Численные решения некоторых спектральных задач методом конечных элементов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Кшзський унгпсрсптст ¡MCHi Тараса Шевченка

РГБ ОД

17 ОКТ i99;f На правах рукопису

ПОПОВ Олександр Володимирович

УДК 518.517.944

ЧИСЕЛЬНЕ РОЗВ'ЯЗАННЯ ДЕЯКИХ СПЕКТРАЛЬНИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ СК1НЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТ1В

01.01.07 — обчислювальна математика

Автореферат дисертацп на здобуття наукового ступени кандидата ф1зико-математичних наук

КиТв

1нститут мбернетики ¡м. В. М. Глушкова НАН Украши

1994

Дисертацдею е рукопис.

Робота виконана в 1нституп кибернетики ¡мени В. М. Глуш-кова HAH Украши.

HayKOßi KepiBHHKii: академж HAH Украши,

доктор ф1зико-математнчних наук ЛЯШКО I. I.,

доктор ф1зико-математичннх наук МОЛЧАНОВ I. М.

Офщтш опоненти: академж HAH Украши,

доктор ф1зико-математичних наук ГРИГОРЕНКО Я. М.,

доктор ф1зико-математнчних наук ПРИКАЗЧИКОВ В. Г.

Пров1дна оргашзащя: Льв1вський державннй ужверситет iMeHi 1вана Франка.

3ахнет вщбудеться «Ä3l» OtcjZü&b р. 0

годин! на засщанш спещал!зованоТ ради Д 068.18.16 при Кшвському ун1верситет1 iM. Тараса Шевченка за адресою:

252127 Ки\'в 127, проспект Академжа Глушкова, 6, факультет кибернетики.

3 дисертащею можна ознаиомитися в б]'блютещ' уш'вер-сптету.

Автореферат розкланий «-» - 199 р.

Учений секретар спецдал1зовано1 вчено! ради

КУЗЬМЩ А. В.

I. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальн1сть. Проблема власних значень е сди!ею з найб!льш актуальних в багатьох галузях фундаментально!.та прикладно! математики. Багато задач природоэнавства 1 техн1ки кокна звести до частково! проблема власних значень для в1дпов!дних диференц!'чьких оператор1в. Чисельне розв'язування uici проблеми з достатньоч точн1стю вводиться до роз'язання алгебра1чно! задач! на власн1 значения з матрицами високих порядив. Таким чином, для чисель-ного роз'вязування спектральних задач залишаеться актуаяьним питания побудови високоточних метод1в, як! заощаджують ресурса ЕОМ. При цьому ваюшвим аспектом с в!рог1дн1сть одеряуваних чисельних результатов, тобто anpiopHi i anoorspiopHl оценки точност! наближених • розв'язков.

Мета роботи полягае в побудов! i досл!дгенн! схем методу. ск1нченних елемент1в (МСЕ) четвертого порядку точности (для влас--них значень), як1 використовують 1нтерполяцЮ EpMiTa, а такох в практичнШ реал!зац!1 на ЕОМ алгоритм1в формувакня i розв'язування дискретиих задач МСЕ для спектральних задач деяких елштичнкх диферешЦальних оператор1в.

Методи досл!джень. Побудову i досл1д*ення властивостей апроксимуючих простор1в МСЕ i побудованих з 1х застосуванням схем МСЕ для розв'язування спектральних задач проведено на cchobI метод1в функц!онального анал!зу, теорП апроксимацП функц1Я ! загально! теорП методу ск!нченних елемент1в. При отриманн! апрЮрних i апостер1орних oiUhok похибок дискретних • задач використано розклад за власними функц!ями симетричного оператора.

Науков:. новизна. В робот1 побудовано i досл!дкен" нов! схеми методу ск!нченнкх елемент!в п!двиаеного порядку точност! для розв'язування задач на власн1 значения. При цьому отриман! так! результата: '

- побудован! простори- МСЕ другого степеня - простори кусковах 1нтерп6ляц!Яних пол1нсм!в EpMiTa 1 одержан! оц!нки псхибки хнтерполяцП функц1ями з цих простор1в;

- використовупчи запропонован! с:инченнов;:м1рн1 прсстори, побудован! схеми МСЕ четвертого порядку точност1 Сдля власних значень) для чисельного розв'язування спектральних задач для ряду ел1птичних диференцдальних операторов;

- доведен! оц1нки гочност1 наближених розв'язк!в;

- одержан! оценки похибок розв'язк!в дискретно! задач!, я"1 выкликан! ni-либками обчислення елемент1в матриць uieï задач!.

