Достаточные условия оптимальности импульсных процессов и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

На правах рукописи

Антипива Наталья Валерьевна

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ ПРОЦЕССОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Специальность 01.01.09 - "Дискретная математика и

математическая кибернетика"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск - 2003

Работа выполнена в Институте математики и экономики Иркутского государственного университета

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Дыхта Владимир Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Сесекин Александр Николаевич;

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Урбанович Дмитрий Евгеньевич

Ведущая организация Российский университет Дружбы

Народов, г. Москва

Защита состоится 19 сентября 2003 г. в 1400 часов на заседании диссертационного совета Д 212.074.01 в Иркутском государственном университете по адресу: 664003, г. Иркутск, б. Гагарина, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Иркутского государственного университета (б. Гагарина, 24).

Автореферат разослан У& августа 2003 года

Ученый секретарь ,

диссертационного совета г ' Аргучинцева М.А.

\bf7 (

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Основным объектом данного исследования являются вырожденные (нерегулярные) задачи оптимального управления, характеризующиеся линейностью динамической системы по управлению и неограниченностью понтрягинского множества U возможных значений управления. Эти задачи, как правило, не имеют решения в обычном классе измеримых ограниченных управлений и допускают естественное релаксационное расширение, при котором множество допустимых управлений расширяется до импульсных - общих распределений первого порядка сингулярности (Loo-расширение по траекториям, возможное при U, совпадающем со всем пространством), или до более узкого класса векторных мер (ßV-расширение траекторий, естественное, если U - выпуклый замкнутый конус).

Для таких задач оптимизации, благодаря работам В.И. Гурмана, H.H. Красовского, С.Т. Завалищина, В.Ф. Кротова, Г.А. Коло-кольниковой, Б.М. Миллера, Ю.В. Орлова, А.Н. Сесекина, А. Брес-сана, Р. Винтера, М. Мотта, Ф. Перейра, Ф. Рампаццо, Р. Ришела и других математиков, можно считать построенными теорию обобщенных, разрывных решений нелинейных дифференциальных систем и включений, теорию необходимых условий их оптимальности первого порядка, основы метода динамического программирования, а также квадратичные необходимые и достаточные условия локальной оптимальности импульсных процессов с траекториями из Loo (результаты В.А. Дыхты и И.А. Никифоровой).

Несмотря на это, теория достаточных условий оптимальности в задачах импульсного управления еще далека от своего завершения в сравнении с соответствующим направлением в классических задачах оптимального управления. Особенно это касается задач оптимизации в динамических системах без так называемого условия корректности по импульсно-траекторному расширению (условия Фробениуса) и задач с траекториями ограниченной вариации и конусными ограничениями на управление. Например, для таких задач неизвестны квадратичные достаточные условия локальной оптимальности типа Якоби в вариационном исчислении и не выработано единого понимания уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана.

С последним фактом связан еще один пробел: было неясно, какие достаточные условия оптимальности для вырожденных задач упра-

вления можно получить, отправляясь от идеи использования произвольного семейства функций типа Ляпунова-Кротов а — монотонно не возрастающих вдоль всех траекторий управляемой системы дан-вой задачи оптимизадии.

В классических задачах оптимального управления повышение интереса к таким условиям было вызвано недавними результатами И изящными примерами A.A. Милютина, предложившим каноническую теорию сильного экстремума, опирающуюся на использование произвольного семейства решений уравнения Гамильтона-Якоби. Ранее аналогичную идею предложил В.А. Дыхта в качестве модификации условий В.Ф. Кротова, однако он использовал более широкое множество решений неравенства Ляпунова-Кротова (неравенства Гамильтона-Якоби-Беллмана, иногда называемого квазивариационным). Значение достаточных условий оптимальности, которые получаются при этом подходе (мы оставляем за ним название канонического), состоит в гораздо более широком ареале применимости в сравнении с методами Р. Беллмана и В.Ф. Кротова и их негладкими обобщениями, даже если при его реализации не прибегать к негладким решениям неравенства Ляпунова-Кротова. В частности, этот подход позволил получить наиболее тонкие достаточные условия оптимальности в форме принципа максимума Л.С. Понтрягина (ПМП) для классических задач оптимального управления 1 (эти результаты обобщаются в гл.1 диссертации, а затем используются в гл.2).

Применительно к управляемой системе

x = f(t,x,u), u(t)€U (1)

неравенство Ляпунова-Кротова с неизвестной дифференцируемой функцией <p(t,x) можно определить через гамильтониан системы (1)

%{t, х, ф) = sup {(V-, f(t, х, и)) | u(t) <Е U} (2)

с областью определения

dorn %= {(<, х, ф) | H(t, х, ф) < оо

и точная верхняя грань в (2) достигается}

'Дыхта В.А. Неравенство Лжпунова-Кротова и достаточные условия в оптимальном управлении// Итоги науки и техн. Совр. мат. и ее приложения / ВИНИТИ РАН, 2002.

и записать его в виде пары соотношений в частных производных

<pt + n(t, х, ipx) < 0, (i, х, <рх) £ dorn Ч (3)

(они должны выполняться на подходящим образом выбранном множестве Q переменных t, г). В обсуждаемых достаточных условиях оптимальности используется очевидный факт: любое решение неравенства (3) задает внешнюю оценку множества достижимости упрей вляемой системы на Q. Поэтому, если поставлена некоторая задача оптимального управления в терминальной форме с системой (1), то ее можно попытаться свести к конечномерной задаче оптимизации.

Цель работы состояла в доказательстве достаточных условий глобальной и локальной оптимальности импульсных процессов, основанных на использовании семейств решений дифференциального неравенства Л япунова-Кротова, а также их применении к некоторым прикладным моделям импульсного управления. При этом основной акцент сделан на достаточных условиях оптимальности, которые можно получить путем подходящего усиления необходимых условий оптимальности первого порядка.

Реализация этого замысла естественным образом привела к необходимости его воплощения сначала для классических задач оптимального управления, применительно к которым полученные результаты можно трактовать как обращение ПМП в достаточное условие оптимальности.

Методы исследования основываются на квадратичных условиях локального экстремума в задачах с ограничениями, теории условий оптимальности в классических и импульсных задачах управления (принципе максимума, обобщенных условиях стационарности, вариационном принципе максимума) и канонической теории сильного экстремума.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту. Научная новизна состоит в выделении классов нелинейных и невыпуклых задач оптимального управления (как классических, так и импульсного характера), для которых возможно обращение соответствующих необходимых условий оптимальности первого порядка в достаточные условия локального и глобального экстремума. Применительно к задачам импульсного управления полученные достаточные условия носят существенно нелокальный характер как по предположениям на класс задач, так и по типу гарантируемого минимума.

/

Основными теоретическими результатами диссертации являются:

1) достаточные условия в форме принципа максимума для глобального и сильного экстремума в классических задачах управления без априорных предположений нормальности экстремали и единственности соответствующего ей набора множителей Лагранжа (теорема 1.4);

2) обобщение преобразования В.И. Гурмана к производной задаче на случай, когда распределение рецессивных подпространств годографа динамической управляемой системы имеет конечный производный флаг, не превосходящий размерности фазового вектора (теорема 2.2);

3) достаточные условия локального (импульсно-слабого) минимума для импульсных процессов в системах со свойством корректности (теорема 2.3).

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическое значение полученных результатов состоит в расширении классов задач оптимального управления, к которым оказываются применимыми достаточные условия оптимальности, основанные на построении семейств функций типа Ляпунова-Кротова. Их практическая значимость состоит в возможности устанавливать действительное достижение того или иного типа минимума на экстремалях, найденных из условий оптимальности первого порядка. Эффективность достаточных условий продемонстрирована на исследовании ряда нерегулярных прикладных задач экономики и робототехники в гл. 3, 4.

Отдельные разделы диссертации используются в учебном процессе Института математики и экономики (ИМЭ) ИГУ (в рамках курса " Оптимальное управление экономическими системами" и выполнения курсовых и дипломных работ).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались

на:

- XI, XII международных Байкальских конференциях "Методы оптимизации и их приложения"(Иркутск, 1998 г., 2001 г.);

- международной конференции "Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация"(Минск, 1998 г.);

- международной конференции "Математика, информатика и управление"(Иркутск, 2000 г.);

- 4-том Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 2000 г.);

- 5-том симпозиуме IFAC "Nonlinear control systems"(Санкт-Петербург, 2001 г.);

- 15-том международном конгрессе IFAC (Барселона, Испания, 2002 г.);

- 10-той Средиземноморской конференции по управлению и автоматике (Лиссабон, Португалия, 2002 г.);

- международной конференции по оптимизации и оптимальному управлению (Улан-Батор, Монголия, 2002 г.);

- международной конференции "Математика, ее приложения и математическое образование" (Улан-Удэ, 2002 г.);

- международном симпозиуме "Обобщенные решения в задачах управления"(Переславль-Залесский, 2002 г.);

- Всероссийской конференции " Проблемы оптимизации и экономические приложения"(Омск, 2003 г.);

- международном конгрессе по моделированию и анализу управляемых динамических систем (Иркутск, 2003 г.);

- на городских семинарах по проблемам оптимизации, динамики и математической экономике, семинарах кафедры методов оптимизации ИМЭ ИГУ и кафедры математики Байкальского государственного университета экономики и права (БГУЭП) (Иркутск, 1998-2003).

