Оптимизация интегро-дифференциальных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

На правах рукописи

Букина Анна Викторовна

ОПТИМИЗАЦИЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 2 лек 2010

Иркутск - 2010

004614915

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Иркутский государственный университет»

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведун'ая организация:

кандидат физико-математических наук, доцент

Терлецкий Виктор Анатольевич

доктор физико-математических наук, профессор

Батурин Владимир Александрович

кандидат физико-математических наук, доцент

Сидоренко Геннадий Васильевич

Институт прикладной математики ДВО РАН

Защита состоится 17 декабря 2010 г. в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 212.074.01 при ГОУ ВПО «Иркутский государственный университет» по адресу: 664003, г. Иркутск, бульвар Гагарина, 20, Институт математики, экономики и информатики.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Иркутского государственного университета (г. Иркутск, бульвар Гагарина, 24).

Автореферат разослан 16 ноября 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета канд. физ.-мат. наук, доцент

Антоник В.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многочисленные проблемы техники, естествознания, экологии и социологии могут быть формализованы как задачи оптимального управления системами с распределенными параметрами. Построение теории и методов решения таких задач ввиду их большого разнообразия и сложности предполагает, как правило, выделение конкретных классов систем, описывающих управляемый процесс. Объектом исследований в диссертационной работе являются задачи оптимального управления, в которых связь между граничными, сосредоточенными и распределенными управлениями с траекторией определена интегро-дифференциальной системой, содержащей два типа фазовых переменных. Одна группа этих переменных подчинена гиперболической системе дифференциальных уравнений, в правую часть которой входят переменные другой группы. Они в свою очередь связаны интегральными уравнениями с решениями дифференциальной системы. Граничные условия являются интегральными. Такого рода интегро-дифференциальные соотношения широко используются в математических моделях динамики популяций, процессов распространения инфекционных заболеваний, амортизации производственных фондов и т.д. Прикладная значимость и, в то же время, недостаточная изученность самих интегро-дифференциальных систем, а также задач оптимального управления ими объясняет многочисленность публикаций по данной проблематике как в России, так и за рубежом. Следует подчеркнуть, что значительная часть таких исследований направлена на изучение конкретных частных моделей и подчас существенно опирается на их специфику, например, линейность. Кроме того, полученные в них условия оптимальности далеко не всегда подкрепляются соответствующими численными методами. Таким образом, проблемы качественного исследования интегро-дифференциальных систем, разработки новых условий оптимальности, конструирования численных методов, обладающих как свойствами монотонного улучшения целевого функционала, так и убывания невязки по соответствующему необходимому условию оптимальности, являются в настоящее время достаточно актуальными.

Цель работы состоит в построении эффективных методов улучшения допустимых управлений для двух исследуемых интегро-дифференциальных задач.

Основными задачами работы являются изучение свойств обобщенных решений интегро-дифференциальных систем в условиях разрывности допустимых управлений, построение условий оптимальности управлений и разработка итерационных процедур, обладающих свойствами релаксации и сходимости.

Методы исследования основаны на теории уравнений с частными производными, теории оптимального управления и численных методов. В работе применяются метод характеристик, метод последовательных приближений для интегральных эквивалентов исходных интегро-дифференциальных систем, вывод и анализ формул приращения целевых функционалов на различных типах варьирования допустимых управлений.

Научная новизна. Для рассмотренных в диссертации интегро-дифференциальных систем наряду с доказательством существования и единственности обобщенных решений впервые установлены точные оценки их роста относительно входных данных. Получено новое необходимое условие оптимальности в форме вариационного принципа максимума. В отличие от аналогичного результата в задачах оптимизации гиперболических систем, здесь вариационный принцип максимума формулируется не только в терминах семейств задач оптимального управления обыкновенными дифференциальными системами, но и использует оптимизационные задачи с траекториями, подчиненными интегральным системам. Выделены классы задач, в которых вариационный принцип максимума является достаточным условием оптимальности, а также найдены условия, при которых он совпадает с конечномерным принципом максимума. Впервые для рассматриваемых задач разработана серия численных алгоритмов, основанных на вариационном, конечномерном и линеаризованном принципах максимума. Обоснована их релаксационность и сходимость по невязкам соответствующих условий оптимальности. Большинство итерационных процедур программно реализованы и апробированы численными экспериментами.

Основные результаты, выносимые на защиту:

• теоремы существования и единственности решений интегро-дифференциальных систем с выводом оценок роста решений относительно входных данных;

• необходимые условия оптимальности, а именно вариационный принцип максимума и его следствия в формах конечномерного и дифференциального принципов максимума;

• алгоритмы численного поиска решений, обладающие свойствами релаксации и сходимости по невязкам необходимых условий оптимальности. Исследование некоторых моделей динамики популяции на основе программной реализации построенных алгоритмов.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты диссертации являются важным вкладом в качественную теорию и численные методы задач оптимального управления системами интегро-дифференциальных уравнений. Предложенные численные алгоритмы служат практическим инструментом в прикладных исследованиях интегро-дифференциальных моделей.

Отдельные результаты работы используются при проведении спецкурсов в Институте математики, экономики и информатики ИГУ на специальностях «Прикладная математика и информатика» и «Математические методы в экономике», а также при написании курсовых и дипломных работ.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на

• III межвузовской зональной конференции «Математика и проблемы ее преподавания в вузе» (Иркутск, 2007 г.);

• школе-семинаре молодых ученых «Математическое моделирование и информационные технологии» (Иркутск, 2007 г.);

• школе-семинаре «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (Иркутск, 2008 г.);

• XIV Байкальской международной школе-семинаре «Методы оптимизации и их приложения» (Северобайкальск, 2008 г.);

• Всероссийской конференции «Математическое моделирование и вычислительно-информационные технологии в междисциплинарных научных исследованиях» (Иркутск, 2009 г.);

• Международной конференции «Оптимальное управление: теория, методы и приложения», посвященной 70-летию со дня рождения профессора О.В. Васильева (Иркутск, 2009 г.);

• семинарах кафедры методов оптимизации ИГУ.

Исследования по теме диссертации были выполнены при частичной финансовой под держке

• гранта Российского фонда фундаментальных исследований, проект 08-01-98007-р_сибирь_а, 2008-2010 гг.

• гранта поддержки научно-исследовательской работы аспирантов и молодых сотрудников Иркутского государственного университета, тема 111-02-000/В, 2008 г.

