Проблемы оптимизации многовитковых траекторий перелётов космического аппарата с реактивным двигателем ограниченной тяги тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-матсматичсский фак

□03056672

На правах рукописи

РЫЖОВ Сергей Юрьевич

ПРОБЛЕМЫ ОПТИМИЗАЦИИ МНОГОВИТКОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ ПЕРЕЛЁТОВ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С РЕАКТИВНЫМ ДВИГАТЕЛЕМ ОГРАНИЧЕННОЙ ТЯГИ

Специальность: 01.02.01 — теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2007 г.

003056672

Работа выполнена на кафедре теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель:

кандидат физико-математических паук, доцент кафедры вычислительной математики механико-математического факультета И. С. Григорьев

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В. В. Ивашкин

кандидат технических наук, В. Г. Петухов

Ведущая организация: Институт Проблем Механики РАН

Защита диссертации состоится "<йЛ (-¿г. в 16.00 на заседании диссертационного совета Д.501.001.22 в МГУ по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан ^ п_2007 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.501.001.22 кандидат физико-математических наук, доцент

Прошкин В. А.

1 Актуальность темы

Разработка реальной технической системы управления движением центра масс космического аппарата (КА) при перелетах между орбитами искусственного спутника Земли, предполагает возможность системной оценки её проектных вариантов. Для такой оценки требуется решать соответствующие математические задачи оптимального управления движением центра масс КА при различного рода критериях оптимальности и максимально приближенных к реальности предположениях. Диссертация посвящена решению задач оптимального управления многовитковыми перелетами КА между орбитами ИСЗ. Исследуются оптимальные плоские и пространственные траектории перелётов КА с реактивным двигателем ограниченной тяги, управляемого посредством вектора тяги. Рассматриваются перелеты с минимальными затратами массы при ограниченном времени перелета. Исследование проводится численно-аналитически на основе принципа максимума Понтрягина и представляет не только практический, но и самостоятельный теоретический интерес.

2 Цель работы

Целью настоящей работы является исследование указанных задач оптимального управления, разработка методики численно-аналитического решения такого класса задач оптимального управления и построение конкретных многовитковых траекторий межорбитальных перелетов КА, удовлетворяющих необходимым условиям оптимальности (принципу максимума).

3 Научная новизна

Получаемые краевые задачи принципа максимума имеют много решений. Возможность многократного включения и выключения двигателя КА вносит значительные вычислительные трудности при численном построении решений краевой задачи, так как необходимо очень точно определять точки переключения тяги, число которых может быть достаточно велико. Структура траектории (т.е. количество активных участков) в процессе решения краевой задачи может изменяться, поэтому частные производные вектор-функции невязок по начальным значениям сопряженных переменных терпят разрыв. Всё это делает решение задачи очень чувствительным к изменению краевых условий. Предложенная в работе методика включает устойчивый численный метод, позволяющий получить экстремали с большим числом активных участков (до ста включительно) — решить соответствующие им нелинейные краевые задачи высокого порядка (десятого в плоском и четырнадцатого в пространственном случае) с разрывными в неизвестные заранее моменты времени правыми частями дифференциальных уравнений. Определенные на основе принципа максимума плоские и пространственные миоговитковые траектории перелетов КА с реактивным двигателем ограниченной тяги между орбитами ИСЗ исследованы впервые.

4 Практическая и теоретическая ценность

Работа носит теоретический характер. Полученная в работе информация об оптимальных многовитковых траекториях межорбитальных перелетов КА может быть

использована при создании и оценках реальных систем управления движением центра масс КА с реактивным двигателем большой ограниченной тяги, а методика численно-аналитического решения такого рода задач оптимального управления (нелинейных, большой размерности, с большим количеством точек разрыва правых частей системы дифференциальных уравнений) может быть применена и при решении других оптимизационных задач.

5 Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

1. XXVII Академические чтения по космонавтике, посвященных памяти академика С.П. Королева и других выдающихся отечественных ученых — пионеров освоения космического пространства (Москва, 2003г.).

2. Ломоносовские чтения (мех-мат фак-т МГУ, 2003г., 2004г.).

3. XXXVIII Научные чтения памяти К.Э. Циолковского (Калуга, 2003г.).

4. Пятый международный симпозиум по классической и небесной механике (Великие Луки, 2004г.).

5. Межкафедральный научно-исследовательский семинар по механике космического полета им. В.А. Егорова под руководством: В.В. Белецкого, В.В. Сазонова, М.П. Заплстина (МГУ, 2003-2007г.).

6. Семинар "Прикладные задачи оптимального управления и численные методы" под руководством: И.С. Григорьева, М.П. Заплетипа (мех-мат фак-т МГУ, 20022007г.).

7. Семинар отдела прикладной небесной механики и процессов управления ИПМ им. М.В. Келдыша под руководством: В.В.Ивашкина, В.В. Сазонова (ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 200Сг.).

8. Семинар лаборатории механики управляемых систем ИПМ РАН под руководством Ф.Л. Черноусько (ИПМ РАН, 2006г.).

6 Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Рыжов С.Ю. Оптимизация траекторий перелета космического аппарата между орбитами искусственного спутника Земли // Сборник тезисов докладов XXVII академических чтений по космонавтике, посвященных памяти академика С.П.Королева и других выдающихся отечественных ученых — пионеров освоения космического пространства, Москва, 29 января — 4 февраля 2003г. -М.:"Война и мир", 2003, с. 72-73.

2. Рыжов С.Ю. К проблеме многовитковых перелетов космического аппарата // Тезисы докладов научной конференции Ломоносовские чтения. Секция механики. 17-27 апреля 2003, Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова - М.: Изд-во Московского университета, 2003, с. 117.

3. Рыжов С.Ю. Оптимизация многовитковых траекторий перелета космического аппарата между орбитами искусственного спутника Земли // XXXVIII научные чтения памяти К.Э. Циолковского: тезисы докладов - Калуга: ИД "Эйдос", 2003, с. 80-81.

4. Рыжов С.Ю., Григорьев И.С., Григорьев К.Г. Метод построения начального приближения для решения задач оптимизации многовитковых траекторий перелета КА между' круговыми компланарными орбитами ИСЗ // Тезисы докладов научной конференции Ломоносовские чтения. Секция механики. 19-28 апреля 2004, Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова - М.: Изд-во Московского университета, 2004, с. 133.

5. Рыжов С.Ю. Метод построения оптимальных многовитковых межорбитальиых перелетов КА // Пятый международный симпозиум по классической и небесной механике. Август 2004, Великие Луки: Тезисы докладов, Великие Луки, 23-28 августа 2004г - Москва-Великие Луки: ВЦ РАН, 2004, с. 173-174.

6. Рыжов С.Ю., Григорьев И.С., Егоров В.А. Оптимизация многовитковых межорбитальных перелетов КА // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша. №64, 2005г.