Проблематика работы являлась составной частью исследований, выполнявшихся в БГУЭП по грантам РФФИ № 98-01-00837, № 0101-00869, № 03-01-06107.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[11] (всего вышло из печати 20 публикаций).

Кроме того, часть результатов диссертации нашла свое отражение в монографии 2.

Личный вклад автора состоит в конкретизации канонической теории сильного экстремума применительно к вырожденным и импульсным задачам оптимального управления, а также ее применению к решению ряда прикладных моделей (то же относится и к публикациям, совместным с В.А. Дыхтой).

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы, включающего 169 наименований. Общий объем диссертации составляет 165 страниц,

2Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. М.: Физматлит, 2000. - 256 с.

включая 11 рисунков.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается краткий обзор работ по условиям оптимальности импульсных процессов, анонсируются базовые достаточные условия оптимальности, основанные на использовании семейства функций Ляпунова-Кротова.

Первая глава диссертации посвящена достаточным условиям оптимальности в форме, предельно близкой к ПМП, для классических задач оптимального управления. В пп. 1.1-1.3 предварительно критически проанализированы достаточные условия оптимальности такого типа, которые можно получить из принципа Лагранжа и теоремы В.Ф. Кротова, а также ряд известных результатов в этом направлении. В ходе анализа естественным образом были получены новые достаточные условия сильного (и глобального) экстремума, использующие семейство линейных функций Ляпунова-Кротова. В отличии от других известных результатов по обращению ПМ, полученные достаточные условия не требуют нормальности исследуемой экстремали Понтрягина и (или) единственности соответствующего ей нормированного набора множителей Лагранжа.

Рассматривается следующая задача оптимального управления Р :

Здесь Д = [<о, ¿1] - нефиксированный отрезок времени, ж о = XI = ж(^), функции /о, ') к, / непрерывно дифференцируемы, мно-

Процессом управляемой системы (6) будем называть набор а = (х{1),и({) | I € Д), включающий некоторый отрезок времени Д, абсолютно непрерывную траекторию ж(£) и измеримое ограниченное управление и{1), удовлетворяющие на Д системе (6). Процесс а назовем допустимым в задаче Р, если Д = и выполнены концевые ограничения (5).

3 = 'о (б)-* Ь := (<о, хо ; <1,®1) Щ < 0, к(Ь) = О, * = /(*,*,и), и(г)еи.

(4)

(5)

(6)

Введем функцию Понтрягина H(t, х, фх, и) = tyx,f(t, х,«)), концевую функцию Лагранжа L(b) = a>olo(b) + (a, 1(b)) + (/3, к(Ь)) и обозначим через М множество наборов множителей А = (аи, а, [), ip(t)) — («о>a,fi,i'x(t)^t(t)), обеспечивающих выполнение ПМП для исследуемого допустимого процесса а = (x(t), u(t) 11 G Д = [?o,?i])-

Если W - экстремаль Понтрягина и А G М, то тройку функций у = {i>(t), x(t),u(t) | t G Д) будем называть биэкстремалью Понтрягина (биэкстремалью задачи), а ф(1) - ее сопряженной компонентой или коэкстремалью.

Назовем биэкстремалью системы (6) любую тройку функций у = (ip(t), x(t), u(t)), определенную на некотором интервале I, и такую, что на I пара (x(t),u{t)) удовлетворяет всем условиям ПМП, за исключением условий трансверсальности. Компоненту tp(t) 11 G / би-экстремали у назовем сопряженной или коэкстремалью, а компоненту (x(t),u(t) | t G I) - экстремалью системы. Биэкстремаль называют тривиальной, если ip(i) = 0 на / и нетривиальной - в противном случае.

Пусть Q — открытое множество в пространстве (t, х), содержащее график траектории x(t), и у = (rp(t),W) - некоторая биэкстремаль системы, определенная на интервале I = prt Q О Д. Сформулируем для Q и у следующие расширенные условия максимума понтрягиана и гамильтониана:

Условие (МН | Q,y). Почти всюду на I

H{t,x{t)^x(t),u{t)) + Mt)x(t) =

= max{H(t,x^x(t),u) + ij>x(t)x | x G Q(t), u€U}.

Условие (МП | Q,у). Почти всюду на I

H{t,x{t)^K{t)) + ipx{t)x{t) =

= max{7l(t, x, r/jx(t)) + i>x{t)x \ x G Q{t)}

и справедливо сопряженное дифференциальное включение

-М*) £dxH(t,x(t),Mt)) на/, (7)

где частный супердифференциал справа понимается в смысле Кларка.

Пусть {7® I о G Л} - произвольное семейство биэкстремалей (соответствующих а), каждая из которых удовлетворяет одному из условий максимума (МН | Q, у") или {МП | Q, у"). Тогда семейство ко-экстремалей {i>a(t) | а £ А) назовем порождающим на множестве Q, поскольку каждая коэкстремаль такого семейства порождает функцию Ляпунова^Кротова на множестве Q, линейную по фазовым переменным:

<pa(t,x) = W(t),x-x(t)), аеА. (8)

С помощью порождающего семейства и функций (8) сформируем следующую конечномерную концевую задачу EP(Q,A) :

/0(6) min, /(6) < О, ЦЬ) = О, Ve(<ii®i) - <p"(to,xo) < о Va € A, beQxQ.

Обозначим через P{Q) сужение задачи Р на множество Q, т.е. задача P(Q) получается из Р добавлением ограничений

(t,x(t))eQ, {to,xo ; <i,*i) eQxQ.

Основным результатом главы 1 является

Теорема 1.2. Пусть для <т существует такое порождающее семейство {tßa(t) | a G Л} на множестве Q, что точка Ь — (to,x(to); il, îF(î 1 )) является глобальным решением концевой задачи EP(Q,A).

Тогда er - глобально оптимальный процесс в задаче P(Q), реализующий сильный минимум в задаче Р.

Расширенные условия максимума в определении порождающего семейства и в теореме 1.2 могут быть заменены на следующие более жесткие условия вогнутости понтрягиана и гамильтониана 1 (в предположении, что все сечения Q(t) выпуклы на интервале I):

Условие (СH I Q, 7) для задач с выпуклым множеством U. При всех t £ I функция (х, и) —»■ H(t, х, i>x(t), «) вогнута на Q(t) х U.

Условие (С% I Q, у). При tel функция х ->• %{t, х, ipx(t)) вогнута на Q(t) и справедливо сопряженное включение (7).

В п. 1.4 рассмотрен ряд примеров, обладающих той или иной аномалией, вызывающей неприменимость стандартных методов Беллма-на и Кротова, в которых, тем не менее, предлагаемые достаточные условия срабатывают. В п. 1.5 теорема 1.2 детализирована для двухточечной задачи быстродействия.

Во второй главе рассматривается класс вырожденных задач оптимального управления динамической системой вида

х = fo(t,x) + G(t,x)u =

<*(«) м . (9)

= /o(i,«)+E 9i(t,x)ui, U = RdW 1

(функционал и ограничения прежние - вида (4), (5)). Все функции считаются гладкими, а матрица G - достаточно гладкой (например, класса С°°). Обозначим этот класс задач через Р«,. Естественно рассматривать эту задачу на инфимум, т.е. на множестве последовательностей или, если это оказывается возможным, на некотором расширенном множестве обобщенных решений (в классе импульсных процессов). Показано, что переход к расширенной задаче неизбежен при реализации канонической теории (равно как и для метода Кро-това) и связан с преобразованием В.И. Гурмана к производной задаче или нелинейным преобразованием Гоха.

Введем функцию Ho{t, х, фх) = (фХ1 fo(t, х)). Неравенство Ляпуно-ва-Кротова для системы (9) сводится к соотношениям

V{t,z) := <pt + H0(t,x,<ps) <0, {9i{t,x),<px{t,x)) = 0, ¿ = l,...,d(u). (10)

Входящая в них система в частных производных (10) носит название системы кратных максимумов, является переопределенной и отнюдь не всегда совместной. Наиболее общее условие ее совместности состоит в том, что она допускает пополнение. Это означает следующее.

Рассмотрим функции gi(t,x) как векторные поля на пара-

метрически зависящие от t и порождающие так называемое гладкое распределение подпространств

d = d(t,x) - Lin {gi{t,x),...,g^u)(t,x)}.

Рассмотрим производный ряд распределения д - последовательность распределений до С д\ С ... С дк С ..., где до = д, а д^ порождается всеми полями вида [р, ?] при £ дк-1, где [р, </] - скобка Ли (коммутатор по х полей р, q).

Будем говорить, что система (10) допускает пополнение в области Q пространства (t,x), если:

а) каждое из распределений производного ряда регулярно на Q, т.е. имеет постоянную размерность;

б) существует минимальное инволютивное распределение д* из производного ряда, которое (по определению) характеризуется свойством [р, g](í, х) € д* при любых р, q € 9», и такое , что dim d*(t, х) = г < d(x) на Q.

