Качественное исследование оптимальных межорбитальных импульсных маневров тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Г Л А В А 1. Наискорейший импульсный полет (перехват) между круговыми компланарными орбитами с учетом времени движения по начальной орбите.

§1. Наискорейшие одноимпульсные полеты (перехваты) между орбитами с одинаковым управлением движения.

§2. Наискорейшие одноимпу^ьсные^ерехваты в случае противоположного направления движения в граничных орбитах.

§3. Локальная оптимальность одноимпульсных перехватов при одинаковом направлении движения в граничных орбитах в классе многоимпульсных.

§4. Локальная оптимальность одноимпульсных перехватов в случае граничных орбит с противоположным направлением движения в классе многоимпульсных перехватов.

Г Л А В А 2. Качественные свойства энергетически оптимальных орбит импульсных полетов перехватов) между круговыми компланарными орбитами при заданном времени старта.

1. Экстремальные одноимпульсные полеты (перехваты) между граничными орбитами с одинаковым направлением движения.

- 3

§2. Экстремальные одноимпульсные полеты (перехваты) между орбитами с противоположным направлением движения в этих орбитах.

§3. Локальная экстремальность одноимпульсных перехватов в классе многоимпульсных перехватов.

Г Л А В А 3. Минимальные по длительности импульсные перелеты между круговыми некомпланарными орбитами.

§1. Оптимальные двухимпульсные перелеты.

§2. Многоимпульсные перелеты, близкие к оптимальным двухимпульсным.

Диссертация посвящена качественным методам оптимизации импульсных космических маневров.

Теория оптимального маневрирования зародилась в начале века после пионерских работ К. Э. Циолковского [86], В. Гомана [102], Ф. А. Цандера [85] и др. В послевоенное время теория бурно развивалась параллельно со стремительным развитием ракетной техники и практической космонавтики. Следует особо отметить труды Д. Е. Охоцимского, Т. М. Энеева, В. А. Егорова, Д. Ф. Лоудена, Дж. Лейтмана и целого ряда других авторов ([12,62,63,64,75,90,96,98,102,104,107,112,114,118,123] и т.д.)

Начиная с середины 60-х годов и вплоть до настоящего времени по проблемам маневрирования опубликовано очень большое количество статей и целый ряд монографий ([8,27,34,56,58,65,75] и др.) Достаточно полные списки опубликованных работ имеются в указанных монографиях и обзорах [20,92]. В этих работах изучены различные аспекты оптимального маневрирования, рассмотрены многочисленные частные случаи маневрирования. По разбираемой тематике появились работы обобщающего характера, в которых сформулированы общие принципы оптимального управления движением космических аппаратов. Укажем, например, на монографии В. М. Пономарева [76], В. С. Новоселова [65], В. В. Ивашкина [34], В. А. Ильина, Г. Е. Кузмака [41], Г. Л. Гроздовского, Ю. Н. Иванова, В. В. Токарева [24]. Так, В.С.Новоселов построил аналитическую теорию оптимизации в гравитационных полях, В.В.Ивашкин разработал теорию энергетически оптимальных маневров при ограничениях на расстояния. Отметим также петербургских ученых, имеющих важные работы по данной тематике. Это — В.С.Новоселов [65-73], В.А.Брумберг [19], К.В.Холщевников [30,31], В.А.Антонов [9], А.С.Шмыров [9,31], С.Н.Кирпичников [42

54], А. Н. Коваленко [55], С. В. Агапонов [4-6], Г. А. Красинский [5.7] и др.

Большинство опубликованных работ по проблемам оптимального космического маневрирования посвящено оптимизации по энергетике (расходу топлива) межорбитальных перелетов . Существенно меньше работ посвящено энергетически оптимальным межорбитальным перехватам (полетам). В задаче межорбитального перехвата требуется построить траекторию соударения (жесткой встречи) космического объекта, первоначально находящегося на заданной начальной орбите, с космическим объектом, находящимся на заданной конечной орбите. Часто при этом не учитываются конкретные фазы движения по орбитам, т.е. задачи оптимизации межорбитальных перелетов и перехватов изучаются в постановке со свободным временем движения по орбитам. Отметим, наконец, что имеются лишь единичные работы, посвященные оптимальным по длительности межорбитальным перелетам и перехватам.

В последние годы развиваются теории переходов на некеплеровы орбиты — точки либрации, гало-орбиты [18,81], а также маневры с использованием гравитационных и аэродинамических сил [80].