7. Рыжов С.Ю., Григорьев И.С. К проблеме решения задач оптимизации многовитковых траекторий межорбитальных перелетов КА // Космические исследования, 2000, Т.44, №3, с. 272-280.

7 Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и приложения. В работе 97 страниц, 34 рисунка и 18 таблиц.

8 Содержание работы

Во введении представлен обзор близких к рассматриваемым в работе задач и работ, посвященных их решению. Рассмотрена общая постановка задачи и определена схема проведения исследования, состоящая из трех этапов (рис.1):

1. На основе решений соответствующих задач импульсной постановки строятся многовитковые экстремали с заданным количеством активных участков (каждый импульс реализуется за конечное фиксированное число активных участков). При этом ограничение на время перелета неактивно. В результате, после первого этапа решения задачи, получены экстремали различной структуры (рис.1а).

2. На втором этапе осуществляется продолжение семейств экстремалей "вправо" (рис. 16). Это продолжение соответствует добавлению пассивного участка в конце траектории. На этом этапе также из рассмотрения исключаются траектории, оказавшиеся хуже (в смысле функционала) других семейств, на рисунке 1 это семейства 2-2 и 5-1.

3. На третьем этапе, для завершения исследования, полученные семейства экстремалей продолжаются "влево". При этом решаются вспомогательные задачи с активным ограничением времени перелета. Продолжение осуществляется с использованием метода продолжения решения по параметру. В качестве параметра продолжения используется ограничение на время перелета Т*. Продолжение осуществляется до пересечения с соседним семейством экстремалей. В результате третьего этапа оказывается построена кривая лучших экстремалей, определяющая среди полученных экстремалей лучшую по функционалу для любого заданного времени перелета (рис. 1с). Отметим, что в случае доказательства оптимальности экстремалей, эта кривая определяет границу области достижимости и является множеством Парето.

») б) с)

Рис. 1: Этапы исследования задачи.

В главе 1 рассмотрены методы решения краевых задач принципа максимума для задач ракетодииамики и способы построения начального приближения на основе решений задач импульсной постановки. Предложена модифицированная вычислительная схема для решения рассматриваемых задач, включающая в себя алгоритм построения начального приближения на основе решения задачи импульсной постановки:

1. вся траектория разбивается на фиксированную последовательность активных и пассивных участков;

2. в вектор параметров пристрелки включаются все фазовые и сопряженные переменные в начале всех активных и пассивных участков, а также их продолжительности (используется аналог метода многоточечной пристрелки), а в вектор-функцию невязок — краевые условия исходной краевой задачи принципа максимума, условия стыковки по непрерывности участков траектории и условия переключения тяги;

3. при интегрировании задачи Когаи считается, что на активных участках тяга всюду включена и максимальна, а на пассивных — выключена, то есть управление по величине тяги задается, а не выбирается из условий оптимальности. На всех получаемых траекториях проверяется условие оптимальности по величине тяги.

4. При построении начального приближения сопряженные переменные полагаются равными сопряженным переменным п соответствующем импульсном решении, фазовые переменные вычисляются из импульсного решения в предположении, что каждый импульс реализуется равномерно за заданное количество активных

участков. Продолжительности активных участков вычисляются из расходного уравнения для массы, пассивных — полагаются равными периодам обращения по соответствующим кеплеровским орбитам.

В главе 2 рассмотрена плоская, а в главе 3 — пространственная задача перелета между круговыми орбитами ИСЗ. Представлены математические постановки задач. Записаны необходимые условия оптимальности первого порядка (принцип максимума). В соответствии с предложенной модифицированной вычислительной схемой метода стрельбы приведены компоненты векторов параметров пристрелки и вектор-функций невязок, а также формулы построения начального приближения на основе решения задач в импульсной постановке для построения решений соответствующих как двух-, так и трехимпульсной схемам перелета.

В главе 4 представлены результаты численного решения и проведен их анализ.

Предложенная вычислительная схема и способ построения начального приближения позволяет построить экстремали в рассматриваемых задачах. При этом метод Ныотона сходится достаточно быстро. В таблице 1 приведены размерности векторов параметров пристрелки и вектор-функций невязок для траекторий различных структур, а также количество итераций метода Ныотона, необходимое для получения экстремалей этих структур в пространственном случае.

Таблица 1: Количество итераций метода Ныотона (Л0 = 6.58 тыс. км, Лт = 7.0 тыс. км, г = 0.1)_

структура размерность вектора параметров пристрелки По = 0.1 п0 = 0.05

5-5 285 3 3

10-10 585 4 3

25-25 1485 4 4

На рисунке 2 показана характерная многовитковая траектория перелета КА на ГСО структуры 10-5 (10 активных участков в окрестности перицентра, 5 — апоцентра) и соответствующая функция переключения в плоском случае.

Результаты решения задачи в плоском случае представлены на рисунках 3, 4. Полученные траектории хорошо приближают импульсное решение по затратам массы. Для низких конечных орбит отличие конечной массы на экстремалях от конечной массы в импульсном решении менее 10~3, для высоких — менее 10~2.

Отличие экстремалей при неактивном ограничении на время перелета от экстремалей с активным ограничением представлено на рисунке 5.

Анализ свойств многовитковых экстремалей с неактивным ограничением времени перелета позволил предложить "простую" схему построения траекторий, близких к экстремальным.

Пусть задана структура траектории а — Ь. Рассмотрим следующую схему перелета:

• в начальный момент времени аппарат находится на многообразии:

г(0) = До, <*>(0) = 0, и(0) = 0, и(0) = У0;

• задаются 3 угла: а, Р, 7;

• сначала идут а активных участков в окрестности перицентра протяженностью по угловой дальности а, тяга максимальна и направлена по касательной к вектору скорости;

Рис. 2: Траектория структуры 10—5 (До = 6.58 тыс. км, Лт = ^ГСО)' Тонкие линии соответствуют движению КА с выключенным двигателем (пассивные участки), толстые — с включенным (активные участки).

ш(Т)

Этап I

Т,с

т(Т)

м_С

« 5СТОО ¿ЮОС-

Этап Ш

Т,с

Рис. 3: Зависимость конечной массы от времени перелета (Я0 = 6.58 тыс. км, Ят = 10.0 тыс. км, п0 = 0.08, С = 3.255 км/с)

• затем идут Ь активных участков в окрестности апоцентра протяженностью /3, тяга максимальна и направлена под постоянным углом 7 к радиус-вектору положения КА;

• при этом середины всех активных участков находятся на одной прямой — линии апсид переходных орбит;

• условия в конце траектории: г = Нт, и = 0, V = Ур.

При использовании такой схемы построения траектории в качестве независимой переменной вместо f можно рассматривать угол <р.