• гранта поддержки научно-исследовательской работы аспирантов и молодых сотрудников Иркутского государственного университета, тема 111-09-001/А1, 2009 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ. В их число входят 5 статей [1]-[5] из «Перечня российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук», 1 статья [6] в научном журнале, 4 полных текстов докладов [7-10] в материалах всероссийских и международных конференций. Работы [1], [4] выполнены в нераздельном соавторстве с научным руководителем.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы из 74 наименований. Общий объем диссертации составляет 140 страниц, включая 5 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, проводится обзор литературы и дается краткое изложение содержания работы.

Исследование задач оптимального управления подразумевает прежде всего обоснование существования решений соответствующих фазовых задач, а также построение оценок роста их решений относительно входных данных, т.е. начально-граничных условий и правых частей систем. В связи с этим в первой главе диссертации рассматриваются следующие три интегро-дифференциальные системы гиперболических уравнений с начально-граничными условиями

xt = f(x,y,s,t), y(s,t) = Jg{x{£,t),s,£,t)(%, x{s,t0) = x°(s), (1)

s

(s,t) e П = S x T = (s0, si) x (i0,ii), x = x(s,t), у = y{s,t), x{s,t) e RNx,y(s,t) e RNv\

Xt + Xs = f(x,y,z,r,p,s,t), y(p,s,t) = JJ g(x(p,S,t),z(p,Z,t),r(p,Z,t),p,p,s,£,t)dpd£,

PS

z{p,s,t) = J q{x(p,Z,t),p,s,Z,t)d£, (2)

r(jp,s,t) = j k{x{p,s,t),p,p,s,t)dp, p

x(p,s,t0) = x°{p,s), x(p,s0,t) = J l(x(p,£,t),p,Z,t)d£;

s

xt + xs = f(x,x(p,s0,t),y,z,r,p,s,t), y(p,s,t) = J J g(x{p,£,t),z(p,Z,t),r{p,t,t),p,p,s,£,t)dpd4,

PS

Ф, s,t)= J q{x{p, t),p, s, t)d£, (3)

s

r(p,s,t) = j k{x{p,s,t),p,p,s,t)dp, p.

x(p,s,ti)=x1(p,s), x(p,S\,t) = 0,

(p,s,i)en = Px5xT= (po,Pi) X (s0,si) x (i0,ii), x(p,s,t) G RNx, y(p,a,t) G RNy, z(p, s,t) G RN*,r(p,s,t) G

Во втором параграфе первой главы вводятся определения обобщенных решений задач (1)-(3) с использованием понятий характеристик соответствующих интегро-дифференциальных гиперболических систем. В задаче (1) характеристиками являются вертикальные прямые s = £ G S, t G T, в задачах (2) и (3) плоскости с одинаковым наклоном к осям координат переменных sut при любых значениях р G Р. Прямые С = s — t + т с фиксированными значениями р G Р, s G S, t G T называются бихарактеристиками, проходящими через точку (р, s, t) G П. Они пересекают границы параллелепипеда П в начальной и конечной точках (s(s,t), t(s,t)) и (s(s,t), t(s,t)). Обобщенные решения определяются как решения интегральных систем, эквивалентных на гладких решениях соответствующим интегро-дифференциальным задачам.

В третьем параграфе методом последовательных приближений доказывается существование обобщенных решений задач (1)-(3) с выводом для задач (1) и (2) оценок роста решений относительно входных данных.

В четвертом параграфе обосновываются единственность обобщенных решений и их некоторые свойства. В том числе устанавливается, что решение х является абсолютно непрерывной функцией вдоль бихарактеристик. Вводится понятие оператора

и обосновывается его суммируемость в П.

Вторая глава работы посвящена необходимым условиям оптимальности в задачах оптимального управления интегро-дифференциальными системами типа (1) и (2). Так, в первом параграфе исследуется задача

J(u,w) — fp(x(s,ti),s)ds+ Ф(x,y,u,s,t)dsdt-ï min, (4)

Zt = f(x, y, U, s, t), y(s, t)= g{x{£, t), u(Ç, t), s, f)d£, (5)

T=t

S

п

s

x(s,to) = x°(w(s),s)

(s,t) e n = S x T = (so, Si) x (to, ii), x(s,t) G RNx, y(s,t) G я**. Управления u — u(s,t), w = to(s) выбираются из множеств измеримых, существенно ограниченных вектор-функций и G 1^и(П), w G L^(S)

u{s, t) G U, [s, t) G П, w(s) € W, s G (6)

t/ С RNu, W С i?^' заданы.

Во втором параграфе изучается задача с возрастной структурой:

J(u,v,w) = JJ ip(x(p,s,ti),p,s)dpds+

SP

+ J JJ Ф(х, у, z, г, и, г>, р, s, t)dpdsdt тпгп, (7)

п

Dx = /(ж, у, z, г, и,р, s, t), y{p,s,t) = J J 9{x{p,^t),z(p,^,t),r{p,^,t),u{p,i,t),p,p,s,^t)dp<^,

PS

z(p,s,t) = J q{x(p,t,t),u(p,S,t),p,s,£,t)d£, (8)

s

r(j>,s,t) = J k(x{p,s,t),u{p,s,t),p,p,s,t)dp, p

x{p, s0,i) = J l(x{pys,t),u(p,s,t),v{p,t),p,s,t)ds, s

x(p,s,to) = x°(w(p, s),p,s).

Здесь допустимые управления принадлежат множествам измеримых, существенно ограниченных вектор-функций, стесненных ограничениями

и(р, з, г) е и, «(р, г) с V, ю(Р, в) е IV, (р, 5, г) е п, (9)

и С й^, 7 С ДЛ'и, 1У С заданы.

Функции в задачах (4)-(6) и (7)-(9) предполагаются непрерывными по совокупности аргументов вместе со своими производными по фазовым переменным. Помимо этого предполагается, что решения задач (5) и (8) для любых допустимых управлений ограничены в П.

Из оценок роста обобщенных решений непосредственно следуют оценки приращений состояний относительно приращений управлений. Последние позволяют определить структуру сильных вариаций управлений, приводящих к вариационному принципу максимума. При его выводе для задачи (4)-(6) используются две вариации управления и(й, ¿): на полосе вдоль характеристики я = С, С £ <5, совместно с игольчатой вариацией управления ги^) и на полосе вдоль прямой £ = т, т £ Т. Вводится функция Понтрягина Я = Н(гр, в, х, у, и, в, €]

где вектор-функции гр = ^(М)) $ = удовлетворяют сопряженной задаче

Теорема 1. Пусть {и*,ю*;х*,у*} - оптимальный процесс, (гр*,9*) -соответствующее ему решение сопряженной задачи (10). Тогда

1) управления = ¿), ш*^ = ю*(С) почти для каждого С £ 5 являются решениями задачи

у*, < тах,

5

■фг = ~Нх(ф,в,х,у,и,8,{), (в,<) е П,

^(-з, = ну{1р,в,х,у,и,8,г), (в, г) £ п,

(10)

г

¿(0 = а^о) = (И)

€ С/,™(0 £ Ж;

2) управление и= и*(з,т) почти для каждого т £ Т является решением задачи

5

Пусть в дополнение к наложенным ограничениям на параметры задачи (4)-(6) множество W выпукло, вектор-функция а;0 непрерывно дифференцируема по w. Конечномерный принцип максимума следует из вариационного после повторного варьирования управлений.