В настоящее время всеобъемлющая теория оптимизации космических маневров с учетом воздействия многих физических факторов, требованиями надежности и точности при наличии случайных ошибок, необходимостью проведения измерений и коррекций далека от завершения ввиду сложности. Поэтому весьма важны решения задач оптимизации космических маневров в модельных постановках. Во многих реальных задачах такие решения эффективно применяются в качестве начальных приближений при использовании хорошо разработанных методов локального уточнения.

При исследовании задач оптимизации межорбитальных маневров с упрощающими предположениями на первый план выходят вопросы определения числа оптимальных решений, получения для них нулевых приближений и исследование их качественных свойств. В настоящей работе главное внимание при оптимизации межорбитальных маневров поэтому уделяется перечисленным вопросам, основные упрощающие предположения: кусочно-кеплерово приближение для орбит и импульсный характер тяги, когда активные участки движения заменяются импульсными изменениями скорости.

Диссертация посвящена разработке методики качественного исследования классов оптимальных по времени и энергетике импульсных орбит перехватов и перелетов между круговыми граничными орбитами, как компланарными, так и некомпланарными. Под качественными характеристиками оптимальных траекторий мы понимаем: расположение точек старта и финиша на них, угловую дальность, прохождение перицентра или апоцентра, направление импульсов (здесь важен вопрос об оптимальности касательных импульсов) и т.д. Особое значение имеет вопрос о числе импульсов на оптимальных траекториях.

Вопрос о числе импульсов при межорбитальных маневрах весьма важен, так как иногда за счет введения дополнительных импульсов можно получить существенный выигрыш в минимизируемом функционале. Этот вопрос рассматривался учеными на протяжении всего периода развития теории оптимизации межорбитальных маневров и практической космонавтики. Отметим, что при подсчете числа импульсов в задачах со свободным временем движения по орбитам не допускается "дробление" этих импульсов. Изучению оптимальных межорбитальных многоимпульсных орбит при заранее заданном числе импульсов, превышающем минимально необходимое в данной рассматриваемой задаче, посвящено достаточно большое количество работ, укажем, например, на работы [10,24,38,40,77,86,96]. В некоторых из них оценен выигрыш величины минимизируемого функционала, получаемый при таком введении дополнительных импульсов. Показано, что величина выигрыша может быть весьма большой.

Имеется ряд работ, в которых исследованы задачи определения числа импульсов на оптимальных орбитах при оптимизации конкретных межорбитальных маневров. Прежде всего, сюда относятся работы Лайона П.М., Корнхаусера А.Л., Минкофа М., Хандел-смана М. ([106,108,109,115] и др.), в которых с помощью методов вариационного исчисления выведены условия оптимальности или неоптимальности данного конкретного энергетически оптимального перелета с заданным числом импульсов в классе многоимпульсных перелетов. Существенную роль в соответствующем критерии играет величина некоторого вектора, который был введен ранее Д.Ф.Лоуденом [62,63] и был назван им "the primer vector". (В разработанном нами методе подобную роль будет играть вводимая ниже функция М.)

Далее следует отметить работы Маршаля К., Контенсу П. ([94,95,111, 112] и др.). Используя преимущественно численные методы, они исследовали вопрос о числе импульсов при энергетически оптимальных импульсных перелетах между близкими граничными орбитами при постановке задачи со свободным временем движения.

В.А.Антонов, А.С.Шмыров в работе [9] для задачи энергетически оптимального межорбитального перелета как в компланарной, так и в некомпланарной постановках предложили весьма эффективную методику и с ее помощью определили максимальное число импульсов при оптимальных перелетах между близкими эллиптическими орбитами. В основе этой методики лежит весьма плодотворная идея перехода к фазовому пространству - пространству оскулирующих элементов орбит и исследование синтеза оптимального управления в рамках соответствующих задач с закрепленными концами.

Основываясь на работе [9], Кирпичников С.Н., Агапонов C.B. [6,45,48] распространили методику этой работы на задачу энергетически оптимального перехвата (если в фазовом пространстве задаче перелета отвечает вариационная задача с закрепленными концами, то задаче перехвата отвечает задача с подвижным правым концом, это порождает особенности последней и повышает математические трудности исследования соответствующей ей задачи синтеза оптимального управления) и с ее помощью определили максимальное число импульсов при энергетически оптимальных перехватах в случае близких эллиптических граничных орбит. В рамках некомпланарной задачи Кирпичников С.Н. [45,48] установил неоптимальность перехватов с тремя и большим числом импульсов и существование оптимальных двухимпульсных перехватов для значений е > 0.295., где е - нулевое приближение эксцентриситета граничных орбит. Отметим, что перечисленные задачи энергетически оптимальных перелетов и перехватов ме?кду близкими орбитами рассматривались в постановке со свободным временем. Центральную роль в методах работ [9,6,45,48] играет структура множества достижимости и определение числа равных между собой абсолютных максимумов (ему как раз и равно оптимальное число импульсов) некоторой первоначально введенной В.А.Антоновым и А.С.Шмыровым [9] функции М (соответствующую функцию М, вводимую ниже в нашей работе, можно рассматривать и как аналог указанной функции для случая рассматриваемых нами задач).