Таким образом, определена краевая задача — требуется найти неизвестные параметры а, /3, 7, такие что траектория, построенная по указанной выше схеме, переведет КА с исходной круговой орбиты на конечную круговую орбиту.

Полученные таким способом траектории оказываются близкими по затратам массы и времени к экстремальным траекториям с одинаковой структурой. При решении краевой задачи принципа максимума построение экстремалей Понтрягина с большим количеством витков требует значительных вычислительных затрат. Предложенная схема позволяет строить траектории с большим количеством витков значительно быст-

о.?ео

ш(1) м

Этап I

Т,с

П1(Т>

Этап III

Т,с

а мню Л-(ША гетоос зеоооп

л-ш ¡шя

Рис. 4: Зависимость конечной массы от времени перелета (Яд = 6.58 тыс. км, Ят =ГСО, п0 = 0.08, С = 3.255 км/с)

Рис. 5: Характерные траектории при неактивном и активном ограничении времени перелета.

рее. Для примера были построены траектории состоящие из 200 витков для различных значений Ят, среди которых выделены лучшие по функционалу (табл. 2).

Отмстим, что с помощью рассмотренной схемы строятся траектории, обладающие основными свойствами экстремалей Понтрягина рассматриваемых задач, и какой-либо оптимизации при их построении не производится. Получаемые траектории оказываются близкими по функционалу к экстремальным и позволяют оценить диапазон структур мпоговитковых траекторий при проведении первого этапа исследования задачи.

Результаты решения задачи в плоском случае представлены на рисунках 7-11.

Для низких конечных орбит (рис. 7) и небольших значений начального наклонения оптимальными оказываются экстремали, соответствующие двухимпульсной схеме перелета. С увеличением угла некомпланарпости оптимальными становятся экстремали соответствующие трехимпульсной схеме. При этом, такие семейства экстремалей быстро становятся эффективнее самого двухимпульсного перелета, а значит и любой экстремали, соответствующей двухимпульсной схеме.

Для высоких конечных орбит (рис. 8) при небольших углах некомпланарности также выгоднее экстремали с двухимпульсной схемой перелета. По сравнению с низкими конечными орбитами при больших значениях начального наклонения, для высоких конечных орбит область оптимальности экстремалей, соответствующих двухимпульсной схеме, оказывается шире.

Также как и в плоском случае, для высоких конечных орбит из рассмотренных экстремалей, соответствующих двухимпульсной схеме, выгоднее оказываются траек-

Рис. 6: "Простая" схема.

Таблица 2: Лучшие построенные по "простой схеме" траектории состоящие из 200 витков ( Др — 6.58 тыс. км; п0 = 5 • 10~4; С = 14.715 км/с )_

яг, тыс. км лучшая структура т(Т) а, рад Р, рад 7, рад а0 /3° 7°

10 125-75 0.905684319 1.4872 1.0444 1.5707 85.21 59.84 89.99

15 147-53 0.840479849 2.2317 1.1765 1.5714 127.87 67.41 90.03

20 159-41 0.806323077 2.5318 1.0598 1.5726 145.06 60.72 90.10

25 168-32 0.785530852 2.6623 0.9842 1.5740 152.54 56.39 90.18

30 173-27 0.771739573 2.7561 0.8672 1.5756 157.91 49.69 90.27

35 177-23 0.762060727 2.8122 0.7864 1.5773 161.12 45.06 90.37

40 180-20 0.754991736 2.8518 0.7182 1.5791 163.40 41.15 90.47

кгс,о 181-19 0.752408938 2.8677 0.6858 1.5799 164.31 39.29 90.52

тории структуры вида п-1. В то время, как для низких — эффективными могут быть и траектории другого вида (п-2, п-3, и т.д.). Это объясняется тем, что чем больше радиус конечной орбиты, тем меньше затраты массы зависят от начального наклонения орбит и для больших радиусов конечной орбиты выбор наилучшей структуры траектории во многом аналогичен выбор}' структуры в двухмерном случае.

Результаты третьего этапа представлены на рисунках 9-10.

Таким образом, в пространственной задаче исследованы экстремали Понтрягина, соответствующие как двух-, так и трсхимпульсной схемам перелета. Для любого заданного времени перелета среди полученных экстремалей определена лучшая по значению конечной массы траектория.

Как частный случай пространственного перелета рассмотрена задача оптимизации поворота плоскости орбиты (Л0 = /?т). Результаты представлены на рисунке 11. Отметим, что в импульсной постановке оптимальным по затратам массы решением для любого угла поворота будет трехимпульсный перелет.

В приложении рассмотрены соответствующие задачи импульсной постановки. Результаты их решения были использованы для построения начального приближения и оценки оптимальности полученных решений.

шГП

деухимпульсное решение

и .. .•••"••*«:"•.

ч й.....

м.......

м

4-1

1-1-1

¡=1.0 рад.

1=0.5 рад.

Т,с

Т,с

¡=1.5 рад.

двухимпульсиов решение

/. |ПП\\-

Рис. 7: Этап I. Зависимость конечной массы и времени перелета от структуры траектории ( Яо = 6.58 тыс. км, Ят = 10.0 тыс. км, щ = 0.08, С = 3.255 км/с)

деухимпульсное решение

¡=0.5 рад.

¡=1.5 рад.

?М*4 М4М 75М* 1ММ4 ЛШ**

Рис. 8: Этап I. Зависимость конечной массы и времени перелета от структуры траектории ( П,0 = 0 58 тыс. км, Ят =ТСО, п0 = 0.08, С = 3.255 км/с)

t.J? -,-,-,-г-,-,

« 1е»м гомв leM» 4iw smmw (лесе

Рис. 9: Этап III. Зависимость конечной массы и времени перелета от структуры траектории ( По = 6.58 тыс. км, Яг = Ю.О тыс. км, л0 = 0.08, С = 3.255 км/с)

Рис. 10: Этап III. Зависимость конечной массы и времени перелета от структуры траектории ( Rg = 6.58 тыс. км, Дт= ГСО, п0 = 0.08, С = 3.255 км/с)

Рис. 11: Этап III. Зависимость конечной массы и времени перелета от структуры траектории ( До = Ят = 10.0 тыс. км, щ = 0.08, С = 3.255 км/с)

Основные положения, выносимые на защиту

1. Предложен алгоритм исследования на основе принципа максимума Л. С. Понт-рягина задач оптимального управления многовитковьши межорбитальными перелетами КА с реактивным двигателем ограниченной тяги.

2. Разработана соответствующая рассматриваемым задачам методика численного решения краевых задач (краевых задач принципа максимума) для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений большого порядка (десятого порядка в плоском случае и четырнадцатого — в пространственном) с разрывами правых частей (переключениями тяги) в неизвестные заранее моменты времени, с неизвестными заранее конечными и/или начальными моментами времени и краевыми условиями. Методика включает в себя:

• модифицированную для данного типа задач вычислительную схему метода стрельбы;

• алгоритм построения начального приближения параметров пристрелки в методе стрельбы на основе импульсных решений рассматриваемых задач.