Теорема 2. Оптимальные управления u*(s, £), w*(s) почти для всех (s, t) G П и s G S удовлетворяют равенствам

Н{ф*, в*, х*, у*, и*, s, t) = max Н(ф*, $*, s*, у*, и, s, t);

и SU /13ч

К, 8)'P(s, t0), w*(s)) = max (x°w(w*, s)^*(s, t0),w) . '

Очевидно, конечномерный принцип максимума является следствием вариационного. Обратное следствие опровергается контрпримером. Таким образом, вариационный принцип является более сильным необходимым условием оптимальности.

Далее формулируется дифференциальный принцип максимума в дополнительных предположениях гладкости задачи по управлению и и выпуклости множества U. Выделяются подклассы задачи (4)-(6), для которых какое-либо из условий вариационного принципа максимума равнозначно конечномерному, и подклассы, для которых полученные необходимые условия оптимальности являются достаточными.

Во втором параграфе по аналогичной схеме исследуется задача (7)-(9). Здесь функция H = Н(ф, в, /л, Л, 7, х, у, z, г, и, v, p, s, t) имеет вид

Я = {ф{р, s,t),f{x, у, z, г, u,p,s, t))+

+ J J (в(р, t),g(x,z,r,u,p,p,Ç,s,t))dpdÇ+

SP

+ J {p(p,tt),q{x,u,p,Ç,s,t))dt + J(X{p,s,t),i:{x,u,p,p,s,t))dp+ s p

+Ыр, t), Kx> u> p.s> t)) - 2/, r, U, v,p, s, t),

где вектор-функции ф, д, /х, À, 7 подчиняются сопряженной задаче

Пф = -Нх, в(р, s, t) = Ну, /х(р, s, t) = Hz, A (p, s, t) = Hr, (p, s, t) е П, 7 (P, t) = Ф{Р, so, t), Ф(Р, si, t) = 0, ре P,t G T, (14)

i>(p,s,ti) = -<Ar(z(p,Mi),p,s), peP, ses.

Ее корректность обосновывается в первой главе, где она рассматривается в виде (3). Вариационный принцип максимума формулирует

Теорема 3. Пусть (и*,ь*,ю*,х*,у*,г*,г*) - оптимальный процесс, - соответствующее ему решение сопряженной задачи

(14). Тогда

1) управления «*(*>(*) = и*{р,{ - «о + 4,4), Ь е (*«,<о),£(С.«о))> ш*(рС) — <ш*(р, () почти для всех (р, С) 6 Р х ^о — + ¿о> £1) являются решениями задачи

,/(*)(«<*),«,(*)) = р, С - + *1)+

*(С,<о)

¿(*) = ¡(х(«\у*,г*,г*,иМ\Р> С - 4„ + ®(р0(?(С,<о)) = ®>(р0.Р,С), С>«о,

а(С) = |1, С <*о + <о-«1, \0, С >во + «о-«1.

2) управления = и*(р,з,т), у*^ = у*(р,т) почти для всех /э е Р и г е Т являются решениями задачи

и

Г

5

¿(рт) = г*, и*, р,з0-т + ЬЛ

х{рт){т) = J /(аЛи^.гМр, г)^,

3) управление и*^(р) = и*(р,(,т), р € Р почти для всех (С,т) е Б хТ является решением задачи

= У тпах,

р

г«т>(р) = I к{х\и^\р,рХ,т)йр. р

Следствием теоремы 3 служит конечномерный принцип максимума. Теорема 4. Оптимальные управления и*(р, з, ¿), у*(р, £), и)*(р, э) почти для всех {р, в, {) е П удовлетворяют условиям

Н{ф*,в*, \*,~1*,х*,у*,г*,г*,и*, у*,р, з, г) =

= тах Н{ф*, в*, /Л А*, -у*, х*, у\ г", г*, и, ь*,р, а, Ь), пеи

= тах{ / Н„{ф*,в*,ц*,\*,1*,х*,у*,г*,г*,и*,ь*,р,8,г)(18,у),

У£У J Б

(4,0*,Р, э)'Ф*{р, з^о),ю*(р, в)> = тах(х1(ю*,р, в)'ф*[р, и),

где х*(р,з,£), у*{р,з,г), г*{р,э,Ь), г*{р,з,Ь), ф*(р,з,г), в,¿), р*(р, в, £), \*{р,з, Ь), 7*(р, £) - решения прямой и сопряженной систем при и = и*(р, V — ш = ъи*{р, в).

В третьей главе на базе полученных необходимых условий оптимальности построены численные схемы поиска решений исследуемых задач оптимального управления. Для алгоритмов, основанных на вариационном и конечномерном принципах максимума, используются сильные вариации управлений и базовые конструкции метода последовательных приближений, разработанного для обыкновенных задач оптимального управления. Приведем данные алгоритмы для задачи (4)-(6). Пусть в дополнение к наложенным ограничениям производные функций <р, Ф, / по фазовым переменным удовлетворяют условию Липшица по этим переменным, целевой функционал ограничен снизу.

В соответствии с теоремой 1 численный поиск решения на основе вариационного принципа максимума последовательно использует два семейства сосредоточенных задач этого условия оптимальности. На первом этапе выбираются произвольные допустимые управления и0 = и°(з,£), ги° = ги°(5) и полагается к — 0. По ик, гик путем решения задач (5) и (8) определяются фазовые траектории хк,ук и сопряженные траектории грк, вк. Находятся управления ф)к = € 6

как решения следующего семейства вспомогательных задач почти для каждого я £ 5

./М(йМ* ,©(')*) = шах и(8)(г) е II, е ш,

М) = -ф1%),а) + I#(0,^,*«,у*,««

т

Вводится в рассмотрение функция

ик{з) = - №(ик,юк), з е 5,

и вычисляется её среднее значение

■дк = —-— I шк(а)йз.