Практична ц!нн!сть. В дисертац!йн!й робот! розроблено 1 програмно реал!зовано алгоритм чисельного розв'язання частково! г.юблэми власних значень для ряду ел!птичних диференц!альних оператор!в в одно-, дво- !' тривим!рних областях, в якому використано запролонован! схеыи методу скхнченних елемент!в.

Апробац!я роботи. Результата дисертацП допов^дались на IV Всесоюзной конференцП "Численные методы в механике сплошной среды" /м.Лагодех!, Груз.PCP, 1975р./, II Республ!канськ!й конференцП "Обчислювальна математика в сучасному науково-техн!чному прогрес!" /м.Ки!в, 1978р./, V Всесоюэн!й конференцП "Вариацион-ло-разносткые методы в математической физике" /м.Москва 1983р./, Республ!канськ!й школ 1-сем! нар.. "Гикети прикладних програм розв'язання задач л!н1й1.jI алгебри" /м.Ки1в, 1990р./, XXIII Рес-публ!канськ!й школ!-со:д!нар! "Питания оптим!зацП обчислень" /м.Ки!в, 1990р./, на республ!канських csMiHapax: "Чисельний анализ" 1нституту к1бернетики !мен! В.М. Глушкова АН Укра!ни /м.Khïb 1983, 1987, 1S89 pp./, "Питания теорП р!эницевих схем" при Kjiïb-ському унхверсит^ iMeHi Тараса Р'евченка /м.Khïb, 1991, iJ93 pp./.

Публ!кац!1. Результата дисертацП опубл!ко~эно в роботах [1 - 5].

Оосяг i структура роботи. Дисертац1йна робота обсягом' 113 cTopiHOïc машинописного тексту складаеться з всупу, трьох розлив, ьисновку, додатку i списку цитовано! л1тератури {89 роб1т).

ч

II. 3MICT РОБОТИ

У вступ! обгрунтовано актуальн!сть теми "оботи, визначено' uinl i завдання досл!дження, наведено огляд podiT за тематикой дисертацП, подано коротку анотац!» ! сформульовано головн1 результата дисертац!йно! роботи.

Нижче використовуються так! позначення: aD точки ! вузли обмеже: )ï в К" облает! Q (п=1,2,3) -

х = Сх,.....хп) е Лп, xJ= Cx^j ,...,xn J ) е П с IR"; Cl)

б) значения функц1й i 1х пох1дних у вузлах -

ди

VttCxJ)- ^ а.

Г du I 1

x=xJ LJ" Pj dx U-.X&

в) прямокутн! ск!нченн1 елементи -

£.= { х = (X,,.. ,хп): хк1 ,< xk< xfc l , k = l,...,n У, (3)

к к

число аинченних елементхв - M, число вузлових параметр!в в й - N, ск1нченновим1рн! простори МСЕ к- го степеня на М элементах -?к M(Q) (п1д степенем простору MCF тут роз"м1еться найсЯльший ctenlhu поеного пол] тому, який точно перрдасться елементами цього простору); г) параметри, як1 характеризуют с!тку -

Ь = тх К,, / Ь? , +... + Ь? . , Ь. . = х. . - х. ,; С4) 1 * 1«! »'1 к.»,. к,1-1'. [<1<Г1 I п к к к

д) симетричн1 ел1птичн1 додатно визначен1 диферешиалыи оператори - £ 1 Я, оператор головних граничних умов - , оператор природних граничних умов - ?-г\ е) <5Шн1йн1 функц!онали, як! в!дпов1дають операторам £ . Я -

аСи.и) = аСи.иЗ = (£и,и), = &(у,и) = (Яи.ь); (5)

^ еЭ енергетичнйх функц!ональних просторов оператор1в £ 1 Я -в1дп0в1дн0, КО) 1 И^СП); ж) норми в просторах 1Ц/Ш 1 1Н(П) -8» 80 1 0« !н. нап1внорми 1 норми в простор1 Ш^СП) -

К,я = £ 1<а - |<я ♦ ... - 1<я. (б)

1а | = к О

де ри = —-, |уГ- г,+ ... + уп.

:дХ,1 •••дХ п 1 п

Спектральн1 задач1, що рс.глядапться, можна записати як

£и = \Яи, Х6Й, (7)

Л,и = 0, х 6 Г,* 0, СЗ?

31,и = 0 х € Г2, (9)

де Г,и Г2= дк. а оператор Я таккй, що 1НЫ(П) зй1гасться з ¡ЦСЯ). Властивост! оператор1в Х.Я.^, ^ ц!е! задач!, тобто для

U,U € ИСП)

*JuHi; < oCu.u) < Kj^fiuJ^ (^.K^ 0).