3. С использованием разработанной методики построены конкретные многовитко-вые траектории перелетов КА, удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности (принципу максимума), в задачах оптимизации перелетов:

• между круговыми компланарными орбитами;

• между круговыми нскомпланарными орбитами (двухимпульсная схема перелета);

• между круговыми нскомпланарными орбитами (биэллиптическая схема перелета);

• поворота плоскости орбиты. Представленные результаты получены впервые.

4. На основе решенных задач предложена простая схема построения многовитко-вых траекторий плоских перелетов, близких по функционалу к экстремальным. Построение таких траекторий с любым наперед заданным числом активных участков сводится к решению краевой задачи с тремя неизвестными.

Основные обозначения

Введение

1 Вычислительные основы решения задач оптимизации траекторий перелетов КА с реактивным двигателем ограниченной тяги

1.1 Краевые задачи принципа максимума.

1.2 Построение начального приближения для краевых задач принципа максимума в задачах ракетодинамики

1.3 Вычислительная схема численного решения задачи.

1.4 Особые управления.

2 Задача оптимизации многовитковых межорбитальных перелётов между круговыми компланарными орбитами ИСЗ

2.1 Постановка задачи.

2.2 Условия принципа максимума.

2.3 Краевая задача.

2.4 Анализ краевой задачи.

2.5 Вычислительная схема решения краевой задачи.

3 Задача оптимизации многовитковых межорбитальных перелётов между некомпланарными круговыми орбитами ИСЗ

3.1 Постановка задачи.

3.2 Условия принципа максимума.

3.3 Краевая задача.

3.4 Анализ краевой задачи.

3.5 Вычислительная схема решения краевой задачи. Двухимпульсный перелёт.

3.6 Вычислительная схема решения краевой задачи. Трехимпульсный перелёт.

4 Результаты и качественный анализ полученных решений

4.1 Задача оптимизации многовитковых межорбитальных перелётов между круговыми компланарными орбитами ИСЗ

4.1.1 Результаты решения краевой задачи.

4.1.2 Анализ полученных результатов.

4.1.3 "Простая" схема.

4.2 Задача оптимизации многовитковых межорбитальных перелётов между некомпланарными круговыми орбитами ИСЗ.

4.2.1 Результаты решения краевой задачи.

4.2.2 Анализ полученных результатов.

4.3 Задача оптимизации поворота плоскости орбиты ИСЗ.

4.4 Оценка точности полученных решений.

А Задачи оптимизации межорбитальных космических перелётов в импульсной постановке

А.1 Общие сведения.

А.2 Импульсная постановка задач ракетодинамики.

А.З Краевая задача. Плоский случай. Два импульса.

А.3.1 Постановка задачи.

А.3.2 Необходимые условия оптимальности.

А.3.3 Краевая задача.

А.4 Краевая задача. Пространственный случай. Два импульса.

А.4.1 Постановка задачи.

А.4.2 Необходимые условия оптимальности.

А.4.3 Краевая задача.

А.5 Краевая задача. Пространственный случай. Три импульса.

А.5.1 Постановка задачи.

А.5.2 Необходимые условия оптимальности.

А.5.3 Краевая задача.

В работе рассматриваются математические проблемы оптимизации многовитковых траекторий перелётов космического аппарата (КА) с реактивным двигателем ограниченной тяги (РДОТ) в гравитационном поле в вакууме. Решаются задачи о многовитковых перелетах с минимальными затратами массы при ограниченном времени перелета. Исследование проводится на основе принципа максимума Понтрягина. Краевые задачи принципа максимума решаются численно методом стрельбы (пристрелки). Предлагаются вычислительные схемы решения краевых задач и согласованные с ними способы выбора начального приближения. Определяются удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности (принципу максимума) многовитковые траектории перелетов КА между орбитами ИСЗ в плоской и пространственной задачах. Из полученных экстремалей для заданного времени перелета определяется лучшая по функционалу траектория.

За последние 400 лет закономерности движения объектов по орбитам под действием только сил притяжения были хорошо изучены. Однако, для описания управляемого движения КА в космосе умения определять траектории пассивного (неуправляемого) движения КА недостаточно. Возникла необходимость в решении задач, связанных с маневрами К А. Как отмечалось, например, в [40], в задачах оптимизации перелетов с двигателями большой тяги допустимо использовать импульсное приближение решения. При этом, задача оптимизации сводится к минимизации характеристической скорости и требует только построения оптимальных траекторий с указанием на них моментов и направления приложения импульсов тяги. При оптимизации перелетов с двигателями малой по величине тяги необходим более глубокий подход, основанный на выборе оптимального управления величиной и направлением вектора тяги.

Необходимость в методике решения рассматриваемых математических задач при максимально приближенных к практике космических полетов предположениях возникает, в частности, при системной оценке проектных вариантов в процессе разработки реальной технической системы управления КА. Вместе с тем, эти задачи представляют, помимо практического, значительный теоретический (научный) интерес. Эти задачи требуют для своего решения синтеза методов оптимального управления, механики космических полетов, небесной механики и вычислительной математики. Развитие математической теории оптимального управления, совершенствование вычислительной техники, вычислительных методов и программного обеспечения создают благоприятные возможности для более глубокого проникновения в существо рассматриваемых здесь проблем, делают возможным решение задач, безуспешные попытки решения которых предпринимались ранее.

Задачам оптимизации траекторий межорбитальных перелетов К А, в том числе и задачам оптимизации многовитковых траекторий перелетов, посвящено значительное количество работ.

Ряд авторов [83, 88, 90, 93] сводят решение задачи оптимального управления к конечномерной параметрической задаче, которую решают методами нелинейного программирования. Различные комбинации способов дискретизации и методов решения задач параметрической оптимизации приводят к успеху в решении отдельных задач. Решения, получаемые такими способами, не являются решениями задач оптимального управления в строгом смысле, однако, могут давать результаты близкие к оптимальным. К подобным работам можно отнести работы, в которых задачи параметрической оптимизации решаются стохастическими методами [87]. Такому подходу способствует также появление большого количества программного обеспечения (ПО), претендующего на "универсальность" в решении задач оптимизации или подзадач (интегрирование уравнений движения и т.д.). Готовые программы не требуют от исследователей навыков программирования и могут быть легко использованы. Стоит отметить, что подобное программное обеспечение может решать только ограниченный круг задач, точнее, каждое ПО способно решать одну задачу, но с разными параметрами. В целом проблема решения задач оптимального управления настолько сложна, что создать универсальный метод (как, например, метод решения квадратных уравнений), а, следовательно, и ПО, реализующее его, не удается. Для того чтобы в какой-то мере обосновать оптимальность решений, получаемых методом параметрической оптимизации, желательно сравнивать их по функционалу с решениями, оптимальность которых доказана. Например, при оптимизации затрат массы для сравнения можно рассмотреть решения соответствующей задачи в импульсной постановке. Очевидно, что если при постановке и решении задачи параметрической оптимизации будет учтена структура оптимальных траекторий, то поиск и оценка оптимальности решений задачи существенно упрощаются.