5

По определению функция ш^э) неотрицательна. Следовательно, дк > 0. Если "&к — 0, то управления ик, гь'к удовлетворяют первому условию вариационного принципа максимума (И). Если > 0, то задаются од-нопараметрические семейства управлений ик(з,1), ^(я) в соответствии

с правилом

<{s,t)44T(tl íeSi(4 -íw-ÍT- '6aw-

где Sk(s) С S - множество, мера которого линейна зависит от е 6 (0,1). Оно строится так, чтобы при любых к = 0,1,..., было справедливо определяющее неравенство

J uk(a)ds>Nûîe, £6 (0,1),

с некоторыми константами N > 0, а > 1.

Выбор шага ек осуществляется по правилу наискорейшего спуска

ек = argmin J(uk, wk), е £ (0,1),

или исходя из менее жесткого условия, которое более удобно при практической реализации

ек = j = 0,1,J{u\uw%) - J(uk,wk) <

где 8 € (0,1) - параметр метода, j - минимальный номер, при котором выполняется данное неравенство. Тогда

Uk+1(3,t) = V*¿8,t), Wk+1(s)=Wkek(s).

Доказывается, что невязка -> 0 при к —> оо.

На втором этапе задается произвольное допустимое управление и0 = u°(s,t), к — 0, и почти для всех t Е Т находятся управления й^к = ü^k(s), Ф^к s L^U(S) как решения семейства задач

= max jW(u^), uW(s) € U, s

yW(s) = J д(хк,Ф\з,Ш£-

S

Полагается

= ./«(в«*) ~ ¿{Чик), = ! «*(*)<Й,

т

Здесь релаксационность и сходимость в смысле —> 0, к -> оо, обеспечиваются построением области ТЦе) со свойством

J ик{г)<а>№1£, £6(0,1),

Т*(е)

и выбором параметра ек по аналогии с предыдущим этапом.

При построении областей 5*(е), Тк(е), удовлетворяющих определяющим неравенствам, могут без изменений использоваться известные результаты, разработанные для обыкновенных задач оптимального управления.

Опишем численный алгоритм улучшения распределенного управления ик на основе конечномерного принципа максимума (13). По управлению ик строятся решения хк, ук, фк, вк прямой и сопряженной задач. Вспомогательное управление йк определяется как решение задачи

Н(фк, вк, хк,ук, йк, 5,4) = тахН(фк, вк, хк, ук, и, я, Ь).

иеи

Полагается

Шк(в,4) = &йнН{'фк,ек,хк,ук,ик,8,Ь),

(ъ-ъкь-ь)!!^**-

п

Число > 0 характеризует величину невязки конечномерного принципа максимума. Если дк = 0, то управление ик удовлетворяет принципу максимума Понтрягина и подозрительно на оптимальность. Если > 0, то строится ик:

, к

ик{з,1), МеП\ВД. 16

Релаксационность и сходимость метода в смысле г?^ —> 0, к —> оо, обеспечиваются условиями

За управление на следующем шаге берется ик+1(з,^ =

Далее конкретизируется алгоритм условного градиента на базе дифференциального принципа максимума и комбинированный алгоритм, являющийся комбинацией метода условного градиента и метода на основе конечномерного принципа максимума.

В четвертой главе исследуются некоторые модели динамики популяции.

В основе первой модели1 лежит логистическое уравнение. Пусть х(з, ¿) - плотность особей популяции в момент времени £ с адаптивной характеристикой в. Например, величина з определяется размером клюва, который соответствует размеру потребляемого ореха. Плотность ресурсов доступных для особей с признаком з задается функцией К (в). Уравнение динамики популяции имеет вид

Предполагается, что начальное распределение плотности особей популяции известно и определено условием = а;0(б). Особи рождаются с интенсивностью г. Функция £) определяет интенсивность конкуренции между особями за ресурсы среды.

В самом типичном случае функция К{з) является гауссовской и имеет следующий вид:

'Dieckmaim U., Doebeli М. On the origin of species by sympatric speciation // Nature. - 1999. -№ 400. - Pp. 354-357.

J J uk(s,t)dsdt >

Ib(e)

£k = argmin J(uk£,w), e G (0,1),

или

ek = j = 0,1,..., J(u%,w) - J(uk,w) <

xt{s,t) C(s,0®(£,tK). (15)

где К - общее количество ресурсов, s - наиболее распространенный ресурс, ак - мера рассеивания ресурсов по фракциям. C(s, £) также может быть гауссовской функцией со следующим явным видом:

где е - количество ресурсов, потребляемое одной особью, ас характеризует убыль конкуренции по мере увеличения модуля разности между s

Соотношение параметров ак и ас определяет характер распределения особей по признакам, в частности, может вызывать разделение популяции на два признаковых кластера, что служит основой симпатри-ческого видообразования. Задача состоит в нахождении параметров ас и ак, при которых в фиксированный момент времени t\ плотность особей популяции максимально близка к заданному распределению x(s):

J{a) — j(x(s,t\) - x(s))2ds -» min, s

{ffK,ac)eQ= [ако,<?к\] x [acó,aCi\.

Решение проведено методом условного градиента.

Вторая модель является модификацией модели (15), в которой динамика популяции зависит также от внешнего воздействия:

Xt(s, t) = (гф, t) + ц(в, í)) (l - щ J C(s, m) - vx(s, t),

s

z(s,0) = x°(s),

v G V = [0,1] - фиксированный параметр, который может интерпретироваться как относительная скорость вылова, n(s, t) - плотность особей, вводимых в популяцию, например, плотность выпускаемых мальков. Ищется кусочно-непрерывное управляющее воздействие д, доставляющее максимум функционалу

,t))-pp,(s, t)) dsdt ->• max, ¡j,{s, t) G [/¿0, /xl],

где f(vx) - функция прибыли от вылова, f(vx) = piy/vx, р\ - стоимость продукции, р - цена мальков.

Для решения задачи использованы метод на основе вариационного принципа максимума и комбинированный метод.

Следующая прикладная задача исследует вопрос о годовых и межгодовых циклах изменения численности особей. Модель динамики популяции учитывает возраст организмов и имеет вид

... x(s,t)y(s,t) xt(3,t) + xa(s,t) = - { у у \

Si

y{a,t) = Jc(s,Z)x&t)dt, x(0,i) = Jr(t)x(s,t)ds, (16)

S Sr

x(s,t0) = x°(s),

sr - начальный возраст детородного периода. Здесь функция K(t) задает вместимость территории для рассматриваемых организмов, C(s,£) характеризует интенсивность конкуренции между различными возрастными стадиями организмов, r(t) является функцией рождаемости. Цель исследования - определить вклад окружающей среды и свойств самой системы в формирование закономерностей колебаний численности популяции. Таким образом, задача оптимального управления состоит в нахождении параметров системы (16), доставляющих минимум функционалу

J(K,r) = J (j x{s,t)ds-x{t)ydt,

т s

K{t) G [KO,Kl], r{t) S [rO,rl], t € T. Исследование проведено с помощью комбинированного метода.