В частности, систему (10) называют полной на Q, если исходное распределение д инволютивно на Q (поля д\,..., gd{u) инволютивны на Q) и rank G(t,x) = dim d(t,x) = г — d(u) < d(x) (в этом случае d = д.).

Оказывается (теоремы 2.1, 2.2), что если система (10) допускает пополнение в области Q, то поиск разрешающего семейства функций Ляпунова-Кротова для задачи Р^ (Q) эквивалентен нахождению такового для производной задачи В.И. Гурмана, хотя последняя вводится в диссертации при значительно более мягких предположениях по сравнению с обычными. Оптимальное решение производной задачи определяет оптимальный импульсный процесс в соответствующим образом расширенной задаче Poo(Q)-

В п.2.2 результаты п.2.1 детализируются путем соответствующей локализации и применения достаточных условий гл.1 с порождающим семейством коэкстремалей. Однако предположения на задачу усиливаются: считается, что [g¿,gj] = 0 Vi,j £ {1,..., d(u)} (выполнено условие корректности) и G = G(x) (непринципиальное техническое упрощение). В этих допущениях применение результатов гл. 1 приводит к достаточным условиям импульсно-слабого экстремума для задачи Р оптимизации импульсных процессов, эквивалентной производной задаче метода нелинейного преобразования Гоха. Допустимые элементы задачи Р - это наборы а = (x(t),w(t) 11 £ Д; h), такие что траектории x(t) € L^ связаны с управлением w(t) 6 ¿oo (Д) и параметром п 6 уравнением в обобщенных функциях 3 (распределениях)

Dx = f0(t,x) + G(t,x)Dwh. (11)

Здесь D — оператор обобщенного дифференцирования, а функция wh(t) £ L00(R1) определена равенством

wh{t) = X(t0,<!)"(*) +*<><Л

З3авалищин С.Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы: модели и приложения. - М.: Наука, 1991. - 256с.

где хе ~ характеристическая функция множества Е.

Тройку функций у = (r¡;{t)>x(t),w(t))) определенных на некотором интервале I, назовем слабой биэкстремалью системы (11) на I, если функция ф({) — (фх(í), фt{t)) кусочно липшицева на I, удовлетворяет сопряженной системе в распределениях

Офх = -Hx[t]> =

и справедливы условия стационарности НиЩ = 0, Яий = 0 на I (квадратные скобки на месте аргументов указывают на подчет функции вдоль данной биэкстремали).

Определим для биэкстремали у

Условие (МН | 7)*. На отрезке I — с\ I

(яи)ц [i] > О

(обобщенное условие Келли) и существует кусочно липшицевая на I матричная функция S(t) = S(t] 7), удовлетворяющая на интервалах непрерывности w(t) матричному дифференциальному неравенству Риккати

—S > HX^S + SH^x + Нхх-1-

+[(ч+(Ч5Г (ч-1 [(Ч+(Ч5](12)

(производные типа (jfuj — J— находятся обычным обра-

зом и коэффициенты в (12) вычисляются вдоль 7).

Пусть Л - множество наборов Л = (ао>/?> Ф(1))> обеспечивающих выполнение обобщенных условий стационарности 2,3 для импульсного процесса - множество коэкстремалей, соответствующих Л (или W).

Семейство биэкстремалей Г = {7a ¡ а = 1,..., к} назовем локально порождающим, если выполнены условия:

а) Va биэкстремаль у" удовлетворяет условию (МН\уа)„ на интервале I Э А;

б) множество Ф+ (Г) = con Ф(Г) П Ф ф 0, где Ф(Г) - множество коэкстремалей, соответствующих Г.

в) функция w(t) гладкая в окрестности точек ?о> Фиксируем некоторое локально порождающее семейство Г, предполагая его существование, и множество Л» (Г) С Л, соответствующее коэкстремалям из множества Ф«(Г), и определим в конечномерном пространстве вариаций концевых параметров 5с = (Sto,Sxo\ Sti, &x\,$h) = (56,5ft) конус критических вариаций /С(Г), отвечающий концевой задаче типа ЕР. Для каждого А € А, (Г) введем второй дифференциал wx(Sc) лагранжиана этой задачи.

Следующая теорема дает достаточные условия импулъсно-слабого минимума, или, иначе, Щ-минимума.

Теорема 2.3. Пусть существует такое локально порождающее семейство биэкстремалей Г = {7° | а — 1, ...,£}, что Л»(Г) ф 0 и

ы{6с) = max{wA(5c) | A G АДГ)} >0, V 5с € £(Г)\ {0}.

Тогда W - точка Щ-минимума в задаче Р.

В п.2.4 каноническая теория распространяется на задачу Ре, которая получается из Рто добавлением ограничения на управление u(t) G U, где U - замкнутый выпуклый конус, а также на ее расширение - задачу импульсного управления Рс, допустимые управления в которой - векторные меры без непрерывной сингулярной составляющей, с конечным числом скачков. Как показывают примеры, для таких задач целесообразно использовать разрывные решения неравенства Ляпунова-Кротова, составленные из его гладких локальных решений, определенных на цилиндрических по t множествах. Описана методика построения таких решений, которая в конечном итоге сводится к поиску разрешающего семейства функций Ляпунова-Кротова из специфического уравнения в частных производных

max{v3j + H0(t,x,<pxy, HU](t,x,ipx), j — 1,d(u)} = 0

почти всюду по мере Лебега на соответствующем множестве Q. Предложенная методика использована в п.4.2 при решении одной модели из математической экономики (модели Видала-Вулфа).

Третья и четвертая главы посвящены качественному исследованию известных прикладных моделей импульсного управления из робототехники (гл.З) и маркетинга (гл.4), в ходе которого использован весь спектр необходимых и достаточных условий оптимальности (в том числе результаты первых двух глав диссертации).

В моделях оптимального управления движением однозвенного (п.3.1) и двузвенного (пп.3.2, 3.3) манипуляторов установлена глобальная оптимальность найденных импульсных экстремалей. Примечательно, что последняя модель не обладает свойством корректности, но система кратных максимумов допускает пополнение, причем факт оптимальности разрывной траектории устанавливается именно с помощью решения неравенства Ляпунова-Кротова, а уравнение Гамильтона-Якоби оказывается бесполезным.

1 Типичные импульсные экстремали с траекториями ограниченной

вариации в моделях оптимизации рекламных расходов (гл.4) обладают магистральным свойством (имеют интервалы особого управления, составляющие подавляющую часть периода планирования). Для их отыскания использовался обобщенный принцип максимума. Оптимальность экстремали в модели Эрроу-Нерлофа (п.4.1) вытекала из ее нормальности и линейно-выпуклой структуры задачи; в модели Видала-Вулфа (п.4.2) для доказательства оптимальности экстрема^ ли потребовалось использование разрывного решения неравенства Ляпунова-Кротова. В наиболее сложной обобщенной модели Видала-Вулфа (п.4.3) анализ ограничен описанием структуры импульсных экстремалей и построением квазиоптимального обычного управления, которое нетривиально из-за нарушения условия корректности (произвольная аппроксимация экстремального импульсного управления может не дать квазиоптимального обычного управления).

Основные публикации по теме диссертации

1. Антипина Н.В., Самсонюк О.Н. Принцип максимума в задачах оптимального импульсного управления и его приложение в моделях маркетинга // Сборник трудов международной конференции "Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация", Институт математики Национальной академии наук Белоруссии. - Минск, 1998. - Т.2. - С.32-34.

' 2. Антипина Н.В., Дыхта В.А. Динамические системы с разрыв-

ными траекториями и импульсами в моделях экономики // 4 Труды XI Байкальской международной конференции "Методы

оптимизации и их приложения". - Иркутск, 1998. - Т.З. -С.24-26.

3. Дыхта В.А., Антипина Н.В. Application of Variational Maximum principle to optimization models with discontinuous trajectories // Proc. of 5th Symposium "Nonlinear control systems" (NOLCOS-

2001). - Saint-Petersburg, Russia, 2001. - pp.614-618.

4. Антипина Н.В. Достаточные условия глобальной оптимальности импульсных процессов // Труды XII Байкальской международной конференции " Методы оптимизации и их приложения".

- Иркутск, 2001. - Т.2. - С.35-39.

5. Антипина Н.В., Соболева О.Р., Багдуева А.В. Оптимизация инвестиций в некоторых экономических моделях // Труды XII Байкальской международной конференции "Методы оптимизации и их приложения". - Иркутск, 2001. - Т.6. - С.98-103.

6. Dykhta V.A., Antipina N.V. Sufficient optimality conditions for classical and impulsive optimal control problems // Proc. of 10th IEEE Mediterranean Conf. on Control and Automation (MED

2002). - THP 3 (invited) VA-1. - Institute Superior Tecnico, Lisbon, Portugal, 2002. - Юр.

7. Dykhta V., Antipina N. Investigation of impulsive extremals in applied models of dynamic optimization // Prepr. of the 15th Triennial World Congress of the IFAC, (b'02). - T-Tu-E 17 5.

- Barcelona, Spain, 2002. - 5p.

8. Антипина H.B., Дыхта B.A. Элементарное доказательство принципа максимума для гладкой задачи оптимального импульсного управления с нефиксированным временем // Оптимизация, управление, интеллект. - Журн. Всероссийской ассоциации мат. программирования и АНН. - Иркутск, 2002. - N6.