В работах [47,49,50,51] сделана попытка разработки метода получения результатов глобального характера о числе импульсов в экстремальных задачах импульсных полетов и перелетов между круговыми орбитами. Однако в перечисленных работах были рассмотрены лишь простейшие задачи (компланарная постановка задач, свободное время движения, минимизировалась угловая дальность или длительность межорбитального участка при заданном расходе топлива). Поэтому возникла задача разработки методики качественного исследования оптимальных орбит и получения результатов глобального характера о числе импульсов в экстремальных задачах импульсных полетов и перелетов между круговыми орбитами в более приближенной к практической космонавтике постановке.

Перед диссертантом были поставлены следующие задачи:

1. Разработать методику качественного исследования импульсных орбит целых классов оптимальных межорбитальных маневров.

С помощью разработанной методики:

2. Исследовать качественные свойства оптимальных по времени орбит одноимпульсных полетов (перехватов) между круговыми компланарными орбитами с учетом времени движения по начальной орбите и их оптимальность в классе многоимпульсных полетов (перехватов).

3. Исследовать качественные свойства энергетически оптимальных орбит одноимпульсных полетов (перехватов) между круговыми компланарными орбитами при заданном времени старта и их оптимальность в классе многоимпульсных полетов (перехватов).

4. Исследовать качественные свойства минимальных по времени двухимпульсных орбит перелетов между круговыми некомпланарными орбитами и их оптимальность в классе многоимпульсных перелетов.

В большинстве опубликованных ранее результатов исследования подобных задач, как мы уже отмечали выше, основное внимание уделено разработке методов оптимизации и оптимизации конкретных космических маневров. В отличие от них данная работа посвящена качественному исследованию и анализу всего множества как глобально, так и локально оптимальных орбит, отвечающих всевозможным начальным конфигурациям космических объектов, всевозможным радиусам граничных орбит и всевозможным значениям заданного расхода топлива, если в задаче расход топлива задан, всевозможным взаимным наклонностям граничных орбит в случае некомпланарной постановки задачи.

Опишем разработанную методику качественного исследования импульсных орбит целых классов оптимальных межорбитальных маневров. Центральную роль здесь играет изучение оптимальности маневров с наименьшим возможным числом импульсов в классе многоимпульсных маневров. Для этого сначала все множество экстремальных орбит (с минимальным числом импульсов) изучаемого класса экстремальных маневров специальным образом параметризуется наименьшим числом параметров. Существенную роль играет редукция исходных задач с учетом времени движения по орбитам к некоторым задачам оптимизации со свободным временем. Так, ниже в задаче главы 2 такая редукция осуществляется за счет перехода к изучению соответствующей изопериметрической задачи.

В рамках задач в компланарной постановке после указанной редукции в качестве таких двух параметров могут быть взяты: эксцентриситет е кеплеровой орбиты перехода и истинная или эксцентрическая аномалия точки старта. Анализ уравнений экстремума позволяет теперь все множество стационарных орбит рассматриваемого класса охарактеризовать графиками зависимостей и2 — ^2(^1,е) или Е2 = 1?2(-Ет,е), где и -^1,-^2 - истинные и эксцентрические (для е < 1) аномалии точек старта, финиша соответственно. Перед построением всех таких графиков должен быть исследован вопрос о возможной оптимальности касательных импульсов и при неоптимальности их установлен возможный тип маневра (включает ли межорбитальный участок движения перицентр, апоцентр).