В приложении аналитически решены несколько интегро-дифференциальных уравнений с начально-граничными условиями. Эти решения имеют самостоятельный интерес, а также применяются при отладке разностных схем для интегро-дифференциальных систем.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в журналах, рекомендованных ВАК

1. Букина A.B. Необходимые условия оптимальности управления интегро-дифференциальной системой / A.B. Букина, В.А. Терлец-кий // Известия вузов. Математика. - 2009. - X5 11. - С. 61-66.

2. Букина A.B. Идентификация модели видообразования методами теории оптимального управления / A.B. Букина // Журн. Сиб. фед. ун-та. Сер.: Математика и физика. - Т.1, № 3. - 2008. - С. 231-235.

3. Букина A.B. Численные методы оптимизации интегро-дифференциальной системы / A.B. Букина // Современные технологии, системный анализ, моделирование. - 2008. - № 2. - С. 77-81.

4. Букина A.B. Вариационный принцип максимума в задаче оптимального управления интегро-дифференциальной системой / В.А. Терлецкий, A.B. Букина // Вестн, Бурят, гос. ун-та. - Улан-Удэ: Изд-во Б ГУ, 2008. - Вып. 9. - С. 52-55.

5. Букина A.B. Оптимальное управление моделью динамики лесных ресурсов / A.B. Букина // Вестн. Бурят, гос. ун-та. - Улан-Удэ: Изд-во БГУ, 2010. - Вып. 9. - С. 3-9.

Прочие публикации

6. Букина A.B. Существование и единственность решения одной интегро-дифференциальной системы / A.B. Букина // Известия Иркут. гос. ун-та. Сер.: Математика. - 2007. - Т.1. - С. 62-70.

7. Букина A.B. Необходимые условия оптимальности управления интегро-дифференциальной системой / A.B. Букина // Математика и проблемы ее преподавания в вузе: III межвуз. конф. - Иркутск, 2007. - С. 90-93.

8. Букина A.B. К исследованию задачи оптимального управления интегро- дифференциальной моделью симпатрического видообразования / A.B. Букина // Математическое моделирование и информационные технологии: материалы VIII школы-семинара молодых ученых. - Иркутск, 2006. - С. 34-37.

9. Букина A.B. Необходимые условия оптимальности управления моделью динамики популяции / A.B. Букина // Математическое моделирование и информационные технологии: материалы IX школы-семинара молодых ученых. - Иркутск, 2007. - С. 29-31.

10. Букина A.B. Необходимые условия оптимальности управления интегро-дифференциальной системой / A.B. Букина // Методы оптимизации и их приложения: тр. XIV Байкальской международной школы-семинара. - Северобайкальск, 2008. - С. 107-117.

Подписано в печать 08.11.2010. Формат 60x84 1/16. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 1,0 Тираж 100 экз. Заказ 63

Издательство Иркутского государственного университета 664003, Иркутск, бульвар Гагарина, 36; тел. (3952) 24-14-36

Введение

Глава 1. Существование, единственность и свойства обобщенных решений

§1. Постановки задач

§2. Понятия обобщенных решений.

§3. Существование обобщенных решений. и. 1. Задача А. п. 2. Задача В. п. 3. Задача С.

§4. Единственность и свойства обобщенных решений

Глава 2. Условия оптимальности управлений в системах интегро-дифференциальных уравнений

§1. Оптимальное управление системой интегродифференциальных уравнений с невозрастной структурой п. 1. Вариационный принцип максимума п. 2. Конечномерный принцип максимума и его сравнение с вариационным п. 3. Дифференциальный принцип максимума. п. 4. Достаточность необходимых условий оптимальности

§2. Оптимальное управление системой интегродифференциальных уравнений с возрастной структурой п. 1. Вариационный принцип максимума п. 2. Конечномерный принцип максимума и его сравнение с вариационным п. 3. Дифференциальный принцип максимума. п. 4. Достаточность необходимых условий оптимальности п. 5. Замечание.

Глава 3. Численные методы

§ 1. Задача с невозрастной структурой п. 1. Алгоритм вариационного принципа максимума п. 2. Алгоритм конечномерного принципа максимума п. 3. Градиентный и комбинированный алгоритмы.

§ 2. Задача с возрастной структурой. п. 1. Алгоритм вариационного принципа максимума п. 2. Алгоритм конечномерного принципа максимума п. 3. Градиентный и комбинированный алгоритмы.

Глава 4. Прикладные задачи

Во многих природных и технических процессах состояние объекта помимо времени зависит от возраста, местонахождения в пространстве или каких-либо других характеристик. Это приводит к возникновению задач оптимального управления системами уравнений с распределенными параметрами.

Уравнения с частными производными, а также начально-граничные условия обладают разнообразием и специфичностью. Поэтому, как правило, исследуются отдельные классы распределенных систем и соответствующие задачи оптимального управления [2, 5, 7, 11, 13, 20, 30, 31, 40, 46, 50, 51, 56].

Процессы, на динамику которых в каждой точки области их определения влияет общее состояние объекта по всему распределению характеристических признаков, возможно описать с помощью интегро-дифференциальных уравнений. Данная работа посвящена задачам оптимального управления интегро-дифференциальными системами гиперболических уравнений. Актуальность темы определяется, во-первых, наличием прикладных моделей в экологии, биологии, медицине, экономике [17, 22, 23, 26, 44, 55, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 71, 74], во-вторых, недостаточной изученностью интегро-дифференциальных систем и задач управления ими.

Распространенными методами численного решения распределенных задач оптимального управления являются методы, ориентированные на необходимые условия оптимальности. В работах [5, 7, 8, 11, 13, 15, 20, 40, 46, 50, 51, 64] эти условия получены в формах поточечных условий максимума некоторых аналогов функций Понтрягина. Наиболее полно исследованы управляемые системы Гурса-Дарбу, канонические и полулинейные системы. По аналогии с обыкновенными задачами оптимального управления в дополнительном предположении о дифференцируемое™ параметров по управлениям и выпуклости множеств допустимых управлений для распределенных задач справедлив дифференциальный принцип максимума. Необходимое условие оптимальности в форме вариационного принципа максимума впервые было получено В.А. Срочко

50] для задач оптимального управления каноническими системами гиперболических уравнений. Исследования [2, 6, 11, 19, 53] распространили этот результат на системы Гурса-Дарбу и полулинейные системы. Данное условие является более сильным, чем конечномерный принцип максимума, и согласно ему оптимальные управления должны доставлять максимум обыкновенным задачам оптимального управления, построенным вдоль семейств характеристик фазовых систем.