- С.21-36.

9. Дыхта В.А., Антипина Н.В. Достаточные условия оптимальности обобщенных траекторий в задачах с линейным неограниченным управлением // Труды международной конференции "Математика, ее приложения и математическое образование".

- Улан-Удэ, 2002. - Часть 1. - С. 177-185.

10. Антипина Н.В., Дыхта В.А. Линейные функции Ляпунова- Кро-това и достаточные условия оптимальности в форме принципа максимума. // Изв.Вузов. Математика. - 2002. - N12.- С. 11-21.

11. Dykhta V.A., Antipina N.V. Sufficient optimality conditions for classical and hybrid optimal control problems // Proc. of IFAC Workshop "Modelling and Analysis of Logic Controlled Dynamic Systems". - Irkutsk, Baikal, Russia, 2003. - pp. 53-60.

Автореферат

ИД 06318 от 26.11.01. Подписано в печать 1.08.03. Формат бумаги 60x90 1/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная. Уч.печ.л. 1,25. Уч.-изд.л. 1,12. Тираж 100 экз. Заказ 2574.

Издательство Байкальского государственного университета экономики и права, 664015, Иркутск, ул. Ленина, 11. Отпечатано в ИПО БГУЭП.

\

»1 29 7 1

iooH

Введение

Список некоторых обозначений и определений.

1. Достаточные условия оптимальности в форме принципа максимума в классических задачах оптимального управления

1.1. Постановка задачи, обозначения и определения.

1.2. Принцип максимума, экстремали и биэкстремали

1.3. Достаточные условия оптимальности в задаче с фиксированным временем. '.

1.4. Иллюстрирующие примеры

1.5. Обобщение на задачи с нефиксированным временем. Достаточные условия в задаче быстродействия.

2. Достаточные условия оптимальности импульсных процессов

2.1. Условия существования функций Ляпунова-Кротова в вырожденных задачах с линейным управлением.

2.1.1. Условия совместности неравенства Л япунова-Кро-това.

2.1.2. Производная задача и импульсные процессы с траекториями из Хоо.

2.1.3. Случай нерегулярного распределения д : введение гоховских переменных.

2.2. Достаточные условия локальной оптимальности импульсных и особых процессов.

2.2.1. Задача импульсного управления.

2.2.2. Формулировки результатов.

2.3. Доказательства условий локальной оптимальности

2.4. Достаточные условия оптимальности в задачах импульсного управления с траекториями ограниченной вариации

2.4.1. Постановка задачи.

2.4.2. Принцип максимума.

2.4.3. Разрывные функции Ляпунова-Кротова и достаточные условия оптимальности.

3. Исследование импульсных экстремалей в моделях робототехники

3.1. Однозвенный манипулятор.

3.2. Двузвенный манипулятор: модели со свойством корректности

3.2.1. Модель 1 (при отсутствии возмущений)

3.2.2. Модель 2 (с учетом внешних сил).

3.3. Двузвенный манипулятор: модель без условия корректности

4. Исследование моделей оптимального импульсного управления в маркетинге 102 4.1. Оптимальное планирование рекламных расходов в модели Эрроу Нерлофа. t 4.2. Оптимизация рекламных расходов в модели Видала Вул

4.2.1. Постановка задачи.

4.3. Оптимальное распределение рекламных инвестиций в обобщенной модели Видала-Вулфа

4.3.1. Описание модели и ее характеристика.

4.3.2. Исследование модели

4.3.3. Построение квазиоптимального решения.

4.3.4. Интерпретация результатов исследования

Теория оптимального управления обыкновенными нелинейными динамическими системами накопила большой спектр достаточных условий оптимальности. По типу экстремума и методам получения их можно условно разделить на два типа: локальные, связанные с той или иной аппроксимацией функционала и ограничений в подходящей окрестности исследуемого процесса, и глобальные, использующие идеи возмущения и/или расширения целевого функционала и допустимого множества процессов (с возможной их последующей локализацией для исследования относительного экстремума).

Теория достаточных условий слабого экстремума в классическом вариационном исчислении и достаточные условия высших порядков понтрягинского и сильного минимума в оптимальном управлении, полученные Н.П. Осмоловским для неособых экстремалей [83, 157] и А.В. Дмитруком - для особых [36. 37, 130], могут служить наглядными примерами локального подхода. В то же время теория Гамильтона Якоби [16, 19, 111, 127], [142, 143] и метод Каратеодори в вариационном исчислении, их аналоги [76, 110], [119] [122]. [126], [162] [164], [166]. [167] и условия Кротова в оптимальном управлении (вместе с различными обобщениями и модификациями) лежат в русле глобальных методов. К ним примыкают и различные нелинейные преобразования задач оптимального управления (как правило, ведущие к расширению задачи): преобразование В.И. Гурмана к производной задаче [26]—[28], [30] [32]. переход к задаче сравнения по А.И. Москаленко [45, 96], метод разрывной замены времени [93] и ряд других.

К настоящему времени ясно, что достаточные условия, извлекаемые из локальных методов, вообще говоря, обладают большей универсальностью по сфере применимости (именно в силу их локальности и тесного примыкания к соответствующим необходимым условиям оптимальности). Однако глобальные методы в случае реализуемости дают больше информации о задаче в целом (например, об оптимальном синтезе и множестве достижимости системы), а при соответствующей локализации приводят к легче проверяемым достаточным условиям того или иного типа минимума, нежели универсальные локальные результаты.

Это обстоятельство является веским аргументом в пользу развития глобальных методов, тем более, что часть из них оказывается эффективной в вырожденных задачах, к которым стандартные методы в принципе неприменимы из-за отсутствия решения в обычном классе измеримых управлений.

Актуальность темы. Основным объектом данного исследования являются именно вырожденные (нерегулярные) задачи оптимального управления, характеризующиеся линейностью динамической системы по управлению и неограниченностью понтрягинского множества U возможных значений управления. Эти задачи, как правило, не имеют решения в обычном классе измеримых ограниченных управлений и допускают естественное релаксационное расширение, при котором множество допустимых управлений расширяется до импульсных - общих распределений первого порядка сингулярности [64]-[68], [104] [109], [169] (Loc-расширение по траекториям, возможное при U, совпадающем со всем пространством), или до более узкого класса векторных мер (1Л -расширение траекторий, естественное, если U - выпуклый замкнутый конус). Конечно, возможен анализ вырожденных задач и непосредственно без указанного расширения на уровне минимизирующих последовательностей обычных процессов, управляющие компоненты которых имеют дельтообразные составляющие, а траекторные сходятся к разрывным функциям.

Отмстим наиболее общие известные результаты в этом направлении: достаточные условия глобальной оптимальности в форме принципа максимум,а [87, 89, 90. 92], полученные Б.М. Миллером для линейно-выпуклых задач импульсного управления в случае, когда пон-трягинское множество управлений является выпуклым конусом, а исследуемая импульсная экстремаль - нормальной; квадратичные достаточные условия локальной оптимальности импульсных процессов с траекториями из L^ в задачах без ограничений на управление в динамических системах, обладающих условием корректности по расширению (условием Фробениуса), полученные В.А. Дыхтой и И.А. Никифоровой [44, 50. 59. 97] путем анализа модифицированной производной задачи; глобальные достаточные условия оптимальности, основанные на обобщенных решениях уравнения Гамильт.она-Якоби-Беллмана для задач оптимизации дифференциальных систем и включений с траекториями ограниченной вариации, предложенные в работах М. Мотта, Ф. Рампаццо [154], [155] и Ф. Перейра, А. Матос [158] соответственно.

Несмотря на это, теория достаточных условий оптимальности в задачах импульсного управления еще далека от своего завершения в сравнении с соответствующим направлением в классических задачах оптимального управления. Особенно это касается задач оптимизации в динамических системах без так называемого условия корректности по импульсно-траекторному расширению (условия Фробениуса) и задач с траекториями ограниченной вариации и конусными ограничениями на управление. Например, для таких задач неизвестны квадратичные достаточные условия локальной оптимальности типа Якоби в вариационном исчислении и не выработано единого понимания уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана.

С последним фактом связан еще один пробел: было неясно, какие достаточные условия оптимальности для вырожденных задач управления можно получить, отправляясь от идеи использования произвольного семейства функций т.ипа Ляпунов а-Кротов а - монотонно не возрастающих вдоль всех траекторий управляемой системы данной задачи оптимизации.

В классических задачах оптимального управления повышение интереса к таким условиям было вызвано недавними результатами и изящными примерами А.А. Милютина, предложившим каноническую теорию сильного экстремума, опирающуюся на использование произвольного семейства решений уравнения Гамильтона-Якоби [150] [152]. Ранее аналогичную идею предложил В.А. Дыхта в качестве модификации условий В.Ф. Кротова, однако он использовал более широкое множество решений неравенства Ляпунова-Кротова (неравенства Гамильтона-Якоби-Беллмана. иногда называемого квазивариационным). Значение достаточных условий оптимальности, которые получаются при этом подходе (мы оставляем за ним название канонического), состоит в гораздо более широком ареале применимости в сравнении с методами Р. Беллмана и В.Ф. Кротова и их негладкими обобщениями, даже если при его реализации не прибегать к негладким решениям неравенства Ляпунова-Кротова. В частности, этот подход позволил получить наиболее тонкие достаточные условия оптимальности в форме принципа максимума Л.С. Понтрягина для классических задач оптимального управления [54] (эти результаты обобщаются в гл.1 диссертации, а затем используются в гл.2).