< вСи.иЭ < К^ВыЗ^ C^.KfO), CIO)

oCu.u) >

забезпечують ц1лком неперервне вкладення простору ШСЙ) в ЦСШ. Тому задача (7)-(9) мае дискретний спектр

О < Х2<...< £11)

1 екв1валентна вар1ац1йн1й задач1

oCu.v) - Х-Й(ц,и) =0, Vt> <= 1НСЙ), . - С12)

для чисельного розв'язування яко! використовуеться метод сличениях елемент!в.

В роздШ I. який складаеться з трьох парагра$1в, побудовано ск1нченновим1рн1 простора МСЕ другого степеня ?г „(Й), базисом яки: с кусков1 1нтерполяц1йн1 многочлени Ерм1та.

В §1.1 розглянуто одновимАрний (п=1) випадок. Область Й = (а,Ь) д!литься на ск1нченн! елементи Ei (3), де xi = х1

U = 1.....М). а = xd < х1 < х2 < ... < Xм-1< Xм = 5. 1нтер-

г.-ляЩйний пол 1 ном Ерм1та другого степеня UjCx) = а,+ а^х + а^х2 однозначно визначаеться на елемеьл! £t одним 1з таких двох на'бор1в вузлових параметр1в як

ui-r ui- Pi ati0 ui-i' Pi-f V С13}.

В §1.2 розглянуто двовим1рний (п=2) випадок, коли область Q могла роздЛлити на прямокутн! елементи- £i (3). 1нтерполяц1йний многочлен EpMi-rr в цьому випадку мае вигляд (х е Е()

и. Сх) = e,+ e2x,+ agx2+a4xf + a5x,x2+ a6x§ + еуфс,* «ус^

i однозначно визначаеться через BiciM- умов (вузлових параметр!в) одним is таких набор1в (при позначеннях (2) 1 нумерацп вершин елементу- опдко з рис. 1):

"г "г- Р|.г- рг,г' V Р|.3' рг, 3' и4'

V Р., г иг' Рг. г- V Рг, з1 ' Р., 4;

V Ргл' иг< Р|.г' V 1 Рг,4;

и1' Р.. г Рг, 1- V из- "4' Р| 1-4' • Рг, 4'

'и

Рис. 1

В §1.3 розглянуто тривиьарний (п=3) випадок, коли область А можна розд!яити на прямскутн! елеаенти (3;. Тепер 1нтерпо-ляШйний многочлен Ерм1та мае вигляд (х е Е()

^Сх) = V а2х1+ азхг+ а4Хз+ а5х1+ абх1хг+ атХ1Хз+ азх1+ а9'угхэ+ + а, лх*+ а, , х?х,+ а,,,х?х,+ а,,х,х^+ а, ,х,х,х,+ а15х1хд+

ю з I Г I 2 12 13 13 12 11 1'2 з

+ «10*1*3+ «1ГХ2Х3 + а1ВХ1Х2Х3+ а19Х1Х1Х3 " а20Х1 Х2Х3

1 однозначно визначгеться набором двадцати вузлових параметров (на рис.2 зображено два такик набори).

К X

'к:.;

10

« _ "

•Рлио'Рг.ю'Рз^У

У У

/V

'и и1г'Р\,\г,рг, 12'Рз, ¡г

э

Ак-

/

^•Рь.г'Ргл'Ръл

^Р^Рг.Т^з,

9

иг "з'^.з'Рг.з'Рз.з Рис. 2

и

У вс1х випадках для отрммання виграшу у пор1в1!яши з 1нтер-поляд'йними многочленам Лагранжа, якг трэцшцйно застосовувться.

Heodxiдно викооистати елемснти Ei з наборам! вуэлових параметр!в двох pisHKX вид1в, розMlнуочи ïx (елементи) в Я так, mod вони че^гувались через один (в одновиьЧрному випадку) ado mod э ножною с; роною {у двовим!рному випадку) чи гранню (у 1,.ивим1рному) еле-мента з одним видом набору параметра межував елемент о другим, ¿ому р-зглядаються набери вузлови/ параметр1в, як1 допускають попарне викор..ота:;ня.

В одновимХрному випадку таких KaûopiB т1льки два - вопи наведен1 в (13), i к1лькдсть вуэлових параметр1в на 1а,Ь)

N = - M + р., Z

q

де р. = 1, —, 2 в залежност1 в!д napHocTi/HenapnocTi M 1 в1д 1 2

того, як.' параметра у вузл1 х°. Прч використанн1 1нтер..оляц1йних пол1ном!в Лагранжа 2М + i. Отже, в цьому випадку к!льк1сть

вуэлових параметр!в на la.bl скорочуеться на чверть - N/N^ 3/4.