Для исследования (локальной) оптимальности данного импульсного межорбитального маневра (одноимпульсного перехвата или двухимпульсного перелета) в классе многоимпульсных разработан метод, построения которого напоминают метод доказательства принципа максимума Понтрягина. При этом роль игольчатых вариаций управления играют малые дополнительные импульсы. Такой подход позволяет естественным образом учесть граничные условия и избежать рассмотрения условий трансверсальности. Кроме того получаемые соотношения позволили явно вычислить максимум некоторого выражения, от которого зависит приращение минимизируемой функции, по части управлений — углам наклона тяги всех дополнительных импульсов и, тем самым, свести задачу определения оптимальности данного маневра в классе многоимпульсных к исследованию поведения получаемой после этого функции М. Наконец, также как и в работах [9,6,45,48] по анализу поведения введенной функции М можно сделать вывод (правда, здесь лишь предварительного характера ввиду локальности рассмотрений и использования линеаризованной теории приращений) о максимальном числе импульсов на оптимальных импульсных орбитах изучаемого класса экстремальных маневров. Вывод же о неоптимальности данного одноимпульсного перехвата или двухимпульсного перелета в классе многоимпульсных имеет глобальный характер вне зависимости от локальности наших построений.

Содержание диссертационной работы включает в себя данное введение, три главы, заключение и список литературы.

- 104 -Заключение.

Таким образом, в диссертационной работе получены следующие выносимые на защиту результаты.

1. Разработана методика качественного исследования импульсных орбит целых классов оптимальных межорбитальных маневров. С помощью разработанной методики исследованы:

2. Качественные свойства оптимальных по времени орбит одноим-пульсных полетов (перехватов) между круговыми компланарными орбитами с учетом времени движения по начальной орбите и их оптимальность в классе многоимпульсных полетов (перехватов).

3. Качественные свойства энергетически оптимальных орбит одно-импульсных полетов (перехватов) между круговыми компланарными орбитами при заданном времени старта и их оптимальность в классе многоимпульсных полетов (перехватов).

4. Качественные свойства минимальных по времени двухимпульс-ных орбит перелетов между круговыми некомпланарными орбитами.

1. Абалакин B.K. Основы эфемеридной астрономии. М.: Наука, 1979. S

2. Абалакин В.К., Аксенов Е.П., Гребеников Е.А., Демин В.Г., Рябов Ю.А. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. М.: Наука, 1976. 584 с. ;

3. Авербух А.И. О двухимпульсных переходах // Космические исследования. 1989. Т 27. Вып.4. С.509-513. ^

4. Агапонов C.B. Энергетически оптимальные импульсные переходы между прямолинейными орбитами // Вопросы механики и процессов управления. 1984. N 6(1). С.129-135.

5. Агапонов C.B. Глобально оптимальная компланарная жесткая встреча без ограничений на время // Вестник ЛГУ. 1985. N 15. С.83-85.

6. Агапонов C.B., Кирпичников С.Н., Слободзян И.Н. О числе импульсов в компланарной задаче энергетически оптимального полета между близкими кеплеровыми орбитами // Вестник ЛГУ. 1985. N 22. С.67-73.

7. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 432 с.

8. Баранов A.A., Терехова Е.О. Оптимальная четырехимпульсная встреча на компланарных почти круговых орбитах. // Космические исследования. 1995. Т.33. Вып.4. С.420-425.

9. Баранов A.A. О геометрическом решении задач встречи на близких почти круговых орбитах // Космические исследования.1988. Т.27. Вып.6. С. 808-816.

10. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: Изд-во Моск.ун-та. 1975. 308 с.

11. Бердышев Ю.И. О задачах одноимпульсного перехода и построении области безопасности в ньютоновском поле. // Космические исследования. 1993. Т.31. Вып.6. С.3-10.

12. Беттин Р. Наведение в космосе. М.: Машиностроение.1966.

13. Бобкова А.Н., Кирпичников С.Н. Зависимость между характеристической скоростью и длительностью оптимальных двухим-пульсных перелетов между круговыми орбитами // Вестник С.Петербург. ун-та. Сер.1. 1992. Вып.1. С.55-60.

14. Боярский М.Н., Щейхет А.И. Об одноимпульсном переходе с орбиты ИСЗ на условнопериодическую траекторию вокруг колли-неарной точки либрации системы Солнце-Земля // Космические исследования. 1987. Т.25. Вып.1. С.152-154.

15. Брекер Т., Ландер JI. Дифференцируемые ростки и катастрофы. М.: Мир, 1977. 208 с.

16. Брумберг В.А. К вопросу о построении энергетически оптимальных орбит // Бюлл. ИТА. 1961. N 8(94). С.1-10.

17. Гобец Ф.У., Долл Дж.Р. Обзор импульсных траекторий // Ракетная техника и космонавтика. 1961. N 7(5). С.3-101.

18. Григорьев К.Г., Григорьев И.С. Оптимальные траектории возвращения космического аппарата с реактивными двигателями большой ограниченной тяги от Луны к Земле // Космические исследования. 1995. Т.ЗЗ. Вып.5. С. 513-532.