Необходимые условия оптимальности, а точнее соответствующие им формулы приращений целевых функционалов и вариации управлений, служат основой построения численных алгоритмов улучшения допустимых управлений. Принцип максимума Понтрягина порождает метод последовательных приближений. Впервые этот метод был предложен в работе [27] для задач оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Дальнейшие исследования [2, 8, 9, 10, 11, 24, 28, 32, 33, 34, 39, 52] обосновали его релаксацион-ность и сходимость по невязке конечномерного принципа максимума, а также распространили алгоритм на распределенные задачи оптимального управления. Градиентные процедуры основываются на классических (слабых) вариациях управлений и сходятся по невязке дифференциального принципа максимума. Зачастую более эффективно применение алгоритмов, рассмотренных, например в [11], являющихся комбинациями метода последовательных приближений и градиентных методов. В статье [6] был построен метод, основанный на вариационном принципе максимума для задач управления системами Гурса-Дарбу. В некоторых работах [2, 21, 36] вводилась внутренняя вариация, применимая для исследования специфичных задач с допустимыми управлениями в классе гладких функций. Так, в работе [2] были предложены необходимое условие оптимальности и численный метод для оптимизации гиперболических систем с гладкими граничными и стартовыми управлениями.

Теперь рассмотрим имеющиеся результаты, полученные для интегро-дифференциальных задач оптимального управления, близких к изучаемым в данной диссертации. В [64] исследовалась задача, которая в обозначениях этой работы имеет следующий вид

J(u) = I (p(x(s,ti),s)ds + JJ Ф(х,у1,у2,и, v,s,t)dsdt —> min, 's n xt + xs = f(x,yi,y2iu,s,t), mM)= f (1)

2/2(i) = J g2{x{s,t),yi(s,t),y2(t),u(s,t),s,t)ds, s x(s,t0) = x0(iu(s),s), a;(so,t) = l{y2{t),v(t),t), s,t) € n = SxT= (so,Si) X (to.il), ®(M) € Ä^*, 2/1 (s,i) 6

У2 (¿) G Ä^2; г-я компонента g2 не зависит от y2j для каждого г = 1,., Ny2 и j > i. Допустимые управления принадлежат множествам функции и = {и е L»u(П) : «(р, 5, i) 6 tf}, V = {w 6 ¿£"(П) : v(p, i) e V}, V, W - подпространства линейных нормированных пространств конечной размерности, U - компакт, V, W - выпуклые компакты. В статье вводится определение решения фазовой системы через ее интегральный эквивалент. Для доказательства существования единственного решения при любых допустимых управлениях авторы прибегают к принципу сжатых отображений. Затем на основе леммы Гронуолла-Беллмана получают оценки приращений состояний относительно приращений управлений. Далее путем преобразований произведения решений фазовой и сопряженной систем выводится формула приращений целевого функционала. Ее анализ на игольчатой вариации управления и и на вариациях начально-граничных управлений, являющихся комбинациями игольчатой и слабой вариаций, приводит к необходимому условию оптимальности. Это условие представляет собой конечномерный принцип максимума в отношении управления и и дифференциальный принцип максимума в отношении начально-граничных управлений.

В статьях [22, 61] рассматривались частные случаи (1). Например, в задаче из [22] не содержатся начально-граничные управления, в правую часть фазовой системы управление входит линейно. Результатом работы является конечномерный принцип максимума, выведенный методом приращений.

Помимо этого существуют работы [46, 59], в которых также исследовались задачи оптимального управления динамическими системами с интегральными компонентами, но с параболическими дифференциальными операторами. В [46] решение получено на основе метода динамического программирования. В [59] для задачи линейной относительно управления выведено необходимое условие оптимальности в виде аналога конечномерного принципа максимума.

Объектом исследования в данной диссертации являются две задачи оптимального управления интегро-дифференциальными системами гиперболических уравнений, с невозрастной и возрастной структурами. В первой из них две независимые переменные: время и признак. Дифференциальный оператор фазовой системы представляет собой частную производную состояния по времени. Правая часть системы содержит интеграл по области определения признака. Управлениями служат измеримые и существенно ограниченные вектор-функция от обеих независимых переменных в правой части фазовой системы и вектор-функция от переменной признака в начальном условии.

Вторая задача, с возрастной структурой, является некоторым обобщением задачи (1). В ней параметры помимо времени и возраста распределены также по признаку. Дифференциальным оператором как и в (1) служит сумма частных производных состояния по времени и возрасту. Правая часть фазовой системы содержит интегралы по переменным возраста, признака и по ним обеим. Граничное условие является интегралом по области определения возраста. Управляющие измеримые и существенно ограниченные вектор-функции входят в правую часть фазовой системы, а также в начальное и граничное условия.

Целью работы является построение эффективных методов улучшения допустимых управлений для двух исследуемых интегродифференциальных задач. Основные задачи диссертации - это изучение свойств обобщенных решений интегро-дифференциальных систем в условиях разрывности допустимых управлений, построение условий оптимальности управлений и разработка итерационных процедур, обладающих свойствами релаксации и сходимости.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы. В первой главе вводятся определения обобщенных решений интегро-дифференциальных систем с начальными и граничными условиями с использованием понятий характеристик систем. Эти решения удовлетворяют интегральным системам уравнений, которые, если решения являются гладкими, полностью эквивалентны интегро-дифференциальным системам. Доказываются существование и единственность обобщенных решений методом последовательных приближений, обосновываются их некоторые свойства решений. Аналогичным образом исследуется третья система интегро-дифференциальных уравнений, возникающая в дальнейшем при выводе необходимых условий оптимальности как сопряженная системе с возрастной структурой. В ходе доказательства существования решений получаются точные оценки скорости их роста относительно входных данных, таких как правые части систем и начально-граничные условия.

1. Абакумов А.И. Пространственная модель сообщества видов / А.И. Абакумов, М.Г. Казакова // Дальневосточный мат. журн. - 2002. -Т. 3. - № 1. - С. 102-107.

2. Аргучинцев A.B. Оптимальное управление гиперболическими системами / A.B. Аргучинцев. М.: Физматлит, 2007. - 168 с.

3. Афанасьев А.П. Необходимое условие в оптимальном управлении / А.П. Афанасьев, В.В. Дикусар, A.A. Милютин, С.А. Чуканов.- М.: Наука, 1990. 320 с.