Для двовим1рного випадку Bci можлив1 набори подан1 в (14) 1 складапть так1 пари: перший 1 четвертий, другий i трет!й набори. Тод1 эа-альна к1лыпсть вуэлових параметр!в в й с Кг, буде

H = 2М +

0ск1льки при використанн i 1нтерполяц1йних лол'чом1в Лагранка Ил= ЗМ + ¡¡г, т'- маемо М/Лл ss 2/3, тобгс скорочення на третину.

Д.;я випадку й cl3 1снують чотири пари таких набор i в (одна э них зображена на рис.2), а

N = - M + 2 3

Пл= 4M » р3 1 N/Njj * 5/8 (скорочення в 1,6 раза).

При виписуванн! в явному вигляд! базисних $ункц1й скХнченно-: ямарних простор!в МСЕ [Рг M(Q) легко впевнитися, то ¡Р^ М(Ш с-с IK^fl). 0ц1нюючи найб1льш!'значения базисних функидй i Ix' пох!д-них, використовувчи розклад в ряд Тейл-pa i лему Брембла - Г1ль-берта, мохна впенитися в справедливое^ нижченаведено! теореми.

Теорема 1. Хаа Û С IRn m " 1,2,3;, а ~ npacmip ИСЕ

на нус овххх по j.i номах Epjiima, modi Рг M(Q) С tt^CQ). M кто uCx)

тома Фу>ищ1я. по для M0Ï iснуе i перполянт li.(x) е Р, „(П). i

аигщо uíx) 6 С3(П). то

то

2п , ди ди.

\ulx) - uT(x)| < —WJv\---<

1 81 3 Эх. ах,

Эхк

ах,

■i

к

< «3/12, х 1 й C15Í

(к = l,..,r>. М3= max |ОгиСх)|), a я««о uCx) е !к3(й), сто

|и(х) - ^Cx)|t n < Cth3-1 l"Cx)|3>a (Ct> 0, t = 0,1).Q (16)

Якщо область fi кемозливо безпосередньо роэдШгги на прямо-кутн! ск1нчвнн1 екементи Е (3), тс в ряд1 »чпадк1в - еих1д як для с:анчешшх елемг чт1в на пола комах Лагранжа. палшгею зшнних конформно перетворити fi в область, цо допускав такий под1л, arfo под1лити початкову область на Еипукл! кривол1н1.,н! чотирикутники чи шестигранники (вхдпоЫДно) í пот1м кожний з них перетворити суб- або 1зопараметричною зам1ною зм1нних на так званий канонím-ний елемент

Г0= - C?j.....?п): 0 < ?k< 1. k=l.....п} Сп = 2,3). (17)

В Розд1л1 II побудован1 ран:ше простори МСЕ другого степеня Р2 М(Ш використано для ^триманнг дискретних задач, як! набли-жуать розв'язки задач на виасн! значения для ряду операторов, дослужено питания зб1жност! i точност1, а такох деяк! аспекта формування 1 розв'язування таких дискретних задач на ЕС

В §2.1 розглянуто дискретлзац!» трьох спектральних задач для симетричних ел!птичних додатно визначених оператор1в 1з зм!и.аними граничнкми умовами.

Перша задача - для з_лчаЯного диферетЦального оператора. Для задач1 (12) в имэму випадку Ü = (а,Ь), (Н(Я) е просгороы функцШ 1з WgCa.b), для яких "иконуеться умова

хеС2 i v|-3

ись: = о.

(18)

а функцЮнали записуються як

б

a(u.v) = pu(a)uCa) . M.&L + ?(x)ti(x)u(x)ldx, (19)

dx dx

,a

6

3(u,u) = Jr(x)u(x)u(x)dy

(20)

a

Причешу рСх) € С1 СЙ), <?Сх),г(х) е ССО) 1 (для х«'[о(Ы) О < дСх"1 < с2, 0 < с3< гСх) < сА, 0 < с5< рСх) < се,

(3 > О.

Друга задача - для оператора системи р1внянь Ляме у триви-М1рн1й Й = = ,х2,х33: а.< хк< Ьк, к=1,2,3}. Тут

прост'р ¡НС«) = И,(Шх1Н СЙ)хИ3СШ, де А^СЙ) (к=1,2,3) екпа-даеться э функций иуе И2(й), як! задонольняють умов!