Ещё один подход [47, 66, 68, 94] к решению задач оптимизации траекторий перелётов К А с двигателями "малой тяги" связан с предположением, что небольшая по величине тяга за один виток изменяет параметры орбиты движения КА незначительно. Это позволяет использовать осреднение дифференциальных уравнений движения. Траектории, получаемые при решении осредненной краевой задачи, оказываются близкими к оптимальным решениям. Хотя они и не являются решениями исходной задачи оптимального управления, но их можно использовать в качестве начального приближения, и они позволяют получать качественное представление об устройстве многовитковых траекторий. Использование осреднения предполагает очень слабую тягу, и эффективность такого приема падает с ростом величины тяги двигателя. Поэтому такая методика не подходит для более "сильных" двигателей. Но для очень "слабых" двигателей решения осредненной задачи дают хорошее приближение оптимальных решений, и, возможно, являются на настоящий момент единственным способом оптимизации траекторий перелётов КА с очень "слабыми" двигателями. При решении осредненных краевых задач, с фиксированным временем перелета, в качестве начального приближения, как правило, используются результаты решения задачи быстродействия.

Задачи быстродействия — один из важных классов задач, которые решаются при оптимизации траекторий перелётов К А с двигателями малого ускорения [21, 39]. Это связано с тем, что межорбитальные перелёты со слабыми двигателями осуществляются за длительное время и даже самые быстрые перелёты (без ограничения на конечную массу) могут занимать неприемлемо большое время.

В задачах быстродействия без ограничений на конечную массу тяга всегда включена и максимальна. Поэтому при решении таких задач необходимо определить только направление вектора тяги [21]. При этом система дифференциальных уравнений движения, как правило, имеет гладкие правые части. Трудностью в решении задач быстродействия с двигателями малого ускорения является большое время перелета и, следовательно, время интегрирования задачи Коши, что вызывает накопление значительной глобальной вычислительной ошибки, которая ухудшает сходимость метода стрельбы. Существенными вычислительными трудностями также являются возможность ветвления решений и возможность вырождения орбит (столкновение с притягивающим центром). Задача быстродействия существенно усложняется, если учитывается движение КА относительно центра масс. При малой тяге двигателя влияние этого фактора может оказаться значительным [71].

В результате предварительного анализа были получены решения задачи быстродействия при перелете КА между круговыми компланарными орбитами ИСЗ (см. табл. 1). Из таблицы 1 видно, что перелёт с низкой круговой орбиты на ГСО с использованием двигателя типа СПД-100 и начальной массой около тонны займет минимум полтора года. Затраты массы при этом будут на 4% (от общей начальной массы аппарата) больше затрат массы при импульсном перелете, который является абсолютно оптимальным по затратам массы, то есть, оптимизируя затраты массы путем включения и выключения двигателя, можно экономить до 4% начальной массы. Для сравнения, масса всего топлива в КА 8МАНТ-1 составляет 22.7% от начальной массы аппарата. При перелетах между круговыми компланарными орбитами отличие затрат массы в решении задачи быстродействия от затрат массы в импульсном решении (тимп—Щыс) уменьшается с уменьшением величины начальной тяговооруженности двигателя КА, так как чем больше витков занимает перелет — тем мгновенный эксцентриситет переходных орбит меньше, а, следовательно, меньше и гравитационные потери на такой траектории.

Таблица 1: Решение задачи быстродействия без ограничений на конечную массу. Перелёт между компланарными орбитами (Во — 6580 км, Их = ^ГСО > ^УД ~ 1500 с).

По 10~2 ю-3 10"4 10"5

Т,с 5.10-104 4.19-105 4.11 • 10е 4.11 • 107

Т,сут 0.59 4.85 47.61 475.95 кол-во витков 3.53 33.30 331.26 3312.19 т(Т) 0.6601669 0.7208511 0.7257754 0.7258508 пгИмп - те>ысЮ 0.1052 0.0445 0.0396 0.0395

Численное определение экстремалей многовитковых перелетов в задаче минимизации затрат массы, при ограниченном времени перелета, рассматривалось в работах [7, 18, 75, 84, 86]. Следует обратить внимание, что построение многовитковых экстремалей (с включениями и выключениями тяги) несколько сложнее и ранее удалось построить лишь экстремали со сравнительно небольшим числом витков (до четырех [84, 86]), при этом обязательно учитывалась специфика Ньютоновского гравитационного поля, что позволяло упростить задачу, например, аналитически интегрировать пассивные участки. В работе [86] для построения экстремалей, при решении краевой задачи, в вектор параметров пристрелки включались продолжительности всех активных и пассивных участков. При этом, количество участков было фиксировано, а пассивные участки интегрировались в аналитическом виде. По результатам, представленным в работе, для построения экстремали с тремя активными участками в пространственной задаче, при использовании такой схемы, требуется 62 итерации метода Ньютона.

В работе [75] была приведена одна многовитковая траектория пространственного перелета между орбитами ИСЗ. Полученная траектория состояла более чем из 50 витков и являлась экстремалью Понтрягина в задаче минимизации расхода массы при ограниченном времени перелета.

В работе [7] решена плоская задача оптимального многовиткового перелета КА с малой тягой с высокоэллиптической орбиты на ГСО. Построены экстремальные траектории с количеством витков до 1000. Решение задачи в этой работе стало возможным благодаря следующему способу построения начального приближения: сначала, с использованием последовательной линеаризации [73], было построено приближенно-оптимальное решение x(t), затем на отрезке [t\\T] решалась задача (оптимального управления) попадания в момент времени t\ в соответствующую точку приближенно-оптимальной траектории (x(ti)), полученное решение использовалось в качестве начального приближения для получения решения на отрезке faT], t2 < t\, я так далее до получения решения на всем отрезке [¿о; Т].

Во всех представленных работах отмечается, что основная сложность построения оптимальных многовитковых траекторий связана именно с возможностью включения и выключения двигателя. Из-за этого решение задачи оказывается очень чувствительным к изменению краевых условий, а именно частные производные вектор-функции невязок по начальным значениям сопряженных переменных терпят разрывы при появлении или исчезновении активных участков, и построение начального приближения становится основой для успешного решения задачи.

В данной работе рассматривается подход связанный с численным решением задачи оптимального управления на основе принципа максимума.