Применительно к управляемой системе x = f{tx,u), u{t)el7 (B.l) неравенство Ляпунова-Кротова с неизвестной дифференцируемой функцией (p(t,x) можно определить через гамильтониан системы (В.1)

U(t,x,^) = snp{<r./(/.r.„)) I u(t) е и} (В.2) с областью определения dom U = {(/.г.//) | n{t,x,4>) < ос и точная верхняя грань в (В.2) достигается} и записать его в виде пары соотношений в частных производных

Рг{1.х. и) := & <0 r-,) G (1ош Н [ ' они должны выполняться на подходящим образом выбранном множестве Q переменных t, х). В обсуждаемых достаточных условиях оптимальности используется очевидный факт: любое решение неравенства (В.З) задает внешнюю оценку множества достижимости управляемой системы на Q.

Поэтому, если поставлена задача оптимального управления динамической системой вида (В.1). то се можно попытаться свести к конечномерной задаче оптимизации.

Делается это следующим образом. Пусть Q - открытое множество в пространстве переменных t и х. Обозначим через D(Q) множество достижимости управляемой системы в О. которое определим как множество всех четверок Ь = (/q , ;r0; t\,X[). для которых существует процесс а. траектория которого проходит по Q и соединяет точки (f0.To) и (t].x\). Тогда из неравенства

Д<р(Ь) := ip(ti,x(h)) - <p(t0,x(t0)) < 0. (В.4) следует включение

D(Q) С {Ь | Аф) < 0}. показывающее, что любое решение неравенства Ляпунова-Кротова задает внешнюю оценку множества достижимости управляемой системы, причем Ъ Е D(Q) тогда и только тогда, когда Аср(Ь) < 0 для всех решений неравенства (В.З) на Q, если только множество U компактно, а годограф f(t.,x,U) выпуклый. Этот простой факт подсказывает естественный переход к достаточным условиям оптимальности.

Все рассмотрения будут проведены для следующей классической задачи оптимального управления (которую обозначим через Р):

J = l0(b) inf, Ъ := (t0,x0 ; (B.5) l{b) < 0, k{b) = 0. (B.6)

X = f(t.x.u). и(t) E U. (B.7)

Здесь .го = x\ — x{ti), функции /о, /, k, f непрерывно дифференцируемы, множество U С Rd(u) произвольно (d(u) означает размерность вектора и).

Обозначим через P(Q) сужение задачи Р на множество Q, т.е. добавим к исходной задаче Р следующие ограничения: t,x{t)) е Q, ; /1,^1) eQxQ.

Далее, пусть | а Е Л} - произвольное семейство решений неравенства Ляпунова Кротова на Q. Рассмотрим следующую конечномерную концевую задачу EP(Q, Л) :

10{Ь) inf, 1{Ъ) < 0, k{b) = 0. ь^-^о-Л)) <0 Vrt Е А (В.8) beQxQ.

Очевидно, что inf J(P(Q)) > inf l0(EP(Q.A)).

Следующее утверждение представляет собой детализированный аналог леммы 1.2 из [45], который является для нас базовым достаточным условием оптимальности.

Теорема В1 ([54]) . Пусть имеется семейство {y>a(t,x) | а Е Л} решений неравенства Ляпунова-Крот,ова на открытом множестве Q С R] х и и = 0r(/).T7(f) j t Е FoJi])

- допустимый процесс в задаче P(Q), траектория которого содержится в Q. Если b={t0,x(t0) ; tux(ti))

- тючка глобального минимума в концевой задаче EP(Q. А). то а доставляет глобальный минимум функционалу J в задаче P(Q) (и, следовательно, по крайней мере сильный минимум в задаче Р).

Если в этой теореме семейство {(ра} сузить до некоторого множества решений уравнения Гамильтона Якоби на Q, то результат перейдет в теорему 13.1 из [152], принадлежащую А.А. Милютину.

Эта теорема очевидным образом распространяется на случай минимизирующих последовательностей, что важно для рассматриваемых в диссертации классов задач.

Любое семейство функций | а Е удовлетворяющее сформулированным утверждениям (т.е. позволяющее установить оптимальность исследуемого процесса а в задаче P(Q)), назовем локально разрешающим, а при Q, совпадающем со всем пространством, - разрешающим для задачи Р.

Достаточные условия теоремы В1 содержат еще одно неявное экстремальное условие интегрального характера (помимо концевого, связанного с концевой задачей EP(Q,A), которому должен удовлетворять процесс а и некоторые "существенные11 функции разрешающего семейства. Чтобы убедиться в этом, введем множество "активных индексов11 для процесса а в концевой задаче EP(Q.A). положив

А(а) = {а е А | Aipa{b) = 0}.

Именно случай А(сг) ф 0 является особенно важным. Кроме того, для любой функции (р определим интегральный функционал п fa(x{-)M-)M)= Jv^t,x(t),u(t))dt.

U)

Рассмотрим экстремальную задачу (а Е А):

Fa(x(-)M-)-h.ti) ->sup. е Q. u(t) еи Vfe[f0-/i]. 1 " j в которой допустимые функции х(-) Е AC([/o,fi]). и(-) Е boo([A)>^i]) и отрезок [fo,/i] не фиксирован. Обозначим задачу (В.9) через IP(Q,a). Ясно, что в силу неравенства (В.З) при любом а Е А значение задачи

В.9) неположительно, причем эта задача тривиальна, если функция (ра удовлетворяет уравнению Гамильтона Якоби (тогда Та = 0). Справедливо

П р е д л о ж е н и е В1. Пусть семейство {у/'| а Е Л} и процесс If удовлетворяют, теореме В1, причем Д(гх) 0. Тогда при любом а Е Л{Тт) процесс а - решение задачи IP(Q,a) и выполнено условие максимум,а

•Лг-(/.г(/).'/(/)) = maxVf{t,x<u) = 0 на [70 Jx], (В.Ю) и £ и где Q(t) - сечение м,ножест,ва Q.

Для дальнейшего отметим, что в теореме В1 можно использовать негладкие, и даже разрывные функции Ляпунова-Кротова характеризующиеся единственным свойством монотонного невозрастания вдоль траекторий данной динамической сист.емы. Однако это свойство неконструктивно, и применение неравенства Ляпунова-Кротова даст аппарат построения функций со свойством монотонности.

Замечания В1). Определенный интерес представляет анализ возможностей семейства линейных функций вида <ра =< i(>a(t),x >, где L,a(t) - сопряженная компонента некоторой экстремали [101], [152], т.е. липшицевое решение сопряженной системы. Но такие функции не обладают всюду дифференцируемостью по t. Поэтому минимальное расширение класса вспомогательных функций мы получим, если потребуем абсолютную непрерывность функций (с сохранением липшицевости по (f,.г) и дифференцируемостн по х на Q) и справедливости обычной формулы восстановления функции по ее полной производной: j[ri(t.r(1))+ < rAt.-r(t)).r[t) >}dt = to Ah,.i'i{h)) ~ y(tu.x0(t0)) для любой абсолютно непрерывной функции x(t) с графиком из Q.

В2). Укажем простой способ получения решения неравенства Ляпунова-Кротова, связанный с экстремальной задачей IP и условием максимума (В.Ю).

Предположим, что для некоторой функцнн y{t.x) из допустимого класса на Q функция rn{t) = sup V^it.x.u) j-egti) uei' оказалась интегрируемой на интервале (tq,ti) = pi\ Q (здесь справа стоит проекция множества Q на ось t). Тогда легко проверить, что функция будет решением неравенства (В.З) на Q (эту процедуру получения ф из f назовем нормировкой).

Таким образом, с формальной точки зрения задача нахождения решения неравенства Ляпунова-Кротова представляется проще, чем поиск решения уравнения Гамильтона-Якоби.

ВЗ). Чтобы учесть наличие инвариантных многообразий, возможность преобразования управляемой системы (или задачи в целом), а также расширить сферу применимости гладких функций Ляпунова-Кротова, часто оказывается полезным использовать функции расширенного числа аргументов - в виде суперпозиции где i](t.i\w) - некоторая гладкая функция, a w — и, «'(/о) = 0. Имея ввиду известное нелинейное преобразование Гоха [61]. условимся называть w гоховской переменной.

Неравенство Ляпунова Кротова и экстремальные задачи IP. ЕР трансформируются при этом естественным образом. Легко понять, что этот прием соответствует дополнению системы (В.1) уравнениями

В частности, дальнейшее использование функций вида f(t,y1w) соответствует преобразованию системы (В.1) к этой системе уравнений. Если оно сопровождается параллельным преобразованием задачи Р, то знание разрешающего семейства функций для преобразованной задачи позволяет получить его и для исходной задачи в виде суперпозиции. Именно так обстоит дело применительно к некоторым задачам с линейным неограниченным или импульсным управлением.