ик(х) = С, хеГ, = {х=Сх, ,х2,х3): ак< хк< Ьк, к=1,2, х3= Ь3}, С22)

прост 1р (НМСПЗ складаеться э век^ор-функц1Й йСх) € ЦСШхЦСйК хИ Сй), а функиДонали масть вигляд

о(й,5) =

г[ гаи, аи, диг аи2 аи3 аиэ") «а, аи, аи, = ¿[^"Н35^'35^ + + + ^ИГ^ + эхз х

аи , аи, а, аи, аи3 аи2 аи, аиг аи2 а«2 а« х эх; + эз^ ах7 зх;'эх7 з><7 + 3x7 3x7+ щш; (23)

аиг аи, аи3 аи аи3 аи2 аи3 аи3 аи3 аго зх;'Эх2 3x7 з^Г'^Г ^С9^]

х зх; + ЗХ7'З4 + з^'а^ + а^'з^+ а^'э^ +

аи, аа, а^3 аи2 аи, аи2 аи3 аи3 аи, о*3 аил

гей,гГЭ 8 ]рСи, и, + а2и2+ ы3и3)сгх, (24)

де - константи Лям«, р > 0 - густина матер1алу.

Найб1льш цхкава третя задача - для оператора системи р1внянь прикладное: теорП тонких оболонок. У цьому випадку прост!р С^СЙ) = 1гШ)х1г((1)х1г(П), а прост1р (НСЙ) = И,(Я)х(Н2((1)хй СШ, • причому простори 1Н( СП) (1=1,2) складасться з фунший и,е 1Н2СЙ), для яких виконуеться умова

и,Сх) - О, х € ай С25)

1 функ- и ы3Сх) е 1Н3СЙ) с И2СП) эадовольняють умова» (в розу-м1нн1 сл1ду)

и3Сх) =0, х е Г3<= ай, С26)

ди,

—¿ = 0, хеГ,.дГ, (.2.7)

дп 31 з

(п - эовн1шня нормаль до границ!. Г3,). Б1лШйн1 функц1оналн для u(x),v(x) е 1НСЯ) записусться як " '

oCu.U) = -¿-^бСх^Сй-е^и) + е2Сй)-г^СгП + vjfi, СЮ-£2Си)

+ e2£S)-etCi7)] + ^-иСЮ-шСй) + ¿^¿[х, СИ) • Си) + *2Сй)-*2Си) +

+ у[*,Сй)-*2Си) + х2Сц)-*,Сй)] + 2С1-и)--CiI)-TCU)Jj/l1Cx)-/laCx)dx,

8Сй,и) = JpCUj tjj + u2v2+ u3u3)<SCx)-/4, Cx)--42Cx)dx,

де p > 0 - густина, E > 0 - модуль Юнга, v - коефШент Пуассона иатер1алу оболонки (\и\ < 1), деформацП

1 дь>. 1 3-4.

Лгдхг[АгJ Зх,Ц.Г 1

иС5)-« -А--1~| + --НЧ. y.Cw) = huwr

, ду. Cw) 1 dAt

я (u) s '---i- + 1---t-.y (w), С28)

1 Зх, V2 Зх31 3-1

тсв, . 1 +♦ + isa.ib -

Аг дхг А\ «Эх, Аг дхг -4, Зх,

fc,,+ *„,ГЗ-4, + 3-4, 1 3-4. 3w, 1 3-4, ди.

1зх2 1 Зх, 2

/42-42 Зх2 Зх, -4,-42 Зх, Зх2

Ci=l,2), функцП <5Сх), -4,Сх), -42Сх), М,,Сх), М22Сх) характеризуют геометричн1 властивост! оболонки 1 li серединной поверхн1, причому 6 е CCQ), АгАг,к1Гкгге С'СЙ) 1

О < с,< ЗСх) < с2, 0 < сэ< -4,(х) < сА, |^uCjt)J < cs, х е S).

При дискретизацП цих задач методом скхнченних елемент1в npocTip ИСЙ) в (12) зам1нюеться ск1нченновим!рним простором 5®.

тойто эам!сть (12) маемо ск!нченновим!рну вар!ац1йну за„ачу

а(иь,иь) - кН(иь,иь) =0, V € (29)

яка екв1валентка задач!

X" = ¡тип ............0, (30)

и еБ0 м

гсиь,иь) = 1.