Постановка задачи. Движение центра масс одноступенчатого КА переменной массы с реактивным двигателем ограниченной тяги в центральном ньютоновском гравитационном поле одного притягивающего центра в вакууме при управлении вектором тяги описывается в инерциальной системе координат, связанной с притягивающим центром, дифференциальными уравнениями [27]: = r=v, (i)

Управление осуществляется посредством вектора тяги Ре, где Р — величина тяги, е — вектор задающий направление тяги (|е| = 1).

При решении задачи рассматривается математическая модель описания управляемого движения центра масс КА, в которой фазовые переменные m(t), r(t), v(t) — непрерывные кусочно-гладкие функции, удовлетворяющие на участках непрерывности управляющих функций (управлений) P(t), e(t) системе (1), а функции Pit), e(i) — кусочно-непрерывные ограниченные:

О < P(t) < Ртах < 00, |e(i)| = 1 Vie[0,T]. (2)

В условиях (2) (и далее в аналогичных условиях, при постановке задачи) Т — конечный момент времени; Ртах = дзщ, щ — значение начальной тяговооруженности.

В начальный момент времени t = О КА находится на начальной орбите ИСЗ: т(0) = 1, /о(ПО)ДО)) = б. (3)

В конечный заранее не фиксированный момент времени t = Т КА должен двигаться по конечной орбите ИСЗ: fT(f(T),v(T)) = 6. (4)

При этом общее время перелета ограничено:

Т < Т*. (5)

Минимизируются затраты массы на перелет (1 - тп(Т)) или эквивалентный им функционал:

I = -т(Т) inf. (6)

Условия принципа максимума. Задача (1)-(6) представляет собой задачу оптимального управления и решается на основе принципа максимума Понтряги-на [3,15, 69]. Функция Понтрягина H и терминант I задачи имеют вид:

Н(т, г, V, Р, е, Рт, Рг, Pv) - -Pm£ + {Pr, v) + (Pv,{j£

7) l = -Aom(T) + А^ИО) - 1) + (А/о, /о) + (А/г, /г) + Аг(Г - Т*), где непрерывная кусочно-гладкая функция pm(t), непрерывные кусочно-гладкие вектор-функции pr(t), pv(t) (сопряженные переменные), числе. Ло, Ат и векторы А/о ) —*

А/т — множители Лагранжа.

Условия принципа максимума для рассматриваемой задачи имеют следующий вид.

• Уравнения Эйлера-Лагранжа (сопряженная система): й = * = (8)

• Условия оптимальности по управлениям:

P,e}opt = arg abs maxW(• • • е, • • •); (9)

Ре(0,Ртах], |е1=1) следствия условий оптимальности (9):

Ь. opt = i Р'

Ve, |ël = 1, р — 0 или х < 0;

Р ф 0 и Х>0, opt

Pmaxi X '>

0, X < о,

10)

УРе&Рггшх], X = 0; X = р - гпрт/С — функция переключения управления Р, р =

• Условия трансверсальности по фазовым переменным:

Р^ = -ЩГ)> 1 = т,г, V. (11)

• Условие стационарности по Т ('Н(Т) = :

Н(Т) = Хт. (12)

• Условие дополняющей нежесткости:

Хт(Т - Т*) = 0. (13)

• Условия неотрицательности:

А0 >0, Аг > 0. (14)

• Условие НЕРавенства Одновременно Нулю всех множителей Лагранжа (условие НЕРОН):

Рт\\с + \\Рг\\с + т\с + |Ао| + |Аг| + М + |А/Г| ф 0. (15)

• Условие нормировки множителей Лагранжа. В данной работе использовалось следующее:

Ш0)|2 + |й(0)|2 = 1. (16)

Краевая задача. Соотношения (1)-(5), (7)-(16) представляют собой краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (краевую задачу принципа максимума). Неизвестными в ней являются постоянные интегрирования её системы дифференциальных уравнений (1), (8), время перелета Т и множители Лагранжа Ао, Ат, А/о, \}т- Для их определения имеются краевые условия: (3), (4); условия трансверсальности (11); условие стационарности (12); условие дополняющей нежесткости (13) и условие нормировки (16), связанное с однородностью функции Лагранжа по множителям Лагранжа, позволяющей выбирать множители Лагранжа с точностью до положительного сомножителя. Если многообразия /о, /г не имеют особых точек [69, гл.1 §6], то можно показать, что число неизвестных краевой задачи совпадает с числом условий [21].

Из условий стационарности (12) и дополняющей нежесткости (13) можно исключить множитель Лагранжа А?. Однако, чтобы избежать, возникающих при этом вычислительных проблем, вместо этого рассматриваются две вспомогательные краевые задачи [20, стр. 56-61]:

1. Задача с неактивным ограничением времени перелета — используется краевое условие Н(Т) = 0, условие Т <Т* является проверочным;

2. Задача с активным ограничением времени перелета — используется краевое условие Т - Т* = 0, условие Н(Т) > 0 является проверочным.

Полученная краевая задача имеет серию различных семейств решений. В дальнейшем используется классификация семейств решений по числу активных участков, соответствующих каждому из импульсов в импульсном решении задачи. Например, классификация экстремалей, соответствующих двухимпульсной схеме перелета, определяется парой чисел а-Ь, где а — число активных участков, реализующих первый импульс, Ь — второй. Подробно классификация структур экстремалей рассмотрена в следующих главах.

Построение многовитковых решений задачи происходит по следующей методике:

1. На основе решений соответствующих задач импульсной постановки строятся многовитковые экстремали с ограниченным количеством активных участков (каждый импульс реализуется за конечное фиксированное число активных участков). При этом, ограничение на время неактивно (решается первый тип вспомогательных краевых задач). Используемая в работе вычислительная схема и алгоритм построения начального приближения на основе импульсных решений рассмотрены в первой главе.

2. В результате, после первого этапа решения задачи, получены экстремали различной структуры (рис. 1а). На втором этапе осуществляется продолжение семейств экстремалей "вправо" (рис. 16). Это продолжение соответствует добавлению пассивного участка в конце траектории. На этом этапе также из рассмотрения исключаются траектории, оказавшиеся хуже (в смысле функционала) других семейств, на рисунке 1 это семейства 2-2 и 5-1.

3. На третьем этапе, для завершения исследования, полученные семейства экстремалей продолжаются "влево". При этом решаются вспомогательные задачи с активным ограничением времени (вспомогательные краевые задачи второго типа). Продолжение осуществляется с использованием метода продолжения решения по параметру. В качестве параметра продолжения используется величина Т*. Продолжение осуществляется до пересечения с соседним семейством экстремалей. В результате третьего этапа оказывается построена кривая лучших экстремалей, определяющая среди полученных экстремалей лучшую по функционалу для любого заданного времени перелета (рис. 1с). Отметим, что в случае доказательства оптимальности экстремалей, эта кривая определяет границу области достижимости и является множеством Парето. а) я»(Г)

2-1

3-2

4-1 Ф ш 3-1 ♦ *

2-2

5-1

Т, в» б) ш(Г)

3-2

3-1

4-1

5-1

2-1 Ф

2-2

Т.е. с) тт

Т.е.