Цель работы состояла в доказательстве достаточных условий глобальной и локальной оптимальности импульсных процессов, основанных на использовании семейств решений дифференциального неравенства Ляпунова-Кротова, а также их применении к некоторым прикладным моделям импульсного управления. При этом основной акцент f = <p(t.,X,r}(t4X,w),w).

У = i]t{t, х, w) + ijx(t, x,w)f{t, и) + )]w(t, x, w)u, IU = U. w(to) = 0, у = lj(t. X, w). сделан на достаточных условиях оптимальности, которые можно получить путем подходящего усиления необходимых условий оптимальности первого порядка.

Реализация этого замысла естественным образом привела к необходимости его воплощения сначала для классических задач оптимального управления, применительно к которым полученные результаты можно трактовать как обращение ПМ Понтрягина в достаточное условие оптимальности.

Методы исследования основываются на квадратичных условиях локального экстремума в задачах с ограничениями, теории условий оптимальности в классических и импульсных задачах управления (принципе максимума, обобщенных условиях стационарности, вариационном принципе максимума [61]) и канонической теории сильного экстремума.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту. Научная новизна состоит в выделении нелинейных и невыпуклых классов задач оптимального управления (как классических, так и импульсного характера), для которых возможно обращение соответствующих необходимых условий оптимальности первого порядка в достаточные условия локального и глобального экстремума. Применительно к задачам импульсного управления полученные достаточные условия носят существенно нелокальный характер как по предположениям на класс задач, так п по типу гарантируемого минимума.

Основными теоретическими результатами диссертации являются:

1) достаточные условия в форме принципа максимума для глобального и сильного экстремума в классических задачах управления без априорных предположений нормальности экстремали и единственности соответствующего ей набора множителей Лагранжа (теорема 1.2);

2) обобщение преобразования В.И. Гурмана к производной задаче на случай, когда распределение рецессивных подпространств годографа динамической управляемой системы имеет конечный производный флаг, не превосходящий размерности фазового вектора (теорема 2.2);

3) достаточные условия локального (пмпульсно-слабого) минимума для импульсных процессов в системах со свойством корректности (теорема 2.3).

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическое значение полученных результатов состоит в расширении классов задач оптимального управления, к которым оказываются применимыми достаточные условия оптимальности, основанные на построении семейств функций типа Ляпунова-Кротова.

Их практическая значимость состоит в возможности устанавливать действительное достижение того или иного типа минимума на экстремалях, найденных из условий оптимальности первого порядка. Эффективность достаточных условий продемонстрирована на исследовании ряда нерегулярных прикладных задач экономики и робототехники. Исследование моделей в гл.З, 4 показывает, что полученные в диссертации достаточные условия оптимальности импульсных процессов являются хотя и более сложным, но таким же эффективным инструментом проверки на оптимальность исследуемых процессов с разрывными траекториями, как и аналогичные условия в классических задачах оптимального управления.

Отдельные разделы диссертации используются в учебном процессе Института математики и экономики (ИМЭ) ИГУ (в рамках курса " Оптимальное управление экономическими системами11 и выполнения курсовых и дипломных работ).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:

- XI, XII международных Байкальских конференциях "Методы оптимизации и их приложения"(Иркутск, 1998 г., 2001 г.);

- международной конференции ,1 Динамические системы: устойчивость. управление, оптимизация"(Минск, 1998 г.); международной конференции 11 Математика, информатика и управление1'(Иркутск, 2000 г.);

- Четвертом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 2000 г.):

- Пятом симпозиуме IFAC "Nonlinear control systems" (С-анкт -Петербург, 2001 г.);

- 15-ом международном конгрессе IFAC (Барселона, Испания, 2002 г.);

- 10-той Средиземноморской конференции по управлению и автоматике (Лиссабон, Португалия, 2002 г.);

- международной конференции по оптимизации и оптимальному управлению (Улан-Батор, Монголия, 2002 г.);

- международной конференции "Математика, ее приложения и математическое образование"(Улан Удэ, 2002 г.):

- международном симпозиуме "Обобщенные решения в задачах управления" (Переславль-Залесский, 2002 г.);

Всероссийской конференции "Проблемы оптимизации и экономические приложения"(Омск, 2003 г.); международном конгрессе по моделированию и анализу управляемых динамических систем (Иркутск, 2003 г.);

- на городских семинарах по проблемам оптимизации, динамики и математической экономике, семинарах кафедры методов оптимизации ИМЭ ИГУ и кафедры математики Байкальского государственного университета экономики и права (БГУЭП) (Иркутск, 1998-2003).

Проблематика работы являлась составной частью исследований, выполнявшихся в БГУЭП по грантам РФФИ 98-01 00837, 01-0100869, 03-01-06107.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [2]—[13], [55, 56], [117], [135]-[139].

Кроме того, часть результатов диссертации нашла свое отражение в монографии [61].

Личный вклад автора состоит в конкретизации канонической теории сильного экстремума применительно к вырожденным и импульсным задачам оптимального управления, а также ее применению к решению ряда прикладных моделей (то же относится и к публикациям, совместным с В.А. Дыхтой).

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на 13 разделов, и списка литературы, включающего 169 наименований. Общий объем диссертации составляет 165 страниц, включая 11 рисунков.

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. - М.: Наука, 1979. - 429с.

2. Антипина Н.В., Дыхта В.А. Динамические системы с разрывными траекториями и импульсами в моделях экономики //Тр. 11 ой Байкальской международной конференции "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск. - 1998. - Т.З. - С.24-26.

3. Антипина Н.В. Динамические модели управления движением манипуляторов //Тр. Вост.-Сибирской зональной межвузовской конф. по математике и проблемам ее преподавания в вузе. Иркутск: Изд во Иркут. гос. пед. ун та. 1999. С. 107-111.

4. Антипина Н.В. Достаточные условия глобальной оптимальности импульсных процессов //Тр. 12-ой Байкальской международной конференции. "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск. 2001. Т.2. С.35 39.

5. Антипина Н.В., Дыхта В.А., Мусинцев В.В. Шеломенцева Н.Н. Модели оптимального импульсного управления в прикладной математической экономике // Тр. международной конференции "Математика, информатика п управление". Иркутск. 2000.16с.

6. Антипина Н.В., Дыхта В.А. Линейные функции Ляпунова-Кротова и достаточные условия оптимальности в форме принципа максимума // Изв.вузов.Математика. 2002. N12. - С.11-21.

7. Антипина Н.В., Дыхта В.А., Козлова О.Р. Приложение теории оптимального импульсного управления к экономическим системам // Труды конференции "Проблемы оптимизации и экономические приложения'1- Омск. 2003. - С. 142.

8. Антипина Н.В., Соболева О.Р., Багдуева А.В. Оптимизация инвестиций в некот.орых экономических моделях //Тр. 12-ой Байкальской международной конференции "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск. 2001. - Т.6. - С.98--103.

9. Антипина Н.В., Самсонюк О.Н. Принцип максимума в задачах оптимального импульсного управления и его приложения. II Международный симпозиум "Обобщенные решения в задачах управления", Тезисы докладов. Переславль Залесский, 2002.-С.90-92.

10. Арутюнов А.В. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задами. М.: Факториал, 1997. - 256с.

11. Афанасьев А.П., Дикусар В.В., Милютин А.А., Чуканов С.А. Необходимое условие в оптимальном управлении. М.: Наука, 1990.319с.

12. Гурман В.И., Дыхта В.А., Колокольникова Г.А. и др. Принцип расширения в задачах оптимального управления// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1983. - N2. - С.200-213.

13. Гурман В.И., Дыхта В.А., Колокольникова Г.А. Нелокальные преобразования вырожденных задач оптимального управления и импульсные режимы. Деп. в ВИНИТИ 15.06.90, N3455-B90. -15с.

14. Гурман В.И., Колокольникова Г.А. Условия оптимальности импульсных режимов. Деп. в ВИНИТИ 14.10.84, N6259-84. - 58с.

15. Гюнтер Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. М.: ГТТИ, 1934.

16. Дикусар В.В., Милютин А.А. Качественные и численные мет.о-ды в принципе максимум,а. М.: Наука, 1989. 141с.

17. Дмитрук А.В., Милютин А.А., Осмоловский Н.П. Теорема Лю-стерника и т.еория экстремума, // Успехи мат. наук. 1980. -Т. 35, N6 (262). - С. 11-46.

18. Дмитрук А.В. К в адратичные условия понтряг инског о минимума в задаче оптимального управления, линейной по управлению // Изв. АН СССР, сер. матем. I. - 1986. - Т.50, N2. С.284-312; II. 1987. Т.51, N4. - С.813-832.

19. Дмитрук А.В. К вопросу о необходимости достаточных условий оптимальности кротю некого типа // Автоматика и телемеханика. 1997. - N10. - С.З 17.

20. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Задачи на экст.ремум, при наличии ограничений // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1965. - Т.5. N3. - С.395 453.

21. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Теория принципа максимума// Методы теории экстремальных задач в экономике. М.: Наука, 1981. С.6-47.

22. Дыхта В.А. Об оптимальности, особых управлений в обыкновенных динамических сист,ем,ах// Дифференциальные pi интегральные уравнения. 1976. - Вып.4. - С. 157 169.