Й(и%£) = 0, к = 1.....1-1 (£>1),

де И0- розм1рн1сть простору 5°. Виражаочи функЩв иьс через 11 вузлов1 параметри в Й, перейдемо в1д функц1онал!в до квадратичних форм а(ыь,иь) = утХу, = утВу, де у -

вектор вузлових параметр!в функцП иь в П, А 1 В - квадртн! симетр-чн1 матриц1. 1з необх!дних умов умовного м!н!муму (30) отримуемо узагальнену алге<3ра!чну задачу на власн! значения

Ах = ХВх, (31)

де х - вектор нев1домих вузлових параметр1в в й, тойто тих, як1 не можна визначити з головних крайових умов (8), А 1 В - симет-ричнд додатно виэначен! матриц! порядку Н0-

Ск1нченновим1рний п1дпрост!р вийираеться виходячи з вимоги 5°с 1Н(П). Для першо! задач1 1Н(Ш с тому за вибрано

п1дпрост1р фуншЦй, для яких виконуеться умова (18), 1з побудо-

ваного в §1.1 простору МОЕ Р2 М(Г2). У випадку друго! задач1

^ = £М,кС ИкСЙ) С 1 Т0МУ 5М,к СКЛаДа~

бться з'кускових многочлен!в Ерм!та з (?2 Н(Я), як! зад'овольня^ть

умов! (22).

При ди^кретизацП третьо! задач! неойхшю эвернути увагу на те, то компонента вектор-функц!й з ИСШ належать р!зним просторам. Тому для перших двох компонент використовуеться Р2 а для третьо! - прост!р кускових й!куб!чних многочлен!» Ерм1та Р, м(0) с 1Нг(Й). Таким чином, = Зх$° де 5° , 1

Э,М с. М М, 1 М, .2 п, 3 п, 1

5° 2 складають пол1номи з Р2 М(П), як! задовольняють в!дпов1дн!й умов! <2.6), а 3- пол1номи з Р3 М(П), для яких виконувться умови (26).

В §2.2 досл1джено з<3!кн!сть розв'язк!в дискретних задач до узагальнених роэв'язк!в вих!дних задач. Лосл1дження питань зЙ1жкост! для спектральних крайових задач базуеться на такому ж

- и -

дослхдженн! для стац1оиарних крайових задач з тими ж операторами 1 крайовими умовами.

Стац1онарну крайову задачу можна записатк у вигляд1

а(и.и) - АС/,vD = 0, . Vue ГО» (32)

при умовах (10). Проводячи аналог1чно спектральним задачам дискре-тизац1ю методом ск!нченних елемент1в, отримаемо дискретну задачу

a(u%h) - &(/.vh) =0, V uh € (33)

ado в алгес5ра1чн!й форм! Ах - Ь. У нижченаведен!й теорем1 вир!-шувться питания зб!жност! 1 точност! розч'язку задач! (33).

Теорема 2. Яюцо uh(x) е S° с IH(fi) - роэв'язок за5ач1 <зз), а розв'яэок эаЗач! (3S),(I0) u(x) 6 ÎJ(fl), то

a(u-ub,u-uh) < Cfh4, (34)

Hu-uhBu < С,h2, C,> 0, (35)

M t i

dm npocmip 5JCÎ3) з в1дпов1днак> нормою И'йц визначаетъся так:

- для nepuioi задач1 - (UCSJ) = I Я - Ви= |f • й3

- эля бругос зайачг - (u(fl) = wjjcfl) x м^ся) x ы^п)

й-ви= s -¡з+ в-ф0,5.-

- для mpemboi эадач1 - ИКП) == tt^Cfl) х W^Cfl) х W*(Q) t

a-яи= с в • йэ+ 1Нз+ 0°'5-о

Для перших двох випадк!в ui реэультати йезпосередньо випли-вають з в!домих теорем про точность схем МСЕ дл,. в1дпо'в1дних операторiв другого порядку i теореми 1, а в третьому випадку доведения аналог1чне, але взято до уваги, що компонента вектор-функд!и з належать р1зним просторам. Це зауваження суттеве i для

наступно! теореми, в як:й розв'язуються питания з<51жност1 1 точност! для спектральних задач.

Теорема 3. Яюцо 6ласн1 функиИ 3adOHi (12}.(Ю) Ujf^- е (k=l,2,...), то для ножного С = 1,2,... icnye тане hQ> 0, що для 0 < h < hQ виконукгпъся riepi enocmi

Х,< ХЧ X, + С,h",

1 1 1 1 (ЗВ)

û(u,- v{h,ut- uth) < C'th\ Jvt- C-h2,

de X*, vj1 e s" - роэв' лзки зада н (2j). U( - власна Сушсц( я,

eidnaeidHa . Cl,C'l,C'l' > 0 - Hep'XA.BMHi 6id h nocmUHi.^

Необх1дно зауважити, цо для перших двох задач при певних обмэженнях на коеф!г 1енти оператора £ ado область Й в 1 дома оц!нка Цc||XuS0 (с > 0); в цьому випадку можна використати прийом Штше 1 отримати оц1нки розв'язк!в в норм! простору ЦСй):

i!u-uhll0< с3ъ?, i!ut-tj(hii0< c;"h3 (сэ,с;"> о).