Рис. 1: Семейства многовитковьгх экстремалей.

Предложенный в работе подход позволяет строить экстремальные многовитковые траектории с десятками включений двигателя в плоских и пространственных задачах. При решении краевой задачи принципа максимума выбор хорошего начального приближения осуществляется на основе решения краевой задачи импульсной постановки, предлагаются формулы построения начального приближения. При этом в работе решается также и проблема выбора эффективной вычислительной схемы метода стрельбы.

Плоская задача перелета между круговыми орбитами ИСЗ рассмотрена в главе 2. В главе 3 представлена пространственная задача перелета между круговыми орбитами ИСЗ, исследуются многовитковые перелеты соответствующие двух- и трехим-пульсной (биэллиптической) схемам перелета. Для всех задач даны: математическая постановка задачи, условия принципа максимума, краевые задачи, вычислительная схема и формулы построения начального приближения на основе решения задач импульсной постановки.

Результаты решения задач приведены в главе 4.

В приложении рассмотрены задачи импульсной постановки, результаты решения которых были использованы в работе для построения начального приближения и оценки оптимальности полученных траекторий.

1. Абалакин В.К., Аксенов Е.П., Гребеников Е.А., Демин В.Г., Рябов Ю.А. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике (под редакцией Дубошина Г.Н.). Издание 2-е, дополненное и переработанное М.: Наука, 1978.

2. Александров В.В., Бахвалов Н.С., Григорьев К.Г. и др. Практикум по численным методам в задачах оптимального управления. М.: Изд-во Московского гос. ун-та, 1988.

3. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление М.: Наука, 1979.

4. Анрион, Р. Теория второй вариации и ее приложения в оптимальном управлении // перевод с фр. В.Б. Колманского, В.Р. Носова. М. Наука 1979.

5. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения М.: Наука, 1971.

6. Арутюнов A.B. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М.: Изд-во "Факториал", 1997.

7. Ахметшин Р.З. Плоская задача оптимального перелета космического аппарата с малой тягой с высокоэллиптической орбиты на геостационар // Космические Исследования, 2004, т.42, N3. с.248-259.

8. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений М.: Мир, 1969.

9. Батурин В.А., Дыхта В.А., Москаленко А.И. Методы решения задач теории управления на основе принципа расширения. Новосибирск: Наука, Сиб. предприятие РАН 1990.

10. Батурин В.А., Урбанович Д.Е. Приближенные методы оптимального управления, основанные на принципе расширения. Новосибирск: Наука, Сиб. предприятие РАН 1997.

11. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы М.: Наука, 1987.

12. Беллман Р. Динамическое программирование, ИЛ, 1960.

13. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

14. Габасов Р., Кириллова Ф. Особые оптимальные управления М.: Наука, 1973.

15. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач М.: Изд-во МГУ, 1989.

16. Григорьев К.Г. О наискорейших маневрах космического аппарата // Космические Исследования 1994, т.32, N1. с.56-69.

17. Григорьев К.Г. О маневрах космического аппарата при минимальных затратах массы и ограниченном времени // Космические Исследования 1994, т.32, N2. с.45-60.

18. Григорьев И.О. Исследование оптимальных траекторий перелетов КА с реактивным двигателем большой ограниченной тяги между Землей и Луной // Дис. канд. физ-мат. наук. Моск. гос. ун. мех-мат. факультет. 1997.

19. Григорьев И. С. Об оптимальном перелете космического аппарата с орбиты искусственного спутника Земли на поверхность Луны. Труды XXVIII чтений К.Э. Циолковского. Секция Механика космического полета. М.: ИИЕТ РАН. 1994. С. 41-46.

20. Григорьев И.С. Методическое пособие по численным методам решения краевых задач принципа максимума в задачах оптимального управления. — М.: Издательство Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2005.

21. Григорьев И.С., Григорьев К.Г., Петрикова Ю.Д. О наискорейших маневрах космического аппарата с реактивным двигателем большой ограниченной тяги в гравитационном поле в вакууме // Космические Исследования, 2000, т.38, N2. с. 171-192.

22. Григорьев К.Г., Заплетин М.П. О вертикальном старте в оптимизационных задачах ракетодинамики // Космические Исследования, 1997, т.35, N4.

23. Григорьев К.Г., Федына A.B. Оптимальные перелеты космического аппарата с реактивным двигателем большой ограниченной тяги между компланарными круговыми орбитами // Космические Исследования, 1995, т.ЗЗ, N4. с. 403-416.

24. Гроздовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Механика космичекого полета. Проблемы оптимизации. М.: Наука, 1975.

25. Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973.

26. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. М.: Наука, 1977.

27. Дмитрук A.B. Условия типа Якоби для задачи Больца с неравенствами // Мат. заметки. 1984. Т. 35. №6. с. 813-827.

28. Дубовский С.В. Межорбитальные и межпланетные перелеты // Космические Исследования, 1967, т.5, N4.

29. Дыхта В.А. Вариационный принцип максимума и квадратичные условия оптимальности импульсных и особых процессов // Сибирский математический журнал. Т 35. N. 1. 1994 г. С. 70-82.

30. Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. 2-е изд. -М.: Физматлит, 2003.

31. Егоров В.В., Гусев Л.И. Динамика перелетов между Землей и Луной М.: Наука, 1980.

32. Егоров В.А., Сазонов В.В., Егоров М.А., Смирнов В.В. Сравнение оптимального и локально-оптимального геоцентрических разгонов космического аппарата с солнечным парусом // Космич. исслед. 1994, Т.32, N6, с.77-88.

33. Завалищин С.Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы: модели и приложения. М.: Наука, 1991.

34. Завалищин С.Т., Суханов В.И. Прикладные задачи синтеза и проектирования управляющих алгоритмов. М.: Наука, 1985.

35. Заплетин М.П. Оптимальные перелеты КА между поверхностью Луны и орбитами ее искусственных спутников // Дис. канд. физ-мат. наук. Моск. гос. ун. мех-мат. факультет. 1993.

36. Заплетин М.П. О задачах быстродействия в центральном гравитационном поле // Сб. Численное моделирование в задачах механики. М.: Изд. МГУ, 1991, с. 136138.

37. Захаров Ю.А. Проектирование межорбитальных космических аппаратов. Выбор траекторий и проектных параметров. М.: Машиностроение, 1984.

38. Зеликин М.И., Борисов В.Ф. Синтез в задачах оптимального управления, содержащий траектории с учащающимися переключениями и особые траектории второго порядка // Математические заметки, 1990, т.47, N1.