19. Григорьев К.Г., Федына A.B. Оптимальные перелеты космического аппарата с реактивным двигателем большой ограниченной тяги между компланарными круговыми орбитами // Космические исследования. 1995. Т.ЗЗ. Вып.4. С.403-416.

20. Гроздовский Г.Л., Иванов Ю.Н., ТокаревВ.В. Механика космического полета. Проблемы оптимизации. М.: Наука, 1975. 704 с.

21. Гуляев В.И., Кошкин В.Л., Терехова Е.О. Оптимальные импульсные переходы между некомпланарными эллиптическими орбитами // Космические исследования. 1988. Т.26. Вып.4. С.527-534.

22. Гуляев В.И., Кошкин В.Л., Васильев A.B. Оптимальные многоимпульсные встречи математических точек, движущихся по круговым траекториям с большим отношением радиусов // Косм, наука и техн. Киев. 1988. N 3. С.76-82.

23. Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления.М.: Наука. 1977. 304 с.

24. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы.М.: Наука. 1963.

25. Джаблави А.И., Кузнецов Э.Д., Холшевников К.В. Оптимизация одноимпульсных полетов // Космические исследования. 1995. Т.ЗЗ. Вып.6. С.646-651.

26. Джаблави А.И., Холшевников К.В., Шмыров A.C. О неоптимальности прямолинейных импульсных полетов // Космические исследования. 1995. Т.ЗЗ. Вып.4. С.417-420.

27. Захаров Ю.А., Трушкин А.О. Оптимизация импульсных межорбитальных перелетов между кеплеровскими орбитами. В сб." прикл. небес, баллистика и проект, косм, аппаратов". М. 1989. С. 61-64.

28. Завамицин С.Г. Оптимальный по быстродействию межорбитальный перелет. В сб." Обобщенные функции в задачах управления и дифф. уравнениях", АН СССР УрО. Свердловск. 1992. С.17-29.

29. Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров М.: Наука. 1975. 392с.

30. Ивашкин В.В. Анализ упрощенной модели оптимального перехода между орбитами при ограниченном времени полета // Космические исследования. 1994. Т.19. Вып.З. С.33-46.

31. Ивашкин В.В., Райкунов Г.Г. Оптимизация двухимпульсного маневра встречи двух космических аппаратов на круговой орбите. Препр. ин-т прикл. мат. АН. N 119. 1989. С.1-28.

32. Ивашкин В.В., Райкунов Г.Г. Анализ оптимальности двухим-пульсных траекторий встречи двух аппаратов на круговой орбите // Космические исследования. 1993. Т.31. Вып.З. С.43-56.

33. Ивашкин В.В., Райкунов Г.Г. Многоимпульные траектории встречи двух космических аппаратов на круговой орбите // Космические исследования. 1994. Т.32. Вып.З. С.33-46.

34. Ивашкин В.В., Скороходов А.П. Анализ одной задачи определения оптимального маневра космического аппарата при ограничении на время перелета // В сб. " Труды 4 Научн. чтений по космонавтике". М.:ИИЕТ АН СССР. 1980. С. 199-206.

35. Ивашкин В.В., Скороходов А.П. Об алгоритме определения оптимального трехимпульсного перехода из точки на орбиту при ограниченном времени перелета // Космические исследования.1984. Т.22. Вып.1. С.3-12.

36. Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Ооптимальные перелеты космических аппаратов с двигателями большой тяги. М.: Наука. 1976. 744 с.

37. Кирпичников С.Н. Оптимальный некомпланарный межорбитальный одноимпульсный поле // Вестник ЛГУ. 1990. N 1(8). С.57-64.

38. Кирпичников С.Н. Энергетически оптимальные многоимпульсные апсидальные межорбитальные полеты // Вестник ЛГУ. 1990. N 1(1). С.63-37.

39. Кирпичников С.Н. О построении экстремальных импульсных космических траекторий. В сб. " совр. пробл. небесн. мех. и астродинамике", М.: Наука. 1973. с. 240-248.

40. Кирпичников С.Н. Оптимальные двухимпульсные полеты между близкими некомпланарными кеплеровыми орбитами // Вестник ЛГУ. 1989. N 1(15). С.75-82.

41. Кирпичников С.Н. О числе импульсов при энергетически оптимальном полете между компланарными кеплеровскими близкими орбитами // Вестник ЛГУ. 1980. N 19. С.50-53.

42. Кирпичников С.Н., Байков В.Ф. О числе импульсов при энергетически оптимальном полете между близкими кеплеровыми орбитами // Вестник ЛГУ. 1980. N 1(1). С.103-112.