В §2.3 розглянуто деяк1 аспекта проведения на- ЕОМ дискретизацП спектрально! задач! (12).

Формування матриць алгебра!чно! задач! (31) зд!йснюеться за таким алгоритмом: 1) ув!д вихшго! анформацП; 2) автоматичне формування i/або ув:д масив1в, як! мгстять !нформац1ю про вузли, ск1нченн! елементи, вузлов! параметри i зв'язки Mis ними, тобто робит.д вих!дно'' облает! й на елементи; 3) обчислення матриць жорсткост! ! маси кожного ск1нченного елементу; 4) формування з матриць жорсткост! ! маси ск^нченних елемент!в матриць алгебра!чно1 задач! (31) у форм1, зручн1й для алгоритму розв'язання uiel задачЬ

При обчисленн! матриць жорсткост! ! маси окремих ск1нченних елемент1в враховуеться зб!г цих матриць або 1х частик з ран!ве обчисленими. Глобальн! матриц! жорсткост! (А) 1 маси (В) эадач1 (31) в одновим1рному випадку е стр!чковими, а в дво- ас^ три-е-лм1рному випадку мають проф1льно-розр!дкену структуру. В остан-ньому випадку перенумерац!я вузл!в перед формуванням матриць А ! В дозволяв оптим!зувати цю структуру таким чином, кои проф1ль С "оз м! р оболонки) i/або ширина стр1чки матриць булл Mi Hi малый.

При формуванн1 глобальних матриць жорсткост! i маси необх1дно обчислюэати 1х елементи так, щоб збер1галась точн1сть, яка забезпечуеться застосуванням методу ск!кченних елемент1в для розв'язання конкретно! задач!, тобто оценки С36) не повинн! пог1ршуватися. Похибки, . як! впливасть на точнхеть наближеного розв'япку, виникасть через використання при обчисленн! елемент!в матриць формул чисельного !нтегрування, через неточну апроксимац1и област1 й ск1нченними елементами (звичайно б1ля II границ!) i таке !нше. Тому зам1сть задач (29) або (31) в д1йсност1 отримують так! задач!, як

• aC2h,vh) - Xh2(Sh,vh) =0, V vh е S°, або А х = Xh В х. С37)

Позначиио А = А - А, В = В - В, a Cuh,uh) = a(uh,uh) - SCuh,uh), 0 0 0

3 Cuh,uh) = SCuh,uh) - 2(uh,vh). У наступн!й теорем! оц1нсеться

вгогав цих похибок на точн1сть розв'язк!в эадач1 (37) вхдносно

розв'язк1а задач! (12h

Теорема 4. Хаа Xh. 5h t х ßtdnoeidni один одному власн1

значения. фунлц<я i вектор эаЗач! (37). причалу ÄCiih,Uh) = х Вх -

= 1. Якщо матрица В дойатно визначена i для Uh,Uh6 S^, таюис.

що = 1. махзаь Mlcue cnieäiднсшвння.

|oe(uh,vh)| < Chv. }eeCuh,uh)| < cbhp (Ca,Qb> 0), A hq*nÄ В = h4*nB ,

в е. в e

то ;снуе maiuy незалежна Bid h константа C(Xh), що

min |\h - < C(Xh)hp;n (38)

§2.4 присвячено розв'язанню узагальнених алгебра1чних задач на власн1 значения, як1 виникають внасл1дон дискретизацП ПСЕ. Для .ясельного рюзв'яэання таких задач використано метод iTepauiü на п!дпростор1 (1терування п!дпрс лору).

Для проф1льких матрииь великого порядку розроблено алгоритм цього методу, який використовуе пам'ять другого ступеня (магн1тн1 диски або стр!чки) i надае можлив!сть знаходити (разом з в1дпов!д-ними власними векторами) або задане число найменших, або вс! влас-н1 значения 1з заданого !нтервалу, а також отримувати anocTepiopHi оЩнки

X - х* г "" ~

Т" 1 <

mm ««J«"-

г,Вге

(х;)твх;

СЗу)

обчислювально! похибкя для вла~них значеннь, де Xj- точне власн*» значения задач!. (31), X.J, х* - наближено обчиспена ьласна пара UicI к задач!, г,= А"'г,= х*- Х*А~'Вх*. Обчислення цих оц1нок орган1зовано економ!чним способом, а саме, використозувться отриман! в процес! розв'язання задач! (31) матриц! i вектори.