4. Ащепков JI.T. Методы решения задач математического программирования и оптимального управления / JI.T. Ащепков, Б.И. Белов, В.П. Булатов, О.В. Васильев, В.А. Срочко.- Новосибирск: Наука, 1984. 233 с.

5. Бокмельдер Е.П. Условия экстремума и конструктивные методы решения в задачах оптимизации гиперболических систем / Е.П. Бокмельдер, В.А. Дыхта, А.И. Москаленко.- Новосибирск.: ВО Наука, 1993. 197 с.

6. Бурдуковский А.Н. Исследование управляемой задачи Гурса-Дарбу на пакете вариаций / А.Н. Бурдуковский, В.А. Срочко.- Новосибирск.: Ред. журн. «Сиб. мат. журн.», 1984. 19 с.

7. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами / А.Г. Бутковский. М.: Наука, 1965. - 474 с.

8. Васильев O.B. Методы оптимизации в функциональных пространствах / О.В. Васильев Иркутск: Иркут. ун-т, 1979. - 117 с.

9. Васильев О.В. Об одном алгоритме оптимизации в системах Гурса-Дарбу, основанном на принципе максимуме Поитрягина О.В. Васильев // Проблемы оптимального управления. 1981. -С. 264-277.

10. Васильев О.В. Опыт решения задач оптимального управления на основе необходимых условий оптимальности типа принципа максимума JI.C. Понтрягина / О.В. Васильев, А.И. Тятюшкин // Вопр. устойчив, и оптим. динам, систем. 1983. - С. 43-64.

11. Васильев О.В. Методы оптимизации и их приложения. 4.2. Оптимальное управление/ О.В. Васильев, В.А. Срочко, В.А. Терлецкий.- Новосибирск: Наука, 1990. 151 с.

12. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. М.: Наука, 1980. -520 с.

13. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев. М.: Наука, 1981. -400 с.

14. Варга Дж. Оптимальное управление диффферепциальными и функциональными уравнениями / Дж. Варга. М.: Наука, 1977. -624 с.

15. Габасов Р. Принцип максимума в теории оптимального управления / Р. Габасов, Кирилова Ф.М. Минск: Наука и техника, 1974. -272 с.

16. Годунов С.К. Уравнения математической физики / С.К. Годунов. -М.: Наука, 1979. 392 с.

17. Грант В. Эволюционный процесс / В. Грант. М.: Мир, 1991. - 488 с.

18. Динамическая теория биологических популяций / A.A. Гимель-фарб и др.]; под ред. P.A. Полуэктова. М.: Наука, 1974. - 456 с.

19. Дыхта В.А. Вариационный принцип максимума для классических задач оптимального управления / В.А. Дыхта // Автоматика и телемеханика. 2002. - № 4. - С. 47-54.

20. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами / А.И. Егоров. М.: Наука, 1978. - 463 с.

21. Забелло J1.E. Об условиях оптимальности в нелинейных инерционных управляемых системах с запаздыванием // JT.E. Забелло // Дифференц. уравнения. 1990. - Т. 26, №8. - С. 1309-1315.

22. Ильин О.И. Об одной задаче оптимального управления биологическим сообществом / О.И. Ильин // Сибирский журн. индустриальной математики. 2006. - T. IX, № 4(28). - С. 75-81.

23. Ильин О.И. Об оптимальной эксплуатации популяций рыб с возрастной структурой / О.И. Ильин // Сибирский журн. индустриальной математики. 2007. - T. X, № 3(31). - С. 43-57.

24. Кирин Н.Е. Методы последовательных оценок в задачах оптимизации управляемых систем / Н.Е. Кирин. Л.: ЛГУ, 1975. - 160 с.

25. Колмогоров А.Н. Элементы теории функции и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин.- М.: Наука, 1976. 544 с.

26. Колобов А.Н. Моделирование процессов динамической самоорганизации в пространственно распределенных растительных сообществах/ А.Н. Колобов, Е.А. Фрисман // Мат. биология и биоинформатика. 2008. - Т. 3. - № 2. - С. 85-102.

27. Крылов И.А. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления / И.А. Крылов, Черноусько Ф.Л. //Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1962. - Т. 2. -№ 6. - С. 1132-1139.

28. Крылов И.А. Алгоритм метода последовательных приближений для задач оптимального управления /И.А. Крылов, ЧерноуськоФ.Л. //Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1972. - № 1. -С. 14-34.

29. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1 / Л.Д. Кудрявцев.'- М.: Высш. школа, 1981. 687 с.

30. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972. - 414 с.

31. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики / К.А. Лурье,- М.: Наука, 1975. 480 с.

32. Любушин А.А. Модификация и исследование сходимости метода последовательных приближений для задач оптимального управления / А.А. Любушин // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1979. - Т. 19. - № 6. - С. 1414-1421.

33. Любушин А.А. О применении модификации метода последовательных приближений для решения задач оптимального управления / А.А. Любушин // Журн. вычислит, математики и мат. физики. -1982. Т. 22. - № 1. - С. 30-35.

34. Любушин А.А. Метод последовательных приближений для расчета оптимального управления / А.А. Любушин, Ф.Л. Черноусько // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. - № 2. - С. 147-159.

35. Максимова Н.В. Размеры, возраст и половая структура Ма-ackia herderianu (Gerstfeldt, 1859) (Gastropoda: Caenogastropoda: Baicaliidae) из Южного Байкала / Н.В. Максимова, Т.Я. Ситнико-ва // Ruthenica. 2006. -V. 16 - № 1. - С. 97-104.

36. Морозов С.Ф. О задачах быстродействия в теоии оптимального управления процессами переноса // С.Ф. Морозов, И.В. Сумин // Дифференц. уравнения. 1975. - Т. И, №4. - С. 726-740.

37. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной / И.П. Натансон.- М.: Наука, 1974. 480 с.

38. Новоженов M.M. Методы оптимального управления системами математической физики / М.М. Новоженов, В.И. Сумин, М.И. Сумин Горький: Изд-во Горьковского университета, 1986. - 87 с.

39. Новоженов М.М. Об одном подходе к численному решению задач оптимального управления, основанном на принципе максимума / М.М. Новоженов, М.И. Сумин //В Сб. "Исследования по теории функций". 1987. - № 8122-В87. - С. 76-93.

40. Островский Г.М. Методы оптимизации слоэ/сных химико-технологических схем / Г.М. Островский, Ю.М. Волин.- М.: Химия, 1970. 328 с.

41. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Г. Петровский. М.: Изд-во МГУ, 1984. - 296 с.

42. Рождественский Б.Л. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамики / Б.Л. Рождествнский, H.H. Яненко-М.: Наука, 1978. 686 с.

43. Розоноэр Л.И. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в теории оптимальных систем / Л.И. Розоноэр // Автоматика и телемеханика. 1959 - Т. 20. - № 11. - С. 1441-1458.

44. Свирежев Ю.М. Устойчивость биологических сообществ / Ю.М. Свирежев, Д.О. Логофет.- М.: Наука, 1978. 352 с.

45. Семовский C.B. Видообразование в одномерной популяции: адаптивная динамика и нейтральная эволюция / C.B. Семовский, Ю.С. Букин, Д.Ю. Щербаков// Исследовано в России. 2002 (http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/125.pdf]).

46. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами / Т.К. Сиразетдинов. М.: Наука, 1977. - 480 с.

47. Ситникова Т.Я. О глубоководных 'карликах' и 'гигантах' среди байкальских эндемичных гастропод / Т.Я. Ситникова, М.Н. Шимара-ев // Журн. общей биологии. 2001. - Т. 62 - № 3. - С. 226-238.

48. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления / В.А. Срочко. М.: Физматлит, 2000. - 160 с.

49. Срочко В.А. Численные методы: Курс лекций / В.А. Срочко. Иркутск: Иркут. ун-т, 2004. - 205 с.

50. Срочко В.А. Принцип максимума для одного класса систем с распределенными параметрами / В.А. Срочко // Вопр. устойчив, и оптим. динам, систем. 1983. - С. 170-182.

51. Терлецкий В.А. К оптимизации полулинейных гиперболических систем первого порядка с начальным условием Коши // Управляемые системы. 1982. - №22. - С. 70-79.

52. Терлецкий В.А. К обоснованию сходимости одной модификации метода последовательных приближений, основанного на принципе максимума / В.А. Терлецкий // Методы оптимизации и их приложения. 1983. - С. 58-69.

53. Терлецкий В.А. Вариационный принцип максимума в управляемых системах одномерных гиперболических уравнений / В.А. Терлецкий // Изв. вузов. Математика. 2001. - №12,- С. 68-76.

54. Тихонова E.H. Морфологический анализ байкальских амфипод Pallasea Cancellus из реки Ангары / E.H. Тихонова, P.M. Камал-тынов // Бюллетень ВСНЦ СО РАМН. 2007. -№ 1. - С. 108-112.

55. Фурсиков A.B. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения / A.B. Фурсиков. Новосибирск: Научная книга, 1999. - 352 с.

56. Чернышенко С.В. Оптимальное управление одномерной моделью лесной рекультивации с учетом возрастной неоднородности посадок / С.В. Чернышенко С.В. // Вестник ДНУ. 2003. - № 2. -С. 196-205.

57. Широкая А.А. Распределение моллюсков семейства ACROLOXIDAE (GASTROPODA, PULMONATA) в озере Байкал / А.А. Широкая, Н.В. Максимова, Т.Я. Ситникова // Зоологический журнал. 2008. - Т. 87, № 5. - С. 532-546.

58. Ainseba В. Optimal control for a nonlinear age-structed population dynamics model / B. Ainseba, S. Anita, M. Langlais // Electronic Journal of Differential Equations. 2002. - no. 28. - Pp. 1-9.

59. Almeder C. Solution methods for age-structured optimal control models with feedback / C. Almeder // LSSC. 2007. - V 28. - Pp. 197-203.

60. Brokate M. Pontryagin's principle for control problems in age-depent population dynamics / M. Brokate // Journ. Math. Biol. 1985. -V 23. - Pp. 75-101.

61. Dieckmann U. On the origin of species by sympatric speciation / U. Dieckmann, M. Doebeli // Nature. 1999. - no. 400. - Pp. 354-357.

62. Doebeli M. Evolutionary branching and sympatric speciation caused by different types of ecological interactions / M. Doebeli, U. Dieckmann // Am. Nat. 1999. - no. 156. - Pp. 77-101.

63. Feichtinger G. Optimality conditions for age-structured control systems / G. Feichtinger, G. TYagler, V.M. Veliov // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2003. - V. 288. - no. 1. - Pp. 47-68.

64. Goetz R.U. The economics of competition between individuals in biological populations / R.U. Goetz, A. Xabadia // Journal of Vienna Institute of Demography. -2004.-http://are.berkeley.edu/courses/envresseminar/f2004/SeminarGoetz.pdf.

65. Gurtin M.E. On the optimal harvesting of age-structured populations: some simple models / M.E. Gurtin, L.F. Murphy // Journal of Mathematical Biosciences. 1981. - no. 55. - Pp. 115-136.

66. E. Hernandez-GarciaSpedes competition: coexistence, exclusion and clustering / E. Hernandez-Garcia, C. Lopez, S. Pigolotti, K.H. Andersen // Phil. Trans. R. Soc. A. 2009. - V. 367. -no 1901. - Pp. 3183-3195.

67. Kuhn M. Health, survival and consumption over the life cycle: an optimal control approach / M. Kuhn , A. Prskawetz, S. Wrzaczek, G. Feichtinger // Rostock Center-Discussion Paper. 2007. no. 16.

68. Mayne D.Q. First oder strong vatiation algotithms for optimal control / D.Q. Mayne, E. Polak // J. Optim. Theory Appl. 1975. - V. 16. -no. 3-4. - Pp. 277-301.

69. Muller J. Optimal vaccination patterns in age-structured population / J. Muller // SIAM Journal of Applied Mathematics. 1999. - V. 59. -№ 1. - Pp. 222-241.

70. Semovski S.V. Speciation and neutral molecular evolution in one-dimensional closed population / S.V. Semovski, Y.S. Bukin, D.Y. Sherbakov // Int. J of Modern Physics. 2003. - no. 14. - Pp. 973-983.

71. Shorish J. Welfare analysis of HIV/AIDS J. Shorish // The University of Manchester Economics Discussion Paper. 2007. http://www.socialsciences.manchester.ac.uk/disciplines/economics/ research/discuss.htm.

72. Veliov V.M. On the effect of population heterogeneity on dynamics of epidemic diseases / V.M. Veliov // J. Math. Boiol. 2005. - №51. -Pp. 123-143.

73. Wrzaczek S. The reproductive value in distributed optimal control models / S. Wrzaczek, M. Kuhn, A. Prskawetz, G. Feichtinger // VID Working Papers. 2009. http://www.oeaw.ac.at/vid/download/WP200904.pdf.