43. Кирпичников С.Н., Бравая Г.Ю. Минимальные по угловой дальности импульсные полеты между круговыми компланарными орбитами // Вестник СПбГУ. 1992. N1(15). С. 50-55.

44. Кирпичников С.Н. О числе импульсов при минимальных по времени импульсных перелетах между круговыми компланарными орбитами. Математические методы исследования приборов исистем управления // Межвузовский сб. научн. трудов. Л.: Изд-во ЛИАП. 1990. С.72-77.

45. Кирпичников С.Н., Бобкова А.Н., Оськина Ю.В. Минимальные по времени импульсные перелеты между круговыми компланарными орбитами // Космические исследования. Вып.З. 1991. Т.29. С.367-374. .

46. Кирпичников С.Н. Минимальные по времени межорбитальные траектории при заданных величинах расхода массы // Бюлл. ИТА. Т. 10. 1965. N 1(114). С.27-43.

47. Кирпичников С.Н. Оптимальные траектории между материальными точками, движущимися по одной и той же орбите // Космические исследования. 1966. Т.4. Вып.4. С.522-534.

48. Кирпичников С.Н. Компланарный оптимальный полет между орбитами с учетом внутреннего запаса массы, пропорционального времени полета // Вестник ЛГУ. 1964. N 7. С.116-129.

49. Коваленко А.Н. Вариации орбитальных элементов при импульсном управлении траекторией // Вестник СПбГУ Сер.1. 1996. N 7. С.106-111.

50. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука. 1973. 448с.

51. Красинский Г.А. Оптимальный переход между близкими кепле-ровыми орбитами // Бюлл. ИТА. 1964. N 9(6). С.425-439.

52. Кубасов В.Н., Дашков А.А. Межпланетные полеты. М." Машиностроение. 1979. 272с.

53. Кузмак Г.Е. Линеаризованная теория оптимальных многоимпульсных плоских перелетов // Космические исследования. 1965. Т.З. Вып.1. С.3-26.

54. Лашкин В.И. Об обобщенных перелетах и неоптимальности чисто радиальных импульсов // Космические исследования. 1985. Т.23. Вып.4. С.579-586.

55. Ливанов Л.Б. Применение теорем Годала при исследовании двух- Ill импульсных перелетов между заданными точками некомпланарных орбит // Космические исследования. 1998. Т.35. Вып.4. С.427-433.

56. Лоуден Д.Ф. Импульсный переход между эллиптическими орбитами //В сб." Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета" под ред. Дж. Лейтмана. М. Наука. 1965. С.387-415.

57. Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации. М.: Мир. 1966. 152 с.

58. Нариманов Г.С., Тихонравов М.К. Основы теории полетов космических аппаратов. М.: Машиностроение . 1972. 608с.

59. Новоселов B.C. Аналитическая теория оптимизации в гравитационных полях. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1972. 320 с.

60. Новоселов B.C. Оптимальная двухимпульсная возмущенная траектория перехода между компланарными около круговыми орбитами // Вестник ЛГУ. 1991. N 1(1). С.84-88.

61. Новоселов B.C. Оптимальный двухимпульсный перелет между орбитами с малыми наклонностями и эксцентриситетами. // Бюлл. ИТА. 1963. 9(5). С.295-309.

62. Новоселов B.C. Импульсный перелет между некомпланарными круговыми орбитами со слабым ограничением на длительность //В сб." Пробл. мех. управл. движения: Нелинейн. динам, системы." Перм. гос. ун-т. Пермь. 1991. С.84-89.

63. Новоселов B.C. Оптимизация траектории перехода между близкими компланарными круговыми орбитами с ограничением на длительность // Вопросы механики и процессов управления. 1990. N 13. С.129-134.

64. Новоселов B.C. Оптимальная траектория импульсного компланарного перехода между близкими компланарными орбитами со слабым ограничением на время // Вестник ЛГУ 1989. N 1(1). С.76-80.

65. Новоселов B.C. Новая ветвь экстремального двухимпульсного перехода между орбитами с малым взаимным наклонением и малыми эксцентриситетами // Вестник СПбГУ Сер.1. 1996. N 1. С. 91-95.

66. Новоселов B.C. Импульсный переход между компланарными эллиптическими орбитами с участком круговой орбиты ожидания // Исследования космического пространства. 1996.

67. Новоселов B.C. Общая схема аналитических приближений экстремальных переходов между орбитами с малыми взаимными наклонениями и эксцентриситетами // Вестник СПбГУ Сер.1. 1997. N 1. С.82-87.

68. Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г., Тараканов А.О. Оптимизация одного класса межорбитальных переходов методами теории катастроф // Изв. РАН, Техн. кибернет. 1992. N 2. С. 77-81.

69. Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета. М.: Наука. 1990. 448 с.

70. Пономарев В.М. Теория управления движением космических аппаратов. М.: Наука. 1965. 456 с.

71. Прассинг Дж. Е., Чу Чженхуа. Оптимальная многоимпульсная программа, обеспечивающая встречу объектов на круговых орбитах за фиксированное время // Аэрокосм. техн. 1986. N 8. С. 131-142.

72. Райдер JI. Необходимая характеристическая скорость для перелета между некомпланарными круговыми орбитами с помощью импульсов тяги // Ракетная техника и космонавтика. 1961. N 31(3). С. 78-86.

73. Скороходов А.П. Сравнение энергетики оптимальных маневров с двухимпульсными в некоторых задачах перехода из точки на орбиту // Космические исследования. 1984. Т.22. Вып.5. С.693-701.

74. Соколов JI.JL, Титов В.Б. О построении траекторий КА с гравитационными маневрами // В сб. "Прикл. небесн. мех. и упр. движением: Труды 13 Научн. чтений по космонавтике". Москва. Январь. 1989.

75. Субаев И.А. Оптимальные двухимпульсные перелеты в точку либрации L2 системы Солнце-Земля с использованием асимптотических траекторий // Вестник МГУ. 1991. N 3(5). С. 102-104.

76. Субботин М.Ф. Ведение в теоретическую астрономию. М.: Наука. 1968. 800с.

77. Суханов A.A. Универсальное решение задачи Ламберта. // Космические исследования. 1988. Т.26. Вып.4. С.483-491.

78. Цандер Ф.А. Проблема полета при помощи реактивных аппаратов: межпланетные полеты. М.: Оборонгиз. 1961. 460 с.

79. Циолковский К.Э. Труды по космонавтике. М.: Машиностроение. 1967. 376 с.item 86. Парный В.И. Об оптимальных траекториях со многими импульсами. В сб. "Искусственные спутники Земли". Вып.16. М.: Изд. АН СССР, 1963. С.257-264.

80. Челноков Ю.Н., Сапунков Я.Г. Построение оптимальных управлений и траекторий космического аппарата на основе регулярных кватернионных уравнений задачи двух тел // Космические исследования. 1996. Т.34. Вып.2. С.150-158.

81. Челноков Ю.Н. Построение оптимальных управлений и траекторий движения космического аппарата, использующее кватерни-онное описание пространственной ориентации // Космические исследования. 1997. Т.35. Вып.5. С.534-543.

82. Штенфельд A.A. Введение в космонавтику. М.: Наука. 1974.

83. Эскобал П. Методы астродинамики. М.:Мир. 1971. 344 с.

84. Baker J.M. Approximate solution to lawdens problem // Guid. Contr. and Dyn. 1995. N 18(3). P. 646-648.

85. Bell D.J. Optimal space trajectories — a review of published works // Aeronaut.J. 1968. N 72(686). P.141-146.

86. Cochran John E., Haynes Davy A. Constrained initial guidance algorithm // Guid. Contr. and Dyn. 1990. N 13(2). P.193-197.

87. Contensou P. L'optimisation des trajectoires // Techn. et sei. aeronaut, et spat. 1962. N 6. P. 505-513.

88. Contensou P. Etude Theorigue des trajectoires optimales dans un champ de gravitation, application au cas d'un centre d'attraction unique // Astronaut. Acta. 1962. N 8(2-3). P.134-150.

89. Eckel K. Optimum transfer in a central field with n impulses // Astronaut. Acta. 1963. N 9(5-6). P. 302-324.

90. Edelbaum T.N. How many impulses? // AIAA Paper. 1966. 18. P.66-67.

91. Gage P.J., Braun R.D., Kroo I.M. Interplanetary trajectory optimization using the genetic algorithm //In AI A A/AAS Astro-dyn. Conf. Scottsdale, Ariz, Aug. 1994. P.538-547.

92. Hempel P.R. A class of two-impulse transfers //In AIAA/AAS Astrodyn. Conf., Hilton, Head Island, S.C., p. Washington, Aug.1992. 406-416.

93. Hiday L.A. Howell K.C. Impilsive time-free transfers between halo orbits // In AIAA/AAS Astrodyn. Conf., Hilton Head Island, S.C. Washington, Aug. 1992. P. 424-434.