Розд<;т III присвячено застосуваннс побудованих схем МСЕ четвертого порядку точност1 для розв'язування ряду модельних i пр кладних задач.

В §3.1 наведено приклади роз:'язання д--яких модельних задач на власн1 значения, на яких апробовано запропонован! в перших розд1лах простори MCt, i алгоритми.

Пор '.вняння е$ективноот1 запропонованих в робот* простор1в МСЕ на кускових пол!номах Ерм!та i аналоПчних простор1в на пол1номах Лагранла проведено на приклад1 розв'язання задач! (12). (18)-(2i). На приклад! тако! ж задач! показано вплив чисельного !нтегруваннл на точность наближеного розв'язку.

Ефективн1сть запропонованого алгоритму (1 його программа! peani^auii) розв'язання узагальнено! проблеми власних значень продемонстровано на приклад! розв'язання И задач. На двох !з них Показано справедлив!сть апостер1орняк оц1нок (39).

X угий параграф розд1лу III присвячено роэв'язаннв за допомогою запропонованих схем МСЕ прикладной задач! про власн! коливання холодно! лопатки турбомашини, яка оплсуеться трьома р!эними моделями-. одновим!рною, що базуеться на прикладн!й теорН стержн!в, двовим1рнов - на прикладн!й теор!1 тонких оболонок, i просторовои - на основ! р!внянь теорП пружност!. Обгрунтовано прайоми, як! забезпечують законн!сть застосування побудованих схем МСЕ для чисельного розв'язання зазиачених задач, ! справедливого у цьому випадку оц1нок похибок наближених розв'язк1в. Про!люстровано застосування пропоновано! методики на розв'язанн1 таких модельних задач:

- знайти частоти i форми власних коливань тонко! 1зотропно); псямокутно! в план! пластини пост!йно! товщиии, один край ?ко! коротко закр!плено, а протилежний йому повернуто по Ыдношенню до нього ж на кут yQ;

- знайти частоти i форми власних коливань прямокутно! в план! панел1 тонкоi цил1ндрично! !зотропно! оболонки пост!йно! товщкни, у яко! жсрстко «акр1плено один !з кра!в, що зб!гаеться з направляемою.

У додатку наведено види i структури фуншЦй, вектор1в ! мат-риць, що зустр1ча»ться у виклад1.

Оснозн! результата робота. Таким чином, в дисертац1йн!й робот! розроблено ! теоретично обгрунтовано алгоритм чисельного розв'язання частково! проблеми власних значень для ряду елхптичних диферен'-иальних оператор1в в одно-, дво- i тривим!рних областях

методом ск1нченних елемент!в. Для цього:

(i} побудовано простори МСЕ другого степеня простори кускових 1нтерполяЩйних пол1ном1в Ерм!та; (ii) отримано оц!нки похибки 1нтерполяцП функЩями э цих простор1в; (iiij побудовано схени МСЕ четвертого порядку точность (для власних значень) для чисельного розв'яэання спектральних задач для ряду ел1птичних диференц!альних оператор!в; (iv) доведено оценки точноот1 наближених розв'язк1в; (v) отримано оц1нки лохибок розв'язк^з дискретно! задач!, якл викликанх похибками обчислепня елемент!в матриць nisi задач!; (vi) розроблено алгоритм чисельного розв'язання з використанням зовн1шньо! пам'ят! ЕОМ узагальнено! алгебра1чно! задач! на власн! значения методом !терування Шдпростору для проф1льних матриць.

OcHOBrti положения дисертацП опубл!кован1 в таких працях:

1. Молчанов И. Н., Попов А.В. Схемы повышенного порядка точности' для некоторых задач на собственные значения // Вариационно-разностные методы в математической физике. - М., 1984. -С. 183-195.

2. Попов 0.В. Чисельне розв'язання одн1С1 задач! на власн! коли-вання тонко! оболонки // Доп. АН УРСР. Сер. А. - 1984. - N"3. -С. 15-18.

3. Попов A.B. Использование кусочных полиномов Эрмита второй степени в методе конечных элементов // Пакеты прикладных программ и численные методы. - Киев, 1988. - С. 10^-107.

4. Попов A.B. Численное решение одной пространственной спектральной задачи методом конечных элементов // Математическое и программное обеспечение задач дискретной оптимизации. Киев, 1989. - С. 90-95.

5. Молчанов И. Н., Попов A.B., Химич А.Н. Алгоритм решения частичной проблемы собственных значений для больших профильных i..jT-риц // Кибернетика и системный анализ - 1992.- №2.- С.141-147.