1985. - С. 59-75.

Э. Дыхта В.А. Общая схема преобразований экстремальных за; s некоторые еб пршгасения в оптимальном управлении // Интггрода форонц. уравнения s их прелогошет // Иркутск, 1Э87. - С. 82-91.

10. Гуриан В.И., Дыхта В.4., Колокольникова Г.А. и др. При цеп расширения в задачах оптимального управления // Изв. АН ссс Техническая кибернетика. - 1983. - £2. - С. 200-213.

11. Гурнан В.И., Дыхта В.А., Колокольникова Г.А. Нелокальь

»

преобразования вырожденных задач оптимального управления и i Пуль СЛЫВ реши. - Деп. В ЬИШТИ 15.СБ.90, JK3455 - В90. - 75 с.

12. Дыхта В.А. Исследование особых ревимоЕ нелинейной систе

в случав кратких максимумов // Автоматика и телемеханика. - 1979.т. - С. 16-19.

13. Днхта В.А. О корректном расширении задач оптимального управления и интегральный принцип максимума // Тез. докл. VIII Всэ-соаз. конференции "Проблемы теорзтичоскоЗ кибернетики". - Горький, ISB3. - 0. II I—112.

14. Дыхта В.А., Нолоколышковя Г.А. Условия минимума нэ гао-S3CTB0 шслодователыгаотэЗ в вироэденпсй вариационной звдечэ // Кат. заметки. - ISS3. - J'5. - С. 735-Г744.

16. Dmltrulc А. V., DyKhta V.A. Quadrat lo песезпагу and. miffl-cient optlmality conditions for singular end tepulalve ргосьазез // Iraca / IÍA0 Internat. Uorkaccp. Ret hotte and Software for Autorat le Control Syater.a. Surrrarlcu of рарогз. irlaitck, 1591. -P. 14-15.

IG. Дчхта в.А. Вариационный принцип максимума п условия пусто. порядков для гешульсно-особнх реяпмол // ИэадуяарояпнЗ сештар "Нэгдадгагэ и раврывше задачи управления и оптаизацил". Тез. докл. - (¿eich, 1991. - с. 44-45.

17. Dykhta V.A. Impulse-trajectory extension of degenerated optimal control problema // braca Annals of Computing and Applied Kathsmtics. - 1990. - V. 8. - P. 103-109.

IB. Днхта В.Л. Варяациопний принцип накешума 11 квадратичные условия оптимальности 52.пульсных а особых peawoB // Иркутск: иркут. ВЦ АН СССР. - ПреПринт :Т7, 19Э1. - 42 с.

19. Дцхтв В.А. ЕвриационниЙ принцип мвкешуиа для гс,шульспнх и особых роЕЯлов в задаче оптимизация, линейной по управлению // Изв. вузов. Математика. - 1991. - ЛИ. - С. 89-91.

20. Днхта В.А. Принцип расоирегаш в качестветюЗ теория управления // Методы рентная задач теории управления па основе прпп-

цнпа расширения / В.А.Батурин, В.А.Дихте, А.И.Москаленко и др. -Новосибирск: Наука. Овб. отд-ие, 19Э0. - Гл. I. - О. 5-48.

21. Дихта В.А. Импульсно-траекторное расширение задач оптимального управления // Развитие и применение метода функций Ляпунова. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ие, 1992. - С. 170-182.

22. Бокмельдэр Е.П., Дихта В.А. К теории принципа максимума для управляемых систем гиперболического типа // Теоретические и прикладные вопросы оптимального управления. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ие. - 1985. - 0. 41-48.

23. Бокыельдер Е.П., Дихта В.А. Принцип максимума для полулинейных гиперболических сиотем при функциональных ограничениях // Дифференциальные уравнения и численные метода. - Новосибирск: Наука. СиО. отд-иэ. - 1986. - 0. 200-207.

24. Бокизлъдер Е.П., Дцхта В.А. Оптимальное управление системами Гурса-Дарбу при фазовых и функциональных ограничениях // Деп. В ВИНИТИ 04.02.85, Й948-85. - 36 С.

26. Dykhta V. , Bockmelder I.P. Optimization of hyperbolic Bysteas with state constraints // X Korld congress of Automatic Control. - Preprint. Munich. - 198T. - V. 9. - P. 278-284.

26. Дыхта В.A. CO одном классе задач оптимального управленш со стилтьэсовскиы интегральным критерием и фазовым ограничзнием // Вопросы оптимального управления и исследования операций.- Иркутск 1968. - С. 36-45.

Ткрая 90 экз. Заказ № 'а