23. Дыхта В.А. Достаточные условия сильного относительного минимума для особых экстремалей// Вопросы прикладной математики. Иркутск, 1977. С.39 50.

24. Дыхта В.А. Условия локального muhum,ijmxi для особых режимов в системах с линейным управлением // Автоматика и телемеханика. 1981. N12. С.5-10.

25. Дыхта В.А. Общая схем,а преобразований экстремальных задач и некоторые ее приложения в оптимальном, управлении // Ин-тегродифференц. уравнения и их приложения. Иркутск: изд-во Иркут. ун-та. - 1987. - С.82-91.

26. Дыхта В.А. Принцип расширения в качественной теории управления// Методы решения задач теории управления на основе принципа расширения / В.А.Батурин, В.А.Дыхта, А.И.Москаленко и др. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ие, 1990. -С.5-48.

27. Дыхта В.А. Вариационный; принцип максимума для импульсных и особых режимов в задаче оптимизации, линейной, по управлению // Изв. вузов. Математика. 1991. N11. - С.89-91.

28. Дыхта В.А. Импулъсно-траекторное расширение задач, оптимального управления // Развитие и применение метода функций Ляпунова. Новосибирск: Наука. Сиб. отд не. 1992. С.170-182.

29. Дыхта В.А. Вариационный принцип максимума и квадратичные условия оптимально cm,и импульсных и особых, процессов / / Сиб. мат. журн. 1994. - Т.35. N1. - С.70-82.

30. Дыхта В.А. Принцип максимума для оптимальных импульсных процессов при ограничениях на. образ управляющей меры// Оптимизация, управление, интеллект. Журн. Всероссийской ассоциации мат. программирования и АНН. 1995. N1. С.100-109.

31. Дыхта В.А. Вариационный принцип максимум,а, и квадратичные условия оптимальности импульсных процессов. Иркутск: Изд-во ИГЭА. 1995. 186с.

32. Дыхта В.А. Необходимые условия оптимальности импульсных процессов при ограничениях на образ управляющей меры // Изв. вузов. Математика. 1996. N12. С.1 9.

33. Дыхта В.А. Квадратичные необходимые условия оптимальности в за,дача,х импульсного управления //Тр. 11 ой Байкальской международной конференции "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск. - 1998. - Т.2. - С.69-72.

34. Дыхта В.А. Импульсное оптимальное управление в моделях экономики и квант,овой электроники// Автоматика и телемеханика1999. N11. - С.100-113.

35. Дыхта В.А. Неравенство Ляпунова-Кротова и достаточные условия в оптимальном, управлении// Итоги науки и техн. Совр. мат. и ее приложения / ВИНИТИ РАН, 2002.

36. Дыхта В.А., Антипина Н.В. Оптимальные процессы с разрывными траекториями в моделях управления фирмой и робототехники // Сборник научных трудов "Дифференциальные уравнения и аналитическая теория". Чита: ЧитГТУ. 1999. С.10 21.

37. Дыхта В.А., Колокольннкова Г.А. Условия минимума на множестве последовательностей в вырожденной вариационной задаче // Мат. заметки. 1983. N5. С.735-744.

38. Дыхта В.А., Колокольннкова Г.А., Никифорова И.А. Преобразования задач оптимального управления и условия локальной оптимальности особых режимов // Учеб. пособие, Иркутск: Изд-во Иркут. ун та, 1985. - 39с.

39. Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Принцип максимум,а для импульсных процессов при ограничениях на образ и полную вариацию управляющей .меры // Краевые задачи: Сб.науч.тр. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та 1997.- С.122 138.

40. Дыхта В.А. Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. М.: Физматлит, 2000. 256с.

41. Дюкалов А.Н. Некоторые задачи прикладной математической экономики. М.: Наука, 1983. - 119с.

42. Елкин В.И. Редукция нелинейных управляемых систем: дифференциально- геометрический подход. М.: Наука. Физматгиз, 1997. - 320с.

43. Завалищин С.Т. Специальные нелинейные уравнения в обобщенных функциях // Дифференц. уравнения. 1990. - Т.26, N8. -С.1316 1323.

44. Завалищин С.Т., Орлов Ю.В. О дифференциальных уравнениях, содержащих произведения разрывных функций на обобщенные // Дифференц. уравнения. 1986. - N9. С.1614 -1615.

45. Завалищин С.Т., Ревенко В.В., Сесекнн А.Н. Нелинейные дифференциальные уравнения в обобщенных функциях: Препринт,. Свердловск, УрО АН СССР, 1989. 67с.

46. Завалищин С.Т., Сесекнн А.Н. Импульсные процессы: модели и приложения. М.: Наука. 1991. 256с.

47. Завалищин С.Т., Сесекин А.Н., Дрозденко С.Е. Динамические системы с импульсной структурой. Свердловск: СреднеУраль-ское изд-во, 1983. - 112с.

48. Интрнлигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Прогресс. 1975. 606с.

49. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Расширение вариационных задач // Тр. Моск. матем. об- ва. 1968. Т.18. С.187-246.

50. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука. 1974. 480с.

51. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: Наука, 1966. 200с.

52. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988.280с.

53. Колокольникова Г.А. Импульсные режимы в нелинейных управляемых динамических системах и условия их оптимальности: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Иркутск, 1985. - 157с.

54. Колокольникова Г. А. Вариационный принцип максимума для разрывных траекторий неограниченных, асимптотически линейных управляемых систем // Дифференц. уравнения. 1997. -Т.ЗЗ, N12. - С.1631-1638.

55. Колокольцов В.Н. Идемпотент.ные структуры в оптимизации // Итоги науки и техн. Совр. мат. и ее приложения / ВИНИТИ РАН. 1999. Т. 65. С.118 174.

56. Красовский Н.Н. Теория управления движением. Линейные системы. М.: Наука, 1968. - 476с;.

57. Кротов В.Ф. Букреев В.З., Гурман В.И. Новые м,етоды вариационного исчисления в динамике полета. М.: Машиностроение, 1969. - 228с.

58. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973. - 448с.

59. Левин В.Л., Милютин А.А. Задача о перемещении масс с разрывной функцией ст,оим,ости и массовая по спит о в ко, проблемы двойственности выпуклых, экстремальных задам // Успехи мат. наук. 1979. Т. 34, N 3. С.3-68.

60. Левитин Е.С. Теория возмущений в ма,т,ем,атическом программировании, и ее приложения. М.: Наука, 1992. - 227с.

61. Левитин Е.С., Милютин А.А., Осмоловский Н.П. Условия высших порядков в задачах с ограничениями // Успехи мат. наук. 1978.Т.ЗЗ, N6. С.85-147.

62. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. -М.: Наука, 1972. 576с.

63. Меликян А.А. Особые характеристики дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка в оптимальном, управлении и дифференциальных играх // Итоги науки и техн. Совр. мат. и ее приложения / ВИНИТИ РАН, 1999. Т. 64. С. 179-197.

64. Миллер Б.М. Об устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений с м,ерой // Успехи мат. наук. -1978. -Т.ЗЗ. N2. С.198.

65. Миллер Б.М. Условия оптимальности в задаче управления системой, описываемой дифференциальным, уравнением с мерой // Автоматика и телемеханика. 1982. - N6. - С.60-72.

66. Миллер Б.М. Оптимальное управление наблюдениями при филь-т,рации процессов диффузионного типа.II // Автоматика и телемеханика. 1985. - N6. С.77-87.

67. Миллер Б.М. Методы оптимального управления в дискретно-непрерывных и импульсных системах // Обзор N 4508. Часть

68. Москва: Центр-ный научно исслед-ий ин-т информации и технико-экон-их исслед. 1987. - 92с.

69. Миллер Б.М. Методы оптимального управления в дискретно-непрерывных и, импульсных систем,ах // Обзор N 4586. Часть1.. Москва: Центр-ный научно-исслед ий нн т информации и технико-экон-их исслед. 1987. 54с.

70. Миллер Б.М. Оптимизация динамических систем с обобщенным управлением// Автоматика и телемеханика. 1989.- N6. С.23-34.

71. Миллер Б.М. Условия оптимальности, в задачах обобщенного управления // Автоматика и телемеханика, 1992. - N5. - С.50-58.

72. Миллер Б.М. Метод разрывной замены времени в задачах опти-м,ального управления импульсным,и и дискретно-непрерывными системами // Автоматика и телемеханика, 1993. N12. - С.З-32.

73. Милютин А.А., Илютович А.Е., Осмоловский Н.П., Чуканов С.В.Опт,им,алъное управление в линейных системах. М.: Наука, 1993. - 268с.

74. Москаленко А.И. Мет,оды нелинейных отображений в оптимальном управлении. Новосибирск: Наука. 1983. - 222с.

75. Никифорова И.А. Квадратичные условия оптимальности импульсных режимов : Дис. канд. физ.-мат,.наук. Иркутск, 1990. 154с.

76. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. - 309с.

77. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989. 635с.

78. Орлов Ю.В. Теория оптимальных систем с обобщенными управлениями. М.: Наука, 1988. - 187с.

79. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г. Гамкрелпдзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптим.альных процессов. М.: Физматгиз, 1961. 388с.

80. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. М.: Наука, 1982. - 141с.

81. Руш Н. Абетс П. , Лалуа М. Прям,ой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 301с.

82. Сесекин А.Н. О непрерывной зависимости от, правых частей и устойчивости аппроксимируемых, решений дифференциальных уравнений, содержащих, произведения разрывных функций на обобщенные // Дифференц. уравнения. 1986. Т.22, N11. -С.2009-2011.

83. Сесекин А.Н. Импульсное расширение в задаче оптимизации энергетического функционала // Автоматика и телемеханика. -1992. N8. С.53-62.

84. Arrow K.J. Application of control theory to economic growth // Lect. in Applied Mathematics / Mathematics of the decision sciences. -1968. V.12, Part 2. pp.85 119.

85. Aubin J.-P., Cellina A. Differential inclusions. Berlin: Springer Verlagc. 1984. 342p.

86. Aubin J.-P., Francowska H. Set-valued analysis. Boston-Bazel Berlin: Birkhauser, 1990. 461p.

87. Bardi M., Dolcetta I.C. Optimal control and viscosity solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations. Boston: Birkhauser, 1997. -500p.

88. Berkovitz L. Optimal feedback controls // SIAM J. Contr. and Optim.1989. V. 27, N5. pp.991-1007.

89. Bressan A. On differential system,s with, impulsive controls// Rend. Sem. Un. Padova, 1987. - pp.228-235.

90. Bressan A., Rampazzo F. Im,pulswe control system, with commutative vector fields // J. Optim. Theory and Appl. 1991. - V.71, N1. -pp.67 83.

91. Bressan A., Rampazzo F. Im,pulse control, systems without comm.via,tivity assumptions // J. Optim. Theory and Appl. 1994. V.81. N3. - pp.435-457.

92. Caimarsa P., Francowska H. Some characterizations of optimal trajectories in control theory // SIAM J. C'ontr. and Optim. 1991. - V. 29. N6. - pp.1322 1347.

93. Cezary L. Optimization theory and applications. Springer-Verlage, 1983. 542p.

94. Clarke F.H., Vinter R.B. Applications of optim,al m.ultiprocesses // SIAM J. Contr. and Optim. 1989. - V.27, N5. pp.1048-1071.

95. Clarke F.H. Vinter R.B. Optimal m.ultiprocesses // SIAM J. Contr. and Optim. 1989. - V.27. No. pp.1072 1091.

96. Dmitruk A.V. Quadratic order conditions of a local minimum for singular extremals in, a general optim,al, control problem // Proc. Symp. Pure Math. "Differential Geometry and Control"/ Eds. Ferreira G. et. ab.: Amer. Math. Soc. 1998. 64. pp. 163-198.

97. Dor roh J.R., Ferreira G.A. A multistate, multicontrol problem with unbounded controls// SIAM J. Contr. and Optim. 1994. - V.32, N5. - pp.1322-1331.

98. Dykhta V.A. Impulse-trajectory extension of degenerated optimal control problems // IMACS Annals of Computing and Applied Mathematics. 1990. - V.8. pp.103-109.

99. Dykhta V. Optim,ality conditions for impulsive processes and it's applications // Prepr. of 13th World Congress IFAC, 1996. V.D. -pp.345-350.

100. Dykhta V.A., Antipina N.V. Application, of Variational Maximum principle to optimization models with discontinuous trajectories //Proc. of 5th IFAC Symposium "Nonlinear control systems" (NOLCOS-2OOI). Saint-Petesburg. 2001. pp.614-618.

101. Dykhta V., Antipina N. Investigation of impulsive extremals in applied models of dynamic optimization // Prepr. of the 15th Triennial World Congress of the IFAC, (b"02). T-Tu-E 17 5. July 21 July 26, 2002. Barcelona. Spain. 5p.

102. Dykhta V., Antipina N. Sufficient optimality conditions based on Lyapunov- Krotov differential inequality // Abstracts of International Conf. on Optimization and Optimal Control. Ulaanbaatar, Mongolia, 2002. pp.69 70.

103. Dykhta V.A. Antipina N.V. Sufficient optim,ality conditions for classical and hybrid optimal control problems // Proc. of IFAC Workshop "Modelling and Analysis of Logic Controlled Dynamic Systems". Irkutsk, Baikal. Russia, 2003. pp. 53 60.

104. Dykhta Y.A. Derenko N.Y. Variational maximum, principle and high order conditions for impulsive and, singular processes// Proc. of 2th European Contr. Conf. June 28 - July 1, 1993. - Groningen, the Netherlands. - V.3 pp.1420 1423.

105. Dykhta V.A., Sumsonuk O.N. A maximum principle for optimal impulsive processes and it's application // Proc. of 4th European Contr. Conf., Brussels, 1997. FR-A-D3.

106. Filippova T.F. On the state estim-ation, problem for impulsive differential inclusions with state constraints /f Proc. of 5th Symposium "Nonlinear control systems" (NOLCOS-2001). Saint-Petersburg, Russia. 2001. - pp. 1365-1369.

107. Filippova T.F. Trajectory tubes for impulsive control problems // Proc. of the European Control Conf. 2001 (ECC-2001). Porto, Portugal. 2001. - pp.2766 2769.

108. Goli B.S. The second, variation for singular Bolza problem, // SIAM J. Contr. 1966. - V.4, N2. pp.309 325.

109. Goh B.S. Optimal singular control for multy-input linear systems // J.Math.Anal, and Appl. 1967. V.20, N3. pp.534-539.

110. Jaeobson D.H. Sufficient, conditions for nonnegatimty of the second, variation in singular and nonsingular control problems// SIAM J. Control. 1970. - V.8, N3. - pp.403 423.

111. Krotov V.F. Global methods in, optimal control theory. New York: Marcel Dekker, 1996. - 408p.

112. Mangasarian O.L. Control problems with kinks // IEEE Trans. AC-15. 1970. - pp.570-575.

113. Miller B.M. The generalized solution of nonlinear optimization problems with impulse control, // SIAM J. Contr. and Optim. 1996.Y.34, N4. pp. 1420-1440.

114. Milyutin A.A. An example of an optim,a,I control problem whose extremals prossess a continual set of discontinuities of the control function Ц Russian Math. Phisics. 1994. Y.l. N3. - pp.397-402.

115. Milyutin A.A. Calculus of variations and optimal control // Proc. of the Internat. Conf. on the calculus of variation and related topics,Haifa, Chapman and Hall/ C'RC Research Notes in Mathematics Series. 1999. - 411. pp. 159-172.

116. Milyutin A.A., Osmolovskii N.P. Calculus of Variation and Optimal Control. // American Mathematical Society. - Providence, Rhode, Island, 1998. - 372p.

117. Molinari B.P. Nonnegativity of a Quadratic Functional/ / SIAM J. Control. 1975. V.13, N4. pp.792 806.

118. Motta M., Rampazzo F. Space-time trajectories of nonlinear systems driven by ordinary and, impulsive controls // Differential and Integral Equations. 1995. V.8, N2. - pp.269-288.

119. Motta M., Rampazzo F. Dynamic programming for nonlinear system driven, by ordinary and impulsive controls // SIAM J. Contr. and Optim. 1996. V.34, N1. pp.199-225.

120. Murray .J.M. Existence theorems for optimal control and calculus of variations problems where the state can jump/j SIAM J. Contr. Optim. 1986. - V.24, N3. pp.412-438.

121. Osmolovskii N.P. Quadratic Condition for Nonsingular Extremals in OpUrnaJ Control (A Theoretical Treatment) // Russian Journ. of Mathematical Phisics. 1995. Y.2, N4. pp.487 516.

122. Rampazzo F. Differential systems with impulsive controls. Applications to mechanics // IS AS Internat. school for advanced studies. - Triest: Academic Year. 1986/87. - 73p.

123. Sethi S.P., Thomson G.L. Optimal control theory. Applications to management science USA. Boston. - 1981. 370c.

124. Silva G.N., Vinter R.B. Necessary optim,ality conditions for optimal im.pulsive control problem, / SIAM J. Contr. and Optim. 1997. -Y.35. N6. pp. 1829-1846.

125. Vinter R.B. Dynamic programming for optimal control problems with terminal constraints // Lect. Notes Math. 1985. pp. 190-202.

126. Vinter R.B. Pereira F.M. A maximum, principle for optimal processes with discontinuous trajectories // SIAM J. Contr. and Optim. 1988.- V.26. N1. pp.205-229.

127. Muter R.B. Wolenski P. Hamilton-.Jacoby theory for optimal control problem.s with data measurable in time // SIAM J. Contr. and Optim.- 1990. Y.28. N6. - pp.1404 1419.

128. Yinter R.B. Optim.al control. Boston-Basel Berlin: Burkhauser. -2000. 504p.

129. Zavalischin S.T. Impulse dynamic systems and application ю m.athem.a.t.ical economics // Dynamic Systems and Applications. 1994. Y.3. N3. pp.443-450.

130. Zavalisliehin. S.T. Sesekin. A.N. Dynamic Impulse Systems: Theory and Applications. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht. 1997.268p.