94. Hiller H. Optimumtransfers between non-coplanar circlar orbits // PSS. 1965. N 13(2). P. 147-161.

95. Hohmann W. Die Erreichbarkeit der Himmelskörper. München: Adenburg, 1925.

96. Homer H. Optimum impulsive orbital transfers between coplanar orbits. ARS Journal, N 32(7), p. 1082-1089, 1962.

97. Homer H. Optimum two-impulse transfer between arbitrary coplanar terminals. ARS Journal, N 32(1), p. 95-96, 1962.

98. Ide K., Fujiwara T. Multi-impulse minimal energy orbit transfer in interplanetary flight // Proc.l4th Int.Sump. Space Technol. and Sei., Tokyo. 1984. P. 363-391.

99. Kornhauser A.L., Lion P.M. Analytical guidance in the neighbourhood of the optimal multi-impulse trajectories // Celestial Mech. V.5. 1972. N 3. P.282-299.

100. Lawden D.F. Optimal escape froma cirrular orbit // Astronaut. Acta. Vol.4. 1958. N 3. P. 218-233.

101. Lion P.M., Handelsman M. The primer vector on fixed-time impulsive trajectories // AIAA J. 1968. V.6. N 1. P.127-132.

102. Long R.S. Transfera between non-coplanar elliptical orbits. Astronaut. Acta. 6(Fasc. 2-3). 1960. P. 167-178.

103. Marchai C. Optimization of space trajectories // In The 27th Astronautical Cong. Anaheim. 1976. Oxford e.a. 1977.

104. Marchai C. Transfers optimaux entre orbites ellptiques coplanaires duree indifférente // Astronaut. Acta. 1965. N 11(6). P. 1152-1157.

105. Marec J.-P. TRansferts orbitaux économiques (orbites elliptiques coplanaires coaxialles duree non limitee) // Rech. aérospatiale,v. 105. 1965. P. 11-21.

106. McGue G.A. Optimum two-impulse transfer and rendezvours between two inilined ellitical orbits // AIAA. 1963. N 1(8). P. 1876-1872.

107. Minkoff M., Lion P.M. Optimal multi-impulse rendezvours trajectories. 19th Congress of the International Astronautical Federation // N.Y. 1968. Paper AD 143.

108. Meyer J.L., Silverberg L.J., Fuel optimal propulsive maneuver of an experimental structure exhibiting spacelike dunamics // Guid. Contr. and Dyn. V 19. 1996. N1. P. 141-149.

109. Nakai H. Mean elements of pluto. Tokyo Astron. Obs. Rept., N20(3), 1985.

110. Prussing J.E. Optimal two- and three- impulse fixed-time rendezvour in the vicinity of a circular orbit // AIAA Journal. V.3. 1970. N7. P, 1221-1228.

111. Prussing J.E., Heckathorn W.G. Optimal impulsive time-fixed direct ascent inteception//AIAA/A AS Astrodyn. Conf. Vail, Colo. 1986. Место хранения ГПНТБ. С. 151.

112. Seetharams М., Shankar G.S., Shrivastava S.K. A two-impulse fuel optimal rendezvous // In 43rd cong. IAF and 29th Pen. Meet. COSPAR, Washington, D.C. 1992. Aug-Sept 1992.

113. Taur Der-Ren, Coverstone-Carrol Victoria, Prussing J.E. Optimal impulsive time-fixed opbital rendezvous and interception with path constraints // Guid. Contr. and Dyn. V 18. 1995. N1. P. 54-60.

114. Taur Der-Ren, Prussing J.E. Optimal impulsive time-fixed opbital rendezvous and interception with path constraints //In AIAA / AAS Astrodyn. Conf. Portland. 1990. P. 899-906.

115. Ting Lu Optimum orbital transfer by several impulses. Astronaut. Acta. V.6. 1960. N 5. P. 256-265.

116. Vasudevan G., Lutze F.H., Watson L.T. A homotopy method for space flight rendezvous problems. In San Diego, Stowe, Aug. 1990. P. 533-548. AAS/AIAA Astrodyn. Cent. 1989.

117. Vinh N.X., Chang D.I., Sheu D.L. Time-constrained optimal transfers between orbits //In 43rd congr. IAF and 29th plen. Meet. COSPAR, Washington, D.C., 1992, Aug-Sept 1992.

118. Yuan Fuyin, Matsushima Koichi. Stronf hohmann transfer theorem // Guid. Contr. and Dyn. V.18. 1995. N 2. P. 371-373.