39. Зеликин М.И. Гессиан решения уравнения Гамильтона-Якоби в теории экстремальных задач // Математический сборник. 2004. Т. 195. №6. с.57-70.

40. Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров при ограничениях на расстояния до планет М.: Наука, 1975.

41. Ивашкин В.В., Скороходов А.П. Сравнительный анализ трехимпульсных траекторий, оптимальных при ограничениях на время перехода и наибольшее расстояние от планеты // Космические Исследования 1980, т.18, N1. с.11-21.

42. Ивашкин В.В., Коровина Л.А., Скороходов А.П. Об одном свойстве трехимпульсных траекторий, оптимальных при ограничениях на расстояние и время перелета // Космические Исследования 1982, т.20, N3. с.352-356.

43. Ильин В.А., Кузьмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов М.: Наука, 1976.

44. Ишков С.А. Расчет оптимальных межорбитальных перелетов с малой трансвер-сальной тягой на эллиптическую орбиту // Космические Исследования, 1997, т.35, N2.c.178-188.

45. Космические траектории. М.: Изд-во иностр. лит-ры. Биб-ка сб. "Механика". 1963.

46. Красовский H.H. Теория оптимальных управляемых систем // в кн. Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1968. Т. 1. С. 179-244.

47. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973.

48. Ли Э., Маркус Л. Основы теории оптимального управления М.: Наука, 1972.

49. Лоуден Д.Ф. Межпланетные траектории ракет. В сб. 48]. С. 177-242.

50. Лоуден Д.Ф. Импульсный переход между эллиптическими орбитами. В сб. citeLeitman-63. С. 387-415.

51. Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации. Пер. с англ. М.: Мир, 1966.

52. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука 1971.

53. Моисеев H.H. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975.

54. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране М.: Мир, 1977.

55. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космонавтике. М.: Наука, 1978.

56. Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета. Под ред. Дж. Лейтмана. М.: Наука, 1963.

57. Мордашов С.Н. Об одном подходе к определению начальных значений сопряженных значений в краевых задачах ракетодинамики // Труды XXVIII чтений К.Э.Циолковского. Секция механика космического полёта. М.: ИИЕТ РАН, 1994, с.73-81.

58. Орлов Ю.В. Теория оптимальных систем с обобщенными управлениями. М.: Наука, 1988.

59. Охоцимский Д.Е. Динамика космических полетов. М.: Изд-во Московского гос. ун-та, 1968.

60. Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета М.: Наука, 1990.

61. Пайнс С. Константы движения для оптимальных активных траекторий в центральном силовом поле // Ракетная Техника и Космонавтика, N11, 1964,с.162-167.

62. Петровский И.Г. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям М.: Наука, 1970.

63. Петухов В.Г. Оптимизация траекторий и эволюция движения космических аппаратов с двигательными установками малой тяги // Дис. канд. тех. наук. МАИ 1996 г.

64. Петухов В.Г. Использование методов продолжения по параметру для оптимизации траекторий КА с малой тягой // Труды XXXI-XXXII чтений К.Э.Циолковского. Секция Механики космического полёта. М.: ИИЕТ РАН, 1999, с.114-121.

65. Петухов В.Г. Оптимизация многовитковых перелётов между некомпланарными эллиптическими орбитами // Космические исследования, 2004, Т-42, N3, с. 1-20

66. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов М.: Наука, 1969.

67. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения М.: Наука, 1970.

68. Салмин В.В. Оптимизация космических полетов с малой тягой: Проблемы совместного управления траекторным и угловым движением. М.: Машиностроение 1987.

69. Тятюшкин А.И. Мультимедийные алгоритмы для численного решения задач оптимального управления // сборник "Нелинейная теория управления: динамика, управление, оптимизация". М: Физматлит, 2003, с.201-217.

70. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления М.: Наука, 1978.

71. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику М.: Изд-во МФТИ, 1994.

72. Федотов Г.Г. Методические основы проектно-баллистического анализа межпланетных КА с ЭРД // Дис. доктора техн.наук. Москва 2002.

73. Филатьев A.C. Оптимальный запуск искусственного спутника Земли с использованием аэродинамических сил // Космич. исслед. 1991, Т.29, N2, с.255-271.

74. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью М.: Наука, 1985.

75. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений М.: Мир, 1990.

76. Хендельсмен М. Оптимальные траектории полёта в безвоздушном пространстве с постоянной тягой при использовании импульсных траекторий в качестве начальных приближений // Ракетная техника и космонавтика, N6, 1996, с.151-158.

77. Хок Д. С. Космические маневры. Оптимизация. В сб. 48]. С. 163-176.

78. Чарный В.И. Об оптимальных траекториях со многими импульсами // Искусственные спутники Земли, АН СССР. 1963. Вып. 16. С. 257-264.

79. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука, 1973.

80. Geethaikrishnan С. Parameter optimization approach to launch venichle optimal trajectory problem // AE 601 Ph.D. seminar report. Indian Institute of Technology, Bombay. November 2002.

81. Genin Y. Transferts orbitaux économiques. Cas des propulseurs à faible poussée. Thèse de Doctorat. Faculté des Sciences Appliquées. Université de Liège, 1969.

82. Gobetz F.W., Doll J.R. A servey of impulsiv trajectories // AIAA Journal, 1969, V. 7, No. 5. Русский перевод: Гобец Ф.У., Долл Дж.Р. Обзор импульсных траекторий // Ракет, техника и космонавтика. 1969. Т.7. N5. С. 3-46.

83. Jezewski D.J. Optimal, multi-burn, space trajectories // McDonnell Douglas Technical Services Co. Houston, Texas 77062. August 1985.

84. Hartmann J.W. Low-thrust trajectory optimization using stohastic optimization methods // University of Illinois. Thesis 1999.

85. Inge Spangelo. Trajectory optimization for venicles using control vector parameterization and nonlinear programming // Department of Engineering Cybernetics, The Norwegian Institute of Technology. Dr.ing. thesis. Report 94-111-W.

86. Kelley H.J., Kopp R.E., Moyer H.G. Singular extremals // Topics in Optimization (ed. Leitmann G.), N.Y., 1967.

87. Kien-Ming Ng. A continuation approach for solving nonlinear optimization problems with discrete variables // Stanford University. Dissertation 2002.

88. Lawden D. Optimal intermediate thrust arcs in a gravitational field // Astronáutica Acta, 1962, v.8, N2-3.

89. Marchai С. Generalisation tridimensionnelle et etude de l'optimalite des arcs a poussee intermédiaire de Lawden //La recherche aerospatiale, 1968, N123, Mars-avril.

90. Richards A.G. Trajectory optimization using mixed-integer linear programming. Massachusetts Institute of Technology. Dissertation 2002.

91. Whiting J.K. Orbital transfer trajectory optimization // Massachusetts Institute of Technology. Dissertaion 2004.